Matriisin ratkaiseminen Gaussin menetelmän selityksellä. Gaussin menetelmä (tuntemattomien peräkkäinen eliminointi)

1. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

1.1 Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän käsite

Yhtälöjärjestelmä on ehto, joka koostuu useiden yhtälöiden samanaikaisesta suorittamisesta useille muuttujille. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (jäljempänä SLAE) järjestelmää, joka sisältää m yhtälöä ja n tuntematonta, kutsutaan järjestelmäksi, jonka muoto on:

missä lukuja a ij kutsutaan järjestelmäkertoimiksi, lukuja b i kutsutaan vapaiksi termeiksi, a ij Ja b i(i=1,…, m; b=1,…, n) edustavat joitain tunnettuja lukuja ja x 1 ,…, x n– tuntematon. Kertoimien nimeämisessä a ij ensimmäinen indeksi i ilmaisee yhtälön numeroa ja toinen j on tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on. Numerot x n on löydettävä. Tällainen järjestelmä on kätevää kirjoittaa kompaktissa matriisimuodossa: AX=B. Tässä A on systeemikertoimien matriisi, jota kutsutaan päämatriisiksi;

Matriisien A*X tulo on määritelty, koska matriisissa A on yhtä monta saraketta kuin matriisissa X on rivejä (n kappaletta).

Järjestelmän laajennettu matriisi on järjestelmän matriisi A, jota on täydennetty vapaiden termien sarakkeella

1.2 Lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen

Ratkaisu yhtälöjärjestelmään on järjestetty joukko numeroita (muuttujien arvoja), kun ne korvataan muuttujien sijasta, jokainen järjestelmän yhtälö muuttuu todelliseksi yhtälöksi.

Systeemin ratkaisuna on n arvoa tuntemattomista x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, joiden korvaamisen jälkeen kaikista järjestelmän yhtälöistä tulee todellisia yhtälöitä. Mikä tahansa ratkaisu järjestelmään voidaan kirjoittaa sarakematriisina

Yhtälöjärjestelmää kutsutaan johdonmukaiseksi, jos sillä on vähintään yksi ratkaisu, ja epäjohdonmukaiseksi, jos sillä ei ole ratkaisua.

Johdonmukaisen järjestelmän sanotaan olevan määrätty, jos sillä on yksi ratkaisu, ja epämääräinen, jos sillä on useampi kuin yksi ratkaisu. Jälkimmäisessä tapauksessa jokaista sen ratkaisua kutsutaan järjestelmän tietyksi ratkaisuksi. Kaikkien yksittäisten ratkaisujen joukkoa kutsutaan yleisratkaisuksi.

Järjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa sen selvittämistä, onko se yhteensopiva vai epäjohdonmukainen. Jos järjestelmä on johdonmukainen, etsi sen yleinen ratkaisu.

Kahta järjestelmää kutsutaan ekvivalentiksi (ekvivalentiksi), jos niillä on sama yleinen ratkaisu. Toisin sanoen järjestelmät ovat samanarvoisia, jos jokainen niistä on ratkaisu toiselle ja päinvastoin.

Muunnosta, jonka soveltaminen muuttaa järjestelmän uudeksi, alkuperäistä vastaavaksi järjestelmäksi, kutsutaan ekvivalentiksi tai vastaavaksi muunnokseksi. Esimerkkejä vastaavista muunnoksista ovat seuraavat muunnokset: järjestelmän kahden yhtälön vaihtaminen, kahden tuntemattoman vaihtaminen kaikkien yhtälöiden kertoimien kanssa, minkä tahansa järjestelmän yhtälön molempien puolten kertominen nollasta poikkeavalla luvulla.

Lineaarista yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeniseksi, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla:

Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen, koska x1=x2=x3=…=xn=0 on järjestelmän ratkaisu. Tätä ratkaisua kutsutaan nollaksi tai triviaaliksi.

2. Gaussin eliminaatiomenetelmä

2.1 Gaussin eliminointimenetelmän ydin

Klassinen menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin - Gaussin menetelmä(se kutsutaan myös Gaussin eliminaatiomenetelmäksi). Tämä on menetelmä muuttujien peräkkäiseen eliminointiin, kun alkeismuunnoksia käyttäen yhtälöjärjestelmä pelkistetään vastaavaksi askel- (tai kolmio-) muotoiseksi järjestelmäksi, josta kaikki muut muuttujat löydetään peräkkäin, viimeisestä alkaen numero) muuttujat.

Ratkaisuprosessi Gaussin menetelmällä koostuu kahdesta vaiheesta: eteenpäin- ja taaksepäinliikkeet.

1. Suora isku.

Ensimmäisessä vaiheessa suoritetaan ns. suora siirto, kun rivien yli suoritetuilla alkeismuunnoksilla järjestelmä saatetaan porrastettuun tai kolmion muotoon tai todetaan, että järjestelmä ei ole yhteensopiva. Nimittäin matriisin ensimmäisen sarakkeen elementtien joukosta valitaan nollasta poikkeava ykkönen, siirretään se ylimpään kohtaan järjestämällä rivit uudelleen ja vähennetään tuloksena oleva ensimmäinen rivi uudelleenjärjestelyn jälkeen jäljellä olevista riveistä kertomalla se arvolla. yhtä suuri kuin kunkin rivin ensimmäisen elementin suhde ensimmäisen rivin ensimmäiseen elementtiin, nollaten siten sen alapuolella olevan sarakkeen.

Kun nämä muunnokset on suoritettu, ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake yliviivataan ja jatketaan, kunnes jäljelle jää nollakokoinen matriisi. Jos missään iteraatiossa ensimmäisen sarakkeen elementtien joukossa ei ole nollasta poikkeavaa elementtiä, siirry seuraavaan sarakkeeseen ja suorita samanlainen toimenpide.

Ensimmäisessä vaiheessa (suora isku) järjestelmä pelkistetään porrastettuun (erityisesti kolmion muotoiseen).

Alla olevalla järjestelmällä on vaiheittainen muoto:

Kertoimia aii kutsutaan järjestelmän tärkeimmiksi (johtaviksi) elementeiksi.

