ما هو توقع زميله؟ صيغة التوقع

التوقع هو التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي

التوقع الرياضي، التعريف، التوقع الرياضي للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة، العينة، التوقع الشرطي، الحساب، الخصائص، المسائل، تقدير التوقع، التشتت، دالة التوزيع، الصيغ، أمثلة حسابية

قم بتوسيع المحتويات

طي المحتوى

التوقع الرياضي هو التعريف

أحد أهم المفاهيم في الإحصاء الرياضي ونظرية الاحتمالات، وهو وصف توزيع القيم أو احتمالات المتغير العشوائي. يتم التعبير عنه عادةً كمتوسط ​​مرجح لجميع المعلمات الممكنة لمتغير عشوائي. يستخدم على نطاق واسع في التحليل الفني، ودراسة سلاسل الأرقام، ودراسة العمليات المستمرة والمستهلكة للوقت. وهو مهم في تقييم المخاطر، والتنبؤ بمؤشرات الأسعار عند التداول في الأسواق المالية، ويستخدم في تطوير استراتيجيات وأساليب تكتيكات الألعاب في نظرية القمار.

التوقع الرياضي هومتوسط ​​قيمة المتغير العشوائي، ويؤخذ في الاعتبار التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات.

التوقع الرياضي هومقياس لمتوسط ​​قيمة المتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات. توقع وجود متغير عشوائي سيُشار إليه بـ م (خ).

التوقع الرياضي هو

التوقع الرياضي هوفي نظرية الاحتمالات، هو المتوسط ​​المرجح لجميع القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي.

التوقع الرياضي هومجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالات هذه القيم.

التوقع الرياضي هومتوسط ​​الاستفادة من قرار معين، على أن يمكن اعتبار مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافات الطويلة.

التوقع الرياضي هوفي نظرية المقامرة، مقدار المكاسب التي يمكن للاعب أن يكسبها أو يخسرها، في المتوسط، لكل رهان. في لغة المقامرة، يُطلق على هذا أحيانًا اسم "حافة اللاعب" (إذا كانت إيجابية بالنسبة للاعب) أو "حافة المنزل" (إذا كانت سلبية بالنسبة للاعب).

التوقع الرياضي هوالنسبة المئوية للربح لكل فوز مضروبة في متوسط ​​الربح مطروحًا منها احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط ​​الخسارة.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي في النظرية الرياضية

إحدى الخصائص العددية المهمة للمتغير العشوائي هي توقعه الرياضي. دعونا نقدم مفهوم نظام المتغيرات العشوائية. لنفكر في مجموعة من المتغيرات العشوائية التي هي نتائج نفس التجربة العشوائية. إذا كانت إحدى القيم المحتملة للنظام، فإن الحدث يتوافق مع احتمال معين يرضي بديهيات كولموغوروف. تسمى الوظيفة المحددة لأي قيم محتملة للمتغيرات العشوائية بقانون التوزيع المشترك. تتيح لك هذه الوظيفة حساب احتمالات أي أحداث من. على وجه الخصوص، قانون التوزيع المشترك للمتغيرات العشوائية، والذي يأخذ القيم من المجموعة ويعطى بالاحتمالات.

مصطلح "التوقع الرياضي" قدمه بيير سيمون ماركيز دي لابلاس (1795) ويأتي من مفهوم "القيمة المتوقعة للمكاسب"، والذي ظهر لأول مرة في القرن السابع عشر في نظرية القمار في أعمال بليز باسكال وكريستيان هيغنز. ومع ذلك، فإن أول فهم نظري كامل وتقييم لهذا المفهوم قدمه بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف (منتصف القرن التاسع عشر).

يصف قانون توزيع المتغيرات العددية العشوائية (دالة التوزيع وسلسلة التوزيع أو كثافة الاحتمال) سلوك المتغير العشوائي بشكل كامل. لكن في عدد من المسائل، يكفي معرفة بعض الخصائص العددية للكمية قيد الدراسة (على سبيل المثال، قيمتها المتوسطة واحتمال انحرافها عنها) للإجابة على السؤال المطروح. الخصائص العددية الرئيسية للمتغيرات العشوائية هي التوقع الرياضي والتباين والمنوال والوسيط.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع حاصل ضرب قيمه الممكنة والاحتمالات المقابلة لها. في بعض الأحيان يسمى التوقع الرياضي بالمتوسط ​​المرجح، لأنه يساوي تقريبا الوسط الحسابي للقيم المرصودة لمتغير عشوائي على عدد كبير من التجارب. ويترتب على تعريف التوقع الرياضي أن قيمته لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة للمتغير العشوائي ولا تزيد عن أكبرها. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو متغير غير عشوائي (ثابت).

التوقع الرياضي له معنى فيزيائي بسيط: إذا وضعت كتلة وحدة على خط مستقيم، أو وضعت كتلة معينة في بعض النقاط (لتوزيع منفصل)، أو "تلطيخها" بكثافة معينة (لتوزيع مستمر تمامًا) فإن النقطة المقابلة للتوقع الرياضي ستكون إحداثية "مركز الثقل" مستقيمة.

القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي هي رقم معين، كما لو كان "ممثله" ويحل محله في حسابات تقريبية تقريبًا. عندما نقول: "متوسط ​​مدة تشغيل المصباح 100 ساعة" أو "متوسط ​​نقطة الارتطام مزاح بالنسبة للهدف بمقدار 2 متر إلى اليمين"، فإننا نشير إلى خاصية عددية معينة لمتغير عشوائي يصف موقعه على المحور العددي، أي. "خصائص الموقف".

من بين خصائص الموقف في نظرية الاحتمالات، يلعب الدور الأكثر أهمية التوقع الرياضي لمتغير عشوائي، والذي يسمى أحيانًا ببساطة القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي.

النظر في المتغير العشوائي X، وجود القيم المحتملة ×1، ×2، …، ×نمع الاحتمالات ص1، ص2، …، ص. نحتاج إلى أن نوصف برقم ما موضع قيم المتغير العشوائي على المحور السيني، مع الأخذ في الاعتبار أن هذه القيم لها احتمالات مختلفة. ولهذا الغرض، فمن الطبيعي استخدام ما يسمى "المتوسط ​​المرجح" للقيم الحادي عشر، ويجب أن تؤخذ كل قيمة xi أثناء المتوسط ​​في الاعتبار مع "وزن" يتناسب مع احتمالية هذه القيمة. وبالتالي، فإننا سوف نحسب متوسط ​​المتغير العشوائي X، والتي نشير إليها م |س|:

ويسمى هذا المتوسط ​​المرجح بالتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. وبذلك نكون قد أدخلنا في الاعتبار أحد أهم مفاهيم نظرية الاحتمالات وهو مفهوم التوقع الرياضي. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالات هذه القيم.

دعها تنتج نتجارب مستقلة، في كل منها القيمة Xيأخذ قيمة معينة. لنفترض أن القيمة ×1ظهر م1مرات، قيمة ×2ظهر م2مرات، معنى عام الحادي عشرظهرت مرات مي. دعونا نحسب الوسط الحسابي للقيم المرصودة للقيمة X، والتي على عكس التوقع الرياضي م|س|نشير م*|س|:

مع تزايد عدد التجارب نالترددات بايسوف تقترب (تتقارب في الاحتمالية) من الاحتمالات المقابلة. وبالتالي الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي م|س|ومع زيادة عدد التجارب سوف يقترب (يتقارب في الاحتمالية) من توقعاته الرياضية. تشكل العلاقة بين المتوسط ​​الحسابي والتوقع الرياضي المذكورة أعلاه محتوى أحد أشكال قانون الأعداد الكبيرة.

نحن نعلم بالفعل أن جميع أشكال قانون الأعداد الكبيرة تنص على حقيقة أن بعض المتوسطات تكون مستقرة على مدى عدد كبير من التجارب. نحن هنا نتحدث عن ثبات الوسط الحسابي من سلسلة ملاحظات بنفس الكمية. مع عدد قليل من التجارب، يكون المتوسط ​​الحسابي لنتائجها عشوائيًا؛ مع زيادة كافية في عدد التجارب، يصبح "غير عشوائي تقريبًا" ويستقر، ويقترب من قيمة ثابتة - التوقع الرياضي.

يمكن بسهولة التحقق من استقرار المتوسطات على عدد كبير من التجارب تجريبيا. على سبيل المثال، عند وزن جسم ما في المختبر بمقاييس دقيقة، ونتيجة الوزن نحصل على قيمة جديدة في كل مرة؛ لتقليل خطأ الملاحظة، نقوم بوزن الجسم عدة مرات ونستخدم الوسط الحسابي للقيم التي تم الحصول عليها. من السهل أن نرى أنه مع زيادة أخرى في عدد التجارب (الوزن)، يتفاعل الوسط الحسابي مع هذه الزيادة بشكل أقل وأقل، ومع وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من التجارب، يتوقف عمليا عن التغيير.

وتجدر الإشارة إلى أن أهم خاصية لموضع المتغير العشوائي - التوقع الرياضي - لا توجد لجميع المتغيرات العشوائية. من الممكن تكوين أمثلة على هذه المتغيرات العشوائية التي لا يوجد لها توقع رياضي، حيث أن المجموع المقابل أو التكامل يتباعد. ومع ذلك، فإن مثل هذه الحالات ليست ذات أهمية كبيرة للممارسة. عادةً ما تحتوي المتغيرات العشوائية التي نتعامل معها على نطاق محدود من القيم المحتملة، وبطبيعة الحال، لها توقع رياضي.

بالإضافة إلى أهم خصائص موضع المتغير العشوائي - التوقع الرياضي - عمليًا، يتم أحيانًا استخدام خصائص أخرى للموضع، على وجه الخصوص، منوال ووسيط المتغير العشوائي.

نمط المتغير العشوائي هو قيمته الأكثر احتمالا. مصطلح "القيمة الأكثر احتمالا" بالمعنى الدقيق للكلمة ينطبق فقط على الكميات غير المتصلة؛ بالنسبة للكمية المستمرة، يكون الوضع هو القيمة التي تكون فيها كثافة الاحتمال الحد الأقصى. توضح الأشكال طريقة المتغيرات العشوائية المتقطعة والمستمرة، على التوالي.

إذا كان لمضلع التوزيع (منحنى التوزيع) أكثر من حد أقصى واحد، فإن التوزيع يسمى "متعدد الوسائط".

