Samanaikaisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Menetelmiä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

Ratkaisu Teemme sen laskimen avulla. Kirjoitetaan laajennettu ja päämatriisit:

Päämatriisi A on erotettu katkoviivalla. Kirjoitetaan tuntemattomat järjestelmät yläreunaan huomioiden mahdollinen termien uudelleenjärjestely järjestelmän yhtälöissä. Määrittämällä laajennetun matriisin arvon, löydämme samanaikaisesti päämatriisin arvon. Matriisissa B ensimmäinen ja toinen sarake ovat verrannollisia. Kahdesta suhteellisesta sarakkeesta vain yksi voi pudota perusmolliin, joten siirretään esimerkiksi ensimmäinen sarake pisteviivan taakse vastakkaisella merkillä. Järjestelmälle tämä tarkoittaa termien siirtämistä x 1:stä yhtälöiden oikealle puolelle.

Pelkistetään matriisi kolmion muotoon. Työskentelemme vain rivien kanssa, koska matriisirivin kertominen muulla kuin nollalla ja lisääminen toiselle riville tarkoittaa yhtälön kertomista samalla luvulla ja lisäämistä toisella yhtälöllä, joka ei muuta matriisirivin ratkaisua. järjestelmä. Työskentelemme ensimmäisen rivin kanssa: kerro matriisin ensimmäinen rivi (-3) ja lisää vuorotellen toiseen ja kolmanteen riviin. Kerro sitten ensimmäinen rivi (-2) ja lisää se neljänteen.

Toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia, joten yksi niistä, esimerkiksi toinen, voidaan yliviivata. Tämä vastaa järjestelmän toisen yhtälön yliviivausta, koska se on seurausta kolmannesta.

Nyt työskentelemme toisen rivin kanssa: kerro se (-1) ja lisää se kolmanteen.

Pisteviivalla ympyröidyllä mollilla on korkein kertaluku (mahdollisista alaväreistä) ja se on nollasta poikkeava (se on yhtä suuri kuin päädiagonaalin elementtien tulo), ja tämä molli kuuluu sekä päämatriisiin että laajennettuun matriisiin, joten rangA = soi B = 3.
Pieni on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 2 , x 3 , x 4 , mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 2 , x 3 , x 4 ovat riippuvaisia ​​ja x 1 , x 5 ovat vapaita.
Muunnetaan matriisi jättäen vasemmalle vain kanta-molli (joka vastaa yllä olevan ratkaisualgoritmin kohtaa 4).

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sillä on muoto

Käyttämällä menetelmää tuntemattomien poistamiseksi löydämme:
, ,

Saimme riippuvia muuttujia x 2, x 3, x 4 ilmaisevat relaatiot vapaiden x 1 ja x 5 kautta, eli löysimme yleisen ratkaisun:

Määrittämällä mitä tahansa arvoja vapaille tuntemattomille, saamme minkä tahansa määrän tiettyjä ratkaisuja. Etsitään kaksi erityistä ratkaisua:
1) olkoon x 1 = x 5 = 0, sitten x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) laita x 1 = 1, x 5 = -1, sitten x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Siten löydettiin kaksi ratkaisua: (0,1,-3,3,0) – yksi ratkaisu, (1,4,-7,7,-1) – toinen ratkaisu.

Esimerkki 2. Tutki yhteensopivuutta, löydä yleinen ja yksi erityinen ratkaisu järjestelmään

Ratkaisu. Järjestetään ensimmäinen ja toinen yhtälö uudelleen siten, että ensimmäisessä yhtälössä on yksi ja kirjoitetaan matriisi B.

Saamme nollia neljänteen sarakkeeseen toimimalla ensimmäisen rivin kanssa:

Nyt saamme kolmannen sarakkeen nollat ​​käyttämällä toista riviä:

Kolmas ja neljäs rivi ovat verrannollisia, joten yksi niistä voidaan yliviivata muuttamatta sijoitusta:
Kerro kolmas rivi (–2) ja lisää se neljänteen:

Näemme, että pää- ja laajennetun matriisien arvot ovat yhtä suuria kuin 4 ja järjestys on sama kuin tuntemattomien lukumäärä, joten järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu:
;
x 4 = 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.

Esimerkki 3. Tarkista järjestelmän yhteensopivuus ja etsi ratkaisu, jos se on olemassa.

Ratkaisu. Muodostamme laajennetun matriisin järjestelmästä.

Järjestämme kaksi ensimmäistä yhtälöä uudelleen siten, että vasemmassa yläkulmassa on 1:
Kerro ensimmäinen rivi (-1) ja lisää se kolmanteen:

Kerro toinen rivi (-2) ja lisää se kolmanteen:

Järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska päämatriisiin saimme nollasta koostuvan rivin, joka yliviivataan, kun järjestys löytyy, mutta laajennetussa matriisissa jää viimeinen rivi, eli r B > r A .

Harjoittele. Tutki tämän yhtälöjärjestelmän yhteensopivuutta ja ratkaise se matriisilaskennan avulla.
Ratkaisu

Esimerkki. Todista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuus ja ratkaise se kahdella tavalla: 1) Gaussin menetelmällä; 2) Cramerin menetelmä. (kirjoita vastaus muodossa: x1,x2,x3)
Ratkaisu :doc :doc :xls
Vastaus: 2,-1,3.

Esimerkki. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on annettu. Todista sen yhteensopivuus. Etsi järjestelmän yleinen ratkaisu ja yksi erityinen ratkaisu.
Ratkaisu
Vastaus: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3 x 5

Harjoittele. Etsi kunkin järjestelmän yleiset ja erityiset ratkaisut.
Ratkaisu. Tutkimme tätä järjestelmää Kronecker-Capellin lauseella.
Kirjoitetaan laajennettu ja päämatriisit:

Harjoittele. Ratkaise yhtälöjärjestelmä.
Vastaus:x 2 = 2 - 1,67 x 3 + 0,67 x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
Määrittämällä mitä tahansa arvoja vapaille tuntemattomille, saamme minkä tahansa määrän tiettyjä ratkaisuja. Järjestelmä on epävarma

Kuten on selvää Cramerin lause, kun ratkaistaan ​​lineaarinen yhtälöjärjestelmä, voi tapahtua kolme tapausta:

Ensimmäinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu

(järjestelmä on johdonmukainen ja varma)

Toinen tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja

(järjestelmä on johdonmukainen ja epävarma)

** ,

nuo. tuntemattomien ja vapaiden termien kertoimet ovat verrannollisia.

Kolmas tapaus: lineaariyhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja

(järjestelmä on epäjohdonmukainen)

Järjestelmä siis m lineaariset yhtälöt kanssa n kutsutaan muuttujiksi ei-nivel, jos hänellä ei ole yhtä ratkaisua, ja liitos, jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Samanaikaista yhtälöjärjestelmää, jolla on vain yksi ratkaisu, kutsutaan varma ja enemmän kuin yksi - epävarma.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta Cramer-menetelmällä

Olkoon järjestelmä annettu

.

Perustuu Cramerin lauseeseen

………….
,

Missä
-

järjestelmän määräävä tekijä. Loput determinantit saadaan korvaamalla sarake vastaavan muuttujan (tuntemattoman) kertoimilla vapailla termeillä:

Esimerkki 2.

.

Järjestelmä on siis varma. Ratkaisun löytämiseksi laskemme determinantit

Cramerin kaavoja käyttämällä löydämme:

Joten (1; 0; -1) on ainoa ratkaisu järjestelmään.

Yhtälöjärjestelmien 3 X 3 ja 4 X 4 ratkaisujen tarkistamiseen voit käyttää online-laskinta Cramerin ratkaisumenetelmällä.

Jos lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhdessä tai useammassa yhtälössä ei ole muuttujia, niin determinantissa vastaavat alkiot ovat nolla! Tämä on seuraava esimerkki.

Esimerkki 3. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Cramer-menetelmällä:

.

Ratkaisu. Löydämme järjestelmän determinantin:

Katso huolellisesti yhtälöjärjestelmää ja järjestelmän determinanttia ja toista vastaus kysymykseen, missä tapauksissa yksi tai useampi determinantin alkio on nolla. Joten determinantti ei ole nolla, joten järjestelmä on määrätty. Ratkaisun löytämiseksi laskemme tuntemattomien determinantit

Cramerin kaavoja käyttämällä löydämme:

Joten järjestelmän ratkaisu on (2; -1; 1).

