በሶስት ነጥቦች ላይ የአውሮፕላኑ እኩልነት ግንባታ. የአውሮፕላን እኩልታ: እንዴት እንደሚፃፍ? የአውሮፕላን እኩልታዎች ዓይነቶች

አንድ አውሮፕላን በየትኛውም የሶስት ነጥብ ህዋ ላይ ለመሳል እነዚህ ነጥቦች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ እንዳይቀመጡ ያስፈልጋል።

ነጥቦቹን M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) በጋራ የካርቴዥያን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ያሉትን ነጥቦች አስቡባቸው።

የዘፈቀደ ነጥብ M (x, y, z) ከነጥቦቹ M 1, M 2, M 3 ጋር በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ እንዲተኛ, ቬክተሮች ኮፕላላር መሆን አለባቸው.

(
) = 0

ስለዚህም

በሦስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ፡-

የአውሮፕላኑ እኩልነት ከሁለት ነጥብ እና ከአውሮፕላኑ ጋር የቬክተር ኮሊነር.

ነጥቦቹ M 1 (x 1፣ y 1፣ z 1)፣ M 2 (x 2፣ y 2፣ z 2) እና ቬክተር
.

በተሰጡት ነጥቦች M 1 እና M 2 ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልነት እና ከቬክተሩ ጋር ትይዩ የሆነ የዘፈቀደ ነጥብ M (x, y, z) እናዘጋጅ. .

ቬክተሮች
እና ቬክተር
ኮፕላላር መሆን አለበት, ማለትም.

(
) = 0

የአውሮፕላን እኩልታ፡-

የአውሮፕላን እኩልነት ከአንድ ነጥብ እና ሁለት ቬክተር ጋር ፣

ኮላይኔር አውሮፕላን.

ሁለት ቬክተሮች ይሰጡ
እና
, ኮላይነር አውሮፕላኖች. ከዚያም የዘፈቀደ ነጥብ M(x፣ y፣z) የአውሮፕላኑ ንብረት የሆነው ቬክተሮች
ኮፕላላር መሆን አለበት.

የአውሮፕላን እኩልታ፡-

የአውሮፕላን እኩልታ በነጥብ እና በመደበኛ ቬክተር .

ቲዎረም. ነጥብ M በጠፈር ውስጥ ከተሰጠ 0 (ኤክስ 0 , y 0 , ዝ 0 ), ከዚያም በነጥብ ኤም በኩል የሚያልፍ የአውሮፕላኑ እኩልነት 0 ወደ ተለመደው ቬክተር ቀጥ ያለ (ሀ, ለ, ሲ) መምሰል:

ሀ(x – x 0 ) + ለ(y – y 0 ) + ሲ(ዝ – ዝ 0 ) = 0.

ማረጋገጫ። የአውሮፕላኑ ንብረት የሆነ የዘፈቀደ ነጥብ M(x፣ y፣ z) ቬክተር እንፈጥራለን። ምክንያቱም ቬክተር - የተለመደው ቬክተር, ከዚያም በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ ነው, እና ስለዚህ, በቬክተሩ ላይ ቀጥ ያለ ነው.
. ከዚያም scalar ምርት

= 0

ስለዚህ, የአውሮፕላኑን እኩልነት እናገኛለን

ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.

በክፍሎች ውስጥ የአውሮፕላን እኩልነት.

በአጠቃላይ እኩልታ Ax + Wu + Cz + D \u003d 0 ከሆነ ሁለቱንም ክፍሎች በ (-D) ይከፋፍሏቸው

,

መተካት
, የአውሮፕላኑን እኩልነት በክፍሎች እናገኛለን:

ቁጥሮች a, b, c የአውሮፕላኑ መገናኛ ነጥቦች ናቸው, በቅደም ተከተል, በ x, y, z ዘንጎች.

የአውሮፕላን እኩልታ በቬክተር መልክ።

የት

- ራዲየስ-ቬክተር የአሁኑ ነጥብ M (x, y, z),

የቋሚው አቅጣጫ ያለው አሃድ ቬክተር ከመነሻው ወደ አውሮፕላኑ ወረደ።

፣  እና  በዚህ ቬክተር የ x፣ y፣ z መጥረቢያ ያላቸው ማዕዘኖች ናቸው።

p የዚህ ቀጥ ያለ ርዝመት ነው.

በመጋጠሚያዎች ውስጥ፣ ይህ እኩልታ ቅጽ አለው፡-

xcos + ycos + zcos - p = 0.

ከአንድ ነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት.

በዘፈቀደ ነጥብ M 0 (x 0, y 0, z 0) ወደ አውሮፕላን Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 ያለው ርቀት:

ለምሳሌ.ነጥቡ P (4; -3; 12) ከመነሻው ወደዚህ አውሮፕላን የወረደው የፔንዲኩላር መሠረት መሆኑን በማወቅ የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፈልጉ።

ስለዚህ A = 4/13; ለ = -3/13; C = 12/13፣ ቀመሩን ይጠቀሙ፡-

አ (x - x 0 ) + B (y - y 0 ) + ሲ (ዝ-ዝ 0 ) = 0.

ለምሳሌ.በሁለት ነጥቦች P (2; 0; -1) እና የሚያልፍ የአውሮፕላን እኩልታ ያግኙ

ጥ (1; -1; 3) ከአውሮፕላኑ ጋር ቀጥ ያለ ነው 3x + 2y - z + 5 = 0.

መደበኛ ቬክተር ወደ አውሮፕላኑ 3x + 2y - z + 5 = 0
ከተፈለገው አውሮፕላን ጋር ትይዩ.

እናገኛለን፡-

ለምሳሌ.በነጥቦች A (2, -1, 4) እና በአውሮፕላኑ ውስጥ የሚያልፈውን እኩልታ ያግኙ

В (3, 2, -1) በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ X + በ + 2ዝ – 3 = 0.

የሚፈለገው የአውሮፕላን እኩልታ ቅፅ አለው፡ ሀ x+ለ y+ ሲ ዝ+ D = 0, ለዚህ አውሮፕላን የተለመደው ቬክተር (A, B, C) ቬክተር
(1፣ 3፣ -5) የአውሮፕላኑ ነው። የተሰጠን አውሮፕላን፣ ወደሚፈለገው ቀጥ ያለ፣ መደበኛ ቬክተር አለው። (1፣ 1፣ 2) ምክንያቱም ነጥቦች A እና B የሁለቱም አውሮፕላኖች ናቸው, እና አውሮፕላኖቹ እርስ በእርሳቸው ቀጥ ያሉ ናቸው, ከዚያ

ስለዚህ የተለመደው ቬክተር (11, -7, -2). ምክንያቱም ነጥብ A የሚፈለገው አውሮፕላን ነው, ከዚያም መጋጠሚያዎቹ የዚህን አውሮፕላን እኩልነት ማሟላት አለባቸው, ማለትም. 112 + 71 - 24 + D= 0፤ D= -21።

በአጠቃላይ የአውሮፕላኑን እኩልነት እናገኛለን፡ 11 x - 7y – 2ዝ – 21 = 0.

ለምሳሌ.ነጥቡ P (4, -3, 12) ከመነሻው ወደዚህ አውሮፕላን የወረደው ቋሚ መሠረት መሆኑን በማወቅ የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፈልጉ።

የመደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎችን ማግኘት
= (4, -3, 12). የሚፈለገው የአውሮፕላኑ እኩልታ ቅፅ አለው፡ 4 x – 3y + 12ዝ+ D = 0. Coefficient D ለማግኘት፣ የነጥቡን መጋጠሚያዎች Р ወደ ቀመር እንተካለን።

16 + 9 + 144 + D = 0

በጠቅላላው ፣ የተፈለገውን እኩልታ እናገኛለን 4 x – 3y + 12ዝ – 169 = 0

ለምሳሌ.የፒራሚድ ጫፎች ሀ 1 (1፤ 0፤ 3)፣ A 2 (2፤ -1፤ 3)፣ A 3 (2፤ 1፤ 1) መጋጠሚያዎች ተሰጥቷል።

የጠርዙን ርዝመት ያግኙ A 1 A 2 .

በ A 1 A 2 እና A 1 A 4 መካከል ያለውን አንግል ያግኙ።

በጠርዙ A 1 A 4 እና ፊት A 1 A 2 A 3 መካከል ያለውን አንግል ያግኙ.

በመጀመሪያ መደበኛውን ቬክተር ከፊት A 1 A 2 A 3 ያግኙ እንደ የቬክተሮች መስቀል ምርት
እና
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

በተለመደው ቬክተር እና በቬክተር መካከል ያለውን አንግል ይፈልጉ
.

