Ruutvõrrandi lihtsustamise valem. Ruutvõrrandid

", see tähendab esimese astme võrrandeid. Selles õppetükis vaatleme mida nimetatakse ruutvõrrandiks ja kuidas seda lahendada.

Mis on ruutvõrrand?

Tähtis!

Võrrandi aste määratakse tundmatu kõrgeima astme järgi.

Kui maksimaalne võimsus, milles tundmatu on "2", on teil ruutvõrrand.

Ruutvõrrandite näited

• 5x 2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Tähtis!

Ruutvõrrandi üldvorm näeb välja selline:

• “a”, “b” ja “c” on antud numbritega.
• "a" on esimene või kõrgeim koefitsient;
• "b" on teine ​​koefitsient;

"c" on vabaliige.

"a", "b" ja "c" leidmiseks peate oma võrrandit võrdlema ruutvõrrandi "ax 2 + bx + c = 0" üldkujuga.

• −x 2 + x +
• a = −1
• b = 1

  1

  3

• x 2 + 0,25x = 0
• a = 1
• b = 0,25

• x 2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0
• b = 0

c = −8

Kuidas lahendada ruutvõrrandeid Erinevalt lineaarvõrranditest kasutatakse ruutvõrrandite lahendamiseks spetsiaalset meetodit..

juurte leidmise valem

Pea meeles!

• Ruutvõrrandi lahendamiseks on vaja:
• viige ruutvõrrand üldkujule "ax 2 + bx + c = 0". See tähendab, et paremale küljele peaks jääma ainult "0";

kasutage juurte jaoks valemit:

Vaatame näidet, kuidas kasutada valemit ruutvõrrandi juurte leidmiseks. Lahendame ruutvõrrandi.

X 2 - 3x - 4 = 0 Võrrand “x 2 − 3x − 4 = 0” on juba taandatud üldkujule “ax 2 + bx + c = 0” ega vaja täiendavaid lihtsustusi. Selle lahendamiseks peame lihtsalt taotlema.

ruutvõrrandi juurte leidmise valem

x 1;2 =

Seda saab kasutada mis tahes ruutvõrrandi lahendamiseks.
Valemis “x 1;2 = ” asendatakse radikaalavaldis sageli

"b 2 − 4ac" tähistab tähte "D" ja seda nimetatakse diskrimineerivaks. Diskriminandi mõistest on täpsemalt juttu tunnis “Mis on diskriminant”.

Vaatame veel ühte ruutvõrrandi näidet.

x 2 + 9 + x = 7x

Sellisel kujul on koefitsiente “a”, “b” ja “c” üsna keeruline määrata. Esmalt taandame võrrandi üldkujule “ax 2 + bx + c = 0”.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 – 6x + 9 = 0

Nüüd saate kasutada juurte valemit.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

On aegu, mil ruutvõrranditel pole juuri. See olukord tekib siis, kui valem sisaldab juure all negatiivset arvu.

Jätkame teema uurimist " võrrandite lahendamine" Lineaarvõrranditega oleme juba tuttavaks saanud ja liigume edasi tutvumise juurde ruutvõrrandid.

Esiteks vaatame, mis on ruutvõrrand, kuidas see üldkujul kirjutatakse ja anname sellega seotud definitsioonid. Pärast seda uurime näidete abil üksikasjalikult, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid. Edasi liigume täisvõrrandite lahendamisele, saame juurvalemi, tutvume ruutvõrrandi diskriminandiga ja kaalume lahendusi tüüpnäidetele. Lõpuks jälgime juurte ja koefitsientide vahelisi seoseid.

Leheküljel navigeerimine.

Mis on ruutvõrrand? Nende tüübid

Kõigepealt peate selgelt mõistma, mis on ruutvõrrand. Seetõttu on loogiline alustada vestlust ruutvõrrandi kohta ruutvõrrandi definitsioonist, aga ka sellega seotud definitsioonidest. Pärast seda võite kaaluda ruutvõrrandite peamisi tüüpe: taandatud ja taandamata, samuti täielikke ja mittetäielikke võrrandeid.

Ruutvõrrandite definitsioon ja näited

Definitsioon.

Ruutvõrrand on vormi võrrand a x 2 +b x+c=0, kus x on muutuja, a, b ja c on mõned arvud ning a on nullist erinev.

Ütleme kohe, et ruutvõrrandeid nimetatakse sageli teise astme võrranditeks. See on tingitud asjaolust, et ruutvõrrand on algebraline võrrand teine ​​aste.

Esitatud definitsioon võimaldab tuua näiteid ruutvõrranditest. Seega 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 jne. Need on ruutvõrrandid.

Definitsioon.

Numbrid nimetatakse a, b ja c ruutvõrrandi koefitsiendid a·x 2 +b·x+c=0 ja koefitsienti a nimetatakse esimeseks ehk suurimaks või koefitsiendiks x 2, b on teine ​​koefitsient või x koefitsient ja c on vaba liige .

Näiteks võtame ruutvõrrandi kujul 5 x 2 −2 x −3=0, siin on juhtkoefitsient 5, teine ​​koefitsient on võrdne −2 ja vaba liige −3. Pange tähele, et kui koefitsiendid b ja/või c on negatiivsed, nagu just toodud näites, on ruutvõrrandi lühivorm 5 x 2 −2 x −3=0, mitte 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Väärib märkimist, et kui koefitsiendid a ja/või b on võrdsed 1 või −1, ei ole need ruutvõrrandis tavaliselt selgesõnaliselt olemas, mis on tingitud sellise kirjutamise iseärasustest. Näiteks ruutvõrrandis y 2 −y+3=0 on juhtiv koefitsient üks ja y koefitsient on võrdne −1.

Redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid

Sõltuvalt juhtkoefitsiendi väärtusest eristatakse redutseeritud ja taandamata ruutvõrrandid. Anname vastavad definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand, mille juhtiv koefitsient on 1 antud ruutvõrrand. Muidu ruutvõrrand on puutumata.

Selle definitsiooni järgi ruutvõrrandid x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 jne. – antud juhul on esimene koefitsient võrdne ühega. A 5 x 2 −x−1=0 jne. - redutseerimata ruutvõrrandid, nende juhtkoefitsiendid erinevad 1-st.

Mis tahes taandamata ruutvõrrandist, jagades mõlemad pooled juhtiva koefitsiendiga, saate minna redutseeritud koefitsiendini. See toiming on samaväärne teisendus, see tähendab, et sel viisil saadud taandatud ruutvõrrandil on samad juured, mis algsel taandamata ruutvõrrandil, või, nagu sellel, puuduvad juured.

Vaatame näidet selle kohta, kuidas toimub üleminek taandamata ruutvõrrandilt redutseeritud võrrandile.

Näide.

Võrrandist 3 x 2 +12 x−7=0 minge vastava taandatud ruutvõrrandi juurde.

Lahendus.

