ቴይለር መበስበስ በመስመር ላይ። የኃይል ተከታታዮች, መገጣጠም, ተግባራትን ወደ ኃይል ተከታታይ ማስፋፋት

ተግባርን ወደ ቴይለር፣ ማክላሪን እና ሎረንት ተከታታዮች በአንድ ጣቢያ ላይ ተግባራዊ ክህሎቶችን ለማሰልጠን ማስፋፋት። ይህ ተከታታይ የአንድ ተግባር መስፋፋት የሒሳብ ሊቃውንት የተግባሩን ግምታዊ ዋጋ በተወሰነ ደረጃ በትርጉሙ ጎራ እንዲገምቱ ያስችላቸዋል። በኮምፒተር ቴክኖሎጂ ዘመን ውስጥ በጣም አስፈላጊ ያልሆነውን የ Bredis ሰንጠረዥን ከመጠቀም ጋር ሲነፃፀር እንዲህ ያለውን የተግባር እሴት ለማስላት በጣም ቀላል ነው. ተግባርን ወደ ቴይለር ተከታታይ ማስፋት ማለት የዚህ ተከታታይ የመስመር ተግባራትን ድምዳሜዎች አስልቶ በትክክለኛው ቅጽ መፃፍ ማለት ነው። ተማሪዎች አጠቃላይ ጉዳይ ምን እንደሆነ እና የሁለተኛው ልዩ ጉዳይ ምን እንደሆነ ባለመረዳት እነዚህን ሁለት ተከታታይ ክፍሎች ግራ ያጋባሉ። ለአንዴና ለመጨረሻ ጊዜ እናስታውስዎት የማክላሪን ተከታታይ የቴይለር ተከታታይ ልዩ ጉዳይ ነው ፣ ማለትም ፣ ይህ ቴይለር ተከታታይ ነው ፣ ግን በ x = 0. የታወቁ ተግባራትን ለማስፋፋት ሁሉም አጭር ግቤቶች ፣ እንደ e ^ x ፣ Sin (x) ፣ Cos (x) እና ሌሎችም እነዚህ የቴይለር ተከታታይ መስፋፋቶች ናቸው ፣ ግን ለክርክሩ ነጥብ 0። ለተወሳሰበ ሙግት ተግባራት፣ የሎረንት ተከታታይ በTFCT ውስጥ በጣም የተለመደው ችግር ነው፣ ምክንያቱም ባለ ሁለት ጎን ማለቂያ የሌለው ተከታታይ ነው። የሁለት ተከታታይ ድምር ነው። የመበስበስ ምሳሌን በቀጥታ በድር ጣቢያው ላይ እንዲመለከቱ እንመክርዎታለን ፣ ይህ በማንኛውም ቁጥር “ምሳሌ” ላይ ጠቅ በማድረግ እና ከዚያ “መፍትሄ” ቁልፍን ጠቅ በማድረግ ቀላል ነው ። በትክክል ይህ የአንድን ተግባር ወደ ተከታታዮች ማስፋፋት ከተከታታይ ዋና ዋና ተግባራት ጋር የተቆራኘ ሲሆን ይህም ተለዋዋጭ የአብሲሳ ክልል ከሆነ በተወሰነ ክልል ውስጥ የመጀመሪያውን ተግባር የሚገድበው በ ordinate axis ነው። የቬክተር ትንተና በሂሳብ ውስጥ ከሌላ አስደሳች ትምህርት ጋር ተነጻጽሯል. እያንዳንዱ ቃል መመርመር ስለሚያስፈልገው, ሂደቱ በጣም ብዙ ጊዜ ይፈልጋል. ማንኛውም የቴይለር ተከታታይ x0ን በዜሮ በመተካት ከማክላሪን ተከታታይ ጋር ማያያዝ ይቻላል፣ ነገር ግን ለማክላሪን ተከታታይ አንዳንድ ጊዜ የቴይለር ተከታታይን በተቃራኒው መወከል ግልፅ አይደለም። ይህ በንጹህ መልክ መከናወን የማይፈለግ ይመስል ፣ ለአጠቃላይ ራስን ማጎልበት አስደሳች ነው። እያንዳንዱ የሎረንት ተከታታይ ባለ ሁለት ጎን ማለቂያ ከሌለው የኃይል ተከታታይ በ z-a ኢንቲጀር ሃይሎች ጋር ይዛመዳል፣ በሌላ አነጋገር፣ ተከታታይ ተመሳሳይ የቴይለር አይነት፣ ነገር ግን በቁጥር ስሌት ውስጥ ትንሽ የተለየ። ከበርካታ የንድፈ ሃሳባዊ ስሌቶች በኋላ ስለ ሎሬንት ተከታታይ ውህደት ክልል ትንሽ ቆይተን እንነጋገራለን ። ባለፈው ምዕተ-አመት እንደነበረው አንድን ተግባር ወደ ተከታታይ ደረጃ በደረጃ ማስፋፋት ቃላቶቹን ወደ አንድ የጋራ መለያ በማምጣት በቀላሉ ሊገኝ አይችልም ምክንያቱም በዲኖሚነተሮች ውስጥ ያሉት ተግባራት መደበኛ ያልሆኑ ናቸው። የተግባር እሴቱ ግምታዊ ስሌት በችግሮች መፈጠር ያስፈልጋል። የቴይለር ተከታታዮች ክርክር መስመራዊ ተለዋዋጭ በሚሆንበት ጊዜ መስፋፋቱ በበርካታ ደረጃዎች እንደሚከሰት ያስቡ ፣ ግን የተግባሩ ክርክር የተወሳሰበ ወይም መደበኛ ያልሆነ ተግባር ከሆነ ስዕሉ ሙሉ በሙሉ የተለየ ነው። በኃይል ተከታታይ ውስጥ እንዲህ ዓይነቱን ተግባር መወከል ግልፅ ነው ፣ ምክንያቱም በዚህ መንገድ ፣ ምንም እንኳን ግምታዊ እሴት ፣ ምንም እንኳን ግምታዊ እሴት ፣ በማንኛውም የትርጉም ክልል ውስጥ ፣ በትንሽ ስህተት በትንሽ ስሌቶች ላይ። ይህ የማክላሪን ተከታታይንም ይመለከታል። በዜሮ ነጥብ ላይ ያለውን ተግባር ለማስላት አስፈላጊ በሚሆንበት ጊዜ. ይሁን እንጂ የሎረንት ተከታታይ እራሱ እዚህ በአውሮፕላኑ ላይ በአዕምሯዊ አሃዶች በመስፋፋት ይወከላል. እንዲሁም በአጠቃላይ ሂደት ውስጥ የችግሩ ትክክለኛ መፍትሄ ያለ ስኬት አይሆንም. ይህ አቀራረብ በሂሳብ ውስጥ አይታወቅም, ነገር ግን በትክክል አለ. በውጤቱም, ወደ መደምደሚያው ሊደርሱ ይችላሉ ነጥብ-ጥገና-ንዑስ ስብስቦች የሚባሉት, እና አንድን ተግባር በተከታታይ በማስፋፋት ውስጥ ለዚህ ሂደት የሚታወቁ ዘዴዎችን መጠቀም ያስፈልግዎታል, ለምሳሌ የመነሻ ፅንሰ-ሀሳቦችን መተግበር. እንደገናም መምህሩ ትክክል እንደሆነ እርግጠኞች ነን, እሱም ስለ ድህረ-ስሌት ስሌት ውጤቶች ግምቱን ያቀረበው. በሁሉም የሒሳብ ቀኖናዎች መሠረት የተገኘው የቴይለር ተከታታይ በጠቅላላው የቁጥር ዘንግ ላይ እንዳለ እና እንደሚገለጽ እናስተውል ፣ ሆኖም ፣ ውድ የጣቢያው አገልግሎት ተጠቃሚዎች ፣ የዋናውን ተግባር ዓይነት አይርሱ ፣ ምክንያቱም ሊለወጥ ይችላል ። መጀመሪያ ላይ የተግባሩን ፍቺ ጎራ ማቋቋም አስፈላጊ ነው ፣ ማለትም ፣ ይፃፉ እና ከተጨማሪ ግምት ውስጥ እነዚያን ነጥቦች በእውነተኛ ቁጥሮች ጎራ ውስጥ ያልተገለጹትን እነዚያን ነጥቦች ያስወግዱ። ስለዚህ ለመናገር, ይህ ችግሩን ለመፍታት የእርስዎን ቅልጥፍና ያሳያል. የዜሮ ነጋሪ እሴት ያለው የማክላሪን ተከታታይ ግንባታ ከተነገረው የተለየ አይሆንም. የአንድን ተግባር ፍቺ ጎራ የማግኘት ሂደት አልተሰረዘም፣ እና ይህን የሂሳብ አሰራር በቁም ነገር መቅረብ አለቦት። ዋናውን ክፍል በያዘው የሎረንት ተከታታይ ክፍል ውስጥ ፣ ልኬት “a” ገለልተኛ ነጠላ ነጥብ ተብሎ ይጠራል ፣ እና የሎረንት ተከታታይ ቀለበት ውስጥ ይሰፋል - ይህ የክፍሎቹ መጋጠሚያ ቦታዎች መገናኛ ነው ፣ ስለሆነም ተጓዳኝ ቲዎሪ ይከተላል. ነገር ግን ሁሉም ነገር በመጀመሪያ በጨረፍታ ልምድ ለሌለው ተማሪ የሚመስለውን ያህል የተወሳሰበ አይደለም። የቴይለር ተከታታዮችን ካጠኑ፣ የሎረንትን ተከታታይ በቀላሉ መረዳት ይችላሉ - የቁጥሮችን ቦታ ለማስፋት አጠቃላይ ሁኔታ። ማንኛውም ተከታታይ የተግባር መስፋፋት የሚከናወነው በተግባሩ ፍቺ ጎራ ውስጥ በአንድ ነጥብ ላይ ብቻ ነው። እንደ ወቅታዊነት ወይም ማለቂያ የሌለው ልዩነት ያሉ ተግባራት ባህሪያት ግምት ውስጥ መግባት አለባቸው. እንዲሁም የእኛን የመስመር ላይ ማስያ በመጠቀም እንደሚታየው አንድ ተግባር በተለያዩ የኃይል ተከታታዮች በደርዘን ሊወከል ስለሚችል የአንደኛ ደረጃ ተግባራትን የተዘጋጀውን የቴይለር ተከታታይ ማስፋፊያዎችን ሠንጠረዥ እንዲጠቀሙ እንጠቁማለን። የመስመር ላይ የማክላሪን ተከታታይ ለመወሰን እንደ ኬክ ቀላል ነው, ልዩ የሆነውን የድር ጣቢያ አገልግሎት ከተጠቀሙ, ትክክለኛውን የጽሁፍ ተግባር ማስገባት ብቻ ያስፈልግዎታል እና የቀረበውን መልስ በጥቂት ሰከንዶች ውስጥ ያገኛሉ, ትክክለኛ እና በ ውስጥ የተረጋገጠ ነው. መደበኛ የጽሑፍ ቅጽ. ለመምህሩ ለመቅረብ ውጤቱን በቀጥታ ወደ ንጹህ ቅጂ መቅዳት ይችላሉ. በመጀመሪያ ቀለበቶች ውስጥ በጥያቄ ውስጥ ያለውን ተግባር ትንታኔ መወሰን ትክክል ነው ፣ እና ከዚያ በሁሉም እንደዚህ ባሉ ቀለበቶች ውስጥ በሎረንት ተከታታይ ውስጥ ሊሰፋ የሚችል መሆኑን በማያሻማ ሁኔታ መግለጹ ትክክል ነው። አሉታዊ ኃይሎችን የያዙ የሎረንት ተከታታይ ውሎችን ላለማጣት አስፈላጊ ነው። በተቻለ መጠን በዚህ ላይ አተኩር. በኢንቲጀር ሃይሎች ውስጥ ያለውን ተግባር በማስፋፋት ላይ ያለውን የሎረንትን ቲዎሪ በደንብ ይጠቀሙ።

