Praktiline töö pöördtrigonomeetriliste funktsioonide teemal. "pöördvõrdelised trigonomeetrilised funktsioonid" – dokument

Sihtmärk:

Ülesanne: looge test "Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid"

Interneti-ressursid

Tarneaeg - vastavalt tehnilistele andmetele

Iseseisev töö nr 14 (2 tundi)

Teemal: “Piki koordinaattelgede venitamine ja kokkusurumine”

Sihtmärk:õpilaste omandatud teoreetiliste teadmiste ja praktiliste oskuste süstematiseerimine ja kinnistamine;

Ülesanne: Referaat teemal: “Piirendus ja kokkusurumine piki koordinaattelgesid”

Kirjandus: A.G.Mordkovich “Algebra ja matemaatilise analüüsi algus” 10.klass

Interneti-ressursid

Tarneaeg - vastavalt tehnilistele andmetele

Iseseisev töö nr 15 (1 tund)

Teemal: “Piki koordinaattelgede venitamine ja kokkusurumine”

Sihtmärk: iseseisva mõtlemise, enesearengu, enesetäiendamise ja -teostusvõime kujunemine

Ülesanne: esitlus: “Piirendus ja tihendamine piki koordinaattelge”

Kirjandus: A.G.Mordkovich “Algebra ja matemaatilise analüüsi algus” 10.klass

Interneti-ressursid

Tarneaeg - vastavalt tehnilistele andmetele

Iseseisev töö nr 16 (2 tundi)

Teemal: "Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid, nende omadused ja graafikud"

Sihtmärk:õpilaste omandatud teoreetiliste teadmiste ja praktiliste oskuste süstematiseerimine ja kinnistamine

Ülesande täitmise vorm: uurimistöö.

Kirjandus: A.G.Mordkovich “Algebra ja matemaatilise analüüsi algus” 10.klass

Interneti-ressursid

Tarneaeg - vastavalt tehnilistele andmetele

Iseseisev töö nr 18 (6 tundi)

Teemal: “Poolargumendi valemid”

Eesmärk: teoreetiliste teadmiste süvendamine ja laiendamine

Ülesanne: kirjutage sõnum teemal "Poolargumendi valemid". Looge trigonomeetria valemite jaoks viitetabel

Kirjandus: A.G.Mordkovich “Algebra ja matemaatilise analüüsi algus” 10.klass

Interneti-ressursid

Tarneaeg - vastavalt tehnilistele andmetele

Esileht.

Tööplaan koostatakse pealkirjaga „Sisukord“; asukoht - kesklinnas.

Bibliograafiliste allikate loetelu on esitatud rubriigis “Kirjandus”. Viidete loetelus peavad olema kõik kasutatud allikad: teave raamatute (monograafiad, õpikud, käsiraamatud, teatmeteosed jne) kohta peab sisaldama: autori perekonnanime ja initsiaale, raamatu pealkirja, ilmumiskohta, väljaandjat, ilmumisaastat. Kui autoreid on kolm või enam, on lubatud märkida ainult neist esimese perekonnanimi ja initsiaalid sõnadega “jne”. Ilmumiskoha nimi tuleb esitada täies mahus nimetavas käändes: lubatud on ainult kahe linna nime lühend: Moskva (M.) ja Peterburi (SPb.). Viidatud bibliograafilised allikad tuleks sortida tähestikulises järjekorras kasvavas järjekorras. Nimekiri peab koosnema vähemalt kolmest allikast.

Iga uus tööosa, uus peatükk, uus lõik algab järgmiselt leheküljelt.

Taotlus vormistatakse eraldi lehtedel, igal taotlusel on järjekorranumber ja temaatiline pealkiri. Ülemises paremas nurgas on kiri “Lisa” 1 (2.3...). Rakenduse pealkiri vormistatakse lõigu pealkirjana.

Töö maht on vähemalt 10 lehte arvutis (kirjutusmasinal) trükitud lehti; Sisukord, bibliograafia ja lisad ei sisaldu määratud lehekülgede arvus.

Käsikirja tekst on trükitud kirjas nr 14, intervalliga 1,5.

Veerised: vasak - 3 cm, parem - 1 cm, ülemine ja alumine - 2 cm.

Punane joon - 1,5 cm - 1,8.

Pärast tsitaati töö tekstis kasutatakse järgmisi märke: “...”, kus bibliograafilise allika number on võetud viidete loetelust.

Apellatsioon avalduse tekstile on vormistatud järgmiselt: (vt lisa 1).

Algoritmi diagrammide, tabelite ja valemite kujundamine. Illustratsioonid (graafikud, diagrammid, diagrammid) võivad olla referaadi põhitekstis ja lisade osas. Kõiki illustratsioone nimetatakse joonisteks. Kõik joonised, tabelid ja valemid on nummerdatud araabia numbritega ja neil on rakenduses pidev nummerdamine. Igal joonisel peab olema allkiri. Näiteks:

Joonis 12. Rakenduse peaakna vorm.

Kõigil töö joonistel, tabelitel ja valemitel peavad olema lingid kujul: „rakenduse põhiakna vorm on näidatud joonisel fig. 12."

Joonised ja tabelid tuleks paigutada kohe pärast lehekülge, millel seda märkuse tekstis esimest korda mainitakse. Kui ruumi mahub, võib joonise (tabeli) paigutada tekstis samale lehele, kus on antud esimene link sellele.