-4 – 4 = -8.

የሚፈለገው አንግል  በቬክተር እና በአውሮፕላኑ መካከል  = 90 0 -  እኩል ይሆናል.

የፊት አካባቢን ያግኙ A 1 A 2 A 3 .

የፒራሚዱን መጠን ይፈልጉ።

የአውሮፕላኑን እኩልታ ያግኙ А 1 А 2 А 3 .

በሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላን እኩልነት ቀመር እንጠቀማለን.

2x + 2ይ + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

የፒሲውን ስሪት ሲጠቀሙ " የከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት"ከላይ ያለውን ምሳሌ ለማንኛውም የፒራሚድ ጫፎች መጋጠሚያዎች የሚፈታ ፕሮግራም ማሄድ ይችላሉ።

ፕሮግራሙን ለማስጀመር አዶውን ሁለቴ ጠቅ ያድርጉ።

በሚከፈተው የፕሮግራም መስኮት ውስጥ የፒራሚድ ጫፎችን መጋጠሚያዎች ያስገቡ እና አስገባን ይጫኑ. ስለዚህ ሁሉም የውሳኔ ሃሳቦች አንድ በአንድ ሊገኙ ይችላሉ.

ማሳሰቢያ፡ ፕሮግራሙን ለማስኬድ Maple ( ዋተርሉ ማፕል ኢንክ) በኮምፒውተርዎ ላይ መጫን አለቦት፣ ማንኛውም ከ MapleV Release 4 ጀምሮ የሚጀምር ስሪት።

በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት የተሰጡ ነጥቦችን የሚያልፈውን የአውሮፕላን እኩልነት መፈለግ አስፈላጊ ነው. ራዲየስ ቬክተሮቻቸውን በ እና የአሁኑን ራዲየስ ቬክተር በ በመጥቀስ የተፈለገውን እኩልነት በቬክተር መልክ በቀላሉ ማግኘት እንችላለን። በእርግጥ, ቬክተሮች, ኮፕላላር መሆን አለባቸው (ሁሉም በተፈለገው አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ). ስለዚህ የእነዚህ ቬክተሮች የቬክተር-ስካላር ምርት ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለበት፡-

ይህ በቬክተር መልክ በሦስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የአውሮፕላን እኩልነት ነው።

ወደ መጋጠሚያዎቹ ስንዞር፣ በመገጣጠሚያዎች ውስጥ ያለውን እኩልታ እናገኛለን፡-

ሦስቱ የተሰጡት ነጥቦች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ ቢተኛ፣ ቬክተሮቹ ኮላይነር ይሆናሉ። ስለዚህ፣ በቀመር (18) ውስጥ ያሉት የመጨረሻዎቹ ሁለት ረድፎች ተጓዳኝ አካላት ተመጣጣኝ እና ወሳኙ በተመሳሳይ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል። ስለዚህ፣ እኩልታ (18) ለማንኛውም የ x፣ y እና z እሴቶች መለያ ይሆናል። በጂኦሜትሪ ፣ ይህ ማለት አውሮፕላን በእያንዳንዱ የቦታ ነጥብ ውስጥ ያልፋል ፣ በዚህ ውስጥ ሶስት የተሰጡ ነጥቦችም ይተኛሉ።

አስተያየት 1. ተመሳሳይ ችግር ቬክተር ሳይጠቀም ሊፈታ ይችላል.

የሶስቱን ነጥቦች መጋጠሚያዎች በመጥቀስ ፣ በቅደም ተከተል ፣ የመጀመሪያውን ነጥብ የሚያልፈውን ማንኛውንም አውሮፕላን እኩልነት እንጽፋለን-

የተፈለገውን አውሮፕላን እኩልነት ለማግኘት፣ እኩልታ (17) በሌሎቹ ሁለት ነጥቦች መጋጠሚያዎች እንዲረካ መጠየቅ አለበት።

ከእኩልታዎች (19) ፣ የሁለት ውህዶችን ሬሾን ወደ ሦስተኛው መወሰን እና የተገኙትን እሴቶች ወደ ቀመር (17) ማስገባት ያስፈልጋል።

ምሳሌ 1. በነጥቦች ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይጻፉ።

ከእነዚህ ነጥቦች ውስጥ በመጀመሪያ የሚያልፈው አውሮፕላን እኩልታ ይሆናል፡-

አውሮፕላኑ (17) በሌሎች ሁለት ነጥቦች ውስጥ ለማለፍ ቅድመ ሁኔታዎች እና የመጀመሪያው ነጥብ የሚከተሉት ናቸው.

ሁለተኛውን እኩልታ ወደ መጀመሪያው በማከል የሚከተለውን እናገኛለን

በሁለተኛው እኩልታ በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-

ከ A፣ B፣ C፣ በቅደም ተከተል፣ 1፣ 5፣ -4 (ከነሱ ጋር ተመጣጣኝ ቁጥሮች) ወደ ቀመር (17) በመተካት፡-

ምሳሌ 2. በነጥቦቹ (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2) ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይጻፉ.

በነጥቡ (0, 0, 0) ውስጥ የሚያልፈው የማንኛውም አውሮፕላን እኩልነት ይሆናል]

ይህንን አውሮፕላን በነጥቦች (1 ፣ 1 ፣ 1) እና (2 ፣ 2 ፣ 2) ለማለፍ ቅድመ ሁኔታዎች የሚከተሉት ናቸው ።

ሁለተኛውን እኩልታ በ 2 በመቀነስ፣ ሁለቱን ያልታወቁትን ለማወቅ፣ ግንኙነቱ አንድ እኩልታ እንዳለው እናያለን።

ከዚህ እናገኛለን. ከዋጋው ይልቅ አሁን ወደ አውሮፕላን እኩልነት በመተካት የሚከተለውን እናገኛለን፡-

ይህ የሚፈለገው አውሮፕላን እኩልነት ነው; በዘፈቀደ ይወሰናል

መጠኖች B, C (ይህም ከሬሾው, ማለትም, በሦስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፉ ማለቂያ የሌለው ቁጥር ያላቸው አውሮፕላኖች አሉ (ሶስት የተሰጡ ነጥቦች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ ይተኛሉ).

ማሳሰቢያ 2. አውሮፕላንን በሦስት የተሰጡ ነጥቦች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ በማይተኛበት መንገድ የመሳል ችግር በቀላሉ የሚፈታው በአጠቃላይ መልኩ ነው ወሳኙን ከተጠቀምን. በእርግጥ፣ በሒሳብ (17) እና (19) አሃዞች A፣ B፣ C በአንድ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆኑ ስለማይችሉ፣ እነዚህን እኩልታዎች እንደ አንድ ወጥ ሥርዓት በመመልከት፣ ከሦስት የማይታወቁ A፣ B፣ C ጋር፣ አስፈላጊ እና በቂ የሆነ ነገር እንጽፋለን። የዚህ ሥርዓት መፍትሔ መኖር ሁኔታ፣ ከዜሮ ሌላ (ክፍል 1፣ ምዕራፍ VI፣ § 6)

ይህንን መወሰኛ በአንደኛው ረድፍ አካላት በማስፋፋት ፣ አሁን ካሉት መጋጠሚያዎች ጋር በተያያዘ የመጀመሪያ ዲግሪውን እኩልታ እናገኛለን ፣ በተለይም በሦስት የተሰጡት ነጥቦች መጋጠሚያዎች ይረካሉ ።

የነዚህን ነጥቦች መጋጠሚያዎች ወሳኙን ተጠቅመን በተጻፈው እኩልነት ውስጥ የምንተካ ከሆነ ይህ የኋለኛው ደግሞ በቀጥታ ሊረጋገጥ ይችላል። በግራ በኩል, የመጀመሪያው ረድፍ ንጥረ ነገሮች ዜሮ ሲሆኑ, ወይም ሁለት ተመሳሳይ ረድፎች ያሉት መወሰኛ ተገኝቷል. ስለዚህ, የተቀናበረው እኩልታ በሶስት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላንን ይወክላል.