Peame lihtsalt jagama algse võrrandi mõlemad pooled juhtiva koefitsiendiga 3, see on nullist erinev, et saaksime selle toimingu sooritada. Meil on (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, mis on sama, (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 ja siis (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kust . Nii saime redutseeritud ruutvõrrandi, mis on samaväärne algse võrrandiga.

Vastus:

Täielikud ja mittetäielikud ruutvõrrandid

Ruutvõrrandi definitsioon sisaldab tingimust a≠0. See tingimus on vajalik selleks, et võrrand a x 2 + b x + c = 0 oleks ruutkeskne, kuna kui a = 0, muutub see tegelikult lineaarvõrrandiks kujul b x + c = 0.

Mis puudutab koefitsiente b ja c, siis need võivad olla võrdsed nulliga nii eraldi kui ka koos. Nendel juhtudel nimetatakse ruutvõrrandit mittetäielikuks.

Definitsioon.

Nimetatakse ruutvõrrand a x 2 +b x+c=0 mittetäielik, kui vähemalt üks koefitsientidest b, c on võrdne nulliga.

Omakorda

Definitsioon.

Täielik ruutvõrrand on võrrand, milles kõik koefitsiendid erinevad nullist.

Selliseid nimesid ei pandud juhuslikult. See selgub järgmistest aruteludest.

Kui koefitsient b on null, on ruutvõrrand kujul a·x 2 +0·x+c=0 ja see on võrdne võrrandiga a·x 2 +c=0. Kui c=0, st ruutvõrrand on kujul a·x 2 +b·x+0=0, siis saab selle ümber kirjutada kujul a·x 2 +b·x=0. Ja b=0 ja c=0 korral saame ruutvõrrandi a·x 2 =0. Saadud võrrandid erinevad täisruutvõrrandist selle poolest, et nende vasakpoolsed küljed ei sisalda ei muutujaga x ega vaba liiget ega mõlemat. Sellest ka nende nimi – mittetäielikud ruutvõrrandid.

Seega on võrrandid x 2 +x+1=0 ja −2 x 2 −5 x+0,2=0 täielike ruutvõrrandite näited ja x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 on mittetäielikud ruutvõrrandid.

Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

Eelmises lõigus esitatud teabest järeldub, et on olemas kolme tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid:

• a·x 2 =0, sellele vastavad koefitsiendid b=0 ja c=0;
• ax2 +c=0, kui b=0;
• ja a·x 2 +b·x=0, kui c=0.

Uurime järjekorras, kuidas lahendatakse igat tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid.

a x 2 =0

Alustame mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisega, milles koefitsiendid b ja c on võrdsed nulliga, st võrranditega kujul a x 2 =0. Võrrand a·x 2 =0 on samaväärne võrrandiga x 2 =0, mis saadakse originaalist, jagades mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Ilmselgelt on võrrandi x 2 =0 juur null, kuna 0 2 =0. Sellel võrrandil pole muid juuri, mis on seletatav sellega, et iga nullist erineva arvu p korral kehtib ebavõrdsus p 2 >0, mis tähendab, et p≠0 korral ei saavutata kunagi võrdust p 2 =0.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a·x 2 =0 üks juur x=0.

Näitena anname lahenduse mittetäielikule ruutvõrrandile −4 x 2 =0. See on ekvivalentne võrrandiga x 2 =0, selle ainus juur on x=0, seetõttu on algvõrrandil üks juurnull.

Lühilahenduse saab sel juhul kirjutada järgmiselt:
−4 x 2 =0,
x 2 =0,
x=0.

a x 2 + c=0

Nüüd vaatame, kuidas lahendatakse mittetäielikud ruutvõrrandid, milles koefitsient b on null ja c≠0, st võrrandid kujul a x 2 +c=0. Teame, et võrrandi ühelt küljelt teisele nihutamine vastupidise märgiga, samuti võrrandi mõlema poole jagamine nullist erineva arvuga annab samaväärse võrrandi. Seetõttu saame mittetäieliku ruutvõrrandi a x 2 +c=0 ekvivalentsed teisendused läbi viia:

• liigutage c paremale, mis annab võrrandi a x 2 =-c,
• ja jagame mõlemad pooled a-ga, saame .

Saadud võrrand võimaldab teha järeldusi selle juurte kohta. Olenevalt a ja c väärtustest võib avaldise väärtus olla negatiivne (näiteks kui a=1 ja c=2, siis ) või positiivne (näiteks kui a=-2 ja c=6, siis ), ei ole see null , kuna tingimusel c≠0. Eraldi analüüsime juhtumeid ja.

Kui , siis võrrandil pole juuri. See väide tuleneb asjaolust, et mis tahes arvu ruut on mittenegatiivne arv. Sellest järeldub, et kui , siis suvalise arvu p puhul ei saa võrdsus olla tõene.

Kui , siis võrrandi juurtega on olukord erinev. Sel juhul, kui me mäletame umbes , muutub võrrandi juur kohe ilmseks, kuna . Lihtne on arvata, et arv on ka võrrandi juur, tõepoolest. Sellel võrrandil pole muid juuri, mida saab näidata näiteks vastuoluga. Teeme seda.

Tähistame äsja väljakuulutatud võrrandi juurteks x 1 ja −x 1 . Oletame, et võrrandil on veel üks juur x 2, mis erineb näidatud juurtest x 1 ja −x 1. On teada, et selle juurte asendamine võrrandiga x asemel muudab võrrandi õigeks arvuliseks võrrandiks. x 1 ja −x 1 jaoks on meil , ja x 2 jaoks on meil . Arvvõrduste omadused võimaldavad sooritada õigete arvuliste võrratuste liigendite kaupa lahutamist, seega võrduse vastavate osade lahutamine annab x 1 2 −x 2 2 =0. Arvudega tehtavate omaduste omadused võimaldavad meil saadud võrrandi ümber kirjutada kujul (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Teame, et kahe arvu korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on võrdne nulliga. Seetõttu järeldub saadud võrrandist, et x 1 −x 2 =0 ja/või x 1 +x 2 =0, mis on sama, x 2 =x 1 ja/või x 2 = −x 1. Nii jõudsime vastuoluni, kuna alguses ütlesime, et võrrandi x 2 juur erineb x 1 ja −x 1 omast. See tõestab, et võrrandil pole muid juuri peale ja .

Teeme selles lõigus toodud teabe kokkuvõtte. Mittetäielik ruutvõrrand a x 2 +c=0 on samaväärne võrrandiga, mis

• tal pole juuri, kui
• on kaks juurt ja kui .

Vaatleme näiteid mittetäielike ruutvõrrandite lahendamisest kujul a·x 2 +c=0.

Alustame ruutvõrrandiga 9 x 2 +7=0. Pärast vaba liikme liigutamist võrrandi paremale poolele saab see kujul 9 x 2 =−7. Jagades saadud võrrandi mõlemad pooled 9-ga, jõuame . Kuna paremal pool on negatiivne arv, pole sellel võrrandil juuri, seega pole algsel mittetäielikul ruutvõrrandil 9 x 2 +7 = 0 juuri.

