Kaikki murtolukuihin liittyvät säännöt. Tavallisten murtolukujen aritmeettisten operaatioiden säännöt

Tässä artikkelissa tarkastellaan murtolukujen operaatioita. Muodostetaan ja perustellaan säännöt A B-muotoisten murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- tai eksponentioille, joissa A ja B voivat olla lukuja, numeerisia lausekkeita tai muuttujia sisältäviä lausekkeita. Lopuksi tarkastellaan esimerkkejä ratkaisuista, joissa on yksityiskohtaiset kuvaukset.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Säännöt operaatioiden suorittamiseen yleisillä numeerisilla murtoluvuilla

Yleisillä murtoluvuilla on osoittaja ja nimittäjä, jotka sisältävät luonnollisia lukuja tai numeerisia lausekkeita. Jos otamme huomioon murtoluvut, kuten 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, silloin on selvää, että osoittajassa ja nimittäjässä voi olla paitsi lukuja, myös erityyppisiä lausekkeita.

Määritelmä 1

On olemassa sääntöjä, joiden mukaan operaatiot tavallisilla jakeilla suoritetaan. Se sopii myös yleisille jakeille:

• Kun vähennetään murto-osia samanlaisilla nimittäjillä, vain osoittajat lisätään, ja nimittäjä pysyy samana, nimittäin: a d ± c d = a ± c d, arvot a, c ja d ≠ 0 ovat joitain lukuja tai numeerisia lausekkeita.
• Kun lisäät tai vähennät murtolukua eri nimittäjillä, se on vähennettävä yhteiseksi nimittäjäksi ja sitten laskettava tai vähennettävä saadut murtoluvut samoilla eksponenteilla. Kirjaimellisesti se näyttää tältä: a b ± c d = a · p ± c · r s, jossa arvot a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 ovat reaalilukuja, ja b · p = d · r = s. Kun p = d ja r = b, niin a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• Murtolukuja kerrottaessa toiminto suoritetaan osoittajilla, minkä jälkeen nimittäjillä, jolloin saadaan a b · c d = a · c b · d, missä a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 toimivat reaalilukuina.
• Kun murto-osa jaetaan murtoluvulla, kerrotaan ensimmäinen toisella käänteisluvulla, eli vaihdetaan osoittaja ja nimittäjä: a b: c d = a b · d c.

Sääntöjen perustelut

On seuraavat matemaattiset seikat, joihin sinun tulee luottaa laskettaessa:

• kauttaviiva tarkoittaa jakomerkkiä;
• luvulla jakamista käsitellään kertomalla sen käänteisarvolla;
• operaatioiden ominaisuuden soveltaminen reaalilukujen kanssa;
• murtolukujen ja numeeristen epäyhtälöiden perusominaisuuden soveltaminen.

Heidän avullaan voit suorittaa lomakkeen muunnoksia:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Esimerkkejä

Edellisessä kappaleessa puhuttiin operaatioista murtolukujen kanssa. Tämän jälkeen murto-osaa on yksinkertaistettava. Tätä aihetta käsiteltiin yksityiskohtaisesti murtolukujen muuntamista käsittelevässä kappaleessa.

Katsotaanpa ensin esimerkkiä samalla nimittäjällä olevien murtolukujen lisäämisestä ja vähentämisestä.

Esimerkki 1

Kun otetaan huomioon murtoluvut 8 2, 7 ja 1 2, 7, niin säännön mukaan on tarpeen lisätä osoittaja ja kirjoittaa nimittäjä uudelleen.

Ratkaisu

Sitten saamme murto-osan muodosta 8 + 1 2, 7. Suoritetun summauksen jälkeen saadaan murto-osa muotoa 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Joten 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Vastaus: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

On toinenkin ratkaisu. Aluksi siirrymme tavallisen murto-osan muotoon, jonka jälkeen suoritamme yksinkertaistamisen. Se näyttää tältä:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Esimerkki 2

Vähennetään 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 murto-osa muodosta 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Koska samat nimittäjät on annettu, se tarkoittaa, että laskemme murto-osan, jolla on sama nimittäjä. Me ymmärrämme sen

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

On esimerkkejä murto-osien laskemisesta eri nimittäjillä. Tärkeä asia on pelkistys yhteiseksi nimittäjäksi. Ilman tätä emme voi suorittaa muita toimintoja murtoluvuilla.

