የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ተሰጥቷል። የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ እና ልዩ መፍትሄዎችን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል
የትምህርት ይዘትመስመራዊ እኩልታዎች በሁለት ተለዋዋጮች
አንድ የትምህርት ቤት ልጅ በትምህርት ቤት ምሳ ለመብላት 200 ሩብልስ አለው. አንድ ኬክ 25 ሩብልስ ያስከፍላል ፣ እና አንድ ኩባያ ቡና 10 ሩብልስ ያስከፍላል። ለ 200 ሩብልስ ስንት ኬኮች እና ኩባያ ቡና መግዛት ይችላሉ?
የኬክ ብዛትን በ xእና የቡና ስኒዎች ብዛት y. ከዚያም የኬክዎቹ ዋጋ በ 25 አገላለጽ ይገለጻል x, እና በ 10 ውስጥ የቡና ስኒ ዋጋ y .
25x—ዋጋ xኬኮች
10y -ዋጋ yየቡና ስኒዎች
ጠቅላላ መጠን 200 ሩብልስ መሆን አለበት. ከዚያም ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር እኩልታ እናገኛለን xእና y
25x+ 10y= 200
ይህ እኩልታ ስንት ሥሮች አሉት?
ሁሉም በተማሪው የምግብ ፍላጎት ላይ የተመሰረተ ነው. እሱ 6 ኬኮች እና 5 ኩባያ ቡና ከገዛ ፣ ከዚያ የእኩልታው ሥሮች 6 እና 5 ቁጥሮች ይሆናሉ።
የእሴቶቹ ጥንድ 6 እና 5 የእኩል 25 መነሻዎች ናቸው ተብሏል። x+ 10y= 200 . እንደ (6፤ 5) ተጽፎ፣ የመጀመሪያው ቁጥር የተለዋዋጭ እሴት ነው። x, እና ሁለተኛው - የተለዋዋጭ ዋጋ y .
ቀመር 25ን የሚገለብጡት 6 እና 5 ብቻ አይደሉም x+ 10y= 200 ወደ ማንነት. ከተፈለገ ለተመሳሳይ 200 ሩብልስ ተማሪ 4 ኬኮች እና 10 ኩባያ ቡና መግዛት ይችላል-
በዚህ ሁኔታ ፣ የእኩልታ 25 ሥረ-ሥሮች x+ 10y= 200 ጥንድ እሴት ነው (4; 10)።
ከዚህም በላይ አንድ የትምህርት ቤት ልጅ ቡና በጭራሽ አይገዛም, ነገር ግን ለጠቅላላው 200 ሬብሎች ኬኮች ይግዙ. ከዚያም የእኩልታ ሥሮች 25 x+ 10y= 200 እሴቶቹ 8 እና 0 ይሆናሉ
ወይም በተቃራኒው ኬኮች አይግዙ, ነገር ግን ለጠቅላላው 200 ሬብሎች ቡና ይግዙ. ከዚያም የእኩልታ ሥሮች 25 x+ 10y= 200 እሴቶቹ 0 እና 20 ይሆናሉ
ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ የእኩልታ 25 ስር ለመዘርዘር እንሞክር x+ 10y= 200 . እሴቶቹን እንስማማ xእና yየኢንቲጀር ስብስብ አባል ነው። እና እነዚህ እሴቶች ከዜሮ የሚበልጡ ወይም እኩል ይሁኑ፡
x∈ዜድ፣ y∈ Z;
x ≥ 0፣ y ≥ 0
ይህ ለተማሪው ራሱ ምቹ ይሆናል. ሙሉ ኬኮች መግዛት የበለጠ አመቺ ነው, ለምሳሌ, ከበርካታ ሙሉ ኬኮች እና ግማሽ ኬክ. እንዲሁም ቡናን በሙሉ ኩባያዎች ለምሳሌ ከበርካታ ሙሉ ስኒዎች እና ግማሽ ኩባያ ይልቅ መውሰድ የበለጠ አመቺ ነው.
ለአስደናቂ ሁኔታ ልብ ይበሉ xበማንኛውም ሁኔታ እኩልነትን ማግኘት አይቻልም y. ከዚያም እሴቶቹ xየሚከተሉት ቁጥሮች 0, 2, 4, 6, 8 ይሆናሉ. እና ማወቅ xበቀላሉ መወሰን ይቻላል y
ስለዚህ, የሚከተሉትን ጥንድ እሴቶች ተቀብለናል (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). እነዚህ ጥንዶች የቀመር 25 መፍትሄዎች ወይም ሥሮች ናቸው። x+ 10y= 200. ይህን እኩልታ ወደ ማንነት ቀየሩት።
የቅጹ እኩልነት መጥረቢያ + በ = ሐተብሎ ይጠራል መስመራዊ እኩልታ ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር. የዚህ እኩልታ መፍትሄ ወይም ሥሮች ጥንድ እሴቶች ናቸው ( x; y) ወደ ማንነት ይለውጠዋል።
እንዲሁም ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት መስመራዊ እኩልታ በቅጹ ውስጥ ከተጻፈ ልብ ይበሉ መጥረቢያ + b y = c,ከዚያም ተጽፏል ይላሉ ቀኖናዊ(መደበኛ) ቅጽ.
በሁለት ተለዋዋጮች ውስጥ ያሉ አንዳንድ መስመራዊ እኩልታዎች ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ ሊቀነሱ ይችላሉ።
ለምሳሌ, እኩልታ 2(16x+ 3y - 4) = 2(12 + 8x − y) ወደ አእምሮ ሊመጣ ይችላል መጥረቢያ + በ = ሐ. በዚህ እኩልታ በሁለቱም በኩል ያሉትን ቅንፎች እንክፈትና እንይ 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . በግራ በኩል ያልታወቁ ቃላትን እና ከማይታወቁ የፀዱ - በቀኝ በኩል ያሉትን ቃላት እንመድባለን። ከዚያም እናገኛለን 32x- 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . በሁለቱም በኩል ተመሳሳይ ቃላትን እናቀርባለን, እኩልታ 16 እናገኛለን x+ 8y= 32. ይህ እኩልነት ወደ ቅጹ ይቀንሳል መጥረቢያ + በ = ሐእና ቀኖናዊ ነው.
ቀመር 25 ቀደም ሲል ተብራርቷል x+ 10y= 200 ደግሞ በቀኖናዊ መልክ ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት ቀጥተኛ እኩልታ ነው። በዚህ ስሌት ውስጥ መለኪያዎች ሀ , ለእና ሐከዋጋዎቹ 25, 10 እና 200 ጋር እኩል ናቸው.
በእውነቱ እኩልታው መጥረቢያ + በ = ሐስፍር ቁጥር የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት። እኩልታውን መፍታት 25x+ 10y= 200, ሥሩን የፈለግነው በኢንቲጀር ስብስብ ላይ ብቻ ነው። በውጤቱም ፣ ይህንን እኩልነት ወደ ማንነት የሚቀይሩ በርካታ ጥንድ እሴቶችን አግኝተናል። ነገር ግን በምክንያታዊ ቁጥሮች ስብስብ ላይ፣ ቀመር 25 x+ 10y= 200 ማለቂያ የሌለው ብዙ መፍትሄዎች ይኖረዋል።
አዲስ ጥንድ እሴቶችን ለማግኘት የዘፈቀደ እሴት መውሰድ ያስፈልግዎታል x, ከዚያም ይግለጹ y. ለምሳሌ, ለተለዋዋጭ እንውሰድ xእሴት 7. ከዚያም ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩልታ እናገኛለን 25×7 + 10y= 200 አንድ ሰው መግለጽ የሚችልበት y
ፍቀድ x= 15. ከዚያም እኩልታው 25x+ 10y= 200 25 × 15 ይሆናል። + 10y= 200. ከዚህ እናገኛለን y = −17,5
ፍቀድ x= -3 ከዚያም እኩልታው 25x+ 10y= 200 25 × (-3) ይሆናል + 10y= 200. ከዚህ እናገኛለን y = −27,5
የሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር
ለእኩልነት መጥረቢያ + በ = ሐየፈለጉትን ያህል ጊዜ የዘፈቀደ እሴቶችን መውሰድ ይችላሉ። xእና ዋጋዎችን ያግኙ y. በተናጠል ከተወሰደ, እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ ስፍር ቁጥር የሌላቸው መፍትሄዎች ይኖረዋል.
ግን ተለዋዋጮችም እንዲሁ ይከሰታል xእና yበአንድ ሳይሆን በሁለት እኩልታዎች የተገናኘ። በዚህ ሁኔታ ውስጥ የሚባሉትን ይመሰርታሉ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት በሁለት ተለዋዋጮች. እንዲህ ዓይነቱ የእኩልታዎች ስርዓት አንድ ጥንድ እሴት (ወይም በሌላ አነጋገር "አንድ መፍትሄ") ሊኖረው ይችላል.
እንዲሁም ስርዓቱ ምንም አይነት መፍትሄዎች ሳይኖረው ሲቀር ሊከሰት ይችላል. የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አልፎ አልፎ እና ልዩ በሆኑ ጉዳዮች ላይ ስፍር ቁጥር የሌላቸው መፍትሄዎች ሊኖሩት ይችላል።
ሁለት መስመራዊ እኩልታዎች እሴቶቹ ሲሆኑ ስርዓት ይመሰርታሉ xእና yወደ እያንዳንዳቸው እኩልታዎች አስገባ.
ወደ መጀመሪያው እኩልታ 25 እንመለስ x+ 10y= 200 . ለዚህ እኩልታ ከነበሩት ጥንዶች መካከል አንዱ ጥንድ (6፤ 5) ነበር። ይህ ሁኔታ በ 200 ሩብልስ 6 ኬኮች እና 5 ኩባያ ቡና መግዛት ይችላሉ.
ጥንዶቹ (6፤ 5) ለእኩል 25 ብቸኛው መፍትሄ እንዲሆኑ ችግሩን እንፍጠር። x+ 10y= 200 . ይህንን ለማድረግ, ተመሳሳይ የሚያገናኝ ሌላ እኩልታ እንፍጠር xኬኮች እና yየቡና ስኒዎች.
የችግሩን ጽሑፍ እንደሚከተለው እንግለጽ።
“ተማሪው በ200 ሩብል ብዙ ኬኮች እና በርካታ ኩባያ ቡና ገዛ። አንድ ኬክ 25 ሩብልስ ያስከፍላል ፣ እና አንድ ኩባያ ቡና 10 ሩብልስ ያስከፍላል። የቂጣው ብዛት ከቡና ብዛት አንድ አሃድ እንደሚበልጥ ከታወቀ ተማሪው ስንት ኬኮች እና ስኒ ቡና ገዛ?
አስቀድመን የመጀመሪያው እኩልታ አለን. ይህ ቀመር 25 ነው። x+ 10y= 200 . አሁን ለሁኔታው እኩልነት እንፍጠር "የኬክ ብዛት ከቡና ኩባያ ብዛት አንድ አሃድ ይበልጣል" .
የኬክ ብዛት ነው x, እና የቡና ስኒዎች ቁጥር ነው y. ይህንን ሐረግ ቀመር በመጠቀም መጻፍ ይችላሉ። x-y= 1. ይህ እኩልታ በኬኮች እና በቡና መካከል ያለው ልዩነት 1 ነው ማለት ነው.
x = y+ 1 . ይህ እኩልነት ማለት የኬኮች ብዛት ከቡና ስኒዎች ቁጥር አንድ ይበልጣል ማለት ነው. ስለዚህ እኩልነትን ለማግኘት አንድ ሰው ወደ ቡና ስኒዎች ቁጥር ይጨመራል. በጣም ቀላል የሆኑትን ችግሮች ስናጠና ግምት ውስጥ የገባነውን የመለኪያ ሞዴል ከተጠቀምን በቀላሉ መረዳት ይቻላል፡-
ሁለት እኩልታዎች አግኝተናል፡ 25 x+ 10y= 200 እና x = y+ 1. እሴቶቹን ጀምሮ xእና y 6 እና 5 በእያንዳንዳቸው በእነዚህ እኩልታዎች ውስጥ ተካትተዋል፣ ከዚያም አንድ ላይ ሆነው ስርዓት ይመሰርታሉ። ይህን ስርዓት እንፃፍ። እኩልታዎቹ ስርዓትን ከፈጠሩ, ከዚያም በስርዓት ምልክት ተቀርፀዋል. የስርዓት ምልክቱ የተጠማዘዘ ቅንፍ ነው፡-
ይህንን ሥርዓት እንፍታው። ይህ በ 6 እና 5 እሴቶች ላይ እንዴት እንደደረስን ለማየት ያስችለናል. እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ለመፍታት ብዙ ዘዴዎች አሉ. ከእነዚህ ውስጥ በጣም ተወዳጅ የሆኑትን እንመልከት.
የመተካት ዘዴ
የዚህ ዘዴ ስም ለራሱ ይናገራል. ዋናው ነገር ከተለዋዋጮች ውስጥ አንዱን ቀደም ብሎ በመግለጽ አንድ እኩልታ ወደ ሌላ መተካት ነው።
በእኛ ስርዓት ውስጥ ምንም ነገር መገለጽ አያስፈልግም. በሁለተኛው እኩልታ x = y+ 1 ተለዋዋጭ xአስቀድሞ ተገልጿል. ይህ ተለዋዋጭ ከመግለጫው ጋር እኩል ነው y+ 1 . ከዚያ ይህንን አገላለጽ ከተለዋዋጭ ይልቅ ወደ መጀመሪያው እኩልታ መተካት ይችላሉ። x
መግለጫውን ከተተካ በኋላ y+ 1 በምትኩ ወደ መጀመሪያው እኩልታ x, እኩልታውን እናገኛለን 25(y+ 1) + 10y= 200 . ይህ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ቀጥተኛ እኩልታ ነው። ይህንን እኩልነት ለመፍታት በጣም ቀላል ነው-
የተለዋዋጭውን ዋጋ አግኝተናል y. አሁን ይህንን እሴት ወደ አንድ እኩልታዎች እንተካው እና እሴቱን እንፈልግ x. ለዚህም ሁለተኛውን እኩልታ ለመጠቀም ምቹ ነው x = y+ 1 . እሴቱን በእሱ ውስጥ እንተካው y
ይህ ማለት ጥንዶች (6; 5) እኛ እንዳሰብነው የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ነው. እኛ እንፈትሻለን እና ጥንዶቹ (6; 5) ስርዓቱን የሚያረካ መሆኑን እናረጋግጣለን።
ምሳሌ 2
የመጀመሪያውን እኩልታ እንተካው። x= 2 + yወደ ሁለተኛው እኩልታ 3 x- 2y= 9. በመጀመሪያው እኩልታ ተለዋዋጭ xከ 2 + አገላለጽ ጋር እኩል ነው። y. ይህን አገላለጽ ወደ ሁለተኛው እኩልነት በምትኩ እንተካው። x
አሁን ዋጋውን እንፈልግ x. ይህንን ለማድረግ, እሴቱን እንተካው yወደ መጀመሪያው እኩልታ x= 2 + y
ይህ ማለት የስርዓቱ መፍትሄ ጥንድ እሴት ነው (5; 3)
ምሳሌ 3. የመተካት ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ።
እዚህ, ከቀደምት ምሳሌዎች በተለየ, ከተለዋዋጮች ውስጥ አንዱ በግልጽ አልተገለጸም.