Lahendame veel ühe mittetäieliku ruutvõrrandi −x 2 +9=0. Nihutame üheksa paremale poole: −x 2 =−9. Nüüd jagame mõlemad pooled −1-ga, saame x 2 =9. Paremal pool on positiivne arv, millest järeldame, et või . Seejärel kirjutame üles lõpliku vastuse: mittetäielikul ruutvõrrandil −x 2 +9=0 on kaks juurt x=3 või x=−3.

a x 2 +b x=0

Jääb üle lahendada viimast tüüpi mittetäielikud ruutvõrrandid c=0 korral. Mittetäielikud ruutvõrrandid kujul a x 2 + b x = 0 võimaldavad lahendada faktoriseerimise meetod. Ilmselgelt saame hakkama võrrandi vasakpoolses servas, mille jaoks piisab, kui võtta sulgudest välja ühistegur x. See võimaldab meil liikuda algselt mittetäielikult ruutvõrrandilt ekvivalentsele võrrandile kujul x·(a·x+b)=0. Ja see võrrand on ekvivalentne kahe võrrandi hulgaga x=0 ja a·x+b=0, millest viimane on lineaarne ja mille juur on x=-b/a.

Seega on mittetäielikul ruutvõrrandil a·x 2 +b·x=0 kaks juurt x=0 ja x=−b/a.

Materjali koondamiseks analüüsime konkreetse näite lahendust.

Näide.

Lahenda võrrand.

Lahendus.

Võttes x välja sulgudest, saadakse võrrand . See on võrdne kahe võrrandiga x=0 ja . Lahendame saadud lineaarvõrrandi: , ja jagades segaarvu hariliku murruga, leiame . Seetõttu on algse võrrandi juurteks x=0 ja .

Pärast vajaliku praktika omandamist võib selliste võrrandite lahendused lühidalt kirjutada:

Vastus:

x=0 , .

Diskriminant, ruutvõrrandi juurte valem

Ruutvõrrandite lahendamiseks on juurvalem. Paneme selle kirja ruutvõrrandi juurte valem: , Kus D=b 2 −4 a c- nn ruutvõrrandi diskriminant. Kirje tähendab sisuliselt seda.

Kasulik on teada, kuidas juurvalem tuletati ja kuidas seda ruutvõrrandite juurte leidmisel kasutatakse. Mõtleme selle välja.

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Peame lahendama ruutvõrrandi a·x 2 +b·x+c=0. Teeme mõned samaväärsed teisendused:

• Võime jagada selle võrrandi mõlemad pooled nullist erineva arvuga a, mille tulemuseks on järgmine ruutvõrrand.
• Nüüd vali terve ruut selle vasakul küljel: . Pärast seda võtab võrrand kuju .
• Selles etapis on võimalik kaks viimast terminit vastupidise märgiga paremale poole üle kanda, meil on .
• Ja teisendame ka paremal küljel olevat väljendit: .

Selle tulemusena jõuame võrrandini, mis on ekvivalentne algse ruutvõrrandiga a·x 2 +b·x+c=0.

Oleme juba eelmistes lõikudes, kui uurisime, lahendanud vormilt sarnaseid võrrandeid. See võimaldab meil teha võrrandi juurte kohta järgmised järeldused:

• kui , siis võrrandil pole reaalseid lahendeid;
• kui , siis võrrandil on vorm , seega, , millest on nähtav selle ainus juur;
• kui , siis või , mis on sama kui või , see tähendab, et võrrandil on kaks juurt.

Seega sõltub võrrandi juurte ja seega ka algse ruutvõrrandi olemasolu või puudumine parempoolse avaldise märgist. Selle avaldise märgi määrab omakorda lugeja märk, kuna nimetaja 4 a 2 on alati positiivne, see tähendab avaldise b 2 −4 a c märk. Seda avaldist kutsuti b 2 −4 a c ruutvõrrandi diskriminant ja määratud kirjaga D. Siit on diskrimineerija olemus selge - selle väärtuse ja märgi põhjal järeldavad nad, kas ruutvõrrandil on reaalsed juured ja kui on, siis milline on nende arv - üks või kaks.

Tuleme tagasi võrrandi juurde ja kirjutame selle ümber, kasutades diskrimineerivat tähistust: . Ja me teeme järeldused:

• kui D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• kui D=0, siis sellel võrrandil on üks juur;
• lõpuks, kui D>0, siis võrrandil on kaks juurt või, mille saab ümber kirjutada kujule või ning peale murdude laiendamist ja ühisnimetajasse toomist saame.

Nii tuletasime ruutvõrrandi juurte valemid, need näevad välja sellised, kus diskriminant D arvutatakse valemiga D=b 2 −4·a·c.

Nende abiga saate positiivse diskriminandi abil arvutada ruutvõrrandi mõlemad reaaljuured. Kui diskriminant on võrdne nulliga, annavad mõlemad valemid juure sama väärtuse, mis vastab ruutvõrrandi ainulaadsele lahendile. Ja negatiivse diskriminandi korral, kui proovite kasutada ruutvõrrandi juurte valemit, seisame silmitsi negatiivse arvu ruutjuure eraldamisega, mis viib meid kooli õppekava ulatusest välja. Negatiivse diskriminandi korral pole ruutvõrrandil tegelikke juuri, kuid sellel on paar kompleksne konjugaat juured, mida saab leida samade juurvalemite abil, mille saime.

Algoritm ruutvõrrandite lahendamiseks juurvalemite abil

Praktikas saab ruutvõrrandite lahendamisel nende väärtuste arvutamiseks kohe kasutada juurvalemit. Kuid see on rohkem seotud keerukate juurte leidmisega.

Koolialgebra kursusel ei räägita aga tavaliselt ruutvõrrandi keerulistest, vaid reaalsetest juurtest. Sel juhul on soovitatav enne ruutvõrrandi juurte valemite kasutamist kõigepealt leida diskriminant, veenduda, et see pole negatiivne (muidu võime järeldada, et võrrandil pole reaalseid juuri), ja alles siis arvutage juurte väärtused.

Ülaltoodud põhjendus lubab meil kirjutada ruutvõrrandi lahendamise algoritm. Ruutvõrrandi a x 2 +b x+c=0 lahendamiseks peate:

• kasutades diskriminandi valemit D=b 2 −4·a·c, arvuta selle väärtus;
• järeldada, et ruutvõrrandil pole tegelikke juuri, kui diskriminant on negatiivne;
• arvutage valemi abil võrrandi ainus juur, kui D=0;
• leida ruutvõrrandi kaks reaaljuurt juurvalemi abil, kui diskriminant on positiivne.

Siinkohal märgime lihtsalt, et kui diskriminant on võrdne nulliga, võite kasutada ka valemit, mis annab sama väärtuse kui .

Võite liikuda näidete juurde ruutvõrrandite lahendamise algoritmi kasutamise kohta.