Prosessi muistuttaa hämärästi pelkistämistä yhteiseksi nimittäjäksi. Toisin sanoen etsitään nimittäjän vähiten yhteinen jakaja, jonka jälkeen puuttuvat tekijät lisätään murtolukuihin.

Jos lisättävillä jakeilla ei ole yhteisiä tekijöitä, niiden tuotteesta voi tulla yksi.

Esimerkki 3

Katsotaanpa esimerkkiä murtolukujen 2 3 5 + 1 ja 1 2 yhteenlaskemisesta.

Ratkaisu

Tässä tapauksessa yhteinen nimittäjä on nimittäjien tulos. Sitten saamme, että 2 · 3 5 + 1. Sitten lisäkertoimia asetettaessa meillä on, että ensimmäiselle murtoluvulle se on 2 ja toiselle se on 3 5 + 1. Kertomisen jälkeen murtoluvut pelkistetään muotoon 4 2 · 3 5 + 1. Yleinen vähennys 1 2 on 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Lisäämme tuloksena saadut murtolausekkeet ja saamme sen

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Vastaus: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kun käsittelemme yleisiä murtolukuja, emme yleensä puhu alimmasta yhteisestä nimittäjästä. On kannattamatonta ottaa osoittajien tuloa nimittäjäksi. Ensin sinun on tarkistettava, onko olemassa numeroa, joka on arvoltaan pienempi kuin heidän tuotteensa.

Esimerkki 4

Tarkastellaan esimerkkiä 1 6 · 2 1 5 ja 1 4 · 2 3 5, kun niiden tulo on 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Otetaan sitten yhteiseksi nimittäjäksi 12 · 2 3 5.

Katsotaanpa esimerkkejä yleisten murtolukujen kertomisesta.

Esimerkki 5

Tätä varten sinun on kerrottava 2 + 1 6 ja 2 · 5 3 · 2 + 1.

Ratkaisu

Sääntöä noudattaen on tarpeen kirjoittaa uudelleen ja kirjoittaa osoittajien tulo nimittäjäksi. Saamme, että 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Kun murto-osa on kerrottu, voit tehdä vähennyksiä sen yksinkertaistamiseksi. Sitten 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Käyttämällä sääntöä siirtymisestä jakoluvusta kertomiseen käänteismurtoluvulla saadaan murtoluku, joka on annetun käänteisluku. Tätä varten osoittaja ja nimittäjä vaihdetaan. Katsotaanpa esimerkkiä:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Sitten niiden on kerrottava ja yksinkertaistettava tuloksena oleva murto-osa. Tarvittaessa päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä. Me ymmärrämme sen

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Vastaus: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Tätä kappaletta voidaan soveltaa, kun luku tai numeerinen lauseke voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1, jolloin operaatiota tällaisella murtoluvulla pidetään erillisenä kappaleena. Esimerkiksi lauseke 1 6 · 7 4 - 1 · 3 osoittaa, että luvun 3 juuri voidaan korvata toisella 3 1 -lausekkeella. Tällöin tämä merkintä näyttää muodon 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1 murtoluvun kertomiselta.

Operaatioiden suorittaminen muuttujia sisältäville fraktioille

Ensimmäisessä artikkelissa käsitellyt säännöt soveltuvat operaatioihin, joissa on muuttujia sisältäviä murtolukuja. Harkitse vähennyssääntöä, kun nimittäjät ovat samat.

On tarpeen todistaa, että A, C ja D (D ei ole yhtä suuri kuin nolla) voivat olla mitä tahansa lausekkeita ja yhtälö A D ± C D = A ± C D vastaa sen sallittujen arvojen aluetta.

