Kuidas teisendada murd tavaarvuks. Kümnendmurru teisendamine algmurruks ja vastupidi

Juba põhikoolis puutuvad õpilased kokku murdosadega. Ja siis ilmuvad need igasse teemasse. Te ei saa unustada toiminguid nende numbritega. Seetõttu peate teadma kogu teavet tavaliste ja kümnendmurdude kohta. Need mõisted pole keerulised, peamine on mõista kõike järjekorras.

Miks on vaja murde?

Meid ümbritsev maailm koosneb tervetest objektidest. Seega puudub vajadus aktsiate järele. Kuid igapäevaelu sunnib inimesi pidevalt esemete ja asjade osadega töötama.

Näiteks šokolaad koosneb mitmest tükist. Mõelge olukorrale, kus tema plaat on moodustatud kaheteistkümnest ristkülikust. Kui jagate selle kaheks, saate 6 osa. Seda saab hõlpsasti kolmeks jagada. Kuid viiele inimesele ei ole võimalik anda tervet arvu šokolaadilõike.

Muide, need viilud on juba murdosad. Ja nende edasine jagunemine toob kaasa keerukamate arvude ilmumise.

Mis on "murd"?

See on arv, mis koosneb ühe osadest. Väliselt näeb see välja nagu kaks numbrit, mis on eraldatud horisontaalse või kaldkriipsuga. Seda funktsiooni nimetatakse murdosaliseks. Üleval (vasakul) kirjutatud arvu nimetatakse lugejaks. See, mis on all (paremal), on nimetaja.

Sisuliselt osutub kaldkriips jagamismärgiks. See tähendab, et lugejat võib nimetada dividendiks ja nimetajat jagajaks.

Millised murrud seal on?

Matemaatikas on ainult kahte tüüpi: tavalised ja kümnendmurrud. Koolilapsed tutvuvad esimestega algkoolis, nimetades neid lihtsalt "murdudeks". Viimast hakatakse õppima 5. klassis. Siis ilmuvad need nimed.

Harilikud murrud on kõik need, mis on kirjutatud kahe joonega eraldatud arvuna. Näiteks 4/7. Kümnend on arv, mille murdosal on positsioonimärk ja see eraldatakse täisarvust komaga. Näiteks 4.7. Õpilased peavad selgelt aru saama, et kaks toodud näidet on täiesti erinevad numbrid.

Iga lihtmurru saab kirjutada kümnendkohana. See väide kehtib peaaegu alati vastupidiselt. On olemas reeglid, mis võimaldavad kirjutada kümnendmurru tavalise murruna.

Millised alamtüübid seda tüüpi murdudel on?

Parem on alustada kronoloogilises järjekorras, kuna neid uuritakse. Harilikud murrud on esikohal. Nende hulgas saab eristada 5 alamliiki.

    Õige. Selle lugeja on alati väiksem kui nimetaja.

    Vale. Selle lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne.

    Vähendatav/taandamatu. See võib osutuda õigeks või valeks. Teine oluline asi on see, kas lugejal ja nimetajal on ühised tegurid. Kui on, siis tuleb murdosa mõlemad osad nendega jagada, st vähendada.

    Segatud. Täisarv määratakse selle tavapärasele korrapärasele (ebakorrapärasele) murdosale. Pealegi on see alati vasakul.

    Komposiit. See moodustub kahest fraktsioonist, mis on jagatud üksteisega. See tähendab, et see sisaldab korraga kolme murdjoont.

Kümnendmurdudel on ainult kaks alamtüüpi:

    lõplik, st selline, mille murdosa on piiratud (on lõpp);

    lõpmatu - arv, mille numbrid pärast koma ei lõpe (neid saab kirjutada lõputult).

Kuidas teisendada kümnendmurru harilikuks murruks?

Kui see on lõplik arv, siis rakendatakse reeglil põhinevat seost - nagu kuulen, nii kirjutan. See tähendab, et peate selle õigesti lugema ja üles kirjutama, kuid ilma komata, kuid murdosa ribaga.

Nõutava nimetaja vihjeks peate meeles pidama, et see on alati üks ja mitu nulli. Viimaseid tuleb kirjutada nii palju, kui palju on kõnealuse numbri murdosas numbreid.

Kuidas teisendada kümnendmurrud tavalisteks murdudeks, kui nende täisarvu osa puudub, see tähendab, et see võrdub nulliga? Näiteks 0,9 või 0,05. Pärast määratud reegli rakendamist selgub, et peate kirjutama null täisarvu. Kuid seda pole näidatud. Jääb vaid murdosad üles kirjutada. Esimese numbri nimetaja on 10, teise nimetaja 100. See tähendab, et antud näidetes on vastusteks järgmised numbrid: 9/10, 5/100. Veelgi enam, selgub, et viimast saab vähendada 5 võrra. Seetõttu tuleb selle tulemuseks kirjutada 1/20.

Kuidas saab kümnendmurru teisendada tavaliseks murruks, kui selle täisarvuline osa on nullist erinev? Näiteks 5,23 või 13,00108. Mõlemas näites loetakse kogu osa ja kirjutatakse selle väärtus. Esimesel juhul on see 5, teisel 13. Seejärel peate liikuma murdosa juurde. Sama operatsioon tuleks läbi viia ka nendega. Esimene number kuvatakse 23/100, teine ​​- 108/100000. Teist väärtust tuleb uuesti vähendada. Vastus annab järgmised segamurrud: 5 23/100 ja 13 27/25000.

Kuidas teisendada lõpmatu kümnendmurd tavaliseks murruks?

Kui see on mitteperioodiline, pole selline operatsioon võimalik. See asjaolu on tingitud asjaolust, et iga kümnendmurd teisendatakse alati kas lõplikuks või perioodiliseks murruks.

Ainus, mida saate sellise murdosaga teha, on selle ümardamine. Kuid siis on koma ligikaudu võrdne selle lõpmatuga. Seda saab juba tavaliseks teha. Kuid vastupidine protsess: kümnendarvuks teisendamine ei anna kunagi algväärtust. See tähendab, et lõpmatuid mitteperioodilisi murde ei teisendata tavalisteks murdudeks. Seda tuleb meeles pidada.

Kuidas kirjutada lõpmatu perioodiline murd harilikuks murdeks?

Nendes numbrites on pärast koma alati üks või mitu numbrit, mis korduvad. Neid nimetatakse perioodiks. Näiteks 0,3(3). Siin on "3" perioodis. Need liigitatakse ratsionaalseteks, kuna neid saab teisendada tavalisteks murdudeks.

Need, kes on perioodiliste murdudega kokku puutunud, teavad, et need võivad olla puhtad või segatud. Esimesel juhul algab punkt kohe komast. Teises algab murdosa mõne numbriga ja seejärel algab kordamine.

Reegel, mille järgi peate hariliku murdena kirjutama lõpmatu kümnendkoha, on näidatud kahte tüüpi numbrite puhul erinev. Puhtaid perioodilisi murde on üsna lihtne kirjutada tavamurrudeks. Nagu lõplike puhul, tuleb need teisendada: kirjutage lugejasse punkt ja nimetajaks saab number 9, mida korratakse nii mitu korda, kui palju numbreid punkt sisaldab.

Näiteks 0, (5). Arv ei sisalda täisarvu, seega peate kohe alustama murdosast. Kirjutage lugejaks 5 ja nimetajaks 9 See tähendab, et vastuseks on murd 5/9.

Reegel, kuidas kirjutada tavaline kümnendmurru, mis on segatud.

    Vaadake perioodi pikkust. Nii palju on nimetaja 9-d.

    Kirjuta üles nimetaja: kõigepealt üheksad, seejärel nullid.

    Lugeja määramiseks peate üles kirjutama kahe arvu erinevuse. Kõik numbrid pärast koma vähendatakse koos punktiga. Omavastutus – see on ilma perioodita.

Näiteks 0,5(8) - kirjutage perioodiline kümnendmurd harilikuks murruks. Punktieelne murdosa sisaldab ühte numbrit. Seega tuleb üks null. Perioodil on ka ainult üks number - 8. See tähendab, et on ainult üks üheksa. See tähendab, et nimetajasse peate kirjutama 90.

