ما هي القيم القصوى للدالة: النقاط الحرجة في الحد الأقصى والحد الأدنى.

ما هو الحد الأقصى للدالة وما هو الشرط الضروري للأطراف؟

الحد الأقصى للدالة هو الحد الأقصى والأدنى للدالة.

الشرط الضروري للحد الأقصى والأدنى (أقصى) للوظيفة هو كما يلي: إذا كانت الوظيفة f (x) لها حد أقصى عند النقطة x = a ، فعند هذه النقطة يكون المشتق إما صفرًا ، أو لانهائيًا ، أو لا لا يوجد.

هذا الشرط ضروري ولكنه غير كافٍ. يمكن للمشتق عند النقطة x = a أن يختفي ، أو ينتقل إلى ما لا نهاية ، أو لا يوجد دون أن يكون للدالة قيمة قصوى في هذه المرحلة.

ما هو الشرط الكافي للدالة القصوى (الحد الأقصى أو الأدنى)؟

الشرط الأول:

إذا كان المشتق f؟ (x) موجبًا على يسار a وسالب على يمين a ، عند النقطة x = a نفسها ، فإن الدالة f (x) لها أقصى

إذا كانت المشتقة f؟ (x) سالبة على يسار a وموجبة على يمين a ، على مقربة كافية من النقطة x = a ، فإن الدالة f (x) لها الحد الأدنىبشرط أن تكون الدالة f (x) متصلة هنا.

بدلاً من ذلك ، يمكنك استخدام الشرط الكافي الثاني للوظيفة القصوى:

دع النقطة x = والمشتق الأول f؟ (x) يختفي ؛ إذا كان المشتق الثاني f ؟؟ (а) سالبًا ، فإن الدالة f (x) لها حد أقصى عند النقطة x = a ، إذا كانت موجبة ، فعندئذ يكون الحد الأدنى.

ما هي النقطة الحرجة للدالة وكيفية العثور عليها؟

هذه هي قيمة وسيطة الوظيفة التي عندها يكون للوظيفة حد أقصى (أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى). للعثور عليه ، تحتاج أوجد المشتقالدالة f؟ (x) ومعادلتها بالصفر ، حل المعادلة f؟ (x) = 0. جذور هذه المعادلة ، بالإضافة إلى تلك النقاط التي لا يوجد عندها مشتق هذه الوظيفة ، هي نقاط حرجة ، أي قيم الحجة التي قد يكون عندها حد أقصى . يمكن التعرف عليها بسهولة من خلال النظر إليها الرسم البياني المشتق: نحن مهتمون بقيم الوسيطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثية (محور الثور) وتلك التي يعاني فيها الرسم البياني من الانكسار.

على سبيل المثال ، دعنا نجد أقصى درجات القطع المكافئ.

الدالة y (x) = 3x2 + 2x - 50.

مشتق الوظيفة: y؟ (x) = 6x + 2

نحل المعادلة: y؟ (x) = 0

6 س + 2 = 0 ، 6 س = -2 ، س = -2/6 = -1/3

في هذه الحالة ، النقطة الحرجة هي x0 = -1 / 3. لهذه القيمة للحجة أن الوظيفة لها أقصى. للحصول عليه تجد، نعوض بالرقم الموجود في التعبير عن الدالة بدلاً من "x":

y0 = 3 * (- 1/3) 2 + 2 * (- 1/3) - 50 = 3 * 1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى لوظيفة ، أي أكبر وأصغر قيمها؟

إذا تغيرت علامة المشتق من "زائد" إلى "ناقص" عند المرور عبر النقطة الحرجة x0 ، فإن x0 تكون أقصى نقطة؛ إذا تغيرت إشارة المشتق من سالب إلى موجب ، فإن x0 تكون الحد الأدنى من النقاط؛ إذا لم تتغير العلامة ، فعند النقطة x0 لا يوجد حد أقصى ولا حد أدنى.

للمثال المدروس:

نأخذ قيمة اعتباطية للحجة إلى يسار النقطة الحرجة: x = -1

عندما تكون س = -1 ، ستكون قيمة المشتق ص؟ (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (أي علامة الطرح).

الآن نأخذ قيمة اعتباطية للحجة على يمين النقطة الحرجة: x = 1

بالنسبة إلى x = 1 ، ستكون قيمة المشتق y (1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (أي علامة الجمع).