አንድ እኩልታ ወደ ሌላ ለመተካት መጀመሪያ ያስፈልግዎታል።
የአንዱ ኮፊሸን ያለውን ተለዋዋጭ መግለጽ ተገቢ ነው። ተለዋዋጭው የአንዱ ቅንጅት አለው። x, እሱም በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ይገኛል x+ 2y= 11. ይህንን ተለዋዋጭ እንግለጽ.
ከተለዋዋጭ አገላለጽ በኋላ xስርዓታችን በሚከተለው መልክ ይኖረዋል።
አሁን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ሁለተኛው እንተካው እና እሴቱን እንፈልግ y
እንተኩ y x
ይህ ማለት የስርዓቱ መፍትሄ ጥንድ እሴት ነው (3; 4)
እርግጥ ነው, ተለዋዋጭ መግለጽም ይችላሉ y. ይህ ሥሮቹን አይለውጥም. ከገለጽክ ግን yውጤቱ በጣም ቀላል አይደለም, ይህም ለመፍታት ተጨማሪ ጊዜ ይወስዳል. ይህን ይመስላል።
በዚህ ምሳሌ ውስጥ እንደገለጽነው እናያለን xከመግለጽ የበለጠ ምቹ y .
ምሳሌ 4. የመተካት ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ።
በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ እንግለጽ x. ከዚያ ስርዓቱ ቅጹን ይወስዳል-
y
እንተኩ yወደ መጀመሪያው እኩልታ እና አግኝ x. የመጀመሪያውን ቀመር 7 መጠቀም ይችላሉ። x+ 9y= 8, ወይም ተለዋዋጭው የሚገለጽበትን ቀመር ይጠቀሙ x. አመቺ ስለሆነ ይህን እኩልታ እንጠቀማለን፡-
ይህ ማለት የስርዓቱ መፍትሄ ጥንድ እሴት ነው (5; -3)
የመደመር ዘዴ
የመደመር ዘዴው በስርአቱ ውስጥ የተካተቱትን እኩልታዎች በጊዜ ቃል መጨመርን ያካትታል። ይህ መደመር ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር አዲስ እኩልታ ያመጣል. እና እንዲህ ዓይነቱን እኩልታ መፍታት በጣም ቀላል ነው።
የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት እንፍታ።
የመጀመሪያውን እኩልታ በግራ በኩል ከሁለተኛው እኩልዮሽ በግራ በኩል እንጨምር. እና የመጀመሪያው እኩልታ በቀኝ በኩል ከሁለተኛው እኩልዮሽ በቀኝ በኩል. የሚከተለውን እኩልነት እናገኛለን:
ተመሳሳይ ቃላትን እንመልከት፡-
በውጤቱም, ቀላሉን እኩልታ 3 አግኝተናል x= 27 ሥሩ 9. ዋጋውን ማወቅ xዋጋውን ማግኘት ይችላሉ y. እሴቱን እንተካው። xወደ ሁለተኛው እኩልታ x-y= 3. 9 እናገኛለን y= 3. ከዚህ y= 6 .
ይህ ማለት የስርዓቱ መፍትሄ ጥንድ እሴት ነው (9; 6)
ምሳሌ 2
የመጀመሪያውን እኩልታ በግራ በኩል ከሁለተኛው እኩልዮሽ በግራ በኩል እንጨምር. እና የመጀመሪያው እኩልታ በቀኝ በኩል ከሁለተኛው እኩልዮሽ በቀኝ በኩል. በውጤቱ እኩልነት ውስጥ ተመሳሳይ ቃላትን እናቀርባለን-
በውጤቱም, ቀላሉን እኩልታ 5 አግኝተናል x= 20, ሥሩ ነው 4. ዋጋውን ማወቅ xዋጋውን ማግኘት ይችላሉ y. እሴቱን እንተካው። xወደ መጀመሪያው እኩልታ 2 x+y= 11. 8+ እናገኝ y= 11. ከዚህ y= 3 .
ይህ ማለት የስርዓቱ መፍትሄ ጥንድ እሴት ነው (4; 3)
የመደመር ሂደቱ በዝርዝር አልተገለጸም. በአእምሮ መሠራት አለበት። ሲጨመሩ ሁለቱም እኩልታዎች ወደ ቀኖናዊ ቅርጽ መቀነስ አለባቸው. በነገራችን ላይ ማለት ነው። ac + በ = ሐ .
ከተጠቀሱት ምሳሌዎች ውስጥ, እኩልታዎችን የመጨመር ዋና ዓላማ ከተለዋዋጮች ውስጥ አንዱን ማስወገድ እንደሆነ ግልጽ ነው. ነገር ግን የመደመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት ወዲያውኑ መፍታት ሁልጊዜ አይቻልም። ብዙውን ጊዜ, ስርዓቱ በመጀመሪያ በዚህ ስርዓት ውስጥ የተካተቱትን እኩልታዎች መጨመር ወደ ሚችልበት ቅፅ ይቀርባል.
ለምሳሌ, ስርዓቱ 
በመደመር ወዲያውኑ ሊፈታ ይችላል. ሁለቱንም እኩልታዎች ሲያክሉ፣ ውሎች yእና -yድምራቸው ዜሮ ስለሆነ ይጠፋል። በውጤቱም, ቀላሉ ቀመር 11 ተመስርቷል x= 22, ሥሩ 2. ከዚያ በኋላ መወሰን ይቻላል yከ 5 ጋር እኩል ነው.
እና የእኩልታዎች ስርዓት 
የመደመር ዘዴ ወዲያውኑ ሊፈታ አይችልም, ምክንያቱም ይህ ከተለዋዋጮች ውስጥ አንዱን ወደ መጥፋት አይመራም. መደመር ወደ 8 እኩልነት ያመጣል x+ y= 28, ይህም ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ቁጥር አለው.
የእኩልታው ሁለቱም ወገኖች ከተባዙ ወይም ከተከፋፈሉ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆኑ፣ ከተሰጠው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ ያገኛሉ። ይህ ህግ ሁለት ተለዋዋጮች ላሉት የመስመር እኩልታዎች ስርዓትም እውነት ነው። ከሁለቱ እኩልታዎች (ወይም ሁለቱም እኩልታዎች) አንዱ በማንኛውም ቁጥር ሊባዛ ይችላል። ውጤቱም ተመጣጣኝ ስርዓት ይሆናል, ሥሮቹ ከቀዳሚው ጋር ይጣጣማሉ.
አንድ የትምህርት ቤት ልጅ ምን ያህል ኬኮች እና ኩባያ ቡና እንደገዛ ወደ ገለጸው ወደ መጀመሪያው ሥርዓት እንመለስ። የዚህ ሥርዓት መፍትሔ ጥንድ እሴቶች (6; 5) ነበር.
በዚህ ስርዓት ውስጥ የተካተቱትን ሁለቱንም እኩልታዎች በተወሰኑ ቁጥሮች እናባዛለን። የመጀመሪያውን እኩልታ በ 2 ፣ ሁለተኛውን በ 3 እናባዛለን እንበል
በውጤቱም, ስርዓት አግኝተናል 
የዚህ ሥርዓት መፍትሔ አሁንም ጥንድ እሴት ነው (6; 5)
ይህ ማለት በሲስተሙ ውስጥ የተካተቱትን እኩልታዎች የመደመር ዘዴን ለመተግበር ተስማሚ ወደሆነ ቅፅ መቀነስ ይቻላል.
ወደ ስርዓቱ እንመለስ የመደመር ዘዴን ተጠቅመን መፍታት ያልቻልነው።
የመጀመሪያውን እኩልታ በ 6, እና ሁለተኛው በ -2 ማባዛት
ከዚያ የሚከተለውን ስርዓት እናገኛለን:
በዚህ ስርዓት ውስጥ የተካተቱትን እኩልታዎች እንጨምር። አካላት መጨመር 12 xእና -12 x 0 ፣ መደመር 18 ያስከትላል yእና 4 y 22 ይሰጣል y, እና 108 እና -20 መጨመር 88 ይሰጣል. ከዚያም እኩልታ 22 እናገኛለን y= 88፣ ከዚህ y = 4 .
በመጀመሪያ በጭንቅላቱ ውስጥ እኩልታዎችን ማከል ከባድ ከሆነ ፣ ከዚያ በግራ በኩል በግራ በኩል በግራ በኩል በግራ በኩል እንዴት እንደሚጨምር መፃፍ ይችላሉ ፣ እና የቀኝ ጎን ከቀኝ በኩል ሁለተኛ እኩልታ፡-
የተለዋዋጭ ዋጋ መሆኑን ማወቅ yእኩል 4, ዋጋውን ማግኘት ይችላሉ x. እንተኩ yወደ አንዱ እኩልታዎች ለምሳሌ ወደ መጀመሪያው እኩልታ 2 x+ 3y= 18. ከዚያም ከአንድ ተለዋዋጭ 2 ጋር እኩልታ እናገኛለን x+ 12 = 18 ምልክቱን በመቀየር 12 ን ወደ ቀኝ በኩል እናንቀሳቅስ, 2 እናገኛለን x= 6, ከዚህ x = 3 .
ምሳሌ 4. የመደመር ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ።
ሁለተኛውን እኩልታ በ-1 እናባዛው። ከዚያም ስርዓቱ የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል:
ሁለቱንም እኩልታዎች እንጨምር። ክፍሎችን መጨመር xእና -x 0 ፣ መደመር 5 ያስከትላል yእና 3 yይሰጣል 8 y, እና 7 እና 1 መጨመር 8 ይሰጣል. ውጤቱም እኩልታ 8 ነው y= 8 የማን ስር ነው 1. እሴቱን ማወቅ yእኩል 1, እሴቱን ማግኘት ይችላሉ x .
እንተኩ yወደ መጀመሪያው እኩልታ እንገባለን x+ 5 = 7፣ ስለዚህ x= 2
ምሳሌ 5. የመደመር ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ።
ተመሳሳይ ተለዋዋጮችን የያዙ ቃላቶች አንዱ ከሌላው በታች እንዲቀመጡ ተፈላጊ ነው። ስለዚህ, በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ ቃላቶቹ 5 yእና -2 xቦታዎችን እንለዋወጥ። በዚህ ምክንያት ስርዓቱ የሚከተለውን ቅጽ ይይዛል-
ሁለተኛውን እኩልታ በ 3 እናባዛው. ከዚያም ስርዓቱ ቅጹን ይወስዳል:
አሁን ሁለቱንም እኩልታዎች እንጨምር። በመደመር ምክንያት ቀመር 8 አግኝተናል y= 16፣ ሥሩ 2 ነው።
እንተኩ yወደ መጀመሪያው እኩልታ 6 እናገኛለን x- 14 = 40 ምልክቱን በመቀየር -14 የሚለውን ቃል ወደ ቀኝ በኩል እናንቀሳቅስ እና 6ን እናገኝ x= 54 . ከዚህ x= 9.
ምሳሌ 6. የመደመር ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ።
ክፍልፋዮችን እናስወግድ። የመጀመሪያውን እኩልታ በ 36 ፣ እና ሁለተኛው በ 12 ማባዛት።
በተፈጠረው ስርዓት ውስጥ 
የመጀመሪያው እኩልታ በ -5 ፣ እና ሁለተኛው በ 8 ሊባዛ ይችላል።
በውጤቱ ስርዓት ውስጥ ያሉትን እኩልታዎች እንጨምር። ከዚያም ቀላሉን እኩልታ -13 እናገኛለን y= -156 . ከዚህ y= 12. እንተኩ yወደ መጀመሪያው እኩልታ እና አግኝ x
ምሳሌ 7. የመደመር ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ።
ሁለቱንም እኩልታዎች ወደ መደበኛ ቅርፅ እናምጣ። እዚህ በሁለቱም እኩልታዎች ውስጥ የተመጣጠነ ህግን ለመተግበር ምቹ ነው. በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ የቀኝ ጎን እንደ ፣ እና የሁለተኛው እኩልታ ቀኝ እንደ ከሆነ ፣ ስርዓቱ ቅጹን ይወስዳል።
መጠን አለን። ጽንፈኛ እና መካከለኛ ቃላትን እናብዛ። ከዚያ ስርዓቱ ቅጹን ይወስዳል-
የመጀመሪያውን እኩልታ በ -3 እናባዛው እና ቅንፍዎቹን በሁለተኛው ውስጥ እንከፍተው፡
አሁን ሁለቱንም እኩልታዎች እንጨምር። እነዚህን እኩልታዎች በማከል ምክንያት፣ በሁለቱም በኩል ከዜሮ ጋር እኩልነት እናገኛለን፡-
ስርዓቱ ስፍር ቁጥር የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት።
እኛ ግን የዘፈቀደ እሴቶችን ከሰማይ ብቻ መውሰድ አንችልም። xእና y. ከዋጋዎቹ ውስጥ አንዱን ልንገልጽ እንችላለን, ሌላኛው ደግሞ እኛ በገለጽነው ዋጋ ይወሰናል. ለምሳሌ, እናድርግ x= 2 . ይህንን እሴት ወደ ስርዓቱ እንተካው፡-
ከአንዱ እኩልታዎች በመፍታት የተነሳ ዋጋው ለ yሁለቱንም እኩልታዎች የሚያረካ፡-
የተገኙት ጥንድ እሴቶች (2; -2) ስርዓቱን ያሟላሉ-
ሌላ ጥንድ እሴቶችን እንፈልግ። ፍቀድ x= 4. ይህንን እሴት ወደ ስርዓቱ እንተካው፡-
ዋጋውን በአይን ማወቅ ይችላሉ yከዜሮ ጋር እኩል ነው። ከዚያ ስርዓታችንን የሚያረካ ጥንድ እሴቶችን (4; 0) እናገኛለን
ምሳሌ 8. የመደመር ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ።
የመጀመሪያውን እኩልታ በ 6 እና ሁለተኛውን በ 12 ማባዛት።
የተረፈውን እንደገና እንፃፍ፡-
የመጀመሪያውን እኩልታ በ -1 እናባዛው. ከዚያ ስርዓቱ ቅጹን ይወስዳል-
አሁን ሁለቱንም እኩልታዎች እንጨምር። በመደመር ምክንያት, ቀመር 6 ይመሰረታል ለ= 48, ሥሩ 8. ምትክ ነው ለወደ መጀመሪያው እኩልታ እና አግኝ ሀ
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ከሶስት ተለዋዋጮች ጋር
ከሶስት ተለዋዋጮች ጋር ያለው መስመራዊ እኩልታ ሶስት ተለዋዋጮችን ከቁጥሮች ጋር እና እንዲሁም የመጥለፍ ቃል ያካትታል። በቀኖናዊ መልክ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.