Kui joonisel on rohkem kui üks lehekülg, märgitakse kõik leheküljed peale esimese joonise numbri ja sõnaga "Jätkamine". Näiteks:

Riis. 12. Jätkub

Joonised tuleks paigutada nii, et neid saaks vaadata ilma nooti keeramata. Kui selline paigutus pole võimalik, tuleks joonised paigutada nii, et nende vaatamiseks tuleks tööd päripäeva keerata.

Algoritmi diagrammid tuleb koostada ESPD standardi järgi. Algoritmdiagrammide joonistamisel peaks pideva joone paksus olema vahemikus 0,6–1,5 mm. Skeemidel olevad pealdised peavad olema tehtud joonistuskirjas. Tähtede ja numbrite kõrgus peab olema vähemalt 3,5 mm.

Tabeli number asetatakse ülemisse paremasse nurka tabeli pealkirja kohale, kui see on olemas. Pealkiri, välja arvatud esimene täht, kirjutatakse väiketähtedega. Lühendites kasutatakse ainult suurtähti. Näiteks: arvuti.

Valemi number paigutatakse valemi tasemel lehe paremale küljele sulgudesse. Näiteks: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Näiteks: väärtused arvutatakse valemi (12) abil.

Nummerdada teose leheküljed vastavalt raamatuversioonile: trükitud numbritega, lehe paremas alanurgas, alustades “Sissejuhatuse” tekstist (lk 3). Töö on nummerdatud järjest, kuni viimase leheküljeni.

Sõna “peatükk” on kirjutatud, peatükid nummerdatakse rooma numbritega, lõigud nummerdatakse araabia keeles, märk; pole kirjutatud; osa tööst "Sissejuhatus". “Järeldus” ja “Kirjandus” ei ole nummerdatud.

Peatükkide ja lõikude pealkirjad on kirjutatud punasele joonele.

Pealkirjad “Sissejuhatus”, “Kokkuvõte”, “Kirjandus” kirjutatakse lehe keskele, ülaossa, ilma jutumärkideta, ilma punktita.

Töö sissejuhatuse ja kokkuvõtte maht on 1,5-2 lehekülge trükiteksti.

Töö tuleb kokku õmmelda.

Töös kasutatakse kolme tüüpi kirjatüüpi: 1 - peatükkide pealkirjade, pealkirjade “Sisukord”, “Kirjandus”, “Sissejuhatus”, “Kokkuvõte” esiletõstmiseks; 2 - lõigupealkirjade esiletõstmiseks; 3 - teksti jaoks

Esitlusnõuded

Esimene slaid sisaldab:

ü ettekande pealkiri;

Teine slaid näitab töö sisu, mida on kõige parem esitada hüperlinkide kujul (esitluse interaktiivsuse huvides).

Viimasel slaidil on vastavalt nõuetele kasutatud kirjanduse loetelu, Interneti-ressursid on loetletud viimasena.

8 Ärge liialdage suurte tähtedega (need on vähem loetavad kui väikesed).

Teabe esiletõstmise viisid

Peaksite kasutama: 8 raami, ääriseid, varjutamist 8 erinevat fondivärvi, varjutust, nooli 8 pilti, diagramme, diagramme kõige olulisemate faktide illustreerimiseks

Teabe maht

8, ärge täitke ühte slaidi liiga palju teavet: inimesed ei mäleta korraga rohkem kui kolm fakti, järeldust ja määratlust.

8, saavutatakse suurim tõhusus, kui võtmepunkte kajastatakse ükshaaval igal üksikul slaidil.

Slaidide tüübid

Vahelduse tagamiseks tuleks kasutada erinevat tüüpi slaide: tekstiga, tabelitega, diagrammidega.

Töö käigus õpilased:

Vaadata läbi ja uurida vajalikku materjali nii loengutes kui ka lisateabeallikates;

Koostage sõnade loend suuna järgi eraldi;

Koostage valitud sõnade jaoks küsimusi;

Kontrollida teksti õigekirja ja vastavust numeratsioonile;

Loo valmis ristsõna.

Üldnõuded ristsõnade koostamiseks:

"Tühjade" (täitmata lahtrite) olemasolu ristsõna ruudustikus ei ole lubatud;

Juhuslikud tähekombinatsioonid ja ristumiskohad ei ole lubatud;

Peidetud sõnad peavad olema nimisõnad ainsuse nimetavas käändes;

Kahetähelistel sõnadel peab olema kaks ristumiskohta;

Vastused avaldatakse eraldi. Vastused on mõeldud ristsõnalahenduse õigsuse kontrollimiseks ja annavad võimaluse tutvuda tingimuste lahendamata positsioonide õigete vastustega, mis aitab lahendada üht ristsõna lahendamise põhiülesannet - eruditsiooni suurendamist ja sõnavara suurendamist.

