Käytännön työ aiheesta käänteiset trigonometriset funktiot. "käänteiset trigonometriset funktiot" - asiakirja

Kohde:

Tehtävä: Luo testi "Käänteiset trigonometriset funktiot"

Internet-resurssit

Toimituspäivä - teknisten tietojen mukaan

Itsenäinen työ nro 14 (2 tuntia)

Aiheesta: "Venytys ja puristus koordinaattiakseleita pitkin"

Kohde: opiskelijoiden hankittujen teoreettisten tietojen ja käytännön taitojen systematisointi ja lujittaminen;

Tehtävä: Tiivistelmä aiheesta: "Laajentaminen ja puristus koordinaattiakseleita pitkin"

Kirjallisuus: A.G. Mordkovich "Algebra ja matemaattisen analyysin alku" 10. luokka

Internet-resurssit

Toimituspäivä - teknisten tietojen mukaan

Itsenäinen työ nro 15 (1 tunti)

Aiheesta: "Venytys ja puristus koordinaattiakseleita pitkin"

Kohde: itsenäisen ajattelun muodostuminen, kyky itsensä kehittämiseen, itsensä kehittämiseen ja itsensä toteuttamiseen

Tehtävä: esitys: "Laajentaminen ja puristus koordinaattiakseleita pitkin"

Kirjallisuus: A.G. Mordkovich "Algebra ja matemaattisen analyysin alku" 10. luokka

Internet-resurssit

Toimituspäivä - teknisten tietojen mukaan

Itsenäinen työ nro 16 (2 tuntia)

Aiheesta: "Käänteiset trigonometriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat"

Kohde: opiskelijoiden hankittujen teoreettisten tietojen ja käytännön taitojen systematisointi ja lujittaminen

Tehtävän suorituslomake: tutkimustyötä.

Kirjallisuus: A.G. Mordkovich "Algebra ja matemaattisen analyysin alku" 10. luokka

Internet-resurssit

Toimituspäivä - teknisten tietojen mukaan

Itsenäinen työ nro 18 (6 tuntia)

Aiheesta: "Puoliargumenttikaavat"

Tavoite: teoreettisen tiedon syventäminen ja laajentaminen

Tehtävä: Kirjoita viesti aiheesta "Puolen argumentin kaavat." Luo viitetaulukko trigonometriakaavoille

Kirjallisuus: A.G. Mordkovich "Algebra ja matemaattisen analyysin alku" 10. luokka

Internet-resurssit

Toimituspäivä - teknisten tietojen mukaan

Etusivu.

Työsuunnitelma laaditaan otsikolla "Sisällysluettelo"; sijainti - keskustassa.

Bibliografisten lähteiden luettelo on esitetty otsikon "Kirjallisuus" alla. Lähdeluettelossa on oltava kaikki käytetyt lähteet: kirjojen tiedot (monografiat, oppikirjat, käsikirjat, hakuteokset jne.) tulee sisältää: tekijän sukunimi ja nimikirjaimet, kirjan nimi, julkaisupaikka, kustantaja, julkaisuvuosi. Jos kirjoittajia on kolme tai useampia, vain ensimmäisen sukunimi ja nimikirjaimet saa ilmoittaa sanoilla "jne". Julkaisupaikan nimi on annettava kokonaisuudessaan nimeämässä: vain kahden kaupungin nimen lyhenne on sallittu: Moskova (M.) ja Pietari (SPb.). Mainitut bibliografiset lähteet tulee lajitella aakkosjärjestykseen nousevaan järjestykseen. Listan tulee sisältää vähintään kolme lähdettä.

Jokainen työn uusi osa, uusi luku, uusi kappale alkaa seuraavalta sivulta.

Hakemus on laadittu erillisille arkeille, jokaisella hakemuksella on sarjanumero ja temaattinen otsikko. Teksti ”Liite” 1 (2.3...) on sijoitettu oikeaan yläkulmaan. Hakemuksen otsikko muotoillaan kappaleen otsikoksi.

Työn määrä on vähintään 10 arkkia tietokoneella (kirjoituskoneella) tulostettuja sivuja; sisällysluettelo, bibliografia ja liitteet eivät sisälly määritettyyn sivumäärään.

Käsikirjoituksen teksti on painettu fontilla nro 14 1,5 välein.

Marginaalit: vasen - 3 cm, oikea - 1 cm, ylhäältä ja alhaalta - 2 cm.

Punainen viiva - 1,5 cm Kappaleväli - 1,8.

Teoksen tekstissä olevan lainauksen jälkeen käytetään seuraavia merkkejä: "...", jossa bibliografisen lähteen numero on otettu lähdeluettelosta.

Valitus hakemuksen tekstiin on muotoiltu seuraavasti: (ks. liite 1).

Algoritmikaavioiden, taulukoiden ja kaavojen suunnittelu. Kuvitukset (kaaviot, kaaviot, kaaviot) voivat olla tiivistelmän päätekstissä ja liitteet-osiossa. Kaikkia kuvia kutsutaan piirroksiksi. Kaikki kuviot, taulukot ja kaavat on numeroitu arabialaisilla numeroilla ja niillä on jatkuva numerointi sovelluksen sisällä. Jokaisessa piirustuksessa on oltava allekirjoitus. Esimerkiksi:

Kuva 12. Sovelluksen pääikkunan muoto.

Kaikissa työn kuvissa, taulukoissa ja kaavoissa tulee olla linkit muodossa: "sovelluksen pääikkunan muoto näkyy kuvassa. 12."

Kuvat ja taulukot tulee sijoittaa välittömästi sen sivun jälkeen, jolla ne mainitaan ensimmäisen kerran huomautuksen tekstissä. Jos tila sallii, kuvio (taulukko) voidaan sijoittaa tekstiin samalle sivulle, jossa on ensimmäinen linkki siihen.

