እኩልታዎችን ይወስኑ እና ቼክ ያድርጉ። መስመራዊ እኩልታዎች

ይህንን አንቀፅ ለመቆጣጠር “ሁለት በሁለት” እና “በሶስት በሦስት” ያሉትን ቆራጮች ማሳየት መቻል አለቦት። በብቃቶች መጥፎ ከሆኑ እባክዎን ትምህርቱን አጥኑ ወሳኙን እንዴት ማስላት ይቻላል?

በመጀመሪያ፣ በሁለት የማይታወቁ የሁለት መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የ Cramer አገዛዝን በጥልቀት እንመለከታለን። ለምንድነው፧ - ከሁሉም በላይ, በጣም ቀላሉ ስርዓት የትምህርት ቤት ዘዴን በመጠቀም, በጊዜ-ጊዜ የመደመር ዘዴን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል!

እውነታው ግን አንዳንድ ጊዜ እንዲህ ዓይነቱ ተግባር ይከሰታል - የ Cramer ቀመሮችን በመጠቀም የሁለት መስመራዊ እኩልታዎችን ከሁለት የማይታወቁ ጋር ለመፍታት። በሁለተኛ ደረጃ, ቀለል ያለ ምሳሌ Cramer's አገዛዝን ለተጨማሪ ውስብስብ ጉዳይ እንዴት እንደሚጠቀሙ ለመረዳት ይረዳዎታል - የሶስት እኩልታዎች ከሶስት የማይታወቁ ጋር.

በተጨማሪም, ሁለት ተለዋዋጮች ያሉት የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች አሉ, እነሱም የ Cramer's ደንብን በመጠቀም ለመፍታት ጠቃሚ ናቸው!

የእኩልታዎችን ስርዓት አስቡበት

በመጀመሪያው ደረጃ, ወሳኙን እናሰላለን, ይባላል የስርዓቱ ዋና መወሰኛ.

Gauss ዘዴ.

ከሆነ ፣ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው ፣ እና ሥሮቹን ለማግኘት ሁለት ተጨማሪ መወሰኛዎችን ማስላት አለብን።
እና

በተግባር፣ ከላይ ያሉት ብቃቶች በላቲን ፊደልም ሊገለጹ ይችላሉ።

ቀመሮቹን በመጠቀም የእኩልታውን ሥሮች እናገኛለን፡-
,

ምሳሌ 7

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

መፍትሄየእኩልታ እኩልነት በጣም ትልቅ እንደሆነ እናያለን በቀኝ በኩል ደግሞ ነጠላ ሰረዝ ያላቸው የአስርዮሽ ክፍልፋዮች አሉ። ኮማ በሂሳብ ውስጥ በተግባራዊ ተግባራት ውስጥ በጣም ያልተለመደ እንግዳ ነው;

እንዲህ ዓይነቱን ሥርዓት እንዴት መፍታት ይቻላል? አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንጻር ለመግለጽ መሞከር ይችላሉ, ነገር ግን በዚህ ሁኔታ ውስጥ አብሮ ለመስራት በጣም የማይመቹ አስፈሪ ክፍልፋዮች ያጋጥሙዎታል, እና የመፍትሄው ንድፍ በቀላሉ አስፈሪ ይመስላል. ሁለተኛውን እኩልታ በ 6 ማባዛት እና ቃልን በጊዜ መቀነስ ይችላሉ, ግን ተመሳሳይ ክፍልፋዮች እዚህም ይነሳሉ.

ምን ለማድረግ፧ በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች, የክሬመር ቀመሮች ወደ ማዳን ይመጣሉ.

;

;

መልስ: ,

ሁለቱም ሥሮች ማለቂያ የሌላቸው ጭራዎች አሏቸው እና በግምት ይገኛሉ ፣ ይህም ለኢኮኖሚክስ ችግሮች በጣም ተቀባይነት ያለው (እና አልፎ ተርፎም የተለመደ) ነው።

እዚህ አስተያየቶች አያስፈልጉም, ስራው የሚፈታው ዝግጁ የሆኑ ቀመሮችን በመጠቀም ነው, ሆኖም ግን, አንድ ማስጠንቀቂያ አለ. ይህንን ዘዴ ሲጠቀሙ, የግዴታየተግባር ዲዛይኑ ክፍልፋይ የሚከተለው ቁራጭ ነው። "ይህ ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው ማለት ነው". ያለበለዚያ፣ ገምጋሚው ለCramer's theorem አክብሮት የጎደለው ድርጊት ሊቀጣህ ይችላል።

በካልኩሌተር ላይ በሚመች ሁኔታ ሊከናወን የሚችለውን መፈተሽ በጣም ጥሩ አይሆንም-ግምታዊ እሴቶችን በእያንዳንዱ የስርዓቱ እኩልታ በግራ በኩል እንተካለን። በውጤቱም, በትንሽ ስህተት, በቀኝ በኩል ያሉትን ቁጥሮች ማግኘት አለብዎት.

ምሳሌ 8

መልሱን በተለመደው ተገቢ ባልሆኑ ክፍልፋዮች ያቅርቡ። ቼክ ያድርጉ።

ይህ በራስዎ ለመፍታት ምሳሌ ነው (የመጨረሻው ንድፍ ምሳሌ እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ያለው መልስ)።

የሶስት እኩልታዎች ስርዓት ከሶስት የማይታወቁ ጋር የክሬመርን ደንብ ወደ እንመልከት፡-

የስርዓቱን ዋና መመዘኛ እናገኛለን-

ከሆነ ስርዓቱ ብዙ መፍትሄዎች አሉት ወይም ወጥነት የሌለው (መፍትሄ የለውም)። በዚህ ሁኔታ, የ Cramer አገዛዝ አይረዳም, የ Gauss ዘዴን መጠቀም ያስፈልግዎታል.

ከሆነ ፣ ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው እና ሥሮቹን ለማግኘት ሦስት ተጨማሪ መለኪያዎችን ማስላት አለብን።
, ,

እና በመጨረሻም መልሱ ቀመሮቹን በመጠቀም ይሰላል-

እንደምታየው የ "ሶስት በሦስት" ጉዳይ በመሠረቱ ከ "ሁለት ሁለት" ጉዳይ አይለይም;

ምሳሌ 9

የCramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ።

መፍትሄ: የ Cramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን እንፍታ.

, ይህም ማለት ስርዓቱ ልዩ መፍትሄ አለው.

መልስ: .

በእውነቱ ፣ እዚህ እንደገና አስተያየት ለመስጠት ምንም ልዩ ነገር የለም ፣ ምክንያቱም መፍትሄው ዝግጁ የሆኑ ቀመሮችን ስለሚከተል። ግን ሁለት አስተያየቶች አሉ።

በስሌቶች ምክንያት “መጥፎ” የማይቀነሱ ክፍልፋዮች ተገኝተዋል ፣ ለምሳሌ፡-
የሚከተለውን "ህክምና" አልጎሪዝም እመክራለሁ. በእጅዎ ኮምፒተር ከሌለዎት ይህንን ያድርጉ

1) በስሌቶቹ ውስጥ ስህተት ሊኖር ይችላል. ልክ "መጥፎ" ክፍልፋይ ሲያጋጥሙ, ወዲያውኑ ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል ሁኔታው በትክክል ተጽፏል?. ሁኔታው ያለ ስህተቶች እንደገና ከተፃፈ, በሌላ ረድፍ (አምድ) ውስጥ ማስፋፊያን በመጠቀም ቆራጮችን እንደገና ማስላት ያስፈልግዎታል.

