Teist järku mittehomogeenne diferentsiaalvõrrand. Teist järku lineaarsed mittehomogeensed konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandid

Loengul uuritakse LNDE-sid - lineaarseid mittehomogeenseid diferentsiaalvõrrandeid. Vaadeldakse üldlahenduse struktuuri, LPDE lahendamist suvaliste konstantide muutmise meetodil, LDDE lahendust konstantsete koefitsientidega ja erivormi paremat poolt. Käsitletavaid küsimusi kasutatakse sundvõnkumiste uurimisel füüsikas, elektrotehnikas ja elektroonikas ning automaatjuhtimise teoorias.

1. Lineaarse ebahomogeense 2. järku diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse struktuur.

Vaatleme esmalt suvalise järjestusega lineaarset mittehomogeenset võrrandit:

Võttes arvesse tähistust, võime kirjutada:

Sel juhul eeldame, et selle võrrandi koefitsiendid ja parem pool on teatud intervallil pidevad.

Teoreem. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend teatud domeenis on selle mis tahes lahendi ja vastava lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Tõestus. Olgu Y mingi mittehomogeense võrrandi lahend.

Seejärel, asendades selle lahenduse algsesse võrrandisse, saame identiteedi:

Lase
- lineaarse homogeense võrrandi lahenduste põhisüsteem
. Siis saab homogeense võrrandi üldlahenduse kirjutada järgmiselt:

Täpsemalt, teist järku lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi korral on üldlahenduse struktuur järgmine:

Kus
on vastava homogeense võrrandi lahenduste põhisüsteem ja
- mittehomogeense võrrandi mis tahes konkreetne lahend.

Seega on lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks vaja leida üldlahend vastavale homogeensele võrrandile ja kuidagi leida üks konkreetne lahendus ebahomogeensele võrrandile. Tavaliselt leitakse see valiku teel. Privaatse lahenduse valimise meetodeid käsitleme järgmistes küsimustes.

2. Variatsioonimeetod

Praktikas on mugav kasutada suvaliste konstantide muutmise meetodit.

Selleks tuleb esmalt leida vastavale homogeensele võrrandile üldlahendus kujul:

Seejärel pange koefitsiendid C i funktsioonid alates X, otsitakse lahendust mittehomogeensele võrrandile:

Seda saab tõestada funktsioonide leidmiseks C i (x) peame lahendama võrrandisüsteemi:

Näide. Lahenda võrrand

Lineaarse homogeense võrrandi lahendamine

Mittehomogeense võrrandi lahendil on vorm:

Loome võrrandisüsteemi:

Lahendame selle süsteemi:

Seosest leiame funktsiooni Oh).

Nüüd leiame B(x).

Asendame saadud väärtused mittehomogeense võrrandi üldlahenduse valemis:

Lõplik vastus:

Üldiselt sobib suvaliste konstantide muutmise meetod lahenduste leidmiseks mis tahes lineaarsele mittehomogeensele võrrandile. Aga sest Vastava homogeense võrrandi põhilahenduste süsteemi leidmine võib olla üsna keeruline ülesanne. Seda meetodit kasutatakse peamiselt konstantsete koefitsientidega mittehomogeensete võrrandite puhul.

3. Erivormi parema küljega võrrandid

Näib, et on võimalik ette kujutada konkreetse lahenduse tüüpi sõltuvalt mittehomogeense võrrandi parempoolse külje tüübist.

Eristatakse järgmisi juhtumeid:

I. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi parem pool on kujul:

kus on astme polünoom m.

Seejärel otsitakse konkreetset lahendust kujul:

Siin K(x) - sama astmega polünoom P(x) , kuid määramata koefitsientidega ja r– arv, mis näitab, mitu korda on arv  vastava lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi tunnusvõrrandi juur.

Näide. Lahenda võrrand
.

Lahendame vastava homogeense võrrandi:

Nüüd leiame esialgsele mittehomogeensele võrrandile konkreetse lahenduse.

Võrdleme võrrandi paremat poolt ülalpool käsitletud parema külje kujuga.

Otsime konkreetset lahendust kujul:
, Kus

Need.