የf(x) ተግባር ነጥብ ሀን በያዘ የተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ የሁሉም ትዕዛዞች መነሻዎች ካሉት፣ የቴይለር ቀመር በእሱ ላይ ሊተገበር ይችላል፡-
,
የት አር ኤን- የተከታታዩ ቀሪ ቃል ወይም ቀሪው ተብሎ የሚጠራው የ Lagrange ቀመር በመጠቀም ሊገመት ይችላል-
, ቁጥሩ x በ x እና a መካከል የሚገኝበት.

ተግባራትን ለማስገባት ደንቦች:

ለተወሰነ ዋጋ ከሆነ X አር ኤን→0 በ n→∞፣ ከዚያ በገደቡ ውስጥ የቴይለር ፎርሙላ ለዚህ እሴት አንድ ላይ ይሆናል። ቴይለር ተከታታይ:
,
ስለዚህ፣ የf(x) ተግባር ከግምት ውስጥ በሚገባበት ነጥብ x ላይ ወደ ቴይለር ተከታታይ ሊሰፋ ይችላል፡-
1) የሁሉም ትዕዛዞች መነሻዎች አሉት;
2) የተገነቡት ተከታታይ ክፍሎች በዚህ ቦታ ይሰበሰባሉ.

መቼ a = 0 ተከታታይ የሚባል ነገር እናገኛለን በማክላሪን አቅራቢያ:
,
በማክላሪን ተከታታይ ውስጥ በጣም ቀላል (አንደኛ ደረጃ) ተግባራትን ማስፋፋት፡-
ገላጭ ተግባራት
፣ አር=∞
ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት
፣ አር=∞
፣ አር=∞
፣ (-π/2< x < π/2), R=π/2
ተግባር actgx በ x ኃይሎች ውስጥ አይስፋፋም ፣ ምክንያቱም ctg0=∞
ሃይፐርቦሊክ ተግባራት


ሎጋሪዝም ተግባራት
, -1
ሁለትዮሽ ተከታታይ
.

ምሳሌ ቁጥር 1 ተግባሩን ወደ የኃይል ተከታታይ ዘርጋ ረ(x)= 2x.
መፍትሄ. የተግባሩን እና ተዋጽኦዎቹን እሴቶች በ ላይ እናገኛለን X=0
ረ(x) = 2x, ረ( 0) = 2 0 =1;
ረ"(x) = 2x ln2፣ ረ"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
ረ""(x) = 2x ln 2 2, ረ""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
ረ(n)(x) = 2x ln n 2, ረ(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
የተገኙትን ተዋጽኦዎች እሴቶች ወደ ቴይለር ተከታታይ ቀመር በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን

የዚህ ተከታታይ መጋጠሚያ ራዲየስ ከማይታወቅ ጋር እኩል ነው፣ ስለዚህ ይህ ማስፋፊያ የሚሰራው ለ -∞<x<+∞.

