Maatriksarvud ja vektorid. Lineaaroperaatori omaväärtused ja omavektorid

HOMOGEENSTE LINEAARVÕRRANDITE SÜSTEEM

Homogeensete lineaarvõrrandite süsteem on vormi süsteem

Selge on see, et antud juhul , sest nende determinantide ühe veeru kõik elemendid on võrdsed nulliga.

Kuna tundmatud leitakse valemite järgi , siis juhul, kui Δ ≠ 0, on süsteemil unikaalne nulllahendus x = y = z= 0. Paljude ülesannete puhul on aga huvitav küsimus, kas homogeensel süsteemil on nullist erinevaid lahendeid.

Teoreem. Selleks, et lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil oleks nullist erinev lahendus, on vajalik ja piisav, et Δ ≠ 0.

Seega, kui determinant Δ ≠ 0, siis on süsteemil ainulaadne lahendus. Kui Δ ≠ 0, siis on lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil lõpmatu arv lahendeid.

Näited.

Maatriksi omavektorid ja omaväärtused

Olgu antud ruutmaatriks , X– mingi maatriks-veerg, mille kõrgus langeb kokku maatriksi järjekorraga A. .

Paljude ülesannete puhul peame arvestama võrrandiga X

kus λ on teatud arv. On selge, et mis tahes λ korral on sellel võrrandil nulllahendus.

Nimetatakse arvu λ, mille jaoks sellel võrrandil on nullist erinevad lahendid omaväärtus maatriksid A, A X sellise λ jaoks nimetatakse omavektor maatriksid A.

Leiame maatriksi omavektori A. Kuna E∙X = X, siis saab maatriksvõrrandi ümber kirjutada kujul või . Laiendatud kujul saab selle võrrandi ümber kirjutada lineaarsete võrrandite süsteemiks. Tõesti .

Ning seetõttu

Niisiis, oleme saanud koordinaatide määramiseks homogeensete lineaarvõrrandite süsteemi x 1, x 2, x 3 vektor X. Et süsteemil oleks nullist erineva lahendusi, on vajalik ja piisav, et süsteemi determinant oleks võrdne nulliga, s.t.

See on λ 3. astme võrrand. Seda nimetatakse iseloomulik võrrand maatriksid A ja seda kasutatakse λ omaväärtuste määramiseks.

Iga omaväärtus λ vastab omavektorile X, mille koordinaadid määratakse süsteemist vastava väärtusega λ.

Näited.

VEKTORALGEBRA. VEKTORI MÕISTE

Erinevate füüsikaharude uurimisel on suurused, mis määratakse täielikult kindlaks nende arvväärtuste täpsustamisega, näiteks pikkus, pindala, mass, temperatuur jne. Selliseid suurusi nimetatakse skalaarideks. Kuid lisaks neile on olemas ka suurused, mille määramiseks on lisaks arvväärtusele vaja teada ka nende suunda ruumis, näiteks kehale mõjuvat jõudu, keha kiirust ja kiirendust. keha ruumis liikumisel, magnetvälja tugevus antud ruumipunktis jne. Selliseid suurusi nimetatakse vektorsuurusteks.

Tutvustame ranget määratlust.

Suunatud segment Nimetame lõigu, mille otste suhtes on teada, milline neist on esimene ja milline teine.

Vektor nimetatakse teatud pikkusega suunatud segmendiks, st. See on teatud pikkusega segment, milles üks seda piiravatest punktidest võetakse alguseks ja teine ​​​​lõpuks. Kui A- vektori algus, B on selle lõpp, siis tähistatakse vektorit sümboliga, lisaks tähistatakse vektorit sageli ühe tähega. Joonisel on vektorit tähistatud segmendiga ja selle suunda noolega.

Moodul või pikkus Vektoriks nimetatakse seda määratleva suunatud segmendi pikkust. Tähistatakse || või ||.

Samuti lisame vektoritena nn nullvektori, mille algus ja lõpp langevad kokku. See on määratud. Nullvektoril ei ole kindlat suunda ja selle moodul on null ||=0.

Vektoreid nimetatakse kollineaarne, kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Veelgi enam, kui vektorid ja on samas suunas, kirjutame , vastupidine.

Nimetatakse vektoreid, mis asuvad sama tasapinnaga paralleelsetel sirgel koplanaarne.

Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne, kui need on kollineaarsed, on samasuunalised ja võrdse pikkusega. Sel juhul kirjutavad nad.

