Job Crameri meetod. Lineaarvõrrandid

Sama arvu võrranditega kui tundmatute arv maatriksi peadeterminandiga, mis ei võrdu nulliga, süsteemi koefitsiendid (selliste võrrandite jaoks on lahendus ja on ainult üks).

Crameri teoreem.

Kui ruutsüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, tähendab see, et süsteem on järjekindel ja sellel on üks lahend ning see on leitav Crameri valemid:

kus Δ - süsteemi maatriksi determinant,

Δ i on süsteemi maatriksi determinant, milles selle asemel i Kolmas veerg sisaldab paremate külgede veergu.

Kui süsteemi determinant on null, tähendab see, et süsteem võib muutuda koostöövõimeliseks või ühildumatuks.

Seda meetodit kasutatakse tavaliselt väikeste süsteemide puhul, millel on ulatuslikud arvutused ja kui on vaja määrata üks tundmatutest. Meetodi keerukus seisneb selles, et tuleb arvutada palju determinante.

Crameri meetodi kirjeldus.

On olemas võrrandisüsteem:

Kolme võrrandi süsteemi saab lahendada Crameri meetodi abil, millest oli eespool juttu 2 võrrandisüsteemi puhul.

Koostame tundmatute koefitsientidest determinandi:

Saab olema süsteemi määraja. Millal D≠0, mis tähendab, et süsteem on järjepidev. Nüüd loome 3 täiendavat determinanti:

Lahendame süsteemi nii Crameri valemid:

Näited võrrandisüsteemide lahendamisest Crameri meetodil.

Näide 1.

Antud süsteem:

Lahendame selle Crameri meetodil.

Kõigepealt peate arvutama süsteemimaatriksi determinandi:

Sest Δ≠0, mis tähendab, et Crameri teoreemist lähtudes on süsteem järjekindel ja sellel on üks lahendus. Arvutame täiendavad determinandid. Determinant Δ 1 saadakse determinandist Δ, asendades selle esimese veeru vabade koefitsientide veeruga. Saame:

Samamoodi saame determinandi Δ 2 süsteemimaatriksi determinandist, asendades teise veeru vabade koefitsientide veeruga:

Vaatleme kolmest võrrandist koosnevat süsteemi kolme tundmatuga

3. järku determinante kasutades saab sellise süsteemi lahendi kirjutada samal kujul nagu kahe võrrandisüsteemi puhul, s.t.

(2.4)

kui 0. Siin

See on seal Crameri reegel kolmest tundmatust koosneva kolme lineaarvõrrandi süsteemi lahendamine.

Näide 2.3. Lahendage Crameri reegli abil lineaarvõrrandisüsteem:

Lahendus . Süsteemi põhimaatriksi determinandi leidmine

Kuna 0, siis süsteemile lahenduse leidmiseks saame rakendada Crameri reeglit, kuid kõigepealt arvutame veel kolm determinanti:

Eksam:

Seetõttu leiti lahendus õigesti. 

Teist ja kolmandat järku lineaarsete süsteemide jaoks saadud Crameri reeglid viitavad sellele, et samu reegleid saab sõnastada mis tahes järku lineaarsete süsteemide jaoks. Tõesti juhtub

Crameri teoreem. Lineaarvõrrandi ruutsüsteem süsteemi põhimaatriksi nullist erineva determinandiga (0) on üks ja ainult üks lahendus ja see lahendus arvutatakse valemite abil

(2.5)

Kus  – põhimaatriksi determinant,  i – maatriksi determinant, saadud peamisest, asendadesitasuta terminite veerus.

Pange tähele, et kui =0, siis Crameri reegel ei kehti. See tähendab, et süsteemil pole lahendusi üldse või on lahendusi lõpmatult palju.

Pärast Crameri teoreemi sõnastamist kerkib loomulikult küsimus kõrgema järgu determinantide arvutamisest.