Lugeja määramiseks peate 58-st lahutama 5. Saate 53. Näiteks peaksite vastuseks kirjutama 53/90.

Kuidas teisendatakse murde kümnendkohtadeks?

Lihtsaim variant on arv, mille nimetajaks on arv 10, 100 jne. Seejärel jäetakse nimetaja lihtsalt kõrvale ning murru- ja täisarvu vahele pannakse koma.

On olukordi, kus nimetaja muutub kergesti 10, 100 jne. Näiteks arvud 5, 20, 25. Piisab, kui korrutada need vastavalt 2, 5 ja 4-ga. Peate lihtsalt sama arvuga korrutama mitte ainult nimetaja, vaid ka lugeja.

Kõigil muudel juhtudel on kasulik lihtne reegel: jagage lugeja nimetajaga. Sel juhul võite saada kaks võimalikku vastust: lõplik või perioodiline kümnendmurd.

Tehted harilike murrudega

Liitmine ja lahutamine

Õpilased tutvuvad nendega varem kui teised. Pealegi on murdudel algul samad nimetajad ja seejärel erinevad. Üldreeglid võib taandada sellele plaanile.

    Leidke nimetajate vähim ühiskordne.

    Kirjutage kõigi harilike murdude jaoks lisategurid.

    Korrutage lugejad ja nimetajad neile määratud teguritega.

    Liitke (lahutage) murdude lugejad ja jätke ühisnimetaja muutmata.

    Kui minuendi lugeja on väiksem kui alamosa, siis peame välja selgitama, kas meil on segaarv või õige murd.

    Esimesel juhul tuleb laenata üks kogu osast. Lisage murdosa lugejale nimetaja. Ja siis tehke lahutamine.

    Teises on vaja rakendada reeglit lahutada suurem arv väiksemast arvust. See tähendab, et lahutage alamosa moodulist minuendi moodul ja pange vastuseks märk “-”.

    Vaadake hoolikalt liitmise (lahutamise) tulemust. Kui saate vale murdosa, peate valima kogu osa. See tähendab, jagage lugeja nimetajaga.

    Korrutamine ja jagamine

    Nende sooritamiseks ei ole vaja murde taandada ühiseks nimetajaks. See muudab toimingute sooritamise lihtsamaks. Kuid nad nõuavad ikkagi reeglite järgimist.

      Murdude korrutamisel tuleb vaadata numbreid lugejates ja nimetajates. Kui mõnel lugejal ja nimetajal on ühine tegur, saab neid vähendada.

      Korrutage lugejad.

      Korrutage nimetajad.

      Kui tulemuseks on taandatav murd, tuleb seda uuesti lihtsustada.

      Jagamisel tuleb esmalt asendada jagamine korrutamisega ja jagaja (teine ​​murd) pöördmurruga (vahetada lugeja ja nimetaja).

      Seejärel jätkake nagu korrutamisega (alustades punktist 1).

      Ülesannetes, kus peate korrutama (jagama) täisarvuga, tuleks viimane kirjutada valemurruna. See tähendab, et nimetajaga 1. Seejärel toimige ülalkirjeldatud viisil.

    Tehted kümnendkohtadega

    Liitmine ja lahutamine

    Muidugi saate alati teisendada kümnendkoha murdarvuks. Ja tegutseda juba kirjeldatud plaani järgi. Kuid mõnikord on ilma selle tõlketa mugavam tegutseda. Siis on nende liitmise ja lahutamise reeglid täpselt samad.

      Võrdsustage numbrite arv arvu murdosas, st pärast koma. Lisage sellele puuduv arv nulle.

      Kirjutage murrud nii, et koma oleks koma all.

      Liita (lahutab) nagu naturaalarvud.

      Eemaldage koma.

    Korrutamine ja jagamine

    On oluline, et te ei pea siia nulle lisama. Murrud tuleks jätta nii, nagu need on näites toodud. Ja siis edasi plaanipäraselt.

      Korrutamiseks peate kirjutama murrud üksteise alla, ignoreerides komasid.

      Korrutage nagu naturaalarvud.

      Pange vastusesse koma, lugedes vastuse paremast otsast nii palju numbreid, kui palju neid on mõlema teguri murdosas.

      Jagamiseks tuleb esmalt jagaja teisendada: muuta see naturaalarvuks. See tähendab, et korrutage see arvuga 10, 100 jne, sõltuvalt sellest, mitu numbrit on jagaja murdosas.

      Korrutage dividend sama arvuga.

      Jaga kümnendmurd naturaalarvuga.

      Pane oma vastusesse koma hetkel, mil kogu osa jagamine lõpeb.

    Mis siis, kui üks näide sisaldab mõlemat tüüpi murde?

    Jah, matemaatikas on sageli näiteid, kus peate tegema tehteid tavaliste ja kümnendmurdudega. Selliste ülesannete puhul on kaks võimalikku lahendust. Peate numbreid objektiivselt kaaluma ja valima optimaalse.

    Esimene viis: esindage tavalisi kümnendkohti

    See sobib, kui jagamisel või tõlkimisel saadakse lõplikud murded. Kui vähemalt üks number annab perioodilise osa, siis on see tehnika keelatud. Seega, isegi kui teile ei meeldi tavaliste murdudega töötada, peate need kokku lugema.

    Teine võimalus: kirjutage kümnendmurrud tavaliseks

    See tehnika osutub mugavaks, kui komajärgne osa sisaldab 1-2 numbrit. Kui neid on rohkem, võib tulemuseks olla väga suur harilik murd ja kümnendmärkimine muudab ülesande kiiremaks ja hõlpsamini arvutatavaks. Seetõttu tuleb alati ülesannet kainelt hinnata ja valida kõige lihtsam lahendusviis.

Kümnendmurd koosneb kahest osast, mis on eraldatud komadega. Esimene osa on terve ühik, teine ​​osa kümned (kui pärast koma on üks arv), sajad (kaks arvu pärast koma, nagu sajast kaks nulli), tuhandikud jne. Vaatame näiteid kümnendmurdudest: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0.5. Need on kõik kümnendmurrud. Kuidas teisendada kümnendmurd tavaliseks murruks?

Näide üks

Meil on murdosa, näiteks 0,5. Nagu eespool mainitud, koosneb see kahest osast. Esimene number 0 näitab, mitu täisühikut murrus on. Meie puhul neid pole. Teine number näitab kümneid. Murd on isegi null koma viis. Kümnendarv teisendada murdarvuks Nüüd pole see raske, kirjutame 5/10. Kui näete, et arvudel on ühine tegur, saate murdosa vähendada. Meil on see arv 5, jagades murdosa mõlemad pooled 5-ga, saame - 1/2.

Näide kaks

Võtame keerulisema murdosa – 2,25. See kõlab järgmiselt: kaks koma kaks ja kakskümmend viis sajandikku. Pange tähele - sajandik, kuna pärast koma on kaks numbrit. Nüüd saate selle teisendada harilikuks murdeks. Kirjutame üles - 2 25/100. Terve osa on 2, murdosa on 25/100. Nagu esimeses näites, saab seda osa lühendada. Arvude 25 ja 100 ühine tegur on arv 25. Pange tähele, et me valime alati suurima ühisteguri. Jagades murdosa mõlemad pooled GCD-ga, saime 1/4. Nii et 2,25 on 2 1/4.

Näide kolm

Ja materjali konsolideerimiseks võtame kümnendmurru 4,112 - neli koma üks ja sada kaksteist tuhandikku. Miks tuhanded, ma arvan, on selge. Nüüd paneme kirja 4 112/1000. Algoritmi kasutades leiame arvude 112 ja 1000 gcd. Meie puhul on selleks arv 6. Saame 4 14/125.

Järeldus

  1. Jagame murdosa terveteks ja murdosadeks.
  2. Vaatame, mitu numbrit on pärast koma. Kui üks on kümned, kaks on sajad, kolm on tuhandikud jne.
  3. Murru kirjutame tavalisel kujul.
  4. Vähendage murdosa lugejat ja nimetajat.
  5. Kirjutame saadud murdosa üles.
  6. Kontrollime, jagades murdosa ülemise osa alumise osaga. Kui on täisarvuline osa, lisage see saadud kümnendmurrule. Algne versioon osutus suurepäraseks, mis tähendab, et tegite kõik õigesti.