Vektorite võrdsuse definitsioonist järeldub, et vektorit saab transportida paralleelselt iseendaga, asetades selle alguse mis tahes ruumipunkti.

Näiteks.

LINEAARSED TEHTUD VEKTORIDELE

1. Vektori korrutamine arvuga.

   Vektori ja arvu λ korrutis on uus vektor, nii et:

   Vektori ja arvu λ korrutis on tähistatud .

   

   Näiteks, on vektor, mis on suunatud vektoriga samas suunas ja mille pikkus on poole vektori pikkusest.

   Kasutusele võetud toimingul on järgmine omadused:

2. Vektori lisamine.

   Olgu ja kaks suvalist vektorit. Võtame meelevaldse punkti O ja konstrueerida vektor. Pärast seda punktist A jätame vektori kõrvale. Nimetatakse vektorit, mis ühendab esimese vektori alguse teise lõpuga summa nendest vektoritest ja on tähistatud .

   

   Vektorliitmise formuleeritud definitsiooni nimetatakse rööpküliku reegel, kuna sama vektorite summa võib saada järgmiselt. Lükkame punktist edasi O vektorid ja . Koostame nendele vektoritele rööpküliku OABC. Kuna vektorid, siis vektor, mis on tipust tõmmatud rööpküliku diagonaal O, on ilmselt vektorite summa.

   

   Seda on lihtne kontrollida vektori liitmise omadused.

3. Vektorite erinevus.

   Nimetatakse antud vektoriga kollineaarset vektorit, mis on võrdne pikkusega ja vastupidise suunaga vastupidine vektor vektori jaoks ja seda tähistatakse . Vastandvektorit võib pidada vektori arvuga λ = –1 korrutamise tulemuseks: .

www.sait võimaldab teil leida. Sait teostab arvutuse. Mõne sekundi pärast annab server õige lahenduse. Maatriksi iseloomulik võrrand on algebraline avaldis, mis leitakse determinandi arvutamise reeglit kasutades maatriksid maatriksid, samas kui põhidiagonaalis on diagonaalelementide ja muutuja väärtustes erinevusi. Arvutamisel maatriksi tunnusvõrrand võrgus, iga element maatriksid korrutatakse vastavate muude elementidega maatriksid. Otsige režiimis võrgus võimalik ainult ruudu jaoks maatriksid. Operatsiooni leidmine maatriksi tunnusvõrrand võrgus taandub elementide korrutise algebralise summa arvutamiseks maatriksid determinandi leidmise tulemusena maatriksid, ainult kindlaksmääramise eesmärgil maatriksi tunnusvõrrand võrgus. Sellel operatsioonil on teoorias eriline koht maatriksid, võimaldab juurte abil leida omaväärtusi ja vektoreid. Ülesanne leida maatriksi tunnusvõrrand võrgus koosneb korrutavatest elementidest maatriksid millele järgneb nende toodete summeerimine teatud reegli järgi. www.sait leiab maatriksi iseloomulik võrrand antud dimensioon režiimis võrgus. Arvutus maatriksi tunnusvõrrand võrgus selle dimensiooni arvestades on see numbriliste või sümboolsete koefitsientidega polünoomi leidmine, mis leitakse vastavalt determinandi arvutamise reeglile maatriksid- vastavate elementide korrutiste summana maatriksid, ainult kindlaksmääramise eesmärgil maatriksi tunnusvõrrand võrgus. Polünoomi leidmine ruutsuuruse muutuja suhtes maatriksid, määratlusena maatriksi iseloomulik võrrand, teoreetiliselt levinud maatriksid. Polünoomi juurte tähendus maatriksi tunnusvõrrand võrgus kasutatakse omavektorite ja omaväärtuste määramiseks maatriksid. Pealegi, kui determinant maatriksid on siis võrdne nulliga maatriksi karakteristlik võrrand erinevalt vastupidisest on endiselt olemas maatriksid. Selleks, et arvutada maatriksi iseloomulik võrrand või leida mitu korraga maatriksite tunnusvõrrandid, peate kulutama palju aega ja vaeva, samas kui meie server leiab mõne sekundiga võrgumaatriksi tunnusvõrrand. Sel juhul vastus leidmisele maatriksi tunnusvõrrand võrgus on õige ja piisava täpsusega, isegi kui numbrid leidmisel maatriksi tunnusvõrrand võrgus saab olema irratsionaalne. Kohapeal www.sait märkide sisestamine on elementides lubatud maatriksid, see on võrgumaatriksi tunnusvõrrand saab arvutamisel esitada üldisel sümboolsel kujul maatriksi iseloomulik võrrand võrgus. Saadud vastust on kasulik kontrollida leidmisülesande lahendamisel maatriksi tunnusvõrrand võrgus saidi kasutades www.sait. Polünoomi arvutamise toimingu tegemisel - maatriksi karakteristlik võrrand, peate selle probleemi lahendamisel olema ettevaatlik ja äärmiselt keskendunud. Meie sait omakorda aitab teil kontrollida oma otsust sellel teemal maatriksi tunnusvõrrand võrgus. Kui teil pole aega lahendatud probleemide pikaks kontrollimiseks, siis www.sait on kindlasti mugav tööriist otsimisel ja arvutamisel maatriksi tunnusvõrrand võrgus.

