Eksponentvõrrandite lahendamine veebis üksikasjalike lahendustega. Kuidas võrrandisüsteemi lahendatakse? Võrrandisüsteemide lahendamise meetodid

Lõpueksami ettevalmistamise etapis peavad keskkooliõpilased täiendama oma teadmisi teemal "Eksponentvõrrandid". Viimaste aastate kogemus näitab, et sellised ülesanded valmistavad koolilastele teatud raskusi. Seetõttu peavad gümnaasiumiõpilased, olenemata nende ettevalmistustasemest, põhjalikult valdama teooriat, meeles pidama valemeid ja mõistma selliste võrrandite lahendamise põhimõtet. Olles õppinud seda tüüpi probleemidega toime tulema, võivad lõpetajad matemaatika ühtse riigieksami sooritamisel loota kõrgetele tulemustele.

Olge valmis eksamiteks Shkolkovoga!

Käsitletud materjale üle vaadates seisavad paljud õpilased silmitsi võrrandite lahendamiseks vajalike valemite leidmise probleemiga. Kooliõpik pole alati käepärast ja internetist mõne teema kohta vajaliku info väljavalimine võtab kaua aega.

Shkolkovo haridusportaal kutsub õpilasi kasutama meie teadmistebaasi. Rakendame täiesti uut lõputestiks valmistumise meetodit. Meie veebisaidil õppides saate tuvastada lüngad teadmistes ja pöörata tähelepanu ülesannetele, mis põhjustavad kõige rohkem raskusi.

Shkolkovo õpetajad kogusid, süstematiseerisid ja esitasid kõik ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks vajalikud materjalid kõige lihtsamal ja ligipääsetavamal kujul.

Peamised definitsioonid ja valemid on toodud jaotises "Teoreetiline taust".

Materjali paremaks mõistmiseks soovitame harjutada ülesannete täitmist. Arvutusalgoritmi mõistmiseks vaadake hoolikalt läbi sellel lehel esitatud eksponentsiaalvõrrandite näited koos lahendustega. Pärast seda jätkake jaotises "Kataloogid" olevate ülesannete täitmist. Võite alustada kõige lihtsamatest ülesannetest või liikuda otse mitme tundmatu või mitme tundmatuga keeruliste eksponentsiaalvõrrandite lahendamise juurde. Meie kodulehel olevat harjutuste andmebaasi täiendatakse ja uuendatakse pidevalt.

Need näited indikaatoritega, mis teile raskusi tekitasid, saab lisada lemmikute hulka. Nii saate need kiiresti üles leida ja õpetajaga lahendust arutada.

Ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks õppige iga päev Shkolkovo portaalis!

I. kirves 2 =0 – mittetäielik ruutvõrrand (b = 0, c = 0 ). Lahendus: x=0. Vastus: 0.

Lahenda võrrandid.

2x·(x+3)=6x-x 2.

Lahendus. Avame sulud korrutades 2x iga termini kohta sulgudes:

2x 2 +6x=6x-x 2; Liigutame terminid paremalt vasakule:

2x 2 +6x-6x+x 2 =0; Siin on sarnased terminid:

3x2 =0, seega x=0.

Vastus: 0.

II. ax 2 +bx=0 –mittetäielik ruutvõrrand (c=0 ). Lahendus: x (ax+b)=0 → x 1 =0 või ax+b=0 → x 2 =-b/a. Vastus: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Lahendus. Võtame ühisteguri välja X väljaspool sulgusid:

x(5x-26)=0; iga tegur võib olla võrdne nulliga:

x=0 või 5x-26 = 0→ 5x=26, jaga võrdsuse mõlemad pooled arvuga 5 ja saame: x=5,2.

Vastus: 0; 5,2.

Näide 3. 64x+4x2 =0.

Lahendus. Võtame ühisteguri välja 4x väljaspool sulgusid:

4x(16+x)=0. Meil on kolm tegurit, seega 4≠0 või x=0 või 16+x=0. Viimasest võrdsusest saame x=-16.

Vastus: -16; 0.

Näide 4.(x-3) 2 + 5x = 9.