Täidetud ristsõnade hindamise kriteeriumid:

1. Materjali esituse selgus, teemauurimuse terviklikkus;

2. Ristsõna originaalsus;

3. Töö praktiline tähendus;

4. Materjali stiililise esituse tase, stiilivigade puudumine;

5. Töödisaini tase, grammatiliste ja kirjavahemärkide olemasolu või puudumine;

6. Küsimuste arv ristsõnas, nende õige esitamine.

Selleks, et praktilised tunnid tooksid maksimaalset kasu, tuleb meeles pidada, et olustikuülesannete harjutus ja lahendamine toimub loengutes loetud materjali põhjal ning on tavaliselt seotud loengukursuse üksikute küsimuste üksikasjaliku analüüsiga. Tuleb rõhutada, et alles pärast loengumaterjali valdamist teatud vaatenurgast (nimelt sellest, millest see loengutes esitatakse) tugevneb see praktilistes tundides nii arutelu kui ka loengute analüüsi tulemusena. loengumaterjali ja olukorraülesannete lahendamisega. Nendel tingimustel ei omanda üliõpilane mitte ainult materjali hästi, vaid õpib seda ka praktikas rakendama ning saab ka täiendava stiimuli (ja see on väga oluline) loengu aktiivseks õppimiseks.

Määratud ülesandeid iseseisvalt lahendades peate iga tegevusetappi põhjendama, lähtudes kursuse teoreetilistest põhimõtetest. Kui õpilane näeb probleemi (ülesande) lahendamiseks mitut võimalust, siis tuleb neid võrrelda ja valida kõige ratsionaalsem. Enne probleemide lahendamisega alustamist on kasulik koostada lühiplaan ülesande (ülesande) lahendamiseks. Probleemsete probleemide lahendus või näited tuleks esitada üksikasjalikult koos kommentaaride, diagrammide, jooniste ja jooniste ning teostusjuhistega.

Tuleb meeles pidada, et iga haridusprobleemi lahendus tuleks viia tingimusega nõutava lõpliku loogilise vastuseni ja võimalusel koos järeldusega. Saadud tulemust tuleks kontrollida antud ülesande olemusest tulenevatel viisidel.

· Testiülesande põhitingimused peavad olema selgelt ja selgelt määratletud.

· Testiülesanded peavad olema pragmaatiliselt korrektsed ja kavandatud hindama õpilaste haridussaavutuste taset konkreetses teadmistevaldkonnas.

· Testiülesanded tuleks sõnastada lühendatud lühikeste hinnangute kujul.

· Peaksite vältima katseobjekte, mis nõuavad testijalt üksikasjalike järelduste tegemist katseobjektide nõuete kohta.

· Testsituatsioonide konstrueerimisel saab õppematerjali sisu ratsionaalseks esitamiseks kasutada nende esitusviisi erinevaid vorme, aga ka graafilisi ja multimeediakomponente.

Sõnade arv testülesandes ei tohi ületada 10–12, välja arvatud juhul, kui see moonutab testiolukorra kontseptuaalset struktuuri. Peamine on ainevaldkonna fragmendi sisu selge ja selge peegeldus.

Keskmine aeg, mille õpilane katseülesande täitmisele kulutab, ei tohiks ületada 1,5 minutit.

Tunnid 32-33. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Sihtmärk: vaatleme pöördtrigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist trigonomeetriliste võrrandite lahenduste kirjutamisel.

I. Tundide teema ja eesmärgi edastamine

II. Uue materjali õppimine

1. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Alustame selle teema arutelu järgmise näitega.

Näide 1

Lahendame võrrandi: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Ordinaatteljel joonistame väärtuse 1/2 ja konstrueerime nurgad x 1 ja x2, mille jaoks sin x = 1/2. Sel juhul x1 + x2 = π, kust x2 = π – x 1 . Kasutades trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelit, leiame väärtuse x1 = π/6, siisArvestame siinusfunktsiooni perioodilisust ja kirjutame üles selle võrrandi lahendid:kus k ∈ Z.

b) Ilmselgelt võrrandi lahendamise algoritm patt x = a on sama, mis eelmises lõigus. Loomulikult joonistatakse nüüd väärtus a piki ordinaattelge. On vaja kuidagi määrata nurk x1. Leppisime kokku, et tähistame seda nurka sümboliga arcsin A. Seejärel saab selle võrrandi lahendid kirjutada kujuleNeed kaks valemit saab ühendada üheks: samal ajal

Ülejäänud pöördtrigonomeetrilised funktsioonid sisestatakse sarnaselt.

Väga sageli on vaja määrata nurga suurus selle trigonomeetrilise funktsiooni teadaoleva väärtuse järgi. Selline probleem on mitme väärtusega – on lugematu arv nurki, mille trigonomeetrilised funktsioonid on võrdsed sama väärtusega. Seetõttu võetakse trigonomeetriliste funktsioonide monotoonsuse põhjal kasutusele järgmised pöördfunktsioonid nurkade unikaalseks määramiseks.

Arvu a arcsiinus (arcsin , mille siinus on võrdne a-ga, s.o.

Arvu kaarekoosinus a(arccos a) on nurk a intervallist, mille koosinus on võrdne a-ga, s.t.

Arvu arktigent a(arctg a) - selline nurk a intervallistmille puutuja on võrdne a-ga, s.t.tg a = a.

Arvu arkotangens a(arcctg a) on nurk a vahemikust (0; π), mille kotangens on võrdne a-ga, s.o. ctg a = a.

Näide 2

Leiame:

Võttes arvesse trigonomeetriliste pöördfunktsioonide määratlusi, saame:

Näide 3

Arvutame

Olgu nurk a = arcsin 3/5, siis definitsiooni järgi sin a = 3/5 ja . Seetõttu peame leidma cos A. Kasutades põhilist trigonomeetrilist identiteeti, saame:Arvesse võetakse, et cos a ≥ 0.