Muunnetaan systeemi eliminoimalla tuntematon x1 kaikista yhtälöistä paitsi ensimmäisestä (käyttämällä järjestelmän alkeismuunnoksia). Voit tehdä tämän kertomalla ensimmäisen yhtälön molemmat puolet luvulla

Jatkamalla tätä prosessia, saamme vastaavan järjestelmän:

Näin ollen ensimmäisessä vaiheessa kaikki ensimmäisen johtavan elementin a 11 alla olevat kertoimet tuhotaan

Jos järjestelmää pelkistäessäsi vaiheittaiseen muotoon ilmaantuu nollayhtälöitä, ts. yhtälöt muotoa 0=0, ne hylätään. Jos muodon yhtälö tulee näkyviin

Tähän Gaussin menetelmän suora eteneminen päättyy.

2. Käänteinen isku.

Toisessa vaiheessa suoritetaan niin sanottu käänteinen siirto, jonka ydin on ilmaista kaikki tuloksena olevat perusmuuttujat ei-perusmuuttujilla ja rakentaa perusratkaisujärjestelmä, tai jos kaikki muuttujat ovat perusmuuttujia. , ilmaise sitten numeerisesti ainoa ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmään.

Tämä menettely alkaa viimeisestä yhtälöstä, josta vastaava perusmuuttuja ilmaistaan ​​(sissä on vain yksi) ja korvataan aiemmilla yhtälöillä ja niin edelleen "askeleita" ylöspäin.

Jokainen rivi vastaa täsmälleen yhtä perusmuuttujaa, joten jokaisessa vaiheessa paitsi viimeistä (ylimpänä), tilanne toistaa tarkalleen viimeisen rivin tapauksen.

Huomautus: Käytännössä on kätevämpää työskennellä ei järjestelmän kanssa, vaan sen laajennetun matriisin kanssa suorittamalla kaikki alkeismuunnokset sen riveillä. On kätevää, että kerroin a11 on yhtä suuri kuin 1 (järjestä yhtälöt uudelleen tai jaa yhtälön molemmat puolet a11:llä).

2.2 Esimerkkejä SLAE:n ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

Tässä osiossa näytämme kolmella eri esimerkillä, kuinka Gaussin menetelmä voi ratkaista SLAE:t.

Esimerkki 1. Ratkaise 3. kertaluvun SLAE.

Nollataan kertoimet klo

Gaussin menetelmä täydellinen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) järjestelmien ratkaisemiseen. Sillä on useita etuja muihin menetelmiin verrattuna:

• Ensinnäkin yhtälöjärjestelmää ei tarvitse ensin tutkia johdonmukaisuuden vuoksi;
• toiseksi Gaussin menetelmällä voidaan ratkaista paitsi SLAE:t, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisi on ei-singulaarinen, vaan myös yhtälöjärjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien määrä tai päämatriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla;
• Kolmanneksi Gaussin menetelmä johtaa tuloksiin suhteellisen pienellä määrällä laskennallisia operaatioita.

Lyhyt katsaus artikkeliin.

Ensin annamme tarvittavat määritelmät ja otamme käyttöön merkinnät.

Seuraavaksi kuvataan Gaussin menetelmän algoritmi yksinkertaisimmalle tapaukselle, eli lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmille yhtälöiden lukumäärä, joissa on sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on ei ole yhtä kuin nolla. Tällaisia ​​yhtälöjärjestelmiä ratkottaessa tulee selvimmin esiin Gaussin menetelmän ydin, joka on tuntemattomien muuttujien peräkkäinen eliminointi. Siksi Gaussin menetelmää kutsutaan myös menetelmäksi tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin. Näytämme yksityiskohtaisia ​​ratkaisuja useista esimerkeistä.

Lopuksi tarkastellaan ratkaisua Gaussin menetelmällä lineaarisille algebrallisille yhtälöille, joiden päämatriisi on joko suorakulmainen tai singulaarinen. Tällaisten järjestelmien ratkaisulla on joitain ominaisuuksia, joita tarkastelemme yksityiskohtaisesti esimerkkien avulla.

Sivulla navigointi.

Perusmääritelmät ja merkinnät.

Tarkastellaan p lineaarista yhtälöjärjestelmää, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n):

Missä ovat tuntemattomat muuttujat, ovat numerot (todelliset tai kompleksi) ja ovat vapaita termejä.

Jos , niin lineaarista algebrallista yhtälöjärjestelmää kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Tuntemattomien muuttujien arvojoukko, jolle kaikista järjestelmän yhtälöistä tulee identiteettejä, kutsutaan SLAU:n päätös.

Jos lineaarisille algebrallisille yhtälöille on olemassa ainakin yksi ratkaisu, niin sitä kutsutaan liitos, muuten - ei-nivel.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma. Jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, järjestelmä kutsutaan epävarma.

He sanovat, että järjestelmä on kirjoitettu sisään koordinaattimuoto, jos sillä on muoto
.

Tämä järjestelmä sisään matriisimuoto tietueilla on muoto , missä - SLAE:n päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien sarakkeen matriisi, - vapaiden termien matriisi.

Jos lisäämme matriisiin A (n+1) sarakkeena vapaiden termien matriisisarakkeen, saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Tyypillisesti laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden termien sarake erotetaan pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Neliömatriisia A kutsutaan rappeutunut, jos sen determinantti on nolla. Jos , niin matriisia A kutsutaan ei-degeneroitunut.

Seuraava kohta on huomioitava.

Jos suoritat seuraavat toiminnot lineaaristen algebrallisten yhtälöiden avulla

• vaihtaa kaksi yhtälöä,
• kerro minkä tahansa yhtälön molemmat puolet mielivaltaisella ja nollasta poikkeavalla reaali- (tai kompleksi) luvulla k,
• lisää minkä tahansa yhtälön molemmille puolille toisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna mielivaltaisella luvulla k,

niin saat vastaavan järjestelmän, jolla on samat ratkaisut (tai, kuten alkuperäisessä, ei ole ratkaisuja).

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän laajennetussa matriisissa nämä toimet tarkoittavat alkeismuunnosten suorittamista riveillä:

• vaihdan kaksi riviä,
• kerrotaan minkä tahansa matriisin T rivin kaikki alkiot nollasta poikkeavalla luvulla k,
• lisäämällä matriisin minkä tahansa rivin alkioihin toisen rivin vastaavat elementit kerrottuna mielivaltaisella luvulla k.

Nyt voimme siirtyä Gaussin menetelmän kuvaukseen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisi on ei-singulaarinen, ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Mitä tekisimme koulussa, jos meille annettaisiin tehtävänä löytää ratkaisu yhtälöjärjestelmään? .