Lahendus. Rakendades kahe avaldise erinevuse ruudu valemit, avame sulud:

x 2 -6x+9+5x=9; teisenda kujule: x 2 -6x+9+5x-9=0; Esitame sarnased terminid:

x2-x=0; me võtame selle välja X väljaspool sulgusid saame: x (x-1)=0. Siit või x=0 või x-1 = 0→ x=1.

Vastus: 0; 1.

III. ax 2 +c=0 –mittetäielik ruutvõrrand (b = 0 ); Lahendus: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.

Kui (-c/a)<0 , siis pole päris juuri. Kui (-с/а)>0

Näide 5. x 2 -49 = 0.

Lahendus.

x 2 = 49, siit x=±7. Vastus:-7; 7.

Näide 6. 9x 2 -4 = 0.

Lahendus.

Tihti tuleb leida ruutvõrrandi juurte ruutude summa (x 1 2 +x 2 2) või kuubikute summa (x 1 3 +x 2 3), harvem - pöördväärtuste summa. ruutvõrrandi juurte ruutudest või ruutvõrrandi juurte aritmeetiliste ruutjuurte summast:

Vieta teoreem võib selles aidata:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Väljendame läbi lk Ja q:

1) võrrandi juurte ruutude summa x 2 +px+q=0;

2) võrrandi juurte kuubikute summa x 2 +px+q=0.

Lahendus.

1) Väljendus x 1 2 + x 2 2 mis saadakse võrrandi mõlema poole ruudustamisel x 1 + x 2 = -p;

(x 1 + x 2) 2 = (-p) 2; avage sulud: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; väljendame vajaliku summa: x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Saime kasuliku võrdsuse: x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

2) Väljendus x 1 3 + x 2 3 Esitame kuubikute summa valemiga:

(x 1 3 + x 2 3)=(x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2) -3q).

Veel üks kasulik võrrand: x 1 3 + x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Näited.

3) x 2 -3x-4 = 0. Ilma võrrandit lahendamata arvutage avaldise väärtus x 1 2 + x 2 2.

Lahendus.

x 1 + x 2 =-p=3, ja töö x 1 ∙x 2 =q=näites 1) võrdsus:

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q. Meil on -lk=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Siis x 1 2 + x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Vastus: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4 = 0. Arvutage: x 1 3 +x 2 3 .

Lahendus.

Vieta teoreemi järgi on selle redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 1 + x 2 =-p=2, ja töö x 1 ∙x 2 =q=-4. Rakendame seda, mida oleme saanud ( näites 2) võrdsus: x 1 3 + x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2-3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Vastus: x 1 3 + x 2 3 =32.

Küsimus: mis siis, kui meile antakse taandamata ruutvõrrand? Vastus: seda saab alati “vähendada”, jagades termini kaupa esimese koefitsiendiga.

5) 2x 2 -5x-7 = 0. Otsustamata arvutage: x 1 2 + x 2 2.

Lahendus. Meile on antud täielik ruutvõrrand. Jagage võrdsuse mõlemad pooled 2-ga (esimene koefitsient) ja saage järgmine ruutvõrrand: x 2 -2,5x-3,5 = 0.

Vieta teoreemi järgi on juurte summa võrdne 2,5 ; juurte korrutis on võrdne -3,5 .

Lahendame selle samamoodi nagu näites 3) kasutades võrdsust: x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Vastus: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x 2 -5x-2 = 0. Leia:

Teisendame seda võrdsust ja Vieta teoreemi kasutades asendame juurte summa läbi -lk, ja toote juured läbi q, saame veel ühe kasuliku valemi. Valemi tuletamisel kasutasime võrdsust 1): x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q.

Meie näites x1 +x2 =-p=5; x 1 ∙x 2 =q=-2. Asendame need väärtused saadud valemisse:

7) x 2 -13x+36=0. Leia:

Teisendame selle summa ja saame valemi, mille abil saab ruutvõrrandi juurtest leida aritmeetiliste ruutjuurte summa.

