Sådan afgøres om linjer skærer hinanden. Linjernes relative position i rummet

Åh-åh-åh-åh... jamen, det er hårdt, som om han læste en sætning op for sig selv =) Afslapning vil dog hjælpe senere, især da jeg i dag købte det passende tilbehør. Derfor, lad os fortsætte til det første afsnit, jeg håber, at jeg ved slutningen af ​​artiklen vil bevare et muntert humør.

Den relative position af to lige linjer

Sådan er det, når publikum synger med i kor. To lige linjer kan:

1) match;

2) være parallel: ;

3) eller skærer i et enkelt punkt: .

Hjælp til dummies : Husk det matematiske skæringstegnet, det vil dukke op meget ofte. Notationen betyder, at linjen skærer linjen i punktet.

Hvordan bestemmer man den relative position af to linjer?

Lad os starte med det første tilfælde:

To linjer falder sammen, hvis og kun hvis deres tilsvarende koefficienter er proportionale, det vil sige, at der er et tal "lambda", således at lighederne er opfyldt

Lad os betragte de rette linjer og skabe tre ligninger ud fra de tilsvarende koefficienter: . Af hver ligning følger det, at disse linjer derfor er sammenfaldende.

Faktisk, hvis alle koefficienterne i ligningen gange med –1 (skift fortegn), og alle ligningens koefficienter skåret med 2, får du samme ligning:.

Det andet tilfælde, når linjerne er parallelle:

To linjer er parallelle, hvis og kun hvis deres koefficienter af variablerne er proportionale: , Men.

Som et eksempel, overvej to lige linjer. Vi kontrollerer proportionaliteten af ​​de tilsvarende koefficienter for variablerne:

Det er dog ret indlysende.

Og det tredje tilfælde, når linjerne skærer hinanden:

To linjer skærer hinanden, hvis og kun hvis deres koefficienter af variablerne IKKE er proportionale, det vil sige, at der IKKE er en sådan værdi af "lambda", at lighederne er opfyldt

Så for lige linjer vil vi oprette et system:

Af den første ligning følger, at , og af den anden ligning: , hvilket betyder systemet er inkonsekvent(ingen løsninger). Koefficienterne for variablerne er således ikke proportionale.

Konklusion: linjer skærer hinanden

I praktiske problemer kan du bruge det netop omtalte løsningsskema. Det minder i øvrigt meget om algoritmen til kontrol af vektorer for kollinearitet, som vi kiggede på i klassen Begrebet lineær (u)afhængighed af vektorer. Grundlag for vektorer. Men der er en mere civiliseret emballage:

Eksempel 1

Find ud af den relative placering af linjerne:

Løsning baseret på studiet af retningsvektorer af rette linjer:

a) Ud fra ligningerne finder vi retningsvektorerne for linjerne: .

, hvilket betyder, at vektorerne ikke er kollineære, og linjerne skærer hinanden.

For en sikkerheds skyld sætter jeg en sten med skilte ved krydset:

Resten hopper over stenen og følger videre, lige til Kashchei den udødelige =)

b) Find retningsvektorerne for linjerne:

Linjerne har samme retningsvektor, hvilket betyder, at de enten er parallelle eller sammenfaldende. Der er ingen grund til at tælle determinanten her.

Det er indlysende, at koefficienterne for de ukendte er proportionale, og .

Lad os finde ud af, om ligestillingen er sand:

Dermed,

c) Find retningsvektorerne for linjerne:

Lad os beregne determinanten, der består af koordinaterne for disse vektorer:
, derfor er retningsvektorerne kollineære. Linjerne er enten parallelle eller sammenfaldende.

Proportionalitetskoefficienten "lambda" er let at se direkte fra forholdet mellem kollineære retningsvektorer. Det kan dog også findes gennem selve ligningernes koefficienter: .

Lad os nu finde ud af, om ligestillingen er sand. Begge frie termer er nul, så:

Den resulterende værdi opfylder denne ligning (ethvert tal opfylder generelt det).

Dermed falder linjerne sammen.

Svar:

Meget snart vil du lære (eller endda allerede har lært) at løse det problem, der diskuteres verbalt, bogstaveligt talt på få sekunder. I denne henseende ser jeg ikke noget formål i at tilbyde noget for en uafhængig løsning; det er bedre at lægge en anden vigtig mursten i det geometriske fundament:

Hvordan konstruerer man en linje parallel med en given linje?

For uvidenhed om denne enkleste opgave straffer Nattergalen, røveren, hårdt.

Eksempel 2

Den rette linje er givet af ligningen. Skriv en ligning for en parallel linje, der går gennem punktet.

Løsning: Lad os betegne den ukendte linje med bogstavet . Hvad siger tilstanden om hende? Den lige linje går gennem punktet. Og hvis linjerne er parallelle, så er det indlysende, at retningsvektoren for den rette linje "tse" også er egnet til at konstruere den lige linje "de".

