Sådan finder du rødderne til en andengradsligning uden s. Andengradsligninger - eksempler med løsninger, funktioner og formler


Vi fortsætter med at studere emnet " løsning af ligninger" Vi har allerede stiftet bekendtskab med lineære ligninger og går videre til at stifte bekendtskab med andengradsligninger.

Først vil vi se på, hvad en andengradsligning er, hvordan den skrives i generel form, og give relaterede definitioner. Herefter vil vi bruge eksempler til i detaljer at undersøge, hvordan ufuldstændige andengradsligninger løses. Dernæst vil vi gå videre til at løse komplette ligninger, få rodformlen, stifte bekendtskab med diskriminanten af ​​en andengradsligning og overveje løsninger til typiske eksempler. Lad os endelig spore forbindelserne mellem rødderne og koefficienterne.

Sidenavigation.

Hvad er en andengradsligning? Deres typer

Først skal du klart forstå, hvad en andengradsligning er. Derfor er det logisk at starte en samtale om andengradsligninger med definitionen af ​​en andengradsligning, samt relaterede definitioner. Herefter kan du overveje hovedtyperne af andengradsligninger: reducerede og ikke-reducerede samt komplette og ufuldstændige ligninger.

Definition og eksempler på andengradsligninger

Definition.

Kvadratisk ligning er en ligning af formen a x2 +b x+c=0, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal, og a er ikke-nul.

Lad os sige med det samme, at andengradsligninger ofte kaldes ligninger af anden grad. Dette skyldes det faktum, at andengradsligningen er algebraisk ligning anden grad.

Den angivne definition giver os mulighed for at give eksempler på andengradsligninger. Så 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 osv. Disse er andengradsligninger.

Definition.

Tal a, b og c kaldes andengradsligningens koefficienter a·x 2 +b·x+c=0, og koefficienten a kaldes den første, eller den højeste, eller koefficienten af ​​x 2, b er den anden koefficient, eller koefficienten af ​​x, og c er det frie led .

Lad os for eksempel tage en andengradsligning på formen 5 x 2 −2 x −3=0, her er den førende koefficient 5, den anden koefficient er lig med −2, og det frie led er lig med −3. Bemærk venligst, at når koefficienterne b og/eller c er negative, som i det netop anførte eksempel, er den korte form af andengradsligningen 5 x 2 −2 x−3=0 , i stedet for 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Det er værd at bemærke, at når koefficienterne a og/eller b er lig med 1 eller −1, så er de normalt ikke eksplicit til stede i andengradsligningen, hvilket skyldes det særlige ved at skrive en sådan. For eksempel, i andengradsligningen y 2 −y+3=0 er den førende koefficient én, og koefficienten for y er lig med −1.

Reducerede og ureducerede andengradsligninger

Afhængigt af værdien af ​​den førende koefficient skelnes der mellem reducerede og ureducerede andengradsligninger. Lad os give de tilsvarende definitioner.

Definition.

En andengradsligning, hvor den førende koefficient er 1, kaldes givet andengradsligning. Ellers er andengradsligningen uberørt.

Ifølge denne definition er andengradsligninger x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 osv. – givet, i hver af dem er den første koefficient lig med én. A 5 x 2 −x−1=0 osv. - ureducerede andengradsligninger, deres ledende koefficienter er forskellige fra 1.

Fra enhver ureduceret andengradsligning, ved at dividere begge sider med den førende koefficient, kan du gå til den reducerede. Denne handling er en ækvivalent transformation, det vil sige, at den reducerede andengradsligning opnået på denne måde har samme rødder som den oprindelige ikke-reducerede andengradsligning, eller har ligesom den ingen rødder.

Lad os se på et eksempel på, hvordan overgangen fra en ikke-reduceret andengradsligning til en reduceret udføres.

Eksempel.

Fra ligningen 3 x 2 +12 x−7=0, gå til den tilsvarende reducerede andengradsligning.

Løsning.

Vi skal bare dividere begge sider af den oprindelige ligning med den førende koefficient 3, den er ikke-nul, så vi kan udføre denne handling. Vi har (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, hvilket er det samme, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, og derefter (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, hvorfra . Sådan fik vi den reducerede andengradsligning, som svarer til den oprindelige.

Svar:

Fuldstændige og ufuldstændige andengradsligninger

Definitionen af ​​en andengradsligning indeholder betingelsen a≠0. Denne betingelse er nødvendig for at ligningen a x 2 + b x + c = 0 er kvadratisk, da når a = 0 det faktisk bliver en lineær ligning af formen b x + c = 0.

Hvad angår koefficienterne b og c, kan de være lig med nul, både hver for sig og sammen. I disse tilfælde kaldes andengradsligningen ufuldstændig.

Definition.

Den andengradsligning a x 2 +b x+c=0 kaldes ufuldstændig, hvis mindst en af ​​koefficienterne b, c er lig med nul.

I sin tur

Definition.

Komplet andengradsligning er en ligning, hvor alle koefficienter er forskellige fra nul.

Sådanne navne blev ikke givet tilfældigt. Dette vil fremgå af de følgende drøftelser.

Hvis koefficienten b er nul, så antager andengradsligningen formen a·x 2 +0·x+c=0, og den er ækvivalent med ligningen a·x 2 +c=0. Hvis c=0, dvs. andengradsligningen har formen a·x 2 +b·x+0=0, så kan den omskrives til a·x 2 +b·x=0. Og med b=0 og c=0 får vi andengradsligningen a·x 2 =0. De resulterende ligninger adskiller sig fra den komplette andengradsligning ved, at deres venstre side hverken indeholder et led med variablen x eller et frit led eller begge dele. Deraf deres navn - ufuldstændige andengradsligninger.

Så ligningerne x 2 +x+1=0 og −2 x 2 −5 x+0,2=0 er eksempler på komplette andengradsligninger, og x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 er ufuldstændige andengradsligninger.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

Af oplysningerne i det foregående afsnit følger det, at der er tre typer af ufuldstændige andengradsligninger:

  • a·x 2 =0, koefficienterne b=0 og c=0 svarer til det;
  • a x2 +c=0, når b=0;
  • og a·x2 +b·x=0, når c=0.

Lad os undersøge i rækkefølge, hvordan ufuldstændige andengradsligninger af hver af disse typer løses.

a x 2 = 0

Lad os starte med at løse ufuldstændige andengradsligninger, hvor koefficienterne b og c er lig med nul, det vil sige med ligninger på formen a x 2 =0. Ligningen a·x 2 =0 svarer til ligningen x 2 =0, som fås fra originalen ved at dividere begge dele med et ikke-nul tal a. Det er klart, roden af ​​ligningen x 2 =0 er nul, da 0 2 =0. Denne ligning har ingen andre rødder, hvilket forklares ved, at for ethvert ikke-nul tal p gælder uligheden p 2 >0, hvilket betyder, at for p≠0 opnås ligheden p 2 =0 aldrig.

Så den ufuldstændige andengradsligning a·x 2 =0 har en enkelt rod x=0.

Som et eksempel giver vi løsningen til den ufuldstændige andengradsligning −4 x 2 =0. Det svarer til ligningen x 2 =0, dens eneste rod er x=0, derfor har den oprindelige ligning et enkelt rod nul.

En kort løsning i dette tilfælde kan skrives som følger:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0.

a x2 +c=0

Lad os nu se på, hvordan ufuldstændige andengradsligninger løses, hvor koefficienten b er nul og c≠0, det vil sige ligninger med formen a x 2 +c=0. Vi ved, at flytning af et led fra den ene side af ligningen til den anden med det modsatte fortegn, samt at dividere begge sider af ligningen med et ikke-nul tal, giver en ækvivalent ligning. Derfor kan vi udføre følgende ækvivalente transformationer af den ufuldstændige andengradsligning a x 2 +c=0:

  • flyt c til højre, hvilket giver ligningen a x 2 =−c,
  • og dividere begge sider med a, får vi .