Meil on x1 +x2 = -p = 13; x 1 ∙x 2 =q = 36. Asendame need väärtused saadud valemisse:

Nõuanne : kontrolli alati ruutvõrrandi juurte leidmise võimalust sobiva meetodi abil, sest 4 üle vaadatud kasulikud valemid võimaldab teil ülesande kiiresti täita, eriti juhtudel, kui diskrimineerijaks on "ebamugav" number. Kõigil lihtsatel juhtudel otsige üles juured ja opereerige neid. Näiteks valime viimases näites juured Vieta teoreemi abil: juurte summa peaks olema võrdne 13 , ja juurte toode 36 . Mis need numbrid on? kindlasti, 4 ja 9. Nüüd arvutage nende arvude ruutjuurte summa: 2+3=5. See on kõik!

I. Vieta teoreem redutseeritud ruutvõrrandi jaoks.

Redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 2 +px+q=0 on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on võrdne vaba liikmega:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

Leia antud ruutvõrrandi juured Vieta teoreemi abil.

Näide 1) x 2 -x-30 = 0. See on taandatud ruutvõrrand ( x 2 +px+q=0), teine ​​koefitsient p = -1 ja tasuta liige q = -30. Esiteks veendume, et sellel võrrandil on juured ja et juured (kui neid on) väljendatakse täisarvudes. Selleks piisab, kui diskriminant on täisarvu täiuslik ruut.

Diskriminandi leidmine D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Nüüd peab Vieta teoreemi järgi juurte summa võrduma teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidise märgiga, s.t. ( -lk) ja toode on võrdne vaba terminiga, st. ( q). Seejärel:

x 1 + x 2 = 1; x 1 ∙x 2 =-30. Peame valima kaks arvu nii, et nende korrutis oleks võrdne -30 , ja summa on üksus. Need on numbrid -5 Ja 6 . Vastus: -5; 6.

Näide 2) x 2 +6x+8=0. Meil on teise koefitsiendiga redutseeritud ruutvõrrand p=6 ja vabaliige q = 8. Kontrollime, et oleks täisarvujuuri. Leiame diskrimineerija D 1 D 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 on arvu täiuslik ruut 1 , mis tähendab, et selle võrrandi juurteks on täisarvud. Valime juured Vieta teoreemi abil: juurte summa on võrdne –р=-6, ja juurte korrutis on võrdne q = 8. Need on numbrid -4 Ja -2 .

Tegelikult: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Vastus: -4; -2.

Näide 3) x 2 +2x-4=0. Selles vähendatud ruutvõrrandis on teine ​​koefitsient p=2 ja tasuta liige q = -4. Leiame diskrimineerija D 1, kuna teine ​​koefitsient on paarisarv. D 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant ei ole arvu täiuslik ruut, nii et me teeme seda järeldus: Selle võrrandi juured ei ole täisarvud ja neid ei saa Vieta teoreemi abil leida. See tähendab, et me lahendame selle võrrandi, nagu tavaliselt, kasutades valemeid (antud juhul kasutades valemeid). Saame:

Näide 4). Kirjutage ruutvõrrand, kasutades selle juuri, kui x 1 = -7, x 2 = 4.

Lahendus. Nõutav võrrand kirjutatakse järgmisel kujul: x 2 +px+q=0, ja tuginedes Vieta teoreemile –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → p=3; q = x 1 ∙ x 2=-7∙4=-28 . Siis saab võrrand järgmise kuju: x 2 +3x-28=0.

Näide 5). Kirjutage ruutvõrrand selle juurtega, kui:

II. Vieta teoreem täieliku ruutvõrrandi jaoks ax 2 +bx+c=0.

Juurte summa on miinus b, jagatuna A, on juurte korrutis võrdne Koos, jagatuna V:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 = c/a.

Näide 6). Leia ruutvõrrandi juurte summa 2x 2 -7x-11 = 0.

Lahendus.

Veenduge, et sellel võrrandil on juured. Selleks piisab, kui luua diskriminandi jaoks avaldis ja ilma seda arvutamata lihtsalt veenduda, et diskriminant on suurem kui null. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Nüüd kasutame teoreem Vieta täielike ruutvõrrandite jaoks.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Näide 7). Leia ruutvõrrandi juurte korrutis 3x2 +8x-21=0.

Lahendus.

Leiame diskrimineerija D 1, alates teisest koefitsiendist ( 8 ) on paarisarv. D 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Ruutvõrrandil on 2 juur, Vieta teoreemi järgi juurte korrutis x 1 ∙x 2 =c:a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0– üldine ruutvõrrand

Diskrimineeriv D=b 2-4ac.

