Juurikaavat. Juuren ominaisuudet

Oppitunti ja esitys aiheesta:
"Neliöjuuren ominaisuudet. Kaavat. Esimerkkejä ratkaisuista, tehtäviä ja vastauksia"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, palautetta, ehdotuksia. Kaikki materiaalit tarkistetaan virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit verkkokaupassa "Integral" luokalle 8
Interaktiivinen opinto-opas "Geometria 10 minuutissa" luokalle 8
Koulutuskompleksi "1C: Koulu. Geometria, luokka 8"

Neliöjuuren ominaisuudet

Ominaisuus 1. Kahden ei-negatiivisen luvun tulon neliöjuuri on yhtä suuri kuin näiden lukujen neliöjuurien tulo: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

On tapana todistaa kaikki ominaisuudet, tehdään se.
Olkoon $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Sitten meidän on todistettava, että $x=y*z$.
Nelitetään jokainen lauseke.
Jos $\sqrt(a*b)=x$, niin $a*b=x^2$.
Jos $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, niin neliöimällä molemmat lausekkeet saadaan: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, eli $x^2=(y*z)^2$. Jos kahden ei-negatiivisen luvun neliöt ovat yhtä suuret, niin itse luvut ovat yhtä suuret, mikä oli todistettava.

Ominaisuudestamme seuraa, että esimerkiksi $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Huomautus 1. Ominaisuus pätee myös silloin, kun juuren alla on enemmän kuin kaksi ei-negatiivista tekijää.
Kiinteistö 2. Jos $a≥0$ ja $b>0$, niin seuraava yhtälö pätee: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Eli osamäärän juuri on yhtä suuri kuin juurien osamäärä.
Todiste.
Käytetään taulukkoa ja osoitetaan lyhyesti omaisuutemme.

Esimerkkejä neliöjuuren ominaisuuksien käytöstä

Ratkaisu.
Tietysti voimme ottaa laskimen, kertoa kaikki luvut juuren alla ja suorittaa neliöjuuren poimimisen. Ja jos laskinta ei ole käsillä, mitä sitten?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Vastaus: 495.

Esimerkki 2. Laske: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Ratkaisu.
Esitämme radikaaliluvun vääränä murtolukuna: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Käytetään ominaisuutta 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4 dollaria.
Vastaus: 3.4.

Esimerkki 3
Laske: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Ratkaisu.
Voimme arvioida ilmaisumme suoraan, mutta se voidaan melkein aina yksinkertaistaa. Yritetään tehdä tämä.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Joten $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Vastaus: 32.

Kaverit, huomaa, että radikaalilausekkeiden yhteen- ja vähennysoperaatioille ei ole kaavoja, ja alla olevat lausekkeet eivät ole oikeita.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Esimerkki 4
Laske: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Ratkaisu.
Yllä esitetyt ominaisuudet toimivat sekä vasemmalta oikealle että käänteisessä järjestyksessä, eli:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Käytetään tätä esimerkkimme ratkaisemiseen.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Vastaus: a) 16; b) 2.

Kiinteistö 3. Jos $a≥0$ ja n on luonnollinen luku, niin seuraava yhtälö pätee: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Esimerkiksi. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ ja niin edelleen.

Esimerkki 5
Laske: $\sqrt(129600)$.

Ratkaisu.
Meille esitetty luku on melko suuri, jaetaan se alkutekijöiksi.
Saimme: $129600=5^2*2^6*3^4$ tai $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Vastaus: 360.

Tehtävät itsenäiseen ratkaisuun

Neliön pinta-ala on 81 dm². Löydä hänen puolensa. Oletetaan, että neliön sivun pituus on X desimetriä. Sitten tontin pinta-ala on X² neliödesimetriä. Koska kunnon mukaan tämä ala on 81 dm², niin X² = 81. Neliön sivun pituus on positiivinen luku. Positiivinen luku, jonka neliö on 81, on luku 9. Tehtävää ratkaistaessa oli löydettävä luku x, jonka neliö on 81, eli ratkaistava yhtälö X² = 81. Tällä yhtälöllä on kaksi juurta: x 1 = 9 ja x 2 \u003d - 9, koska 9² \u003d 81 ja (- 9)² \u003d 81. Sekä numeroita 9 että - 9 kutsutaan luvun 81 neliöjuuriksi.

Huomaa, että yksi neliöjuurista X= 9 on positiivinen luku. Sitä kutsutaan 81:n aritmeettiseksi neliöjuureksi ja merkitään √81, joten √81 = 9.

