Yoldaş gözləntisi nədir? Gözləmə düsturu

Gözləmə təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasıdır

Riyazi gözlənti, tərif, diskret və fasiləsiz təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri, seçmə, şərti gözlənti, hesablama, xassələr, problemlər, gözləntilərin qiymətləndirilməsi, dispersiya, paylanma funksiyası, düsturlar, hesablama nümunələri.

Məzmunu genişləndirin

Məzmunu yığcamlaşdırın

Riyazi gözlənti tərifdir

Riyazi statistikada və ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin və ya ehtimallarının paylanmasını xarakterizə edən ən vacib anlayışlardan biridir. Adətən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün parametrlərinin çəkili ortası kimi ifadə edilir. Texniki analizdə, ədəd seriyalarının tədqiqində, davamlı və vaxt aparan proseslərin öyrənilməsində geniş istifadə olunur. Maliyyə bazarlarında alqı-satqı zamanı risklərin qiymətləndirilməsində, qiymət göstəricilərinin proqnozlaşdırılmasında vacibdir və qumar nəzəriyyəsində oyun taktikasının strategiya və üsullarının işlənib hazırlanmasında istifadə olunur.

Riyazi gözləntidir təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması ehtimal nəzəriyyəsində nəzərə alınır.

Riyazi gözləntidir ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin ölçüsü. Təsadüfi dəyişən gözləntisi x ilə işarələnir M(x).

Riyazi gözləntidir

Riyazi gözləntidir ehtimal nəzəriyyəsində, təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi bütün mümkün dəyərlərin orta çəkisi.

Riyazi gözləntidir təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının cəmi və bu dəyərlərin ehtimalları.

Riyazi gözləntidir belə bir qərarın böyük ədədlər və uzaq məsafə nəzəriyyəsi çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilməsi şərti ilə müəyyən bir qərardan orta mənfəət.

Riyazi gözləntidir qumar nəzəriyyəsində, hər bir mərc üçün orta hesabla bir oyunçunun qazana və ya itirə biləcəyi uduşların miqdarı. Qumar dili ilə desək, buna bəzən “oyunçu kənarı” (oyunçu üçün müsbət olarsa) və ya “ev kənarı” (oyunçu üçün mənfi olarsa) deyilir.

Riyazi gözləntidir uduş başına mənfəətin faizinin orta mənfəətə vurulması, zərər ehtimalının orta itkiyə vurulması.

Riyazi nəzəriyyədə təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri

Təsadüfi dəyişənin mühüm ədədi xüsusiyyətlərindən biri onun riyazi gözləntisidir. Təsadüfi dəyişənlər sistemi anlayışını təqdim edək. Gəlin eyni təsadüfi təcrübənin nəticələri olan təsadüfi dəyişənlər toplusunu nəzərdən keçirək. Əgər sistemin mümkün dəyərlərindən biridirsə, onda hadisə Kolmoqorovun aksiomlarını təmin edən müəyyən bir ehtimala uyğundur. Təsadüfi dəyişənlərin hər hansı mümkün qiymətləri üçün müəyyən edilmiş funksiyaya birgə paylama qanunu deyilir. Bu funksiya hər hansı bir hadisənin ehtimalını hesablamağa imkan verir. Xüsusilə, çoxluqdan qiymət alan və təsadüfi dəyişənlərin birgə paylanma qanunu ehtimallarla verilir.

“Riyazi gözlənti” termini Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tərəfindən təqdim edilmişdir və ilk dəfə 17-ci əsrdə qumar nəzəriyyəsində Blez Paskal və Kristianın əsərlərində ortaya çıxan “uduşların gözlənilən dəyəri” anlayışından irəli gəlir. Huygens. Lakin bu konsepsiyanın ilk tam nəzəri anlayışı və qiymətləndirilməsi Pafnuty Lvoviç Çebışev (19-cu əsrin ortaları) tərəfindən verilmişdir.

Təsadüfi ədədi dəyişənlərin paylanma qanunu (paylanma funksiyası və paylanma seriyası və ya ehtimal sıxlığı) təsadüfi dəyişənin davranışını tamamilə təsvir edir. Lakin bir sıra məsələlərdə verilən suala cavab vermək üçün tədqiq olunan kəmiyyətin bəzi ədədi xüsusiyyətlərini (məsələn, onun orta qiymətini və ondan mümkün kənara çıxmasını) bilmək kifayətdir. Təsadüfi dəyişənlərin əsas ədədi xarakteristikaları riyazi gözlənti, dispersiya, rejim və mediadır.

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun mümkün qiymətlərinin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir. Bəzən riyazi gözləntiyə çəkili ortalama deyilir, çünki çox sayda təcrübədə təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir. Riyazi gözləntinin tərifindən belə çıxır ki, onun dəyəri təsadüfi dəyişənin mümkün olan ən kiçik qiymətindən az deyil və ən böyüyündən çox deyil. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi qeyri-təsadüfi (sabit) dəyişəndir.

Riyazi gözləntinin sadə fiziki mənası var: vahid kütləni düz xətt üzərində yerləşdirsəniz, müəyyən bir kütləni bəzi nöqtələrə yerləşdirsəniz (diskret paylama üçün) və ya müəyyən bir sıxlıqla "yaxşılaşsanız" (mütləq davamlı paylama üçün) , onda riyazi gözləntiyə uyğun nöqtə "ağırlıq mərkəzi" koordinatı olacaq düzdür.

Təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, onun "nümayəndəsi" olan və onu təxminən təxmini hesablamalarda əvəz edən müəyyən bir ədəddir. "Çıraqın orta işləmə müddəti 100 saatdır" və ya "orta təsir nöqtəsi hədəfə nisbətən 2 m sağa sürüşdürülür" dedikdə, təsadüfi dəyişənin yerini təsvir edən müəyyən bir ədədi xarakteristikasını göstəririk. ədədi oxda, yəni. "Mövqe xüsusiyyətləri".

Ehtimal nəzəriyyəsində mövqenin xüsusiyyətlərindən ən mühüm rolu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri oynayır ki, bu da bəzən təsadüfi dəyişənin sadəcə orta qiyməti adlanır.

Təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin X, mümkün dəyərlərə malikdir x1, x2, …, xn ehtimallarla p1, p2, …, pn. Bu dəyərlərin müxtəlif ehtimallara malik olduğunu nəzərə alaraq, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin x oxundakı mövqeyini bəzi rəqəmlərlə xarakterizə etməliyik. Bu məqsədlə dəyərlərin “çəkili orta” adlanandan istifadə edilməsi təbiidir xi, və orta hesablama zamanı hər bir xi dəyəri bu dəyərin ehtimalına mütənasib “çəki” ilə nəzərə alınmalıdır. Beləliklə, təsadüfi dəyişənin ortasını hesablayacağıq X, işarə etdiyimiz M |X|:

Bu çəkili orta təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi adlanır. Beləliklə, biz ehtimal nəzəriyyəsinin ən vacib anlayışlarından birini - riyazi gözləmə anlayışını nəzərə aldıq. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və bu dəyərlərin ehtimallarının cəmidir.

Qoy istehsal olunsun N hər birində dəyəri olan müstəqil təcrübələr X müəyyən dəyər alır. Fərz edək ki, dəyər x1 meydana çıxdı m1 dəfə, dəyər x2 meydana çıxdı m2 dəfə, ümumi məna xi dəfə ortaya çıxdı. Riyazi gözləntidən fərqli olaraq X dəyərinin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasını hesablayaq. M|X| işarə edirik M*|X|:

Təcrübələrin sayının artması ilə N tezliklər pi müvafiq ehtimallara yaxınlaşacaq (ehtimalla yaxınlaşacaq). Beləliklə, təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortası M|X| təcrübələrin sayının artması ilə riyazi gözləntisinə yaxınlaşacaq (ehtimalda yaxınlaşacaq). Arifmetik orta ilə yuxarıda ifadə olunmuş riyazi gözlənti arasındakı əlaqə böyük ədədlər qanununun formalarından birinin məzmununu təşkil edir.

Biz artıq bilirik ki, böyük ədədlər qanununun bütün formaları bəzi ortaların çoxlu sayda təcrübədə sabit olduğunu bildirir. Burada söhbət eyni kəmiyyətin bir sıra müşahidələrindən arifmetik ortanın sabitliyindən gedir. Az sayda təcrübə ilə onların nəticələrinin arifmetik ortası təsadüfi olur; eksperimentlərin sayının kifayət qədər artması ilə "demək olar ki, qeyri-təsadüfi" olur və sabitləşərək sabit bir dəyərə - riyazi gözləntiyə yaxınlaşır.

Çox sayda təcrübə üzərində orta göstəricilərin sabitliyi eksperimental olaraq asanlıqla yoxlanıla bilər. Məsələn, laboratoriyada cəsədi dəqiq tərəzilərdə çəkərkən, çəkmə nəticəsində hər dəfə yeni qiymət alırıq; Müşahidə xətasını azaltmaq üçün bədəni bir neçə dəfə çəkirik və alınan dəyərlərin arifmetik ortasından istifadə edirik. Təcrübələrin (çəkilərin) sayının daha da artması ilə arifmetik ortanın bu artıma getdikcə daha az reaksiya verdiyini və kifayət qədər çox sayda təcrübə ilə praktiki olaraq dəyişməyi dayandırdığını görmək asandır.

Qeyd etmək lazımdır ki, təsadüfi kəmiyyətin mövqeyinin ən mühüm xarakteristikası - riyazi gözlənti bütün təsadüfi dəyişənlər üçün mövcud deyil. Müvafiq cəm və ya inteqral ayrıldığı üçün riyazi gözləntiləri olmayan belə təsadüfi dəyişənlərə misallar tərtib etmək mümkündür. Bununla belə, bu cür hallar təcrübə üçün o qədər də maraqlı deyil. Tipik olaraq, məşğul olduğumuz təsadüfi dəyişənlər məhdud mümkün dəyərlərə malikdir və əlbəttə ki, riyazi gözləntilərə malikdir.

Təsadüfi dəyişənin mövqeyinin ən vacib xüsusiyyətlərindən - riyazi gözləntidən əlavə, praktikada bəzən mövqenin digər xüsusiyyətlərindən, xüsusən də təsadüfi dəyişənin rejimi və mediandan istifadə olunur.