في بعض الأحيان تكون هناك توزيعات تحتوي على الحد الأدنى في المنتصف بدلاً من الحد الأقصى. تسمى هذه التوزيعات "مضادة للوسائط".

في الحالة العامة، لا يتطابق الوضع والتوقع الرياضي للمتغير العشوائي. في الحالة الخاصة، عندما يكون التوزيع متماثلًا ومشروطًا (أي له نمط) ويوجد توقع رياضي، فإنه يتزامن مع نمط ومركز تماثل التوزيع.

غالبًا ما يتم استخدام خاصية موضعية أخرى - ما يسمى بمتوسط ​​المتغير العشوائي. تُستخدم هذه الخاصية عادة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة، على الرغم من أنه يمكن تعريفها رسميًا للمتغير غير المستمر. هندسيًا، الوسيط هو حدود النقطة التي تنقسم عندها المساحة المحاطة بمنحنى التوزيع إلى النصف.

في حالة التوزيع النموذجي المتماثل، يتزامن الوسيط مع التوقع والوضع الرياضي.

التوقع الرياضي هو القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي - وهي خاصية عددية للتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي. في الطريقة الأكثر عمومية، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي × (ث)يتم تعريفه على أنه تكامل Lebesgue فيما يتعلق بقياس الاحتمال رفي فضاء الاحتمال الأصلي:

يمكن أيضًا حساب التوقع الرياضي باعتباره تكامل Lebesgue Xعن طريق التوزيع الاحتمالي بكسلكميات X:

يمكن تعريف مفهوم المتغير العشوائي ذو التوقع الرياضي اللانهائي بطريقة طبيعية. والمثال النموذجي هو أوقات العودة لبعض جولات المشي العشوائية.

باستخدام التوقع الرياضي، يتم تحديد العديد من الخصائص العددية والوظيفية للتوزيع (مثل التوقع الرياضي للدوال المقابلة لمتغير عشوائي)، على سبيل المثال، دالة التوليد، والوظيفة المميزة، واللحظات من أي ترتيب، ولا سيما التشتت، والتباين المشترك .

التوقع الرياضي هو خاصية موقع قيم المتغير العشوائي (متوسط ​​قيمة توزيعه). وبهذه الصفة، يكون التوقع الرياضي بمثابة بعض معلمات التوزيع "النموذجية" ودورها مشابه لدور العزم الثابت - إحداثيات مركز ثقل توزيع الكتلة - في الميكانيكا. من الخصائص الأخرى للموقع الذي يتم من خلاله وصف التوزيع بعبارات عامة - المتوسطات، والأنماط، يختلف التوقع الرياضي في القيمة الأكبر التي يتمتع بها وخاصية التشتت المقابلة - التشتت - في نظريات الحد لنظرية الاحتمالات. يتم الكشف عن معنى التوقع الرياضي بشكل كامل من خلال قانون الأعداد الكبيرة (عدم مساواة تشيبيشيف) وقانون الأعداد الكبيرة المعزز.

توقع وجود متغير عشوائي منفصل

يجب أن يكون هناك متغير عشوائي يمكن أن يأخذ إحدى القيم الرقمية المتعددة (على سبيل المثال، يمكن أن يكون عدد النقاط عند رمي النرد 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6). في كثير من الأحيان في الممارسة العملية، لمثل هذه القيمة، هناك سؤال: ما هي القيمة التي تأخذها "في المتوسط" مع عدد كبير من الاختبارات؟ ما هو متوسط ​​دخلنا (أو خسارتنا) من كل معاملة من المعاملات المحفوفة بالمخاطر؟

لنفترض أن هناك نوعًا من اليانصيب. نريد أن نفهم ما إذا كان من المربح المشاركة فيها أم لا (أو حتى المشاركة بشكل متكرر ومنتظم). لنفترض أن كل تذكرة رابعة هي الفائزة، وستكون الجائزة 300 روبل، وسعر أي تذكرة سيكون 100 روبل. مع عدد لا نهائي من المشاركات، هذا ما يحدث. في ثلاثة أرباع الحالات، سنخسر، كل ثلاث خسائر ستكلف 300 روبل. في كل حالة رابعة سنفوز بـ 200 روبل. (الجائزة مطروحًا منها التكلفة)، أي أننا نخسر في المتوسط ​​100 روبل لأربع مشاركات، ولواحدة - في المتوسط ​​25 روبل. في المجموع، سيكون متوسط ​​\u200b\u200bسعر الخراب لدينا 25 روبل لكل تذكرة.

نحن رمي النرد. إذا لم يكن ذلك غشًا (دون تغيير مركز الثقل، وما إلى ذلك)، فكم عدد النقاط التي سنحصل عليها في المتوسط ​​في المرة الواحدة؟ وبما أن كل خيار متساوي في الاحتمال، فإننا ببساطة نأخذ الوسط الحسابي ونحصل على 3.5. نظرًا لأن هذا متوسط، فلا داعي للاستياء من عدم وجود لفة محددة ستعطي 3.5 نقطة - حسنًا، هذا المكعب ليس له وجه بهذا الرقم!

الآن دعونا نلخص أمثلةنا:

دعونا نلقي نظرة على الصورة المقدمة للتو. على اليسار جدول توزيع المتغير العشوائي. يمكن أن تأخذ القيمة X إحدى القيم n الممكنة (كما هو موضح في السطر العلوي). ولا يمكن أن يكون هناك أي معاني أخرى. تحت كل قيمة محتملة، يتم كتابة احتمالها أدناه. على اليمين توجد الصيغة، حيث يُطلق على M(X) اسم التوقع الرياضي. معنى هذه القيمة هو أنه مع وجود عدد كبير من الاختبارات (مع عينة كبيرة)، فإن متوسط ​​القيمة سوف يميل إلى نفس التوقع الرياضي.

دعنا نعود مرة أخرى إلى نفس مكعب اللعب. التوقع الرياضي لعدد النقاط عند الرمي هو 3.5 (احسبه بنفسك باستخدام الصيغة إذا كنت لا تصدقني). لنفترض أنك رميتها عدة مرات. وكانت النتائج 4 و6. وكان المتوسط ​​5، وهو بعيد عن 3.5. لقد ألقوا بها مرة أخرى، وحصلوا على 3، أي في المتوسط ​​(4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... بعيدًا إلى حد ما عن التوقعات الرياضية. والآن قم بتجربة مجنونة: قم بلف المكعب 1000 مرة! وحتى لو لم يكن المتوسط ​​3.5 بالضبط، فإنه سيكون قريبًا من ذلك.

دعونا نحسب التوقع الرياضي لليانصيب الموصوف أعلاه. ستبدو اللوحة هكذا:

فيكون التوقع الرياضي كما ذكرنا أعلاه:

والشيء الآخر هو أن القيام بذلك "على الأصابع" بدون صيغة سيكون أمرًا صعبًا إذا كان هناك المزيد من الخيارات. حسنًا، لنفترض أنه سيكون هناك 75% من التذاكر الخاسرة، و20% من التذاكر الفائزة، و5% بشكل خاص التذاكر الفائزة.

الآن بعض خصائص التوقع الرياضي.

من السهل إثبات:

ويمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي، وهو:

هذه حالة خاصة من الخاصية الخطية للتوقع الرياضي.

نتيجة أخرى لخطية التوقع الرياضي:

أي أن التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية.

دع X، Y تكون متغيرات عشوائية مستقلة، ثم:

ومن السهل أيضًا إثبات ذلك) العمل س صفي حد ذاته متغير عشوائي، وإذا كانت القيم الأولية يمكن أن تأخذ نو مالقيم وفقا لذلك، ثم س صيمكن أن تأخذ قيم نانومتر. يتم حساب احتمالية كل قيمة بناءً على حقيقة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة. ونتيجة لذلك نحصل على هذا:

توقع متغير عشوائي مستمر

المتغيرات العشوائية المستمرة لها خاصية مثل كثافة التوزيع (كثافة الاحتمال). إنه يميز بشكل أساسي الموقف الذي يأخذ فيه المتغير العشوائي بعض القيم من مجموعة الأرقام الحقيقية في كثير من الأحيان، وبعضها أقل في كثير من الأحيان. على سبيل المثال، النظر في هذا الرسم البياني:

هنا X- المتغير العشوائي الفعلي، و (خ)- كثافة التوزيع. اذا حكمنا من خلال هذا الرسم البياني، خلال التجارب القيمة Xغالبًا ما يكون رقمًا قريبًا من الصفر. تم تجاوز الفرص 3 أو تكون أصغر -3 بالأحرى نظرية بحتة.

لنفترض، على سبيل المثال، أن يكون هناك توزيع موحد:

وهذا يتوافق تمامًا مع الفهم البديهي. لنفترض أنه إذا تلقينا العديد من الأرقام الحقيقية العشوائية مع توزيع موحد، كل قطعة |0; 1| ، فيجب أن يكون الوسط الحسابي حوالي 0.5.

خصائص التوقع الرياضي - الخطية، وما إلى ذلك، والتي تنطبق على المتغيرات العشوائية المنفصلة، ​​تنطبق هنا أيضًا.

العلاقة بين التوقع الرياضي والمؤشرات الإحصائية الأخرى

في التحليل الإحصائي، إلى جانب التوقع الرياضي، هناك نظام من المؤشرات المترابطة التي تعكس تجانس الظواهر واستقرار العمليات. غالبًا ما لا يكون لمؤشرات التباين أي معنى مستقل وتستخدم لمزيد من تحليل البيانات. والاستثناء هو معامل التباين الذي يميز تجانس البيانات وهو خاصية إحصائية قيمة.

يمكن قياس درجة التباين أو استقرار العمليات في العلوم الإحصائية باستخدام عدة مؤشرات.

أهم مؤشر يميز تباين المتغير العشوائي هو تشتت، والذي يرتبط ارتباطًا وثيقًا ومباشرًا بالتوقع الرياضي. يتم استخدام هذه المعلمة بنشاط في أنواع أخرى من التحليل الإحصائي (اختبار الفرضيات، وتحليل العلاقات بين السبب والنتيجة، وما إلى ذلك). مثل متوسط ​​الانحراف الخطي، يعكس التباين أيضًا مدى انتشار البيانات حول القيمة المتوسطة.