ምሳሌ ቁጥር 2. የቴይለር ተከታታዮችን በኃይል ይፃፉ ( X+4) ለተግባር ረ(x)=ሠ x.
መፍትሄ. የተግባሩ ተዋጽኦዎችን ማግኘት ሠ xእና እሴቶቻቸው በነጥቡ ላይ X=-4.
ረ(x)= ሠ x, ረ(-4) = ሠ -4 ;
ረ"(x)= ሠ x, ረ"(-4) = ሠ -4 ;
ረ""(x)= ሠ x, ረ""(-4) = ሠ -4 ;
…
ረ(n)(x)= ሠ x, ረ(n)( -4) = ሠ -4 .
ስለዚህ፣ የሚፈለገው ቴይለር ተከታታይ ተግባር ቅጹ አለው፡-

ይህ ማስፋፊያ ለ-∞ የሚሰራ ነው።<x<+∞.

ምሳሌ ቁጥር 3. ተግባርን ዘርጋ ረ(x)= ln xበተከታታይ በስልጣን ( ኤክስ- 1),
(ማለትም በነጥቡ አካባቢ በቴይለር ተከታታይ X=1).
መፍትሄ. የዚህን ተግባር ተዋጽኦዎች ያግኙ።
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0፣ ረ"(1)=1፣ ረ""(1)=-1፣ ረ"""(1)=1*2፣...፣ f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
እነዚህን እሴቶች በቀመር ውስጥ በመተካት የተፈለገውን ቴይለር ተከታታይ እናገኛለን፡-

የD'Alembert ሙከራን በመጠቀም ተከታታዩ በ½x-1½ መገናኘቱን ማረጋገጥ ይችላሉ።<1 . Действительно,

ተከታታዩ የሚሰበሰበው ½ ከሆነ ነው። ኤክስ- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 የላይብኒዝ መስፈርት ሁኔታዎችን የሚያረካ ተለዋጭ ተከታታይ አግኝተናል። መቼ x=0 ተግባሩ አልተገለጸም። ስለዚህ፣ የቴይለር ተከታታይ የመገጣጠም ክልል የግማሽ ክፍት ክፍተት ነው (0;2)።

ምሳሌ ቁጥር 4. ተግባሩን ወደ ኃይል ተከታታይ ያስፋፉ።
መፍትሄ. በማስፋፊያ (1) xን በ -x 2 እንተካለን፡-
, -∞

ምሳሌ ቁጥር 5. ተግባሩን ወደ ማክላሪን ተከታታይ ዘርጋ።
መፍትሄ. እና አለነ
ቀመር (4) በመጠቀም የሚከተለውን መፃፍ እንችላለን፡-

በቀመር ውስጥ በ x ምትክ -x ፣ እኛ እናገኛለን

ከዚህ እናገኛለን፡ ln(1+x)-ln(1-x) = -
ቅንፎችን መክፈት, የተከታታዩን ውሎች እንደገና ማስተካከል እና ተመሳሳይ ቃላትን ማምጣት, እናገኛለን
. ይህ ተከታታይ በመካከል (-1; 1) ውስጥ ይሰበሰባል, ምክንያቱም ከሁለት ተከታታይ የተገኘ ነው, እያንዳንዱም በዚህ ክፍተት ውስጥ ይሰበሰባል.

አስተያየት .
ቀመሮች (1)-(5) እንዲሁም ተጓዳኝ ተግባራትን ወደ ቴይለር ተከታታይ ለማስፋት ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ፣ ማለትም. በአዎንታዊ የኢንቲጀር ኃይል ውስጥ ተግባራትን ለማስፋት ( ሃ). ይህንን ለማድረግ ከተግባሮቹ (1) - (5) አንዱን ለማግኘት በአንድ ተግባር ላይ እንደዚህ ያሉ ተመሳሳይ ለውጦችን ማድረግ አስፈላጊ ነው. Xወጪዎች k( ሃ m , k ቋሚ ቁጥር ከሆነ, m አዎንታዊ ኢንቲጀር ነው. ብዙውን ጊዜ ተለዋዋጭ ለውጥ ለማድረግ አመቺ ነው ቲ=ሃእና በማክላሪን ተከታታይ ውስጥ ከ t አንጻር የተገኘውን ተግባር ያስፋፉ.

ይህ ዘዴ በሃይል ተከታታይ ውስጥ የአንድን ተግባር መስፋፋት ልዩ በሆነው ቲዎሪ ላይ የተመሰረተ ነው. የዚህ ንድፈ ሃሳብ ይዘት በተመሳሳይ ነጥብ ሰፈር ውስጥ ምንም አይነት መስፋፋት ቢፈፀም ወደ ተመሳሳይ ተግባር የሚገጣጠሙ ሁለት የተለያዩ የሃይል ተከታታዮች ሊገኙ አይችሉም.

ምሳሌ ቁጥር 5 ሀ. ተግባሩን በማክላሪን ተከታታይ ያስፋፉ እና የመሰብሰቢያውን ክልል ያመልክቱ።
መፍትሄ። በመጀመሪያ 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x)፣ እናገኛለን።
ወደ አንደኛ ደረጃ:

ክፍልፋይ 3/(1-3x) ወሰን በሌለው እየቀነሰ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ድምር ተደርጎ ሊወሰድ የሚችለው በ 3x ተከፋይ ከሆነ |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

ከመገናኛ ክልል ጋር |x|< 1/3.

ምሳሌ ቁጥር 6. በነጥቡ x = 3 አካባቢ ያለውን ተግባር ወደ ቴይለር ተከታታይ ዘርጋ።
መፍትሄ. ይህ ችግር ልክ እንደበፊቱ ሁሉ የቴይለር ተከታታይ ፍቺን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል ፣ ለዚህም የተግባር እና እሴቶቻቸውን አመጣጥ መፈለግ አለብን ። X=3. ሆኖም፣ ያለውን ማስፋፊያ (5) መጠቀም ቀላል ይሆናል።
=
የተገኘው ተከታታይ በ -3 ላይ ይሰበሰባል

ምሳሌ ቁጥር 7 የቴይለር ተከታታዮችን በሃይል (x -1) በተግባሩ ln(x+2) ይፃፉ።
መፍትሄ.


ተከታታይ በ, ወይም -2 ላይ ይሰበሰባል< x < 5.

ምሳሌ ቁጥር 8. ተግባሩን f(x)= sin(πx/4) ወደ ቴይለር ተከታታይ በነጥብ x =2 አካባቢ ዘርጋ።
መፍትሄ. ተተኪውን t=x-2 እናድርግ፡-

ማስፋፊያን (3) በመጠቀም በ x ምትክ π / 4 t የምንተካበትን እናገኛለን፡-

የውጤቱ ተከታታዮች በ -∞ ከተሰጠው ተግባር ጋር ይገናኛሉ።< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞ስለዚህም
, (-∞

የኃይል ተከታታይ በመጠቀም ግምታዊ ስሌቶች

• የተገኘው ተከታታይ ተለዋጭ ከሆነ ፣ የሚከተለው ንብረት ጥቅም ላይ ይውላል። የሌብኒዝ ሁኔታዎችን ለሚያረካ ተለዋጭ ተከታታዮች፣ የተቀረው ተከታታይ ፍፁም እሴት ከመጀመሪያው የተጣለ ቃል አይበልጥም።.
• የተሰጠው ተከታታይ ቋሚ ምልክት ከሆነ፣ የተጣሉ ቃላቶች ያሉት ተከታታዮች ወሰን በሌለው ደረጃ እየቀነሰ ከሚሄድ የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ጋር ይነጻጸራል።
• በአጠቃላይ የቴይለር ተከታታይ ቀሪውን ለመገመት የላግራንጅ ፎርሙላ መጠቀም ይችላሉ፡ ሀ x ).

ምሳሌ ቁጥር 1 ln(3)ን ወደ ቅርብ 0.01 አስላ።
መፍትሄ. ማስፋፊያውን በ x=1/2 (ባለፈው ርዕስ ላይ ያለውን ምሳሌ 5 ተመልከት) እንጠቀም።

ይህንን ለማድረግ ከመጀመሪያዎቹ ሶስት የማስፋፊያ ውሎች በኋላ የቀረውን መጣል እንደምንችል እንፈትሽ፡

ስለዚህ ይህን ቀሪውን ጥለን ማግኘት እንችላለን

ምሳሌ ቁጥር 2. በጣም ቅርብ ወደሆነው 0.0001 አስላ።
መፍትሄ. የሁለትዮሽ ተከታታዮችን እንጠቀም። 5 3 የአንድ ኢንቲጀር ኩብ ወደ 130 ቅርብ ስለሆነ 130 ቁጥርን 130 = 5 3 +5 መወከል ተገቢ ነው።



የላይብኒዝ መስፈርትን ማርካት ከተፈጠረው ተለዋጭ ተከታታይ አራተኛው ቃል ከሚያስፈልገው ትክክለኛነት ያነሰ ነው።
, ስለዚህ እሱ እና የሚከተሉት ውሎች ሊወገዱ ይችላሉ.
በኒውተን-ላይብኒዝ ፎርሙላ ብዙ ተግባራዊ አስፈላጊ የሆኑ የተወሰኑ ወይም ተገቢ ያልሆኑ ውህዶች ሊሰሉ አይችሉም፣ ምክንያቱም አፕሊኬሽኑ ፀረ-ተውሳኮችን ከማግኘት ጋር የተቆራኘ ነው ፣ እሱም ብዙውን ጊዜ በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ውስጥ መግለጫ የለውም። በተጨማሪም ፀረ-ተውጣጣ ማግኘት የሚቻል ከሆነ ይከሰታል, ነገር ግን ሳያስፈልግ ጉልበት የሚጠይቅ ነው. ሆኖም ፣ የመዋሃድ ተግባሩ ወደ ኃይል ተከታታይ ከተስፋፋ ፣ እና የውህደት ወሰኖቹ የዚህ ተከታታይ ውህደት የጊዜ ክፍተት ከሆኑ ፣ ከዚያ አስቀድሞ ከተወሰነ ትክክለኛነት ጋር ግምታዊ ስሌት ስሌት ሊኖር ይችላል።

ምሳሌ ቁጥር 3. ዋናውን ∫ 0 1 4 sin (x) x በ10 -5 ውስጥ አስላ።
መፍትሄ. ተጓዳኝ ያልተወሰነ ውህደት በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ውስጥ ሊገለጽ አይችልም, ማለትም. "ቋሚ ያልሆነ ውህደት" ይወክላል. የኒውተን-ሌብኒዝ ቀመር እዚህ ሊተገበር አይችልም። ውህደቱን በግምት እናሰላው።
የኃጢያት ተከታታዮችን ቃል በቃል መከፋፈል xላይ xእኛ እናገኛለን:

ይህንን ተከታታይ ቃል በቃሉ በማዋሃድ (ይህ ሊሆን ይችላል ፣ ምክንያቱም የውህደት ወሰኖች የዚህ ተከታታይ ውህደት የጊዜ ክፍተት ስለሆነ) ፣ እኛ እናገኛለን-

የተገኙት ተከታታይ የሊብኒዝ ሁኔታዎችን የሚያረካ ስለሆነ እና የሚፈለገውን ዋጋ ከተወሰነ ትክክለኛነት ለማግኘት የመጀመሪያዎቹን ሁለት ቃላት ድምር መውሰድ በቂ ነው።
ስለዚህ, እናገኛለን
.

ምሳሌ ቁጥር 4. ዋናውን አስላ ∫ 0 1 4 e x 2 በ0.001 ትክክለኛነት።
መፍትሄ.
. ከተከታታዩ ተከታታይ ሁለተኛ ጊዜ በኋላ ቀሪውን መጣል እንደምንችል እንፈትሽ።
0,0001<0.001. Следовательно, .

16.1. የአንደኛ ደረጃ ተግባራትን ወደ ቴይለር ተከታታይ ማስፋፋት እና

ማክላሪን

የዘፈቀደ ተግባር በአንድ ስብስብ ላይ ከተገለጸ እናሳይ
, በነጥቡ አካባቢ
ብዙ ተዋጽኦዎች ያሉት ሲሆን የኃይል ተከታታዮች ድምር ነው።

ከዚያ የዚህን ተከታታይ ቅንጅቶች ማግኘት ይችላሉ.

በኃይል ተከታታይ ውስጥ እንተካ
. ከዚያም
.

የመጀመሪያውን የተግባር አመጣጥ እንፈልግ
:

በ
:
.

ለሁለተኛው ተዋጽኦ እናገኛለን፡-

በ
:
.

ይህን አሰራር በመቀጠል nአንዴ ካገኘን:
.

ስለዚህ ፣ የቅጹን የኃይል ተከታታይ አግኝተናል-

,

ተብሎ የሚጠራው ከቴይለር ቀጥሎለተግባር
በነጥቡ አካባቢ
.

የቴይለር ተከታታይ ልዩ ጉዳይ ነው። የማክላሪን ተከታታይበ
:

የቀረው የቴይለር (ማክላሪን) ተከታታይ ዋናውን ተከታታይ በመጣል ነው nየመጀመሪያ አባላት እና እንደ ተጠቁሟል
. ከዚያ ተግባሩ
እንደ ድምር ሊጻፍ ይችላል nየተከታታዩ የመጀመሪያ አባላት
እና ቀሪው
:,

.

ቀሪው አብዛኛውን ጊዜ ነው
በተለያዩ ቀመሮች ውስጥ ተገልጿል.

ከመካከላቸው አንዱ በ Lagrange መልክ ነው-

፣ የት
.
.

በተግባር የማክላሪን ተከታታይ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ እንደሚውል ልብ ይበሉ. ስለዚህ, ተግባሩን ለመጻፍ
በኃይል ተከታታይ ድምር መልክ አስፈላጊ ነው-

1) የማክላሪን (ቴይለር) ተከታታይ ስብስቦችን ያግኙ;

2) የውጤት ኃይል ተከታታይ convergence ክልል ማግኘት;

3) ይህ ተከታታይ ከተግባሩ ጋር እንደሚጣመር ያረጋግጡ
.

ቲዎረም1 (የማክላሪን ተከታታይ ውህደት አስፈላጊ እና በቂ ሁኔታ). የተከታታዩ የመገጣጠም ራዲየስ ይሁን
. ይህ ተከታታዮች በክፍተቱ ውስጥ እንዲሰባሰቡ
ለመስራት
ሁኔታውን ለማርካት አስፈላጊ እና በቂ ነው፡-
በተጠቀሰው ጊዜ ውስጥ.

ቲዎሪ 2.የማንኛውም የተግባር ቅደም ተከተል ተዋጽኦዎች ከሆኑ
በተወሰነ ጊዜ ውስጥ
በፍፁም ዋጋ ለተመሳሳይ ቁጥር የተገደበ ኤም, ያውና
, ከዚያም በዚህ ክፍተት ውስጥ ተግባሩ
ወደ ማክላሪን ተከታታይ ሊሰፋ ይችላል.

ለምሳሌ1 . በነጥብ ዙሪያ በቴይለር ተከታታይ ዘርጋ
ተግባር.

መፍትሄ።

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

የመሰብሰቢያ ክልል
.

ለምሳሌ2 . ተግባርን ዘርጋ በአንድ ነጥብ ዙሪያ በቴይለር ተከታታይ
.

መፍትሄ፡-

የተግባሩን እና የስርወቶቹን ዋጋ በ ላይ ያግኙ
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

እነዚህን እሴቶች በአንድ ረድፍ ውስጥ እናስቀምጥ። እናገኛለን፡-

ወይም
.

የዚህን ተከታታይ መጋጠሚያ ክልል እናገኝ። በD'Alembert ፈተና መሰረት፣ ተከታታይ ከሆነ ይሰበሰባል

.

ስለዚህ, ለማንኛውም ይህ ገደብ ከ 1 ያነሰ ነው፣ እና ስለዚህ የተከታታዩ የመገጣጠም ወሰን የሚከተለው ይሆናል
.

የመሠረታዊ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራትን የማክላሪን ተከታታይ መስፋፋትን በርካታ ምሳሌዎችን እንመልከት። የማክላሪን ተከታታይ መሆኑን አስታውስ፡-

.

በጊዜ ክፍተት ላይ ይሰበሰባል
ለመስራት
.

አንድን ተግባር ወደ ተከታታይ ለማስፋት አስፈላጊ መሆኑን ልብ ይበሉ፡-

ሀ) ለዚህ ተግባር የማክላሪን ተከታታይ ቅንጅቶችን ማግኘት;

ለ) ለተፈጠረው ተከታታይ የመሰብሰቢያ ራዲየስ ማስላት;

ሐ) የተገኙት ተከታታይ ወደ ተግባሩ እንደሚጣመሩ ያረጋግጡ
.

ምሳሌ 3.ተግባሩን አስቡበት
.

መፍትሄ።

የተግባሩን እና የመነጩን ዋጋ በ ላይ እናሰላ
.

ከዚያ የተከታታዩ አሃዛዊ ቅንጅቶች ቅጹ አላቸው፡-

ለማንም n.የተገኙትን ጥምርታዎች ወደ ማክላሪን ተከታታዮች እንተካውና የሚከተለውን እናገኛለን፡-

የውጤቱ ተከታታዮች የመገጣጠም ራዲየስን እንፈልግ ማለትም፡-

.

ስለዚህ, ተከታታይ ክፍተቱ ላይ ይሰበሰባል
.

ይህ ተከታታይ ወደ ተግባሩ ይጣመራል። ለማንኛውም እሴቶች ምክንያቱም በማንኛውም ክፍተት
ተግባር እና ፍፁም የእሴት ተዋጽኦዎቹ በቁጥር የተገደቡ ናቸው። .

ለምሳሌ4 . ተግባሩን አስቡበት
.

መፍትሄ.

:

እነዚያን የሥርዓት ተዋጽኦዎች ማየት ቀላል ነው።
, እና ተዋጽኦዎች ያልተለመዱ ቅደም ተከተሎች ናቸው. የተገኙትን ጥምርታዎች ወደ ማክላሪን ተከታታዮች እንተካውና ማስፋፊያውን እናገኛለን፡-

የዚህን ተከታታዮች የመገጣጠም ክፍተት እናገኝ። በአሌምበርት ምልክት መሰረት፡-

ለማንም . ስለዚህ, ተከታታይ ክፍተቱ ላይ ይሰበሰባል
.

ይህ ተከታታይ ወደ ተግባሩ ይጣመራል።
ምክንያቱም ሁሉም ተዋጽኦዎቹ ለአንድነት የተገደቡ ናቸው።

ለምሳሌ5 .
.

መፍትሄ።

የተግባሩን እና የመነጩን ዋጋ በ ላይ እናገኝ
:

ስለዚህ ፣ የዚህ ተከታታይ ቅንጅቶች-
እና
ስለዚህም፡-

ከቀዳሚው ረድፍ ጋር ተመሳሳይ ፣ የመሰብሰቢያ ቦታ
. ተከታታዩ ወደ ተግባሩ ይጣመራል።
ምክንያቱም ሁሉም ተዋጽኦዎቹ ለአንድነት የተገደቡ ናቸው።

እባክዎን ተግባሩን ያስተውሉ
ጎዶሎ እና ተከታታይ መስፋፋት በተለየ ሃይሎች፣ ተግባር
- እንኳን እና በኃይል ወደ ተከታታይነት መስፋፋት።

ለምሳሌ6 . ሁለትዮሽ ተከታታይ፡
.

መፍትሄ.

የተግባሩን እና የመነጩን ዋጋ በ ላይ እናገኝ
:

ከዚህ መረዳት የሚቻለው፡-

እነዚህን ጥምር እሴቶች ወደ ማክላሪን ተከታታዮች እንተካ እና የዚህን ተግባር መስፋፋት ወደ ኃይል ተከታታይነት እናገኝ።

የዚህን ተከታታዮች መጋጠሚያ ራዲየስ እናገኝ፡-

ስለዚህ, ተከታታይ ክፍተቱ ላይ ይሰበሰባል
. በመገደብ ነጥቦች ላይ በ
እና
ተከታታይ እንደ አርቢው ሊሰበሰብም ላይሆንም ይችላል።
.

የተጠኑ ተከታታይ ክፍተቶች ላይ ይሰበሰባሉ
ለመስራት
፣ ማለትም ፣ የተከታታዩ ድምር
በ
.

ለምሳሌ7 . በማክላሪን ተከታታይ ውስጥ ያለውን ተግባር እናስፋፋ
.

መፍትሄ።

ይህንን ተግባር ወደ ተከታታይ ለማስፋት፣ የሁለትዮሽ ተከታታይን በ
. እናገኛለን፡-

በኃይል ተከታታዮች ንብረት ላይ በመመስረት (የኃይል ተከታታይ በተገናኘበት ክልል ውስጥ ሊጣመር ይችላል) ፣ የዚህ ተከታታይ ግራ እና ቀኝ አካልን እናገኛለን ።

የዚህ ተከታታይ መጋጠሚያ ቦታን እንፈልግ-
,

ማለትም ፣ የዚህ ተከታታዮች መጋጠሚያ ቦታ የጊዜ ክፍተት ነው።
. በክፍተቱ መጨረሻ ላይ የተከታታዩን ውህደት እንወስን. በ

. ይህ ተከታታይ እርስ በርሱ የሚስማማ ተከታታይ ነው፣ ማለትም፣ ይለያያል። በ
ከጋራ ቃል ጋር ተከታታይ ቁጥር እናገኛለን
.

ተከታታዩ በሊብኒዝ ፈተና መሰረት ይሰበሰባሉ። ስለዚህ, የዚህ ተከታታይ ትስስር ክልል የጊዜ ክፍተት ነው
.

16.2. በግምታዊ ስሌቶች ውስጥ የኃይል ተከታታይ ትግበራ

በግምታዊ ስሌቶች ውስጥ የኃይል ተከታታዮች እጅግ በጣም ጠቃሚ ሚና ይጫወታሉ. በእነሱ እርዳታ በተለያዩ የእውቀት መስኮች ለምሳሌ በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና በሂሳብ ስታቲስቲክስ ውስጥ ጥቅም ላይ የሚውሉት የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ጠረጴዛዎች ፣ የሎጋሪዝም ሰንጠረዦች ፣ የሌሎች ተግባራት እሴቶች ሰንጠረዦች ተሰብስበዋል ። በተጨማሪም ተግባራትን ወደ ሃይል ተከታታይ ማስፋፋት ለንድፈ ሃሳባዊ ጥናታቸው ጠቃሚ ነው. በግምታዊ ስሌቶች ውስጥ የኃይል ተከታታዮችን ሲጠቀሙ ዋናው ጉዳይ የተከታታይ ድምርን በመጀመሪያው ድምር ሲተካ ስህተቱን የመገመት ጥያቄ ነው። nአባላት.

ሁለት ጉዳዮችን እንመልከት፡-

ተግባሩ ወደ ተለዋጭ ተከታታይ ተዘርግቷል;

ተግባሩ ወደ ተከታታይ ቋሚ ምልክት ተዘርግቷል.

ተለዋጭ ተከታታይን በመጠቀም ስሌት

ተግባሩ ይፍቀድ
ወደ ተለዋጭ የኃይል ተከታታይ ተዘርግቷል። ከዚያም ይህን ተግባር ለተወሰነ እሴት ሲያሰላ የላይብኒዝ መስፈርትን ተግባራዊ የምናደርግበት ተከታታይ ቁጥር አግኝተናል። በዚህ መስፈርት መሰረት, የተከታታይ ድምር በመጀመርያው ድምር ከተተካ nውሎች፣ እንግዲያውስ ፍፁም ስህተቱ ከቀሪው ተከታታይ የመጀመሪያ ቃል አይበልጥም ፣ ማለትም፡-
.

ለምሳሌ8 . አስላ
ከ 0.0001 ትክክለኛነት ጋር.

መፍትሄ.

ለ Maclaurin ተከታታይ እንጠቀማለን
በራዲያን ውስጥ ያለውን የማዕዘን እሴት በመተካት፡-

የተከታታዩን የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ቃላት ከተሰጠው ትክክለኛነት ጋር ካነጻጸርን፡.

ሦስተኛው የማስፋፊያ ጊዜ፡-

ከተጠቀሰው ስሌት ትክክለኛነት ያነሰ. ስለዚህ, ለማስላት
ተከታታይ ሁለት ውሎችን መተው በቂ ነው, ማለትም

.

ስለዚህም
.

ለምሳሌ9 . አስላ
ከ 0.001 ትክክለኛነት ጋር.

መፍትሄ.

የሁለትዮሽ ተከታታይ ቀመር እንጠቀማለን. ይህንን ለማድረግ, እንፃፍ
እንደ፡-
.

በዚህ አገላለጽ
,

እያንዳንዱን የተከታታዩ ውሎች ከተገለጹት ትክክለኛነት ጋር እናወዳድር። እንደሆነ ግልጽ ነው።
. ስለዚህ, ለማስላት
ተከታታይ ሶስት ውሎችን መተው በቂ ነው.

ወይም
.

አዎንታዊ ተከታታይ በመጠቀም ስሌት

ለምሳሌ10 . ቁጥር አስላ ከ 0.001 ትክክለኛነት ጋር.

መፍትሄ.

ለአንድ ተግባር በተከታታይ
እንተኩ
. እናገኛለን፡-

የተከታታይ ድምርን ከመጀመሪያው ድምር ጋር ሲተካ የሚፈጠረውን ስህተት እንገምታለን። አባላት. ግልጽ የሆነ አለመመጣጠን እንፃፍ

ማለትም 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

በችግሩ መሰረት, ማግኘት ያስፈልግዎታል nየሚከተሉት አለመመጣጠን እንደሚከተለው ነው-
ወይም
.

መቼ እንደሆነ ማረጋገጥ ቀላል ነው። n= 6:
.

ስለዚህም እ.ኤ.አ.
.

ለምሳሌ11 . አስላ
ከ 0.0001 ትክክለኛነት ጋር.

መፍትሄ.

ሎጋሪዝምን ለማስላት ለተግባሩ ተከታታይ ልንጠቀም እንደምንችል ልብ ይበሉ
ነገር ግን ይህ ተከታታይ በጣም በዝግታ ይሰበሰባል እና የተሰጠውን ትክክለኛነት ለማግኘት 9999 ቃላትን መውሰድ አስፈላጊ ይሆናል! ስለዚህ, ሎጋሪዝምን ለማስላት, እንደ አንድ ደንብ, ለተግባሩ ተከታታይ ጥቅም ላይ ይውላል
, እሱም በጊዜ ክፍተት ላይ የሚገጣጠም
.

እንቆጥረው
ይህን ተከታታይ በመጠቀም. ፍቀድ
, ከዚያም .

ስለዚህም እ.ኤ.አ.
,

ለማስላት
ከተወሰነ ትክክለኛነት ጋር የመጀመሪያዎቹን አራት ቃላት ድምር ውሰድ፡-
.

የተቀሩት ተከታታይ
እናስወግደው። ስህተቱን እንገምት. እንደሆነ ግልጽ ነው።

ወይም
.

ስለዚህ, ለስሌቱ ጥቅም ላይ በዋለው ተከታታይ ውስጥ, ለተግባሩ በተከታታይ ከ 9999 ይልቅ የመጀመሪያዎቹን አራት ቃላት ብቻ መውሰድ በቂ ነበር.
.

ራስን የመመርመር ጥያቄዎች

1. ቴይለር ተከታታይ ምንድን ነው?

2. የማክላሪን ተከታታይ ምን ዓይነት ቅርጽ ነበረው?

3. በቴይለር ተከታታይ ውስጥ የአንድ ተግባር መስፋፋት ላይ ንድፈ ሃሳብ ይቅረጹ።

4. ዋና ዋና ተግባራትን የማክላሪን ተከታታይ መስፋፋትን ይጻፉ.

5. የታሰቡት ተከታታይ መጋጠሚያ ቦታዎችን ያመልክቱ.

6. የኃይል ተከታታይን በመጠቀም በግምታዊ ስሌቶች ውስጥ ስህተቱን እንዴት መገመት ይቻላል?

በተግባራዊ ተከታታይ ጽንሰ-ሀሳብ ውስጥ, ማዕከላዊው ቦታ አንድን ተግባር ወደ ተከታታይ ለማስፋፋት በተዘጋጀው ክፍል ተይዟል.

ስለዚህ, ተግባሩ ተዘጋጅቷል: ለተወሰነ ተግባር እንደዚህ አይነት የኃይል ተከታታይ ማግኘት አለብን

በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ የሚሰበሰበው እና ድምሩ እኩል ነበር።
, እነዚያ።

= ..

ይህ ተግባር ይባላል ተግባርን ወደ ሃይል ተከታታይ የማስፋፋት ችግር።

በኃይል ተከታታይ ውስጥ ላለው ተግባር መበስበስ አስፈላጊ ሁኔታየእሱ ልዩነት ማለቂያ የሌለው የጊዜ ብዛት ነው - ይህ ከተለዋዋጭ የኃይል ተከታታይ ባህሪዎች ይከተላል። ይህ ሁኔታ እንደ አንድ ደንብ, በትርጉማቸው ጎራ ውስጥ ለአንደኛ ደረጃ ተግባራት ረክቷል.

ስለዚህ ተግባሩን እናስብ
የማንኛውም ትዕዛዝ ተዋጽኦዎች አሉት። ወደ ኃይል ተከታታይነት ማስፋፋት ይቻላልን? የችግሩ ሁለተኛ ክፍል ለመፍታት ቀላል ነው, ስለዚህ በእሱ እንጀምር.

ተግባሩን እናስብ
ነጥቡን በያዘው የጊዜ ክፍተት ውስጥ እንደ አንድ የኃይል ተከታታይ ድምር ሊወከል ይችላል። X 0 :

= .. (*)

የት ሀ 0 , ኤ 1 , ኤ 2 ፣... ፣አ ፒ ,... - ያልታወቁ (ገና) ቅንጅቶች።

ዋጋውን እኩልነት (*) እናስቀምጠው x = x 0 , ከዚያም እናገኛለን

.

የኃይል ተከታታዮችን (*) ቃል በቃል እንለይ

= ..

እና እዚህ ማመን x = x 0 , እናገኛለን

.

በሚቀጥለው ልዩነት ተከታታዩን እናገኛለን

= ..

ማመን x = x 0 , እናገኛለን
፣ የት
.

በኋላ ፒ- ብዙ ልዩነት እናገኛለን

በመጨረሻው እኩልነት መገመት x = x 0 , እናገኛለን
፣ የት

ስለዚህ, ቅንጅቶች ተገኝተዋል

,
,
, …,
,….,

ወደ ተከታታዩ (*) በመተካት, እናገኛለን

የተገኘው ተከታታይ ይባላል ከቴይለር ቀጥሎ ለተግባር
.

ስለዚህም ያንን መስርተናል ተግባሩ በሃይል ውስጥ ወደ አንድ የኃይል ተከታታይ ሊሰፋ የሚችል ከሆነ (x - x 0 ), ከዚያ ይህ መስፋፋት ልዩ ነው እና የተገኘው ተከታታይ የግድ የቴይለር ተከታታይ ነው።

የቴይለር ተከታታይ ነጥቡ ላይ የየትኛውም ትዕዛዝ መነሻዎች ላለው ለማንኛውም ተግባር ሊገኝ እንደሚችል ልብ ይበሉ x = x 0 . ነገር ግን ይህ ማለት በተግባሩ እና በተፈጠረው ተከታታይ መካከል እኩል ምልክት ሊቀመጥ ይችላል ማለት አይደለም, ማለትም. የተከታታዩ ድምር ከዋናው ተግባር ጋር እኩል ነው. በመጀመሪያ ደረጃ፣ እንዲህ ዓይነቱ እኩልነት ትርጉም ያለው የመሰብሰቢያ ክልል ውስጥ ብቻ ነው ፣ እና ለተግባሩ የተገኘው የቴይለር ተከታታይ ሊለያይ ይችላል ፣ እና ሁለተኛ ፣ የቴይለር ተከታታይ ከተጣመረ ፣ ድምሩ ከመጀመሪያው ተግባር ጋር ላይስማማ ይችላል።

3.2. በቴይለር ተከታታይ ውስጥ ለአንድ ተግባር መበስበስ በቂ ሁኔታዎች

ስራው የሚፈታበትን መግለጫ በመታገዝ መግለጫ እንፍጠር.

ተግባሩ ከሆነ
በአንዳንድ የነጥብ x ሰፈር 0 እስከ () ድረስ ተዋጽኦዎች አሉትn+ 1) የሥርዓት አካታች፣ ከዚያም በዚህ ሰፈር ውስጥ አለን።ቀመር ቴይለር

የትአር n (X)የቴይለር ቀመር ቀሪ ቃል - ቅጹ አለው (የላግራንጅ ቅጽ)

የት ነጥብξ በ x እና x መካከል ይገኛል። 0 .

በቴይለር ተከታታይ እና በቴይለር ቀመር መካከል ልዩነት እንዳለ ልብ ይበሉ፡ የቴይለር ቀመር የመጨረሻ ድምር ነው፣ ማለትም. ፒ -ቋሚ ቁጥር.

የተከታታዩ ድምር መሆኑን አስታውስ ኤስ(x) ከፊል ድምሮች ተግባራዊ ቅደም ተከተል ገደብ ተብሎ ሊገለጽ ይችላል። ኤስ ፒ (x) በተወሰነ ጊዜ ውስጥ X:

.

በዚህ መሠረት አንድን ተግባር ወደ ቴይለር ተከታታይ ማስፋት ማለት ለማንኛውም እንደዚህ ያለ ተከታታይ ማግኘት ማለት ነው። XX

የቴይለርን ፎርሙላ የት በሚለው ቅጽ እንጽፈው

ያስተውሉ, ያንን
ያገኘነውን ስህተት ይገልፃል, ተግባሩን ይተኩ ረ(x) ፖሊኖሚል ኤስ n (x).

ከሆነ
፣ ያ
,እነዚያ. ተግባሩ በቴይለር ተከታታይ ውስጥ ተዘርግቷል። በተቃራኒው, ከሆነ
፣ ያ
.

በዚህም አረጋግጠናል። በቴይለር ተከታታይ ውስጥ የአንድ ተግባር መበስበስ መመዘኛ።

ለተግባሩ ቅደም ተከተልረ(x) ወደ ቴይለር ተከታታይ ይስፋፋል፣ በዚህ ጊዜ ውስጥ አስፈላጊ እና በቂ ነው።
፣ የትአር n (x) የቴይለር ተከታታይ ቀሪ ቃል ነው።

የተቀናበረውን መስፈርት በመጠቀም አንድ ሰው ማግኘት ይችላል በቂበቴይለር ተከታታይ ውስጥ የአንድ ተግባር መበስበስ ሁኔታዎች።

ከገባየነጥብ x የተወሰነ ሰፈር 0 የሁሉም የተግባሩ ተዋጽኦዎች ፍጹም እሴቶች ለተመሳሳይ ቁጥር M የተገደቡ ናቸው።≥ 0፣ ማለትም

፣ ቲo በዚህ ሰፈር ውስጥ ተግባሩ ወደ ቴይለር ተከታታይ ይሰፋል።

ከላይ ከተጠቀሰው ይከተላል አልጎሪዝምየተግባር መስፋፋት ረ(x) በቴይለር ተከታታይበአንድ ነጥብ አካባቢ X 0 :

1. የተግባሮች ተዋጽኦዎችን ማግኘት ረ(x):

f(x)፣ f’(x)፣ ረ”(x)፣ ረ’”(x)፣ ረ (n) (x)፣…

2. የተግባሩን ዋጋ እና የእሱ ተዋጽኦዎች እሴቶችን በነጥቡ ላይ ያሰሉ X 0

ረ(x 0 ), ረ (x 0 ረ” (x 0 ), ረ” (x 0 ), ረ (n) (x 0 ),…

3. የቴይለር ተከታታዮችን በመደበኛነት እንጽፋለን እና የተፈጠረውን የኃይል ተከታታዮች መገጣጠም ክልል እናገኛለን።

4. በቂ ሁኔታዎች መሟላታቸውን እንፈትሻለን, ማለትም. ለዚህም ነው የምንመሰርትው። Xከመሰብሰቢያው ክልል, የቀረው ጊዜ አር n (x) ወደ ዜሮ ይቀየራል እንደ
ወይም
.

ይህንን ስልተ ቀመር በመጠቀም ተግባራትን ወደ ቴይለር ተከታታይ ማስፋፋት ይባላል ተግባርን ወደ ቴይለር ተከታታይ በትርጉም ማስፋፋት።ወይም ቀጥተኛ መበስበስ.

ተግባሩ ከሆነ ረ(x)ነጥቡን የያዘው በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ ነው። ሀ, የሁሉም ትዕዛዞች ተዋጽኦዎች፣ ከዚያ የቴይለር ቀመር በእሱ ላይ ሊተገበር ይችላል፡-

የት አር ኤን- የተከታታዩ ቀሪ ቃል ወይም ቀሪው ተብሎ የሚጠራው የ Lagrange ቀመር በመጠቀም ሊገመት ይችላል-

x ቁጥሩ በመካከል የሚገኝበት Xእና ሀ.

ለተወሰነ ዋጋ ከሆነ x r n®0 በ n®¥፣ ከዚያ በገደቡ ውስጥ የቴይለር ፎርሙላ ለዚህ እሴት ወደ ተቀራራቢ ቀመር ይቀየራል። ቴይለር ተከታታይ:

ስለዚህ ተግባሩ ረ(x)በጥያቄው ነጥብ ላይ ወደ ቴይለር ተከታታይ ሊሰፋ ይችላል። Xከሆነ፡-

1) የሁሉም ትዕዛዞች መነሻዎች አሉት;

2) የተገነቡት ተከታታይ ክፍሎች በዚህ ቦታ ይሰበሰባሉ.

በ ሀ=0 ተከታታይ የሚባል እናገኛለን በማክላሪን አቅራቢያ:

ምሳሌ 1 ረ(x)= 2x.

መፍትሄ. የተግባሩን እና ተዋጽኦዎቹን እሴቶች በ ላይ እናገኛለን X=0

ረ(x) = 2x, ረ( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2፣ f ¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢(x) = 2x ln 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

ረ(n)(x) = 2x ln n 2, ረ(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

የተገኙትን ተዋጽኦዎች እሴቶች ወደ ቴይለር ተከታታይ ቀመር በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን

የዚህ ተከታታዮች መጋጠሚያ ራዲየስ ከማይታወቅ ጋር እኩል ነው፣ ስለዚህ ይህ ማስፋፊያ የሚሰራው ለ -¥ ነው።<x<+¥.

ምሳሌ 2 X+4) ለተግባር ረ(x)=ሠ x.

መፍትሄ. የተግባሩ ተዋጽኦዎችን ማግኘት ሠ xእና እሴቶቻቸው በነጥቡ ላይ X=-4.

ረ(x)= ሠ x, ረ(-4) = ሠ -4 ;

f¢(x)= ሠ x, f ¢(-4) = ሠ -4 ;

f¢¢(x)= ሠ x, f¢¢(-4) = ሠ -4 ;

ረ(n)(x)= ሠ x, ረ(n)( -4) = ሠ -4 .

ስለዚህ፣ የሚፈለገው ቴይለር ተከታታይ ተግባር ቅጹ አለው፡-

ይህ ማስፋፊያ ለ -¥ም ይሠራል<x<+¥.

ምሳሌ 3 . ተግባርን ዘርጋ ረ(x)= ln xበተከታታይ በስልጣን ( ኤክስ- 1),

(ማለትም በነጥቡ አካባቢ በቴይለር ተከታታይ X=1).

መፍትሄ. የዚህን ተግባር ተዋጽኦዎች ያግኙ።

እነዚህን እሴቶች በቀመር ውስጥ በመተካት የተፈለገውን ቴይለር ተከታታይ እናገኛለን፡-

የ d'Alembert ፈተናን በመጠቀም፣ ተከታታዩ መቼ እንደሚሰበሰቡ ማረጋገጥ ይችላሉ።

½ ኤክስ- 1½<1. Действительно,

ተከታታዩ የሚሰበሰበው ½ ከሆነ ነው። ኤክስ- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 የላይብኒዝ መስፈርት ሁኔታዎችን የሚያረካ ተለዋጭ ተከታታይ አግኝተናል። በ X=0 ተግባር አልተገለጸም። ስለዚህ፣ የቴይለር ተከታታይ የመገጣጠም ክልል የግማሽ ክፍት ክፍተት ነው (0;2)።

በዚህ መንገድ የተገኙትን ማስፋፊያዎች ወደ ማክላሪን ተከታታይ (ማለትም በነጥቡ አካባቢ) እናቅርብ X=0) ለአንዳንድ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት፡-

(2) ,

(3) ,

(የመጨረሻው መበስበስ ይባላል ሁለትዮሽ ተከታታይ)

ምሳሌ 4 . ተግባሩን ወደ የኃይል ተከታታይ ዘርጋ

መፍትሄ. በማስፋፊያ (1) እንተካለን Xላይ - X 2, እናገኛለን:

ምሳሌ 5 . በማክላሪን ተከታታይ ውስጥ ያለውን ተግባር ያስፋፉ

መፍትሄ. እና አለነ

ቀመር (4) በመጠቀም የሚከተለውን መፃፍ እንችላለን፡-

በምትኩ መተካት Xወደ ቀመር ውስጥ -Xእኛ እናገኛለን:

ከዚህ እናገኛለን፡-

ቅንፎችን መክፈት, የተከታታዩን ውሎች እንደገና ማስተካከል እና ተመሳሳይ ቃላትን ማምጣት, እናገኛለን

ይህ ተከታታይ በክፍተቱ ውስጥ ይሰበሰባል

(-1; 1), ከሁለት ተከታታይ የተገኘ ስለሆነ, እያንዳንዳቸው በዚህ ክፍተት ውስጥ ይሰበሰባሉ.

አስተያየት .

ቀመሮች (1)-(5) እንዲሁም ተጓዳኝ ተግባራትን ወደ ቴይለር ተከታታይ ለማስፋት ጥቅም ላይ ሊውሉ ይችላሉ፣ ማለትም. በአዎንታዊ የኢንቲጀር ኃይል ውስጥ ተግባራትን ለማስፋት ( ሃ). ይህንን ለማድረግ ከተግባሮቹ (1) - (5) አንዱን ለማግኘት በአንድ ተግባር ላይ እንደዚህ ያሉ ተመሳሳይ ለውጦችን ማድረግ አስፈላጊ ነው. Xወጪዎች k( ሃ m , k ቋሚ ቁጥር ከሆነ, m አዎንታዊ ኢንቲጀር ነው. ብዙውን ጊዜ ተለዋዋጭ ለውጥ ለማድረግ አመቺ ነው ቲ=ሃእና በማክላሪን ተከታታይ ውስጥ ከ t አንጻር የተገኘውን ተግባር ያስፋፉ.

ይህ ዘዴ የአንድ ተግባር ተከታታይ የኃይል መስፋፋት ልዩ ንድፈ ሃሳብን ያሳያል። የዚህ ንድፈ ሃሳብ ይዘት በተመሳሳይ ነጥብ ሰፈር ውስጥ ምንም አይነት መስፋፋት ቢፈፀም ወደ ተመሳሳይ ተግባር የሚገጣጠሙ ሁለት የተለያዩ የሃይል ተከታታዮች ሊገኙ አይችሉም.

ምሳሌ 6 . በአንድ ነጥብ ሰፈር ውስጥ ተግባሩን ወደ ቴይለር ተከታታይ ዘርጋ X=3.

መፍትሄ. ይህ ችግር ልክ እንደበፊቱ ሁሉ የቴይለር ተከታታይ ፍቺን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል ፣ ለዚህም የተግባር እና እሴቶቻቸውን አመጣጥ መፈለግ አለብን ። X=3. ሆኖም፣ ያለውን ማስፋፊያ (5) መጠቀም ቀላል ይሆናል።

የውጤቱ ተከታታይ በ ላይ ይሰበሰባል ወይም -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

ምሳሌ 7 . የቴይለር ተከታታዮችን በኃይል ይፃፉ ( X-1) ተግባራት .

መፍትሄ.

ተከታታይ በ ላይ ይሰበሰባል ፣ ወይም 2< x£5