Jos piirros vie useamman kuin yhden sivun, kaikki sivut ensimmäistä lukuun ottamatta on merkitty piirustuksen numerolla ja sanalla "Jatka". Esimerkiksi:

Riisi. 12. Jatkuu

Piirustukset tulee sijoittaa niin, että niitä voi katsella kääntämättä nuottia. Jos tällainen sijoittaminen ei ole mahdollista, piirustukset tulee sijoittaa niin, että niiden katsomiseksi sinun on käännettävä työtä myötäpäivään.

Algoritmikaaviot tulee tehdä ESPD-standardin mukaisesti. Kiinteän viivan paksuuden algoritmikaavioita piirrettäessä tulisi olla välillä 0,6 - 1,5 mm. Kaavioiden merkinnät tulee tehdä piirustusfontilla. Kirjainten ja numeroiden korkeuden on oltava vähintään 3,5 mm.

Taulukon numero sijoitetaan oikeaan yläkulmaan taulukon otsikon yläpuolelle, jos sellainen on. Otsikko ensimmäistä kirjainta lukuun ottamatta kirjoitetaan pienillä kirjaimilla. Lyhenteet käyttävät vain isoja kirjaimia. Esimerkiksi: PC.

Kaavan numero sijoitetaan sivun oikealle puolelle sulkeisiin kaavatasolla. Esimerkiksi: z:=sin(x)+cos(y); (12).

Esimerkiksi: arvot lasketaan kaavalla (12).

Numeroi teoksen sivut kirjaversion mukaan: painetuilla numeroilla, sivun oikeasta alakulmasta alkaen ”Johdannon” tekstistä (s. 3). Teos on numeroitu peräkkäin viimeiseen sivuun asti.

Sana ”luku” on kirjoitettu, luvut on numeroitu roomalaisilla numeroilla, kappaleet on numeroitu arabiaksi, merkki; ei kirjoitettu; osa teoksesta "Johdatus". "Johtopäätös" ja "Kirjallisuus" eivät ole numeroituja.

Lukujen ja kappaleiden otsikot on kirjoitettu punaisella viivalla.

Otsikot "Johdanto", "Johtopäätös", "Kirjallisuus" kirjoitetaan arkin keskelle, yläreunaan, ilman lainausmerkkejä, ilman pistettä.

Työn johdannon ja lopun tilavuus on 1,5-2 sivua painettua tekstiä.

Työ on ommeltava.

Työssä käytetään kolmea fonttityyppiä: 1 - korostaa lukujen otsikoita, otsikoita "Sisällysluettelo", "Kirjallisuus", "Johdatus", "Johtopäätös"; 2 - korostaa kappaleiden otsikot; 3 - tekstille

Esityksen vaatimukset

Ensimmäinen dia sisältää:

ü esityksen otsikko;

Toinen dia ilmaisee työn sisällön, joka parhaiten esitetään hyperlinkkien muodossa (esityksen interaktiivisuuden vuoksi).

Viimeinen dia sisältää luettelon vaatimusten mukaisesti käytetystä kirjallisuudesta, Internet-resurssit viimeiseksi.

8 Älä käytä liikaa isoja kirjaimia (ne ovat vähemmän luettavia kuin pienet kirjaimet).

Tapoja korostaa tietoa

Käytä: 8 kehystä, reunuksia, varjostusta 8 eri kirjasinväriä, varjostusta, nuolia 8 kuvaa, kaavioita, kaavioita havainnollistamaan tärkeimmät tosiasiat

Tietojen määrä

8, sinun ei pitäisi täyttää yhtä diaa liikaa tiedolla: ihmiset voivat muistaa enintään kolme tosiasiaa, johtopäätöstä ja määritelmää kerrallaan.

Kuvassa 8 suurin tehokkuus saavutetaan, kun avainkohdat heijastuvat yksi kerrallaan jokaiseen yksittäiseen diaan.

Diatyypit

Monimuotoisuuden varmistamiseksi sinun tulee käyttää erilaisia ​​dioja: tekstillä, taulukoilla, kaavioilla.

Työn aikana opiskelijat:

Tarkistaa ja opiskella tarvittavaa materiaalia sekä luennoilla että lisätietolähteissä;

Tee luettelo sanoista erikseen suunnan mukaan;

Tee kysymyksiä valituille sanoille;

Tarkista tekstin oikeinkirjoitus ja numerointi;

Luo valmis ristisanatehtävä.

Yleiset vaatimukset ristisanatehtävien laatimiselle:

"Tyhjiöiden" (täyttämättömien solujen) esiintyminen ristisanatehtäväruudukossa ei ole sallittua.

Satunnaiset kirjainyhdistelmät ja risteykset eivät ole sallittuja;

Piilotettujen sanojen on oltava substantiivit yksikön nominatiivissa;

Kaksikirjaimilla sanoilla on oltava kaksi leikkauskohtaa;

Vastaukset julkaistaan ​​erikseen. Vastausten tarkoituksena on tarkistaa ristisanatehtävän ratkaisun oikeellisuus ja antaa mahdollisuus tutustua oikeisiin vastauksiin ehtojen ratkaisemattomiin paikkoihin, mikä auttaa ratkaisemaan yhden ristisanatehtävän ratkaisemisen päätehtävistä - eruditio ja sanavaraston lisääminen.

