ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ በችግር C2 ውስጥ። የጂኦሜትሪ መሰረታዊ ነገሮች፡ መደበኛ ፒራሚድ ነው።

የማስተባበር ዘዴን በመጠቀም ችግር C2ን ሲፈቱ፣ ብዙ ተማሪዎች ተመሳሳይ ችግር ያጋጥማቸዋል። ማስላት አይችሉም የነጥቦች መጋጠሚያዎችበ scalar ምርት ቀመር ውስጥ ተካትቷል. ትልቁ ችግሮች ይነሳሉ ፒራሚዶች. እና የመሠረት ነጥቦቹ ብዙ ወይም ያነሰ መደበኛ እንደሆኑ ከተቆጠሩ, ቁንጮዎቹ እውነተኛ ገሃነም ናቸው.

ዛሬ በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ላይ እንሰራለን. እንዲሁም የሶስት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ አለ (በተጨማሪም - tetrahedron). ይህ የበለጠ የተወሳሰበ ንድፍ ነው, ስለዚህ የተለየ ትምህርት ለእሱ ይወሰናል.

በመጀመሪያ ትርጉሙን እናስታውስ፡-

መደበኛ ፒራሚድ የሚከተለው ነው-

መሰረቱ መደበኛ ፖሊጎን ነው: ትሪያንግል, ካሬ, ወዘተ.

ወደ መሠረቱ የተሳለ ከፍታ በማዕከሉ ውስጥ ያልፋል።

በተለይም አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ መሠረት ነው ካሬ. ልክ እንደ ቼፕስ፣ ትንሽ ትንሽ ብቻ።

ከታች ያሉት ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ፒራሚድ ስሌቶች ናቸው. ይህ በችግርዎ ውስጥ ካልሆነ, ስሌቶቹ አይለወጡም - ቁጥሮቹ ብቻ የተለዩ ይሆናሉ.

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ጫፎች

ስለዚህ፣ መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ SABCD ይስጥ፣ S vertex እና መሰረቱ ABCD ካሬ ነው። ሁሉም ጠርዞች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው. ወደ ማስተባበሪያ ስርዓት ማስገባት እና የሁሉንም ነጥቦች መጋጠሚያዎች ማግኘት ያስፈልግዎታል. እና አለነ፥

ከመነሻ ነጥብ A ጋር የማስተባበር ስርዓት እናስተዋውቃለን።

የ OX ዘንግ ከጠርዙ AB ጋር ትይዩ ነው;
የ OY ዘንግ ከ AD ጋር ትይዩ ነው። ABCD ካሬ ስለሆነ፣ AB ⊥ AD;
በመጨረሻም፣ የ OZ ዘንግ ወደላይ፣ በአውሮፕላኑ ABCD ቀጥ ያለ አቅጣጫ እናመራዋለን።

አሁን መጋጠሚያዎቹን እናሰላለን. ተጨማሪ ግንባታ: SH - ቁመት ወደ መሠረቱ ተስሏል. ለመመቻቸት, የፒራሚዱን መሠረት በተለየ ስዕል ውስጥ እናስቀምጠዋለን. ነጥቦች A፣ B፣ C እና D በኦክሲአይ አውሮፕላን ውስጥ ስለሚገኙ አስተባባሪነታቸው z = 0 ነው። እኛ አለን።

A = (0; 0; 0) - ከመነሻው ጋር ይጣጣማል;
B = (1; 0; 0) - ከመነሻው በኦክስ ዘንግ በኩል በደረጃ 1;
C = (1; 1; 0) - ደረጃ በ 1 በኦክስ ዘንግ እና በ 1 በኦይ ዘንግ;
D = (0; 1; 0) - ደረጃ በ OY ዘንግ ላይ ብቻ።
H = (0.5; 0.5; 0) - የካሬው መሃል, የ AC ክፍል መካከለኛ.

የነጥብ S መጋጠሚያዎችን ለማግኘት ይቀራል። የነጥቦች S እና H x እና y መጋጠሚያዎች ተመሳሳይ መሆናቸውን ልብ ይበሉ፣ ምክንያቱም እነሱ ከOZ ዘንግ ጋር ትይዩ በሆነ መስመር ላይ ይተኛሉ። ለነጥብ S የ z መጋጠሚያን ለማግኘት ይቀራል።

ትሪያንግል ASH እና ABHን ተመልከት፡-

AS = AB = 1 በሁኔታ;
አንግል AHS = AHB = 90°፣ SH ቁመቱ ስለሆነ እና AH ⊥ HB እንደ የካሬው ዲያግኖች;
ጎን AH የተለመደ ነው.