Näiteid ruutvõrrandite lahendamisest

Vaatleme kolme ruutvõrrandi lahendusi positiivse, negatiivse ja nulldiskriminandiga. Olles käsitlenud nende lahendust, on analoogia põhjal võimalik lahendada mis tahes muu ruutvõrrand. Alustagem.

Näide.

Leia võrrandi x 2 +2·x−6=0 juured.

Lahendus.

Sel juhul on ruutvõrrandi koefitsiendid järgmised: a=1, b=2 ja c=−6. Algoritmi järgi tuleb selleks kõigepealt välja arvutada diskriminant, asendame näidatud a, b ja c diskriminandi valemiga D=b 2 –4·a·c=2 2–4·1·(–6)=4+24=28. Kuna 28>0, see tähendab, et diskriminant on suurem kui null, on ruutvõrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need juurvalemi abil, saame , siin saate tekkivaid avaldisi tehes lihtsustada kordaja liigutamine juurmärgist kaugemale millele järgneb fraktsiooni vähendamine:

Vastus:

Liigume järgmise tüüpilise näite juurde.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lahendus.

Alustame diskrimineerija leidmisest: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Seetõttu on sellel ruutvõrrandil üks juur, mille leiame kui , see tähendab,

Vastus:

x = 3,5.

Jääb üle kaaluda ruutvõrrandite lahendamist negatiivse diskriminandiga.

Näide.

Lahenda võrrand 5·y 2 +6·y+2=0.

Lahendus.

Siin on ruutvõrrandi koefitsiendid: a=5, b=6 ja c=2. Asendame need väärtused diskrimineeriva valemiga, meil on D=b 2 –4·a·c=6 2–4·5·2=36–40=–4. Diskriminant on negatiivne, seetõttu pole sellel ruutvõrrandil tegelikke juuri.

Kui teil on vaja näidata keerulisi juuri, siis rakendame ruutvõrrandi juurte jaoks tuntud valemit ja teostame tehted kompleksarvudega:

Vastus:

pärisjuuri pole, keerulised juured on: .

Märgime veel kord, et kui ruutvõrrandi diskriminant on negatiivne, siis koolis kirjutatakse tavaliselt kohe kirja vastus, milles märgitakse, et pärisjuuri pole ja keerulisi juuri ei leita.

Juurvalem isegi teise koefitsiendi jaoks

Ruutvõrrandi juurte valem, kus D=b 2 −4·a·c võimaldab saada kompaktsema kujuga valemi, mis võimaldab lahendada ruutvõrrandi x paariskoefitsiendiga (või lihtsalt koefitsient on näiteks kujul 2·n või 14· ln5=2·7·ln5). Toome ta välja.

Oletame, et peame lahendama ruutvõrrandi kujul a x 2 +2 n x+c=0. Leiame selle juured meile teadaoleva valemi abil. Selleks arvutame diskriminandi D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), ja seejärel kasutame juurvalemit:

Tähistame avaldist n 2 −a c kui D 1 (mõnikord tähistatakse seda D "). Siis saab teise koefitsiendiga 2 n vaadeldava ruutvõrrandi juurte valem kuju , kus D 1 =n 2 −a·c.

On lihtne näha, et D=4·D 1 või D 1 =D/4. Teisisõnu, D 1 on diskriminandi neljas osa. On selge, et D 1 märk on sama, mis D märk. See tähendab, et märk D 1 näitab ka ruutvõrrandi juurte olemasolu või puudumist.

Seega on teise koefitsiendiga 2·n ruutvõrrandi lahendamiseks vaja

• Arvutage D 1 =n 2 −a·c ;
• Kui D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Kui D 1 =0, siis arvutage valemi abil võrrandi ainus juur;
• Kui D 1 >0, siis leia valemi abil kaks reaaljuurt.

Kaaluge näite lahendamist selles lõigus saadud juurvalemi abil.

Näide.

Lahenda ruutvõrrand 5 x 2 −6 x −32=0 .

Lahendus.

Selle võrrandi teist kordajat saab esitada kui 2·(−3) . See tähendab, et saate algse ruutvõrrandi ümber kirjutada kujul 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, siin a=5, n=−3 ja c=−32 ning arvutada välja ruutvõrrandi neljanda osa. diskrimineeriv: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kuna selle väärtus on positiivne, on võrrandil kaks reaaljuurt. Leiame need vastava juurvalemi abil:

Pange tähele, et ruutvõrrandi juurte jaoks oli võimalik kasutada tavalist valemit, kuid sel juhul tuleks teha rohkem arvutustööd.

Vastus:

Ruutvõrrandite vormi lihtsustamine

Mõnikord, enne ruutvõrrandi juurte arvutamist valemite abil, ei tee paha küsida: "Kas selle võrrandi vormi on võimalik lihtsustada?" Nõus, et arvutustes on ruutvõrrandi 11 x 2 −4 x−6=0 lahendamine lihtsam kui 1100 x 2 −400 x−600=0.

Tavaliselt saavutatakse ruutvõrrandi vormi lihtsustamine, korrutades või jagades mõlemad pooled teatud arvuga. Näiteks eelmises lõigus oli võimalik lihtsustada võrrandit 1100 x 2 −400 x −600=0, jagades mõlemad pooled 100-ga.

Sarnane teisendus viiakse läbi ruutvõrranditega, mille koefitsiendid ei ole . Sel juhul jagatakse võrrandi mõlemad pooled tavaliselt selle koefitsientide absoluutväärtustega. Näiteks võtame ruutvõrrandi 12 x 2 −42 x+48=0. selle koefitsientide absoluutväärtused: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Jagades algse ruutvõrrandi mõlemad pooled 6-ga, saame ekvivalentse ruutvõrrandi 2 x 2 −7 x+8=0.

Ja ruutvõrrandi mõlema poole korrutamine toimub tavaliselt murdosakoefitsientidest vabanemiseks. Sel juhul korrutatakse selle koefitsientide nimetajatega. Näiteks kui ruutvõrrandi mõlemad pooled korrutada LCM(6, 3, 1)=6, siis saab see lihtsamal kujul x 2 +4·x−18=0.

Selle punkti kokkuvõtteks märgime, et peaaegu alati vabanevad nad ruutvõrrandi kõrgeima koefitsiendi miinusest, muutes kõigi liikmete märke, mis vastab mõlema poole korrutamisele (või jagamisele) -1-ga. Näiteks tavaliselt liigutakse ruutvõrrandilt −2 x 2 −3 x+7=0 lahendusele 2 x 2 +3 x−7=0 .

Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vaheline seos

Ruutvõrrandi juurte valem väljendab võrrandi juuri oma kordajate kaudu. Juurevalemi põhjal saate juurte ja koefitsientide vahel muid seoseid.

Vieta teoreemi kõige tuntumad ja rakendatavad valemid on kujul ja . Eelkõige on antud ruutvõrrandi puhul juurte summa võrdne teise vastasmärgiga koefitsiendiga ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega. Näiteks ruutvõrrandi 3 x 2 −7 x + 22 = 0 kuju vaadates võime kohe öelda, et selle juurte summa võrdub 7/3 ja juurte korrutis on võrdne 22-ga. /3.