Luvun aritmeettinen neliöjuuri a on ei-negatiivinen luku, jonka neliö on yhtä suuri kuin a.

Esimerkiksi luvut 6 ja -6 ovat luvun 36 neliöjuuria. Luku 6 on luvun 36 aritmeettinen neliöjuuri, koska 6 on ei-negatiivinen luku ja 6² = 36. Luku -6 ei ole aritmeettinen juuri.

Luvun aritmeettinen neliöjuuri a merkitty seuraavasti: √ a.

Etumerkkiä kutsutaan aritmeettiseksi neliöjuuren merkiksi; a kutsutaan juurilausekkeeksi. Ilmaisu √ a lukea näin: luvun aritmeettinen neliöjuuri a. Esimerkiksi √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Tapauksissa, joissa on selvää, että puhumme aritmeettisesta juuresta, he sanovat lyhyesti: "neliöjuuri a«.

Luvun neliöjuuren löytämistä kutsutaan neliöjuuren ottamiseksi. Tämä toiminto on päinvastainen kuin neliöinti.

Mikä tahansa luku voi olla neliö, mutta jokainen luku ei voi olla neliöjuuri. Esimerkiksi on mahdotonta erottaa luvun neliöjuurta - 4. Jos tällainen juuri oli olemassa, merkitse se kirjaimella X, saisimme väärän yhtälön x² \u003d - 4, koska vasemmalla on ei-negatiivinen luku ja oikealla negatiivinen luku.

Ilmaisu √ a järkevää vain silloin, kun a ≥ 0. Neliöjuuren määritelmä voidaan kirjoittaa lyhyesti seuraavasti: √ a ≥ 0, (√a)² = a. Tasa-arvo (√ a)² = a voimassa a ≥ 0. Siten varmistaaksesi, että ei-negatiivisen luvun neliöjuuri a on yhtä suuri b, eli että √ a =b, sinun on tarkistettava, että seuraavat kaksi ehtoa täyttyvät: b ≥ 0, b² = a.

Murtoluvun neliöjuuri

Lasketaan. Huomaa, että √25 = 5, √36 = 6, ja tarkista, päteekö yhtälö.

Koska ja silloin tasa-arvo on totta. Niin, .

Lause: Jos a≥ 0 ja b> 0, eli murtoluvun juuri on yhtä kuin osoittajan juuri jaettuna nimittäjän juurella. On todistettava, että: ja .

Vuodesta √ a≥0 ja √ b> 0, sitten.

Ominaisuuden avulla nostaa murtoluku potenssiin ja määrittää neliöjuuri lause on todistettu. Katsotaanpa muutama esimerkki.

Laske , todistetun lauseen mukaan .

Toinen esimerkki: Todista se , jos a ≤ 0, b < 0. .

Toinen esimerkki: Laske .

.

Neliöjuuren muunnos

Kertoimen ottaminen juuren merkin alta. Olkoon ilmaus annettu. Jos a≥ 0 ja b≥ 0, niin tuotteen juuren lauseella voimme kirjoittaa:

Tällaista muutosta kutsutaan juurimerkin huomioimiseksi. Harkitse esimerkkiä;

Laske klo X= 2. Suora korvaus X= 2 radikaalilausekkeessa johtaa monimutkaisiin laskelmiin. Näitä laskelmia voidaan yksinkertaistaa, jos poistamme ensin tekijät juurimerkin alta: . Korvaamalla nyt x = 2, saamme:.

Joten kun tekijä otetaan pois juurimerkin alta, radikaalilauseke esitetään tulona, ​​jossa yksi tai useampi tekijä on ei-negatiivisten lukujen neliöitä. Sitten sovelletaan juuritulolausetta ja otetaan kunkin tekijän juuri. Tarkastellaan esimerkkiä: Yksinkertaistaa lauseke A = √8 + √18 - 4√2 ottamalla tekijät pois juurimerkin alta kahdesta ensimmäisestä termistä, saamme:. Korostamme tasa-arvoa voimassa vain kun a≥ 0 ja b≥ 0. jos a < 0, то .