መጥረቢያ + በ + cz = መ
ይህ ስሌት ስፍር ቁጥር የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት። ለሁለት ተለዋዋጮች የተለያዩ እሴቶችን በመስጠት, ሶስተኛው እሴት ሊገኝ ይችላል. በዚህ ጉዳይ ላይ ያለው መፍትሔ ሶስት እጥፍ እሴት ነው ( x; y; ዝ) ቀመርን ወደ ማንነት የሚቀይር።
ተለዋዋጮች ከሆነ x, y, zበሶስት እኩልታዎች እርስ በርስ የተያያዙ ናቸው, ከዚያም የሶስት ቀጥተኛ እኩልታዎች ስርዓት ከሶስት ተለዋዋጮች ጋር ይመሰረታል. እንዲህ ዓይነቱን ሥርዓት ለመፍታት ከሁለት ተለዋዋጮች ጋር በመስመራዊ እኩልታዎች ላይ የሚተገበሩ ተመሳሳይ ዘዴዎችን መጠቀም ይችላሉ-የመተካት ዘዴ እና የመደመር ዘዴ።
ምሳሌ 1. የመተካት ዘዴን በመጠቀም የሚከተለውን የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ።
በሶስተኛው እኩልነት እንግለጽ x. ከዚያ ስርዓቱ ቅጹን ይወስዳል-
አሁን መተኪያውን እናድርገው. ተለዋዋጭ xከመግለጫው ጋር እኩል ነው 3 − 2y − 2ዝ . ይህንን አገላለጽ ወደ መጀመሪያው እና ሁለተኛ እኩልታዎች እንተካው፡-
ቅንፎችን በሁለቱም እኩልታዎች እንክፈትና ተመሳሳይ ቃላትን እናቅርብ፡-
ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ላይ ደርሰናል። በዚህ ሁኔታ የመደመር ዘዴን ለመጠቀም ምቹ ነው. በውጤቱም, ተለዋዋጭ yይጠፋል እና የተለዋዋጭውን ዋጋ ማግኘት እንችላለን ዝ
አሁን ዋጋውን እንፈልግ y. ይህንን ለማድረግ, ቀመርን ለመጠቀም ምቹ ነው - y+ ዝ= 4. እሴቱን በእሱ ውስጥ ይተኩ ዝ
አሁን ዋጋውን እንፈልግ x. ይህንን ለማድረግ, እኩልታውን ለመጠቀም ምቹ ነው x= 3 − 2y − 2ዝ . እሴቶቹን በእሱ ውስጥ እንተካላቸው yእና ዝ
ስለዚህ የሶስትዮሽ እሴት (3; -2; 2) ለስርዓታችን መፍትሄ ነው. በማጣራት እነዚህ እሴቶች ስርዓቱን እንደሚያረኩ እናረጋግጣለን።
ምሳሌ 2. የመደመር ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ
የመጀመሪያውን እኩልታ በ -2 ተባዝተን ከሁለተኛው ጋር እንጨምር።
ሁለተኛው እኩልታ በ -2 ከተባዛ, ቅጹን ይወስዳል −6x+ 6y - 4ዝ = −4 . አሁን ወደ መጀመሪያው እኩልታ እንጨምር፡-
በአንደኛ ደረጃ ትራንስፎርሜሽን ምክንያት የተለዋዋጭ እሴት ተወስኗል x. ከአንዱ ጋር እኩል ነው።
ወደ ዋናው ሥርዓት እንመለስ። ሁለተኛውን እኩልታ ከሦስተኛው ጋር እንጨምር፣ በ -1 ተባዝቷል። ሶስተኛው እኩልታ በ -1 ከተባዛ, ቅጹን ይወስዳል −4x + 5y − 2ዝ = −1 . አሁን ወደ ሁለተኛው እኩልታ እንጨምር፡-
እኩልታውን አግኝተናል x- 2y= -1. እሴቱን በእሱ ውስጥ እንተካው። xቀደም ብለን ያገኘነው. ከዚያም ዋጋውን መወሰን እንችላለን y
አሁን ትርጉሞቹን አውቀናል xእና y. ይህ ዋጋውን ለመወሰን ያስችልዎታል ዝ. በስርዓቱ ውስጥ ከተካተቱት እኩልታዎች አንዱን እንጠቀም፡-
ስለዚህ የሶስትዮሽ እሴት (1; 1; 1) የስርዓታችን መፍትሄ ነው። በማጣራት እነዚህ እሴቶች ስርዓቱን እንደሚያረኩ እናረጋግጣለን።
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን በማቀናበር ላይ ችግሮች
የእኩልታዎች ስርዓቶችን የማጠናቀር ተግባር ብዙ ተለዋዋጮችን በማስገባት ይፈታል። በመቀጠል, በችግሩ ሁኔታዎች ላይ ተመስርተው እኩልታዎች ይሰበሰባሉ. ከተሰበሰቡት እኩልታዎች ስርዓት ፈጥረው ይፈታሉ. ስርዓቱን ከፈታ በኋላ, መፍትሄው የችግሩን ሁኔታዎች የሚያረካ መሆኑን ማረጋገጥ አስፈላጊ ነው.
ችግር 1. አንድ የቮልጋ መኪና ከከተማ ወጥቶ ወደ የጋራ እርሻው ሄደ። ከመጀመሪያው 5 ኪሜ ባጠረው በሌላ መንገድ ተመለሰች። በአጠቃላይ መኪናው 35 ኪሎ ሜትር ተጉዟል. የእያንዳንዱ መንገድ ርዝመት ስንት ኪሎ ሜትር ነው?
መፍትሄ
ፍቀድ x—የመጀመሪያው መንገድ ርዝመት, y- የሁለተኛው ርዝመት. መኪናው 35 ኪሎ ሜትር የክብ ጉዞ ከተጓዘ, የመጀመሪያው እኩልታ እንደ ሊጻፍ ይችላል x+ y= 35. ይህ እኩልታ የሁለቱም መንገዶች ርዝመት ድምርን ይገልጻል።
መኪናው የተመለሰው ከመጀመሪያው 5 ኪሎ ሜትር ባነሰ መንገድ ነው ተብሏል። ከዚያም ሁለተኛው እኩልታ እንደ ሊጻፍ ይችላል x− y= 5. ይህ እኩልታ የሚያሳየው በመንገዱ ርዝመት መካከል ያለው ልዩነት 5 ኪ.ሜ ነው.
ወይም ሁለተኛው እኩልታ እንደ ሊጻፍ ይችላል x= y+ 5 ይህንን እኩልነት እንጠቀማለን.
ምክንያቱም ተለዋዋጮች xእና yበሁለቱም እኩልታዎች ውስጥ አንድ አይነት ቁጥር ያመለክታሉ ፣ ከዚያ እኛ ከእነሱ ስርዓት መፍጠር እንችላለን-
ቀደም ሲል የተጠኑ አንዳንድ ዘዴዎችን በመጠቀም ይህንን ስርዓት እንፍታ. በዚህ ሁኔታ, በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ ተለዋዋጭ ስለሆነ የመተኪያ ዘዴን ለመጠቀም ምቹ ነው xአስቀድሞ ተገልጿል.
ሁለተኛውን እኩልታ ወደ መጀመሪያው ይለውጡ እና ይፈልጉ y
የተገኘውን እሴት እንተካ yበሁለተኛው እኩልታ x= y+ 5 እናገኛለን። x
የመጀመሪያው መንገድ ርዝመት በተለዋዋጭ በኩል ተወስኗል x. አሁን ትርጉሙን አግኝተናል። ተለዋዋጭ xእኩል ነው 20. ይህ ማለት የመጀመሪያው መንገድ ርዝመት 20 ኪ.ሜ ነው.
እና የሁለተኛው መንገድ ርዝመት በ y. የዚህ ተለዋዋጭ ዋጋ 15. ይህ ማለት የሁለተኛው መንገድ ርዝመት 15 ኪ.ሜ ነው.
እንፈትሽ። በመጀመሪያ ፣ ስርዓቱ በትክክል መፈታቱን እናረጋግጥ-
አሁን መፍትሄው (20; 15) የችግሩን ሁኔታዎች ያሟላ እንደሆነ እንፈትሽ.
መኪናው በድምሩ 35 ኪሎ ሜትር ተጉዟል ተብሏል። የሁለቱም መንገዶችን ርዝመት እንጨምራለን እና መፍትሄው (20; 15) ይህንን ሁኔታ ማሟላቱን እናረጋግጣለን። 20 ኪሜ + 15 ኪሜ = 35 ኪ.ሜ
የሚከተለው ሁኔታ: መኪናው ከመጀመሪያው 5 ኪሜ ያነሰ በሆነው በሌላ መንገድ ተመለሰ . 15 ኪሜ ከ20 ኪሜ በ5 ኪሜ አጭር ስለሆነ መፍትሄ (20፤ 15) ይህንን ሁኔታም እንደሚያረካ አይተናል። 20 ኪ.ሜ - 15 ኪ.ሜ = 5 ኪ.ሜ
ስርዓትን በሚፈጥሩበት ጊዜ ተለዋዋጮች በዚህ ስርዓት ውስጥ በተካተቱት ሁሉም እኩልታዎች ውስጥ ተመሳሳይ ቁጥሮችን መወከላቸው አስፈላጊ ነው.
ስለዚህ የእኛ ስርዓት ሁለት እኩልታዎችን ይዟል. እነዚህ እኩልታዎች በተራው ተለዋዋጮችን ይይዛሉ xእና y, በሁለቱም እኩልታዎች ውስጥ ተመሳሳይ ቁጥሮችን ማለትም የመንገድ ርዝመቶች 20 ኪ.ሜ እና 15 ኪ.ሜ.
ችግር 2. የኦክ እና የጥድ መተኛት በመድረኩ ላይ ተጭነዋል፣ በአጠቃላይ 300 ተኛ። ሁሉም የኦክ ተኝተው የነበሩ ሰዎች ከጥድ እንቅልፋዮች 1 ቶን ያነሰ ክብደት እንደነበራቸው ይታወቃል። ምን ያህል የኦክ እና የጥድ ተኝተው እንደነበሩ ይወስኑ ፣ እያንዳንዱ የኦክ እንቅልፍ 46 ኪ.ግ ፣ እና እያንዳንዱ የጥድ እንቅልፍ 28 ኪ.ግ ከሆነ።
መፍትሄ
ፍቀድ xኦክ እና yየጥድ ተኝታቾች መድረኩ ላይ ተጭነዋል። በጠቅላላው 300 የሚያንቀላፉ ሰዎች ከነበሩ, የመጀመሪያው እኩልታ እንደ ሊጻፍ ይችላል x+y = 300 .
ሁሉም የኦክ አንቀላፋዎች 46 ይመዝናሉ። xኪ.ግ, ጥድ ደግሞ 28 ነበር yኪግ. የኦክ ስሊሎች ክብደታቸው 1 ቶን ከጥድ እንቅልፋዮች ያነሰ በመሆኑ፣ ሁለተኛው እኩልታ እንደ ሊጻፍ ይችላል። 28y - 46x= 1000 . ይህ እኩልታ እንደሚያሳየው በኦክ እና በፓይን እንቅልፍ መካከል ያለው ልዩነት 1000 ኪ.ግ ነው.
የኦክ እና የጥድ እንቅልፍ አጥፊዎች ብዛት በኪሎግራም ስለሚለካ ቶን ወደ ኪሎግራም ተለውጧል።
በውጤቱም, ስርዓቱን የሚፈጥሩ ሁለት እኩልታዎችን እናገኛለን
ይህንን ሥርዓት እንፍታው። በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ እንግለጽ x. ከዚያ ስርዓቱ ቅጹን ይወስዳል-
የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ሁለተኛው ይቀይሩት እና ያግኙ y
እንተኩ yወደ እኩልታው ውስጥ x= 300 − yእና ምን እንደሆነ እወቅ x
ይህ ማለት 100 የኦክ ዛፍ እና 200 ጥድ መተኛት ወደ መድረክ ተጭነዋል ማለት ነው ።
መፍትሄው (100; 200) የችግሩን ሁኔታ የሚያረካ መሆኑን እንፈትሽ. በመጀመሪያ ፣ ስርዓቱ በትክክል መፈታቱን እናረጋግጥ-
በአጠቃላይ 300 የሚያንቀላፉ ነበሩ ተባለ። የኦክ እና የጥድ እንቅልፍዎችን ቁጥር እንጨምራለን እና መፍትሄው (100; 200) ይህንን ሁኔታ ማሟላቱን እናረጋግጣለን። 100 + 200 = 300.
የሚከተለው ሁኔታ: ሁሉም የኦክ ተኝቶች ከጥድ አንቀላፋዎች 1 ቶን ያንሳሉ . 46 × 100 ኪ.ግ የኦክ ተኝተው ከ 28 × 200 ኪ.ግ ጥድ መተኛት ስለሚቀልሉ መፍትሄው (100; 200) ይህንን ሁኔታ እንደሚያረካ እናያለን ። 5600 ኪ.ግ - 4600 ኪ.ግ = 1000 ኪ.ግ.
ችግር 3. በ 2: 1, 3: 1 እና 5: 1 ሬሾ ውስጥ ሶስት የመዳብ-ኒኬል ቅይጥ ወስደናል. 12 ኪሎ ግራም የሚመዝን ቁራጭ ከመዳብ እና ከኒኬል ይዘት 4: 1 ጥምርታ ጋር ተቀላቅሏል. የአንደኛው ብዛት ከሁለተኛው ሁለት እጥፍ ከሆነ የእያንዳንዱን ኦርጅናል ቁራጭ ብዛት ይፈልጉ።
የ Gaussian ዘዴ በርካታ ጉዳቶች አሉት-በጋውሲያን ዘዴ ውስጥ አስፈላጊ ለውጦች እስኪደረጉ ድረስ ስርዓቱ ወጥነት ያለው መሆኑን ወይም አለመሆኑን ማወቅ አይቻልም; የ Gauss ዘዴ የፊደል ቅንጅቶች ላላቸው ስርዓቶች ተስማሚ አይደለም.