Vi tager retningsvektoren ud af ligningen:

Svar:

Eksemplets geometri ser simpel ud:

Analytisk test består af følgende trin:

1) Vi tjekker, at linjerne har samme retningsvektor (hvis linjens ligning ikke er forenklet korrekt, så vil vektorerne være kollineære).

2) Kontroller, om punktet opfylder den resulterende ligning.

I de fleste tilfælde kan analytisk test nemt udføres mundtligt. Se på de to ligninger, og mange af jer vil hurtigt bestemme linjernes parallelitet uden nogen tegning.

Eksempler på uafhængige løsninger i dag vil være kreative. For du bliver stadig nødt til at konkurrere med Baba Yaga, og hun, du ved, elsker alle mulige gåder.

Eksempel 3

Skriv en ligning for en linje, der går gennem et punkt parallelt med linjen if

Der er en rationel og knap så rationel måde at løse det på. Den korteste vej er i slutningen af ​​lektionen.

Vi arbejdede lidt med parallelle linjer og vender tilbage til dem senere. Tilfældet med sammenfaldende linjer er af ringe interesse, så lad os overveje et problem, der er meget velkendt for dig fra skolens læseplan:

Hvordan finder man skæringspunktet mellem to linjer?

Hvis lige skærer hinanden ved punkt , så er dens koordinater løsningen systemer af lineære ligninger

Hvordan finder man skæringspunktet mellem linjer? Løs systemet.

Vær så god geometrisk betydning af et system af to lineære ligninger med to ubekendte- disse er to skærende (oftest) linjer på et plan.

Eksempel 4

Find skæringspunktet mellem linjer

Løsning: Der er to måder at løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske metode er blot at tegne disse linjer og finde ud af skæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er vores pointe:. For at kontrollere, bør du erstatte dens koordinater i hver ligning på linjen, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinaterne for et punkt en løsning på systemet. Grundlæggende så vi på en grafisk løsning systemer af lineære ligninger med to ligninger, to ubekendte.

Den grafiske metode er selvfølgelig ikke dårlig, men der er mærkbare ulemper. Nej, pointen er ikke, at syvende klasser beslutter sig på denne måde, pointen er, at det vil tage tid at lave en korrekt og PRÆCIS tegning. Derudover er nogle lige linjer ikke så lette at konstruere, og selve skæringspunktet kan være placeret et sted i det tredivte rige uden for notesbogsarket.

Derfor er det mere hensigtsmæssigt at søge efter skæringspunktet ved hjælp af en analytisk metode. Lad os løse systemet:

For at løse systemet blev metoden med term-for-term addition af ligninger brugt. For at udvikle relevante færdigheder, tag en lektion Hvordan løser man et ligningssystem?

Svar:

Kontrollen er triviel - koordinaterne for skæringspunktet skal opfylde hver ligning i systemet.

Eksempel 5

Find skæringspunktet for linjerne, hvis de skærer hinanden.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Det er praktisk at opdele opgaven i flere faser. Analyse af tilstanden tyder på, at det er nødvendigt:
1) Skriv ligningen for den rette linje ned.
2) Skriv ligningen for den rette linje ned.
3) Find ud af linjernes relative position.
4) Hvis linjerne skærer hinanden, så find skæringspunktet.

Udviklingen af ​​en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gentagne gange fokusere på dette.

Fuld løsning og svar i slutningen af ​​lektionen:

Ikke engang et par sko var slidt op, før vi nåede til anden del af lektionen:

Vinkelrette linjer. Afstand fra et punkt til en linje.
Vinkel mellem lige linjer

Lad os starte med en typisk og meget vigtig opgave. I den første del lærte vi, hvordan man bygger en lige linje parallelt med denne, og nu vil hytten på kyllingelår dreje 90 grader:

Hvordan konstruerer man en linje vinkelret på en given linje?

Eksempel 6

Den rette linje er givet af ligningen. Skriv en ligning vinkelret på linjen, der går gennem punktet.

Løsning: Ved betingelse er det kendt at . Det ville være rart at finde linjens retningsvektor. Da linjerne er vinkelrette, er tricket enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være den rette linjes retningsvektor.

Lad os sammensætte ligningen for en ret linje ved hjælp af et punkt og en retningsvektor:

Svar:

Lad os udvide den geometriske skitse:

Hmmm... Orange himmel, orange hav, orange kamel.

Analytisk verifikation af løsningen:

1) Vi tager retningsvektorerne ud fra ligningerne og med hjælp skalært produkt af vektorer vi kommer til den konklusion, at linjerne faktisk er vinkelrette:.

I øvrigt kan du bruge normale vektorer, det er endnu nemmere.

2) Kontroller, om punktet opfylder den resulterende ligning .

Testen er igen nem at udføre oralt.

Eksempel 7

Find skæringspunktet for vinkelrette linjer, hvis ligningen er kendt og periode.