6. Yleinen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä. Gaussin menetelmä.

Kuten muistamme, Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Gaussin menetelmä – tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisujen löytämiseen mihin tahansa lineaariyhtälöjärjestelmään, mikä joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Itse menetelmäalgoritmi toimii samalla tavalla kaikissa kolmessa tapauksessa. Jos Cramer- ja matriisimenetelmät edellyttävät determinanttien tuntemusta, niin Gauss-menetelmän soveltamiseen tarvitset vain aritmeettisten operaatioiden tuntemusta, jolloin se on myös peruskoulun oppilaiden käytettävissä.

Aluksi systematisoidaan vähän tietoa lineaarisista yhtälöjärjestelmistä. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä voi:

1) Hanki ainutlaatuinen ratkaisu.
2) On äärettömän monta ratkaisua.
3) Ei ratkaisuja (ol ei-nivel).

Gaussin menetelmä on tehokkain ja yleisin työkalu ratkaisun löytämiseen minkä tahansa lineaariset yhtälöt. Kuten muistamme, Cramerin sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksissa, joissa järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua tai se on epäjohdonmukainen. Ja menetelmä tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin Joka tapauksessa johdattaa meidät vastaukseen! Tällä oppitunnilla tarkastelemme jälleen Gaussin menetelmää tapaukselle nro 1 (ainoa ratkaisu järjestelmään), artikkeli on omistettu kohtien nro 2-3 tilanteille. Huomaan, että itse menetelmän algoritmi toimii samalla tavalla kaikissa kolmessa tapauksessa.

Palataan oppitunnin yksinkertaisimpaan järjestelmään Kuinka ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä?
ja ratkaista se Gaussin menetelmällä.

Ensimmäinen askel on kirjoittaa ylös laajennettu järjestelmämatriisi:
. Luulen, että jokainen näkee, millä periaatteella kertoimet kirjoitetaan. Matriisin sisällä olevalla pystyviivalla ei ole matemaattista merkitystä - se on yksinkertaisesti yliviivaus suunnittelun helpottamiseksi.

Viite:Suosittelen muistamaan ehdot lineaarialgebra. Järjestelmämatriisi on matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista, tässä esimerkissä järjestelmän matriisi: . Laajennettu järjestelmämatriisi– tämä on sama järjestelmän matriisi plus vapaiden termien sarake, tässä tapauksessa: . Lyhyyden vuoksi mitä tahansa matriiseista voidaan yksinkertaisesti kutsua matriisiksi.

Kun laajennettu järjestelmämatriisi on kirjoitettu, sen kanssa on suoritettava joitain toimintoja, joita myös kutsutaan alkeellisia muunnoksia.

Seuraavat perusmuunnokset ovat olemassa:

1) jouset matriiseja voidaan järjestää uudelleen joissakin paikoissa. Esimerkiksi tarkasteltavana olevassa matriisissa voit järjestää ensimmäisen ja toisen rivin kivuttomasti uudelleen:

2) Jos matriisissa on (tai ovat ilmestyneet) suhteellisia (erikoistapauksena - identtisiä) rivejä, sinun tulee poistaa Kaikki nämä rivit ovat matriisista yhtä lukuun ottamatta. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä matriisissa kolme viimeistä riviä ovat verrannollisia, joten riittää, että jätät vain yhden niistä: .

3) Jos matriisissa esiintyy nollarivi muunnosten aikana, niin sen pitäisi myös olla poistaa. En tietenkään piirrä, nollaviiva on se viiva, jossa kaikki nollat.

4) Matriisirivi voi olla kertoa (jakaa) mihin tahansa numeroon nollasta poikkeava. Harkitse esimerkiksi matriisia . Tässä on suositeltavaa jakaa ensimmäinen rivi -3:lla ja kertoa toinen rivi 2:lla: . Tämä toiminto on erittäin hyödyllinen, koska se yksinkertaistaa matriisin lisämuunnoksia.

5) Tämä muunnos aiheuttaa eniten vaikeuksia, mutta todellisuudessa ei myöskään ole mitään monimutkaista. Matriisin riville voit lisää toinen merkkijono kerrottuna numerolla, eroaa nollasta. Katsotaanpa matriisiamme käytännön esimerkistä: . Ensin kuvailen muodonmuutosta yksityiskohtaisesti. Kerro ensimmäinen rivi -2:lla: , Ja toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla: . Nyt ensimmäinen rivi voidaan jakaa "takaisin" -2:lla: . Kuten näet, rivi, joka on LISÄTTY LI – ei ole muuttunut. Aina rivi, MIHIN LISÄTTY, muuttuu UT.

Käytännössä he eivät tietenkään kirjoita sitä niin yksityiskohtaisesti, mutta kirjoittavat sen lyhyesti:

Vielä kerran: toiselle riville lisäsi ensimmäisen rivin kerrottuna -2:lla. Rivi kerrotaan yleensä suullisesti tai luonnoksessa, ja mentaalinen laskentaprosessi menee suunnilleen näin:

"Kirjoitan matriisin uudelleen ja kirjoitan ensimmäisen rivin uudelleen: »

"Ensimmäinen sarake. Alareunaan minun täytyy saada nolla. Siksi kerron ylhäällä olevan -2:lla ja lisään ensimmäisen toiselle riville: 2 + (-2) = 0. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Nyt toinen sarake. Ylhäällä kerron -1:llä -2: . Lisään ensimmäisen toiselle riville: 1 + 2 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

"Ja kolmas sarake. Ylhäällä kerron -5:llä -2: . Lisään ensimmäisen toiselle riville: –7 + 10 = 3. Kirjoitan tuloksen toiselle riville: »

Ymmärrä tämä esimerkki huolellisesti ja ymmärrä peräkkäisen laskenta-algoritmi, jos ymmärrät tämän, niin Gaussin menetelmä on käytännössä taskussasi. Mutta tietysti jatkamme edelleen tätä muutosta.

Elementaarimuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua

! HUOMIO: harkittuja manipulaatioita ei voi käyttää, jos sinulle tarjotaan tehtävää, jossa matriisit annetaan "itsensä". Esimerkiksi sanalla "klassinen" operaatiot matriiseillaÄlä missään tapauksessa saa järjestää mitään uudelleen matriisien sisällä!

Palataan järjestelmäämme. Se on käytännössä purettu palasiksi.

Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja pelkistetään se alkeismuunnoksilla porrastettu näkymä:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ja vielä: miksi kerromme ensimmäisen rivin -2:lla? Saadakseen nollan alareunaan, mikä tarkoittaa eroon yhdestä muuttujasta toisella rivillä.

(2) Jaa toinen rivi 3:lla.

Alkeismuunnosten tarkoitus – pienennä matriisi vaiheittain: . Tehtävän suunnittelussa he vain merkitsevät "portaat" yksinkertaisella kynällä ja ympyröivät myös "portailla" olevat numerot. Termi "askelmainen näkymä" itsessään ei ole täysin teoreettinen, tieteellisessä ja opetuskirjallisuudessa sitä kutsutaan usein puolisuunnikkaan muotoinen näkymä tai kolmion muotoinen näkymä.

Alkuainemuunnosten tuloksena saimme vastaava alkuperäinen yhtälöjärjestelmä:

Nyt järjestelmä on "vapautettava" vastakkaiseen suuntaan - alhaalta ylös, tätä prosessia kutsutaan Gaussin menetelmän käänteinen.

Alemmassa yhtälössä meillä on jo valmis tulos: .

Tarkastellaan järjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja korvataan siihen jo tunnettu "y":n arvo:

Tarkastellaan yleisintä tilannetta, jolloin Gaussin menetelmä edellyttää kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemista kolmella tuntemattomalla.

Esimerkki 1

Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Kirjoitetaan järjestelmän laajennettu matriisi:

Piirrän nyt heti tuloksen, johon pääsemme ratkaisun aikana:

Ja toistan, tavoitteemme on saattaa matriisi vaiheittaiseen muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia. Mistä aloittaa?

Katso ensin vasemmassa yläkulmassa olevaa numeroa:

Pitäisi olla melkein aina täällä yksikkö. Yleisesti ottaen –1 (ja joskus muutkin luvut) kelpaa, mutta jotenkin perinteisesti on käynyt niin, että sinne yleensä sijoitetaan yksi. Kuinka organisoida yksikkö? Katsomme ensimmäistä saraketta - meillä on valmis yksikkö! Muunnos yksi: vaihda ensimmäinen ja kolmas rivi:

Nyt ensimmäinen rivi pysyy muuttumattomana ratkaisun loppuun asti. Nyt hyvin.