Kasutades juba kirjutatud valemeid, saate ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel mitmeid muid seoseid. Näiteks saab ruutvõrrandi juurte ruutude summat väljendada selle kordajate kaudu: .

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. 2 tunniga 1. osa. Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ruutvõrrandi ülesandeid õpitakse nii kooli õppekavas kui ka ülikoolides. Need tähendavad võrrandeid kujul a*x^2 + b*x + c = 0, kus x- muutuja, a, b, c – konstandid; a<>0 . Ülesandeks on leida võrrandi juured.

Ruutvõrrandi geomeetriline tähendus

Funktsiooni graafik, mis on esitatud ruutvõrrandiga, on parabool. Ruutvõrrandi lahendid (juured) on parabooli ja abstsisstelje (x) lõikepunktid. Sellest järeldub, et võimalikke juhtumeid on kolm:
1) paraboolil puuduvad lõikepunktid abstsissteljega. See tähendab, et see asub ülemises tasapinnas harudega ülespoole või alumisel tasapinnal allapoole. Sellistel juhtudel pole ruutvõrrandil tegelikke juuri (sellel on kaks keerulist juurt).

2) paraboolil on üks lõikepunkt härja teljega. Sellist punkti nimetatakse parabooli tipuks ja selles olev ruutvõrrand omandab oma minimaalse või maksimaalse väärtuse. Sel juhul on ruutvõrrandil üks reaaljuur (või kaks identset juurt).

3) Viimane juhtum on praktikas huvitavam - parabooli ja abstsisstelje lõikepunkti on kaks. See tähendab, et võrrandil on kaks tegelikku juurt.

Muutujate astmete kordajate analüüsi põhjal saab teha huvitavaid järeldusi parabooli paigutuse kohta.

1) Kui koefitsient a on suurem kui null, on parabooli oksad suunatud ülespoole, kui see on negatiivne, on parabooli oksad suunatud alla.

2) Kui koefitsient b on suurem kui null, siis asub parabooli tipp vasakul pooltasandil, kui ta võtab negatiivse väärtuse, siis paremal.

Ruutvõrrandi lahendamise valemi tuletamine

Kanname konstandi ruutvõrrandist üle

võrdusmärgi jaoks saame avaldise

Korrutage mõlemad pooled 4a-ga

Täieliku ruudu saamiseks vasakule lisage mõlemale küljele b^2 ja viige läbi teisendus

Siit leiame

Ruutvõrrandi diskriminandi ja juurte valem

Diskriminant on radikaalavaldise väärtus. Kui see on positiivne, siis on võrrandil kaks reaaljuurt, mis arvutatakse valemiga Kui diskriminant on null, on ruutvõrrandil üks lahend (kaks kattuvat juurt), mille saab hõlpsasti saada ülaltoodud valemist D=0 korral. Kui diskriminant on negatiivne, pole võrrandil reaalseid juuri. Ruutvõrrandi lahendused leitakse aga komplekstasandil ja nende väärtus arvutatakse valemi abil

Vieta teoreem

Vaatleme ruutvõrrandi kahte juurt ja konstrueerime nende põhjal Ruutvõrrandi tähistusest tuleneb kergesti Vieta teoreem: kui meil on kuju ruutvõrrand. siis on selle juurte summa võrdne vastasmärgiga koefitsiendiga p ja võrrandi juurte korrutis on võrdne vaba liikmega q. Ülaltoodu valemiline esitus näeb välja selline: Kui klassikalises võrrandis on konstant a nullist erinev, siis peate kogu võrrandi sellega jagama ja seejärel rakendama Vieta teoreemi.

Faktooringu ruutvõrrandi ajakava

Olgu ülesanne püstitatud: koefitsiendi ruutvõrrand. Selleks lahendame esmalt võrrandi (leiame juured). Järgmisena asendame leitud juured ruutvõrrandi laiendusvalemiga. See lahendab probleemi.

Ruutvõrrandi ülesanded

Ülesanne 1. Leia ruutvõrrandi juured

x^2-26x+120=0 .

Lahendus: kirjutage koefitsiendid üles ja asendage need diskrimineeriva valemiga

Selle väärtuse juur on 14, seda on lihtne kalkulaatoriga leida või sagedase kasutamise korral meeles pidada, kuid mugavuse huvides annan teile artikli lõpus loendi arvude ruutudest, mida võib sageli kohata. selliseid probleeme.
Asendame leitud väärtuse juurvalemiga

ja saame

2. ülesanne. Lahenda võrrand

2x 2 +x-3 = 0.

Lahendus: meil on täielik ruutvõrrand, kirjutame välja koefitsiendid ja leiame diskrimineerija


Kasutades tuntud valemeid, leiame ruutvõrrandi juured

3. ülesanne. Lahenda võrrand

9x2 -12x+4=0.

Lahendus: meil on täielik ruutvõrrand. Diskriminandi määramine

Saime juhtumi, kus juured langevad kokku. Leidke valemi abil juurte väärtused

4. ülesanne. Lahenda võrrand

x^2+x-6=0 .

Lahendus: juhtudel, kui x jaoks on väikesed koefitsiendid, on soovitatav rakendada Vieta teoreemi. Selle tingimuse järgi saame kaks võrrandit

Teisest tingimusest leiame, et korrutis peab olema võrdne -6. See tähendab, et üks juurtest on negatiivne. Meil on järgmine võimalik lahenduspaar (-3;2), (3;-2) . Võttes arvesse esimest tingimust, lükkame teise paari lahendusi tagasi.
Võrrandi juured on võrdsed

Ülesanne 5. Leia ristküliku külgede pikkused, kui selle ümbermõõt on 18 cm ja pindala on 77 cm 2.

Lahendus: pool ristküliku ümbermõõtu on võrdne selle külgnevate külgede summaga. Tähistame x suurema küljena, siis 18-x on selle väiksem külg. Ristküliku pindala on võrdne nende pikkuste korrutisega:
x(18-x)=77;
või
x 2 -18x+77=0.
Leiame võrrandi diskriminandi

Võrrandi juurte arvutamine

Kui x=11, See 18's=7, kehtib ka vastupidine (kui x=7, siis 21s=9).

Ülesanne 6. Koefitsiendi ruutvõrrand 10x 2 -11x+3=0.

Lahendus: Arvutame võrrandi juured, selleks leiame diskriminandi

Asendame leitud väärtuse juurvalemis ja arvutame

Rakendame ruutvõrrandi juurte järgi lagundamise valemit

Sulgude avamisel saame identiteedi.

Ruutvõrrand parameetriga

Näide 1. Millistel parameetri väärtustel A , kas võrrandil (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 on üks juur?

Lahendus: Väärtuse a=3 otsesel asendamisel näeme, et sellel pole lahendust. Järgmisena kasutame tõsiasja, et nulldiskriminandi korral on võrrandil üks kordsuse 2 juur. Kirjutame välja diskrimineerija

Lihtsustame seda ja võrdsustame selle nulliga

Parameetri a suhtes oleme saanud ruutvõrrandi, mille lahenduse saab hõlpsasti leida Vieta teoreemi abil. Juurte summa on 7 ja nende korrutis on 12. Lihtsa otsinguga tuvastame, et arvud 3,4 on võrrandi juured. Kuna me lükkasime lahenduse a=3 juba arvutuste alguses tagasi, siis on ainuõige - a = 4. Seega, kui a=4 on võrrandil üks juur.

Näide 2. Millistel parameetri väärtustel A , võrrand a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 on rohkem kui üks juur?

Lahendus: vaatleme esmalt ainsuse punkte, need on väärtused a=0 ja a=-3. Kui a=0, siis võrrand lihtsustatakse kujule 6x-9=0; x=3/2 ja seal on üks juur. Kui a= -3 saame identiteedi 0=0.
Arvutame diskriminandi

ja leidke a väärtus, mille juures see on positiivne

Esimesest tingimusest saame a>3. Teise jaoks leiame võrrandi diskriminandi ja juured


Määrame intervallid, kus funktsioon võtab positiivseid väärtusi. Asendades punkti a=0 saame 3>0 . Seega väljaspool intervalli (-3;1/3) on funktsioon negatiivne. Ärge unustage mõtet a=0, mis tuleks välja jätta, kuna algvõrrandis on üks juur.
Selle tulemusena saame kaks intervalli, mis vastavad ülesande tingimustele

Praktikas on palju sarnaseid ülesandeid, proovige ülesanded ise välja mõelda ja ärge unustage arvestada üksteist välistavate tingimustega. Õppige hästi ruutvõrrandite lahendamise valemeid, mida on sageli vaja arvutustes erinevates ülesannetes ja teadustes.

Loodan, et pärast selle artikli uurimist saate teada, kuidas leida täieliku ruutvõrrandi juuri.

Diskriminandi abil lahendatakse mittetäielike ruutvõrrandite lahendamiseks ainult täielikud ruutvõrrandid, kasutatakse muid meetodeid, mida leiate artiklist "Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine".

Milliseid ruutvõrrandeid nimetatakse täielikeks? See võrrandid kujul ax 2 + b x + c = 0, kus koefitsiendid a, b ja c ei ole võrdsed nulliga. Niisiis, täieliku ruutvõrrandi lahendamiseks peame arvutama diskriminandi D.

D = b 2 – 4ac.

Olenevalt diskriminandi väärtusest paneme vastuse kirja.

Kui diskriminant on negatiivne arv (D< 0),то корней нет.

Kui diskriminant on null, siis x = (-b)/2a. Kui diskriminant on positiivne arv (D > 0),

siis x 1 = (-b - √D)/2a ja x 2 = (-b + √D)/2a.

Näiteks. Lahenda võrrand x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Vastus: 2.

Lahendage võrrand 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Vastus: pole juuri.

Lahendage võrrand 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2) = (-5 - 9)/4 = - 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Vastus: – 3,5; 1.

Kujutagem ette täielike ruutvõrrandite lahendust, kasutades joonisel 1 olevat diagrammi.

Neid valemeid kasutades saate lahendada mis tahes täieliku ruutvõrrandi. Peate lihtsalt olema ettevaatlik võrrand kirjutati tüüpvormi polünoomina

A x 2 + bx + c, muidu võid eksida. Näiteks võrrandi x + 3 + 2x 2 = 0 kirjutamisel võite ekslikult otsustada, et

a = 1, b = 3 ja c = 2. Siis

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 ja siis on võrrandil kaks juurt. Ja see pole tõsi. (Vt ülaltoodud näite 2 lahendust).

Seega, kui võrrandit ei kirjutata standardkuju polünoomina, tuleb esmalt kirjutada täis ruutvõrrand standardkuju polünoomina (enne peaks olema suurima eksponendiga monoom, st. A x 2 , siis vähemaga – bx ja siis vabaliige Koos.

Redutseeritud ruutvõrrandi ja paariskoefitsiendiga ruutvõrrandi lahendamisel teises liikmes saab kasutada muid valemeid. Tutvume nende valemitega. Kui täisruutvõrrandis on koefitsient teisel liikmel paaris (b = 2k), siis saate võrrandi lahendada joonisel 2 toodud diagrammil toodud valemite abil.

Täielikku ruutvõrrandit nimetatakse redutseerituks, kui koefitsient at x 2 on võrdne ühega ja võrrand saab kuju x 2 + pikslit + q = 0. Sellise võrrandi võib anda lahendamiseks või saada, jagades kõik võrrandi koefitsiendid koefitsiendiga A, seisab x 2 .

Joonisel 3 on toodud skeem vähendatud ruudu lahendamiseks
võrrandid. Vaatame näidet käesolevas artiklis käsitletud valemite rakendamisest.

Näide. Lahenda võrrand

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Lahendame selle võrrandi joonise 1 diagrammil näidatud valemite abil.

D = 6 2–4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = -1 - √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Vastus: –1 – √3; –1 + √3

Võite märgata, et selles võrrandis on x koefitsient paarisarv, st b = 6 või b = 2k, millest k = 3. Seejärel proovime võrrandit lahendada joonise D diagrammil näidatud valemite abil. 1 = 3 2–3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Vastus: –1 – √3; –1 + √3. Märgates, et kõik selles ruutvõrrandis olevad koefitsiendid jagavad 3-ga ja teostades jagamise, saame taandatud ruutvõrrandi x 2 + 2x – 2 = 0 Lahendage see võrrand taandatud ruutvõrrandi valemite abil
võrrandid joonis 3.

D 2 = 2 2–4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Vastus: –1 – √3; –1 + √3.

Nagu näete, saime selle võrrandi lahendamisel erinevate valemite abil sama vastuse. Seega, kui olete põhjalikult õppinud joonisel 1 kujutatud diagrammil näidatud valemeid, saate alati lahendada mis tahes täieliku ruutvõrrandi.

veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Yakupova M.I. 1

Smirnova Yu.V. 1

1 Vallaeelarveline õppeasutus Keskkool nr 11

Töö tekst postitatakse ilma piltide ja valemiteta.
Töö täisversioon on PDF-vormingus saadaval vahekaardil "Tööfailid".

Ruutvõrrandite ajalugu

Babülon

Vajaduse lahendada mitte ainult esimese, vaid ka teise astme võrrandeid tingis iidsetel aegadel vajadus lahendada maatükkide pindalade leidmisega seotud probleeme astronoomia ja matemaatika enda arenguga. Ruutvõrrandid suudeti lahendada umbes 2000 eKr. e. babüloonlased. Babüloonia tekstides sätestatud nende võrrandite lahendamise reeglid on sisuliselt samad, mis tänapäevastes, kuid neis tekstides puuduvad negatiivse arvu mõiste ja üldised ruutvõrrandite lahendamise meetodid.