ስለዚህ, የቀኝ ትሪያንግል ASH እና ABH እኩል ነው።እያንዳንዳቸው አንድ እግር እና አንድ hypotenuse. ይህ ማለት SH = BH = 0.5 BD. ግን BD የአንድ ካሬ ሰያፍ ነው ከጎን 1. ስለዚህ እኛ አለን:

የነጥብ S ጠቅላላ መጋጠሚያዎች፡-

በማጠቃለያው የመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ የሁሉም ጫፎች መጋጠሚያዎችን እንፃፍ፡-

የጎድን አጥንቶች የተለያዩ ሲሆኑ ምን ማድረግ እንዳለባቸው

የፒራሚዱ የጎን ጠርዞች ከመሠረቱ ጠርዞች ጋር እኩል ካልሆኑስ? በዚህ አጋጣሚ፣ ትሪያንግል AHSን አስቡበት፡-

ትሪያንግል AHS - አራት ማዕዘንእና hypotenuse AS እንዲሁ የዋናው ፒራሚድ SABCD የጎን ጠርዝ ነው። እግር AH በቀላሉ ይሰላል: AH = 0.5 AC. የቀረውን እግር SH እናገኘዋለን በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሠረት. ይህ ለነጥብ S የ z መጋጠሚያ ይሆናል።

ተግባር መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ SABCD የተሰጠው ፣ በእሱ መሠረት አንድ ካሬ ከጎን ጋር 1. የጎን ጠርዝ BS = 3. የነጥብ S መጋጠሚያዎችን ይፈልጉ።

የዚህን ነጥብ x እና y መጋጠሚያዎች አስቀድመን አውቀናል: x = y = 0.5. ይህ ከሁለት እውነታዎች የሚከተል ነው።

የነጥብ S በ OXY አውሮፕላን ላይ ያለው ትንበያ ነጥብ H;
በተመሳሳይ ጊዜ, ነጥብ H የአንድ ካሬ ABCD ማእከል ነው, ሁሉም ጎኖች ከ 1 ጋር እኩል ናቸው.

የነጥብ S አስተባባሪ ለማግኘት ይቀራል። ትሪያንግል AHSን አስቡበት። እሱ አራት ማዕዘን ነው ፣ ከ hypotenuse AS = BS = 3 ፣ እግር AH ሰያፍ ግማሽ ነው። ለተጨማሪ ስሌቶች ርዝመቱን እንፈልጋለን-

የፒታጎሪያን ቲዎረም ለሦስት ማዕዘን AHS፡ AH 2 + SH 2 = AS 2. እና አለነ፥

ስለዚህ የነጥብ S መጋጠሚያዎች

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድፖሊሄድሮን ሲሆን መሰረቱ አራት ማዕዘን ነው፣ እና ሁሉም የጎን ፊቶቹ ተመሳሳይ isosceles triangles ናቸው።

ይህ ፖሊሄድሮን ብዙ የተለያዩ ባህሪዎች አሉት

የጎን ጠርዞቹ እና አጎራባች ማዕዘኖች እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው;
የጎን ፊት ቦታዎች ተመሳሳይ ናቸው;
በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ መሠረት አንድ ካሬ ይተኛል;
ከፒራሚዱ አናት ላይ የወረደው ቁመቱ የመሠረቱ ዲያግኖች የሚገናኙበትን ነጥብ ያቋርጣል።

እነዚህ ሁሉ ንብረቶች ለማግኘት ቀላል ያደርጉታል። ነገር ግን, ብዙ ጊዜ, ከዚህ በተጨማሪ, የ polyhedron መጠንን ማስላት አስፈላጊ ነው. ይህንን ለማድረግ ለአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ መጠን ቀመርን ይጠቀሙ-

ማለትም ፣ የፒራሚዱ መጠን ከፒራሚዱ ቁመት እና ከመሠረቱ ስፋት አንድ ሦስተኛው ጋር እኩል ነው። ከእኩል ጎኖቹ ምርት ጋር እኩል ስለሆነ ወዲያውኑ የካሬውን ስፋት ቀመር በድምጽ መግለጫ ውስጥ እናስገባለን።
አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ መጠን ለማስላት አንድ ምሳሌ እንመልከት።

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ይስጥ, መሰረቱ አንድ ካሬ ነው a = 6 ሴ.ሜ. የፒራሚዱ የጎን ገጽታ b = 8 ሴ.ሜ ነው.

የተሰጠውን የ polyhedron መጠን ለማግኘት, ቁመቱ ርዝመት ያስፈልገናል. ስለዚህ, የፓይታጎሪያን ቲዎረምን በመተግበር እናገኘዋለን. በመጀመሪያ, የዲያግራኑን ርዝመት እናሰላለን. በሰማያዊው ትሪያንግል ውስጥ hypotenuse ይሆናል. እንዲሁም የካሬው ዲያግራኖች እርስ በእርሳቸው እኩል መሆናቸውን እና በመገናኛው ቦታ ላይ በግማሽ የተከፋፈሉ መሆናቸውን ማስታወሱ ጠቃሚ ነው-

አሁን ከቀይ ሶስት ማዕዘን የምንፈልገውን ቁመት h እናገኛለን. እኩል ይሆናል፡-

አስፈላጊዎቹን እሴቶች እንተካ እና የፒራሚዱን ቁመት እንፈልግ-

አሁን ቁመቱን በማወቅ ሁሉንም ዋጋዎች ለፒራሚዱ መጠን ወደ ቀመር በመተካት አስፈላጊውን ዋጋ ማስላት እንችላለን-

በዚህ መንገድ, ጥቂት ቀላል ቀመሮችን በማወቅ, መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ መጠንን ማስላት ቻልን. ያስታውሱ ይህ ዋጋ የሚለካው በኩቢ አሃዶች ነው።

ይህ የቪዲዮ ማጠናከሪያ ትምህርት ተጠቃሚዎች ስለ ፒራሚድ ጭብጥ ግንዛቤ እንዲያገኙ ይረዳቸዋል። ትክክለኛ ፒራሚድ። በዚህ ትምህርት ከፒራሚድ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር እንተዋወቃለን እና ፍቺውን እንሰጠዋለን. አንድ መደበኛ ፒራሚድ ምን እንደሆነ እና ምን ባህሪያት እንዳሉት እንመልከት. ከዚያም ስለ መደበኛ ፒራሚድ የጎን ገጽ ያለውን ቲዎሪ እናረጋግጣለን.