Təsadüfi dəyişənin rejimi onun ən çox ehtimal olunan qiymətidir. “Ən çox ehtimal olunan dəyər” termini, qəti desək, yalnız fasiləsiz kəmiyyətlərə aiddir; davamlı kəmiyyət üçün rejim ehtimal sıxlığının maksimum olduğu dəyərdir. Rəqəmlər, müvafiq olaraq, fasiləsiz və davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün rejimi göstərir.

Əgər paylama poliqonunda (paylanma əyrisi) birdən çox maksimum varsa, paylanma “multimodal” adlanır.

Bəzən elə paylamalar olur ki, onların ortasında maksimum deyil, minimumu olur. Belə paylamalar “antimodal” adlanır.

Ümumi halda təsadüfi dəyişənin rejimi və riyazi gözləntiləri üst-üstə düşmür. Xüsusi halda, paylanma simmetrik və modal olduqda (yəni rejimi var) və riyazi gözlənti olduqda, o zaman paylanmanın simmetriya rejimi və mərkəzi ilə üst-üstə düşür.

Başqa bir mövqe xarakteristikasından tez-tez istifadə olunur - təsadüfi dəyişənin sözdə medianı. Bu xarakteristika adətən yalnız fasiləsiz təsadüfi dəyişənlər üçün istifadə olunur, baxmayaraq ki, o, fasiləsiz dəyişən üçün formal olaraq müəyyən edilə bilər. Həndəsi olaraq median paylanma əyrisi ilə əhatə olunan sahənin yarıya bölündüyü nöqtənin absisidir.

Simmetrik modal paylanma vəziyyətində median riyazi gözlənti və rejimlə üst-üstə düşür.

Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiymətidir - təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasının ədədi xarakteristikasıdır. Ən ümumi şəkildə, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi X(w) ehtimal ölçüsünə görə Lebeq inteqralı kimi müəyyən edilir R orijinal ehtimal fəzasında:

Riyazi gözlənti Lebesq inteqralı kimi də hesablana bilər X ehtimal paylanması ilə px miqdarlar X:

Sonsuz riyazi gözlənti ilə təsadüfi dəyişən anlayışı təbii şəkildə müəyyən edilə bilər. Tipik bir nümunə, bəzi təsadüfi gəzintilərin qayıtma vaxtlarıdır.

Riyazi gözləntidən istifadə edərək bir paylanmanın bir çox ədədi və funksional xüsusiyyətləri müəyyən edilir (təsadüfi dəyişənin müvafiq funksiyalarının riyazi gözləntiləri kimi), məsələn, yaradan funksiya, xarakterik funksiya, hər hansı bir nizamın momentləri, xüsusən də dispersiya, kovariasiya. .

Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin yerləşməsinin xarakterik bir xüsusiyyətidir (onun paylanmasının orta dəyəri). Bu qabiliyyətdə riyazi gözlənti bəzi "tipik" paylama parametri kimi xidmət edir və onun rolu mexanikada statik momentin - kütlə paylanmasının ağırlıq mərkəzinin koordinatının roluna bənzəyir. Onun köməyi ilə paylanmanın ümumi şəkildə təsvir olunduğu yerin digər xüsusiyyətlərindən - medianlar, rejimlər, riyazi gözlənti onun və müvafiq səpilmə xarakteristikasının - dispersiyanın - ehtimal nəzəriyyəsinin həddi teoremlərində malik olduğu daha böyük dəyərlə fərqlənir. Riyazi gözləntinin mənası böyük ədədlər qanunu (Çebışev bərabərsizliyi) və böyük ədədlərin gücləndirilmiş qanunu ilə ən dolğun şəkildə açılır.

Diskret təsadüfi dəyişənin gözləntiləri

Bir neçə ədədi dəyərdən birini götürə bilən bəzi təsadüfi dəyişən olsun (məsələn, zar atarkən xalların sayı 1, 2, 3, 4, 5 və ya 6 ola bilər). Çox vaxt praktikada belə bir dəyər üçün sual yaranır: çox sayda testlə "orta hesabla" hansı dəyər alır? Riskli əməliyyatların hər birindən orta gəlirimiz (və ya zərərimiz) nə qədər olacaq?

Tutaq ki, bir növ lotereya var. Biz başa düşmək istəyirik ki, onda iştirak etmək sərfəli olub-olmaması (və ya hətta dəfələrlə, müntəzəm olaraq iştirak etmək). Deyək ki, hər dördüncü bilet qalibdir, mükafat 300 rubl, istənilən biletin qiyməti isə 100 rubl olacaq. Sonsuz sayda iştirakla belə olur. Dörddə üçdə biz itirəcəyik, hər üç itki 300 rubla başa gələcək. Hər dördüncü halda biz 200 rubl qazanacağıq. (mükafat minus dəyəri), yəni dörd iştirak üçün orta hesabla 100 rubl, biri üçün orta hesabla 25 rubl itiririk. Ümumilikdə xarabalığımızın orta qiyməti bir bilet üçün 25 rubl olacaq.

Zarları atırıq. Əgər aldadıcı deyilsə (ağırlıq mərkəzini dəyişmədən və s.), onda bir anda orta hesabla neçə xalımız olacaq? Hər variantın eyni ehtimal olduğu üçün sadəcə arifmetik ortanı götürüb 3,5 alırıq. Bu ORTA olduğundan, heç bir xüsusi rulonun 3,5 xal verməyəcəyinə qəzəblənməyə ehtiyac yoxdur - yaxşı, bu kubun belə bir rəqəmi olan üzü yoxdur!

İndi nümunələrimizi ümumiləşdirək:

İndi verilmiş şəkilə baxaq. Solda təsadüfi dəyişənin paylanması cədvəli var. X dəyəri n mümkün dəyərdən birini qəbul edə bilər (yuxarı sətirdə göstərilir). Başqa mənalar ola bilməz. Hər bir mümkün dəyərin altında onun ehtimalı aşağıda yazılır. Sağda düstur var, burada M(X) riyazi gözlənti adlanır. Bu dəyərin mənası ondan ibarətdir ki, çox sayda testlə (böyük bir nümunə ilə) orta dəyər eyni riyazi gözləntiyə meyl edəcəkdir.

Yenidən eyni oyun kubuna qayıdaq. Atma zamanı xalların sayının riyazi gözləntisi 3,5-dir (inanmırsınızsa, düsturdan istifadə edərək özünüz hesablayın). Tutaq ki, bir neçə dəfə atdın. Nəticələr 4 və 6 idi. Orta qiymət 5 idi, bu da 3,5-dən çox uzaqdır. Bir dəfə də atdılar, 3 aldılar, yəni orta hesabla (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Nə isə, riyazi gözləntidən uzaq. İndi dəli bir təcrübə edin - kubu 1000 dəfə yuvarlayın! Və orta göstərici tam olaraq 3,5 olmasa belə, buna yaxın olacaq.

Yuxarıda təsvir edilən lotereya üçün riyazi gözləntiləri hesablayaq. Plitə belə görünəcək:

Sonra riyazi gözlənti yuxarıda müəyyən etdiyimiz kimi olacaq:

Başqa bir şey odur ki, daha çox seçim olsaydı, formul olmadan "barmaqlarda" etmək çətin olardı. Tutaq ki, biletlərin 75% -i itirilir, 20% -i uduşlu biletlər və 5% -i xüsusilə qalib gəlir.

İndi riyazi gözləmənin bəzi xüsusiyyətləri.

Bunu sübut etmək asandır:

Sabit amil riyazi gözləntinin əlaməti kimi götürülə bilər, yəni:

Bu, riyazi gözləntinin xətti xüsusiyyətinin xüsusi halıdır.

Riyazi gözləntinin xətti olmasının başqa bir nəticəsi:

yəni təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlər olsun, Sonra:

Bunu sübut etmək də asandır) Çalışın XYözü təsadüfi bir dəyişəndir və əgər ilkin dəyərlər ala bilsəydi n Və m dəyərlərinə uyğun olaraq XY nm dəyərləri qəbul edə bilər. Hər bir dəyərin ehtimalı müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması faktına əsasən hesablanır. Nəticədə bunu alırıq:

Davamlı təsadüfi dəyişənin gözləntiləri

Davamlı təsadüfi dəyişənlər paylanma sıxlığı (ehtimal sıxlığı) kimi bir xüsusiyyətə malikdirlər. Təsadüfi dəyişənin real ədədlər dəstindən bəzi dəyərləri daha tez-tez, bəzilərini isə daha az qəbul etməsi vəziyyəti mahiyyətcə xarakterizə edir. Məsələn, bu qrafiki nəzərdən keçirin:

Burada X- faktiki təsadüfi dəyişən, f(x)- paylanma sıxlığı. Bu qrafikə əsasən, təcrübələr zamanı dəyər Xçox vaxt sıfıra yaxın bir ədəd olacaqdır. Şanslar aşılır 3 ya da kiçik olsun -3 daha sırf nəzəri.

Məsələn, vahid paylama olsun:

Bu, intuitiv anlayışa olduqca uyğundur. Tutaq ki, əgər biz vahid paylanma ilə çoxlu təsadüfi real ədədlər alsaq, seqmentin hər biri |0; 1| , onda arifmetik orta təxminən 0,5 olmalıdır.

Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün tətbiq olunan riyazi gözləntinin xassələri - xəttilik və s. burada da tətbiq edilir.

Riyazi gözlənti ilə digər statistik göstəricilər arasında əlaqə

Statistik təhlildə riyazi gözlənti ilə yanaşı, hadisələrin bircinsliyini və proseslərin sabitliyini əks etdirən bir-birindən asılı olan göstəricilər sistemi mövcuddur. Variasiya göstəriciləri çox vaxt müstəqil məna daşımır və məlumatların sonrakı təhlili üçün istifadə olunur. İstisna qiymətli statistik xarakteristikası olan məlumatların homojenliyini xarakterizə edən variasiya əmsalıdır.

Statistika elmində proseslərin dəyişkənlik və ya sabitlik dərəcəsi bir neçə göstəricidən istifadə etməklə ölçülə bilər.

Təsadüfi dəyişənin dəyişkənliyini xarakterizə edən ən mühüm göstəricidir Dispersiya, riyazi gözlənti ilə ən sıx və birbaşa əlaqəlidir. Bu parametr statistik təhlilin digər növlərində (hipotezaların yoxlanılması, səbəb-nəticə əlaqələrinin təhlili və s.) fəal şəkildə istifadə olunur. Orta xətti kənarlaşma kimi, dispersiya da orta dəyər ətrafında məlumatların yayılmasının dərəcəsini əks etdirir.