Vana-Kreeka

Vana-Kreekas tegelesid ruutvõrrandite lahendamisega ka sellised teadlased nagu Diophantus, Euclid ja Heron. Diophantus Diophantus Aleksandriast on Vana-Kreeka matemaatik, kes arvatavasti elas 3. sajandil pKr. Diophantuse peateos on “Aritmeetika” 13 raamatus. Euclid. Euclid on Vana-Kreeka matemaatik, esimese meieni jõudnud teoreetilise matemaatika traktaadi autor Heron. Heron – kreeka matemaatik ja insener esmakordselt Kreekas 1. sajandil pKr. annab puhtalgebralise viisi ruutvõrrandi lahendamiseks

India

Ruutvõrrandi ülesandeid leidub juba astronoomilises traktaadis “Aryabhattiam”, mille koostas 499. aastal India matemaatik ja astronoom Aryabhatta. Teine India teadlane Brahmagupta (VII sajand) tõi välja üldreegli ruutvõrrandite lahendamiseks, mis on taandatud ühele kanoonilisele kujule: ax2 + bx = c, a> 0. (1) Võrrandis (1) võivad koefitsiendid olla negatiivsed. Brahmagupta reegel on sisuliselt sama, mis meie oma. Avalikud võistlused keeruliste probleemide lahendamisel olid Indias tavalised. Üks vanadest India raamatutest ütleb selliste võistluste kohta järgmist: "Nagu päike särab oma säraga tähti, ületab õppinud mees oma hiilguse avalikel koosolekutel, pakkudes välja ja lahendades algebralisi ülesandeid." Probleeme esitati sageli poeetilises vormis.

See on üks kuulsa 12. sajandi India matemaatiku probleeme. Bhaskarid.

“Kari vingeid ahve

Ja kaksteist viinapuude ääres, olles oma südamega söönud, lõbutsesid

Nad hakkasid hüppama, rippudes

Kaheksas osa neist ruudus

Mitu ahvi seal oli?

Mul oli lagendikul lõbus

Ütle mulle, selles pakis?

Bhaskara lahendus näitab, et autor teadis, et ruutvõrrandite juured on kaheväärtuslikud. Bhaskar kirjutab ülesandele vastava võrrandi x2 - 64x = - 768 ja selle võrrandi vasaku poole ruuduks täitmiseks lisab mõlemale poolele 322, saades: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32 = ±16, x1 = 16, x2 = 48.

Ruutvõrrandid 17. sajandi Euroopas

Al-Khorezmi eeskujul Euroopas loodud ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud Abakuse raamatus. See mahukas teos, mis peegeldab matemaatika mõju nii islami riikidest kui ka Vana-Kreekast, eristub esitusviisi terviklikkuse ja selguse poolest. Autor töötas iseseisvalt välja mõned uued algebralised probleemide lahendamise näited ja hakkas esimesena Euroopas lähenema negatiivsete arvude kasutuselevõtule. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides. Paljusid Abakuse raamatu probleeme kasutati peaaegu kõigis 16.–17. sajandi Euroopa õpikutes. ja osaliselt XVIII. Ruutvõrrandi üldisel kujul lahendamise valemi tuletus on saadaval Viète'ilt, kuid Viète tundis ära ainult positiivsed juured. Itaalia matemaatikud Tartaglia, Cardano, Bombelli olid 16. sajandil esimeste seas. Lisaks positiivsetele võetakse arvesse ka negatiivseid juuri. Alles 17. sajandil. Tänu Girardi, Descartes’i, Newtoni ja teiste teadlaste tööle saab ruutvõrrandite lahendamise meetod tänapäevase kuju.

Ruutvõrrandi definitsioon

Võrrandit kujul ax 2 + bx + c = 0, kus a, b, c on arvud, nimetatakse ruutkeskseks.

Ruutvõrrandi koefitsiendid

Arvud a, b, c on ruutvõrrandi koefitsiendid a on esimene koefitsient (enne x²), a ≠ 0 on teine ​​koefitsient (enne x-i);

Millised neist võrranditest ei ole ruutkeskmised??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5x - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² – 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5x³ +6x -8 = 0.

Ruutvõrrandite tüübid

Redutseeritud on ruutvõrrand, mille juhtiv koefitsient on võrdne ühega. Sellise võrrandi saab kogu avaldise jagamisel juhtiva koefitsiendiga a:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Ruutvõrrandit nimetatakse täielikuks, kui kõik selle koefitsiendid on nullist erinevad.

Ruutvõrrandit nimetatakse mittetäielikuks, milles vähemalt üks koefitsient, välja arvatud juhtiv (kas teine ​​koefitsient või vaba liige), on võrdne nulliga.

Ruutvõrrandite lahendamise meetodid

Meetod I Üldvalem juurte arvutamiseks

Ruutvõrrandi juurte leidmiseks kirves 2 + b + c = 0Üldiselt peaksite kasutama allolevat algoritmi:

Arvutage ruutvõrrandi diskriminandi väärtus: see on selle avaldis D= b 2 - 4ac

Valemi tuletamine:

Märge: On ilmne, et kordsuse 2 juure valem on üldvalemi erijuhtum, mis saadakse, kui sellesse asendatakse võrrand D=0 ja järeldus tegelike juurte puudumise kohta D0 juures ja (displaystyle (sqrt ( -1))=i) = i.

Esitatud meetod on universaalne, kuid see pole kaugeltki ainus. Ühe võrrandi lahendamisele võib läheneda mitmel viisil, kusjuures eelistused sõltuvad tavaliselt lahendajast. Lisaks osutuvad sageli selleks otstarbeks mõned meetodid tavalisest palju elegantsemaks, lihtsamaks ja vähem töömahukaks.

II meetod. Paariskoefitsiendiga ruutvõrrandi juured b III meetod. Mittetäielike ruutvõrrandite lahendamine

IV meetod. Kasutades koefitsientide osasuhteid

Ruutvõrrandite puhul on erijuhtumeid, kus koefitsiendid on omavahel suhetes, muutes nende lahendamise palju lihtsamaks.

Ruutvõrrandi juured, mille juhtkoefitsiendi ja vabaliikme summa on võrdne teise koefitsiendiga

Kui ruutvõrrandis kirves 2 + bx + c = 0 esimese koefitsiendi ja vaba liikme summa on võrdne teise koefitsiendiga: a+b=c, siis selle juured on -1 ja arv, mis on vastupidine vaba liikme ja juhtivate koefitsientide suhtele ( -c/a).

Seetõttu peaksite enne ruutvõrrandi lahendamist kontrollima selle teoreemi rakendamise võimalust: võrrelge juhtkoefitsiendi ja vaba liikme summat teise koefitsiendiga.

Ruutvõrrandi juured, mille kõigi koefitsientide summa on null

Kui ruutvõrrandis on kõigi selle koefitsientide summa null, siis on sellise võrrandi juured 1 ja vabaliikme suhe juhtivasse koefitsiendisse ( c/a).

