Lineaaralgebravõrrandisüsteemide lahendamine, lahendusmeetodid, näited. Leia süsteemi ja fsr üldlahendus

Antud maatriksid

Leidke: 1) aA - bB,

Lahendus: 1) Leiame selle järjestikku, kasutades maatriksi arvuga korrutamise ja maatriksite liitmise reegleid.

2. Leidke A*B, kui

Lahendus: Kasutame maatrikskorrutamise reeglit

Vastus:

3. Antud maatriksi jaoks leidke moll M 31 ja arvutage determinant.

Lahendus: Minor M 31 on maatriksi determinant, mis saadakse A-st

pärast rea 3 ja veeru 1 läbikriipsutamist. Leiame

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Teisendame maatriksi A ilma determinanti muutmata (teeme reas 1 nullid)

Nüüd arvutame maatriksi A determinandi laiendamise teel piki rida 1

Vastus: M 31 = 0, detA = 0

Lahendage Gaussi meetodil ja Crameri meetodil.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Lahendus: Kontrollime

Võite kasutada Crameri meetodit

Süsteemi lahendus: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Rakendame Gaussi meetodit.

Taandagem süsteemi laiendatud maatriks kolmnurkseks.

Arvutamise hõlbustamiseks vahetame read:

Korrutage 2. rida arvuga (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ja lisage 3. kohale:

Korrutage esimene rida arvuga (k = -2 / 2 = -1 ) ja lisage teisele:

Nüüd saab algse süsteemi kirjutada järgmiselt:

x 1 = 1 – (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 – (6 x 3)

Alates 2. reast väljendame

Alates 1. reast väljendame

Lahendus on sama.

Vastus: (2; -5; 3)

Leidke süsteemi ja FSRi üldine lahendus

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11 x 1 – 2 x 2 + x 3 – 2 x 4 – 3 x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Lahendus: Rakendame Gaussi meetodit. Taandagem süsteemi laiendatud maatriks kolmnurkseks.

Korrutage 1. rida arvuga (-11). Korrutame 2. rea (13-ga). Lisame 2. rea esimesele:

Korrutage 2. rida arvuga (-5). Korrutame 3. rea (11-ga). Liidame 3. rea teisele:

Korrutage 3. rida arvuga (-7). Korrutame 4. rea (5-ga). Liidame neljanda rea ​​kolmandale:

Teine võrrand on teiste lineaarne kombinatsioon

Leiame maatriksi auaste.

Valitud moll on kõrgeima järguga (võimalikest minoorsetest) ja nullist erinev (see võrdub tagurpidi diagonaali elementide korrutisega), seega rang(A) = 2.

See alaealine on elementaarne. See sisaldab tundmatute x 1 , x 2 koefitsiente, mis tähendab, et tundmatud x 1 , x 2 on sõltuvad (põhilised) ja x 3 , x 4 , x 5 on vabad.

Selle maatriksi koefitsientidega süsteem on samaväärne algse süsteemiga ja sellel on vorm:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Kasutades tundmatute kõrvaldamise meetodit, leiame ühine otsus:

x 2 = – 4/3 x 3 – x 4 – 3/2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi (FSD), mis koosneb (n-r) lahendustest. Meie puhul n=5, r=2, seega koosneb põhilahenduste süsteem 3 lahendist ja need lahendid peavad olema lineaarselt sõltumatud.

Et read oleksid lineaarselt sõltumatud, on vajalik ja piisav, et reaelementidest koosneva maatriksi aste oleks võrdne ridade arvuga ehk 3-ga.

Piisab, kui anda vabadele tundmatutele x 3 , x 4 , x 5 väärtused 3. järku determinandi ridadelt, mis ei ole null, ja arvutada x 1 , x 2 .

Lihtsaim nullist erinev determinant on identiteedimaatriks.

Aga siit on mugavam kaasa võtta

Leiame üldist lahendust kasutades:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSRi I otsus: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR lahus: (0; -6; 0; 6;0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR-i III otsus: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0; 0), (0; -6; 0; 6; 0), (0; -9; 0; 0;6)

6. Antud: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Leidke: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Lahendus: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Vastus: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Homogeenne süsteem on alati järjepidev ja sellel on triviaalne lahendus
. Mittetriviaalse lahenduse olemasoluks on vajalik, et maatriksi auaste oli väiksem kui tundmatute arv:

.

Fundamentaalne lahenduste süsteem homogeenne süsteem
kutsuge lahenduste süsteem veeruvektorite kujul
, mis vastavad kanoonilisele alusele, s.o. alus, milles suvalised konstandid
vaheldumisi seatakse võrdseks ühega, ülejäänud aga nulliga.

Siis on homogeense süsteemi üldlahendus järgmine:

Kus
- suvalised konstandid. Teisisõnu on terviklahendus põhilahenduste süsteemi lineaarne kombinatsioon.

Seega saab üldlahendusest saada põhilahendused, kui anda vabadele tundmatutele kordamööda väärtus üks, seades kõik teised võrdseks nulliga.

Näide. Leiame süsteemile lahenduse

Aktsepteerime , siis saame lahenduse kujul:

Loome nüüd fundamentaalse lahenduste süsteemi:

.

Üldine lahendus kirjutatakse järgmiselt:

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemi lahendustel on järgmised omadused:

Teisisõnu, iga homogeense süsteemi lahenduste lineaarne kombinatsioon on jällegi lahendus.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine on matemaatikuid huvitanud juba mitu sajandit. Esimesed tulemused saadi 18. sajandil. 1750. aastal avaldas G. Kramer (1704–1752) oma tööd ruutmaatriksite determinantide kohta ja pakkus välja algoritmi pöördmaatriksi leidmiseks. 1809. aastal tõi Gauss välja uue lahendusmeetodi, mida tuntakse eliminatsioonimeetodina.

Gaussi meetod ehk tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod seisneb selles, et elementaarteisenduste abil taandatakse võrrandisüsteem astmelise (või kolmnurkse) kujuga samaväärseks süsteemiks. Sellised süsteemid võimaldavad leida järjestikku kõik tundmatud kindlas järjekorras.

Oletame, et süsteemis (1)
(mis on alati võimalik).

(1)

Korrutades esimese võrrandi ükshaaval nn sobivad numbrid

ja liites korrutamise tulemuse süsteemi vastavate võrranditega, saame samaväärse süsteemi, milles kõigis võrrandites peale esimese pole tundmatut X 1

(2)

Korrutame nüüd süsteemi (2) teise võrrandi sobivate arvudega, eeldades, et

,

ja liites selle madalamatega, elimineerime muutuja kõikidest võrranditest, alustades kolmandast.

Seda protsessi jätkates, pärast
samm, mille saame:

(3)

Kui vähemalt üks numbritest
ei ole võrdne nulliga, siis on vastav võrdsus vastuoluline ja süsteem (1) on vastuolus. Ja vastupidi, mis tahes ühendarvusüsteemi jaoks
on võrdsed nulliga. Number pole midagi muud kui süsteemi (1) maatriksi auaste.

Üleminekut süsteemist (1) süsteemi (3) nimetatakse otse edasi Gaussi meetod ja tundmatute leidmine punktist (3) – tagurpidi .

kommenteerida : Teisendusi on mugavam teostada mitte võrrandite endi, vaid süsteemi laiendatud maatriksiga (1).

Näide. Leiame süsteemile lahenduse

.

Kirjutame süsteemi laiendatud maatriksi:

.

Liidame esimese ridadele 2,3,4, korrutatuna vastavalt (-2), (-3), (-2):

.

Vahetame read 2 ja 3, seejärel lisame saadud maatriksis rida 2 4. reale, korrutatuna :

.

Lisa 4. reale rida 3 korrutatuna
:

.

See on ilmne
Seetõttu on süsteem ühtlane. Saadud võrrandisüsteemist

leiame lahenduse pöördasenduse teel:

,
,
,
.

Näide 2. Leidke süsteemile lahendus:

.

On ilmne, et süsteem ei ühildu, sest
, A
.

Gaussi meetodi eelised :

Vähem töömahukas kui Crameri meetod.

Kinnitab üheselt süsteemi ühilduvuse ja võimaldab leida lahenduse.

Võimaldab määrata mis tahes maatriksi auastme.

Lase M 0 – homogeense lineaarvõrrandisüsteemi (4) lahenduste hulk.

Definitsioon 6.12. Vektorid Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p, mis on homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendid, nimetatakse põhiline lahenduste kogum(lühendatult FNR), kui

1) vektorid Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p lineaarselt sõltumatud (st ühtki neist ei saa väljendada teistega);

2) mis tahes muud homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendit saab väljendada lahenditena Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p.

Pange tähele, et kui Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p– suvaline f.n.r., siis väljend k 1× Koos 1 + k 2× Koos 2 + … + k p× koos p saate kirjeldada kogu komplekti M 0 lahendusi süsteemile (4), nii nimetatakse seda süsteemilahenduse üldvaade (4).

Teoreem 6.6. Igal määramatul homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on põhiline lahenduste komplekt.

Põhilahenduste komplekti leidmise viis on järgmine:

Leia homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendus;

Ehita ( n – r) selle süsteemi osalahendused, samas kui vabade tundmatute väärtused peavad moodustama identiteedimaatriksi;

Kirjutage üles sisalduva lahenduse üldine vorm M 0 .

Näide 6.5. Leidke põhilahenduste komplekt järgmisele süsteemile:

Lahendus. Leiame sellele süsteemile üldise lahenduse.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Selles süsteemis on viis tundmatut ( n= 5), millest on kaks peamist tundmatut ( r= 2), on kolm vaba tundmatut ( n – r), see tähendab, et põhilahenduste hulk sisaldab kolme lahendusvektorit. Ehitame need üles. Meil on x 1 ja x 3 – peamised tundmatud, x 2 , x 4 , x 5 – vabad tundmatud

Vabade tundmatute väärtused x 2 , x 4 , x 5 moodustavad identiteedimaatriksi E kolmas järjekord. Sain need vektorid Koos 1 ,Koos 2 , Koos 3 vorm f.n.r. sellest süsteemist. Siis on selle homogeense süsteemi lahenduste hulk M 0 = {k 1× Koos 1 + k 2× Koos 2 + k 3× Koos 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Uurime nüüd homogeense lineaarvõrrandisüsteemi nullist mittevastavate lahendite olemasolu tingimusi ehk teisisõnu fundamentaalse lahendite hulga olemasolu tingimusi.

Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinevad lahendid, see tähendab, et pole kindel, kas

1) süsteemi põhimaatriksi aste on väiksem kui tundmatute arv;

2) homogeenses lineaarvõrrandisüsteemis on võrrandite arv väiksem kui tundmatute arv;

3) kui homogeenses lineaarvõrrandisüsteemis on võrrandite arv võrdne tundmatute arvuga ja põhimaatriksi determinant on võrdne nulliga (st | A| = 0).

Näide 6.6. Millise parameetri väärtusega a homogeenne lineaarvõrrandisüsteem on nullist erinevad lahendused?

Lahendus. Koostame selle süsteemi põhimaatriksi ja leiame selle determinandi: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Selle maatriksi determinant on võrdne nulliga a = –4.

Vastus: –4.

7. Aritmeetika n-mõõtmeline vektorruum

Põhimõisted

Eelmistes osades oleme juba kohanud mõistet teatud järjekorras paigutatud reaalarvude hulk. See on reamaatriks (või veerumaatriks) ja lineaarvõrrandisüsteemi lahendus n teadmata. Selle teabe võib kokku võtta.

Definitsioon 7.1. n-dimensiooniline aritmeetiline vektor nimetatakse tellitud komplektiks n reaalarvud.

Tähendab A= (a 1 , a 2 , …, a n), kus a iО R, i = 1, 2, …, n– vektori üldvaade. Number n helistas dimensioon vektorid ja arvud a i nimetatakse temaks koordinaadid.

Näiteks: A= (1, –8, 7, 4, ) – viiemõõtmeline vektor.

Kõik seatud n-mõõtmelisi vektoreid tähistatakse tavaliselt kui Rn.

Definitsioon 7.2. Kaks vektorit A= (a 1 , a 2 , …, a n) Ja b= (b 1 , b 2 , …, b n) sama mõõtmega võrdne siis ja ainult siis, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed, st a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definitsioon 7.3.Summa kaks n-mõõtmelised vektorid A= (a 1 , a 2 , …, a n) Ja b= (b 1 , b 2 , …, b n) nimetatakse vektoriks a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+ b n).