Kui D>0, siis on meil kaks tegelikku juurt:

Kui D = 0, siis on meil üks juur (või kaks võrdset juurt) x=-b/(2a).

Kui D<0, то действительных корней нет.

Näide 1) 2x2 +5x-3=0.

Lahendus. a=2; b=5; c=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 päris juurt.

4x2 +21x+5=0.

Lahendus. a=4; b=21; c=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5 = 441-80 = 361 = 19 2 > 0; 2 päris juurt.

II. ax 2 +bx+c=0 – kindla kujuga ruutvõrrand isegi teisega

koefitsient b

Näide 3) 3x2 -10x+3=0.

Lahendus. a=3; b=-10 (paarisarv); c=3.

Näide 4) 5x 2 -14x-3 = 0.

Lahendus. a=5; b= -14 (paarisarv); c=-3.

Näide 5) 71x2 +144x+4=0.

Lahendus. a=71; b=144 (paarisarv); c=4.

Näide 6) 9x2 -30x+25=0.

Lahendus. a=9; b=-30 (paarisarv); c=25.

III. ax 2 +bx+c=0 – ruutvõrrand eratüüp ette nähtud: a-b+c=0.

Esimene juur on alati võrdne miinus ühega ja teine ​​juur on alati miinus Koos, jagatuna A:

x1 =-1, x2 =-c/a.

Näide 7) 2x 2 +9x+7=0.

Lahendus. a=2; b=9; c=7. Kontrollime võrdsust: a-b+c=0. Saame: 2-9+7=0 .

Siis x1 =-1, x2 =-c/a=-7/2=-3,5. Vastus: -1; -3,5.

IV. ax 2 +bx+c=0 – konkreetse vormi ruutvõrrand, millele allub : a+b+c=0.

Esimene juur on alati võrdne ühega ja teine ​​juur on võrdne Koos, jagatuna A:

x 1 = 1, x 2 = c/a.

Näide 8) 2x 2 -9x+7=0.

Lahendus. a=2; b=-9; c=7. Kontrollime võrdsust: a+b+c=0. Saame: 2-9+7=0 .

Siis x 1 = 1, x 2 = c/a = 7/2 = 3,5. Vastus: 1; 3,5.

1. lehekülg 1-st 1

7. klassi matemaatikakursusel puutume esimest korda kokku kahe muutujaga võrrandid, kuid neid uuritakse ainult kahe tundmatuga võrrandisüsteemide kontekstis. Seetõttu langeb silmist terve rida ülesandeid, mille puhul kehtestatakse võrrandi koefitsientidele teatud tingimused, mis neid piiravad. Lisaks jäetakse tähelepanuta ka sellised ülesannete lahendamise meetodid nagu “Lahenda võrrand naturaal- või täisarvudes”, kuigi ühtse riigieksami materjalides ja sisseastumiseksamitel leidub sedalaadi ülesandeid üha sagedamini.

Millist võrrandit nimetatakse kahe muutujaga võrrandiks?

Näiteks võrrandid 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 või xy = 12 on kahe muutuja võrrandid.

Vaatleme võrrandit 2x – y = 1. See muutub tõeseks, kui x = 2 ja y = 3, seega on see muutuja väärtuste paar vaadeldava võrrandi lahendus.

Seega on mis tahes kahe muutujaga võrrandi lahenduseks järjestatud paaride komplekt (x; y), muutujate väärtused, mis muudavad selle võrrandi tõeliseks arvuliseks võrduseks.

Kahe tundmatuga võrrand võib:

A) on üks lahendus. Näiteks võrrandil x 2 + 5y 2 = 0 on kordumatu lahend (0; 0);

b) on mitu lahendust. Näiteks (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 on 4 lahendust: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) pole lahendusi. Näiteks võrrandil x 2 + y 2 + 1 = 0 pole lahendeid;

G) lahendusi on lõputult palju. Näiteks x + y = 3. Selle võrrandi lahenditeks on arvud, mille summa on 3. Selle võrrandi lahendite hulga saab kirjutada kujul (k; 3 – k), kus k on mis tahes reaalne number.