የአውሮፕላን እኩልታ. ለአውሮፕላን እኩልታ እንዴት እንደሚፃፍ?
የአውሮፕላኖች የጋራ አቀማመጥ. ተግባራት

የቦታ ጂኦሜትሪ ከ "ጠፍጣፋ" ጂኦሜትሪ በጣም የተወሳሰበ አይደለም, እና በቦታ ውስጥ የእኛ በረራዎች በዚህ ጽሑፍ ይጀምራሉ. ርዕሱን ለመረዳት አንድ ሰው በደንብ መረዳት አለበት ቬክተሮች, በተጨማሪም, ከአውሮፕላኑ ጂኦሜትሪ ጋር መተዋወቅ የሚፈለግ ነው - ብዙ ተመሳሳይነት, ብዙ ተመሳሳይነት ይኖረዋል, ስለዚህ መረጃው በተሻለ ሁኔታ እንዲዋሃድ ይደረጋል. በተከታታይ ትምህርቶቼ, 2D ዓለም በአንድ ጽሑፍ ይከፈታል በአውሮፕላን ላይ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ. አሁን ግን ባትማን ከጠፍጣፋው ስክሪን ቲቪ ወጥቶ ከባይኮኑር ኮስሞድሮም እየጀመረ ነው።

በሥዕሎች እና ምልክቶች እንጀምር. በሥርዓት ፣ አውሮፕላኑ እንደ ትይዩ ሊሳል ይችላል ፣ ይህም የቦታ ስሜትን ይሰጣል-

አውሮፕላኑ ገደብ የለሽ ነው, ነገር ግን የእሱን ቁራጭ ብቻ ለማሳየት እድሉ አለን. በተግባር ፣ ከትይዩው በተጨማሪ ኦቫል ወይም ደመና እንኳን ይሳሉ። ለቴክኒካዊ ምክንያቶች አውሮፕላኑን በዚህ መንገድ እና በዚህ አቀማመጥ ለማሳየት ለእኔ የበለጠ አመቺ ነው. በተግባራዊ ምሳሌዎች ውስጥ የምንመረምረው እውነተኛ አውሮፕላኖች እንደወደዱት ሊደረደሩ ይችላሉ - በአእምሯዊ ሁኔታ ስዕሉን በእጆችዎ ይውሰዱ እና በጠፈር ውስጥ በማጣመም አውሮፕላኑን ማንኛውንም ተዳፋት ፣ ማንኛውንም አንግል ይስጡት።

ማስታወሻ፦ አውሮፕላኖችን በትናንሽ የግሪክ ፊደላት መሰየም የተለመደ ነው፣ እንዳይምታታ በቀጥታ በአውሮፕላኑ ላይወይም ጋር በቀጥታ በጠፈር ውስጥ. ደብዳቤውን መጠቀም ለምጃለሁ። በሥዕሉ ላይ, "ሲግማ" የሚለው ፊደል ነው, እና ምንም ቀዳዳ አይደለም. ምንም እንኳን, የሆሊ አውሮፕላን, በእርግጥ በጣም አስቂኝ ነው.

በአንዳንድ ሁኔታዎች አውሮፕላኖችን ለመሰየም ተመሳሳይ የግሪክ ፊደላትን ከደንበኝነት ምዝገባዎች ጋር ለመጠቀም ምቹ ነው።

አውሮፕላኑ ልዩ በሆነ መልኩ በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ በማይተኛ በሶስት የተለያዩ ነጥቦች እንደሚወሰን ግልጽ ነው. ስለዚህ ፣ የአውሮፕላኖች ባለ ሶስት ፊደል ስያሜዎች በጣም ተወዳጅ ናቸው - እንደነሱ ባሉ ነጥቦች ፣ ለምሳሌ ፣ ወዘተ. ብዙ ጊዜ ፊደሎች በቅንፍ ውስጥ ተዘግተዋል፡- , አውሮፕላኑን ከሌላ የጂኦሜትሪክ ምስል ጋር ላለማሳሳት.

ልምድ ላላቸው አንባቢዎች, እሰጣለሁ አቋራጭ ምናሌ:

• ነጥብ እና ሁለት ቬክተሮችን በመጠቀም ለአውሮፕላን እኩልታ እንዴት እንደሚፃፍ?
• ነጥብ እና መደበኛ ቬክተር በመጠቀም ለአውሮፕላን እኩልታ እንዴት እንደሚፃፍ?

ለረጅም ጊዜ በመጠባበቅ አንታክትም።

የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልታ

የአውሮፕላኑ አጠቃላይ እኩልነት ቅጹ አለው, የትኩረት ማመሳከሪያዎች በተመሳሳይ ጊዜ ዜሮ ያልሆኑ ናቸው.

በርካታ የንድፈ ሃሳባዊ ስሌቶች እና የተግባር ችግሮች ለሁለቱም ለወትሮው ኦርቶዶክሳዊ መሠረት እና ለጠፈር መሠረት (ዘይት ዘይት ከሆነ ወደ ትምህርቱ ይመለሱ) የቬክተሮች ቀጥተኛ (ያልሆኑ) ጥገኛ። የቬክተር መሰረት). ለቀላልነት፣ ሁሉም ክስተቶች የተከሰቱት በኦርቶዶክሳዊ መሠረት እና የካርቴዥያ አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ነው ብለን እንገምታለን።

እና አሁን ትንሽ የቦታ ምናብ እናሰልጥን። መጥፎ ከሆነ ችግር የለውም, አሁን ትንሽ እናዘጋጃለን. በነርቭ ላይ መጫወት እንኳን ልምምድ ይጠይቃል.

በጥቅሉ ሲታይ፣ ቁጥሮቹ ከዜሮ ጋር እኩል በማይሆኑበት ጊዜ፣ አውሮፕላኑ ሶስቱን የመጋጠሚያ መጥረቢያዎች ያቋርጣል። ለምሳሌ፣ እንደዚህ፡-

አሁንም በድጋሚ እደግመዋለሁ አውሮፕላኑ በሁሉም አቅጣጫዎች ላልተወሰነ ጊዜ እንደሚቀጥል እና የተወሰነውን ክፍል ብቻ ለማሳየት እድሉ አለን.

በጣም ቀላል የሆኑትን የአውሮፕላኖች እኩልታዎች አስቡባቸው፡-

ይህን እኩልታ እንዴት መረዳት ይቻላል? እስቲ አስቡት፡ “Z” ሁል ጊዜ፣ ለማንኛውም የ “X” እና “Y” እሴቶች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው። ይህ የ"ቤተኛ" አስተባባሪ አውሮፕላን እኩልነት ነው። በእውነቱ ፣ በመደበኛነት ፣ እኩልታው እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል- , እኛ ግድ እንደማይሰጠን በግልጽ ከሚታየው ቦታ, "x" እና "y" የሚወስዱትን ዋጋዎች, "z" ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አስፈላጊ ነው.

በተመሳሳይ፡-
የመጋጠሚያው አውሮፕላን እኩልነት ነው;
የመጋጠሚያው አውሮፕላን እኩልነት ነው.

ችግሩን በጥቂቱ እናወሳስበው፣ አውሮፕላንን አስቡበት (እዚህ እና በተጨማሪ በአንቀጹ ውስጥ የቁጥር መለኪያዎች ከዜሮ ጋር እኩል እንዳልሆኑ እንገምታለን። ቅጹን እንደገና እንጽፈው፡. እሱን እንዴት መረዳት ይቻላል? "X" ሁል ጊዜ ነው፣ ለማንኛውም የ"y" እና "z" እሴት ከተወሰነ ቁጥር ጋር እኩል ነው። ይህ አውሮፕላን ከአስተባበሪው አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው. ለምሳሌ, አውሮፕላን ከአውሮፕላን ጋር ትይዩ እና በአንድ ነጥብ ውስጥ ያልፋል.

በተመሳሳይ፡-
- የአውሮፕላኑ እኩልነት, ከመጋጠሚያው አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው;
- ከመጋጠሚያው አውሮፕላን ጋር ትይዩ የሆነ የአውሮፕላን እኩልነት.

አባላትን ያክሉ፡. እኩልታው እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል፡ ማለትም “Z” ማንኛውም ሊሆን ይችላል። ምን ማለት ነው? "X" እና "Y" በአውሮፕላኑ ውስጥ የተወሰነ ቀጥተኛ መስመር በሚያወጣ ሬሾ ተያይዘዋል (እርስዎ ያውቁታል። በአውሮፕላን ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ?) Z ምንም ሊሆን ስለሚችል, ይህ መስመር በማንኛውም ከፍታ ላይ "ይባዛል". ስለዚህ, እኩልታው ከአስማሚው ዘንግ ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን ይገልጻል

በተመሳሳይ፡-
- የአውሮፕላኑ እኩልነት, ከመጋጠሚያው ዘንግ ጋር ትይዩ ነው;
- የአውሮፕላኑ እኩልነት, ከመጋጠሚያው ዘንግ ጋር ትይዩ ነው.