Nüüd määrame tundmatud koefitsiendid A Ja IN.

Asendagem konkreetne lahendus üldkujul algse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandiga.

Täielik privaatne lahendus:

Siis on lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus:

II. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi parem pool on kujul:

Siin R 1 (X) Ja R 2 (X)– astme polünoomid m 1 ja m 2 vastavalt.

Siis on ebahomogeense võrrandi konkreetne lahendus järgmine:

kus on number r näitab, mitu korda on arv
on vastava homogeense võrrandi tunnusvõrrandi juur ja K 1 (x) Ja K 2 (x) – polünoomid, mille aste ei ole suurem kui m, Kus m- kraadidest suurim m 1 Ja m 2 .

Eralahenduste tüüpide koondtabel

erinevat tüüpi parempoolsete külgede jaoks

Pange tähele, et kui võrrandi parem pool on ülalpool vaadeldud tüüpi avaldiste kombinatsioon, siis leitakse lahendus abivõrrandite lahenduste kombinatsioonina, millest igaühel on kaasatud avaldisele vastav parem pool kombinatsioonis.

Need. kui võrrand on:
, siis on selle võrrandi konkreetne lahendus
Kus juures 1 Ja juures 2 – abivõrrandite konkreetsed lahendused

Ja

Illustreerimiseks lahendame ülaltoodud näite teistmoodi.

Näide. Lahenda võrrand

Esitagem diferentsiaalvõrrandi paremat poolt kahe funktsiooni summana f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- patt x).

Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi:

Saame: st.

Kokku:

Need. nõutav konkreetne lahendus on kujul:

Mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus:

Vaatame näiteid kirjeldatud meetodite rakendamisest.

Näide 1.. Lahenda võrrand

Koostame vastavale lineaarsele homogeensele diferentsiaalvõrrandile iseloomuliku võrrandi:

Nüüd leiame konkreetse lahenduse mittehomogeensele võrrandile kujul:

Kasutame määramatute koefitsientide meetodit.

Asendades algse võrrandi, saame:

Konkreetsel lahendusel on vorm:

Lineaarse mittehomogeense võrrandi üldlahend:

Näide. Lahenda võrrand

Iseloomulik võrrand:

Homogeense võrrandi üldlahend:

Mittehomogeense võrrandi konkreetne lahendus:
.

Leiame tuletised ja asendame need algsesse mittehomogeensesse võrrandisse:

Saame mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse:

Ebahomogeensed konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandid

Üldlahenduse struktuur Seda tüüpi lineaarne ebahomogeenne võrrand on kujul: Kus lk, q− konstantsed arvud (mis võivad olla nii reaal- kui kompleksarvud). Iga sellise võrrandi jaoks saame kirjutada vastava homogeenne võrrand: Teoreem: Mittehomogeense võrrandi üldlahend on üldlahenduse summa y 0 (x) vastavast homogeensest võrrandist ja konkreetsest lahendist y 1 (x) ebahomogeenne võrrand: Allpool vaatleme kahte võimalust ebahomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Konstantide muutmise meetod Kui üldine lahendus y 0 seotud homogeensest võrrandist on teada, siis saab ebahomogeense võrrandi üldlahenduse leida kasutades konstantse variatsiooni meetod. Olgu homogeense teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend järgmine: Püsiva asemel C 1 ja C 2 vaatleme abifunktsioone C 1 (x) Ja C 2 (x). Otsime neid funktsioone nii, et lahendus rahuldas ebahomogeense võrrandi parema poolega f(x). Tundmatud funktsioonid C 1 (x) Ja C 2 (x) määratakse kahe võrrandi süsteemist: Ebakindla koefitsiendi meetod Parem osa f(x) ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi puhul on sageli polünoom-, eksponentsiaal- või trigonomeetriline funktsioon või nende funktsioonide kombinatsioon. Sel juhul on mugavam otsida lahendust kasutades määramatute koefitsientide meetod. Rõhutame, et see meetod töötab ainult piiratud funktsioonide klassi paremal küljel, näiteks Mõlemal juhul peab konkreetse lahenduse valik vastama mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi parema poole struktuurile. Juhul 1, kui number α kui eksponentsiaalfunktsioon langeb kokku karakteristiku võrrandi juurega, siis sisaldab konkreetne lahendus lisategurit x s, Kus s− juurte paljusus α tunnusvõrrandis. Juhul 2, kui number α + βi langeb kokku iseloomuliku võrrandi juurega, siis sisaldab konkreetse lahenduse avaldis lisategurit x. Tundmatuid koefitsiente saab määrata, asendades konkreetse lahenduse leitud avaldise esialgse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandiga. Superpositsiooni põhimõte Kui mittehomogeense võrrandi parem pool on summa mitu vormi funktsiooni siis on diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus ka iga paremal pool oleva liikme jaoks eraldi konstrueeritud osalahenduste summa.