Den resulterende ligning giver os mulighed for at drage konklusioner om dens rødder. Afhængigt af værdierne af a og c, kan værdien af ​​udtrykket være negativ (for eksempel hvis a=1 og c=2, så ) eller positiv (for eksempel hvis a=−2 og c=6, derefter ), er det ikke nul , da ved betingelse c≠0. Lad os se på sagerne separat.

Hvis , så har ligningen ingen rødder. Dette udsagn følger af det faktum, at kvadratet af ethvert tal er et ikke-negativt tal. Det følger af dette, at når , så for ethvert tal p kan ligheden ikke være sand.

Hvis , så er situationen med ligningens rødder anderledes. I dette tilfælde, hvis vi husker om , så bliver roden af ​​ligningen straks indlysende; det er tallet, da . Det er nemt at gætte, at tallet også er roden til ligningen, ja. Denne ligning har ingen andre rødder, hvilket kan vises for eksempel ved modsigelse. Lad os gøre det.

Lad os betegne rødderne til den lige annoncerede ligning som x 1 og −x 1 . Antag, at ligningen har en rod mere x 2, forskellig fra de angivne rødder x 1 og −x 1. Det er kendt, at substituering af dens rødder i en ligning i stedet for x gør ligningen til en korrekt numerisk lighed. For x 1 og −x 1 har vi , og for x 2 har vi . Egenskaberne ved numeriske ligheder gør det muligt for os at udføre termin-for-term subtraktion af korrekte numeriske ligheder, så subtrahering af de tilsvarende dele af lighederne giver x 1 2 −x 2 2 =0. Egenskaberne ved operationer med tal giver os mulighed for at omskrive den resulterende lighed som (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vi ved, at produktet af to tal er lig med nul, hvis og kun hvis mindst et af dem er lig med nul. Derfor følger det af den resulterende lighed, at x 1 −x 2 =0 og/eller x 1 +x 2 =0, hvilket er det samme, x 2 =x 1 og/eller x 2 =−x 1. Så vi kom til en selvmodsigelse, da vi i begyndelsen sagde, at roden af ​​ligningen x 2 er forskellig fra x 1 og −x 1. Dette beviser, at ligningen ikke har andre rødder end og .

Lad os opsummere oplysningerne i dette afsnit. Den ufuldstændige andengradsligning a x 2 +c=0 svarer til ligningen der

  • har ingen rødder, hvis
  • har to rødder og , hvis .

Lad os overveje eksempler på løsning af ufuldstændige andengradsligninger på formen a·x 2 +c=0.

Lad os starte med andengradsligningen 9 x 2 +7=0. Efter at have flyttet det frie led til højre side af ligningen, vil det have formen 9 x 2 =−7. Ved at dividere begge sider af den resulterende ligning med 9, kommer vi til . Da højre side har et negativt tal, har denne ligning ingen rødder, derfor har den oprindelige ufuldstændige andengradsligning 9 x 2 +7 = 0 ingen rødder.

Lad os løse en anden ufuldstændig andengradsligning −x 2 +9=0. Vi flytter de ni til højre: −x 2 =−9. Nu dividerer vi begge sider med −1, vi får x 2 =9. På højre side er der et positivt tal, hvorfra vi konkluderer, at eller . Så skriver vi det endelige svar ned: den ufuldstændige andengradsligning −x 2 +9=0 har to rødder x=3 eller x=−3.

a x 2 + b x=0

Det er tilbage at beskæftige sig med løsningen af ​​den sidste type ufuldstændige andengradsligninger for c=0. Ufuldstændige andengradsligninger på formen a x 2 + b x = 0 giver dig mulighed for at løse faktoriseringsmetode. Det er klart, at vi kan, placeret på venstre side af ligningen, for hvilket det er nok at tage den fælles faktor x ud af parentes. Dette giver os mulighed for at flytte fra den oprindelige ufuldstændige andengradsligning til en ækvivalent ligning på formen x·(a·x+b)=0. Og denne ligning svarer til et sæt af to ligninger x=0 og a·x+b=0, hvoraf sidstnævnte er lineær og har en rod x=−b/a.

Så den ufuldstændige andengradsligning a·x 2 +b·x=0 har to rødder x=0 og x=−b/a.

For at konsolidere materialet vil vi analysere løsningen til et specifikt eksempel.

Eksempel.

Løs ligningen.

Løsning.

At tage x ud af parentes giver ligningen. Det svarer til to ligninger x=0 og . Vi løser den resulterende lineære ligning: , og ved at dividere det blandede tal med en almindelig brøk, finder vi . Derfor er rødderne af den oprindelige ligning x=0 og .

Efter at have opnået den nødvendige øvelse, kan løsninger til sådanne ligninger skrives kort:

Svar:

x=0, .

Diskriminant, formel for rødderne af en andengradsligning

For at løse andengradsligninger er der en rodformel. Lad os skrive det ned formel for rødderne af en andengradsligning: , Hvor D=b 2 −4 a c- såkaldte diskriminant af en andengradsligning. Indgangen betyder i bund og grund, at .

Det er nyttigt at vide, hvordan rodformlen blev udledt, og hvordan den bruges til at finde rødderne til andengradsligninger. Lad os finde ud af det.

Afledning af formlen for rødderne af en andengradsligning

Lad os løse den andengradsligning a·x 2 +b·x+c=0. Lad os udføre nogle tilsvarende transformationer:

  • Vi kan dividere begge sider af denne ligning med et ikke-nul tal a, hvilket resulterer i følgende andengradsligning.
  • Nu vælg en komplet firkant på venstre side:. Efter dette vil ligningen antage formen .
  • På dette stadium er det muligt at overføre de sidste to led til højre med det modsatte fortegn, vi har .
  • Og lad os også omdanne udtrykket i højre side: .

Som et resultat kommer vi frem til en ligning, der svarer til den oprindelige andengradsligning a·x 2 +b·x+c=0.

Vi har allerede løst ligninger lignende i form i de foregående afsnit, da vi undersøgte. Dette giver os mulighed for at drage følgende konklusioner vedrørende ligningens rødder:

  • hvis , så har ligningen ingen reelle løsninger;
  • hvis , så har ligningen formen , derfor, , hvorfra dens eneste rod er synlig;
  • hvis , så eller , som er det samme som eller , det vil sige, at ligningen har to rødder.

Tilstedeværelsen eller fraværet af ligningens rødder, og derfor den oprindelige andengradsligning, afhænger således af udtrykkets fortegn på højre side. Til gengæld er fortegnet for dette udtryk bestemt af tællerens fortegn, da nævneren 4·a 2 altid er positiv, det vil sige af fortegnet for udtrykket b 2 −4·a·c. Dette udtryk b 2 −4 a c blev kaldt diskriminant af en andengradsligning og angivet ved brevet D. Herfra er essensen af ​​diskriminanten klar - baseret på dens værdi og fortegn konkluderer de, om andengradsligningen har reelle rødder, og i så fald hvad er deres nummer - en eller to.

Lad os vende tilbage til ligningen og omskrive den ved hjælp af diskriminantnotationen: . Og vi drager konklusioner:

  • hvis D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
  • hvis D=0, så har denne ligning en enkelt rod;
  • endelig, hvis D>0, så har ligningen to rødder eller, som kan omskrives i formen eller, og efter at udvide og bringe brøkerne til en fællesnævner får vi.

Så vi udledte formlerne for rødderne af andengradsligningen, de ser ud som , hvor diskriminanten D beregnes med formlen D=b 2 −4·a·c.

Med deres hjælp, med en positiv diskriminant, kan du beregne begge reelle rødder af en andengradsligning. Når diskriminanten er lig nul, giver begge formler den samme værdi af roden, svarende til en unik løsning til andengradsligningen. Og med en negativ diskriminant, når vi forsøger at bruge formlen for rødderne af en andengradsligning, står vi over for at udtrække kvadratroden af ​​et negativt tal, hvilket bringer os uden for rammerne af skolens læseplan. Med en negativ diskriminant har andengradsligningen ingen reelle rødder, men har et par komplekst konjugat rødder, som kan findes ved hjælp af de samme rodformler, som vi fik.