ነፃ ቃላቶቹ ዜሮ ከሆኑ, አውሮፕላኖቹ በቀጥታ በተዛማጅ መጥረቢያዎች ውስጥ ያልፋሉ. ለምሳሌ, ክላሲክ "ቀጥታ ተመጣጣኝነት":. በአውሮፕላኑ ውስጥ ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ እና በአዕምሯዊ ሁኔታ ወደ ላይ እና ወደ ታች ያባዙት ("z" ስላለ)። ማጠቃለያ-በቀመር የተሰጠው አውሮፕላን በተቀናጀ ዘንግ በኩል ያልፋል።

ግምገማውን እንጨርሳለን-የአውሮፕላኑ እኩልነት በመነሻው በኩል ያልፋል. ደህና፣ እዚህ ነጥቡ የተሰጠውን እኩልታ እንደሚያረካ በጣም ግልጽ ነው።

እና በመጨረሻም ፣ በሥዕሉ ላይ የሚታየው ጉዳይ: - አውሮፕላኑ በሁሉም ስምንት ኦክታተሮች ውስጥ ሊገኝ የሚችል ትሪያንግል “ይቆርጣል” እያለ ከሁሉም አስተባባሪ መጥረቢያዎች ጋር ጓደኛሞች ነው ።

በጠፈር ውስጥ የመስመር አለመመጣጠን

መረጃውን ለመረዳት በደንብ ማጥናት ያስፈልጋል በአውሮፕላኑ ውስጥ የመስመር አለመመጣጠንምክንያቱም ብዙ ነገሮች ተመሳሳይ ይሆናሉ. ጽሑፉ በተግባር በጣም አልፎ አልፎ ስለሚገኝ አንቀጹ ከጥቂት ምሳሌዎች ጋር አጭር መግለጫ ይሆናል።

እኩልታው አውሮፕላንን የሚገልጽ ከሆነ, እኩል ያልሆኑ
ብለው ይጠይቁ ግማሽ-ክፍተት. አለመመጣጠኑ ጥብቅ ካልሆነ (በዝርዝሩ ውስጥ ያሉት የመጨረሻዎቹ ሁለቱ), ከዚያም የእኩልነት መፍትሄ, ከግማሽ ቦታ በተጨማሪ, አውሮፕላኑን እራሱ ያካትታል.

ምሳሌ 5

የአውሮፕላኑን መደበኛ ቬክተር ያግኙ .

ውሳኔ: ዩኒት ቬክተር ርዝመቱ አንድ የሆነ ቬክተር ነው. ይህንን ቬክተር በ . ቬክተሮቹ ኮላይነር እንደሆኑ ግልጽ ነው፡-

በመጀመሪያ, መደበኛውን ቬክተር ከአውሮፕላኑ እኩልነት እናስወግዳለን: .

ዩኒት ቬክተርን እንዴት ማግኘት ይቻላል? ክፍሉን ቬክተር ለማግኘት, ያስፈልግዎታል እያንዳንዱየቬክተር መጋጠሚያ በቬክተር ርዝመት የተከፈለ.

መደበኛውን ቬክተር በቅጹ ላይ እንደገና እንፃፍ እና ርዝመቱን እንፈልግ፡-

ከላይ ባለው መሰረት፡-

መልስ:

ቼክ:, ይህም ለመፈተሽ አስፈላጊ ነበር.

የትምህርቱን የመጨረሻ አንቀጽ በጥንቃቄ ያጠኑ አንባቢዎች ምናልባት ያንን አስተውለው ይሆናል። የዩኒት ቬክተር መጋጠሚያዎች በትክክል የቬክተሩ አቅጣጫ ኮሲኖች ናቸው:

ከተሰበሰበው ችግር እንውጣ፡- የዘፈቀደ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር ሲሰጥዎት, እና እንደ ሁኔታው ​​የእሱን አቅጣጫ ኮሲኖች ማግኘት ያስፈልጋል (የትምህርቱን የመጨረሻ ተግባራት ይመልከቱ የቬክተሮች ነጥብ ውጤት), ከዚያ እርስዎ, በእውነቱ, እንዲሁም ለተሰጠው ዩኒት ቬክተር ኮሊነር ያገኛሉ. በእውነቱ, በአንድ ጠርሙስ ውስጥ ሁለት ተግባራት.

በአንዳንድ የሂሳብ ትንተና ችግሮች ውስጥ አንድ ክፍል መደበኛ ቬክተር የማግኘት አስፈላጊነት ይነሳል።

የመደበኛውን ቬክተር ማጥመድን አውቀናል ፣ አሁን ተቃራኒውን ጥያቄ እንመልሳለን-

ነጥብ እና መደበኛ ቬክተር በመጠቀም ለአውሮፕላን እኩልታ እንዴት እንደሚፃፍ?

ይህ የመደበኛ ቬክተር እና ነጥብ ግትር ግንባታ በዳርት ዒላማ የታወቀ ነው። እባክህ እጅህን ወደ ፊት ዘርግተህ በአእምሯዊ ሁኔታ የዘፈቀደ ነጥብ በህዋ ላይ ምረጥ፣ ለምሳሌ፣ በጎን ሰሌዳ ውስጥ ያለች ትንሽ ድመት። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, በዚህ ነጥብ በኩል, አንድ ነጠላ አውሮፕላን በእጅዎ ላይ ቀጥ ብሎ መሳል ይችላሉ.

ከቬክተሩ ጋር በአንድ ነጥብ በኩል የሚያልፈው አውሮፕላን እኩልታ በቀመር ተገልጿል፡-

በተለያየ መንገድ (አንድ ነጥብ እና ቬክተር, ሁለት ነጥብ እና ቬክተር, ሶስት ነጥብ, ወዘተ) ሊገለጽ ይችላል. የአውሮፕላኑ እኩልነት የተለያዩ ቅርጾች ሊኖረው የሚችለው ይህንን ግምት ውስጥ በማስገባት ነው. እንዲሁም, በተወሰኑ ሁኔታዎች, አውሮፕላኖቹ ትይዩ, ቀጥ ያለ, የተጠላለፉ, ወዘተ ሊሆኑ ይችላሉ. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለዚህ ጉዳይ እንነጋገራለን. የአውሮፕላኑን አጠቃላይ እኩልነት እንዴት እንደሚጽፉ እና ብቻ ሳይሆን እንማራለን.

የእኩልታው መደበኛ ቅጽ

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት XYZ ያለው የጠፈር R 3 አለ እንበል። ከመጀመሪያው ነጥብ O የሚለቀቀውን ቬክተር α እናስቀምጣለን.

በ P የዘፈቀደ ነጥብ Q=(x፣ y፣ z) አመልክት። የነጥቡን ራዲየስ ቬክተር ከፒ ፊደል ጋር እንፈርማለን። የቬክተር α ርዝመት p=IαI እና Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) ነው።

ይህ ልክ እንደ ቬክተር α ወደ ጎን የሚያመለክት አሃድ ቬክተር ነው። α, β እና γ በቬክተር Ʋ እና በቦታ መጥረቢያ x, y, z መካከል የሚፈጠሩት አንግሎች ናቸው. የአንዳንድ ነጥብ QϵП በቬክተር Ʋ ላይ ያለው ትንበያ ከ р: (р,Ʋ) = р(р≥0) ጋር እኩል የሆነ ቋሚ እሴት ነው.