2) በማጣራት ምክንያት ምንም ስህተቶች ካልተገኙ ምናልባት ምናልባት በተግባሩ ሁኔታዎች ውስጥ የትየባ ነበር። በዚህ ሁኔታ, በእርጋታ እና በጥንቃቄ ስራውን እስከ መጨረሻው ድረስ, እና ከዚያም ማረጋገጥዎን እርግጠኛ ይሁኑእና ከውሳኔው በኋላ በንጹህ ሉህ ላይ እናወጣዋለን. በእርግጥ ክፍልፋይ መልስ መፈተሽ ደስ የማይል ተግባር ነው፣ ነገር ግን ለመምህሩ ትጥቅ ማስፈታት ይሆናል። ክፍልፋዮችን እንዴት እንደሚይዙ በምሳሌ 8 ላይ በዝርዝር ተገልጾአል።

በእጅዎ ኮምፒዩተር ካለዎት, ለመፈተሽ አውቶሜትድ ፕሮግራም ይጠቀሙ, ይህም በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ በነፃ ማውረድ ይችላል. በነገራችን ላይ ወዲያውኑ ፕሮግራሙን መጠቀም በጣም ትርፋማ ነው (መፍትሄውን ከመጀመርዎ በፊት እንኳን) ወዲያውኑ ስህተት የሠሩበትን መካከለኛ ደረጃ ያያሉ! ተመሳሳዩ ካልኩሌተር የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የስርዓቱን መፍትሄ በራስ-ሰር ያሰላል።

ሁለተኛ አስተያየት። ከጊዜ ወደ ጊዜ አንዳንድ ተለዋዋጮች የሚጎድሉባቸው እኩልታዎች ውስጥ ሥርዓቶች አሉ ለምሳሌ፡-

እዚህ በመጀመሪያው እኩልታ ውስጥ ምንም ተለዋዋጭ የለም, በሁለተኛው ውስጥ ምንም ተለዋዋጭ የለም. በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ ዋናውን መወሰኛ በትክክል እና በጥንቃቄ መፃፍ በጣም አስፈላጊ ነው-
- ዜሮዎች በጠፉ ተለዋዋጮች ምትክ ይቀመጣሉ።
በነገራችን ላይ, ዜሮ በሚገኝበት ረድፍ (አምድ) መሰረት ቆራጮችን በዜሮዎች መክፈት ምክንያታዊ ነው, ምክንያቱም በጣም ጥቂት ስሌቶች አሉ.

ምሳሌ 10

የCramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ።

ይህ ለገለልተኛ መፍትሄ (የመጨረሻው ንድፍ ናሙና እና በትምህርቱ መጨረሻ ላይ ያለው መልስ) ምሳሌ ነው.

ለ 4 እኩልታዎች ስርዓት ከ 4 የማይታወቁ ጋር, የክሬመር ቀመሮች የተፃፉት በተመሳሳይ መርሆች መሰረት ነው. በትምህርቱ ውስጥ የቀጥታ ምሳሌ ማየት ይችላሉ የመወሰኛ ባህሪዎች። የወሳኙን ቅደም ተከተል መቀነስ - አምስት 4 ኛ ቅደም ተከተሎች በጣም ሊፈቱ የሚችሉ ናቸው. ምንም እንኳን ስራው ቀድሞውኑ በእድለኛ ተማሪ ደረቱ ላይ የፕሮፌሰርን ጫማ በጣም የሚያስታውስ ቢሆንም.

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ዘዴ በመሠረቱ ልዩ ጉዳይ ነው የማትሪክስ እኩልታ(የተጠቀሰውን ትምህርት ምሳሌ ቁጥር 3 ተመልከት).

ይህንን ክፍል ለማጥናት ወሳኞችን ማስፋፋት፣ የማትሪክስ ተገላቢጦሽ መፈለግ እና ማትሪክስ ማባዛትን ማከናወን መቻል አለቦት። ማብራሪያዎቹ በሂደት ላይ ሲሆኑ አግባብነት ያላቸው ማገናኛዎች ይቀርባሉ.

ምሳሌ 11

የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን ይፍቱ

መፍትሄስርዓቱን በማትሪክስ መልክ እንፃፍ፡-
፣ የት

እባክዎን የእኩልታዎችን እና ማትሪክስ ስርዓትን ይመልከቱ። ኤለመንቶችን ወደ ማትሪክስ የምንጽፍበትን መርህ ሁሉም ሰው የተረዳ ይመስለኛል። ብቸኛው አስተያየት፡ አንዳንድ ተለዋዋጮች ከእኩልታዎች ጠፍተው ከሆነ፣ ዜሮዎች በማትሪክስ ውስጥ ባሉ ተጓዳኝ ቦታዎች ላይ መቀመጥ ነበረባቸው።

ቀመሩን በመጠቀም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እናገኛለን፡-
, የማትሪክስ ተጓዳኝ አካላት የአልጀብራ ማሟያዎች የተላለፈው ማትሪክስ የት አለ።

በመጀመሪያ፣ ወሳኙን እንመልከት፡-

እዚህ ወሳኙ በመጀመሪያው መስመር ላይ ተዘርግቷል.

ትኩረት! ከሆነ, ከዚያ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የለም, እና የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት አይቻልም. በዚህ ሁኔታ ስርዓቱ የማይታወቁትን (የጋውስ ዘዴ) በማስወገድ ዘዴ ይፈታል.

አሁን 9 ታዳጊዎችን ማስላት እና ወደ ታዳጊዎች ማትሪክስ መፃፍ አለብን

ዋቢ፡በመስመራዊ አልጀብራ ውስጥ ድርብ የደንበኝነት ምዝገባዎችን ትርጉም ማወቅ ጠቃሚ ነው። የመጀመሪያው አሃዝ ኤለመንቱ የሚገኝበት የመስመር ቁጥር ነው. ሁለተኛው አሃዝ ኤለመንቱ የሚገኝበት የአምድ ቁጥር ነው፡-

ማለትም፣ ድርብ መዝገብ የሚያመለክተው ንጥረ ነገሩ በመጀመሪያው ረድፍ፣ በሦስተኛው አምድ እና ለምሳሌ በ3 ረድፍ፣ 2 አምድ ውስጥ መሆኑን ነው።

በመፍትሔው ጊዜ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆችን ስሌት በዝርዝር መግለጽ ይሻላል, ምንም እንኳን በተወሰነ ልምድ በአፍ ከስህተቶች ጋር መቁጠርን ሊለማመዱ ይችላሉ.

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንደ ገለልተኛ ተለዋዋጮች ብዛት ብዙ እኩልታዎችን ይይዝ፣ ማለትም። መምሰል

እንዲህ ያሉት የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ኳድራቲክ ይባላሉ. ለስርአቱ ገለልተኛ ተለዋዋጮች (1.5) ውህዶችን ያቀፈው ወሳኙ የስርዓቱ ዋና መወሰኛ ይባላል። በግሪኩ ፊደል D እንጠቁመዋለን። ስለዚህም፣

. (1.6)

ዋናው ወሳኙ የዘፈቀደ ከያዘ ( ጄኛ) አምድ ፣ በነጻ የስርዓት ውሎች አምድ (1.5) ይተኩ ፣ ከዚያ ማግኘት ይችላሉ። nረዳት መመዘኛዎች፡-

(ጄ = 1, 2, …, n). (1.7)

የክሬመር ደንብየመስመራዊ እኩልታዎች ባለአራት ስርዓቶችን መፍታት እንደሚከተለው ነው። የስርዓቱ ዋና መወሰኛ D (1.5) ከዜሮ የተለየ ከሆነ ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው ፣ ይህም ቀመሮቹን በመጠቀም ሊገኝ ይችላል-

(1.8)

ምሳሌ 1.5.የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ

.