كما ترى ، عند المرور بالنقطة الحرجة ، تغير المشتق الإشارة من سالب إلى موجب. هذا يعني أنه عند القيمة الحرجة لـ x0 لدينا نقطة دنيا.

أكبر وأصغر قيمة للدالة في الفترة الفاصلة(في المقطع) تم العثور عليها وفقًا لنفس الإجراء ، مع الأخذ في الاعتبار فقط حقيقة أنه ، ربما ، لن تقع جميع النقاط الحرجة ضمن الفترة الزمنية المحددة. يجب استبعاد تلك النقاط الحرجة التي تقع خارج الفاصل الزمني من النظر. إذا كانت هناك نقطة حرجة واحدة فقط داخل الفترة الزمنية ، فسيكون لها إما حد أقصى أو أدنى. في هذه الحالة ، لتحديد أكبر وأصغر قيم للدالة ، نأخذ أيضًا في الاعتبار قيم الوظيفة في نهايات الفترة الزمنية.

على سبيل المثال ، لنجد أكبر وأصغر قيم للدالة

y (x) \ u003d 3 sin (x) - 0.5x

على فترات:

إذن ، مشتق الدالة هو

y؟ (x) = 3cos (x) - 0.5

نحل المعادلة 3cos (x) - 0.5 = 0

كوس (س) = 0.5 / 3 = 0.16667

x \ u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

نجد النقاط الحرجة في الفترة [-9 ؛ 9]:

x \ u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \ u003d -11.163 (غير مدرج في الفاصل الزمني)

س \ u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \ u003d -7.687

س \ u003d arccos (0.16667) - 2π * 1 \ u003d -4.88

س \ u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \ u003d -1.403

س \ u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \ u003d 1.403

س \ u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \ u003d 4.88

س \ u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \ u003d 7.687

س \ u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \ u003d 11.163 (غير مدرج في الفاصل الزمني)

نجد قيم الوظيفة عند القيم الحرجة للحجة:

ص (-7.687) = 3 كوز (-7.687) - 0.5 = 0.885

ص (-4.88) = 3 كوز (-4.88) - 0.5 = 5.398

ص (-1.403) = 3 كائنات (-1.403) - 0.5 = -2.256

ص (1.403) = 3 كوز (1.403) - 0.5 = 2.256

ص (4.88) = 3 كوز (4.88) - 0.5 = -5.398

ص (7.687) = 3 كوز (7.687) - 0.5 = -0.885

يمكن ملاحظة ذلك في الفترة [-9 ؛ 9] للدالة أكبر قيمة عند x = -4.88:

س = -4.88 ، ص = 5.398 ،

والأصغر - عند x = 4.88:

س = 4.88 ، ص = -5.398.

على الفاصل الزمني [-6 ؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: x = -4.88. قيمة الدالة عند x = -4.88 هي y = 5.398.

نجد قيمة الوظيفة في نهايات الفترة الزمنية:

ص (-6) = 3 كوز (-6) - 0.5 = 3.838

ص (-3) = 3 كائنات (-3) - 0.5 = 1.077

على الفاصل الزمني [-6 ؛ -3] لدينا أكبر قيمة للدالة

ص = 5.398 عند س = -4.88

أصغر قيمة

ص = 1.077 عند س = -3

كيفية إيجاد نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة وتحديد جانبي التحدب والتقعر؟

للعثور على جميع نقاط انعطاف الخط y \ u003d f (x) ، تحتاج إلى إيجاد المشتق الثاني ، معادلته بالصفر (حل المعادلة) واختبار كل قيم x التي يكون المشتق الثاني لها صفرًا ، لانهائي أو غير موجود. إذا ، عند المرور عبر إحدى هذه القيم ، فإن المشتق الثاني يغير علامة ، فإن الرسم البياني للوظيفة له انعطاف عند هذه النقطة. إذا لم يتغير ، فلا يوجد انعطاف.

جذور المعادلة و؟ (س) = 0 ، وكذلك النقاط المحتملة لانقطاع الوظيفة والمشتق الثاني ، قسّم مجال الوظيفة إلى عدد من الفواصل الزمنية. يتم تحديد التحدب في كل فترة من فتراتهم بعلامة المشتق الثاني. إذا كان المشتق الثاني عند نقطة ما في الفترة قيد الدراسة موجبًا ، فإن الخط y = f (x) مقعر لأعلى هنا ، وإذا كان سالبًا ، ثم لأسفل.