İşarələrin dilini sözlərin dilinə çevirmək faydalıdır. Belə çıxır ki, dispersiya kənarlaşmaların orta kvadratıdır. Yəni əvvəlcə orta dəyər hesablanır, sonra hər bir orijinal və orta dəyər arasındakı fərq alınır, kvadrata alınır, əlavə edilir və sonra əhalidəki dəyərlərin sayına bölünür. Fərdi qiymətlə orta göstərici arasındakı fərq sapma ölçüsünü əks etdirir. Bütün kənarlaşmaların yalnız müsbət ədədlərə çevrilməsi və onları yekunlaşdırarkən müsbət və mənfi sapmaların qarşılıqlı şəkildə məhv edilməsinin qarşısını almaq üçün kvadrat şəklində tərtib edilmişdir. Sonra, kvadratdan kənara çıxanları nəzərə alaraq, sadəcə arifmetik ortanı hesablayırıq. Orta - kvadrat - sapmalar. Kənarlaşmalar kvadratlaşdırılır və orta hesablanır. Sehrli “dispersiya” sözünün cavabı cəmi üç sözdən ibarətdir.

Bununla belə, arifmetik orta və ya indeks kimi təmiz formada dispersiya istifadə edilmir. Bu, daha çox statistik təhlilin digər növləri üçün istifadə olunan köməkçi və ara göstəricidir. Onun normal ölçü vahidi belə yoxdur. Formula əsasən, bu, orijinal məlumatın ölçü vahidinin kvadratıdır.

Bir təsadüfi dəyişəni ölçək N dəfə, məsələn, küləyin sürətini on dəfə ölçür və orta dəyəri tapmaq istəyirik. Orta qiymət paylama funksiyası ilə necə bağlıdır?

Və ya zərləri çox sayda atacağıq. Hər atışda zarda görünəcək xalların sayı təsadüfi dəyişəndir və 1-dən 6-a qədər istənilən təbii qiymət ala bilər. Bütün zar atışları üçün hesablanmış atılan xalların arifmetik ortası da təsadüfi dəyişəndir, lakin böyükdür. Nçox konkret rəqəmə - riyazi gözləntiyə meyllidir Mx. Bu halda Mx = 3.5.

Bu dəyəri necə əldə etdiniz? İcazə verin N testlər n1 1 xal qazandıqdan sonra n2 bir dəfə - 2 xal və s. Sonra bir xalın düşdüyü nəticələrin sayı:

Eynilə, 2, 3, 4, 5 və 6 balların yuvarlandığı nəticələr üçün.

İndi fərz edək ki, x təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu bilirik, yəni bilirik ki, x təsadüfi kəmiyyəti p1, p2, ..., ehtimalları ilə x1, x2, ..., xk qiymətləri ala bilər. pk.

X təsadüfi dəyişənin Mx riyazi gözləntisi bərabərdir:

Riyazi gözlənti həmişə bəzi təsadüfi dəyişənin ağlabatan qiymətləndirilməsi deyil. Beləliklə, orta əmək haqqını qiymətləndirmək üçün median anlayışından, yəni elə bir dəyərdən istifadə etmək daha məqsədəuyğundur ki, əmək haqqı alanların sayı mediandan aşağı və daha çox olan adamların sayı üst-üstə düşsün.

x təsadüfi kəmiyyətinin x1/2-dən kiçik olması ehtimalı p1 və x təsadüfi kəmiyyətinin x1/2-dən böyük olması ehtimalı p2 eyni və 1/2-yə bərabərdir. Median bütün paylamalar üçün unikal olaraq müəyyən edilmir.

Standart və ya standart sapma statistikada müşahidə məlumatlarının və ya çoxluqların ORTA qiymətdən kənarlaşma dərəcəsi deyilir. s və ya s hərfləri ilə işarələnir. Kiçik standart sapma verilənlərin orta dəyər ətrafında çoxluq təşkil etdiyini, böyük standart sapma isə ilkin məlumatların ondan uzaqda yerləşdiyini göstərir. Standart kənarlaşma dispersiya adlanan kəmiyyətin kvadrat kökünə bərabərdir. İlkin məlumatların orta dəyərdən kənara çıxan kvadrat fərqlərinin cəminin ortasıdır. Təsadüfi dəyişənin standart sapması dispersiyanın kvadrat köküdür:

Misal. Hədəfdə atəş açarkən sınaq şəraitində təsadüfi dəyişənin dispersiyasını və standart sapmasını hesablayın:

Variasiya- əhali vahidləri arasında xarakteristikanın dəyərinin dəyişməsi, dəyişkənliyi. Tədqiq olunan populyasiyada tapılan bir xüsusiyyətin fərdi ədədi qiymətləri dəyərlərin variantları adlanır. Əhalini tam səciyyələndirmək üçün orta qiymətin qeyri-kafi olması bizi tədqiq olunan xarakteristikanın dəyişkənliyini (variasiyasını) ölçməklə bu ortaların tipikliyini qiymətləndirməyə imkan verən göstəricilərlə orta dəyərləri əlavə etməyə məcbur edir. Dəyişmə əmsalı düsturla hesablanır:

Variasiya diapazonu(R) tədqiq olunan populyasiyada atributun maksimum və minimum dəyərləri arasındakı fərqi təmsil edir. Bu göstərici tədqiq olunan xarakteristikanın dəyişkənliyi haqqında ən ümumi fikir verir, çünki o, yalnız variantların maksimum dəyərləri arasındakı fərqi göstərir. Xarakteristikanın həddindən artıq dəyərlərindən asılılıq variasiya sahəsinə qeyri-sabit, təsadüfi xarakter verir.

Orta xətti kənarlaşma təhlil edilən əhalinin bütün dəyərlərinin orta dəyərindən mütləq (modul) sapmalarının arifmetik ortasını təmsil edir:

Qumar nəzəriyyəsində riyazi gözlənti

Riyazi gözləntidir Bir qumarbazın müəyyən bir mərcdə qazana və ya itirə biləcəyi orta pul məbləği. Bu, oyunçu üçün çox vacib bir anlayışdır, çünki əksər oyun vəziyyətlərinin qiymətləndirilməsi üçün əsasdır. Riyazi gözlənti həm də əsas kart planlarını və oyun vəziyyətlərini təhlil etmək üçün optimal vasitədir.

Tutaq ki, bir dostunuzla sikkə oyunu oynayırsınız, nə olursa olsun, hər dəfə 1 dollara bərabər mərc edirsiniz. Quyruqlar qazanmaq deməkdir, başlar uduzmaq deməkdir. Ehtimallar bir-birdir ki, o, baş verəcək, ona görə də 1 dollardan 1 dollara qədər mərc edirsiniz. Beləliklə, sizin riyazi gözləntiniz sıfırdır, çünki Riyazi nöqteyi-nəzərdən, iki atışdan sonra, yoxsa 200-dən sonra lider olacağınızı və ya uduzacağınızı bilə bilməzsiniz.

Saatlıq qazancınız sıfırdır. Saatlıq uduşlar bir saat ərzində qazanacağınızı gözlədiyiniz pul məbləğidir. Bir saatda 500 dəfə sikkə ata bilərsiniz, amma nə qazanacaqsınız, nə də uduzacaqsınız, çünki... şansınız nə müsbət, nə də mənfidir. Baxsanız, ciddi oyunçu baxımından bu mərc sistemi pis deyil. Ancaq bu sadəcə vaxt itkisidir.

Amma tutaq ki, kimsə eyni oyunda sizin 1 dollarınıza qarşı 2 dollar mərc etmək istəyir. Onda dərhal hər mərcdən 50 sent müsbət gözləntiləriniz var. Niyə 50 qəpik? Orta hesabla, bir mərc qazanırsınız və ikincisini itirirsiniz. Birinci dollara mərc et və 1 dollar itirəcəksən, ikinciyə mərc et və 2 dollar qazanacaqsan. Siz iki dəfə 1 dollar mərc edirsiniz və 1 dollar irəlidəsiniz. Beləliklə, bir dollarlıq mərcinizin hər biri sizə 50 sent verdi.

Bir sikkə bir saat ərzində 500 dəfə görünsə, saatlıq uduşunuz artıq 250 dollar olacaq, çünki... Orta hesabla bir dollar 250 dəfə uduzmuşsunuz və iki dollar 250 dəfə udmuşsunuz. $500 minus $250 $250-ə bərabərdir, bu da ümumi uduşdur. Nəzərə alın ki, hər mərcdə qazandığınız orta məbləğ olan gözlənilən dəyər 50 sentdir. Bir dollara 500 dəfə mərc etməklə 250 dollar qazandınız, bu da hər mərc üçün 50 sentə bərabərdir.

Riyazi gözləmənin qısamüddətli nəticələrlə heç bir əlaqəsi yoxdur. Sizə qarşı 2 dollar mərc etmək qərarına gələn rəqibiniz ard-arda ilk on rulonda sizi məğlub edə bilərdi, lakin siz 2-dən 1-ə qədər mərc üstünlüyünə malik olduğunuz halda, hər şey bərabər olarsa, hər hansı bir mərcdə hər 1 dollarlıq mərcdən 50 sent qazanacaqsınız. hallar. Xərcləri rahat şəkildə ödəmək üçün kifayət qədər pulunuz olduğu müddətcə bir mərcdə və ya bir neçə mərcdə qalib və ya uduzmağınızın heç bir fərqi yoxdur. Eyni şəkildə mərc etməyə davam etsəniz, uzun müddət ərzində uduşlarınız fərdi atışlarda gözləntilərin cəminə yaxınlaşacaq.

Hər dəfə ən yaxşı mərc etdiyiniz zaman (uzunmüddətli perspektivdə sərfəli ola biləcək mərc), əmsallar sizin xeyrinizə olduqda, onu itirməyinizdən və ya itirməməyinizdən asılı olmayaraq, siz mütləq nəyisə udacaqsınız. əl verdi. Əksinə, əmsallar sizə qarşı olan zaman underdog mərcini (uzun müddətdə sərfəli olmayan mərc) etsəniz, qalib olub-olmamağınızdan asılı olmayaraq nəyisə itirərsiniz.