Vasemmassa yläkulmassa oleva yksikkö on järjestetty. Nyt sinun on saatava nollia näissä paikoissa:

Saamme nollia "vaikealla" muunnolla. Ensin käsitellään toista riviä (2, -1, 3, 13). Mitä pitää tehdä nollan saamiseksi ensimmäiselle sijalle? Tarvitsee toiselle riville lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna -2:lla. Kerro ensimmäinen rivi henkisesti tai luonnoksessa -2:lla: (-2, -4, 2, -18). Ja teemme jatkuvasti (taas henkisesti tai luonnoksessa) lisäystä, toiselle riville lisäämme ensimmäisen rivin, joka on jo kerrottu -2:lla:

Kirjoitamme tuloksen toiselle riville:

Käsittelemme kolmatta riviä samalla tavalla (3, 2, –5, –1). Saadaksesi nollan ensimmäiseen kohtaan, sinun on lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla. Kerro ensimmäinen rivi henkisesti tai luonnoksessa -3:lla: (-3, -6, 3, -27). JA kolmanteen riviin lisätään ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla:

Kirjoitamme tuloksen kolmannelle riville:

Käytännössä nämä toimet suoritetaan yleensä suullisesti ja kirjataan ylös yhdessä vaiheessa:

Kaikkea ei tarvitse laskea kerralla ja samaan aikaan. Laskelmien järjestys ja tulosten "kirjoittaminen". johdonmukainen ja yleensä se on näin: kirjoitamme ensin ensimmäisen rivin uudelleen ja puhaltelemme hitaasti itsellemme - JOHDONMUKAISESTI ja HUOMAA:


Ja olen jo käsitellyt itse laskelmien henkistä prosessia yllä.

Tässä esimerkissä tämä on helppo tehdä: jaamme toisen rivin –5:llä (koska kaikki siellä olevat luvut ovat jaollisia 5:llä ilman jäännöstä). Samanaikaisesti jaamme kolmannen rivin –2:lla, koska mitä pienemmät numerot, sitä yksinkertaisempi ratkaisu:

Alkeismuunnosten viimeisessä vaiheessa sinun on saatava toinen nolla täältä:

Tätä varten kolmanteen riviin lisätään toinen rivi kerrottuna -2:lla:


Yritä selvittää tämä toiminto itse - kerro henkisesti toinen rivi -2:lla ja suorita yhteenlasku.

Viimeinen suoritettu toimenpide on tuloksen kampaus, jaa kolmas rivi 3:lla.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin vastaava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Viileä.

Nyt otetaan käyttöön Gaussin menetelmän käänteinen versio. Yhtälöt "purkautuvat" alhaalta ylös.

Kolmannessa yhtälössä meillä on jo valmis tulos:

Katsotaanpa toista yhtälöä: . Sanan "zet" merkitys on jo tiedossa, joten:

Ja lopuksi ensimmäinen yhtälö: . "Igrek" ja "zet" tunnetaan, kyse on vain pienistä asioista:

Vastaus:

Kuten on jo useaan otteeseen todettu, minkä tahansa yhtälöjärjestelmän kohdalla on mahdollista ja tarpeellista tarkistaa löydetty ratkaisu, onneksi se on helppoa ja nopeaa.

Esimerkki 2

Tämä on esimerkki itsenäisestä ratkaisusta, näyte lopullisesta suunnittelusta ja vastaus oppitunnin lopussa.

On huomattava, että sinun päätöksen edistymistä ei ehkä sovi yhteen päätösprosessini kanssa, ja tämä on Gaussin menetelmän ominaisuus. Mutta vastausten on oltava samat!

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja saatetaan se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon:

Katsomme vasemman yläkulman "askelta". Meillä pitäisi olla yksi siellä. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole yksiköitä ollenkaan, joten rivien uudelleenjärjestely ei ratkaise mitään. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on organisoitava alkeismuunnolla. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Tein tämän:
(1) Ensimmäiselle riville lisäämme toisen rivin kerrottuna -1:llä. Eli kerroimme henkisesti toisen rivin -1:llä ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt vasemmassa yläkulmassa on "miinus yksi", joka sopii meille varsin hyvin. Jokainen, joka haluaa saada +1, voi suorittaa lisäliikkeen: kerro ensimmäinen rivi –1:llä (muuta sen etumerkkiä).

(2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 5:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 3:lla lisättiin kolmanteen riviin.

(3) Ensimmäinen rivi kerrottiin -1:llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Myös kolmannen rivin merkki muutettiin ja se siirrettiin toiselle sijalle, jolloin toisessa ”askelessa” meillä oli tarvittava yksikkö.

(4) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna kahdella.

(5) Kolmas rivi jaettiin kolmella.

Huono merkki, joka osoittaa virhettä laskuissa (harvemmin kirjoitusvirhe), on "huono" tulos. Eli jos saamme jotain, kuten , alla ja vastaavasti , niin suurella todennäköisyydellä voidaan sanoa, että alkeismuunnoksissa tapahtui virhe.

Veloitamme päinvastoin, esimerkkien suunnittelussa he eivät usein kirjoita itse järjestelmää uudelleen, vaan yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Muistutan sinua, että käänteinen veto toimii alhaalta ylös. Kyllä, tässä on lahja:

Vastaus: .

Esimerkki 4

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse, se on hieman monimutkaisempi. Ei haittaa, jos joku on hämmentynyt. Koko ratkaisu ja mallisuunnittelu oppitunnin lopussa. Ratkaisusi voi olla erilainen kuin minun ratkaisuni.

Viimeisessä osassa tarkastellaan joitain Gaussin algoritmin ominaisuuksia.
Ensimmäinen ominaisuus on, että joskus jotkin muuttujat puuttuvat järjestelmäyhtälöistä, esimerkiksi:

Miten laajennettu järjestelmämatriisi kirjoitetaan oikein? Puhuin tästä asiasta jo luokassa. Cramerin sääntö. Matriisimenetelmä. Järjestelmän laajennetussa matriisissa laitamme nollia puuttuvien muuttujien tilalle:

Muuten, tämä on melko helppo esimerkki, koska ensimmäisessä sarakkeessa on jo yksi nolla ja suoritettavaa alkeismuunnoksia on vähemmän.

Toinen ominaisuus on tämä. Kaikissa tarkasteluissa esimerkeissä sijoitimme "askeliin" joko -1 tai +1. Voisiko siellä olla muita numeroita? Joissakin tapauksissa voivat. Harkitse järjestelmää: .

Tässä vasemmassa yläkulmassa "askel" meillä on kaksi. Mutta huomaamme tosiasian, että kaikki ensimmäisen sarakkeen luvut ovat jaollisia kahdella ilman jäännöstä - ja toinen on kaksi ja kuusi. Ja ne kaksi vasemmassa yläkulmassa sopivat meille! Ensimmäisessä vaiheessa sinun on suoritettava seuraavat muunnokset: lisää ensimmäinen rivi kerrottuna -1:llä toiselle riville; lisää kolmannelle riville ensimmäinen rivi kerrottuna -3:lla. Näin saamme vaaditut nollat ​​ensimmäiseen sarakkeeseen.

Tai toinen tavanomainen esimerkki: . Tässä toisessa ”askelessa” olevat kolme sopivat myös meille, koska 12 (paikka, josta meidän on saatava nolla) on jaollinen 3:lla ilman jäännöstä. On tarpeen suorittaa seuraava muunnos: lisää toinen rivi kolmanteen riviin kerrottuna -4:llä, jonka tuloksena saadaan tarvitsemamme nolla.

Gaussin menetelmä on universaali, mutta siinä on yksi erikoisuus. Voit itsevarmasti oppia ratkaisemaan järjestelmiä muilla menetelmillä (Cramerin menetelmä, matriisimenetelmä) kirjaimellisesti ensimmäistä kertaa - niillä on erittäin tiukka algoritmi. Mutta tunteaksesi itsevarmaksi Gaussin menetelmässä, sinun on opittava siinä ja ratkaista vähintään 5-10 järjestelmää. Siksi laskelmissa voi aluksi olla hämmennystä ja virheitä, eikä tässä ole mitään epätavallista tai traagista.