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት ሌሎች ዘዴዎችን እንመልከት። እነዚህ ዘዴዎች የማትሪክስ ደረጃ ጽንሰ-ሐሳብን ይጠቀማሉ እና የክራመር ደንብ የሚተገበርበትን ማንኛውንም ወጥነት ያለው ስርዓት መፍትሄን ይቀንሳሉ ።
ምሳሌ 1.ለተቀነሰው ተመሳሳይነት ስርዓት እና የተለየ መፍትሄን ለተቀነሰው ተመሳሳይነት ስርዓት እና የተለየ መፍትሄ በመጠቀም ለሚከተለው የመስመር እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ።
1. ማትሪክስ መስራት ሀእና የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ (1)
2. ስርዓቱን ያስሱ (1) ለአብሮነት። ይህንን ለማድረግ የማትሪክስ ደረጃዎችን እናገኛለን ሀእና https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">) ከታወቀ፣ ከዚያ ስርዓቱ (1) የማይጣጣም. ያንን ካገኘን , ከዚያ ይህ ስርዓት ወጥነት ያለው ነው እና እኛ እንፈታዋለን. (የተኳኋኝነት ጥናት በ Kronecker-Capelli ቲዎረም ላይ የተመሰረተ ነው)።
ሀ. እናገኛለን አር.ኤ.
ማግኘት አር.ኤየማትሪክስ የመጀመሪያ ፣ ሁለተኛ ፣ ወዘተ ትዕዛዞችን በቅደም ተከተል ዜሮ ያልሆኑትን እናስባለን ። ሀእና በአካባቢያቸው ያሉ ታዳጊዎች.
M1=1≠0 (ከማትሪክስ በላይኛው ግራ ጥግ ላይ 1 ን እንይዛለን ሀ).
ድንበር አለን። M1የዚህ ማትሪክስ ሁለተኛ ረድፍ እና ሁለተኛ ዓምድ. 
. ድንበሩን እንቀጥላለን M1ሁለተኛው መስመር እና ሶስተኛው አምድ..gif" width="37" height="20 src=">. አሁን ዜሮ ያልሆነውን አናሳውን እናስከብራለን። M2′ሁለተኛ ትዕዛዝ.
እና አለነ: 
(የመጀመሪያዎቹ ሁለት ዓምዶች አንድ ዓይነት ስለሆኑ)
(ሁለተኛው እና ሦስተኛው መስመሮች ተመጣጣኝ ስለሆኑ).
ያንን እናያለን rA=2, a የማትሪክስ መሰረታዊ ጥቃቅን ነው ሀ.
ለ. እናገኛለን።
ፍትሃዊ መሠረታዊ ጥቃቅን M2′ማትሪክስ ሀከነጻ ቃላት እና ሁሉም ረድፎች አምድ ጋር ድንበር (የመጨረሻው ረድፍ ብቻ ነው ያለን)።
. ያንን ተከትሎ ነው። ኤም 3 "የማትሪክስ መሠረታዊ አናሳ ሆኖ ይቆያል https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
ምክንያቱም M2′- የማትሪክስ መሠረት አነስተኛ ሀስርዓቶች (2) , ከዚያ ይህ ስርዓት ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው (3) , የስርዓቱን የመጀመሪያዎቹን ሁለት እኩልታዎች ያካተተ (2) (ለ M2′በማትሪክስ A) የመጀመሪያዎቹ ሁለት ረድፎች ውስጥ ነው.
(3)
ከመሠረታዊው ትንሽ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
በዚህ ስርዓት ውስጥ ሁለት ነጻ ያልታወቁ ነገሮች አሉ ( x2 እና x4 ). ለዛ ነው FSR ስርዓቶች (4) ሁለት መፍትሄዎችን ያካትታል. እነሱን ለማግኘት፣ ነጻ ያልታወቁትን እንመድባለን። (4) በመጀመሪያ ደረጃ x2=1 , x4=0 , እና ከዛ - x2=0 , x4=1 .
በ x2=1 , x4=0 እናገኛለን:
.
ይህ ሥርዓት አስቀድሞ አለው። ብቸኛው ነገር መፍትሄ (የ Cramer's rule ወይም ሌላ ማንኛውንም ዘዴ በመጠቀም ሊገኝ ይችላል). የመጀመሪያውን ከሁለተኛው እኩልታ ስንቀንስ፡-
የእሷ መፍትሄ ይሆናል x1= -1 , x3=0 . እሴቶች ተሰጥተዋል x2 እና x4 , እኛ የጨመርነው, የስርዓቱን የመጀመሪያ መሠረታዊ መፍትሄ እናገኛለን (2) : .
አሁን እናምናለን። (4) x2=0 , x4=1 . እናገኛለን፡-
.
ይህንን ስርዓት የክሬመር ቲዎሪ በመጠቀም እንፈታዋለን-
.
የስርዓቱን ሁለተኛው መሠረታዊ መፍትሄ እናገኛለን (2) : .
መፍትሄዎች β1 , β2 እና ማመቻቸት FSR ስርዓቶች (2) . ከዚያም አጠቃላይ መፍትሔው ይሆናል
γ= C1 β1+С2β2=С1(‑1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)
እዚህ C1 , C2 - የዘፈቀደ ቋሚዎች.
4. አንዱን እንፈልግ የግል መፍትሄ የተለያየ ስርዓት(1) . በአንቀጽ ላይ እንደሚታየው 3 , በስርዓቱ ምትክ (1) ተመጣጣኝ ስርዓትን እናስብ (5) , የስርዓቱን የመጀመሪያዎቹን ሁለት እኩልታዎች ያካተተ (1) .
(5)
ነፃ ያልታወቁትን ወደ ቀኝ ጎኖች እናንቀሳቅስ x2እና x4.
(6)
ነፃ ያልታወቁትን እንስጥ x2 እና x4 የዘፈቀደ እሴቶች ፣ ለምሳሌ ፣ x2=2 , x4=1 እና አስገባቸው (6) . ስርዓቱን እናውጣ
ይህ ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው (ከተወሰነው ጀምሮ M2′0). መፍታት (የ Cramer's theorem ወይም Gauss ዘዴን በመጠቀም) እናገኛለን x1=3 , x3=3 . የነፃ የማይታወቁ እሴቶችን ከግምት ውስጥ በማስገባት x2 እና x4 , እናገኛለን ተመሳሳይ ያልሆነ ስርዓት ልዩ መፍትሄ(1)α1=(3,2,3,1)።
5. አሁን የቀረው ለመጻፍ ብቻ ነው ተመሳሳይ ያልሆነ ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ α(1) : ከድምሩ ጋር እኩል ነው የግል መፍትሄይህ ስርዓት እና የተቀነሰ ተመሳሳይነት ያለው ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ (2) :
α=α1+γ=(3፣ 2፣ 3፣ 1)+(‑С1+5С2፣ С1፣ 4С2፣ С2)።
ይህ ማለት: 
(7)
6. ምርመራ.ስርዓቱን በትክክል እንደፈቱ ለማረጋገጥ (1) , አጠቃላይ መፍትሄ እንፈልጋለን (7) ውስጥ መተካት (1) . እያንዳንዱ እኩልታ ወደ ማንነት ከተለወጠ ( C1 እና C2 መጥፋት አለበት), ከዚያም መፍትሄው በትክክል ተገኝቷል.
እኛ እንተካለን። (7) ለምሳሌ, የስርዓቱ የመጨረሻው እኩልታ ብቻ (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
እናገኛለን፡ (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1
(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1
የት -1=-1. ማንነት አግኝተናል። ይህንን ከሌሎች የስርዓቱ እኩልታዎች ጋር እናደርጋለን (1) .
አስተያየት።ቼኩ ብዙውን ጊዜ በጣም ከባድ ነው። የሚከተለው "ከፊል ቼክ" ሊመከር ይችላል-በአጠቃላይ የስርዓቱ መፍትሄ (1) አንዳንድ እሴቶችን በዘፈቀደ ቋሚዎች ይመድቡ እና የተገኘውን ከፊል መፍትሄ በተጣሉት እኩልታዎች ውስጥ ብቻ ይተኩ (ማለትም በእነዚያ እኩልታዎች ከ (1) ውስጥ ያልተካተቱ (5) ). ማንነቶች ካገኙ ታዲያ የበለጠ አይቀርም, የስርዓት መፍትሄ (1) በትክክል ተገኝቷል (ነገር ግን እንዲህ ዓይነቱ ቼክ ለትክክለኛነት ሙሉ ዋስትና አይሰጥም!). ለምሳሌ ፣ ከገባ (7) ማስቀመጥ C2=- 1 , C1=1, ከዚያም እናገኛለን: x1 = -3, x2=3, x3=-1, x4=0. በመጨረሻው የስርዓት ቀመር (1) በመተካት፡- - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ማለትም -1=–1. ማንነት አግኝተናል።
ምሳሌ 2.የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ (1) , መሰረታዊ ያልታወቁትን በነጻነት መግለጽ.
መፍትሄ።እንደ ውስጥ ምሳሌ 1፣ ማትሪክስ ያዘጋጁ ሀእና https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">እነዚህ ማትሪክስ። አሁን እነዚህን የስርዓቱ እኩልታዎች ብቻ እንተዋለን። (1) , በዚህ መሰረታዊ ጥቃቅን ውስጥ የተካተቱት ጥምርታዎች (ማለትም, የመጀመሪያዎቹ ሁለት እኩልታዎች አሉን) እና ከስርአት (1) ጋር እኩል የሆነ ስርዓትን ግምት ውስጥ ያስገቡ.
ነፃ ያልታወቁትን ወደ እነዚህ እኩልታዎች በቀኝ በኩል እናስተላልፍ።
ስርዓት (9) የቀኝ ጎኖቹን እንደ ነፃ ቃላቶች ግምት ውስጥ በማስገባት በጋውሲያን ዘዴ እንፈታለን.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
አማራጭ 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
አማራጭ 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
አማራጭ 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
አማራጭ 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
ከ ግልጽ ነው የክሬመር ቲዎሪየመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ሲፈቱ ሶስት ጉዳዮች ሊከሰቱ ይችላሉ፡
የመጀመሪያው ጉዳይ፡ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ልዩ መፍትሄ አለው።
(ስርአቱ ወጥነት ያለው እና የተወሰነ ነው)
ሁለተኛ ጉዳይ፡ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት
(ስርአቱ ወጥነት ያለው እና እርግጠኛ ያልሆነ)
** 
,
እነዚያ። የማያውቁት እና የነጻው ቃላቶች ተመጣጣኝ ናቸው።
ሦስተኛው ጉዳይ፡ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምንም መፍትሄዎች የሉትም።
(ስርአቱ ወጥነት የለውም)
ስለዚህ ስርዓቱ ኤምጋር መስመራዊ እኩልታዎች nተለዋዋጮች ተብለው ይጠራሉ የጋራ ያልሆነ, አንድ ነጠላ መፍትሄ ከሌለች እና መገጣጠሚያ, ቢያንስ አንድ መፍትሄ ካለው. አንድ መፍትሄ ብቻ ያለው በአንድ ጊዜ ያለው የእኩልታዎች ስርዓት ይባላል የተወሰነእና ከአንድ በላይ - እርግጠኛ ያልሆነ.
የCramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ምሳሌዎች
ስርዓቱ ይሰጥ
.
በ Cramer's ቲዎሬም ላይ የተመሠረተ
………….
,
የት 
-
የስርዓት መወሰኛ. ዓምዱን በተዛማጅ ተለዋዋጭ (የማይታወቅ) ቅንጅቶች በነፃ ቃላት በመተካት ቀሪዎቹን ቆራጮች እናገኛለን፡-
ምሳሌ 2.
.
ስለዚህ, ስርዓቱ የተወሰነ ነው. የእሱን መፍትሄ ለማግኘት, ወሳኙን እናሰላለን
የCramer ቀመሮችን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን
ስለዚህ, (1; 0; -1) ለስርዓቱ ብቸኛው መፍትሄ ነው.
የእኩልታዎች 3 X 3 እና 4 X 4 መፍትሄዎችን ለመፈተሽ የCramer's መፍታት ዘዴን በመጠቀም የመስመር ላይ ካልኩሌተርን መጠቀም ይችላሉ።
በመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ውስጥ በአንድ ወይም በብዙ እኩልታዎች ውስጥ ምንም ተለዋዋጮች ከሌሉ ፣በወሳኙ ውስጥ ተጓዳኝ አካላት ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው! ይህ ቀጣዩ ምሳሌ ነው።
ምሳሌ 3.የCramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡-
.
መፍትሄ። የስርዓቱን መመዘኛ እናገኛለን-
የእኩልታዎችን ስርዓት በጥንቃቄ ይመልከቱ እና የስርዓቱን ወሳኙን ይመልከቱ እና አንድ ወይም ብዙ የወሳኙ አካላት ከዜሮ ጋር የሚመሳሰሉበትን ጥያቄ መልሱን ይድገሙት። ስለዚህ, ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, ስለዚህ ስርዓቱ የተወሰነ ነው. የእሱን መፍትሄ ለማግኘት, ለማይታወቁት መለኪያዎችን እናሰላለን
የCramer ቀመሮችን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን
ስለዚህ የስርዓቱ መፍትሄ (2; -1; 1) ነው.
6. የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች አጠቃላይ ስርዓት። Gauss ዘዴ.
እንደምናስታውሰው, የ Cramer's አገዛዝ እና የማትሪክስ ዘዴ ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት ወይም ወጥነት በሌለው ሁኔታ ውስጥ ተስማሚ አይደሉም. Gauss ዘዴ – ለማንኛውም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎችን ለማግኘት በጣም ኃይለኛ እና ሁለገብ መሳሪያ፣ የትኛው በእያንዳንዱ ሁኔታወደ መልሱ ይመራናል! የስልት አልጎሪዝም በራሱ በሶስቱም ሁኔታዎች ተመሳሳይ ነው የሚሰራው. የ Cramer እና ማትሪክስ ዘዴዎች የመወሰን ዕውቀትን የሚሹ ከሆነ የጋውስ ዘዴን ለመተግበር የሂሳብ ስራዎችን እውቀት ብቻ ያስፈልግዎታል ፣ ይህም ለአንደኛ ደረጃ ተማሪዎች እንኳን ተደራሽ ያደርገዋል።
በመጀመሪያ፣ ስለ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ትንሽ እውቀትን እናውጅ። የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የሚከተሉትን ማድረግ ይችላል:
1) ልዩ መፍትሄ ይኑርዎት.
2) ብዙ መፍትሄዎች አሉ ።
3) መፍትሄ የለንም (ይሁን የጋራ ያልሆነ).
የ Gauss ዘዴ መፍትሔ ለማግኘት በጣም ኃይለኛ እና ሁሉን አቀፍ መሳሪያ ነው ማንኛውምየመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች. እንደምናስታውሰው፣ የክሬመር ደንብ እና ማትሪክስ ዘዴስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች ሲኖሩት ወይም ወጥነት በሌለው ሁኔታ ውስጥ ተስማሚ አይደሉም። እና የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ ለማንኛውምወደ መልሱ ይመራናል! በዚህ ትምህርት, የጋውስ ዘዴን ለጉዳይ ቁጥር 1 (ለስርዓቱ ብቸኛው መፍትሄ) እንደገና እንመለከታለን, ጽሑፉ በነጥቦች ቁጥር 2-3 ላይ ያተኮረ ነው. የስልቱ ስልተ ቀመር በራሱ በሶስቱም ጉዳዮች ላይ ተመሳሳይ እንደሚሰራ አስተውያለሁ።
ከትምህርቱ ወደ ቀላሉ ስርዓት እንመለስ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንዴት እንደሚፈታ?
