Gaussi definitsioon. Gaussi meetodi vastupidine

1. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem

1.1 Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi mõiste

Võrrandisüsteem on tingimus, mis koosneb mitme võrrandi samaaegsest täitmisest mitme muutuja suhtes. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (edaspidi SLAE), mis sisaldab m võrrandit ja n tundmatut, nimetatakse süsteemiks järgmisel kujul:

kus numbreid a ij nimetatakse süsteemikoefitsientideks, arve b i nimetatakse vabadeks terminiteks, a ij Ja b i(i=1,…, m; b=1,…, n) esindavad mõnda teadaolevat arvu ja x 1 ,…, x n- teadmata. Koefitsientide määramisel a ij esimene indeks i tähistab võrrandi arvu ja teine j on tundmatu arv, mille juures see koefitsient asub. Tuleb leida arvud x n. Sellist süsteemi on mugav kirjutada kompaktse maatriksi kujul: AX=B. Siin on A süsteemikoefitsientide maatriks, mida nimetatakse põhimaatriksiks;

– tundmatute veeruvektor xj.
on vabade terminite veeruvektor bi.

Maatriksite A*X korrutis on defineeritud, kuna maatriksis A on sama palju veerge kui maatriksis X ridu (n tükki).

Süsteemi laiendatud maatriks on süsteemi maatriks A, mida täiendab vabade terminite veerg

1.2 Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine

Võrrandisüsteemi lahenduseks on järjestatud arvude (muutujate väärtuste) kogum, kui muutujate asemel neid asendada, muutub süsteemi iga võrrand tõeliseks võrduseks.

Süsteemi lahenduseks on tundmatute x1=c1, x2=c2,…, xn=cn n väärtust, mille asendamisel saavad kõik süsteemi võrrandid tõelisteks võrdusteks. Veerumaatriksina saab kirjutada süsteemi mis tahes lahenduse

Võrrandisüsteemi nimetatakse järjekindlaks, kui sellel on vähemalt üks lahend, ja ebajärjekindlaks, kui sellel pole ühtegi lahendit.

Järjepidevat süsteemi nimetatakse määravaks, kui sellel on üks lahendus, ja määramatuks, kui sellel on rohkem kui üks lahendus. Viimasel juhul nimetatakse iga selle lahendust süsteemi konkreetseks lahenduseks. Kõikide konkreetsete lahenduste hulka nimetatakse üldlahenduseks.

Süsteemi lahendamine tähendab selle ühilduvuse või vastuolulisuse väljaselgitamist. Kui süsteem on järjepidev, leidke selle üldine lahendus.

Kahte süsteemi nimetatakse samaväärseks (ekvivalentseks), kui neil on sama üldlahendus. Teisisõnu, süsteemid on samaväärsed, kui nende iga lahendus on teise lahendus ja vastupidi.

Teisendust, mille rakendamine muudab süsteemi uueks, algse samaväärseks süsteemiks, nimetatakse ekvivalentseks või samaväärseks teisenduseks. Samaväärsete teisenduste näidete hulka kuuluvad järgmised teisendused: süsteemi kahe võrrandi vahetamine, kahe tundmatu vahetamine koos kõigi võrrandite koefitsientidega, süsteemi mis tahes võrrandi mõlema poole korrutamine nullist erineva arvuga.

Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks, kui kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga:

Homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna x1=x2=x3=…=xn=0 on süsteemi lahendus. Seda lahendust nimetatakse nulliks või triviaalseks.

2. Gaussi eliminatsiooni meetod

2.1 Gaussi eliminatsioonimeetodi olemus

Klassikaline meetod lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks on tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod - Gaussi meetod(seda nimetatakse ka Gaussi eliminatsioonimeetodiks). See on meetod muutujate järjestikuseks elimineerimiseks, kui elementaarteisenduste abil taandatakse võrrandisüsteem samaväärseks astmelise (või kolmnurkse) süsteemiga, millest kõik muud muutujad leitakse järjestikku, alustades viimasest (poolt arv) muutujad.

Lahendusprotsess Gaussi meetodil koosneb kahest etapist: edasi- ja tagasiliikumised.

1. Otsene löök.

Esimeses etapis viiakse läbi nn otseliikumine, kui ridade elementaarsete teisenduste abil viiakse süsteem astmelise või kolmnurkse kujuni või tehakse kindlaks, et süsteem ei ühildu. Nimelt vali maatriksi esimese veeru elementide hulgast nullist erinev üks, liiguta see ridade ümberpaigutamise teel ülemisse asendisse ja lahuta saadud esimene rida pärast ümberpaigutamist ülejäänud ridadest, korrutades selle väärtusega. võrdne kõigi nende ridade esimese elemendi ja esimese rea esimese elemendi suhtega, nullides seega selle all oleva veeru.

Pärast nende teisenduste lõpuleviimist kriipsutatakse esimene rida ja esimene veerg mõtteliselt läbi ja jätkatakse, kuni jääb alles nullsuurusega maatriks. Kui mõnel iteratsioonil pole esimese veeru elementide hulgas nullist erinevat elementi, minge järgmise veeru juurde ja tehke sarnane toiming.

Esimesel etapil (otsene löök) taandatakse süsteem astmeliseks (eriti kolmnurkseks).

Alloleval süsteemil on astmeline vorm:

Koefitsiente aii nimetatakse süsteemi peamisteks (juht)elementideks.

(kui a11=0, siis korralda maatriksi read ümber nii a 11 ei olnud võrdne 0-ga. See on alati võimalik, sest vastasel juhul sisaldab maatriks nulli veergu, selle determinant on võrdne nulliga ja süsteem on ebaühtlane).

Teisendame süsteemi, elimineerides tundmatu x1 kõigis võrrandites, välja arvatud esimeses (kasutades süsteemi elementaarteisendusi). Selleks korrutage esimese võrrandi mõlemad pooled arvuga

ja liita liige liikme haaval süsteemi teise võrrandiga (või teisest võrrandist lahutada liige liikme kaupa esimese võrrandiga, korrutatuna ). Seejärel korrutame esimese võrrandi mõlemad pooled arvuga ja liidame need süsteemi kolmandasse võrrandisse (või kolmandast lahutame esimese võrrandi korrutisega ). Seega korrutame esimese rea järjestikku arvuga ja liidame sellele i rida, jaoks i= 2, 3, …,n.

Seda protsessi jätkates saame samaväärse süsteemi:

- tundmatute ja vabade liikmete koefitsientide uued väärtused süsteemi viimastes m-1 võrrandites, mis määratakse valemitega:

Seega hävitatakse esimeses etapis kõik esimese juhtelemendi a 11 all olevad koefitsiendid

0, teises etapis hävitatakse teise juhtelemendi a 22 (1) all olevad elemendid (kui a 22 (1) 0) jne. Seda protsessi edasi jätkates taandame lõpuks (m-1) etapis algse süsteemi kolmnurkseks süsteemiks.

Kui süsteemi astmelisele vormile redutseerimise käigus tekivad nullvõrrandid, s.o. võrdusi kujul 0=0, jäetakse need kõrvale. Kui ilmub vormi võrrand

siis see näitab süsteemi kokkusobimatust.

Siin lõpeb Gaussi meetodi otsene edasiminek.