Sateinen syyssää ikkunan ulkopuolella.... Siksi kaikille, jotka haluavat monimutkaisemman esimerkin ratkaistavaksi:

Esimerkki 5

Ratkaise Gaussin menetelmällä neljän lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on neljä tuntematonta.

Tällainen tehtävä ei ole käytännössä niin harvinainen. Uskon, että jopa teekannu, joka on tutkinut tämän sivun perusteellisesti, ymmärtää algoritmin tällaisen järjestelmän ratkaisemiseksi intuitiivisesti. Pohjimmiltaan kaikki on sama - toimintoja on vain enemmän.

Oppitunnilla käsitellään tapauksia, joissa järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukaisia) tai ratkaisuja on äärettömän monta Yhteensopimattomat järjestelmät ja järjestelmät, joissa on yhteinen ratkaisu. Siellä voit korjata Gaussin menetelmän tarkasteltavan algoritmin.

Toivon sinulle menestystä!

Ratkaisut ja vastaukset:

Esimerkki 2: Ratkaisu: Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon.


Tehdyt perusmuunnokset:
(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä. Huomio! Täällä saatat tuntea houkutusta vähentää ensimmäinen kolmannesta rivistä; suosittelen, että et vähennä sitä - virheriski kasvaa huomattavasti. Taita se vain!
(2) Toisen rivin etumerkki muutettiin (kerroin -1). Toinen ja kolmas rivi on vaihdettu. Huomautus, että "portailla" olemme tyytyväisiä ei vain yhteen, vaan myös -1:een, mikä on vielä kätevämpää.
(3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna 5:llä.
(4) Toisen rivin etumerkki muutettiin (kerroin -1). Kolmas rivi jaettiin 14:llä.

Käänteinen:

Vastaus: .

Esimerkki 4: Ratkaisu: Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla porrastettuun muotoon:

Suoritetut konversiot:
(1) Ensimmäiselle riville lisättiin toinen rivi. Siten haluttu yksikkö on järjestetty vasemman yläkulman "askeleen".
(2) Ensimmäinen rivi kerrottuna 7:llä lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi kerrottuna 6:lla lisättiin kolmanteen riviin.

Toisessa "vaiheessa" kaikki pahenee, sen "ehdokkaat" ovat numerot 17 ja 23, ja tarvitsemme joko yhden tai -1. Muunnoksilla (3) ja (4) pyritään saamaan haluttu yksikkö

(3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.
(4) Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -3:lla.
Toisessa vaiheessa vaadittu kohde on vastaanotettu. .
(5) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna 6:lla.

Osana oppitunteja Gaussin menetelmä Ja Yhteensopimattomat järjestelmät/järjestelmät, joilla on yhteinen ratkaisu mietimme epähomogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät, Missä vapaa jäsen(joka on yleensä oikealla) ainakin yksi yhtälöistä erosi nollasta.
Ja nyt, hyvän lämmittelyn jälkeen matriisin arvo, jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden perusteella materiaali saattaa tuntua tylsältä ja keskinkertaiselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikkojen jatkokehityksen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Gaussin menetelmä, jota kutsutaan myös menetelmäksi tuntemattomien peräkkäiseen eliminointiin, on seuraava. Alkuainemuunnoksia käyttämällä lineaarinen yhtälöjärjestelmä saatetaan sellaiseen muotoon, että sen kerroinmatriisi osoittautuu puolisuunnikkaan muotoinen (sama kuin kolmiomainen tai porrastettu) tai lähellä puolisuunnikkaan muotoista (suora isku Gaussin menetelmällä, jäljempänä - yksinkertaisesti suora isku). Esimerkki tällaisesta järjestelmästä ja sen ratkaisusta on yllä olevassa kuvassa.

Tällaisessa järjestelmässä viimeinen yhtälö sisältää vain yhden muuttujan ja sen arvo voidaan löytää yksiselitteisesti. Tämän muuttujan arvo korvataan sitten edelliseen yhtälöön ( Gaussin menetelmän käänteinen , sitten vain päinvastoin), josta löytyy edellinen muuttuja ja niin edelleen.

Kuten näemme puolisuunnikkaan (kolmio) järjestelmässä, kolmas yhtälö ei enää sisällä muuttujia y Ja x, ja toinen yhtälö on muuttuja x .

Kun järjestelmän matriisi on saanut puolisuunnikkaan muodon, ei ole enää vaikeaa ymmärtää järjestelmän yhteensopivuutta, määrittää ratkaisujen lukumäärä ja löytää ratkaisut itse.

Menetelmän edut:

1. kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on enemmän kuin kolme yhtälöä ja tuntemattomia, Gauss-menetelmä ei ole yhtä hankala kuin Cramer-menetelmä, koska ratkaiseminen Gaussin menetelmällä vaatii vähemmän laskelmia;
2. Gaussin menetelmällä voidaan ratkaista määrittelemättömät lineaariyhtälöjärjestelmät, eli sillä on yleinen ratkaisu (ja analysoimme niitä tällä oppitunnilla), ja käyttämällä Cramer-menetelmää voimme vain todeta, että järjestelmä on epämääräinen;
3. voit ratkaista lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa tuntemattomien lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä (analysoimme niitä myös tässä oppitunnissa);
4. Menetelmä perustuu perus- (koulu)menetelmiin - tuntemattomien korvausmenetelmään ja yhtälöiden lisäämismenetelmään, joita käsittelimme vastaavassa artikkelissa.

Jotta kaikki ymmärtäisivät yksinkertaisuuden, jolla puolisuunnikkaan muotoiset (kolmio-, askel-) lineaariyhtälöjärjestelmät ratkaistaan, esitämme ratkaisun tällaiseen järjestelmään käänteisliikettä käyttäen. Tämän järjestelmän nopea ratkaisu esitettiin oppitunnin alussa olevassa kuvassa.

Esimerkki 1. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä käänteisellä:

Ratkaisu. Tässä puolisuunnikkaan järjestelmässä muuttuja z voidaan löytää yksiselitteisesti kolmannesta yhtälöstä. Korvaamme sen arvon toiseen yhtälöön ja saamme muuttujan arvon y:

Nyt tiedämme kahden muuttujan arvot - z Ja y. Korvaamme ne ensimmäiseen yhtälöön ja saamme muuttujan arvon x:

Edellisistä vaiheista kirjoitamme ratkaisun yhtälöjärjestelmään:

Tällaisen puolisuunnikkaan lineaariyhtälöjärjestelmän saamiseksi, jonka ratkaisimme hyvin yksinkertaisesti, on tarpeen käyttää eteenpäin suuntautuvaa vetoa, joka liittyy lineaariyhtälöjärjestelmän perusmuunnoksiin. Se ei myöskään ole kovin vaikeaa.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän alkeismuunnokset

Toistamalla järjestelmän yhtälöiden algebrallista yhteenlaskemista koulumenetelmää, saimme selville, että yhteen järjestelmän yhtälöistä voidaan lisätä toinen järjestelmän yhtälö, ja jokainen yhtälö voidaan kertoa joillakin luvuilla. Tuloksena saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, joka vastaa tätä yhtälöä. Siinä yksi yhtälö sisälsi jo vain yhden muuttujan, jonka arvon korvaamalla muilla yhtälöillä päästään ratkaisuun. Tällainen lisäys on yksi järjestelmän alkeismuunnostyypeistä. Gaussin menetelmää käytettäessä voimme käyttää useita muunnoksia.

Yllä oleva animaatio näyttää kuinka yhtälöjärjestelmä muuttuu vähitellen puolisuunnikkaan muotoiseksi. Eli se, jonka näit aivan ensimmäisessä animaatiossa ja vakuutit itsesi, että siitä on helppo löytää kaikkien tuntemattomien arvot. Miten tällainen muunnos suoritetaan, ja tietysti esimerkkejä käsitellään edelleen.

Kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa on mikä tahansa määrä yhtälöitä ja tuntemattomia yhtälöjärjestelmässä ja järjestelmän laajennetussa matriisissa Voi:

1. järjestää rivit uudelleen (tämä mainittiin tämän artikkelin alussa);
2. jos muut muunnokset johtavat yhtä suuriin tai suhteellisiin riveihin, ne voidaan poistaa yhtä lukuun ottamatta;
3. poista "nolla" rivit, joissa kaikki kertoimet ovat nolla;
4. kerro tai jaa mikä tahansa merkkijono tietyllä luvulla;
5. Lisää mille tahansa riville toinen rivi kerrottuna tietyllä numerolla.