Algoritme til løsning af andengradsligninger ved hjælp af rodformler

I praksis, når du løser andengradsligninger, kan du straks bruge rodformlen til at beregne deres værdier. Men dette er mere relateret til at finde komplekse rødder.

Men i et skolealgebrakursus taler vi normalt ikke om komplekse, men om reelle rødder af en andengradsligning. I dette tilfælde er det tilrådeligt, før du bruger formlerne for rødderne af en andengradsligning, først at finde diskriminanten, sørg for, at den er ikke-negativ (ellers kan vi konkludere, at ligningen ikke har reelle rødder), og kun derefter beregne værdierne af rødderne.

Ovenstående ræsonnement giver os mulighed for at skrive algoritme til løsning af en andengradsligning. For at løse andengradsligningen a x 2 +b x+c=0, skal du:

  • ved hjælp af diskriminantformlen D=b 2 −4·a·c, beregne dens værdi;
  • konkludere, at en andengradsligning ikke har nogen reelle rødder, hvis diskriminanten er negativ;
  • beregn den eneste rod af ligningen ved hjælp af formlen, hvis D=0;
  • find to reelle rødder af en andengradsligning ved hjælp af rodformlen, hvis diskriminanten er positiv.

Her bemærker vi blot, at hvis diskriminanten er lig med nul, kan du også bruge formlen, den vil give samme værdi som .

Du kan gå videre til eksempler på brug af algoritmen til løsning af andengradsligninger.

Eksempler på løsning af andengradsligninger

Lad os overveje løsninger til tre andengradsligninger med en positiv, negativ og nul diskriminant. Efter at have behandlet deres løsning, vil det analogt være muligt at løse enhver anden andengradsligning. Lad os begynde.

Eksempel.

Find rødderne af ligningen x 2 +2·x−6=0.

Løsning.

I dette tilfælde har vi følgende koefficienter for andengradsligningen: a=1, b=2 og c=−6. Ifølge algoritmen skal du først beregne diskriminanten; for at gøre dette erstatter vi de angivne a, b og c i diskriminantformlen, vi har D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Da 28>0, dvs. diskriminanten er større end nul, har andengradsligningen to reelle rødder. Lad os finde dem ved hjælp af rodformlen, vi får , her kan du forenkle de resulterende udtryk ved at gøre flytte multiplikatoren ud over rodtegnet efterfulgt af reduktion af fraktionen:

Svar:

Lad os gå videre til det næste typiske eksempel.

Eksempel.

Løs andengradsligningen −4 x 2 +28 x−49=0 .

Løsning.

Vi starter med at finde diskriminanten: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Derfor har denne andengradsligning en enkelt rod, som vi finder som , dvs.

Svar:

x=3,5.

Det er tilbage at overveje at løse andengradsligninger med en negativ diskriminant.

Eksempel.

Løs ligningen 5·y 2 +6·y+2=0.

Løsning.

Her er koefficienterne for andengradsligningen: a=5, b=6 og c=2. Vi erstatter disse værdier i den diskriminantformel, vi har D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminanten er negativ, derfor har denne andengradsligning ingen reelle rødder.

Hvis du skal angive komplekse rødder, så anvender vi den velkendte formel for rødderne af en andengradsligning og udfører operationer med komplekse tal:

Svar:

der er ingen rigtige rødder, komplekse rødder er: .

Lad os endnu en gang bemærke, at hvis diskriminanten i en andengradsligning er negativ, så skriver de normalt straks et svar ned i skolen, hvor de angiver, at der ikke er nogen rigtige rødder, og komplekse rødder ikke findes.

Rodformel for selv anden koefficienter

Formlen for rødderne af en andengradsligning, hvor D=b 2 −4·a·c giver dig mulighed for at opnå en formel af en mere kompakt form, så du kan løse andengradsligninger med en lige koefficient for x (eller blot med en koefficient med formen 2·n, for eksempel, eller 14· ln5=2·7·ln5 ). Lad os få hende ud.

Lad os sige, at vi skal løse en andengradsligning på formen a x 2 +2 n x+c=0. Lad os finde dens rødder ved hjælp af den formel, vi kender. For at gøre dette beregner vi diskriminanten D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), og så bruger vi rodformlen:

Lad os betegne udtrykket n 2 −a c som D 1 (nogle gange betegnes det D "). Så vil formlen for rødderne af den andengradsligning, der er under overvejelse med den anden koefficient 2 n antage formen , hvor D 1 =n 2 −a·c.

Det er let at se, at D=4·D 1 eller D 1 =D/4. Med andre ord er D 1 den fjerde del af diskriminanten. Det er klart, at tegnet på D 1 er det samme som tegnet på D . Det vil sige, at tegnet D 1 også er en indikator for tilstedeværelsen eller fraværet af rødder af en andengradsligning.

Så for at løse en andengradsligning med en anden koefficient 2·n, skal du bruge

  • Beregn D 1 =n 2 −a·c ;
  • Hvis D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
  • Hvis D 1 =0, så beregn den eneste rod af ligningen ved hjælp af formlen;
  • Hvis D 1 >0, så find to reelle rødder ved hjælp af formlen.

Lad os overveje at løse eksemplet ved hjælp af rodformlen opnået i dette afsnit.

Eksempel.

Løs andengradsligningen 5 x 2 −6 x −32=0 .

Løsning.

Den anden koefficient i denne ligning kan repræsenteres som 2·(−3) . Det vil sige, du kan omskrive den oprindelige andengradsligning i formen 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, her a=5, n=−3 og c=−32, og beregne den fjerde del af diskriminant: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Da dens værdi er positiv, har ligningen to reelle rødder. Lad os finde dem ved hjælp af den passende rodformel:

Bemærk, at det var muligt at bruge den sædvanlige formel for rødderne af en andengradsligning, men i dette tilfælde skulle der udføres mere beregningsarbejde.

Svar:

Simplificering af andengradsligningers form

Nogle gange, før du begynder at beregne rødderne af en andengradsligning ved hjælp af formler, skader det ikke at stille spørgsmålet: "Er det muligt at forenkle formen af ​​denne ligning?" Enig i, at det med hensyn til beregninger vil være lettere at løse andengradsligningen 11 x 2 −4 x−6=0 end 1100 x 2 −400 x−600=0.

Typisk opnås forenkling af formen af ​​en andengradsligning ved at gange eller dividere begge sider med et vist tal. For eksempel var det i det foregående afsnit muligt at forenkle ligningen 1100 x 2 −400 x −600=0 ved at dividere begge sider med 100.

En lignende transformation udføres med andengradsligninger, hvis koefficienter ikke er . I dette tilfælde er begge sider af ligningen normalt divideret med de absolutte værdier af dens koefficienter. Lad os for eksempel tage andengradsligningen 12 x 2 −42 x+48=0. absolutte værdier af dens koefficienter: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Ved at dividere begge sider af den oprindelige andengradsligning med 6 kommer vi frem til den ækvivalente andengradsligning 2 x 2 −7 x+8=0.

Og at gange begge sider af en andengradsligning gøres normalt for at slippe af med brøkkoefficienter. I dette tilfælde udføres multiplikation med nævnerne af dens koefficienter. For eksempel, hvis begge sider af andengradsligningen ganges med LCM(6, 3, 1)=6, så vil den have den simplere form x 2 +4·x−18=0.

Som afslutning på dette punkt bemærker vi, at de næsten altid slipper af med minus ved den højeste koefficient af en andengradsligning ved at ændre fortegnene for alle led, hvilket svarer til at gange (eller dividere) begge sider med −1. For eksempel går man normalt fra andengradsligningen −2 x 2 −3 x+7=0 til løsningen 2 x 2 +3 x−7=0 .

Forholdet mellem rødder og koefficienter for en andengradsligning

Formlen for rødderne af en andengradsligning udtrykker ligningens rødder gennem dens koefficienter. Ud fra rodformlen kan du få andre sammenhænge mellem rødder og koefficienter.