2. Pöördkäik.

Teises etapis viiakse läbi nn pöördliikumine, mille põhiolemus on väljendada kõik saadud põhimuutujad mittepõhilistena ja ehitada fundamentaalne lahenduste süsteem või kui kõik muutujad on põhimuutujad. , siis väljendage numbriliselt lineaarvõrrandisüsteemi ainus lahendus.

See protseduur algab viimase võrrandiga, millest vastav põhimuutuja väljendatakse (selles on ainult üks) ja asendatakse eelmiste võrranditega jne, minnes “astmeid” ülespoole.

Iga rida vastab täpselt ühele põhimuutujale, nii et igal sammul, välja arvatud viimane (ülemine), kordab olukord täpselt viimase rea juhtu.

Märkus: praktikas on mugavam töötada mitte süsteemiga, vaid selle laiendatud maatriksiga, tehes kõik elementaarsed teisendused selle ridadel. On mugav, kui koefitsient a11 on võrdne 1-ga (korrastage võrrandid ümber või jagage võrrandi mõlemad pooled a11-ga).

2.2 Näited SLAE-de lahendamisest Gaussi meetodil

Selles jaotises näitame kolme erineva näite abil, kuidas Gaussi meetod saab SLAE-sid lahendada.

Näide 1. Lahendage 3. järku SLAE.

Lähtestame koefitsiendid kell

teises ja kolmandas reas. Selleks korrutage need vastavalt 2/3 ja 1-ga ning lisage need esimesele reale:

Käesolevas artiklis käsitletakse meetodit lineaarvõrrandisüsteemide (SLAE) lahendamise meetodina. Meetod on analüütiline, see tähendab, et see võimaldab teil kirjutada lahendusalgoritmi üldisel kujul ja seejärel asendada väärtusi konkreetsetest näidetest. Erinevalt maatriksmeetodist või Crameri valemitest saab Gaussi meetodi abil lineaarvõrrandisüsteemi lahendamisel töötada ka nendega, millel on lõpmatu arv lahendeid. Või pole neil seda üldse.

Mida tähendab lahendada Gaussi meetodil?

Esiteks peame kirjutama oma võrrandisüsteemi väljale See näeb välja selline. Võtke süsteem:

Koefitsiendid on kirjutatud tabeli kujul ja vabad terminid kirjutatakse paremal asuvasse eraldi veergu. Vaba terminitega veerg on mugavuse huvides eraldatud Maatriksit, mis sisaldab seda veergu, nimetatakse laiendatud.

Järgmisena tuleb koefitsientidega põhimaatriks taandada ülemisele kolmnurksele kujule. See on Gaussi meetodi abil süsteemi lahendamise põhipunkt. Lihtsamalt öeldes peaks maatriks pärast teatud manipuleerimisi välja nägema nii, et selle vasakpoolses alumises osas on ainult nullid:

Seejärel, kui kirjutate uue maatriksi uuesti võrrandisüsteemina, märkate, et viimane rida sisaldab juba ühe juure väärtust, mis seejärel asendatakse ülaltoodud võrrandiga, leitakse teine juur jne.

See on lahenduse kirjeldus Gaussi meetodil kõige üldisemalt. Mis juhtub, kui süsteemil pole äkki lahendust? Või on neid lõpmatult palju? Nendele ja paljudele teistele küsimustele vastamiseks on vaja eraldi käsitleda kõiki Gaussi meetodi lahendamisel kasutatud elemente.

Maatriksid, nende omadused

Maatriksis pole varjatud tähendust. See on lihtsalt mugav viis andmete salvestamiseks järgnevateks toiminguteks. Isegi koolilapsed ei pea neid kartma.

Maatriks on alati ristkülikukujuline, kuna see on mugavam. Isegi Gaussi meetodi puhul, kus kõik taandub kolmnurkse maatriksi konstrueerimisele, ilmub kirjesse ristkülik, ainult nullidega kohas, kus numbreid pole. Nulle ei pruugita kirjutada, kuid need on vihjatud.

Maatriksil on suurus. Selle "laius" on ridade arv (m), "pikkus" on veergude arv (n). Siis märgitakse maatriksi A suurus (nende tähistamiseks kasutatakse tavaliselt suuri ladina tähti) kui A m×n. Kui m = n, on see maatriks ruut ja m = n on selle järjekord. Vastavalt sellele võib maatriksi A mis tahes elementi tähistada selle rea- ja veerunumbritega: a xy ; x - rea number, muudatused, y - veeru number, muudatused.

B ei ole otsuse põhipunkt. Põhimõtteliselt saab kõiki tehteid sooritada otse võrrandite endi abil, kuid märkimine on palju tülikam ja selles on palju lihtsam segadusse sattuda.

Determinant

Maatriksil on ka determinant. See on väga oluline omadus. Nüüd pole vaja selle tähendust välja selgitada, võite lihtsalt näidata, kuidas see arvutatakse, ja seejärel öelda, millised maatriksi omadused see määrab. Lihtsaim viis determinandi leidmiseks on diagonaalide kaudu. Maatriksisse joonistatakse kujuteldavad diagonaalid; korrutatakse igal neist asuvad elemendid ja seejärel lisatakse saadud korrutised: diagonaalid kaldega paremale - plussmärgiga, kaldega vasakule - miinusmärgiga.

Äärmiselt oluline on märkida, et determinanti saab arvutada ainult ruutmaatriksi jaoks. Ristkülikukujulise maatriksi puhul saab teha järgmist: valida ridade ja veergude hulgast väikseim (olgu see k) ning seejärel märkida maatriksisse juhuslikult k veergu ja k rida. Valitud veergude ja ridade ristumiskohas olevad elemendid moodustavad uue ruutmaatriksi. Kui sellise maatriksi determinandiks on nullist erinev arv, nimetatakse seda algse ristkülikukujulise maatriksi alusminooriks.

Enne kui hakkate võrrandisüsteemi Gaussi meetodil lahendama, ei tee determinandi arvutamine haiget. Kui see osutub nulliks, siis võime kohe öelda, et maatriksil on kas lõpmatu arv lahendeid või pole neid üldse. Sellisel kurval juhul peate minema kaugemale ja uurima maatriksi auastet.

Süsteemi klassifikatsioon

On olemas selline asi nagu maatriksi auaste. See on selle nullist erineva determinandi maksimaalne järjekord (kui me mäletame põhi-molli kohta, võime öelda, et maatriksi auaste on põhimolli järjekord).

Auastme olukorra põhjal võib SLAE jagada järgmisteks osadeks:

Ühine. UÜhissüsteemides kattub põhimaatriksi (koosneb ainult koefitsientidest) auaste laiendatud maatriksi (vabade terminite veeruga) auastmega. Sellistel süsteemidel on lahendus, kuid mitte tingimata üks, seetõttu jagatakse liitesüsteemid lisaks:
- teatud- ühe lahenduse olemasolu. Teatud süsteemides on maatriksi auaste ja tundmatute arv (või veergude arv, mis on sama asi) võrdsed;
- määramata - lõpmatu hulga lahendustega. Maatriksite järjestus sellistes süsteemides on väiksem kui tundmatute arv.
Sobimatu. U Sellistes süsteemides ei lange põhi- ja laiendatud maatriksi auastmed kokku. Ühildumatutel süsteemidel pole lahendust.