Valmiiden ristisanatehtävien arviointiperusteet:

1. Aineiston esityksen selkeys, aihetutkimuksen täydellisyys;

2. Ristisanatehtävän omaperäisyys;

3. Työn käytännön merkitys;

4. Materiaalin tyylin esittämisen taso, tyylivirheiden puuttuminen;

5. työn suunnittelun taso, kielioppi- ja välimerkkivirheiden esiintyminen tai puuttuminen;

6. Ristisanatehtävän kysymysten lukumäärä, oikea esitys.

Jotta käytännön tunneista olisi mahdollisimman paljon hyötyä, on muistettava, että tilanneongelmien harjoittelu ja ratkaisu tapahtuu luennoilla luetun materiaalin perusteella ja niihin liittyy yleensä luentokurssin yksittäisten asioiden yksityiskohtainen analyysi. On korostettava, että vasta kun luentomateriaali on hallittu tietystä näkökulmasta (eli siitä, mistä se luennoilla esitetään), se vahvistuu käytännön tunneilla sekä keskustelun että analyysin tuloksena. luentomateriaalia ja tilanneongelmien ratkaisua. Näissä olosuhteissa opiskelija ei vain hallitse materiaalia hyvin, vaan myös oppii soveltamaan sitä käytännössä, ja hän saa myös lisäkannustimen (ja tämä on erittäin tärkeää) luennon aktiiviseen opiskeluun.

Ratkaistaessa annettuja tehtäviä itsenäisesti, sinun on perusteltava jokainen toiminnan vaihe kurssin teoreettisten periaatteiden perusteella. Jos opiskelija näkee useita tapoja ratkaista ongelma (tehtävä), hänen on verrattava niitä ja valittava järkevin. On hyödyllistä laatia lyhyt suunnitelma ongelman (tehtävän) ratkaisemiseksi ennen ongelmien ratkaisemisen aloittamista. Ongelmallisten ongelmien ratkaisu tai esimerkit tulee esittää yksityiskohtaisesti ja liittää mukaan kommentit, kaaviot, piirustukset ja piirustukset sekä toteutusohjeet.

On muistettava, että jokaisen koulutusongelman ratkaisu tulee viedä ehdon edellyttämään lopulliseen loogiseen vastaukseen ja mahdollisuuksien mukaan johtopäätökseen. Saatu tulos tulee todentaa annetun tehtävän olemuksesta johtuvilla tavoilla.

· Testitehtävän pääehdot on määriteltävä selkeästi ja yksiselitteisesti.

· Testitehtävien tulee olla pragmaattisesti oikeita ja suunniteltuja arvioimaan opiskelijoiden koulutussaavutuksia tietyllä osaamisalueella.

· Testitehtävät tulee muotoilla tiivistetyiksi lyhyiksi arvioinneiksi.

· Vältä testikohteita, jotka vaativat testin suorittajan tekemään yksityiskohtaisia ​​johtopäätöksiä koekohteiden vaatimuksista.

· Testitilanteita rakennettaessa voidaan käyttää erilaisia ​​niiden esitysmuotoja sekä graafisia ja multimediakomponentteja opetusmateriaalin sisällön rationaaliseksi esittämiseksi.

Testitehtävän sanojen määrä ei saa ylittää 10-12, ellei tämä vääristä testitilanteen käsitteellistä rakennetta. Tärkeintä on selkeä ja selkeä heijastus aihealueen fragmentin sisällöstä.

Keskimääräinen aika, jonka opiskelija käyttää koetehtävään, ei saa ylittää 1,5 minuuttia.

Oppitunnit 32-33. Käänteiset trigonometriset funktiot

Kohde: Harkitse käänteisiä trigonometrisiä funktioita ja niiden käyttöä trigonometristen yhtälöiden ratkaisujen kirjoittamiseen.

I. Oppituntien aiheen ja tarkoituksen välittäminen

II. Uuden materiaalin oppiminen

1. Käänteiset trigonometriset funktiot

Aloitetaan keskustelu tästä aiheesta seuraavalla esimerkillä.

Esimerkki 1

Ratkaistaan ​​yhtälö: a) sin x = 1/2; b) sin x = a.

a) Piirretään ordinaattiselle akselille arvo 1/2 ja muodostetaan kulmat x 1 ja x2, jolle synti x = 1/2. Tässä tapauksessa x1 + x2 = π, josta x2 = π – x 1 . Trigonometristen funktioiden arvotaulukon avulla löydämme arvon x1 = π/6, sittenOtetaan huomioon sinifunktion jaksollisuus ja kirjoitetaan tämän yhtälön ratkaisut:missä k ∈ Z.

b) Ilmeisesti yhtälön ratkaisun algoritmi synti x = a on sama kuin edellisessä kappaleessa. Tietenkin nyt arvo a piirretään pitkin ordinaatta-akselia. Kulma x1 on jotenkin määriteltävä. Sovimme, että tämä kulma merkitään symbolilla arcsin A. Sitten tämän yhtälön ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoonNämä kaksi kaavaa voidaan yhdistää yhdeksi: samaan aikaan

Loput käänteiset trigonometriset funktiot esitellään samalla tavalla.

Hyvin usein on tarpeen määrittää kulman suuruus sen trigonometrisen funktion tunnetusta arvosta. Tällainen ongelma on moniarvoinen - on olemassa lukemattomia kulmia, joiden trigonometriset funktiot ovat yhtä suuret kuin sama arvo. Siksi trigonometristen funktioiden monotonisuuden perusteella otetaan käyttöön seuraavat käänteiset trigonometriset funktiot kulmien yksilöimiseksi.

Arksini luvusta a (arcsin , jonka sini on yhtä suuri kuin a, ts.

Luvun kaarikosini a(arccos a) on kulma a väliltä, ​​jonka kosini on yhtä suuri kuin a, ts.

Luvun arktangentti a(arctg a) - sellainen kulma a intervallistajonka tangentti on yhtä suuri kuin a, ts.tg a = a.

Luvun arkkotangentti a(arcctg a) on kulma a väliltä (0; π), jonka kotangentti on yhtä suuri kuin a, ts. ctg a = a.

Esimerkki 2

Etsitään:

Kun otetaan huomioon käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmät, saadaan:

Esimerkki 3

Lasketaan

Olkoon kulma a = arcsin 3/5, sitten määritelmän mukaan sin a = 3/5 ja . Siksi meidän on löydettävä cos A. Käyttämällä trigonometristä perusidentiteettiä saamme:Huomioon otetaan, että cos a ≥ 0.

Annetaan joukko tyypillisempiä esimerkkejä käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmistä ja perusominaisuuksista.

Esimerkki 4

Etsitään funktion määritelmäalue

Jotta funktio y voidaan määritellä, on epäyhtälö täytettäväjoka vastaa epätasa-arvojärjestelmääEnsimmäisen epäyhtälön ratkaisu on väli x∈ (-∞; +∞), toinen - Tämä intervalli ja on ratkaisu epätasa-arvojärjestelmään ja siten funktion määrittelyalue

Esimerkki 5

Etsitään funktion muutosalue

Tarkastellaanpa funktion käyttäytymistä z = 2x - x2 (katso kuva).

On selvää, että z ∈ (-∞; 1]. Ottaen huomioon, että argumentti z arkkikotangenttifunktio vaihtelee määritetyissä rajoissa, jonka saamme taulukon tiedoistaMuutosalue siis

Esimerkki 6

Osoitetaan, että funktio y = arctg x outoa. AnnaSitten tg a = -x tai x = - tg a = tg (- a), ja Siksi - a = arctg x tai a = - arctg X. Näin ollen näemme seneli y(x) on pariton funktio.

Esimerkki 7

Ilmaistakaamme kaikkien käänteisten trigonometristen funktioiden kautta

Anna Se on selvää Sitten siitä lähtien

Esitellään kulma Koska Että

Samoin siis Ja

Niin,

Esimerkki 8

Tehdään kuvaaja funktiosta y = cos(arcsin x).

Merkitään sitten a = arcsin x Otetaan huomioon, että x = sin a ja y = cos a, eli x 2 + y2 = 1 ja x:n rajoitukset (x∈ [-1; 1]) ja y (y ≥ 0). Sitten funktion y = kuvaaja cos (arcsin x) on puoliympyrä.

Esimerkki 9

Tehdään kuvaaja funktiosta y = arccos (cos x ).

Koska cos-toiminto x muuttuu aikavälillä [-1; 1], niin funktio y määritetään koko numeeriselle akselille ja vaihtelee segmentillä . Muista, että y = arccos (cosx) = x segmentillä; funktio y on parillinen ja jaksollinen jaksolla 2π. Ottaen huomioon, että funktiolla on nämä ominaisuudet cos x Nyt kaavion luominen on helppoa.

Huomioikaa muutamia hyödyllisiä yhtäläisyyksiä:

Esimerkki 10

Etsitään funktion pienin ja suurin arvo Merkitään Sitten Otetaan funktio Tällä funktiolla on minimiarvo pisteessä z = π/4, ja se on yhtä suuri kuin Toiminnon suurin arvo saavutetaan pisteessä z = -π/2, ja se on yhtä suuri Siten ja

Esimerkki 11

Ratkaistaan ​​yhtälö

Otetaan se huomioon Sitten yhtälö näyttää tältä:tai jossa Arktangentin määritelmän mukaan saamme:

2. Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen

Kuten esimerkissä 1, voit saada ratkaisuja yksinkertaisimpiin trigonometrisiin yhtälöihin.

Esimerkki 12

Ratkaistaan ​​yhtälö

Koska sinifunktio on pariton, kirjoitamme yhtälön muotoonRatkaisut tähän yhtälöön:mistä löydämme sen?

Esimerkki 13

Ratkaistaan ​​yhtälö

Annetun kaavan avulla kirjoitamme yhtälön ratkaisut:ja löydämme

Huomaa, että erikoistapauksissa (a = 0; ±1) yhtälöitä ratkaistaessa sin x = a ja cos x = ja on helpompaa ja kätevämpää käyttää ei yleisiä kaavoja, vaan kirjoittaa ratkaisuja yksikköympyrän perusteella:

yhtälölle sin x = 1 ratkaisu

yhtälölle sin x = 0 ratkaisua x = π k;

yhtälön sin x = -1 ratkaisu

cos-yhtälölle x = 1 ratkaisut x = 2π k;

yhtälön cos x = 0 ratkaisu

yhtälön cos x = -1 ratkaisu

Esimerkki 14

Ratkaistaan ​​yhtälö

Koska tässä esimerkissä on yhtälön erikoistapaus, kirjoitamme ratkaisun käyttämällä sopivaa kaavaa:mistä voimme löytää sen?

III. Kontrollikysymykset (etukysely)

1. Määrittele ja luettele käänteisten trigonometristen funktioiden pääominaisuudet.

2. Esitä kuvaajat käänteisistä trigonometrisista funktioista.

3. Yksinkertaisten trigonometristen yhtälöiden ratkaiseminen.

IV. Oppitunnin tehtävä

§ 15, nro 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12 (b); 13(a); 15 (c); 16(a); 18 (a, b); 19 (c); 21;

§ 16, nro 4 (a, b); 7(a); 8 (b); 16 (a, b); 18(a); 19 (c, d);

§ 17, nro 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9 (b); 10 (a, c).

V. Kotitehtävät

§ 15, nro 3 (c, d); 4 (a, b); 7 (c); 8 (b); 12(a); 13(b); 15 (g); 16 (b); 18 (c, d); 19 (g); 22;

§ 16, nro 4 (c, d); 7 (b); 8(a); 16 (c, d); 18 (b); 19 (a, b);

§ 17, nro 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 7 (a, b); 9 (d); 10 (b, d).

VI. Luovia tehtäviä

1. Etsi funktion toimialue:

Vastaukset:

2. Etsi funktion alue:

Vastaukset:

3. Piirrä funktio:

VII. Oppituntien yhteenveto

Venäjän federaation liittovaltion koulutusvirasto

Valtion ammatillinen korkeakoulu "Mari State University"

Matematiikan ja MPM:n laitos

Kurssityöt

Käänteiset trigonometriset funktiot

Valmistunut:

opiskelija

33 JNF-ryhmää

Yashmetova L.N.

Tieteellinen ohjaaja:

Ph.D. apulaisprofessori

Borodina M.V.

Joškar-Ola

Johdanto…………………………………………………………………………………………3

Luku I. Käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmä.

1.1. Toiminto y =arcsin x……………………………………………………........4

1.2. Toiminto y =arccos x…………………………………………………….......5

1.3. Toiminto y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. Toiminto y =arcctg x…………………………………………………….......7

Luku II. Yhtälöiden ratkaiseminen käänteisillä trigonometrisilla funktioilla.

Käänteisten trigonometristen funktioiden perusrelaatiot....8

Käänteisiä trigonometrisia funktioita sisältävien yhtälöiden ratkaiseminen……………………………………………………………………………………..11

Käänteisten trigonometristen funktioiden arvojen laskeminen................21

Johtopäätös……………………………………………………………………………………….25

Viiteluettelo………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Johdanto

Monissa ongelmissa on tarve löytää paitsi trigonometristen funktioiden arvot tietystä kulmasta, vaan myös päinvastoin kulma tai kaari jonkin trigonometrisen funktion tietystä arvosta.

Käänteisten trigonometristen funktioiden ongelmat sisältyvät USE-tehtäviin (varsinkin osissa B ja C). Esimerkiksi yhtenäisen valtionkokeen osassa B vaadittiin sinin (kosinin) arvoa tangentin vastaavan arvon löytämiseksi tai käänteisten trigonometristen funktioiden taulukoituja arvoja sisältävän lausekkeen arvon laskemiseksi. Tällaisten tehtävien osalta toteamme, että tällaiset koulukirjojen tehtävät eivät riitä kehittämään vahvaa taitoa niiden toteuttamisessa.

Että. Kurssityön tarkoituksena on tarkastella käänteisiä trigonometrisiä funktioita ja niiden ominaisuuksia sekä oppia ratkaisemaan tehtäviä käänteisillä trigonometrisilla funktioilla.

Tavoitteen saavuttamiseksi meidän on ratkaistava seuraavat tehtävät:

Opiskele käänteisten trigonometristen funktioiden teoreettisia perusteita,

Näytä teoreettisen tiedon soveltaminen käytännössä.

Lukuminä. Käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmä

1.1. Funktio y =arcsinx

Harkitse toimintoa,
. (1)

Tällä aikavälillä funktio on monotoninen (nousee arvosta -1 arvoon 1), joten siinä on käänteinen funktio

,
. (2)

Jokainen annettu arvo klo(siniarvo) väliltä [-1,1] vastaa yhtä hyvin määriteltyä arvoa X(kaaren suuruus) intervallista
. Siirrymme yleisesti hyväksyttyyn merkintätapaan, saamme

Jossa
. (3)

Tämä on funktion (1) käänteisfunktion analyyttinen määrittely. Funktiota (3) kutsutaan arcsininen argumentti . Tämän funktion kuvaaja on funktion kuvaajalle symmetrinen käyrä, jossa , suhteessa I ja III koordinaattikulmien puolittajaan.

Esitetään funktion ominaisuudet, jossa .

Kiinteistö 1. Funktioarvon muutosalue: .

Kiinteistö 2. Funktio on pariton, ts.

Kiinteistö 3. Funktiolla, jossa , on yksi juuri
.

Kiinteistö 4. Jos, sitten
; Jos , Tuo.

Kiinteistö 5. Funktio on monotoninen: kun argumentti kasvaa arvosta -1 arvoon 1, funktion arvo kasvaa arvosta
to
.

1.2. Toimintoy = arKanssacosx

Harkitse toimintoa
, . (4)

Tällä aikavälillä funktio on monotoninen (laskee +1:stä -1:een), mikä tarkoittaa, että sille on käänteisfunktio

, , (5)

ne. jokainen arvo (kosiniarvot) väliltä [-1,1] vastaa yhtä hyvin määriteltyä arvoa (kaariarvot) väliltä . Siirrymme yleisesti hyväksyttyyn merkintään, saamme

, . (6)

Tämä on funktion käänteisfunktion (4) analyyttinen määrittely. Funktiota (6) kutsutaan kaari kosini argumentti X. Tämän funktion kuvaaja voidaan rakentaa keskenään käänteisten funktioiden kuvaajien ominaisuuksien perusteella.

Funktiolla , jossa , on seuraavat ominaisuudet.

Kiinteistö 1. Funktioarvon muutosalue:
.

Kiinteistö 2. Määrät
Ja
liittyvät suhteeseen

Kiinteistö 3. Funktiolla on yksi juuri
.

Kiinteistö 4. Funktio ei hyväksy negatiivisia arvoja.

Kiinteistö 5. Funktio on monotoninen: kun argumentti kasvaa arvosta -1 arvoon +1, funktion arvot pienenevät arvosta 0.

1.3. Toimintoy = arctgx

Harkitse toimintoa
,
. (7)

Huomaa, että tämä funktio on määritetty kaikille arvoille, jotka ovat tiukasti välissä välillä - ; tämän välin lopussa sitä ei ole olemassa, koska arvot

- tangentin taukopisteet.

Välissä
toiminto on monotoninen (nousee arvosta -
to
), siksi funktiolle (1) on käänteisfunktio:

,
, (8)

ne. jokainen annettu arvo (tangenttiarvo) väliltä
vastaa yhtä hyvin tiettyä arvoa (kaaren kokoa) väliltä .

Siirrymme yleisesti hyväksyttyyn merkintätapaan, saamme

,
. (9)

Tämä on käänteisfunktion (7) analyyttinen määrittely. Funktiota (9) kutsutaan arctangentti argumentti X. Huomaa, että milloin
funktion arvo
, ja milloin

, eli funktion kaaviossa on kaksi asymptoottia:
Ja.

Funktiolla , on seuraavat ominaisuudet.

Kiinteistö 1. Funktioarvojen muutosalue
.

Kiinteistö 2. Funktio on pariton, ts. .

Kiinteistö 3. Funktiolla on yksi juuri.

Kiinteistö 4. Jos
, Tuo

; Jos , Tuo
.

Kiinteistö 5. Funktio on monotoninen: kun argumentti kasvaa arvosta arvoon, funktion arvo kasvaa arvosta + arvoon.

1.4. Toimintoy = arcctgx

Harkitse toimintoa
,
. (10)

Tämä toiminto on määritetty kaikille arvoille, jotka ovat välillä 0 - ; tämän intervallin lopussa sitä ei ole olemassa, koska arvot ja ovat kotangentin rajapisteitä. Välillä (0,) funktio on monotoninen (pienenee arvosta -), joten funktiolle (1) on käänteisfunktio

, (11)

ne. jokaiseen annettuun arvoon (kotangentin arvo) väliltä (
) vastaa yhtä hyvin määriteltyä arvoa (kaaren koko) väliltä (0,). Siirryttäessä yleisesti hyväksyttyihin merkintöihin saadaan seuraava relaatio: Abstrakti >> Matematiikka trigonometrinen toimintoja. TO päinvastoin trigonometrinen toimintoja kutsutaan yleensä kuudeksi toimintoja: arcsine...

Lopputyö aiheesta "Käänteiset trigonometriset funktiot sisältävät käänteisiä trigonometrisia funktioita" valmistui jatkokoulutuksessa.

Sisältää lyhyen teoreettisen materiaalin, yksityiskohtaisia ​​esimerkkejä ja tehtäviä itsenäiseen ratkaisuun jokaisessa osassa.

Teos on suunnattu lukiolaisille ja opettajille.

Lataa:

Esikatselu:

LOPPUNÄYTTÖÖN

AIHE:

"KÄÄNTEISTÄ TRIGONOMETRISET FUNKTIOT.

ONGELMAT, JOTKA SISÄLTÄÄN KÄÄNTEISTÄ TRIGONOMETRISIA TOIMINTOJIA"

Valmistunut:

matematiikan opettaja

Kunnallinen oppilaitos lukio nro 5, Lermontov

GORBACHENKO V.I.

Pyatigorsk 2011

KÄÄNTEISTÄ TRIGONOMETRISET TOIMINNOT.

ONGELMAT, JOTKA SISÄLTÄÄN KÄÄNTEISTÄ TRIGONOMETRISIÄ TOIMINTOJIA

1. LYHYT TEOREETTISET TIEDOT

1.1. Yksinkertaisimpien yhtälöiden ratkaisut, jotka sisältävät käänteisiä trigonometrisia funktioita:

Taulukko 1.

1.2. Yksinkertaisten epäyhtälöiden ratkaiseminen trigonometristen käänteisfunktioiden kanssa

Taulukko 2.

1.3. Jotkut identiteetit käänteisille trigonometrisille funktioille

Käänteisten trigonometristen funktioiden määritelmästä seuraavat identiteetit

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Lisäksi identiteetit

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Identiteetit liittyvät toisin kuin käänteiset trigonometriset funktiot

(9)

(10)

2. YHTÄLÖT, JOTKA SISÄLTÄÄN KÄÄNTEISTÄ TRIGONOMETRISIÄ FUNKTIOT

2.1. Muodon yhtälöt jne.

Sellaiset yhtälöt pelkistetään rationaalisiksi yhtälöiksi korvaamalla.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Korvaus ( ) pelkistää yhtälön toisen asteen yhtälöksi, jonka juuret ovat.

Root 3 ei täytä ehtoa.

Sitten saamme käänteisen korvauksen

Vastaa.

Tehtävät.

2.2. Muodon yhtälöt, Missä - rationaalinen toiminta.

Tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on tarpeen asettaa, ratkaise yksinkertaisimman muodon yhtälöja tee käänteinen vaihto.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Anna. Sitten

Vastaa. .

Tehtävät.

2.3. Yhtälöt, jotka sisältävät joko erilaisia ​​kaarifunktioita tai eri argumenttien kaarifunktioita.

Jos yhtälö sisältää lausekkeita, jotka sisältävät erilaisia ​​kaarifunktioita tai nämä kaarifunktiot ovat riippuvaisia ​​eri argumenteista, niin tällaisten yhtälöiden pelkistys algebralliseen seuraukseensa suoritetaan yleensä laskemalla jokin trigonometrinen funktio yhtälön molemmille puolille. Tuloksena olevat vieraat juuret erotetaan tarkastuksella. Jos tangentti tai kotangentti valitaan suoraksi funktioksi, niin näiden funktioiden määritelmäalueeseen sisältyvät ratkaisut voivat kadota. Siksi, ennen kuin lasket tangentin tai kotangentin arvon yhtälön molemmilta puolilta, varmista, ettei alkuperäisen yhtälön juuria ole niiden pisteiden joukossa, jotka eivät sisälly näiden funktioiden määrittelyalueeseen.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Laitetaan uusi aika oikealle puolelle ja laske sinin arvo yhtälön molemmilta puolilta

Muutosten seurauksena saamme

Tämän yhtälön juuret

Tarkistetaan

Kun meillä on

Siten, on yhtälön juuri.

Korvaaminen Huomaa, että tuloksena olevan suhteen vasen puoli on positiivinen ja oikea puoli negatiivinen. Siten,- yhtälön ulkopuolinen juuri.

Vastaus. .

Tehtävät.

2.4. Yhtälöt, jotka sisältävät yhden argumentin käänteisiä trigonometrisia funktioita.

Tällaiset yhtälöt voidaan pelkistää yksinkertaisimpiin käyttämällä perusidentiteettejä (1) – (10).

Esimerkki.

Ratkaisu.

Vastaus.

Tehtävät.