Näide 1

Lahendage diferentsiaalvõrrand y"" + y= sin(2 x). Lahendus. Esmalt lahendame vastava homogeense võrrandi y"" + y= 0. Sel juhul on iseloomuliku võrrandi juured puhtalt kujuteldavad: Järelikult on homogeense võrrandi üldlahend antud avaldisega Tuleme uuesti tagasi ebahomogeense võrrandi juurde. Otsime selle lahendust vormis kasutades konstantide muutmise meetodit. Funktsioonid C 1 (x) Ja C 2 (x) võib leida järgmisest võrrandisüsteemist: Avaldame tuletist C 1 " (x) esimesest võrrandist: Asendades teise võrrandi, leiame tuletise C 2 " (x): Sellest järeldub Avaldiste integreerimine tuletistele C 1 " (x) Ja C 2 " (x), saame: Kus A 1 , A 2 – integreerimise konstandid. Nüüd asendame leitud funktsioonid C 1 (x) Ja C 2 (x) valemisse y 1 (x) ja kirjutage üles mittehomogeense võrrandi üldlahend:

Näide 2

Leidke võrrandi üldlahend y"" + y" −6y = 36x. Lahendus. Kasutame määramatute koefitsientide meetodit. Antud võrrandi parem pool on lineaarfunktsioon f(x)= kirves + b. Seetõttu otsime vormilt konkreetset lahendust Tuletised on võrdsed: Asendades selle diferentsiaalvõrrandiga, saame: Viimane võrrand on identiteet, see tähendab, et see kehtib kõigi jaoks x, seetõttu võrdsustame liikmete koefitsiendid samade astmetega x vasakul ja paremal küljel: Saadud süsteemist leiame: A = −6, B= −1. Selle tulemusena kirjutatakse konkreetne lahendus vormile Nüüd leiame homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse. Arvutame abikarakteristiku võrrandi juured: Seetõttu on vastava homogeense võrrandi üldlahend järgmisel kujul: Niisiis, algse mittehomogeense võrrandi üldlahend väljendatakse valemiga

DE üldine integraal.

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Aga kõige naljakam on see, et vastus on juba teada: , täpsemalt tuleb lisada ka konstant: Üldintegraal on diferentsiaalvõrrandi lahend.

Suvaliste konstantide muutmise meetod. Näited lahendustest

Mittehomogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit. See tund on mõeldud neile õpilastele, kes on teemaga juba enam-vähem kursis. Kui oled alles alustamas kaugjuhtimispuldiga tutvumist, s.t. Kui oled teekann, siis soovitan alustada esimesest õppetükist: Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Näited lahendustest. Ja kui olete juba lõpetamas, siis loobuge võimalikust eelarvamusest, et meetod on raske. Sest see on lihtne.

Millistel juhtudel kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit?

1) Lahendamiseks saab kasutada suvalise konstandi muutmise meetodit lineaarne ebahomogeenne 1. järku DE. Kuna võrrand on esimest järku, siis on ka konstant üks.

2) Mõne lahendamiseks kasutatakse suvaliste konstantide muutmise meetodit lineaarsed ebahomogeensed teist järku võrrandid. Siin erinevad kaks konstanti.