Matematiikka syntyi, kun ihminen tuli tietoiseksi itsestään ja alkoi asettua maailman autonomiseksi yksiköksi. Halu mitata, vertailla, laskea, mikä sinua ympäröi, on yksi aikamme perustieteistä. Aluksi nämä olivat alkeismatematiikan kappaleita, jotka mahdollistivat numeroiden yhdistämisen niiden fyysisiin ilmaisuihin, myöhemmin johtopäätökset alettiin esittää vain teoreettisesti (niiden abstraktisuuden vuoksi), mutta jonkin ajan kuluttua, kuten eräs tiedemies sanoi, " matematiikka saavutti monimutkaisuuden katon, kun kaikki luvut." "Neliöjuuren" käsite ilmestyi aikana, jolloin sitä voitiin helposti tukea empiirisellä tiedolla, joka ylitti laskelmien tason.

Miten kaikki alkoi

Ensimmäinen maininta juurista, jota nykyään merkitään √, kirjattiin babylonialaisten matemaatikoiden kirjoituksiin, jotka loivat perustan nykyaikaiselle aritmetiikalle. Tietenkin ne näyttivät vähän nykymuodoltaan - noiden vuosien tutkijat käyttivät ensin tilaa vieviä tabletteja. Mutta toisella vuosituhannella eKr. e. he keksivät likimääräisen laskentakaavan, joka osoitti, kuinka neliöjuuri otetaan. Alla olevassa kuvassa on kivi, jolle babylonialaiset tiedemiehet kaiversivat tulosprosessin √2, ja se osoittautui niin oikeaksi, että vastauksessa oleva ristiriita löytyi vain kymmenellä desimaalilla.

Lisäksi juuria käytettiin, jos oli tarpeen löytää kolmion sivu, edellyttäen, että kaksi muuta tiedetään. No, kun ratkaistaan ​​toisen asteen yhtälöitä, ei ole paeta juuria.

Babylonian teosten ohella artikkelin kohdetta tutkittiin kiinalaisessa teoksessa "Mathematics in Nine Books", ja muinaiset kreikkalaiset tulivat siihen tulokseen, että mikä tahansa luku, josta juuria ei eroteta ilman jäännöstä, antaa irrationaalisen tuloksen.

Tämän termin alkuperä liittyy numeron arabialaiseen esitykseen: muinaiset tiedemiehet uskoivat, että mielivaltaisen luvun neliö kasvaa juuresta, kuten kasvi. Latinaksi tämä sana kuulostaa radixilta (voidaan jäljittää kuvio - kaikki, jolla on "juuren" semanttinen kuorma, on konsonanttia, oli se sitten retiisi tai iskias).

Seuraavien sukupolvien tutkijat omaksuivat tämän idean ja nimesivät sen Rx:ksi. Esimerkiksi 1400-luvulla he kirjoittivat R 2 a osoittaakseen, että neliöjuuri on otettu mielivaltaisesta luvusta a. Modernille ilmeelle tuttu "pukki" √ ilmestyi vasta 1600-luvulla Rene Descartesin ansiosta.

Meidän päivät

Matemaattisesti y:n neliöjuuri on luku z, jonka neliö on y. Toisin sanoen z 2 =y vastaa √y=z. Tämä määritelmä koskee kuitenkin vain aritmeettista juuria, koska se merkitsee lausekkeen ei-negatiivista arvoa. Toisin sanoen √y=z, jossa z on suurempi tai yhtä suuri kuin 0.

Yleensä, mikä pätee algebrallisen juuren määrittämiseen, lausekkeen arvo voi olla joko positiivinen tai negatiivinen. Siten johtuen siitä, että z 2 =y ja (-z) 2 =y, meillä on: √y=±z tai √y=|z|.

Koska rakkaus matematiikkaan on vain lisääntynyt tieteen kehityksen myötä, siihen on olemassa erilaisia ​​​​kiintymyksen ilmenemismuotoja, joita ei ilmaista kuivilla laskelmilla. Esimerkiksi tällaisten mielenkiintoisten tapahtumien, kuten Pi-päivän, ohella vietetään myös neliöjuuren vapaapäiviä. Niitä vietetään yhdeksän kertaa sadan vuoden aikana, ja ne määräytyvät seuraavan periaatteen mukaisesti: päivää ja kuukautta osoittavien numeroiden on oltava vuoden neliöjuuri. Joten seuraavan kerran tätä lomaa vietetään 4. huhtikuuta 2016.

Neliöjuuren ominaisuudet kentässä R

Lähes kaikilla matemaattisilla lausekkeilla on geometrinen perusta, tämä kohtalo ei mennyt läpi ja √y, joka määritellään neliön sivuksi, jonka pinta-ala on y.

Kuinka löytää luvun juuri?