Toome rea tüüpilisemaid näiteid, mis on seotud pöördtrigonomeetriliste funktsioonide definitsioonide ja põhiomadustega.

Näide 4

Leiame funktsiooni määratluspiirkonna

Funktsiooni y defineerimiseks on vaja ebavõrdsust rahuldadamis on samaväärne ebavõrdsuse süsteemigaEsimese võrratuse lahendus on intervall x∈ (-∞; +∞), teine ​​- See intervall ja see on lahendus ebavõrdsuste süsteemile ja seega ka funktsiooni määratluspiirkond

Näide 5

Leiame funktsiooni muutumisala

Vaatleme funktsiooni käitumist z = 2x - x2 (vt pilti).

On selge, et z ∈ (-∞; 1]. Arvestades, et argument z kaare kotangensi funktsioon varieerub määratud piirides, mille saame tabeliandmetestSeega muudatuste piirkond

Näide 6

Tõestame, et funktsioon y = arctg x paaritu. LaseSiis tg a = -x või x = - tg a = tg (- a) ja Seetõttu - a = arctg x või a = - arctg X. Seega näeme sedast y(x) on paaritu funktsioon.

Näide 7

Avaldagem läbi kõik pöördtrigonomeetrilised funktsioonid

Lase See on ilmne Siis sellest ajast

Tutvustame nurka Sest See

Sarnaselt seega Ja

Niisiis,

Näide 8

Koostame funktsiooni y = graafiku cos(arcsin x).

Tähistame siis a = arcsin x Arvestame, et x = sin a ja y = cos a, st x 2 + y2 = 1 ja piirangud x (x∈ [-1; 1]) ja y (y ≥ 0). Siis funktsiooni y = graafik cos (arcsin x) on poolring.

Näide 9

Koostame funktsiooni y = graafiku arccos (cos x ).

Kuna cos funktsioon x muutub intervallil [-1; 1], siis on funktsioon y defineeritud kogu arvteljel ja varieerub lõigul . Pidagem meeles, et y = arccos (cosx) = x segmendil; funktsioon y on paaris ja perioodiline perioodiga 2π. Arvestades, et funktsioonil on need omadused cos x Nüüd on graafiku koostamine lihtne.

Märgime mõned kasulikud võrdsused:

Näide 10

Leiame funktsiooni väikseimad ja suurimad väärtused Tähistame Siis Vaatame funktsiooni Sellel funktsioonil on punktis miinimum z = π/4 ja see on võrdne Funktsiooni suurim väärtus saavutatakse punktis z = -π/2 ja see on võrdne Seega ja

Näide 11

Lahendame võrrandi

Arvestame sellega Siis näeb võrrand välja selline:või kus Arktangensi definitsiooni järgi saame:

2. Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine

Sarnaselt näitega 1 saate leida lahendusi kõige lihtsamatele trigonomeetrilistele võrranditele.

Näide 12

Lahendame võrrandi

Kuna siinusfunktsioon on paaritu, kirjutame võrrandi kujuleSelle võrrandi lahendused:kust me selle leiame?

Näide 13

Lahendame võrrandi

Kasutades antud valemit, kirjutame üles võrrandi lahendid:ja leiame

Arvesta, et erijuhtudel (a = 0; ±1) võrrandite lahendamisel sin x = a ja cos x = ning lihtsam ja mugavam on kasutada mitte üldvalemeid, vaid ühikringi alusel lahendusi kirja panna:

võrrandi sin x = 1 lahendus

võrrandi sin x = 0 lahendused x = π k;

võrrandi sin x = -1 lahendus

cos võrrandi jaoks x = 1 lahendus x = 2π k ;

võrrandi cos x = 0 lahendus

võrrandi cos x = -1 lahendus

Näide 14

Lahendame võrrandi

Kuna selles näites on võrrandi erijuhtum, kirjutame lahenduse vastava valemi abil:kust me selle leiame?

III. Kontrollküsimused (frontaalne küsitlus)

1. Defineeri ja loetle pöördtrigonomeetriliste funktsioonide peamised omadused.

2. Esitage pöördtrigonomeetriliste funktsioonide graafikud.

3. Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine.

IV. Tunni ülesanne

§ 15, nr 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, nr 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, nr 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Kodutöö

§ 15, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, nr 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, nr 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Loomingulised ülesanded

1. Leidke funktsiooni domeen:

Vastused:

2. Leidke funktsiooni vahemik:

Vastused:

3. Joonistage funktsioon:

VII. Õppetundide kokkuvõtteid

Vene Föderatsiooni Föderaalne Haridusamet

Riiklik Erialane Kõrgkool "Mari Riiklik Ülikool"

Matemaatika ja MPM-i osakond

Kursusetöö

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Lõpetatud:

õpilane

33 JNF rühma

Jašmetova L.N.

Teaduslik juhendaja:

Ph.D. dotsent

Borodina M.V.

Joškar-Ola

Sissejuhatus……………………………………………………………………………………………3

I peatükk. Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide määratlus.

1.1. Funktsioon y =arcsin x……………………………………………………........4

1.2. Funktsioon y =arccos x…………………………………………………….......5

1.3. Funktsioon y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. Funktsioon y =arcctg x…………………………………………………….......7

II peatükk. Võrrandite lahendamine pöördtrigonomeetriliste funktsioonidega.