Loogiline on eeldada, et tund koosneb kahest lõigust... Nii ma siis kirjutasin selle lause ja umbes 10 minutit mõtlesin valusalt, et mida muud tarka jama võiksin lisada, et ladus üleminek praktilistele näidetele. Aga millegipärast pole mul pärast pühi mõtteid, kuigi tundub, et ma pole midagi kuritarvitanud. Seetõttu asume otse esimese lõigu juurde.

Suvalise konstandi muutmise meetod esimest järku lineaarse mittehomogeense võrrandi jaoks

Enne suvalise konstandi muutmise meetodi kaalumist on soovitatav artikliga tutvuda Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid. Selles tunnis me harjutasime esimene lahendus ebahomogeenne 1. järk DE. Tuletan teile meelde, et seda esimest lahendust nimetatakse asendusmeetod või Bernoulli meetod(mitte segi ajada Bernoulli võrrand!!!)

Nüüd vaatame teine ​​lahendus– suvalise konstandi muutmise meetod. Toon vaid kolm näidet ja võtan need ülalmainitud õppetunnist. Miks nii vähe? Sest tegelikult on teisel viisil lahendus väga sarnane esimesel viisil. Lisaks kasutatakse minu tähelepanekute kohaselt suvaliste konstantide muutmise meetodit harvemini kui asendusmeetodit.

Näide 1

Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend (Diffour tunni näitest nr 2 Lineaarsed mittehomogeensed 1. järku diferentsiaalvõrrandid)

Lahendus: See võrrand on lineaarselt ebahomogeenne ja sellel on tuttav vorm:

Esimeses etapis on vaja lahendada lihtsam võrrand: see tähendab, et nullime rumalalt parema külje nulli - kirjutage selle asemel null. Ma nimetan võrrandit abivõrrand.

Selles näites peate lahendama järgmise abivõrrandi:

Enne meid eraldatav võrrand, mille lahendamine (ma loodan) pole teile enam keeruline:

Seega: – abivõrrandi üldlahend.

Teisel sammul me asendame mingi konstantne praeguseks tundmatu funktsioon, mis sõltub "x"-st:

Sellest ka meetodi nimi – varieerime konstanti. Teise võimalusena võib konstant olla mõni funktsioon, mille peame nüüd leidma.

IN originaal ebahomogeenses võrrandis asendame:

Asendame võrrandiga:

Kontrollpunkt - kaks vasakpoolset terminit tühistavad. Kui seda ei juhtu, peaksite otsima ülaltoodud viga.

Asendamise tulemusena saadi eraldatavate muutujatega võrrand. Eraldame muutujad ja integreerime.

Milline õnnistus, eksponendid tühistavad ka:

Lisame leitud funktsioonile "tavalise" konstandi:

Viimases etapis mäletame oma asendamist:

Funktsioon on just leitud!

Seega on üldine lahendus:

Vastus:ühine otsus:

Kui printida kaks lahendust välja, märkad kergesti, et mõlemal juhul leidsime samad integraalid. Ainus erinevus on lahendusalgoritmis.

Kui nüüd midagi keerulisemat, siis kommenteerin ka teist näidet:

Näide 2

Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend (Diffour õppetunni näitest nr 8 Lineaarsed mittehomogeensed 1. järku diferentsiaalvõrrandid)

Lahendus: Toome võrrandi vormile:

Lähtestame parema külje ja lahendame abivõrrandi:

Eraldame muutujad ja integreerime: Abivõrrandi üldlahendus:

Mittehomogeenses võrrandis teeme asendus:

Vastavalt toodete eristamise reeglile:

Asendame algse mittehomogeense võrrandiga:

Vasakpoolsed kaks terminit tühistavad, mis tähendab, et oleme õigel teel:

Integreerime osade kaupa. Osade kaupa integreerimise valemi maitsev täht on juba lahendusesse kaasatud, seega kasutame näiteks tähti “a” ja “be”:

Lõpuks:

Nüüd meenutagem asendust:

Vastus:ühine otsus:

Suvaliste konstantide muutmise meetod lineaarse ebahomogeense teist järku võrrandi jaoks konstantsete koefitsientidega

Olen sageli kuulnud arvamust, et teist järku võrrandi suvaliste konstantide muutmise meetod ei ole lihtne asi. Kuid ma eeldan järgmist: tõenäoliselt tundub meetod paljudele raske, kuna seda ei esine nii sageli. Kuid tegelikult pole erilisi raskusi - otsuse käik on selge, läbipaistev ja arusaadav. Ja ilus.