كيفية إيجاد القيم القصوى لدالة متغيرين؟

لإيجاد القيمة القصوى للدالة f (x ، y) ، القابلة للاشتقاق في منطقة تعيينها ، تحتاج إلى:

1) أوجد النقاط الحرجة ، ولهذا حل جملة المعادلات

الفوركس؟ (x، y) = 0، fy؟ (س ، ص) = 0

2) لكل نقطة حرجة P0 (أ ؛ ب) ، تحقق مما إذا كانت علامة الاختلاف لم تتغير

لجميع النقاط (س ؛ ص) قريبة بدرجة كافية من P0. إذا احتفظ الاختلاف بإشارة موجبة ، فعند النقطة P0 لدينا حد أدنى ، إذا كان سالبًا ، ثم حدًا أقصى. إذا لم يحتفظ الاختلاف بعلامته ، فلا يوجد حد أقصى عند النقطة Р0.

وبالمثل ، يتم تحديد الحد الأقصى للدالة لعدد أكبر من الوسائط.

ما هو الموقع الرسمي للمغنية ميكا نيوتن وفرقتها
المعجزة الأوكرانية الجديدة - ميكا نيوتن! هذه مجموعة من 5 أشخاص يلعبون موسيقى البوب ​​روك ، ويستمتعون بالحياة ، ويمنحون القيادة وينظرون بإيجابية إلى هذه الحياة. تجمع الشباب في كييف ، حيث يعيشون حاليًا. لا يتفق الرجال مع الأسس القياسية في الموسيقى والحياة ، ويكتشفون صوتهم الجديد ويخالفون جميع أنواع المعايير. قائد فريق -

كيفية تحويل المليلتر إلى متر مكعب
وحدة الطول الأساسية في نظام SI هي العداد. وبناءً على ذلك ، يجب اعتبار الوحدة الأساسية للحجم مترًا مكعبًا ، أو كما يطلق عليها أيضًا مترًا مكعبًا أو مترًا مكعبًا. هذا هو حجم مكعب بحوافه متر واحد. ومع ذلك ، من الناحية العملية ، ليس من الملائم دائمًا التعبير عن الحجم بالأمتار المكعبة. على سبيل المثال ، من الملائم التعبير عن حجم الغرفة بالأمتار المكعبة: اضرب طول

ما هو محتوى السعرات الحرارية في السميد
طعام السعرات الحرارية ، جدول السعرات الحرارية. يتم قياس متطلبات الطاقة البشرية بالكيلو كالوري (kcal). تأتي كلمة "كالوري" من اللغة اللاتينية وتعني "الدفء". في الفيزياء ، تقاس الطاقة بالسعرات الحرارية. كيلو كالوري واحد هو كمية الطاقة

ما هي مراحل تطور الواقعية في الأدب
الواقعية (Lat. real ، real) هي اتجاه في الأدب والفن يهدف إلى إعادة إنتاج الواقع بأمانة في سماته النموذجية. السمات المشتركة: التصوير الفني للحياة في الصور ، يتوافق مع جوهر ظاهرة الحياة نفسها. الواقع هو وسيلة لمعرفة الإنسان لنفسه والعالم من حوله. الكتابة

ما العلاقة بين البركليوم والعنصر 117 من الجدول الدوري
Berkelium، Berkelium، Bk - العنصر 97 في الجدول الدوري.اكتشف في ديسمبر 1949 بواسطة طومسون وغيورسو وسيبورج في جامعة كاليفورنيا في بيركلي. عن طريق تشعيع 241Am بجزيئات ألفا ، حصلوا على نظير بيركليوم 243Bk. لأن Bk يشبه من الناحية الهيكلية التيربيوم ، والذي أخذ اسمه من السيد Ytterby in

بماذا اشتهر ياروسلاف الحكيم؟
ياروسلاف الحكيم (980-1054) ، دوق كييف الأكبر (1019). ابن فلاديمير الأول سفياتوسلافوفيتش. قام بطرد سفياتوبولك الأول الملعون ، وحارب مع أخيه مستيسلاف ، وقسم الدولة معه (1025) ، وفي عام 1035 قام بتوحيدها مرة أخرى. عدد من الانتصارات أمن الحدود الجنوبية والغربية لروسيا. أقامت روابط سلالات مع العديد من دول إيف

كيف فعل تقليد الصراخ "مر!"
منذ زمن بعيد ، كان هناك تقليد للصراخ خلال وليمة الزفاف: "مر!" ، مما يجبر العروسين على النهوض من مقاعدهم وتقبيلهم. واليوم ، لا يخمن الكثيرون حتى معنى هذا الاحتفال ، ففي الأيام الخوالي ، في الأعراس ، كانوا يصرخون "مر!" ، موضحين أن النبيذ في الأوعية غير محلى حسب ما يُزعم. لكن

ما هي أعراض التهاب الحنجرة
التهاب الحنجرة (من اليونانية الأخرى λ؟ ρυγξ - الحنجرة) هو التهاب في الحنجرة ، وعادة ما يترافق مع نزلات البرد أو الأمراض المعدية مثل الحصبة والحمى القرمزية والسعال الديكي. يتم تسهيل تطور المرض عن طريق انخفاض حرارة الجسم ، والتنفس من خلال الفم ، والغبار

ما إذا كان الجنس والانحراف يتم تحديدهما للأسماء التي تحتوي على صيغة الجمع فقط
الرقم هو فئة نحوية تعبر عن الخصائص الكمية للكائن. 1. تتغير معظم الأسماء بالأرقام ، أي لها شكلين - المفرد والجمع. في صيغة المفرد ، يشير الاسم إلى كائن واحد ، بصيغة الجمع ، عدة أشياء:

ما هو مفيد عصيدة الروسية
عصيدة الحنطة السوداء الحنطة السوداء هي حبوب خاصة. من بينها ، ربما ، واحدة من أكثر الحبوب فائدة. لا عجب أن نسميها الأولى. يحتوي الحنطة السوداء على الألياف ومجموعة كاملة من الفيتامينات - E ، PP ، B1 ، B2 ، الفوليك والأحماض العضوية ، بالإضافة إلى نسبة كبيرة من النشا ، مما يساهم في تناول الكمية المناسبة من النيو.

يمكن الاطلاع على خريطة تفاعلية لمدينة أرخانجيلسك على المواقع التالية: الخريطة 1 - خريطة القمر الصناعي والخريطة القياسية ؛ الخريطة 2 - الخريطة القياسية (1: 350.000) ؛ Map3 - توجد أسماء الشوارع وأرقام المنازل ، ومن الممكن البحث عن طريق الشارع ؛ Map4 - خريطة بأسماء الشوارع ؛ Map5 - خريطة تفاعلية للمدينة ؛ Map6 - خريطة تفاعلية للمدينة.

وظيفة متطرفة

التعريف 2

تسمى النقطة $ x_0 $ نقطة الحد الأقصى للدالة $ f (x) $ إذا كان هناك منطقة مجاورة لهذه النقطة بحيث تكون المتباينة لكل $ x $ من هذا الحي $ f (x) \ le f (x_0 ) $ راضي.

التعريف 3

تسمى النقطة $ x_0 $ نقطة الحد الأقصى للدالة $ f (x) $ إذا كان هناك منطقة مجاورة لهذه النقطة بحيث تكون المتباينة لكل $ x $ من هذا الحي $ f (x) \ ge f (x_0 ) $ راضي.

يرتبط مفهوم الحد الأقصى للوظيفة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم النقطة الحرجة للدالة. دعونا نقدم تعريفه.

التعريف 4

يُطلق على $ x_0 $ النقطة الحرجة للوظيفة $ f (x) $ إذا:

1) $ x_0 $ - النقطة الداخلية لمجال التعريف ؛

2) $ f "\ left (x_0 \ right) = 0 $ أو غير موجود.

بالنسبة لمفهوم الحد الأقصى ، يمكن للمرء أن يصوغ نظريات حول الشروط الكافية والضرورية لوجوده.