Gözləntiləriniz müsbətdirsə, ən yaxşı nəticə ilə mərc edirsiniz və əmsallar sizin tərəfinizdədirsə, müsbətdir. Ən pis nəticə ilə mərc etdiyiniz zaman, əmsallar sizə qarşı olduqda baş verən mənfi bir gözləntiniz var. Ciddi oyunçular yalnız ən yaxşı nəticəyə mərc qoyurlar; ən pisi baş verərsə, qatlanırlar. Ehtimallar sizin xeyrinizə nə deməkdir? Siz real bahislərin gətirdiyindən daha çox qazana bilərsiniz. Eniş başlıqlarının real ehtimalı 1-ə 1-dir, lakin ehtimal nisbətinə görə siz 2-1 alırsınız. Bu vəziyyətdə şanslar sizin xeyrinizədir. Hər mərc üçün 50 sent müsbət gözlənti ilə mütləq ən yaxşı nəticəni əldə edəcəksiniz.

Riyazi gözləmənin daha mürəkkəb bir nümunəsidir. Bir dost birdən beşə qədər rəqəmləri yazır və 1 dollara qarşı 5 dollar mərc edir ki, siz rəqəmi təxmin etməyəcəksiniz. Belə bir mərclə razılaşmalısınız? Burada gözlənti nədir?

Orta hesabla dörd dəfə səhv edəcəksiniz. Buna əsasən, rəqəmi təxmin etməyinizə qarşı əmsallar 4-ə 1-dir. Bir cəhddə dollar itirmə ehtimalınız. Bununla belə, siz 4-ə 1-ə uduzma ehtimalı ilə 5-ə 1-ə qalib gəlirsiniz. Beləliklə, əmsallar sizin xeyrinizədir, siz mərc edib ən yaxşı nəticəyə ümid edə bilərsiniz. Bu mərcinizi beş dəfə etsəniz, orta hesabla dörd dəfə 1 dollar itirəcək və bir dəfə 5 dollar qazanacaqsınız. Buna əsasən, hər beş cəhd üçün hər mərc üçün 20 sent müsbət riyazi gözlənti ilə 1 dollar qazanacaqsınız.

Yuxarıdakı misalda olduğu kimi, mərc etdiyindən daha çox qazanacaq olan oyunçu şansa əl atır. Əksinə, mərc etdiyindən daha az qazanacağını gözlədiyi zaman şansını puça çıxarır. Bahisçinin ya müsbət, ya da mənfi gözləntiləri ola bilər ki, bu da onun qazanması və ya əmsalları məhv etməsindən asılıdır.

Əgər siz 4-dən 1-ə udmaq şansı ilə 10 dollar qazanmaq üçün 50 dollar mərc etsəniz, 2 dollar mənfi gözlənti alacaqsınız, çünki Orta hesabla, dörd dəfə 10 dollar qazanacaqsınız və bir dəfə 50 dollar itirəcəksiniz, bu, hər mərc üçün itkinin 10 dollar olacağını göstərir. Ancaq 10 dollar qazanmaq üçün 30 dollar mərc edirsinizsə, eyni əmsalı 4-ə 1 qazanırsınızsa, bu halda 2 dollar müsbət gözləntiləriniz var, çünki 10 dollar qazanc üçün yenidən dörd dəfə 10 dollar qazanır və bir dəfə 30 dollar itirirsiniz. Bu nümunələr göstərir ki, birinci mərc pisdir, ikincisi isə yaxşıdır.

Riyazi gözlənti istənilən oyun vəziyyətinin mərkəzidir. Bukmeker kontoru futbol azarkeşlərini 10 dollar qazanmaq üçün 11 dollar mərc etməyə təşviq etdikdə, onun hər 10 dollardan 50 sent müsbət gözləntiləri var. Əgər kazino, keçid xəttindən hətta pul ödəyirsə, o zaman kazinonun müsbət gözləntisi hər 100 dollar üçün təxminən 1,40 dollar olacaq, çünki Bu oyun elə qurulub ki, bu xəttə mərc edən hər kəs orta hesabla 50,7% uduzur və ümumi vaxtın 49,3%-ni qazanır. Şübhəsiz ki, dünyanın hər yerindən kazino sahiblərinə böyük qazanc gətirən bu zahirən minimal müsbət gözləntilərdir. Vegas World kazinosunun sahibi Bob Stupak qeyd etdiyi kimi, “kifayət qədər uzun məsafədə mində bir faiz mənfi ehtimal dünyanın ən zəngin adamını məhv edəcək”.

Poker oynayarkən gözlənti

Poker oyunu riyazi gözləntilərin nəzəriyyəsi və xassələrindən istifadə baxımından ən illüstrativ və illüstrativ nümunədir.

Pokerdə gözlənilən dəyər müəyyən bir qərardan əldə edilən orta mənfəətdir, bir şərtlə ki, belə bir qərar böyük ədədlər və uzaq məsafələr nəzəriyyəsi çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilər. Uğurlu poker oyunu həmişə müsbət gözlənilən dəyəri olan hərəkətləri qəbul etməkdir.

Poker oynayarkən riyazi gözləntinin riyazi mənası ondan ibarətdir ki, biz qərar qəbul edərkən tez-tez təsadüfi dəyişənlərlə qarşılaşırıq (rəqibin əlində hansı kartların olduğunu, mərcin sonrakı raundlarında hansı kartların gələcəyini bilmirik). Həlllərin hər birini kifayət qədər böyük seçmə ilə təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin onun riyazi gözləntisinə meyl edəcəyini bildirən böyük ədədlər nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən nəzərdən keçirməliyik.

Riyazi gözləntilərin hesablanması üçün xüsusi düsturlar arasında aşağıdakılar pokerdə daha çox tətbiq olunur:

Poker oynayarkən gözlənilən dəyər həm mərclər, həm də zənglər üçün hesablana bilər. Birinci halda, qatlanan kapital, ikincidə, bankın öz şansları nəzərə alınmalıdır. Müəyyən bir hərəkətin riyazi gözləntisini qiymətləndirərkən, bir qatın həmişə sıfır gözləntiyə malik olduğunu xatırlamalısınız. Beləliklə, kartları atmaq hər zaman hər hansı bir mənfi hərəkətdən daha sərfəli qərar olacaq.

Gözləmə risk etdiyiniz hər dollar üçün nə gözləyə biləcəyinizi (mənfəət və ya zərər) söyləyir. Kazinolar pul qazanır, çünki onlarda oynanılan bütün oyunların riyazi gözləntisi kazinonun xeyrinədir. Kifayət qədər uzun oyunlar seriyası ilə müştərinin pulunu itirəcəyini gözləmək olar, çünki "əməllər" kazinonun xeyrinədir. Bununla belə, peşəkar kazino oyunçuları öz oyunlarını qısa müddətlərlə məhdudlaşdırır və bununla da əmsalları öz xeyrinə yığırlar. Eyni şey investisiyaya da aiddir. Gözləntiləriniz müsbətdirsə, qısa müddət ərzində bir çox əməliyyatlar edərək daha çox pul qazana bilərsiniz. Gözləmə, qazandığınız qazancın faizinin orta qazancınıza vurulması və itki ehtimalınızın orta itki ilə vurulmasıdır.

Pokerə riyazi gözlənti baxımından da baxmaq olar. Müəyyən bir hərəkətin sərfəli olduğunu düşünə bilərsiniz, lakin bəzi hallarda bu, ən yaxşısı olmaya bilər, çünki başqa bir hərəkət daha sərfəlidir. Deyək ki, siz beş kartlı tirajlı pokerdə tam bir ev vurdunuz. Rəqibiniz mərc edir. Bilirsən ki, mərci qaldırsan, cavab verəcək. Ona görə də yüksəltmək ən yaxşı taktika kimi görünür. Ancaq mərcinizi qaldırsanız, qalan iki oyunçu mütləq qatlanacaq. Ancaq zəng etsəniz, arxanızdakı digər iki oyunçunun da eyni şeyi edəcəyinə tam əminsiniz. Siz mərcinizi qaldırdığınız zaman bir vahid alırsınız və sadəcə zəng etdiyiniz zaman iki alırsınız. Beləliklə, zəng etmək sizə daha yüksək müsbət gözlənilən dəyər verir və ən yaxşı taktika olacaqdır.

Riyazi gözlənti həm də hansı poker taktikasının daha az gəlirli, hansının daha sərfəli olduğu barədə fikir verə bilər. Məsələn, müəyyən bir əllə oynayırsınızsa və itkinizin ante daxil olmaqla orta hesabla 75 sent olacağını düşünürsünüzsə, o zaman o əli oynamalısınız, çünki ante $1 olanda bu qatlanmaqdan daha yaxşıdır.

Gözlənilən dəyər anlayışını başa düşmək üçün digər vacib səbəb odur ki, o, mərcdə qalib olub-olmamağınızdan asılı olmayaraq sizə rahatlıq hissi bəxş edir: əgər yaxşı mərc etmisinizsə və ya doğru zamanda qatlasanız, qazandığınızı və ya mərc etdiyinizi biləcəksiniz. zəif oyunçunun saxlaya bilmədiyi müəyyən məbləğdə pul yığdı. Rəqibiniz daha güclü əl çəkdiyi üçün əsəbləşirsinizsə, qatlama daha çətindir. Bütün bunlarla mərc əvəzinə oynamamaqla qənaət etdiyiniz pullar gecə və ya ay ərzində qazandığınız uduşlara əlavə olunur.

Sadəcə unutmayın ki, əllərinizi dəyişsəniz, rəqibiniz sizə zəng edərdi və Pokerin Əsas Teorem məqaləsində görəcəyiniz kimi, bu sizin üstünlüklərinizdən yalnız biridir. Bu baş verəndə xoşbəxt olmalısan. Siz hətta əlinizi itirməkdən həzz almağı öyrənə bilərsiniz, çünki bilirsiniz ki, mövqeyinizdəki digər oyunçular daha çox itirəcəkdilər.

Başlanğıcda sikkə oyunu nümunəsində qeyd edildiyi kimi, mənfəətin saatlıq dərəcəsi riyazi gözlənti ilə qarşılıqlı əlaqədədir və bu anlayış peşəkar oyunçular üçün xüsusilə vacibdir. Poker oynamağa getdiyiniz zaman bir saatlıq oyunda nə qədər qazana biləcəyinizi zehni olaraq təxmin etməlisiniz. Əksər hallarda siz öz intuisiyanıza və təcrübənizə etibar etməli olacaqsınız, lakin bəzi riyaziyyatdan da istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, siz lotereya oyunu oynayırsınız və görürsünüz ki, üç oyunçu 10 dollar mərc edir və sonra iki kart alver edir, bu çox pis taktikadır, siz başa düşə bilərsiniz ki, onlar hər dəfə 10 dollar mərc edəndə təxminən 2 dollar itirirlər. Onların hər biri bunu saatda səkkiz dəfə edir, yəni hər üçü saatda təxminən 48 dollar itirirlər. Siz təxminən bərabər olan qalan dörd oyunçudan birisiniz, buna görə də bu dörd oyunçu (və siz də onların arasındasınız) hər biri saatda 12 dollar qazanc əldə etməklə 48 dollar ayırmalıdır. Bu halda saatlıq əmsalınız sadəcə olaraq üç pis oyunçunun bir saat ərzində itirdiyi pul məbləğindəki payınıza bərabərdir.