Meetodi valdamiseks on soovitav osata lahendada ebahomogeenseid teist järku võrrandeid, valides konkreetse lahenduse parema külje kuju järgi. Seda meetodit käsitletakse üksikasjalikult artiklis. Ebahomogeensed 2. järku DE-d. Tuletame meelde, et konstantsete koefitsientidega teist järku lineaarne ebahomogeenne võrrand on kujul:

Valikumeetod, millest oli juttu ülaltoodud õppetükis, töötab vaid piiratud arvul juhtudel, kui parem pool sisaldab polünoomid, eksponentsiaalid, siinused ja koosinused. Aga mida teha, kui paremal on näiteks murd, logaritm, puutuja? Sellises olukorras tuleb appi konstantide varieerimise meetod.

Näide 4

Leidke teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendus

Lahendus: Selle võrrandi paremal küljel on murdosa, seega võime kohe öelda, et konkreetse lahenduse valimise meetod ei tööta. Kasutame suvaliste konstantide muutmise meetodit.

Äikesetormi märke pole, lahenduse algus on täiesti tavaline:

Me leiame ühine otsus asjakohane homogeenne võrrandid:

Koostame ja lahendame tunnusvõrrandi: – saadakse konjugeeritud kompleksjuured, seega on üldine lahendus:

Pöörake tähelepanu üldlahenduse kirjele - kui on sulgud, siis avage need.

Nüüd teeme peaaegu sama triki nagu esimest järku võrrandi puhul: muudame konstante, asendades need tundmatute funktsioonidega. See on, mittehomogeense üldlahend otsime võrrandeid kujul:

Kus - praeguseks tundmatuid funktsioone.

See näeb välja nagu olmeprügi, aga nüüd sorteerime kõik ära.

Tundmatud on funktsioonide tuletised. Meie eesmärk on leida tuletised ja leitud tuletised peavad vastama nii süsteemi esimesele kui ka teisele võrrandile.

Kust "kreeklased" tulevad? Kurg toob need. Vaatame varem saadud üldlahendust ja kirjutame:

Leiame tuletised:

Vasakpoolsete osadega on tegeletud. Mis on paremal?

on algse võrrandi parem pool, antud juhul:

See artikkel käsitleb lineaarsete ebahomogeensete konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendamist. Arutatakse teooriat koos näidetega antud probleemidest. Ebaselgete terminite lahtimõtestamiseks on vaja viidata teemale diferentsiaalvõrranditeooria põhidefinitsioonide ja mõistete kohta.

Vaatleme teist järku lineaarset diferentsiaalvõrrandit (LDE) konstantsete koefitsientidega kujul y "" + p · y " + q · y = f (x), kus p ja q on suvalised arvud ja olemasolev funktsioon f (x) on pidev integreerimisintervallil x.

Liigume edasi LNDE üldlahenduse teoreemi sõnastamise juurde.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Üldine lahendusteoreem LDNU jaoks

Üldlahend, mis asub intervallil x, ebahomogeensele diferentsiaalvõrrandile kujul y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) pidevate integreerimiskoefitsientidega x intervallil f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) ja pidev funktsioon f (x) on võrdne üldlahenduse y 0 summaga, mis vastab LOD-le ja mõnele konkreetsele lahendile y ~, kus algne mittehomogeenne võrrand on y = y 0 + y ~.

See näitab, et sellise teist järku võrrandi lahendus on kujul y = y 0 + y ~ . Algoritmi y 0 leidmiseks käsitletakse artiklis, mis käsitleb lineaarseid homogeenseid konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandeid. Pärast seda peaksime jätkama y ~ definitsiooniga.