Põhiseosed pöördtrigonomeetriliste funktsioonide jaoks....8

Pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate võrrandite lahendamine……………………………………………………………………………………..11

Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtuste arvutamine................21

Järeldus……………………………………………………………………………………….25

Kasutatud kirjanduse loetelu………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Sissejuhatus

Paljude probleemide korral on vaja leida mitte ainult trigonomeetriliste funktsioonide väärtused antud nurga alt, vaid ka vastupidi, nurk või kaar mõne trigonomeetrilise funktsiooni antud väärtusest.

Probleemid pöördtrigonomeetriliste funktsioonidega sisalduvad USE ülesannetes (eriti palju osades B ja C). Näiteks ühtse riigieksami B osas oli vaja kasutada siinuse (koosinuse) väärtust puutuja vastava väärtuse leidmiseks või pöördtrigonomeetriliste funktsioonide tabeliväärtusi sisaldava avaldise väärtuse arvutamiseks. Seda tüüpi ülesannete puhul märgime, et sellistest kooliõpikutes sisalduvatest ülesannetest ei piisa tugevate oskuste arendamiseks nende elluviimisel.

See. Kursusetöö eesmärk on käsitleda pöördtrigonomeetrilisi funktsioone ja nende omadusi ning õppida lahendama ülesandeid pöördtrigonomeetriliste funktsioonidega.

Eesmärgi saavutamiseks peame lahendama järgmised ülesanded:

Uurige trigonomeetriliste pöördfunktsioonide teoreetilisi aluseid,

Näidake teoreetiliste teadmiste rakendamist praktikas.

PeatükkI. Trigonomeetriliste pöördfunktsioonide definitsioon

1.1. Funktsioon y =arcsinx

Mõelge funktsioonile,
. (1)

Selles intervallis on funktsioon monotoonne (suureneb -1-lt 1-le), seega on pöördfunktsioon

,
. (2)

Iga antud väärtus juures(siinusväärtus) vahemikust [-1,1] vastab ühele täpselt määratletud väärtusele X(kaare suurus) intervallist
. Liikudes edasi üldtunnustatud tähistusele, saame

Kus
. (3)

See on funktsiooni (1) pöördfunktsiooni analüütiline spetsifikatsioon. Funktsioon (3) kutsutakse välja arcsine argument . Selle funktsiooni graafik on funktsiooni graafiku suhtes sümmeetriline kõver, kus , I ja III koordinaatnurga poolitaja suhtes.

Esitame funktsiooni omadused, kus .

Vara 1. Funktsiooni väärtuse muutmise ala: .

Vara 2. Funktsioon on paaritu, st.

Vara 3. Funktsioonil, kus , on üks juur
.

Vara 4. Kui, siis
; Kui , See.

Vara 5. Funktsioon on monotoonne: kui argument suureneb -1-lt 1-le, suureneb funktsiooni väärtus alates
juurde
.

1.2. Funktsioony = arKooscosx

Mõelge funktsioonile
, . (4)

Selles intervallis on funktsioon monotoonne (väheneb +1-lt -1-le), mis tähendab, et selle jaoks on pöördfunktsioon

, , (5)

need. iga väärtus (koosinusväärtused) vahemikust [-1,1] vastab ühele täpselt määratletud väärtusele (kaareväärtustele) intervallist . Liikudes edasi üldtunnustatud tähistusele, saame

, . (6)

See on funktsiooni (4) pöördfunktsiooni analüütiline spetsifikatsioon. Funktsioon (6) kutsutakse välja kaarkoosinus argument X. Selle funktsiooni graafiku saab koostada vastastikku pöördfunktsioonide graafikute omaduste põhjal.

Funktsioonil , kus , on järgmised omadused.

Vara 1. Funktsiooni väärtuse muutmise ala:
.

Vara 2. Kogused
Ja
seosega seotud

Vara 3. Funktsioonil on üks juur
.

Vara 4. Funktsioon ei aktsepteeri negatiivseid väärtusi.

Vara 5. Funktsioon on monotoonne: kui argument suureneb -1-lt +1-le, vähenevad funktsiooni väärtused 0-ni.

1.3. Funktsioony = arctgx

Mõelge funktsioonile
,
. (7)

Pange tähele, et see funktsioon on määratletud kõigi väärtuste jaoks, mis asuvad rangelt vahemikus alates kuni ; selle intervalli lõpus seda ei eksisteeri, kuna väärtused

- puutuja murdepunktid.

Vahepeal
funktsioon on monotoonne (suureneb alates -
juurde
), seetõttu on funktsiooni (1) jaoks olemas pöördfunktsioon:

,
, (8)

need. iga antud väärtus (puutuja väärtus) intervallist
vastab ühele väga konkreetsele väärtusele (kaare suurusele) intervallist .

Liikudes edasi üldtunnustatud tähistusele, saame

,
. (9)

See on pöördfunktsiooni (7) analüütiline spetsifikatsioon. Funktsioon (9) kutsutakse välja arctangent argument X. Pange tähele, et millal
funktsiooni väärtus
, ja millal

, st. funktsiooni graafikul on kaks asümptooti:
Ja.

Funktsioonil , on järgmised omadused.

Vara 1. Funktsiooni väärtuste muutumise vahemik
.

Vara 2. Funktsioon on paaritu, st. .

Vara 3. Funktsioonil on üks juur.