نظرية 2

حالة كافية من الحالات القصوى

اجعل النقطة $ x_0 $ مهمة للدالة $ y = f (x) $ وتقع في الفترة $ (a، b) $. اترك في كل فترة $ \ left (a، x_0 \ right) \ و \ (x_0، b) $ المشتق $ f "(x) $ موجود واحتفظ بعلامة ثابتة. ثم:

1) في الفاصل الزمني $ (a، x_0) $ المشتق $ f "\ left (x \ right)> 0 $ ، وعلى الفاصل $ (x_0، b) $ المشتق $ f" \ left (x \ حقا)

2) إذا كان المشتق $ f "\ left (x \ right) 0 $ على الفاصل $ (a، x_0) $ ، فإن النقطة $ x_0 $ هي النقطة الدنيا لهذه الدالة.

3) في حالة $ (a، x_0) $ وفي الفاصل الزمني $ (x_0، b) $ المشتق $ f "\ left (x \ right)> 0 $ أو المشتق $ f" \ left (x \حقا)

هذه النظرية موضحة في الشكل 1.

الشكل 1. شرط كاف لوجود القيم القصوى

أمثلة على التطرف (الشكل 2).

الشكل 2. أمثلة على النقاط القصوى

قاعدة فحص دالة للنقطة القصوى

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

7) استخلص استنتاجات حول وجود الحدود القصوى والدنيا في كل فترة باستخدام النظرية 2.

الوظيفة تصاعديا وتناقصا

دعنا أولاً نقدم تعريفات الزيادة والنقصان للوظائف.

التعريف 5

تسمى الدالة $ y = f (x) $ المعرفة على فاصل زمني $ X $ زيادة إذا كانت لأي نقطة $ x_1، x_2 \ in X $ مقابل $ x_1

التعريف 6

تسمى الدالة $ y = f (x) $ المحددة على فاصل زمني $ X $ متناقصة إذا كانت لأي نقطة $ x_1 ، x_2 \ in X $ مقابل $ x_1f (x_2) $.

فحص وظيفة الزيادة والنقصان

يمكنك استقصاء دوال الزيادة والنقصان باستخدام المشتق.

لفحص دالة لفترات الزيادة والنقصان ، يجب عليك القيام بما يلي:

1) أوجد مجال الوظيفة $ f (x) $؛

2) أوجد المشتق $ f "(x) $؛

3) أوجد النقاط التي تكون فيها المساواة $ f "\ left (x \ right) = 0 $؛

4) ابحث عن النقاط التي لا يوجد فيها $ f "(x) $ ؛

5) ضع علامة على جميع النقاط التي تم العثور عليها ومجال الوظيفة المحددة على خط الإحداثيات ؛

6) حدد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فترة ناتجة ؛

7) استنتج: في الفترات الزمنية التي تزيد فيها الدالة $ f "\ left (x \ right) 0 $.

أمثلة على مشاكل دراسة وظائف الزيادة والنقصان ووجود النقاط القصوى

مثال 1

تحقق من دالة الزيادة والنقصان ، ووجود نقاط الحد الأقصى والحد الأدنى: $ f (x) = (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

نظرًا لأن النقاط الست الأولى هي نفسها ، فسنرسمها أولاً.

1) مجال التعريف - جميع الأعداد الحقيقية ؛

2) $ f "\ left (x \ right) = 6x ^ 2-30x + 36 $ ؛

3) $ f "\ left (x \ right) = 0 $ ؛

\ \ \

4) $ f "(x) $ موجود في جميع نقاط مجال التعريف ؛

5) خط التنسيق:

الشكل 3

6) حدد علامة المشتق $ f "(x) $ على كل فترة زمنية:

\ \. كما هو معروف ، تصل هذه الوظيفة إلى قيمها القصوى والدنيا ، إما على حدود المقطع أو داخله. إذا تم الوصول إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى لقيمة الوظيفة عند النقطة الداخلية للمقطع ، فإن هذه القيمة هي الحد الأقصى أو الحد الأدنى للوظيفة ، أي يتم الوصول إليها في النقاط الحرجة.

وهكذا ، نحصل على ما يلي قاعدة البحث عن أكبر وأصغر قيم دالة في المقطع [ أ ، ب] :

1. أوجد جميع النقاط الحرجة للدالة في الفترة ( أ ، ب) وحساب قيم الدالة في هذه النقاط.
2. احسب قيم الدالة في نهايات المقطع من أجل س = أ ، س = ب.
3. من بين جميع القيم التي تم الحصول عليها ، اختر الأكبر والأصغر.