LPDE konkreetse lahenduse valik sõltub võrrandi paremal küljel asuva saadaoleva funktsiooni f (x) tüübist. Selleks on vaja eraldi käsitleda lineaarsete ebahomogeensete konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendeid.

Kui f (x) peetakse n-nda astme polünoomiks f (x) = P n (x), siis järeldub, et LPDE konkreetne lahendus leitakse valemiga kujul y ~ = Q n (x) ) x γ, kus Q n ( x) on n-astme polünoom, r on karakteristiku võrrandi nulljuurte arv. Väärtus y ~ on konkreetne lahendus y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , siis saadaolevad koefitsiendid, mis on määratletud polünoomiga
Q n (x), leiame määramatute kordajate meetodil võrrandist y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Näide 1

Arvutage Cauchy teoreemi abil y "" - 2 y " = x 2 + 1, y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Lahendus

Teisisõnu on vaja liikuda edasi konstantsete koefitsientide y "" - 2 y " = x 2 + 1 teist järku lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduseni, mis vastab antud tingimustele y (0) = 2, y" (0) = 1 4 .

Lineaarse ebahomogeense võrrandi üldlahend on üldlahenduse summa, mis vastab võrrandile y 0 või ebahomogeense võrrandi y ~ erilahendusele, st y = y 0 + y ~.

Esiteks leiame LNDU jaoks üldise lahenduse ja seejärel konkreetse lahenduse.

Liigume edasi y 0 leidmisega. Iseloomuliku võrrandi üleskirjutamine aitab teil leida juuri. Me saame sellest aru

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Leidsime, et juured on erinevad ja tõelised. Seetõttu paneme kirja

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Leiame y ~ . Näha on, et antud võrrandi parem pool on teise astme polünoom, siis on üks juurtest võrdne nulliga. Sellest saame, et y ~ konkreetne lahendus on

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, kus A, B, C väärtused võtavad määramata koefitsiente.

Leiame need võrrandist kujul y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Siis saame selle:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C" - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Võrdsustades koefitsiendid x samade astendajatega, saame lineaaravaldiste süsteemi - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Mis tahes meetodi abil lahendades leiame koefitsiendid ja kirjutame: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 ja y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Seda kirjet nimetatakse algse lineaarse ebahomogeense konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahenduseks.

Konkreetse lahenduse leidmiseks, mis vastab tingimustele y (0) = 2, y "(0) = 1 4, on vaja määrata väärtused C 1 Ja C 2, mis põhineb võrdusel kujul y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Saame selle:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Töötame saadud võrrandisüsteemiga kujul C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, kus C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Cauchy teoreemi rakendades on see meil olemas

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Vastus: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Kui funktsioon f (x) on esitatud polünoomi astmega n ja astendaja f (x) = P n (x) · e a x korrutis, siis saame, et teist järku LPDE konkreetne lahendus on võrrand kujul y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, kus Q n (x) on n-nda astme polünoom ja r on karakteristiku võrrandi juurte arv, mis on võrdne α-ga.

Q n (x)-sse kuuluvad koefitsiendid leitakse võrrandiga y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Näide 2

Leia üldlahend diferentsiaalvõrrandile kujul y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Lahendus

Üldvõrrand on y = y 0 + y ~ . Näidatud võrrand vastab LOD y "" - 2 y " = 0. Eelmisest näitest on näha, et selle juured on võrdsed k 1 = 0 ja k 2 = 2 ja y 0 = C 1 + C 2 e 2 x tunnusvõrrandi järgi.

On näha, et võrrandi parem pool on x 2 + 1 · e x . Siit leitakse LPDE läbi y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, kus Q n (x) on teise astme polünoom, kus α = 1 ja r = 0, kuna karakteristiku võrrand ei mille juur on võrdne 1-ga. Siit saame selle

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C on tundmatud koefitsiendid, mida saab leida võrrandiga y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Sain aru

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Samastame näitajad samade koefitsientidega ja saame lineaarvõrrandisüsteemi. Siit leiame A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = -3

Vastus: on selge, et y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 on LNDDE konkreetne lahendus ja y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - teist järku mittehomogeense diferentsi üldlahendus.

Kui funktsioon on kirjutatud kujul f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ja A 1 Ja IN 1 on arvud, siis loetakse LPDE osalahendit võrrandiks kujul y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, kus A ja B loetakse määramata kordajateks ja r on iseloomuliku võrrandiga seotud komplekssed konjugeeritud juured, mis on võrdne ± i β . Sel juhul otsitakse koefitsiente, kasutades võrdsust y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Näide 3

Leia üldlahend diferentsiaalvõrrandile kujul y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Lahendus

Enne iseloomuliku võrrandi kirjutamist leiame y 0. Siis

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Meil on paar keerulist konjugaatjuurt. Muutame ja saame:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Iseloomuliku võrrandi juurteks loetakse konjugaatpaar ± 2 i, siis f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). See näitab, et y ~ otsing tehakse y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x järgi. Tundmatud Otsime koefitsiente A ja B võrrandist kujul y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Muutame:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Siis on selge, et

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Siinuse ja koosinuse koefitsiente on vaja võrdsustada. Saame vormi süsteemi:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Sellest järeldub, et y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Vastus: vaadeldakse algse teist järku LDDE üldist lahendust konstantsete koefitsientidega

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Kui f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), siis y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Meil ​​on, et r on iseloomuliku võrrandiga seotud keeruliste konjugeeritud juurte paaride arv, mis on võrdne α ± i β, kus P n (x), Q k (x), L m (x) ja Nm(x) on polünoomid astmega n, k, m, m, kus m = m a x (n, k). Koefitsientide leidmine Lm(x) Ja Nm(x) on tehtud võrdsuse y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) alusel.

Näide 4

Leidke üldlahend y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Lahendus

Tingimuse järgi on selge, et

α = 3, β = 5, P n (x) = -38 x - 45, Q k (x) = -8 x + 5, n = 1, k = 1

Siis m = m a x (n, k) = 1. Leiame y 0, kirjutades esmalt vormile iseloomuliku võrrandi:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Leidsime, et juured on tõelised ja eristatavad. Seega y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Järgmiseks tuleb otsida üldlahendus vormi mittehomogeense võrrandi y ~ põhjal

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

On teada, et A, B, C on koefitsiendid, r = 0, kuna puudub konjugeeritud juurte paar, mis on seotud iseloomuliku võrrandiga α ± i β = 3 ± 5 · i. Saadud võrdsusest leiame need koefitsiendid:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Tuletise jms terminite leidmine annab

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Pärast koefitsientide võrdsustamist saame vormi süsteemi

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Kõigest järeldub see

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Vastus: Nüüd oleme saanud antud lineaarvõrrandi üldlahenduse:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritm LDNU lahendamiseks

Mis tahes muud tüüpi funktsioon f (x) lahenduse jaoks nõuab vastavust lahendusalgoritmile:

• vastavale lineaarsele homogeensele võrrandile üldlahenduse leidmine, kus y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, kus y 1 Ja y 2 on LODE lineaarselt sõltumatud osalahendid, C 1 Ja C 2 peetakse suvalisteks konstantideks;
• vastuvõtmine LNDE üldlahendusena y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• funktsiooni tuletiste määramine süsteemi kaudu kujul C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) ja funktsioonide leidmine C 1 (x) ja C2(x) integreerimise kaudu.

Näide 5

Leidke y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x üldlahendus.

Lahendus

Jätkame iseloomuliku võrrandi kirjutamisega, olles eelnevalt kirjutanud y 0, y "" + 36 y = 0. Kirjutame ja lahendame:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Meil on, et antud võrrandi üldlahend kirjutatakse järgmiselt: y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Tuleb liikuda edasi tuletisfunktsioonide defineerimise juurde C 1 (x) Ja C2(x) võrranditega süsteemi järgi:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Selle kohta tuleb teha otsus C 1" (x) Ja C 2" (x) kasutades mis tahes meetodit. Siis kirjutame:

C 1 "(x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) – 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Kõik võrrandid peavad olema integreeritud. Seejärel kirjutame saadud võrrandid:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Sellest järeldub, et üldlahendus on järgmisel kujul:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Vastus: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter