Tangensi võrrand on järgmine: Funktsiooni graafiku puutuja punktis
Puutuja on sirgjoon , mis puudutab funktsiooni graafikut ühes punktis ja mille kõik punktid on funktsiooni graafikust kõige lühemal kaugusel. Seetõttu läbib puutuja funktsiooni graafiku puutuja teatud nurga all ja mitu erineva nurga all olevat puutujat ei saa puutepunkti läbida. Funktsiooni graafiku puutujavõrrandid ja normaalvõrrandid konstrueeritakse tuletise abil.
Puutuja võrrand tuletatakse joonvõrrandist .
Tuletame funktsiooni graafiku puutuja võrrandi ja seejärel normaalvõrrandi.
y = kx + b .
Temas k- nurgakoefitsient.
Siit saame järgmise kirje:
y - y 0 = k(x - x 0 ) .
Tuletisväärtus f "(x 0 ) funktsioonid y = f(x) punktis x0 võrdne kaldega k= tg φ punkti kaudu tõmmatud funktsiooni graafiku puutuja M0 (x 0 , y 0 ) , Kus y0 = f(x 0 ) . See on tuletise geomeetriline tähendus .
Seega saame asendada k peal f "(x 0 ) ja hankige järgmine funktsiooni graafiku puutuja võrrand :
y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .
Ülesannetes, mis hõlmavad funktsiooni graafiku puutuja võrrandi koostamist (ja me läheme nende juurde varsti), tuleb ülaltoodud valemist saadud võrrand taandada järgmiseks. sirgjoone võrrand üldkujul. Selleks peate nihutama kõik tähed ja numbrid võrrandi vasakule poole ning jätma paremale poole nulli.
Nüüd normaalvõrrandi kohta. Tavaline - see on sirge, mis läbib puutujaga risti oleva funktsiooni graafiku puutepunkti. Normaalvõrrand :
(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0
Soojenduseks palutakse esimene näide ise lahendada ja seejärel vaadata lahendust. On põhjust loota, et see ülesanne ei ole meie lugejate jaoks "külm dušš".
Näide 0. Koostage funktsiooni graafiku jaoks punktis puutujavõrrand ja normaalvõrrand M (1, 1) .
Näide 1. Kirjutage funktsiooni graafikule puutujavõrrand ja normaalvõrrand 
, kui abstsiss on puutuja .
Leiame funktsiooni tuletise:
Nüüd on meil kõik, mis tuleb tangensvõrrandi saamiseks teoreetilises abis antud kirjesse asendada. Saame
Selles näites meil vedas: kalle osutus nulliks, mistõttu ei olnud vaja võrrandit eraldi taandada üldkujule. Nüüd saame luua tavavõrrandi:
Alloleval joonisel: funktsiooni graafik on bordoopunane, puutuja on roheline, normaal on oranž.
Ka järgmine näide pole keeruline: funktsioon, nagu ka eelmises, on samuti polünoom, kuid kalle ei võrdu nulliga, seega lisatakse veel üks samm - võrrandi viimine üldkujule.
Näide 2.
Lahendus. Leiame puutujapunkti ordinaad:
Leiame funktsiooni tuletise:
.
Leiame tuletise väärtuse puutuja punktis, see tähendab puutuja kalde:
Asendame kõik saadud andmed "tühja valemiga" ja saame puutuja võrrandi:
Toome võrrandi selle üldkujule (kogume kõik tähed ja numbrid peale nulli vasakule ja jätame nulli paremale):
Koostame normaalvõrrandi:
Näide 3. Kirjutage funktsiooni graafikule puutuja võrrand ja normaalvõrrand, kui puutepunkt on abstsiss.
Lahendus. Leiame puutujapunkti ordinaad:
Leiame funktsiooni tuletise:
.
Leiame tuletise väärtuse puutuja punktis, see tähendab puutuja kalde:
.
Leiame puutuja võrrandi:
Enne võrrandi viimist üldkujule peate seda veidi “kammima”: korrutage termini kaupa 4-ga. Teeme seda ja viime võrrandi üldkujule:
Koostame normaalvõrrandi:
Näide 4. Kirjutage funktsiooni graafikule puutuja võrrand ja normaalvõrrand, kui puutepunkt on abstsiss.
