Neli võimalust korrutamiseks ilma kalkulaatorita. Kuidas õppida kiiresti oma peas kompleksnumbreid lugema

Milleks on vaja peast aritmeetikat, kui käes on 21. sajand ja kõikvõimalikud vidinad suudavad peaaegu välkkiirelt sooritada mis tahes aritmeetilisi tehteid? Sa ei pea isegi nutitelefonile näpuga näitama, vaid annad häälkäskluse ja saad kohe õige vastuse. Nüüd teevad seda edukalt isegi põhikooliõpilased, kes on liiga laisad, et ise jagada, korrutada, liita ja lahutada.

Kuid sellel mündil on ka tagumine külg: teadlased hoiatavad, et kui te ei treeni, ei koorma tööga üle ega muudate tema jaoks ülesandeid lihtsamaks, hakkab ta laisk olema ja taandub. Samamoodi nõrgenevad meie lihased ilma füüsilise ettevalmistuseta.

Mihhail Vassiljevitš Lomonosov rääkis ka matemaatika eelistest, nimetades seda loodusteadustest kõige ilusamaks: "Matemaatikat tuleb armastada, sest see paneb teie meeled korda."

Suuline aritmeetika arendab tähelepanu ja reaktsioonikiirust. Ega asjata ilmub üha uusi ja uusi kiire peastarvutamise meetodeid, mis on mõeldud nii lastele kui ka täiskasvanutele. Üks neist on Jaapani mentaalne loendussüsteem, mis kasutab iidset Jaapani sorobani aabitsat. Metoodika ise töötati välja Jaapanis 25 aastat tagasi ja nüüd on see edukalt kasutusel mõnes meie peast loendamise koolis. See kasutab visuaalseid pilte, millest igaüks vastab kindlale numbrile. Selline treening arendab paremat ajupoolkera, mis vastutab ruumilise mõtlemise, analoogiate konstrueerimise jms eest.

On kurioosne, et vaid kahe aastaga õpivad selliste koolide õpilased (neid võetakse vastu 4–11-aastaseid lapsi) sooritama aritmeetilisi tehteid 2- ja isegi 3-kohaliste numbritega. Lapsed, kes ei tunne korrutustabeleid, saavad siin korrutada. Nad liidavad ja lahutavad suuri numbreid ilma neid üles kirjutamata. Aga loomulikult on treeningu eesmärk parema ja vasaku tasakaalustatud areng.

Peastarvestamist saate omandada ka ülesanderaamatu “1001 ülesannet peastarvutamiseks koolis” abil, mille 19. sajandil koostas maaõpetaja ja kuulus koolitaja Sergei Aleksandrovitš Ratšinski. Seda probleemiraamatut toetab asjaolu, et see läbis mitu trükki. Seda raamatut saab leida ja alla laadida Internetist.

Kiirloendamisega tegelevad inimesed soovitavad Yakov Trachtenbergi raamatut "Kiirloendamise süsteem". Selle süsteemi loomise ajalugu on väga ebatavaline. Et ellu jääda koonduslaagris, kuhu natsid ta 1941. aastal saatsid, ja mitte kaotada oma vaimset selgust, hakkas Zürichi matemaatikaprofessor välja töötama matemaatiliste toimingute algoritme, mis võimaldavad tal kiiresti peas lugeda. Ja pärast sõda kirjutas ta raamatu, milles kiire loendussüsteem on esitatud nii selgelt ja juurdepääsetavalt, et see on endiselt nõutud.

Häid arvustusi on ka Yakov Perelmani raamatust “Kiire loendamine. Kolmkümmend lihtsat näidet vaimsest loendamisest." Selle raamatu peatükid on pühendatud ühe- ja kahekohaliste arvudega korrutamisele, eelkõige 4 ja 8, 5 ja 25, 11/2, 11/4, * korrutamisele, 15-ga jagamisele, ruutudele ja valemile. arvutused.

Vaimse loendamise lihtsaimad meetodid

Inimesed, kellel on teatud võimed, omandavad selle oskuse kiiremini, nimelt: loogilise mõtlemise võime, võime keskenduda ja salvestada korraga mitut pilti lühimällu.

Vähem oluline pole ka teadmised spetsiaalsetest tegevusalgoritmidest ja mõningatest matemaatilistest seadustest, mis võimaldavad, samuti oskus valida antud olukorra jaoks kõige tõhusam.

Ja loomulikult ei saa te ilma regulaarse treeninguta hakkama!

Mõned kõige levinumad kiirloendamise tehnikad on järgmised:

1. Kahekohalise arvu korrutamine ühekohalise arvuga

Lihtsaim viis kahekohalise arvu korrutamiseks ühekohalise arvuga on jagada see kaheks komponendiks. Näiteks 45 - 40-ga ja 5-ga. Järgmisena korrutame iga komponendi eraldi vajaliku arvuga, näiteks 7-ga. Saame: 40 × 7 = 280; 5 × 7 = 35. Seejärel liidame saadud tulemused: 280 + 35 = 315.