Jotkut tekisivät niin.

Huomaa, että lisäämällä ensimmäisen vasemman puolen toisen yhtälön vasempaan puolelle ja oikean puolen oikeaan puolelle, voit päästä eroon tuntemattomista muuttujista x 2 ja x 3 ja löytää heti x 1:n:

Korvaamme löydetyn arvon x 1 =1 järjestelmän ensimmäiseen ja kolmanteen yhtälöön:

Jos kerromme järjestelmän kolmannen yhtälön molemmat puolet -1:llä ja lisäämme ne ensimmäisen yhtälön vastaaviin osiin, pääsemme eroon tuntemattomasta muuttujasta x 3 ja löydämme x 2:

Korvaamme saadun arvon x 2 = 2 kolmanteen yhtälöön ja etsimme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan x 3:

Muut olisivat tehneet toisin.

Ratkaistaan ​​järjestelmän ensimmäinen yhtälö suhteessa tuntemattomaan muuttujaan x 1 ja korvataan tuloksena oleva lauseke järjestelmän toiseen ja kolmanteen yhtälöön, jotta tämä muuttuja suljetaan pois niistä:

Ratkaistaan ​​nyt järjestelmän toinen yhtälö x 2:lle ja korvataan saatu tulos kolmanteen yhtälöön, jotta siitä poistetaan tuntematon muuttuja x 2:

Järjestelmän kolmannesta yhtälöstä on selvää, että x 3 =3. Toisesta yhtälöstä löydämme , ja ensimmäisestä yhtälöstä saamme .

Tuttuja ratkaisuja, eikö?

Mielenkiintoisinta tässä on, että toinen ratkaisumenetelmä on olennaisesti tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä, eli Gaussin menetelmä. Kun ilmaisimme tuntemattomat muuttujat (ensimmäinen x 1, seuraavassa vaiheessa x 2) ja substituoimme ne järjestelmän jäljellä oleviin yhtälöihin, jätimme ne siten pois. Teimme eliminoinnin, kunnes viimeisessä yhtälössä oli jäljellä vain yksi tuntematon muuttuja. Tuntemattomien peräkkäistä eliminointiprosessia kutsutaan suora Gaussin menetelmä. Eteenpäinliikkeen suorittamisen jälkeen meillä on mahdollisuus laskea viimeisestä yhtälöstä löytynyt tuntematon muuttuja. Sen avulla löydämme seuraavan tuntemattoman muuttujan toiseksi viimeisestä yhtälöstä ja niin edelleen. Kutsutaan prosessia, jossa etsitään peräkkäin tuntemattomia muuttujia siirryttäessä viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen Gaussin menetelmän käänteinen.

On huomattava, että kun ilmaisemme x 1:n x 2:n ja x 3:n suhteen ensimmäisessä yhtälössä ja korvaamme tuloksena olevan lausekkeen toiseen ja kolmanteen yhtälöön, seuraavat toimet johtavat samaan tulokseen:

Itse asiassa tällainen menettely mahdollistaa myös tuntemattoman muuttujan x 1 poistamisen järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä:

Vivahteita tuntemattomien muuttujien eliminoinnissa Gaussin menetelmällä syntyy, kun järjestelmän yhtälöt eivät sisällä joitain muuttujia.

Esimerkiksi SLAU:ssa ensimmäisessä yhtälössä ei ole tuntematonta muuttujaa x 1 (eli sen edessä oleva kerroin on nolla). Siksi emme voi ratkaista järjestelmän ensimmäistä yhtälöä x 1:lle eliminoidaksemme tämän tuntemattoman muuttujan muista yhtälöistä. Pääsy tästä tilanteesta on vaihtaa järjestelmän yhtälöitä. Koska tarkastelemme lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisien determinantit poikkeavat nollasta, on aina yhtälö, jossa tarvitsemamme muuttuja on läsnä, ja voimme järjestää tämän yhtälön uudelleen tarvitsemamme paikkaan. Esimerkissämme riittää järjestelmän ensimmäisen ja toisen yhtälön vaihtaminen , voit ratkaista x 1:n ensimmäisen yhtälön ja jättää sen pois järjestelmän muista yhtälöistä (vaikka x 1 ei ole enää toisessa yhtälössä).

Toivomme, että ymmärrät asian.

Kuvataanpa Gaussin menetelmän algoritmi.

Oletetaan, että meidän on ratkaistava n lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmä, jossa on n muotoista tuntematonta muuttujaa , ja olkoon sen päämatriisin determinantti eri kuin nolla.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Poistetaan tuntematon muuttuja x 1 kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta. Tätä varten lisäämme järjestelmän toiseen yhtälöön ensimmäisen, kerrottuna : llä, kolmanteen yhtälöön lisäämme ensimmäisen, kerrottuna luvulla ja niin edelleen, n. yhtälöön lisäämme ensimmäisen kerrottuna . Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä ja .

Olisimme päässeet samaan tulokseen, jos olisimme ilmaisseet x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja vaihtaneet tuloksena olevan lausekkeen kaikkiin muihin yhtälöihin. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi etenemme samalla tavalla, mutta vain osalla tuloksena olevaa järjestelmää, joka on merkitty kuvaan

Tätä varten lisäämme järjestelmän kolmanteen yhtälöön toisen, kerrottuna :llä, neljänteen yhtälöön lisäämme toisen, kerrottuna luvulla ja niin edelleen, n. yhtälöön lisäämme toisen, kerrottuna . Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä ja . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi siirrytään poistamaan tuntematon x 3, samalla kun toimimme samalla tavalla kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa etenemistä, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua x n:n arvoa löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1, ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälöstä .

Katsotaanpa algoritmia esimerkin avulla.

Esimerkki.

Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Kerroin a 11 ei ole nolla, joten edetään Gaussin menetelmän suoraan etenemiseen, eli jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois kaikista järjestelmän yhtälöistä paitsi ensimmäistä. Voit tehdä tämän lisäämällä toisen, kolmannen ja neljännen yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle ensimmäisen yhtälön vasen ja oikea puoli kerrottuna vastaavasti. Ja:

Tuntematon muuttuja x 1 on eliminoitu, siirrytään x 2 eliminointiin. Järjestelmän kolmannen ja neljännen yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle lisäämme toisen yhtälön vasemman ja oikean puolen kerrottuna vastaavasti Ja :

Gaussin menetelmän etenemisen loppuun saattamiseksi meidän on eliminoitava tuntematon muuttuja x 3 järjestelmän viimeisestä yhtälöstä. Lisätään neljännen yhtälön vasempaan ja oikeaan puoleen kolmannen yhtälön vasen ja oikea puoli kerrottuna :

Voit aloittaa Gaussin menetelmän käänteisen.

Viimeisestä yhtälöstämme ,
kolmannesta yhtälöstä saamme,
toisesta,
ensimmäisestä.

Tarkistaaksesi voit korvata tuntemattomien muuttujien saadut arvot alkuperäiseen yhtälöjärjestelmään. Kaikki yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi, mikä osoittaa, että Gaussin menetelmää käyttävä ratkaisu löytyi oikein.

Vastaus:

Tehdään nyt ratkaisu samalle esimerkille Gaussin menetelmällä matriisimerkinnässä.

Esimerkki.

Etsi ratkaisu yhtälöjärjestelmälle Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Järjestelmän laajennetulla matriisilla on muoto . Jokaisen sarakkeen yläosassa ovat tuntemattomat muuttujat, jotka vastaavat matriisin elementtejä.

Gaussin menetelmän suora lähestymistapa tässä käsittää järjestelmän laajennetun matriisin pelkistyksen puolisuunnikkaan muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia. Tämä prosessi on samanlainen kuin tuntemattomien muuttujien eliminointi, jonka teimme järjestelmän kanssa koordinaattimuodossa. Nyt näet tämän.

Muunnetaan matriisi niin, että kaikki ensimmäisen sarakkeen elementit toisesta alkaen muuttuvat nolliksi. Tätä varten lisäämme toisen, kolmannen ja neljännen rivin elementteihin ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna , ja sen mukaisesti:

Seuraavaksi muunnetaan tuloksena oleva matriisi siten, että toisessa sarakkeessa kaikki alkiot kolmannesta alkaen muuttuvat nolliksi. Tämä vastaisi tuntemattoman muuttujan x 2 eliminoimista. Tätä varten lisäämme kolmannen ja neljännen rivin elementteihin matriisin ensimmäisen rivin vastaavat elementit kerrottuna vastaavasti Ja :

Jäljelle jää tuntematon muuttuja x 3 poissulkeminen järjestelmän viimeisestä yhtälöstä. Tätä varten tuloksena olevan matriisin viimeisen rivin elementteihin lisätään toiseksi viimeisen rivin vastaavat elementit kerrottuna :

On huomattava, että tämä matriisi vastaa lineaarista yhtälöjärjestelmää

joka saatiin aikaisemmin eteenpäin siirron jälkeen.

On aika kääntyä takaisin. Matriisimerkinnässä Gaussin menetelmän käänteismuunnos sisältää tuloksena olevan matriisin muuntamisen siten, että kuvassa merkitty matriisi

muuttui diagonaaliseksi, eli otti muodon

missä on numeroita.

Nämä muunnokset ovat samanlaisia ​​kuin Gaussin menetelmän myötämuunnokset, mutta niitä ei suoriteta ensimmäiseltä riviltä viimeiselle, vaan viimeiseltä ensimmäiselle.

Lisää kolmannen, toisen ja ensimmäisen rivin elementteihin viimeisen rivin vastaavat elementit kerrottuna , jatkuu ja jatkuu vastaavasti:

Lisää nyt toisen ja ensimmäisen rivin elementteihin vastaavat kolmannen rivin elementit kerrottuna ja vastaavasti:

Käänteisen Gaussin menetelmän viimeisessä vaiheessa ensimmäisen rivin elementteihin lisätään vastaavat toisen rivin elementit kerrottuna:

Tuloksena oleva matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää , josta löydämme tuntemattomat muuttujat.

Vastaus:

HUOMAUTUS.

Käytettäessä Gaussin menetelmää lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseen tulee välttää likimääräisiä laskelmia, koska se voi johtaa täysin vääriin tuloksiin. Suosittelemme olemaan pyöristämättä desimaaleja. On parempi siirtyä desimaalimurtoluvuista tavallisiin murtolukuihin.

Esimerkki.

Ratkaise kolmen yhtälön järjestelmä Gaussin menetelmällä .

Ratkaisu.

Huomaa, että tässä esimerkissä tuntemattomilla muuttujilla on eri nimitys (ei x 1, x 2, x 3, vaan x, y, z). Siirrytään tavallisiin murtolukuihin:

Jätetään tuntematon x pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä:

Tuloksena olevassa järjestelmässä tuntematon muuttuja y puuttuu toisesta yhtälöstä, mutta y on läsnä kolmannessa yhtälössä, joten vaihdetaan toinen ja kolmas yhtälö:

Tämä saa päätökseen Gaussin menetelmän suoran etenemisen (y:tä ei tarvitse sulkea pois kolmannesta yhtälöstä, koska tätä tuntematonta muuttujaa ei enää ole).

Aloitetaan käänteinen liike.

Viimeisestä yhtälöstä löydämme ,
toiseksi viimeiseltä


ensimmäisestä yhtälöstämme

Vastaus:

X = 10, y = 5, z = -20.

Sellaisten lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on singulaari, Gaussin menetelmällä.

Yhtälöjärjestelmillä, joiden päämatriisi on suorakaiteen tai neliön yksikkö, ei voi olla ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla ääretön määrä ratkaisuja.

Nyt ymmärrämme, kuinka Gaussin menetelmä antaa meille mahdollisuuden määrittää lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuus tai epäjohdonmukaisuus, ja sen yhteensopivuuden tapauksessa määrittää kaikki ratkaisut (tai yksi ainoa ratkaisu).

Periaatteessa prosessi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi tällaisten SLAE:iden tapauksessa pysyy samana. On kuitenkin syytä perehtyä tarkemmin joihinkin tilanteisiin, joita saattaa syntyä.

Siirrytään tärkeimpään vaiheeseen.

Oletetaan siis, että lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä saa muodon Gaussin menetelmän eteenpäin etenemisen jälkeen eikä yhtäkään yhtälöä pelkistetty (tässä tapauksessa päättelemme, että järjestelmä on yhteensopimaton). Herää looginen kysymys: "Mitä tehdä seuraavaksi"?

Kirjataan muistiin tuntemattomat muuttujat, jotka tulevat ensimmäiseksi tuloksena olevan järjestelmän kaikissa yhtälöissä:

Esimerkissämme nämä ovat x 1, x 4 ja x 5. Järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle jätetään vain ne termit, jotka sisältävät kirjoitetut tuntemattomat muuttujat x 1, x 4 ja x 5, loput termit siirretään yhtälöiden oikealle puolelle päinvastaisella merkillä:

Annetaan yhtälöiden oikealla puolella oleville tuntemattomille muuttujille mielivaltaiset arvot, missä - mielivaltaiset numerot:

Tämän jälkeen kaikkien SLAE:n yhtälöiden oikeat puolet sisältävät numeroita ja voimme edetä Gaussin menetelmän päinvastaiseen suuntaan.

Meillä olevan järjestelmän viimeisestä yhtälöstä, toiseksi viimeisestä löytämämme yhtälöstä, ensimmäisestä yhtälöstä saamme

Ratkaisu yhtälöjärjestelmään on joukko tuntemattomien muuttujien arvoja

Numeroiden antaminen eri arvot, saamme erilaisia ​​ratkaisuja yhtälöjärjestelmään. Toisin sanoen yhtälöjärjestelmällämme on äärettömän monta ratkaisua.

Vastaus:

Missä - mielivaltaiset numerot.

Aineiston vahvistamiseksi analysoimme yksityiskohtaisesti useiden muiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Ratkaise homogeeninen lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Jätetään tuntematon muuttuja x pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten lisäämme toisen yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle ensimmäisen yhtälön vasemman ja oikean puolen kerrottuna luvulla , ja kolmannen yhtälön vasemmalle ja oikealle puolelle lisäämme vasemman ja oikean puolen ensimmäisen yhtälön oikeat puolet kerrottuna:

Jätetään nyt pois y tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän kolmannesta yhtälöstä:

Tuloksena oleva SLAE vastaa järjestelmää .

Jätetään järjestelmäyhtälöiden vasemmalle puolelle vain tuntemattomat muuttujat x ja y sisältävät termit ja siirretään termit tuntemattomalla muuttujalla z oikealle:

Yksi yleisimmistä ja tehokkaista menetelmistä lineaaristen algebrallisten järjestelmien ratkaisemiseksi on Gaussin menetelmä , joka koostuu tuntemattomien peräkkäisestä poistamisesta.

Muista, että näitä kahta järjestelmää kutsutaan vastaava (ekvivalentti), jos niiden ratkaisujen joukot ovat samat. Toisin sanoen järjestelmät ovat samanarvoisia, jos jokainen niistä on ratkaisu toiselle ja päinvastoin. Vastaavat järjestelmät saadaan, kun alkeellisia muunnoksia järjestelmän yhtälöt:

kerrotaan yhtälön molemmat puolet muulla kuin nollalla;

lisätään johonkin yhtälöön toisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna muulla kuin nollalla;

järjestää kaksi yhtälöä uudelleen.

Olkoon yhtälöjärjestelmä annettu

Tämän järjestelmän ratkaisuprosessi Gaussin menetelmällä koostuu kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa (suora liike) järjestelmä pelkistetään alkeismuunnoksilla vaiheittain , tai kolmion muotoinen muodossa, ja toisessa vaiheessa (käänteinen) on peräkkäinen, viimeisestä muuttujan numerosta alkaen, tuntemattomien määritys tuloksena olevasta askeljärjestelmästä.

Oletetaan, että tämän järjestelmän kerroin
, muuten järjestelmässä ensimmäinen rivi voidaan vaihtaa minkä tahansa muun rivin kanssa niin, että kerroin at oli eri kuin nolla.

Muunnetaan järjestelmä eliminoimalla tuntematon kaikissa yhtälöissä paitsi ensimmäistä. Voit tehdä tämän kertomalla ensimmäisen yhtälön molemmat puolet luvulla ja lisää termi kerrallaan järjestelmän toiseen yhtälöön. Kerro sitten ensimmäisen yhtälön molemmat puolet luvulla ja lisää se järjestelmän kolmanteen yhtälöön. Jatkamalla tätä prosessia, saamme vastaavan järjestelmän

Tässä
– uudet kertoimien arvot ja vapaat termit, jotka saadaan ensimmäisen vaiheen jälkeen.

Samoin pääelementti huomioon ottaen
, sulje pois tuntematon kaikista järjestelmän yhtälöistä ensimmäistä ja toista lukuun ottamatta. Jatketaan tätä prosessia niin kauan kuin mahdollista, ja tuloksena saadaan vaiheittainen järjestelmä

,

Missä ,
,…,– järjestelmän pääelementit
.

Jos järjestelmän pelkistämisessä vaiheittaiseen muotoon ilmaantuu yhtälöitä, eli muodon yhtäläisyyksiä
, ne hylätään, koska ne tyydytetään mihin tahansa numerosarjaan
. Jos klo
Jos esiin tulee muotoinen yhtälö, jolla ei ole ratkaisuja, tämä osoittaa järjestelmän yhteensopimattomuutta.

Käänteisen iskun aikana ensimmäinen tuntematon ilmaistaan ​​muunnetun askeljärjestelmän viimeisestä yhtälöstä kaikkien muiden tuntemattomien kautta
joita kutsutaan vapaa . Sitten muuttujalauseke järjestelmän viimeisestä yhtälöstä korvataan toiseksi viimeiseen yhtälöön ja muuttuja ilmaistaan ​​siitä
. Muuttujat määritellään peräkkäin samalla tavalla
. Muuttujat
, ilmaistaan ​​vapailla muuttujilla, kutsutaan perus (riippuvainen). Tuloksena on yleinen ratkaisu lineaariyhtälöjärjestelmään.

Löytää yksityinen ratkaisu järjestelmät, ilmainen tuntematon
yleisessä ratkaisussa annetaan mielivaltaisia ​​arvoja ja lasketaan muuttujien arvot
.

On teknisesti helpompaa kohdistaa alkeismuunnoksiin itse järjestelmäyhtälöitä, vaan järjestelmän laajennettua matriisia

.

Gauss-menetelmä on universaali menetelmä, jonka avulla voit ratkaista ei vain neliön, vaan myös suorakaiteen muotoisia järjestelmiä, joissa tuntemattomien lukumäärä
ei ole yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä
.

Tämän menetelmän etuna on myös se, että ratkaisuprosessissa tutkimme samanaikaisesti järjestelmän yhteensopivuutta, koska laajennettu matriisi on antanut
vaiheittaiseen muotoon, on helppo määrittää matriisin rivit ja laajennettu matriisi
ja hakea Kronecker-Capellin lause .

Esimerkki 2.1 Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisu. Yhtälöiden lukumäärä
ja tuntemattomien määrä
.

Luodaan systeemistä laajennettu matriisi asettamalla kertoimet matriisin oikealle puolelle ilmaiset jäsenet -sarake .

Esitetään matriisi kolmionäkymään; Tätä varten saamme "0" päädiagonaalissa olevien elementtien alle käyttämällä alkeismuunnoksia.

Saadaksesi "0" ensimmäisen sarakkeen toiseen kohtaan, kerro ensimmäinen rivi (-1) ja lisää se toiseen riviin.

Kirjoitamme tämän muunnoksen numeroksi (-1) ensimmäistä riviä vasten ja merkitsemme sitä nuolella, joka menee ensimmäiseltä riviltä toiselle riville.

Saadaksesi "0" ensimmäisen sarakkeen kolmanteen paikkaan, kerro ensimmäinen rivi (-3) ja lisää kolmanteen riviin; Esitetään tämä toiminto nuolella, joka siirtyy ensimmäiseltä riviltä kolmanteen.

.

Tuloksena olevassa matriisissa, joka on kirjoitettu toiseksi matriisiketjussa, saamme "0" toisessa sarakkeessa kolmannessa paikassa. Tätä varten kerroimme toisen rivin (-4) ja lisäsimme sen kolmanteen. Kerro tuloksena olevassa matriisissa toinen rivi (-1) ja jaa kolmas (-8). Kaikki diagonaalielementtien alapuolella olevat tämän matriisin elementit ovat nollia.

Koska , järjestelmä on yhteistoiminnallinen ja määritelty.

Viimeistä matriisia vastaavalla yhtälöjärjestelmällä on kolmiomuoto:

Viimeisestä (kolmannesta) yhtälöstä
. Korvaa toinen yhtälö ja saa
.

Korvataan
Ja
ensimmäiseen yhtälöön, löydämme


.

Gaussin menetelmän määritelmä ja kuvaus

Gaussin muunnosmenetelmä (tunnetaan myös menetelmänä tuntemattomien muuttujien peräkkäiseen eliminointiin yhtälöstä tai matriisista) lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on klassinen menetelmä algebrallisten yhtälöjärjestelmien (SLAE) ratkaisemiseksi. Tätä klassista menetelmää käytetään myös sellaisten ongelmien ratkaisemiseen, kuten käänteisten matriisien saaminen ja matriisin järjestyksen määrittäminen.

Muunnos Gaussin menetelmää käyttäen koostuu pienten (alkea) peräkkäisten muutosten tekemisestä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmään, mikä johtaa muuttujien eliminointiin siitä ylhäältä alas ja uuden kolmion muotoisen yhtälöjärjestelmän muodostamiseksi, joka vastaa alkuperäistä yhtälöjärjestelmää. yksi.

Määritelmä 1

Tätä ratkaisun osaa kutsutaan eteenpäin suuntautuvaksi Gaussin ratkaisuksi, koska koko prosessi suoritetaan ylhäältä alas.

Kun alkuperäinen yhtälöjärjestelmä on pelkistetty kolmiomaiseksi, järjestelmän kaikki muuttujat löydetään alhaalta ylös (eli ensimmäiset löydetyt muuttujat sijaitsevat tarkalleen järjestelmän tai matriisin viimeisillä riveillä). Tämä osa ratkaisusta tunnetaan myös Gaussin ratkaisun käänteisenä. Hänen algoritminsa on seuraava: ensin lasketaan yhtälöjärjestelmän tai matriisin alaosaa lähinnä olevat muuttujat, sitten tuloksena saadut arvot korvataan korkeammalla ja siten löydetään toinen muuttuja ja niin edelleen.

Kuvaus Gaussin menetelmän algoritmista

Toimenpidesarja yhtälöjärjestelmän yleisen ratkaisun suorittamiseksi Gaussin menetelmää käyttäen koostuu vuorotellen eteenpäin- ja taaksepäin-iskujen soveltamisesta matriisiin SLAE:n perusteella. Olkoon alkuperäisellä yhtälöjärjestelmällä seuraava muoto:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

SLAE:n ratkaisemiseksi Gaussin menetelmällä on tarpeen kirjoittaa alkuperäinen yhtälöjärjestelmä matriisin muodossa:

$A = \begin(pmatriisi) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatriisi)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matriisia $A$ kutsutaan päämatriisiksi ja se edustaa järjestyksessä kirjoitettujen muuttujien kertoimia, ja $b$:ta kutsutaan sen vapaiden termien sarakkeeksi. Matriisia $A$, joka on kirjoitettu ilmaisten termien sarakkeen kautta, kutsutaan laajennetuksi matriisiksi:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Nyt on tarpeen saattaa se seuraavaan muotoon käyttämällä yhtälöjärjestelmän (tai matriisin, koska tämä on kätevämpää) alkeismuunnoksia:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(tapaukset)$ (1)

Muunnetun yhtälöjärjestelmän (1) kertoimista saatua matriisia kutsutaan askelmatriisiksi, tältä askelmatriisit yleensä näyttävät:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Näille matriiseille on tunnusomaista seuraavat ominaisuudet:

1. Kaikki sen nollarivit tulevat nollasta poikkeavien rivien jälkeen
2. Jos jokin matriisin rivi, jonka numero on $k$, on muu kuin nolla, niin saman matriisin edellisellä rivillä on vähemmän nollia kuin tällä rivillä, jonka numero on $k$.

Askelmatriisin saamisen jälkeen on tarpeen korvata saadut muuttujat jäljellä oleviin yhtälöihin (alkaen lopusta) ja saada muuttujien jäljellä olevat arvot.

Perussäännöt ja sallitut muunnokset Gauss-menetelmää käytettäessä

Kun yksinkertaistat matriisia tai yhtälöjärjestelmää tällä menetelmällä, sinun on käytettävä vain alkeismuunnoksia.