2.4. N-ndat järku determinandid

Täiendav alaealine M ij element a ij on determinant, mis saadakse antud kustutamise teel i rida ja j veerus. Algebraline komplement A ij element a ij kutsutakse selle elemendi molli, mis on võetud märgiga (–1). i + j, st. A ij = (–1) i + j M ij .

Näiteks leiame elementide minoorsed ja algebralised täiendid a 23 ja a 31 kvalifikatsiooni

Saame



Kasutades algebralise komplemendi mõistet, saame sõnastada determinantide laiendusteoreemn- järjekorras rea või veeru järgi.

Teoreem 2.1. MaatriksdeterminantAon võrdne teatud rea (või veeru) kõigi elementide korrutistega nende algebraliste täiendite järgi:

(2.6)

See teoreem on ühe peamise determinantide arvutamise meetodi, nn. tellimuste vähendamise meetod. Determinandi laienemise tulemusena n järjekorras üle mis tahes rea või veeru, saame n determinanti ( n–1) järjekorras. Et selliseid determinante oleks vähem, on soovitatav valida rida või veerg, millel on kõige rohkem nulle. Praktikas kirjutatakse determinandi laiendusvalem tavaliselt järgmiselt:

need. algebralised liited on kirjutatud selgesõnaliselt alaealiste terminites.

Näited 2.4. Arvutage determinandid, sorteerides need esmalt mõnda rida või veergu. Tavaliselt valige sellistel juhtudel veerg või rida, millel on kõige rohkem nulle. Valitud rida või veerg tähistatakse noolega.



2.5. Determinantide põhiomadused

Laiendades determinanti üle mis tahes rea või veeru, saame n determinanti ( n–1) järjekorras. Seejärel kõik need determinandid ( n–1) järgu saab laiendada ka determinantide summaks ( n–2) järjekorras. Seda protsessi jätkates võib jõuda 1. järku determinantideni, s.o. maatriksi elementidele, mille determinant arvutatakse. Seega peate 2. järku determinantide arvutamiseks arvutama kahe liikme summa, 3. järku determinantide jaoks - 6 liikme summa, 4. järku determinantide jaoks - 24 liikme summa. Terminite arv suureneb järsult, kui determinandi järjestus suureneb. See tähendab, et väga kõrgete tellimuste determinantide arvutamine muutub üsna töömahukaks ülesandeks, mis ületab isegi arvuti võimeid. Determinante saab aga arvutada ka muul viisil, kasutades determinantide omadusi.

Vara 1 . Determinant ei muutu, kui selles olevaid ridu ja veerge vahetada, s.t. maatriksi transponeerimisel:

See omadus näitab determinandi ridade ja veergude võrdsust. Teisisõnu, iga väide determinandi veergude kohta kehtib ka selle ridade kohta ja vastupidi.

Vara 2 . Kahe rea (veeru) vahetamisel muudab determinant märki.

Tagajärg . Kui determinandil on kaks identset rida (veeru), siis on see võrdne nulliga.

Vara 3 . Mis tahes rea (veeru) kõigi elementide ühisteguri saab determinandi märgist välja võtta.

Näiteks,

Tagajärg . Kui determinandi teatud rea (veeru) kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis determinant ise on võrdne nulliga.

Vara 4 . Determinant ei muutu, kui ühe rea (veeru) elemendid liidetakse teise rea (veeru) elementidele, korrutatuna mis tahes arvuga.

Näiteks,

Vara 5 . Maatriksite korrutise determinant on võrdne maatriksite determinantide korrutisega:

2. Võrrandisüsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).
3. Gaussi meetod võrrandisüsteemide lahendamiseks.

Crameri meetod.

Crameri meetodit kasutatakse lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks ( SLAU).