Lahendus. Leiame puutujapunkti ordinaad:
.
Leiame funktsiooni tuletise:
Leiame tuletise väärtuse puutuja punktis, see tähendab puutuja kalde:
.
Saame puutuja võrrandi:
Toome võrrandi selle üldkujule:
Koostame normaalvõrrandi:
Levinud viga puutuja- ja normaalvõrrandite kirjutamisel on mitte märgata, et näites antud funktsioon on keeruline ja arvutada selle tuletist lihtfunktsiooni tuletiseks. Järgmised näited on juba pärit keerukad funktsioonid(vastav tund avaneb uues aknas).
Näide 5. Kirjutage funktsiooni graafikule puutuja võrrand ja normaalvõrrand, kui puutepunkt on abstsiss.
Lahendus. Leiame puutujapunkti ordinaad:
Tähelepanu! See funktsioon on keeruline, kuna puutuja argument (2 x) on ise funktsioon. Seetõttu leiame funktsiooni tuletise kui kompleksfunktsiooni tuletise.
Videotund “Funktsiooni graafiku puutuja võrrand” demonstreerib õppematerjali teema valdamiseks. Videotunnis kirjeldatakse antud punktis funktsiooni graafiku puutuja võrrandi kontseptsiooni sõnastamiseks vajalikku teoreetilist materjali, sellise puutuja leidmise algoritmi ja näiteid ülesannete lahendamisest uuritud teoreetilise materjali abil. .
Videoõpetuses kasutatakse meetodeid, mis parandavad materjali selgust. Esitlus sisaldab jooniseid, diagramme, olulisi häälkommentaare, animatsiooni, esiletõstmist ja muid tööriistu.
Videotund algab tunni teema esitlusega ja mingi funktsiooni y=f(x) graafiku puutuja kujutisega punktis M(a;f(a)). On teada, et antud punktis graafikule kantud puutuja nurkkoefitsient on võrdne funktsiooni f΄(a) tuletisega selles punktis. Ka algebra kursusest teame sirge võrrandit y=kx+m. Skemaatiliselt esitatakse punktis puutujavõrrandi leidmise ülesande lahendus, mis taandub kordajate k, m leidmiseks. Teades funktsiooni graafikule kuuluva punkti koordinaate, leiame m, asendades koordinaatide väärtuse puutuja võrrandisse f(a)=ka+m. Sellest leiame m=f(a)-ka. Seega, teades tuletise väärtust antud punktis ja punkti koordinaate, saame puutujavõrrandi esitada nii y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Järgnevalt on toodud näide tangensvõrrandi koostamise kohta diagrammi järgi. Antud funktsioon y=x 2 , x=-2. Võttes a=-2, leiame funktsiooni väärtuse antud punktis f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Määrame funktsiooni f΄(x)=2x tuletise. Siinkohal on tuletis võrdne f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Võrrandi koostamiseks leiti kõik koefitsiendid a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, seega puutuja võrrand on y=4+(-4)(x+2). Võrrandit lihtsustades saame y = -4-4x.
Järgmises näites soovitatakse koostada võrrand funktsiooni y=tgx graafiku lähtepunktis oleva puutuja jaoks. Antud punktis a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Seega näeb puutuja võrrand välja kujul y=x.
Üldistusena vormistatakse teatud punktis funktsiooni graafiku puutuja võrrandi koostamise protsess neljast etapist koosneva algoritmi kujul:
- Sisestage puutujapunkti abstsiss tähis a;
- f(a) arvutatakse;
- f΄(x) määratakse ja f΄(a) arvutatakse. Leitud väärtused a, f(a), f΄(a) asendatakse puutuja võrrandi valemiga y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Näites 1 käsitletakse puutuja võrrandi koostamist funktsiooni y=1/x graafikusse punktis x=1. Probleemi lahendamiseks kasutame algoritmi. Antud funktsiooni korral punktis a=1 funktsiooni f(a) väärtus =-1. Funktsiooni f΄(x)=1/x 2 tuletis. Punktis a=1 tuletis f΄(a)= f΄(1)=1. Saadud andmete abil koostatakse puutuja võrrand y=-1+(x-1) või y=x-2.