Peamised meetodid kahe muutujaga võrrandite lahendamiseks on meetodid, mis põhinevad faktoringuavaldistel, täisruudu eraldamisel, ruutvõrrandi omadusi kasutades, piiratud avaldistel ja hindamismeetoditel. Võrrand teisendatakse tavaliselt kujule, millest saab süsteemi tundmatute leidmiseks.

Faktoriseerimine

Näide 1.

Lahendage võrrand: xy – 2 = 2x – y.

Lahendus.

Rühmitame faktoriseerimise eesmärgil terminid:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Igast sulust võtame välja ühise teguri:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1) (y – 2) = 0. Meil ​​on:

y = 2, x – mis tahes reaalarv või x = -1, y – mis tahes reaalarv.

Seega vastuseks on kõik paarid kujul (x; 2), x € R ja (-1; y), y € R.

Mittenegatiivsete arvude võrdsus nulliga

Näide 2.

Lahendage võrrand: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Lahendus.

Rühmitamine:

(9x 2 – 12x + 4) + (4a 2 – 12a + 9) = 0. Nüüd saab iga klambri kokku voltida, kasutades ruudulise vahe valemit.

(3x – 2) 2 + (2a – 3) 2 = 0.

Kahe mittenegatiivse avaldise summa on null ainult siis, kui 3x – 2 = 0 ja 2y – 3 = 0.

See tähendab, et x = 2/3 ja y = 3/2.

Vastus: (2/3; 3/2).

Hindamismeetod

Näide 3.

Lahendage võrrand: (x 2 + 2x + 2) (y 2 – 4y + 6) = 2.

Lahendus.

Igas sulus valime täieliku ruudu:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Hindame sulgudes olevate väljendite tähendus.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ja (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, siis võrrandi vasak pool on alati vähemalt 2. Võrdsus on võimalik, kui:

(x + 1) 2 + 1 = 1 ja (y – 2) 2 + 2 = 2, mis tähendab, et x = -1, y = 2.

Vastus: (-1; 2).

Tutvume teise meetodiga kahe teise astme muutujaga võrrandite lahendamiseks. See meetod seisneb võrrandi käsitlemises kui ruut mõne muutuja suhtes.

Näide 4.

Lahendage võrrand: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Lahendus.

Lahendame võrrandi x ruutvõrrandina. Leiame diskrimineerija:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = –4y + 16√y – 16 = –4(√y – 2) 2 . Võrrandil on lahendus ainult siis, kui D = 0, st kui y = 4. Asendame y väärtuse algse võrrandiga ja leiame, et x = 3.

Vastus: (3; 4).

Sageli näitavad nad kahe tundmatuga võrrandites piirangud muutujatele.

Näide 5.

Lahendage võrrand täisarvudes: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Lahendus.

Kirjutame võrrandi ümber kujul x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Saadud võrrandi parem pool jagamisel 5-ga annab jäägi 2. Seega x 2 ei jagu 5-ga. arv, mis ei jagu 5-ga, annab jäägi 1 või 4. Seega on võrdsus võimatu ja lahendeid pole.

Vastus: pole juuri.

Näide 6.

Lahendage võrrand: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Lahendus.

Tõstkem esile igas sulus olevad täielikud ruudud:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Võrrandi vasak pool on alati suurem kui 3 või sellega võrdne. Võrdsus on võimalik tingimusel |x| – 2 = 0 ja y + 3 = 0. Seega x = ± 2, y = -3.

Vastus: (2; -3) ja (-2; -3).

Näide 7.

Iga võrrandit rahuldava negatiivse täisarvu (x;y) paari jaoks
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, arvutage summa (x + y). Palun märkige vastuses väikseim summa.

Lahendus.

Valime täielikud ruudud:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4 a + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Kuna x ja y on täisarvud, on ka nende ruudud täisarvud. Kui liidame 1 + 36, saame kahe täisarvu ruutude summaks 37. Seega:

(x – y) 2 = 36 ja (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 ja (y + 2) 2 = 36.

Neid süsteeme lahendades ja arvestades, et x ja y on negatiivsed, leiame lahendid: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Vastus: -17.