Laskenta-algoritmeja on useita. Yksinkertaisin, mutta samalla melko hankala, on tavallinen aritmeettinen laskenta, joka on seuraava:

1) luvusta, jonka juuria tarvitsemme, parittomat luvut vähennetään vuorotellen - kunnes tulosteen loppuosa on pienempi kuin vähennetty yksi tai jopa nolla. Liikkeiden määrästä tulee lopulta haluttu määrä. Esimerkiksi luvun 25 neliöjuuren laskeminen:

Seuraava pariton luku on 11, loppuosa on: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Tällaisia ​​tapauksia varten on olemassa Taylor-sarjan laajennus:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , missä n saa arvot välillä 0 -

+∞ ja |y|≤1.

Graafinen esitys funktiosta z=√y

Tarkastellaan perusfunktiota z=√y reaalilukujen R kentässä, jossa y on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. Hänen kaavionsa näyttää tältä:

Käyrä kasvaa origosta ja ylittää välttämättä pisteen (1; 1).

Funktion z=√y ominaisuudet reaalilukujen kentässä R

1. Tarkastelun funktion määritelmäalue on aikaväli nollasta plus äärettömään (nolla on mukana).

2. Tarkastelun funktion arvoalue on aikaväli nollasta plus äärettömään (nolla on jälleen mukana).

3. Funktio ottaa minimiarvon (0) vain pisteestä (0; 0). Maksimiarvoa ei ole.

4. Funktio z=√y ei ole parillinen eikä pariton.

5. Funktio z=√y ei ole jaksollinen.

6. Funktion z=√y kuvaajalla on vain yksi leikkauspiste koordinaattiakseleiden kanssa: (0; 0).

7. Funktion z=√y kuvaajan leikkauspiste on myös tämän funktion nolla.

8. Funktio z=√y kasvaa jatkuvasti.

9. Funktio z=√y saa vain positiivisia arvoja, joten sen kuvaaja on ensimmäinen koordinaattikulma.

Vaihtoehdot funktion z=√y näyttämiseksi

Matematiikassa monimutkaisten lausekkeiden laskemisen helpottamiseksi käytetään joskus neliöjuuren kirjoittamisen potenssimuotoa: √y=y 1/2. Tämä vaihtoehto on kätevä esimerkiksi nostattaessa funktio potenssiin: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Tämä menetelmä on myös hyvä esitys integraatiolla tapahtuvalle differentiaatiolle, koska sen ansiosta neliöjuurta edustaa tavallinen potenssifunktio.

Ja ohjelmoinnissa symbolin √ korvaaminen on kirjainyhdistelmä sqrt.

On syytä huomata, että tällä alueella neliöjuurella on suuri kysyntä, koska se on osa useimpia laskelmissa tarvittavia geometrisia kaavoja. Itse laskenta-algoritmi on melko monimutkainen ja perustuu rekursioon (itseään kutsuva funktio).

Neliöjuuri kompleksikentässä C

Yleisesti ottaen tämän artikkelin aihe stimuloi kompleksilukujen kentän C löytämistä, koska matemaatikoita ahdisti kysymys parillisen astejuuren saamisesta negatiivisesta luvusta. Näin syntyi kuvitteellinen yksikkö i, jolle on ominaista erittäin mielenkiintoinen ominaisuus: sen neliö on -1. Tämän ansiosta toisen asteen yhtälöt ja negatiivinen diskriminantti saivat ratkaisun. C:ssä neliöjuurelle samat ominaisuudet kuin R:ssä, ainoa asia on, että juurilausekkeen rajoitukset poistetaan.

Juurikaavat. neliöjuurten ominaisuudet.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit sisään Erityinen pykälä 555.
Niille, jotka vahvasti "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Edellisellä oppitunnilla selvitimme mikä on neliöjuuri. On aika selvittää, mitkä ovat kaavat juurille, mitä ovat juuren ominaisuudet ja mitä sille kaikelle voi tehdä.

Juurikaavat, juuriominaisuudet ja säännöt toimille juurilla- Se on pohjimmiltaan sama asia. Neliöjuurille on yllättävän vähän kaavoja. Mikä tietysti miellyttää! Pikemminkin voit kirjoittaa paljon kaikenlaisia ​​kaavoja, mutta vain kolme riittää käytännölliseen ja luottavaiseen työhön juurien kanssa. Kaikki muu kumpuaa näistä kolmesta. Vaikka monet eksyvät juurien kolmeen kaavaan, kyllä ​​...

Aloitetaan yksinkertaisimmasta. Tuolla hän on:

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)

voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.