Maatriksiga A, kui on selline arv l, et AX = lX.

Sel juhul kutsutakse numbrit l omaväärtus vektorile X vastav operaator (maatriks A).

Teisisõnu, omavektor on vektor, mis lineaaroperaatori toimel muundub kollineaarseks vektoriks, s.t. lihtsalt korrutage mõne arvuga. Seevastu ebaõigeid vektoreid on keerulisem teisendada.

Kirjutame üles omavektori definitsiooni võrrandisüsteemi kujul:

Liigume kõik terminid vasakule poole:

Viimase süsteemi saab kirjutada maatriksi kujul järgmiselt:

(A – lE)X = O

Saadud süsteemis on alati nulllahendus X = O. Selliseid süsteeme, milles kõik vabaliikmed on võrdsed nulliga, nimetatakse homogeenne. Kui sellise süsteemi maatriks on ruut ja selle determinant ei ole võrdne nulliga, siis Crameri valemeid kasutades saame alati ainulaadse lahenduse - nulli. Seda, et süsteemil on nullist erinevad lahendid, saab tõestada siis ja ainult siis, kui selle maatriksi determinant on võrdne nulliga, s.t.

|A - lE| = = 0

Seda võrrandit tundmatu l-ga nimetatakse iseloomulik võrrand (iseloomulik polünoom) maatriks A (lineaarne operaator).

Saab tõestada, et lineaaroperaatori karakteristlik polünoom ei sõltu aluse valikust.

Näiteks leiame maatriksiga A = määratletud lineaarse operaatori omaväärtused ja omavektorid.

Selleks loome iseloomuliku võrrandi |A - lE| = = (1 - l) 2 - 36 = 1 - 2l + l 2 - 36 = l 2 - 2l - 35 = 0; D = 4 + 140 = 144; omaväärtused l 1 = (2 - 12)/2 = -5; l 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Omavektorite leidmiseks lahendame kaks võrrandisüsteemi

(A + 5E)X = O

(A-7E)X = O

Neist esimese jaoks võtab laiendatud maatriks kuju

,

kust x 2 = c, x 1 + (2/3)c = 0; x 1 = -(2/3)s, s.o. X (1) = (-(2/3)s; s).

Neist teise jaoks võtab laiendatud maatriks kuju

,

kust x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 = 0; x 1 = (2/3)s 1, st. X (2) = ((2/3) s 1; s 1).

Seega on selle lineaaroperaatori omavektoriteks kõik vektorid kujul (-(2/3)с; с) omaväärtusega (-5) ja kõik vektorid kujul ((2/3)с 1 ; с 1) omaväärtus 7 .

Saab tõestada, et operaatori A maatriks selle omavektoritest koosnevas baasis on diagonaalne ja selle kujuga:

,

kus l i on selle maatriksi omaväärtused.

Tõsi on ka vastupidine: kui maatriks A mõnes baasis on diagonaal, siis on kõik selle aluse vektorid selle maatriksi omavektorid.

Samuti saab tõestada, et kui lineaarsel operaatoril on n paaris erinevat omaväärtust, siis vastavad omavektorid on lineaarselt sõltumatud ja selle operaatori maatriks vastavas baasis on diagonaalse kujuga.

Illustreerime seda eelmise näitega. Võtame suvalised nullist erinevad väärtused c ja c 1, kuid sellised, et vektorid X (1) ja X (2) on lineaarselt sõltumatud, st. annaks aluse. Näiteks olgu c = c 1 = 3, siis X (1) = (-2; 3), X (2) = (2; 3).

Kontrollime nende vektorite lineaarset sõltumatust:

12 ≠ 0. Selles uues baasis on maatriks A kujul A * = .

Selle kontrollimiseks kasutame valemit A * = C -1 AC. Esiteks leiame C -1.

C-1 = ;

Ruutkujulised kujundid

Ruutkujuline kuju n muutuja f(x 1, x 2, x n) nimetatakse summaks, mille iga liige on kas ühe muutuja ruut või kahe erineva muutuja korrutis, mis on võetud teatud koefitsiendiga: f(x 1 , x 2, x n) = (a ij = a ji).

Nendest koefitsientidest koosnevat maatriksit A ​​nimetatakse maatriks ruutvorm. See on alati sümmeetriline maatriks (st põhidiagonaali suhtes sümmeetriline maatriks, a ij = a ji).

Maatriksmärgistuses on ruutvorm f(X) = X T AX, kus

Tõepoolest

Näiteks kirjutame ruutkuju maatrikskujul.

Selleks leiame ruutkujulise maatriksi. Selle diagonaalelemendid on võrdsed ruudukujuliste muutujate koefitsientidega ja ülejäänud elemendid on võrdsed ruutvormi vastavate koefitsientide pooltega. Sellepärast

Olgu muutujate X maatriks-veerg saadud maatriks-veeru Y mittedegenereerunud lineaarse teisendusega, s.o. X = CY, kus C on n-ndat järku mitteainsuse maatriks. Siis ruutvorm f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Seega, mittedegenereerunud lineaarteisendusega C saab ruutvormi maatriks järgmise kuju: A * = C T AC.

Näiteks leiame ruutkuju f(y 1, y 2), mis saadakse ruutvormist f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 lineaarse teisenduse teel.

Ruutvormi nimetatakse kanooniline(Sellel on kanooniline vaade), kui kõik selle koefitsiendid a ij = 0 i ≠ j korral, st.
f(x 1, x 2, x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + a nn x n 2 = .

Selle maatriks on diagonaalne.

Teoreem(tõestust siin ei ole esitatud). Mis tahes ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks, kasutades mittedegenereerunud lineaarset teisendust.

Näiteks taandagem ruutvorm kanooniliseks vormiks
f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3.

Selleks valige esmalt terve ruut muutujaga x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 - x 2 x 3 = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 x 2 2 - x 2 x 3.

Nüüd valime muutujaga x 2 täieliku ruudu:

f (x 1, x 2, x 3) = 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 2 + 2* x 2 * (1/10) x 3 + (1/100) x 3 2) + (5/100) x 3 2 =
= 2 (x 1 + x 2) 2 - 5 (x 2 - (1/10) x 3) 2 + (1/20) x 3 2.

Siis toob mittedegenereerunud lineaarne teisendus y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 + (1/10)x 3 ja y 3 = x 3 selle ruutvormi kanooniliseks vormiks f(y 1, y 2 , y 3) = 2 a 1 2 - 5 a 2 2 + (1/20) y 3 2 .

Pange tähele, et ruutvormi kanooniline vorm määratakse mitmetähenduslikult (sama ruutvormi saab taandada kanooniliseks vormiks erineval viisil). Erinevate meetoditega saadud kanoonilistel vormidel on aga mitmeid ühiseid omadusi. Eelkõige ei sõltu ruutvormi positiivsete (negatiivsete) koefitsientidega liikmete arv vormi sellele vormile taandamise meetodist (näiteks vaadeldavas näites on alati kaks negatiivset ja üks positiivne koefitsient). Seda omadust nimetatakse ruutvormide inertsiseaduseks.

Kontrollime seda, viies sama ruutvormi erineval viisil kanoonilisse vormi. Alustame teisendust muutujaga x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2 x 1 2 + 4 x 1 x 2 - 3 x 2 2 - x 2 x 3 = -3 x 2 2 - x 2 x 3 + 4 x 1 x 2 + 2 x 1 2 = - 3 (x 2 2 +
+ 2* x 2 ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) + ((1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2) + 3 ((1/6) x 3 – (2/3) x 1) 2 + 2 x 1 2 =
= -3 (x 2 + (1/6) x 3 - (2/3) x 1) 2 + 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3 a 1 2 -
+3 a 2 2 + 2 a 3 2, kus y 1 = - (2/3) x 1 + x 2 + (1/6) x 3, y 2 = (2/3) x 1 + (1/6) x 3 ja y 3 = x 1. Siin on negatiivne koefitsient -3 y 1 juures ja kaks positiivset koefitsienti 3 ja 2 y 2 ja y 3 juures (ja teise meetodi abil saime negatiivse koefitsiendi (-5) y 2 juures ja kaks positiivset: 2 juures y 1 ja 1/20 aasta 3 juures).

Samuti tuleb märkida, et ruutkujulise maatriksi auaste, nn ruutvormi aste, on võrdne kanoonilise vormi nullist mittevastavate koefitsientide arvuga ega muutu lineaarsete teisenduste korral.

Nimetatakse ruutkuju f(X). positiivselt (negatiivne) teatud, kui kõigi muutujate väärtuste puhul, mis ei ole samaaegselt võrdsed nulliga, on see positiivne, st. f(X) > 0 (negatiivne, st.
f(X)< 0).

Näiteks ruutvorm f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 on positiivne kindel, sest on ruutude summa ja ruutvorm f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 on negatiivne kindel, sest tähistab seda saab esitada kujul f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Enamikus praktilistes olukordades on ruutvormi kindla märgi kehtestamine mõnevõrra keerulisem, seetõttu kasutame selleks ühte järgmistest teoreemidest (sõnastame need ilma tõestuseta).

Teoreem. Ruutvorm on positiivne (negatiivne) kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle maatriksi omaväärtused on positiivsed (negatiivsed).

Teoreem(Sylvesteri kriteerium). Ruutvorm on positiivne kindel siis ja ainult siis, kui kõik selle vormi maatriksi juhtivmollid on positiivsed.

Põhi(nurga)moll N-ndat järku maatriksit A ​​nimetatakse maatriksi determinandiks, mis koosneb maatriksi A () esimesest k reast ja veerust.

Pange tähele, et negatiivsete kindlate ruutvormide puhul vahelduvad põhimollide märgid ja esimest järku moll peab olema negatiivne.

Uurime näiteks ruutkuju f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 märgi täpsuse jaoks.

= (2–l)*
*(3 - l) - 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) - 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Seetõttu on ruutvorm positiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi A esimest järku põhimoll D 1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku põhimoll D 2 = = 6 - 4 = 2 > 0. Seetõttu on Sylvesteri kriteeriumi järgi ruutvorm positiivne kindel.

Uurime veel üht ruutkuju märkide määratluse jaoks, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Meetod 1. Koostame maatriksi ruutkujuga A = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (-2 - l)*
*(-3 - l) - 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 - 8 = 17;
. Seetõttu on ruutvorm negatiivne kindel.

Meetod 2. Maatriksi A esimest järku põhimoll D 1 = a 11 =
= -2 < 0. Главный минор второго порядка D 2 = = 6 - 4 = 2 >0. Järelikult on ruutvorm Sylvesteri kriteeriumi järgi negatiivne definiit (põhimollide märgid vahelduvad, alustades miinusest).

Teise näitena uurime märgiga määratud ruutvormi f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Meetod 1. Koostame maatriksi ruutkujuga A = . Iseloomulikul võrrandil on vorm = (2–l)*
*(-3 - l) - 4 = (-6 - 2l + 3l + l 2) - 4 = l 2 + l - 10 = 0; D = 1 + 40 = 41;
.

Üks neist numbritest on negatiivne ja teine ​​positiivne. Omaväärtuste märgid on erinevad. Sellest tulenevalt ei saa ruutvorm olla ei negatiivne ega positiivne definiit, s.t. see ruutvorm ei ole märgiline (see võib võtta mis tahes märgi väärtusi).

Meetod 2. Maatriksi A esimest järku põhimoll D 1 = a 11 = 2 > 0. Teist järku põhimoll D 2 = = -6 - 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них - положителен).

Diagonaalmaatriksitel on kõige lihtsam struktuur. Tekib küsimus, kas on võimalik leida alust, milles lineaaroperaatori maatriks oleks diagonaalse kujuga. Selline alus on olemas.
Olgu meile antud lineaarruum R n ja selles toimiv lineaaroperaator A; sel juhul võtab operaator A R n enda sisse, st A:R n → R n .

Definitsioon. Nullist erinevat vektorit nimetatakse operaatori A omavektoriks, kui operaator A vastendub sellega kollineaarsele vektorile, st. Arvu λ nimetatakse omavektorile vastava operaatori A omaväärtuseks või omaväärtuseks.
Märgime mõned omaväärtuste ja omavektorite omadused.
1. Omavektorite mis tahes lineaarne kombinatsioon operaator A, mis vastab samale omaväärtusele λ, on sama omaväärtusega omavektor.
2. Omavektorid operaator A paaride kaupa erinevate omaväärtustega λ 1 , λ 2 , …, λ m on lineaarselt sõltumatud.
3. Kui omaväärtused λ 1 =λ 2 = λ m = λ, siis omaväärtus λ vastab mitte rohkem kui m lineaarselt sõltumatule omavektorile.

Seega, kui on n lineaarselt sõltumatut omavektorit , mis vastavad erinevatele omaväärtustele λ 1, λ 2, ..., λ n, siis on nad lineaarselt sõltumatud, seega võib neid võtta ruumi R n aluseks. Leiame selle omavektorite alusel lineaaroperaatori A maatriksi kuju, mille puhul toimime operaatoriga A baasvektorite alusel: Siis .
Seega on lineaarse operaatori A maatriksil oma omavektorite alusel diagonaalkuju ja operaatori A omaväärtused on piki diagonaali.
Kas on veel mõni alus, mille puhul maatriksil on diagonaalne vorm? Sellele küsimusele annab vastuse järgmine teoreem.

Teoreem. Lineaaroperaatori A maatriksil aluses (i = 1..n) on diagonaalkuju siis ja ainult siis, kui kõik aluse vektorid on operaatori A omavektorid.

Omaväärtuste ja omavektorite leidmise reegel

. (*)

(1)
Kus - lineaarne operaatormaatriks.

Süsteemil (1) on nullist erinev lahendus, kui selle determinant D on võrdne nulliga

Näide 12. Lineaaroperaator A toimib R 3-s vastavalt seadusele, kus x 1, x 2, .., x n on baasis oleva vektori koordinaadid , , . Leidke selle operaatori omaväärtused ja omavektorid.
Lahendus. Koostame selle operaatori maatriksi:
.
Loome omavektorite koordinaatide määramise süsteemi:

Koostame iseloomuliku võrrandi ja lahendame selle:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Asendades süsteemi λ = -1, saame:
või
Sest , siis on kaks sõltuvat muutujat ja üks vaba muutuja.
Olgu siis x 1 vaba tundmatu Me lahendame selle süsteemi mis tahes viisil ja leiame selle süsteemi üldlahenduse: Lahenduste põhisüsteem koosneb ühest lahendist, kuna n - r = 3 - 2 = 1.
Omaväärtusele λ = -1 vastav omavektorite hulk on kujul: , kus x 1 on mis tahes arv, mis ei ole null. Valime sellest hulgast ühe vektori, näiteks paneme x 1 = 1: .
Sarnaselt arutledes leiame omaväärtusele λ = 3 vastava omavektori: .
Ruumis R 3 koosneb baas kolmest lineaarselt sõltumatust vektorist, kuid saime ainult kaks lineaarselt sõltumatut omavektorit, millest baasi R 3-s ei saa koostada. Järelikult ei saa me lineaaroperaatori maatriksit A ​​taandada diagonaalkujule.

Näide 13. Antud maatriks .
1. Tõesta, et vektor on maatriksi A omavektor. Leia sellele omavektorile vastav omaväärtus.
2. Leia alus, milles maatriksil A on diagonaalkuju.
Lahendus.
1. Kui , siis on omavektor

.
Vektor (1, 8, -1) on omavektor. Omaväärtus λ = -1.
Maatriksil on omavektoritest koosnevas baasis diagonaalkuju. Üks neist on kuulus. Leiame ülejäänud.
Otsime süsteemist omavektoreid:

Iseloomulik võrrand: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2–1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Leiame omaväärtusele λ = -3 vastav omavektor:

Selle süsteemi maatriksi auaste on kaks ja võrdne tundmatute arvuga, seega on sellel süsteemil ainult nulllahendus x 1 = x 3 = 0. x 2 võib siin olla midagi muud kui null, näiteks x 2 = 1. Seega on vektor (0 ,1,0) omavektor, mis vastab väärtusele λ = -3. Kontrollime:
.
Kui λ = 1, siis saame süsteemi
Maatriksi auaste on kaks. Viimase võrrandi kriipsutame maha.
Olgu x 3 vaba tundmatu. Siis x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Eeldusel, et x 3 = 1, on meil (-3,-9,1) - omaväärtusele λ = 1 vastav omavektor. Kontrollige:

.
Kuna omaväärtused on reaalsed ja erinevad, on neile vastavad vektorid lineaarselt sõltumatud, nii et neid saab võtta aluseks R 3 . Seega aluses , , maatriksil A on vorm:
.
Mitte iga lineaarse operaatori A:R n → R n maatriksit ei saa taandada diagonaalkujule, kuna mõne lineaaroperaatori puhul võib olla vähem kui n lineaarset sõltumatut omavektorit. Kui aga maatriks on sümmeetriline, vastab kordsuse m iseloomuliku võrrandi juur täpselt m lineaarselt sõltumatule vektorile.

Definitsioon. Sümmeetriline maatriks on ruutmaatriks, milles põhidiagonaali suhtes sümmeetrilised elemendid on võrdsed, see tähendab, milles .
Märkmed. 1. Kõik sümmeetrilise maatriksi omaväärtused on reaalsed.
2. Paarikaupa erinevatele omaväärtustele vastava sümmeetrilise maatriksi omavektorid on ortogonaalsed.
Üheks paljudest uuritud aparaadi rakendustest käsitleme teist järku kõvera tüübi määramise probleemi.

Ruutmaatriksi omavektor on selline, mis antud maatriksiga korrutades annab tulemuseks kollineaarse vektori. Lihtsamalt öeldes, kui maatriksit korrutatakse omavektoriga, jääb viimane samaks, kuid korrutatakse teatud arvuga.

Definitsioon

Omavektor on nullist erinev vektor V, mis ruutmaatriksiga M korrutamisel suureneb ise mingi arvu λ võrra. Algebralises tähistuses näeb see välja järgmine:

M × V = λ × V,

kus λ on maatriksi M omaväärtus.

Vaatame numbrilist näidet. Salvestamise hõlbustamiseks eraldatakse maatriksis olevad numbrid semikooloniga. Teeme maatriksi:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Korrutame selle veeruvektoriga:

• V = -2;

Kui korrutame maatriksi veeruvektoriga, saame ka veeruvektori. Ranges matemaatilises keeles näeb 2 × 2 maatriksi veeruvektoriga korrutamise valem välja järgmine:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 tähendab maatriksi M elementi, mis asub esimeses reas ja esimeses veerus, ning M22 tähendab elementi, mis asub teises reas ja teises veerus. Meie maatriksi puhul on need elemendid võrdsed M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Veeruvektori puhul on need väärtused võrdsed V11 = –2, V21 = 1. Selle valemi kohaselt saame ruutmaatriksi korrutise vektoriga järgmise tulemuse:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Mugavuse huvides kirjutame veeruvektori ritta. Seega korrutasime ruutmaatriksi vektoriga (-2; 1), saades vektori (4; -2). Ilmselgelt on see sama vektor, mis on korrutatud λ = -2-ga. Lambda tähistab sel juhul maatriksi omaväärtust.

Maatriksi omavektor on kollineaarne vektor, see tähendab objekt, mis maatriksiga korrutades ei muuda oma asukohta ruumis. Kollineaarsuse mõiste vektoralgebras on sarnane paralleelsuse mõistega geomeetrias. Geomeetrilises tõlgenduses on kollineaarsed vektorid erineva pikkusega paralleelselt suunatud segmendid. Alates Eukleidese ajast teame, et ühel sirgel on lõpmatu arv temaga paralleelseid sirgeid, seega on loogiline eeldada, et igal maatriksil on lõpmatu arv omavektoreid.

Eelmisest näitest on selge, et omavektorid võivad olla (-8; 4) ja (16; -8) ja (32, -16). Need on kõik kollineaarsed vektorid, mis vastavad omaväärtusele λ = -2. Korrutades algse maatriksi nende vektoritega, saame ikkagi vektori, mis erineb algsest 2 korda. Sellepärast on omavektori leidmise ülesannete lahendamisel vaja leida ainult lineaarselt sõltumatuid vektorobjekte. Kõige sagedamini on n × n maatriksi jaoks n arv omavektoreid. Meie kalkulaator on mõeldud teist järku ruutmaatriksite analüüsimiseks, nii et peaaegu alati leiab tulemus kaks omavektorit, välja arvatud juhtudel, kui need langevad kokku.

Ülaltoodud näites teadsime eelnevalt algmaatriksi omavektorit ja määrasime selgelt lambda arvu. Praktikas juhtub aga kõik vastupidi: kõigepealt leitakse omaväärtused ja alles seejärel omavektorid.

Lahenduse algoritm

Vaatame uuesti algset maatriksit M ja proovime leida selle mõlemad omavektorid. Nii et maatriks näeb välja selline:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Kõigepealt peame määrama omaväärtuse λ, mis nõuab järgmise maatriksi determinandi arvutamist:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

See maatriks saadakse, lahutades põhidiagonaali elementidest tundmatu λ. Determinant määratakse standardvalemi abil:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Kuna meie vektor peab olema nullist erinev, aktsepteerime saadud võrrandit lineaarselt sõltuvana ja võrdsustame oma determinandi detA nulliga.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Avame sulud ja saame maatriksi iseloomuliku võrrandi:

λ 2 - 10 λ - 24 = 0

See on standardne ruutvõrrand, mis tuleb lahendada diskriminandi abil.

D = b 2 - 4ac = (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Diskriminandi juur on sqrt(D) = 14, seega λ1 = -2, λ2 = 12. Nüüd tuleb iga lambda väärtuse jaoks leida omavektor. Avaldame süsteemi koefitsiendid λ = -2 korral.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

Selles valemis on E identiteedimaatriks. Saadud maatriksi põhjal loome lineaarsete võrrandite süsteemi:

2x + 4a = 6x + 12a,

kus x ja y on omavektori elemendid.

Kogume kokku kõik X-id vasakul ja kõik Y-d paremal. Ilmselgelt - 4x = 8a. Jagage avaldis arvuga -4 ja saame x = -2y. Nüüd saame määrata maatriksi esimese omavektori, võttes kõik tundmatute väärtused (pidage meeles lineaarselt sõltuvate omavektorite lõpmatust). Võtame y = 1, siis x = –2. Seetõttu näeb esimene omavektor välja nagu V1 = (–2; 1). Tagasi artikli algusesse. Just selle vektorobjektiga korrutasime maatriksi omavektori kontseptsiooni demonstreerimiseks.

Nüüd leiame omavektori λ = 12 jaoks.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Loome sama lineaarvõrrandisüsteemi;

• -12x + 4a = 6x -2a
• -18x = -6 a
• 3x = y.

Nüüd võtame x = 1, seega y = 3. Seega näeb teine ​​omavektor välja nagu V2 = (1; 3). Algmaatriksi korrutamisel antud vektoriga on tulemuseks alati sama vektor korrutatuna 12-ga. Siin lõpeb lahendusalgoritm. Nüüd teate, kuidas maatriksi omavektorit käsitsi määrata.

• determinant;
• jälg, see tähendab põhidiagonaali elementide summa;
• järjestus, st maksimaalne lineaarselt sõltumatute ridade/veergude arv.

Programm töötab ülaltoodud algoritmi järgi, lühendades lahendusprotsessi nii palju kui võimalik. Oluline on märkida, et programmis on lambda tähistatud tähega “c”. Vaatame numbrilist näidet.

Näide programmi toimimisest

Proovime määrata järgmise maatriksi omavektorid:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Sisestame need väärtused kalkulaatori lahtritesse ja saame vastuse järgmisel kujul:

• Maatriksi aste: 2;
• Maatriksi determinant: 18;
• Maatriksi jälg: 19;
• Omavektori arvutamine: c 2 − 19,00c + 18,00 (karakteristiku võrrand);
• Omavektori arvutus: 18 (esimene lambda väärtus);
• Omavektori arvutus: 1 (teine ​​lambda väärtus);
• Vektori 1 võrrandisüsteem: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Vektori 2 võrrandisüsteem: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Omavektor 1: (1; 1);
• Omavektor 2: (-3,25; 1).

Seega saime kaks lineaarselt sõltumatut omavektorit.

Järeldus

Lineaaralgebra ja analüütiline geomeetria on iga esmakursuslase insenerieriala standardained. Vektorite ja maatriksite suur hulk on hirmuäratav ning sellistes tülikates arvutustes on lihtne vigu teha. Meie programm võimaldab õpilastel oma arvutusi kontrollida või omavektori leidmise probleemi automaatselt lahendada. Meie kataloogis on ka teisi lineaaralgebrakalkulaatoreid, mida saate oma õpingutes või töös kasutada.