3. KÄÄNTEISTÄ TRIGONOMETRISET FUNKTIOT SISÄLTÄVÄT ERÄTASUAT

3.1. Yksinkertaisimmat epätasa-arvot.

Yksinkertaisimpien epäyhtälöiden ratkaisu perustuu taulukon 2 kaavojen soveltamiseen.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Koska , niin epäyhtälön ratkaisu on väli.

Vastaa.

Tehtävät.

3.2. Muotojen epätasa-arvo, - jokin rationaalinen toiminto.

Muotojen epätasa-arvo, on jokin rationaalinen funktio, ja- yksi käänteisistä trigonometrisista funktioista ratkaistaan ​​kahdessa vaiheessa - ensin ratkaistaan ​​epäyhtälö suhteessa tuntemattomaan, ja sitten yksinkertaisin epäyhtälö, joka sisältää käänteisen trigonometrisen funktion.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Olkoon sitten

Ratkaisuja eriarvoisuuteen

Palattuaan alkuperäiseen tuntemattomaan huomaamme, että alkuperäinen epäyhtälö voidaan vähentää kahteen yksinkertaisimpaan

Yhdistämällä nämä ratkaisut saadaan ratkaisuja alkuperäiseen epäyhtälöön

Vastaa.

Tehtävät.

3.3. Epäyhtälöt, jotka sisältävät joko vastakkaisia ​​kaarifunktioita tai eri argumenttien kaarifunktioita.

Erilaisten käänteisten trigonometristen funktioiden arvoja tai yhden trigonometrisen funktion eri argumenteista laskettuja arvoja yhdistäviä epäyhtälöitä on kätevää ratkaista laskemalla jonkin trigonometrisen funktion arvot epäyhtälöiden molemmilta puolilta. On muistettava, että tuloksena oleva epäyhtälö vastaa alkuperäistä vain, jos alkuperäisen epäyhtälön oikean ja vasemman puolen arvot kuuluvat tämän trigonometrisen funktion samaan monotonisuusväliin.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Useita kelvollisia arvojasisältyy epätasa-arvoon:. klo . Siksi arvoteivät ole ratkaisuja eriarvoisuuteen.

klo sekä epäyhtälön oikealla että vasemmalla puolella on väliin kuuluvat arvot. Koska välilläsinifunktio kasvaa monotonisesti, sitten milloinalkuperäinen epäyhtälö on ekvivalentti

Viimeisen epätasa-arvon ratkaiseminen

Ylitys aukolla, löydämme ratkaisun

Vastaus.

Kommentti. Voidaan ratkaista käyttämällä

Tehtävät.

3.4. Muotojen epätasa-arvo, Missä - yksi käänteisistä trigonometrisista funktioista,- rationaalinen toiminta.

Tällaiset epäyhtälöt ratkaistaan ​​käyttämällä substituutiotaja pelkistys taulukon 2 yksinkertaisimpaan epäyhtälöön.

Esimerkki.

Ratkaisu.

Olkoon sitten

Tehdään käänteinen korvaus ja hankitaan järjestelmä

Vastaa.

Tehtävät.

Valmistautuminen matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen

Kokeilu

Oppitunti 9. Käänteiset trigonometriset funktiot.

Harjoitella

Oppitunnin yhteenveto

Tarvitsemme pääasiassa kykyä työskennellä kaarifunktioiden kanssa ratkaistaessamme trigonometrisiä yhtälöitä ja epäyhtälöitä.

Nyt tarkasteltavat tehtävät on jaettu kahteen tyyppiin: käänteisten trigonometristen funktioiden arvojen ja niiden muunnosten laskeminen perusominaisuuksien avulla.

Valokaarifunktioiden arvojen laskeminen

Aloitetaan laskemalla kaarifunktioiden arvot.

Tehtävä nro 1. Laskea.

Kuten näemme, kaikki kaarifunktioiden argumentit ovat positiivisia ja taulukkomuotoisia, mikä tarkoittaa, että voimme palauttaa kulmien arvon trigonometristen funktioiden arvotaulukon ensimmäisestä osasta kulmille välillä - . Tämä kulma-alue sisältyy kunkin kaarifunktion arvoalueeseen, joten käytämme yksinkertaisesti taulukkoa, löydämme siitä trigonometrisen funktion arvon ja palautamme sen kulman.

A)

b)

V)

G)

Vastaus. .

Tehtävä nro 2. Laskea

.

Tässä esimerkissä näemme jo negatiivisia argumentteja. Tyypillinen virhe tässä tapauksessa on yksinkertaisesti poistaa miinus funktion alta ja yksinkertaisesti vähentää tehtävä edelliseen. Tämä ei kuitenkaan ole mahdollista kaikissa tapauksissa. Muistakaamme, kuinka oppitunnin teoreettisessa osassa keskustelimme kaikkien kaarifunktioiden pariteetista. Parittomat ovat arcsini ja arktangentti, eli miinus otetaan pois, ja arkosiini ja arkotangentti ovat yleisen muodon funktioita argumentin miinuksen yksinkertaistamiseksi, niillä on erityiset kaavat. Laskennan jälkeen virheiden välttämiseksi tarkistamme, että tulos on arvojen alueella.

Kun funktion argumentit yksinkertaistetaan positiiviseen muotoon, kirjoitamme vastaavat kulma-arvot taulukosta.

Voi herää kysymys: miksi et kirjoita esimerkiksi suoraan taulukosta vastaavan kulman arvoa? Ensinnäkin siksi, että edellistä taulukkoa on vaikeampi muistaa kuin ennen, ja toiseksi, koska siinä ei ole negatiivisia sinin arvoja ja tangentin negatiiviset arvot antavat väärän kulman taulukon mukaan. On parempi lähestyä ratkaisua yleismaailmallisesti kuin hämmentyä monista eri lähestymistavoista.

Tehtävä nro 3. Laskea.

a) Tyypillinen virhe tässä tapauksessa on aloittaa miinuksen poistaminen ja yksinkertaistaminen. Ensimmäinen huomioitava asia on, että arcsini-argumentti ei kuulu

Siksi tällä merkinnällä ei ole merkitystä, eikä arcsiniä voida laskea.

b) Tavallinen virhe tässä tapauksessa on, että ne sekoittavat argumentin ja funktion arvot ja antavat vastauksen. Tämä ei ole totta! Tietenkin herää ajatus, että taulukossa arvo vastaa kosinia, mutta tässä tapauksessa hämmentävää on se, että kaarifunktioita ei lasketa kulmista, vaan trigonometristen funktioiden arvoista. Eli ei.

Lisäksi, koska olemme selvittäneet, mikä tarkalleen on arkkosinin argumentti, on tarpeen tarkistaa, että se sisältyy määritelmäalueeseen. Jotta voimme tehdä tämän, muistakaamme se , eli mikä tarkoittaa, että arkosiini ei ole järkevä eikä sitä voida laskea.

Muuten, esimerkiksi lauseke on järkevä, koska , mutta koska kosinin yhtä suuren arvo ei ole taulukkomuotoinen, on mahdotonta laskea kaakkosiniä taulukon avulla.

Vastaus. Ilmaisuissa ei ole järkeä.

Tässä esimerkissä emme ota huomioon arctangenttia ja arkotangenttia, koska niiden määrittelyaluetta ei ole rajoitettu ja funktioarvot ovat kaikille argumenteille.

Tehtävä nro 4. Laskea .

Pohjimmiltaan tehtävä on aivan ensimmäinen, meidän on vain laskettava erikseen kahden funktion arvot ja korvattava ne sitten alkuperäisellä lausekkeella.

Arktangenttiargumentti on taulukkomuotoinen ja tulos kuuluu arvoalueelle.

Arkosiiniargumentti ei ole taulukkomuotoinen, mutta tämän ei pitäisi pelotella meitä, koska riippumatta siitä, mikä arkosiini on yhtä suuri, sen arvo kerrottuna nollalla johtaa nollaan. Jäljelle jää yksi tärkeä huomautus: on tarkistettava, kuuluuko arkosiini-argumentti määritelmäalueeseen, koska jos näin ei ole, koko lausekkeella ei ole järkeä, vaikka se sisältää kertomisen nollalla . Mutta siksi voimme sanoa, että se on järkevää ja saamme vastauksessa nollan.

Otetaan toinen esimerkki, jossa on välttämätöntä pystyä laskemaan yksi kaarifunktio, kun tiedetään toisen arvo.

Ongelma #5. Laske, jos se tiedetään.

Saattaa tuntua, että on tarpeen ensin laskea x:n arvo annetusta yhtälöstä ja sitten korvata se haluttuun lausekkeeseen, eli käänteiseen tangenttiin, mutta tämä ei ole välttämätöntä.

Muistakaamme kaava, jolla nämä funktiot liittyvät toisiinsa:

Ja ilmaistaan ​​siitä mitä tarvitsemme:

Voit olla varma, että voit tarkistaa, että tulos on kaarikotangenttialueella.

Valokaarifunktioiden muunnoksia niiden perusominaisuuksien avulla

Siirrytään nyt sarjaan tehtäviä, joissa meidän on käytettävä kaarifunktioiden muunnoksia niiden perusominaisuuksien avulla.

Ongelma #6. Laskea .

Ratkaisussa käytämme ilmoitettujen kaarifunktioiden perusominaisuuksia, varmistaen vain, että tarkistamme vastaavat rajoitukset.

A)

b) .

Vastaus. A) ; b) .

Ongelma nro 7. Laskea.

Tyypillinen virhe tässä tapauksessa on kirjoittaa vastaukseksi välittömästi 4 Kuten edellisessä esimerkissä mainittiin, kaarifunktioiden perusominaisuuksien käyttämiseksi on tarpeen tarkistaa niiden argumentin vastaavat rajoitukset. Olemme tekemisissä kiinteistön kanssa:

klo

Mutta . Pääasia tässä päätöksen vaiheessa ei ole ajatella, että määritetyssä lausekkeessa ei ole järkeä eikä sitä voida laskea. Loppujen lopuksi voimme vähentää neljää, joka on tangentin argumentti, vähentämällä tangentin jaksoa, eikä tämä vaikuta lausekkeen arvoon. Kun nämä vaiheet on tehty, meillä on mahdollisuus pienentää argumenttia niin, että se osuu määritetylle alueelle.

Koska siksi, , koska.

Ongelma nro 8. Laskea.

Yllä olevassa esimerkissä on kyse lausekkeesta, joka on samanlainen kuin arcsinin perusominaisuus, mutta vain se sisältää kofunktioita. Se on pelkistettävä muotoon sini arkosiinista tai kosini arkosiinista. Koska suorien trigonometristen funktioiden muuntaminen on helpompaa kuin käänteisfunktioita, siirrytään sinistä kosiniksi käyttämällä "trigonometrisen yksikön" kaavaa.

Kuten jo tiedämme:

Meidän tapauksessamme roolissa. Lasketaan ensin mukavuuden vuoksi .

Ennen kuin korvaat sen kaavaan, selvitetään sen etumerkki, eli alkuperäisen sinin etumerkki. Meidän on laskettava sini arkosiiniarvosta, mikä tahansa tämä arvo on, tiedämme sen olevan alueella. Tämä alue vastaa ensimmäisen ja toisen neljänneksen kulmia, joissa sini on positiivinen (tarkista tämä itse käyttämällä trigonometristä ympyrää).

Tämän päivän käytännön oppitunnilla tarkastelimme käänteisiä trigonometrisia funktioita sisältävien lausekkeiden laskentaa ja muuntamista

Vahvista materiaalia kuntoiluvälineillä

Valmentaja 1 Valmentaja 2 Valmentaja 3 Valmentaja 4 Valmentaja 5