Gaussi meetod on hea, kuna võimaldab lahenduse käigus saada kas ühemõttelise tõestuse süsteemi ebakõla kohta (ilma suurte maatriksite determinante arvutamata) või üldkujul lahenduse lõpmatu arvu lahendustega süsteemile.

Elementaarsed teisendused

Enne otse süsteemi lahendamise juurde asumist saate muuta selle vähem tülikaks ja arvutuste jaoks mugavamaks. See saavutatakse elementaarsete teisenduste abil – nii, et nende rakendamine ei muuda lõplikku vastust kuidagi. Tuleb märkida, et mõned antud elementaarteisendused kehtivad ainult maatriksite jaoks, mille allikaks oli SLAE. Siin on nende teisenduste loend:

Liinide ümberkorraldamine. Ilmselgelt, kui muudate võrrandite järjekorda süsteemikirjes, ei mõjuta see lahendust kuidagi. Järelikult saab selle süsteemi maatriksi ridu ka vahetada, unustamata muidugi vabade terminite veergu.
Stringi kõigi elementide korrutamine teatud koefitsiendiga. Väga abivalmis! Seda saab kasutada maatriksi suurte arvude vähendamiseks või nullide eemaldamiseks. Paljud otsused, nagu tavaliselt, ei muutu, kuid edasised toimingud muutuvad mugavamaks. Peaasi, et koefitsient ei oleks võrdne nulliga.
Proportsionaalsete teguritega ridade eemaldamine. See tuleneb osaliselt eelmisest lõigust. Kui maatriksi kahel või enamal real on proportsionaalsed koefitsiendid, siis ühe rida korrutamisel/jagamisel proportsionaalsuse koefitsiendiga saadakse kaks (või jällegi enam) absoluutselt identset rida ja üleliigsed saab eemaldada, jättes ainult üks.
Nullrea eemaldamine. Kui teisenduse käigus saadakse kuskil rida, milles kõik elemendid, sealhulgas vaba liige, on nullid, siis võib sellist rida nimetada nulliks ja maatriksist välja visata.
Lisades ühe rea elementidele teise rea elemendid (vastavates veergudes), korrutatuna teatud koefitsiendiga. Kõige ilmsem ja kõige olulisem transformatsioon üldse. Sellel tasub põhjalikumalt peatuda.

Koefitsiendiga korrutatud stringi lisamine

Arusaadavuse hõlbustamiseks tasub see protsess samm-sammult lahti võtta. Maatriksist võetakse kaks rida:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Oletame, et peate liitma esimese teisega, korrutatuna koefitsiendiga "-2".

a" 21 = a 21 + -2 × a 11

a" 22 = a 22 + -2 × a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Seejärel asendatakse maatriksi teine rida uuega ja esimene jääb muutumatuks.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Tuleb märkida, et korrutuskoefitsienti saab valida nii, et kahe rea liitmise tulemusena on üks uue rea elementidest võrdne nulliga. Järelikult on võimalik saada võrrand süsteemis, kus on üks tundmatu vähem. Ja kui saate kaks sellist võrrandit, saab toimingu uuesti teha ja saada võrrandi, mis sisaldab kaks tundmatut vähem. Ja kui iga kord, kui muudate ühe koefitsiendi kõigist ridadest, mis jäävad alla algse, nulli, saate sarnaselt treppidega laskuda maatriksi põhja ja saada võrrandi ühe tundmatuga. Seda nimetatakse süsteemi lahendamiseks Gaussi meetodil.

Üldiselt

Las olla süsteem. Sellel on m võrrandit ja n tundmatut juurt. Saate selle kirjutada järgmiselt:

Põhimaatriks koostatakse süsteemi koefitsientidest. Laiendatud maatriksile lisatakse vabade terminite veerg ja mugavuse huvides eraldatakse need joonega.

maatriksi esimene rida korrutatakse koefitsiendiga k = (-a 21 /a 11);
liidetakse maatriksi esimene muudetud rida ja teine rida;
teise rea asemel sisestatakse maatriksisse eelmise lõigu liitmise tulemus;
nüüd on uue teise rea esimene koefitsient a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Nüüd tehakse sama teisenduste seeria, kaasatud on ainult esimene ja kolmas rida. Vastavalt sellele asendatakse algoritmi igas etapis element a 21 elemendiga 31. Seejärel korratakse kõike 41, ... m1 jaoks. Tulemuseks on maatriks, kus ridade esimene element on null. Nüüd peate unustama rea number üks ja täitma sama algoritmi, alustades teisest reast:

koefitsient k = (-a 32 /a 22);
teine muudetud rida lisatakse praegusele reale;
liitmise tulemus asendatakse kolmandale, neljandale ja nii edasi reale, kusjuures esimene ja teine jäävad muutumatuks;
maatriksi ridades on kaks esimest elementi juba võrdsed nulliga.

Algoritmi tuleb korrata seni, kuni ilmub koefitsient k = (-a m,m-1 /a mm). See tähendab, et viimati käivitati algoritm ainult madalama võrrandi jaoks. Nüüd näeb maatriks välja nagu kolmnurk või sellel on astmeline kuju. Alumisel real on võrdus a mn × x n = b m. Koefitsient ja vabaliige on teada ning nende kaudu väljendub juur: x n = b m /a mn. Saadud juur asendatakse ülemisele reale, et leida x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Ja nii edasi analoogia põhjal: igal järgmisel real on uus juur ja süsteemi "ülaossa" jõudes võite leida palju lahendusi. See jääb ainukeseks.

Kui lahendusi pole

Kui ühes maatriksireas on kõik elemendid peale vaba liikme võrdsed nulliga, siis sellele reale vastav võrrand näeb välja 0 = b. Sellel pole lahendust. Ja kuna selline võrrand on süsteemi sees, siis on kogu süsteemi lahenduste hulk tühi, see tähendab, et see on degenereerunud.

Kui lahendusi on lõpmatult palju

Võib juhtuda, et antud kolmnurkmaatriksis pole ühtegi võrrandi ühe koefitsiendielemendi ja ühe vaba liikmega ridu. On ainult read, mis ümberkirjutamisel näeksid välja nagu kahe või enama muutujaga võrrand. See tähendab, et süsteemil on lõpmatu arv lahendusi. Sellisel juhul saab vastuse anda üldlahenduse vormis. Kuidas seda teha?

Kõik maatriksi muutujad on jagatud põhilisteks ja vabadeks. Põhilised on need, mis seisavad astmemaatriksi ridade "serval". Ülejäänud on tasuta. Üldlahenduses kirjutatakse põhimuutujad läbi vabade.

Mugavuse huvides kirjutatakse maatriks kõigepealt tagasi võrrandisüsteemiks. Siis viimases, kus täpselt on järel ainult üks põhimuutuja, jääb see ühele poole ja kõik muu kandub teisele. Seda tehakse iga ühe põhimuutuja võrrandi puhul. Seejärel asendatakse ülejäänud võrrandites võimaluse korral põhimuutuja asemel selle jaoks saadud avaldis. Kui tulemuseks on jällegi ainult ühte põhimuutujat sisaldav avaldis, siis väljendatakse seda sealt uuesti ja nii edasi, kuni iga põhimuutuja kirjutatakse vabade muutujatega avaldisena. See on SLAE üldine lahendus.

Võite leida ka süsteemi põhilahenduse - andke vabadele muutujatele mis tahes väärtused ja seejärel arvutage selle konkreetse juhtumi jaoks põhimuutujate väärtused. On võimalik anda lõpmatu arv konkreetseid lahendusi.