ይህ እኩልታ ትርጉም ያለው ሲሆን p=0 ነው። ብቸኛው ነገር በዚህ ሁኔታ ውስጥ ያለው አውሮፕላን P ነጥቡን O (α=0) ያቋርጣል, እሱም መነሻው ነው, እና ከ O ነጥብ የተለቀቀው አሃድ ቬክተር Ʋ አቅጣጫው ምንም ይሁን ምን P, perpendicular ይሆናል, ይህም ማለት ነው. ቬክተር Ʋ የሚወሰነው ከምልክት-ትክክለኛነት ነው. የቀደመው እኩልታ በቬክተር መልክ የተገለፀው የፒ አውሮፕላንችን እኩልነት ነው። ግን በቅንጅቶች ውስጥ እንደዚህ ይመስላል

P እዚህ ከ 0 ይበልጣል ወይም እኩል ነው። የአውሮፕላንን እኩልነት በጠፈር ውስጥ በተለመደው መልኩ አግኝተናል።

አጠቃላይ እኩልታ

እኩልታውን በመጋጠሚያዎች ውስጥ ከዜሮ ጋር በማይመሳሰል በማንኛውም ቁጥር ብናባዛው ከተጠቀሰው ጋር እኩል የሆነ እኩልታ እናገኛለን, ይህም ተመሳሳይ አውሮፕላንን ይወስናል. ይህን ይመስላል።

እዚህ A፣ B፣ C በአንድ ጊዜ ከዜሮ የሚለያዩ ቁጥሮች ናቸው። ይህ እኩልታ እንደ አጠቃላይ የአውሮፕላን እኩልነት ይባላል።

የአውሮፕላን እኩልታዎች. ልዩ ጉዳዮች

በአጠቃላይ ቅፅ ውስጥ ያለው እኩልታ ተጨማሪ ሁኔታዎች ሲኖሩ ሊስተካከል ይችላል. አንዳንዶቹን እንመልከት።

Coefficient A 0 እንደሆነ አስብ. ይህ ማለት የተሰጠው አውሮፕላን ከተሰጠው ዘንግ ኦክስ ጋር ትይዩ ነው. በዚህ አጋጣሚ፣ የእኩልታው ቅርፅ ይለወጣል፡ Ву+Cz+D=0።

በተመሳሳይ፣ የእኩልታው ቅርፅ በሚከተሉት ሁኔታዎች ይቀየራል።

• በመጀመሪያ ፣ B = 0 ከሆነ ፣ እኩልታ ወደ Ax + Cz + D = 0 ይቀየራል ፣ ይህም ከኦይ ዘንግ ጋር ትይዩነትን ያሳያል።
• በሁለተኛ ደረጃ, С=0 ከሆነ, ከዚያም እኩልታው ወደ Ах+Ву+D=0 ይቀየራል, ይህም ከተሰጠው ዘንግ ኦዝ ጋር ትይዩነትን ያሳያል.
• በሶስተኛ ደረጃ፣ D=0 ከሆነ፣ እኩልታው Ax+By+Cz=0 ይመስላል፣ ይህ ማለት አውሮፕላኑ O (መነሻውን) ያቋርጣል ማለት ነው።
• አራተኛ፣ A=B=0 ከሆነ፣ እኩልታው ወደ Cz+D=0 ይቀየራል፣ ይህም ከኦክሲ ጋር ትይዩ ይሆናል።
• አምስተኛ፣ B=C=0 ከሆነ፣ እኩልታው Ax+D=0 ይሆናል፣ ይህ ማለት ወደ ኦይዝ የሚሄደው አውሮፕላን ትይዩ ነው።
• ስድስተኛ፣ A=C=0 ከሆነ፣ እኩልታው Ву+D=0 ቅጽ ይወስዳል፣ ማለትም፣ ትይዩነትን ለኦክስዝ ያሳውቃል።

በክፍሎች ውስጥ የእኩልታ አይነት

ቁጥሮች A ፣ B ፣ C ፣ D ዜሮ ካልሆኑ ፣ የእኩልታ ቅርፅ (0) እንደሚከተለው ሊሆን ይችላል ።

x/a + y/b + z/c = 1፣

በየትኛው የ \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

በውጤቱም አግኝተናል ይህ አይሮፕላን የኦክስ ዘንግ መጋጠሚያዎች (a,0,0), Oy - (0,b,0) እና Oz - (0,0,c) ጋር በአንድ ነጥብ ላይ እንደሚያቆራኝ ልብ ሊባል ይገባል. .

እኩልታ x/a +y/b + z/c = 1ን ከግምት ውስጥ በማስገባት የአውሮፕላኑን አቀማመጥ ከተጠቀሰው የማስተባበሪያ ስርዓት አንጻር በምስል ማሳየት ቀላል ነው።

መደበኛ የቬክተር መጋጠሚያዎች

መደበኛው ቬክተር n ለአውሮፕላኑ ፒ የተሰጠው አውሮፕላን አጠቃላይ እኩልታ (coefficients) የሆኑ መጋጠሚያዎች አሉት፣ ማለትም n (A፣ B፣ C)።

የመደበኛውን n መጋጠሚያዎች ለመወሰን, የተሰጠውን አውሮፕላን አጠቃላይ እኩልነት ማወቅ በቂ ነው.

ቀመር x/a +y/b + z/c = 1 የሚል ቅጽ ያለው በክፍሎች ውስጥ ሲጠቀሙ እንዲሁም አጠቃላይ ቀመርን ሲጠቀሙ የአንድ የተወሰነ አውሮፕላን የማንኛውም መደበኛ ቬክተር መጋጠሚያዎችን መፃፍ ይችላል፡ (1) /a + 1/b + 1/ ጋር)።

የተለመደው ቬክተር የተለያዩ ችግሮችን ለመፍታት እንደሚረዳ ልብ ሊባል ይገባል. በጣም የተለመዱት የአውሮፕላኖችን perpendicularity ወይም ትይዩነት የሚያረጋግጡ ተግባራት፣ በአውሮፕላኖች እና በመስመሮች መካከል ማዕዘኖችን ወይም ማዕዘኖችን የመፈለግ ችግሮች ናቸው።

በነጥቡ እና በተለመደው ቬክተር መጋጠሚያዎች መሰረት የአውሮፕላኑ እኩልነት እይታ

ዜሮ ያልሆነ ቬክተር n በተሰጠ አውሮፕላን ላይ ቀጥ ያለ አውሮፕላን መደበኛ (መደበኛ) ይባላል።

በመጋጠሚያው ቦታ (አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት) ኦክሲዝ ተሰጥቷል እንበል፡-

• ነጥብ Mₒ ከመጋጠሚያዎች ጋር (xₒ,yₒ,zₒ);
• ዜሮ ቬክተር n=A*i+B*j+C*k.

ነጥቡን Mₒ ከመደበኛው ጋር የሚያልፈውን አውሮፕላን እኩልታ ማዘጋጀት አስፈላጊ ነው.

በጠፈር ውስጥ ማንኛውንም የዘፈቀደ ነጥብ እንመርጣለን እና በ M (x y, z) እንጠቁማለን. የማንኛውም ነጥብ M (x፣ y፣ z) ራዲየስ ቬክተር r=x*i+y*j+z*k ይሁን፣ እና የነጥቡ ራዲየስ ቬክተር Mₒ (xₒ፣yₒ፣zₒ) - rₒ=xₒ* ይሁን። i+yₒ *j+zₒ*k. ነጥቡ M በተሰጠው አውሮፕላን ውስጥ ይሆናል ቬክተር MₒM በቬክተር n ቀጥ ያለ ከሆነ። ስካላር ምርቱን በመጠቀም የኦርቶዶክሳዊነት ሁኔታን እንጽፋለን-

[MₒM፣ n] = 0

ከ MₒM \u003d r-rₒ ጀምሮ የአውሮፕላኑ የቬክተር እኩልታ ይህን ይመስላል።

ይህ እኩልታ ሌላ መልክ ሊወስድ ይችላል። ይህንን ለማድረግ የስክላር ምርት ባህሪያት ጥቅም ላይ ይውላሉ, እና የግራው ግራ በኩል ይለወጣል. = - . እንደ ሐ ከተገለጸ ፣ የሚከተለው እኩልታ ይገኛል- c \u003d 0 ወይም \u003d c ፣ ይህም የአውሮፕላኑ ንብረት በሆኑት በተሰጡት ነጥቦች ራዲየስ ቬክተር ላይ ያለውን ትንበያ ቋሚነት የሚገልጽ ነው።

አሁን የአውሮፕላናችንን የቬክተር እኩልታ = 0. ከ r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k፣ እና n = A*i+B *j+C*k፣ አለን።

ከመደበኛው n ጋር ቀጥ ባለ ነጥብ የሚያልፈው አውሮፕላን እኩልታ አለን፡-

አ*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0።

የአውሮፕላኑ እኩልነት እይታ በሁለት ነጥቦች መጋጠሚያዎች እና በአውሮፕላኑ ላይ ያለው የቬክተር ኮሊነር

ሁለት የዘፈቀደ ነጥቦችን M′(x′፣y′፣z′) እና M″ (x″፣y″፣z″) እንዲሁም ቬክተር a (a′፣a″፣a‴) እንገልፃለን።

አሁን ለተሰጠው አውሮፕላን እኩልታ መፃፍ እንችላለን፣ እሱም ያሉትን ነጥቦች M′ እና M″፣ እንዲሁም ማንኛውም ነጥብ M ከተሰጠው ቬክተር ጋር ትይዩ መጋጠሚያዎች (x፣ y፣ z) ሀ.