በዚህ ትምህርት ከፒራሚድ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር እንተዋወቃለን እና ፍቺውን እንሰጠዋለን.

ፖሊጎን አስቡበት አ 1 አ 2...ኤን, በ α አውሮፕላን ውስጥ የሚተኛ, እና ነጥቡ ፒበ α አውሮፕላን ውስጥ የማይተኛ (ምስል 1). ነጥቦቹን እናገናኛቸው ፒከቁንጮዎች ጋር A 1፣ A 2፣ A 3, … ኤን. እናገኛለን nትሪያንግሎች፡ አ 1 አ 2 አር, አ 2 አ 3 አርእናም ይቀጥላል።

ፍቺ. ፖሊሄድሮን RA 1 A 2 ...A n፣ የተሰራ n- ካሬ አ 1 አ 2...ኤንእና nትሪያንግሎች RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 ይባላል n- የድንጋይ ከሰል ፒራሚድ. ሩዝ. 1.

ሩዝ. 1

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ተመልከት PABCD(ምስል 2).

አር- የፒራሚዱ ጫፍ.

ኤ ቢ ሲ ዲ- የፒራሚዱ መሠረት.

ራ- የጎን የጎድን አጥንት.

AB- መሠረት የጎድን አጥንት.

ከነጥብ አርቀጥ ብለን እንጥል አርኤንወደ መሰረታዊ አውሮፕላን ኤ ቢ ሲ ዲ. ቀጥ ያለ ሥዕል የፒራሚዱ ቁመት ነው።

ሩዝ. 2

የፒራሚዱ ሙሉ ገጽታ የጎን ወለል ፣ ማለትም የሁሉም የጎን ፊቶች ስፋት እና የመሠረቱ ስፋት ያካትታል ።

S ሙሉ = S ጎን + S ዋና

ፒራሚድ ትክክለኛ ተብሎ የሚጠራው ከሆነ፡-

የእሱ መሠረት መደበኛ ፖሊጎን ነው;
የፒራሚዱን ጫፍ ከመሠረቱ መሃል ጋር የሚያገናኘው ክፍል ቁመቱ ነው.

የመደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ ምሳሌ በመጠቀም ማብራሪያ

መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ አስቡበት PABCD(ምስል 3).

አር- የፒራሚዱ ጫፍ. የፒራሚዱ መሠረት ኤ ቢ ሲ ዲ- መደበኛ አራት ማዕዘን, ማለትም, ካሬ. ነጥብ ስለ, የዲያግኖች መገናኛ ነጥብ, የካሬው መሃል ነው. ማለት፣ ሮየፒራሚዱ ቁመት ነው።

ሩዝ. 3

ማብራሪያ: በትክክል nበሶስት ማዕዘን ውስጥ, የተቀረጸው ክብ መሃል እና የዙሪያው መሃል ይጣጣማሉ. ይህ ማእከል የ polygon መሃል ይባላል. አንዳንድ ጊዜ አከርካሪው ወደ መሃሉ እንደታሰበ ይናገራሉ.

የቋሚ ፒራሚድ የጎን ፊት ቁመቱ ከጫፉ የተቀዳው ይባላል አፖቴምእና የተሰየመ ነው ሸ አ.

1. የመደበኛ ፒራሚድ ሁሉም የጎን ጠርዞች እኩል ናቸው;

2. የጎን ፊት እኩል isosceles triangles ናቸው.

የመደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ ምሳሌ በመጠቀም የእነዚህን ንብረቶች ማረጋገጫ እንሰጣለን።

የተሰጠው: PABCD- መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ;

ኤ ቢ ሲ ዲ- ካሬ,

ሮ- የፒራሚዱ ቁመት.

አረጋግጥ:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP ምስልን ይመልከቱ። 4.

ሩዝ. 4

ማረጋገጫ.

ሮ- የፒራሚዱ ቁመት. በቀጥታ ማለት ነው። ሮበአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ኢቢሲ, እና ስለዚህ ቀጥታ JSC፣ VO፣ SOእና መ ስ ራ ትበውስጡ ተኝቶ. ስለዚህ ትሪያንግሎች ROA፣ ROV፣ ROS፣ ROD- አራት ማዕዘን.

አንድ ካሬ አስብ ኤ ቢ ሲ ዲ. ከካሬው ባህሪያት ውስጥ ይከተላል AO = VO = CO = መ ስ ራ ት።

ከዚያ የቀኝ ትሪያንግሎች ROA፣ ROV፣ ROS፣ RODእግር ሮ- አጠቃላይ እና እግሮች JSC፣ VO፣ SOእና መ ስ ራ ትእኩል ናቸው, ይህም ማለት እነዚህ ሶስት ማዕዘኖች በሁለት ጎኖች እኩል ናቸው. ከሦስት ማዕዘናት እኩልነት የክፍሎችን እኩልነት ይከተላል ፣ RA = PB = RS = PD.ነጥብ 1 ተረጋግጧል.