Vara 4. Kui
, See

; Kui , See
.

Vara 5. Funktsioon on monotoonne: kui argumendi väärtus suureneb väärtuselt kuni, suureneb funktsiooni väärtus väärtusest + väärtuseni.

1.4. Funktsioony = arcctgx

Mõelge funktsioonile
,
. (10)

See funktsioon on määratletud kõigi väärtuste jaoks, mis jäävad vahemikku 0 kuni ; selle intervalli lõpus seda ei eksisteeri, kuna väärtused ja on kotangensi murdepunktid. Intervallis (0,) on funktsioon monotoonne (väheneb väärtusest kuni), seetõttu on funktsiooni (1) jaoks olemas pöördfunktsioon

, (11)

need. igale antud väärtusele (kotangensi väärtus) vahemikust (
) vastab ühele täpselt määratletud väärtusele (kaare suurus) vahemikust (0,). Liikudes edasi üldtunnustatud tähistuste juurde, saame järgmise seose: Abstract >> Matemaatika trigonomeetriline funktsioonid. TO vastupidine trigonomeetriline funktsioonid tavaliselt viidatakse kuuele funktsioonid: arcsine...

Lõputöö teemal “Pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavad ülesanded” valmis täiendõppekursustel.

Sisaldab lühikest teoreetilist materjali, üksikasjalikke näiteid ja ülesandeid iseseisvaks lahenduseks iga jaotise kohta.

Teos on suunatud gümnasistidele ja õpetajatele.

Laadi alla:

Eelvaade:

LÕPUTÖÖ

TEEMA:

“PÖÖRDED TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID.

PROBLEEMID, MIS SISALDAVAD TRIGONOMEETRILISTE PÖÖRDFUNKTSIOONIDEGA

Lõpetatud:

matemaatika õpetaja

Munitsipaalõppeasutus keskkool nr 5, Lermontov

GORBATŠENKO V.I.

Pjatigorsk 2011

TRIGONOMEETRILISED PÖÖRDFUNKTSIOONID.

PROBLEEMID, MIS SISALDAVAD TRIGONOMEETRIlisi PÖÖRDFUNKTSIOONI

1. LÜHILINE TEOREETILINE TEAVE

1.1. Trigonomeetrilisi pöördfunktsioone sisaldavate lihtsaimate võrrandite lahendused:

Tabel 1.

1.2. Trigonomeetrilisi pöördfunktsioone hõlmavate lihtsate võrratuste lahendamine

Tabel 2.

1.3. Mõned pöördtrigonomeetriliste funktsioonide identiteedid

Pöördtrigonomeetriliste funktsioonide definitsioonist tulenevad identiteedid

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Lisaks identiteedid

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Erinevalt pöördtrigonomeetrilistest funktsioonidest seotud identiteedid

(9)

(10)

2. TRIGONOMEETRIKU PÖÖRDFUNKTSIOONI SISALDAVAD VÕRDED

2.1. Vormi võrrandid jne.

Sellised võrrandid taandatakse asendamise teel ratsionaalseteks võrranditeks.

Näide.

Lahendus.

Asendamine ( ) taandab võrrandi ruutvõrrandiks, mille juured.

Root 3 ei vasta tingimusele.

Siis saame vastupidise asendamise

Vastus .

Ülesanded.

2.2. Vormi võrrandid, Kus - ratsionaalne funktsioon.

Seda tüüpi võrrandite lahendamiseks on vaja panna, lahendage kõige lihtsama vormi võrrandja tehke vastupidine asendus.

Näide.

Lahendus.

Laske . Siis

Vastus . .

Ülesanded.

2.3. Võrrandid, mis sisaldavad kas erinevaid kaarefunktsioone või erinevate argumentide kaarefunktsioone.

Kui võrrand sisaldab erinevaid kaarefunktsioone sisaldavaid avaldisi või need kaarefunktsioonid sõltuvad erinevatest argumentidest, siis selliste võrrandite taandamine nende algebraliseks tagajärjeks toimub tavaliselt mõne trigonomeetrilise funktsiooni arvutamisega võrrandi mõlemale poolele. Saadud võõrjuured eraldatakse kontrollimise teel. Kui otsefunktsiooniks valitakse puutuja või kotangens, võivad nende funktsioonide määratluspiirkonda kuuluvad lahendused kaotsi minna. Seetõttu peaksite enne võrrandi mõlema poole puutuja või kotangensi väärtuse arvutamist veenduma, et nende funktsioonide määratluspiirkonda mittekuuluvate punktide hulgas pole algse võrrandi juuri.

Näide.

Lahendus.

Paneme ajakava ümber paremale poole ja arvutage siinuse väärtus võrrandi mõlemalt küljelt

Muutuste tulemusena saame

Selle võrrandi juured

Kontrollime

Kui meil on

Seega on võrrandi juur.

Asendamine , pange tähele, et saadud seose vasak pool on positiivne ja parem pool negatiivne. Seega- võrrandi kõrvaline juur.

Vastus. .

Ülesanded.

2.4. Võrrandid, mis sisaldavad ühe argumendi trigonomeetrilisi pöördfunktsioone.

Selliseid võrrandeid saab taandada kõige lihtsamateks, kasutades põhiidentiteete (1) – (10).

Näide.

Lahendus.

Vastus.

Ülesanded.