Valemid kahe muutujaga kahe võrrandisüsteemi näitel.
Arvestades: Lahendage süsteem Crameri meetodil

Muutujate osas X Ja juures.
Lahendus:
Leiame maatriksi determinandi, mis koosneb süsteemi Determinantide arvutamise kordajatest. :

Rakendame Crameri valemeid ja leiame muutujate väärtused:
Ja .
Näide 1:
Lahendage võrrandisüsteem:

muutujate osas X Ja juures.
Lahendus:

Asendame selle determinandi esimese veeru koefitsientide veeruga süsteemi paremalt küljelt ja leiame selle väärtuse:

Teeme sarnase asja, asendades esimese determinandi teise veeru:

Kohaldatav Crameri valemid ja leidke muutujate väärtused:
Ja .
Vastus:
Kommentaar: Selle meetodiga saab lahendada suuremate mõõtmetega süsteeme.

Kommentaar: Kui selgub, et , kuid seda ei saa nulliga jagada, siis öeldakse, et süsteemil pole ainulaadset lahendust. Sel juhul on süsteemil kas lõpmatult palju lahendusi või pole lahendusi üldse.

Näide 2(lõpmatu arv lahendusi):

Lahendage võrrandisüsteem:

muutujate osas X Ja juures.
Lahendus:
Leiame süsteemi koefitsientidest koosneva maatriksi determinandi:

Süsteemide lahendamine asendusmeetodil.

Süsteemi esimene võrrand on võrdus, mis kehtib muutujate mis tahes väärtuste kohta (kuna 4 on alati võrdne 4-ga). See tähendab, et järel on ainult üks võrrand. See on muutujate vahelise seose võrrand.
Leidsime, et süsteemi lahendus on mis tahes muutujate väärtuste paar, mis on omavahel seotud võrdsuse kaudu.
Üldine lahendus kirjutatakse järgmiselt:
Konkreetseid lahendusi saab määrata, valides y suvalise väärtuse ja arvutades selle seose võrrandi põhjal x.

jne.
Selliseid lahendusi on lõpmatult palju.
Vastus:ühine otsus
Privaatsed lahendused:

Näide 3(lahendusi pole, süsteem ei ühildu):

Lahendage võrrandisüsteem:

Lahendus:
Leiame süsteemi koefitsientidest koosneva maatriksi determinandi:

Crameri valemeid ei saa kasutada. Lahendame selle süsteemi asendusmeetodil

Süsteemi teine võrrand on võrdsus, mis ei kehti muutujate ühegi väärtuse puhul (muidugi, kuna -15 ei ole võrdne 2-ga). Kui üks süsteemi võrranditest ei vasta ühelegi muutuja väärtusele, siis pole kogu süsteemil lahendusi.
Vastus: lahendusi pole

Esimeses osas vaatlesime mõningast teoreetilist materjali, asendusmeetodit, aga ka süsteemivõrrandite terminite kaupa liitmise meetodit. Soovitan kõigil, kes saidile selle lehe kaudu sisenesid, esimene osa läbi lugeda. Võib-olla on mõnele külastajale materjal liiga lihtne, kuid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamise käigus tegin ma mitmeid väga olulisi kommentaare ja järeldusi matemaatikaülesannete lahendamise kohta üldiselt.

Nüüd analüüsime Crameri reeglit, aga ka lineaarvõrrandisüsteemi lahendamist pöördmaatriksi abil (maatriksmeetod). Kõik materjalid on esitatud lihtsalt, üksikasjalikult ja selgelt, peaaegu kõik lugejad saavad õppida ülaltoodud meetodeid kasutades süsteeme lahendama.

Esmalt vaatleme lähemalt Crameri reeglit kahes tundmatuses kahe lineaarvõrrandi süsteemi kohta. Milleks? – Kõige lihtsama süsteemi saab ju lahendada koolimeetodil, termini haaval liitmise meetodil!

Fakt on see, et kuigi mõnikord, tuleb selline ülesanne ette - lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandi süsteem Crameri valemite abil. Teiseks aitab lihtsam näide mõista, kuidas kasutada Crameri reeglit keerukama juhtumi puhul – kolmest võrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga.

Lisaks on olemas kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemid, mida on soovitav lahendada Crameri reegli abil!

Mõelge võrrandisüsteemile

Esimeses etapis arvutame determinandi, seda nimetatakse süsteemi peamine määraja.

Gaussi meetod.

Kui , siis on süsteemil ainulaadne lahendus ja juurte leidmiseks peame arvutama veel kaks determinanti:
Ja

Praktikas võib ülaltoodud määrajaid tähistada ka ladina tähega.

Leiame võrrandi juured, kasutades valemeid:
,

Näide 7

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem

Lahendus: Näeme, et võrrandi koefitsiendid on üsna suured, paremal pool on komaga kümnendmurrud. Koma on matemaatika praktilistes ülesannetes üsna haruldane külaline, võtsin selle süsteemi ökonomeetrilisest ülesandest.

Kuidas sellist süsteemi lahendada? Võite proovida väljendada üht muutujat teise terminites, kuid sel juhul jõuate tõenäoliselt kohutavate väljamõeldud murdudeni, millega on äärmiselt ebamugav töötada ja lahenduse kujundus näeb lihtsalt kohutav välja. Saate teise võrrandi korrutada 6-ga ja lahutada liikme kaupa, kuid samad murrud tekivad ka siin.

Mida teha? Sellistel juhtudel tulevad appi Crameri valemid.

;

Vastus: ,

Mõlemal juurtel on lõpmatu saba ja neid leitakse ligikaudu, mis on ökonomeetriaprobleemide jaoks üsna vastuvõetav (ja isegi tavaline).

Siin pole kommentaare vaja, kuna ülesanne lahendatakse valmis valemite abil, kuid siin on üks hoiatus. Selle meetodi kasutamisel kohustuslikÜlesande kujunduse fragment on järgmine fragment: "See tähendab, et süsteemil on ainulaadne lahendus". Vastasel juhul võib arvustaja teid Crameri teoreemi mitteaustamise eest karistada.

Ei oleks üleliigne kontrollida, mida saab mugavalt teha kalkulaatoriga: asendame ligikaudsed väärtused süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva. Selle tulemusena peaksite väikese veaga saama numbrid, mis asuvad paremal pool.

Näide 8

Esitage vastus tavaliste valemurdudega. Tehke kontroll.

See on näide, mille saate ise lahendada (lõpliku kujunduse näide ja vastus õppetunni lõpus).

Vaatleme Crameri reeglit kolme tundmatuga võrrandisüsteemi jaoks:

Leiame süsteemi peamise määraja:

Kui , siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid või see on ebajärjekindel (lahendeid pole). Sel juhul Crameri reegel ei aita, peate kasutama Gaussi meetodit.

Kui , siis on süsteemil ainulaadne lahendus ja juurte leidmiseks peame arvutama veel kolm determinanti:
, ,

Ja lõpuks arvutatakse vastus valemite abil:

Nagu näete, ei erine juhtum "kolm korda kolm" põhimõtteliselt juhtumist "kaks kahega" vabade terminite veerg "kõnnib" järjestikku mööda põhimääraja veerge.

Näide 9

Lahendage süsteem Crameri valemite abil.

Lahendus: Lahendame süsteemi Crameri valemite abil.

, mis tähendab, et süsteemil on ainulaadne lahendus.

Vastus: .

Tegelikult pole siin jällegi midagi erilist kommenteerida, kuna lahendus järgib valmis valemeid. Kuid on paar kommentaari.

Juhtub, et arvutuste tulemusena saadakse “halvad” taandamatud murded, näiteks: .
Soovitan järgmist "ravi" algoritmi. Kui teil pole arvutit käepärast, tehke järgmist.

1) Arvutustes võib olla viga. Niipea, kui leiate "halva" fraktsiooni, peate kohe kontrollima Kas tingimus on õigesti ümber kirjutatud?. Kui tingimus kirjutatakse ümber ilma vigadeta, peate determinandid ümber arvutama, kasutades laiendust teises reas (veerus).