ክፍሎች ABእና ፀሐይእኩል ናቸው ምክንያቱም እነሱ የአንድ ካሬ ጎኖች ናቸው ፣ RA = PB = RS. ስለዚህ ትሪያንግሎች AVRእና ቪኤስአር - isosceles እና በሶስት ጎን እኩል.

በተመሳሳይ መንገድ ሶስት ማዕዘኖችን እናገኛለን ኤቢፒ፣ ቪሲፒ፣ ሲዲፒ፣ ዳፕበአንቀፅ 2 ለመረጋገጥ እንደሚያስፈልገው isosceles እና እኩል ናቸው።

የመደበኛ ፒራሚድ የጎን ወለል ስፋት ከመሠረቱ ዙሪያ እና ከፖፖው ግማሽ ምርት ጋር እኩል ነው።

ይህንን ለማረጋገጥ, መደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ እንመርጣለን.

የተሰጠው: RAVS- መደበኛ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ.

AB = BC = AC.

ሮ- ቁመት.

አረጋግጥ. ምስል ይመልከቱ. 5.

ሩዝ. 5

ማረጋገጫ።

RAVS- መደበኛ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ. ያውና AB= AC = ዓ.ዓ. ፍቀድ ስለ- የሶስት ማዕዘን መሃል ኢቢሲ, ከዚያም ሮየፒራሚዱ ቁመት ነው። ከፒራሚዱ ስር እኩል የሆነ ትሪያንግል አለ። ኢቢሲ. አስተውል፣ ያንን።

ትሪያንግሎች RAV፣ RVS፣ RSA- እኩል isosceles triangles (በንብረት). ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ሶስት የጎን ፊቶች አሉት፡- RAV፣ RVS፣ RSA. ይህ ማለት የፒራሚዱ የጎን ወለል ስፋት የሚከተለው ነው-

S ጎን = 3S RAW

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ መሠረት ላይ የተቀረጸው የክበብ ራዲየስ 3 ሜትር ነው, የፒራሚዱ ቁመት 4 ሜትር ነው.

የተሰጠው: መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ኤ ቢ ሲ ዲ,

ኤ ቢ ሲ ዲ- ካሬ,

አር= 3 ሜትር

ሮ- የፒራሚዱ ቁመት;

ሮ= 4 ሜትር.

አግኝ: ኤስ ጎን ምስል ይመልከቱ. 6.

ሩዝ. 6

መፍትሄ.

በተረጋገጠው ቲዎሪ መሰረት .

በመጀመሪያ የመሠረቱን ጎን እንፈልግ AB. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ መሠረት ላይ የተቀረጸው የክበብ ራዲየስ 3 ሜትር እንደሆነ እናውቃለን።

ከዚያም ኤም.

የካሬውን ፔሪሜትር ያግኙ ኤ ቢ ሲ ዲከ 6 ሜትር ጎን ጋር;

ሶስት ማዕዘን አስቡበት ቢሲዲ. ፍቀድ ኤም- የጎን መሃል ዲሲ. ምክንያቱም ስለ- መካከለኛ BD፣ ጥራዝ)።

ትሪያንግል ዲፒሲ- isosceles. ኤም- መካከለኛ ዲሲ. ያውና፣ አርኤም- መካከለኛ, እና ስለዚህ በሶስት ማዕዘን ውስጥ ቁመት ዲፒሲ. ከዚያም አርኤም- የፒራሚድ አፖም.

ሮ- የፒራሚዱ ቁመት. ከዚያ ቀጥታ ሮበአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ኢቢሲ, እና ስለዚህ ቀጥታ ኦኤም, በውስጡ ተኝቷል. አፖሆሙን እንፈልግ አርኤምከቀኝ ትሪያንግል ሮም.

አሁን የፒራሚዱን የጎን ገጽ ማግኘት እንችላለን-

መልስ: 60 ሜ 2.

በመደበኛ የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ግርጌ ዙሪያ ያለው የክብ ዙሪያ ራዲየስ ከሜ ጋር እኩል ነው. የአፖሆልን ርዝመት ይፈልጉ.

የተሰጠው: ABCP- መደበኛ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ;

AB = BC = SA,

አር= ሜትር፣

S ጎን = 18 m2.

አግኝ. ምስል ይመልከቱ. 7.

ሩዝ. 7

መፍትሄ.

በቀኝ ሶስት ማዕዘን ውስጥ ኢቢሲየተከበበው ክበብ ራዲየስ ተሰጥቷል. ጎን እንፈልግ ABየሳይንስ ህግን በመጠቀም ይህ ሶስት ማዕዘን.

የመደበኛ ትሪያንግል (m) ጎን በማወቅ ዙሪያውን እናገኛለን.

በመደበኛ ፒራሚድ ላተራል ወለል ላይ ባለው ቲዎሪ ፣ የት ሸ አ- የፒራሚድ አፖም. ከዚያም፡-

መልስ: 4 ሜ.

ስለዚህ፣ ፒራሚድ ምን እንደሆነ፣ መደበኛ ፒራሚድ ምን እንደሆነ ተመልክተናል፣ እና ስለ መደበኛ ፒራሚድ ላተራል ገጽታ ያለውን ንድፈ ሃሳብ አረጋግጠናል። በሚቀጥለው ትምህርት ከተቆረጠው ፒራሚድ ጋር እንተዋወቃለን.

መጽሃፍ ቅዱስ

ጂኦሜትሪ ከ10-11ኛ ክፍል: ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሀፍ (መሰረታዊ እና ልዩ ደረጃዎች) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ኛ እትም ፣ ራእ. እና ተጨማሪ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: የታመመ.
ጂኦሜትሪ ከ10-11ኛ ክፍል፡ የመማሪያ መጽሀፍ ለአጠቃላይ የትምህርት ተቋማት / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 pp.: ሕመምተኛ.
ጂኦሜትሪ 10ኛ ክፍል፡ ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት ጥልቅ እና ልዩ የሂሳብ ጥናት /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6 ኛ እትም, stereotype. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: የታመመ.

የበይነመረብ ፖርታል "ያክላስ" ()
የበይነመረብ ፖርታል “የትምህርታዊ ሀሳቦች ፌስቲቫል “የሴፕቴምበር መጀመሪያ” ()
የበይነመረብ ፖርታል "Slideshare.net" ()

የቤት ስራ

መደበኛ ፖሊጎን መደበኛ ያልሆነ ፒራሚድ መሠረት ሊሆን ይችላል?
የመደበኛ ፒራሚድ የተበጣጠሱ ጠርዞች ቀጥ ያሉ መሆናቸውን ያረጋግጡ።
የፒራሚዱ አፖቴም ከመሠረቱ ጎን ጋር እኩል ከሆነ በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ ግርጌ ላይ ያለውን የዲሂድራል አንግል ዋጋ ያግኙ።
RAVS- መደበኛ ሶስት ማዕዘን ፒራሚድ. በፒራሚዱ ግርጌ ላይ ያለውን የዲይድራል አንግል መስመራዊ አንግል ይገንቡ።

ተማሪዎች ጂኦሜትሪ ከማጥናታቸው ከረጅም ጊዜ በፊት የፒራሚድ ጽንሰ-ሀሳብ ያጋጥማቸዋል. ስህተቱ ከታዋቂዎቹ የግብፅ ድንቅ ድንቅ ነገሮች ጋር ነው። ስለዚህ ፣ ይህንን አስደናቂ ፖሊሄድሮን ማጥናት ሲጀምሩ ፣ አብዛኛዎቹ ተማሪዎች ቀድሞውኑ በግልፅ ያስባሉ። ሁሉም ከላይ የተገለጹት መስህቦች ትክክለኛ ቅርፅ አላቸው. ምን ሆነ መደበኛ ፒራሚድእና ምን ንብረቶች እንዳሉት የበለጠ ይብራራል.

ፍቺ

የፒራሚድ ፍቺዎች በጣም ብዙ ናቸው። ከጥንት ጀምሮ, በጣም ተወዳጅ ነበር.

ለምሳሌ ኤውክሊድ ከአንዱ ጀምሮ በአንድ የተወሰነ ቦታ ላይ የሚገጣጠሙ አውሮፕላኖችን ያቀፈ የሰውነት ቅርጽ አድርጎ ገልጿል።

ሄሮን ይበልጥ ትክክለኛ የሆነ ቀመር አቅርቧል. ይህ አኃዝ መሆኑን አጥብቆ ተናገረ መሠረት እና አውሮፕላኖች በሦስት ማዕዘኖች መልክ አላቸው ፣በአንድ ነጥብ ላይ መገናኘት.

በዘመናዊው አተረጓጎም መሰረት፣ ፒራሚዱ እንደ የቦታ ፖሊሄድሮን ይወከላል፣ የተወሰኑ የ k-gon እና k ጠፍጣፋ ባለሶስት ማዕዘን ቅርጾችን ያቀፈ፣ አንድ የጋራ ነጥብ ያለው።

የበለጠ በዝርዝር እንመልከተው፣ ምን ንጥረ ነገሮችን ያቀፈ ነው-

የ k-gon የምስሉ መሰረት ተደርጎ ይቆጠራል;
ባለ 3-ጎን ቅርጾች እንደ የጎን ክፍል ጠርዞች ይወጣሉ;
የጎን አካላት የሚመነጩበት የላይኛው ክፍል አፕክስ ተብሎ ይጠራል;
አንድ ጫፍ የሚያገናኙ ሁሉም ክፍሎች ጠርዞች ይባላሉ;
ቀጥ ያለ መስመር በ 90 ዲግሪ ማእዘን ላይ ካለው ወርድ ወደ ምስሉ አውሮፕላን ከወረደ ፣ በውስጣዊው ቦታ ውስጥ ያለው ክፍል የፒራሚዱ ቁመት ነው ።
በማንኛውም የኋለኛ ክፍል ውስጥ ፣ አፖሆም ተብሎ የሚጠራው ቀጥ ያለ ፣ ወደ ፖሊሄድሮን ጎን መሳል ይችላል።

የጠርዙ ብዛት በቀመር 2 * k በመጠቀም ይሰላል, k የ k-gon ጎኖች ቁጥር ነው. እንደ ፒራሚድ ያለ ፖሊ ሄድሮን ስንት ፊት እንዳለው k+1 የሚለውን አገላለጽ በመጠቀም ማወቅ ይቻላል።