በዚህ ጊዜ ቬክተሮች M'M=(x-x';y-y';z-z′) እና M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) ከቬክተሩ ጋር ኮፕላላር መሆን አለባቸው። a=(a′፣a″፣a‴)፣ ይህም ማለት (M′M፣ M″M፣ a)=0 ማለት ነው።

ስለዚህ፣ በህዋ ላይ ያለው የአውሮፕላን እኩልታችን ይህን ይመስላል።

ሶስት ነጥቦችን የሚያገናኝ የአውሮፕላን እኩልታ አይነት

ሦስት ነጥቦች አሉን እንበል፡ (x′፣ y′፣ z′)፣ (x″፣y″፣z″)፣ (x‴፣y‴፣z‴)፣ እነዚህም የአንድ ቀጥተኛ መስመር ያልሆኑ። በተሰጡት ሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የአውሮፕላኑን እኩልነት መፃፍ አስፈላጊ ነው. የጂኦሜትሪ ፅንሰ-ሀሳብ እንዲህ ዓይነቱ አውሮፕላን በእውነቱ አለ ፣ እሱ ብቻ እና የማይነቃነቅ ነው ይላል። ይህ አውሮፕላን ነጥቡን (x′፣ y′፣ z′) ስለሚያቋርጥ የእኩልታው ቅርፅ እንደሚከተለው ይሆናል።

እዚህ A, B, C በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ይለያሉ. እንዲሁም የተሰጠው አውሮፕላን ሁለት ተጨማሪ ነጥቦችን ያገናኛል፡(x″፣y″፣z″) እና (x‴፣y‴፣z‴)። በዚህ ረገድ የሚከተሉት ሁኔታዎች መሟላት አለባቸው.

አሁን ከማይታወቁ u, v, w: ጋር አንድ ወጥ የሆነ ስርዓት መፃፍ እንችላለን:

በእኛ ሁኔታ፣ x፣ y ወይም z ቀመርን (1) የሚያረካ የዘፈቀደ ነጥብ ነው። ቀመር (1) እና የእኩልታዎች (2) እና (3) ስርዓትን ከግምት ውስጥ በማስገባት ከላይ በምስሉ ላይ የተመለከቱት የእኩልታዎች ስርዓት ቬክተር N (A, B, C) ያረካል, ይህም ቀላል ያልሆነ ነው. ለዚህም ነው የዚህ ስርዓት ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል የሆነው.

ያገኘነው ቀመር (1) የአውሮፕላኑ እኩልነት ነው። በትክክል በ 3 ነጥቦች ውስጥ ያልፋል, እና ይሄ ለመፈተሽ ቀላል ነው. ይህንን ለማድረግ, በመጀመሪያው ረድፍ ላይ ባሉት ንጥረ ነገሮች ላይ የእኛን መወሰኛ ማስፋፋት አለብን. የወሳኙን ነባር ባህሪያት በመከተል አውሮፕላናችን በአንድ ጊዜ በመጀመሪያ የተሰጡ ሶስት ነጥቦችን (x′፣ y′፣ z′)፣ (x″፣y″፣z″)፣ (x‴፣y‴፣z‴) ያገናኛል። . በፊታችን የተቀመጠውን ተግባር ፈትተናል ማለት ነው።

በአውሮፕላኖች መካከል የዲይድራል አንግል

ዳይሄድራል አንግል ከአንድ ቀጥታ መስመር የሚወጡ በሁለት ግማሽ አውሮፕላኖች የተፈጠረ የቦታ ጂኦሜትሪክ ምስል ነው። በሌላ አነጋገር, ይህ በእነዚህ ግማሽ አውሮፕላኖች የተገደበ የቦታ ክፍል ነው.

ከሚከተሉት እኩልታዎች ጋር ሁለት አውሮፕላኖች አሉን እንበል።

ቬክተሮች N=(A,B,C) እና N¹=(A¹,B¹,C¹) በተሰጡት አውሮፕላኖች መሰረት ቀጥ ያሉ መሆናቸውን እናውቃለን። በዚህ ረገድ, በቬክተር N እና N¹ መካከል ያለው አንግል φ ከማዕዘን (ዲሄድራል) ጋር እኩል ነው, እሱም በእነዚህ አውሮፕላኖች መካከል ነው. የ scalar ምርት ቅጽ አለው:

NN¹=|N||N¹|cos φ፣

በትክክል ምክንያቱም

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)))።

ያንን 0≤φ≤π ግምት ውስጥ ማስገባት በቂ ነው።

እንደ እውነቱ ከሆነ, ሁለት አውሮፕላኖች እርስ በርስ የሚገናኙ ሁለት (ዲሄድራል) ማዕዘኖች ይሠራሉ: φ 1 እና φ 2 . ድምራቸው ከ π (φ 1 + φ 2 = π) ጋር እኩል ነው። ስለ ኮሲኖቻቸው ፣ ፍጹም እሴቶቻቸው እኩል ናቸው ፣ ግን በምልክቶች ይለያያሉ ፣ ማለትም ፣ cos φ 1 = -cos φ 2። በቀመር (0) A, B እና C በቁጥሮች -A, -B እና -C, በቅደም ተከተል የምንተካ ከሆነ, የምናገኘው እኩልታ ተመሳሳይ አውሮፕላንን ይወስናል, በቀመር cos φ= NN ውስጥ ያለው ብቸኛው አንግል φ 1 /|N||N 1 | በ π-φ ይተካል.

ቀጥ ያለ የአውሮፕላን እኩልነት

በመካከላቸው ያለው አንግል 90 ዲግሪ ከሆነ አውሮፕላኖች perpendicular ይባላሉ. ከላይ የተገለጹትን ነገሮች በመጠቀም የአውሮፕላኑን እኩልነት ከሌላው ጋር ማነፃፀር እንችላለን። ሁለት አውሮፕላኖች አሉን እንበል፡- Ax+By+Cz+D=0 እና A¹x+B¹y+C¹z+D=0። cosφ=0 ከሆነ ቀጥ ያሉ እንደሚሆኑ ልንገልጽ እንችላለን። ይህ ማለት NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 ማለት ነው።

ትይዩ አውሮፕላን እኩልታ

ትይዩዎች የጋራ ነጥቦችን የሌላቸው ሁለት አውሮፕላኖች ናቸው.

ሁኔታው (የእነሱ እኩልታዎች ካለፈው አንቀጽ ጋር አንድ አይነት ናቸው) በእነሱ ላይ ቀጥ ያሉ ቬክተር N እና N¹ ኮሊኔር ናቸው። ይህ ማለት የሚከተሉት የተመጣጣኝ ሁኔታዎች ተሟልተዋል ማለት ነው።

አ/A¹=ቢ/ቢ¹=ሐ/ሲ¹።

የተመጣጣኝ ሁኔታዎች ከተራዘሙ - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹፣

ይህ የሚያመለክተው እነዚህ አውሮፕላኖች አንድ ላይ መሆናቸውን ነው. ይህ ማለት እኩልታዎች Ax+By+Cz+D=0 እና A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 አንድን አውሮፕላን ይገልፃሉ።

ከነጥብ ወደ አውሮፕላን ያለው ርቀት

አውሮፕላን P አለን እንበል፣ እሱም በቀመር (0) የተሰጠ። ከቦታው ጋር ያለውን ርቀት በመጋጠሚያዎች (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ ማግኘት ያስፈልጋል። ይህንን ለማድረግ የአውሮፕላኑን P እኩልታ ወደ መደበኛ ቅርፅ ማምጣት ያስፈልግዎታል:

(ρ,v)=p (p≥0)።

በዚህ ሁኔታ ρ(x,y,z) የነጥባችን ራዲየስ ቬክተር ነው ጥ በፒ ላይ ይገኛል, p ከዜሮ ነጥብ የተለቀቀው የፔንዲኩላር ርዝመት ነው, v በ ውስጥ የሚገኝ አሃድ ቬክተር ነው. አቅጣጫው ።

የፒ ንብረት የሆነ የአንዳንድ ነጥብ ራዲየስ ቬክተር ρ-ρº ልዩነት Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ይህ ነው. ቬክተር፣ በ v ላይ ያለው የትንበያ ፍፁም ዋጋ ከርቀት d ጋር እኩል ነው፣ እሱም ከQ 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) እስከ P መገኘት አለበት:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|፣ ግን

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0,v) =р-(ρ 0,v)።

ስለዚህ ይለወጣል

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

ስለዚህ, የውጤቱን አገላለጽ ፍጹም ዋጋ እናገኛለን, ማለትም, የሚፈለገው መ.