እና የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም መፍታት.
የመጀመሪያው እርምጃ መጻፍ ነው የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ:
. እኔ እንደማስበው ፣ ሁሉም ሰው ውህዶች በየትኛው መርህ እንደተፃፉ ማየት ይችላል። በማትሪክስ ውስጥ ያለው ቀጥ ያለ መስመር ምንም ዓይነት የሂሳብ ትርጉም የለውም - በቀላሉ ለንድፍ ቀላልነት ምልክት ነው።
ማጣቀሻ:እንድታስታውስ እመክራለሁ። ውሎችመስመራዊ አልጀብራ. የስርዓት ማትሪክስለማይታወቁ ውህዶች ብቻ የተዋቀረ ማትሪክስ ነው፣ በዚህ ምሳሌ የስርዓቱ ማትሪክስ፡. የተራዘመ የስርዓት ማትሪክስ- ይህ የስርዓቱ ተመሳሳይ ማትሪክስ እና የነፃ ቃላት አምድ ነው፣ በዚህ ሁኔታ፡. በአጭሩ ማንኛውም ማትሪክስ በቀላሉ ማትሪክስ ተብሎ ሊጠራ ይችላል።
የተራዘመው የስርዓት ማትሪክስ ከተፃፈ በኋላ አንዳንድ ድርጊቶችን ከእሱ ጋር ማከናወን አስፈላጊ ነው, እነሱም ይጠራሉ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች.
የሚከተሉት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ:
1) ሕብረቁምፊዎችማትሪክስ እንደገና ማስተካከል ይቻላልበአንዳንድ ቦታዎች. ለምሳሌ ፣ ከግምት ውስጥ ባለው ማትሪክስ ውስጥ ፣ የመጀመሪያውን እና ሁለተኛ ረድፎችን ያለምንም ህመም እንደገና ማስተካከል ይችላሉ- 
2) በማትሪክስ ውስጥ ተመጣጣኝ (እንደ ልዩ ሁኔታ - ተመሳሳይ) ረድፎች ካሉ (ወይም ከታዩ) ፣ ከዚያ ያስፈልግዎታል ሰርዝእነዚህ ሁሉ ረድፎች ከአንድ በስተቀር ከማትሪክስ ናቸው። ለምሳሌ ማትሪክስን አስቡበት 
. በዚህ ማትሪክስ ውስጥ የመጨረሻዎቹ ሶስት ረድፎች ተመጣጣኝ ናቸው ፣ ስለሆነም ከመካከላቸው አንዱን ብቻ መተው በቂ ነው- 
.
3) በትራንስፎርሜሽን ጊዜ ዜሮ ረድፍ በማትሪክስ ውስጥ ከታየ እንዲሁ መሆን አለበት። ሰርዝ. እኔ አልሳልም, በእርግጥ, ዜሮ መስመር በውስጡ መስመር ነው ሁሉም ዜሮዎች.
4) የማትሪክስ ረድፍ ሊሆን ይችላል ማባዛት (መከፋፈል)ለማንኛውም ቁጥር ዜሮ ያልሆነ. ለምሳሌ ማትሪክስን አስቡበት . እዚህ የመጀመሪያውን መስመር በ -3 መከፋፈል እና ሁለተኛውን መስመር በ 2 ማባዛት ጥሩ ነው. 
. ይህ እርምጃ የማትሪክስ ተጨማሪ ለውጦችን ስለሚያቃልል በጣም ጠቃሚ ነው.
5) ይህ ለውጥ በጣም ችግሮችን ያስከትላል, ግን በእውነቱ ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም. ወደ ማትሪክስ ረድፍ ማድረግ ይችላሉ። በቁጥር ተባዝቶ ሌላ ሕብረቁምፊ ጨምር, ከዜሮ የተለየ. የእኛን ማትሪክስ ከተግባራዊ ምሳሌ እንመልከተው፡. በመጀመሪያ ለውጡን በሰፊው እገልጻለሁ። የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ማባዛት: 
, እና ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ተባዝተን እንጨምራለን: 
. አሁን የመጀመሪያው መስመር "ተመለስ" በ -2: ሊከፋፈል ይችላል. እንደሚመለከቱት ፣ የታከለው መስመር ኤል.አይ – አልተለወጠም. ሁሌምየታከለው መስመር ይለወጣል ዩቲ.
በተግባር ፣ በእርግጥ ፣ በእንደዚህ ዓይነት ዝርዝር ውስጥ አይጽፉም ፣ ግን በአጭሩ ይፃፉ- 
አንዴ በድጋሚ: ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር ተጨምሯል -2 ተባዝቷል።. አንድ መስመር ብዙውን ጊዜ የሚባዛው በቃል ወይም በረቂቅ ላይ ነው፣ የአዕምሮ ስሌት ሂደቱ እንደዚህ ይመስላል፡-
"ማትሪክስ እንደገና ጻፍኩ እና የመጀመሪያውን መስመር እንደገና ጻፍኩት፡- 
»
"የመጀመሪያው አምድ። ከታች ዜሮ ማግኘት አለብኝ. ስለዚህ, ከላይ ያለውን በ -2: በማባዛት, እና የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: 2 + (-2) = 0. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. 
»
"አሁን ሁለተኛው ዓምድ። ከላይ, እኔ -1 በ -2 ማባዛት:. የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: 1 + 2 = 3. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. 
»
"እና ሦስተኛው ዓምድ. ከላይ -5 በ -2 እባዛለሁ: የመጀመሪያውን ወደ ሁለተኛው መስመር እጨምራለሁ: -7 + 10 = 3. ውጤቱን በሁለተኛው መስመር እጽፋለሁ. »
እባክዎን ይህንን ምሳሌ በጥንቃቄ ይረዱ እና ተከታታይ ስሌት ስልተ-ቀመር ይረዱ ፣ ይህንን ከተረዱት የ Gaussian ዘዴ በኪስዎ ውስጥ በትክክል አለ። ግን በእርግጥ በዚህ ለውጥ ላይ አሁንም እንሰራለን።
የአንደኛ ደረጃ ለውጦች የእኩልታዎችን ስርዓት መፍትሄ አይለውጡም።
! ትኩረት: እንደ ማጭበርበር ይቆጠራል መጠቀም አይቻልምማትሪክስ “በራሳቸው” የተሰጡበት ተግባር ከቀረበልዎ። ለምሳሌ፣ ከ “ክላሲካል” ጋር ማትሪክስ ጋር ክወናዎችበምንም አይነት ሁኔታ በማትሪክስ ውስጥ ማንኛውንም ነገር እንደገና ማስተካከል የለብዎትም!
ወደ ስርዓታችን እንመለስ። በተግባር ወደ ቁርጥራጮች ይወሰዳል.
የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ላይ እንቀንስ በደረጃ እይታ:
(1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. እና በድጋሚ: ለምን የመጀመሪያውን መስመር በ -2 እናባዛለን? ከታች ዜሮ ለማግኘት, ይህም ማለት በሁለተኛው መስመር ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ማስወገድ ማለት ነው.
(2) ሁለተኛውን መስመር በ 3 ይከፋፍሉት.
የአንደኛ ደረጃ ለውጦች ዓላማ –
ማትሪክስ ወደ ደረጃ በደረጃ ቅፅ ይቀንሱ 
. በስራው ንድፍ ውስጥ "ደረጃዎችን" በቀላል እርሳስ ብቻ ምልክት ያደርጉታል, እና እንዲሁም በ "ደረጃዎች" ላይ የሚገኙትን ቁጥሮች ያከብራሉ. “የእርምጃ እይታ” የሚለው ቃል ራሱ ሙሉ በሙሉ ንድፈ ሐሳብ አይደለም፤ በሳይንሳዊ እና ትምህርታዊ ጽሑፎች ውስጥ ብዙ ጊዜ ይባላል ትራፔዞይድ እይታወይም የሶስት ማዕዘን እይታ.
በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት, አገኘን ተመጣጣኝኦሪጅናል የእኩልታዎች ስርዓት;
አሁን ስርዓቱ በተቃራኒው አቅጣጫ "መቀልበስ" ያስፈልጋል - ከታች ወደ ላይ ይህ ሂደት ይባላል የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ.
በዝቅተኛ ስሌት ውስጥ እኛ ቀድሞውኑ ዝግጁ የሆነ ውጤት አለን:
የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ እናስብ እና ቀደም ሲል የሚታወቀውን የ“y” እሴት በእሱ ውስጥ እንተካው።
የ Gaussian ዘዴ የሶስት መስመር እኩልታዎችን ከሶስት የማይታወቁ ጋር መፍታት ሲፈልግ በጣም የተለመደውን ሁኔታ እናስብ።
ምሳሌ 1
የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡- 
የስርዓቱን የተራዘመ ማትሪክስ እንፃፍ፡- 
አሁን በመፍትሔው ጊዜ የምንመጣበትን ውጤት ወዲያውኑ እሳለሁ- 
እና እደግመዋለሁ ፣ ግባችን የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ማትሪክስ ወደ ደረጃ አቅጣጫ ማምጣት ነው። የት መጀመር?
መጀመሪያ ከላይ በግራ በኩል ያለውን ቁጥር ይመልከቱ፡- 
ሁልጊዜ ማለት ይቻላል እዚህ መሆን አለበት። ክፍል. በአጠቃላይ፣ -1 (እና አንዳንድ ጊዜ ሌሎች ቁጥሮች) ይሰራሉ፣ ግን በሆነ መንገድ አንድ ሰው ብዙውን ጊዜ እዚያ እንደሚቀመጥ በተለምዶ ተከሰተ። ክፍልን እንዴት ማደራጀት ይቻላል? የመጀመሪያውን አምድ እንመለከታለን - የተጠናቀቀ ክፍል አለን! ትራንስፎርሜሽን አንድ፡ የመጀመሪያውን እና ሶስተኛውን መስመር ይቀያይሩ፡ 
አሁን የመጀመሪያው መስመር እስከ መፍትሄው መጨረሻ ድረስ ሳይለወጥ ይቆያል. አሁን ደህና።
በላይኛው ግራ ጥግ ላይ ያለው ክፍል ተደራጅቷል. አሁን በነዚህ ቦታዎች ዜሮዎችን ማግኘት አለቦት፡- 
"አስቸጋሪ" ለውጥን በመጠቀም ዜሮዎችን እናገኛለን. በመጀመሪያ ከሁለተኛው መስመር (2, -1, 3, 13) ጋር እንገናኛለን. በመጀመሪያ ቦታ ዜሮ ለማግኘት ምን መደረግ አለበት? ያስፈልጋል ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -2 ተባዝቶ ይጨምሩ. በአስተሳሰብ ወይም በረቂቅ ላይ የመጀመሪያውን መስመር በ -2: (–2, -4, 2, -18) ማባዛት. እና በተከታታይ (በድጋሚ በአእምሮ ወይም በረቂቅ) መደመርን እናከናውናለን ፣ ወደ ሁለተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር እንጨምራለን, ቀድሞውኑ በ -2 ተባዝተናል:
ውጤቱን በሁለተኛው መስመር ውስጥ እንጽፋለን- 
ሶስተኛውን መስመር በተመሳሳይ መንገድ (3, 2, -5, -1) እንሰራለን. በመጀመሪያው ቦታ ላይ ዜሮ ለማግኘት, ያስፈልግዎታል ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝቶ ይጨምሩ. በአስተሳሰብ ወይም በረቂቅ ላይ የመጀመሪያውን መስመር በ -3: (–3, -6, 3, -27) ማባዛት. እና ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝተን እንጨምራለን:
ውጤቱን በሶስተኛው መስመር እንጽፋለን-
በተግባር እነዚህ ድርጊቶች በአብዛኛው የሚከናወኑት በቃል እና በአንድ ደረጃ ነው፡- 
ሁሉንም ነገር በአንድ ጊዜ እና በተመሳሳይ ጊዜ መቁጠር አያስፈልግም. የስሌቶች ቅደም ተከተል እና ውጤቱን "በመፃፍ". ወጥነት ያለውእና ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ነው-መጀመሪያ የመጀመሪያውን መስመር እንደገና እንጽፋለን ፣ እና ቀስ በቀስ እራሳችንን እንመካለን - ያለማቋረጥ እና በትኩረት:
እና ቀደም ሲል ስለ ስሌቶቹ እራሳቸው ስለ አእምሮአዊ ሂደት ተወያይቻለሁ.
በዚህ ምሳሌ, ይህን ማድረግ ቀላል ነው, ሁለተኛውን መስመር በ -5 እንከፍላለን (ሁሉም ቁጥሮች ሳይቀሩ በ 5 ይከፈላሉ). በተመሳሳይ ጊዜ, ሶስተኛውን መስመር በ -2 እንከፍላለን, ምክንያቱም ትናንሽ ቁጥሮች, መፍትሄው ቀላል ይሆናል.
በአንደኛ ደረጃ ለውጦች የመጨረሻ ደረጃ ላይ ፣ እዚህ ሌላ ዜሮ ማግኘት ያስፈልግዎታል 
ለዚህ ወደ ሦስተኛው መስመር ሁለተኛውን መስመር በ -2 ተባዝተን እንጨምራለን:
ይህንን ድርጊት እራስዎ ለማወቅ ይሞክሩ - በአእምሮ ሁለተኛውን መስመር በ -2 በማባዛት እና ተጨማሪውን ያከናውኑ።
የመጨረሻው የተከናወነው ተግባር የውጤቱ የፀጉር አሠራር ነው, ሶስተኛውን መስመር በ 3 ይከፋፍሉት.
በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ምክንያት ተመጣጣኝ የመስመሮች እኩልታዎች ስርዓት ተገኝቷል- 
ጥሩ.
አሁን የ Gaussian ዘዴ ተገላቢጦሽ ወደ ጨዋታ ይመጣል። እኩልታዎቹ ከታች ወደ ላይ "ይቀልጣሉ".
በሦስተኛው እኩልታ ውስጥ ቀድሞውኑ ዝግጁ የሆነ ውጤት አለን-
ሁለተኛውን እኩልታ እንመልከት፡- . የ"zet" ትርጉም አስቀድሞ ይታወቃል፣ ስለዚህም፡-
እና በመጨረሻም, የመጀመሪያው እኩልታ:. “ኢግሬክ” እና “ዜት” ይታወቃሉ፣ የትንሽ ነገሮች ጉዳይ ብቻ ነው።
መልስ: 
ቀደም ሲል በተደጋጋሚ እንደተገለጸው, ለማንኛውም የእኩልታዎች ስርዓት የተገኘውን መፍትሄ ማረጋገጥ ይቻላል እና አስፈላጊ ነው, እንደ እድል ሆኖ, ይህ ቀላል እና ፈጣን ነው.