Uzun müddət ərzində oyunçunun ümumi uduşları onun fərdi əlində olan riyazi gözləntilərinin cəmidir. Müsbət gözlənti ilə nə qədər çox əl oynasanız, bir o qədər çox qazanarsınız və əksinə, mənfi gözlənti ilə nə qədər çox əl oynasanız, bir o qədər çox itirərsiniz. Nəticədə, müsbət gözləntilərinizi maksimuma çatdıra və ya mənfi gözləntilərinizi rədd edə biləcək bir oyun seçməlisiniz ki, saatlıq qazancınızı maksimuma çatdıra biləsiniz.

Oyun strategiyasında müsbət riyazi gözlənti

Əgər kartları saymağı bilirsinizsə, onlar fərqinə varıb sizi çölə atmasalar, kazinoda üstünlüyə sahib ola bilərsiniz. Kazinolar sərxoş oyunçuları sevir və kart sayan oyunçulara dözmürlər. Üstünlük, zamanla itirdiyinizdən daha çox dəfə qazanmaq imkanı verəcək. Gözlənilən dəyər hesablamalarından istifadə edərək yaxşı pul idarəetməsi kənarınızdan daha çox gəlir əldə etməyə və itkilərinizi azaltmağa kömək edə bilər. Üstünlük olmadan, pulu xeyriyyəçiliyə vermək daha yaxşıdır. Birjada oyunda üstünlük itkilərdən, qiymət fərqlərindən və komissiyalardan daha çox qazanc yaradan oyun sistemi tərəfindən verilir. Heç bir pul idarəçiliyi pis oyun sistemini xilas edə bilməz.

Müsbət gözlənti sıfırdan böyük bir dəyər kimi müəyyən edilir. Bu rəqəm nə qədər çox olarsa, statistik gözləntilər bir o qədər güclü olar. Əgər dəyər sıfırdan azdırsa, riyazi gözlənti də mənfi olacaq. Mənfi dəyərin modulu nə qədər böyükdürsə, vəziyyət bir o qədər pisdir. Nəticə sıfırdırsa, gözləmə fasiləsizdir. Yalnız müsbət riyazi gözləntiniz və ağlabatan oyun sisteminiz olduqda qalib gələ bilərsiniz. İntuisiya ilə oynamaq fəlakətə gətirib çıxarır.

Riyazi gözlənti və birja ticarəti

Riyazi gözlənti maliyyə bazarlarında birja ticarətini həyata keçirərkən kifayət qədər geniş istifadə olunan və populyar statistik göstəricidir. İlk növbədə, bu parametr ticarətin uğurunu təhlil etmək üçün istifadə olunur. Təxmin etmək çətin deyil ki, bu dəyər nə qədər yüksək olarsa, öyrənilən ticarəti uğurlu hesab etmək üçün bir o qədər çox səbəb var. Əlbəttə ki, treyderin işinin təhlili bu parametrdən istifadə etməklə həyata keçirilə bilməz. Bununla belə, hesablanmış dəyər işin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsinin digər üsulları ilə birlikdə təhlilin düzgünlüyünü əhəmiyyətli dərəcədə artıra bilər.

Riyazi gözlənti tez-tez depozit üzrə yerinə yetirilən işi tez qiymətləndirməyə imkan verən ticarət hesablarının monitorinqi xidmətlərində hesablanır. İstisnalara "oturmaq" sərfəli olmayan ticarətlərdən istifadə edən strategiyalar daxildir. Treyder bir müddət bəxti gətirə bilər və buna görə də işində heç bir itki olmaya bilər. Bu zaman yalnız riyazi gözləntiyə əsaslanmaq mümkün olmayacaq, çünki işdə istifadə olunan risklər nəzərə alınmayacaq.

Bazar ticarətində riyazi gözlənti ən çox hər hansı ticarət strategiyasının gəlirliliyini proqnozlaşdırarkən və ya treyderin əvvəlki ticarətinin statistik məlumatlarına əsaslanaraq gəlirini proqnozlaşdırarkən istifadə olunur.

Pulun idarə edilməsinə gəldikdə, mənfi gözləntilərlə ticarət edərkən, mütləq yüksək gəlir gətirə biləcək heç bir pul idarəetmə sxeminin olmadığını başa düşmək çox vacibdir. Bu şərtlər altında birjada oynamağa davam etsəniz, pulunuzu necə idarə etdiyinizdən asılı olmayaraq, başlanğıcda nə qədər böyük olsa da, bütün hesabınızı itirəcəksiniz.

Bu aksiom yalnız mənfi gözləntiləri olan oyunlar və ya ticarətlər üçün deyil, eyni şansları olan oyunlar üçün də doğrudur. Buna görə də, uzunmüddətli perspektivdə qazanc əldə etmək şansınız yalnız müsbət gözlənilən dəyərlə əməliyyatlar aparmağınızdır.

Mənfi gözlənti ilə müsbət gözlənti arasındakı fərq həyat və ölüm arasındakı fərqdir. Gözləntinin nə qədər müsbət və ya mənfi olmasının əhəmiyyəti yoxdur; Əhəmiyyətli olan onun müsbət və ya mənfi olmasıdır. Buna görə də, pul idarəçiliyini nəzərdən keçirməzdən əvvəl, müsbət gözlənti ilə bir oyun tapmalısınız.

Əgər o oyununuz yoxdursa, o zaman dünyada bütün pul idarəçiliyi sizi xilas etməyəcək. Digər tərəfdən, əgər müsbət gözləntiləriniz varsa, düzgün pul idarəetməsi vasitəsilə onu eksponensial artım funksiyasına çevirə bilərsiniz. Müsbət gözləntinin nə qədər kiçik olmasının əhəmiyyəti yoxdur! Başqa sözlə, ticarət sisteminin tək bir müqavilə əsasında nə qədər gəlirli olmasının əhəmiyyəti yoxdur. Əgər hər bir ticarət üzrə müqaviləyə görə 10 dollar qazanan bir sisteminiz varsa (komissiyalar və sürüşmələrdən sonra), hər ticarət üçün orta hesabla 1000 dollar olan sistemdən (komissiyalar və sürüşmələr çıxıldıqdan sonra) daha sərfəli etmək üçün pul idarəetmə üsullarından istifadə edə bilərsiniz.

Əhəmiyyətli olan sistemin nə qədər gəlirli olması deyil, sistemin gələcəkdə ən azı minimum mənfəət göstərəcəyinə nə qədər əmin ola biləcəyidir. Buna görə treyderin edə biləcəyi ən vacib hazırlıq sistemin gələcəkdə müsbət gözlənilən dəyər göstərməsini təmin etməkdir.

Gələcəkdə müsbət gözlənilən dəyərə sahib olmaq üçün sisteminizin sərbəstlik dərəcələrini məhdudlaşdırmamaq çox vacibdir. Bu, yalnız optimallaşdırılacaq parametrlərin sayını aradan qaldırmaq və ya azaltmaqla deyil, həm də mümkün qədər çox sistem qaydalarını azaltmaqla əldə edilir. Əlavə etdiyiniz hər bir parametr, etdiyiniz hər bir qayda, sistemdə etdiyiniz hər kiçik dəyişiklik sərbəstlik dərəcələrinin sayını azaldır. İdeal olaraq, demək olar ki, hər hansı bir bazarda ardıcıl olaraq kiçik mənfəət əldə edəcək kifayət qədər primitiv və sadə bir sistem qurmalısınız. Yenə də başa düşməyiniz vacibdir ki, sistemin qazanclı olması şərti ilə nə qədər qazanclı olmasının heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Ticarətdə qazandığınız pul effektiv pul idarəçiliyi ilə əldə ediləcək.

Ticarət sistemi sadəcə olaraq sizə müsbət gözlənilən dəyər verən bir vasitədir ki, siz pul idarəçiliyindən istifadə edə biləsiniz. Yalnız bir və ya bir neçə bazarda işləyən (ən azı minimal mənfəət göstərən) və ya müxtəlif bazarlar üçün fərqli qaydalara və ya parametrlərə malik olan sistemlər çox güman ki, real vaxt rejimində kifayət qədər uzun müddət işləməyəcək. Texniki yönümlü treyderlərin əksəriyyətinin problemi ondan ibarətdir ki, onlar ticarət sisteminin müxtəlif qaydaları və parametr dəyərlərini optimallaşdırmaq üçün çox vaxt və səy sərf edirlər. Bu, tamamilə əks nəticələr verir. Ticarət sisteminin mənfəətini artırmaq üçün enerji və kompüter vaxtını sərf etmək əvəzinə, enerjinizi minimum qazanc əldə etməyin etibarlılıq səviyyəsini artırmağa yönəldin.

Pulun idarə edilməsinin müsbət gözləntilərin istifadəsini tələb edən sadəcə rəqəmlər oyunu olduğunu bilən treyder birja ticarətinin “müqəddəs qril”ini axtarmağı dayandıra bilər. Bunun əvəzinə o, ticarət metodunu sınaqdan keçirməyə başlaya bilər, bu metodun nə dərəcədə məntiqli olduğunu və müsbət gözləntilər verib-vermədiyini öyrənə bilər. İstənilən, hətta çox vasat ticarət metodlarına tətbiq edilən düzgün pul idarəetmə üsulları qalan işləri özləri edəcək.

Hər hansı bir treyder öz işində uğur qazanması üçün o, üç ən vacib vəzifəni həll etməlidir: . Uğurlu əməliyyatların sayının qaçılmaz səhvlərdən və yanlış hesablamalardan çox olmasını təmin etmək; Ticarət sisteminizi elə qurun ki, mümkün qədər tez-tez pul qazanmaq imkanınız olsun; Əməliyyatlarınızdan sabit müsbət nəticələr əldə edin.