Muutosten tuloksena saamme tätä vastaavan lineaarisen yhtälöjärjestelmän.

Algoritmi ja esimerkkejä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta järjestelmän neliömatriisin avulla Gaussin menetelmällä

Tarkastellaan ensin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemista, joissa tuntemattomien lukumäärä on yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä. Tällaisen järjestelmän matriisi on neliö, eli siinä olevien rivien lukumäärä on yhtä suuri kuin sarakkeiden lukumäärä.

Esimerkki 2. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Kun ratkaisimme lineaarisia yhtälöjärjestelmiä koulumenetelmillä, kerroimme yhtä yhtälöistä termi kerrallaan siten, että kahden yhtälön ensimmäisen muuttujan kertoimet olivat vastakkaisia ​​lukuja. Kun lisäät yhtälöitä, tämä muuttuja eliminoidaan. Gaussin menetelmä toimii samalla tavalla.

Ratkaisun ulkonäön yksinkertaistamiseksi luodaan laajennettu matriisi järjestelmästä:

Tässä matriisissa tuntemattomien kertoimet sijaitsevat vasemmalla ennen pystyviivaa ja vapaat termit oikealla pystyviivan jälkeen.

Muuttujien jakokertoimien helpottamiseksi (jako yksiköllä) Vaihdetaan järjestelmämatriisin ensimmäinen ja toinen rivi. Saamme tätä vastaavan järjestelmän, koska lineaarisessa yhtälöjärjestelmässä yhtälöt voidaan vaihtaa keskenään:

Käyttämällä uutta ensimmäistä yhtälöä poista muuttuja x toisesta ja kaikista myöhemmistä yhtälöistä. Tätä varten lisäämme matriisin toiselle riville ensimmäisen rivin kerrottuna (meidän tapauksessamme:lla), kolmanteen riviin - ensimmäiseen riviin, kerrottuna (meidän tapauksessamme :lla).

Tämä on mahdollista, koska

Jos järjestelmässämme olisi enemmän kuin kolme yhtälöä, meidän olisi lisättävä kaikkiin seuraaviin yhtälöihin ensimmäinen rivi kerrottuna vastaavien kertoimien suhteella otettuna miinusmerkillä.

Tuloksena saadaan matriisi, joka vastaa tätä uuden yhtälöjärjestelmän järjestelmää, jossa kaikki yhtälöt, alkaen toisesta eivät sisällä muuttujaa x :

Tuloksena olevan järjestelmän toisen rivin yksinkertaistamiseksi kerro se ja hanki tätä järjestelmää vastaavan yhtälöjärjestelmän matriisi:

Nyt, pitäen tuloksena olevan järjestelmän ensimmäinen yhtälö muuttumattomana, toista yhtälöä käyttämällä eliminoimme muuttujan y kaikista myöhemmistä yhtälöistä. Tätä varten lisäämme järjestelmämatriisin kolmanteen riviin toisen rivin kerrottuna (meidän tapauksessamme arvolla ).

Jos järjestelmässämme olisi enemmän kuin kolme yhtälöä, meidän olisi lisättävä kaikkiin seuraaviin yhtälöihin toinen rivi, joka kerrotaan vastaavien miinusmerkillä otettujen kertoimien suhteella.

Tuloksena saadaan jälleen tätä lineaarista yhtälöjärjestelmää vastaavan järjestelmän matriisi:

Olemme saaneet vastaavan puolisuunnikkaan lineaariyhtälöjärjestelmän:

Jos yhtälöiden ja muuttujien määrä on suurempi kuin esimerkissämme, muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi jatkuu, kunnes järjestelmämatriisista tulee puolisuunnikkaan muotoinen, kuten demo-esimerkissämme.

Löydämme ratkaisun "lopusta" - käänteinen liike. Tätä varten viimeisestä yhtälöstä, jonka määritämme z:
.
Korvaa tämä arvo edelliseen yhtälöön, löydämme y:

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme x:

Vastaus: ratkaisu tähän yhtälöjärjestelmään on .

: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, tämä on vastaus, ja tämä on tämän oppitunnin viidennen osan aihe.

Ratkaise itse lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä ja katso sitten ratkaisua

Tässä on jälleen esimerkki johdonmukaisesta ja määrätystä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä. Ero demoesimerkistämme algoritmista on se, että yhtälöitä on jo neljä ja tuntematonta.

Esimerkki 4. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Nyt sinun on käytettävä toista yhtälöä muuttujan poistamiseksi myöhemmistä yhtälöistä. Tehdään valmistelutyöt. Jotta kertoimien suhteen olisi helpompi käyttää, sinun on saatava yksi toisen rivin toisesta sarakkeesta. Tee tämä vähentämällä kolmas toisesta rivistä ja kertomalla tuloksena oleva toinen rivi -1:llä.

Suoritetaan nyt muuttujan todellinen eliminointi kolmannesta ja neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä kolmannelle riville toisen rivin kerrottuna luvulla ja neljännelle riville kertomalla toisen rivin.

Nyt käyttämällä kolmatta yhtälöä poistamme muuttujan neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä kolmannen rivin neljännelle riville kerrottuna . Saamme laajennetun puolisuunnikkaan matriisin.

Saimme yhtälöjärjestelmän, jonka kanssa annettu järjestelmä vastaa:

Näin ollen tuloksena saadut ja annetut järjestelmät ovat yhteensopivia ja täsmällisiä. Löydämme lopullisen ratkaisun "lopusta". Neljännestä yhtälöstä voimme suoraan ilmaista muuttujan "x-neljä" arvon:

Korvaamme tämän arvon järjestelmän kolmanteen yhtälöön ja saamme

,

,

Lopuksi arvon korvaaminen

Ensimmäinen yhtälö antaa

,

mistä löydämme "x ensin":

Vastaus: tällä yhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu .

Voit myös tarkistaa järjestelmän ratkaisun laskimella Cramerin menetelmällä: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Sovellettujen ongelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä metalliseosten tehtävän esimerkin avulla

Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä käytetään todellisten esineiden mallintamiseen fyysisessä maailmassa. Ratkaistaan ​​yksi näistä ongelmista - seokset. Samanlaisia ​​ongelmia ovat sekoitusongelmat, yksittäisten tavaroiden hinta tai osuus tavararyhmästä ja vastaavat.

Esimerkki 5. Kolmen metalliseoksen kappaleen kokonaismassa on 150 kg. Ensimmäinen seos sisältää 60% kuparia, toinen - 30%, kolmas - 10%. Lisäksi toisessa ja kolmannessa lejeeringissä yhteensä on 28,4 kg vähemmän kuparia kuin ensimmäisessä lejeeringissä ja kolmannessa lejeeringissä 6,2 kg vähemmän kuparia kuin toisessa. Etsi seoksen jokaisen kappaleen massa.

Ratkaisu. Muodostamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän:

Kerrotaan toinen ja kolmas yhtälö 10:llä, saadaan vastaava lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Luomme järjestelmästä laajennetun matriisin:

Huomio, suoraan eteenpäin. Lisäämällä (tässä tapauksessamme vähentämällä) yhden rivin kerrottuna luvulla (käytämme sitä kahdesti), järjestelmän laajennetun matriisin kanssa tapahtuu seuraavat muunnokset:

Suora siirto on ohi. Saimme laajennetun puolisuunnikkaan matriisin.

Käytämme käänteistä liikettä. Löydämme ratkaisun lopusta. Näemme sen.

Toisesta yhtälöstä löydämme

Kolmannesta yhtälöstä -

Voit myös tarkistaa järjestelmän ratkaisun laskimella Cramerin menetelmällä: tässä tapauksessa annetaan sama vastaus, jos järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Gaussin menetelmän yksinkertaisuudesta todistaa se, että saksalaiselta matemaatikko Carl Friedrich Gaussilta kesti vain 15 minuuttia sen keksimiseen. Hänen mukaansa nimetyn menetelmän lisäksi Gaussin teoksista tunnetaan sanonta ”Emme saa sekoittaa sitä mikä näyttää meille uskomattomalta ja luonnottomalta täysin mahdottomaan” - eräänlainen lyhyt ohje löytöjen tekemiseen.

Monissa sovelletuissa tehtävissä ei välttämättä ole kolmatta rajoitusta, eli kolmatta yhtälöä, jolloin sinun on ratkaistava kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta Gaussin menetelmällä, tai päinvastoin tuntemattomia on vähemmän kuin yhtälöitä. Nyt alamme ratkaista tällaisia ​​yhtälöjärjestelmiä.

Gaussin menetelmää käyttämällä voit määrittää, onko jokin järjestelmä yhteensopiva vai yhteensopimaton n lineaariset yhtälöt kanssa n muuttujia.

Gaussin menetelmä ja lineaariset yhtälöt, joissa on ääretön määrä ratkaisuja

Seuraava esimerkki on johdonmukainen mutta määrittelemätön lineaarinen yhtälöjärjestelmä, eli jolla on ääretön määrä ratkaisuja.

Kun järjestelmän laajennetussa matriisissa on tehty muunnoksia (rivien uudelleenjärjestely, rivien kertominen ja jakaminen tietyllä numerolla, toisen lisääminen yhdelle riville), lomakkeen rivejä saattaa ilmestyä

Jos kaikissa yhtälöissä on muoto

Vapaat termit ovat yhtä kuin nolla, mikä tarkoittaa, että järjestelmä on epämääräinen, eli sillä on ääretön määrä ratkaisuja, ja tämän tyyppiset yhtälöt ovat "tarpeetonta" ja suljemme ne pois järjestelmästä.

Esimerkki 6.

Ratkaisu. Luodaan järjestelmästä laajennettu matriisi. Sitten, käyttämällä ensimmäistä yhtälöä, poistamme muuttujan myöhemmistä yhtälöistä. Voit tehdä tämän lisäämällä toiselle, kolmannelle ja neljännelle riville ensimmäinen kerrottuna:

Lisätään nyt toinen rivi kolmanteen ja neljänteen.

Tämän seurauksena pääsemme järjestelmään

Kaksi viimeistä yhtälöä muuttuivat muodon yhtälöiksi. Nämä yhtälöt täyttyvät mille tahansa tuntemattomien arvolle ja ne voidaan hylätä.

Toisen yhtälön täyttämiseksi voimme valita mielivaltaiset arvot kohteille ja, jolloin arvo määritetään yksilöllisesti: . Ensimmäisestä yhtälöstä arvo löytyy myös yksiselitteisesti: .

Sekä annettu että viimeinen järjestelmä ovat johdonmukaisia, mutta epävarmoja, ja kaavat

mielivaltaiselle ja anna meille kaikki tietyn järjestelmän ratkaisut.

Gaussin menetelmä ja lineaariset yhtälöt ilman ratkaisuja

Seuraava esimerkki on epäjohdonmukainen lineaarinen yhtälöjärjestelmä, eli sellainen, jolla ei ole ratkaisuja. Vastaus tällaisiin ongelmiin on muotoiltu näin: järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Kuten ensimmäisen esimerkin yhteydessä jo mainittiin, muunnosten suorittamisen jälkeen järjestelmän laajennetussa matriisissa voisi esiintyä lomakkeen rivejä

joka vastaa muodon yhtälöä

Jos niiden joukossa on ainakin yksi yhtälö, jossa on nollasta poikkeava vapaa termi (eli ), tämä yhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen, eli sillä ei ole ratkaisuja ja sen ratkaisu on täydellinen.

Esimerkki 7. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä:

Ratkaisu. Muodostamme laajennetun matriisin järjestelmästä. Käyttämällä ensimmäistä yhtälöä jätämme muuttujan pois myöhemmistä yhtälöistä. Tee tämä lisäämällä ensimmäinen rivi kerrottuna toiselle riville, ensimmäinen rivi kerrottuna kolmannella rivillä ja ensimmäinen rivi kerrottuna neljännellä rivillä.

Nyt sinun on käytettävä toista yhtälöä muuttujan poistamiseksi myöhemmistä yhtälöistä. Saadaksemme kertoimien kokonaislukusuhteet, vaihdamme järjestelmän laajennetun matriisin toisen ja kolmannen rivin.

Jos haluat sulkea pois kolmannen ja neljännen yhtälön, lisää toinen kerrottuna luvulla kolmanteen riviin ja toinen kerrottuna luvulla neljännelle riville.

Nyt käyttämällä kolmatta yhtälöä poistamme muuttujan neljännestä yhtälöstä. Voit tehdä tämän lisäämällä kolmannen rivin neljännelle riville kerrottuna .

Annettu järjestelmä vastaa siis seuraavaa:

Tuloksena oleva järjestelmä on epäjohdonmukainen, koska sen viimeistä yhtälöä ei voida täyttää millään tuntemattomien arvoilla. Siksi tällä järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Tällä oppitunnilla tarkastellaan menetelmiä lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi. Korkeamman matematiikan kurssilla lineaariyhtälöjärjestelmät on ratkaistava sekä erillisten tehtävien muodossa, esimerkiksi "Ratkaise järjestelmä Cramerin kaavoilla", että muiden ongelmien ratkaisun aikana. Lineaarisia yhtälöjärjestelmiä on käsiteltävä lähes kaikilla korkeamman matematiikan aloilla.

Ensin vähän teoriaa. Mitä matemaattinen sana "lineaarinen" tarkoittaa tässä tapauksessa? Tämä tarkoittaa, että järjestelmän yhtälöt Kaikki muuttujat mukana ensimmäisessä asteessa: ilman mitään hienoja juttuja, kuten jne., joista vain matematiikan olympialaisten osallistujat ovat iloisia.

Korkeammassa matematiikassa ei käytetä vain lapsuudesta tuttuja kirjaimia muuttujien merkitsemiseen.
Melko suosittu vaihtoehto ovat muuttujat indekseillä: .
Tai latinalaisten aakkosten alkukirjaimet, pienet ja suuret:
Ei ole niin harvinaista löytää kreikkalaisia ​​kirjaimia: – monet tuntevat ne "alfa, beta, gamma". Ja myös sarja indekseillä, esimerkiksi kirjaimella "mu":

Yhden tai toisen kirjainjoukon käyttö riippuu korkeamman matematiikan osasta, jossa kohtaamme lineaarisen yhtälöjärjestelmän. Joten esimerkiksi integraaleja ja differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa havaittavissa lineaarisissa yhtälöjärjestelmissä on perinteistä käyttää merkintää

Mutta riippumatta siitä, kuinka muuttujat nimetään, lineaarisen yhtälöjärjestelmän periaatteet, menetelmät ja menetelmät eivät muutu. Joten jos törmäät johonkin pelottavaan, kuten , älä kiirehdi sulkemaan ongelmakirjaa pelossa, sillä voithan sen sijaan piirtää auringon, sen sijaan linnun ja sen sijaan kasvot (opettajan). Ja niin hassulta kuin se saattaakin näyttää, lineaarinen yhtälöjärjestelmä näillä merkinnöillä voidaan myös ratkaista.

Minulla on tunne, että artikkelista tulee melko pitkä, joten pieni sisällysluettelo. Joten peräkkäinen "selvitys" on tällainen:

– Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä ("koulumenetelmä");
– Systeemin ratkaiseminen systeemiyhtälöiden termi kerrallaan lisäämisellä (vähennyksellä).;
– Järjestelmän ratkaisu Cramerin kaavoilla;
– Järjestelmän ratkaiseminen käänteismatriisin avulla;
– Järjestelmän ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Lineaariyhtälöjärjestelmät ovat kaikille tuttuja koulumatematiikan kursseista. Pohjimmiltaan aloitamme toistolla.

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen korvausmenetelmällä

Tätä menetelmää voidaan kutsua myös "koulumenetelmäksi" tai menetelmäksi tuntemattomien poistamiseksi. Kuvaannollisesti sitä voidaan kutsua myös "keskeneräiseksi Gaussin menetelmäksi".

Esimerkki 1

Tässä annetaan kahden yhtälön järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta. Huomaa, että vapaat termit (numerot 5 ja 7) sijaitsevat yhtälön vasemmalla puolella. Yleisesti ottaen sillä ei ole väliä missä ne ovat, vasemmalla vai oikealla, vaan korkeamman matematiikan ongelmissa ne usein sijaitsevat tuolla tavalla. Ja tällaisen tallennuksen ei pitäisi johtaa sekaannukseen; tarvittaessa järjestelmä voidaan aina kirjoittaa "tavalliseen tapaan": . Älä unohda, että kun termiä siirretään osasta osaan, sen on vaihdettava merkkiään.