Definitsioon 7.4. Töö tegelik arv k vektorile A= (a 1 , a 2 , …, a n) nimetatakse vektoriks k× A = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definitsioon 7.5. Vektor O= (0, 0, …, 0) kutsutakse null(või nullvektor).

Lihtne on kontrollida, kas vektorite liitmise ja reaalarvuga korrutamise toimingutel (toimingutel) on järgmised omadused: " a, b, c Î Rn, " k, lО R:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + O = a;

4) a+ (–a) = O;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definitsioon 7.6. Trobikond Rn vektorite liitmise ja sellel antud reaalarvuga korrutamise operatsioonidega nimetatakse aritmeetiline n-mõõtmeline vektorruum.

Gaussi meetodil on mitmeid puudusi: pole võimalik teada, kas süsteem on järjepidev või mitte, enne kui kõik Gaussi meetodis vajalikud teisendused on tehtud; Gaussi meetod ei sobi tähekoefitsientidega süsteemide jaoks.

Vaatleme muid meetodeid lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks. Need meetodid kasutavad maatriksi astme kontseptsiooni ja taandavad mis tahes järjepideva süsteemi lahenduse sellise süsteemi lahendusele, millele kehtib Crameri reegel.

Näide 1. Leidke üldlahendus järgmisele lineaarvõrrandisüsteemile, kasutades taandatud homogeense süsteemi põhilahenduste süsteemi ja ebahomogeense süsteemi konkreetset lahendust.

1. Maatriksi valmistamine A ja laiendatud süsteemimaatriks (1)

2. Uurige süsteemi (1) ühtekuuluvuse eest. Selleks leiame maatriksite auastmed A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Kui selgub, et , siis süsteem (1) Sobimatu. Kui me selle saame , siis on see süsteem järjepidev ja me lahendame selle. (Ühilduvusuuring põhineb Kroneckeri-Capelli teoreemil).

a. Leiame rA.

Leidma rA, vaatleme järjestikku maatriksi esimese, teise jne järgu nullist erinevaid alaealisi A ja neid ümbritsevad alaealised.

M1=1≠0 (maatriksi ülemisest vasakust nurgast võtame 1 A).

Me piirneme M1 selle maatriksi teine ​​rida ja teine ​​veerg. . Jätkame piiri M1 teine ​​rida ja kolmas veerg..gif" width="37" height="20 src=">. Nüüd ääristame nullist erineva minoori M2′ teine ​​järjekord.

Meil on: (kuna esimesed kaks veergu on samad)

(kuna teine ​​ja kolmas rida on proportsionaalsed).

Me näeme seda rA=2, a on maatriksi alusmoll A.

b. Leiame.

Üsna elementaarne molli M2′ maatriksid Aääristage vabade terminite veeru ja kõigi ridadega (meil on ainult viimane rida).

. Sellest järeldub M3′′ jääb maatriksi põhimolliks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Sest M2′- maatriksi alusmoll A süsteemid (2) , siis on see süsteem samaväärne süsteemiga (3) , mis koosneb süsteemi kahest esimesest võrrandist (2) (eest M2′ asub maatriksi A kahes esimeses reas).

(3)

Alates põhimollist https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Selles süsteemis on kaks vaba tundmatut ( x2 Ja x4 ). Sellepärast FSR süsteemid (4) koosneb kahest lahendusest. Nende leidmiseks määrame sisse vabad tundmatud (4) väärtused esiteks x2=1 , x4=0 , ja siis - x2=0 , x4=1 .

Kell x2=1 , x4=0 saame:

.

Sellel süsteemil juba on ainuke asi lahendus (selle võib leida Crameri reegli või mõne muu meetodi abil). Lahutades esimese teisest võrrandist, saame:

Tema lahendus saab olema x1= -1 , x3=0 . Arvestades väärtusi x2 Ja x4 , mille lisasime, saame süsteemi esimese põhimõttelise lahenduse (2) : .

Nüüd me usume (4) x2=0 , x4=1 . Saame:

.

Lahendame selle süsteemi Crameri teoreemi abil:

.

Saame süsteemi teise põhimõttelise lahenduse (2) : .

Lahendused β1 , β2 ja meigi FSR süsteemid (2) . Siis on selle üldine lahendus

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Siin C1 , C2 - suvalised konstandid.

4. Leiame ühe privaatne lahendus heterogeenne süsteem(1) . Nagu lõigus 3 , süsteemi asemel (1) Vaatleme samaväärset süsteemi (5) , mis koosneb süsteemi kahest esimesest võrrandist (1) .

(5)

Liigutame vabad tundmatud paremale poole x2 Ja x4.

(6)

Andkem tasuta tundmatuid x2 Ja x4 suvalised väärtused, näiteks x2=2 , x4=1 ja pane need sisse (6) . Tutvume süsteemiga

Sellel süsteemil on ainulaadne lahendus (alates selle määrajast M2′0). Selle lahendades (kasutades Crameri teoreemi või Gaussi meetodit), saame x1=3 , x3=3 . Arvestades vabade tundmatute väärtusi x2 Ja x4 , saame mittehomogeense süsteemi eriline lahendus(1)α1=(3,2,3,1).

5. Nüüd jääb üle vaid see kirja panna mittehomogeense süsteemi üldlahend α(1) : see on võrdne summaga privaatne lahendus see süsteem ja selle redutseeritud homogeense süsteemi üldine lahendus (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

See tähendab: (7)

6. Läbivaatus. Kontrollimaks, kas lahendasite süsteemi õigesti (1) , vajame üldist lahendust (7) asendus sisse (1) . Kui iga võrrand muutub identiteediks ( C1 Ja C2 tuleb hävitada), siis leitakse lahendus õigesti.

Me asendame (7) näiteks ainult süsteemi viimane võrrand (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Saame: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Kus –1=–1. Meil on identiteet. Teeme seda süsteemi kõigi teiste võrranditega (1) .

kommenteerida. Kontrollimine on tavaliselt üsna tülikas. Soovitada võib järgmist “osalist kontrolli”: süsteemi üldlahenduses (1) määrake suvalistele konstantidele mõned väärtused ja asendage saadud osaline lahendus ainult kõrvalejäetud võrranditega (st nende võrranditega (1) , mis ei kuulunud hulka (5) ). Kui saate identiteedid, siis pigem, süsteemne lahendus (1) leitud õigesti (aga selline kontroll ei anna täielikku õigsuse garantiid!). Näiteks kui sisse (7) pane C2=- 1 , C1 = 1, siis saame: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Asendades süsteemi (1) viimase võrrandi, saame: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , st –1=–1. Meil on identiteet.

Näide 2. Leidke lineaarvõrrandisüsteemi üldine lahendus (1) , väljendades põhilisi tundmatuid vabadena.

Lahendus. Nagu näide 1, koostada maatriksid A ja https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> nendest maatriksitest. Nüüd jätame ainult need süsteemi võrrandid (1) , mille koefitsiendid sisalduvad selles põhimollis (st meil on kaks esimest võrrandit) ja vaadelda neist koosnevat süsteemi, mis on samaväärne süsteemiga (1).

Viime vabad tundmatud nende võrrandite parempoolsetele külgedele.

süsteem (9) Lahendame Gaussi meetodil, käsitades paremaid pooli vabadena.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

2. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

4. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

5. võimalus.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

6. valik.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi, milles kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga homogeenne :

Iga homogeenne süsteem on alati järjepidev, kuna see on alati olnud null (triviaalne ) lahendus. Tekib küsimus, millistel tingimustel saab homogeensel süsteemil mittetriviaalne lahendus.

Teoreem 5.2.Homogeensel süsteemil on mittetriviaalne lahendus siis ja ainult siis, kui aluseks oleva maatriksi auaste on väiksem kui selle tundmatute arv.

Tagajärg. Ruudukujulisel homogeensel süsteemil on mittetriviaalne lahendus siis ja ainult siis, kui süsteemi põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga.

Näide 5.6. Määrake parameetri l väärtused, mille juures süsteemil on mittetriviaalsed lahendused, ja leidke need lahendused:

Lahendus. Sellel süsteemil on mittetriviaalne lahendus, kui põhimaatriksi determinant on võrdne nulliga:

Seega on süsteem mittetriviaalne, kui l=3 või l=2. Kui l=3 on süsteemi põhimaatriksi auaste 1. Jättes siis ainult ühe võrrandi ja eeldades, et y=a Ja z=b, saame x=b-a, st.

Kui l=2, on süsteemi põhimaatriksi auaste 2. Seejärel valides aluseks minoorse:

saame lihtsustatud süsteemi

Siit leiame selle x=z/4, y=z/2. Uskudes z=4a, saame

Homogeense süsteemi kõikide lahenduste hulgal on väga oluline lineaarne omadus : kui veerud X 1 ja X 2 - homogeense süsteemi lahendused AX = 0, siis nende mis tahes lineaarne kombinatsioon a X 1 + b X 2 on ka selle süsteemi lahendus. Tõepoolest, alates AX 1 = 0 Ja AX 2 = 0 , See A(a X 1 + b X 2) = a AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Just selle omaduse tõttu, kui lineaarsüsteemil on rohkem kui üks lahend, siis on neid lahendeid lõpmatult palju.

Lineaarselt sõltumatud veerud E 1 , E 2 , Ek, mis on homogeense süsteemi lahendused, nimetatakse põhiline lahenduste süsteem homogeenne lineaarvõrrandisüsteem, kui selle süsteemi üldlahenduse saab kirjutada nende veergude lineaarse kombinatsioonina:

Kui homogeensel süsteemil on n muutujad ja süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne r, See k = n-r.

Näide 5.7. Leidke järgmise lineaarvõrrandisüsteemi põhilahenduste süsteem:

Lahendus. Leiame süsteemi põhimaatriksi auastme:

Seega moodustab selle võrrandisüsteemi lahenduste hulk dimensiooni lineaarse alamruumi n-r= 5 - 2 = 3. Valime aluseks minoorse

.

Seejärel, jättes alles ainult põhivõrrandid (ülejäänud on nende võrrandite lineaarne kombinatsioon) ja põhimuutujad (ülejäänud, nn vabad muutujad, nihutame paremale), saame lihtsustatud võrrandisüsteemi:

Uskudes x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, leiame

, .

Uskudes a= 1, b = c= 0, saame esimese põhilahendi; uskudes b= 1, a = c= 0, saame teise põhilahendi; uskudes c= 1, a = b= 0, saame kolmanda põhilahendi. Selle tulemusena kujuneb tavaline põhilahenduste süsteem

Põhisüsteemi kasutades saab homogeense süsteemi üldlahenduse kirjutada järgmiselt

X = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

Märgime ära mõned ebahomogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste omadused AX=B ja nende seos vastava homogeense võrrandisüsteemiga AX = 0.

Ebahomogeense süsteemi üldlahenduson võrdne vastava homogeense süsteemi üldlahenduse AX = 0 ja ebahomogeense süsteemi suvalise erilahenduse summaga. Tõepoolest, las Y 0 on mittehomogeense süsteemi suvaline konkreetne lahendus, s.t. JAH 0 = B, Ja Y- heterogeense süsteemi üldlahendus, s.o. AY=B. Lahutades ühe võrdsuse teisest, saame
A(Y-Y 0) = 0, st. Y-Y 0 on vastava homogeense süsteemi üldlahend AX=0. Seega Y-Y 0 = X, või Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Olgu ebahomogeensel süsteemil vorm AX = B 1 + B 2 . Siis saab sellise süsteemi üldlahenduse kirjutada kujul X = X 1 + X 2 , kus AX 1 = B 1 ja AX 2 = B 2. See omadus väljendab mis tahes lineaarsete süsteemide universaalset omadust üldiselt (algebraline, diferentsiaal, funktsionaalne jne). Füüsikas nimetatakse seda omadust superpositsiooni põhimõte, elektri- ja raadiotehnika alal - superpositsiooni põhimõte. Näiteks lineaarsete elektriahelate teoorias võib voolu mis tahes ahelas saada iga energiaallika poolt eraldi tekitatud voolude algebralise summana.