Tällaisia ​​muunnoksia pidetään operaatioina, joita voidaan soveltaa matriisiin tai yhtälöjärjestelmään muuttamatta sen merkitystä:

• useiden rivien uudelleenjärjestely,
• lisätään tai vähennetään matriisin yhdestä rivistä toinen rivi,
• merkkijonon kertominen tai jakaminen vakiolla, joka ei ole nolla,
• rivi, jossa on vain nollia, jotka on saatu järjestelmän laskennassa ja yksinkertaistamisessa, on poistettava,
• Sinun on myös poistettava tarpeettomat suhteelliset rivit, valitsemalla järjestelmälle ainoa, jonka kertoimet ovat sopivampia ja kätevämpiä jatkolaskelmiin.

Kaikki alkeismuunnokset ovat palautuvia.

Analyysi kolmesta päätapauksesta, jotka syntyvät ratkaistaessa lineaarisia yhtälöitä yksinkertaisten Gaussin muunnosten menetelmällä

Käytettäessä Gaussin menetelmää järjestelmien ratkaisemiseen ilmenee kolme tapausta:

1. Kun järjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja
2. Yhtälöjärjestelmällä on ratkaisu ja ainutlaatuinen, ja nollasta poikkeavien rivien ja sarakkeiden määrä matriisissa on sama.
3. Järjestelmässä on tietty määrä tai joukko mahdollisia ratkaisuja, ja siinä olevien rivien määrä on pienempi kuin sarakkeiden lukumäärä.

Epäjohdonmukaisen järjestelmän ratkaisun tulos

Tälle vaihtoehdolle, kun matriisiyhtälöä ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä, on tyypillistä saada jokin suora yhtälön täyttymisen mahdottomuudella. Siksi, jos ainakin yksi virheellinen yhtälö esiintyy, tuloksena olevilla ja alkuperäisillä järjestelmillä ei ole ratkaisuja, riippumatta niiden sisältämistä muista yhtälöistä. Esimerkki epäjohdonmukaisesta matriisista:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Viimeisellä rivillä syntyi mahdoton yhtäläisyys: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Yhtälöjärjestelmä, jolla on vain yksi ratkaisu

Näissä järjestelmissä on sama määrä rivejä ja sarakkeita päämatriisissa sen jälkeen, kun ne on pelkistetty askelmatriisiksi ja poistettu nollarivit. Tässä on yksinkertaisin esimerkki tällaisesta järjestelmästä:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Kirjoitetaan se matriisin muodossa:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

Toisen rivin ensimmäisen solun nollaamiseksi kerromme ylimmän rivin $-2 $:lla ja vähennämme sen matriisin alimmasta rivistä ja jätämme ylärivin alkuperäiseen muotoonsa, jolloin meillä on seuraava :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa järjestelmäksi:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Alempi yhtälö antaa seuraavan arvon arvolle $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Korvaa tämä arvo ylempään yhtälöön: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, saamme $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Järjestelmä, jossa on monia mahdollisia ratkaisuja

Tälle järjestelmälle on ominaista pienempi määrä merkittäviä rivejä kuin siinä olevien sarakkeiden lukumäärä (päämatriisin rivit otetaan huomioon).

Tällaisen järjestelmän muuttujat jaetaan kahteen tyyppiin: perus ja vapaa. Muunnettaessa tällaista järjestelmää sen sisältämät päämuuttujat on jätettävä vasemmalle alueelle ”=”-merkkiin asti ja loput muuttujat siirrettävä yhtälön oikealle puolelle.

Tällaisella järjestelmällä on vain tietty yleinen ratkaisu.

Analysoidaan seuraava yhtälöjärjestelmä:

$\begin(tapaukset) 2v_1 + 3v_2 + x_4 = 1 \\ 5v_3 - 4v_4 = 1 \end(tapaukset)$

Kirjoitetaan se matriisin muodossa:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Tehtävämme on löytää yleinen ratkaisu järjestelmään. Tässä matriisissa perusmuuttujat ovat $y_1$ ja $y_3$ ($y_1$ - koska se tulee ensin, ja $y_3$ - se sijaitsee nollien jälkeen).

Perusmuuttujiksi valitaan täsmälleen ne, jotka ovat rivin ensimmäisiä ja jotka eivät ole yhtä suuria kuin nolla.

Loput muuttujat kutsutaan vapaiksi; meidän on ilmaistava perusmuuttujat niiden kautta.

Käyttämällä ns. käänteistä vetoa analysoimme järjestelmän alhaalta ylös; tätä varten ilmaisemme ensin $y_3$ järjestelmän alariviltä:

5v_3 – 4v_4 = 1$

$5v_3 = 4v_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Nyt korvaamme ilmaistun $y_3$ järjestelmän $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ ylempään yhtälöön: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $

Ilmaisemme $y_1$ vapaina muuttujina $y_2$ ja $y_4$:

$2v_1 + 3v_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3v_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3v_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1v_4 + 0,6 $

Ratkaisu on valmis.

Esimerkki 1

Ratkaise slough Gaussin menetelmällä. Esimerkkejä. Esimerkki 3 x 3 -matriisin antaman lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

$\begin(tapaukset) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(tapaukset)$

Kirjoitetaan järjestelmämme laajennetun matriisin muodossa:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Nyt mukavuuden ja käytännöllisyyden vuoksi sinun on muutettava matriisi niin, että $1$ on uloimman sarakkeen yläkulmassa.

Tätä varten sinun on lisättävä ensimmäiselle riville rivi keskeltä kerrottuna $-1 $:lla ja kirjoitettava itse keskirivi sellaisena kuin se on, käy ilmi:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Kerro ylä- ja viimeinen rivi $-1 $:lla ja vaihda myös viimeinen ja keskirivi:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Ja jaa viimeinen rivi 3 dollarilla:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Saamme seuraavan yhtälöjärjestelmän, joka vastaa alkuperäistä:

$\begin(tapaukset) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(tapaukset)$

Ylemmästä yhtälöstä ilmaisemme $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 - x_2 = 1 + 1 - 3 = -1 $.

Esimerkki 2

Esimerkki 4 x 4 -matriisin avulla määritellyn järjestelmän ratkaisemisesta Gaussin menetelmällä

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Alussa vaihdamme sitä seuraavat ylimmät rivit, jotta saat $1 $ vasempaan yläkulmaan:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Kerro nyt ylärivi $-2 $:lla ja lisää 2. ja 3. Neljänteen lisätään 1. rivi kerrottuna $-3 $:lla:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Nyt riville 3 lisäämme rivin 2 kerrottuna $4$:lla ja riville 4 lisäämme rivin 2 kerrottuna $-1$:lla.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

Kerromme rivin 2 $-1 $:lla, jaamme rivin 4 $3 $:lla ja korvaamme rivin 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Nyt lisätään viimeiselle riville toiseksi viimeinen, kerrottuna $-5 $.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän:

$\begin(tapaukset) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3v + 2g + m = 11\loppu(tapaukset)$

Yksi yksinkertaisimmista tavoista ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä on tekniikka, joka perustuu determinanttien laskemiseen ( Cramerin sääntö). Sen etuna on, että sen avulla voit tallentaa ratkaisun välittömästi, se on erityisen kätevä tapauksissa, joissa järjestelmän kertoimet eivät ole numeroita, vaan joitain parametreja. Sen haittapuolena on laskelmien vaivalloisuus, kun yhtälöitä on paljon, ja lisäksi Cramerin sääntö ei sovellu suoraan järjestelmiin, joissa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Tällaisissa tapauksissa sitä käytetään yleensä Gaussin menetelmä.

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joilla on sama ratkaisujoukko, kutsutaan vastaava. On selvää, että lineaarisen järjestelmän ratkaisujoukko ei muutu, jos yhtälöitä vaihdetaan, tai jos yksi yhtälöistä kerrotaan jollain nollasta poikkeavalla luvulla tai jos yhtälö lisätään toiseen.

Gaussin menetelmä (Menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin) tarkoittaa, että alkeismuunnosten avulla järjestelmä pelkistetään vastaavaksi askeltyyppiseksi järjestelmäksi. Ensinnäkin, käyttämällä ensimmäistä yhtälöä, eliminoimme x 1 kaikista järjestelmän myöhemmistä yhtälöistä. Sitten eliminoimme toisen yhtälön avulla x 2 kolmannesta ja kaikki sitä seuraavat yhtälöt. Tämä prosessi ns suora Gaussin menetelmä, jatkuu, kunnes viimeisen yhtälön vasemmalla puolella on enää yksi tuntematon x n. Tämän jälkeen se on tehty Gaussin menetelmän käänteinen– ratkaisemme viimeisen yhtälön x n; sen jälkeen tätä arvoa käyttämällä laskemme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 jne. Löydämme viimeisen x 1 ensimmäisestä yhtälöstä.

On kätevää suorittaa Gaussin muunnoksia tekemällä muunnoksia ei itse yhtälöillä, vaan niiden kertoimien matriiseilla. Harkitse matriisia:

nimeltään järjestelmän laajennettu matriisi, koska se sisältää järjestelmän päämatriisin lisäksi vapaita termejä. Gaussin menetelmä perustuu järjestelmän päämatriisin pelkistämiseen kolmiomuotoon (tai puolisuunnikkaan muotoon ei-neliömäisten järjestelmien tapauksessa) käyttämällä järjestelmän laajennetun matriisin perusrivimuunnoksia (!).

Esimerkki 5.1. Ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitetaan järjestelmän laajennettu matriisi ja ensimmäisen rivin avulla nollataan loput elementit:

saamme nollia ensimmäisen sarakkeen 2., 3. ja 4. riville:

Nyt kaikkien toisen sarakkeen 2. rivin alapuolella olevien elementtien on oltava nolla. Voit tehdä tämän kertomalla toisen rivin -4/7:lla ja lisäämällä sen 3. riville. Kuitenkin, jotta murtolukuja ei käsitellä, luodaan yksikkö toisen sarakkeen 2. riville ja vain

Kolmiomatriisin saamiseksi sinun on nollattava kolmannen sarakkeen neljännen rivin elementti; voit tehdä tämän kertomalla kolmannen rivin luvulla 8/54 ja lisäämällä sen neljänteen. Kuitenkin, jotta emme käsittele murtolukuja, vaihdamme 3. ja 4. rivin sekä 3. ja 4. sarakkeen ja vasta sen jälkeen nollaamme määritetyn elementin. Huomaa, että sarakkeita järjestettäessä vastaavat muuttujat vaihtavat paikkoja ja tämä on muistettava; muita perusmuunnoksia sarakkeilla (yhteenlasku ja kertominen luvulla) ei voida suorittaa!

Viimeinen yksinkertaistettu matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää, joka vastaa alkuperäistä:

Sieltä, käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä, löydämme neljännestä yhtälöstä x 3 = -1; kolmannesta alkaen x 4 = –2, toisesta x 2 = 2 ja ensimmäisestä yhtälöstä x 1 = 1. Matriisimuodossa vastaus kirjoitetaan muodossa

Käsittelimme tapausta, jossa järjestelmä on määrätty, ts. kun on vain yksi ratkaisu. Katsotaan mitä tapahtuu, jos järjestelmä on epäjohdonmukainen tai epävarma.

Esimerkki 5.2. Tutustu järjestelmään Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän laajennetun matriisin

Kirjoitamme yksinkertaistetun yhtälöjärjestelmän:

Tässä viimeisessä yhtälössä käy ilmi, että 0=4, ts. ristiriita. Näin ollen järjestelmällä ei ole ratkaisua, ts. hän yhteensopimaton. à

Esimerkki 5.3. Tutki ja ratkaise järjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Kirjoitamme ja muunnamme järjestelmän laajennetun matriisin:

Muutosten seurauksena viimeinen rivi sisältää vain nollia. Tämä tarkoittaa, että yhtälöiden määrä on vähentynyt yhdellä:

Yksinkertaistusten jälkeen on siis jäljellä kaksi yhtälöä ja neljä tuntematonta, ts. kaksi tuntematonta "lisää". Olkoon ne "ylimääräisiä" tai, kuten he sanovat, vapaat muuttujat, tulee x 3 ja x 4. Sitten

uskoa x 3 = 2a Ja x 4 = b, saamme x 2 = 1–a Ja x 1 = 2b–a; tai matriisimuodossa

Tällä tavalla kirjoitettua ratkaisua kutsutaan yleistä, koska parametrien antaminen a Ja b eri arvot, järjestelmän kaikki mahdolliset ratkaisut voidaan kuvata. a