ምሳሌ 2
ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ ምሳሌ, የመጨረሻው ንድፍ ናሙና እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ መልስ ነው.
የእርስዎ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል የውሳኔው ሂደትከውሳኔዬ ጋር ላይስማማ ይችላል ፣ እና ይህ የጋውስ ዘዴ ባህሪ ነው. ግን መልሱ አንድ መሆን አለበት!
ምሳሌ 3
የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ 
የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።
የላይኛውን ግራ "ደረጃ" እንመለከታለን. እዚያ ሊኖረን ይገባል. ችግሩ በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ምንም ክፍሎች ስለሌሉ ረድፎችን ማስተካከል ምንም ነገር አይፈታም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, ክፍሉ በአንደኛ ደረጃ ለውጥን በመጠቀም መደራጀት አለበት. ይህ አብዛኛውን ጊዜ በበርካታ መንገዶች ሊከናወን ይችላል. ይህን አደረግሁ፡-
(1) ወደ መጀመሪያው መስመር ሁለተኛውን መስመር እንጨምራለን, በ -1 ተባዝተናል. ማለትም ሁለተኛውን መስመር በ-1 በማባዛት የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ስንጨምር ሁለተኛው መስመር ግን አልተለወጠም።
አሁን ከላይ በግራ በኩል "አንድ ሲቀነስ" አለ, ይህም ለእኛ በጣም ተስማሚ ነው. +1 ማግኘት የሚፈልግ ማንኛውም ሰው ተጨማሪ እንቅስቃሴ ማድረግ ይችላል፡ የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ማባዛት (ምልክቱን ይቀይሩ)።
(2) የመጀመሪያው መስመር በ 5 ተባዝቶ በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል ።
(3) የመጀመሪያው መስመር በ -1 ተባዝቷል, በመርህ ደረጃ, ይህ ለውበት ነው. የሶስተኛው መስመር ምልክትም ተለወጠ እና ወደ ሁለተኛ ቦታ ተወስዷል, ስለዚህም በሁለተኛው "ደረጃ" ላይ አስፈላጊው ክፍል ነበረን.
(4) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 2 ተባዝቷል.
(5) ሦስተኛው መስመር በ 3 ተከፍሏል.
በስሌቶች ውስጥ ስህተትን የሚያመለክት መጥፎ ምልክት (በጣም አልፎ አልፎ, ትየባ) "መጥፎ" የታችኛው መስመር ነው. ማለትም፣ እንደ ከታች፣ እና፣ በዚህ መሰረት፣ 
, ከዚያም በከፍተኛ ደረጃ ዕድል በአንደኛ ደረጃ ለውጦች ወቅት ስህተት ተፈጥሯል ማለት እንችላለን.
ተቃራኒውን እናስከፍላለን ፣ በምሳሌዎች ንድፍ ውስጥ ብዙውን ጊዜ ስርዓቱን እንደገና አይጽፉም ፣ ግን እኩልታዎቹ “ከተሰጠው ማትሪክስ በቀጥታ የተወሰዱ ናቸው። የተገላቢጦሽ ምት, አስታውሳችኋለሁ, ከታች ወደ ላይ ይሠራል. አዎ ስጦታ ይኸውና፡-
መልስ: 
.
ምሳሌ 4
የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ 
ይህ በራስዎ ለመፍታት ለእርስዎ ምሳሌ ነው, በተወሰነ ደረጃ የተወሳሰበ ነው. አንድ ሰው ግራ ቢገባ ችግር የለውም። በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ሙሉ መፍትሄ እና ናሙና ንድፍ. የእርስዎ መፍትሔ ከእኔ መፍትሔ የተለየ ሊሆን ይችላል.
በመጨረሻው ክፍል የ Gaussian አልጎሪዝም አንዳንድ ባህሪያትን እንመለከታለን.
የመጀመሪያው ባህሪ አንዳንድ ጊዜ አንዳንድ ተለዋዋጮች ከስርዓት እኩልታዎች ይጎድላሉ፣ ለምሳሌ፡- 
የተራዘመውን የስርዓት ማትሪክስ እንዴት በትክክል መጻፍ እንደሚቻል? በክፍል ውስጥ ስለዚህ ጉዳይ አስቀድሜ ተናግሬያለሁ. የክሬመር አገዛዝ. ማትሪክስ ዘዴ. በተዘረጋው የስርዓቱ ማትሪክስ ውስጥ፣ የጎደሉትን ተለዋዋጮች ምትክ ዜሮዎችን እናስቀምጣለን። 
በነገራችን ላይ ይህ በጣም ቀላል ምሳሌ ነው ፣ ምክንያቱም የመጀመሪያው አምድ ቀድሞውኑ አንድ ዜሮ ስላለው እና ለማከናወን ጥቂት የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች አሉ።
ሁለተኛው ባህሪ ይህ ነው. በተጠቀሱት ሁሉም ምሳሌዎች ውስጥ -1 ወይም +1 በ "ደረጃዎች" ላይ አስቀምጠናል. እዚያ ሌሎች ቁጥሮች ሊኖሩ ይችላሉ? በአንዳንድ ሁኔታዎች ይችላሉ. ስርዓቱን አስቡበት፡- 
.
እዚህ በላይኛው ግራ "እርምጃ" ላይ ሁለት አለን. ነገር ግን በመጀመሪያው ዓምድ ውስጥ ያሉት ሁሉም ቁጥሮች ያለቀሪ በ 2 የሚካፈሉ መሆናቸውን እናስተውላለን - ሌላኛው ደግሞ ሁለት እና ስድስት ነው። እና ከላይ በግራ በኩል ያሉት ሁለቱ ተስማሚ ይሆናሉ! በመጀመሪያው ደረጃ, የሚከተሉትን ለውጦች ማከናወን ያስፈልግዎታል: የመጀመሪያውን መስመር በ -1 ተባዝቶ ወደ ሁለተኛው መስመር ይጨምሩ; ወደ ሦስተኛው መስመር የመጀመሪያውን መስመር በ -3 ተባዝቶ ይጨምሩ። በዚህ መንገድ በመጀመሪያው አምድ ውስጥ አስፈላጊዎቹን ዜሮዎች እናገኛለን.
ወይም ሌላ የተለመደ ምሳሌ: 
. እዚህ በሁለተኛው “እርምጃ” ላይ ያሉት ሦስቱ እኛንም ይስማማናል ምክንያቱም 12 (ዜሮ የምናገኝበት ቦታ) ያለቀሪ በ 3 ይከፈላል ። የሚከተለውን ለውጥ ማካሄድ አስፈላጊ ነው-ሁለተኛውን መስመር ወደ ሶስተኛው መስመር ይጨምሩ, በ -4 ተባዝተዋል, በዚህም ምክንያት የምንፈልገው ዜሮ ይገኛል.
የጋውስ ዘዴ ሁለንተናዊ ነው, ግን አንድ የተለየ ነገር አለ. ሌሎች ዘዴዎችን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት በልበ ሙሉነት መማር ይችላሉ (Cramer's method, matrix method) በጥሬው ለመጀመሪያ ጊዜ - በጣም ጥብቅ ስልተ-ቀመር አላቸው. ነገር ግን በ Gaussian ዘዴ በራስ መተማመን እንዲሰማዎት, በጥሩ ሁኔታ ማግኘት እና ቢያንስ 5-10 ስርዓቶችን መፍታት ያስፈልግዎታል. ስለዚህ, መጀመሪያ ላይ በስሌቶች ውስጥ ግራ መጋባት እና ስህተቶች ሊኖሩ ይችላሉ, እና በዚህ ውስጥ ምንም ያልተለመደ ወይም አሳዛኝ ነገር የለም.
ዝናባማ የበልግ የአየር ሁኔታ ከመስኮቱ ውጭ .... ስለዚህ ፣ የበለጠ ውስብስብ ምሳሌ ለሚፈልጉ ሁሉ በራሳቸው ለመፍታት-
ምሳሌ 5
የ Gauss ዘዴን በመጠቀም ከአራት የማይታወቁ ጋር የአራት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ። 
እንዲህ ዓይነቱ ተግባር በተግባር እምብዛም አይደለም. እኔ ይህን ገጽ በደንብ ያጠና የሻይ ማንኪያ እንኳን እንዲህ ዓይነቱን ስርዓት ለመፍታት ስልተ ቀመሩን የሚረዳው ይመስለኛል። በመሠረቱ, ሁሉም ነገር አንድ ነው - ተጨማሪ ድርጊቶች ብቻ አሉ.
ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች ሳይኖረው (ወጥነት የሌለው) ወይም ብዙ መፍትሄዎች ያሉት ጉዳዮች በትምህርቱ ውስጥ ተብራርተዋል ከጋራ መፍትሄ ጋር የማይጣጣሙ ስርዓቶች እና ስርዓቶች. እዚያ የታሰበውን የ Gaussian ዘዴ ስልተ ቀመር ማስተካከል ይችላሉ።
ስኬት እመኛለሁ!
መፍትሄዎች እና መልሶች:
ምሳሌ 2፡ መፍትሄ: የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና, የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም, ወደ ደረጃ መሄጃ ቅፅ እናምጣው.
የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦች ተከናውነዋል፡-
(1) የመጀመሪያው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -2 ተባዝቷል. የመጀመሪያው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል, በ -1 ተባዝቷል. ትኩረት!እዚህ የመጀመሪያውን ከሶስተኛው መስመር ለመቀነስ ትፈተኑ ይሆናል ። እንዳይቀንስ በጣም እመክራለሁ - የስህተት አደጋ በጣም ይጨምራል። ብቻ አጣጥፈው!
(2) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለወጠ (በ -1 ተባዝቷል)። ሁለተኛውና ሦስተኛው መስመር ተለዋውጧል። ማስታወሻ, በ "እርምጃዎች" ላይ አንድ ብቻ ሳይሆን በ -1 ረክተናል, ይህም የበለጠ ምቹ ነው.
(3) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 5 ተባዝቷል.
(4) የሁለተኛው መስመር ምልክት ተለወጠ (በ -1 ተባዝቷል)። ሦስተኛው መስመር በ 14 ተከፍሏል.
ተገላቢጦሽ፡
መልስ: 
.
ምሳሌ 4፡ መፍትሄየተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ እንፃፍ እና የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ደረጃ አቅጣጫ እናምጣው።
የተደረጉ ልወጣዎች፡-
(1) ሁለተኛው መስመር በመጀመሪያው መስመር ላይ ተጨምሯል. ስለዚህ, የሚፈለገው ክፍል ከላይ በግራ "እርምጃ" ላይ ይደራጃል.
(2) የመጀመሪያው መስመር በ 7 ተባዝቶ በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል ።
በሁለተኛው "እርምጃ" ሁሉም ነገር እየባሰ ይሄዳል, ለእሱ "እጩዎች" ቁጥሮች 17 እና 23 ናቸው, እና አንድ ወይም -1 ያስፈልገናል. ትራንስፎርሜሽን (3) እና (4) የሚፈለገውን ክፍል ለማግኘት ያለመ ይሆናል።
(3) ሁለተኛው መስመር ወደ ሦስተኛው መስመር ተጨምሯል ፣ ተባዝቷል -1።
(4) ሦስተኛው መስመር በሁለተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ -3 ተባዝቷል.
በሁለተኛው ደረጃ ላይ አስፈላጊው ነገር ደርሷል.
.
(5) ሁለተኛው መስመር በሶስተኛው መስመር ላይ ተጨምሯል, በ 6 ተባዝቷል.
እንደ የትምህርቶቹ አካል Gaussian ዘዴእና ከጋራ መፍትሄ ጋር የማይጣጣሙ ስርዓቶች / ስርዓቶችየሚለውን ተመልክተናል ተመጣጣኝ ያልሆነ የመስመር እኩልታዎች ስርዓቶች፣ የት ነጻ አባል(ብዙውን ጊዜ በቀኝ በኩል ነው) ቢያንስ አንድከ እኩልታዎች ከዜሮ የተለየ ነበር.
እና አሁን ፣ ከጥሩ ሙቀት በኋላ ማትሪክስ ደረጃ, ቴክኒኩን ማበጠርን እንቀጥላለን የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችላይ የመስመር እኩልታዎች ተመሳሳይ ስርዓት.
በመጀመሪያዎቹ አንቀጾች ላይ በመመስረት, ቁሱ አሰልቺ እና መካከለኛ ሊመስል ይችላል, ነገር ግን ይህ ስሜት አታላይ ነው. ከቴክኒኮች ተጨማሪ እድገት በተጨማሪ ብዙ አዳዲስ መረጃዎች ይኖራሉ, ስለዚህ እባክዎን በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ያሉትን ምሳሌዎች ችላ እንዳይሉ ይሞክሩ.
የእኩልታዎች ስርዓቶች ለተለያዩ ሂደቶች የሂሳብ ሞዴል በኢኮኖሚው ዘርፍ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ። ለምሳሌ, የምርት አስተዳደር እና እቅድ, የሎጂስቲክስ መስመሮች (የትራንስፖርት ችግር) ወይም የመሳሪያ አቀማመጥ ችግሮችን ሲፈቱ.
የእኩልታዎች ስርዓቶች በሂሳብ ላይ ብቻ ሳይሆን በፊዚክስ ፣ በኬሚስትሪ እና በባዮሎጂ ውስጥ የህዝብ ብዛትን የመፈለግ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ።
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልታዎች ከብዙ ተለዋዋጮች ጋር የጋራ መፍትሄ መፈለግ አስፈላጊ ነው። ሁሉም እኩልታዎች እውነተኛ እኩልነት የሚሆኑበት ወይም ቅደም ተከተላቸው አለመኖሩን የሚያረጋግጡበት የቁጥር ቅደም ተከተል።
መስመራዊ እኩልታ
የቅርጽ ax+by=c እኩልታዎች መስመራዊ ይባላሉ። ስያሜዎቹ x፣ y እሴታቸው መገኘት ያለባቸው ያልታወቁ ናቸው፣ b፣ a የተለዋዋጮች ውህደቶች ናቸው፣ c የእኩልታው ነፃ ቃል ነው።
እኩልታውን በማቀድ መፍታት ቀጥተኛ መስመር ይመስላል ፣ ሁሉም ነጥቦች ለፖሊኖሚል መፍትሄዎች ናቸው።
የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ዓይነቶች
በጣም ቀላሉ ምሳሌዎች ከሁለት ተለዋዋጮች X እና Y ጋር የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ተደርገው ይወሰዳሉ።
F1 (x, y) = 0 እና F2 (x, y) = 0, F1,2 ተግባራት ሲሆኑ (x, y) የተግባር ተለዋዋጮች ናቸው.
የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት - ይህ ማለት ስርዓቱ ወደ እውነተኛ እኩልነት የሚቀየርባቸውን እሴቶች (x፣ y) መፈለግ ወይም የ x እና y ተስማሚ እሴቶች የሉም ማለት ነው።
ጥንድ እሴቶች (x፣ y)፣ እንደ የነጥብ መጋጠሚያዎች የተጻፉት፣ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይባላል።
ስርዓቶች አንድ የጋራ መፍትሄ ካላቸው ወይም ምንም መፍትሄ ከሌለ, ተመጣጣኝ ተብለው ይጠራሉ.
ተመሳሳይነት ያላቸው የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች የቀኝ እጆቻቸው ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ስርዓቶች ናቸው. ከእኩል ምልክት በኋላ ያለው ትክክለኛው ክፍል ዋጋ ካለው ወይም በአንድ ተግባር ከተገለጸ, እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የተለያየ ነው.
የተለዋዋጮች ብዛት ከሁለት በላይ ሊሆን ይችላል፣ ከዚያ ከሶስት ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ያሉት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ መነጋገር አለብን።
ከስርአቶች ጋር ሲጋፈጡ፣የትምህርት ቤት ልጆች የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁት ብዛት ጋር መገጣጠም አለበት ብለው ያስባሉ፣ነገር ግን ይህ እንደዛ አይደለም። በስርዓቱ ውስጥ ያሉት የእኩልታዎች ብዛት በተለዋዋጭዎቹ ላይ የተመካ አይደለም፤ የተፈለገውን ያህል ሊኖሩ ይችላሉ።
የእኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት ቀላል እና ውስብስብ ዘዴዎች
እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ለመፍታት አጠቃላይ የትንታኔ ዘዴ የለም, ሁሉም ዘዴዎች በቁጥር መፍትሄዎች ላይ የተመሰረቱ ናቸው. የትምህርት ቤቱ የሂሳብ ኮርስ እንደ ፐርሙቴሽን፣ አልጀብራ መደመር፣ መተኪያ፣ እንዲሁም ስዕላዊ እና ማትሪክስ ዘዴዎችን በጋውሲያን ዘዴ የመፍትሄ ዘዴዎችን በዝርዝር ይገልጻል።
የመፍትሄ ዘዴዎችን በሚያስተምርበት ጊዜ ዋናው ተግባር ስርዓቱን እንዴት በትክክል መተንተን እና ለእያንዳንዱ ምሳሌ ጥሩውን የመፍትሄ ስልተ ቀመር ማግኘት ነው. ዋናው ነገር ለእያንዳንዱ ዘዴ ደንቦችን እና ድርጊቶችን ስርዓት ማስታወስ አይደለም, ነገር ግን የተወሰነ ዘዴን የመጠቀም መርሆዎችን መረዳት ነው.
በ 7 ኛ ክፍል አጠቃላይ ትምህርት ሥርዓተ-ትምህርት ውስጥ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ምሳሌዎችን መፍታት በጣም ቀላል እና በዝርዝር ተብራርቷል። በማንኛውም የሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ, ይህ ክፍል በቂ ትኩረት ተሰጥቶታል. የ Gauss እና Cramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ምሳሌዎችን መፍታት በመጀመሪያዎቹ የከፍተኛ ትምህርት ዓመታት በበለጠ ዝርዝር ተጠንቷል።
የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት
የመተኪያ ዘዴው ድርጊቶች የአንድን ተለዋዋጭ እሴት ከሁለተኛው አንፃር ለመግለጽ ያተኮሩ ናቸው. አገላለጹ በቀሪው ቀመር ውስጥ ተተክቷል, ከዚያም ወደ አንድ ተለዋዋጭ ቅፅ ይቀንሳል. በስርዓቱ ውስጥ በማይታወቁት ቁጥር ላይ በመመስረት ድርጊቱ ይደገማል
የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም የክፍል 7 መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌን እንስጥ።
ከምሳሌው ላይ እንደሚታየው፣ ተለዋዋጭ x በF(X) = 7 + Y ተገለፀ። የተገኘው አገላለጽ፣ በ 2 ኛው የስርዓቱ እኩልታ በ X ምትክ ተተክቶ፣ በ 2 ኛው እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ Y ለማግኘት ረድቷል። . ይህንን ምሳሌ መፍታት ቀላል እና የ Y እሴትን እንዲያገኙ ያስችልዎታል የመጨረሻው ደረጃ የተገኙትን እሴቶች መፈተሽ ነው.
የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌን በመተካት ሁልጊዜ መፍታት አይቻልም። እኩልታዎቹ ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ እና ተለዋዋጭውን በሁለተኛው የማይታወቅ ሁኔታ መግለጽ ለቀጣይ ስሌቶች በጣም አስቸጋሪ ይሆናል. በስርአቱ ውስጥ ከ3 በላይ ያልታወቁ ነገሮች ሲኖሩ፣ በመተካት መፍታትም ተገቢ አይደለም።
የመስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ መፍትሄ፡-
የአልጀብራ መጨመርን በመጠቀም መፍትሄ
የመደመር ዘዴን በመጠቀም ለስርዓቶች መፍትሄዎችን በሚፈልጉበት ጊዜ, እኩልታዎች በጊዜ ቃል ይጨመሩ እና በተለያዩ ቁጥሮች ይባዛሉ. የሂሳብ ስራዎች የመጨረሻ ግብ በአንድ ተለዋዋጭ ውስጥ እኩልነት ነው.
የዚህ ዘዴ አተገባበር ልምምድ እና ምልከታ ይጠይቃል. 3 ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ሲኖሩ የመደመር ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ቀላል አይደለም። እኩልታዎች ክፍልፋዮች እና አስርዮሽ ሲይዙ አልጀብራ መጨመር ለመጠቀም ምቹ ነው።
የመፍትሄው ስልተ ቀመር፡
- የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በተወሰነ ቁጥር ማባዛት። በሂሳብ አሠራሩ ምክንያት፣ ከተለዋዋጭዎቹ ጥምርታዎች አንዱ ከ 1 ጋር እኩል መሆን አለበት።
- የተገኘውን የቃላት አገላለጽ በቃላት ይጨምሩ እና ከማይታወቁት ውስጥ አንዱን ያግኙ።
- የቀረውን ተለዋዋጭ ለማግኘት የተገኘውን እሴት ወደ ስርዓቱ 2 ኛ እኩልታ ይለውጡ።
አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ የመፍትሄ ዘዴ
ስርዓቱ ከሁለት ላልበለጠ እኩልታዎች መፍትሄ መፈለግን ካስፈለገ አዲስ ተለዋዋጭ ማስተዋወቅ ይቻላል፤ ያልታወቁት ቁጥርም ከሁለት በላይ መሆን የለበትም።
ዘዴው አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ አንዱን እኩልታ ለማቃለል ይጠቅማል። አዲሱ እኩልታ ለተዋወቀው ያልታወቀ ተፈትቷል፣ እና የተገኘው እሴት የመጀመሪያውን ተለዋዋጭ ለመወሰን ጥቅም ላይ ይውላል።
ምሳሌው እንደሚያሳየው አዲስ ተለዋዋጭ t በማስተዋወቅ የስርዓቱን 1 ኛ እኩልታ ወደ መደበኛ ባለአራት ሶስትዮሽ መቀነስ ተችሏል. አድሎአዊውን በማግኘት ብዙ ቁጥርን መፍታት ይችላሉ።
በጣም የታወቀውን ቀመር በመጠቀም የአድሎውን ዋጋ ማግኘት አስፈላጊ ነው: D = b2 - 4 * a * c, D የሚፈለገው አድልዎ, b, a, c የፖሊኖሚል ምክንያቶች ናቸው. በተሰጠው ምሳሌ a=1, b=16, c=39, ስለዚህ D=100. አድሏዊው ከዜሮ የሚበልጥ ከሆነ ሁለት መፍትሄዎች አሉ፡- t = -b±√D/2*ሀ፣ አድሎአዊው ከዜሮ ያነሰ ከሆነ አንድ መፍትሄ አለ፡- x = -b/2*a።
ለተፈጠሩት ስርዓቶች መፍትሄ የሚገኘው በመደመር ዘዴ ነው.
ስርዓቶችን ለመፍታት ምስላዊ ዘዴ
ለ 3 እኩልታ ስርዓቶች ተስማሚ. ዘዴው በሲስተሙ ውስጥ የተካተቱትን የእያንዳንዱን እኩልታ ግራፎችን በመገጣጠም ዘንግ ላይ በመገንባት ላይ ነው። የክርንቹ መገናኛ ነጥቦች መጋጠሚያዎች የስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄ ይሆናሉ.
የግራፊክ ዘዴው በርካታ ጥቃቅን ነገሮች አሉት. የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን በእይታ መንገድ ለመፍታት በርካታ ምሳሌዎችን እንመልከት።
በምሳሌው ላይ እንደሚታየው ለእያንዳንዱ መስመር ሁለት ነጥቦች ተገንብተዋል ፣ የተለዋዋጭ x ዋጋዎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል 0 እና 3. በ x እሴቶች ላይ በመመስረት ፣ የ y እሴቶች ተገኝተዋል። 3 እና 0. መጋጠሚያዎች (0፣ 3) እና (3፣ 0) ያላቸው ነጥቦች በግራፉ ላይ ምልክት ተደርጎባቸዋል እና በመስመር ተገናኝተዋል።
ደረጃዎቹ ለሁለተኛው እኩልታ መደገም አለባቸው. የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ የስርዓቱ መፍትሄ ነው.
የሚከተለው ምሳሌ ለመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ግራፊክ መፍትሄ መፈለግን ይጠይቃል፡ 0.5x-y+2=0 እና 0.5x-y-1=0።
ከምሳሌው እንደሚታየው, ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ምክንያቱም ግራፎች ትይዩ ናቸው እና ሙሉውን ርዝመት አይገናኙም.
በምሳሌ 2 እና 3 ያሉት ስርዓቶች ተመሳሳይ ናቸው, ነገር ግን ሲገነቡ መፍትሄዎቻቸው የተለያዩ እንደሆኑ ግልጽ ይሆናል. አንድ ሥርዓት መፍትሔ አለው ወይም የለውም ማለት ሁልጊዜ የማይቻል መሆኑን ማስታወስ ይገባል, ሁልጊዜ ግራፍ መገንባት አስፈላጊ ነው.
ማትሪክስ እና ዝርያዎቹ
ማትሪክስ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በአጭሩ ለመፃፍ ያገለግላሉ። ማትሪክስ በቁጥሮች የተሞላ ልዩ የጠረጴዛ ዓይነት ነው። n * m n - ረድፎች እና m - አምዶች አሉት.
የአምዶች እና የረድፎች ብዛት እኩል ሲሆኑ ማትሪክስ ካሬ ነው። ማትሪክስ-ቬክተር ወሰን በሌለው የረድፎች ብዛት ያለው የአንድ አምድ ማትሪክስ ነው። ከአንዱ ዲያግናል እና ሌሎች ዜሮ አካላት ጋር ያለው ማትሪክስ ማንነት ይባላል።
የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማትሪክስ ሲባዛ ማትሪክስ ሲሆን ይህም የመጀመሪያው ወደ አሃድ ማትሪክስ ይቀየራል ፣ እንደዚህ ያለ ማትሪክስ የሚገኘው ለዋናው ካሬ ብቻ ነው።
የእኩልታዎችን ስርዓት ወደ ማትሪክስ ለመቀየር ህጎች
ከእኩልታዎች ስርዓቶች ጋር በተያያዘ፣ የእኩልታዎች ቅንጅቶች እና ነፃ ቃላቶች እንደ ማትሪክስ ቁጥሮች ተጽፈዋል። አንድ እኩልታ የማትሪክስ አንድ ረድፍ ነው።
ቢያንስ አንድ የረድፉ አካል ዜሮ ካልሆነ የማትሪክስ ረድፍ ዜሮ ነው ይባላል። ስለዚህ, በማናቸውም እኩልታዎች ውስጥ የተለዋዋጮች ቁጥር ቢለያይ, በማይታወቅ ቦታ ላይ ዜሮን ማስገባት አስፈላጊ ነው.
የማትሪክስ አምዶች ከተለዋዋጮች ጋር በጥብቅ መዛመድ አለባቸው። ይህ ማለት የተለዋዋጭ x ጥምርታዎች በአንድ አምድ ውስጥ ብቻ ሊጻፉ ይችላሉ, ለምሳሌ የመጀመሪያው, የማይታወቅ y - በሁለተኛው ውስጥ ብቻ.
ማትሪክስ በሚባዙበት ጊዜ ሁሉም የማትሪክስ አካላት በቅደም ተከተል በቁጥር ይባዛሉ።
ተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት አማራጮች
የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የማግኘት ቀመር በጣም ቀላል ነው፡ K -1 = 1 / |K|፣ K -1 ተገላቢጦሽ ማትሪክስ እና |K| የማትሪክስ ወሳኙ ነው. |ክ| ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለበትም, ከዚያ ስርዓቱ መፍትሄ አለው.
ወሳኙ በቀላሉ ለሁለት-ሁለት ማትሪክስ ይሰላል፤ የዲያግናል ክፍሎችን እርስ በርስ ማባዛት ብቻ ያስፈልግዎታል። ለ"ሶስት በሶስት" አማራጭ |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 ለ 2 ሐ 1። ቀመሩን መጠቀም ይችላሉ, ወይም በእያንዳንዱ ረድፍ እና በእያንዳንዱ አምድ ውስጥ የአምዶች እና የረድፎች ቁጥሮች በስራው ውስጥ እንዳይደጋገሙ አንድ ኤለመንት መውሰድ እንዳለቦት ማስታወስ ይችላሉ.
የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ምሳሌዎችን መፍታት
የመፍትሄ ፍለጋ የማትሪክስ ዘዴ ብዙ ተለዋዋጮች እና እኩልታዎች ያላቸውን ስርዓቶች ሲፈቱ አስቸጋሪ ግቤቶችን እንዲቀንሱ ያስችልዎታል።
በምሳሌው፣ nm የእኩልታዎች ጥምርታ፣ ማትሪክስ ቬክተር x n ተለዋዋጭ ናቸው፣ እና b n ነፃ ቃላት ናቸው።
የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት
በከፍተኛ ሒሳብ ውስጥ የጋውሲያን ዘዴ ከ Cramer ዘዴ ጋር ይጠናል, እና ለስርዓቶች መፍትሄዎችን የማግኘት ሂደት የ Gauss-Cramer መፍትሄ ዘዴ ይባላል. እነዚህ ዘዴዎች ብዙ ቁጥር ያላቸው የመስመር እኩልታዎች ያላቸውን የስርዓቶች ተለዋዋጮችን ለማግኘት ያገለግላሉ።
የጋውስ ዘዴ በመተካት እና በአልጀብራዊ መደመር መፍትሄዎች ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው, ግን የበለጠ ስልታዊ ነው. በት / ቤት ኮርስ, በ Gaussian ዘዴ መፍትሄው ለ 3 እና 4 እኩልታዎች ስርዓቶች ጥቅም ላይ ይውላል. የስልቱ አላማ ስርዓቱን ወደ ተገላቢጦሽ ትራፔዞይድ ቅርጽ መቀነስ ነው. በአልጀብራ ለውጦች እና ምትክዎች አማካኝነት የአንድ ተለዋዋጭ እሴት በስርዓቱ እኩልታዎች ውስጥ በአንዱ ውስጥ ይገኛል. ሁለተኛው እኩልታ 2 ያልታወቀ አገላለጽ ሲሆን 3 እና 4 ደግሞ በቅደም ተከተል 3 እና 4 ተለዋዋጮች ናቸው።
ስርዓቱን ወደተገለጸው ቅፅ ካመጣ በኋላ, ተጨማሪው መፍትሄ ወደ ስርዓቱ እኩልታዎች የታወቁ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል መተካት ይቀንሳል.