ومن المفيد ترجمة لغة الإشارات إلى لغة الكلمات. وتبين أن التشتت هو متوسط ​​مربع الانحرافات. أي أنه يتم حساب متوسط ​​القيمة أولاً، ثم يتم أخذ الفرق بين كل قيمة أصلية ومتوسطة، وتربيعه، وإضافته، ثم قسمته على عدد القيم في المجتمع. يعكس الفرق بين القيمة الفردية والمتوسط ​​مقياس الانحراف. يتم تربيعها بحيث تصبح جميع الانحرافات أرقامًا موجبة حصريًا ولتجنب التدمير المتبادل للانحرافات الإيجابية والسلبية عند تلخيصها. وبعد ذلك، وبالنظر إلى الانحرافات التربيعية، فإننا ببساطة نحسب الوسط الحسابي. المتوسط ​​- المربع - الانحرافات. يتم تربيع الانحرافات ويتم حساب المتوسط. الجواب على الكلمة السحرية "التشتت" يكمن في ثلاث كلمات فقط.

ومع ذلك، في شكله النقي، مثل الوسط الحسابي، أو الفهرس، لا يتم استخدام التشتت. إنه بالأحرى مؤشر مساعد ومتوسط ​​يستخدم لأنواع أخرى من التحليل الإحصائي. ولا تحتوي حتى على وحدة قياس عادية. إذا حكمنا من خلال الصيغة، فهذا هو مربع وحدة قياس البيانات الأصلية.

دعونا نقيس متغير عشوائي نمرات، على سبيل المثال، نقيس سرعة الرياح عشر مرات ونريد إيجاد القيمة المتوسطة. كيف ترتبط القيمة المتوسطة بوظيفة التوزيع؟

أو سنقوم برمي النرد عددًا كبيرًا من المرات. عدد النقاط التي ستظهر على حجر النرد مع كل رمية هو متغير عشوائي ويمكن أن يأخذ أي قيمة طبيعية من 1 إلى 6. والمتوسط ​​الحسابي للنقاط المسقطة المحسوبة لجميع رميات النرد هو أيضًا متغير عشوائي، ولكن بالنسبة للرميات الكبيرة نإنه يميل إلى رقم محدد للغاية - التوقع الرياضي مكس. في هذه الحالة Mx ​​= 3.5.

كيف حصلت على هذه القيمة؟ اتركه نالاختبارات ن1بمجرد حصولك على نقطة واحدة، ن2مرة واحدة - نقطتان وهكذا. ثم عدد النتائج التي سقطت فيها نقطة واحدة:

وبالمثل بالنسبة للنتائج عندما يتم رمي 2 و3 و4 و5 و6 نقاط.

لنفترض الآن أننا نعرف قانون توزيع المتغير العشوائي x، أي أننا نعلم أن المتغير العشوائي x يمكن أن يأخذ القيم x1، x2، ...، xk مع الاحتمالات p1، p2، ​​...، pk.

التوقع الرياضي Mx للمتغير العشوائي x يساوي:

إن التوقع الرياضي ليس دائمًا تقديرًا معقولًا لبعض المتغيرات العشوائية. وبالتالي، لتقدير متوسط ​​\u200b\u200bالراتب، فمن المعقول استخدام مفهوم الوسيط، أي قيمة يتزامن فيها عدد الأشخاص الذين يتلقون راتبًا أقل من المتوسط ​​مع راتب أكبر.

الاحتمال p1 أن المتغير العشوائي x سيكون أقل من x1/2، والاحتمال p2 أن المتغير العشوائي x سيكون أكبر من x1/2، هما نفس الشيء ويساويان 1/2. لا يتم تحديد الوسيط بشكل فريد لجميع التوزيعات.

الانحراف المعياري أو المعياريفي الإحصاء، تسمى درجة انحراف بيانات المراقبة أو المجموعات عن القيمة المتوسطة. يُشار إليه بالحروف s أو s. يشير الانحراف المعياري الصغير إلى أن البيانات تتجمع حول المتوسط، بينما يشير الانحراف المعياري الكبير إلى أن البيانات الأولية تقع بعيدًا عنه. الانحراف المعياري يساوي الجذر التربيعي لكمية تسمى التباين. إنه متوسط ​​مجموع الفروق التربيعية للبيانات الأولية التي تنحرف عن القيمة المتوسطة. الانحراف المعياري للمتغير العشوائي هو الجذر التربيعي للتباين:

مثال. في ظل ظروف الاختبار عند إطلاق النار على هدف، احسب التشتت والانحراف المعياري للمتغير العشوائي:

تفاوت- التقلب والتغير في قيمة الخاصية بين وحدات السكان. تسمى القيم العددية الفردية للخاصية الموجودة في السكان قيد الدراسة متغيرات القيم. إن عدم كفاية القيمة المتوسطة لتوصيف السكان بالكامل يجبرنا على استكمال القيم المتوسطة بمؤشرات تسمح لنا بتقييم نموذجية هذه المتوسطات من خلال قياس التباين (التباين) للخاصية قيد الدراسة. يتم حساب معامل الاختلاف باستخدام الصيغة:

نطاق الاختلاف(R) يمثل الفرق بين الحد الأقصى والحد الأدنى لقيم السمة في المجتمع قيد الدراسة. يعطي هذا المؤشر الفكرة الأكثر عمومية عن تباين الخاصية قيد الدراسة، لأنه يظهر الفرق فقط بين القيم القصوى للخيارات. الاعتماد على القيم المتطرفة للخاصية يمنح نطاق الاختلاف طابعًا عشوائيًا غير مستقر.

متوسط ​​الانحراف الخطييمثل الوسط الحسابي للانحرافات المطلقة (المعيارية) لجميع قيم السكان الذين تم تحليلهم عن متوسط ​​قيمتها:

التوقع الرياضي في نظرية القمار

التوقع الرياضي هومتوسط ​​المبلغ المالي الذي يمكن للمقامر ربحه أو خسارته في رهان معين. يعد هذا مفهومًا مهمًا جدًا للاعب لأنه أساسي لتقييم معظم مواقف الألعاب. يعد التوقع الرياضي أيضًا الأداة المثالية لتحليل تخطيطات البطاقات الأساسية ومواقف الألعاب.

لنفترض أنك تلعب لعبة العملات المعدنية مع صديق، وتراهن بالتساوي بمبلغ دولار واحد في كل مرة، بغض النظر عما يحدث. الذيول يعني أنك تفوز، والرأس يعني أنك تخسر. احتمالات ظهور الأمر هي واحد إلى واحد، لذلك تراهن بمبلغ 1 دولار إلى 1 دولار. وبالتالي فإن توقعك الرياضي هو صفر، لأن من وجهة نظر رياضية، لا يمكنك معرفة ما إذا كنت ستتقدم أم ستخسر بعد رميتين أو بعد 200.

ربحك بالساعة هو صفر. المكاسب بالساعة هي مقدار المال الذي تتوقع ربحه خلال ساعة. يمكنك رمي قطعة النقود 500 مرة في الساعة، لكنك لن تفوز أو تخسر لأن... فرصك ليست إيجابية ولا سلبية. إذا نظرت إليها، من وجهة نظر اللاعب الجاد، فإن نظام الرهان هذا ليس سيئًا. ولكن هذا مجرد مضيعة للوقت.

ولكن لنفترض أن شخصًا ما يريد المراهنة بمبلغ 2 دولار مقابل 1 دولار في نفس اللعبة. ثم لديك على الفور توقع إيجابي بقيمة 50 سنتًا من كل رهان. لماذا 50 سنتا؟ في المتوسط، تفوز برهان واحد وتخسر ​​الثاني. راهن بالدولار الأول وستخسر 1 دولار، وراهن بالدولار الثاني وستربح 2 دولار. لقد راهنت بدولار واحد مرتين وتتقدم بمقدار دولار واحد. لذا فإن كل رهاناتك بدولار واحد أعطاك 50 سنتًا.

إذا ظهرت العملة 500 مرة في ساعة واحدة، فإن أرباحك في الساعة ستكون بالفعل 250 دولارًا، لأن... في المتوسط، خسرت دولارًا واحدًا 250 مرة وربحت دولارين 250 مرة. 500 دولار ناقص 250 دولارًا يساوي 250 دولارًا، وهو إجمالي المكاسب. يرجى ملاحظة أن القيمة المتوقعة، وهي متوسط ​​المبلغ الذي تربحه لكل رهان، هي 50 سنتًا. لقد ربحت 250 دولارًا عن طريق المراهنة بدولار 500 مرة، أي ما يعادل 50 سنتًا لكل رهان.

التوقع الرياضي ليس له علاقة بالنتائج قصيرة المدى. يمكن لخصمك، الذي قرر المراهنة بمبلغ 2 دولار ضدك، أن يهزمك في أول عشر لفات على التوالي، ولكنك، الذي تتمتع بميزة المراهنة بنسبة 2 إلى 1، مع تساوي جميع العوامل الأخرى، سوف تكسب 50 سنتًا على كل رهان بقيمة 1 دولار في أي رهان. ظروف. لا يوجد فرق سواء فزت أو خسرت رهانًا واحدًا أو عدة رهانات، طالما أن لديك ما يكفي من النقود لتغطية التكاليف بشكل مريح. إذا واصلت الرهان بنفس الطريقة، فسوف تقترب أرباحك على مدى فترة طويلة من مجموع التوقعات في الرميات الفردية.

في كل مرة تقوم فيها بأفضل رهان (رهان قد يتبين أنه مربح على المدى الطويل)، عندما تكون الاحتمالات في صالحك، لا بد أن تفوز بشيء ما، بغض النظر عما إذا كنت قد خسرته أم لا في أعطى اليد. على العكس من ذلك، إذا قمت بوضع رهان مستضعف (رهان غير مربح على المدى الطويل) عندما تكون الاحتمالات ضدك، فستخسر شيئًا بغض النظر عما إذا كنت قد فزت أو خسرت توزيع الورق.

أنت تضع رهانا بأفضل النتائج إذا كانت توقعاتك إيجابية، وتكون إيجابية إذا كانت الاحتمالات في صالحك. عندما تضع رهانًا بأسوأ نتيجة، يكون لديك توقعات سلبية، وهو ما يحدث عندما تكون الاحتمالات ضدك. اللاعبون الجادون يراهنون فقط على أفضل النتائج، وإذا حدث الأسوأ، فإنهم ينسحبون. ماذا تعني الاحتمالات لصالحك؟ قد ينتهي بك الأمر بالفوز بأكثر مما تجلبه الاحتمالات الحقيقية. الاحتمالات الحقيقية لرؤوس الهبوط هي 1 إلى 1، لكنك تحصل على 2 إلى 1 بسبب نسبة الأرجحية. في هذه الحالة، الاحتمالات في صالحك. ستحصل بالتأكيد على أفضل النتائج مع توقع إيجابي قدره 50 سنتًا لكل رهان.