Näites 2 on vaja leida funktsiooni y=x 3 +3x 2 -2x-2 graafiku puutuja võrrand. Peamine tingimus on puutuja ja sirge y=-2x+1 paralleelsus. Esiteks leiame puutuja nurkkoefitsiendi, mis on võrdne sirge y=-2x+1 nurkkoefitsiendiga. Kuna f΄(a) = -2 antud sirgel, siis k = -2 soovitud puutuja jaoks. Leiame funktsiooni (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 tuletise. Teades, et f΄(a)=-2, leiame punkti 3a 2 koordinaadid +6a-2=-2. Olles lahendanud võrrandi, saame 1 =0 ja 2 =-2. Leitud koordinaatide abil saate teada-tuntud algoritmi abil leida puutuja võrrandi. Funktsiooni väärtuse leiame punktidest f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Tuletise väärtus punktis f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Asendades leitud väärtused puutuja võrrandisse, saame esimese punkti jaoks a 1 =0 y=-2x-2 ja teise punkti jaoks a 2 =-2 puutuja võrrandi y=-2x-22.
Näites 3 kirjeldatakse puutuja võrrandi koostist selle joonistamiseks funktsiooni y=√x graafiku punktis (0;3). Lahendus tehakse tuntud algoritmi abil. Puutepunktil on koordinaadid x=a, kus a>0. Funktsiooni väärtus punktis f(a)=√x. Funktsiooni f΄(х)=1/2√х tuletis, seega antud punktis f΄(а)=1/2√а. Asendades kõik saadud väärtused puutuja võrrandisse, saame y = √a + (x-a)/2√a. Võrrandit teisendades saame y=x/2√а+√а/2. Teades, et puutuja läbib punkti (0;3), leiame a väärtuse. Leiame a alates 3=√a/2. Seega √a=6, a=36. Leiame puutuja võrrandi y=x/12+3. Joonisel on kujutatud vaadeldava funktsiooni graafik ja konstrueeritud soovitud puutuja.
Õpilastele tuletatakse meelde ligikaudsed võrrandid Δy=≈f΄(x)Δxja f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Võttes x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, saame f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), seega f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
Näites 4 on vaja leida avaldise 2,003 6 ligikaudne väärtus. Kuna punktis x=2,003 on vaja leida funktsiooni f(x)=x 6 väärtus, saame kasutada üldtuntud valemit, võttes f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x5. Tuletis punktis f΄(2)=192. Seetõttu 2,003 6 ≈65-192·0,003. Pärast avaldise arvutamist saame 2,003 6 ≈64,576.
Videotundi “Funktsiooni graafiku puutuja võrrand” on soovitatav kasutada koolis traditsioonilises matemaatikatunnis. Kaugõpetaval õpetajal aitab videomaterjal teemat selgemalt lahti seletada. Video võib soovitada õpilastel vajadusel iseseisvalt läbi vaadata, et ainest arusaamist süvendada.
TEKSTI DEKOODE:
Teame, et kui punkt M (a; f(a)) (em koordinaatidega a ja ef alates a) kuulub funktsiooni y = f (x) graafikusse ja kui selles punktis on võimalik joonestada puutuja funktsiooni graafikule, mis ei ole risti abstsissteljega, siis puutuja nurkkoefitsient võrdub f"(a) (eff algarvuga a).
Olgu antud funktsioon y = f(x) ja punkt M (a; f(a)), samuti on teada, et f´(a) on olemas. Loome võrrandi antud funktsiooni graafiku puutuja jaoks antud punktis. See võrrand, nagu iga sirge võrrand, mis ei ole ordinaatteljega paralleelne, on kujul y = kx+m (y võrdub ka x pluss em), seega on ülesanne leida koefitsiendid k ja m (ka ja em)
Nurgakoefitsient k= f"(a). M väärtuse arvutamiseks kasutame seda, et soovitud sirge läbib punkti M(a; f (a)). See tähendab, et kui asendame nurga koordinaadid punkt M sirge võrrandisse, saame õige võrrandi : f(a) = ka+m, kust leiame, et m = f(a) - ka.
Jääb üle asendada koefitsientide ki ja m leitud väärtused sirgjoone võrrandiga:
y = kx+(f(a)-ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y on võrdne ef-ga pluss ef algarvust a-st, korrutatuna x-ga miinus a).