የስርዓቱን ዋና መመዘኛ እናሰላለን-

ከD¹0 ጀምሮ፣ ስርዓቱ ልዩ የሆነ መፍትሄ አለው፣ እሱም ቀመሮችን (1.8) በመጠቀም ማግኘት ይቻላል፦

ስለዚህም

በማትሪክስ ላይ ያሉ ድርጊቶች

1. ማትሪክስ በቁጥር ማባዛት።ማትሪክስ በቁጥር የማባዛት አሠራር እንደሚከተለው ይገለጻል።

2. ማትሪክስ በቁጥር ለማባዛት, ሁሉንም ንጥረ ነገሮቹን በዚህ ቁጥር ማባዛት ያስፈልግዎታል. ያውና

. (1.9)

ምሳሌ 1.6. .

ማትሪክስ መጨመር.

ይህ ክዋኔ የተዋወቀው ለተመሳሳይ ቅደም ተከተል ማትሪክስ ብቻ ነው።

ሁለት ማትሪክቶችን ለመጨመር የሌላ ማትሪክስ ተጓዳኝ አካላትን ወደ አንድ ማትሪክስ አካላት ማከል አስፈላጊ ነው-

(1.10)
የማትሪክስ የመደመር አሠራር የአስተሳሰብ እና የመለዋወጥ ባህሪያት አሉት.

ምሳሌ 1.7. .

ማትሪክስ ማባዛት።

የማትሪክስ አምዶች ብዛት ከሆነ ሀከማትሪክስ ረድፎች ብዛት ጋር ይዛመዳል ውስጥ, ከዚያ ለእንደዚህ አይነት ማትሪክስ የማባዛት ክዋኔው ገብቷል:

2

ስለዚህ, ማትሪክስ ሲባዛ ሀልኬቶች ኤም´ nወደ ማትሪክስ ውስጥልኬቶች n´ ክማትሪክስ እናገኛለን ጋርልኬቶች ኤም´ ክ. በዚህ ሁኔታ, የማትሪክስ አካላት ጋርየሚከተሉትን ቀመሮች በመጠቀም ይሰላሉ:

ችግር 1.8.ከተቻለ የማትሪክስ ምርትን ያግኙ ABእና ቢ.ኤ.:

መፍትሄ። 1) ሥራ ለማግኘት AB, ማትሪክስ ረድፎች ያስፈልግዎታል ሀበማትሪክስ አምዶች ማባዛት። ለ:

2) ሥራ ቢ.ኤ.የለም, ምክንያቱም የማትሪክስ አምዶች ብዛት ለከማትሪክስ ረድፎች ብዛት ጋር አይዛመድም። ሀ.

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ. የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት

ማትሪክስ ሀ - 1 የካሬ ማትሪክስ ተገላቢጦሽ ይባላል ሀ, እኩልነት ከተሟላ:

የት በኩል አይእንደ ማትሪክስ ተመሳሳይ ቅደም ተከተል የማንነት ማትሪክስ ያመለክታል ሀ:

.

የካሬ ማትሪክስ ተገላቢጦሽ እንዲኖረው፣ የሚወስነው ከዜሮ የተለየ እንዲሆን አስፈላጊ እና በቂ ነው። የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የሚገኘው በቀመርው በመጠቀም ነው፡-

, (1.13)

የት አ ij- አልጀብራ ወደ ንጥረ ነገሮች መጨመር አ ijማትሪክስ ሀ(አልጀብራ ወደ ማትሪክስ ረድፎች መጨመሩን ልብ ይበሉ ሀበተገላቢጦሽ ማትሪክስ ውስጥ በተመጣጣኝ አምዶች መልክ ይገኛሉ).

ምሳሌ 1.9.የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ያግኙ ሀ - 1 ወደ ማትሪክስ

.

ቀመር (1.13) በመጠቀም የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እናገኛለን, ይህም ለጉዳዩ n= 3 ቅጹ አለው፡-

.

det አግኝ ሀ = | ሀ| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ዜሮ ያልሆነ ስለሆነ ተገላቢጦሹ ማትሪክስ አለ።

1) የአልጀብራ ማሟያዎችን ያግኙ አ ij:

የተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለመፈለግ ምቾት የአልጀብራ ተጨማሪዎችን ወደ መጀመሪያው ማትሪክስ ረድፎች በተዛማጅ አምዶች ውስጥ አስቀመጥን።

ከተገኙት የአልጀብራ ተጨማሪዎች አዲስ ማትሪክስ አዘጋጅተናል እና በሚወስነው det እንካፈላለን ሀ. ስለዚህ ፣ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ እናገኛለን-

የመስመራዊ እኩልታዎች ባለአራት ስርዓቶች ከዜሮ ያልሆነ ዋና መወሰኛ ጋር የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በመጠቀም ሊፈቱ ይችላሉ። ይህንን ለማድረግ ሥርዓት (1.5) በማትሪክስ መልክ ተጽፏል፡-

የት

ሁለቱንም የእኩልነት ጎኖች (1.14) ከግራ ​​በኩል በማባዛት። ሀ - 1, ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን:

፣ የት

ስለዚህ, ለካሬ ስርዓት መፍትሄ ለማግኘት, የስርዓቱን ዋና ማትሪክስ ተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማግኘት እና በነፃ ቃላት አምድ ማትሪክስ በቀኝ በኩል ማባዛት ያስፈልግዎታል.

ችግር 1.10.የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ በመጠቀም.

መፍትሄ።ስርዓቱን በማትሪክስ መልክ እንጽፈው፡,

የት - የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ, - የማይታወቁ ዓምድ እና - የነጻ ቃላት አምድ. ከስርአቱ ዋና መወሰኛ ጀምሮ , ከዚያም የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ ሀየተገላቢጦሽ ማትሪክስ አለው። ሀ-1. የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ለማግኘት ሀ-1, የአልጀብራ ማሟያዎችን በሁሉም የማትሪክስ አካላት እናሰላለን ሀ:

ከተገኙት ቁጥሮች ማትሪክስ (እና የአልጀብራ ተጨማሪዎችን በማትሪክስ ረድፎች ላይ እናዘጋጃለን) ሀበተገቢው አምዶች ውስጥ ይፃፉት) እና በወሳኙ መ ይከፋፍሉት። ስለዚህም የተገላቢጦሹን ማትሪክስ አግኝተናል፡-

ቀመር (1.15) በመጠቀም የስርዓቱን መፍትሄ እናገኛለን

ስለዚህም

ተራውን የዮርዳኖስ ማስወገጃ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት

የዘፈቀደ (የግድ ኳድራቲክ ያልሆነ) የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ይስጥ፡

(1.16)

ለስርዓቱ መፍትሄ መፈለግ ያስፈልጋል, ማለትም. ሁሉንም የስርዓተ-ፆታ እኩልነት (1.16) የሚያረካ የተለዋዋጮች ስብስብ. በአጠቃላይ ሁኔታ ስርዓት (1.16) አንድ መፍትሄ ብቻ ሳይሆን ስፍር ቁጥር የሌላቸው መፍትሄዎችም ሊኖረው ይችላል. እንዲሁም ምንም መፍትሄዎች ላይኖረው ይችላል.

እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች በሚፈታበት ጊዜ የማይታወቁትን የማስወገድ ታዋቂው የት / ቤት ኮርስ ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላል ፣ እሱም ተራው የዮርዳኖስ ማስወገጃ ዘዴ ተብሎም ይጠራል። የዚህ ዘዴ ዋናው ነገር በስርአት እኩልታዎች (1.16) ውስጥ አንዱ ተለዋዋጮች ከሌሎች ተለዋዋጮች አንጻር ሲገለጹ ነው. ይህ ተለዋዋጭ በስርዓቱ ውስጥ ባሉ ሌሎች እኩልታዎች ውስጥ ተተክቷል። ውጤቱም ከዋናው ስርዓት ያነሰ አንድ እኩልታ እና አንድ ተለዋዋጭ የያዘ ስርዓት ነው። ተለዋዋጭው የተገለጸበት እኩልታ ይታወሳል.

ይህ ሂደት አንድ የመጨረሻ እኩልታ በስርዓቱ ውስጥ እስኪቀር ድረስ ይደገማል። የማይታወቁ ነገሮችን በማስወገድ ሂደት፣ አንዳንድ እኩልታዎች እውነተኛ ማንነቶች ሊሆኑ ይችላሉ፣ ለምሳሌ። እንደነዚህ ያሉት እኩልታዎች ከሲስተሙ የተገለሉ ናቸው ፣ ምክንያቱም ለማንኛውም የተለዋዋጮች እሴቶች ረክተዋል እና ስለሆነም የስርዓቱን መፍትሄ አይጎዱም። የማይታወቁ ነገሮችን በማስወገድ ሂደት ውስጥ ቢያንስ አንድ እኩልታ ለማንኛውም የተለዋዋጮች እሴቶች (ለምሳሌ) ሊረካ የማይችል እኩልነት ከሆነ ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም ብለን እንጨርሳለን።

በመፍትሔው ጊዜ ምንም ተቃራኒ እኩልታዎች ካልተከሰቱ በእሱ ውስጥ ከቀሩት ተለዋዋጮች ውስጥ አንዱ ከመጨረሻው እኩልታ ተገኝቷል። በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ብቻ ከቀረ፣ ከዚያም እንደ ቁጥር ይገለጻል። ሌሎች ተለዋዋጮች በመጨረሻው እኩልታ ውስጥ ከቀሩ፣ እንደ ግቤቶች ይቆጠራሉ፣ እና በእነሱ በኩል የሚገለፀው ተለዋዋጭ የእነዚህ መለኪያዎች ተግባር ይሆናል። ከዚያም "የተገላቢጦሽ እንቅስቃሴ" ተብሎ የሚጠራው ይከናወናል. የተገኘው ተለዋዋጭ በመጨረሻው በሚታወሰው እኩልታ ውስጥ ተተክቷል እና ሁለተኛው ተለዋዋጭ ተገኝቷል። ከዚያም የተገኙት ሁለቱ ተለዋዋጮች በፔንልቲሜትሚው የማስታወስ ቀመር ውስጥ ይተካሉ እና ሶስተኛው ተለዋዋጭ ተገኝቷል, እና ሌሎችም, እስከ መጀመሪያው የማስታወስ እኩልነት.

በውጤቱም, ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን. የተገኙት ተለዋዋጮች ቁጥሮች ከሆኑ ይህ መፍትሔ ልዩ ይሆናል. የመጀመሪያው ተለዋዋጭ ከተገኘ እና ሁሉም ሌሎች በመለኪያዎች ላይ የሚመረኮዙ ከሆነ ስርዓቱ ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ብዛት ይኖረዋል (እያንዳንዱ የመለኪያዎች ስብስብ ከአዲስ መፍትሄ ጋር ይዛመዳል)። በተለየ የመለኪያዎች ስብስብ ላይ በመመስረት ለስርዓቱ መፍትሄ ለማግኘት የሚያስችሉ ቀመሮች የስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄ ይባላሉ.

ምሳሌ 1.11.

x

የመጀመሪያውን እኩልታ ካስታወሱ በኋላ እና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እኩልታዎች ውስጥ ተመሳሳይ ቃላትን በማምጣት ስርዓቱ ላይ ደርሰናል-

እንግለጽ yከሁለተኛው እኩልታ እና ወደ መጀመሪያው እኩልነት ይቀይሩት-

ሁለተኛውን እኩልነት እናስታውስ, እና ከመጀመሪያው እናገኛለን ዝ:

ወደ ኋላ በመስራት፣ ያለማቋረጥ እናገኛለን yእና ዝ. ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ እኛ ካገኘንበት ወደ መጨረሻው የታሰበው እኩልታ እንተካለን። y:

.

ከዚያ ወደ መጀመሪያው የመታሰቢያ እኩልታ እንተካለን። የት እንደምናገኝ x:

ችግር 1.12.ያልታወቁትን በማስወገድ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ፡-

. (1.17)

መፍትሄ።ተለዋዋጭውን ከመጀመሪያው እኩል እንግለጽ xእና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እኩልታዎች ይተኩ፡

.

የመጀመሪያውን እኩልታ እናስታውስ

በዚህ ስርዓት, የመጀመሪያው እና ሁለተኛ እኩልታዎች እርስ በእርሳቸው ይቃረናሉ. በእርግጥ, መግለጽ y ያንን 14 = 17 እናገኛለን. ይህ እኩልነት ለተለዋዋጮች ምንም አይነት እሴት አይይዝም. x, y, እና ዝ. በዚህም ምክንያት, ስርዓት (1.17) ወጥነት የለውም, ማለትም. መፍትሄ የለውም።

አንባቢዎች የዋናው ስርዓት ዋና መለኪያ (1.17) ከዜሮ ጋር እኩል መሆኑን ለራሳቸው እንዲፈትሹ እንጋብዛለን።

ከስርአት (1.17) የሚለየውን በአንድ ነፃ ጊዜ ብቻ እንመልከት።

ችግር 1.13.ያልታወቁትን በማስወገድ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓትን ይፍቱ፡-

. (1.18)

መፍትሄ።ልክ እንደበፊቱ, ተለዋዋጭውን ከመጀመሪያው እኩል እንገልፃለን xእና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እኩልታዎች ይተኩ፡

.

የመጀመሪያውን እኩልታ እናስታውስ እና በሁለተኛው እና በሦስተኛው እኩልታዎች ውስጥ ተመሳሳይ ቃላትን ያቅርቡ. ወደ ስርዓቱ ደርሰናል-

መግለጽ yከመጀመሪያው እኩልታ እና ወደ ሁለተኛው እኩልነት በመተካት , መታወቂያ 14 = 14 እናገኛለን, ይህም የስርዓቱን መፍትሄ አይጎዳውም, ስለዚህም, ከስርዓቱ ሊገለል ይችላል.

በመጨረሻው የታሰበው እኩልነት, ተለዋዋጭ ዝእንደ መለኪያ እንቆጥረዋለን. እናምናለን። ከዚያም

እንተኩ yእና ዝወደ መጀመሪያው ይታወሳል እኩልነት እና ያግኙ x:

.