فيما يلي مثال أكثر تعقيدًا للتوقع الرياضي. يقوم أحد الأصدقاء بكتابة الأرقام من واحد إلى خمسة ويراهن بمبلغ 5 دولارات مقابل الدولار الواحد الخاص بك بحيث لا يمكنك تخمين الرقم. هل يجب أن توافق على مثل هذا الرهان؟ ما هو التوقع هنا؟

في المتوسط ​​سوف تكون مخطئا أربع مرات. وبناءً على ذلك، فإن احتمالات عدم تخمينك للرقم هي 4 إلى 1. احتمالات عدم خسارتك دولارًا في محاولة واحدة. ومع ذلك، فإنك تفوز بنسبة 5 إلى 1، مع إمكانية الخسارة بنسبة 4 إلى 1. وبالتالي فإن الاحتمالات في صالحك، ويمكنك أن تأخذ الرهان وتأمل في الحصول على أفضل النتائج. إذا قمت بهذا الرهان خمس مرات، فسوف تخسر في المتوسط ​​دولارًا واحدًا أربع مرات وتربح 5 دولارات مرة واحدة. وبناءً على ذلك، لجميع المحاولات الخمس سوف تكسب دولارًا واحدًا مع توقع رياضي إيجابي قدره 20 سنتًا لكل رهان.

اللاعب الذي سيفوز بأكثر مما يراهن، كما في المثال أعلاه، يجازف. على العكس من ذلك، فهو يفسد فرصه عندما يتوقع فوزاً أقل مما يراهن. يمكن للمراهن أن يكون لديه توقعات إيجابية أو سلبية، وهذا يعتمد على ما إذا كان سيفوز أو يفسد الاحتمالات.

إذا راهنت بمبلغ 50 دولارًا لتربح 10 دولارات مع فرصة للفوز بنسبة 4 إلى 1، فستحصل على توقع سلبي بقيمة 2 دولار لأنه في المتوسط، سوف تربح 10 دولارات أربع مرات وتخسر ​​50 دولارًا مرة واحدة، مما يدل على أن الخسارة لكل رهان ستكون 10 دولارات. ولكن إذا راهنت بمبلغ 30 دولارًا لتربح 10 دولارات، مع نفس احتمالات الفوز بنسبة 4 إلى 1، ففي هذه الحالة يكون لديك توقع إيجابي بقيمة 2 دولار، لأنه تربح مرة أخرى 10 دولارات أربع مرات وتخسر ​​30 دولارًا مرة واحدة، لتحقق ربحًا قدره 10 دولارات. توضح هذه الأمثلة أن الرهان الأول سيئ، والثاني جيد.

التوقع الرياضي هو مركز أي موقف ألعاب. عندما يشجع وكيل المراهنات مشجعي كرة القدم على المراهنة بمبلغ 11 دولارًا للفوز بـ 10 دولارات، فإن لديه توقعات إيجابية تبلغ 50 سنتًا على كل 10 دولارات. إذا قام الكازينو بدفع أموال حتى من خط المرور في لعبة الكرابس، فإن التوقع الإيجابي للكازينو سيكون حوالي 1.40 دولارًا لكل 100 دولار، لأن تم تصميم هذه اللعبة بحيث يخسر أي شخص يراهن على هذا الخط بنسبة 50.7% في المتوسط ​​ويفوز بنسبة 49.3% من الوقت الإجمالي. مما لا شك فيه أن هذا الحد الأدنى من التوقعات الإيجابية هو الذي يجلب أرباحًا هائلة لأصحاب الكازينو حول العالم. وكما أشار بوب ستوباك، مالك كازينو فيجاس وورلد، فإن "احتمالًا سلبيًا بنسبة واحد في الألف من واحد بالمائة على مسافة طويلة بما فيه الكفاية سيدمر أغنى رجل في العالم".

التوقع عند لعب البوكر

وتعتبر لعبة البوكر المثال الأكثر توضيحا وتوضيحا من وجهة نظر استخدام نظرية وخصائص التوقع الرياضي.

القيمة المتوقعة في لعبة البوكر هي متوسط ​​الاستفادة من قرار معين، بشرط أن يمكن اعتبار مثل هذا القرار في إطار نظرية الأعداد الكبيرة والمسافات الطويلة. لعبة البوكر الناجحة هي أن تقبل دائمًا التحركات ذات القيمة الإيجابية المتوقعة.

المعنى الرياضي للتوقع الرياضي عند لعب البوكر هو أننا غالبًا ما نواجه متغيرات عشوائية عند اتخاذ القرارات (لا نعرف ما هي البطاقات التي يحملها الخصم في يديه، وما هي البطاقات التي ستأتي في جولات الرهان اللاحقة). يجب علينا النظر في كل حل من الحلول من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة، التي تنص على أنه مع وجود عينة كبيرة بما فيه الكفاية، فإن متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي سوف يميل إلى توقعه الرياضي.

من بين الصيغ الخاصة لحساب التوقع الرياضي، ما يلي هو الأكثر تطبيقًا في لعبة البوكر:

عند لعب البوكر، يمكن حساب القيمة المتوقعة لكل من الرهانات والمكالمات. في الحالة الأولى، ينبغي أن تؤخذ الأسهم القابلة للطي في الاعتبار، وفي الحالة الثانية، احتمالات البنك الخاصة. عند تقييم التوقع الرياضي لحركة معينة، يجب أن تتذكر أن الطية دائمًا ما يكون توقعها صفرًا. وبالتالي، فإن التخلص من البطاقات سيكون دائمًا قرارًا أكثر ربحية من أي خطوة سلبية.

يخبرك التوقع بما يمكنك توقعه (الربح أو الخسارة) مقابل كل دولار تخاطر به. تجني الكازينوهات الأموال لأن التوقعات الرياضية لجميع الألعاب التي يتم لعبها فيها تكون لصالح الكازينو. مع سلسلة طويلة بما فيه الكفاية من الألعاب، يمكنك أن تتوقع أن يخسر العميل أمواله، لأن "الاحتمالات" لصالح الكازينو. ومع ذلك، فإن لاعبي الكازينو المحترفين يقصرون ألعابهم على فترات زمنية قصيرة، وبالتالي تتراكم الاحتمالات لصالحهم. الشيء نفسه ينطبق على الاستثمار. إذا كانت توقعاتك إيجابية، فيمكنك كسب المزيد من المال عن طريق إجراء العديد من الصفقات في فترة زمنية قصيرة. التوقع هو النسبة المئوية للربح لكل فوز مضروبة في متوسط ​​ربحك، مطروحًا منه احتمال الخسارة مضروبًا في متوسط ​​خسارتك.

يمكن أيضًا اعتبار البوكر من وجهة نظر التوقع الرياضي. قد تفترض أن حركة معينة مربحة، ولكن في بعض الحالات قد لا تكون الأفضل لأن حركة أخرى أكثر ربحية. لنفترض أنك حصلت على منزل كامل في لعبة البوكر ذات الخمس أوراق. خصمك يراهن. أنت تعلم أنه إذا قمت برفع الرهان، فسوف يستجيب. لذلك، يبدو أن الرفع هو أفضل تكتيك. ولكن إذا قمت برفع الرهان، فسوف ينسحب اللاعبان المتبقيان بالتأكيد. ولكن إذا اتصلت، فلديك ثقة كاملة في أن اللاعبين الآخرين الذين يقفون خلفك سيفعلون الشيء نفسه. عندما ترفع رهانك تحصل على وحدة واحدة، وعندما تتصل فقط تحصل على وحدتين. وبالتالي، فإن الاتصال يمنحك قيمة متوقعة إيجابية أعلى وسيكون أفضل تكتيك.

يمكن أن يعطي التوقع الرياضي أيضًا فكرة عن تكتيكات البوكر الأقل ربحية والأكثر ربحية. على سبيل المثال، إذا لعبت بتوزيع ورق معين وتعتقد أن خسارتك ستبلغ في المتوسط ​​75 سنتًا بما في ذلك الرهان المسبق، فيجب عليك أن تلعب توزيع الورق هذا لأنه وهذا أفضل من الطي عندما يكون الرهان المسبق 1 دولار.

سبب آخر مهم لفهم مفهوم القيمة المتوقعة هو أنه يمنحك شعورا براحة البال سواء فزت بالرهان أم لا: إذا قمت برهان جيد أو طويت في الوقت المناسب، فسوف تعرف أنك ربحت أو توفير مبلغ معين من المال لا يستطيع اللاعب الأضعف ادخاره. من الصعب جدًا التراجع إذا كنت منزعجًا لأن خصمك رسم يدًا أقوى. مع كل هذا، فإن الأموال التي توفرها بعدم اللعب بدلاً من المراهنة تتم إضافتها إلى أرباحك لليلة أو شهر.

فقط تذكر أنه إذا غيرت يديك، فسيناديك خصمك، وكما سترى في مقال النظرية الأساسية للبوكر، فهذه مجرد واحدة من مزاياك. يجب أن تكون سعيدًا عندما يحدث هذا. يمكنك أيضًا أن تتعلم كيفية الاستمتاع بخسارة توزيع الورق لأنك تعلم أن اللاعبين الآخرين في مركزك كانوا سيخسرون أكثر من ذلك بكثير.

كما ذكرنا في البداية في مثال لعبة العملات المعدنية، فإن معدل الربح بالساعة يرتبط بالتوقعات الرياضية، وهذا المفهوم مهم بشكل خاص للاعبين المحترفين. عندما تذهب للعب البوكر، يجب عليك أن تقدر عقليًا المبلغ الذي يمكنك الفوز به خلال ساعة من اللعب. في معظم الحالات، ستحتاج إلى الاعتماد على حدسك وخبرتك، ولكن يمكنك أيضًا استخدام بعض الرياضيات. على سبيل المثال، إذا كنت تلعب كرة منخفضة وشاهدت ثلاثة لاعبين يراهنون بمبلغ 10 دولارات ثم يتبادلون ورقتين، وهو تكتيك سيء للغاية، يمكنك معرفة أنه في كل مرة يراهنون فيها بمبلغ 10 دولارات، فإنهم يخسرون حوالي 2 دولار. يقوم كل منهم بذلك ثماني مرات في الساعة، مما يعني أن الثلاثة يخسرون حوالي 48 دولارًا في الساعة. أنت أحد اللاعبين الأربعة المتبقين المتساويين تقريبًا، لذلك يجب على هؤلاء اللاعبين الأربعة (وأنت من بينهم) تقسيم 48 دولارًا، بحيث يحقق كل منهم ربحًا قدره 12 دولارًا في الساعة. احتمالاتك بالساعة في هذه الحالة تساوي ببساطة حصتك من المبلغ المالي الذي خسره ثلاثة لاعبين سيئين في الساعة.

