Gauss-metoden er en universel formel. Omvendt Gauss-metode

Lad et system af lineære algebraiske ligninger være givet, som skal løses (find sådanne værdier af de ukendte хi, der gør hver ligning i systemet til en lighed).

Vi ved, at et system af lineære algebraiske ligninger kan:

1) Har ingen løsninger (vær uforenelig).
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Få en unik løsning.

Som vi husker, er Cramers regel og matrixmetoden uegnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. Gauss metode – det mest kraftfulde og alsidige værktøj til at finde løsninger på ethvert system af lineære ligninger, hvilken i alle tilfælde led os til svaret! Metodens algoritme fungerer i alle tre tilfælde på samme måde. Hvis Cramer- og matrix-metoderne kræver viden om determinanter, så kræver anvendelsen af Gauss-metoden kun kendskab til regneoperationer, hvilket gør den tilgængelig selv for folkeskoleelever.

Udvidede matrixtransformationer ( dette er systemets matrix - en matrix kun sammensat af koefficienterne for de ukendte plus en kolonne med frie termer) systemer af lineære algebraiske ligninger i Gauss-metoden:

1) med troky matricer kan omarrangere steder.

2) hvis der er (eller er) proportionale (som et specialtilfælde - identiske) rækker i matrixen, så følger det slette fra matrixen, alle disse rækker undtagen én.

3) hvis en nul-række dukkede op i matricen under transformationerne, så følger den også slette.

4) rækken af matrix kan gange (dividere) til et hvilket som helst andet tal end nul.

5) til rækken af matrixen, kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul.

I Gauss-metoden ændrer elementære transformationer ikke løsningen af ligningssystemet.

Gauss-metoden består af to faser:

"Direkte bevægelse" - ved hjælp af elementære transformationer bringes den udvidede matrix af systemet af lineære algebraiske ligninger til en "trekantformet" trinform: elementerne i den udvidede matrix placeret under hoveddiagonalen er lig med nul (top-down bevægelse ). For eksempel til denne slags:

For at gøre dette skal du udføre følgende trin:

1) Lad os betragte den første ligning af et system af lineære algebraiske ligninger og koefficienten ved x 1 er lig med K. Den anden, tredje osv. vi transformerer ligningerne som følger: vi dividerer hver ligning (koefficienter for ukendte, inklusive frie led) med koefficienten for ukendt x 1, som er i hver ligning, og multiplicerer med K. Derefter trækker vi den første fra den anden ligning ( koefficienter for ukendte og frie termer). Vi får ved x 1 i den anden ligning koefficienten 0. Fra den tredje transformerede ligning trækker vi den første ligning, så indtil alle ligninger, undtagen den første, med ukendt x 1 ikke vil have en koefficient 0.

2) Gå videre til næste ligning. Lad dette være den anden ligning, og koefficienten ved x 2 er lig med M. Med alle de "underordnede" ligninger går vi videre som beskrevet ovenfor. Således vil "under" den ukendte x 2 i alle ligninger være nuller.

3) Vi går videre til næste ligning og så videre, indtil der er et sidste ukendt og transformeret frit led tilbage.

Gauss-metodens "omvendte træk" er at opnå en løsning på et system af lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-bevægelsen). Fra den sidste "nedre" ligning får vi en første løsning - den ukendte x n. For at gøre dette løser vi den elementære ligning A * x n \u003d B. I eksemplet ovenfor, x 3 \u003d 4. Vi erstatter den fundne værdi i den "øverste" næste ligning og løser den med hensyn til den næste ukendte. For eksempel, x 2 - 4 \u003d 1, dvs. x 2 \u003d 5. Og så videre, indtil vi finder alle de ukendte.

Eksempel.

Vi løser systemet med lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, som nogle forfattere anbefaler:

Vi skriver den udvidede matrix af systemet og, ved hjælp af elementære transformationer, bringer det til en trinform:

Vi ser på det øverste venstre "trin". Der burde vi have en enhed. Problemet er, at der slet ikke er nogen i den første kolonne, så intet kan løses ved at omarrangere rækkerne. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Lad os gøre det sådan her:
1 trin . Til den første linje lægger vi den anden linje, ganget med -1. Det vil sige, at vi mentalt gangede den anden linje med -1 og udførte tilføjelsen af den første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.

Nu øverst til venstre "minus en", hvilket passer os perfekt. Den, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra handling: gange den første linje med -1 (skift fortegn).

2 trin . Den første linje ganget med 5 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med 3 blev tilføjet til den tredje linje.

3 trin . Den første linje blev ganget med -1, i princippet er dette for skønhed. Tegnet på den tredje linje blev også ændret og flyttet til andenpladsen, så på det andet "trin havde vi den ønskede enhed.

4 trin . Til den tredje linje skal du lægge den anden linje ganget med 2.

5 trin . Den tredje linje er divideret med 3.

Et tegn, der indikerer en fejl i beregningerne (mindre ofte en tastefejl) er en "dårlig" bundlinje. Det vil sige, hvis vi fik noget som (0 0 11 | 23) nedenfor, og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan vi med en høj grad af sandsynlighed sige, at der blev begået en fejl i grundskolen transformationer.

Vi udfører det omvendte træk, i design af eksempler bliver selve systemet ofte ikke omskrevet, og ligningerne er "taget direkte fra den givne matrix". Det omvendte træk, jeg minder dig om, fungerer "nedefra og op." I dette eksempel viste gaven sig:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, derfor x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Svar:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lad os løse det samme system ved hjælp af den foreslåede algoritme. Vi får

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Divider den anden ligning med 5 og den tredje med 3. Vi får:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Gang anden og tredje ligning med 4, så får vi:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Træk den første ligning fra den anden og tredje ligning, vi har:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divider den tredje ligning med 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Gang den tredje ligning med 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Træk den anden ligning fra den tredje ligning, vi får den "trinvise" forstærkede matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da en fejl akkumuleres i beregningsprocessen, får vi x 3 \u003d 0,96 eller cirka 1.

x 2 \u003d 3 og x 1 \u003d -1.

Løser du på denne måde, bliver du aldrig forvirret i beregningerne, og på trods af regnefejlene får du resultatet.

Denne metode til at løse et system af lineære algebraiske ligninger er let programmerbar og tager ikke højde for de specifikke egenskaber ved koefficienterne for ukendte, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) har at gøre med ikke-heltalskoefficienter.

Held og lykke! Vi ses i klassen! Underviser Dmitry Aistrakhanov.

site, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

Lad et system af lineære algebraiske ligninger være givet, som skal løses (find sådanne værdier af de ukendte хi, der gør hver ligning i systemet til en lighed).

Vi ved, at et system af lineære algebraiske ligninger kan:

1) Har ingen løsninger (vær uforenelig).
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Få en unik løsning.

1) med troky matricer kan omarrangere steder.

2) hvis der er (eller er) proportionale (som et specialtilfælde - identiske) rækker i matrixen, så følger det slette fra matrixen, alle disse rækker undtagen én.

3) hvis en nul-række dukkede op i matricen under transformationerne, så følger den også slette.

4) rækken af matrix kan gange (dividere) til et hvilket som helst andet tal end nul.

5) til rækken af matrixen, kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul.

I Gauss-metoden ændrer elementære transformationer ikke løsningen af ligningssystemet.

Gauss-metoden består af to faser:

"Direkte bevægelse" - ved hjælp af elementære transformationer bringes den udvidede matrix af systemet af lineære algebraiske ligninger til en "trekantformet" trinform: elementerne i den udvidede matrix placeret under hoveddiagonalen er lig med nul (top-down bevægelse ). For eksempel til denne slags:

For at gøre dette skal du udføre følgende trin:

3) Vi går videre til næste ligning og så videre, indtil der er et sidste ukendt og transformeret frit led tilbage.

Gauss-metodens "omvendte træk" er at opnå en løsning på et system af lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-bevægelsen). Fra den sidste "nedre" ligning får vi en første løsning - den ukendte x n. For at gøre dette løser vi den elementære ligning A * x n \u003d B. I eksemplet ovenfor, x 3 \u003d 4. Vi erstatter den fundne værdi i den "øverste" næste ligning og løser den med hensyn til den næste ukendte. For eksempel, x 2 - 4 \u003d 1, dvs. x 2 \u003d 5. Og så videre, indtil vi finder alle de ukendte.

Eksempel.

Vi løser systemet med lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, som nogle forfattere anbefaler:

Vi skriver den udvidede matrix af systemet og, ved hjælp af elementære transformationer, bringer det til en trinform:

Nu øverst til venstre "minus en", hvilket passer os perfekt. Den, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra handling: gange den første linje med -1 (skift fortegn).

2 trin . Den første linje ganget med 5 blev tilføjet til den anden linje. Den første linje ganget med 3 blev tilføjet til den tredje linje.

4 trin . Til den tredje linje skal du lægge den anden linje ganget med 2.

5 trin . Den tredje linje er divideret med 3.

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, derfor x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

Svar:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Lad os løse det samme system ved hjælp af den foreslåede algoritme. Vi får

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Divider den anden ligning med 5 og den tredje med 3. Vi får:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Gang anden og tredje ligning med 4, så får vi:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Træk den første ligning fra den anden og tredje ligning, vi har:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divider den tredje ligning med 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Gang den tredje ligning med 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Træk den anden ligning fra den tredje ligning, vi får den "trinvise" forstærkede matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da en fejl akkumuleres i beregningsprocessen, får vi x 3 \u003d 0,96 eller cirka 1.

x 2 \u003d 3 og x 1 \u003d -1.

Løser du på denne måde, bliver du aldrig forvirret i beregningerne, og på trods af regnefejlene får du resultatet.

Held og lykke! Vi ses i klassen! Underviser.

blog.site, med hel eller delvis kopiering af materialet, kræves et link til kilden.

Definition og beskrivelse af Gauss-metoden

Gaussisk transformationsmetoden (også kendt som metoden til sekventiel eliminering af ukendte variable fra en ligning eller matrix) til løsning af lineære ligningssystemer er en klassisk metode til løsning af et system af algebraiske ligninger (SLAE). Også denne klassiske metode bruges til at løse sådanne problemer som at opnå inverse matricer og bestemme rangen af en matrix.

Transformationen ved hjælp af Gauss-metoden består i at lave små (elementære) successive ændringer i systemet af lineære algebraiske ligninger, hvilket fører til eliminering af variable fra top til bund med dannelsen af et nyt trekantet ligningssystem, som svarer til den originale.

Definition 1

Denne del af løsningen kaldes den Gaussiske fremadrettede løsning, da hele processen udføres fra top til bund.

Efter at have bragt det oprindelige ligningssystem til et trekantet, findes alle systemets variable nedefra og op (det vil sige, at de første fundet variabler er placeret nøjagtigt på de sidste linjer i systemet eller matrixen). Denne del af løsningen er også kendt som den omvendte Gauss-løsning. Dens algoritme består af følgende: først beregnes de variable, der er tættest på bunden af ligningssystemet eller en matrix, derefter erstattes de opnåede værdier ovenfor, og derved findes en anden variabel, og så videre.

Beskrivelse af Gauss-metodens algoritme

Rækkefølgen af handlinger for den generelle løsning af ligningssystemet ved Gauss-metoden består i skiftevis at anvende de fremadrettede og bagudgående streger på matricen baseret på SLAE. Lad det oprindelige ligningssystem have følgende form:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

For at løse SLAE ved Gauss-metoden er det nødvendigt at nedskrive det indledende system af ligninger i form af en matrix:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matrixen $A$ kaldes hovedmatrixen og repræsenterer koefficienterne for variablerne skrevet i rækkefølge, og $b$ kaldes kolonnen af dens frie medlemmer. Matrixen $A$ skrevet gennem linjen med en kolonne af frie medlemmer kaldes den udvidede matrix:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nu, ved at bruge elementære transformationer over ligningssystemet (eller over matrixen, da det er mere bekvemt), er det nødvendigt at bringe det til følgende form:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Matrixen opnået fra koefficienterne for det transformerede ligningssystem (1) kaldes en trinmatrix, sådan ser trinmatricer normalt ud:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Disse matricer er karakteriseret ved følgende sæt egenskaber:

Alle dens nul rækker kommer efter ikke-nul ener
Hvis en række af matricen med indeks $k$ er ikke-nul, så er der færre nuller i den foregående række af samme matrix end i denne række med indeks $k$.

Efter at have opnået trinmatricen, er det nødvendigt at erstatte de opnåede variabler i de resterende ligninger (startende fra slutningen) og opnå de resterende værdier af variablerne.

Grundlæggende regler og tilladte transformationer ved brug af Gauss-metoden

Når man simplificerer en matrix eller et ligningssystem ved denne metode, bør kun elementære transformationer anvendes.

Sådanne transformationer er operationer, der kan anvendes på en matrix eller et system af ligninger uden at ændre dets betydning:

permutation af flere linjer på steder,
tilføje eller trække fra en linje i matrixen en anden linje fra den,
gange eller dividere en streng med en konstant, der ikke er lig med nul,
en linje, der kun består af nuller, opnået i processen med at beregne og forenkle systemet, skal slettes,
Du skal også fjerne unødvendige proportionale linjer og vælge til systemet den eneste med koefficienter, der er mere egnede og bekvemme til yderligere beregninger.

Alle elementære transformationer er reversible.

Analyse af de tre hovedtilfælde, der opstår ved løsning af lineære ligninger ved hjælp af metoden til simple Gauss-transformationer

Der er tre tilfælde, der opstår, når man bruger Gauss-metoden til at løse systemer:

Når systemet er inkonsekvent, det vil sige, har det ingen løsninger
Ligningssystemet har en løsning, og den eneste, og antallet af ikke-nul rækker og kolonner i matrixen er lig med hinanden.
Systemet har et vist antal eller sæt af mulige løsninger, og antallet af rækker i det er mindre end antallet af kolonner.

Løsningsresultat med inkonsekvent system

For denne variant, når man løser en matrixligning ved Gauss-metoden, er det typisk at opnå en vis linje med umuligheden af at opfylde ligheden. Derfor, hvis der opstår mindst én ukorrekt lighed, har de resulterende og originale systemer ingen løsninger, uanset de andre ligninger, de indeholder. Et eksempel på en inkonsistent matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

En utilfredsstillet lighed viste sig i sidste linje: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Et ligningssystem, der kun har én løsning

Systemets data efter reduktion til en trinvis matrix og sletning af rækker med nuller har det samme antal rækker og kolonner i hovedmatrixen. Her er et simpelt eksempel på et sådant system:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Lad os skrive det i form af en matrix:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

For at bringe den første celle i den anden række til nul skal du gange den øverste række med $-2$ og trække den fra den nederste række af matricen og lade den øverste række være i sin oprindelige form, som et resultat har vi følgende:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Dette eksempel kan skrives som et system:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Følgende værdi af $x$ kommer ud af den nederste ligning: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Hvis denne værdi indsættes i den øverste ligning: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, får vi $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Et system med mange mulige løsninger

Dette system er kendetegnet ved et mindre antal signifikante rækker end antallet af kolonner i det (rækkerne i hovedmatricen tages i betragtning).

Variabler i et sådant system er opdelt i to typer: grundlæggende og gratis. Når man transformerer et sådant system, skal hovedvariablerne i det efterlades i venstre område før tegnet "=", og de resterende variable skal overføres til højre side af ligheden.

Et sådant system har kun en vis generel løsning.

Lad os analysere følgende ligningssystem:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Lad os skrive det i form af en matrix:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Vores opgave er at finde en generel løsning på systemet. For denne matrix vil de grundlæggende variabler være $y_1$ og $y_3$ (for $y_1$ - da det er i første omgang, og i tilfælde af $y_3$ - det er placeret efter nullerne).

Som grundvariable vælger vi præcis dem, der ikke er lig med nul først i rækken.

De resterende variable kaldes frie, gennem dem skal vi udtrykke de grundlæggende.

Ved at bruge det såkaldte omvendte træk adskiller vi systemet nedefra og op, for dette udtrykker vi først $y_3$ fra nederste linje af systemet:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nu erstatter vi den udtrykte $y_3$ i den øverste ligning af systemet $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Vi udtrykker $y_1$ i form af gratis variabler $y_2$ og $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 - 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) - y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Løsningen er klar.

Eksempel 1

Løs sloughen ved hjælp af Gauss-metoden. Eksempler. Et eksempel på løsning af et system af lineære ligninger givet af en 3 gange 3 matrix ved hjælp af Gauss-metoden

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0 \end(cases)$

Vi skriver vores system i form af en udvidet matrix:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Nu, for nemheds skyld og praktiske, skal vi transformere matrixen, så $1$ er i det øverste hjørne af den sidste kolonne.

For at gøre dette skal vi tilføje linjen fra midten ganget med $-1$ til 1. linje, og skrive selve midterlinjen, som den er, viser det sig:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Multiplicer den øverste og sidste række med $-1$, og skift den sidste og midterste række:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Og del den sidste linje med $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Vi får følgende ligningssystem, svarende til det oprindelige:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

Fra den øverste ligning udtrykker vi $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1$.

Eksempel 2

Et eksempel på løsning af et system defineret ved hjælp af en 4 gange 4 matrix ved hjælp af Gauss-metoden

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

I begyndelsen bytter vi de øverste linjer, der følger den, for at få $1$ i øverste venstre hjørne:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Lad os nu gange den øverste linje med $-2$ og lægge til den 2. og til den 3. Til den 4. tilføjer vi den 1. linje, ganget med $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Til linje nummer 3 tilføjer vi linje 2 ganget med $4$, og til linje 4 lægger vi linje 2 ganget med $-1$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Multiplicer række 2 med $-1$, divider række 4 med $3$, og erstat række 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Nu tilføjer vi til den sidste linje den næstsidste, ganget med $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Vi løser det resulterende ligningssystem:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$

1. System af lineære algebraiske ligninger

1.1 Begrebet et system af lineære algebraiske ligninger

Et ligningssystem er en tilstand, der består i den samtidige udførelse af flere ligninger i flere variable. Et system af lineære algebraiske ligninger (herefter benævnt SLAE) indeholdende m-ligninger og n ukendte er et system af formen:

hvor tallene a ij kaldes systemets koefficienter, tallene b i er frie medlemmer, aij og b i(i=1,…, m; b=1,…, n) er nogle kendte tal, og x 1, …, x n- ukendt. I notationen af koefficienterne aij det første indeks i betegner ligningens nummer, og det andet indeks j er tallet på den ukendte, hvor denne koefficient står. Med forbehold for at finde tallet x n . Det er praktisk at skrive et sådant system i en kompakt matrixform: AX=B. Her er A matrixen af koefficienter for systemet, kaldet hovedmatrixen;

er en kolonnevektor med ukendt xj.
er en kolonnevektor af frie medlemmer bi.

Produktet af matricerne A * X er defineret, da der er lige så mange kolonner i matrix A, som der er rækker i matrix X (n stykker).

Systemets udvidede matrix er systemets matrix A, suppleret med en kolonne af frie medlemmer

1.2 Løsning af et system af lineære algebraiske ligninger

Løsningen af et ligningssystem er et ordnet sæt tal (variableværdier), når de erstattes i stedet for variabler, bliver hver af systemets ligninger til en sand lighed.

Systemets løsning er n værdier af de ukendte x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, der erstatter hvilke alle systemets ligninger bliver til sande ligheder. Enhver løsning af systemet kan skrives som en matrix-kolonne

Et ligningssystem kaldes konsistent, hvis det har mindst én løsning, og inkonsistent, hvis det ikke har nogen løsninger.

Et fælles system kaldes bestemt, hvis det har en unik løsning, og ubestemt, hvis det har mere end én løsning. I sidstnævnte tilfælde kaldes hver af dens løsninger for en bestemt løsning af systemet. Sættet af alle særlige løsninger kaldes den generelle løsning.

At løse et system betyder at finde ud af, om det er konsistent eller inkonsekvent. Hvis systemet er kompatibelt, så find dets generelle løsning.

To systemer kaldes ækvivalente (ækvivalente), hvis de har den samme generelle løsning. Med andre ord, systemer er ækvivalente, hvis hver løsning til en af dem er en løsning til den anden, og omvendt.

En transformation, hvis anvendelse gør et system til et nyt system svarende til det oprindelige, kaldes en tilsvarende eller tilsvarende transformation. Følgende transformationer kan tjene som eksempler på ækvivalente transformationer: at bytte to ligninger i systemet, at bytte to ukendte sammen med koefficienterne for alle ligninger, at gange begge dele af en hvilken som helst ligning af systemet med et tal, der ikke er nul.

Et system af lineære ligninger kaldes homogent, hvis alle frie led er lig med nul:

Et homogent system er altid konsistent, da x1=x2=x3=…=xn=0 er en løsning på systemet. Denne løsning kaldes null eller triviel.

2. Gaussisk eliminationsmetode

2.1 Essensen af den Gaussiske eliminationsmetode

Den klassiske metode til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger er metoden til successiv eliminering af ukendte - Gauss metode(Det kaldes også den Gaussiske eliminationsmetode). Dette er en metode til successiv eliminering af variable, når et ligningssystem ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af en trinformet (eller trekantet) form, hvorfra alle andre variable findes sekventielt, startende fra sidste (efter antal) variabler.

Den Gaussiske løsningsproces består af to faser: fremadgående og bagudgående bevægelser.

1. Direkte flytning.

I det første trin udføres den såkaldte direkte bevægelse, når systemet ved hjælp af elementære transformationer over rækker bringes til en trinformet eller trekantet form, eller det konstateres, at systemet er inkonsistent. Nemlig blandt elementerne i den første kolonne i matricen vælges en ikke-nul, den flyttes til den øverste position ved at permutere rækkerne, og den første række, der opnås efter permutationen, trækkes fra de resterende rækker, multiplicerer den med en værdi lig med forholdet mellem det første element i hver af disse rækker og det første element i den første række, og nulstilles således kolonnen under det.

Efter at de angivne transformationer er blevet foretaget, er den første række og den første kolonne mentalt overstreget og fortsætter, indtil der er en nul-størrelse matrix tilbage. Hvis der ved nogle af iterationerne blandt elementerne i den første kolonne ikke blev fundet en ikke-nul, så gå til den næste kolonne og udfør en lignende operation.

I det første trin (fremadgående kørsel) reduceres systemet til en trinvis (især trekantet) form.

Systemet nedenfor er trinvist:

Koefficienterne aii kaldes de vigtigste (ledende) elementer i systemet.

(hvis a11=0, omarranger rækkerne i matrixen, så -en 11 var ikke lig med 0. Dette er altid muligt, for ellers indeholder matricen en nulsøjle, dens determinant er lig med nul, og systemet er inkonsekvent).

Vi transformerer systemet ved at eliminere den ukendte x1 i alle ligninger undtagen den første (ved hjælp af elementære transformationer af systemet). For at gøre dette skal du gange begge sider af den første ligning med

og tilføje led for led med systemets anden ligning (eller fra den anden ligning trækker vi led for led den første ganget med ). Derefter multiplicerer vi begge dele af den første ligning med og lægger den til den tredje ligning i systemet (eller subtraherer den første ganget med det tredje led med led). Således multiplicerer vi successivt den første række med et tal og lægger til jeg-th linje, for i= 2, 3, …,n.

Fortsætter denne proces får vi det tilsvarende system:

– nye værdier af koefficienterne for ukendte og frie led i de sidste m-1-ligninger af systemet, som er bestemt af formlerne:

Ved det første trin bliver alle koefficienter under det første førende element a 11 således ødelagt

0, ødelægger det andet trin elementerne under det andet førende element a 22 (1) (hvis en 22 (1) 0), og så videre. Hvis vi fortsætter denne proces yderligere, vil vi endelig reducere det originale system til et trekantet system på (m-1) trin.

Hvis der i processen med at reducere systemet til en trinvis form opstår nulligninger, dvs. ligheder på formen 0=0, de kasseres. Hvis der er en ligning af formen

Dette indikerer systemets inkompatibilitet.

Dette fuldender det direkte forløb af Gauss-metoden.

2. Omvendt bevægelse.

På det andet trin udføres det såkaldte omvendte træk, hvis essens er at udtrykke alle de resulterende grundvariabler i form af ikke-grundlæggende og konstruere et grundlæggende system af løsninger, eller, hvis alle variabler er grundlæggende, så udtryk numerisk den eneste løsning til systemet af lineære ligninger.

Denne procedure begynder med den sidste ligning, hvorfra den tilsvarende grundvariabel udtrykkes (der er kun én i den) og substitueres i de foregående ligninger, og så videre, og går op ad "trinene".

Hver linje svarer til nøjagtig én grundlæggende variabel, så ved hvert trin, bortset fra det sidste (øverst), gentager situationen nøjagtigt tilfældet med den sidste linje.

Bemærk: i praksis er det mere bekvemt ikke at arbejde med systemet, men med dets udvidede matrix, der udfører alle elementære transformationer på dets rækker. Det er praktisk, at koefficienten a11 er lig med 1 (omarranger ligningerne, eller divider begge sider af ligningen med a11).

2.2 Eksempler på løsning af SLAE ved Gauss-metoden

I dette afsnit vil vi ved hjælp af tre forskellige eksempler vise, hvordan den Gaussiske metode kan bruges til at løse SLAE.

Eksempel 1. Løs SLAE af 3. orden.

Indstil koefficienterne til nul ved

i anden og tredje linje. For at gøre dette skal du gange dem med henholdsvis 2/3 og 1 og tilføje dem til den første linje:

I denne artikel betragtes metoden som en måde at løse systemer af lineære ligninger (SLAE). Metoden er analytisk, det vil sige, den giver dig mulighed for at skrive en løsningsalgoritme i generel form og derefter erstatte værdier fra specifikke eksempler der. I modsætning til matrixmetoden eller Cramers formler kan man, når man løser et system af lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, også arbejde med dem, der har uendeligt mange løsninger. Eller også har de det slet ikke.

Hvad betyder Gauss?

Først skal du skrive vores ligningssystem ned i Det ser sådan ud. Systemet er taget:

Koefficienterne er skrevet i form af en tabel, og til højre i en separat kolonne - gratis medlemmer. Kolonnen med ledige medlemmer er adskilt for nemheds skyld. Matrixen, der inkluderer denne kolonne, kaldes udvidet.

Yderligere skal hovedmatrixen med koefficienter reduceres til den øvre trekantede form. Dette er hovedpunktet i at løse systemet ved Gauss-metoden. Kort sagt, efter visse manipulationer, skal matrixen se sådan ud, så der kun er nuller i dens nederste venstre del:

Hvis du så skriver den nye matrix igen som et ligningssystem, vil du bemærke, at den sidste række allerede indeholder værdien af en af rødderne, som så substitueres i ligningen ovenfor, en anden rod findes, og så videre.

Dette er en beskrivelse af løsningen ved Gauss-metoden i de mest generelle vendinger. Og hvad sker der, hvis systemet pludselig ikke har en løsning? Eller er der et uendeligt antal af dem? For at besvare disse og mange flere spørgsmål er det nødvendigt at overveje separat alle de elementer, der anvendes i løsningen ved Gauss-metoden.

Matricer, deres egenskaber

Der er ingen skjult mening i matrixen. Det er bare en bekvem måde at registrere data til senere operationer. Selv skolebørn skal ikke være bange for dem.

Matrixen er altid rektangulær, fordi den er mere praktisk. Selv i Gauss-metoden, hvor alt går ud på at bygge en trekantet matrix, vises et rektangel i indtastningen, kun med nuller på det sted, hvor der ikke er tal. Nuller kan udelades, men de er underforståede.

Matrixen har en størrelse. Dens "bredde" er antallet af rækker (m), dens "længde" er antallet af kolonner (n). Så vil størrelsen af matricen A (store latinske bogstaver bruges normalt til deres betegnelse) betegnes som A m×n . Hvis m=n, så er denne matrix kvadratisk, og m=n er dens rækkefølge. Følgelig kan et hvilket som helst element i matricen A betegnes med nummeret på dens række og kolonne: a xy ; x-rækkenummer, ændringer, y-søjlenummer, ændringer.

B er ikke hovedpointen i løsningen. I princippet kan alle operationer udføres direkte med selve ligningerne, men notationen vil vise sig at være meget mere besværlig, og det vil være meget nemmere at blive forvirret i den.

Determinant

Matrixen har også en determinant. Dette er en meget vigtig funktion. At finde ud af dens betydning nu er ikke det værd, du kan blot vise, hvordan det beregnes, og derefter fortælle, hvilke egenskaber af matricen den bestemmer. Den nemmeste måde at finde determinanten på er gennem diagonaler. I matrixen tegnes imaginære diagonaler; elementerne placeret på hver af dem multipliceres, og derefter tilføjes de resulterende produkter: diagonaler med en hældning til højre - med et "plus"-tegn, med en hældning til venstre - med et "minus"-tegn.

Det er ekstremt vigtigt at bemærke, at determinanten kun kan beregnes for en kvadratisk matrix. For en rektangulær matrix kan du gøre følgende: Vælg den mindste af antallet af rækker og antallet af kolonner (lad det være k), og marker derefter tilfældigt k kolonner og k rækker i matricen. Elementerne placeret i skæringspunktet mellem de valgte kolonner og rækker vil danne en ny firkantet matrix. Hvis determinanten for en sådan matrix er et andet tal end nul, kaldes det basis-minor af den oprindelige rektangulære matrix.

Før man går videre med løsningen af ligningssystemet ved Gauss-metoden, skader det ikke at beregne determinanten. Hvis det viser sig at være nul, så kan vi med det samme sige, at matrixen enten har et uendeligt antal løsninger, eller der er slet ingen. I sådan et trist tilfælde skal du gå videre og finde ud af matrixens rang.

System klassificering

Der er sådan noget som rangen af en matrix. Dette er den maksimale rækkefølge af dens ikke-nul determinant (ved at huske basis-minor, kan vi sige, at rangen af en matrix er rækkefølgen af basis-minor).

Alt efter hvordan det er med rangen, kan SLAE opdeles i:

Samling. På af ledsystemer falder rangen af hovedmatricen (kun bestående af koefficienter) sammen med rangeringen af den udvidede (med en kolonne af frie medlemmer). Sådanne systemer har en løsning, men ikke nødvendigvis en, derfor er fælles systemer yderligere opdelt i:
- bestemte- at have en unik løsning. I visse systemer er rangeringen af matrixen og antallet af ukendte (eller antallet af kolonner, som er det samme) lige store;
- ubestemt - med et uendeligt antal løsninger. Rangen af matricer for sådanne systemer er mindre end antallet af ukendte.
Uforenelig. På I sådanne systemer falder rækken af hoved- og udvidede matricer ikke sammen. Inkompatible systemer har ingen løsning.

Gauss-metoden er god, idet den giver mulighed for enten at opnå et entydigt bevis for systemets inkonsistens (uden at beregne determinanterne for store matricer) eller en generel løsning for et system med et uendeligt antal løsninger.

Elementære transformationer

Før du går direkte videre til systemets løsning, er det muligt at gøre det mindre besværligt og mere bekvemt til beregninger. Dette opnås gennem elementære transformationer - sådan at deres implementering ikke ændrer det endelige svar på nogen måde. Det skal bemærkes, at nogle af de ovennævnte elementære transformationer kun er gyldige for matricer, hvis kilde netop var SLAE. Her er en liste over disse transformationer:

Streng permutation. Det er indlysende, at hvis vi ændrer rækkefølgen af ligningerne i systemposten, så vil dette ikke påvirke løsningen på nogen måde. Derfor er det også muligt at udskifte rækker i matrixen af dette system, selvfølgelig ikke at glemme kolonnen med gratis medlemmer.
Multiplicer alle elementer i en streng med en eller anden faktor. Meget brugbar! Med den kan du reducere store tal i matrixen eller fjerne nuller. Sættet af løsninger vil som sædvanligt ikke ændre sig, og det bliver mere bekvemt at udføre yderligere operationer. Det vigtigste er, at koefficienten ikke er lig med nul.
Slet rækker med proportionalkoefficienter. Dette følger til dels af det foregående afsnit. Hvis to eller flere rækker i matrixen har proportionalkoefficienter, opnås to (eller igen flere) absolut identiske rækker, når du multiplicerer / dividerer en af rækkerne med proportionalitetskoefficienten, og du kan fjerne de ekstra, så der kun er tilbage en.
Fjernelse af nullinjen. Hvis der i løbet af transformationer opnås en streng et sted, hvor alle elementer, inklusive det frie medlem, er nul, så kan en sådan streng kaldes nul og smidt ud af matrixen.
Tilføjelse til elementerne i en række af elementerne i en anden (i de tilsvarende kolonner), ganget med en bestemt koefficient. Den mest uklare og vigtigste transformation af alle. Det er værd at dvæle ved det mere detaljeret.

Tilføjelse af en streng ganget med en faktor

For at lette forståelsen er det værd at adskille denne proces trin for trin. To rækker er taget fra matrixen:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Antag, at du skal lægge den første til den anden, ganget med koefficienten "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Så i matrixen erstattes den anden række med en ny, og den første forbliver uændret.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Det skal bemærkes, at multiplikationsfaktoren kan vælges på en sådan måde, at et af elementerne i den nye streng, som et resultat af tilføjelsen af to strenge, er lig nul. Derfor er det muligt at få en ligning i systemet, hvor der vil være en mindre ukendt. Og hvis du får to sådanne ligninger, så kan operationen gøres igen og få en ligning, der allerede vil indeholde to mindre ukendte. Og hvis vi hver gang drejer til nul en koefficient for alle rækker, der er lavere end den oprindelige, så kan vi ligesom trin gå ned til bunden af matricen og få en ligning med en ukendt. Dette kaldes at løse systemet ved hjælp af Gauss-metoden.

Generelt

Lad der være et system. Det har m ligninger og n ukendte rødder. Du kan skrive det ned sådan her:

Hovedmatrixen er kompileret ud fra systemets koefficienter. En kolonne af frie medlemmer føjes til den udvidede matrix og adskilles af en bjælke for nemheds skyld.

den første række af matrixen multipliceres med koefficienten k = (-a 21 / a 11);
den første modificerede række og den anden række af matrixen tilføjes;
i stedet for den anden række indsættes resultatet af tilføjelsen fra det foregående afsnit i matrixen;
nu er den første koefficient i den nye anden række a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nu udføres den samme serie af transformationer, kun den første og tredje række er involveret. Følgelig erstattes elementet a 21 i hvert trin af algoritmen med et 31 . Derefter gentages alt for en 41, ... a m1. Resultatet er en matrix, hvor det første element i rækkerne er lig nul. Nu skal vi glemme alt om linje nummer et og udføre den samme algoritme fra den anden linje:

koefficient k \u003d (-a 32 / a 22);
den anden modificerede linje tilføjes til den "aktuelle" linje;
resultatet af tilføjelsen erstattes i den tredje, fjerde og så videre linje, mens den første og anden forbliver uændret;
i matrixens rækker er de to første elementer allerede lig med nul.

Algoritmen skal gentages, indtil koefficienten k = (-a m,m-1 /a mm) vises. Dette betyder, at algoritmen sidst blev kørt kun for den nederste ligning. Nu ligner matrixen en trekant eller har en trinformet form. Den nederste linje indeholder ligheden a mn × x n = b m . Koefficienten og frileddet er kendt, og roden udtrykkes gennem dem: x n = b m /a mn. Den resulterende rod sættes ind i den øverste række for at finde x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . Og så videre analogt: i hver næste linje er der en ny rod, og efter at have nået "toppen" af systemet, kan du finde mange løsninger. Det bliver den eneste.

Når der ikke er løsninger

Hvis i en af matrixrækkerne alle elementer, bortset fra det frie led, er lig med nul, så ser ligningen svarende til denne række ud som 0 = b. Det har ingen løsning. Og da en sådan ligning er inkluderet i systemet, så er løsningssættet for hele systemet tomt, det vil sige, det er degenereret.

Når der er et uendeligt antal løsninger

Det kan vise sig, at i den reducerede trekantede matrix er der ingen rækker med et element - ligningens koefficient og en - et frit medlem. Der er kun strenge, der, når de bliver omskrevet, vil ligne en ligning med to eller flere variable. Det betyder, at systemet har et uendeligt antal løsninger. I dette tilfælde kan svaret gives i form af en generel løsning. Hvordan gør man det?

Alle variable i matricen er opdelt i grundlæggende og frie. Basic - det er dem, der står "på kanten" af rækkerne i den trinvise matrix. Resten er gratis. I den generelle løsning er de grundlæggende variabler skrevet i form af de frie.

For nemheds skyld omskrives matrixen først tilbage til et ligningssystem. Så i den sidste af dem, hvor der kun var en grundlæggende variabel tilbage, forbliver den på den ene side, og alt andet overføres til den anden. Dette gøres for hver ligning med en grundvariabel. Så, i resten af ligningerne, hvor det er muligt, i stedet for grundvariablen, erstattes det opnåede udtryk for den. Hvis resultatet igen er et udtryk, der kun indeholder én grundvariabel, udtrykkes det derfra igen, og så videre, indtil hver grundvariabel er skrevet som et udtryk med frie variable. Dette er den generelle løsning af SLAE.

Du kan også finde den grundlæggende løsning af systemet - giv de frie variable alle værdier, og beregn derefter værdierne af de grundlæggende variabler for dette særlige tilfælde. Der er uendeligt mange særlige løsninger.

Løsning med konkrete eksempler

Her er ligningssystemet.

For nemheds skyld er det bedre straks at oprette sin matrix

Det er kendt, at når man løser ved Gauss-metoden, vil ligningen svarende til den første række forblive uændret ved slutningen af transformationerne. Derfor vil det være mere rentabelt, hvis det øverste venstre element i matrixen er det mindste - så vil de første elementer i de resterende rækker efter operationerne blive nul. Det betyder, at det i den kompilerede matrix vil være fordelagtigt at sætte den anden i stedet for den første række.

anden linie: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

tredje linje: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Nu, for ikke at blive forvirret, er det nødvendigt at nedskrive matrixen med de mellemliggende resultater af transformationerne.

Det er indlysende, at en sådan matrix kan gøres mere bekvem for perception ved hjælp af nogle operationer. For eksempel kan du fjerne alle "minusser" fra den anden linje ved at gange hvert element med "-1".

Det er også værd at bemærke, at i den tredje række er alle elementer multipla af tre. Derefter kan du reducere strengen med dette tal og gange hvert element med "-1/3" (minus - samtidig for at fjerne negative værdier).

Ser meget pænere ud. Nu skal vi lade den første linje være i fred og arbejde med den anden og tredje. Opgaven er at lægge den anden række til den tredje række, ganget med en sådan faktor, at elementet a 32 bliver lig med nul.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 brøker, og først derefter, når svarene modtages, beslutte, om du vil runde op og oversætte til en anden form for notation)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

Matrixen skrives igen med nye værdier.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Som du kan se, har den resulterende matrix allerede en trinform. Derfor er yderligere transformationer af systemet ved Gauss-metoden ikke nødvendige. Hvad der kan gøres her, er at fjerne den overordnede koefficient "-1/7" fra den tredje linje.

Nu er alt smukt. Pointen er lille - skriv matrixen igen i form af et ligningssystem og beregn rødderne

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritmen, hvormed rødderne nu vil blive fundet, kaldes det omvendte træk i Gauss-metoden. Ligning (3) indeholder værdien af z:

y = (24 - 11 x (61/9))/7 = -65/9

Og den første ligning giver dig mulighed for at finde x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Vi har ret til at kalde et sådant system fælles, og endda bestemt, det vil sige at have en unik løsning. Svaret er skrevet i følgende form:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.

Et eksempel på et ubestemt system

Varianten af at løse et bestemt system ved Gauss-metoden er blevet analyseret, nu er det nødvendigt at overveje sagen, hvis systemet er ubestemt, det vil sige, at der kan findes uendeligt mange løsninger til det.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Selve systemets form er allerede alarmerende, fordi antallet af ukendte er n = 5, og rangeringen af systemets matrix er allerede nøjagtigt mindre end dette tal, fordi antallet af rækker er m = 4, dvs. den største rækkefølge af kvadratdeterminanten er 4. Det betyder, at der er et uendeligt antal løsninger, og det er nødvendigt at lede efter dens generelle form. Gauss-metoden til lineære ligninger gør det muligt at gøre dette.

Først, som sædvanlig, kompileres den udvidede matrix.

Anden linje: koefficient k = (-a 21 / a 11) = -3. I den tredje linje er det første element før transformationerne, så du behøver ikke røre ved noget, du skal lade det være som det er. Fjerde linie: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Ved at multiplicere elementerne i den første række med hver af deres koefficienter på skift og tilføje dem til de ønskede rækker, får vi en matrix med følgende form:

Som du kan se, består den anden, tredje og fjerde række af elementer, der er proportionale med hinanden. Den anden og fjerde er generelt ens, så en af dem kan fjernes med det samme, og resten ganges med koefficienten "-1" og få linje nummer 3. Og igen, lad en af to identiske linjer.

Det viste sig sådan en matrix. Systemet er endnu ikke skrevet ned, det er nødvendigt her at bestemme de grundlæggende variabler - stående ved koefficienterne a 11 \u003d 1 og en 22 \u003d 1, og fri - alle resten.

Den anden ligning har kun én grundlæggende variabel - x 2 . Derfor kan det udtrykkes derfra ved at skrive gennem variablerne x 3 , x 4 , x 5 , som er frie.

Vi erstatter det resulterende udtryk i den første ligning.

Det viste sig en ligning, hvor den eneste grundvariabel er x 1. Lad os gøre det samme med det som med x 2 .

Alle grundvariable, som der er to af, er udtrykt i form af tre frie, nu kan du skrive svaret i en generel form.

Du kan også angive en af systemets særlige løsninger. I sådanne tilfælde vælges som regel nuller som værdier for frie variable. Så vil svaret være:

16, 23, 0, 0, 0.

Et eksempel på et inkompatibelt system

Løsningen af inkonsistente ligningssystemer ved Gauss-metoden er den hurtigste. Den slutter, så snart der på et af stadierne opnås en ligning, der ikke har nogen løsning. Det vil sige, at stadiet med beregningen af rødderne, som er ret langt og trist, forsvinder. Følgende system tages i betragtning:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Som sædvanlig er matrixen kompileret:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Og det er reduceret til en trinvis form:

k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Efter den første transformation indeholder den tredje linje en ligning af formen

har ingen løsning. Derfor er systemet inkonsekvent, og svaret er det tomme sæt.

Fordele og ulemper ved metoden

Hvis du vælger, hvilken metode til at løse SLAE på papir med en pen, så ser den metode, der blev overvejet i denne artikel, den mest attraktive ud. I elementære transformationer er det meget sværere at blive forvirret, end det sker, hvis du manuelt skal lede efter en determinant eller en vanskelig invers matrix. Men hvis du bruger programmer til at arbejde med data af denne type, for eksempel regneark, så viser det sig, at sådanne programmer allerede indeholder algoritmer til beregning af hovedparametrene for matricer - determinant, minor, invers og så videre. Og hvis du er sikker på, at maskinen selv vil beregne disse værdier og ikke begår en fejl, er det mere hensigtsmæssigt at bruge matrixmetoden eller Cramers formler, fordi deres anvendelse begynder og slutter med beregningen af determinanter og inverse matricer.

Ansøgning

Da den Gaussiske løsning er en algoritme, og matrixen i virkeligheden er en todimensional matrix, kan den bruges i programmering. Men da artiklen placerer sig som en guide "for dummies", skal det siges, at det nemmeste sted at skubbe metoden ind er regneark, for eksempel Excel. Igen vil enhver SLAE, der er indtastet i en tabel i form af en matrix, blive betragtet af Excel som en todimensionel matrix. Og til operationer med dem er der mange gode kommandoer: addition (du kan kun tilføje matricer af samme størrelse!), Multiplikation med et tal, matrixmultiplikation (også med visse begrænsninger), finde de inverse og transponerede matricer og vigtigst af alt , beregner determinanten. Hvis denne tidskrævende opgave erstattes af en enkelt kommando, er det meget hurtigere at bestemme rangeringen af en matrix og derfor at fastslå dens kompatibilitet eller inkonsistens.