De mest kendte og anvendelige formler fra Vietas sætning er af formen og . Især for den givne andengradsligning er summen af ​​rødderne lig med den anden koefficient med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. For eksempel, ved at se på formen af ​​andengradsligningen 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kan vi umiddelbart sige, at summen af ​​dens rødder er lig med 7/3, og produktet af rødderne er lig med 22 /3.

Ved hjælp af de allerede skrevne formler kan man få en række andre sammenhænge mellem andengradsligningens rødder og koefficienter. For eksempel kan du udtrykke summen af ​​kvadraterne af rødderne af en andengradsligning gennem dens koefficienter: .

Bibliografi.

  • Algebra: lærebog for 8. klasse. almen uddannelse institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigeret af S. A. Telyakovsky. - 16. udg. - M.: Uddannelse, 2008. - 271 s. : syg. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebog for studerende ved almene uddannelsesinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11. udg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Det er kendt, at det er en bestemt version af lighedsaksen 2 + bx + c = o, hvor a, b og c er reelle koefficienter for ukendt x, og hvor a ≠ o, og b og c vil være nuller - samtidigt eller separat. For eksempel, c = o, b ≠ o eller omvendt. Vi huskede næsten definitionen af ​​en andengradsligning.

Anden grads trinomium er nul. Dens første koefficient a ≠ o, b og c kan have en hvilken som helst værdi. Værdien af ​​variablen x vil så være, når substitution gør den til en korrekt numerisk lighed. Lad os fokusere på reelle rødder, selvom ligningerne også kan være løsninger Det er sædvanligt at kalde en ligning komplet, hvor ingen af ​​koefficienterne er lig med o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Lad os løse et eksempel. 2x 2 -9x-5 = åh, vi finder
D = 81+40 = 121,
D er positiv, hvilket betyder, at der er rødder, x 1 = (9+√121):4 = 5, og den anden x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Kontrol vil hjælpe med at sikre, at de er korrekte.

Her er en trin-for-trin løsning til andengradsligningen

Ved hjælp af diskriminanten kan du løse enhver ligning på venstre side, hvor der er et kendt kvadratisk trinomium for a ≠ o. I vores eksempel. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

Lad os overveje, hvad ufuldstændige ligninger af anden grad er

  1. akse 2 +in = o. Det frie led, koefficienten c ved x 0, er lig med nul her, i ≠ o.
    Hvordan løser man en ufuldstændig andengradsligning af denne type? Lad os tage x ud af parentes. Lad os huske, når produktet af to faktorer er lig med nul.
    x(ax+b) = o, dette kan være når x = o eller når ax+b = o.
    Efter at have løst den 2. har vi x = -в/а.
    Som et resultat har vi rødder x 1 = 0, ifølge beregninger x 2 = -b/a.
  2. Nu er koefficienten for x lig med o, og c er ikke lig med (≠) o.
    x 2 + c = o. Lad os flytte c til højre side af ligheden, vi får x 2 = -с. Denne ligning har kun reelle rødder, når -c er et positivt tal (c ‹ o),
    x 1 er da lig med henholdsvis √(-c), x 2 er -√(-c). Ellers har ligningen slet ingen rødder.
  3. Den sidste mulighed: b = c = o, det vil sige akse 2 = o. Naturligvis har en sådan simpel ligning én rod, x = o.

Særlige tilfælde

Vi så på, hvordan man løser en ufuldstændig andengradsligning, og lad os nu tage alle typer.

  • I en komplet andengradsligning er den anden koefficient af x et lige tal.
    Lad k = o.5b. Vi har formler til beregning af diskriminant og rødder.
    D/4 = k 2 - ac, rødderne beregnes som x 1,2 = (-k±√(D/4))/a for D › o.
    x = -k/a ved D = o.
    Der er ingen rødder til D ‹ o.
  • Der er givet andengradsligninger, når koefficienten af ​​x i anden er lig med 1, skrives de normalt x 2 + рх + q = o. Alle ovenstående formler gælder for dem, men beregningerne er noget enklere.
    Eksempel, x 2 -4x-9 = 0. Beregn D: 2 2 +9, D = 13.
    x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
  • Derudover er det let at anvende på de angivne. Den siger, at summen af ​​ligningens rødder er lig med -p, den anden koefficient med minus (betyder det modsatte fortegn), og produktet af disse samme rødder vil være lig med q, det frie led. Se, hvor let det ville være at bestemme rødderne til denne ligning verbalt. For ikke-reducerede koefficienter (for alle koefficienter, der ikke er lig med nul), gælder denne sætning som følger: summen x 1 + x 2 er lig med -b/a, produktet x 1 · x 2 er lig med c/a.

Summen af ​​det frie led c og den første koefficient a er lig med koefficienten b. I denne situation har ligningen mindst én rod (let at bevise), den første er nødvendigvis lig med -1, og den anden -c/a, hvis den findes. Du kan selv tjekke, hvordan du løser en ufuldstændig andengradsligning. Så let som en pie. Koefficienterne kan være i visse relationer med hinanden

  • x 2 + x = o, 7 x 2 -7 = o.
  • Summen af ​​alle koefficienter er lig med o.
    Rødderne til en sådan ligning er 1 og c/a. Eksempel, 2x 2 -15x+13 = o.
    x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Der er en række andre måder at løse forskellige andengradsligninger på. Her er for eksempel en metode til at udtrække et komplet kvadrat fra et givet polynomium. Der er flere grafiske metoder. Når du ofte beskæftiger dig med sådanne eksempler, vil du lære at "klikke" på dem som frø, fordi alle metoderne kommer til at tænke på automatisk.

Med dette matematikprogram kan du løse andengradsligningen.

Programmet giver ikke kun svaret på problemet, men viser også løsningsprocessen på to måder:
- ved at bruge en diskriminant
- ved hjælp af Vietas sætning (hvis muligt).

Desuden vises svaret som nøjagtigt, ikke omtrentligt.
For eksempel, for ligningen \(81x^2-16x-1=0\) vises svaret i følgende form:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ og ikke sådan: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Dette program kan være nyttigt for gymnasieelever i almen uddannelsesskoler, når de forbereder sig til prøver og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, og for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have lavet dine matematik- eller algebralektier så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På den måde kan du gennemføre din egen træning og/eller træning af dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for problemløsning stiger.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af et kvadratisk polynomium, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Regler for indtastning af et kvadratisk polynomium

Ethvert latinsk bogstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) osv.

Tal kan indtastes som hele eller brøktal.
Desuden kan brøktal indtastes ikke kun i form af en decimal, men også i form af en almindelig brøk.

Regler for indtastning af decimalbrøker.
I decimalbrøker kan brøkdelen adskilles fra hele delen med enten et punktum eller et komma.
For eksempel kan du indtaste decimalbrøker som dette: 2,5x - 3,5x^2

Regler for indtastning af almindelige brøker.
Kun et helt tal kan fungere som tæller, nævner og heltals del af en brøk.

Nævneren kan ikke være negativ.

Når du indtaster en numerisk brøk, er tælleren adskilt fra nævneren med et divisionstegn: /
Hele delen er adskilt fra brøken med et-tegnet: &
Indgang: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Når du indtaster et udtryk du kan bruge parenteser. I dette tilfælde, når man løser en andengradsligning, bliver det introducerede udtryk først forenklet.
For eksempel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)


=0
Beslutte

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...


hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.



Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Kvadratisk ligning og dens rødder. Ufuldstændige andengradsligninger

Hver af ligningerne
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ligner
\(ax^2+bx+c=0, \)
hvor x er en variabel, a, b og c er tal.
I den første ligning a = -1, b = 6 og c = 1,4, i den anden ligning a = 8, b = -7 og c = 0, i den tredje a = 1, b = 0 og c = 4/9. Sådanne ligninger kaldes andengradsligninger.