على مدى فترة طويلة من الزمن، يكون إجمالي مكاسب اللاعب هو مجموع توقعاته الرياضية في الأيدي الفردية. كلما زاد عدد توزيعات الورق التي تلعبها بتوقع إيجابي، كلما فزت أكثر، وعلى العكس من ذلك، كلما زاد عدد توزيعات الورق التي تلعب بها بتوقعات سلبية، زادت خسارتك. ونتيجة لذلك، يجب عليك اختيار لعبة يمكنها زيادة توقعاتك الإيجابية إلى الحد الأقصى أو إلغاء توقعاتك السلبية حتى تتمكن من تحقيق أقصى قدر من أرباحك في الساعة.

توقعات رياضية إيجابية في استراتيجية الألعاب

إذا كنت تعرف كيفية عد البطاقات، فيمكنك الحصول على ميزة على الكازينو، طالما أنهم لم يلاحظوا ذلك ويطردونك. الكازينوهات تحب اللاعبين المخمورين ولا تتسامح مع لاعبي عد البطاقات. ستسمح لك الميزة بالفوز مرات أكثر مما تخسره بمرور الوقت. يمكن أن تساعدك الإدارة الجيدة للأموال باستخدام حسابات القيمة المتوقعة في استخلاص المزيد من الأرباح من هامشك وتقليل خسائرك. بدون ميزة، من الأفضل أن تتبرع بالمال للجمعيات الخيرية. في اللعبة في البورصة، الميزة تعطى من خلال نظام اللعبة، مما يحقق أرباحًا أكبر من الخسائر وفروق الأسعار والعمولات. لا يمكن لأي قدر من إدارة الأموال أن ينقذ نظام ألعاب سيئًا.

يتم تعريف التوقع الإيجابي على أنه قيمة أكبر من الصفر. وكلما زاد هذا الرقم، كلما كانت التوقعات الإحصائية أقوى. إذا كانت القيمة أقل من الصفر، فإن التوقع الرياضي سيكون سلبيًا أيضًا. كلما كانت وحدة القيمة السالبة أكبر، كان الوضع أسوأ. إذا كانت النتيجة صفر، فإن الانتظار هو نقطة التعادل. لا يمكنك الفوز إلا عندما يكون لديك توقعات رياضية إيجابية ونظام لعب معقول. اللعب بالحدس يؤدي إلى الكارثة.

التوقعات الرياضية وتداول الأسهم

التوقع الرياضي هو مؤشر إحصائي شائع الاستخدام على نطاق واسع عند تنفيذ تداول العملات في الأسواق المالية. أولا وقبل كل شيء، يتم استخدام هذه المعلمة لتحليل نجاح التداول. وليس من الصعب تخمين أنه كلما ارتفعت هذه القيمة، زادت الأسباب التي تجعلنا نعتبر التجارة قيد الدراسة ناجحة. وبطبيعة الحال، لا يمكن إجراء تحليل لعمل المتداول باستخدام هذه المعلمة وحدها. ومع ذلك، فإن القيمة المحسوبة، بالاشتراك مع أساليب أخرى لتقييم جودة العمل، يمكن أن تزيد بشكل كبير من دقة التحليل.

غالبًا ما يتم حساب التوقع الرياضي في خدمات مراقبة حساب التداول، مما يسمح لك بتقييم العمل المنجز على الإيداع بسرعة. وتشمل الاستثناءات الاستراتيجيات التي تستخدم الصفقات غير المربحة "الجلوس". قد يكون المتداول محظوظاً لبعض الوقت، وبالتالي قد لا تكون هناك خسائر في عمله على الإطلاق. في هذه الحالة، لن يكون من الممكن الاسترشاد بالتوقعات الرياضية فقط، لأنه لن يتم أخذ المخاطر المستخدمة في العمل بعين الاعتبار.

في تداول السوق، يتم استخدام التوقع الرياضي في أغلب الأحيان عند التنبؤ بربحية أي استراتيجية تداول أو عند التنبؤ بدخل المتداول بناءً على البيانات الإحصائية من تداولاته السابقة.

فيما يتعلق بإدارة الأموال، من المهم جدًا أن نفهم أنه عند إجراء عمليات تداول ذات توقعات سلبية، لا يوجد نظام لإدارة الأموال يمكنه بالتأكيد تحقيق أرباح عالية. إذا واصلت اللعب في سوق الأوراق المالية في ظل هذه الظروف، فبغض النظر عن كيفية إدارتك لأموالك، فسوف تخسر حسابك بالكامل، بغض النظر عن حجمه في البداية.

هذه البديهية لا تنطبق فقط على الألعاب أو الصفقات ذات التوقعات السلبية، بل تنطبق أيضًا على الألعاب ذات الفرص المتساوية. ولذلك، فإن المرة الوحيدة التي تتاح لك فيها فرصة الربح على المدى الطويل هي إذا قمت بتداولات ذات قيمة متوقعة إيجابية.

الفرق بين التوقع السلبي والتوقع الإيجابي هو الفرق بين الحياة والموت. لا يهم مدى إيجابية أو سلبية التوقعات؛ كل ما يهم هو ما إذا كان إيجابيا أم سلبيا. لذلك، قبل التفكير في إدارة الأموال، يجب عليك العثور على لعبة ذات توقعات إيجابية.

إذا لم تكن لديك هذه اللعبة، فلن تنقذك إدارة الأموال في العالم. من ناحية أخرى، إذا كان لديك توقعات إيجابية، فيمكنك، من خلال الإدارة السليمة للأموال، تحويلها إلى دالة نمو أسي. لا يهم مدى صغر التوقعات الإيجابية! بمعنى آخر، لا يهم مدى ربحية نظام التداول بناءً على عقد واحد. إذا كان لديك نظام يفوز بمبلغ 10 دولارات لكل عقد لكل صفقة (بعد العمولات والانزلاق)، فيمكنك استخدام تقنيات إدارة الأموال لجعله أكثر ربحية من النظام الذي يبلغ متوسطه 1000 دولار لكل صفقة (بعد خصم العمولات والانزلاق).

ما يهم ليس مدى ربحية النظام، ولكن مدى التأكد من أن النظام يُظهر على الأقل الحد الأدنى من الربح في المستقبل. ولذلك، فإن أهم إعداد يمكن للمتداول القيام به هو التأكد من أن النظام سيُظهر قيمة متوقعة إيجابية في المستقبل.

لكي تحصل على قيمة إيجابية متوقعة في المستقبل، من المهم جدًا عدم الحد من درجات حرية نظامك. ويتم تحقيق ذلك ليس فقط عن طريق إزالة أو تقليل عدد المعلمات المطلوب تحسينها، ولكن أيضًا عن طريق تقليل أكبر عدد ممكن من قواعد النظام. كل معلمة تضيفها، وكل قاعدة تقوم بها، وكل تغيير صغير تجريه على النظام يقلل من عدد درجات الحرية. من الناحية المثالية، تحتاج إلى بناء نظام بدائي وبسيط إلى حد ما والذي من شأنه أن يحقق باستمرار أرباحًا صغيرة في أي سوق تقريبًا. مرة أخرى، من المهم بالنسبة لك أن تفهم أنه لا يهم مدى ربحية النظام، طالما أنه مربح. سيتم جني الأموال التي تجنيها من التداول من خلال الإدارة الفعالة للأموال.

نظام التداول هو ببساطة أداة تمنحك قيمة متوقعة إيجابية حتى تتمكن من استخدام إدارة الأموال. إن الأنظمة التي تنجح (تظهر الحد الأدنى من الأرباح على الأقل) في سوق واحد فقط أو عدد قليل من الأسواق، أو التي لديها قواعد أو معايير مختلفة لأسواق مختلفة، من المرجح ألا تعمل في الوقت الحقيقي لفترة طويلة. تكمن مشكلة معظم المتداولين ذوي التوجهات الفنية في أنهم يقضون الكثير من الوقت والجهد في تحسين القواعد المختلفة وقيم المعلمات لنظام التداول. وهذا يعطي نتائج معاكسة تماما. بدلاً من إهدار الطاقة ووقت الكمبيوتر في زيادة أرباح نظام التداول، قم بتوجيه طاقتك نحو زيادة مستوى الموثوقية للحصول على الحد الأدنى من الربح.

مع العلم أن إدارة الأموال هي مجرد لعبة أرقام تتطلب استخدام التوقعات الإيجابية، يمكن للمتداول التوقف عن البحث عن "الكأس المقدسة" لتداول الأسهم. وبدلاً من ذلك، يمكنه البدء في اختبار طريقة التداول الخاصة به، ومعرفة مدى منطقية هذه الطريقة، وما إذا كانت تعطي توقعات إيجابية. إن الأساليب المناسبة لإدارة الأموال، والتي يتم تطبيقها على أي طريقة تداول، حتى ولو كانت متواضعة جدًا، سوف تقوم ببقية العمل بنفسها.

لكي ينجح أي متداول في عمله، عليه حل ثلاث مهام أهمها: . التأكد من أن عدد المعاملات الناجحة يفوق الأخطاء وسوء التقدير التي لا مفر منها؛ قم بإعداد نظام التداول الخاص بك بحيث تتاح لك الفرصة لكسب المال كلما أمكن ذلك؛ تحقيق نتائج إيجابية مستقرة من عملياتك.

وهنا، بالنسبة لنا نحن المتداولين، يمكن للتوقعات الرياضية أن تكون ذات فائدة كبيرة. هذا المصطلح هو أحد المصطلحات الأساسية في نظرية الاحتمالات. بمساعدتها، يمكنك تقديم تقدير متوسط ​​لبعض القيمة العشوائية. إن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي يشبه مركز الثقل، إذا تخيلت كل الاحتمالات الممكنة كنقاط ذات كتل مختلفة.