Seetõttu peaksite enne võrrandi lahendamist standardmeetoditega kontrollima selle teoreemi rakendatavust: liitke kõik selle võrrandi koefitsiendid ja vaadake, kas see summa ei ole võrdne nulliga.

V meetod. Ruuttrinoomi faktoriseerimine lineaarseteks teguriteks

Kui trinoom on kujul (kuvastiil ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0) saab kuidagi kujutada lineaarsete tegurite korrutisena (kuvamisstiil (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), siis leiame võrrandi juured kirves 2 + bx + c = 0- need on tõepoolest -m/k ja n/l (kuvastiil (kx+m)(lx+n)=0pikk vasakparemnool kx+m=0 tassi lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n ja olles lahendanud näidatud lineaarvõrrandid, saame ülaltoodu. Pange tähele, et ruuttrinoom ei lagune alati reaalkoefitsientidega lineaarseteks teguriteks: see on võimalik, kui vastaval võrrandil on reaaljuured.

Vaatleme mõningaid erijuhtumeid

Ruutsumma (vahe) valemi kasutamine

Kui ruuttrinoom on kujul (kuvastiil (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 , siis rakendades sellele ülaltoodud valemit, saame selle arvutada lineaarseteks teguriteks ja Seetõttu leidke juured:

(ax) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Summa täisruudu eraldamine (erinevus)

Ülaltoodud valemit kasutatakse ka meetodi abil, mida nimetatakse "summa (erinevuse) täisruudu valimiseks". Seoses ülaltoodud ruutvõrrandiga koos eelnevalt kasutusele võetud tähistusega tähendab see järgmist:

Märge: Kui märkate, langeb see valem kokku jaotises “Taandatud ruutvõrrandi juured” pakutud valemiga, mille saab omakorda saada üldvalemist (1), asendades võrrandi a=1. See asjaolu ei ole lihtsalt juhus: kirjeldatud meetodit kasutades, ehkki mõne täiendava arutluskäiguga, saab tuletada üldvalemi ja tõestada ka diskriminandi omadusi.

VI meetod. Otsese ja pöördvõrdelise Vieta teoreemi kasutamine

Vieta otseteoreem (vt allpool samanimelist osa) ja selle pöördteoreem võimaldavad ülaltoodud ruutvõrrandid suuliselt lahendada, kasutamata valemit (1) kasutades üsna tülikaid arvutusi.

Pöördteoreemi kohaselt on võrrandi juurteks iga arvupaar (arv) (kuvamisstiil x_(1),x_(2))x 1, x 2, mis on alltoodud võrrandisüsteemi lahendus.

Üldjuhul, st taandamata ruutvõrrandi korral ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Otsene teoreem aitab teil leida neid võrrandeid suuliselt rahuldavaid numbreid. Tema abiga saate määrata juurte märke, teadmata juuri ise. Selleks peaksite järgima reeglit:

1) kui vaba liige on negatiivne, siis on juurtel erinevad märgid ja juurte absoluutväärtuselt suurimal on võrrandi teise kordaja märgile vastupidine märk;

2) kui vaba liige on positiivne, siis on mõlemal juurel sama märk ja see on teise koefitsiendi märgile vastandmärk.

VII meetod. Ülekande meetod

Nn ülekandemeetod võimaldab redutseerimata ja taandamatute võrrandite lahendit taandada täisarvuliste koefitsientidega redutseeritud võrrandite vormiks, jagades need täisarvuliste koefitsientidega redutseeritud võrrandite lahendini juhtkoefitsiendiga. See on järgmine:

Järgmiseks lahendatakse võrrand ülalkirjeldatud viisil suuliselt, seejärel pöördutakse tagasi algse muutuja juurde ja leitakse võrrandite juured (kuvastiil y_(1)=ax_(1)) y 1 =kirves 1 Ja y 2 =kirves 2 .(kuvastiil y_(2)=ax_(2))

Geomeetriline tähendus

Ruutfunktsiooni graafik on parabool. Ruutvõrrandi lahendid (juured) on parabooli ja abstsisstelje lõikepunktide abstsissid. Kui ruutfunktsiooniga kirjeldatud parabool ei lõiku x-teljega, pole võrrandil tegelikke juuri. Kui parabool lõikub x-teljega ühes punktis (parabooli tipus), on võrrandil üks reaaljuur (võrrandil on ka kaks kattuvat juurt). Kui parabool lõikub x-teljega kahes punktis, on võrrandil kaks reaaljuurt (vt pilti paremal.)

Kui koefitsient (kuvastiil a) a positiivne, on parabooli harud suunatud ülespoole ja vastupidi. Kui koefitsient (kuvastiil b) bpositiivne (kui positiivne (kuvastiil a) a, kui negatiivne, siis vastupidi), siis asub parabooli tipp vasakul pooltasandil ja vastupidi.

Ruutvõrrandite rakendamine elus

Ruutvõrrandit kasutatakse laialdaselt. Seda kasutatakse paljudes arvutustes, struktuurides, spordis ja ka meie ümber.

Vaatleme ja toome mõned näited ruutvõrrandi rakendamisest.

Sport. Kõrgushüpped: hüppaja ülesjooksu ajal kasutatakse parabooliga seotud arvutusi, et saavutada võimalikult selge mõju stardilatile ja kõrgele lennule.

Samasuguseid arvutusi on vaja ka viskamisel. Objekti lennuulatus sõltub ruutvõrrandist.

Astronoomia. Planeetide trajektoori saab leida ruutvõrrandi abil.

Lennuki lend. Lennuki õhkutõus on lennu peamine komponent. Siin arvutame madala takistuse ja stardikiirenduse.

Ruutvõrrandeid kasutatakse ka erinevates majandusvaldkondades, heli-, video-, vektor- ja rastergraafika töötlemise programmides.

Järeldus

Tehtud töö tulemusena selgus, et ruutvõrrandid meelitasid teadlasi juba ammustel aegadel, kui nad olid nendega juba mõne probleemi lahendamisel kokku puutunud ja püüdnud neid lahendada. Vaadates erinevaid ruutvõrrandite lahendamise viise, jõudsin järeldusele, et kõik need pole lihtsad. Minu arvates on ruutvõrrandite lahendamiseks parim viis neid lahendada valemite abil. Valemeid on lihtne meeles pidada, see meetod on universaalne. Kinnitust leidis hüpotees, et võrrandeid kasutatakse elus ja matemaatikas laialdaselt. Pärast teemaga tutvumist sain teada palju huvitavaid fakte ruutvõrrandite, nende kasutamise, rakenduse, tüüpide, lahenduste kohta. Ja ma õpin neid hea meelega edasi. Loodan, et see aitab mul eksamitel hästi hakkama saada.

Kasutatud kirjanduse loetelu

Saidi materjalid:

Vikipeedia

Avatud õppetund.rf

Algmatemaatika käsiraamat Vygodsky M. Ya.