Definition.
Kvadratisk ligning kaldes en ligning på formen ax 2 +bx+c=0, hvor x er en variabel, a, b og c er nogle tal, og \(a \neq 0 \).

Tallene a, b og c er andengradsligningens koefficienter. Tallet a kaldes den første koefficient, tallet b er den anden koefficient, og tallet c er det frie led.

I hver af ligningerne på formen ax 2 +bx+c=0, hvor \(a\neq 0\), er den største potens af variablen x et kvadrat. Deraf navnet: andengradsligning.

Bemærk, at en andengradsligning også kaldes en ligning af anden grad, da dens venstre side er et polynomium af anden grad.

En andengradsligning, hvor koefficienten for x 2 er lig med 1, kaldes givet andengradsligning. For eksempel er de angivne andengradsligninger ligningerne
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Hvis i en andengradsligning ax 2 +bx+c=0 mindst en af ​​koefficienterne b eller c er lig med nul, kaldes en sådan ligning ufuldstændig andengradsligning. Således er ligningerne -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ufuldstændige andengradsligninger. I den første af dem er b=0, i den anden c=0, i den tredje b=0 og c=0.

Der er tre typer af ufuldstændige andengradsligninger:
1) ax 2 +c=0, hvor \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, hvor \(b \neq 0 \);
3) akse 2 =0.

Lad os overveje at løse ligninger af hver af disse typer.

For at løse en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 +c=0 for \(c \neq 0 \), skal du flytte dets frie led til højre og dividere begge sider af ligningen med a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Højrepil x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Siden \(c \neq 0 \), så \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Hvis \(-\frac(c)(a)>0\), så har ligningen to rødder.

Hvis \(-\frac(c)(a) At løse en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 +bx=0 med \(b \neq 0 \) faktor dens venstre side og få ligningen
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Det betyder, at en ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 +bx=0 for \(b \neq 0 \) altid har to rødder.

En ufuldstændig andengradsligning på formen ax 2 =0 svarer til ligningen x 2 =0 og har derfor en enkelt rod 0.

Formel for rødderne af en andengradsligning

Lad os nu overveje, hvordan man løser andengradsligninger, hvor både koefficienterne for de ukendte og det frie led er ikke-nul.

Lad os løse andengradsligningen i generel form, og som et resultat får vi formlen for rødderne. Denne formel kan derefter bruges til at løse enhver andengradsligning.

Løs andengradsligningen ax 2 +bx+c=0

Ved at dividere begge sider med a, får vi den ækvivalente reducerede andengradsligning
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Lad os transformere denne ligning ved at vælge kvadratet af binomialet:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\højre)^2- \venstre(\frac(b)(2a)\højre)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Højrepil \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\venstre(\frac(b)(2a)\højre)^2 = \venstre(\frac(b)(2a)\højre)^ 2 - \frac(c)(a) \Højrepil \) \(\venstre(x+\frac(b)(2a)\højre)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Højrepil \venstre(x+\frac(b)(2a)\højre)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Højrepil \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Højrepil x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Højrepil \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Det radikale udtryk kaldes diskriminant af en andengradsligning ax 2 +bx+c=0 ("diskriminerende" på latin - diskriminator). Det er betegnet med bogstavet D, dvs.
\(D = b^2-4ac\)

Nu, ved hjælp af diskriminant-notationen, omskriver vi formlen for rødderne af andengradsligningen:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), hvor \(D= b^2-4ac \)

Det er tydeligt at:
1) Hvis D>0, så har andengradsligningen to rødder.
2) Hvis D=0, så har andengradsligningen én rod \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Hvis D Altså, afhængigt af værdien af ​​diskriminanten, kan en andengradsligning have to rødder (for D > 0), én rod (for D = 0) eller have ingen rødder (for D Når man løser en andengradsligning ved hjælp af denne formel, er det tilrådeligt at gøre følgende:
1) beregne diskriminanten og sammenligne den med nul;
2) hvis diskriminanten er positiv eller lig med nul, så brug rodformlen; hvis diskriminanten er negativ, så skriv ned, at der ikke er nogen rødder.

Vietas sætning

Den givne andengradsligning ax 2 -7x+10=0 har rødderne 2 og 5. Summen af ​​rødderne er 7, og produktet er 10. Vi ser, at summen af ​​rødderne er lig med den anden koefficient taget med det modsatte tegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. Enhver reduceret andengradsligning, der har rødder, har denne egenskab.

Summen af ​​rødderne af ovenstående andengradsligning er lig med den anden koefficient taget med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led.

De der. Vietas sætning siger, at rødderne x 1 og x 2 af den reducerede andengradsligning x 2 +px+q=0 har egenskaben:
\(\venstre\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

I fortsættelse af emnet "Løsning af ligninger" vil materialet i denne artikel introducere dig til andengradsligninger.

Lad os se på alt i detaljer: essensen og notationen af ​​en andengradsligning, definere de ledsagende udtryk, analysere skemaet til løsning af ufuldstændige og komplette ligninger, blive bekendt med formlen for rødder og diskriminanten, etablere forbindelser mellem rødderne og koefficienterne, og vi vil selvfølgelig give en visuel løsning på praktiske eksempler.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratisk ligning, dens typer

Definition 1

Kvadratisk ligning er en ligning skrevet som a x 2 + b x + c = 0, Hvor x– variabel, a , b og c– nogle tal, mens -en er ikke nul.

Ofte kaldes andengradsligninger også ligninger af anden grad, da en andengradsligning i bund og grund er en algebraisk ligning af anden grad.

Lad os give et eksempel for at illustrere den givne definition: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 osv. Disse er andengradsligninger.

Definition 2

Tal a, b og c er koefficienterne for andengradsligningen a x 2 + b x + c = 0, mens koefficienten -en kaldes den første, eller senior, eller koefficient ved x 2, b - den anden koefficient eller koefficient ved x, A c kaldet et gratis medlem.

For eksempel i andengradsligningen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 den førende koefficient er 6, den anden koefficient er − 2 , og fritiden er lig med − 11 . Lad os være opmærksomme på, at når koefficienterne b og/eller c er negative, så bruges en kort form af formen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, men ikke 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Lad os også præcisere dette aspekt: ​​hvis koefficienterne -en og/eller b lige 1 eller − 1 , så tager de måske ikke eksplicit del i at skrive andengradsligningen, hvilket forklares ved det særlige ved at skrive de angivne numeriske koefficienter. For eksempel i andengradsligningen y 2 − y + 7 = 0 den førende koefficient er 1, og den anden koefficient er − 1 .

Reducerede og ureducerede andengradsligninger

Baseret på værdien af ​​den første koefficient opdeles andengradsligninger i reduceret og ikke-reduceret.

Definition 3

Reduceret andengradsligning er en andengradsligning, hvor den førende koefficient er 1. For andre værdier af den førende koefficient er andengradsligningen ureduceret.

Lad os give eksempler: andengradsligninger x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 reduceres, i hver af dem er den førende koefficient 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- ureduceret andengradsligning, hvor den første koefficient er forskellig fra 1 .

Enhver ikke-reduceret andengradsligning kan konverteres til en reduceret ligning ved at dividere begge sider med den første koefficient (ækvivalent transformation). Den transformerede ligning vil have de samme rødder som den givne ureducerede ligning eller vil heller ikke have nogen rødder overhovedet.

Betragtning af et specifikt eksempel vil give os mulighed for klart at demonstrere overgangen fra en ureduceret andengradsligning til en reduceret.

Eksempel 1

Givet ligningen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det er nødvendigt at konvertere den oprindelige ligning til den reducerede form.

Løsning

I henhold til ovenstående skema dividerer vi begge sider af den oprindelige ligning med den førende koefficient 6. Så får vi: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3, og dette er det samme som: (6 x 2): 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 og videre: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Herfra: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Således opnås en ligning svarende til den givne.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Fuldstændige og ufuldstændige andengradsligninger

Lad os vende os til definitionen af ​​en andengradsligning. I den har vi specificeret det a ≠ 0. En lignende betingelse er nødvendig for ligningen a x 2 + b x + c = 0 var netop firkantet, da kl a = 0 det omdannes i det væsentlige til en lineær ligning b x + c = 0.