فيما يتعلق باستراتيجية التداول، غالبا ما يستخدم التوقع الرياضي للربح (أو الخسارة) لتقييم فعاليتها. يتم تعريف هذه المعلمة على أنها مجموع منتجات مستويات معينة من الربح والخسارة واحتمال حدوثها. على سبيل المثال، تفترض استراتيجية التداول المطورة أن 37% من جميع المعاملات ستجلب الربح، والجزء المتبقي - 63% - لن يكون مربحًا. وفي الوقت نفسه، سيكون متوسط ​​الدخل من الصفقة الناجحة 7 دولارات، ومتوسط ​​الخسارة 1.4 دولار. دعونا نحسب التوقع الرياضي للتداول باستخدام هذا النظام:

ماذا يعني هذا الرقم؟ تنص الرسالة على أنه باتباع قواعد هذا النظام، سنتلقى في المتوسط ​​1,708 دولارًا من كل معاملة مغلقة. وبما أن معدل الكفاءة الناتج أكبر من الصفر، فيمكن استخدام هذا النظام في العمل الحقيقي. إذا تبين أن التوقعات الرياضية سلبية، نتيجة للحساب، فهذا يشير بالفعل إلى خسارة متوسطة وسيؤدي هذا التداول إلى الخراب.

يمكن أيضًا التعبير عن مبلغ الربح لكل معاملة كقيمة نسبية على شكل %. على سبيل المثال:

- نسبة الدخل لكل معاملة واحدة - 5%؛

- نسبة عمليات التداول الناجحة - 62%؛

- نسبة الخسارة لكل معاملة واحدة - 3%؛

- نسبة المعاملات غير الناجحة - 38%؛

أي أن متوسط ​​التجارة سيحقق 1.96%.

من الممكن تطوير نظام، على الرغم من هيمنة الصفقات غير المربحة، سوف يؤدي إلى نتيجة إيجابية، حيث أن MO>0.

ومع ذلك، الانتظار وحده لا يكفي. من الصعب كسب المال إذا كان النظام يعطي إشارات تداول قليلة جدًا. وفي هذه الحالة، ستكون ربحيتها مماثلة للفائدة المصرفية. دع كل عملية تنتج في المتوسط ​​0.5 دولار فقط، ولكن ماذا لو كان النظام يتضمن 1000 عملية في السنة؟ سيكون هذا مبلغًا كبيرًا جدًا في وقت قصير نسبيًا. ويترتب على ذلك منطقيا أن السمة المميزة الأخرى لنظام التداول الجيد يمكن اعتبارها فترة قصيرة من الاحتفاظ بالصفقات.

المصادر والروابط

dic.academic.ru - القاموس الأكاديمي على الإنترنت

maths.ru – موقع تعليمي في الرياضيات

nsu.ru – الموقع التعليمي لجامعة ولاية نوفوسيبيرسك

webmath.ru هي بوابة تعليمية للطلاب والمتقدمين وأطفال المدارس.

موقع exponenta.ru التعليمي الرياضي

ru.tradimo.com – مدرسة مجانية للتداول عبر الإنترنت

crypto.hut2.ru – مصدر معلومات متعدد التخصصات

poker-wiki.ru – موسوعة البوكر المجانية

sernam.ru – المكتبة العلمية لمنشورات العلوم الطبيعية المختارة

reshim.su – موقع ويب سوف نقوم بحل مشاكل المقررات الدراسية للاختبار

unfx.ru - الفوركس على UNFX: التدريب، وإشارات التداول، وإدارة الثقة

slovopedia.com - القاموس الموسوعي الكبير Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – دليلك في عالم البوكر

statanaliz.info – مدونة المعلومات “تحليل البيانات الإحصائية”

Forex-trader.rf - بوابة تاجر الفوركس

Megafx.ru - تحليلات الفوركس الحالية

fx-by.com - كل شيء للمتداول

يمكن اعتبار مفهوم التوقع الرياضي باستخدام مثال رمي حجر النرد. مع كل رمية، يتم تسجيل النقاط المسقطة. وللتعبير عنها يتم استخدام القيم الطبيعية في النطاق 1 – 6.

بعد عدد معين من الرميات، باستخدام حسابات بسيطة، يمكنك العثور على المتوسط ​​الحسابي للنقاط التي تم رميها.

تمامًا مثل حدوث أي من القيم في النطاق، ستكون هذه القيمة عشوائية.

ماذا لو قمت بزيادة عدد الرميات عدة مرات؟ مع عدد كبير من الرميات، يقترب المتوسط ​​الحسابي للنقاط من رقم محدد، وهو ما يسمى في نظرية الاحتمالات بالتوقع الرياضي.

لذا، نعني بالتوقع الرياضي متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي. يمكن أيضًا تقديم هذا المؤشر كمجموع مرجح لقيم القيمة المحتملة.

هذا المفهوم له عدة مرادفات:

• متوسط ​​القيمة؛
• متوسط ​​القيمة؛
• مؤشر الاتجاه المركزي.
• اللحظة الأولى.

بمعنى آخر، هو ليس أكثر من رقم تتوزع حوله قيم متغير عشوائي.

في مجالات مختلفة من النشاط البشري، ستكون أساليب فهم التوقعات الرياضية مختلفة إلى حد ما.

يمكن اعتباره كما يلي:

• متوسط ​​الفائدة التي يتم الحصول عليها من اتخاذ القرار، عندما يتم النظر في هذا القرار من وجهة نظر نظرية الأعداد الكبيرة؛
• المبلغ المحتمل للفوز أو الخسارة (نظرية المقامرة)، ويتم حسابه في المتوسط ​​لكل رهان. في العامية، تبدو هذه الكلمات مثل "ميزة اللاعب" (إيجابية للاعب) أو "ميزة الكازينو" (سلبية للاعب)؛
• نسبة الربح المستلم من المكاسب.

التوقع ليس إلزاميا لجميع المتغيرات العشوائية. إنه غائب بالنسبة لأولئك الذين لديهم تناقض في المبلغ المقابل أو التكامل.

خصائص التوقع الرياضي

مثل أي معلمة إحصائية، فإن التوقع الرياضي له الخصائص التالية:

الصيغ الأساسية للتوقعات الرياضية

يمكن إجراء حساب التوقع الرياضي لكل من المتغيرات العشوائية التي تتميز بالاستمرارية (الصيغة أ) والتمييز (الصيغة ب):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi، حيث xi هي قيم المتغير العشوائي، pi هي الاحتمالات:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx، حيث f(x) هي الكثافة الاحتمالية المحددة.

أمثلة على حساب التوقع الرياضي

مثال أ.

هل من الممكن معرفة متوسط ​​\u200b\u200bارتفاع الأقزام في حكاية سنو وايت؟ ومن المعروف أن كل من الأقزام السبعة كان له ارتفاع معين: 1.25؛ 0.98؛ 1.05؛ 0.71؛ 0.56؛ 0.95 و 0.81 م.

خوارزمية الحساب بسيطة للغاية:

• نجد مجموع كل قيم مؤشر النمو (متغير عشوائي):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• اقسم المبلغ الناتج على عدد التماثيل:
  6,31:7=0,90.

وهكذا فإن متوسط ​​ارتفاع التماثيل في الحكاية الخيالية هو 90 سم، وبعبارة أخرى، هذا هو التوقع الرياضي لنمو التماثيل.

صيغة العمل - M(x)=4 0.2+6 0.3+10 0.5=6

التنفيذ العملي للتوقعات الرياضية

يتم اللجوء إلى حساب المؤشر الإحصائي للتوقع الرياضي في مختلف مجالات النشاط العملي. بادئ ذي بدء، نحن نتحدث عن المجال التجاري. بعد كل شيء، يرتبط تقديم هيغنز لهذا المؤشر بتحديد الفرص التي يمكن أن تكون مواتية، أو على العكس من ذلك، غير مواتية، لبعض الأحداث.

يُستخدم هذا المقياس على نطاق واسع لتقييم المخاطر، خاصة عندما يتعلق الأمر بالاستثمارات المالية.
وبالتالي، في مجال الأعمال التجارية، يعمل حساب التوقعات الرياضية كوسيلة لتقييم المخاطر عند حساب الأسعار.

ويمكن أيضا استخدام هذا المؤشر لحساب فعالية بعض التدابير، على سبيل المثال، حماية العمال. بفضله، يمكنك حساب احتمالية وقوع حدث ما.

مجال آخر لتطبيق هذه المعلمة هو الإدارة. ويمكن أيضًا حسابه أثناء مراقبة جودة المنتج. على سبيل المثال، باستخدام حصيرة. التوقعات، يمكنك حساب العدد المحتمل للأجزاء المعيبة المنتجة.

كما تبين أن التوقع الرياضي لا غنى عنه عند إجراء المعالجة الإحصائية للنتائج التي تم الحصول عليها أثناء البحث العلمي. يسمح لك بحساب احتمالية النتيجة المرغوبة أو غير المرغوب فيها لتجربة أو دراسة اعتمادًا على مستوى تحقيق الهدف. ففي نهاية المطاف، يمكن أن يرتبط إنجازه بالربح والمنفعة، ويمكن أن يرتبط فشله بالخسارة أو الخسارة.

استخدام التوقعات الرياضية في الفوركس

التطبيق العملي لهذه المعلمة الإحصائية ممكن عند إجراء المعاملات في سوق الصرف الأجنبي. بمساعدتها، يمكنك تحليل نجاح المعاملات التجارية. علاوة على ذلك، تشير الزيادة في قيمة التوقعات إلى زيادة في نجاحهم.

من المهم أيضًا أن نتذكر أن التوقعات الرياضية لا ينبغي اعتبارها المعلمة الإحصائية الوحيدة المستخدمة لتحليل أداء المتداول. يؤدي استخدام العديد من المعلمات الإحصائية إلى جانب القيمة المتوسطة إلى زيادة دقة التحليل بشكل كبير.

لقد أثبتت هذه المعلمة نفسها جيدًا في مراقبة ملاحظات حسابات التداول. بفضله، يتم إجراء تقييم سريع للعمل المنجز على حساب الوديعة. في الحالات التي يكون فيها نشاط المتداول ناجحًا ويتجنب الخسائر، لا يوصى باستخدام حساب التوقع الرياضي حصريًا. وفي هذه الحالات، لا تؤخذ المخاطر بعين الاعتبار، مما يقلل من فعالية التحليل.

تشير الدراسات التي أجريت حول تكتيكات المتداولين إلى ما يلي:

• التكتيكات الأكثر فعالية هي تلك التي تعتمد على الإدخال العشوائي؛
• الأقل فعالية هي التكتيكات التي تعتمد على مدخلات منظمة.