Və burada, biz işləyən treyderlər üçün riyazi gözlənti böyük kömək ola bilər. Bu termin ehtimal nəzəriyyəsində əsas olanlardan biridir. Onun köməyi ilə bəzi təsadüfi dəyərin orta hesablamasını verə bilərsiniz. Bütün mümkün ehtimalları müxtəlif kütlələrə malik nöqtələr kimi təsəvvür etsək, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi ağırlıq mərkəzinə bənzəyir.

Ticarət strategiyası ilə əlaqədar olaraq, onun effektivliyini qiymətləndirmək üçün ən çox mənfəətin (və ya zərərin) riyazi gözləntisindən istifadə olunur. Bu parametr verilmiş mənfəət və zərər səviyyələrinin məhsullarının cəmi və onların baş vermə ehtimalı kimi müəyyən edilir. Məsələn, hazırlanmış ticarət strategiyası bütün əməliyyatların 37%-nin mənfəət gətirəcəyini, qalan hissəsinin - 63%-nin isə zərərli olacağını nəzərdə tutur. Eyni zamanda, uğurlu əməliyyatdan orta gəlir 7 dollar, orta itki isə 1,4 dollar olacaq. Bu sistemdən istifadə edərək ticarətin riyazi gözləntisini hesablayaq:

Bu rəqəm nə deməkdir? Orada deyilir ki, bu sistemin qaydalarına riayət etməklə, hər bağlanan əməliyyatdan orta hesabla 1708 dollar alacağıq. Nəticədə səmərəlilik reytinqi sıfırdan böyük olduğundan, belə bir sistem real iş üçün istifadə edilə bilər. Hesablama nəticəsində riyazi gözlənti mənfi olarsa, bu, artıq orta itkini göstərir və belə ticarət məhvə səbəb olacaqdır.

Hər əməliyyat üzrə mənfəətin məbləği % şəklində nisbi dəyər kimi də ifadə edilə bilər. Misal üçün:

– 1 əməliyyat üzrə gəlir faizi - 5%;

– uğurlu ticarət əməliyyatlarının faizi - 62%;

– 1 əməliyyat üzrə zərər faizi - 3%;

– uğursuz əməliyyatların faizi - 38%;

Yəni orta ticarət 1,96% gətirəcək.

Zərərsiz ticarətin üstünlük təşkil etməsinə baxmayaraq, MO>0 olduğu üçün müsbət nəticə verəcək bir sistem hazırlamaq mümkündür.

Ancaq tək gözləmək kifayət deyil. Sistem çox az ticarət siqnalı verirsə, pul qazanmaq çətindir. Bu halda onun gəlirliliyi bank faizləri ilə müqayisə ediləcəkdir. Qoy hər bir əməliyyat orta hesabla cəmi 0,5 dollar qazandırsın, bəs sistem ildə 1000 əməliyyatı əhatə edirsə necə? Bu, nisbətən qısa müddətdə çox əhəmiyyətli bir məbləğ olacaq. Buradan məntiqi olaraq belə nəticə çıxır ki, yaxşı ticarət sisteminin başqa bir fərqləndirici xüsusiyyəti vəzifə tutmağın qısa müddəti hesab edilə bilər.

Mənbələr və bağlantılar

dic.academic.ru – akademik onlayn lüğət

mathematics.ru – riyaziyyat üzrə təhsil saytı

nsu.ru - Novosibirsk Dövlət Universitetinin təhsil saytı

webmath.ru tələbələr, abituriyentlər və məktəblilər üçün təhsil portalıdır.

exponenta.ru təhsil riyaziyyat saytı

ru.tradimo.com - pulsuz onlayn ticarət məktəbi

crypto.hut2.ru – multidissiplinar informasiya resursu

poker-wiki.ru – pulsuz poker ensiklopediyası

sernam.ru – Seçilmiş təbiət elmi nəşrlərinin elmi kitabxanası

reshim.su – internet saytı BİZ test kursu problemlərini HƏLL EDƏCƏK

unfx.ru – UNFX-də Forex: təlim, ticarət siqnalları, etibarın idarə edilməsi

slovopedia.com – Böyük Ensiklopedik Lüğət Slovopediya

pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasında bələdçiniz

statanaliz.info – “Statistik məlumatların təhlili” informasiya bloqu

forex-trader.rf – Forex-Trader portalı

megafx.ru – cari Forex analitikası

fx-by.com – treyder üçün hər şey

Riyazi gözlənti anlayışı zərb atma nümunəsindən istifadə etməklə nəzərdən keçirilə bilər. Hər atışda atılan xallar qeydə alınır. Onları ifadə etmək üçün 1-6 aralığında təbii dəyərlər istifadə olunur.

Müəyyən sayda atışdan sonra sadə hesablamalardan istifadə edərək yuvarlanan xalların arifmetik ortalamasını tapa bilərsiniz.

Aralıqdakı dəyərlərdən hər hansı birinin meydana çıxması kimi, bu dəyər də təsadüfi olacaqdır.

Əgər atışların sayını bir neçə dəfə artırsan? Çox sayda atışla, balların arifmetik ortalaması, ehtimal nəzəriyyəsində riyazi gözlənti adlanan müəyyən bir rəqəmə yaxınlaşacaq.

Beləliklə, riyazi gözləmə dedikdə təsadüfi dəyişənin orta qiymətini nəzərdə tuturuq. Bu göstərici həm də ehtimal olunan dəyər dəyərlərinin çəkili cəmi kimi təqdim edilə bilər.

Bu anlayışın bir neçə sinonimi var:

• orta dəyər;
• orta dəyər;
• mərkəzi tendensiya göstəricisi;
• ilk an.

Başqa sözlə, bu, təsadüfi bir dəyişənin dəyərlərinin paylandığı bir nömrədən başqa bir şey deyil.

İnsan fəaliyyətinin müxtəlif sahələrində riyazi gözləntilərin dərk edilməsinə yanaşmalar bir qədər fərqli olacaqdır.

Bunu belə hesab etmək olar:

• böyük ədədlər nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən belə bir qərar qəbul edildikdə, qərarın qəbul edilməsindən əldə edilən orta mənfəət;
• hər mərc üçün orta hesabla hesablanmış uduş və ya uduzmanın mümkün məbləği (qumar nəzəriyyəsi). Arqonda onlar “oyunçu üstünlüyü” (oyunçu üçün müsbət) və ya “kazino üstünlüyü” (oyunçu üçün mənfi) kimi səslənir;
• uduşlardan əldə edilən mənfəətin faizi.

Gözləmə tamamilə bütün təsadüfi dəyişənlər üçün məcburi deyil. Müvafiq cəmdə və ya inteqralda uyğunsuzluq olanlar üçün yoxdur.

Riyazi gözləmənin xassələri

Hər hansı bir statistik parametr kimi, riyazi gözlənti də aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:

Riyazi gözləmə üçün əsas düsturlar

Riyazi gözləntinin hesablanması həm davamlılıqla (formula A), həm də diskretliklə (formula B) xarakterizə olunan təsadüfi dəyişənlər üçün həyata keçirilə bilər:

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, burada xi təsadüfi dəyişənin qiymətləridir, pi isə ehtimallardır:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, burada f(x) verilmiş ehtimal sıxlığıdır.

Riyazi gözləntilərin hesablanması nümunələri

Misal A.

Snow White haqqında nağılda cırtdanların orta boyunu öyrənmək mümkündürmü? Məlumdur ki, 7 cırtdanın hər birinin müəyyən hündürlüyü var idi: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 və 0,81 m.

Hesablama alqoritmi olduqca sadədir:

• artım göstəricisinin bütün dəyərlərinin cəmini tapırıq (təsadüfi dəyişən):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Yaranan məbləği gnomların sayına bölün:
  6,31:7=0,90.

Belə ki, nağıldakı gnomların orta boyu 90 sm-dir.Yəni gnomların böyüməsinin riyazi gözləntisi budur.

İş düsturu - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Riyazi gözləmənin praktiki həyata keçirilməsi

Riyazi gözləmənin statistik göstəricisinin hesablanmasına praktik fəaliyyətin müxtəlif sahələrində müraciət edilir. Söhbət ilk növbədə kommersiya sahəsindən gedir. Axı Huygensin bu göstəricini təqdim etməsi hansısa hadisə üçün əlverişli və ya əksinə, əlverişsiz ola biləcək şansların müəyyən edilməsi ilə bağlıdır.

Bu parametr riskləri qiymətləndirmək üçün, xüsusən də maliyyə investisiyalarına gəldikdə geniş istifadə olunur.
Beləliklə, biznesdə riyazi gözləntilərin hesablanması qiymətlərin hesablanması zamanı riskin qiymətləndirilməsi metodu kimi çıxış edir.

Bu göstərici müəyyən tədbirlərin, məsələn, əməyin mühafizəsinin effektivliyini hesablamaq üçün də istifadə edilə bilər. Onun sayəsində bir hadisənin baş vermə ehtimalını hesablaya bilərsiniz.

Bu parametrin başqa bir tətbiq sahəsi idarəetmədir. Məhsulun keyfiyyətinə nəzarət zamanı da hesablana bilər. Məsələn, mat istifadə edərək. gözləntilər, istehsal qüsurlu hissələrin mümkün sayını hesablaya bilərsiniz.

Elmi tədqiqatlar zamanı əldə edilən nəticələrin statistik emalı zamanı riyazi gözlənti də zəruri olur. O, məqsədə nail olmaq səviyyəsindən asılı olaraq eksperimentin və ya tədqiqatın istənilən və ya arzuolunmaz nəticəsinin olma ehtimalını hesablamağa imkan verir. Axı onun nailiyyəti qazanc və fayda ilə, uğursuzluğu isə itki və ya itki ilə əlaqələndirilə bilər.

Forexdə riyazi gözləntidən istifadə

Bu statistik parametrin praktiki tətbiqi valyuta bazarında əməliyyatların aparılması zamanı mümkündür. Onun köməyi ilə siz ticarət əməliyyatlarının uğurunu təhlil edə bilərsiniz. Üstəlik, gözlənti dəyərindəki artım onların uğurlarının artdığını göstərir.

Həm də yadda saxlamaq lazımdır ki, riyazi gözlənti treyderin fəaliyyətini təhlil etmək üçün istifadə olunan yeganə statistik parametr kimi qəbul edilməməlidir. Orta qiymətlə birlikdə bir neçə statistik parametrdən istifadə təhlilin dəqiqliyini əhəmiyyətli dərəcədə artırır.