Lahendus konkreetsete näidetega

Siin on võrrandisüsteem.

Mugavuse huvides on parem selle maatriks kohe luua

Teatavasti jääb Gaussi meetodil lahendades esimesele reale vastav võrrand teisenduste lõpus muutumatuks. Seetõttu on tulusam, kui maatriksi ülemine vasak element on väikseim - siis muutuvad ülejäänud ridade esimesed elemendid pärast toiminguid nulliks. See tähendab, et koostatud maatriksis on kasulik panna esimene rida teine.

teine rida: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 = a 22 + k × a 12 = -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11

b" 2 = b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

kolmas rida: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18

b" 3 = b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 = -57

Nüüd, et mitte segadusse sattuda, tuleb üles kirjutada maatriks teisenduste vahetulemustega.

Ilmselgelt saab sellist maatriksit teatud toimingute abil tajumiseks mugavamaks muuta. Näiteks saate eemaldada kõik "miinused" teiselt realt, korrutades iga elemendi "-1"-ga.

Samuti väärib märkimist, et kolmandal real on kõik elemendid kolme kordsed. Seejärel saate stringi selle numbri võrra lühendada, korrutades iga elemendi "-1/3"-ga (miinus - samal ajal, et eemaldada negatiivsed väärtused).

Näeb palju kenam välja. Nüüd peame jätma esimese rea rahule ja töötama teise ja kolmandaga. Ülesanne on lisada kolmas rida kolmandale reale, korrutatuna sellise koefitsiendiga, et element a 32 oleks võrdne nulliga.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (kui mõne teisenduse käigus ei osutu vastus täisarvuks, on soovitatav jätta arvutuste täpsus alles see "nagu on" tavaliste murdude kujul ja alles siis, kui vastused on saadud, otsustage, kas ümardada ja teisendada teisele salvestusvormile)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k × b 2 = 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Maatriks kirjutatakse uuesti uute väärtustega.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Nagu näete, on saadud maatriksil juba astmeline vorm. Seetõttu pole süsteemi edasisi teisendusi Gaussi meetodil vaja. Siin saate eemaldada kolmandalt realt üldise koefitsiendi "-1/7".

Nüüd on kõik ilus. Jääb üle kirjutada maatriks uuesti võrrandisüsteemi kujul ja arvutada juured

x + 2a + 4z = 12 (1)

7a + 11z = 24 (2)

Algoritmi, mille abil juured nüüd leitakse, nimetatakse Gaussi meetodis vastupidiseks liikumiseks. Võrrand (3) sisaldab z väärtust:

y = (24–11 × (61/9))/7 = –65/9

Ja esimene võrrand võimaldab meil leida x:

x = (12 - 4z - 2 a) / 1 = 12 - 4 × (61/9) - 2 × (-65/9) = -6/9 = -2/3

Meil on õigus nimetada sellist süsteemi ühenduskohaks ja isegi kindlaks, st ainulaadse lahendusega. Vastus on kirjutatud järgmisel kujul:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Näide ebakindlast süsteemist

Analüüsitud on varianti, kuidas teatud süsteemi lahendada Gaussi meetodil, nüüd tuleb arvestada juhul, kui süsteem on ebakindel, st sellele võib leida lõpmatult palju lahendusi.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Süsteemi välimus on juba murettekitav, sest tundmatute arv on n = 5 ja süsteemi maatriksi auaste on juba täpselt väiksem kui see arv, kuna ridade arv on m = 4, see tähendab, determinandi ruudu kõrgeim järk on 4. See tähendab, et lahendeid on lõpmatult palju ja tuleb otsida selle üldilmet. Lineaarvõrrandite Gaussi meetod võimaldab seda teha.

Esiteks, nagu tavaliselt, koostatakse laiendatud maatriks.

Teine rida: koefitsient k = (-a 21 /a 11) = -3. Kolmandal real on esimene element enne teisendusi, nii et te ei pea midagi puudutama, peate jätma selle nii, nagu see on. Neljas rida: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Korrutades esimese rea elemendid kordamööda iga koefitsiendiga ja liites need vajalikele ridadele, saame järgmise kujuga maatriksi:

Nagu näete, koosnevad teine, kolmas ja neljas rida üksteisega proportsionaalsetest elementidest. Teine ja neljas on üldiselt identsed, nii et ühe neist saab kohe eemaldada ja ülejäänud saab korrutada koefitsiendiga "-1" ja saada rea number 3. Ja jälle, kahest identsest reast jätke üks.

Tulemuseks on selline maatriks. Kuigi süsteem pole veel üles kirjutatud, on siin vaja määrata põhimuutujad - need, mis seisavad koefitsientide a 11 = 1 ja a 22 = 1 juures ning vabad - kõik ülejäänud.

Teises võrrandis on ainult üks põhimuutuja - x 2. See tähendab, et sealt saab seda väljendada, kirjutades selle läbi muutujate x 3 , x 4 , x 5 , mis on vabad.

Asendame saadud avaldise esimese võrrandiga.

Tulemuseks on võrrand, milles ainus põhimuutuja on x 1 . Teeme sellega sama, mis x 2-ga.

Kõik põhimuutujad, mida on kaks, on väljendatud kolme vabana, nüüd saame vastuse kirjutada üldkujul.

Samuti saate määrata ühe süsteemi konkreetsetest lahendustest. Sellistel juhtudel valitakse vabade muutujate väärtusteks tavaliselt nullid. Siis saab vastuseks:

16, 23, 0, 0, 0.

Näide mittekoostöötavast süsteemist

Ühildumatute võrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodi abil on kiireim. See lõpeb kohe, kui ühes etapis saadakse võrrand, millel pole lahendust. See tähendab, et juurte arvutamise etapp, mis on üsna pikk ja tüütu, jääb ära. Arvesse võetakse järgmist süsteemi:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Nagu tavaliselt, koostatakse maatriks:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Ja see taandatakse astmelisele kujule:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Pärast esimest teisendust sisaldab kolmas rida vormi võrrandit

ilma lahenduseta. Järelikult on süsteem ebajärjekindel ja vastuseks on tühi komplekt.

Meetodi eelised ja puudused

Kui valite, millise meetodi SLAE-de lahendamiseks paberil pliiatsiga lahendada, tundub selles artiklis käsitletud meetod kõige atraktiivsem. Elementaarteisendustes on palju keerulisem segadusse sattuda kui siis, kui peate käsitsi otsima determinanti või mõnda keerulist pöördmaatriksit. Kui aga kasutate seda tüüpi andmetega töötamiseks programme, näiteks tabeleid, siis selgub, et sellised programmid sisaldavad juba algoritme maatriksite põhiparameetrite - determinant, minoorsed, pöördväärtused jne - arvutamiseks. Ja kui olete kindel, et masin arvutab need väärtused ise välja ega tee vigu, on soovitatavam kasutada maatriksmeetodit või Crameri valemeid, kuna nende rakendamine algab ja lõpeb determinantide ja pöördmaatriksite arvutamisega. .