وفي تحقيق نتائج إيجابية، لا يقل أهمية ما يلي:

• تكتيكات إدارة الأموال؛
• استراتيجيات الخروج.

باستخدام مؤشر مثل التوقع الرياضي، يمكنك التنبؤ بالربح أو الخسارة عند استثمار دولار واحد. ومن المعروف أن هذا المؤشر المحسوب لجميع الألعاب التي تمارس في الكازينو هو لصالح المنشأة. هذا هو ما يسمح لك بكسب المال. في حالة وجود سلسلة طويلة من الألعاب، تزداد احتمالية خسارة أموال العميل بشكل كبير.

تقتصر الألعاب التي يلعبها اللاعبون المحترفون على فترات زمنية قصيرة، مما يزيد من احتمالية الفوز ويقلل من مخاطر الخسارة. ويلاحظ نفس النمط عند إجراء العمليات الاستثمارية.

يمكن للمستثمر كسب مبلغ كبير من خلال وجود توقعات إيجابية وإجراء عدد كبير من المعاملات في فترة زمنية قصيرة.

يمكن اعتبار التوقع هو الفرق بين نسبة الربح (PW) مضروبة في متوسط ​​الربح (AW) واحتمال الخسارة (PL) مضروبة في متوسط ​​الخسارة (AL).

على سبيل المثال، يمكننا أن نأخذ في الاعتبار ما يلي: المركز – 12.5 ألف دولار، المحفظة – 100 ألف دولار، مخاطر الودائع – 1٪. تبلغ ربحية المعاملات 40٪ من الحالات بمتوسط ​​ربح 20٪. وفي حالة الخسارة يكون متوسط ​​الخسارة 5%. حساب التوقع الرياضي للمعاملة يعطي قيمة 625 دولارًا.

الخصائص العددية الأساسية للمتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة: التوقع الرياضي، والتشتت، والانحراف المعياري. خصائصهم وأمثلة.

يصف قانون التوزيع (وظيفة التوزيع وسلسلة التوزيع أو كثافة الاحتمالية) سلوك المتغير العشوائي بشكل كامل. لكن في عدد من المسائل، يكفي معرفة بعض الخصائص العددية للقيمة قيد الدراسة (على سبيل المثال، قيمتها المتوسطة واحتمال انحرافها عنها) للإجابة على السؤال المطروح. دعونا ننظر في الخصائص العددية الرئيسية للمتغيرات العشوائية المنفصلة.

التعريف 7.1.التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات قيمه المحتملة والاحتمالات المقابلة لها:

م(X) = X 1 ر 1 + X 2 ر 2 + … + س ص ص.(7.1)

إذا كان عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي لانهائي، فإذا كانت المتسلسلة الناتجة متقاربة بشكل مطلق.

ملاحظة 1.يُطلق على التوقع الرياضي أحيانًا اسم متوسط ​​الوزنلأنه يساوي تقريبًا الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي على عدد كبير من التجارب.

ملاحظة 2.ويترتب على تعريف التوقع الرياضي أن قيمته لا تقل عن أصغر قيمة ممكنة للمتغير العشوائي ولا تزيد عن أكبرها.

ملاحظة 3.التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو غير عشوائي(ثابت. وسنرى لاحقًا أن الأمر نفسه ينطبق على المتغيرات العشوائية المستمرة.

مثال 1. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X- عدد الأجزاء القياسية من بين ثلاثة أجزاء تم اختيارها من مجموعة مكونة من 10 أجزاء، بما في ذلك قطعتان معيبتان. لنقم بإنشاء سلسلة توزيع لـ X. من شروط المشكلة يتبع ذلك Xيمكن أن تأخذ القيم 1، 2، 3. ثم

مثال 2. حدد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي X- عدد رميات العملة قبل أول ظهور لشعار النبالة. يمكن أن تأخذ هذه الكمية عددًا لا نهائيًا من القيم (مجموعة القيم الممكنة هي مجموعة الأعداد الطبيعية). سلسلة التوزيع الخاصة بها لها الشكل:

+ (عند الحساب، تم استخدام صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي مرتين: ، من أين ).

خصائص التوقع الرياضي.

1) التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه:

م(مع) = مع.(7.2)

دليل. إذا اعتبرنا معكمتغير عشوائي منفصل يأخذ قيمة واحدة فقط معمع الاحتمال ر= 1 إذن م(مع) = مع?1 = مع.

2) يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التوقع الرياضي:

م(تجربة العملاء) = سم(X). (7.3)

دليل. إذا كان المتغير العشوائي Xالمقدمة من سلسلة التوزيع

ثم م(تجربة العملاء) = Cx 1 ر 1 + Cx 2 ر 2 + … + س س ص ص ص = مع(X 1 ر 1 + X 2 ر 2 + … + س ص ص) = سم(X).

التعريف 7.2.يتم استدعاء متغيرين عشوائيين مستقلإذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم التي اتخذها الآخر. وإلا المتغيرات العشوائية متكل.

التعريف 7.3.لنتصل نتاج المتغيرات العشوائية المستقلة Xو ي متغير عشوائي س ص، والتي تكون قيمها المحتملة مساوية لحاصل ضرب جميع القيم الممكنة Xلجميع القيم الممكنة ي، والاحتمالات المقابلة تساوي حاصل ضرب احتمالات العوامل.

3) التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية:

م(س ص) = م(X)م(ي). (7.4)

دليل. لتبسيط الحسابات، فإننا نقتصر على الحالة عندما Xو يخذ قيمتين محتملتين فقط:

لذلك، م(س ص) = س 1 ذ 1 ?ص 1 ز 1 + س 2 ذ 1 ?ص 2 ز 1 + س 1 ذ 2 ?ص 1 ز 2 + س 2 ذ 2 ?ص 2 ز 2 = ذ 1 ز 1 (س 1 ص 1 + س 2 ص 2) + + ذ 2 ز 2 (س 1 ص 1 + س 2 ص 2) = (ذ 1 ز 1 + ذ 2 ز 2) (س 1 ص 1 + س 2 ص 2) = م(X)?م(ي).

ملاحظة 1.يمكنك بالمثل إثبات هذه الخاصية لعدد أكبر من القيم المحتملة للعوامل.

ملاحظة 2.الخاصية 3 تنطبق على حاصل ضرب أي عدد من المتغيرات العشوائية المستقلة، وهو ما يتم إثباته عن طريق الاستقراء الرياضي.

التعريف 7.4.دعونا نحدد مجموع المتغيرات العشوائية Xو ي كمتغير عشوائي س+ص، والتي تكون قيمها المحتملة مساوية لمجموع كل قيمة محتملة Xبكل قيمة ممكنة ي; احتمالات هذه المجاميع تساوي منتجات احتمالات المصطلحات (للمتغيرات العشوائية التابعة - منتجات احتمالية مصطلح واحد في الاحتمال الشرطي للثاني).

4) التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين (تابع أو مستقل) يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:

م (س+ص) = م (X) + م (ي). (7.5)

دليل.

دعونا نفكر مرة أخرى في المتغيرات العشوائية المحددة بواسطة سلسلة التوزيع الواردة في إثبات الخاصية 3. ثم القيم المحتملة س+صنكون X 1 + في 1 , X 1 + في 2 , X 2 + في 1 , X 2 + في 2. دعونا نشير إلى احتمالاتها على التوالي ر 11 , ر 12 , ر 21 و ر 22. سوف نجد م(X+ي) = (س 1 + ذ 1)ص 11 + (س 1 + ذ 2)ص 12 + (س 2 + ذ 1)ص 21 + (س 2 + ذ 2)ص 22 =

= س 1 (ص 11 + ص 12) + س 2 (ص 21 + ص 22) + ذ 1 (ص 11 + ص 21) + ذ 2 (ص 12 + ص 22).

دعونا نثبت ذلك ر 11 + ر 22 = ر 1 . والواقع أن الحدث س+صسوف تأخذ القيم X 1 + في 1 أو X 1 + في 2 واحتمال ذلك هو ر 11 + ر 22 يتزامن مع الحدث الذي X = X 1 (احتماله ر 1). وقد ثبت بطريقة مماثلة ذلك ص 21 + ص 22 = ر 2 , ص 11 + ص 21 = ز 1 , ص 12 + ص 22 = ز 2. وسائل،

م(س+ص) = س 1 ص 1 + س 2 ص 2 + ذ 1 ز 1 + ذ 2 ز 2 = م (X) + م (ي).

تعليق. ويترتب على الخاصية 4 أن مجموع أي عدد من المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.

مثال. أوجد التوقع الرياضي لمجموع عدد النقاط التي تم الحصول عليها عند رمي خمسة أحجار نرد.

دعونا نوجد التوقع الرياضي لعدد النقاط التي يتم ظهورها عند رمي حجر النرد:

م(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) نفس الرقم يساوي التوقع الرياضي لعدد النقاط الملقاة على أي حجر نرد. لذلك، من خلال الخاصية 4 م(X)=

تشتت.

من أجل الحصول على فكرة عن سلوك المتغير العشوائي، لا يكفي معرفة توقعه الرياضي فقط. النظر في متغيرين عشوائيين: Xو ي، المحدد بواسطة سلسلة توزيع النموذج

سوف نجد م(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, م(ي) = 0?0.5 + 100?0.5 = 50. وكما ترى، فإن التوقعات الرياضية لكلا الكميتين متساوية، ولكن إذا كانت جلالة الملك(X) يصف جيدًا سلوك المتغير العشوائي، كونه قيمته المحتملة الأكثر احتمالًا (والقيم المتبقية لا تختلف كثيرًا عن 50)، ثم القيم يتمت إزالته بشكل ملحوظ من م(ي). لذلك، إلى جانب التوقع الرياضي، من المستحسن معرفة مدى انحراف قيم المتغير العشوائي عنه. لتوصيف هذا المؤشر، يتم استخدام التشتت.

التعريف 7.5.التشتت (التشتت)للمتغير العشوائي هو التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن توقعه الرياضي:

د(X) = م (X-M(X)))². (7.6)

دعونا نجد تباين المتغير العشوائي X(عدد الأجزاء القياسية من بين تلك المختارة) في المثال 1 من هذه المحاضرة. لنحسب الانحراف التربيعي لكل قيمة محتملة عن التوقع الرياضي:

(1 - 2.4) 2 = 1.96؛ (2 - 2.4) 2 = 0.16؛ (3 - 2.4) 2 = 0.36. لذلك،

ملاحظة 1.عند تحديد التشتت، لا يتم تقييم الانحراف عن المتوسط ​​نفسه، بل يتم تقييم مربعه. يتم ذلك حتى لا تلغي انحرافات العلامات المختلفة بعضها البعض.