2) Kui kontrollimise tulemusena vigu ei tuvastata, siis suure tõenäosusega oli ülesande tingimustes kirjaviga. Sel juhul töötage ülesanne rahulikult ja HOOLIKALT lõpuni läbi ja siis kontrollige kindlasti ja koostame selle peale otsust puhtale lehele. Muidugi on murdosalise vastuse kontrollimine ebameeldiv ülesanne, kuid see saab olema relvituks muutev argument õpetajale, kellele meeldib väga iga jama, nagu , eest miinust anda. Murrude käsitlemist kirjeldatakse üksikasjalikult näite 8 vastuses.

Kui teil on arvuti käepärast, kasutage kontrollimiseks automatiseeritud programmi, mille saate tunni alguses tasuta alla laadida. Muide, programmi on kõige tulusam kasutada kohe (isegi enne lahenduse käivitamist näete kohe vaheetappi, kus tegite vea); Sama kalkulaator arvutab automaatselt maatriksmeetodil süsteemi lahenduse.

Teine märkus. Aeg-ajalt on süsteeme, mille võrrandites puuduvad mõned muutujad, näiteks:

Siin esimeses võrrandis pole muutujat, teises pole muutujat. Sellistel juhtudel on väga oluline õigesti ja HOOLIKALT kirja panna peamine määraja:
– puuduvate muutujate asemele asetatakse nullid.
Muide, on ratsionaalne avada determinandid nullidega vastavalt sellele reale (veerule), milles null asub, kuna arvutusi on märgatavalt vähem.

Näide 10

Lahendage süsteem Crameri valemite abil.

See on näide iseseisva lahenduse jaoks (lõpliku kavandi näidis ja vastus õppetunni lõpus).

4 võrrandist koosneva 4 tundmatuga süsteemi puhul on Crameri valemid kirjutatud sarnaste põhimõtete järgi. Saate näha elavat näidet õppetunnis Determinantide omadused. Determinandi järjekorra vähendamine - viis 4. järku determinanti on üsna lahendatavad. Kuigi ülesanne meenutab juba väga professori kinga õnneliku üliõpilase rinnal.

Süsteemi lahendamine pöördmaatriksi abil

Pöördmaatriksmeetod on sisuliselt erijuhtum maatriksvõrrand(Vt täpsustatud õppetüki näidet nr 3).

Selle jaotise uurimiseks peate suutma determinante laiendada, leida maatriksi pöördväärtust ja sooritada maatriksi korrutamist. Asjakohased lingid antakse selgituste edenedes.

Näide 11

Lahendage süsteem maatriksmeetodi abil

Lahendus: Kirjutame süsteemi maatriksi kujul:
, Kus

Palun vaadake võrrandi- ja maatriksisüsteemi. Ma arvan, et kõik saavad aru põhimõttest, mille järgi me kirjutame elemente maatriksitesse. Ainus kommentaar: kui võrranditest puuduksid mõned muutujad, siis tuleks maatriksis vastavatele kohtadele panna nullid.

Leiame pöördmaatriksi valemi abil:
, kus on maatriksi vastavate elementide algebraliste täiendite transponeeritud maatriks.

Kõigepealt vaatame determinanti:

Siin laiendatakse determinanti esimesel real.

Tähelepanu! Kui , siis pöördmaatriksit ei eksisteeri ja süsteemi pole võimalik maatriksmeetodi abil lahendada. Sel juhul lahendatakse süsteem tundmatute elimineerimise meetodil (Gaussi meetod).

Nüüd peame arvutama 9 alaealist ja kirjutama need alaealiste maatriksisse

Viide: Kasulik on teada topeltalaindeksite tähendust lineaaralgebras. Esimene number on selle rea number, millel element asub. Teine number on selle veeru number, milles element asub:

See tähendab, et topelt alamindeks näitab, et element on esimeses reas, kolmandas veerus ja näiteks element on 3 reas, 2 veerus

Selle lõigu valdamiseks peate suutma paljastada determinandid "kaks kaks" ja "kolm korda kolm". Kui teil on kvalifikatsioonid halvasti, uurige õppetundi Kuidas determinanti arvutada?