የመለኪያዎችን ቋንቋ በመጠቀም፣ ግልጽ የሆነውን ነገር እናገኛለን፡-

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²)።

የተሰጠው ነጥብ Q 0 በአውሮፕላኑ P በሌላኛው በኩል ከሆነ, እንዲሁም እንደ መነሻው, ከዚያም በቬክተር ρ-ρ 0 እና v መካከል ስለዚህ:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

ነጥቡ Q 0 ፣ ከመነሻው ጋር ፣ በተመሳሳይ የ P ጎን ላይ የሚገኝ ከሆነ ፣ የተፈጠረው አንግል አጣዳፊ ነው ፣ ማለትም

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

በውጤቱም, በመጀመሪያው ሁኔታ (ρ 0, v)> р, በሁለተኛው (ρ 0, v) ውስጥ ተገኝቷል.<р.

የታንጀንት አውሮፕላን እና የእሱ እኩልነት

ታንጀንት አውሮፕላን Mº በሚገናኝበት ቦታ ላይ በዚህ ቦታ ላይ ወደሚሳሉት ኩርባዎች ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ታንጀቶችን የያዘ አውሮፕላኑ ነው።

በዚህ የገጽታ እኩልታ F (x፣ y፣ z) \u003d 0፣ የታንጀንት አውሮፕላን በታንጀንት ነጥብ Mº (xº፣ yº፣ zº) ላይ ያለው እኩልነት ይህን ይመስላል።

F x (xº፣ yº፣ zº)(x- xº)+ F x (xº፣ yº፣ zº)(y-yº)+ F x (xº፣ yº፣ zº)(z-zº)=0።

ንጣፉን በግልፅ ከገለፁት z=f (x ፣ y) ፣ የታንጀንት አውሮፕላኑ በቀመር ይገለጻል፡

z-zº = f(xº፣ yº)(x- xº)+f(xº፣ yº)(y-yº)።

የሁለት አውሮፕላኖች መገናኛ

በመጋጠሚያው ሲስተም (አራት ማዕዘን) ኦክሲዝ ተቀምጧል፣ ሁለት አውሮፕላኖች П′ እና П″ ተሰጥተዋል፣ እርስ በርሳቸው የሚገናኙ እና የማይገጣጠሙ። በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የሚገኝ ማንኛውም አውሮፕላን የሚወሰነው በአጠቃላይ እኩልታ ስለሆነ፣ P′ እና P″ የተሰጡት በAx+By+Cz+D′=0 እና A″x እኩልታዎች እንደሆኑ እንገምታለን። +B″y+ С″z+D″=0። በዚህ ሁኔታ የP" አውሮፕላን መደበኛ n"(A"፣ B"፣ C" እና "P" አውሮፕላን መደበኛ n"(A″፣ B″፣ C") አለን። የእኛ አውሮፕላኖች ትይዩ ስላልሆኑ እና የማይገጣጠሙ በመሆናቸው እነዚህ ቬክተሮች ኮሊንየር አይደሉም. የሂሳብ ቋንቋን በመጠቀም ይህንን ሁኔታ እንደሚከተለው መፃፍ እንችላለን፡ n′≠ n″ ↔ (A′፣ B′፣ C′) ≠ (λ*A″፣λ*B″፣λ*C″)፣ λϵR. በ P′ እና P″ መገናኛ ላይ ያለው መስመር በ a ፊደል ይገለጽ፣ በዚህ ሁኔታ a = P′ ∩ P″።

a የሁሉም (የጋራ) አውሮፕላኖች П′ እና П″ ነጥቦች ስብስብን ያካተተ ቀጥተኛ መስመር ነው። ይህ ማለት የመስመሩ የሆነ የማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች Ax+By+Cz+D=0 እና A″+B″y+C″+D″ እኩልታዎችን በአንድ ጊዜ ማሟላት አለባቸው ማለት ነው። 0. ይህ ማለት የነጥቡ መጋጠሚያዎች ለሚከተለው የእኩልታዎች ስርዓት የተለየ መፍትሄ ይሆናሉ።

በውጤቱም ፣ የዚህ የእኩልታ ስርዓት (አጠቃላይ) መፍትሄ የእያንዳንዱን ቀጥተኛ መስመር ነጥቦች መጋጠሚያዎች ይወስናል ፣ ይህም እንደ П′ እና П″ መገናኛ ነጥብ ሆኖ የሚያገለግል እና ቀጥተኛውን ይወስናል። መስመር ሀ በመጋጠሚያው ስርዓት Oxyz (አራት ማዕዘን) በጠፈር ውስጥ።

በዚህ ትምህርት, ቆራጩን ለመጻፍ እንዴት መጠቀም እንደሚቻል እንመለከታለን የአውሮፕላን እኩልነት. መወሰኛ ምን እንደሆነ ካላወቁ ወደ ትምህርቱ የመጀመሪያ ክፍል ይሂዱ - "ማትሪክስ እና ቆራጮች". ያለበለዚያ ዛሬ ባለው ቁሳቁስ ውስጥ ምንም ነገር ላለመረዳት አደጋ ሊያጋጥምዎት ይችላል።

የአውሮፕላን እኩልታ በሦስት ነጥብ

የአውሮፕላኑን እኩልነት ለምን ያስፈልገናል? ቀላል ነው፡ እሱን በማወቅ በችግር C2 ውስጥ ያሉትን ማዕዘኖች፣ ርቀቶች እና ሌሎች ቆሻሻዎችን በቀላሉ ማስላት እንችላለን። በአጠቃላይ, ይህ እኩልታ አስፈላጊ ነው. ስለዚህ ችግሩን እንፈጥራለን-

ተግባር። በጠፈር ውስጥ በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦች አሉ። መጋጠሚያዎቻቸው፡-

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

በእነዚህ ሶስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልነት ለመጻፍ ያስፈልጋል. እና እኩልታው እንደሚከተለው መሆን አለበት-

Ax + By + Cz + D = 0

ቁጥሮች A፣ B፣ C እና D ውህደቶች ሲሆኑ፣ በእውነቱ እርስዎ ማግኘት የሚፈልጉት።

ደህና, የአውሮፕላኑን እኩልነት እንዴት ማግኘት እንደሚቻል, የነጥቦቹ መጋጠሚያዎች ብቻ የሚታወቁ ከሆነ? በጣም ቀላሉ መንገድ መጋጠሚያዎቹን ወደ እኩልታው መተካት ነው Ax + By + Cz + D = 0. በቀላሉ የሚፈታ የሶስት እኩልታዎች ስርዓት ያገኛሉ.

ብዙ ተማሪዎች ይህ መፍትሔ እጅግ በጣም አሰልቺ እና የማይታመን ሆኖ አግኝተውታል። ያለፈው ዓመት የሂሳብ ፈተና እንደሚያሳየው የስሌት ስህተት የመሥራት እድሉ ከፍተኛ ነው።

ስለዚህ, በጣም የተራቀቁ አስተማሪዎች ቀላል እና ይበልጥ የሚያምር መፍትሄዎችን መፈለግ ጀመሩ. እና አገኙት! እውነት ነው, የተገኘው ቴክኒክ ከከፍተኛ የሂሳብ ትምህርት ጋር የተያያዘ ሊሆን ይችላል. እኔ በግሌ ይህንን ዘዴ ያለ አንዳች ማመካኛ እና ማስረጃ የመጠቀም መብት እንዳለን ለማረጋገጥ አጠቃላይ የፌደራል የመማሪያ መጽሃፍትን ዝርዝር ውስጥ ማየት ነበረብኝ።

በወሳኙ በኩል የአውሮፕላኑ እኩልነት

በቃ ንግግሮች፣ ወደ ስራ እንውረድ። ለመጀመር፣ የማትሪክስ መወሰኛ እና የአውሮፕላኑ እኩልነት እንዴት እንደሚዛመዱ ንድፈ ሃሳብ።

ቲዎረም. አውሮፕላኑ መሳል ያለበት የሶስት ነጥቦች መጋጠሚያዎች ይሰጡ: M = (x 1, y 1, z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3) ከዚያ የዚህ አውሮፕላን እኩልነት ከወሳኙ አንፃር ሊፃፍ ይችላል-

ለምሳሌ ፣ በ C2 ችግሮች ውስጥ በትክክል የሚከሰቱ ጥንድ አውሮፕላኖችን ለማግኘት እንሞክር ። ሁሉም ነገር ምን ያህል ፈጣን እንደሆነ ይመልከቱ፡-

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);

ወሳኙን አዘጋጅተናል እና ከዜሮ ጋር እናመሳሰለዋለን፡-

ወሳኙን መክፈት;

a = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
d = a - b = z - 1 - y - (-x) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
d = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;

እንደሚመለከቱት ፣ ቁጥሩን d ሲያሰሉ ፣ ተለዋዋጮች x ፣ y እና z በትክክለኛው ቅደም ተከተል ውስጥ እንዲሆኑ ፣ እኩልታውን ትንሽ አስተካክዬዋለሁ። ይኼው ነው! የአውሮፕላኑ እኩልነት ዝግጁ ነው!