I det tilfælde, hvor koefficienterne b Og c er lig med nul (hvilket er muligt, både individuelt og i fællesskab), kaldes andengradsligningen ufuldstændig.

Definition 4

Ufuldstændig andengradsligning- sådan en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0, hvor mindst en af ​​koefficienterne b Og c(eller begge) er nul.

Komplet andengradsligning– en andengradsligning, hvor alle numeriske koefficienter ikke er lig med nul.

Lad os diskutere, hvorfor typerne af andengradsligninger får præcis disse navne.

Når b = 0, antager andengradsligningen formen a x 2 + 0 x + c = 0, hvilket er det samme som a x 2 + c = 0. På c = 0 andengradsligningen skrives som a x 2 + b x + 0 = 0, hvilket svarer til a x 2 + b x = 0. På b = 0 Og c = 0 ligningen vil tage formen a x 2 = 0. De ligninger, vi opnåede, adskiller sig fra den komplette andengradsligning ved, at deres venstre side ikke indeholder hverken et led med variablen x eller et frit led eller begge dele. Faktisk gav dette faktum navnet til denne type ligning - ufuldstændig.

For eksempel er x 2 + 3 x + 4 = 0 og − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 komplette andengradsligninger; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ufuldstændige andengradsligninger.

Løsning af ufuldstændige andengradsligninger

Ovenstående definition gør det muligt at skelne mellem følgende typer af ufuldstændige andengradsligninger:

  • a x 2 = 0, svarer denne ligning til koefficienterne b = 0 og c = 0;
  • a · x 2 + c = 0 ved b = 0;
  • a · x 2 + b · x = 0 ved c = 0.

Lad os overveje sekventielt løsningen af ​​hver type ufuldstændig andengradsligning.

Løsning af ligningen a x 2 =0

Som nævnt ovenfor svarer denne ligning til koefficienterne b Og c, lig med nul. Ligningen a x 2 = 0 kan konverteres til en ækvivalent ligning x 2 = 0, som vi får ved at dividere begge sider af den oprindelige ligning med tallet -en, ikke lig med nul. Det åbenlyse faktum er, at roden til ligningen x 2 = 0 dette er nul fordi 0 2 = 0 . Denne ligning har ingen andre rødder, hvilket kan forklares ved gradens egenskaber: for et hvilket som helst tal p, ikke lig med nul, er uligheden sand p 2 > 0, hvoraf det følger, at når p ≠ 0 lighed p2 = 0 vil aldrig blive opnået.

Definition 5

For den ufuldstændige andengradsligning a x 2 = 0 er der således en unik rod x = 0.

Eksempel 2

Lad os for eksempel løse en ufuldstændig andengradsligning − 3 x 2 = 0. Det svarer til ligningen x 2 = 0, dens eneste rod er x = 0, så har den oprindelige ligning en enkelt rod - nul.

Kort fortalt er løsningen skrevet som følger:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Løsning af ligningen a x 2 + c = 0

Næste i rækken er løsningen af ​​ufuldstændige andengradsligninger, hvor b = 0, c ≠ 0, det vil sige ligninger af formen a x 2 + c = 0. Lad os transformere denne ligning ved at flytte et led fra den ene side af ligningen til den anden, ændre tegnet til det modsatte og dividere begge sider af ligningen med et tal, der ikke er lig med nul:

  • overførsel c til højre, hvilket giver ligningen a x 2 = − c;
  • dividere begge sider af ligningen med -en, ender vi med x = - c a .

Vores transformationer er ækvivalente; følgelig er den resulterende ligning også ækvivalent med den oprindelige, og dette faktum gør det muligt at drage konklusioner om ligningens rødder. Ud fra hvad værdierne er -en Og c værdien af ​​udtrykket - c a afhænger: det kan have et minustegn (f.eks. if a = 1 Og c = 2, så - c a = - 2 1 = - 2) eller et plustegn (f.eks. if a = − 2 Og c = 6 derefter - c a = - 6 - 2 = 3); det er ikke nul, fordi c ≠ 0. Lad os dvæle mere detaljeret ved situationer, hvor - ca< 0 и - c a > 0 .

I det tilfælde, hvor - ca< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа s ligheden p 2 = - c a kan ikke være sand.

Alt er anderledes, når - c a > 0: husk kvadratroden, og det bliver tydeligt, at roden af ​​ligningen x 2 = - c a vil være tallet - c a, da - c a 2 = - c a. Det er ikke svært at forstå, at tallet - - c a også er roden til ligningen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a.

Ligningen vil ikke have andre rødder. Vi kan demonstrere dette ved hjælp af modsigelsesmetoden. Til at begynde med, lad os definere notationerne for rødderne fundet ovenfor som x 1 Og − x 1. Lad os antage, at ligningen x 2 = - c a også har en rod x 2, som er forskellig fra rødderne x 1 Og − x 1. Det ved vi ved at substituere ind i ligningen x dens rødder omdanner vi ligningen til en rimelig numerisk lighed.

Til x 1 Og − x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a , og for x 2- x 2 2 = - c a. Baseret på egenskaberne ved numeriske ligheder trækker vi et korrekt lighedsled for led fra et andet, hvilket vil give os: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vi bruger egenskaberne for operationer med tal til at omskrive den sidste lighed som (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Det er kendt, at produktet af to tal er nul, hvis og kun hvis mindst et af tallene er nul. Af ovenstående følger det x 1 − x 2 = 0 og/eller x 1 + x 2 = 0, hvilket er det samme x 2 = x 1 og/eller x 2 = − x 1. En åbenlys modsigelse opstod, fordi man først var enige om, at roden til ligningen x 2 adskiller sig fra x 1 Og − x 1. Så vi har bevist, at ligningen ikke har andre rødder end x = - c a og x = - - c a.

Lad os opsummere alle argumenterne ovenfor.

Definition 6

Ufuldstændig andengradsligning a x 2 + c = 0 er ækvivalent med ligningen x 2 = - c a, som:

  • vil ikke have rødder ved - ca< 0 ;
  • vil have to rødder x = - c a og x = - - c a for - c a > 0.

Lad os give eksempler på løsning af ligningerne a x 2 + c = 0.

Eksempel 3

Givet en andengradsligning 9 x 2 + 7 = 0. Det er nødvendigt at finde en løsning.

Løsning

Lad os flytte det frie led til højre side af ligningen, så vil ligningen tage formen 9 x 2 = − 7.
Lad os dividere begge sider af den resulterende ligning med 9 , når vi frem til x 2 = - 7 9 . På højre side ser vi et tal med et minustegn, hvilket betyder: den givne ligning har ingen rødder. Derefter den oprindelige ufuldstændige andengradsligning 9 x 2 + 7 = 0 vil ikke have rødder.

Svar: ligningen 9 x 2 + 7 = 0 har ingen rødder.

Eksempel 4

Ligningen skal løses − x 2 + 36 = 0.

Løsning

Lad os flytte 36 til højre: − x 2 = − 36.
Lad os dividere begge dele med − 1 , vi får x 2 = 36. På højre side er der et positivt tal, hvorfra vi kan konkludere det x = 36 eller x = -36.
Lad os udtrække roden og skrive det endelige resultat ned: ufuldstændig andengradsligning − x 2 + 36 = 0 har to rødder x=6 eller x = − 6.

Svar: x=6 eller x = − 6.

Løsning af ligningen a x 2 +b x=0

Lad os analysere den tredje type ufuldstændige andengradsligninger, når c = 0. At finde en løsning på en ufuldstændig andengradsligning a x 2 + b x = 0, vil vi bruge faktoriseringsmetoden. Lad os faktorisere polynomiet, der er på venstre side af ligningen, og tage den fælles faktor ud af parentes x. Dette trin vil gøre det muligt at transformere den oprindelige ufuldstændige andengradsligning til dens ækvivalent x (a x + b) = 0. Og denne ligning svarer til gengæld til et sæt ligninger x = 0 Og a x + b = 0. Ligningen a x + b = 0 lineær, og dens rod: x = − b a.