2. Kolmekohalise arvu korrutamine

Ka kolmekohalise arvu peas korrutamine on palju lihtsam, kui jaotada see komponentideks, kuid esitada korrutis nii, et sellega on lihtsam matemaatilisi tehteid sooritada. Näiteks peame 137 korrutama 5-ga.

Esitame 137 kui 140 − 3. See tähendab, et nüüd tuleb 5-ga korrutada mitte 137, vaid 140 − 3. Või (140 − 3) x 5.

Teades korrutustabelit 19 x 9 piires, saate lugeda veelgi kiiremini. Jagame arvu 137 130-ks ja 7-ks. Järgmiseks korrutame 5-ga, kõigepealt 130-ga ja seejärel 7-ga ning liidame tulemused. See tähendab, et 137 × 5 = 130 × 5 + 7 × 5 = 650 + 35 = 685.

Saate laiendada mitte ainult kordajat, vaid ka kordajat. Näiteks peame korrutama 235 6-ga. Kuue saame, korrutades 2 3-ga. Seega korrutame esmalt 235 2-ga ja saame 470 ning seejärel korrutame 470 3-ga. Kokku 1410.

Sama toimingut saab teha erinevalt, esitades 235 kui 200 ja 35. Selgub, et 235 × 6 = (200 + 35) × 6 = 200 × 6 + 35 × 6 = 1200 + 210 = 1410.

Samamoodi saate arvud komponentideks jaotades teha liitmise, lahutamise ja jagamise.

3. Korrutamine 10-ga

Kõik teavad, kuidas 10-ga korrutada: lihtsalt lisage korrutisele null. Näiteks 15 × 10 = 150. Sellest lähtuvalt pole vähem lihtne korrutada 9-ga. Esiteks liidame korrutisele 0, st korrutame selle 10-ga ja seejärel lahutame saadud arvust korrutis: 150 × 9 = 150 × 10 = 1500 - 150 = 1350.

4. Korrutamine 5-ga

Seda on lihtne 5-ga korrutada. Peate lihtsalt korrutama arvu 10-ga ja jagama saadud tulemuse 2-ga.

5. 11-ga korrutamine

Huvitav on kahekohaliste arvude korrutamine 11-ga. Võtke näiteks 18. Laiendage mõttes 1 ja 8 ning kirjutage nende vahele nende arvude summa: 1 + 8. Saame 1 (1 + 8) 8. Või 198.

6. Korrutage 1,5-ga

Kui peate arvu korrutama 1,5-ga, jagage see kahega ja lisage saadud pool tervikule: 24 × 1,5 = 24 / 2 + 24 = 36.

Need on kõige lihtsamad mõttelise loendamise viisid, mille abil saame oma aju igapäevaelus treenida. Näiteks ostude maksumuse lugemine kassajärjekorras seistes. Või sooritage möödasõitvate autode numbrimärkidel olevate numbritega matemaatilisi tehteid. Kellele meeldib numbritega “mängida” ja kes soovib arendada oma mõtlemisvõimet, võib pöörduda eelmainitud autorite raamatute poole.

Sõnaline loendamine- tegevus, millega tänapäeval üha vähem inimesi vaevab. Palju lihtsam on võtta telefonis kalkulaator välja ja arvutada mis tahes näite.

Aga kas see on tõesti nii? Selles artiklis tutvustame matemaatilisi häkke, mis aitavad teil kiiresti peas arve liita, lahutada, korrutada ja jagada. Pealegi opereerides mitte ühikute ja kümnetega, vaid vähemalt kahe- ja kolmekohaliste numbritega.

Pärast selles artiklis kirjeldatud meetodite omandamist ei tundu mõte telefoni kalkulaatori järele jõuda enam nii hea. Lõppude lõpuks ei saa te aega raisata ja palju kiiremini kõike oma peas välja arvutada ning samal ajal oma aju venitada ja teistele (vastassoost) muljet avaldada.

Hoiatame teid! Kui olete tavaline inimene, mitte imelaps, nõuab peast arvutamise oskuste arendamine koolitust ja harjutamist, keskendumist ja kannatlikkust. Alguses võib kõik olla aeglane, kuid siis läheb asi paremaks ja suudad peas kiiresti kokku lugeda mis tahes numbreid.

Gauss ja peastarvutamine

Üks fenomenaalse peast aritmeetilise kiirusega matemaatikuid oli kuulus Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Jah, jah, seesama Gauss, kes leiutas normaaljaotuse.

Enda sõnul õppis ta enne rääkimist lugema. Kui Gauss oli 3-aastane, vaatas poiss oma isa palgalehte ja teatas: "Arvutused on valed." Pärast seda, kui täiskasvanud kõik üle kontrollisid, selgus, et väikesel Gaussil oli õigus.

Seejärel jõudis see matemaatik märkimisväärsetele kõrgustele ning tema töid kasutatakse endiselt aktiivselt teoreetilistes ja rakendusteadustes. Kuni oma surmani tegi Gauss suurema osa oma arvutustest peas.

Siin me ei tegele keeruliste arvutustega, vaid alustame kõige lihtsamaga.