Rakendus

Kuna Gaussi lahendus on algoritm ja maatriks on tegelikult kahemõõtmeline massiiv, saab seda kasutada programmeerimisel. Kuid kuna artikkel positsioneerib end juhendina "mannekeenidele", siis tuleb öelda, et lihtsaim koht meetodi paigutamiseks on tabelid, näiteks Excel. Jällegi käsitleb Excel iga maatriksi kujul tabelisse sisestatud SLAE-d kahemõõtmelise massiivina. Ja nendega tehte jaoks on palju toredaid käske: liitmine (lisada saab ainult ühesuurused maatriksid!), arvuga korrutamine, maatriksite korrutamine (ka teatud piirangutega), pöörd- ja transponeeritud maatriksite leidmine ja mis kõige tähtsam. , determinandi arvutamine. Kui see aeganõudev ülesanne asendada ühe käsuga, on võimalik palju kiiremini määrata maatriksi auaste ja seega tuvastada selle ühilduvus või mitteühilduvus.

Olgu antud lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem, mis tuleb lahendada (leia sellised tundmatute xi väärtused, mis muudavad süsteemi iga võrrandi võrduseks).

Teame, et lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem võib:

1) Sul pole lahendusi (olgu mitteliigeste).
2) teil on lõpmatult palju lahendusi.
3) Leidke üks lahendus.

Nagu mäletame, ei sobi Crameri reegel ja maatriksmeetod juhtudel, kui süsteemil on lõpmata palju lahendusi või see on ebaühtlane. Gaussi meetod – võimsaim ja mitmekülgsem tööriist mis tahes lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste leidmiseks, mis igal juhul viib meid vastuseni! Meetodi algoritm ise töötab kõigil kolmel juhul samamoodi. Kui Crameri ja maatriksmeetodid nõuavad determinantide tundmist, siis Gaussi meetodi rakendamiseks on vaja teadmisi vaid aritmeetiliste tehtetest, mis teeb selle kättesaadavaks ka põhikooliõpilastele.

Laiendatud maatriksiteisendused ( see on süsteemi maatriks - maatriks, mis koosneb ainult tundmatute koefitsientidest, millele lisandub vabade terminite veerg) Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid Gaussi meetodil:

1) Koos troki maatriksid Saab ümber paigutama mõnes kohas.

2) kui maatriksis esinevad (või on olemas) proportsionaalsed (erijuhtumina – identsed) read, siis tuleks kustutada maatriksist kõik need read peale ühe.

3) kui teisenduste käigus tekib maatriksisse nullrida, siis peaks see ka olema kustutada.

4) maatriksi rida võib olla korrutama (jagama) mis tahes arvule peale nulli.

5) maatriksi reale saate lisage veel üks string, mis on korrutatud arvuga, erineb nullist.

Gaussi meetodis ei muuda elementaarteisendused võrrandisüsteemi lahendust.

Gaussi meetod koosneb kahest etapist:

"Otsene liikumine" - elementaarsete teisenduste abil viige lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi laiendatud maatriks "kolmnurksele" sammukujule: põhidiagonaali all asuvad laiendatud maatriksi elemendid on võrdsed nulliga (ülevalt alla liikumine). Näiteks sellele tüübile:

Selleks tehke järgmised toimingud.

1) Vaatleme lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi esimest võrrandit ja koefitsient x 1 jaoks on võrdne K-ga. Teine, kolmas jne. teisendame võrrandid järgmiselt: jagame iga võrrandi (tundmatute koefitsiendid, sealhulgas vabad liikmed) igas võrrandis tundmatu x 1 koefitsiendiga ja korrutame K-ga. Pärast seda lahutame esimese teisest võrrandist ( tundmatute ja vabade terminite koefitsiendid). Teise võrrandi x 1 korral saame koefitsiendi 0. Kolmandast teisendatud võrrandist lahutame esimese võrrandi, kuni kõigi võrrandite, välja arvatud esimese, tundmatu x 1 korral, on koefitsient 0.

2) Liigume edasi järgmise võrrandi juurde. Olgu see teine võrrand ja koefitsient x 2 jaoks, mis on võrdne M-ga. Jätkame kõigi “madalamate” võrranditega, nagu eespool kirjeldatud. Seega on tundmatu x 2 "all" kõigis võrrandites nullid.

3) Liigu järgmise võrrandi juurde ja nii edasi, kuni jääb alles viimane tundmatu ja teisendatud vaba liige.

Gaussi meetodi "tagurpidi liikumine" seisneb lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse leidmises ("alt-üles" liikumine). Viimasest "madalamast" võrrandist saame ühe esimese lahendi - tundmatu x n. Selleks lahendame elementaarvõrrandi A * x n = B. Ülaltoodud näites x 3 = 4. Asendame leitud väärtuse “ülemise” järgmise võrrandiga ja lahendame selle järgmise tundmatu suhtes. Näiteks x 2 – 4 = 1, s.o. x 2 = 5. Ja nii edasi, kuni leiame kõik tundmatud.

Näide.

Lahendame lineaarsete võrrandite süsteemi Gaussi meetodi abil, nagu mõned autorid soovitavad:

Kirjutame üles süsteemi laiendatud maatriksi ja viime selle elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Vaatame vasakpoolset ülemist "sammu". Meil peaks üks seal olema. Probleem on selles, et esimeses veerus pole ühikuid üldse, nii et ridade ümberpaigutamine ei lahenda midagi. Sellistel juhtudel tuleb üksus organiseerida elementaarse teisenduse abil. Tavaliselt saab seda teha mitmel viisil. Teeme ära:
1 samm . Esimesele reale lisame teise rea, korrutatuna -1-ga. See tähendab, et me korrutasime mõtteliselt teise rea -1-ga ja lisasime esimese ja teise rea, samas kui teine rida ei muutunud.

Nüüd on üleval vasakul “miinus üks”, mis sobib meile päris hästi. Kõik, kes soovivad saada +1, saavad teha lisatoimingu: korrutage esimene rida –1-ga (muutke selle märki).

2. samm . Esimene rida, mis on korrutatud 5-ga, lisati teisele reale. Esimene rida, mis on korrutatud 3-ga, lisati kolmandale reale.

3. samm . Esimene rida korrutati –1-ga, põhimõtteliselt on see ilu pärast. Samuti muudeti kolmanda rea märki ja viidi see teisele kohale, nii et teisel “sammul” oli meil vajalik ühik.

4. samm . Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna 2-ga.

5. samm . Kolmas rida jagati 3-ga.

Märk, mis näitab viga arvutustes (harvemini kirjaviga), on "halb" lõpptulemus. See tähendab, et kui saime alla midagi sellist nagu (0 0 11 |23) ja vastavalt 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, siis võime suure tõenäosusega väita, et algõpetuse ajal tehti viga. teisendusi.

Teeme vastupidi, näidete kujundamisel ei kirjutata sageli ümber süsteemi, vaid võrrandid on "võetud otse antud maatriksist". Tuletan teile meelde, et vastupidine käik toimib alt üles. Selles näites oli tulemuseks kingitus:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, seega x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Vastus:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Lahendame sama süsteemi pakutud algoritmi kasutades. Saame

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Jagage teine võrrand 5-ga ja kolmas 3-ga.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Korrutades teise ja kolmanda võrrandi 4-ga, saame:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Lahutage esimene võrrand teisest ja kolmandast võrrandist, saame:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Jagage kolmas võrrand 0,64-ga:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Korrutage kolmas võrrand 0,4-ga

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Lahutades teise kolmandast võrrandist, saame "astmelise" laiendatud maatriksi:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Seega, kuna arvutuste käigus kogunes viga, saame x 3 = 0,96 ehk ligikaudu 1.

x 2 = 3 ja x 1 = –1.