Näidasin näidete abil, kuidas saab kümnendmurru teisendada tavaliseks murruks. Nagu näete, on seda väga lihtne ja lihtne teha.


Selles artiklis vaatleme, kuidas murdude teisendamine kümnendkohtadeks, ja kaaluge ka pöördprotsessi - kümnendmurdude teisendamist tavalisteks murdudeks. Siin kirjeldame murdude teisendamise reegleid ja pakume üksikasjalikke lahendusi tüüpilistele näidetele.

Leheküljel navigeerimine.

Murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Tähistagem järjekorda, milles me käsitleme murdude teisendamine kümnendkohtadeks.

Esiteks vaatame, kuidas esitada murde nimetajatega 10, 100, 1000, ... kümnendkohtadena. Seda seletatakse asjaoluga, et kümnendmurrud on oma olemuselt kompaktne vorm tavaliste murdude kirjutamiseks nimetajatega 10, 100, ....

Pärast seda läheme kaugemale ja näitame, kuidas kirjutada suvalist tavalist murru (mitte ainult neid, mille nimetajad on 10, 100, ...) kümnendmurruna. Kui tavalisi murde sel viisil käsitleda, saadakse nii lõplikud kümnendmurrud kui ka lõpmatud perioodilised kümnendmurrud.

Räägime nüüd kõigest järjekorras.

Harilike murdude teisendamine nimetajatega 10, 100, ... kümnendkohtadeks

Mõned õiged murrud nõuavad enne kümnendkohtadeks teisendamist "eelettevalmistust". See kehtib tavaliste murdude kohta, mille numbrite arv lugejas on väiksem kui nimetaja nullide arv. Näiteks harilik murd 2/100 tuleb esmalt ette valmistada kümnendmurruks teisendamiseks, kuid murd 9/10 ei vaja ettevalmistust.

Õigete harilike murdude “esialgne ettevalmistamine” kümnendmurdudeks teisendamiseks seisneb selles, et lugejasse lisatakse vasakule nii palju nulle, et seal olevate numbrite koguarv võrdub nimetaja nullide arvuga. Näiteks pärast nullide lisamist näeb murdosa välja selline .

Kui olete õige murdosa ette valmistanud, võite alustada selle kümnendkohaks teisendamist.

Anname reegel õige hariliku murru, mille nimetaja on 10, 100 või 1000, teisendamiseks kümnendmurruks. See koosneb kolmest etapist:

  • kirjuta 0;
  • pärast seda paneme koma;
  • Kirjutame numbri lugejast üles (koos lisatud nullidega, kui need lisasime).

Vaatleme selle reegli rakendamist näidete lahendamisel.

Näide.

Teisendage õige murd 37/100 kümnendkohaks.

Lahendus.

Nimetaja sisaldab arvu 100, millel on kaks nulli. Lugeja sisaldab arvu 37, selle tähistus on kahekohaline, seetõttu ei pea seda murdu ette valmistama kümnendmurruks teisendamiseks.

Nüüd kirjutame 0, paneme koma ja kirjutame lugejast arvu 37 ning saame kümnendmurruks 0,37.

Vastus:

0,37 .

Lugejatega 10, 100, ... õigete harilike murdude kümnendmurdudeks teisendamise oskuse tugevdamiseks analüüsime lahendust teise näite põhjal.

Näide.

Kirjutage õige murd 107/10 000 000 kümnendkohana.

Lahendus.

Numbrite arv lugejas on 3 ja nullide arv nimetajas on 7, seega tuleb see harilik murd ette valmistada kümnendkohaks teisendamiseks. Peame lisama lugejasse vasakule 7-3=4 nulli, et seal olevate numbrite koguarv oleks võrdne nimetaja nullide arvuga. Me saame.

Jääb vaid luua nõutav kümnendmurd. Selleks kirjutame esiteks 0, teiseks paneme koma, kolmandaks kirjutame numbri lugejast koos nullidega 0000107, mille tulemusena saame kümnendmurru 0,0000107.

Vastus:

0,0000107 .

Valed murrud ei vaja kümnendkohtadeks teisendamiseks ettevalmistust. Järgida tuleks järgmist reeglid nimetajatega 10, 100, ... valede murdude teisendamiseks kümnendkohtadeks:

  • kirjutage number lugejast üles;
  • Kasutame koma, et eraldada paremal pool nii palju nulle, kui palju on algmurru nimetajas nulle.

Vaatame selle reegli rakendamist näite lahendamisel.

Näide.

Teisendage vale murd 56 888 038 009/100 000 kümnendkohaks.

Lahendus.

Esiteks kirjutame üles numbri lugejast 56888038009 ja teiseks eraldame paremal olevad 5 numbrit komaga, kuna algmurru nimetajas on 5 nulli. Selle tulemusena saame kümnendmurru 568880.38009.

Vastus:

568 880,38009 .

Segaarvu teisendamiseks kümnendmurruks, mille murdosa nimetaja on arv 10 või 100 või 1000 ..., saate segaarvu teisendada valeks harilikuks murruks ja seejärel teisendada saadud arvu. murdosa kümnendmurruks. Kuid võite kasutada ka järgmist reegel segaarvude, mille murdosa nimetaja on 10, 100 või 1000, teisendamiseks kümnendmurrudeks:

  • vajadusel teostame algse segaarvu murdosa “eelvalmistamise”, lisades lugejasse vajaliku arvu nulle vasakule;
  • kirjuta üles algse segaarvu täisarvuline osa;
  • pane koma;
  • Kirjutame numbri lugejast üles koos lisatud nullidega.

Vaatame näidet, kus teeme kõik vajalikud sammud segaarvu kümnendmurruna esitamiseks.

Näide.

Teisendage segaarv kümnendkohaks.

Lahendus.

Murdosa nimetajas on 4 nulli, kuid lugeja sisaldab 2-st numbrist koosnevat arvu 17, seetõttu peame lugejas vasakule lisama kaks nulli, nii et seal olevate numbrite arv võrduks numbrite arvuga. nullid nimetajas. Kui see on tehtud, on lugejaks 0017.

Nüüd kirjutame üles algse arvu täisarvu, see tähendab arvu 23, paneme koma, mille järel kirjutame lugejast numbri koos lisatud nullidega, see tähendab 0017, ja saame soovitud kümnendkoha. murdosa 23.0017.

Paneme kogu lahenduse lühidalt kirja: .

Muidugi oli võimalik segaarv esmalt esitada valemurruna ja seejärel teisendada see kümnendmurruks. Selle lähenemisviisi korral näeb lahendus välja järgmine: .

Vastus:

23,0017 .

Murdude teisendamine lõplikeks ja lõpmatuteks perioodilisteks kümnendkohtadeks

Saate teisendada kümnendmurruks mitte ainult harilikke nimetajaid 10, 100, ..., vaid ka muude nimetajatega harilikke murde. Nüüd mõtleme välja, kuidas seda tehakse.

Mõnel juhul taandatakse algne harilik murd kergesti üheks nimetajaks 10, 100 või 1000, ... (vt hariliku murru viimine uude nimetajasse), misjärel pole saadud murru kujutamine keeruline. kümnendmurruna. Näiteks on ilmne, et murdosa 2/5 saab taandada murduks, mille nimetaja on 10, selleks peate korrutama lugeja ja nimetaja 2-ga, mis annab murdarvuks 4/10, mis vastavalt Eelmises lõigus käsitletud reeglid teisendatakse kergesti kümnendmurruks 0, 4 .

Muudel juhtudel peate tavalise murru kümnendkohaks teisendamiseks kasutama teist meetodit, mida me nüüd kaalume.

Tavalise murru teisendamiseks kümnendmurruks jagatakse murru lugeja nimetajaga, lugeja asendatakse esmalt võrdse kümnendmurruga, kus pärast koma on suvaline arv nulle (sellest oli juttu lõigus võrdne ja ebavõrdsed kümnendmurrud). Sel juhul toimub jagamine samamoodi nagu naturaalarvude veeruga jagamine ja jagatis pannakse koma, kui dividendi kogu osa jagamine lõpeb. Kõik see selgub allpool toodud näidete lahendustest.

Näide.

Teisendage murd 621/4 kümnendkohaks.

Lahendus.

Esitame arvu lugejas 621 kümnendmurruna, lisades kümnendkoha ja selle järele mitu nulli. Esmalt liidame 2 numbrit 0, hiljem saame vajadusel alati nulle juurde panna. Seega on meil 621.00.

Nüüd jagame arvu 621 000 veeruga 4-ga. Esimesed kolm sammu ei erine naturaalarvude jagamisest veeruga, mille järel jõuame järgmise pildini:

Nii jõuame dividendis kümnendkohani ja jääk erineb nullist. Sel juhul paneme jagatisesse koma ja jätkame veerus jagamist, pööramata tähelepanu komadele:

See lõpetab jagamise ja selle tulemusena saame kümnendmurruks 155,25, mis vastab algsele harilikule murrule.

Vastus:

155,25 .

Materjali konsolideerimiseks kaaluge mõne muu näite lahendust.

Näide.

Teisendage murd 21/800 kümnendkohaks.

Lahendus.

Selle hariliku murru kümnendmurruks teisendamiseks jagame kümnendmurru veeruga 21 000... 800-ga. Pärast esimest sammu peame jagatisesse panema koma ja seejärel jätkama jagamist:

Lõpuks saime jäägi 0, see lõpetab hariliku murru 21/400 teisendamise kümnendmurruks ja jõudsime kümnendmurruni 0,02625.

Vastus:

0,02625 .

Võib juhtuda, et jagades lugeja hariliku murru nimetajaga, ei saa me ikkagi jääki 0. Nendel juhtudel võib jagamist jätkata lõputult. Kuid alates teatud sammust hakkavad jäägid perioodiliselt korduma ja korduvad ka jagatis olevad numbrid. See tähendab, et algne murd teisendatakse lõpmatuks perioodiliseks kümnendmurruks. Näitame seda näitega.

Näide.

Kirjutage murd 19/44 kümnendkohana.

Lahendus.

Hariliku murru kümnendkohaks teisendamiseks jagage veeruga:

Juba praegu on selge, et jagamisel hakkasid korduma jäägid 8 ja 36, ​​samas kui jagatis korduvad numbrid 1 ja 8. Seega teisendatakse algne harilik murd 19/44 perioodiliseks kümnendmurruks 0,43181818...=0,43(18).

Vastus:

0,43(18) .

Selle punkti lõpetuseks selgitame välja, milliseid tavalisi murde saab teisendada lõplikeks kümnendmurdudeks ja milliseid saab teisendada ainult perioodilisteks.

Olgu meie ees taandamatu harilik murd (kui murd on taandatav, siis kõigepealt taandame murdu) ja peame välja selgitama, milliseks kümnendmurruks seda saab teisendada - lõplikuks või perioodiliseks.

On selge, et kui hariliku murru saab taandada ühele nimetajatest 10, 100, 1000, ..., siis saab saadud murru eelmises lõigus käsitletud reeglite kohaselt hõlpsasti teisendada lõplikuks kümnendmurruks. Aga nimetajatele 10, 100, 1000 jne. Kõiki harilikke murde ei ole antud. Sellisteks nimetajateks saab taandada ainult neid murde, mille nimetajateks on vähemalt üks arvudest 10, 100, ... Ja millised arvud võivad olla 10, 100, ... jagajad? Arvud 10, 100, ... võimaldavad meil sellele küsimusele vastata ja need on järgmised: 10 = 2 5, 100 = 2 2 5 5, 1000 = 2 2 2 5 5 5, .... Sellest järeldub, et jagajad on 10, 100, 1000 jne. Saab olla ainult arve, mille algteguriteks jaotus sisaldab ainult numbreid 2 ja (või) 5.

Nüüd saame teha üldise järelduse tavaliste murdude kümnendkohtadeks teisendamise kohta:

  • kui nimetaja lagundamisel algteguriteks esinevad ainult arvud 2 ja (või) 5, siis saab selle murru teisendada lõplikuks kümnendmurruks;
  • kui nimetaja laienduses esinevad lisaks kahele ja viiele ka teised algarvud, siis teisendatakse see murd lõpmatuks kümnendkohaks perioodiliseks murdeks.

Näide.

Ilma tavalisi murde kümnendmurrudeks teisendamata öelge mulle, milliseid murde 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 saab teisendada lõplikuks kümnendmurruks ja milliseid saab teisendada ainult perioodiliseks murdeks.

Lahendus.

Murru 47/20 nimetaja jagatakse algteguriteks 20=2·2·5. Selles laienduses on ainult kahed ja viied, nii et selle murdosa saab taandada ühele nimetajatest 10, 100, 1000, ... (selles näites nimetajaks 100), mistõttu saab selle teisendada lõplikuks kümnendkohaks. murdosa.

Murru 7/12 nimetaja jagatakse algteguriteks 12=2·2·3. Kuna see sisaldab algtegurit 3, mis erineb 2-st ja 5-st, ei saa seda murdosa esitada lõpliku kümnendkohana, vaid selle saab teisendada perioodiliseks kümnendkohaks.

Murd 21/56 – kontraktiilne, pärast kokkutõmbumist võtab vormi 3/8. Nimetaja faktoriseerimine algteguriteks sisaldab kolme tegurit, mis on võrdne 2-ga, seetõttu saab hariliku murru 3/8 ja seega võrdse murdosa 21/56 teisendada lõplikuks kümnendmurruks.

Lõpuks on murru 31/17 nimetaja laiendus 17, mistõttu seda murdu ei saa teisendada lõplikuks kümnendmurruks, vaid seda saab teisendada lõpmatuks perioodiliseks murdeks.

Vastus:

47/20 ja 21/56 saab teisendada lõplikuks kümnendmurruks, kuid 7/12 ja 31/17 saab teisendada ainult perioodiliseks murdeks.

Tavalisi murde ei teisendata lõpmatuteks mitteperioodilisteks kümnendkohtadeks

Eelmises lõigus esitatud teave tekitab küsimuse: "Kas murdosa lugeja jagamine nimetajaga võib anda lõpmatu mitteperioodilise murdosa?"

Vastus: ei. Hariliku murru teisendamisel võib tulemuseks olla kas lõplik kümnendmurd või lõpmatu perioodiline kümnendmurd. Selgitame, miks see nii on.

Jäägiga jagatavuse teoreemist selgub, et jääk on alati väiksem kui jagaja, st kui jagame mingi täisarvu täisarvuga q, siis saab jääk olla ainult üks arvudest 0, 1, 2 , ..., q−1. Sellest järeldub, et pärast seda, kui veerg on lõpetanud hariliku murru lugeja täisarvu jagamise nimetajaga q, tekib mitte rohkem kui q sammuga üks kahest järgmisest olukorrast:

  • või saame jäägi 0, see lõpetab jagamise ja saame viimase kümnendmurru;
  • või saame juba varem ilmunud jäägi, mille järel jäägid hakkavad korduma nagu eelmises näites (kuna võrdsete arvude jagamisel q-ga saadakse võrdsed jäägid, mis tuleneb juba mainitud jaguvuse teoreemist), see tulemuseks on lõpmatu perioodiline kümnendmurd.

Muid võimalusi ei saa olla, seetõttu ei saa hariliku murru kümnendmurruks teisendamisel lõpmatut mitteperioodilist kümnendmurdu saada.

Selles lõigus toodud põhjendustest järeldub ka, et kümnendmurru perioodi pikkus on alati väiksem kui vastava hariliku murru nimetaja väärtus.

Kümnendkohtade teisendamine murdudeks

Nüüd mõtleme välja, kuidas teisendada kümnendmurd tavaliseks murruks. Alustuseks teisendame viimased kümnendmurrud tavalisteks murdudeks. Pärast seda käsitleme meetodit lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude ümberpööramiseks. Kokkuvõtteks ütleme lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdude tavalisteks murdudeks teisendamise võimatuse kohta.

Lõpu kümnendkoha teisendamine murdudeks

Viimase kümnendkohana kirjutatud murru saamine on üsna lihtne. Lõpliku kümnendmurru harilikuks murruks teisendamise reegel koosneb kolmest etapist:

  • esiteks kirjuta etteantud kümnendmurd lugejasse, olles eelnevalt kõrvale jätnud koma ja kõik vasakul olevad nullid, kui neid on;
  • teiseks kirjuta nimetajasse üks ja lisa sellele nii palju nulle, kui palju on koma pärast esialgses kümnendmurrus nulle;
  • kolmandaks, vajadusel vähendage saadud murdosa.

Vaatame näidete lahendusi.

Näide.

Teisendage koma 3,025 murdarvuks.

Lahendus.

Kui eemaldame koma algsest kümnendmurdust, saame arvu 3025. Vasakul pole ühtegi nulli, mille me ära jätaksime. Seega kirjutame soovitud murru lugejasse 3025.

Kirjutame nimetajasse arvu 1 ja lisame sellest paremale 3 nulli, kuna algses kümnendmurrus on pärast koma 3 numbrit.

Nii saime hariliku murru 3025/1000. Seda murdosa saab vähendada 25 võrra, saame .

Vastus:

.

Näide.

Teisenda kümnendmurd 0,0017 murruks.

Lahendus.

Ilma komata näeb esialgne kümnendmurd välja nagu 00017, vasakpoolsed nullid kõrvale jättes saame numbri 17, mis on soovitud hariliku murru lugeja.

Nimetajasse kirjutame ühe nelja nulliga, kuna algsel kümnendmurul on pärast koma 4 kohta.

Selle tulemusena on meil tavaline murd 17/10 000. See murd on taandamatu ja kümnendmurru teisendamine tavaliseks murruks on lõppenud.

Vastus:

.

Kui algse lõpliku kümnendmurru täisarvuline osa on nullist erinev, saab selle kohe teisendada segaarvuks, jättes harilikust murrust mööda. Anname reegel lõpliku kümnendmurru teisendamiseks segaarvuks:

  • arv enne koma tuleb kirjutada soovitud segaarvu täisarvuna;
  • murdosa lugejasse peate kirjutama algse kümnendmurru murdosast saadud arvu pärast kõigi vasakpoolsete nullide eemaldamist;
  • murdosa nimetajasse tuleb kirjutada arv 1, millele lisada paremale nii palju nulle, kui palju on pärast koma esialgses kümnendmurrus numbreid;
  • vajadusel vähenda saadud segaarvu murdosa.

Vaatame näidet kümnendmurru teisendamiseks segaarvuks.

Näide.

Avaldage kümnendmurd 152,06005 segaarvuna

Oleme juba öelnud, et on olemas murded tavaline Ja kümnend. Siinkohal oleme murdude kohta veidi õppinud. Saime teada, et on tavalisi ja valesid murde. Samuti saime teada, et harilikke murde saab vähendada, liita, lahutada, korrutada ja jagada. Ja saime ka teada, et on olemas nn segaarvud, mis koosnevad täisarvust ja murdosast.

Me pole harilikke murde veel täielikult uurinud. On palju nüansse ja üksikasju, millest tuleks rääkida, kuid täna hakkame uurima kümnend murrud, kuna harilikke ja kümnendmurde tuleb sageli kombineerida. See tähendab, et ülesannete lahendamisel tuleb kasutada mõlemat tüüpi murde.

See õppetund võib tunduda keeruline ja segane. See on täiesti normaalne. Seda tüüpi õppetunnid nõuavad, et neid uuritaks ja neid ei tohi pealiskaudselt üle vaadata.

Tunni sisu

Koguste väljendamine murdosa kujul

Mõnikord on mugav näidata midagi murdosa kujul. Näiteks kümnendik detsimeetrist kirjutatakse järgmiselt:

See väljend tähendab, et üks detsimeeter jagati kümneks võrdseks osaks ja neist kümnest osast võeti üks osa. Ja üks osa kümnest on sel juhul võrdne ühe sentimeetriga:

Mõelge järgmisele näitele. Näidake murdosa kujul 6 cm ja veel 3 mm sentimeetrites.

Niisiis, peate näitama 6 cm ja 3 mm sentimeetrites, kuid murdosa kujul. Meil on juba tervelt 6 sentimeetrit:

Aga 3 millimeetrit on veel jäänud. Kuidas näidata neid 3 millimeetrit ja sentimeetrites? Murrud tulevad appi. Üks sentimeeter on kümme millimeetrit. Kolm millimeetrit on kolm osa kümnest. Ja kolm osa kümnest on kirjutatud cm-na

Väljend cm tähendab, et üks sentimeeter jagati kümneks võrdseks osaks ja neist kümnest osast võeti kolm osa.

Selle tulemusel on meil kuus tervet sentimeetrit ja kolm kümnendikku sentimeetrit:

Sel juhul näitab 6 täissentimeetrite arvu ja murdosa sentimeetrite arvu. Seda murdosa loetakse kui "kuus koma kolm sentimeetrit".

Murrud, mille nimetajas on arvud 10, 100, 1000, võib kirjutada ilma nimetajata. Kõigepealt kirjutage kogu osa ja seejärel murdosa lugeja. Täisarvuline osa eraldatakse murdosa lugejast komaga.

Näiteks kirjutame selle ilma nimetajata. Kõigepealt paneme kirja kogu osa. Kogu osa on 6

Kogu osa salvestatakse. Kohe pärast kogu osa kirjutamist paneme koma:

Ja nüüd kirjutame üles murdosa lugeja. Segaarvus on murdosa lugejaks arv 3. Komakoha järele kirjutame kolm:

Kutsutakse suvalist numbrit, mis on sellel kujul esitatud kümnend.

Seetõttu saate kümnendmurru abil näidata sentimeetrites 6 cm ja veel 3 mm:

6,3 cm

See näeb välja selline:

Tegelikult on kümnendkohad samad, mis tavalised murrud ja segaarvud. Selliste murdude eripära on see, et nende murdosa nimetaja sisaldab numbreid 10, 100, 1000 või 10000.

Nagu segaarvul, on ka kümnendmurul täisarvuline osa ja murdosa. Näiteks segaarvu puhul on täisarv 6 ja murdosa on .

Kümnendmurrus 6.3 on täisarvu osaks arv 6 ja murdosa on murdosa lugeja, st arv 3.

Juhtub ka seda, et harilikud murrud, mille nimetajas on arvud 10, 100, 1000 on antud ilma täisarvuta. Näiteks murdosa antakse ilma täisosata. Sellise murdarvu kümnendkohana kirjutamiseks kirjutage esmalt 0, seejärel pange koma ja kirjutage murru lugeja. Murd ilma nimetajata kirjutatakse järgmiselt:

Loeb nagu "null punkt viis".

Segaarvude teisendamine kümnendkohtadeks

Kui kirjutame segaarvud ilma nimetajata, teisendame need seega kümnendmurrudeks. Murdude kümnendkohtadeks teisendamisel peate teadma mõnda asja, millest me nüüd räägime.

Pärast kogu osa üleskirjutamist on vaja lugeda murdosa nimetaja nullide arv, kuna murdosa nullide arv ja kümnendmurrus pärast koma olevate numbrite arv peab olema sama. Mida see tähendab? Kaaluge järgmist näidet:

Esiteks

Ja murdosa lugeja võiks kohe kirja panna ja kümnendmurd ongi valmis, aga kindlasti tuleb murdosa nimetaja nullide arv kokku lugeda.

Niisiis loendame nullide arvu segaarvu murdosas. Murdosa nimetaja on üks null. See tähendab, et kümnendmurrus on pärast koma üks koht ja see number on segaarvu murdosa lugeja, see tähendab arvu 2

Seega, kui teisendada kümnendmurruks, saab segaarvust 3,2.

See kümnendmurd kõlab järgmiselt:

"Kolm koma kaks"

“Kümnendikud”, sest segaarvu murdosa sisaldab arvu 10.

Näide 2. Segaarvu teisendamine kümnendkohaks.

Kirjutage kogu osa üles ja pange koma:

Ja murdosa lugeja võiks kohe kirja panna ja saada kümnendmurruks 5,3, aga reegel ütleb, et pärast koma peaks olema sama palju numbreid, kui segaarvu murdosa nimetajas on nulle. Ja me näeme, et murdosa nimetajal on kaks nulli. See tähendab, et meie kümnendmurrus peab pärast koma olema kaks numbrit, mitte üks.

Sellistel juhtudel tuleb murdosa lugejat veidi muuta: lisage lugeja ette null, st numbri 3 ette.

Nüüd saate selle segaarvu teisendada kümnendmurruks. Kirjutage kogu osa üles ja pange koma:

Ja kirjutage üles murdosa lugeja:

Kümnendmurd 5.03 loetakse järgmiselt:

"Viis koma kolm"

“Sajad”, kuna segaarvu murdosa nimetaja sisaldab arvu 100.

Näide 3. Segaarvu teisendamine kümnendkohaks.

Eelnevatest näidetest saime teada, et segaarvu edukaks teisendamiseks kümnendkohaks peab numbrite arv murru lugejas ja nullide arv murdosa nimetajas olema sama.

Enne segaarvu kümnendmurruks teisendamist tuleb selle murdosa veidi muuta, nimelt veendumaks, et numbrite arv murdosa lugejas ja nullide arv murdosa nimetajas on sama.

Kõigepealt vaatame murdosa nimetaja nullide arvu. Näeme, et seal on kolm nulli:

Meie ülesanne on korraldada murdosa lugejas kolm numbrit. Meil on juba üks number - see on number 2. Jääb lisada veel kaks numbrit. Need on kaks nulli. Lisage need enne numbrit 2. Selle tulemusel on nimetaja nullide arv ja lugeja numbrite arv sama:

Nüüd saate hakata seda segaarvu kümnendmurruks teisendama. Kõigepealt kirjutame kogu osa üles ja paneme koma:

ja kirjutage kohe üles murdosa lugeja

3,002

Näeme, et numbrite arv pärast koma ja nullide arv segaarvu murdosa nimetajas on samad.

Kümnendmurd 3,002 loetakse järgmiselt:

"Kolm koma kaks tuhandikku"

"Tuhanded", kuna segaarvu murdosa nimetaja sisaldab arvu 1000.

Murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Harilikke murde, mille nimetaja on 10, 100, 1000 või 10 000, saab samuti teisendada kümnendkohtadeks. Kuna harilikul murdel pole täisarvu, siis kirjuta esmalt 0, seejärel pane koma ja kirjuta üles murdosa lugeja.

Ka siin peab nullide arv nimetajas ja numbrite arv lugejas olema sama. Seetõttu peaksite olema ettevaatlik.

Näide 1.

Kogu osa on puudu, nii et kõigepealt kirjutame 0 ja paneme koma:

Nüüd vaatame nimetaja nullide arvu. Näeme, et on üks null. Ja lugejal on üks number. See tähendab, et saate kümnendmurdu ohutult jätkata, kirjutades pärast koma arvu 5

Saadud kümnendmurrus 0,5 on numbrite arv pärast koma ja nullide arv murdosa nimetajas sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.

Kümnendmurd 0,5 loetakse järgmiselt:

"Null punkt viis"

Näide 2. Teisenda murdosa kümnendkohaks.

Terve osa on puudu. Kõigepealt kirjutame 0 ja paneme koma:

Nüüd vaatame nimetaja nullide arvu. Näeme, et seal on kaks nulli. Ja lugejas on ainult üks number. Et numbrite ja nullide arv oleks sama, lisage lugejasse numbri 2 ette üks null. Seejärel võtab murd kuju . Nüüd on nimetaja nullide arv ja lugeja numbrite arv sama. Nii et saate kümnendmurdu jätkata:

Saadud kümnendmurrus 0,02 on kümnendkoha järel olevate numbrite arv ja murdosa nimetaja nullide arv sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.

Kümnendmurd 0,02 loetakse järgmiselt:

"Null punkt kaks."

Näide 3. Teisenda murdosa kümnendkohaks.

Kirjutage 0 ja pange koma:

Nüüd loeme nullide arvu murdosa nimetajas. Näeme, et nulli on viis ja lugejas on ainult üks number. Selleks, et nimetaja nullide arv ja lugejas olevate numbrite arv oleksid samad, peate enne numbrit 5 lisama lugejasse neli nulli:

Nüüd on nimetaja nullide arv ja lugeja numbrite arv sama. Seega võime jätkata kümnendmurruga. Kirjuta koma järel oleva murru lugeja

Saadud kümnendmurrus 0,00005 on pärast koma olevate numbrite arv ja murdosa nimetaja nullide arv sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.

Kümnendmurd 0,00005 loetakse järgmiselt:

"Null koma viissada tuhandikku."

Sobimatute murdude teisendamine kümnendkohtadeks

Vale murd on murd, mille lugeja on nimetajast suurem. On valesid murde, mille nimetaja sisaldab numbreid 10, 100, 1000 või 10000. Selliseid murde saab teisendada kümnendkohtadeks. Kuid enne kümnendmurruks teisendamist tuleb sellised murrud eraldada kogu osaks.

Näide 1.

Murd on vale murd. Sellise murru kümnendkohaks teisendamiseks peate esmalt valima kogu selle osa. Tuletagem meelde, kuidas eraldada kogu valede murdude osa. Kui olete unustanud, soovitame teil selle juurde tagasi pöörduda ja seda uurida.

Niisiis, tõstkem esile kogu osa vales murdes. Tuletage meelde, et murd tähendab jagamist - antud juhul arvu 112 jagamist arvuga 10

Vaatame seda pilti ja paneme kokku uue seganumbri, nagu laste ehituskomplekt. Arv 11 on täisarvuline osa, number 2 on murdosa lugeja ja number 10 on murdosa nimetaja.

Saime segase numbri. Teisendame selle kümnendmurruks. Ja me juba teame, kuidas selliseid arve kümnendmurdudeks teisendada. Kõigepealt kirjutame kogu osa üles ja paneme koma:

Nüüd loeme nullide arvu murdosa nimetajas. Näeme, et on üks null. Ja murdosa lugejal on üks number. See tähendab, et nullide arv murdosa nimetajas ja numbrite arv murdosa lugejas on samad. See annab meile võimaluse kohe pärast koma üles kirjutada murdosa lugeja:

Saadud kümnendmurrus 11.2 on kümnendkoha järel olevate numbrite arv ja murdosa nimetaja nullide arv sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.

See tähendab, et kümnendkohaks teisendatuna muutub vale murd 11,2.

Kümnendmurd 11.2 loetakse järgmiselt:

"Üksteist punkti kaks."

Näide 2. Teisenda vale murd kümnendkohaks.

See on vale murd, kuna lugeja on nimetajast suurem. Kuid selle saab teisendada kümnendmurruks, kuna nimetaja sisaldab arvu 100.

Kõigepealt valime selle murru kogu osa. Selleks jagage 450 nurgaga 100-ga:

Kogume uue seganumbri - saame . Ja me juba teame, kuidas seganumbreid kümnendmurdudeks teisendada.

Kirjutage kogu osa üles ja pange koma:

Nüüd loeme nullide arvu murdosa nimetajas ja numbrite arvu murdosa lugejas. Näeme, et nimetaja nullide arv ja lugeja numbrite arv on samad. See annab meile võimaluse kohe pärast koma üles kirjutada murdosa lugeja:

Saadud kümnendmurrus 4,50 on pärast koma olevate numbrite arv ja murdosa nimetaja nullide arv sama. See tähendab, et murdosa tõlgitakse õigesti.

See tähendab, et vale murd on kümnendkohaks teisendatuna 4,50.

Kui ülesandeid lahendades on kümnendmurru lõpus nullid, võib need kõrvale jätta. Jätame oma vastuses ka nulli maha. Siis saame 4,5

See on üks huvitavamaid asju kümnendkohtade juures. See seisneb selles, et murdosa lõpus olevad nullid ei anna sellele murdele mingit kaalu. Teisisõnu, kümnendkohad 4,50 ja 4,5 on võrdsed. Paneme nende vahele võrdusmärgi:

4,50 = 4,5

Tekib küsimus: miks see nii juhtub? 4,50 ja 4,5 näevad ju välja nagu erinevad murrud. Kogu saladus peitub murdude põhiomaduses, mida me varem uurisime. Püüame tõestada, miks kümnendmurrud 4,50 ja 4,5 on võrdsed, kuid pärast järgmise teema uurimist, mida nimetatakse "kümnendmurru teisendamiseks segaarvuks".

Kümnendarvu teisendamine segaarvuks

Mis tahes kümnendmurru saab teisendada tagasi segaarvuks. Selleks piisab kümnendmurdude lugemise oskusest. Näiteks teisendame 6.3 segaarvuks. 6,3 on kuus koma kolm. Kõigepealt kirjutame üles kuus täisarvu:

ja kolme kümnendiku kõrval:

Näide 2. Teisenda kümnendarvu 3,002 segaarvuks

3,002 on kolm tervet ja kaks tuhandikku. Kõigepealt kirjutame üles kolm täisarvu

ja selle kõrvale kirjutame kaks tuhandikku:

Näide 3. Teisenda kümnendarvu 4,50 segaarvuks

4.50 on neli koma viiskümmend. Kirjutage üles neli täisarvu

ja järgmised viiskümmend sajandikku:

Muide, meenutagem viimast näidet eelmisest teemast. Ütlesime, et kümnendkohad 4,50 ja 4,5 on võrdsed. Ütlesime ka, et nulli võib ära visata. Proovime tõestada, et kümnendkohad 4,50 ja 4,5 on võrdsed. Selleks teisendame mõlemad kümnendmurrud segaarvudeks.

Segaarvuks teisendamisel saab kümnendarvust 4,50 ja kümnendarvust 4,5

Meil on kaks seganumbrit ja . Teisendame need segaarvud valedeks murdudeks:

Nüüd on meil kaks murdu ja . On aeg meeles pidada murru põhiomadust, mis ütleb, et kui korrutada (või jagada) murdosa lugeja ja nimetaja sama arvuga, siis murdu väärtus ei muutu.

Jagame esimese murru 10-ga

Saime ja see on teine ​​murd. See tähendab, et mõlemad on üksteisega võrdsed ja võrdsed sama väärtusega:

Proovige kalkulaatoriga jagada kõigepealt 450 100-ga ja seejärel 45 10-ga. See saab olema naljakas asi.

Kümnendmurru teisendamine murruks

Iga kümnendmurru saab teisendada tagasi murdeks. Selleks piisab jällegi kümnendmurdude lugemise oskusest. Näiteks teisendame 0,3 harilikuks murruks. 0,3 on null punkt kolm. Kõigepealt kirjutame üles null täisarvu:

ja kolme kümnendiku kõrval 0. Nulli traditsiooniliselt üles ei kirjutata, seega ei saa lõplikuks vastuseks 0, vaid lihtsalt .

Näide 2. Teisenda kümnendmurd 0,02 murruks.

0,02 on null punkt kaks. Me ei kirjuta nulli, seega kirjutame kohe kaks sajandikku

Näide 3. Teisendage 0,00005 murdarvuks

0,00005 on null punkt viis. Me ei kirjuta nulli, seega kirjutame kohe viissada tuhandikku

Kas teile tund meeldis?
Liituge meie uue VKontakte grupiga ja hakake uute õppetundide kohta märguandeid saama

Murrud

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga…")

Murrud ei ole keskkoolis eriti häirivad. Praeguseks. Kuni kohtate ratsionaalsete eksponentide ja logaritmidega võimsusi. Ja seal... Vajutate ja vajutate kalkulaatorit ning see kuvab mõned numbrid täisekraanil. Peaga tuleb mõelda nagu kolmandas klassis.

Mõelgem lõpuks välja murdarvud! No kui palju saab nendes segadusse minna!? Pealegi on see kõik lihtne ja loogiline. Niisiis, millised on murdude tüübid?

Murdude tüübid. Transformatsioonid.

On kolme tüüpi murde.

1. Harilikud murded , Näiteks:

Mõnikord panevad nad horisontaalse joone asemel kaldkriipsu: 1/2, 3/4, 19/5, hästi jne. Siin kasutame sageli seda kirjaviisi. Ülemine number helistatakse lugeja, madalam - nimetaja. Kui ajate neid nimesid pidevalt segamini (juhtub ...), öelge endale fraas: " Zzzzz jäta meelde! Zzzzz nimetaja – vaata zzzzz uh!" Vaata, kõik jääb zzzz meelde.)

Kriips, kas horisontaalne või kaldu, tähendab jaotusülemisest numbrist (lugeja) kuni alumiseni (nimetaja). See on kõik! Kriipsu asemel on täiesti võimalik panna jagamismärk - kaks punkti.

Kui täielik jagamine on võimalik, tuleb seda teha. Nii et murdosa “32/8” asemel on palju meeldivam kirjutada number “4”. Need. 32 jagatakse lihtsalt 8-ga.

32/8 = 32: 8 = 4

Ma ei räägi isegi murdosast "4/1". Mis on samuti lihtsalt "4". Ja kui see pole täielikult jagatav, jätame selle murdosaks. Mõnikord peate tegema vastupidise toimingu. Teisendage täisarv murruks. Aga sellest pikemalt hiljem.

2. Kümnendkohad , Näiteks:

Sellel kujul peate üles kirjutama ülesannete “B” vastused.

3. Seganumbrid , Näiteks:

Seganumbreid gümnaasiumis praktiliselt ei kasutata. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Aga sa pead seda kindlasti suutma! Muidu tuled probleemis sellise numbri peale ja tardud... Eikusagilt. Kuid me jätame selle protseduuri meelde! Natuke madalam.

Kõige mitmekülgsem harilikud murded. Alustame nendega. Muide, kui murd sisaldab igasuguseid logaritme, siinusi ja muid tähti, ei muuda see midagi. Selles mõttes, et kõik murdosaavaldistega toimingud ei erine tavaliste murdudega toimingutest!

Murru põhiomadus.

Nii et lähme! Alustuseks üllatan teid. Kogu murruteisenduste mitmekesisus pakub üks omadus! Nii seda nimetatakse murdosa peamine omadus. Pidage meeles: Kui murdosa lugeja ja nimetaja korrutada (jagada) sama arvuga, siis murd ei muutu. Need:

Selge see, et kirjutamist võib jätkata kuni näost siniseks jäämiseni. Ärge laske siinustel ja logaritmidel end segadusse ajada, me tegeleme nendega edasi. Peaasi on mõista, et kõik need erinevad väljendid on sama murdosa . 2/3.

Kas me vajame seda, kõiki neid muutusi? Ja kuidas! Nüüd näete ise. Alustuseks kasutame murdosa põhiomadust for redutseerivad fraktsioonid. See tunduks elementaarne asi. Jaga lugeja ja nimetaja sama arvuga ja ongi kõik! Viga on võimatu teha! Aga... inimene on loov olend. Viga võib teha igal pool! Eriti kui pead vähendama mitte murdu nagu 5/10, vaid murdosavaldist igasuguste tähtedega.

Kuidas õigesti ja kiiresti murde vähendada ilma lisatööd tegemata, saab lugeda spetsiaalsest jaotisest 555.

Tavaline õpilane ei viitsi lugejat ja nimetajat sama arvuga (või avaldisega) jagada! Ta lihtsalt kriipsutab maha kõik, mis on ülalt ja alt sama! Siin varitseb tüüpiline viga, kui soovite, eksitus.

Näiteks peate avaldist lihtsustama:

Siin pole midagi mõelda, kriipsutage maha ülevalt täht "a" ja alt "2"! Saame:

Kõik on õige. Aga tõesti sa jagasid kõik lugeja ja kõik nimetaja on "a". Kui olete harjunud lihtsalt läbi kriipsutama, võite kiirustades avaldises maha kriipsutada

ja võta see uuesti

Mis oleks kategooriliselt vale. Sest siin kõik lugeja "a" peal on juba olemas ei jaga! Seda osa ei saa vähendada. Muide, selline vähendamine on õpetajale tõsine väljakutse. Seda ei andestata! Kas sa mäletad? Vähendamisel peate jagama kõik lugeja ja kõik nimetaja!

Murdude vähendamine muudab elu palju lihtsamaks. Kuskilt saad murdosa, näiteks 375/1000. Kuidas ma saan nüüd temaga koostööd jätkata? Ilma kalkulaatorita? Korruta, ütle, liita, ruut!? Ja kui te pole liiga laisk, siis vähendage seda ettevaatlikult viie võrra ja veel viie võrra ja isegi ... lühidalt, kui seda lühendatakse. Võtame 3/8! Palju ilusam, eks?

Murru põhiomadus võimaldab teisendada tavalised murrud kümnendkohtadeks ja vastupidi ilma kalkulaatorita! See on ühtse riigieksami jaoks oluline, eks?

Kuidas teisendada murde ühest tüübist teise.

Kümnendmurdudega on kõik lihtne. Nii nagu kuuldakse, nii kirjutatakse! Oletame, et 0,25. See on null koma kakskümmend viis sajandikku. Nii et me kirjutame: 25/100. Vähendame (jagame lugeja ja nimetaja 25-ga), saame tavalise murdosa: 1/4. Kõik. See juhtub ja midagi ei vähene. Nagu 0,3. See on kolm kümnendikku, s.o. 3/10.

Mis siis, kui täisarvud ei ole nullid? See on korras. Kirjutame kogu murdosa üles ilma ühegi komata lugejas ja nimetajas - kuuldu. Näiteks: 3.17. See on kolm koma seitseteist sajandikku. Lugejasse kirjutame 317 ja nimetajasse 100 Saame 317/100. Midagi ei vähendata, see tähendab kõike. See on vastus. Elementaarne Watson! Kõigest öeldust on kasulik järeldus: mis tahes kümnendmurru saab teisendada harilikuks murruks .

Kuid mõned inimesed ei saa ilma kalkulaatorita tavalisest kümnendkohani vastupidist teisendada. Ja see on vajalik! Kuidas ühtse riigieksami vastuse kirja panete!? Lugege hoolikalt läbi ja omandage see protsess.

Mis on kümnendmurru tunnus? Tema nimetaja on Alati maksab 10 või 100 või 1000 või 10 000 ja nii edasi. Kui teie harilikul murul on selline nimetaja, pole probleemi. Näiteks 4/10 = 0,4. Või 7/100 = 0,07. Või 12/10 = 1,2. Mis siis, kui jaotise “B” ülesande vastuseks osutus 1/2? Mida me vastuseks kirjutame? Kümakohad on kohustuslikud...

Jätame meelde murdosa peamine omadus ! Matemaatika võimaldab soodsalt korrutada lugeja ja nimetaja sama arvuga. Mida iganes, muide! Välja arvatud muidugi null. Nii et kasutame seda kinnisvara enda huvides! Millega saab nimetaja korrutada, s.t. 2, et sellest saaks 10, 100 või 1000 (väiksem on muidugi parem...)? Kell 5, ilmselgelt. Korrutage nimetaja vabalt (see on meie vajalik) 5-ga. Aga siis tuleb ka lugeja korrutada 5-ga. See juba on matemaatika nõuab! Saame 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. See on kõik.

Igasuguseid nimetajaid tuleb aga ette. Võite kohata näiteks murdosa 3/16. Proovige välja mõelda, millega korrutada 16, et saada 100 või 1000... Kas see ei tööta? Siis saate lihtsalt jagada 3 16-ga. Kalkulaatori puudumisel peate jagama nurgaga, paberil, nagu algkoolis õpetati. Saame 0,1875.

Ja on ka väga halbu nimetajaid. Näiteks murdu 1/3 ei saa kuidagi muuta heaks kümnendkohaks. Nii kalkulaatoril kui paberil saame 0,3333333... See tähendab, et 1/3 on täpne kümnendmurd ei tõlgi. Sama mis 1/7, 5/6 ja nii edasi. Neid on palju, tõlkimatud. See viib meid veel ühe kasuliku järelduseni. Iga murdosa ei saa teisendada kümnendkohaks !

Muide, see on kasulik teave enesetestimiseks. Jaotises "B" tuleb vastusesse kirjutada kümnendmurd. Ja sa said näiteks 4/3. Seda murdosa ei teisendata kümnendkohaks. See tähendab, et tegite kuskil vea! Minge tagasi ja kontrollige lahendust.

Niisiis, me arvasime välja tavalised ja kümnendmurrud. Jääb vaid tegeleda seganumbritega. Nendega töötamiseks tuleb need teisendada tavalisteks murdudeks. Kuidas seda teha? Saate kuuenda klassi õpilase kinni püüda ja temalt küsida. Kuid kuuenda klassi õpilane ei ole alati käepärast... Peate seda ise tegema. See ei ole raske. Murdosa nimetaja tuleb korrutada terve osaga ja lisada murdosa lugeja. See on hariliku murru lugeja. Aga nimetaja? Nimetaja jääb samaks. See kõlab keeruliselt, kuid tegelikult on kõik lihtne. Vaatame näidet.

Oletame, et te kohkusite, nähes probleemis olevat numbrit:

Rahulikult, ilma paanikata, mõtleme. Kogu osa on 1. Ühik. Murdosa on 3/7. Seetõttu on murdosa nimetaja 7. See nimetaja on hariliku murru nimetaja. Loendame lugeja. Korrutame 7 1-ga (täisarvuline osa) ja liidame 3 (murruosa lugeja). Saame 10. See on hariliku murru lugeja. See on kõik. Matemaatilises tähistuses tundub see veelgi lihtsam:

Kas on selge? Seejärel kindlustage oma edu! Teisenda tavalisteks murdudeks. Peaksite saama 10/7, 7/2, 23/10 ja 21/4.

Pöördtehte – vale murdu teisendamine segaarvuks – on keskkoolis harva nõutav. Noh, kui nii... Ja kui te ei käi keskkoolis, võite uurida spetsiaalset jaotist 555. Muide, sealt saate teada ka ebaõigete murdude kohta.

Noh, see on praktiliselt kõik. Sa mäletasid murdude tüüpe ja said aru Kuidas kandke need ühest tüübist teise. Küsimus jääb: Milleks tee seda? Kus ja millal neid sügavaid teadmisi rakendada?

Ma vastan. Iga näide ise viitab vajalikele toimingutele. Kui näites segatakse kokku tavalised murrud, kümnendkohad ja isegi segaarvud, teisendame kõik tavalisteks murdudeks. Seda saab alati teha. Noh, kui see ütleb midagi nagu 0,8 + 0,3, siis me arvestame seda nii, ilma igasuguse tõlketa. Miks me vajame lisatööd? Valime sobiva lahenduse meie !

Kui ülesanne on kõik kümnendmurrud, aga hm... mingid kurjad, siis minge tavaliste juurde, proovige! Vaata, kõik saab korda. Näiteks peate ruudu 0,125. See pole nii lihtne, kui te pole kalkulaatoriga harjunud! Sa ei pea mitte ainult veerus olevaid numbreid korrutama, vaid pead ka mõtlema, kuhu koma sisestada! See ei tööta kindlasti teie peas! Mis siis, kui liigume edasi hariliku murru juurde?

0,125 = 125/1000. Vähendame seda 5 võrra (see on mõeldud algajatele). Saame 25/200. Taaskord 5-ks. Saame 5/40. Oh, see kahaneb ikka veel! Tagasi 5 juurde! Saame 1/8. Me teeme selle lihtsalt (meeles!) nelinurkseks ja saame tulemuseks 1/64. Kõik!

Teeme selle õppetunni kokkuvõtte.

1. Murdeid on kolme tüüpi. Ühised, kümnend- ja seganumbrid.

2. Kümnend- ja segaarvud Alati saab teisendada tavalisteks murdudeks. Vastupidine ülekanne mitte alati saadaval.

3. Ülesandega töötavate murdude tüübi valik sõltub ülesandest endast. Kui ühes ülesandes on erinevat tüüpi murde, on kõige usaldusväärsem minna üle tavamurdudele.

Nüüd saate harjutada. Esmalt teisendage need kümnendmurrud tavalisteks murdudeks:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Peaksite saama sellised vastused (segaduses!):

Lõpetame siin. Selles õppetükis värskendasime oma mälu murdude kohta. Juhtub aga nii, et polegi midagi erilist värskendada...) Kui keegi on täiesti ära unustanud, või pole veel selgeks saanud... Siis saab minna spetsiaalsesse Sektsiooni 555. Kõik põhitõed on seal üksikasjalikult käsitletud. Paljud äkki mõista kõike algavad. Ja nad lahendavad murde käigu pealt).

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.