አስፈላጊ!የመደበኛ ቅርጽ ፒራሚድ ስቴሪዮሜትሪክ ምስል ሲሆን የመሠረት አውሮፕላኑ እኩል ጎኖች ያሉት ኪ-ጎን ነው።

መሰረታዊ ባህሪያት

ትክክለኛ ፒራሚድ ብዙ ንብረቶች አሉት ፣ለእሷ ልዩ የሆኑ. እንዘርዝራቸው፡-

መሰረቱ ትክክለኛ ቅርጽ ያለው ምስል ነው.
የጎን ክፍሎችን የሚገድበው የፒራሚዱ ጠርዞች እኩል የቁጥር እሴቶች አሏቸው።
የጎን አካላት isosceles triangles ናቸው.
የምስሉ ቁመት መሠረት በፖሊጎን መሃል ላይ ይወድቃል ፣ በተመሳሳይ ጊዜ የተቀረፀው እና የተከበበ ማዕከላዊ ነጥብ ነው።
ሁሉም የጎን የጎድን አጥንቶች በተመሳሳይ ማዕዘን ላይ ወደ መሰረቱ አውሮፕላን ዘንበል ይላሉ.
ሁሉም የጎን ንጣፎች ከመሠረቱ አንጻር ተመሳሳይ የሆነ የማዘንበል ማዕዘን አላቸው.

ለተዘረዘሩት ንብረቶች ሁሉ ምስጋና ይግባውና የንጥረትን ስሌት ማከናወን በጣም ቀላል ነው. ከላይ ባሉት ንብረቶች ላይ በመመስረት, ትኩረት እንሰጣለን ሁለት ምልክቶች:

ፖሊጎን ወደ ክበብ ውስጥ ሲገባ, የጎን ፊቶች ከመሠረቱ ጋር እኩል ማዕዘኖች ይኖራቸዋል.
በፖሊጎን ዙሪያ ያለውን ክብ ሲገልጹ፣ ሁሉም የፒራሚዱ ጠርዞች ከርዝመቱ የሚወጡት እኩል ርዝመት እና እኩል ማዕዘኖች ይኖራቸዋል።

መሰረቱ ካሬ ነው።

መደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ - መሠረቱ አራት ማዕዘን የሆነ ፖሊሄድሮን.

አራት ጎን ፊቶች ያሉት ሲሆን እነሱም በመልክ ውስጥ isosceles ናቸው.

አንድ ካሬ በአውሮፕላን ላይ ይገለጻል, ነገር ግን በሁሉም የመደበኛ አራት ማዕዘን ባህሪያት ላይ የተመሰረተ ነው.

ለምሳሌ ፣ የካሬውን ጎን ከዲያግኖል ጋር ማዛመድ አስፈላጊ ከሆነ ፣ ከዚያ የሚከተለውን ቀመር ይጠቀሙ-ዲያግራኑ ከካሬው ጎን እና የሁለት ካሬ ሥር ምርት ጋር እኩል ነው።

በመደበኛ ትሪያንግል ላይ የተመሰረተ ነው

መደበኛ ባለሶስት ማዕዘን ፒራሚድ ፖሊሄድሮን ሲሆን መሰረቱ መደበኛ ባለ 3 ጎን ነው።

መሰረቱ መደበኛ ትሪያንግል ከሆነ እና የጎን ጠርዞቹ ከመሠረቱ ጠርዞች ጋር እኩል ከሆኑ ታዲያ እንዲህ ዓይነቱ ምስል tetrahedron ተብሎ ይጠራል.

ሁሉም የ tetrahedron ፊቶች እኩል ባለ 3-ጎን ናቸው። በዚህ ሁኔታ ፣ አንዳንድ ነጥቦችን ማወቅ እና ሲያሰሉ በእነሱ ላይ ጊዜ እንዳያባክኑ ያስፈልግዎታል

የጎድን አጥንቶች ወደ ማንኛውም መሠረት የማዘንበል አንግል 60 ዲግሪ ነው ።
የሁሉም የውስጥ ፊቶች መጠንም 60 ዲግሪ ነው;
ማንኛውም ፊት እንደ መሰረት ሊሆን ይችላል;
, በስዕሉ ውስጥ ተስሏል, እነዚህ እኩል አካላት ናቸው.

የ polyhedron ክፍሎች

በማንኛውም የ polyhedron ውስጥ አሉ ብዙ አይነት ክፍሎችጠፍጣፋ. ብዙውን ጊዜ በትምህርት ቤት ጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ ከሁለት ጋር ይሰራሉ-

አክሲያል;
ከመሠረቱ ጋር ትይዩ.

የአክሱም ክፍል የሚገኘው አውሮፕላኑ በአከርካሪው, በጎን ጠርዞች እና ዘንግ ውስጥ የሚያልፍ የ polyhedron ን ሲያቋርጥ ነው. በዚህ ሁኔታ, ዘንግ ከጫፍ ላይ የሚወጣ ቁመት ነው. የመቁረጫ አውሮፕላኑ ከሁሉም ፊቶች ጋር በመስቀለኛ መንገድ መስመሮች የተገደበ ነው, በዚህም ምክንያት ትሪያንግል.

ትኩረት!በመደበኛ ፒራሚድ ውስጥ, የአክሲል ክፍል የኢሶሴሌስ ትሪያንግል ነው.

የመቁረጥ አውሮፕላኑ ከመሠረቱ ጋር ትይዩ ከሆነ ውጤቱ ሁለተኛው አማራጭ ነው. በዚህ ሁኔታ, ከመሠረቱ ጋር ተመሳሳይ የሆነ መስቀለኛ መንገድ አለን.

ለምሳሌ ፣ በመሠረቱ ላይ አንድ ካሬ ካለ ፣ ከዚያ ከመሠረቱ ጋር ትይዩ ያለው ክፍል እንዲሁ ካሬ ይሆናል ፣ ትናንሽ ልኬቶች ብቻ።

በዚህ ሁኔታ ውስጥ ያሉ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ የቁጥሮች ተመሳሳይነት ምልክቶችን እና ባህሪያትን ይጠቀማሉ ፣ በቴሌስ ቲዎሪ ላይ የተመሠረተ. በመጀመሪያ ደረጃ, ተመሳሳይነት ያለው ቅንጅት መወሰን ያስፈልጋል.

አውሮፕላኑ ከመሠረቱ ጋር ትይዩ ከሆነ እና የ polyhedron የላይኛውን ክፍል ከቆረጠ, ከዚያም የታችኛው ክፍል ውስጥ መደበኛ የተቆረጠ ፒራሚድ ይገኛል. ከዚያም የተቆራረጠ የ polyhedron መሠረቶች ተመሳሳይ ፖሊጎኖች ናቸው ይባላል. በዚህ ሁኔታ, የጎን ፊቶች isosceles trapezoid ናቸው. የአክሱም ክፍል ደግሞ isosceles ነው.

የተቆረጠ የ polyhedron ቁመትን ለመወሰን በአክሲየም ክፍል ማለትም በ trapezoid ውስጥ ያለውን ቁመት መሳል ያስፈልጋል.

የወለል ቦታዎች

በትምህርት ቤት ጂኦሜትሪ ኮርስ ውስጥ መፈታት ያለባቸው ዋናዎቹ የጂኦሜትሪክ ችግሮች ናቸው። የፒራሚድ ስፋት እና መጠን ማግኘት.

ሁለት ዓይነት የወለል ስፋት እሴቶች አሉ፡-

የጎን አካላት አካባቢ;
የጠቅላላው ወለል ስፋት።

ከስሙ ራሱ ስለምን እየተነጋገርን እንዳለ ግልጽ ነው። የጎን ገጽታ የጎን ክፍሎችን ብቻ ያካትታል. ከዚህ በመነሳት እሱን ለማግኘት በቀላሉ የጎን አውሮፕላኖችን ቦታዎች ማለትም የ isosceles 3-gons ቦታዎችን መጨመር ያስፈልግዎታል. የጎን አካላት አካባቢ ቀመርን ለማግኘት እንሞክር-

የ isosceles 3-gon ስፋት ከ Str = 1/2 (aL) ጋር እኩል ነው ፣ ሀ የመሠረቱ ጎን ፣ L አፖሆም ነው።
የጎን አውሮፕላኖች ብዛት በመሠረቱ ላይ ባለው የ k-gon አይነት ይወሰናል. ለምሳሌ፣ መደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ አራት የጎን አውሮፕላኖች አሉት። ስለዚህ የአራት አሃዞችን ቦታዎች Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L መጨመር ያስፈልጋል። አገላለጹ በዚህ መንገድ ቀላል ነው ምክንያቱም እሴቱ 4a = Rosn ነው, Rosn የመሠረቱ ፔሪሜትር ነው. እና 1/2 * ሮስን የሚለው አገላለጽ ከፊል ፔሪሜትር ነው።
ስለዚህ ፣ የመደበኛ ፒራሚድ የጎን አካላት ስፋት ከመሠረቱ ከፊል ፔሪሜትር እና ከአፖሆም ምርት ጋር እኩል ነው ብለን መደምደም እንችላለን-Sside = Rosn * L።

የፒራሚዱ አጠቃላይ ስፋት የጎን አውሮፕላኖች እና የመሠረቱ ቦታዎች ድምርን ያካትታል: Sp.p. = Sside + Sbas.

የመሠረቱን ቦታ በተመለከተ ፣ እዚህ ቀመሩ እንደ ፖሊጎን ዓይነት ጥቅም ላይ ይውላል።

የመደበኛ ፒራሚድ መጠንከመሠረቱ አውሮፕላን አካባቢ ምርት ጋር እኩል ነው እና ቁመቱ በሦስት የተከፈለ: V = 1/3 * Sbas * H, H የ polyhedron ቁመት ነው.

በጂኦሜትሪ ውስጥ መደበኛ ፒራሚድ ምንድነው?

የመደበኛ ባለአራት ማዕዘን ፒራሚድ ባህሪዎች

እዚህ ስለ ፒራሚዶች እና ተዛማጅ ቀመሮች እና ፅንሰ ሀሳቦች መሰረታዊ መረጃ ማግኘት ይችላሉ። ሁሉም ለተዋሃደ የስቴት ፈተና ለመዘጋጀት ከሂሳብ አስተማሪ ጋር ይማራሉ.

አውሮፕላንን፣ ባለ ብዙ ጎን አስብ , በውስጡ ውሸት እና አንድ ነጥብ S, በውስጡ ውሸት አይደለም. ኤስን ከሁሉም የፖሊጎን ጫፎች ጋር እናገናኘው። የተገኘው ፖሊሄድሮን ፒራሚድ ይባላል። ክፍሎቹ የጎን የጎድን አጥንት ይባላሉ. ፖሊጎን መሰረቱ ይባላል፣ እና ነጥብ S የፒራሚዱ አናት ነው። በቁጥር n ላይ በመመስረት ፒራሚዱ ሦስት ማዕዘን (n=3)፣ አራት ማዕዘን (n=4)፣ ባለ አምስት ጎን (n=5) ወዘተ ይባላል። የሶስት ማዕዘን ፒራሚድ አማራጭ ስም ነው። tetrahedron. የፒራሚድ ቁመቱ ከመሠረቱ ወደ አውሮፕላን የሚወርድ ቀጥ ያለ ነው.