ስለዚህ ስርዓት (1.18) ማለቂያ የሌለው የመፍትሄዎች ቁጥር አለው, እና ማንኛውም መፍትሄ ቀመሮችን (1.19) በመጠቀም ሊገኝ ይችላል, የመለኪያውን የዘፈቀደ እሴት በመምረጥ. ቲ:

(1.19)
ስለዚህ የስርዓቱ መፍትሄዎች ለምሳሌ የሚከተሉት የተለዋዋጭ ስብስቦች ናቸው (1; 2; 0), (2; 26; 14), ወዘተ. ቀመሮች (1.19) የስርዓቱን አጠቃላይ (ማንኛውም) መፍትሄ ይገልፃሉ (1.18). ).

ዋናው ሥርዓት (1.16) በበቂ ሁኔታ ብዛት ያላቸው እኩልታዎች እና ያልታወቁ ነገሮች ሲኖሩት፣ የተጠቆመው ተራ ዮርዳኖስ የማስወገድ ዘዴ አስቸጋሪ ይመስላል። ሆኖም ግን አይደለም. በአጠቃላይ ቅፅ አንድ ደረጃ ላይ የስርዓት መለኪያዎችን እንደገና ለማስላት ስልተ ቀመር ማውጣት እና ለችግሩ መፍትሄ በልዩ የዮርዳኖስ ጠረጴዛዎች መልክ መደበኛ ማድረግ በቂ ነው።

የመስመራዊ ቅርጾች (እኩልታዎች) ስርዓት ይስጥ፡

, (1.20)
የት x j- ገለልተኛ (የተፈለጉ) ተለዋዋጮች ፣ አ ij- ቋሚ ቅንጅቶች
(እኔ = 1, 2,…, ኤም; ጄ = 1, 2,…, n). የስርዓቱ ትክክለኛ ክፍሎች y i (እኔ = 1, 2,…, ኤም) ተለዋዋጮች (ጥገኛ) ወይም ቋሚዎች ሊሆኑ ይችላሉ. የማይታወቁ ነገሮችን በማስወገድ ለዚህ ሥርዓት መፍትሄ መፈለግ ያስፈልጋል።

ከዚህ በኋላ “የተለመደ የዮርዳኖስ ማስወገጃዎች አንድ እርምጃ” የሚባለውን የሚከተለውን ክዋኔ እንመልከት። ከዘፈቀደ ( አርኛ) እኩልነት የዘፈቀደ ተለዋዋጭ እንገልፃለን ( xs) እና ወደ ሌሎች ሁሉም እኩልነት ይተኩ. በእርግጥ ይህ የሚቻል ከሆነ ብቻ ነው አንድ rs¹ 0. Coefficient አንድ rsመፍትሔው (አንዳንድ ጊዜ የሚመራ ወይም ዋና) አካል ይባላል።

የሚከተለውን ስርዓት እናገኛለን:

. (1.21)

ከ ኤስ- የስርዓት እኩልነት (1.21) ፣ ከዚያ በኋላ ተለዋዋጭውን እናገኛለን xs(የተቀሩት ተለዋዋጮች ከተገኙ በኋላ). ኤስየ -th መስመር ይታወሳል እና በመቀጠል ከስርአቱ የተገለለ ነው። የተቀረው ስርዓት ከዋናው ስርዓት ያነሰ አንድ እኩልታ እና አንድ ገለልተኛ ተለዋዋጭ ይይዛል።

የውጤቱን ስርዓት (1.21) በዋናው ስርዓት (1.20) ቅንጅቶች በኩል እናሰላለን. በዚ እንጀምር አርተለዋዋጭውን ከገለጸ በኋላ, እኩልታ xsበቀሪዎቹ ተለዋዋጮች በኩል እንደዚህ ይመስላል

ስለዚህ, አዲሶቹ ኮፊፊሴቲቭ አርእኩልታዎች የሚሰሉት የሚከተሉትን ቀመሮች በመጠቀም ነው።

(1.23)
አሁን አዲሱን ኮፊፊሸን እናሰላለን b ij(እኔ¹ አር) የዘፈቀደ እኩልነት። ይህንን ለማድረግ በ (1.22) ውስጥ የተገለጸውን ተለዋዋጭ እንተካለን። xsቪ እኔየስርዓት እኩልታ (1.20)

ተመሳሳይ ውሎችን ካመጣን በኋላ የሚከተሉትን እናገኛለን

(1.24)
ከእኩልነት (1.24) የተቀሩት የስርዓት ውህዶች (1.21) የሚሰሉበትን ቀመሮችን እናገኛለን (ከዚህ በስተቀር) አርእኩልታ፡-

(1.25)
በተለመደው የዮርዳኖስ ማስወገጃ ዘዴ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ለውጥ በጠረጴዛዎች (ማትሪክስ) መልክ ቀርቧል. እነዚህ ጠረጴዛዎች "የጆርዳን ጠረጴዛዎች" ይባላሉ.

ስለዚህ፣ ችግር (1.20) ከሚከተለው የዮርዳኖስ ሠንጠረዥ ጋር የተያያዘ ነው።

ሠንጠረዥ 1.1

የዮርዳኖስ ሠንጠረዥ 1.1 የስርአቱ ቀኝ ክፍሎች (1.20) የተፃፉበት እና ገለልተኛ ተለዋዋጮች የተፃፉበት የላይኛው ራስጌ አምድ ይይዛል።

የተቀሩት የሠንጠረዡ አካላት ዋናውን የስርዓት ቅንጅቶች (1.20) ይመሰርታሉ. ማትሪክስን ካባዙት። ሀየላይኛው የረድፍ ረድፎችን አካላት ባካተተ ማትሪክስ ፣ የግራ አርእስት ዓምድ አካላትን ያካተተ ማትሪክስ ያገኛሉ። ማለትም፣ በመሠረቱ፣ የዮርዳኖስ ሠንጠረዥ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት የመፃፍ ማትሪክስ ነው። ስርዓት (1.21) ከሚከተለው የዮርዳኖስ ሰንጠረዥ ጋር ይዛመዳል፡

ሠንጠረዥ 1.2

የሚፈቀድ አካል አንድ rs በድፍረት እናደምቃቸዋለን። ያስታውሱ የዮርዳኖስን ማስወገድ አንድ እርምጃን ተግባራዊ ለማድረግ፣ የሚፈታው አካል ዜሮ ያልሆነ መሆን አለበት። የሚሠራውን አካል የያዘው የሰንጠረዥ ረድፍ የማንቃት ረድፍ ይባላል። የነቃ ኤለመንት ያለው አምድ የነቃ አምድ ይባላል። ከተጠቀሰው ሰንጠረዥ ወደ ቀጣዩ ሰንጠረዥ ሲንቀሳቀሱ አንድ ተለዋዋጭ ( xs) ከሠንጠረዡ የላይኛው ራስጌ ረድፍ ወደ ግራ ራስጌ አምድ ይንቀሳቀሳል እና በተቃራኒው ከስርአቱ ነፃ አባላት አንዱ ( y አር) ከሠንጠረዡ የግራ ራስ ዓምድ ወደ ላይኛው የጭንቅላት ረድፍ ይንቀሳቀሳል.