Selliselt lahendades ei lähe te arvutustes kunagi segadusse ja hoolimata arvutusvigadest saate tulemuse.

See lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamise meetod on kergesti programmeeritav ega võta arvesse tundmatute koefitsientide eripärasid, sest praktikas (majanduslikes ja tehnilistes arvutustes) tuleb tegeleda mittetäisarvuliste koefitsientidega.

Soovin teile edu! Kohtumiseni klassis! Juhendaja.

blog.site, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vaja linki algallikale.

Gaussi meetod, mida nimetatakse ka tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetodiks, on järgmine. Elementaarteisenduste abil viiakse lineaarvõrrandisüsteem sellisele kujule, et selle koefitsientide maatriks osutub trapetsikujuline (sama, mis kolmnurkne või astmeline) või trapetsilähedane (Gaussi meetodi otselöök, edaspidi - lihtsalt sirge löök). Sellise süsteemi ja selle lahenduse näide on ülaltoodud joonisel.

Sellises süsteemis sisaldab viimane võrrand ainult ühte muutujat ja selle väärtus on üheselt leitav. Selle muutuja väärtus asendatakse seejärel eelmise võrrandiga ( Gaussi meetodi pöördvõrdeline , siis just vastupidi), millest leitakse eelmine muutuja jne.

Trapetsikujulises (kolmnurkses) süsteemis, nagu näeme, ei sisalda kolmas võrrand enam muutujaid y Ja x, ja teine võrrand on muutuja x .

Kui süsteemi maatriks on võtnud trapetsikujulise kuju, ei ole enam keeruline mõista süsteemi ühilduvuse küsimust, määrata lahenduste arvu ja ise lahendusi leida.

Meetodi eelised:

rohkem kui kolme võrrandiga ja tundmatutega lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel ei ole Gaussi meetod nii tülikas kui Crameri meetod, kuna Gaussi meetodiga lahendamine nõuab vähem arvutusi;
Gaussi meetodiga saab lahendada määramata lineaarvõrrandi süsteeme, st neid, millel on üldine lahendus (ja me analüüsime neid selles õppetükis), ja kasutades Crameri meetodit, saame vaid väita, et süsteem on määramatu;
saate lahendada lineaarvõrrandisüsteeme, milles tundmatute arv ei võrdu võrrandite arvuga (neid analüüsime ka selles õppetükis);
Meetod põhineb algklasside (kooli)meetoditel - tundmatute asendamise meetodil ja võrrandite liitmise meetodil, mida puudutasime vastavas artiklis.

Et kõik saaksid aru, millise lihtsusega lahendatakse trapetsikujulisi (kolmnurkseid, astmelisi) lineaarvõrrandisüsteeme, esitame sellisele süsteemile lahenduse, kasutades pöördliikumist. Selle süsteemi kiiret lahendust näidati tunni alguses oleval pildil.

Näide 1. Lahendage lineaarvõrrandisüsteem, kasutades pöördväärtust:

Lahendus. Selles trapetsikujulises süsteemis muutuja z võib üheselt leida kolmandast võrrandist. Asendame selle väärtuse teise võrrandiga ja saame muutuja väärtuse y:

Nüüd teame kahe muutuja väärtusi - z Ja y. Asendame need esimese võrrandiga ja saame muutuja väärtuse x:

Eelnevatest sammudest kirjutame välja võrrandisüsteemi lahendi:

Sellise trapetsikujulise lineaarvõrrandisüsteemi saamiseks, mille lahendasime väga lihtsalt, on vaja kasutada lineaarvõrrandisüsteemi elementaarsete teisendustega seotud edasikäiku. See pole ka väga raske.

Lineaarvõrrandisüsteemi elementaarteisendused

Korrates koolkonna meetodit süsteemi võrrandite algebraliseks liitmiseks, saime teada, et süsteemi ühele võrrandile saame lisada veel ühe süsteemi võrrandi ja iga võrrandi saab korrutada mõne arvuga. Selle tulemusena saame sellega võrdväärse lineaarvõrrandisüsteemi. Selles sisaldas üks võrrand juba ainult ühte muutujat, mille väärtuse asendamisel teiste võrranditega jõuame lahenduseni. Selline lisamine on üks süsteemi elementaarse teisendamise tüüpe. Gaussi meetodi kasutamisel saame kasutada mitut tüüpi teisendusi.

Ülaltoodud animatsioon näitab, kuidas võrrandisüsteem muutub järk-järgult trapetsikujuliseks. See on see, mida nägite esimeses animatsioonis ja veendusite, et sellest on lihtne leida kõigi tundmatute väärtusi. Kuidas sellist teisendust läbi viia, ja muidugi näiteid, arutatakse edasi.

Mis tahes arvu võrrandite ja tundmatute lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel võrrandisüsteemis ja süsteemi laiendatud maatriksis Saab:

ridade ümberkorraldamine (seda mainiti selle artikli alguses);
kui muude teisenduste tulemuseks on võrdsed või proportsionaalsed read, saab need kustutada, välja arvatud üks;
eemaldage "null" read, kus kõik koefitsiendid on nulliga võrdsed;
korrutage või jagage mis tahes string teatud arvuga;
mis tahes reale lisage veel üks rida, mis on korrutatud teatud arvuga.

Teisenduste tulemusena saame sellega võrdväärse lineaarvõrrandisüsteemi.

Algoritm ja näited lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks süsteemi ruutmaatriksiga Gaussi meetodil

Vaatleme esmalt lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist, milles tundmatute arv on võrdne võrrandite arvuga. Sellise süsteemi maatriks on ruut, see tähendab, et ridade arv selles võrdub veergude arvuga.

Näide 2. Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel koolimeetoditega korrutasime ühe võrrandi liikme kaupa teatud arvuga, nii et kahe võrrandi esimese muutuja koefitsiendid olid vastandarvud. Võrrandite lisamisel see muutuja elimineeritakse. Gaussi meetod töötab sarnaselt.

Lahenduse välimuse lihtsustamiseks loome süsteemi laiendatud maatriksi:

Selles maatriksis asuvad tundmatute koefitsiendid vasakul enne vertikaaljoont ja vabad liikmed asuvad paremal pärast vertikaaljoont.

Muutujate jaotuskoefitsientide mugavuse huvides (ühtsuse järgi jagamise saamiseks) Vahetame süsteemimaatriksi esimese ja teise rea. Saame sellega samaväärse süsteemi, kuna lineaarvõrrandisüsteemis saab võrrandeid omavahel vahetada:

Uue esimese võrrandi kasutamine muutuja kõrvaldada x teisest ja kõigist järgnevatest võrranditest. Selleks lisame maatriksi teisele reale esimese rea, korrutatuna -ga (meie puhul -ga), kolmandale reale - esimesele reale, korrutatuna -ga (meie puhul -ga).

See on võimalik, kuna

Kui meie süsteemis oleks rohkem kui kolm võrrandit, siis peaksime kõikidele järgnevatele võrranditele liitma esimese rea, mis on korrutatud vastavate koefitsientide suhtega, mis on võetud miinusmärgiga.