Definition 7

Altså den ufuldstændige andengradsligning a x 2 + b x = 0 vil have to rødder x = 0 Og x = − b a.

Lad os forstærke materialet med et eksempel.

Eksempel 5

Det er nødvendigt at finde en løsning på ligningen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Løsning

Vi tager den ud x uden for parentes får vi ligningen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denne ligning svarer til ligningerne x = 0 og 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nu skal du løse den resulterende lineære ligning: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Skriv kort løsningen til ligningen som følger:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formel for rødderne af en andengradsligning

For at finde løsninger til andengradsligninger er der en rodformel:

Definition 8

x = - b ± D 2 · a, hvor D = b 2 − 4 a c– den såkaldte diskriminant af en andengradsligning.

At skrive x = - b ± D 2 · a betyder i det væsentlige, at x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det ville være nyttigt at forstå, hvordan denne formel blev afledt, og hvordan man anvender den.

Afledning af formlen for rødderne af en andengradsligning

Lad os stå over for opgaven med at løse en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0. Lad os udføre en række tilsvarende transformationer:

  • dividere begge sider af ligningen med et tal -en, forskellig fra nul, får vi følgende andengradsligning: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
  • Lad os vælge den komplette firkant på venstre side af den resulterende ligning:
    x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
    Efter dette vil ligningen antage formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
  • Nu er det muligt at overføre de sidste to led til højre side, ændre tegnet til det modsatte, hvorefter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
  • Til sidst transformerer vi udtrykket skrevet på højre side af den sidste lighed:
    b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Således kommer vi frem til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, svarende til den oprindelige ligning a x 2 + b x + c = 0.

Vi undersøgte løsningen af ​​sådanne ligninger i de foregående afsnit (løsning af ufuldstændige andengradsligninger). De allerede opnåede erfaringer gør det muligt at drage en konklusion vedrørende rødderne af ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

  • med b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
  • når b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, er ligningen x + b 2 · a 2 = 0, så er x + b 2 · a = 0.

Herfra er den eneste rod x = - b 2 · a tydelig;

  • for b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 vil følgende være sandt: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , hvilket er det samme som x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , dvs. ligningen har to rødder.

Det er muligt at konkludere, at tilstedeværelsen eller fraværet af rødder af ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (og derfor den oprindelige ligning) afhænger af fortegnet af udtrykket b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 skrevet på højre side. Og tegnet på dette udtryk er givet af tællerens fortegn, (nævner 4 a 2 vil altid være positiv), det vil sige udtrykkets tegn b 2 − 4 a c. Dette udtryk b 2 − 4 a c navnet er givet - andengradsligningens diskriminant og bogstavet D er defineret som dens betegnelse. Her kan du nedskrive essensen af ​​diskriminanten - baseret på dens værdi og fortegn kan de konkludere, om andengradsligningen vil have reelle rødder, og i så fald, hvad er antallet af rødder - en eller to.

Lad os vende tilbage til ligningen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Lad os omskrive det ved hjælp af diskriminant notation: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Lad os formulere vores konklusioner igen:

Definition 9

  • på D< 0 ligningen har ingen reelle rødder;
  • på D=0 ligningen har en enkelt rod x = - b 2 · a ;
  • på D > 0 ligningen har to rødder: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Baseret på egenskaberne af radikaler kan disse rødder skrives på formen: x = - b 2 · a + D 2 · a eller - b 2 · a - D 2 · a. Og når vi åbner modulerne og bringer brøkerne til en fællesnævner, får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet af vores ræsonnement var udledningen af ​​formlen for rødderne af en andengradsligning:

x = - b + D2a, x = - b - D2a, diskriminant D beregnet med formlen D = b 2 − 4 a c.

Disse formler gør det muligt at bestemme begge reelle rødder, når diskriminanten er større end nul. Når diskriminanten er nul, vil anvendelse af begge formler give den samme rod som den eneste løsning til andengradsligningen. I det tilfælde, hvor diskriminanten er negativ, vil vi, hvis vi forsøger at bruge kvadratrodsformlen, blive konfronteret med behovet for at tage kvadratroden af ​​et negativt tal, hvilket vil bringe os ud over omfanget af reelle tal. Med en negativ diskriminant vil andengradsligningen ikke have reelle rødder, men et par komplekse konjugerede rødder er muligt, bestemt af de samme rodformler, som vi opnåede.

Algoritme til løsning af andengradsligninger ved hjælp af rodformler

Det er muligt at løse en andengradsligning ved straks at bruge rodformlen, men dette gøres generelt, når det er nødvendigt at finde komplekse rødder.

I de fleste tilfælde betyder det normalt ikke at søge efter komplekse, men efter rigtige rødder af en andengradsligning. Så er det optimalt, før man bruger formlerne for rødderne til en andengradsligning, først at bestemme diskriminanten og sikre sig, at den ikke er negativ (ellers konkluderer vi, at ligningen ikke har nogen reelle rødder), og derefter fortsætte med at beregne røddernes værdi.

Begrundelsen ovenfor gør det muligt at formulere en algoritme til løsning af en andengradsligning.

Definition 10

At løse en andengradsligning a x 2 + b x + c = 0, nødvendigt:

  • efter formlen D = b 2 − 4 a c finde den diskriminerende værdi;
  • hos D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
  • for D = 0, find den eneste rod af ligningen ved hjælp af formlen x = - b 2 · a ;
  • for D > 0, bestem to reelle rødder af andengradsligningen ved hjælp af formlen x = - b ± D 2 · a.

Bemærk at når diskriminanten er nul, kan du bruge formlen x = - b ± D 2 · a, det vil give samme resultat som formlen x = - b 2 · a.

Lad os se på eksempler.

Eksempler på løsning af andengradsligninger

Lad os give løsninger på eksempler for forskellige værdier af diskriminanten.

Eksempel 6

Vi skal finde rødderne til ligningen x 2 + 2 x − 6 = 0.

Løsning

Lad os nedskrive de numeriske koefficienter for andengradsligningen: a = 1, b = 2 og c = − 6. Dernæst fortsætter vi efter algoritmen, dvs. Lad os begynde at beregne diskriminanten, som vi vil erstatte koefficienterne a, b for Og c ind i diskriminantformlen: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi får D > 0, hvilket betyder, at den oprindelige ligning vil have to reelle rødder.
For at finde dem bruger vi rodformlen x = - b ± D 2 · a, og erstatter de tilsvarende værdier, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. Lad os forenkle det resulterende udtryk ved at tage faktoren ud af rodtegnet og derefter reducere brøken:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = - 1 + 7​​​​, x = - 1 - 7 .

Eksempel 7

Skal løse en andengradsligning − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Løsning

Lad os definere diskriminanten: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Med denne værdi af diskriminanten vil den oprindelige ligning kun have én rod, bestemt af formlen x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Svar: x = 3,5.

Eksempel 8

Ligningen skal løses 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Løsning

De numeriske koefficienter for denne ligning vil være: a = 5, b = 6 og c = 2. Vi bruger disse værdier til at finde diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beregnede diskriminant er negativ, så den oprindelige andengradsligning har ingen reelle rødder.

I det tilfælde, hvor opgaven er at angive komplekse rødder, anvender vi rodformlen og udfører handlinger med komplekse tal:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: der er ingen rigtige rødder; de komplekse rødder er som følger: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

I skolens pensum er der ikke noget standardkrav om at lede efter komplekse rødder, derfor, hvis diskriminanten under løsningen bestemmes til at være negativ, bliver svaret straks skrevet ned, at der ikke er reelle rødder.

Rodformel for selv anden koefficienter

Rodformlen x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) gør det muligt at opnå en anden formel, mere kompakt, så man kan finde løsninger til andengradsligninger med en lige koefficient for x ( eller med en koefficient på formen 2 · n, for eksempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Lad os vise, hvordan denne formel er afledt.