Mitä tarkoittaa lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen? Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa monien sen ratkaisujen löytämistä. Järjestelmän ratkaisu on joukko kaikkien siihen sisältyvien muuttujien arvoja, joka muuttaa JOKAINEN järjestelmän yhtälö todelliseksi tasa-arvoksi. Lisäksi järjestelmä voi olla ei-nivel (ei ratkaisuja).Älä ole ujo, tämä on yleinen määritelmä =) Meillä on vain yksi "x"-arvo ja yksi "y"-arvo, jotka täyttävät jokaisen c-we-yhtälön.

Järjestelmän ratkaisemiseen on olemassa graafinen menetelmä, johon voit tutustua tunnilla. Yksinkertaisimmat ongelmat linjalla. Siellä puhuin geometrinen tunne kahden lineaarisen yhtälön järjestelmät, joissa on kaksi tuntematonta. Mutta nyt tämä on algebran ja numeroiden-lukujen, toimien-toimien aikakautta.

Päätetään: ensimmäisestä yhtälöstä ilmaisemme:
Korvaamme tuloksena olevan lausekkeen toiseen yhtälöön:

Avaamme sulut, lisäämme samanlaisia ​​termejä ja löydämme arvon:

Seuraavaksi muistetaan, mitä varten tanssimme:
Tiedämme jo arvon, jäljellä on vain löytää:

Vastaus:

Kun JOKAINEN yhtälöjärjestelmä on ratkaistu millä tahansa tavalla, suosittelen tarkistamista (suullisesti, luonnoksella tai laskimella). Onneksi tämä onnistuu helposti ja nopeasti.

1) Korvaa löydetty vastaus ensimmäiseen yhtälöön:

– oikea tasa-arvo saavutetaan.

2) Korvaa löydetty vastaus toiseen yhtälöön:

– oikea tasa-arvo saavutetaan.

Tai yksinkertaisemmin sanottuna "kaikki tuli yhteen"

Tarkasteltu ratkaisumenetelmä ei ole ainoa; ensimmäisestä yhtälöstä oli mahdollista ilmaista , eikä .
Voit tehdä päinvastoin - ilmaista jotain toisesta yhtälöstä ja korvaa se ensimmäisellä yhtälöllä. Muuten, huomaa, että epäedullisin neljästä menetelmästä on ilmaista toisesta yhtälöstä:

Tuloksena on murto-osia, mutta miksi? On olemassa järkevämpi ratkaisu.

Joissakin tapauksissa et kuitenkaan tule toimeen ilman murtolukuja. Tässä yhteydessä haluaisin kiinnittää huomionne siihen, MITEN kirjoitin ilmaisun muistiin. Ei näin: eikä missään tapauksessa näin: .

Jos korkeammassa matematiikassa käsittelet murtolukuja, yritä suorittaa kaikki laskelmat tavallisilla väärillä murtoluvuilla.

Juuri ja ei tai!

Pilkkua voidaan käyttää vain toisinaan, varsinkin jos se on lopullinen vastaus johonkin ongelmaan, eikä tällä numerolla tarvitse tehdä muita toimenpiteitä.

Monet lukijat luultavasti ajattelivat, että "miksi niin yksityiskohtainen selitys kuin korjausluokalle, kaikki on selvää." Ei mitään sellaista, se näyttää niin yksinkertaiselta kouluesimerkiltä, ​​mutta siinä on niin monia ERITTÄIN tärkeitä johtopäätöksiä! Tässä toinen:

Sinun tulee pyrkiä suorittamaan mikä tahansa tehtävä rationaalisimmalla tavalla. Jos vain siksi, että se säästää aikaa ja hermoja ja vähentää myös virheen tekemisen todennäköisyyttä.

Jos korkeamman matematiikan tehtävässä törmäät kahden lineaarisen yhtälön järjestelmään, jossa on kaksi tuntematonta, voit aina käyttää korvausmenetelmää (ellei ole osoitettu, että järjestelmä on ratkaistava jollakin muulla menetelmällä). luulet olevasi paskiainen ja alentaa arvosanaasi "koulumenetelmän" käytöstä"
Lisäksi joissakin tapauksissa on suositeltavaa käyttää korvausmenetelmää suuremmalla määrällä muuttujia.

Esimerkki 2

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta

Samanlainen yhtälöjärjestelmä syntyy usein käytettäessä niin kutsuttua epämääräisten kertoimien menetelmää, kun löydämme rationaalisen murtofunktion integraalin. Kyseinen järjestelmä otin sieltä.

Integraalia löydettäessä tavoite on nopeasti löytää kertoimien arvot sen sijaan, että käytät Cramerin kaavoja, käänteismatriisimenetelmää jne. Siksi tässä tapauksessa korvausmenetelmä on sopiva.

Kun annetaan mikä tahansa yhtälöjärjestelmä, on ensinnäkin toivottavaa selvittää, voidaanko sitä jotenkin yksinkertaistaa VÄLITTÖMÄSTI? Analysoimalla järjestelmän yhtälöitä huomaamme, että järjestelmän toinen yhtälö voidaan jakaa kahdella, mitä teemme:

Viite: matemaattinen merkki tarkoittaa "tästä seuraa että" ja sitä käytetään usein ongelmanratkaisussa.

Analysoidaan nyt yhtälöitä; meidän on ilmaistava jokin muuttuja muiden suhteen. Mikä yhtälö minun pitäisi valita? Olet luultavasti jo arvannut, että helpoin tapa tähän tarkoitukseen on ottaa järjestelmän ensimmäinen yhtälö:

Täällä, riippumatta siitä mitä muuttujaa ilmaistaan, voidaan yhtä helposti ilmaista tai .

Seuraavaksi korvaamme lausekkeen for järjestelmän toiseen ja kolmanteen yhtälöön:

Avaamme sulut ja esittelemme samanlaiset ehdot:

Jaa kolmas yhtälö kahdella:

Toisesta yhtälöstä ilmaisemme ja korvaamme kolmanteen yhtälöön:

Melkein kaikki on valmista, kolmannesta yhtälöstä löydämme:
Toisesta yhtälöstä:
Ensimmäisestä yhtälöstä:

Tarkista: Korvaa muuttujien löydetyt arvot järjestelmän kunkin yhtälön vasemmalle puolelle:

1)
2)
3)

Yhtälöiden vastaavat oikeat puolet saadaan, jolloin ratkaisu löytyy oikein.

Esimerkki 3

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa on 4 tuntematonta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

Systeemin ratkaiseminen systeemiyhtälöiden termi kerrallaan lisäämisellä (vähentämisellä).

Kun ratkaiset lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, sinun ei pitäisi yrittää käyttää "koulumenetelmää", vaan menetelmää, jossa järjestelmän yhtälöt lisätään termi kerrallaan (vähennys). Miksi? Tämä säästää aikaa ja yksinkertaistaa laskelmia, mutta nyt kaikki selkenee.

Esimerkki 4

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Otin saman järjestelmän kuin ensimmäisessä esimerkissä.
Yhtälöjärjestelmää analysoimalla huomaamme, että muuttujan kertoimet ovat suuruudeltaan identtisiä ja etumerkillisesti vastakkaisia ​​(–1 ja 1). Tällaisessa tilanteessa yhtälöt voidaan lisätä termi kerrallaan:

Punaisella ympyröidyt toiminnot suoritetaan HENKILÖSTÄ.
Kuten näet, menetimme muuttujan termi kerrallaan lisäämisen seurauksena. Tämä itse asiassa on mitä menetelmän ydin on päästä eroon yhdestä muuttujasta.

§1. Lineaariyhtälöjärjestelmät.

Näytä järjestelmä

kutsutaan järjestelmäksi m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon.

Tässä
- tuntematon, - tuntemattomien kertoimet,
- yhtälöiden vapaat ehdot.

Jos kaikki yhtälöiden vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla, järjestelmää kutsutaan homogeeninen.Päätöksellä järjestelmää kutsutaan numerokokoelmaksi
, kun ne korvataan järjestelmään tuntemattomien sijaan, kaikki yhtälöt muuttuvat identiteeteiksi. Järjestelmää kutsutaan liitos, jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Yhteensopivaa järjestelmää, jolla on ainutlaatuinen ratkaisu, kutsutaan varma. Näitä kahta järjestelmää kutsutaan vastaava, jos niiden ratkaisujen joukot ovat samat.

Järjestelmä (1) voidaan esittää matriisimuodossa yhtälön avulla

(2)

.

§2. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien yhteensopivuus.

Kutsutaan järjestelmän (1) laajennettua matriisia matriisiksi

Kronecker-Capellin lause. Järjestelmä (1) on johdonmukainen silloin ja vain, jos järjestelmämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys:

.

§3. Järjestelmäratkaisun lineaariset yhtälöt kanssan tuntematon.

Harkitse epähomogeenista järjestelmää n lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon:

(3)

Cramerin lause.Jos järjestelmän päädeterminantti (3)
, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka määritetään kaavoilla:

nuo.
,

Missä - determinantista saatu determinantti korvaus sarakkeesta vapaiden jäsenten sarakkeeseen.

Jos
, ja ainakin yksi niistä ≠0, järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Jos
, niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua.

Järjestelmä (3) voidaan ratkaista käyttämällä sen matriisimuotoa (2). Jos matriisin sijoitus A on yhtä suuri n, eli
, sitten matriisi A on käänteinen
. Matriisiyhtälön kertominen
matriisiin
vasemmalla, saamme:

.

Viimeinen yhtälö ilmaisee menetelmän lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi käänteismatriisin avulla.

Esimerkki. Ratkaise yhtälöjärjestelmä käänteismatriisin avulla.

Ratkaisu. Matriisi
ei rappeutunut, koska
, mikä tarkoittaa, että on olemassa käänteinen matriisi. Lasketaan käänteismatriisi:
.

,

Harjoittele. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä.

§4. Mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen.

Olkoon (1) muotoinen epähomogeeninen lineaariyhtälöjärjestelmä.

Oletetaan, että järjestelmä on johdonmukainen, ts. Kronecker-Capellin lauseen ehto täyttyy:
. Jos matriisin sijoitus
(tuntemattomien lukumäärä), järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. Jos
, niin järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua. Anna minun selittää.

Olkoon matriisin arvo r(A)= r< n. Koska
, sitten on jokin nollasta poikkeava molli järjestys r. Kutsutaan sitä perus-molliksi. Tuntemattomia, joiden kertoimet muodostavat perus-mollin, kutsutaan perusmuuttujiksi. Kutsumme jäljellä olevia tuntemattomia vapaiksi muuttujiksi. Järjestetään yhtälöt uudelleen ja numeroidaan muuttujat uudelleen niin, että tämä sivu sijaitsee järjestelmämatriisin vasemmassa yläkulmassa:

.

Ensimmäinen r rivit ovat lineaarisesti riippumattomia, loput ilmaistaan ​​niiden kautta. Siksi nämä rivit (yhtälöt) voidaan hylätä. Saamme:

Annetaan vapaille muuttujille mielivaltaiset numeeriset arvot: . Jätetään vain perusmuuttujat vasemmalle ja siirretään vapaat oikealle puolelle.

Sain järjestelmän r lineaariset yhtälöt kanssa r tuntematon, jonka determinantti on eri kuin 0. Sillä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Tätä järjestelmää kutsutaan lineaariyhtälöjärjestelmän (1) yleiseksi ratkaisuksi. Muuten: kutsutaan perusmuuttujien ilmaisua vapaiden muuttujien kautta yleinen päätös järjestelmät. Siitä voi saada äärettömän määrän yksityisiä ratkaisuja, antaa vapaille muuttujille mielivaltaisia ​​arvoja. Kutsutaan tietty ratkaisu, joka on saatu yleisestä vapaan muuttujan nolla-arvoille perusratkaisu. Erilaisten perusratkaisujen määrä ei ylitä
. Perusratkaisua, jossa on ei-negatiivisia komponentteja, kutsutaan tukea järjestelmäratkaisu.

Esimerkki.

,r=2.

Muuttujat
- perus,
- vapaa.

Lasketaan yhteen yhtälöt; ilmaistaan
kautta
:

- yhteinen päätös.

- yksityinen ratkaisu
.

- perusratkaisu, viite.

§5. Gaussin menetelmä.

Gaussin menetelmä on universaali menetelmä mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien tutkimiseen ja ratkaisemiseen. Se koostuu järjestelmän pelkistämisestä diagonaaliseen (tai kolmiomaiseen) muotoon eliminoimalla peräkkäin tuntemattomat käyttämällä alkeismuunnoksia, jotka eivät riko järjestelmien vastaavuutta. Muuttuja katsotaan poissuljetuksi, jos se sisältyy vain yhteen järjestelmän yhtälöön kertoimella 1.

Elementaariset muunnokset järjestelmät ovat:

Kerrotaan yhtälö muulla kuin nollalla;

Millä tahansa luvulla kerrotun yhtälön lisääminen toiseen yhtälöön;

Yhtälöiden uudelleenjärjestely;

Hylkäämällä yhtälö 0 = 0.

Alkuperäisiä muunnoksia ei voida suorittaa yhtälöille, vaan tuloksena olevien ekvivalenttijärjestelmien laajennetuille matriiseille.

Esimerkki.

Ratkaisu. Kirjataan muistiin järjestelmän laajennettu matriisi:

.

Suorittamalla alkeismuunnoksia pienennämme matriisin vasemman puolen yksikkömuotoon: luomme ykkösiä päädiagonaaliin ja nollia sen ulkopuolelle.

Kommentti. Jos alkeismuunnoksia suoritettaessa saadaan yhtälö muotoa 0 = k(Missä Vastaanottaja0), silloin järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisu tuntemattomien peräkkäisen eliminoinnin menetelmällä voidaan kirjoittaa muotoon taulukoita.

Taulukon vasen sarake sisältää tietoja poissuljetuista (perus)muuttujista. Loput sarakkeet sisältävät tuntemattomien kertoimet ja yhtälöiden vapaat termit.

Järjestelmän laajennettu matriisi tallennetaan lähdetaulukkoon. Seuraavaksi alamme suorittaa Jordan-muunnoksia:

1. Valitse muuttuja , josta tulee perusta. Vastaavaa saraketta kutsutaan avainsarakkeeksi. Valitse yhtälö, jossa tämä muuttuja jää muiden yhtälöiden ulkopuolelle. Vastaavaa taulukon riviä kutsutaan avainriviksi. Kerroin , joka seisoo avainrivin ja avainsarakkeen leikkauskohdassa, kutsutaan avaimeksi.

2. Avainmerkkijonoelementit on jaettu avainelementtiin.

3. Avainsarake on täytetty nolilla.

4. Loput elementit lasketaan suorakaidesäännön avulla. Muodosta suorakulmio, jonka vastakkaisissa pisteissä on avainelementti ja uudelleen laskettu elementti; suorakulmion lävistäjällä sijaitsevien elementtien tulosta avainelementin kanssa vähennetään toisen lävistäjän alkioiden tulo ja tuloksena saatu ero jaetaan avainelementillä.

Esimerkki. Etsi yhtälöjärjestelmän yleisratkaisu ja perusratkaisu:

Ratkaisu.

Järjestelmän yleinen ratkaisu:

Perusratkaisu:
.

Yksittäinen korvausmuunnos mahdollistaa siirtymisen järjestelmän kannasta toiseen: yhden päämuuttujan sijasta yksi vapaista muuttujista tuodaan kantaan. Voit tehdä tämän valitsemalla avainelementin vapaan muuttujan sarakkeesta ja suorittamalla muunnoksia yllä olevan algoritmin mukaisesti.

§6. Tukiratkaisujen löytäminen

Lineaariyhtälöjärjestelmän vertailuratkaisu on perusratkaisu, joka ei sisällä negatiivisia komponentteja.

Järjestelmän vertailuratkaisut löydetään Gaussin menetelmällä, kun seuraavat ehdot täyttyvät.

1. Alkuperäisessä järjestelmässä kaikkien ilmaisten ehtojen on oltava ei-negatiivisia:
.

2. Avainelementti valitaan positiivisten kertoimien joukosta.

3. Jos kantaan lisätyllä muuttujalla on useita positiivisia kertoimia, niin avainviiva on se, jossa vapaan termin suhde positiiviseen kertoimeen on pienin.

Huomautus 1. Jos tuntemattomien eliminointiprosessissa ilmaantuu yhtälö, jossa kaikki kertoimet ovat ei-positiivisia ja vapaa termi
, silloin järjestelmässä ei ole ei-negatiivisia ratkaisuja.

Muistio 2. Jos vapaiden muuttujien kertoimien sarakkeissa ei ole yhtä positiivista elementtiä, siirtyminen toiseen vertailuratkaisuun on mahdotonta.

Esimerkki.