3. TRIGONOMEETRIA PÖÖRDFUNKTSIOONID SISALDAVAD EBAVÄRDSUSED

3.1. Kõige lihtsamad ebavõrdsused.

Kõige lihtsamate võrratuste lahendus põhineb tabelis 2 toodud valemite rakendamisel.

Näide.

Lahendus.

Sest , siis on ebavõrdsuse lahendus intervall.

Vastus .

Ülesanded.

3.2. Vormi ebavõrdsused, - mingi ratsionaalne funktsioon.

Vormi ebavõrdsused, on mingi ratsionaalne funktsioon ja- üks pöördtrigonomeetrilistest funktsioonidest lahendatakse kahes etapis - kõigepealt lahendatakse võrratus tundmatu suhtes, ja seejärel lihtsaim võrratus, mis sisaldab pöördtrigonomeetrilist funktsiooni.

Näide.

Lahendus.

Las siis olla

Lahendused ebavõrdsusele

Tulles tagasi algse tundmatuse juurde, leiame, et esialgse ebavõrdsuse saab taandada kahele kõige lihtsamale

Neid lahendusi kombineerides saame algse ebavõrdsuse lahendused

Vastus .

Ülesanded.

3.3. Võrratused, mis sisaldavad kas vastupidiseid kaarefunktsioone või erinevate argumentide kaarefunktsioone.

Erinevate trigonomeetriliste pöördfunktsioonide väärtusi või ühe trigonomeetrilise funktsiooni väärtusi, mis on arvutatud erinevatest argumentidest, on mugav lahendada, arvutades mõne trigonomeetrilise funktsiooni väärtused võrratuse mõlemalt küljelt. Tuleb meeles pidada, et saadud ebavõrdsus on algse võrrandiga samaväärne ainult siis, kui algse võrratuse parema ja vasaku külje väärtuste kogum kuulub selle trigonomeetrilise funktsiooni samasse monotoonsusvahemikku.

Näide.

Lahendus.

Mitu kehtivat väärtustsisaldub ebavõrdsuses:. Kell . Seega väärtusedei ole lahendused ebavõrdsusele.

Kell nii ebavõrdsuse paremal kui ka vasakul küljel on intervallile kuuluvad väärtused. Sest vahepealsiinusfunktsioon suureneb monotoonselt, siis millalalgne ebavõrdsus on samaväärne

Viimase ebavõrdsuse lahendamine

Vahega ületamine, leiame lahenduse

Vastus.

kommenteerida. Saab lahendada kasutades

Ülesanded.

3.4. Vormi ebavõrdsus, Kus - üks pöördfunktsiooni trigonomeetrilistest funktsioonidest,- ratsionaalne funktsioon.

Sellised ebavõrdsused lahendatakse asendamise abilja taandamine tabelis 2 oleva lihtsaima ebavõrdsuseni.

Näide.

Lahendus.

Las siis olla

Teeme pöördasenduse ja saame süsteemi

Vastus .

Ülesanded.

Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks

Katsetage

9. õppetund. Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid.

Harjuta

Tunni kokkuvõte

Peamiselt vajame trigonomeetriliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel oskust töötada kaarefunktsioonidega.

Ülesanded, mida me nüüd kaalume, jagunevad kahte tüüpi: pöördtrigonomeetriliste funktsioonide väärtuste arvutamine ja nende teisendused põhiomaduste abil.

Kaarefunktsioonide väärtuste arvutamine

Alustame kaarefunktsioonide väärtuste arvutamisega.

Ülesanne nr 1. Arvuta.

Nagu näeme, on kõik kaarefunktsioonide argumendid positiivsed ja tabelikujulised, mis tähendab, et nurkade väärtused saame taastada trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabeli esimesest osast nurkade jaoks alates kuni . See nurkade vahemik sisaldub iga kaarefunktsiooni väärtuste vahemikus, seega kasutame lihtsalt tabelit, leiame sellest trigonomeetrilise funktsiooni väärtuse ja taastame, millisele nurgale see vastab.

A)

b)

V)

G)

Vastus. .

Ülesanne nr 2. Arvuta

.

Selles näites näeme juba negatiivseid argumente. Tüüpiline viga on sel juhul lihtsalt miinuse eemaldamine funktsiooni alt ja ülesande taandamine lihtsalt eelmisele. Seda ei saa aga kõigil juhtudel teha. Meenutagem, kuidas tunni teoreetilises osas käsitlesime kõigi kaarefunktsioonide paarsust. Paaritu on arksiinus ja arktangent, st miinus võetakse neist välja ning arkosiinus ja arkotangens on üldkuju funktsioonid, et argumendis miinust lihtsustada, neil on spetsiaalsed valemid. Pärast arvutamist kontrollime vigade vältimiseks, et tulemus jääks väärtuste vahemikku.

Kui funktsiooni argumendid on lihtsustatud positiivseks, kirjutame tabelist välja vastavad nurga väärtused.

Võib tekkida küsimus: miks mitte näiteks otse tabelist kirja panna vastava nurga väärtus? Esiteks seetõttu, et eelmist tabelit on raskem meeles pidada kui varem, ja teiseks, kuna selles pole siinuse negatiivseid väärtusi ja puutuja negatiivsed väärtused annavad tabeli järgi vale nurga. Parem on läheneda lahendusele universaalselt, kui sattuda segadusse paljudest erinevatest lähenemisviisidest.