Ärge heitke meelt, kui teil on raskusi kahe tundmatuga võrrandite lahendamisega. Veidi harjutades saate hakkama mis tahes võrrandiga.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas te ei tea, kuidas lahendada kahe muutuja võrrandeid?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Võrrandilahenduse teenus aitab teil lahendada mis tahes võrrandi. Meie veebisaiti kasutades saate mitte ainult võrrandi vastuse, vaid näete ka üksikasjalikku lahendust, st tulemuse saamise protsessi samm-sammult kuvamist. Meie teenus on kasulik keskkooliõpilastele ja nende vanematele. Õpilased saavad valmistuda kontrolltöödeks ja eksamiteks, panna proovile oma teadmised ning vanemad saavad jälgida laste matemaatiliste võrrandite lahendamist. Võrrandite lahendamise oskus on kooliõpilastele kohustuslik. Teenus aitab teil end harida ja täiendada oma teadmisi matemaatiliste võrrandite vallas. Selle abil saate lahendada mis tahes võrrandi: ruut-, kuup-, irratsionaalne, trigonomeetriline jne. Veebiteenuse eelised on hindamatud, sest lisaks õigele vastusele saate iga võrrandi üksikasjaliku lahenduse. Võrrandite Internetis lahendamise eelised. Saate meie veebisaidil Internetis lahendada mis tahes võrrandi täiesti tasuta. Teenus on täiesti automaatne, arvutisse ei pea midagi installima, piisab vaid andmete sisestamisest ja programm pakub sulle lahenduse. Kõik vead arvutustes või kirjavead on välistatud. Meie juures on mis tahes võrrandi lahendamine veebis väga lihtne, seega kasutage meie saiti mis tahes võrrandite lahendamiseks. Tuleb vaid andmed sisestada ja arvutus valmib mõne sekundiga. Programm töötab iseseisvalt, ilma inimese sekkumiseta ning saate täpse ja üksikasjaliku vastuse. Võrrandi lahendamine üldkujul. Sellises võrrandis on muutujate koefitsiendid ja soovitud juured omavahel seotud. Muutuja suurim võimsus määrab sellise võrrandi järjekorra. Sellest lähtuvalt kasutatakse võrrandite jaoks erinevaid meetodeid ja teoreeme lahenduste leidmiseks. Seda tüüpi võrrandite lahendamine tähendab vajalike juurte leidmist üldkujul. Meie teenus võimaldab teil Internetis lahendada isegi kõige keerulisema algebralise võrrandi. Saate saada nii võrrandi üldlahenduse kui ka konkreetse lahenduse teie määratud koefitsientide arvväärtuste jaoks. Algebralise võrrandi lahendamiseks veebisaidil piisab, kui täidate õigesti ainult kaks välja: antud võrrandi vasak ja parem pool. Muutuvate koefitsientidega algebralistel võrranditel on lõpmatu arv lahendeid ja teatud tingimuste seadmisel valitakse lahendite hulgast osalised. Ruutvõrrand. Ruutvõrrand on kujul ax^2+bx+c=0, kui a>0. Ruutvõrrandite lahendamine hõlmab x väärtuste leidmist, mille puhul kehtib võrdus ax^2+bx+c=0. Selleks leidke diskrimineeriv väärtus valemiga D=b^2-4ac. Kui diskriminant on nullist väiksem, pole võrrandil reaaljuuri (juured on kompleksarvude väljast), kui see on võrdne nulliga, siis on võrrandil üks reaaljuur ja kui diskriminant on suurem kui null , siis on võrrandil kaks reaaljuurt, mis leitakse valemiga: D = -b+-sqrt/2a. Ruutvõrrandi võrgus lahendamiseks peate lihtsalt sisestama võrrandi koefitsiendid (täisarvud, murrud või kümnendkohad). Kui võrrandis on lahutamismärke, tuleb võrrandi vastavate liikmete ette panna miinusmärk. Ruutvõrrandi saate Internetis lahendada sõltuvalt parameetrist, st võrrandi koefitsientide muutujatest. Meie veebiteenus üldlahenduste leidmiseks tuleb selle ülesandega hästi toime. Lineaarvõrrandid. Lineaarvõrrandite (või võrrandisüsteemide) lahendamiseks kasutatakse praktikas nelja peamist meetodit. Kirjeldame iga meetodit üksikasjalikult. Asendusmeetod. Asendusmeetodil võrrandite lahendamine eeldab ühe muutuja väljendamist teistega. Pärast seda asendatakse avaldis süsteemi teiste võrranditega. Sellest tuleneb ka lahendusmeetodi nimi, st muutuja asemel asendatakse selle avaldis ülejäänud muutujatega. Praktikas nõuab meetod keerukaid arvutusi, kuigi seda on lihtne mõista, nii et sellise võrrandi lahendamine veebis aitab säästa aega ja hõlbustada arvutusi. Peate lihtsalt võrrandis märkima tundmatute arvu ja täitma lineaarvõrrandi andmed, siis teeb teenus arvutuse. Gaussi meetod. Meetod põhineb süsteemi kõige lihtsamatel teisendustel, et jõuda samaväärse kolmnurksüsteemini. Selle järgi määratakse tundmatud ükshaaval. Praktikas peate sellise võrrandi Internetis lahendama üksikasjaliku kirjeldusega, tänu millele saate hästi aru Gaussi meetodist lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Kirjutage lineaarvõrrandisüsteem õiges vormingus üles ja võtke süsteemi täpseks lahendamiseks arvesse tundmatute arvu. Crameri meetod. See meetod lahendab võrrandisüsteeme juhtudel, kui süsteemil on unikaalne lahendus. Peamine matemaatiline tegevus on siin maatriksdeterminantide arvutamine. Võrrandite lahendamine Crameri meetodi abil toimub võrgus, saate kohe tulemuse koos täieliku ja üksikasjaliku kirjeldusega. Piisab, kui täita süsteem koefitsientidega ja valida tundmatute muutujate arv. Maatriksmeetod. See meetod seisneb maatriksis A tundmatute koefitsientide, X veergu tundmatute ja veerus B vabade liikmete koefitsientide kogumises. Seega taandatakse lineaarvõrrandi süsteem maatriksvõrrandiks kujul AxX=B. Sellel võrrandil on ainulaadne lahendus ainult siis, kui maatriksi A determinant erineb nullist, vastasel juhul pole süsteemil lahendeid või on lõpmatu arv lahendeid. Võrrandite lahendamine maatriksmeetodi abil hõlmab pöördmaatriksi A leidmist.