ከሆነ ፒራሚድ መደበኛ ይባላል መደበኛ ፖሊጎን ፣ እና የፒራሚዱ ከፍታ መሠረት (የቋሚው መሠረት) መሃል ነው።

የአስተማሪ አስተያየት:
የ “መደበኛ ፒራሚድ” እና “የተለመደ ቴትራሄድሮን” ጽንሰ-ሀሳቦችን አያምታቱ። በመደበኛ ፒራሚድ ውስጥ, የጎን ጠርዞቹ የግድ ከመሠረቱ ጠርዞች ጋር እኩል አይደሉም, ነገር ግን በመደበኛ tetrahedron ውስጥ, ሁሉም 6 ጠርዞች እኩል ናቸው. ይህ የእሱ ፍቺ ነው። የእኩልነት ፖሊጎን መሃል ፒ አንድ ላይ እንደሚገኝ ማረጋገጥ ቀላል ነው። ከመሠረታዊ ቁመት ጋር, ስለዚህ መደበኛ ቴትራሄድሮን መደበኛ ፒራሚድ ነው.

አፖተም ምንድን ነው?
የፒራሚድ አፖቴም የጎን ፊት ቁመት ነው። ፒራሚዱ መደበኛ ከሆነ ፣ ከዚያ ሁሉም ጥቅሞቹ እኩል ናቸው። የተገላቢጦሹ እውነት አይደለም።

የሒሳብ አስተማሪ ስለ ቃላቶቹ፡- 80% የሚሆነው ከፒራሚድ ጋር የሚሰራው በሁለት ዓይነት ትሪያንግሎች ነው፡-
1) አፖሆም SK እና ቁመት SP የያዘ
2) የጎን ጠርዝ ኤስኤ እና ትንበያውን PA የያዘ

የእነዚህን ትሪያንግሎች ማጣቀሻዎች ለማቃለል፣የሂሳብ አስተማሪ የመጀመሪያውን ለመጥራት የበለጠ አመቺ ነው። አፖቴማል, እና ሁለተኛ ኮስታራ. እንደ አለመታደል ሆኖ ይህንን የቃላት አነጋገር በየትኛውም የመማሪያ መጽሐፍት ውስጥ አያገኙም እና መምህሩ በአንድ ወገን ማስተዋወቅ አለበት።

የፒራሚድ ጥራዝ ቀመር:
1) ፣ የፒራሚዱ መሠረት አካባቢ የት ነው ፣ እና የፒራሚዱ ቁመት ነው
2) ፣ የተቀረጸው የሉል ራዲየስ የት ነው ፣ እና የፒራሚዱ አጠቃላይ ገጽ ስፋት ነው።
3) ፣ ኤምኤን የማንኛውም ሁለት ማቋረጫ ጠርዞች ርቀት ሲሆን ፣ እና በአራቱ የቀሩት ጠርዞች መካከለኛ ነጥቦች የተፈጠሩት ትይዩዎች አካባቢ ነው።

የፒራሚድ ቁመት መሠረት ንብረት;

ነጥብ P (ሥዕሉን ይመልከቱ) ከሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ ከተሟላ በፒራሚዱ መሠረት ላይ ካለው የተቀረጸው ክበብ መሃል ጋር ይገጣጠማል።
1) ሁሉም ጥቅሶች እኩል ናቸው
2) ሁሉም የጎን ፊቶች ወደ መሰረቱ እኩል ዘንበል ይላሉ
3) ሁሉም አፖተሞች ወደ ፒራሚዱ ቁመት እኩል ያዘነብላሉ
4) የፒራሚዱ ቁመት ወደ ሁሉም የጎን ፊቶች እኩል ነው

የሂሳብ አስተማሪ አስተያየትእባክዎን ያስተውሉ ሁሉም ነጥቦች በአንድ የጋራ ንብረት አንድ ወይም በሌላ መንገድ, የጎን ፊቶች በሁሉም ቦታ ይሳተፋሉ (አፖቴም ንጥረ ነገሮች ናቸው). ስለዚህ ሞግዚቱ ትንሽ ትክክለኛ ፣ ግን ለመማር የበለጠ ምቹ ፣ አጻጻፍ ማቅረብ ይችላል-ነጥብ P ከተቀረጸው ክበብ መሃል ፣ የፒራሚዱ መሠረት ፣ ስለ የጎን ፊቶቹ እኩል መረጃ ካለ። ለማረጋገጥ, ሁሉም የአፖሆም ትሪያንግሎች እኩል መሆናቸውን ማሳየት በቂ ነው.

ነጥብ ፒ ከሦስቱ ሁኔታዎች ውስጥ አንዱ እውነት ከሆነ ከፒራሚዱ ግርጌ አጠገብ ከተከበበው ክበብ መሃል ጋር ይገጣጠማል።
1) ሁሉም የጎን ጠርዞች እኩል ናቸው
2) ሁሉም የጎን የጎድን አጥንቶች ወደ መሠረቱ እኩል ናቸው
3) ሁሉም የጎን የጎድን አጥንቶች ወደ ቁመቱ እኩል ናቸው