Ülesanne nr 3. Arvuta.

a) Tüüpiline viga on sel juhul hakata miinust välja võtma ja midagi lihtsustama. Esimene asi, mida tuleb tähele panna, on see, et arcsinuse argument ei kuulu alla

Seetõttu pole sellel kirjel tähendust ja arsiinust ei saa arvutada.

b) Sel juhul on standardviga see, et nad ajavad segi argumendi ja funktsiooni väärtused ning annavad vastuse. See ei vasta tõele! Muidugi tekib mõte, et tabelis vastab väärtus koosinusele, kuid sel juhul on segaduses see, et kaarefunktsioone ei arvutata mitte nurkade, vaid trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste järgi. See tähendab, et mitte.

Lisaks, kuna oleme välja selgitanud, mis täpselt on kaarekoosinuse argument, on vaja kontrollida, kas see sisaldub definitsiooni valdkonnas. Selleks pidagem seda meeles st, mis tähendab, et arkosiinil pole mõtet ja seda ei saa arvutada.

Muide, näiteks avaldis on mõttekas, kuna , kuid kuna koosinuse võrdne väärtus ei ole tabelina, siis on kaarekoosinuse arvutamine tabeli abil võimatu.

Vastus. Väljenditel pole mõtet.

Selles näites ei käsitle me arktigentsi ja arkotangente, kuna nende määratluspiirkond ei ole piiratud ja funktsiooni väärtused kehtivad mis tahes argumentide jaoks.

Ülesanne nr 4. Arvuta .

Sisuliselt taandub ülesanne kõige esimesele, peame lihtsalt arvutama kahe funktsiooni väärtused eraldi ja seejärel asendama need algse avaldisega.

Arktangensi argument on tabel ja tulemus kuulub väärtuste vahemikku.

Arkosiini argument ei ole tabel, kuid see ei tohiks meid hirmutada, sest olenemata sellest, millega arkosiinus on võrdne, annab selle väärtus nulliga korrutatuna nulliks. On jäänud üks oluline märkus: tuleb kontrollida, kas arkosiini argument kuulub määratluspiirkonda, sest kui see nii ei ole, siis pole kogu avaldisel mõtet, hoolimata sellest, et see sisaldab nulliga korrutamist . Kuid seetõttu võime öelda, et see on mõttekas ja saame vastuses nulli.

Toome veel ühe näite, mille puhul on vaja osata arvutada üht kaarefunktsiooni, teades teise väärtust.

Probleem nr 5. Arvutage, kas see on teada.

Võib tunduda, et esmalt on vaja näidatud võrrandist välja arvutada x väärtus ja seejärel asendada see soovitud avaldisega, st pöördtangensiga, kuid see pole vajalik.

Meenutagem valemit, mille abil need funktsioonid on omavahel seotud:

Ja väljendame sellest, mida me vajame:

Et olla kindel, saate kontrollida, kas tulemus jääb kaare kotangensi vahemikku.

Kaarefunktsioonide teisendused nende põhiomadusi kasutades

Liigume nüüd edasi rea ülesannete juurde, milles peame kasutama kaarefunktsioonide teisendusi, kasutades nende põhiomadusi.

Probleem nr 6. Arvuta .

Lahenduseks kasutame näidatud kaarefunktsioonide põhiomadusi, kontrollides ainult vastavaid piiranguid.

A)

b) .

Vastus. A) ; b) .

Probleem nr 7. Arvuta.

Tüüpiline viga on sel juhul vastuseks kohe 4 kirjutamine Nagu eelmises näites märkisime, on kaarefunktsioonide põhiomaduste kasutamiseks vaja kontrollida nende argumendile vastavaid piiranguid. Tegeleme kinnisvaraga:

juures

Aga . Peamine asi selles otsuse etapis on mitte mõelda, et määratud avaldis ei ole mõttekas ja seda ei saa arvutada. Lõppkokkuvõttes saame vähendada nelja, mis on puutuja argument, lahutades puutuja perioodi, ja see ei mõjuta avaldise väärtust. Pärast neid toiminguid on meil võimalus argumenti vähendada nii, et see jääks määratud vahemikku.

Sest kuna järelikult , sest.

Probleem nr 8. Arvuta.

Ülaltoodud näites käsitleme avaldist, mis on sarnane arsiini põhiomadusega, kuid ainult see sisaldab kaasfunktsioone. See tuleb taandada arkosiinist siinuse või arkosiinist koosinuse kujule. Kuna otseseid trigonomeetrilisi funktsioone on lihtsam teisendada kui pöördfunktsioone, liigume siinuse juurest koosinuseni, kasutades "trigonomeetrilise ühiku" valemit.

Nagu me juba teame:

Meie puhul rollis. Alustuseks arvutame mugavuse huvides .

Enne selle asendamist valemis selgitame välja selle märk, st algse siinuse märk. Peame siinuse arvutama arkosiini väärtuse põhjal, mis iganes see väärtus ka poleks, teame, et see jääb vahemikku. See vahemik vastab esimese ja teise veerandi nurkadele, milles siinus on positiivne (kontrollige seda ise trigonomeetrilise ringi abil).

Tänases praktilises tunnis vaatlesime pöördtrigonomeetrilisi funktsioone sisaldavate avaldiste arvutamist ja teisendamist

Tugevdage materjali treeningvahenditega

1. treener 2. treener 3. treener 4. treener 5