Juhised. Internetis lahendamiseks tuleb valida võrrandi tüüp ja määrata vastavate maatriksite dimensioon.

Näide nr 1. Harjutus. Leidke maatriksvõrrandi lahendus
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: A·X·B = C.
Maatriksi A determinant on võrdne detA=-1
Kuna A on mitteainsuse maatriks, siis on olemas pöördmaatriks A -1 . Korrutage vasakpoolse võrrandi mõlemad pooled A -1-ga: korrutage selle võrrandi mõlemad pooled vasakul väärtusega A -1 ja paremal pool B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 · C · B -1 . Kuna A A -1 = B B -1 = E ja E X = X E = X, siis X = A -1 C B -1

Pöördmaatriks A -1:
Leiame pöördmaatriksi B -1.
Transponeeritud maatriks B T:
Pöördmaatriks B -1:
Maatriksi X otsime valemiga: X = A -1 ·C · B -1

Vastus:

Näide nr 2. Harjutus. Maatriksvõrrandi lahendamine
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: A·X = B.
Maatriksi A determinant on detA=0
Kuna A on singulaarmaatriks (determinant on 0), siis pole võrrandil lahendust.

Näide nr 3. Harjutus. Leidke maatriksvõrrandi lahendus
Lahendus. Tähistame:
Seejärel kirjutatakse maatriksvõrrand kujul: X A = B.
Maatriksi A determinant on detA=-60
Kuna A on mitteainsuse maatriks, siis on olemas pöördmaatriks A -1 . Korrutame parempoolse võrrandi mõlemad pooled A -1-ga: X A A -1 = B A -1, kust leiame, et X = B A -1
Leiame pöördmaatriksi A -1 .
Transponeeritud maatriks A T:
Pöördmaatriks A -1:
Maatriksi X otsime valemiga: X = B A -1


Vastus: >