Lad os stå over for opgaven med at finde en løsning til andengradsligningen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Vi fortsætter efter algoritmen: vi bestemmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), og bruger derefter rodformlen:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Lad udtrykket n 2 − a · c betegnes som D 1 (nogle gange betegnes det D "). Så vil formlen for rødderne af den andengradsligning, der er under overvejelse med den anden koefficient 2 · n, antage formen:

x = - n ± D 1 a, hvor D 1 = n 2 − a · c.

Det er let at se, at D = 4 · D 1 eller D 1 = D 4. D 1 er med andre ord en fjerdedel af diskriminanten. Det er klart, at tegnet på D 1 er det samme som tegnet på D, hvilket betyder at tegnet på D 1 også kan tjene som en indikator for tilstedeværelsen eller fraværet af rødder i en andengradsligning.

Definition 11

For at finde en løsning til en andengradsligning med en anden koefficient på 2 n er det således nødvendigt:

  • find D 1 = n 2 − a · c ;
  • på D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
  • når D 1 = 0, bestem den eneste rod af ligningen ved hjælp af formlen x = - n a;
  • for D 1 > 0, bestem to reelle rødder ved hjælp af formlen x = - n ± D 1 a.

Eksempel 9

Det er nødvendigt at løse andengradsligningen 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Løsning

Vi kan repræsentere den anden koefficient i den givne ligning som 2 · (− 3) . Derefter omskriver vi den givne andengradsligning til 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, hvor a = 5, n = − 3 og c = − 32.

Lad os beregne den fjerde del af diskriminanten: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Den resulterende værdi er positiv, hvilket betyder, at ligningen har to reelle rødder. Lad os bestemme dem ved hjælp af den tilsvarende rodformel:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det ville være muligt at udføre beregninger ved hjælp af den sædvanlige formel for rødderne af en andengradsligning, men i dette tilfælde ville løsningen være mere besværlig.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Simplificering af andengradsligningers form

Nogle gange er det muligt at optimere formen af ​​den oprindelige ligning, hvilket vil forenkle processen med at beregne rødderne.

For eksempel er andengradsligningen 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 klart mere praktisk at løse end 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Oftere udføres forenkling af formen af ​​en andengradsligning ved at gange eller dividere dens begge sider med et vist tal. For eksempel viste vi ovenfor en forenklet repræsentation af ligningen 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, opnået ved at dividere begge sider med 100.

En sådan transformation er mulig, når andengradsligningens koefficienter ikke er coprimtal. Så dividerer vi normalt begge sider af ligningen med den største fælles divisor af de absolutte værdier af dens koefficienter.

Som eksempel bruger vi andengradsligningen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Lad os bestemme GCD for de absolutte værdier af dens koefficienter: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Lad os dividere begge sider af den oprindelige andengradsligning med 6 og få den ækvivalente andengradsligning 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Ved at gange begge sider af en andengradsligning slipper man normalt for brøkkoefficienter. I dette tilfælde ganges de med det mindste fælles multiplum af nævnerne af dets koefficienter. For eksempel, hvis hver del af andengradsligningen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliceres med LCM (6, 3, 1) = 6, vil det blive skrevet på en enklere form x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Til sidst bemærker vi, at vi næsten altid slipper af med minus ved den første koefficient af en andengradsligning ved at ændre fortegnene for hvert led i ligningen, hvilket opnås ved at gange (eller dividere) begge sider med − 1. For eksempel, fra andengradsligningen − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, kan du gå til dens forenklede version 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Sammenhæng mellem rødder og koefficienter

Formlen for rødderne af andengradsligninger, som vi allerede kender, x = - b ± D 2 · a, udtrykker ligningens rødder gennem dens numeriske koefficienter. Ud fra denne formel har vi mulighed for at specificere andre afhængigheder mellem rødderne og koefficienterne.

De mest berømte og anvendelige formler er Vietas sætning:

x 1 + x 2 = - b a og x 2 = c a.

Især for den givne andengradsligning er summen af ​​rødderne den anden koefficient med det modsatte fortegn, og produktet af rødderne er lig med det frie led. For eksempel, ved at se på formen af ​​andengradsligningen 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, er det muligt umiddelbart at bestemme, at summen af ​​dens rødder er 7 3 og produktet af rødderne er 22 3.

Du kan også finde en række andre sammenhænge mellem rødderne og koefficienterne i en andengradsligning. For eksempel kan summen af ​​kvadraterne af rødderne af en andengradsligning udtrykkes i koefficienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Hvis du bemærker en fejl i teksten, skal du markere den og trykke på Ctrl+Enter

Lige. Efter formler og klare, enkle regler. På den første fase

det er nødvendigt at bringe den givne ligning til en standardform, dvs. til formularen:

Hvis ligningen allerede er givet til dig i denne formular, behøver du ikke at udføre den første fase. Det vigtigste er at gøre det rigtigt

Bestem alle koefficienterne, EN, b Og c.

Formel til at finde rødderne til en andengradsligning.

Udtrykket under rodtegnet kaldes diskriminerende . Som du kan se, for at finde X, vi

vi bruger kun a, b og c. De der. koefficienter fra andengradsligning. Bare sæt det forsigtigt ind

værdier a, b og c Vi regner i denne formel. Vi erstatter med deres tegn!

For eksempel, i ligningen:

EN =1; b = 3; c = -4.

Vi erstatter værdierne og skriver:

Eksemplet er næsten løst:

Dette er svaret.

De mest almindelige fejl er forveksling med tegnværdier a, b Og Med. Eller rettere sagt med substitution

negative værdier i formlen til beregning af rødderne. En detaljeret optagelse af formlen kommer til undsætning her

med specifikke tal. Hvis du har problemer med beregninger, så gør det!

Antag, at vi skal løse følgende eksempel:

Her -en = -6; b = -5; c = -1

Vi beskriver alt i detaljer, omhyggeligt, uden at gå glip af noget med alle skilte og beslag:

Kvadratiske ligninger ser ofte lidt anderledes ud. For eksempel sådan her:

Læg nu mærke til praktiske teknikker, der dramatisk reducerer antallet af fejl.

Første aftale. Vær ikke doven før løse en andengradsligning bringe det til standardform.

Hvad betyder det?

Lad os sige, at efter alle transformationerne får du følgende ligning:

Skynd dig ikke at skrive rodformlen! Du vil næsten helt sikkert få oddsene blandet sammen a, b og c.

Konstruer eksemplet rigtigt. Først X i andenplads, derefter uden kvadrat, derefter frileddet. Sådan her:

Slip af med minus. Hvordan? Vi skal gange hele ligningen med -1. Vi får:

Men nu kan du roligt skrive formlen for rødderne ned, beregne diskriminanten og afslutte eksemplet.

Bestem selv. Du skulle nu have rødderne 2 og -1.

Reception nummer to. Tjek rødderne! Ved Vietas sætning.

For at løse de givne andengradsligninger, dvs. hvis koefficienten

x 2 +bx+c=0,

Derefterx 1 x 2 =c

x 1 + x 2 =−b

For en komplet andengradsligning, hvori a≠1:

x 2+bx+c=0,

dividere hele ligningen med EN:

→ →

Hvor x 1 Og x 2 - ligningens rødder.

Modtagelse tredje. Hvis din ligning har brøkkoefficienter, skal du slippe af med brøkerne! Formere sig

ligning med en fællesnævner.

Konklusion. Praktiske tips:

1. Før vi løser, bringer vi andengradsligningen til standardform og bygger den Højre.

2. Hvis der er en negativ koefficient foran X i kvadrat, eliminerer vi den ved at gange alt

ligninger med -1.

3. Hvis koefficienterne er brøkdele, eliminerer vi brøkerne ved at gange hele ligningen med den tilsvarende

faktor.

4. Hvis x i anden er ren, er dens koefficient lig med én, kan løsningen let kontrolleres ved