Bu parametr ticarət hesablarının müşahidələrinin monitorinqində özünü yaxşı tərəfdən göstərmişdir. Onun sayəsində depozit hesabı üzrə aparılan işlərin operativ qiymətləndirilməsi həyata keçirilir. Treyderin fəaliyyəti uğurlu olduğu və itkilərdən qaçdığı hallarda, yalnız riyazi gözləntilərin hesablanmasından istifadə etmək tövsiyə edilmir. Bu hallarda risklər nəzərə alınmır ki, bu da təhlilin effektivliyini azaldır.

Treyderlərin taktikasına dair aparılan araşdırmalar göstərir ki:

• Ən təsirli taktikalar təsadüfi girişə əsaslanan taktikalardır;
• Ən az təsirli olanlar strukturlaşdırılmış girişlərə əsaslanan taktikalardır.

Müsbət nəticələr əldə etmək üçün daha az əhəmiyyət kəsb etməyənlər:

• pul idarəetmə taktikası;
• çıxış strategiyaları.

Riyazi gözlənti kimi bir göstəricidən istifadə edərək, 1 dollar investisiya edərkən mənfəət və ya zərərin nə olacağını təxmin edə bilərsiniz. Məlumdur ki, kazinoda tətbiq olunan bütün oyunlar üçün hesablanan bu göstərici qurumun xeyrinədir. Bu sizə pul qazanmağa imkan verir. Uzun bir oyun seriyası vəziyyətində, müştərinin pul itirmə ehtimalı əhəmiyyətli dərəcədə artır.

Peşəkar oyunçuların oynadığı oyunlar qısa müddətlərlə məhdudlaşır ki, bu da qalib gəlmə ehtimalını artırır və uduzma riskini azaldır. İnvestisiya əməliyyatlarını həyata keçirərkən də eyni mənzərə müşahidə olunur.

İnvestor müsbət gözləntilərə sahib olmaqla və qısa müddət ərzində çoxlu sayda əməliyyatlar həyata keçirərək əhəmiyyətli məbləğdə qazana bilər.

Gözləmə, mənfəət faizi (PW) ilə orta mənfəətə (AW) vurulan zərər ehtimalının (PL) orta itkiyə (AL) vurulması arasındakı fərq kimi düşünülə bilər.

Nümunə olaraq aşağıdakıları nəzərdən keçirə bilərik: mövqe – 12,5 min dollar, portfel – 100 min dollar, depozit riski – 1%. Əməliyyatların gəlirliliyi orta mənfəət 20% olan halların 40% -ni təşkil edir. Zərər halında orta itki 5% təşkil edir. Əməliyyat üçün riyazi gözləntilərin hesablanması $625 dəyər verir.

Diskret və davamlı təsadüfi dəyişənlərin əsas ədədi xarakteristikaları: riyazi gözlənti, dispersiya və standart kənarlaşma. Onların xüsusiyyətləri və nümunələri.

Paylanma qanunu (paylanma funksiyası və paylanma seriyası və ya ehtimal sıxlığı) təsadüfi dəyişənin davranışını tamamilə təsvir edir. Lakin bir sıra məsələlərdə verilən suala cavab vermək üçün tədqiq olunan dəyərin bəzi ədədi xüsusiyyətlərini (məsələn, onun orta qiymətini və ondan mümkün kənara çıxmasını) bilmək kifayətdir. Diskret təsadüfi dəyişənlərin əsas ədədi xarakteristikalarını nəzərdən keçirək.

Tərif 7.1.Riyazi gözlənti Diskret təsadüfi dəyişən onun mümkün dəyərlərinin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p səh.(7.1)

Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdursa, nəticədə çıxan sıra mütləq birləşirsə.

Qeyd 1. Riyazi gözlənti bəzən adlanır çəkili orta, çünki çox sayda təcrübədə təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir.

Qeyd 2. Riyazi gözləntinin tərifindən belə çıxır ki, onun dəyəri təsadüfi dəyişənin mümkün olan ən kiçik qiymətindən az deyil və ən böyüyündən çox deyil.

Qeyd 3. Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisidir qeyri-təsadüfi(Sabit. Eyni şeyin davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün də keçdiyini daha sonra görəcəyik.

Misal 1. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın X- 10 hissədən ibarət partiyadan seçilmiş üç hissədən standart hissələrin sayı, o cümlədən 2 qüsurlu. üçün paylama seriyası yaradaq X. Problem şərtlərindən belə çıxır X 1, 2, 3 qiymətlərini qəbul edə bilər. Sonra

Misal 2. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini təyin edin X- gerb ilk dəfə görünənə qədər atılan sikkələrin sayı. Bu kəmiyyət sonsuz sayda dəyər ala bilər (mümkün dəyərlər dəsti natural ədədlər dəstidir). Onun paylama seriyası formaya malikdir:

+ (hesablama zamanı sonsuz azalan həndəsi irəliləyişin cəmi üçün düstur iki dəfə istifadə edilmişdir: , haradan ).

Riyazi gözləmənin xassələri.

1) Sabitin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir:

M(İLƏ) = İLƏ.(7.2)

Sübut. nəzərə alsaq İLƏ yalnız bir qiymət alan diskret təsadüfi dəyişən kimi İLƏ ehtimalla R= 1, onda M(İLƏ) = İLƏ?1 = İLƏ.

2) Sabit amili riyazi gözlənti işarəsindən çıxarmaq olar:

M(CX) = SANTİMETR(X). (7.3)

Sübut. Əgər təsadüfi dəyişən X paylama seriyası ilə verilir

Sonra M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = İLƏ(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = SANTİMETR(X).

Tərif 7.2.İki təsadüfi dəyişən çağırılır müstəqil, əgər onlardan birinin paylanma qanunu digərinin hansı dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə. Əks halda təsadüfi dəyişənlər asılı.

Tərif 7.3. zəng edək müstəqil təsadüfi dəyişənlərin məhsulu X Və Y təsadüfi dəyişən XY, mümkün dəyərləri bütün mümkün dəyərlərin məhsullarına bərabərdir X bütün mümkün dəyərlər üçün Y, və müvafiq ehtimallar amillərin ehtimallarının hasillərinə bərabərdir.

3) İki müstəqil təsadüfi dəyişənin hasilinin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Sübut. Hesablamaları sadələşdirmək üçün biz özümüzü nə vaxt vəziyyətlə məhdudlaşdırırıq X Və Y yalnız iki mümkün dəyəri götürün:

Beləliklə, M(XY) = x 1 y 1 ?səh 1 g 1 + x 2 y 1 ?səh 2 g 1 + x 1 y 2 ?səh 1 g 2 + x 2 y 2 ?səh 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 səh 1 + x 2 səh 2) + + y 2 g 2 (x 1 səh 1 + x 2 səh 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 səh 1 + x 2 səh 2) = M(X)?M(Y).

Qeyd 1. Eyni şəkildə, bu xüsusiyyəti amillərin daha çox sayda mümkün dəyərləri üçün sübut edə bilərsiniz.

Qeyd 2. 3-cü xassə riyazi induksiya ilə sübut edilən istənilən sayda müstəqil təsadüfi dəyişənlərin hasili üçün doğrudur.

Tərif 7.4. müəyyən edək təsadüfi dəyişənlərin cəmi X Və Y təsadüfi dəyişən kimi X+Y, mümkün dəyərləri hər bir mümkün dəyərin cəminə bərabərdir X hər mümkün dəyərlə Y; belə məbləğlərin ehtimalları şərtlərin ehtimallarının hasillərinə bərabərdir (asılı təsadüfi dəyişənlər üçün - bir müddətin ehtimalının ikincinin şərti ehtimalına hasilləri).

4) İki təsadüfi dəyişənin (asılı və ya müstəqil) cəminin riyazi gözləntisi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Sübut.

Xassə 3-ün sübutunda verilmiş paylanma sıraları ilə müəyyən edilmiş təsadüfi dəyişənləri yenidən nəzərdən keçirək. Sonra mümkün qiymətlər X+Y var X 1 + saat 1 , X 1 + saat 2 , X 2 + saat 1 , X 2 + saat 2. Onların ehtimallarını müvafiq olaraq kimi işarə edək R 11 , R 12 , R 21 və R 22. tapacağıq M(X+Y) = (x 1 + y 1)səh 11 + (x 1 + y 2)səh 12 + (x 2 + y 1)səh 21 + (x 2 + y 2)səh 22 =

= x 1 (səh 11 + səh 12) + x 2 (səh 21 + səh 22) + y 1 (səh 11 + səh 21) + y 2 (səh 12 + səh 22).

Gəlin bunu sübut edək R 11 + R 22 = R 1 . Həqiqətən də hadisə X+Y dəyərlər alacaq X 1 + saat 1 və ya X 1 + saat 2 və bunun ehtimalı R 11 + R 22 hadisə ilə üst-üstə düşür X = X 1 (onun ehtimalı R 1). Eyni şəkildə sübut olunur ki səh 21 + səh 22 = R 2 , səh 11 + səh 21 = g 1 , səh 12 + səh 22 = g 2. O deməkdir ki,

M(X+Y) = x 1 səh 1 + x 2 səh 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).

Şərh. 4-cü xassədən belə çıxır ki, istənilən sayda təsadüfi dəyişənlərin cəmi şərtlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

Misal. Beş zar atarkən alınan xalların cəminin riyazi gözləntisini tapın.

Bir zər atarkən yuvarlanan xalların sayının riyazi gözləntisini tapaq:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Eyni ədəd istənilən zərə yuvarlanan xalların sayının riyazi gözləntisinə bərabərdir. Beləliklə, əmlakla 4 M(X)=

Dispersiya.

Təsadüfi dəyişənin davranışı haqqında təsəvvürə malik olmaq üçün onun yalnız riyazi gözləntilərini bilmək kifayət deyil. İki təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin: X Və Y, formanın paylama seriyası ilə müəyyən edilir

tapacağıq M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Gördüyünüz kimi, hər iki kəmiyyətin riyazi gözləntiləri bərabərdir, lakin əgər HM(X) təsadüfi dəyişənin davranışını yaxşı təsvir edir, onun ən çox ehtimal olunan dəyəri (və qalan dəyərlər 50-dən çox fərqlənmir), sonra dəyərlər Yəhəmiyyətli dərəcədə aradan qaldırıldı M(Y). Buna görə də, riyazi gözlənti ilə yanaşı, təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin ondan nə qədər kənara çıxdığını bilmək arzu edilir. Bu göstəricini xarakterizə etmək üçün dispersiyadan istifadə olunur.