Oleme saanud funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrandi punktis x=a.
Kui ütleme, et y = x 2 ja x = -2 (st a = -2), siis f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, mis tähendab f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (siis on a ef võrdne neljaga, x on võrdne kahe x-ga, mis tähendab ef algarvu, mis võrdub miinus neli)
Asendades võrrandisse leitud väärtused a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, saame: y = 4+(-4)(x+2), st y = -4x -4.
(E võrdub miinus neli x miinus neli)
Koostame funktsiooni y = tanx (y võrdub puutujaga x) graafiku puutuja jaoks lähtepunktis võrrandi. Meil on: a = 0, f(0) = tan0=0;
f"(x)= , mis tähendab f"(0) = l. Asendades võrrandisse leitud väärtused a=0, f(a)=0, f´(a) = 1, saame: y=x.
Võtame kokku meie sammud punktis x oleva funktsiooni graafiku puutuja võrrandi leidmisel algoritmi abil.
ALGORITM FUNKTSIOONI y = f(x) GRAAFIKU PUTUTU VÕRRANDI TÖÖTAMISEKS:
1) Tähistage puutepunkti abstsiss tähega a.
2) Arvutage f(a).
3) Leidke f´(x) ja arvutage f´(a).
4) Asenda leitud arvud a, f(a), f´(a) valemis y= f(a)+ f"(a) (x- a).
Näide 1. Loo võrrand funktsiooni y = - in graafiku puutuja jaoks
punkt x = 1.
Lahendus. Kasutame algoritmi, võttes seda selles näites arvesse
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Asendage valemis leitud kolm arvu: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1. Saame: y = -1+(x-1), y = x-2 .
Vastus: y = x-2.
Näide 2. Antud funktsioon y = x 3 +3x 2 -2x-2. Kirjutage üles funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja võrrand, mis on paralleelne sirgega y = -2x +1.
Kasutades tangensvõrrandi koostamise algoritmi, võtame arvesse, et selles näites f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, kuid puutujapunkti abstsissi siin ei näidata.
Hakkame mõtlema nii. Soovitav puutuja peab olema paralleelne sirgega y = -2x+1. Ja paralleelsetel joontel on võrdsed nurgakoefitsiendid. See tähendab, et puutuja nurkkoefitsient on võrdne antud sirge nurkkoefitsiendiga: k puutuja. = -2. Hok cas. = f"(a). Seega leiame a väärtuse võrrandist f ´(a) = -2.
Leiame funktsiooni tuletise y=f(x):
f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a) = 3a 2 + 6a-2.
Võrrandist f"(a) = -2, s.o. 3a 2 +6a-2=-2 leiame 1 =0, a 2 =-2. See tähendab, et on kaks puutujat, mis vastavad ülesande tingimustele: üks punktis abstsissga 0, teine punktis, mille abstsiss on -2.
Nüüd saate algoritmi järgida.
1) a 1 =0 ja 2 =-2.
2) f(a 1) = 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Asendades valemis väärtused a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2, saame:
y = -2-2 (x-0), y = -2x-2.
Asendades valemis väärtused a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2, saame:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Vastus: y=-2x-2, y=-2x+2.
Näide 3. Joonistage punktist (0; 3) funktsiooni y = graafiku puutuja. Lahendus. Kasutame tangensvõrrandi koostamise algoritmi, võttes arvesse, et antud näites f(x) = . Pange tähele, et siin, nagu näites 2, ei ole puutujapunkti abstsiss selgesõnaliselt näidatud. Sellest hoolimata järgime algoritmi.
1) Olgu x = a puutepunkti abstsiss; on selge, et >0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) A, f(a) = , f"(a) = väärtuste asendamine valemis
y=f (a) +f "(a) (x-a), saame:
Tingimuse järgi läbib puutuja punkti (0; 3). Asendades võrrandisse väärtused x = 0, y = 3, saame: 3 = , ja siis =6, a =36.
Nagu näete, õnnestus selles näites alles algoritmi neljandas etapis leida puutujapunkti abstsiss. Asendades võrrandisse väärtuse a =36, saame: y=+3
Joonisel fig. Joonisel 1 on vaadeldava näite geomeetriline illustratsioon: koostatakse funktsiooni y = graafik, joonestatakse sirge y = +3.
Vastus: y = +3.
Teame, et funktsiooni y = f(x) puhul, millel on tuletis punktis x, kehtib ligikaudne võrdus: Δyf´(x)Δx (delta y on ligikaudu võrdne x eff algarvuga, mis on korrutatud delta x-ga)
või täpsemalt f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff x pluss delta x miinus ef x-st on ligikaudu võrdne ef algarvuga x-st delta x võrra).
Edasise arutelu hõlbustamiseks muutkem tähistust:
x asemel kirjutame A,
x+Δx asemel kirjutame x
Δx asemel kirjutame x-a.
Siis on ülaltoodud ligikaudne võrdsus järgmisel kujul:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff väärtusest x on ligikaudu võrdne ef-ga pluss ef algarvust a-st, korrutatuna x ja a vahega).
Näide 4. Leidke arvavaldise 2,003 6 ligikaudne väärtus.
Lahendus. Jutt käib funktsiooni y = x 6 väärtuse leidmisest punktis x = 2,003. Kasutame valemit f(x)f(a)+f´(a)(x-a), võttes arvesse, et antud näites f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 ja seega f"(a) = f"(2) = 6 2 5 = 192.
Selle tulemusena saame:
2,003 6 64+192· 0,003, s.o. 2,003 6 = 64,576.
Kui kasutame kalkulaatorit, saame:
2,003 6 = 64,5781643...
Nagu näete, on ligikaudne täpsus üsna vastuvõetav.
Tangent on sirgjoon, mis läbib kõvera punkti ja kattub sellega selles punktis kuni esimese järguni (joonis 1).
Teine määratlus: see on sekandi piirasend Δ juures x→0.
Selgitus: võtke sirgjoon, mis lõikab kõverat kahes punktis: A Ja b(vt pilti). See on sekant. Pöörame seda päripäeva, kuni see leiab kõveraga ainult ühe ühise punkti. See annab meile puutuja.
Tangensi range määratlus:
Funktsiooni graafiku puutuja f, punktis eristatav xO, on sirge, mis läbib punkti ( xO; f(xO)) ja millel on kalle f′( xO).
Kallakul on vormi sirgjoon y =kx +b. Koefitsient k ja on kalle see sirgjoon.
Nurgakoefitsient võrdub selle sirgjoone ja abstsissteljega moodustatud teravnurga puutujaga:
|
Siin on nurk α sirge vaheline nurk y =kx +b ja x-telje positiivne (st vastupäeva) suund. Seda nimetatakse sirgjoone kaldenurk(Joonis 1 ja 2). 
Kui kaldenurk on sirge y =kx +bäge, siis on kalle positiivne arv. Graafik kasvab (joonis 1).
Kui kaldenurk on sirge y =kx +b on nüri, siis on kalle negatiivne arv. Graafik väheneb (joonis 2).
Kui sirge on paralleelne x-teljega, siis on sirge kaldenurk null. Sel juhul on ka sirge kalle null (kuna nulli puutuja on null). Sirge võrrand näeb välja selline, nagu y = b (joonis 3).
Kui sirge kaldenurk on 90º (π/2), see tähendab, et see on risti abstsissteljega, siis sirge annab võrdus x =c, Kus c– mingi reaalarv (joon. 4).
Funktsiooni graafiku puutuja võrrandy = f(x) punktis xO:
Näide: Leia funktsiooni graafiku puutuja võrrand f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 punktis abstsiss 2.
Lahendus.
Me järgime algoritmi.
1) Puutepunkt xO on võrdne 2. Arvutage f(xO):
f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Leia f′( x). Selleks rakendame eelmises jaotises kirjeldatud diferentseerimisvalemeid. Nende valemite järgi X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Tähendab:
f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Nüüd, kasutades saadud väärtust f′( x), arvutama f′( xO):
f′( xO) = f′ (2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Niisiis, meil on kõik vajalikud andmed: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Asendage need arvud puutuja võrrandisse ja leidke lõpplahendus:
y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.
Vastus: y = 4x – 7.
Juhised
Määrame punktis M kõvera puutuja nurkkoefitsiendi.