ከዮርዳኖስ ሠንጠረዥ (1.1) ወደ ሠንጠረዥ (1.2) በሚንቀሳቀስበት ጊዜ ቀመሮችን (1.23) እና (1.25) የሚከተለውን ቀመሮችን እንደገና ለማስላት ስልተ-ቀመርን እንግለጽ።

1. የመፍትሄው አካል በተገላቢጦሽ ቁጥር ተተክቷል፡

2. የተቀሩት የመፍትሄው ሕብረቁምፊ አካላት ወደ መፍትሄው አካል ተከፋፍለው ምልክቱን ወደ ተቃራኒው ይለውጣሉ፡

3. የቀሩት የመፍትሄው አምድ ክፍሎች ወደ የመፍትሄ አካል ተከፍለዋል፡

4. በሚፈቅደው ረድፍ ውስጥ ያልተካተቱ ንጥረ ነገሮች ቀመሮቹን በመጠቀም እንደገና ይሰላሉ፡-

ክፍልፋዩን የሚያካትቱትን ንጥረ ነገሮች ካስተዋሉ የመጨረሻው ቀመር ለማስታወስ ቀላል ነው ፣ መገናኛው ላይ ናቸው። እኔ- ኦ እና አር- ኛ መስመሮች እና ጄኛ እና ኤስኛ አምዶች (ረድፎችን መፍታት ፣ መፍታት አምድ እና ረድፍ እና አምድ በመስቀለኛ መንገድ ላይ እንደገና የተሰላ ኤለመንት የሚገኝበት)። ይበልጥ በትክክል, ቀመሩን በማስታወስ የሚከተለውን ንድፍ መጠቀም ይችላሉ:

የዮርዳኖስ ልዩ ሁኔታዎችን የመጀመሪያ ደረጃ ሲያደርጉ በአምዶች ውስጥ የሚገኘውን ማንኛውንም የሠንጠረዥ 1.3 አካል እንደ መፍትሄ አካል መምረጥ ይችላሉ x 1 ,…, x 5 (ሁሉም የተገለጹ ንጥረ ነገሮች ዜሮ አይደሉም)። በመጨረሻው አምድ ውስጥ የሚነቃውን አካል ብቻ አይምረጡ፣ ምክንያቱም ገለልተኛ ተለዋዋጮችን ማግኘት ያስፈልግዎታል x 1 ,…, x 5 . ለምሳሌ, ኮፊሸን እንመርጣለን 1 ከተለዋዋጭ ጋር x 3 በሰንጠረዥ 1.3 ሶስተኛው መስመር (የሚነቃው አካል በደማቅነት ይታያል)። ወደ ጠረጴዛ 1.4 ሲንቀሳቀስ, ተለዋዋጭ xከላይኛው የራስጌ ረድፍ 3 ከግራ ራስጌ አምድ (ሶስተኛ ረድፍ) ቋሚ 0 ጋር ተቀይሯል። በዚህ ሁኔታ, ተለዋዋጭ x 3 በቀሪዎቹ ተለዋዋጮች ይገለጻል።

ሕብረቁምፊ x 3 (ሠንጠረዥ 1.4) አስቀድመው ካስታወሱ በኋላ ከሠንጠረዥ 1.4 ሊገለሉ ይችላሉ. ከላይኛው የርዕስ መስመር ላይ ዜሮ ያለው ሶስተኛው አምድ እንዲሁ ከሠንጠረዥ 1.4 አልተካተተም። ነጥቡ የአንድ አምድ ጥምርታዎች ምንም ቢሆኑም b iየእያንዳንዱ እኩልታ 3 ሁሉም ተዛማጅ ውሎች 0 b i 3 ስርዓቶች ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናሉ. ስለዚህ, እነዚህ ጥምርታዎች ማስላት አያስፈልግም. አንድ ተለዋዋጭ ማስወገድ x 3 እና አንዱን እኩልታ በማስታወስ ከሠንጠረዥ 1.4 ጋር የሚዛመድ ስርዓት ላይ ደርሰናል (መስመሩን በማለፍ x 3) በሠንጠረዥ 1.4 ውስጥ እንደ መፍትሄ አካል መምረጥ ለ 14 = -5, ወደ ጠረጴዛ 1.5 ይሂዱ. በሰንጠረዥ 1.5 ውስጥ የመጀመሪያውን ረድፍ አስታውሱ እና ከአራተኛው አምድ ጋር (ከላይ ዜሮ ጋር) ከጠረጴዛው ውስጥ ያስወግዱት.

ሠንጠረዥ 1.5 ሠንጠረዥ 1.6

ከመጨረሻው ሰንጠረዥ 1.7 እናገኛለን: x 1 = - 3 + 2x 5 .

ቀድሞውንም የተገኙትን ተለዋዋጮች በሚታወሱት መስመሮች ውስጥ በቋሚነት በመተካት የተቀሩትን ተለዋዋጮች እናገኛለን፡-

ስለዚህ ስርዓቱ ስፍር ቁጥር የሌላቸው መፍትሄዎች አሉት. ተለዋዋጭ x 5, የዘፈቀደ ዋጋዎች ሊመደቡ ይችላሉ. ይህ ተለዋዋጭ እንደ መለኪያ ይሠራል x 5 = ቲ. የስርዓቱን ተኳሃኝነት አረጋግጠናል እና አጠቃላይ መፍትሄውን አገኘን-

x 1 = - 3 + 2ቲ

x 2 = - 1 - 3ቲ

x 3 = - 2 + 4ቲ . (1.27)
x 4 = 4 + 5ቲ

x 5 = ቲ

መለኪያ መስጠት ቲየተለያዩ እሴቶች, ለዋናው ስርዓት ማለቂያ የሌላቸው መፍትሄዎችን እናገኛለን. ስለዚህ, ለምሳሌ, የስርዓቱ መፍትሄ የሚከተለው ተለዋዋጭ ስብስብ ነው (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

ከሶስት የማይታወቁ ጋር የ 3 እኩልታዎች ስርዓትን አስቡበት

የ 3 ኛ ቅደም ተከተሎችን በመጠቀም, ለእንደዚህ አይነት ስርዓት መፍትሄው ለሁለት እኩልታዎች ስርዓት በተመሳሳይ መልኩ ሊፃፍ ይችላል, ማለትም.

(2.4)

0 ከሆነ። እዚህ

እዚያ ነው። የክሬመር አገዛዝ የሶስት መስመር እኩልታዎች ስርዓትን በሦስት የማይታወቁ መፍታት.

ምሳሌ 2.3.የCramer's ደንብን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ፡-

መፍትሄ . የስርዓቱን ዋና ማትሪክስ መወሰኛ ማግኘት

ከ 0 ጀምሮ፣ ከዚያ ለስርዓቱ መፍትሄ ለማግኘት የCramer’s ደንብን መተግበር እንችላለን፣ ግን በመጀመሪያ ሶስት ተጨማሪ መወሰኛዎችን እናሰላለን።

ምርመራ፡-

ስለዚህ, መፍትሄው በትክክል ተገኝቷል. 

ለ 2 ኛ እና 3 ኛ ቅደም ተከተል የመስመራዊ ስርዓቶች የ Cramer ህጎች እንደሚያመለክቱት ለማንኛውም ቅደም ተከተል ተመሳሳይ ህጎች ሊዘጋጁ ይችላሉ ። በእርግጥ ይከሰታል

የክሬመር ቲዎሪ. የመስመራዊ እኩልታዎች ባለአራት ስርዓት የስርዓቱን ዋና ማትሪክስ ዜሮ የማይለይ (0) አንድ እና አንድ መፍትሄ ያለው ሲሆን ይህ መፍትሄ ቀመሮቹን በመጠቀም ይሰላል

(2.5)

የት  – ዋናውን ማትሪክስ የሚወስን,  እኔ – ማትሪክስ መወሰኛ, ከዋናው የተገኘ, በመተካትእኔየነፃ ቃላት አምድ.