ተግባር። በነጥቦቹ ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይፃፉ፡-

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

በወሳኙ ውስጥ ያሉትን የነጥቦች መጋጠሚያዎች ወዲያውኑ ይተኩ፡-

ወሳኙን እንደገና ማስፋፋት;

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;

ስለዚህ, የአውሮፕላኑ እኩልነት እንደገና ተገኝቷል! በድጋሚ, በመጨረሻው ደረጃ ላይ, የበለጠ "ቆንጆ" ቀመር ለማግኘት በእሱ ውስጥ ያሉትን ምልክቶች መለወጥ ነበረብኝ. በዚህ መፍትሄ ውስጥ ይህን ማድረግ አስፈላጊ አይደለም, ነገር ግን አሁንም ቢሆን ይመከራል - የችግሩን ተጨማሪ መፍትሄ ለማቃለል.

እንደሚመለከቱት, አሁን የአውሮፕላኑን እኩልነት ለመጻፍ በጣም ቀላል ነው. ነጥቦቹን ወደ ማትሪክስ እንተካቸዋለን, ወሳኙን እናሰላለን - እና ያ ነው, እኩልታው ዝግጁ ነው.

ይህ የትምህርቱ መጨረሻ ሊሆን ይችላል. ሆኖም፣ ብዙ ተማሪዎች በወሳኙ ውስጥ ያለውን ነገር ያለማቋረጥ ይረሳሉ። ለምሳሌ, የትኛው መስመር x 2 ወይም x 3 ይይዛል, እና የትኛው መስመር ብቻ x. በመጨረሻ ይህንን ለመቋቋም እያንዳንዱ ቁጥር ከየት እንደመጣ እንፈልግ።

ከመወሰኛ ጋር ያለው ቀመር ከየት ነው የሚመጣው?

እንግዲያው፣ ከወሰነ ጋር እንዲህ ያለ ጨካኝ እኩልታ ከየት እንደመጣ እንወቅ። ይህ እንዲያስታውሱት እና በተሳካ ሁኔታ እንዲተገበሩ ይረዳዎታል.

በችግር C2 ውስጥ የሚከሰቱ ሁሉም አውሮፕላኖች በሶስት ነጥቦች ይገለፃሉ. እነዚህ ነጥቦች ሁልጊዜ በሥዕሉ ላይ ምልክት ይደረግባቸዋል, ወይም በቀጥታ በችግር ጽሑፍ ውስጥ ይጠቁማሉ. ለማንኛውም፣ እኩልታውን ለማጠናቀር፣ መጋጠሚያዎቻቸውን መፃፍ አለብን፡-

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3)

በዘፈቀደ መጋጠሚያዎች በአውሮፕላናችን ላይ አንድ ተጨማሪ ነጥብ እንመልከት፡-

ቲ = (x, y, z)

ከመጀመሪያዎቹ ሶስት (ለምሳሌ, ነጥብ M) ማንኛውንም ነጥብ እንወስዳለን እና ከእሱ ወደ እያንዳንዱ ሶስት ቀሪ ነጥቦች ቬክተሮችን እናስባለን. ሶስት ቬክተሮችን እናገኛለን:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 ፣ y - y 1 ፣ z - z 1)።

አሁን ከእነዚህ ቬክተሮች የካሬ ማትሪክስ እንስራ እና መወሰኑን ከዜሮ ጋር እናመሳስለው። የቬክተሮች መጋጠሚያዎች የማትሪክስ ረድፎች ይሆናሉ - እና በንድፈ ሀሳቡ ውስጥ የተመለከተውን ተመሳሳይ መወሰኛ እናገኛለን ።

ይህ ቀመር ማለት በቬክተሮች MN, MK እና MT ላይ የተገነባው የሳጥን መጠን ከዜሮ ጋር እኩል ነው. ስለዚህ, ሦስቱም ቬክተሮች በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ. በተለይም የዘፈቀደ ነጥብ T = (x, y, z) በትክክል የምንፈልገው ነው.

የመወሰን ነጥቦችን እና ረድፎችን መተካት

ቆራጮች ቀላል የሚያደርጉ አንዳንድ አስደናቂ ባህሪያት አሏቸው የችግር መፍትሄ C2. ለምሳሌ, ቬክተሮችን ከየትኛው ነጥብ መሳል ለእኛ ምንም አይደለም. ስለዚህ፣ የሚከተሉት መወሰኛዎች ከላይ ካለው ጋር ተመሳሳይ የአውሮፕላን እኩልታ ይሰጣሉ፡-

እንዲሁም የመወሰን መስመሮቹን መቀየር ይችላሉ. እኩልታው ሳይለወጥ ይቀራል። ለምሳሌ፣ ብዙ ሰዎች ከላይ ካለው ነጥብ T = (x; y; z) መጋጠሚያዎች ጋር መስመር መፃፍ ይወዳሉ። እባክዎን ለእርስዎ የሚመች ከሆነ፡-

አንደኛው መስመር ተለዋዋጮች x፣ y እና z እንደያዘ አንዳንዶችን ግራ ያጋባል፣ እነዚህም ነጥቦችን በሚተኩበት ጊዜ አይጠፉም። ግን መጥፋት የለባቸውም! ቁጥሮቹን ወደ ቆራጩ በመተካት የሚከተለውን ግንባታ ማግኘት አለብዎት:

ከዚያም ወሳኙ በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ በተሰጠው እቅድ መሰረት ይስፋፋል, እና የአውሮፕላኑ መደበኛ እኩልታ ተገኝቷል.

Ax + By + Cz + D = 0

አንድ ምሳሌ ተመልከት። እሱ በዛሬው ትምህርት የመጨረሻው ነው። መልሱ የአውሮፕላኑ ተመሳሳይ እኩልነት እንደሚሆን ለማረጋገጥ ሆን ብዬ መስመሮቹን እለዋወጣለሁ።

ተግባር። በነጥቦቹ ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይፃፉ፡-

B 1 = (1, 0, 1);
ሐ = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

ስለዚህ, 4 ነጥቦችን እንመለከታለን.

B 1 = (1, 0, 1);
ሐ = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
ቲ = (x፣ y፣ z)።

መጀመሪያ፣ መደበኛ መወሰኛ እናድርገውና ከዜሮ ጋር እናመሳስለው፡-

ወሳኙን መክፈት;

a = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (-1) 1 (x - 1) + 1 (-1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

ያ ነው, መልሱን አግኝተናል: x + y + z - 2 = 0 .

አሁን በወሳኙ ውስጥ ሁለት መስመሮችን እናስተካክል እና ምን እንደሚፈጠር እንይ። ለምሳሌ፣ ከታች ሳይሆን ከላይ ባሉት ተለዋዋጮች x፣ y፣ z መስመር እንፃፍ፡-

የውጤቱን መወሰኛ እንደገና እናስፋፋው፡-

a = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
b = (z - 1) 1 0 + y (-1) (-1) + (x - 1) 1 0 = y;
d = a - b = 2 - x - z - y;
d = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;

በትክክል ተመሳሳይ የአውሮፕላን እኩልታ አግኝተናል: x + y + z - 2 = 0. ስለዚህ, በእውነቱ በረድፎች ቅደም ተከተል ላይ የተመካ አይደለም. መልሱን ለመጻፍ ይቀራል.

ስለዚህ, የአውሮፕላኑ እኩልነት በመስመሮች ቅደም ተከተል ላይ እንደማይመሰረት አይተናል. ተመሳሳይ ስሌቶችን ማካሄድ እና የአውሮፕላኑ እኩልነት ከሌሎቹ ነጥቦች በምንቀንስበት ነጥብ ላይ እንደማይወሰን ማረጋገጥ ይቻላል.

ከላይ በተጠቀሰው ችግር, ነጥብ B 1 = (1, 0, 1) ተጠቅመንበታል, ነገር ግን C = (1, 1, 0) ወይም D 1 = (0, 1, 1) መውሰድ በጣም ይቻላል. በአጠቃላይ ፣ በሚፈለገው አውሮፕላን ላይ የሚተኛ የታወቁ መጋጠሚያዎች ያለው ማንኛውም ነጥብ።