Lisaks on olemas kahe muutujaga lineaarvõrrandisüsteemid, mida on soovitav lahendada Crameri reegli abil!

Mõelge võrrandisüsteemile

Esimeses etapis arvutame determinandi, seda nimetatakse süsteemi peamine määraja.

Gaussi meetod.

Kui , siis on süsteemil ainulaadne lahendus ja juurte leidmiseks peame arvutama veel kaks determinanti:
Ja

Praktikas võib ülaltoodud määrajaid tähistada ka ladina tähega.

Leiame võrrandi juured, kasutades valemeid:
,

Näide 7

Lahendage lineaarvõrrandisüsteem

Mida teha? Sellistel juhtudel tulevad appi Crameri valemid.

;

Vastus: ,

Mõlemal juurtel on lõpmatu saba ja neid leitakse ligikaudu, mis on ökonomeetriaprobleemide jaoks üsna vastuvõetav (ja isegi tavaline).

Näide 8

Esitage vastus tavaliste valemurdudega. Tehke kontroll.

See on näide, mille saate ise lahendada (lõpliku kujunduse näide ja vastus õppetunni lõpus).

Vaatleme Crameri reeglit kolme tundmatuga võrrandisüsteemi jaoks:

Leiame süsteemi peamise määraja:

Kui , siis on süsteemil lõpmatult palju lahendeid või see on ebajärjekindel (lahendeid pole). Sel juhul Crameri reegel ei aita, peate kasutama Gaussi meetodit.

Kui , siis on süsteemil ainulaadne lahendus ja juurte leidmiseks peame arvutama veel kolm determinanti:
, ,

Ja lõpuks arvutatakse vastus valemite abil:

Nagu näete, ei erine juhtum "kolm korda kolm" põhimõtteliselt juhtumist "kaks kahega" vabade terminite veerg "kõnnib" järjestikku mööda põhimääraja veerge.

Näide 9

Lahendage süsteem Crameri valemite abil.

Lahendus: Lahendame süsteemi Crameri valemite abil.

, mis tähendab, et süsteemil on ainulaadne lahendus.

Vastus: .

Tegelikult pole siin jällegi midagi erilist kommenteerida, kuna lahendus järgib valmis valemeid. Kuid on paar kommentaari.

Juhtub, et arvutuste tulemusena saadakse “halvad” taandamatud murded, näiteks: .
Soovitan järgmist "ravi" algoritmi. Kui teil pole arvutit käepärast, tehke järgmist.

Näide 10

Lahendage süsteem Crameri valemite abil.

See on näide iseseisva lahenduse jaoks (lõpliku kavandi näidis ja vastus õppetunni lõpus).

Süsteemi lahendamine pöördmaatriksi abil

Pöördmaatriksmeetod on sisuliselt erijuhtum maatriksvõrrand(Vt täpsustatud õppetüki näidet nr 3).

Selle jaotise uurimiseks peate suutma determinante laiendada, leida maatriksi pöördväärtust ja sooritada maatriksi korrutamist. Asjakohased lingid antakse selgituste edenedes.

Näide 11

Lahendage süsteem maatriksmeetodi abil

Lahendus: Kirjutame süsteemi maatriksi kujul:
, Kus

Leiame pöördmaatriksi valemi abil:
, kus on maatriksi vastavate elementide algebraliste täiendite transponeeritud maatriks.

Kõigepealt vaatame determinanti:

Siin laiendatakse determinanti esimesel real.

Tähelepanu! Kui , siis pöördmaatriksit ei eksisteeri ja süsteemi pole võimalik maatriksmeetodi abil lahendada. Sel juhul lahendatakse süsteem tundmatute elimineerimise meetodil (Gaussi meetod).

Nüüd peame arvutama 9 alaealist ja kirjutama need alaealiste maatriksisse

Lahenduse käigus on parem kirjeldada üksikasjalikult alaealiste arvestust, kuigi mõningase kogemusega saab harjuda neid suuliselt vigadega arvutama.