Tərif 7.5.Dağılma (səpilmə) təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisindən kənarlaşma kvadratının riyazi gözləntisidir:

D(X) = M (X-M(X))². (7.6)

Təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapaq X(seçilmişlər arasında standart hissələrin sayı) bu mühazirənin 1-ci nümunəsində. Hər bir mümkün dəyərin riyazi gözləntidən kvadrat sapmasını hesablayaq:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Beləliklə,

Qeyd 1. Dispersiyanı təyin edərkən ortadan kənarlaşma deyil, onun kvadratı qiymətləndirilir. Bu, müxtəlif əlamətlərin sapmalarının bir-birini ləğv etməməsi üçün edilir.

Qeyd 2. Dispersiyanın tərifindən belə çıxır ki, bu kəmiyyət yalnız mənfi olmayan qiymətlər alır.

Qeyd 3. Dispersiyanı hesablamaq üçün hesablamalar üçün daha əlverişli olan bir düstur var, etibarlılığı aşağıdakı teoremdə sübut edilmişdir:

Teorem 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Sübut.

Nə istifadə M(X) sabit qiymətdir və riyazi gözləntinin xassələrini (7.6) formasına çeviririk:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), sübut edilməli olan şey idi.

Misal. Təsadüfi dəyişənlərin dispersiyalarını hesablayaq X Və Y bu bölmənin əvvəlində müzakirə olunur. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Deməli, ikinci təsadüfi kəmiyyətin dispersiyası birincinin dispersiyasından bir neçə min dəfə böyükdür. Beləliklə, bu kəmiyyətlərin paylanma qanunlarını bilmədən belə, məlum dispersiya qiymətlərinə əsaslanaraq deyə bilərik ki, Xüçün isə öz riyazi gözləntisindən az kənara çıxır Y bu sapma olduqca əhəmiyyətlidir.

Dispersiya xüsusiyyətləri.

1) Sabit qiymətin dəyişməsi İLƏ sıfıra bərabərdir:

D (C) = 0. (7.8)

Sübut. D(C) = M((SANTİMETR(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.

2) Sabit əmsalı kvadrata çevirməklə dispersiya işarəsindən çıxarmaq olar:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Sübut. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) İki müstəqil təsadüfi dəyişənin cəminin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Sübut. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Nəticə 1. Bir neçə qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərin cəminin dispersiyaları onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir.

Nəticə 2. Sabit və təsadüfi kəmiyyətin cəminin dispersiyası təsadüfi dəyişənin dispersiyasına bərabərdir.

4) İki müstəqil təsadüfi dəyişən arasındakı fərqin dispersiyası onların dispersiyalarının cəminə bərabərdir:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Sübut. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Dispersiya təsadüfi kəmiyyətin ortadan kvadrat sapmasının orta qiymətini verir; Sapmanın özünü qiymətləndirmək üçün standart sapma adlanan dəyər istifadə olunur.

Tərif 7.6.Standart sapmaσ təsadüfi dəyişən X dispersiyanın kvadrat kökü adlanır:

Misal. Əvvəlki nümunədə standart sapmalar X Və Y müvafiq olaraq bərabərdirlər

Paylanma qanunlarına əlavə olaraq təsadüfi dəyişənlər də təsvir edilə bilər ədədi xüsusiyyətlər .

Riyazi gözlənti Təsadüfi dəyişənin M (x) dəyəri onun orta qiyməti adlanır.

Diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisi düsturdan istifadə etməklə hesablanır

Harada – təsadüfi dəyişənlərin dəyərləri, s mən - onların ehtimalları.

Riyazi gözləmənin xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək:

1. Sabitin riyazi gözləntisi sabitin özünə bərabərdir

2. Əgər təsadüfi dəyişən müəyyən k ədədinə vurularsa, onda riyazi gözlənti eyni ədədə vurulacaq.

M (kx) = kM (x)

3. Təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Müstəqil təsadüfi dəyişənlər üçün x 1, x 2, … x n, məhsulun riyazi gözləntiləri onların riyazi gözləntilərinin hasilinə bərabərdir.

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Nümunə 11-dən təsadüfi dəyişən üçün riyazi gözləntiləri hesablayaq.

M(x) = = .

Misal 12. X 1, x 2 təsadüfi dəyişənlər paylanma qanunları ilə müvafiq olaraq təyin olunsun:

x 1 Cədvəl 2

x 2 Cədvəl 3

M (x 1) və M (x 2) hesablayaq.

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Hər iki təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri eynidir - onlar sıfıra bərabərdir. Lakin onların paylanmasının təbiəti fərqlidir. Əgər x 1-in dəyərləri riyazi gözləntilərindən az fərqlənirsə, x 2-nin dəyərləri onların riyazi gözləntilərindən böyük dərəcədə fərqlənir və belə sapmaların ehtimalları az deyil. Bu nümunələr göstərir ki, orta qiymətdən ondan hansı kənarlaşmaların daha kiçik və daha böyük olduğunu müəyyən etmək mümkün deyil. Deməli, iki ərazidə eyni orta illik yağıntı ilə bu ərazilərin kənd təsərrüfatı işləri üçün eyni dərəcədə əlverişli olduğunu söyləmək olmaz. Eynilə, orta əmək haqqı göstəricisinə əsasən, yüksək və az maaş alan işçilərin payını mühakimə etmək mümkün deyil. Beləliklə, rəqəmsal bir xüsusiyyət təqdim olunur - dispersiya D(x) , təsadüfi dəyişənin orta qiymətindən kənarlaşma dərəcəsini xarakterizə edən:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersiya təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntidən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisidir. Diskret təsadüfi dəyişən üçün dispersiya düsturla hesablanır:

D(x)= = (3)

Dispersiyanın tərifindən belə çıxır ki, D (x) 0.

Dispersiya xüsusiyyətləri:

1. Sabitin dispersiyası sıfırdır

2. Əgər təsadüfi dəyişən müəyyən k ədədinə vurularsa, onda dispersiya bu ədədin kvadratına vurulacaqdır.

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Cütlü müstəqil təsadüfi dəyişənlər üçün x 1 , x 2 , … x n cəminin dispersiyası dispersiyaların cəminə bərabərdir.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Nümunə 11-dən təsadüfi dəyişən üçün dispersiyanı hesablayaq.

Riyazi gözlənti M (x) = 1. Buna görə də (3) düsturuna görə bizdə:

D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

Nəzərə alın ki, 3-cü xüsusiyyətdən istifadə etsəniz, fərqi hesablamaq daha asandır:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Bu düsturdan istifadə edərək 12-ci Nümunədən x 1 , x 2 təsadüfi dəyişənlər üçün dispersiyaları hesablayaq. Hər iki təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri sıfırdır.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Dispersiya dəyəri sıfıra nə qədər yaxın olarsa, təsadüfi dəyişənin orta dəyərə nisbətən yayılması bir o qədər kiçik olar.

Kəmiyyət deyilir standart sapma. Təsadüfi dəyişən rejimi x diskret tipli MdƏn yüksək ehtimala malik təsadüfi dəyişənin qiyməti deyilir.

Təsadüfi dəyişən rejimi x davamlı tip Md, f(x) ehtimalının paylanma sıxlığının maksimum nöqtəsi kimi təyin olunan həqiqi ədəddir.

Təsadüfi dəyişənin medianı x davamlı tip Mn tənliyi təmin edən həqiqi ədəddir

Hər bir fərdi dəyər tamamilə onun paylama funksiyası ilə müəyyən edilir. Həmçinin, praktiki məsələləri həll etmək üçün bir neçə ədədi xarakteristikaları bilmək kifayətdir ki, bunun sayəsində təsadüfi dəyişənin əsas xüsusiyyətlərini qısa formada təqdim etmək mümkün olur.

Bu miqdarlara ilk növbədə daxildir gözlənilən dəyər Və dispersiya .

Gözlənilən dəyər— ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiyməti. kimi qeyd olunur.

Ən sadə şəkildə, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi X(w), necə tapın inteqralLebesq ehtimal ölçüsünə münasibətdə R orijinal ehtimal sahəsi

kimi bir dəyərin riyazi gözləntisini də tapa bilərsiniz Lebeq inteqralı-dan X ehtimal paylanması ilə R X miqdarlar X:

bütün mümkün dəyərlər çoxluğu haradadır X.

Təsadüfi dəyişəndən funksiyaların riyazi gözləntiləri X paylanması yolu ilə tapılır R X. Misal üçün, Əgər X- və daxilində dəyərləri olan təsadüfi dəyişən f(x)- birmənalı Borelinfunksiyası X , Bu:

Əgər F(x)- paylama funksiyası X, onda riyazi gözlənti təmsil olunur inteqralLebesgue - Stieltjes (və ya Riemann - Stieltjes):

bu halda inteqrallıq X baxımından ( * ) inteqralın sonluluğuna uyğundur

Xüsusi hallarda, əgər X ehtimal olunan qiymətlərlə diskret paylanmaya malikdir x k, k=1, 2, . , və ehtimallar, sonra

Əgər X ehtimal sıxlığı ilə mütləq davamlı paylanmaya malikdir p(x), Bu

bu halda riyazi gözləntinin mövcudluğu müvafiq sıra və ya inteqralın mütləq yaxınlaşmasına bərabərdir.

Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin xassələri.

• Sabit bir dəyərin riyazi gözləntisi bu dəyərə bərabərdir:

C- Sabit;

• M=C.M[X]

• Təsadüfi olaraq alınan dəyərlərin cəminin riyazi gözləntisi onların riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir:

• Müstəqil təsadüfi alınan dəyişənlərin məhsulunun riyazi gözləntisi = onların riyazi gözləntilərinin hasili:

M=M[X]+M[Y]

Əgər X Və Y müstəqil.

sıra birləşərsə:

Riyazi gözləntilərin hesablanması alqoritmi.

Diskret təsadüfi dəyişənlərin xüsusiyyətləri: onların bütün dəyərləri natural ədədlərlə nömrələnə bilər; hər bir dəyərə sıfırdan fərqli bir ehtimal təyin edin.

1. Cütləri bir-bir çarpın: x i haqqında p i.

2. Hər cütün məhsulunu əlavə edin x i p i.

Misal üçün, Üçün n = 4 :

Diskret təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası addım-addım, ehtimalları müsbət işarəyə malik olan nöqtələrdə kəskin şəkildə artır.

Misal: Düsturdan istifadə edərək riyazi gözləntiləri tapın.