Numbrite lisamine peas

Et õppida, kuidas oma peas suuri numbreid lisada, peate suutma täpselt liita numbreid kuni 10 . Lõppkokkuvõttes taandub iga keeruline ülesanne mõne tühise toimingu sooritamisele.

Kõige sagedamini tekivad probleemid ja vead numbrite lisamisel "läbilaskmisega 10 " Liitmisel (ja isegi lahutamisel) on mugav kasutada tehnikat “toetus kümnega”. Mis see on? Esiteks küsime endalt mõttes, kui palju ühest terminist puudu on 10 ja seejärel lisage 10 vahe jääb teise ametiaja lõpuni.

Näiteks lisame numbrid 8 Ja 6 . Kellele 8 saada 10 , puudu 2 . Siis kuni 10 jääb üle vaid lisada 4=6-2 . Selle tulemusena saame: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

Suurte arvude lisamise peamine nipp on jagada need kohaväärtuse osadeks ja seejärel need osad kokku liita.

Oletame, et peame lisama kaks numbrit: 356 Ja 728 . Number 356 saab kujutada kui 300+50+6 . Samamoodi 728 hakkab välja nägema 700+20+8 . Nüüd lisame:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

Arvude lahutamine oma peas

Arvude lahutamine on samuti lihtne. Kuid erinevalt liitmisest, kus iga arv jagatakse kohaväärtuse osadeks, peame lahutamisel ainult lahutatava arvu "lagutama".

Näiteks kui palju tahet 528-321 ? Numbri jagamine 321 osadeks ja saame: 321=300+20+1 .

Nüüd loeme: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

Proovige visualiseerida liitmise ja lahutamise protsesse. Koolis õpetati kõiki loendama tulbas ehk ülevalt alla. Üks viis oma mõtlemise ümberstruktureerimiseks ja loendamise kiirendamiseks on lugeda mitte ülalt alla, vaid vasakult paremale, jagades numbrid kohaosadeks.

Numbrite korrutamine oma peas

Korrutamine on arvu kordumine ikka ja jälle. Kui teil on vaja korrutada 8 peal 4 , see tähendab, et number 8 vaja korrata 4 korda.

8*4=8+8+8+8=32

Kuna kõik keerulised ülesanded taandatakse lihtsamateks, peate saama korrutada kõik ühekohalised numbrid. Selleks on suurepärane tööriist - korrutustabel . Kui te seda tabelit peast ei tea, siis soovitame tungivalt see kõigepealt selgeks õppida ja alles siis hakata peast loendamist harjutama. Pealegi pole seal sisuliselt midagi õppida.

Mitmekohaliste arvude korrutamine ühekohaliste arvudega

Esiteks harjutage mitmekohaliste arvude korrutamist ühekohaliste arvudega. Olgu vaja korrutada 528 peal 6 . Numbri jagamine 528 ridadesse ja minna vanemast nooremasse. Kõigepealt korrutame ja seejärel liidame tulemused.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

Muideks! Meie lugejatele on nüüd 10% allahindlus

Kahekohaliste arvude korrutamine

Ka siin pole midagi keerulist, ainult lühiajalise mälu koormus on veidi suurem.

Korrutame 28 Ja 32 . Selleks taandame kogu toimingu ühekohaliste arvudega korrutamiseks. Kujutame ette 32 Kuidas 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

Üks näide veel. Korrutame 79 peal 57 . See tähendab, et peate võtma numbri " 79 » 57 üks kord. Jagame kogu operatsiooni etappideks. Kõigepealt korrutame 79 peal 50 , ja siis - 79 peal 7 .

79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
79*7=(70+9)*7=490+63=553
3950+553=4503

Korrutage 11-ga

Siin on kiire peast aritmeetiline nipp, mis aitab teil iga kahekohalise arvu korrutada 11 fenomenaalsel kiirusel.

Kahekohalise arvu korrutamiseks arvuga 11 , liidame numbri kaks numbrit üksteisele ja sisestame saadud summa algse numbri numbrite vahele. Saadud kolmekohaline arv saadakse algse arvu korrutamisel 11 .

Kontrollime ja korrutame 54 peal 11 .

5+4=9
54*11=594

Võtke suvaline kahekohaline arv ja korrutage see arvuga 11 ja veenduge ise – see nipp töötab!

Ruudukujundamine

Kasutades teist huvitavat peast loendamise tehnikat, saate kiiresti ja hõlpsalt kahekohalisi arve ruutu panna. Seda on eriti lihtne teha numbritega, mis lõppevad numbritega 5 .

Tulemus algab arvu esimese numbri korrutisega hierarhias järgmise numbriga. See tähendab, et kui see arv on tähistatud n , siis on hierarhias järgmine number n+1 . Tulemus lõpeb viimase numbri ruuduga, see tähendab ruuduga 5 .

Kontrollime! Teeme arvu ruutu 75 .

7*8=56
5*5=25
75*75=5625

Numbrite jagamine peas

Jääb tegeleda jagamisega. Sisuliselt on see korrutamise pöördtehing. Numbrite jagamisega kuni 100 Probleeme ei tohiks üldse tekkida - lõppude lõpuks on olemas korrutustabel, mida teate peast.