ملاحظة 2.ويترتب على تعريف التشتت أن هذه الكمية تأخذ قيمًا غير سالبة فقط.

ملاحظة 3.هناك صيغة لحساب التباين أكثر ملاءمة للحسابات، والتي تم إثبات صحتها في النظرية التالية:

نظرية 7.1.د(X) = م(X²) - م²( X). (7.7)

دليل.

باستخدام ماذا م(X) هي قيمة ثابتة، ومن خواص التوقع الرياضي، نحول الصيغة (7.6) إلى الصورة:

د(X) = م(X-M(X))² = م(X² - 2 X؟M(X) + م²( X)) = م(X²) - 2 م(X)?م(X) + م²( X) =

= م(X²) - 2 م²( X) + م²( X) = م(X²) - م²( X) وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال. دعونا نحسب تباينات المتغيرات العشوائية Xو يتمت مناقشته في بداية هذا القسم. م(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

م(ي) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. لذا، فإن تباين المتغير العشوائي الثاني أكبر بعدة آلاف المرات من تباين الأول. وهكذا، حتى بدون معرفة قوانين توزيع هذه الكميات، وبناء على قيم التشتت المعروفة يمكننا أن نذكر ذلك Xينحرف قليلاً عن توقعاته الرياضية، بينما يهذا الانحراف مهم جدًا.

خصائص التشتت.

1) تباين قيمة ثابتة معيساوي الصفر:

د (ج) = 0. (7.8)

دليل. د(ج) = م((سم(ج))²) = م((نسخة)²) = م(0) = 0.

2) يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعه:

د(تجربة العملاء) = ج² د(X). (7.9)

دليل. د(تجربة العملاء) = م((CX-M(تجربة العملاء))²) = م((CX-CM(X))²) = م(ج²( X-M(X))²) =

= ج² د(X).

3) تباين مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينهما:

د(س+ص) = د(X) + د(ي). (7.10)

دليل. د(س+ص) = م(X² + 2 س ص + ي²) - ( م(X) + م(ي))² = م(X²) + 2 م(X)م(ي) +

+ م(ي²) - م²( X) - 2م(X)م(ي) - م²( ي) = (م(X²) - م²( X)) + (م(ي²) - م²( ي)) = د(X) + د(ي).

النتيجة الطبيعية 1.إن تباين مجموع عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي مجموع تبايناتها.

النتيجة الطبيعية 2.إن تباين مجموع الثابت والمتغير العشوائي يساوي تباين المتغير العشوائي.

4) إن تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تبايناتهم:

د(X-Y) = د(X) + د(ي). (7.11)

دليل. د(X-Y) = د(X) + د(-ي) = د(X) + (-1)² د(ي) = د(X) + د(X).

يعطي التباين القيمة المتوسطة للانحراف التربيعي لمتغير عشوائي عن المتوسط؛ ولتقييم الانحراف نفسه، يتم استخدام قيمة تسمى الانحراف المعياري.

التعريف 7.6.الانحراف المعياريσ متغير عشوائي Xيسمى الجذر التربيعي للتباين :

مثال. في المثال السابق الانحرافات المعيارية Xو يمتساوية على التوالي

ويمكن أيضًا وصف المتغيرات العشوائية، بالإضافة إلى قوانين التوزيع الخصائص العددية .

التوقع الرياضيتسمى M (x) للمتغير العشوائي بقيمته المتوسطة.

يتم حساب التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل باستخدام الصيغة

أين – قيم المتغيرات العشوائية، ص أنا-احتمالاتهم.

دعونا نفكر في خصائص التوقع الرياضي:

1. التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه

2. إذا تم ضرب متغير عشوائي في رقم معين k فإن التوقع الرياضي سيضرب في نفس الرقم

م (ك س) = كم (س)

3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية

م (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. م (× 1 - × 2) = م (× 1) - م (× 2)

5. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة x 1, x 2, … x n فإن التوقع الرياضي للناتج يساوي حاصل ضرب توقعاتها الرياضية

م (× 1، × 2، ... × ن) = م (× 1) م (× 2) ... م (× ن)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

دعونا نحسب التوقع الرياضي للمتغير العشوائي من المثال 11.

م(س) = = .

مثال 12.دع المتغيرات العشوائية x 1، x 2 يتم تحديدها وفقًا لقوانين التوزيع:

× 1 جدول 2

× 2 جدول 3

دعونا نحسب M (x 1) و M (x 2)

م (× 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

م (× 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

التوقعات الرياضية لكلا المتغيرين العشوائيين هي نفسها - فهي تساوي الصفر. لكن طبيعة توزيعها مختلفة. إذا كانت قيم x 1 تختلف قليلاً عن توقعها الرياضي، فإن قيم x 2 تختلف إلى حد كبير عن توقعها الرياضي، واحتمالات مثل هذه الانحرافات ليست صغيرة. توضح هذه الأمثلة أنه من المستحيل تحديد الانحرافات التي تحدث من القيمة المتوسطة، سواء كانت أصغر أو أكبر. لذلك، مع نفس متوسط ​​هطول الأمطار السنوي في منطقتين، لا يمكن القول أن هذه المناطق مواتية بنفس القدر للعمل الزراعي. وبالمثل، واستناداً إلى مؤشر متوسط ​​الرواتب، ليس من الممكن الحكم على نسبة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. ولذلك، يتم إدخال خاصية عددية - تشتتد(خ) , والتي تميز درجة انحراف المتغير العشوائي عن قيمته المتوسطة:

د (س) = م (س - م (خ)) 2 . (2)

التشتت هو التوقع الرياضي لمربع الانحراف لمتغير عشوائي عن التوقع الرياضي. بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يتم حساب التباين باستخدام الصيغة:

د(س)= = (3)

ويترتب على تعريف التشتت أن D (x) 0.

خصائص التشتت:

1. تباين الثابت هو صفر

2. إذا تم ضرب متغير عشوائي في رقم معين k فإن التباين يتم ضربه في مربع هذا الرقم

د (ك س) = ك 2 د (س)

3. د (س) = م (× 2) – م 2 (س)

4. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة الزوجية x 1 , x 2 , … x n فإن تباين المجموع يساوي مجموع التباينات.

د (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

دعونا نحسب التباين للمتغير العشوائي من المثال 11.

التوقع الرياضي M (x) = 1. وبالتالي، وفقا للصيغة (3) لدينا:

د (س) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

لاحظ أنه من الأسهل حساب التباين إذا استخدمت الخاصية 3:

د (س) = م (× 2) – م 2 (س).

لنحسب تباينات المتغيرات العشوائية x 1 , x 2 من المثال 12 باستخدام هذه الصيغة. التوقعات الرياضية لكلا المتغيرين العشوائيين هي صفر.

د (× 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

د (× 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

كلما اقتربت قيمة التباين من الصفر، قل انتشار المتغير العشوائي بالنسبة إلى القيمة المتوسطة.

الكمية تسمى الانحراف المعياري. الوضع المتغير العشوائيس نوع منفصل Mdتسمى قيمة المتغير العشوائي الذي له أعلى احتمال.

الوضع المتغير العشوائيس النوع المستمر Md، هو رقم حقيقي يتم تعريفه على أنه نقطة الحد الأقصى لكثافة التوزيع الاحتمالي f(x).

متوسط ​​المتغير العشوائيس النوع المستمر Mnهو عدد حقيقي يحقق المعادلة

يتم تحديد كل قيمة فردية بالكامل من خلال وظيفة التوزيع الخاصة بها. أيضًا، لحل المشكلات العملية، يكفي معرفة العديد من الخصائص العددية، والتي بفضلها يصبح من الممكن تقديم السمات الرئيسية للمتغير العشوائي في شكل قصير.

وتشمل هذه الكميات في المقام الأول القيمة المتوقعةو تشتت .

القيمة المتوقعة— متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات. كما تدل .

بأبسط طريقة، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي × (ث)، اكتشف كيف أساسيليبيجفيما يتعلق بمقياس الاحتمال ر إبداعي مساحة الاحتمال

يمكنك أيضًا العثور على التوقع الرياضي للقيمة كـ لا يتجزأ من ليبيغمن Xعن طريق التوزيع الاحتمالي آر إكسكميات X:

أين هي مجموعة كل القيم الممكنة X.

التوقع الرياضي للدوال من متغير عشوائي Xوجدت من خلال التوزيع آر إكس. على سبيل المثال، لو X- متغير عشوائي بقيم في و و (خ)- خالية من الغموض بوريلوظيفة X ، الذي - التي:

لو و(خ)- وظيفة التوزيع X، فإن التوقع الرياضي قابل للتمثيل أساسيليبيج - ستيلتجيس (أو ريمان - ستيلتجيس):

في هذه الحالة التكامل Xمن ناحية ( * ) يتوافق مع محدودية التكامل

في حالات محددة، إذا Xلديه توزيع منفصل مع القيم المحتملة س ك, ك=1، 2، . ، والاحتمالات إذن

لو Xلديه توزيع مستمر تماما مع كثافة الاحتمال ع (خ)، الذي - التي

وفي هذه الحالة، فإن وجود توقع رياضي يعادل التقارب المطلق للمتسلسلة أو التكامل المقابل.

خصائص التوقع الرياضي للمتغير العشوائي.

• التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذه القيمة:

ج- ثابت؛

• م=سم[X]

• التوقع الرياضي لمجموع القيم المأخوذة عشوائيا يساوي مجموع توقعاتها الرياضية:

• التوقع الرياضي لحاصل ضرب المتغيرات المستقلة العشوائية = حاصل ضرب توقعاتها الرياضية:

م=م[س]+م[ص]

لو Xو يمستقل.

إذا كانت المتسلسلة متقاربة:

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي.

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بأعداد طبيعية؛ تعيين كل قيمة احتمال غير الصفر.

1. اضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: × طعلى باي.

2. أضف منتج كل زوج س ط ص ط.

على سبيل المثال، ل ن = 4 :

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلوتدريجيًا، يزداد فجأة عند تلك النقاط التي يكون لاحتمالاتها إشارة إيجابية.

مثال:أوجد التوقع الرياضي باستخدام الصيغة.