Dette er et eksempel, som du kan løse på egen hånd. Der er flere handlinger i problemet, så det er praktisk at formulere løsningen punkt for punkt.

Vores spændende rejse fortsætter:

Afstand fra punkt til linje

Foran os ligger en lige stribe af floden, og vores opgave er at komme dertil ad den korteste vej. Der er ingen forhindringer, og den mest optimale rute vil være at bevæge sig langs vinkelret. Det vil sige, at afstanden fra et punkt til en linje er længden af ​​det vinkelrette segment.

Afstand i geometri betegnes traditionelt med det græske bogstav "rho", for eksempel: - afstanden fra punktet "em" til den lige linje "de".

Afstand fra punkt til linje udtrykt ved formlen

Eksempel 8

Find afstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du skal gøre er omhyggeligt at erstatte tallene i formlen og udføre beregningerne:

Svar:

Lad os lave tegningen:

Den fundne afstand fra punktet til linjen er nøjagtigt længden af ​​det røde segment. Hvis du tegner en tegning på ternet papir i en skala fra 1 enhed. = 1 cm (2 celler), så kan afstanden måles med en almindelig lineal.

Lad os overveje en anden opgave baseret på den samme tegning:

Opgaven er at finde koordinaterne til et punkt, der er symmetrisk med punktet i forhold til den rette linje . Jeg foreslår, at du selv udfører trinene, men jeg vil skitsere løsningsalgoritmen med mellemliggende resultater:

1) Find en linje, der er vinkelret på linjen.

2) Find skæringspunktet for linjerne: .

Begge handlinger diskuteres i detaljer i denne lektion.

3) Punktet er midtpunktet af segmentet. Vi kender koordinaterne for midten og en af ​​enderne. Ved formler for koordinaterne for et segments midtpunkt vi finder .

Det vil være en god idé at tjekke, at afstanden også er 2,2 enheder.

Her kan der opstå vanskeligheder ved beregninger, men en mikroberegner er en stor hjælp i tårnet, så du kan beregne almindelige brøker. Jeg har rådgivet dig mange gange og vil anbefale dig igen.

Hvordan finder man afstanden mellem to parallelle linjer?

Eksempel 9

Find afstanden mellem to parallelle linjer

Dette er endnu et eksempel, som du selv kan bestemme. Jeg vil give dig et lille tip: der er uendeligt mange måder at løse dette på. Debriefing i slutningen af ​​lektionen, men det er bedre at prøve at gætte selv, jeg tror, ​​at din opfindsomhed var veludviklet.

Vinkel mellem to lige linjer

Hvert hjørne er en jamb:


I geometri er vinklen mellem to rette linjer taget for at være den MINDRE vinkel, hvoraf det automatisk følger, at den ikke kan være stump. På figuren betragtes vinklen angivet af den røde bue ikke som vinklen mellem skærende linjer. Og hans "grønne" nabo el modsat orienteret"hindbær" hjørne.

Hvis linjerne er vinkelrette, så kan enhver af de 4 vinkler tages som vinklen mellem dem.

Hvordan er vinklerne forskellige? Orientering. For det første er retningen, som vinklen "scrolles" i, grundlæggende vigtig. For det andet skrives en negativt orienteret vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor fortalte jeg dig dette? Det ser ud til, at vi kan klare os med det sædvanlige begreb om en vinkel. Faktum er, at formlerne, som vi finder vinkler med, nemt kan resultere i et negativt resultat, og det burde ikke overraske dig. En vinkel med et minustegn er ikke værre, og har en meget specifik geometrisk betydning. På tegningen, for en negativ vinkel, skal du sørge for at angive dens orientering med en pil (med uret).

Hvordan finder man vinklen mellem to rette linjer? Der er to arbejdsformler:

Eksempel 10

Find vinklen mellem linjer

Løsning Og Metode et

Lad os betragte to lige linjer defineret af ligninger i generel form:

Hvis lige ikke vinkelret, At orienteret Vinklen mellem dem kan beregnes ved hjælp af formlen:

Lad os være meget opmærksomme på nævneren - det er præcis skalært produkt retningsvektorer af rette linjer:

Hvis , så bliver nævneren af ​​formlen nul, og vektorerne vil være ortogonale, og linjerne vil være vinkelrette. Derfor blev der taget forbehold for, at rette linjer ikke er vinkelrette i formuleringen.

Baseret på ovenstående er det praktisk at formalisere løsningen i to trin:

1) Lad os beregne skalarproduktet af linjernes retningsvektorer:
, hvilket betyder, at linjerne ikke er vinkelrette.

2) Find vinklen mellem rette linjer ved hjælp af formlen:

Ved hjælp af den omvendte funktion er det nemt at finde selve vinklen. I dette tilfælde bruger vi arctangensens mærkelighed (se. Grafer og egenskaber for elementære funktioner):

Svar:

I dit svar angiver vi den nøjagtige værdi, samt en omtrentlig værdi (gerne i både grader og radianer), beregnet ved hjælp af en lommeregner.

Nå, minus, minus, ingen big deal. Her er en geometrisk illustration:

Det er ikke overraskende, at vinklen viste sig at have en negativ orientering, for i problemformuleringen er det første tal en lige linje, og "skruningen" af vinklen begyndte præcis med den.

Hvis du virkelig vil have en positiv vinkel, skal du bytte linjerne, det vil sige tage koefficienterne fra den anden ligning , og tag koefficienterne fra den første ligning. Kort sagt, du skal starte med en direkte .

Ved hjælp af denne online-beregner kan du finde skæringspunktet mellem linjer på et plan. Der gives en detaljeret løsning med forklaringer. For at finde koordinaterne for linjers skæringspunkt skal du indstille typen af ​​ligning af linjer ("kanonisk", "parametrisk" eller "generel"), indtaste koefficienterne for linjeligningerne i cellerne og klikke på "Løs" " knappen. Se den teoretiske del og de numeriske eksempler nedenfor.

×

Advarsel

Vil du rydde alle celler?

Luk Ryd

Instruktioner til indtastning af data. Tal indtastes som heltal (eksempler: 487, 5, -7623 osv.), decimaler (eks. 67., 102.54 osv.) eller brøker. Brøken skal indtastes på formen a/b, hvor a og b (b>0) er heltal eller decimaler. Eksempler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 osv.

Skæringspunktet mellem linjer på et plan - teori, eksempler og løsninger

1. Skæringspunktet for linjer givet i generel form.

Oxy L 1 og L 2:

Lad os bygge en udvidet matrix:

Hvis B" 2 = 0 og MED" 2 =0, så har systemet af lineære ligninger mange løsninger. Derfor lige L 1 og L 2 kamp. Hvis B" 2 = 0 og MED" 2 ≠0, så er systemet inkonsekvent, og derfor er linjerne parallelle og har ikke et fælles punkt. Hvis B" 2 ≠0, så har systemet af lineære ligninger en unik løsning. Fra den anden ligning finder vi y: y=MED" 2 /B" 2 og substituerer den resulterende værdi i den første ligning, vi finder x: x=−MED 1 −B 1 y. Vi fik skæringspunktet mellem linjerne L 1 og L 2: M(x, y).

2. Skæringspunktet for linjer givet i kanonisk form.

Lad et kartesisk rektangulært koordinatsystem gives Oxy og lad rette linjer gives i dette koordinatsystem L 1 og L 2:

Lad os åbne parenteserne og lave transformationerne:

Ved at bruge en lignende metode får vi den generelle ligning for den rette linje (7):

Fra ligning (12) følger:

Hvordan man finder skæringspunktet for linjer givet i kanonisk form er beskrevet ovenfor.

4. Skæringspunktet for linjer angivet i forskellige visninger.

Lad et kartesisk rektangulært koordinatsystem gives Oxy og lad rette linjer gives i dette koordinatsystem L 1 og L 2:

Vi finder t:

Lad os løse systemet af lineære ligninger mhp x, y. For at gøre dette vil vi bruge den Gaussiske metode. Vi får:

Eksempel 2. Find skæringspunktet mellem linjer L 1 og L 2:

(21)

For at finde skæringspunktet mellem linjer L 1 og L 2 skal du løse systemet af lineære ligninger (20) og (21). Lad os præsentere ligningerne i matrixform.

Lad to linjer blive givet, og du skal finde deres skæringspunkt. Da dette punkt hører til hver af de to givne linjer, skal dets koordinater opfylde både ligningen for den første linje og ligningen for den anden linje.

For at finde koordinaterne til skæringspunktet mellem to linjer skal man løse ligningssystemet

Eksempel 1. Find skæringspunktet mellem linjer og

Løsning. Vi finder koordinaterne for det ønskede skæringspunkt ved at løse ligningssystemet

Skæringspunktet M har koordinater

Lad os vise, hvordan man konstruerer en ret linje ved hjælp af dens ligning. For at konstruere en lige linje er det nok at kende dens to punkter. For at konstruere hvert af disse punkter angiver vi en vilkårlig værdi for en af ​​dens koordinater, og så finder vi ud fra ligningen den tilsvarende værdi for den anden koordinat.

Hvis i den generelle ligning for en ret linje begge koefficienter ved de aktuelle koordinater ikke er lig med nul, så for at konstruere denne rette linje er det bedst at finde punkterne for dens skæringspunkt med koordinatakserne.

Eksempel 2. Konstruer en ret linje.

Løsning. Vi finder skæringspunktet for denne linje med abscisseaksen. For at gøre dette løser vi deres ligninger sammen:

og vi får. Således er punktet M (3; 0) for denne linjes skæringspunkt med abscisseaksen fundet (fig. 40).

Løs derefter ligningen for denne linje og ligningen for ordinataksen sammen

finder vi skæringspunktet for linjen med ordinataksen. Til sidst konstruerer vi en ret linje fra dens to punkter M og

Når man løser nogle geometriske problemer ved hjælp af koordinatmetoden, skal man finde koordinaterne for linjers skæringspunkt. Oftest skal man lede efter koordinaterne for skæringspunktet for to linjer på et plan, men nogle gange er der behov for at bestemme koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer i rummet. I denne artikel vil vi beskæftige os med at finde koordinaterne for det punkt, hvor to linjer skærer hinanden.

Sidenavigation.

Skæringspunktet mellem to linjer er en definition.

Lad os først definere skæringspunktet mellem to linjer.

I afsnittet om linjers relative position på et plan er det vist, at to linjer på et plan enten kan falde sammen (og de har uendeligt mange fælles punkter), eller være parallelle (og to linjer har ingen fælles punkter) eller skære hinanden. , der har ét fælles punkt. Der er flere muligheder for den relative position af to linjer i rummet - de kan falde sammen (har uendeligt mange fælles punkter), de kan være parallelle (det vil sige ligge i samme plan og ikke skære hinanden), de kan skære hinanden (ikke ligge i samme plan), og de kan også have ét fælles punkt, det vil sige skære hinanden. Så to linjer både på planet og i rummet kaldes skærende, hvis de har ét fælles punkt.

Af definitionen af ​​skærende linjer følger det bestemmelse af skæringspunktet mellem linjer: Punktet, hvor to linjer skærer hinanden, kaldes disse linjers skæringspunkt. Med andre ord er det eneste fælles punkt for to skærende linjer skæringspunktet mellem disse linjer.

For klarhedens skyld præsenterer vi en grafisk illustration af skæringspunktet mellem to lige linjer på et plan og i rummet.

Øverst på siden

Find koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer på et plan.

Inden du finder koordinaterne for skæringspunktet for to rette linjer på et plan ved hjælp af deres kendte ligninger, skal du overveje et hjælpeproblem.

Oxy -en Og b. Det vil vi gå ud fra -en svarer til en generel ligning af den rette linje af formen , og den rette linje b– type . Lad være et punkt på flyet, og vi skal finde ud af, om pointen er M 0 skæringspunktet for givne linjer.

Lad os løse problemet.

Hvis M0 -en Og b, så hører den per definition også til linjen -en og lige b, det vil sige, at dens koordinater skal opfylde både ligningen og ligningen. Derfor er vi nødt til at erstatte punktets koordinater M 0 ind i ligningerne for givne linjer og se, om dette resulterer i to korrekte ligheder. Hvis punktets koordinater M 0 opfylder begge ligninger og , Så er skæringspunktet mellem linjerne -en Og b, Ellers M 0 .

er pointen M 0 med koordinater (2, -3) skæringspunktet mellem linjer 5x-2y-16=0 Og 2x-5y-19=0?

Hvis M 0 er faktisk skæringspunktet for givne linjer, så opfylder dens koordinater linjeligningerne. Lad os kontrollere dette ved at erstatte punktets koordinater M 0 ind i de givne ligninger:

Vi har derfor to sande ligheder, M 0 (2, -3)- skæringspunktet mellem linjer 5x-2y-16=0 Og 2x-5y-19=0.

For klarhedens skyld præsenterer vi en tegning, der viser lige linjer, og koordinaterne for deres skæringspunkter er synlige.

ja, punktum M 0 (2, -3) er linjernes skæringspunkt 5x-2y-16=0 Og 2x-5y-19=0.

Skærer linjerne hinanden? 5x+3y-1=0 Og 7x-2y+11=0 på punktet M 0 (2, -3)?

Lad os erstatte punktets koordinater M 0 ind i ligningerne for rette linjer, vil denne handling kontrollere, om punktet hører til M 0 begge lige linjer på samme tid:

Siden den anden ligning, når punktets koordinater indsættes i den M 0 ikke blev til en sand ligestilling, så peg M 0 hører ikke til linjen 7x-2y+11=0. Ud fra dette faktum kan vi konkludere, at pointen M 0 er ikke skæringspunktet for de givne linjer.

Tegningen viser også tydeligt, at pointen M 0 er ikke skæringspunktet mellem linjer 5x+3y-1=0 Og 7x-2y+11=0. Det er klart, at de givne linjer skærer hinanden i et punkt med koordinater (-1, 2) .

M 0 (2, -3) er ikke skæringspunktet mellem linjer 5x+3y-1=0 Og 7x-2y+11=0.

Nu kan vi gå videre til opgaven med at finde koordinaterne for skæringspunktet for to linjer ved hjælp af de givne ligninger af linjer på en plan.

Lad et rektangulært kartesisk koordinatsystem fastgøres på planet Oxy og givet to skærende linjer -en Og b ligninger og hhv. Lad os betegne skæringspunktet for de givne linjer som M 0 og løs følgende opgave: find koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer -en Og b ifølge de kendte ligninger af disse linjer og .

Prik M0 hører til hver af de skærende linjer -en Og b a-priory. Derefter koordinaterne for linjernes skæringspunkt -en Og b opfylder både ligningen og ligningen. Derfor er koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer -en Og b er løsningen til et ligningssystem (se artiklen løsning af lineære algebraiske ligninger).

For at finde koordinaterne til skæringspunktet for to rette linjer defineret på en plan ved generelle ligninger, skal du løse et system, der er sammensat af ligninger af givne rette linjer.

Lad os se på eksempelløsningen.

Find skæringspunktet for to linjer defineret i et rektangulært koordinatsystem på en plan ved ligningerne x-9y+14=0 Og 5x-2y-16=0.

Vi får to generelle ligninger af linjer, lad os lave et system ud af dem: . Løsninger til det resulterende ligningssystem findes let ved at løse dens første ligning med hensyn til variablen x og indsæt dette udtryk i den anden ligning:

Den fundne løsning til ligningssystemet giver os de ønskede koordinater for skæringspunktet mellem to linjer.

M 0 (4, 2)– skæringspunktet mellem linjer x-9y+14=0 Og 5x-2y-16=0.

Så at finde koordinaterne for skæringspunktet mellem to rette linjer, defineret af generelle ligninger på en plan, kommer ned til at løse et system af to lineære ligninger med to ukendte variable. Men hvad nu hvis linjer på en plan ikke er givet ved generelle ligninger, men af ​​ligninger af en anden type (se ligningstyper for en linje på en plan)? I disse tilfælde kan du først reducere linjeligningerne til en generel form, og først derefter finde koordinaterne for skæringspunktet.

Før vi finder koordinaterne for skæringspunktet for de givne linjer, reducerer vi deres ligninger til en generel form. Overgangen fra en linjes parametriske ligninger til den generelle ligning for denne linje ser således ud:

Lad os nu udføre de nødvendige handlinger med den kanoniske ligning af den rette linje:

Således er de ønskede koordinater for linjernes skæringspunkt en løsning på et system af ligninger af formen. Vi bruger Cramers metode til at løse det:

M 0 (-5, 1)

Der er en anden måde at finde koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer på et plan. Det er praktisk at bruge, når en af ​​linjerne er givet ved parametriske ligninger af formen, og den anden af ​​en linjeligning af en anden type. I dette tilfælde i en anden ligning i stedet for variabler x Og y du kan erstatte udtrykkene og , hvorfra du kan få den værdi, der svarer til skæringspunktet for de givne linjer. I dette tilfælde har linjernes skæringspunkt koordinater.

Lad os finde koordinaterne for skæringspunktet for linjerne fra det foregående eksempel ved hjælp af denne metode.

Bestem koordinaterne for skæringspunktet mellem linjerne og .

Lad os erstatte det lige linjeudtryk i ligningen:

Efter at have løst den resulterende ligning får vi . Denne værdi svarer til det fælles punkt for linjerne og . Vi beregner koordinaterne for skæringspunktet ved at erstatte en ret linje i de parametriske ligninger:
.

M 0 (-5, 1).

For at fuldende billedet bør endnu et punkt diskuteres.

Før man finder koordinaterne for skæringspunktet for to linjer på et plan, er det nyttigt at sikre sig, at de givne linjer faktisk skærer hinanden. Hvis det viser sig, at de oprindelige linjer falder sammen eller er parallelle, kan der ikke være tale om at finde koordinaterne til skæringspunktet for sådanne linjer.

Du kan selvfølgelig undvære en sådan kontrol, men opret straks et system af formens ligninger og løs det. Hvis et ligningssystem har en unik løsning, giver det koordinaterne for det punkt, hvor de oprindelige linjer skærer hinanden. Hvis ligningssystemet ikke har løsninger, kan vi konkludere, at de oprindelige linjer er parallelle (da der ikke er et sådant par reelle tal x Og y, som samtidig ville opfylde begge ligninger for de givne linjer). Fra tilstedeværelsen af ​​et uendeligt antal løsninger til et ligningssystem følger det, at de oprindelige rette linjer har uendeligt mange fælles punkter, det vil sige, at de falder sammen.

Lad os se på eksempler, der passer til disse situationer.

Find ud af om linjerne og skærer hinanden, og hvis de skærer hinanden, så find koordinaterne for skæringspunktet.

De givne ligninger af linjer svarer til ligningerne og . Lad os løse systemet, der består af disse ligninger.

Det er indlysende, at systemets ligninger er lineært udtrykt gennem hinanden (systemets anden ligning fås fra den første ved at gange begge dets dele med 4 ), derfor har ligningssystemet et uendeligt antal løsninger. Således definerer ligningerne den samme linje, og vi kan ikke tale om at finde koordinaterne til disse linjers skæringspunkt.

ligninger og er defineret i et rektangulært koordinatsystem Oxy den samme rette linje, så vi kan ikke tale om at finde koordinaterne til skæringspunktet.

Find koordinaterne for linjernes skæringspunkt og , hvis det er muligt.

Problemets tilstand tillader, at linjerne muligvis ikke krydser hinanden. Lad os skabe et system ud fra disse ligninger. Lad os anvende Gauss-metoden til at løse den, da den giver os mulighed for at fastslå kompatibiliteten eller inkompatibiliteten af ​​et ligningssystem, og hvis det er kompatibelt, find en løsning:

Den sidste ligning af systemet efter den direkte passage af Gauss-metoden blev til en forkert lighed, derfor har ligningssystemet ingen løsninger. Heraf kan vi konkludere, at de oprindelige linjer er parallelle, og vi kan ikke tale om at finde koordinaterne for disse linjers skæringspunkt.

Anden løsning.

Lad os finde ud af, om de givne linjer skærer hinanden.

En normalvektor er en linje, og en vektor er en normalvektor af en linje. Lad os kontrollere, at betingelsen for kollinearitet af vektorer og : ligheden er sand, da de normale vektorer af de givne rette linjer derfor er kollineære. Så er disse linjer parallelle eller sammenfaldende. Vi kan således ikke finde koordinaterne for skæringspunktet for de oprindelige linjer.

det er umuligt at finde koordinaterne for skæringspunktet for de givne linjer, da disse linjer er parallelle.

Find koordinaterne for linjernes skæringspunkt 2x-1=0 og hvis de krydser hinanden.

Lad os sammensætte et ligningssystem, der er generelle ligninger af givne linjer: . Determinanten for hovedmatrixen af ​​dette ligningssystem er ikke-nul, derfor har ligningssystemet en unik løsning, som angiver skæringspunktet mellem de givne linjer.

For at finde koordinaterne for linjernes skæringspunkt skal vi løse systemet:

Den resulterende løsning giver os koordinaterne for linjernes skæringspunkt, det vil sige linjernes skæringspunkt 2x-1=0 Og .

Øverst på siden

At finde koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer i rummet.

Koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer i det tredimensionelle rum findes på samme måde.

Lad de krydsende linjer -en Og b specificeret i et rektangulært koordinatsystem Oxyz ligninger af to skærende planer, det vil sige en ret linje -en er bestemt af et system af formen , og den rette linje b- . Lade M 0– skæringspunktet mellem linjer -en Og b. Så peg M 0 hører per definition også til linjen -en og lige b derfor opfylder dens koordinater ligningerne for begge linjer. Således er koordinaterne for linjernes skæringspunkt -en Og b repræsentere en løsning til et system af lineære ligninger af formen. Her får vi brug for information fra afsnittet om løsning af lineære ligningssystemer, hvor antallet af ligninger ikke er sammenfaldende med antallet af ukendte variable.

Lad os se på løsningerne til eksemplerne.

Find koordinaterne for skæringspunktet mellem to linjer defineret i rummet af ligningerne og .

Lad os sammensætte et ligningssystem ud fra ligningerne for de givne linjer: . Løsningen af ​​dette system vil give os de ønskede koordinater for skæringspunktet mellem linjer i rummet. Lad os finde løsningen på det skrevne ligningssystem.

Systemets hovedmatrix har formen og den udvidede - .

Lad os bestemme rangen af ​​matrixen EN og matrix rang T. Vi bruger metoden til at grænse mindreårige, men vi vil ikke beskrive i detaljer beregningen af ​​determinanter (hvis det er nødvendigt, se artiklen Beregning af determinanten af ​​en matrix):

Således er rangen af ​​hovedmatrixen lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix og er lig med tre.

Derfor har ligningssystemet en unik løsning.

Vi vil tage determinanten som basis-minor, derfor bør den sidste ligning udelukkes fra ligningssystemet, da den ikke deltager i dannelsen af ​​basis-minor. Så,

Løsningen på det resulterende system er let at finde:

Linjernes skæringspunkt har således koordinater (1, -3, 0) .

(1, -3, 0) .

Det skal bemærkes, at ligningssystemet har en unik løsning, hvis og kun hvis de rette linjer -en Og b krydse. Hvis lige EN Og b parallel eller krydsende, så har det sidste ligningssystem ingen løsninger, da linjerne i dette tilfælde ikke har fælles punkter. Hvis lige -en Og b falder sammen, så har de et uendeligt antal fælles punkter, derfor har det angivne ligningssystem et uendeligt antal løsninger. Men i disse tilfælde kan vi ikke tale om at finde koordinaterne for linjernes skæringspunkt, da linjerne ikke skærer.

Hvis vi altså ikke på forhånd ved, om de givne linjer skærer hinanden -en Og b eller ej, så er det rimeligt at lave et ligningssystem af formen og løse det ved Gauss-metoden. Hvis vi får en unik løsning, vil den svare til koordinaterne for linjernes skæringspunkt -en Og b. Hvis systemet viser sig at være inkonsekvent, så er det direkte -en Og b ikke skære hinanden. Hvis systemet har et uendeligt antal løsninger, så de rette linjer -en Og b matche.

Du kan undvære at bruge Gauss-metoden. Alternativt kan du beregne rækkerne af hoved- og udvidede matricer af dette system, og baseret på de opnåede data og Kronecker-Capelli-sætningen konkludere enten eksistensen af ​​en enkelt løsning eller eksistensen af ​​mange løsninger eller fraværet af løsninger. Det er en smagssag.

Hvis linjerne skærer hinanden, så bestem koordinaterne for skæringspunktet.

Lad os skabe et system ud fra de givne ligninger: . Lad os løse det ved hjælp af Gauss-metoden i matrixform:

Det blev klart, at ligningssystemet ikke har nogen løsninger, derfor skærer de givne linjer ikke hinanden, og der kan ikke være tale om at finde koordinaterne for disse linjers skæringspunkt.

vi kan ikke finde koordinaterne for skæringspunktet for de givne linjer, da disse linjer ikke skærer hinanden.

Når skærende linjer er givet ved kanoniske ligninger for en linje i rummet eller parametriske ligninger for en linje i rummet, så skal man først få deres ligninger i form af to skærende planer, og først derefter finde koordinaterne til skæringspunktet.

To skærende linjer er defineret i et rektangulært koordinatsystem Oxyz ligninger og . Find koordinaterne for disse linjers skæringspunkt.

Lad os definere de indledende rette linjer ved ligningerne for to skærende planer:

For at finde koordinaterne for linjernes skæringspunkt er det tilbage at løse ligningssystemet. Rangeringen af ​​hovedmatrixen i dette system er lig med rangeringen af ​​den udvidede matrix og er lig med tre (vi anbefaler at kontrollere dette faktum). Lad os tage som basis minor; derfor kan vi eliminere den sidste ligning fra systemet. Efter at have løst det resulterende system ved hjælp af en hvilken som helst metode (for eksempel Cramers metode), får vi løsningen. Linjernes skæringspunkt har således koordinater (-2, 3, -5) .

Lektion fra serien "Geometriske algoritmer"

Hej kære læser!

Lad os fortsætte med at blive bekendt med geometriske algoritmer. I den sidste lektion fandt vi ligningen for en ret linje ved hjælp af koordinaterne for to punkter. Vi fik en ligning af formen:

I dag vil vi skrive en funktion, der ved hjælp af ligningerne for to rette linjer vil finde koordinaterne for deres skæringspunkt (hvis der er et). For at kontrollere ligheden af ​​reelle tal, vil vi bruge specialfunktionen RealEq().

Punkter på planet er beskrevet af et par reelle tal. Når du bruger en rigtig type, er det bedre at implementere sammenligningsoperationer ved hjælp af specielle funktioner.

Årsagen er kendt: på Real-typen i Pascal-programmeringssystemet er der ingen ordrerelation, så det er bedre ikke at bruge poster på formen a = b, hvor a og b er reelle tal.
I dag vil vi introducere RealEq()-funktionen til at implementere "=" (strengt lige) operationen:

Funktion RealEq(Const a, b:Real):Boolsk; (strengt lige) begynder RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Opgave. Ligningerne for to rette linjer er givet: og . Find punktet for deres skæringspunkt.

Løsning. Den oplagte løsning er at løse linjeligningssystemet: Lad os omskrive dette system lidt anderledes:
(1)

Lad os introducere følgende notation: , , . Her er D systemets determinant, og er de determinanter, der er resultatet af at erstatte kolonnen med koefficienter for den tilsvarende ukendte med en kolonne med frie led. Hvis , så er system (1) bestemt, det vil sige, at det har en unik løsning. Denne løsning kan findes ved hjælp af følgende formler: , som kaldes Cramer formler. Lad mig minde dig om, hvordan andenordens determinant beregnes. Determinanten skelner mellem to diagonaler: den primære og den sekundære. Hoveddiagonalen består af elementer taget i retningen fra det øverste venstre hjørne af determinanten til det nederste højre hjørne. Side diagonal - fra øverste højre til nederste venstre. Den anden ordens determinant er lig med produktet af elementerne i hoveddiagonalen minus produktet af elementerne i den sekundære diagonal.

Koden bruger RealEq()-funktionen til at kontrollere lighed. Beregninger på reelle tal udføres med en nøjagtighed på _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(beregningsnøjagtighed) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funktion RealEq(Const a, b:Real):Boolsk; (strengt lige) begynder RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Vi har sammensat et program, hvormed du kan finde koordinaterne for deres skæringspunkter, ved at kende linjernes ligninger.