Selle tulemusena saame selle uue võrrandisüsteemiga samaväärse maatriksi, milles kõik võrrandid, alates teisest ei sisalda muutujat x :

Saadud süsteemi teise rea lihtsustamiseks korrutage see ja hankige uuesti selle süsteemiga samaväärse võrrandisüsteemi maatriks:

Nüüd, jättes saadud süsteemi esimese võrrandi muutmata, teist võrrandit kasutades elimineerime muutuja y kõigist järgnevatest võrranditest. Selleks lisame süsteemimaatriksi kolmandale reale teise rea, korrutatuna arvuga (meie puhul -ga).

Kui meie süsteemis oleks rohkem kui kolm võrrandit, siis peaksime kõikidele järgnevatele võrranditele lisama teise rea, korrutatuna miinusmärgiga võetud vastavate koefitsientide suhtega.

Selle tulemusena saame jälle selle lineaarvõrrandisüsteemiga samaväärse süsteemi maatriksi:

Oleme saanud samaväärse trapetsikujulise lineaarvõrrandisüsteemi:

Kui võrrandite ja muutujate arv on suurem kui meie näites, jätkub muutujate järjestikuse elimineerimise protsess, kuni süsteemimaatriks muutub trapetsikujuliseks, nagu meie demonäites.

Leiame lahenduse "lõpust" - vastupidine käik. Selle jaoks viimasest võrrandist, mille me määrame z:
.
Asendades selle väärtuse eelmise võrrandiga, me leiame y:

Esimesest võrrandist me leiame x:

Vastus: selle võrrandisüsteemi lahendus on .

: sel juhul antakse sama vastus, kui süsteemil on unikaalne lahendus. Kui süsteemil on lõpmatu arv lahendusi, siis see on vastus ja see on selle õppetunni viienda osa teema.

Lahendage ise Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem ja seejärel vaadake lahendust

Siin on jällegi näide järjepidevast ja kindlast lineaarvõrrandisüsteemist, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute arvuga. Erinevus meie demo näitest algoritmist seisneb selles, et seal on juba neli võrrandit ja neli tundmatut.

Näide 4. Lahendage Gaussi meetodil lineaarvõrrandisüsteem:

Nüüd peate kasutama teist võrrandit, et kõrvaldada muutuja järgmistest võrranditest. Teeme ettevalmistustööd. Koefitsientide suhte mugavamaks muutmiseks peate teise rea teise veergu saama ühe. Selleks lahutage teisest reast kolmas ja korrutage saadud teine rida -1-ga.

Teeme nüüd muutuja tegeliku elimineerimise kolmandast ja neljandast võrrandist. Selleks lisage teine rida, mis on korrutatud , kolmandale reale ja teine, korrutatud -ga, neljandale reale.

Nüüd, kasutades kolmandat võrrandit, eemaldame muutuja neljandast võrrandist. Selleks lisage kolmas rida neljandale reale, korrutatuna . Saame laiendatud trapetsikujulise maatriksi.

Saime võrrandisüsteemi, millega antud süsteem on ekvivalentne:

Järelikult on saadud ja antud süsteemid ühilduvad ja kindlad. Leiame lõpliku lahenduse “lõpust”. Neljandast võrrandist saame otseselt väljendada muutuja “x neljas” väärtust:

Asendame selle väärtuse süsteemi kolmanda võrrandiga ja saame

Lõpuks väärtuste asendamine

Esimene võrrand annab

kust leiame "x first":

Vastus: sellel võrrandisüsteemil on ainulaadne lahendus .

Süsteemi lahendust saab kontrollida ka kalkulaatorist kasutades Crameri meetodit: sel juhul antakse sama vastus, kui süsteemil on unikaalne lahendus.

Rakendusülesannete lahendamine Gaussi meetodil sulamite ülesande näitel

Lineaarvõrrandisüsteeme kasutatakse reaalsete objektide modelleerimiseks füüsilises maailmas. Lahendame ühe neist probleemidest – sulamid. Sarnased probleemid on probleemid segudega, üksikute kaupade maksumus või osakaal kaubagrupis jms.

Näide 5. Kolme sulamitüki kogumass on 150 kg. Esimene sulam sisaldab 60% vaske, teine - 30%, kolmas - 10%. Pealegi on teises ja kolmandas sulamis kokku 28,4 kg vähem vaske kui esimeses sulamis ja kolmandas sulamis 6,2 kg vähem vaske kui teises. Leidke sulami iga tüki mass.

Lahendus. Koostame lineaarvõrrandisüsteemi:

Korrutame teise ja kolmanda võrrandi 10-ga, saame samaväärse lineaarvõrrandisüsteemi:

Loome süsteemist laiendatud maatriksi:

Tähelepanu, otse edasi. Lisades (meie puhul lahutades) ühe rea, mis on korrutatud arvuga (rakendame seda kaks korda), tekivad süsteemi laiendatud maatriksiga järgmised teisendused:

Otsene kolimine on läbi. Saime laiendatud trapetsikujulise maatriksi.

Rakendame vastupidist liikumist. Leiame lahenduse lõpust. Me näeme seda.

Teisest võrrandist leiame

Kolmandast võrrandist -

Süsteemi lahendust saab kontrollida ka kalkulaatorist kasutades Crameri meetodit: sel juhul antakse sama vastus, kui süsteemil on unikaalne lahendus.

Gaussi meetodi lihtsusest annab tunnistust tõsiasi, et Saksa matemaatikul Carl Friedrich Gaussil kulus selle leiutamiseks vaid 15 minutit. Lisaks temanimelisele meetodile on Gaussi teostest teada ütlus “Me ei tohiks segi ajada seda, mis meile uskumatu ja ebaloomulikuna näib, absoluutselt võimatuga” – omamoodi põgus juhis avastuste tegemiseks.

Paljudes rakendatud ülesannetes ei pruugi olla kolmandat piirangut ehk kolmandat võrrandit, siis tuleb Gaussi meetodil lahendada kahest võrrandist koosnev kolme tundmatuga võrrandi süsteem või vastupidi, tundmatuid on vähem kui võrrandeid. Nüüd hakkame selliseid võrrandisüsteeme lahendama.

Gaussi meetodi abil saate määrata, kas süsteem on ühilduv või mitteühilduv n lineaarvõrrandid n muutujad.

Gaussi meetod ja lõpmatu arvu lahendustega lineaarvõrrandisüsteemid

Järgmine näide on järjekindel, kuid määramatu lineaarvõrrandisüsteem, st millel on lõpmatu arv lahendusi.

Pärast teisenduste tegemist süsteemi laiendatud maatriksis (ridade ümberkorraldamine, ridade korrutamine ja jagamine teatud arvuga, ühele reale teise lisamine) võivad tekkida vormi read.

Kui kõigis võrrandites on vorm

Vabaliikmed on võrdsed nulliga, see tähendab, et süsteem on määramatu, see tähendab, et sellel on lõpmatu arv lahendeid ja seda tüüpi võrrandid on "ülearused" ja me jätame need süsteemist välja.

Näide 6.

Lahendus. Loome süsteemist laiendatud maatriksi. Seejärel, kasutades esimest võrrandit, eemaldame muutuja järgmistest võrranditest. Selleks lisage teisele, kolmandale ja neljandale reale esimene, korrutatuna arvuga:

Nüüd lisame teise rea kolmandale ja neljandale.