ለ 7 ኛ ክፍል በት / ቤት የመማሪያ መጽሐፍት ፣ በጋውስ ዘዴ የመፍትሄ ምሳሌ እንደሚከተለው ተብራርቷል ።
ከምሳሌው እንደሚታየው በደረጃ (3) ሁለት እኩልታዎች ተገኝተዋል 3x 3 -2x 4 = 11 እና 3x 3 +2x 4 =7. ማናቸውንም እኩልታዎች መፍታት ከተለዋዋጭ x n አንዱን ለማወቅ ያስችልዎታል።
በጽሁፉ ውስጥ የተጠቀሰው ቲዎረም 5, ከስርአቱ እኩልታዎች አንዱ በተመጣጣኝ ከተተካ, የተገኘው ስርዓት ከዋናው ጋር እኩል ይሆናል.
የጋውሲያን ዘዴ ለመካከለኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ተማሪዎች ለመረዳት አስቸጋሪ ነው, ነገር ግን በሂሳብ እና በፊዚክስ ክፍሎች በከፍተኛ የትምህርት መርሃ ግብሮች ውስጥ የተመዘገቡ ልጆችን ብልህነት ለማዳበር በጣም ከሚያስደስቱ መንገዶች አንዱ ነው.
ለመቅዳት ቀላልነት፣ ስሌቶች ብዙውን ጊዜ እንደሚከተለው ይከናወናሉ፡
የእኩልታዎች እና የነፃ ቃላት ጥምርታዎች በማትሪክስ መልክ የተፃፉ ሲሆን እያንዳንዱ የማትሪክስ ረድፍ ከስርዓቱ እኩልታዎች አንዱ ጋር ይዛመዳል። የቀመርውን ግራ ጎን ከቀኝ ይለያል. የሮማውያን ቁጥሮች በስርዓቱ ውስጥ ያሉትን የእኩልታዎች ቁጥሮች ያመለክታሉ.
በመጀመሪያ, የሚሠራውን ማትሪክስ ይፃፉ, ከዚያም በአንደኛው ረድፍ የተከናወኑትን ድርጊቶች በሙሉ. የተገኘው ማትሪክስ ከ "ቀስት" ምልክት በኋላ የተፃፈ ሲሆን ውጤቱ እስኪገኝ ድረስ አስፈላጊዎቹ የአልጀብራ ስራዎች ይቀጥላሉ.
ውጤቱም ከዲያግኖቹ አንዱ ከ 1 ጋር እኩል የሆነበት ማትሪክስ መሆን አለበት ፣ እና ሁሉም ሌሎች ጥምርታዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ማለትም ፣ ማትሪክስ ወደ አንድ አሃድ ቅርፅ የተቀነሰ ነው። በስሌቱ በሁለቱም በኩል ከቁጥሮች ጋር ስሌቶችን ማከናወን መዘንጋት የለብንም.
ይህ የመቅዳት ዘዴ ብዙም አስቸጋሪ አይደለም እና ብዙ ያልታወቁ ነገሮችን በመዘርዘር ትኩረታችሁን እንዳይከፋፍሉ ያስችልዎታል።
የማንኛውም የመፍትሄ ዘዴ ነፃ አጠቃቀም እንክብካቤ እና የተወሰነ ልምድ ይጠይቃል። ሁሉም ዘዴዎች ተግባራዊ ተፈጥሮ አይደሉም. አንዳንድ መፍትሄዎችን የመፈለግ ዘዴዎች በተወሰነ የሰው ልጅ እንቅስቃሴ ውስጥ የበለጠ ተመራጭ ናቸው ፣ ሌሎች ደግሞ ለትምህርታዊ ዓላማዎች አሉ።
የ m መስመራዊ እኩልታዎች ከ n የማይታወቁ ጋርየቅጹ ስርዓት ተብሎ ይጠራል
የት አ ijእና b i (እኔ=1,…,ኤም; ለ=1,…,n) አንዳንድ የታወቁ ቁጥሮች ናቸው, እና x 1 ፣…, x n- ያልታወቀ. በ Coefficients ስያሜ ውስጥ አ ijየመጀመሪያ መረጃ ጠቋሚ እኔየእኩልታ ቁጥርን ያመለክታል, እና ሁለተኛው ጄ- ይህ ቅንጅት የሚቆምበት ያልታወቀ ቁጥር።
ለማይታወቁት ቅንጅቶችን በማትሪክስ መልክ እንጽፋለን። 
እኛ የምንጠራው የስርዓቱ ማትሪክስ.
በእኩልታዎቹ በቀኝ በኩል ያሉት ቁጥሮች ናቸው። b 1፣…፣b mተብለው ይጠራሉ ነጻ አባላት.
ድምር nቁጥሮች ሐ 1፣…፣c nተብሎ ይጠራል ውሳኔየአንድ የተወሰነ ስርዓት ፣ እያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልነት ቁጥሮችን ከተተካ በኋላ እኩልነት ከሆነ ሐ 1፣…፣c nበምትኩ ተጓዳኝ የማይታወቁ x 1 ፣…, x n.
የእኛ ተግባር ለስርዓቱ መፍትሄዎችን መፈለግ ይሆናል. በዚህ ሁኔታ ሶስት ሁኔታዎች ሊፈጠሩ ይችላሉ-
ቢያንስ አንድ መፍትሄ ያለው የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ይባላል መገጣጠሚያ. አለበለዚያ, i.e. ስርዓቱ ምንም መፍትሄዎች ከሌለው, ከዚያም ይባላል የጋራ ያልሆነ.
ለስርዓቱ መፍትሄ የምንፈልግባቸውን መንገዶች እናስብ።
የማትሪክስ ዘዴ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት
ማትሪክስ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በአጭሩ ለመፃፍ ያስችለዋል። ከሶስት የማይታወቁ የ 3 እኩልታዎች ስርዓት ይስጥ፡
የስርዓት ማትሪክስ አስቡበት 
እና ያልታወቁ እና ነፃ ውሎች አምዶችን ያማክራል። 
ስራውን እንፈልግ
እነዚያ። በምርቱ ምክንያት, የዚህን ስርዓት እኩልታዎች በግራ በኩል እናገኛለን. ከዚያም, የማትሪክስ እኩልነት ፍቺን በመጠቀም, ይህ ስርዓት በቅጹ ውስጥ ሊጻፍ ይችላል
ወይም አጭር ሀ∙X=B.
ማትሪክስ እነኚሁና። ሀእና ለይታወቃሉ, እና ማትሪክስ Xየማይታወቅ. እሱን ለማግኘት አስፈላጊ ነው, ምክንያቱም ... የእሱ ንጥረ ነገሮች ለዚህ ስርዓት መፍትሄ ናቸው. ይህ እኩልታ ይባላል የማትሪክስ እኩልታ.
የማትሪክስ መወሰኛ ከዜሮ ይለይ | ሀ| ≠ 0. ከዚያም የማትሪክስ እኩልታ እንደሚከተለው ተፈትቷል. በግራ በኩል ያለውን የእኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በማትሪክስ ማባዛት። ሀ-1, የማትሪክስ ተገላቢጦሽ ሀ. ምክንያቱም ሀ -1 ሀ = ኢእና ኢ∙X = X, ከዚያም በቅጹ ውስጥ ለማትሪክስ እኩልታ መፍትሄ እናገኛለን X = A -1 B .
የተገላቢጦሹ ማትሪክስ ለካሬ ማትሪክስ ብቻ ሊገኝ ስለሚችል የማትሪክስ ዘዴ ሊፈታ የሚችለው እነዚህን ስርዓቶች ብቻ ነው. የእኩልታዎች ብዛት ከማያውቁት ቁጥር ጋር ይዛመዳል. ሆኖም ፣ የስርዓቱ ማትሪክስ ቀረጻ እንዲሁ የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁ ቁጥሮች ጋር እኩል ካልሆነ ፣ ከዚያ ማትሪክስ እንዲሁ ይቻላል ። ሀካሬ አይሆንም እና ስለዚህ በቅጹ ላይ ለስርዓቱ መፍትሄ ለማግኘት የማይቻል ነው X = A -1 B.
ምሳሌዎች።የእኩልታዎች ስርዓቶችን ይፍቱ.
የ CRAMER ደንብ
ከሶስት የማይታወቁ ጋር የ3 መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን አስቡ።
ከስርአቱ ማትሪክስ ጋር የሚዛመድ የሶስተኛ ደረጃ መወሰኛ, ማለትም. ለማይታወቁ ውህዶች የተዋቀረ፣
ተብሎ ይጠራል የስርዓቱን የሚወስን.
ሶስት ተጨማሪ መወሰኛዎችን እንደሚከተለው እናዘጋጅ፡- በቅደም ተከተል 1፣ 2 እና 3 አምዶችን በመወሰን ዲ ውስጥ በነፃ ቃላት አምድ እንተካ።
ከዚያም የሚከተለውን ውጤት ማረጋገጥ እንችላለን.
ቲዮረም (የክሬመር አገዛዝ).የስርዓቱ Δ ≠ 0 የሚወስነው ከሆነ, ከግምት ውስጥ ያለው ስርዓት አንድ እና አንድ መፍትሄ ብቻ ነው, እና
ማረጋገጫ. እንግዲያው፣ ሦስት የማይታወቁ የ 3 እኩልታዎች ስርዓትን እንመልከት። የስርአቱን 1ኛ እኩልታ በአልጀብራ ማሟያ እናባዛው አ 11ኤለመንት ሀ 11, 2 ኛ እኩልታ - በርቷል አ 21እና 3 ኛ - በርቷል አ 31:
እነዚህን እኩልታዎች እንጨምር፡-
እያንዳንዱን ቅንፎች እና የዚህን እኩልታ የቀኝ ጎን እንይ። በ 1 ኛ ዓምድ አካላት ውስጥ የመወሰን መስፋፋት ላይ ባለው ጽንሰ-ሐሳብ
በተመሳሳይም, ያንን እና ማሳየት ይቻላል.
በመጨረሻም, ያንን ማስተዋል ቀላል ነው 
ስለዚህ, እኩልነትን እናገኛለን: .
ስለዚህም .
እኩልነት እና በተመሳሳይ መልኩ የተገኙ ናቸው, ከእሱ የንድፈ ሃሳብ መግለጫው ይከተላል.
ስለዚህ, የስርዓቱ መወሰኛ Δ ≠ 0 ከሆነ, ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ እንዳለው እና በተቃራኒው እንደሆነ እናስተውላለን. የስርአቱ ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ስርዓቱ ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ብዛት አለው ወይም ምንም መፍትሄዎች የሉትም ፣ ማለትም። የማይጣጣም.
ምሳሌዎች።የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት
የጋውስ ዘዴ
ቀደም ሲል የተብራሩት ዘዴዎች የእኩልታዎች ቁጥር ከማይታወቁ ቁጥሮች ጋር የሚጣጣሙባቸውን ስርዓቶች ብቻ ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ, እና የስርዓቱ መወሰኛ ከዜሮ የተለየ መሆን አለበት. የጋውስ ዘዴ የበለጠ ዓለም አቀፋዊ እና ከማንኛውም እኩልታዎች ላላቸው ስርዓቶች ተስማሚ ነው። የማይታወቁትን ከስርአቱ እኩልታዎች ወጥነት ባለው መልኩ ማስወገድን ያካትታል።
ከሶስት የማይታወቁ ጋር የሶስት እኩልታዎች ስርዓት እንደገና አስቡበት፡
.
የመጀመሪያውን እኩልታ ሳይለወጥ እንተወዋለን, እና ከ 2 ኛ እና 3 ኛ ውስጥ ያሉትን ውሎች እናስወግዳለን x 1. ይህንን ለማድረግ ሁለተኛውን እኩልታ በ ሀ 21 እና ማባዛት - ሀ 11, እና ከዚያ ወደ 1 ኛ እኩልነት ያክሉት. በተመሳሳይ, ሶስተኛውን እኩልታ በ ሀ 31 እና ማባዛት - ሀ 11, እና ከዚያ ከመጀመሪያው ጋር ይጨምሩ. በውጤቱም, ዋናው ስርዓት ቅጹን ይወስዳል:
አሁን ከመጨረሻው እኩልታ ያለውን ቃል እናስወግዳለን x 2. ይህንን ለማድረግ, የሶስተኛውን እኩልታ በ, በማባዛት እና ከሁለተኛው ጋር ይጨምሩ. ከዚያ የእኩልታዎች ስርዓት ይኖረናል፡-
ከዚህ, ከመጨረሻው እኩልታ ማግኘት ቀላል ነው x 3, ከዚያም ከ 2 ኛ እኩልታ x 2እና በመጨረሻም ፣ ከ 1 ኛ - x 1.
የ Gaussian ዘዴን ሲጠቀሙ, አስፈላጊ ከሆነ እኩልታዎቹ ሊለዋወጡ ይችላሉ.
ብዙ ጊዜ፣ አዲስ የእኩልታዎች ስርዓት ከመፃፍ ይልቅ፣ የተራዘመውን የስርዓቱን ማትሪክስ በመፃፍ እራሳቸውን ይገድባሉ፡-
እና ከዚያም የአንደኛ ደረጃ ለውጦችን በመጠቀም ወደ ሶስት ማዕዘን ወይም ሰያፍ ቅርጽ አምጡ.
ለ የመጀመሪያ ደረጃ ለውጦችማትሪክስ የሚከተሉትን ለውጦች ያካትታል:
- ረድፎችን ወይም ዓምዶችን ማስተካከል;
- ሕብረቁምፊን ከዜሮ በተለየ ቁጥር ማባዛት;
- ሌሎች መስመሮችን ወደ አንድ መስመር ማከል.
ምሳሌዎች፡-የ Gauss ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ስርዓቶችን ይፍቱ።
ስለዚህ, ስርዓቱ ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት.