Fookusraadius. Teise järjekorra read
Ellips on punktide geomeetriline asukoht tasapinnal, mille kauguste summa igast punktist F_1 ja F_2 on konstantne väärtus (2a), mis on suurem kui nende antud punktide vaheline kaugus (2c) 3.36, a). See geomeetriline määratlus väljendab ellipsi fookusomadus.
Ellipsi fookusomadus
Punkte F_1 ja F_2 nimetatakse ellipsi fookusteks, nendevaheline kaugus 2c=F_1F_2 on fookuskaugus, lõigu F_1F_2 keskmine O on ellipsi keskpunkt, arv 2a on ellipsi peatelje pikkus. ellips (vastavalt on arv a ellipsi poolsuurtelg). Lõike F_1M ja F_2M, mis ühendavad ellipsi suvalist punkti M selle fookustega, nimetatakse punkti M fookusraadiusteks. Ellipsi kahte punkti ühendavat lõiku nimetatakse ellipsi kõõluks.
Suhet e=\frac(c)(a) nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks. Definitsioonist (2a>2c) järeldub, et 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Ellipsi geomeetriline määratlus, mis väljendab selle fookusomadust, on samaväärne selle analüütilise definitsiooniga - ellipsi kanoonilise võrrandiga antud joon:
Tõepoolest, tutvustame ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi (joonis 3.36c). Koordinaatsüsteemi alguspunktiks võtame ellipsi keskpunkti O; võtame abstsissteljeks fookusi läbiva sirge (fookustelg ehk ellipsi esimene telg) (positiivne suund sellel on punktist F_1 punkti F_2); võtame ordinaatteljeks sirge, mis on fookusteljega risti ja läbib ellipsi keskpunkti (ellipsi teist telge) (suund ordinaatteljel on valitud nii, et ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy on õige) .
Loome ellipsi jaoks võrrandi, kasutades selle geomeetrilist definitsiooni, mis väljendab fookuskaugust. Valitud koordinaatsüsteemis määrame fookuste koordinaadid F_1(-c,0),~F_2(c,0). Ellipsile kuuluva suvalise punkti M(x,y) jaoks on meil:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Kirjutades selle võrdsuse koordinaatide kujul, saame:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Liigume teise radikaali paremale poole, ruudustame võrrandi mõlemad pooled ja toome sarnased terminid:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\vasakparemnool ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Jagades 4-ga, paneme võrrandi mõlemad pooled ruutu:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\vasakparemnool~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Olles määranud b=\sqrt(a^2-c^2)>0, saame b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Jagades mõlemad pooled a^2b^2\ne0-ga, saame ellipsi kanoonilise võrrandi:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Seetõttu on valitud koordinaatsüsteem kanooniline.
Kui ellipsi fookused langevad kokku, siis on ellips ring (joon. 3.36,6), kuna a=b. Sel juhul on iga ristkülikukujuline koordinaatide süsteem, mille alguspunkt on punktis, kanooniline O\equiv F_1\equiv F_2, ja võrrand x^2+y^2=a^2 on võrrand ringist, mille keskpunkt on punktis O ja raadius on võrdne a-ga.
Arutledes vastupidises järjekorras, saab näidata, et kõik punktid, mille koordinaadid vastavad võrrandile (3.49) ja ainult nemad, kuuluvad punktide lookusesse, mida nimetatakse ellipsiks. Teisisõnu, ellipsi analüütiline määratlus on samaväärne selle geomeetrilise määratlusega, mis väljendab ellipsi fookusomadust.
Ellipsi direktoriomadus
Ellipsi suunad on kaks sirget, mis kulgevad paralleelselt kanoonilise koordinaatsüsteemi ordinaatteljega ja asuvad sellest samal kaugusel \frac(a^2)(c). Kui ellips on ringikujuline, c=0 korral ei ole ühtegi suundi (võime eeldada, et suunad on lõpmatuses).
Ellips ekstsentrilisusega 0
Tegelikult on näiteks fookuse F_2 ja suuna d_2 jaoks (joon. 3.37,6) tingimus \frac(r_2)(\rho_2)=e saab kirjutada koordinaatide kujul:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Irratsionaalsusest vabanemine ja asendamine e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, jõuame kanoonilise ellipsi võrrandini (3.49). Sarnaseid arutlusi saab läbi viia fookuse F_1 ja režissööri puhul d_1\koolon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Ellipsi võrrand polaarkoordinaatide süsteemis
Ellipsi võrrand polaarkoordinaatide süsteemis F_1r\varphi (joonis 3.37, c ja 3.37 (2)) on kujul
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
kus p=\frac(b^2)(a) on ellipsi fookusparameeter.
Tegelikult valime polaarkoordinaatide süsteemi pooluseks ellipsi vasakpoolne fookus F_1 ja polaarteljeks kiir F_1F_2 (joonis 3.37, c). Siis on suvalise punkti M(r,\varphi) jaoks vastavalt ellipsi geomeetrilisele definitsioonile (fokaalomadusele) r+MF_2=2a. Väljendame punktide M(r,\varphi) ja F_2(2c,0) vahelise kauguse (vt):
\begin(joondatud)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(joondatud)
Seetõttu on koordinaatide kujul ellipsi võrrand F_1M+F_2M=2a kujul
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Eraldame radikaali, ruudustage võrrandi mõlemad pooled, jagame 4-ga ja esitame sarnased terminid:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Väljendage polaarraadius r ja tehke asendus e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightnool \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Koefitsientide geomeetriline tähendus ellipsi võrrandis
Leiame ellipsi (vt joonis 3.37a) lõikepunktid koordinaattelgedega (ellipsi tipud). Asendades võrrandisse y=0, leiame ellipsi lõikepunktid abstsissteljega (fookusteljega): x=\pm a. Seetõttu on ellipsi sees oleva fookustelje segmendi pikkus võrdne 2a. Nagu eespool märgitud, nimetatakse seda segmenti ellipsi peateljeks ja arvu a on ellipsi poolsuurtelg. Asendades x=0, saame y=\pm b. Seetõttu on ellipsi sees oleva ellipsi teise telje segmendi pikkus võrdne 2b-ga. Seda segmenti nimetatakse ellipsi väiketeljeks ja arvu b on ellipsi pooltelg.
Tõesti, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ja võrdus b=a saadakse ainult juhul c=0, kui ellips on ringjoon. Suhtumine k=\frac(b)(a)\leqslant1 nimetatakse ellipsi tihendussuhteks.
Märkused 3.9
1. Sirged x=\pm a,~y=\pm b piiravad koordinaattasandil põhiristkülikut, mille sees on ellips (vt joon. 3.37, a).
2. Ellipsi saab defineerida kui punktide asukoht, mis saadakse ringi kokkusurumisel selle läbimõõduni.
Tõepoolest, olgu ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy ringjoone võrrand x^2+y^2=a^2. Kokkusurutuna x-teljele koefitsiendiga 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Asendades võrrandis ringid x=x" ja y=\frac(1)(k)y", saame punkti M(x,y) kujutise M"(x",y") koordinaatide võrrandi ) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} kuna b=k\cdot a . See on ellipsi kanooniline võrrand. 3. Koordinaatide teljed (kanoonilise koordinaatsüsteemi) on ellipsi sümmeetriateljed (nimetatakse ellipsi põhitelgedeks) ja selle keskpunkt on sümmeetria keskpunkt. Tõepoolest, kui punkt M(x,y) kuulub ellipsi . siis samasse ellipsi kuuluvad ka punktid M"(x,-y) ja M""(-x,y), mis on sümmeetrilised punktiga M koordinaattelgede suhtes. 4. Ellipsi võrrandist polaarkoordinaatide süsteemis r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vt joon. 3.37, c), selgitatakse fookusparameetri geomeetrilist tähendust - see on pool ellipsi kõõlu pikkusest, mis läbib selle fookuse fookusteljega risti (r=p at \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ekstsentrilisus e iseloomustab ellipsi kuju, nimelt ellipsi ja ringi erinevust. Mida suurem e, seda piklikum on ellips ja mida lähemal e on nullile, seda lähemal on ellips ringile (joonis 3.38a). Tõepoolest, võttes arvesse, et e=\frac(c)(a) ja c^2=a^2-b^2 , saame e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} kus k on ellipsi tihendusaste, 0 6. Võrrand \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 aadressil a 7. Võrrand \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b määrab ellipsi, mille keskpunkt on punktis O"(x_0,y_0), mille teljed on paralleelsed koordinaattelgedega (joonis 3.38, c). See võrrand taandatakse paralleeltõlke (3.36) abil kanooniliseks. Kui a=b=R võrrand (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 kirjeldab raadiusega R ringi, mille keskpunkt on punktis O"(x_0,y_0) . Ellipsi parameetriline võrrand kanoonilises koordinaatsüsteemis on vorm \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Tõepoolest, asendades need avaldised võrrandiga (3.49), jõuame peamise trigonomeetrilise identiteedi juurde \cos^2t+\sin^2t=1. Näide 3.20. Joonistage ellips \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 kanoonilises koordinaatsüsteemis Oxy. Leidke poolteljed, fookuskaugus, ekstsentrilisus, tihendusaste, fookusparameeter ja suundvõrrandid. Lahendus. Võrreldes antud võrrandit kanoonilisega, määrame poolteljed: a=2 - ellipsi poolsuurtelg, b=1 - ellipsi pooltelg. Ehitame põhiristküliku külgedega 2a=4,~2b=2, mille keskpunkt on algpunktis (joonis 3.39). Arvestades ellipsi sümmeetriat, sobitame selle põhiristkülikusse. Vajadusel määrake ellipsi mõne punkti koordinaadid. Näiteks asendades x=1 ellipsi võrrandiga, saame \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftright nool \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Seetõttu punktid koordinaatidega \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- kuuluvad ellipsisse. Kompressiooniastme arvutamine k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); fookuskaugus 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekstsentrilisus e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fookusparameeter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Koostame suunavõrrandid: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftright nool~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)). 11.1. Põhimõisted Vaatleme sirgeid, mis on määratletud teise astme võrranditega hetkekoordinaatide suhtes Võrrandi koefitsiendid on reaalarvud, kuid vähemalt üks arvudest A, B või C on nullist erinev. Selliseid jooni nimetatakse teist järku joonteks (kõverateks). Allpool tehakse kindlaks, et võrrand (11.1) defineerib tasapinnal ringi, ellipsi, hüperbooli või parabooli. Enne selle väite juurde asumist uurime loetletud kõverate omadusi. 11.2. Ring Seejärel saame tingimusest võrrandi Võrrandit (11.2) rahuldavad antud ringi mis tahes punkti koordinaadid ja ei rahulda ühegi punkti koordinaadid, mis ei asu ringil. Nimetatakse võrrandit (11.2). ringi kanooniline võrrand Eelkõige, milles ja , Saame võrrand ringi keskusega päritolu Ringvõrrand (11.2) saab pärast lihtsaid teisendusi kujul . Võrreldes seda võrrandit teist järku kõvera üldvõrrandiga (11.1), on lihtne märgata, et ringjoone võrrandi jaoks on täidetud kaks tingimust: 1) x 2 ja y 2 koefitsiendid on üksteisega võrdsed; 2) ei ole ühtegi liiget, mis sisaldab hetkekoordinaatide korrutist xy. Vaatleme pöördprobleemi. Pannes väärtused ja võrrandisse (11.1), saame Teisendame selle võrrandi: Sellest järeldub, et võrrand (11.3) määrab tingimuse all ringi Kui See rahuldatakse ühe punkti koordinaatidega Kui 11.3. Ellips Kanooniline ellipsi võrrand Ellips
on tasandi kõigi punktide hulk, mille kauguste summa igast punktist selle tasandi kahe antud punktini, nn. trikid
, on konstantne väärtus, mis on suurem kui fookuste vaheline kaugus. Ellipsi võrrandi tuletamiseks valime koordinaatide süsteemi nii, et fookused F 1 Ja F 2 asusid teljel ja alguspunkt langes kokku segmendi keskkohaga F 1 F 2. Siis on fookustel järgmised koordinaadid: ja . Laskma olema suvaline punkt ellipsi. Siis ellipsi definitsiooni järgi, s.o. See on sisuliselt ellipsi võrrand. Teisendame võrrandi (11.5) lihtsamaks vormiks järgmiselt: Sest a>Koos, See. Paneme Siis võtab viimane võrrand kuju või Võib tõestada, et võrrand (11.7) on võrdne algvõrrandiga. Seda nimetatakse kanooniline ellipsi võrrand
. Ellips on teist järku kõver. Ellipsi kuju uurimine võrrandi abil Määrame ellipsi kuju, kasutades selle kanoonilist võrrandit. 1. Võrrand (11.7) sisaldab x ja y ainult paarisastmetes, seega kui punkt kuulub ellipsisse, siis kuuluvad sinna ka punktid ,,. Sellest järeldub, et ellips on sümmeetriline nii telgede ja kui ka punkti suhtes, mida nimetatakse ellipsi keskpunktiks. 3. Võrrandist (11.7) järeldub, et iga liige vasakul pool ei ületa ühte, s.o. ebavõrdsused ja või ja leiavad aset. Järelikult asuvad kõik ellipsi punktid sirgjoonte moodustatud ristküliku sees. 4. Võrrandis (11.7) on mittenegatiivsete liikmete summa ja võrdne ühega. Järelikult ühe liikme kasvades teine kahaneb, st kui suureneb, siis kahaneb ja vastupidi. Ülaltoodust järeldub, et ellipsil on joonisel fig. 50 (ovaalne suletud kõver). Lisateavet ellipsi kohta Ellipsi kuju sõltub suhtest. Kui ellips muutub ringiks, saab ellipsi võrrand (11.7) kuju . Suhet kasutatakse sageli ellipsi kuju iseloomustamiseks. Poole fookuste ja ellipsi poolpeatelje vahelise kauguse suhet nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks ja o6o tähistatakse tähega ε (“epsilon”): 0-ga<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу
(11.8) можно переписать в виде See näitab, et mida väiksem on ellipsi ekstsentrilisus, seda vähem on ellips lame; kui seame ε = 0, siis muutub ellips ringiks. Valemid peavad vastu Otseliine nimetatakse Võrdsusest (11.6) järeldub, et . Kui, siis võrrand (11.7) defineerib ellipsi, mille suurtelg asub Oy teljel ja kõrvaltelg Ox-teljel (vt joonis 52). Sellise ellipsi fookused on punktides ja , kus 11.4. Hüperbool Kanooniline hüperbooli võrrand Hüperbool
on tasandi kõigi punktide hulk, nendest igaühest selle tasandi kahe antud punkti vahelise kauguse moodul, nn. trikid
, on konstantne väärtus, mis on väiksem kui fookuste vaheline kaugus. Hüperboolvõrrandi tuletamiseks valime koordinaatide süsteemi nii, et fookused F 1 Ja F 2 asetsema teljel ja alguspunkt langes kokku segmendi keskkohaga F 1 F 2(vt joonis 53). Siis saavad fookused koordinaadid ja Laskma olema suvaline punkt hüperbool. Siis vastavalt hüperbooli definitsioonile Hüperbool on teist järku rida. Hüperbooli kuju uurimine võrrandi abil Määrakem hüperbooli kuju, kasutades selle kakoonilist võrrandit. 1. Võrrand (11.9) sisaldab x ja y ainult paarisastmetes. Järelikult on hüperbool sümmeetriline telgede ja , samuti punkti suhtes, mis on nn. hüperbooli keskpunkt.
2. Leidke hüperbooli ja koordinaattelgede lõikepunktid. Pannes võrrandisse (11.9), leiame kaks hüperbooli ja telje lõikepunkti: ja. Pannes sisse (11.9), saame , mis ei saa olla. Seetõttu ei ristu hüperbool Oy teljega. Punkte nimetatakse
tipud
hüperboolid ja segment tegelik telg
, joonelõik - tõeline pooltelg
hüperbool. Nimetatakse lõiku, mis ühendab punkte
kujuteldav telg
, number b - kujuteldav pooltelg
. Ristkülik külgedega 2a Ja 2b helistas hüperbooli põhiristkülik
. 3. Võrrandist (11.9) järeldub, et minuend ei ole väiksem kui üks, st et või . See tähendab, et hüperbooli punktid asuvad sirgest paremal (hüperbooli parem haru) ja joonest vasakul (hüperbooli vasak haru). 4. Hüperbooli võrrandist (11.9) on selge, et kui see suureneb, siis see suureneb. See tuleneb asjaolust, et erinevus säilitab konstantse väärtuse, mis on võrdne ühega. Eelnevast järeldub, et hüperbool on joonisel 54 näidatud kujul (kahest piiramatust harust koosnev kõver). Hüperbooli asümptoodid
Sirget L nimetatakse asümptoodiks Näitame, et hüperboolil on kaks asümptooti: Kuna sirged (11.11) ja hüperbool (11.9) on koordinaatide telgede suhtes sümmeetrilised, siis piisab, kui arvestada ainult neid näidatud sirgete punkte, mis asuvad esimeses kvartalis. Võtame sirge punkti N, millel on sama abstsiss x kui hüperbooli punktil Nagu näete, suureneb x suurenedes murdosa nimetaja; lugeja on konstantne väärtus. Seetõttu lõigu pikkus Hüperbooli (11.9) koostamisel on soovitav esmalt konstrueerida hüperbooli põhiristkülik (vt. joon. 57), tõmmata selle ristküliku vastandtippe läbivad sirgjooned - hüperbooli asümptoodid ning märkida ära tipud ja , hüperboolist. Võrdkülgse hüperbooli võrrand. mille asümptootideks on koordinaatteljed Võrdkülgse hüperbooli asümptootidel on võrrandid ja seetõttu on need koordinaatnurkade poolitajad. Vaatleme selle hüperbooli võrrandit uues koordinaatsüsteemis (vt joonis 58), mis on saadud vanast koordinaatide telgede nurga võrra pööramisel. Koordinaatide telgede pööramiseks kasutame valemeid: Asendame x ja y väärtused võrrandisse (11.12): Võrdkülgse hüperbooli võrrand, mille jaoks Ox ja Oy teljed on asümptoodid, on kujul . Lisateave hüperbooli kohta Ekstsentrilisus
hüperbool (11.9) on fookuste vahelise kauguse ja hüperbooli tegeliku telje väärtuse suhe, mida tähistatakse ε-ga: Kuna hüperbooli korral on hüperbooli ekstsentrilisus suurem kui üks: . Ekstsentrilisus iseloomustab hüperbooli kuju. Tõepoolest, võrdsusest (11.10) järeldub, et s.o. Ja Sellest on näha, et mida väiksem on hüperbooli ekstsentrilisus, seda väiksem on tema pooltelgede suhe ja seetõttu piklik on selle põhiristkülik. Võrdkülgse hüperbooli ekstsentrilisus on . Tõesti, Fookusraadiused Otsejooni nimetatakse hüperbooli suunadeks. Kuna hüperbooli puhul ε > 1, siis . See tähendab, et parempoolne suund asub hüperbooli keskpunkti ja parema tipu vahel, vasak - keskpunkti ja vasaku tipu vahel. Hüperbooli suundudel on sama omadus kui ellipsi suundtel. Võrrandiga defineeritud kõver on samuti hüperbool, mille reaaltelg 2b asub Oy teljel ja imaginaartelg 2 a- härja teljel. Joonisel 59 on see näidatud punktiirjoonena. On ilmne, et hüperboolidel on ühised asümptoodid. Selliseid hüperboole nimetatakse konjugaatideks. 11.5. Parabool Kanooniline parabooli võrrand Parabool on kogum tasapinna kõigist punktidest, millest igaüks on antud punktist võrdsel kaugusel, mida nimetatakse fookuspunktiks, ja antud sirgest, mida nimetatakse otsejooneks. Kaugust fookusest F suunani nimetatakse parabooli parameetriks ja seda tähistatakse p-ga (p > 0). 1. Võrrandis (11.13) esineb muutuja y paarisastmes, mis tähendab, et parabool on sümmeetriline Ox-telje suhtes; Härg telg on parabooli sümmeetriatelg. 2. Kuna ρ > 0, siis (11.13) järeldub, et . Järelikult asub parabool Oy teljest paremal. 3. Kui meil on y = 0. Seetõttu läbib parabool alguspunkti. 4. Kui x suureneb lõputult, suureneb ka moodul y lõputult. Parabooli kuju (kuju) on näidatud joonisel 61. Punkti O(0; 0) nimetatakse parabooli tipuks, lõiku FM = r nimetatakse punkti M fookusraadiuseks. Võrrandid , , ( p>0) määratlevad ka paraboolid, need on näidatud joonisel 62 Ei ole raske näidata, et ruuttrinoomi graafik, kus , B ja C on mis tahes reaalarvud, on parabool selle ülaltoodud definitsiooni tähenduses. 11.6. Teist järku ridade üldvõrrand Teist järku kõverate võrrandid, mille sümmeetriateljed on paralleelsed koordinaattelgedega Leiame esmalt ellipsi võrrandi, mille keskpunkt on punktis, mille sümmeetriateljed on paralleelsed koordinaattelgedega Ox ja Oy ning poolteljed on vastavalt võrdsed a Ja b. Asetame ellipsi O 1 keskmesse uue koordinaatsüsteemi alguse, mille teljed ja poolteljed a Ja b(vt joonis 64): Lõpuks on joonisel 65 näidatud paraboolidel vastavad võrrandid. Võrrand Ellipsi, hüperbooli, parabooli ja ringi võrrandi pärast teisendusi (avage sulud, viige võrrandi kõik liikmed ühele poole, viige sarnased terminid, sisestage koefitsientide jaoks uued tähistused) saab kirjutada ühe võrrandi abil. vormi kus koefitsiendid A ja C ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Tekib küsimus: kas iga võrrand kujult (11.14) määrab ühe teist järku kõveratest (ring, ellips, hüperbool, parabool)? Vastuse annab järgmine teoreem. Teoreem 11.2. Võrrand (11.14) defineerib alati: kas ringi (A = C puhul) või ellipsi (A C > 0 puhul) või hüperbooli (A C puhul< 0), либо
параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности)
- в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся
прямых, для параболы - в пару параллельных прямых. Üldine teist järku võrrand Vaatleme nüüd teise astme üldist võrrandit kahe tundmatuga: See erineb võrrandist (11.14) selle poolest, et on olemas liige koordinaatide korrutisega (B¹ 0). Koordinaatide telgede pööramisel nurga a võrra on võimalik seda võrrandit teisendada nii, et liige koordinaatide korrutisega puudub. Telje pööramise valemite kasutamine Avaldame vanad koordinaadid uutega: Valime nurga a nii, et x" · y" koefitsient muutub nulliks, st et võrdsus oleks Seega, kui telgi pöörata nurga a võrra, mis vastab tingimusele (11.17), taandatakse võrrand (11.15) võrrandiks (11.14). Järeldus: üldine teist järku võrrand (11.15) defineerib tasapinnal (välja arvatud degeneratsiooni ja lagunemise juhud) järgmised kõverad: ring, ellips, hüperbool, parabool. Märkus. Kui A = C, siis võrrand (11.17) muutub mõttetuks. Sel juhul cos2α = 0 (vt (11.16)), siis 2α = 90°, st α = 45°. Seega, kui A = C, tuleks koordinaatsüsteemi pöörata 45°. Definitsioon. Ellips on tasandi punktide geomeetriline asukoht, mille kauguste summa selle tasandi kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus (eeldusel, et see väärtus on suurem kui fookuste vaheline kaugus). . Tähistame fookusi nendevahelise kaugusega - poolt ja konstantset väärtust, mis on võrdne ellipsi igast punktist fookustesse jäävate kauguste summaga (tingimuse järgi). Koostame Descartes'i koordinaatsüsteemi nii, et fookused on abstsissteljel ja koordinaatide alguspunkt langeb kokku lõigu keskkohaga (joonis 44). Siis on fookustel järgmised koordinaadid: vasak fookus ja parem fookus. Tuletame ellipsi võrrandi valitud koordinaatsüsteemis. Selleks võtke arvesse ellipsi suvalist punkti. Ellipsi definitsiooni järgi on kauguste summa sellest punktist fookustesse võrdne: Kasutades kahe punkti vahelise kauguse valemit, saame seega Selle võrrandi lihtsustamiseks kirjutame selle vormile Seejärel saame võrrandi mõlemad pooled ruutudeks või pärast ilmseid lihtsustusi: Nüüd paneme võrrandi mõlemad pooled uuesti ruutu, mille järel saame: või pärast identseid teisendusi: Kuna ellipsi definitsiooni tingimuse järgi on arv positiivne. Tutvustame tähistust Siis võtab võrrand järgmise kuju: Ellipsi definitsiooni järgi vastavad selle mis tahes punkti koordinaadid võrrandile (26). Kuid võrrand (29) on võrrandi (26) tagajärg. Järelikult on see rahuldatud ka ellipsi mis tahes punkti koordinaatidega. Võib näidata, et punktide koordinaadid, mis ei asu ellipsil, ei rahulda võrrandit (29). Seega on võrrand (29) ellipsi võrrand. Seda nimetatakse ellipsi kanooniliseks võrrandiks. Määrame ellipsi kuju, kasutades selle kanoonilist võrrandit. Kõigepealt pöörame tähelepanu asjaolule, et see võrrand sisaldab ainult x ja y paarisastmeid. See tähendab, et kui mõni punkt kuulub ellipsisse, siis sisaldab see ka punktiga sümmeetrilist punkti abstsisstelje suhtes ja punkti, mis on sümmeetriline punktiga ordinaattelje suhtes. Seega on ellipsil kaks vastastikku risti olevat sümmeetriatelge, mis meie valitud koordinaatsüsteemis langevad kokku koordinaattelgedega. Edaspidi nimetame ellipsi sümmeetriatelgi ellipsi telgedeks ja nende lõikepunkti ellipsi keskpunktiks. Telge, millel paiknevad ellipsi fookused (antud juhul abstsisstellgi), nimetatakse fookusteljeks. Kõigepealt määrame ellipsi kuju esimesel veerandil. Selleks lahendame võrrandi (28) y jaoks: On ilmne, et siin , kuna y võtab kujuteldavad väärtused. Kui suurendate 0-lt a-ni, väheneb y b-lt 0-ni. Esimesel veerandil paiknev ellipsi osa on kaar, mis on piiratud punktidega B (0; b) ja asub koordinaattelgedel (joonis 45). Kasutades nüüd ellipsi sümmeetriat, jõuame järeldusele, et ellipsil on joonisel fig. 45. Ellipsi ja telgede lõikepunkte nimetatakse ellipsi tippudeks. Ellipsi sümmeetriast järeldub, et ellipsil on lisaks tippudele veel kaks tippu (vt joon. 45). Ellipsi segmente ja ühendavaid vastandtippe ning nende pikkusi nimetatakse vastavalt ellipsi suur- ja väiketeljeks. Arve a ja b nimetatakse vastavalt ellipsi suureks ja väiksemaks poolteljeks. Poole fookuste ja ellipsi poolpeatelje vahelise kauguse suhet nimetatakse ellipsi ekstsentrilisuseks ja seda tähistatakse tavaliselt tähega: Kuna , ellipsi ekstsentrilisus on väiksem kui ühtsus: Ekstsentrilisus iseloomustab ellipsi kuju. Tõepoolest, valemist (28) järeldub, et mida väiksem on ellipsi ekstsentrilisus, seda vähem erineb selle poolväiketelg b poolsuurteljest a, st seda vähem on ellips pikenenud (piki fookustelge). Piiraval juhul on tulemuseks ring raadiusega a: , või . Samal ajal näivad ellipsi fookused ühinevat ühes punktis – ringi keskpunktis. Ringi ekstsentrilisus on null: Seost ellipsi ja ringi vahel saab luua ka teisest vaatenurgast. Näitame, et pooltelgedega a ja b ellipsi võib pidada ringjoone projektsiooniks raadiusega a. Vaatleme kahte tasapinda P ja Q, mis moodustavad omavahel sellise nurga a, mille jaoks (joon. 46). Konstrueerime P-tasandil koordinaatide süsteemi ja Q-tasandil süsteemi Oxy, mille alguspunkt on ühine ja ühine abstsisstelljega, mis langeb kokku tasandite lõikejoonega. Vaatleme ringi tasandis P mille keskpunkt on alguspunktis ja raadius on võrdne a. Laskma olla meelevaldselt valitud punkt ringil, olla selle projektsioon Q-tasandile ja olla punkti M projektsioon Ox-teljele. Näitame, et punkt asub ellipsil, mille poolteljed on a ja b. Ellipsi kanoonilisel võrrandil on vorm kus a on poolsuurtelg; b – pool-minortelg. Nimetatakse punkte F1(c,0) ja F2(-c,0) − c a, b - ellipsi poolteljed. Ellipsi fookuste, ekstsentrilisuse, suundade leidmine, kui on teada selle kanooniline võrrand. Hüperbooli definitsioon. Hüperbooli trikid. Definitsioon. Hüperbool on punktide kogum tasapinnal, mille puhul kahe etteantud punkti kauguste erinevuse moodul, mida nimetatakse fookusteks, on konstantne väärtus, mis on väiksem kui fookuste vaheline kaugus. Definitsiooni järgi |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – hüperbooli fookused. F1F2 = 2c. Hüperbooli kanooniline võrrand. Hüperbooli poolteljed. Hüperbooli konstrueerimine, kui selle kanooniline võrrand on teada. Kanooniline võrrand: Hüperbooli poolsuurtelg on pool minimaalsest kaugusest hüperbooli kahe haru vahel, telje positiivsel ja negatiivsel küljel (algokoha suhtes vasakul ja paremal). Positiivsel küljel asuva haru puhul on pooltelg võrdne: Kui väljendame seda koonuselõike ja ekstsentrilisuse kaudu, saab avaldis järgmise kuju: Hüperbooli fookuste, ekstsentrilisuse, suundade leidmine, kui on teada selle kanooniline võrrand. Hüperbooli ekstsentrilisus Definitsioon. Seda suhet nimetatakse hüperbooli ekstsentrilisuseks, kus c – pool fookuste vahelisest kaugusest ja on tegelik pooltelg. Võttes arvesse asjaolu, et c2 – a2 = b2: Kui a = b, e = , siis nimetatakse hüperbooli võrdkülgseks (võrdkülgseks). Hüperbooli suunad Definitsioon. Hüperbooli reaalteljega risti asetsevat kahte sirget, mis asetsevad keskpunkti suhtes sümmeetriliselt sellest kaugusel a/e, nimetatakse hüperbooli suunadeks. Nende võrrandid on järgmised: . Teoreem. Kui r on kaugus hüperbooli suvalisest punktist M mis tahes fookuseni, d on kaugus samast punktist sellele fookusele vastava suunajooneni, siis on suhe r/d konstantne väärtus, mis on võrdne ekstsentrilisusega. Parabooli definitsioon. Parabooli fookus ja suund. Parabool. Parabool on punktide asukoht, millest igaüks on antud fikseeritud punktist ja fikseeritud sirgest võrdsel kaugusel. Definitsioonis viidatud punkti nimetatakse parabooli fookuseks ja sirget on selle suund. Parabooli kanooniline võrrand. Parabooli parameeter. Parabooli ehitamine. Parabooli kanooniline võrrand ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis: (või kui teljed on vahetatud). Parabooli konstrueerimine parameetri p antud väärtuse jaoks viiakse läbi järgmises järjestuses: Joonistage parabooli sümmeetriatelg ja joonistage sellele lõik KF=p; Suund DD1 tõmmatakse läbi punkti K, mis on risti sümmeetriateljega; Lõik KF jagatakse pooleks, et saada parabooli tipp 0; Suvaliste punktide 1, 2, 3, 5, 6 jada mõõdetakse ülalt, kusjuures nendevaheline kaugus järk-järgult suureneb; Nende punktide kaudu tõmmake parabooli teljega risti olevad abisirged; Abiliinidel tehakse serifid raadiusega, mis on võrdne kaugusega sirgjoonest suunani; Saadud punktid on ühendatud sujuva kõveraga. Pärast põhjalikku uurimist sirgjooned tasapinnas Jätkame kahemõõtmelise maailma geomeetria uurimist. Panused on kahekordistunud ja ma kutsun teid külastama maalilist galeriid ellipsidest, hüperboolidest, paraboolidest, mis on tüüpilised esindajad teise järgu read. Ekskursioon on juba alanud ja kõigepealt põgus info kogu näitusest muuseumi erinevatel korrustel: Tasapinnal olevat joont nimetatakse algebraline, kui sisse afiinne koordinaatsüsteem selle võrrandil on vorm , kus on polünoom, mis koosneb vormi liikmetest ( – reaalarv, – mittenegatiivsed täisarvud). Nagu näete, ei sisalda algebralise sirge võrrand siinusi, koosinusi, logaritme ega muid funktsionaalseid beau monde. Ainult X ja Y on sees mittenegatiivsed täisarvud kraadid. Rea järjekord võrdne selles sisalduvate terminite maksimaalse väärtusega. Vastava teoreemi kohaselt ei sõltu algebralise sirge mõiste, samuti selle järjekord valikust afiinne koordinaatsüsteem, seetõttu eeldame olemasolu hõlbustamiseks, et kõik järgnevad arvutused toimuvad aastal Descartes'i koordinaadid. Üldvõrrand teise järjekorra real on vorm , kus Kui , siis võrrand lihtsustub Paljud on uute mõistete tähendusest aru saanud, kuid materjali 100% valdamiseks pistame sellegipoolest sõrmed pistikupessa. Reajärjekorra määramiseks peate kordama kõik tingimused selle võrrandid ja leidke neist igaühe jaoks kraadide summa sissetulevad muutujad. Näiteks: mõiste sisaldab "x" 1. astmeni; Nüüd selgitame välja, miks võrrand määrab joone teiseks tellida: termin sisaldab "x" 2. astmeni; Maksimaalne väärtus: 2 Kui lisame näiteks oma võrrandile lisaks, siis see juba määrab kolmandat järku rida. On ilmne, et 3. järku rea võrrandi üldvorm sisaldab terminite "täiskomplekti", mille muutujate astmete summa on võrdne kolmega: Juhul, kui lisate ühe või mitu sobivat terminit, mis sisaldavad 3., 4. ja kõrgema järgu algebralisi ridu tuleb rohkem kui korra kokku puutuda, eriti tutvudes polaarkoordinaatide süsteem. Pöördugem siiski tagasi üldvõrrandi juurde ja meenutagem selle lihtsamaid koolivariatsioone. Näidetena kerkivad esile parabool, mille võrrandit saab hõlpsasti taandada üldkujuks, ja samaväärse võrrandiga hüperbool. Samas pole kõik nii sujuv... Üldvõrrandi oluline puudus on see, et peaaegu alati ei ole selge, millist joont see määratleb. Isegi kõige lihtsamal juhul ei saa te kohe aru, et see on hüperbool. Sellised paigutused on head ainult maskeraadi puhul, nii et tüüpilist probleemi käsitletakse analüütilise geomeetria käigus 2. järku sirgvõrrandi viimine kanoonilisele kujule. See on võrrandi üldtunnustatud standardvorm, kui mõne sekundiga saab selgeks, millise geomeetrilise objekti see määratleb. Lisaks on kanooniline vorm väga mugav paljude praktiliste ülesannete lahendamiseks. Nii näiteks kanoonilise võrrandi järgi "tasane" sirge, esiteks on kohe selge, et tegemist on sirgjoonega ja teiseks on selle juurde kuuluv punkt ja suunavektor hästi näha. Ilmselgelt ükskõik milline 1. järjekorra rida on sirgjoon. Teisel korrusel ei oota meid enam tunnimees, vaid hoopis mitmekesisem üheksast kujust koosnev seltskond: Spetsiaalset toimingute komplekti kasutades taandatakse mis tahes teist järku rea võrrand ühele järgmistest vormidest: (ja on positiivsed reaalarvud) 1) 2) – hüperbooli kanooniline võrrand; 3) 4) – kujuteldav ellips; 5) – ristuvate sirgete paar; 6) – paar kujuteldav ristuvad jooned (alates ühe kehtiva lõikepunktiga); 7) – paralleeljoonte paar; 8) – paar kujuteldav paralleelsed jooned; 9) – kokkulangevate joonte paar. Mõnele lugejale võib jääda mulje, et nimekiri on puudulik. Näiteks punktis nr 7 võrrand määrab paari otsene, paralleelselt teljega ja tekib küsimus: kus on võrrand, mis määrab ordinaatteljega paralleelsed sirged? Vasta sellele ei peeta kanooniliseks. Sirged jooned tähistavad sama standardset, 90 kraadi võrra pööratud korpust ja klassifikatsiooni lisakanne on üleliigne, kuna see ei too midagi põhimõtteliselt uut. Seega on 2. järku ridu üheksa ja ainult üheksa erinevat tüüpi, kuid praktikas on kõige levinumad ellips, hüperbool ja parabool. Vaatame kõigepealt ellipsi. Nagu tavaliselt, keskendun nendele punktidele, millel on ülesannete lahendamisel suur tähtsus ja kui vajate üksikasjalikku valemite tuletamist, teoreemide tõestust, siis vaadake näiteks Bazylev/Atanasyani või Aleksandrovi õpikut. Õigekiri... palun ärge korrake mõnede Yandexi kasutajate vigu, kes on huvitatud "ellipsi ehitamisest", "ellipsi ja ovaali erinevusest" ning "ellipsi ekstsentrilisusest". Ellipsi kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on positiivsed reaalarvud ja . Ma sõnastan ellipsi definitsiooni hiljem, kuid praegu on aeg kõnepoest paus teha ja lahendada levinud probleem: Jah, lihtsalt võtke see ja joonistage see. Ülesanne tuleb ette sageli ja märkimisväärne osa õpilastest ei tule joonistusega õigesti toime: Näide 1 Koostage võrrandiga antud ellips Lahendus: Esiteks viime võrrandi kanoonilisele kujule: Miks tuua? Kanoonilise võrrandi üks eeliseid on see, et see võimaldab teil koheselt määrata ellipsi tipud, mis asuvad punktides. On lihtne näha, et kõigi nende punktide koordinaadid vastavad võrrandile. Sel juhul : Et kiiresti ette kujutada, kuidas konkreetne ellips välja näeb, vaadake lihtsalt selle kanoonilise võrrandi "a" ja "be" väärtusi. Kõik on korras, sile ja ilus, kuid on üks hoiatus: tegin joonise programmi abil. Ja saate joonistada mis tahes rakenduse abil. Karmis reaalsuses on aga laual ruuduline paber ja meie käte peal tantsivad hiired ringe. Kunstiandidega inimesed võivad muidugi vaielda, aga teil on ka hiiri (kuigi väiksemaid). Pole asjata, et inimkond leiutas joonlaua, kompassi, nurganurga ja muud lihtsad joonistusseadmed. Sel põhjusel ei suuda me tõenäoliselt ellipsi täpselt joonistada, teades ainult tippe. See on hea, kui ellips on väike, näiteks pooltelgedega. Teise võimalusena saate vähendada joonise mõõtkava ja vastavalt sellele ka mõõtmeid. Kuid üldiselt on väga soovitav leida lisapunkte. Ellipsi konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi – geomeetriline ja algebraline. Mulle ei meeldi kompassi ja joonlauaga ehitamine, sest algoritm pole kõige lühem ja joonistus on oluliselt segane. Hädaolukorras palume tutvuda õpikuga, kuid tegelikkuses on palju ratsionaalsem kasutada algebra vahendeid. Mustandis olevast ellipsi võrrandist väljendame kiiresti: Seejärel jaguneb võrrand kaheks funktsiooniks: Kanoonilise võrrandiga määratletud ellips on sümmeetriline nii koordinaatide telgede kui ka lähtepunkti suhtes. Ja see on suurepärane – sümmeetria on peaaegu alati tasuta kingituste esilekutsuja. Ilmselgelt piisab 1. koordinaatide kvartaliga tegelemisest, seega on funktsiooni vaja Märgime joonisele punktid (punane värv), ülejäänud kaaredele sümmeetrilised punktid (sinine värv) ja ühendame hoolikalt kogu ettevõtte joonega: Ellips on ovaali erijuhtum. Sõna "ovaal" ei tohiks mõista vilisti tähenduses ("laps joonistas ovaali" jne). See on matemaatiline termin, millel on üksikasjalik sõnastus. Selle tunni eesmärk ei ole käsitleda ovaalide teooriat ja nende erinevaid tüüpe, millele analüütilise geomeetria tavakursuses praktiliselt tähelepanu ei pöörata. Ja vastavalt praegustele vajadustele liigume kohe edasi ellipsi range määratluse juurde: Ellips on tasandi kõigi punktide hulk, mille kauguste summa kummagini kahest etteantud punktist, nn trikid ellips on konstantne suurus, mis on arvuliselt võrdne selle ellipsi peatelje pikkusega: . Nüüd saab kõik selgemaks: Kujutage ette, et sinine täpp "rändab" mööda ellipsi. Seega, olenemata sellest, millise ellipsi punkti me võtame, on segmentide pikkuste summa alati sama: Teeme kindlaks, et meie näites on summa väärtus tõesti võrdne kaheksaga. Asetage mõtteliselt punkt "um" ellipsi paremasse tippu, seejärel: , mida oli vaja kontrollida. Teine selle joonistamise meetod põhineb ellipsi määratlusel. Kõrgem matemaatika põhjustab mõnikord pingeid ja stressi, seega on aeg korraldada uus mahalaadimise seanss. Palun võtke whatmani paber või suur papp ja kinnitage see kahe küünega laua külge. Need saavad olema trikid. Siduge väljaulatuvate naelapeade külge roheline niit ja tõmmake see pliiatsiga lõpuni. Pliiatsi juhe jõuab teatud punkti, mis kuulub ellipsile. Nüüd alustage pliiatsi liigutamist mööda paberitükki, hoides rohelist niiti pingul. Jätkake protsessi, kuni jõuate tagasi alguspunkti... suurepärane... joonist saavad kontrollida arst ja õpetaja =) Ülaltoodud näites kujutasin "valmis" fookuspunkte ja nüüd õpime, kuidas neid geomeetria sügavustest eraldada. Kui ellips on antud kanoonilise võrrandiga, siis on selle fookustel koordinaadid Arvutused on lihtsamast lihtsamad: ! Konkreetseid fookuste koordinaate ei saa identifitseerida "tse" tähendusega! Kordan, et see on nii KAUGUS igast fookusest keskpunktini(mis üldjuhul ei pea asuma täpselt lähtekohas). Ellipsi ekstsentrilisus on suhe, mis võib võtta väärtusi vahemikus . Meie puhul: Uurime välja, kuidas sõltub ellipsi kuju selle ekstsentrilisusest. Selle jaoks fikseerige vasak ja parem tipp vaadeldava ellipsi väärtus, see tähendab, et poolsuurtelje väärtus jääb konstantseks. Siis on ekstsentrilisuse valem järgmine: . Alustame ekstsentrilisuse väärtuse ühtsusele lähemale toomist. See on võimalik ainult siis, kui. Mida see tähendab? ...jätke trikid meelde Seega mida lähemal on ellipsi ekstsentrilisuse väärtus ühtsusele, seda piklikum on ellips. Nüüd modelleerime vastupidist protsessi: ellipsi fookused Seega Mida lähemal on ekstsentrilisuse väärtus nullile, seda sarnasem on ellips... vaata piirjuhtumit, kui fookused on lähtekohas edukalt taasühendatud: Tõepoolest, pooltelgede võrdsuse korral võtab ellipsi kanooniline võrrand kuju , mis muundub reflektoorselt koolist hästi tuntud ringi võrrandiks, mille keskpunkt asub raadiuse "a" algpunktis. Praktikas kasutatakse sagedamini tähistust "rääkiva" tähega "er": . Raadius on lõigu pikkus, kusjuures ringi iga punkt on raadiuse kaugusel keskpunktist eemal. Pange tähele, et ellipsi määratlus jääb täiesti õigeks: fookused langevad kokku ja iga ringi punkti kokkulangevate segmentide pikkuste summa on konstant. Kuna fookuste vaheline kaugus on , siis mis tahes ringi ekstsentrilisus on null. Ringi ehitamine on lihtne ja kiire, kasutage lihtsalt kompassi. Mõnikord on aga vaja välja selgitada mõne selle punkti koordinaadid, sel juhul läheme tuttavat teed - toome võrrandi rõõmsa Matanovi vormi juurde: Seejärel leiame vajalikud väärtused, eristama, integreerida ja muud head teha. Artikkel on muidugi ainult viitamiseks, aga kuidas saab elada maailmas ilma armastuseta? Loominguline ülesanne iseseisvaks lahenduseks Näide 2 Koostage ellipsi kanooniline võrrand, kui üks selle fookustest ja pool-minoortelg on teada (keskpunkt on lähtepunktis). Otsige üles tipud, lisapunktid ja tõmmake joonisele joon. Ekstsentrilisuse arvutamine. Lahendus ja joonistamine tunni lõpus Lisame toimingu: Tuleme tagasi ellipsi kanoonilise võrrandi juurde, nimelt seisundi juurde, mille müsteerium on piinanud uudishimulikke mõistusi alates selle kõvera esmamainimisest. Niisiis vaatasime ellipsit Selline võrrand on haruldane, kuid seda tuleb ette. Ja see tegelikult määratleb ellipsi. Demüstifitseerime: Ellipsi parameetriline võrrand
Lihtsaim teist järku kõver on ring. Tuletame meelde, et ring raadiusega R, mille keskpunkt on punktis, on tasandi kõigi punktide M hulk, mis vastavad tingimusele . Olgu ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis punkti koordinaadid x 0, y 0 ja - suvaline punkt ringil (vt joonis 48).
(11.2)
.
(11.4)
. Selle keskpunkt on punktis 
ja raadius
.
, siis on võrrandil (11.3) vorm
.
. Sel juhul öeldakse: "ring on taandunud punktiks" (null raadiusega).
, siis võrrand (11.4) ja seega ka samaväärne võrrand (11.3) ei määratle ühtegi sirget, kuna võrrandi (11.4) parem pool on negatiivne ja vasak ei ole negatiivne (ütleme: "kujuteldav ring").
Tähistame fookused tähega F 1 Ja F 2, nende vaheline kaugus on 2 c, ja kauguste summa ellipsi suvalisest punktist fookuseni - 2-s a(vt joonis 49). Definitsiooni järgi 2 a > 2c, st. a
> c.
(11.6)
(11.7)
2. Leidke ellipsi lõikepunktid koordinaattelgedega. Pannes , leiame kaks punkti ja , kus telg lõikub ellipsiga (vt joonis 50). Pannes võrrandisse (11.7) , leiame ellipsi lõikepunktid teljega: ja . Punktid A 1 ,
A 2 , B 1, B 2 kutsutakse ellipsi tipud. Segmendid A 1 A 2 Ja B 1 B 2, samuti nende pikkused 2 a ja 2 b kutsutakse vastavalt suur- ja kõrvalteljed ellips. Numbrid a Ja b nimetatakse vastavalt suureks ja väikeseks telje võllid ellips.
Olgu M(x;y) ellipsi suvaline punkt fookustega F 1 ja F 2 (vt joonis 51). Lõikude F 1 M = r 1 ja F 2 M = r 2 pikkusi nimetatakse punkti M fookusraadiusteks. Ilmselgelt
Teoreem 11.1. Kui on kaugus ellipsi suvalisest punktist mõne fookuseni, d on kaugus samast punktist sellele fookusele vastava suunajooneni, siis on suhe konstantne väärtus, mis on võrdne ellipsi ekstsentrilisusega:
.
Tähistame fookused tähega F 1 Ja F 2 nende vaheline kaugus on 2s ja kauguste erinevuse moodul hüperbooli igast punktist läbiva fookuse vahel 2a. A-prioor 2a < 2s, st. a < c.
või , st pärast lihtsustusi, nagu tehti ellipsi võrrandi tuletamisel, saame
kanooniline hüperbooli võrrand
(11.9)
(11.10)
piiramatu kõver K, kui kaugus d kõvera K punktist M selle sirgjooneni kaldub nullini, kui punkti M kaugus piki kõverat K lähtepunktist on piiramatu. Joonis 55 illustreerib asümptoodi kontseptsiooni: sirgjoon L on kõvera K asümptoot.
(11.11)
(vt joonis 56) ja leidke vahe ΜΝ sirge ja hüperbooli haru ordinaatide vahel:
ΜΝ kipub nulli. Kuna MΝ on suurem kui kaugus d punktist M sirgeni, siis d kipub olema null. Seega on jooned hüperbooli (11.9) asümptoodid.
Hüperbooli (11.9) nimetatakse võrdkülgseks, kui selle poolteljed on võrdsed (). Selle kanooniline võrrand
(11.12)
.
Ja 
parempoolse haru punktide puhul on hüperboolide kuju ja , vasaku haru jaoks - 
Ja 
.
Parabooli võrrandi tuletamiseks valime koordinaatide süsteemi Oxy nii, et Ox-telg läbib fookuse F risti otsesuunaga suunalt F-i ja koordinaatide alguspunkt O asub keskel fookus ja suund (vt joonis 60). Valitud süsteemis on fookuses F koordinaadid ja suundvõrrandil on vorm või .
Teise järgu read.
Ellips ja selle kanooniline võrrand. RingAlgebralise sirge mõiste ja selle järjekord
- suvalised reaalarvud (See on tavaks kirjutada teguriga kaks), ja koefitsiendid ei ole samal ajal võrdsed nulliga.
, ja kui koefitsiendid ei ole samal ajal võrdsed nulliga, siis see on täpselt nii "lame" sirge üldvõrrand, mis tähistab esimese järjekorra rida.
mõiste sisaldab "Y" 1. astmeni;
Terminis pole muutujaid, seega on nende võimsuste summa null.
liidetavas on muutujate astmete summa: 1 + 1 = 2;
mõiste sisaldab "Y" 2. astmeni;
kõik muud tingimused - vähem kraadid.
, kus koefitsiendid ei ole samal ajal võrdsed nulliga.
, siis me juba räägime 4. järjekorra read, jne.Mis on võrrandi kanooniline vorm?
Teist järku ridade klassifikatsioon
– ellipsi kanooniline võrrand;
– parabooli kanooniline võrrand;Ellips ja selle kanooniline võrrand
Kuidas ehitada ellipsi?
Joonelõik helistas suurtelg ellips;
joonelõik – väiketelg;
number 
helistas pool-suur võll ellips;
number 
– väiketelg.
meie näites: .
– määrab ellipsi ülemise kaare; 
– määrab ellipsi alumise kaare.
. Abstsissidega lisapunkte tuleb otsida 
. Puudutagem kalkulaatoril kolme SMS-i: 
Muidugi on tore ka see, et kui arvutustes tehakse ränk viga, selgub see kohe ehituse käigus.
Parem on joonistada esialgne visand väga õhukeselt ja alles seejärel vajutada pliiatsiga. Tulemuseks peaks olema üsna korralik ellips. Muide, kas soovite teada, mis see kõver on?Ellipsi definitsioon. Ellipsi fookused ja ellipsi ekstsentrilisus
Sel juhul on fookuste vahelised kaugused väiksemad kui see väärtus: .
Kuidas leida ellipsi koldeid?
, kus see on kaugus igast fookusest ellipsi sümmeetria keskpunktini.
Ja seetõttu ei saa fookuste vahelist kaugust siduda ka ellipsi kanoonilise positsiooniga. Teisisõnu, ellipsi saab teisaldada teise kohta ja väärtus jääb muutumatuks, samas kui fookused muudavad loomulikult oma koordinaate. Palun võtke seda teemat edasi uurides arvesse.Ellipsi ekstsentrilisus ja selle geomeetriline tähendus
. See tähendab, et ellipsi fookused liiguvad mööda abstsisstelge külgmiste tippude suunas. Ja kuna "rohelised segmendid ei ole kummist", hakkab ellips paratamatult tasanema, muutudes järjest õhemaks telje külge kinnitatud vorstiks.
kõndisid üksteise poole, lähenedes keskusele. See tähendab, et “ce” väärtus jääb järjest väiksemaks ja vastavalt sellele kipub ekstsentrilisus nulli: .
Sel juhul muutuvad "rohelised segmendid" vastupidi "rahvarohkeks" ja nad hakkavad ellipsi joont üles ja alla "tõukama".
Ring on ellipsi erijuht
– ülemise poolringi funktsioon;
– alumise poolringi funktsioon.Ellipsi pööramine ja paralleelne tõlkimine
, kuid kas seda võrrandit pole praktikas võimalik täita 
? Lõppude lõpuks tundub, et siin on ka ellips!
Ehituse tulemusena saadi meie emakeel, 90 kraadi võrra pööratud ellips. See on, 
- See mittekanooniline kirje ellips 
. Rekord!- võrrand 
ei defineeri ühtegi teist ellipsi, kuna teljel pole punkte (fookusi), mis rahuldaksid ellipsi definitsiooni.