Selle tulemusena jõuame süsteemini

Kaks viimast võrrandit muudeti vormi võrranditeks. Need võrrandid on täidetud mis tahes tundmatute väärtuste korral ja need võib kõrvale jätta.

Teise võrrandi rahuldamiseks saame valida suvalised väärtused ja jaoks, siis määratakse väärtus üheselt: . Esimesest võrrandist leitakse ka väärtus ainukordselt: .

Nii antud kui ka viimane süsteem on kooskõlas, kuid ebakindlad, ja valemid

meelevaldse jaoks ja anna meile kõik antud süsteemi lahendused.

Gaussi meetod ja lahendusteta lineaarvõrrandisüsteemid

Järgmine näide on ebajärjekindel lineaarvõrrandisüsteem, st selline, millel pole lahendusi. Vastus sellistele probleemidele on sõnastatud nii: süsteemil pole lahendusi.

Nagu esimese näitega seoses juba mainitud, võivad pärast teisenduste sooritamist süsteemi laiendatud maatriksisse ilmuda vormi read.

mis vastab vormi võrrandile

Kui nende hulgas on vähemalt üks nullist erineva vaba liikmega võrrand (st), siis on see võrrandisüsteem ebajärjekindel, see tähendab, et tal pole lahendeid ja selle lahendus on täielik.

Näide 7. Lahendage lineaarvõrrandisüsteem Gaussi meetodil:

Lahendus. Koostame süsteemi laiendatud maatriksi. Kasutades esimest võrrandit, jätame muutuja järgmistest võrranditest välja. Selleks liidetakse esimene rida, mis on korrutatud, teisele reale, esimene rida, mis on korrutatud kolmanda reaga, ja esimene rida, mis on korrutatud neljanda reaga.

Nüüd peate kasutama teist võrrandit, et kõrvaldada muutuja järgmistest võrranditest. Koefitsientide täisarvude suhete saamiseks vahetame süsteemi laiendatud maatriksi teise ja kolmanda rea.

Kolmanda ja neljanda võrrandi välistamiseks lisage kolmandale reale teine, korrutatuna , ja neljandale reale teine korrutatud võrrandiga.

Nüüd, kasutades kolmandat võrrandit, eemaldame muutuja neljandast võrrandist. Selleks lisage kolmas rida neljandale reale, korrutatuna .

Antud süsteem on seega samaväärne järgmisega:

Saadud süsteem on ebajärjekindel, kuna selle viimast võrrandit ei saa rahuldada ühegi tundmatu väärtusega. Seetõttu pole sellel süsteemil lahendusi.

Õppeasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

Juhised

uurida teemat „Gaussi meetod lineaarsete süsteemide lahendamiseks

võrrandid" korrespondentõppe raamatupidamisteaduskonna (NISPO) üliõpilaste poolt

Gorki, 2013

Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks

Ekvivalentsed võrrandisüsteemid

Kaht lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse samaväärseks, kui iga lahendus neist on teise lahendus. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise protsess seisneb selle järjestikuses teisendamises samaväärseks süsteemiks, kasutades nn. elementaarsed teisendused , mis on:

1) süsteemi mis tahes kahe võrrandi ümberpaigutamine;

2) süsteemi mis tahes võrrandi mõlema poole korrutamine nullist erineva arvuga;

3) mis tahes võrrandile teise võrrandi lisamine, mis on korrutatud mis tahes arvuga;

4) nullidest koosneva võrrandi läbikriipsutamine, s.o. vormi võrrandid

Gaussi eliminatsioon

Mõelge süsteemile m lineaarvõrrandid n teadmata:

Gaussi meetodi ehk tundmatute järjestikuse elimineerimise meetodi olemus on järgmine.

Esiteks, kasutades elementaarteisendusi, elimineeritakse tundmatu kõigist süsteemi võrranditest, välja arvatud esimene. Selliseid süsteemiteisendusi nimetatakse Gaussi eliminatsiooni etapp . Tundmatut kutsutakse lubav muutuja ümberkujundamise esimesel etapil. Koefitsienti nimetatakse eraldusvõime tegur , nimetatakse esimest võrrandit võrrandi lahendamine , ja koefitsientide veerg juures lubade veerg .

Gaussi elimineerimise ühe etapi sooritamisel peate järgima järgmisi reegleid:

1) lahendusvõrrandi koefitsiendid ja vaba tähtaeg jäävad muutumatuks;

2) lahutuskoefitsiendist allpool asuva eraldusvõime veeru koefitsiendid muutuvad nulliks;

3) kõik muud koefitsiendid ja vabad liikmed esimese sammu sooritamisel arvutatakse ristkülikureegli järgi:

, Kus i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Teeme sarnased teisendused süsteemi teisel võrrandil. See toob kaasa süsteemi, kus tundmatu elimineeritakse kõigis võrrandites, välja arvatud kaks esimest. Selliste teisenduste tulemusena süsteemi iga võrrandi üle (Gaussi meetodi otsene progresseerumine) taandatakse algne süsteem ühte järgmistest tüüpidest ekvivalentseks astmesüsteemiks.

Vastupidine Gaussi meetod

Sammusüsteem

on kolmnurkse välimusega ja kõik (i=1,2,…,n). Sellisel süsteemil on ainulaadne lahendus. Tundmatud määratakse alates viimasest võrrandist (Gaussi meetodi vastupidine).

Sammusüsteemil on vorm

kus, st. süsteemi võrrandite arv on väiksem või võrdne tundmatute arvuga. Sellel süsteemil pole lahendusi, kuna viimane võrrand ei ole täidetud muutuja ühegi väärtuse puhul.

Sammu tüüpi süsteem

on lugematu arv lahendusi. Viimasest võrrandist lähtudes väljendatakse tundmatut tundmatute kaudu . Seejärel asendatakse eelviimases võrrandis tundmatu asemel selle avaldis tundmatutega . Jätkates Gaussi meetodi vastupidist, tundmatud saab väljendada tundmatute kaudu . Antud juhul tundmatud kutsutakse tasuta ja võib võtta mis tahes väärtusi ja tundmatuid põhilised.

Praktikas süsteemide lahendamisel on mugav teha kõiki teisendusi mitte võrrandisüsteemiga, vaid süsteemi laiendatud maatriksiga, mis koosneb tundmatute koefitsientidest ja vabade terminite veerust.

Näide 1. Lahenda võrrandisüsteem

Lahendus. Loome süsteemist laiendatud maatriksi ja teostame elementaarsed teisendused:

Süsteemi laiendatud maatriksis on number 3 (see on esile tõstetud) eraldusvõime koefitsient, esimene rida on eraldusvõime rida ja esimene veerg on eraldusvõime veerg. Järgmisele maatriksile liikudes ei muutu resolutsioonirida kõik eraldusvõime elemendi all olevad elemendid nullidega. Ja kõik teised maatriksi elemendid arvutatakse ümber nelinurkreegli järgi. Teise rea elemendi 4 asemel kirjutame , kirjutatakse see teisel real elemendi -3 asemel jne. Seega saadakse teine maatriks. Selle maatriksi eraldusvõime elemendiks on teises reas number 18. Järgmise (kolmanda maatriksi) moodustamiseks jätke teine rida muutmata, kirjutage lahendava elemendi all olevasse veergu null ja arvutage ülejäänud kaks elementi ümber: numbri 1 asemel kirjutage , ja numbri 16 asemel kirjutame .