Jagamine ühekohalise arvuga

Mitmekohaliste arvude jagamisel ühekohaliste arvudega on vaja valida võimalikult suur osa, mida saab korrutustabeli abil jagada.

Näiteks on number 6144 , mis tuleb jagada 8 . Tuletame meelde korrutustabelit ja mõistame seda 8 arv jagatakse 5600 . Toome näite kujul:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

544:8=(480+64):8=60+64:8

Jääb üle jagada 64 peal 8 ja saada tulemus, lisades kõik jaotustulemused

64:8=8

6144:8=700+60+8=768

Jagamine kahe numbriga

Kahekohalise arvuga jagamisel tuleb kahe arvu korrutamisel kasutada tulemuse viimase numbri reeglit.

Kahe mitmekohalise arvu korrutamisel on korrutamistulemuse viimane number alati sama, mis nende arvude viimaste numbrite korrutamise tulemuse viimane number.

Näiteks korrutame 1325 peal 656 . Reegli kohaselt on saadud numbri viimane number 0 , sest 5*6=30 . Tõesti, 1325*656=869200 .

Nüüd, olles relvastatud selle väärtusliku teabega, vaatame jagamist kahekohalise numbriga.

Kui palju tahtmist 4424:56 ?

Esialgu kasutame “sobitamise” meetodit ja leiame piirid, milles tulemus jääb. Peame leidma arvu, millega korrutatuna 56 annab 4424 . Intuitiivselt proovime numbrit 80.

56*80=4480

See tähendab, et vajalik arv on väiksem 80 ja ilmselt rohkemgi 70 . Määrame selle viimase numbri. Tema töö edasi 6 peab lõppema numbriga 4 . Korrutustabeli järgi tulemused meile sobivad 4 Ja 9 . Loogiline on eeldada, et jagamise tulemuseks võib olla kas arv 74 , või 79 . Kontrollime:

79*56=4424

Tehtud, lahendus leitud! Kui number ei sobinud 79 , oleks teine variant kindlasti õige.

Kokkuvõtteks on siin mõned kasulikud näpunäited, mis aitavad teil peast aritmeetikat kiiresti õppida:

Ärge unustage iga päev trenni teha;
ärge katkestage treeningut, kui tulemused ei tule nii kiiresti kui soovite;
laadige alla mobiilirakendus mõtteliseks arvutamiseks: nii ei pea te ise näiteid välja mõtlema;
lugeda raamatuid kiirete peast loendamise tehnikate kohta. Peast loendamise tehnikaid on erinevaid ja saate omandada selle, mis teile kõige paremini sobib.

Vaimse loendamise eelised on vaieldamatud. Harjutage ja iga päevaga loete üha kiiremini. Ja kui vajad abi keerulisemate ja mitmetasandiliste probleemide lahendamisel, võta kiire ja kvalifitseeritud abi saamiseks ühendust õpilasteeninduse spetsialistidega!

Need, kes koolis matemaatikatundi põlglikult suhtusid, on ilmselt vähemalt mitu korda elus olnud täbaras olukorras. Kuidas arvutada, kui palju jätta jootraha või kommunaalmaksete summa? Kui teate paari lihtsat nippi, võtab see sõna otseses mõttes sekundi. Ja eksami ajal võib suurte arvude korrutamise reeglite tundmine säästa kriitiliselt vajalikku aega. "Mel" jagab koos Creuga lihtsaid arvutamise saladusi.

Kooli põhieksamiks valmistujatele

1. Korrutage 11-ga

Me kõik teame, et kümnega korrutamine lisab arvule nulli, kuid kas teadsite, et on olemas sama lihtne viis kahekohalise arvu korrutamiseks 11-ga? Siin ta on:

Võtke algne number ja esitage kahe numbri vaheline tühik (selles näites kasutame numbrit 52): 5_2

Nüüd lisage kaks numbrit ja kirjutage need keskele: 5_(5+2)_2.

Seega on teie vastus: 572. Kui sulgudes olevate numbrite lisamisel saate kahekohalise numbri, jätke lihtsalt teine number meelde ja lisage esimesele numbrile üks: 9_(9+9)_9 (9+1) _8_9 10_8_9 1089. See töötab alati.

2. Kiire kvadratuur

See meetod aitab teil kiiresti kahekohalise arvu, mis lõpeb viiega, ruudu ruutuks. Korrutage esimene arv iseenesest +1 ja lisage lõpus 25. 252 = (2x(2+1)) & 25

3. Korrutage viiega

Enamik inimesi peab viie korra tabelit väga lihtsaks, kuid kui peate tegelema suuremate numbritega, muutub see keerulisemaks.

See tehnika on uskumatult lihtne. Võtke suvaline arv ja jagage see pooleks. Kui tulemuseks on täisarv, lisage lõppu null. Kui ei, siis ignoreerige koma ja lisage lõppu viis. See töötab alati:

2682 × 5 = (2682/2) ja 5 või 0

2682 / 2 = 1341 (täisarv, seega lisage 0)

Proovime teist näidet:

2943,5 (murruarv, jätke koma vahele, lisage 5)

4. Korrutage üheksaga

See on lihtne. Mis tahes arvu ühest üheksani üheksa korrutamiseks vaadake oma käsi. Painutage korrutatavale arvule vastav sõrm (näiteks 9x3 - murra kolmas sõrm kokku), loendage sõrmed enne painutatud sõrme (9x3 puhul on see kaks), seejärel loendake pärast painutatud sõrme (meie puhul , seitse). Vastus on 27.

5. Korrutamine neljaga

See on väga lihtne tehnika, kuigi see on ilmne ainult mõnele. Trikk on lihtsalt korrutada kahega ja seejärel uuesti korrutada kahega: 58x4 = (58x2) + (58x2) = (116) + (116) = 232.

6. Loendamise näpunäited

Kui teil on vaja jätta 15% jootraha, on selleks lihtne viis. Arvutage 10% (jagage arv kümnega) ja lisage saadud arv poolele ning saate vastuse:

15% 25-st = (10% 25-st) + ((10% 25-st) / 2)

$2.50 + $1.25 = $3.75

7. Komplekskorrutis

Kui teil on vaja korrutada suuri arve ja üks neist on paaris, saate vastuse saamiseks need lihtsalt ümber grupeerida:

32x125 on sama, mis:

16x250 on sama, mis:

8x500 on sama, mis:

8. Viiega jagamine

Suurte arvude jagamine viiega on tegelikult väga lihtne. Peate lihtsalt korrutama kahega ja liigutama koma:

1 . 195 * 2 = 390

2 . Liigutame koma: 39,0 või lihtsalt 39.

1 . 2978 * 2 = 5956

2 . 595,6

9. 1000-st lahutamine

1000-st lahutamiseks võite kasutada seda lihtsat reeglit. Lahutage üheksast kõik numbrid, välja arvatud viimane. Ja lahutage kümnest viimane number:

1 . Lahutage 9-st 6 = 3

2 . 9-st lahutage 4 = 5

3 . 10-st lahuta 8 = 2

10. Korrutamise süstematiseeritud reeglid

Korrutage 5-ga: korrutage 10-ga ja jagage 2-ga.

Korrutage 6-ga: Mõnikord on lihtsam korrutada 3-ga ja seejärel 2-ga.

Korrutage 9-ga: korrutage 10-ga ja lahutage algne arv.

Korrutades 12-ga: korrutage 10-ga ja lisage algne arv kaks korda.

Korrutage 13-ga: korrutage 3-ga ja lisage algne arv 10 korda.

Korrutage 14-ga: korrutage 7-ga ja seejärel 2-ga.

Korrutage 15-ga: korrutage 10-ga ja lisage algne arv 5 korda, nagu eelmises näites.

Korrutage 16-ga: Kui soovite, korrutage 2-ga 4 korda või korrutage 8-ga ja seejärel 2-ga.

Korrutage 17-ga: korrutage 7-ga ja lisage algne arv 10 korda.

Korrutage 18-ga: korrutage 20-ga ja lahutage algne arv kaks korda.

Korrutage 19-ga: korrutage 20-ga ja lahutage algne arv.

Korrutage 24-ga: korrutage 8-ga ja seejärel 3-ga.

Korrutades 27-ga: korrutage 30-ga ja lahutage algsest arvust kolm korda.

Korrutage 45-ga: korrutage 50-ga ja lahutage algne arv 5 korda.

Korrutage 90-ga: korrutage 9-ga ja lisage 0.

Korrutage 98-ga: korrutage 100-ga ja lahutage algne arv kaks korda.

Korrutage 99-ga: korrutage 100-ga ja lahutage algne arv.

BOONUS: huvi

Arvutage 7% 300-st.

Kõigepealt peate mõistma sõna "protsent" tähendust. Sõna esimene osa on umbes (per). Per = kõigile. Teine osa on sent, mis on nagu 100. Näiteks sajand = 100 aastat. 100 senti ühes dollaris ja nii edasi. Niisiis, protsent = iga saja kohta.

Nii selgub, et 7% 100-st on seitse. (Seitse iga saja kohta, ainult sada).

8% 100-st = 8.

35,73% 100-st = 35,73

Aga kuidas see kasulik olla saab? Tuleme tagasi probleemi juurde 7% 300-st.

7% esimesest sajast on 7. 7% teisest sajast on sama 7 ja 7% kolmandast sajast on ikka sama 7. Niisiis, 7 + 7 + 7 = 21. Kui 8% 100-st = 8 , siis 8% 50-st = 4 (pool 8-st).

Kui teil on vaja arvutada 100-st protsendid, jagage iga arv, kuid kui arv on väiksem kui 100, liigutage koma lihtsalt vasakule.

Näited:

8%200 =? 8 + 8 = 16.

8%250 =? 8 + 8 + 4 = 20,

8%25 = 2,0 (nihutage koma vasakule).

15%300 = 15+15+15 =45

15%350 = 15+15+15+7,5 = 52,5

Samuti on kasulik teada, et saate numbreid alati ümber pöörata: 3% 100-st on sama, mis 100% 3-st. Ja 35% 8-st on sama, mis 8% 35-st.

Vaatame, kuidas saame kahekohalisi arve korrutada traditsiooniliste meetoditega, mida meile koolis õpetatakse. Mõned neist meetoditest võimaldavad teil piisavalt harjutades kiiresti kahekohalisi arve peas korrutada. Neid meetodeid on kasulik teada. Siiski on oluline mõista, et see on vaid jäämäe tipp. See õppetund hõlmab kõige populaarsemaid kahekohaliste arvude korrutamise tehnikaid.

Esimene meetod on paigutus kümnetesse ja ühikutesse

Lihtsaim viis kahekohaliste arvude korrutamisest aru saada on see, mida meile koolis õpetati. See seisneb mõlema teguri jagamises kümneteks ja ühtedeks ning seejärel saadud nelja arvu korrutamises. See meetod on üsna lihtne, kuid nõuab võimalust hoida mälus korraga kuni kolm numbrit ja samal ajal teha paralleelselt aritmeetilisi toiminguid.

Näiteks: 63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 + 3*5=4800+300+240+15=5355

Selliseid näiteid on lihtsam lahendada kolmes etapis. Esiteks korrutatakse kümned omavahel. Seejärel lisatakse 2 kordust ühed ja kümned. Seejärel lisatakse ühikute korrutis. Seda saab skemaatiliselt kirjeldada järgmiselt:

Esimene toiming: 60*80 = 4800 – pidage meeles
Teine toiming: 60*5+3*80 = 540 – jäta meelde
Kolmas toiming: (4800+540)+3*5= 5355 – vastus

Kiireima võimaliku efekti saavutamiseks on teil vaja häid teadmisi kuni 10 arvude korrutustabelist, oskust lisada numbreid (kuni kolm numbrit), samuti oskust kiiresti tähelepanu ühelt toimingult teisele lülitada, hoides eelmist tulemust silmas pidades. Viimast oskust on mugav treenida, visualiseerides sooritatavaid aritmeetilisi tehteid, mil tuleks ette kujutada pilti oma lahendusest, aga ka vahetulemusi.

Järeldus. Pole raske märgata, et see meetod ei ole kõige tõhusam, see tähendab, et see võimaldab teil saada õige tulemuse väikseima pingutusega. Arvesse tuleks võtta muid meetodeid.

Teine meetod on aritmeetiline korrigeerimine

Näite viimine mugavasse vormi on üsna levinud viis peastarvutuste tegemiseks. Näite sobitamine on kasulik, kui peate kiiresti leidma ligikaudse või täpse vastuse. Soov sobitada näiteid teatud matemaatiliste mustritega on sageli kultiveeritud ülikoolide matemaatikaosakondades või koolides matemaatilise eelarvamusega klassides. Inimesi õpetatakse leidma lihtsaid ja mugavaid algoritme erinevate probleemide lahendamiseks. Siin on mõned sobitamise näited:

Näide 49*49 saab lahendada järgmiselt: (49*100)/2-49. Esmalt loendage 49 saja kohta - 4900. Seejärel jagatakse 4900 2-ga, mis võrdub 2450-ga, seejärel lahutatakse 49. Kogusumma on 2401.

Toode 56*92 on lahendatud järgmiselt: 56*100-56*2*2*2. Selgub: 56*2=112*2=224*2=448. 5600-st lahutame 448, saame 5152.

See meetod võib olla eelmisest tõhusam ainult siis, kui teil on peastarvutamine, mis põhineb kahekohaliste arvude ühekohaliste arvude korrutamisel ja suudate korraga silmas pidada mitut tulemust. Lisaks tuleb aega kulutada lahendusalgoritmi otsimisele ning palju tähelepanu kulub ka selle algoritmi õigele järgimisele.

Järeldus. Meetod, kus proovite korrutada 2 arvu, jagades need lihtsateks aritmeetilisteks protseduurideks, on suurepärane viis oma aju treenimiseks, kuid see nõuab palju vaimset pingutust ja vale tulemuse saamise oht on suurem kui esimese meetodi puhul .

Kolmas meetod on korrutamise vaimne visualiseerimine veerus

56*67 - loendage veerus.

Tõenäoliselt sisaldab veerus loendamine maksimaalset arvu toiminguid ja nõuab pidevat abinumbrite meeles pidamist. Kuid seda saab lihtsustada. Teine tund õpetas, et oluline on osata kiiresti ühekohalisi arve kahekohalistega korrutada. Kui teate juba, kuidas seda automaatselt teha, pole peas veerus loendamine teile nii keeruline. Algoritm on järgmine

Esimene tegevus: 56*7 = 350+42=392 – pidage meeles ja ärge unustage kuni kolmanda sammuni.

Teine toiming: 56*6=300+36=336 (või 392-56)

Kolmas toiming: 336*10+392=3360+392=3752 – siin on keerulisem, aga võid hakata ütlema esimest numbrit, milles oled kindel – “kolm tuhat...” ning rääkimise ajal liita 360 ja 392 .

Järeldus: Veerus loendamine on otseselt keeruline, kuid kui teil on oskus kahekohalisi arve kiiresti ühekohaliste arvudega korrutada, saate seda lihtsustada. Lisage see meetod oma arsenali. Lihtsustatud kujul on veerus loendamine esimese meetodi mõningane modifikatsioon. Kumb on parem, pole kõigi jaoks küsimus.

Nagu näete, ei võimalda ükski ülalkirjeldatud meetoditest piisavalt kiiresti ja täpselt kõiki kahekohaliste arvude korrutamise näiteid peas üles lugeda. Peate mõistma, et traditsiooniliste korrutamismeetodite kasutamine vaimseks arvutamiseks ei ole alati ratsionaalne, see tähendab, et see võimaldab teil saavutada minimaalse pingutusega maksimaalseid tulemusi.

Selles artiklis käsitleme arvude korrutamise teemat üksikasjalikumalt.

Arvude korrutamisel on mitu meetodit või tehnikat. Püüan neid kirjeldada. Alustuseks jagame kaheks osaks ja kirjeldame neid juhtumeid.

1) Kahekohaliste arvude korrutamine. Sõltuvalt numbrite tüübist saab siin eristada mitmeid meetodeid. Üldiselt on kahekohaliste arvude korrutamiseks väga kasulik teada kuni 20-ni arvude korrutustabelit (tavaliselt koolis õpetatakse kuni 10-ni ja lõpetatakse). Soovitan õppida tabelit kuni 20. Seejärel jätkake soovi korral korrutustabeli päheõppimist kuni 100-ni. See aitab kolme- ja neljakohaliste arvude korrutamisel.

2) Konkreetsete numbrite alt leiate erinevatest allikatest erinevaid numbreid. Alustades banaalsest 10-ga korrutamisest kuni 75-ga korrutamiseni. Mõned allikad annavad korrutamise mõne konkreetse kolmekohalise arvuga. See hõlmab ka ühekohaliste arvudega korrutamist.

Olenevalt numbritest valin meetodi. Ärge kiirustage korrutamisega, otsustage kõigepealt meetodi üle, seejärel kiirustage valitud meetodiga korrutama. Meetodi valimine võtab aega murdosa sekundist, kuid kõige lihtsama meetodi valimine säästab palju rohkem aega ja vaeva.

Ma üldse ei väida, et olen superkalkulaator, sain just 11. klassis kalkulaatori ja enne ostmist sain rahulikult peast arvutada - ja kui paber käepärast oleks, siis.. Nüüd on see minu jaoks nagu taasavastus – otsustasin seda teiega jagada ja meenutada ammu unustatud asju.

1) Kahekohaliste arvude korrutamine.

A) Kahekohaliste arvude korrutamiseks sobib ristmeetod. See on kõige levinum meetod. Näitan teile konkreetsete näidetega. Siis tuletame üldreegli.

Näide 1. Vaja on 27*96.

Kujutage ette 27*96=2*9*100+(2*6+7*9)*10+7*6=1800+750+42=2550+42=2592

Näide 2. Vaja läheb 39*78. 39*78=3*7*100+(3*8+9*7)*10+9*8=2100+870+72=2970+72=3042

Ma arvan, et sellest piisab. Tavalise korrutamise korral (veerus) teete sama asja - lihtsalt teises järjekorras: "Te korrutate 27*6, see tähendab, korrutate 6*7+20*6=6*7+2*6*10, kirjutage see ühele reale ja korrutage 27 *90=(9*7*10+20*9)*10=(9*7*10+2*9*10)*10 - kuna see number on Veel 1 (korrutage 10-ga) Kirjutate nihkest Nüüd saate isegi värvida

27*96=(20+7)*(90+6)=20*90+7*90+20*6+7*6=2*9*100+7*9*10+2*6*10+7*6=2*9*100+(7*9+2*6)*10+7*6 ".

Seda meetodit kasutatakse koolides harva, kuna seda on raske seletada ja kõik lapsed ei saa sellest aru. Kuid nagu näete, on see suulise korrutamise jaoks lihtsam. Siin on näha, et kasutatakse valemit (a+b)*(c+d) ja kümnendarvusüsteemi omapära. Harjuta ja sa harjud sellega.

Seega reegel: Ühe kahekohalise arvu korrutamiseks teise kahekohalise arvuga:

1) korrutage kümned arvud omavahel, korrutades 100-ga,

2) korrutage numbrite “välimised” numbrid üksteisega paarikaupa (paremal ja vasakul) ning sisemised numbrid korrutage üksteisega reale kirjutades. Lisage tulemus ja korrutage 10-ga. (Vernasse kirjutades korrutatakse need ristiga: ühe arvu ühikud teise kümnenditega ja vastupidi. Tulemus liidetakse ja korrutatakse 10-ga.)

3) korrutada ühikute numbrid.

4) Lisage 3 tulemust: 1)+2)+3).

Tegelikult pole kahekohaliste arvude jaoks muid paarilise korrutamise kombinatsioone (neid on ainult 4). Kuid võite selle kokku võtta erineval viisil. Seetõttu muutuvad korrutamismeetodite kirjutamise viisid. Tuletan meelde, et koolis õpetatakse ainult ühte meetodit (nimetagem seda "puugi"-meetodiks), kui numbreid korrutatakse järjest. Kavandatavas “risti” meetodis vahelduvad ka korrutamine ja liitmine, kuid liidetakse “lihtsamad” numbrid. Koolis õpetatav “linnukese” meetod on “õppimiseks” lihtsalt kõige mugavam. See, kas lapsed paljunevad kiiresti ja mugavalt või mitte, ei huvita kedagi. Nõus, vähesed inimesed said ülaltoodud meetodist esimest korda aru. Paljud lugesid selle kiiresti läbi, ei saanud millestki aru ja... jätkavad korrutamist, nagu õpetati. Miks ma nimetan ühte meetodit ristmeetodiks ja teist linnukese meetodit, selgub joonistelt.

b) Vormi ( () arvude korrutamine 10x+a)*(10x+b), kus x on sama arv kümneid ja a+b=10 (1) Näiteks 51*59; 42*48; 83*87; 94*96, 65*65, 115*115. See tähendab, et näete, et nende kümned on samad ja nende arvude summa annab 10.

Reegel: kahe vormi (1) arvu korrutamiseks on vaja kümnete arv X korrutada arvuga, mis on suurem kui 1 - see on (X+1) ja paremale määrata ühikute korrutamise tulemus kahekohalise numbri kujul.

Mäletame, et kujul (1) vastavad numbrid järgmisele tingimusele: kümnete arv on sama, kahe arvu numbrite numbrid annavad kokku 10.

Näide 3. 51*59=? Näeme, et numbrid rahuldavad (1). 5*6 (lõppude lõpuks 5+1=6), 5*6=30. Parempoolsele 30-le kirjutame 09=1*9 (määrame mitte 9, vaid 09) Tulemus 3009=51*59.

Näide 4. 42*48=? 4*5=20 ja 2*8=16. Tulemus 2016=42*48

Näide 5. 25*25=? 2*3=6 ja 5*5=25 Tulemus 625 Nagu näete, 15*15,25*25 jne korrutamise kiidetud meetodid (või vormi numbrite ruudustamiseks a5*a5) see on lihtsalt ülalkirjeldatud meetodi erijuhtum - 1b), mis omakorda on veelgi erilisem juhtum.

Märkus, ma kirjutasin kõigepealt, et a=1...9, aga see pole päris õige, võid korrutada ka 372*378 (kümnete arv on 37). Meetod kehtib ka sellistel juhtudel. 37*38=1406 ja 2*8=16 Kokku tulemus 140616=37*38. Vaata järgi. Muidugi saab punkti b) korrutamisreeglit rangelt matemaatiliselt tõestada, kuid mul pole praegu selleks aega. Võtke praegu mu sõna või tõestage seda endale. Parem, praegu panen kirja teised reeglid, mis mul peas istuvad.

Leidsin aega tõendi kirja panemiseks

Olgu esimene tegur 10x+a, teine tegur 10x+b, kus a+b=10 x kümnendite arv, siis

(10x+a)*(10x+b)=100x*x+10xa+10xb+ab=10x*(10x+a+b)+ab= =10x*(10x+10)+ab=10x*10(x) +1)+ab=x*(x+1)*100+ab Siit näeme, et reegel on kirjutatud matemaatiliselt, mis on kirjutatud sõnadega.

c) arvude korrutamine kujul 48 * 52; 37*43, 64*56. Need. nende arvude korrutamine, mis on "baasist" eemal, sama arvu ühikutega. Selliste arvude puhul on rakendatav lihtne valem (a+b)*(a-b)=(a-b)*(a+b)= a 2-b 2

Näide 6. 48*52=(50-2)(50+2)=2500-4=2496

Näide 7. 37*43=(40-3)*(40+3)=1600-9=1591

d) Identsete arvude korrutamine – ruudus. Mõne arvu puhul on mugav kasutada Newtoni binoomvalemit: (a±b) 2 =a 2 ±2*a*b+b 2

Näide 8. 38*38=(40-2)*(40-2)=1600-2*40*2+4=1600-160+4=1444

Näide 9. 41*41=(40+1)*(40+1)=1600+2*40*1+1=1681

d) Kahe 5-ga lõppeva arvu korrutamine (kahe teguri kümnete arv erineb 1-ga)

Vaatame mõnda näidet: 15*25=375; 25*35=875; 35*45=1575; 45*55=2475 Nagu näete, lõpeb sellise korrutamise tulemus alati 75-ga. Arvutamine toimub sarnaselt -1b) tulemusest paremale liidetakse 75: väiksem kümnendite arv on korrutatuna teise teguri kümnendite arvust saadud arvuga, millele on lisatud 1, sellest paremale Liidame 75 tööd.

Näide 10. 25*35 - - - 3+1=4 (suuremale arvule lisame kümnete arvule 1); 2*4=8 liita 75. Tulemuseks on 875. Samamoodi 15*25=? 2+1=3; 1*3=3 15*25=375.