Funktsiooni y = f(x) graafikut kujutav kõver on pidev punkti M teatud läheduses (kaasa arvatud punkt M ise).
Kui väärtust f‘(x0) ei eksisteeri, siis puutujat pole või see jookseb vertikaalselt. Seda silmas pidades on funktsiooni tuletise olemasolu punktis x0 tingitud funktsiooni graafiku mittevertikaalse puutuja olemasolust punktis (x0, f(x0)). Sel juhul on puutuja nurkkoefitsient võrdne f "(x0). Seega saab selgeks tuletise geomeetriline tähendus - puutuja nurkkoefitsiendi arvutamine.
Leidke puutepunkti abstsissi väärtus, mida tähistatakse tähega "a". Kui see langeb kokku antud puutujapunktiga, on "a" selle x-koordinaat. Määrake väärtus funktsioonid f(a) võrrandisse asendades funktsioonid abstsissi väärtus.
Määrake võrrandi esimene tuletis funktsioonid f’(x) ja asendage sellega punkti "a" väärtus.
Võtke üldine puutuja võrrand, mis on defineeritud kui y = f(a) = f (a)(x – a), ja asendage sellega leitud väärtused a, f(a), f "(a). Selle tulemusena leitakse graafiku lahendus ja puutuja.
Lahendage ülesanne teistmoodi, kui antud puutujapunkt ei lange kokku puutujapunktiga. Sel juhul tuleb puutuja võrrandis numbrite asemel asendada "a". Pärast seda asendage tähtede “x” ja “y” asemel antud punkti koordinaatide väärtus. Lahendage saadud võrrand, milles "a" on tundmatu. Ühendage saadud väärtus puutuja võrrandiga.
Kirjutage võrrand puutuja jaoks tähega "a", kui ülesande avaldus määrab võrrandi funktsioonid ja paralleeljoone võrrand soovitud puutuja suhtes. Pärast seda vajame tuletist funktsioonid
Olgu antud funktsioon f, millel on mingil hetkel x 0 lõplik tuletis f (x 0). Seejärel nimetatakse puutujaks punkti (x 0 ; f (x 0)) läbivat sirget, millel on nurkkoefitsient f ’(x 0).
Mis juhtub, kui tuletist punktis x 0 ei eksisteeri? On kaks võimalust.
- Graafikul pole ka puutujat. Klassikaline näide on funktsioon y = |x | punktis (0; 0).
- Puutuja muutub vertikaalseks. See kehtib näiteks funktsiooni y = arcsin x kohta punktis (1; π /2).
Tangensi võrrand
Iga mittevertikaalne sirge on antud võrrandiga kujul y = kx + b, kus k on kalle. Puutuja pole erand ja selle võrrandi loomiseks mingil punktil x 0 piisab funktsiooni ja tuletise väärtuse teadmisest selles punktis.
Niisiis, olgu antud funktsioon y = f (x), millel on lõigul tuletis y = f ’(x). Siis saab igas punktis x 0 ∈ (a ; b) tõmmata selle funktsiooni graafikule puutuja, mis on antud võrrandiga:
y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)
Siin on f ’(x 0) tuletise väärtus punktis x 0 ja f (x 0) on funktsiooni enda väärtus.
Ülesanne. Antud funktsioon y = x 3 . Kirjutage võrrand selle funktsiooni graafiku puutuja kohta punktis x 0 = 2.
Puutuja võrrand: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Punkt x 0 = 2 on meile antud, kuid väärtused f (x 0) ja f '(x 0) tuleb arvutada.
Esiteks leiame funktsiooni väärtuse. Siin on kõik lihtne: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Nüüd leiame tuletise: f '(x) = (x 3)' = 3x 2;
Asendame tuletis x 0 = 2: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Kokku saame: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
See on puutuja võrrand.
Ülesanne. Kirjutage võrrand funktsiooni f (x) = 2sin x + 5 graafiku puutuja kohta punktis x 0 = π /2.
Seekord me iga toimingut üksikasjalikult ei kirjelda - näitame ainult põhietappe. Meil on:
f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Tangensi võrrand:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
Viimasel juhul osutus sirge horisontaalseks, sest selle nurgakoefitsient k = 0. Selles pole midagi halba – me lihtsalt komistasime ekstreemumipunkti otsa.