ልብ ይበሉ =0 ከሆነ፣ የCramer’s ደንብ አይተገበርም። ይህ ማለት ስርዓቱ ምንም አይነት መፍትሄ የለውም ወይም ብዙ መፍትሄዎች አሉት ማለት ነው.

የCramer's theorem ካቀረፅን በኋላ፣ የከፍተኛ ትዕዛዞችን ወሳኞች ስለማስላት ጥያቄው በተፈጥሮ ይነሳል።

2.4. የ nth ትዕዛዝ ቆራጮች

ተጨማሪ ጥቃቅን ኤም ijኤለመንት ሀ ijበመሰረዝ ከተሰጠው ውሳኔ የተገኘ ነው እኔኛ መስመር እና ጄኛ አምድ. አልጀብራ ማሟያ ሀ ijኤለመንት ሀ ijበምልክት (-1) የተወሰደው የዚህ ንጥረ ነገር ትንሹ ይባላል እኔ + ጄ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ሀ ij = (–1) እኔ + ጄ ኤም ij .

ለምሳሌ ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች እና አልጀብራ ማሟያዎችን እንፈልግ ሀ 23 እና ሀ 31 ማጣሪያዎች

እናገኛለን



የአልጀብራ ማሟያ ጽንሰ-ሐሳብን በመጠቀም መቅረጽ እንችላለን የሚወስን የማስፋፊያ ቲዎሬምn- በቅደም ተከተል ወይም በአምድ.

ቲዎረም 2.1. ማትሪክስ መወሰኛሀበአልጀብራ ማሟያዎች የአንድ ረድፍ (ወይም አምድ) የሁሉም አካላት ምርቶች ድምር እኩል ነው።

(2.6)

ይህ ቲዎሬም ወሳኞችን ለማስላት ከዋና ዋና ዘዴዎች ውስጥ አንዱን ማለትም የሚባሉትን መሰረት ያደረገ ነው። የትዕዛዝ ቅነሳ ዘዴ. የመወሰኛውን መስፋፋት ምክንያት nበማንኛውም ረድፍ ወይም አምድ ላይ፣ n ቆራጮችን እናገኛለን ( n-1) ትእዛዝ ጥቂት እንደዚህ ያሉ መወሰኛዎች እንዲኖሩት, ብዙ ዜሮዎች ያለውን ረድፍ ወይም አምድ መምረጥ ጥሩ ነው. በተግባር፣ ለወሳኙ የማስፋፊያ ቀመር ብዙውን ጊዜ እንደሚከተለው ይጻፋል፡-

እነዚያ። የአልጀብራ ተጨማሪዎች ለአካለ መጠን ያልደረሱ ልጆች ላይ በግልጽ የተጻፉ ናቸው.

ምሳሌዎች 2.4.መጀመሪያ ወደ አንዳንድ ረድፍ ወይም አምድ በመደርደር ወሳኙን አስላ። በተለምዶ እንደዚህ ባሉ አጋጣሚዎች ብዙ ዜሮዎች ያለውን አምድ ወይም ረድፍ ይምረጡ። የተመረጠው ረድፍ ወይም አምድ በቀስት ይጠቁማል።



2.5. የመወሰን መሰረታዊ ባህሪያት

ወሳኙን በማንኛውም ረድፍ ወይም አምድ ላይ በማስፋት፣ n መወሰኛዎችን እናገኛለን ( n-1) ትእዛዝ ከዚያ እያንዳንዳቸው እነዚህ መለኪያዎች ( n-1) ኛ ቅደም ተከተል ወደ ድምር ውሳኔዎች ሊሰፋ ይችላል ( n-2) ቅደም ተከተል. ይህን ሂደት በመቀጠል, አንድ ሰው ወደ 1 ኛ ቅደም ተከተል መወሰኛዎች ሊደርስ ይችላል, ማለትም. የሚወስነው የሚሰላው ወደ ማትሪክስ አካላት። ስለዚህ የ 2 ኛ ቅደም ተከተሎችን ለማስላት የሁለት ቃላት ድምርን ማስላት አለብህ, ለ 3 ኛ ቅደም ተከተሎች - የ 6 ቃላት ድምር, ለ 4 ኛ ቅደም ተከተሎች - 24 ቃላት. የመወሰኛው ቅደም ተከተል ሲጨምር የቃላቶቹ ብዛት በከፍተኛ ሁኔታ ይጨምራል። ይህ ማለት በጣም ከፍተኛ ትዕዛዞችን የሚወስኑትን ማስላት ከኮምፒዩተር እንኳን አቅም በላይ ጉልበት የሚጠይቅ ስራ ይሆናል። ነገር ግን, የመወሰን ባህሪያትን በመጠቀም ቆራጮች በሌላ መንገድ ሊሰሉ ይችላሉ.

ንብረት 1 . በውስጡ ያሉት ረድፎች እና ዓምዶች ከተቀያየሩ ወሳኙ አይለወጥም ፣ ማለትም። ማትሪክስ በሚቀይሩበት ጊዜ:

.

ይህ ንብረት የረድፎችን እና የአምዶችን እኩልነት ያመለክታል. በሌላ አነጋገር፣ ስለ ወሳኙ ዓምዶች ማንኛውም መግለጫ እንዲሁ ለረድፎቹ እውነት ነው እና በተቃራኒው።

ንብረት 2 . ሁለት ረድፎች (አምዶች) ሲቀያየሩ ቀጣሪው ይለውጣል።

መዘዝ . ወሳኙ ሁለት ተመሳሳይ ረድፎች (አምዶች) ካሉት ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

ንብረት 3 . በማንኛውም ረድፍ (አምድ) ውስጥ ያሉት የሁሉም ንጥረ ነገሮች የጋራ ምክንያት ከመወሰኛ ምልክት ሊወጣ ይችላል።.

ለምሳሌ፣

መዘዝ . የአንድ የተወሰነ ረድፍ (አምድ) አካላት በሙሉ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ ወሳኙ ራሱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።.

ንብረት 4 . የአንዱ ረድፍ (አምድ) ንጥረ ነገሮች በሌላ ረድፍ (አምድ) አካላት ላይ ከተጨመሩ፣ በማንኛውም ቁጥር ቢባዙ ወሳኙ አይቀየርም።.

ለምሳሌ፣

ንብረት 5 . የማትሪክስ ምርትን የሚወስነው ከማትሪክስ መወሰኛዎች ምርት ጋር እኩል ነው።

ዘዴዎች ክሬመርእና ጋውስ- በጣም ታዋቂ ከሆኑ የመፍትሄ ዘዴዎች አንዱ SLAU. በተጨማሪም, በአንዳንድ ሁኔታዎች የተወሰኑ ዘዴዎችን መጠቀም ተገቢ ነው. ክፍለ-ጊዜው ቅርብ ነው፣ እና እነሱን ከባዶ ለመድገም ወይም ለመቆጣጠር ጊዜው አሁን ነው። ዛሬ የክሬመር ዘዴን በመጠቀም መፍትሄውን እንመለከታለን. ከሁሉም በላይ, የ Cramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት በጣም ጠቃሚ ችሎታ ነው.

የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓቶች

የመስመር አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት የቅጹ እኩልታዎች ስርዓት ነው፡-

እሴት አዘጋጅ x የስርአቱ እኩልታ ወደ ማንነት የሚቀየርበት የስርአቱ መፍትሄ ይባላል። ሀ እና ለ እውነተኛ ቅንጅቶች ናቸው. ሁለት የማይታወቁ ሁለት እኩልታዎችን ያካተተ ቀላል ስርዓት በራስዎ ውስጥ ወይም አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር በመግለጽ ሊፈታ ይችላል። ነገር ግን በ SLAE ውስጥ ከሁለት በላይ ተለዋዋጮች (xes) ሊኖሩ ይችላሉ፣ እና እዚህ ቀላል የት/ቤት መጠቀሚያዎች በቂ አይደሉም። ምን ለማድረግ፧ ለምሳሌ፣ የክሬመር ዘዴን በመጠቀም SLAE ን ይፍቱ!

እንግዲያው, ስርዓቱ እንዲይዝ ያድርጉ n ጋር እኩልታዎች n የማይታወቅ.

እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት በማትሪክስ መልክ እንደገና ሊጻፍ ይችላል

እዚህ ሀ - የስርዓቱ ዋና ማትሪክስ; X እና ለ , በቅደም ተከተል, የማይታወቁ ተለዋዋጮች እና ነጻ ቃላት የአምድ ማትሪክስ.

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም SLAE ን መፍታት

የዋናው ማትሪክስ ወሳኙ ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ (ማትሪክስ ነጠላ ያልሆነ) ከሆነ ስርዓቱ የ Cramer ዘዴን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል።

በ Cramer ዘዴ መሰረት, መፍትሄው የሚገኘው ቀመሮቹን በመጠቀም ነው-

እዚህ ዴልታ ዋናው ማትሪክስ የሚወስነው ነው, እና ዴልታ x nth - የ nth አምድ በነፃ ቃላት አምድ በመተካት ከዋናው ማትሪክስ መወሰኛ የተገኘ።

ይህ የ Cramer ዘዴ አጠቃላይ ይዘት ነው። ከላይ ያሉትን ቀመሮች በመጠቀም የተገኙትን እሴቶች በመተካት x ወደ ተፈለገው ስርዓት, የመፍትሄያችን ትክክለኛነት (ወይም በተቃራኒው) እርግጠኞች ነን. ምንነቱን በፍጥነት እንዲረዱ ለማገዝ፣ የክሬመር ዘዴን በመጠቀም ስለ SLAE ዝርዝር መፍትሄ ምሳሌ ከዚህ በታች እንሰጣለን።

ምንም እንኳን ለመጀመሪያ ጊዜ ካልተሳካዎት, ተስፋ አይቁረጡ! በትንሽ ልምምድ፣ SLAUs እንደ ለውዝ መሰንጠቅ ትጀምራለህ። በተጨማሪም ፣ አሁን በማስታወሻ ደብተር ላይ መቧጠጥ ፣ አስቸጋሪ ስሌቶችን መፍታት እና ዋናውን መሙላት በፍጹም አስፈላጊ አይደለም ። የክሬመር ዘዴን በመስመር ላይ በመጠቀም በቀላሉ SLAEዎችን መፍታት ይችላሉ፣ ልክ በተጠናቀቀው ቅፅ ውስጥ ያሉትን መለኪያዎች በመተካት። የ Cramer ዘዴን በመጠቀም የመስመር ላይ መፍትሄ ማስያ መሞከር ይችላሉ, ለምሳሌ, በዚህ ድህረ ገጽ ላይ.

እና ስርዓቱ ግትር ከሆነ እና ተስፋ ካልቆረጠ ሁል ጊዜ ለእርዳታ ወደ ደራሲዎቻችን መዞር ይችላሉ ፣ ለምሳሌ ፣ ወደ ። በስርአቱ ውስጥ ቢያንስ 100 ያልታወቁ ነገሮች ካሉ በእርግጠኝነት በትክክል እና በጊዜ እንፈታዋለን!

ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ የማትሪክስ ዋና መወሰኛ ጋር የማይታወቁ ቁጥሮች ተመሳሳይ እኩልታዎች ፣ የስርአቱ ቅንጅቶች (ለእንደዚህ ላሉት እኩልታዎች መፍትሄ አለ እና አንድ ብቻ ነው)።

የክሬመር ቲዎሪ.

የካሬ ስርዓት ማትሪክስ ወሳኙ ዜሮ ያልሆነ ከሆነ ስርዓቱ ወጥነት ያለው እና አንድ መፍትሄ አለው እና ሊገኝ የሚችለው በ የክሬመር ቀመሮች:

የት Δ የስርዓት ማትሪክስ የሚወስን,

Δ እኔየስርዓት ማትሪክስ መወሰኛ ነው, በእሱ ምትክ እኔኛው ዓምድ የቀኝ ጎኖቹን አምድ ይይዛል።

የስርአቱ ወሳኙ ዜሮ ሲሆን ስርዓቱ ሊተባበር ወይም ሊጣጣም አይችልም ማለት ነው።

ይህ ዘዴ በአብዛኛው ጥቅም ላይ የሚውለው ለትንንሽ ስርዓቶች ሰፊ ስሌቶች እና የማይታወቁትን አንዱን ለመወሰን አስፈላጊ ከሆነ ነው. የስልቱ ውስብስብነት ብዙ መወሰኛዎችን ማስላት ያስፈልጋል.

የክሬመር ዘዴ መግለጫ.

የእኩልታዎች ስርዓት አለ፡-

ለ 2 እኩልታዎች ስርዓት ከላይ የተብራራውን ክሬመር ዘዴን በመጠቀም የ 3 እኩልታዎች ስርዓት ሊፈታ ይችላል።

ከማያውቋቸው ጥምርታዎች ውስጥ ወሳኙን አዘጋጅተናል፡-

ይሆናል የስርዓት መወሰኛ. መቼ D≠0, ይህም ማለት ስርዓቱ ወጥነት ያለው ነው. አሁን 3 ተጨማሪ መለኪያዎችን እንፍጠር፡-

,,

ስርዓቱን የምንፈታው በ የክሬመር ቀመሮች:

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎች ስርዓቶችን የመፍታት ምሳሌዎች።

ምሳሌ 1.

የተሰጠው ስርዓት;

የክሬመር ዘዴን በመጠቀም እንፍታው.

በመጀመሪያ የስርዓት ማትሪክስ ወሳኙን ማስላት ያስፈልግዎታል-

ምክንያቱም Δ≠0, ይህም ማለት ከ Cramer's theorem ስርዓቱ ወጥነት ያለው እና አንድ መፍትሄ አለው ማለት ነው. ተጨማሪ መወሰኛዎችን እናሰላለን. የሚወስነው Δ 1 የሚገኘው ከመጀመሪያው አምድ ነፃ በሆኑ ጥራዞች አምድ በመተካት ነው. እናገኛለን፡-

በተመሳሳይ መልኩ ሁለተኛውን አምድ በነጻ ውህዶች አምድ በመተካት የ Δ 2ን መወሰኛ ከስርዓት ማትሪክስ ወሳኙ እናገኛለን።