On tarpeen ottaa joukko ODZ-muuttujia. Silloin A:n, C:n, D:n on otettava vastaavat arvot a 0 , c 0 ja d 0. Muodon A D ± C D korvaaminen johtaa muotoon a 0 d 0 ± c 0 d 0 erotuksen, jossa summaussääntöä käyttäen saadaan muotoa a 0 ± c 0 d 0 oleva kaava. Jos korvaamme lausekkeen A ± C D, niin saadaan sama murto-osa muotoa a 0 ± c 0 d 0. Tästä päättelemme, että valittua arvoa, joka täyttää ODZ:n, A ± C D ja A D ± C D, pidetään samanarvoisina.

Jokaiselle muuttujien arvolle nämä lausekkeet ovat yhtä suuret, eli niitä kutsutaan identtisesti yhtäläisiksi. Tämä tarkoittaa, että tätä lauseketta pidetään todistettavana yhtälönä muodossa A D ± C D = A ± C D .

Esimerkkejä murtolukujen yhteen- ja vähentämisestä muuttujien kanssa

Kun sinulla on samat nimittäjät, sinun tarvitsee vain lisätä tai vähentää osoittajat. Tätä fraktiota voidaan yksinkertaistaa. Joskus joudut työskentelemään murto-osien kanssa, jotka ovat identtisiä, mutta ensi silmäyksellä tämä ei ole havaittavissa, koska joitain muunnoksia on suoritettava. Esimerkiksi x 2 3 x 1 3 + 1 ja x 1 3 + 1 2 tai 1 2 sin 2 α ja sin a cos a. Useimmiten vaaditaan alkuperäisen lausekkeen yksinkertaistamista, jotta samoja nimittäjiä voidaan nähdä.

Esimerkki 6

Laske: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Ratkaisu

1. Laskemista varten sinun on vähennettävä murtoluvut, joilla on sama nimittäjä. Sitten saadaan, että x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Tämän jälkeen voit laajentaa sulkuja ja lisätä vastaavia termejä. Saamme, että x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Koska nimittäjät ovat samat, ei tarvitse muuta kuin lisätä osoittajat ja nimittäjä jätetään: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Lisäys on valmis. Voidaan nähdä, että murto-osaa on mahdollista pienentää. Sen osoittaja voidaan taittaa summan neliön kaavalla, jolloin saadaan (l g x + 2) 2 lyhennetyistä kertolaskukaavoista. Sitten saamme sen
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Annetut murtoluvut muotoa x - 1 x - 1 + x x + 1 eri nimittäjillä. Muutoksen jälkeen voit siirtyä lisäämiseen.

Harkitsemme kaksinkertaista ratkaisua.

Ensimmäinen menetelmä on, että ensimmäisen murto-osan nimittäjä kerrotaan neliöillä ja sen jälkeen vähennetään. Saamme osan lomakkeesta

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Joten x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Tässä tapauksessa on tarpeen päästä eroon irrationaalisuudesta nimittäjässä.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Toinen tapa on kertoa toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lausekkeella x - 1. Näin pääsemme eroon irrationaalisuudesta ja siirrymme lisäämään murtoluvut, joilla on sama nimittäjä. Sitten

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x · x - x x - 1

Vastaus: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Viimeisessä esimerkissä havaitsimme, että vähentäminen yhteiseen nimittäjään on väistämätöntä. Tätä varten sinun on yksinkertaistettava murtolukuja. Kun lisäät tai vähennät, sinun on aina etsittävä yhteinen nimittäjä, joka näyttää nimittäjien tulolta, ja osoittajiin on lisätty lisätekijöitä.

Esimerkki 7

Laske murto-osien arvot: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Ratkaisu

1. Nimittäjä ei vaadi monimutkaisia ​​laskelmia, joten sinun on valittava niiden tulo muodossa 3 x 7 + 2 · 2, ja valittava sitten lisäkertoimeksi ensimmäiselle murtoluvulle x 7 + 2 · 2 ja toiselle 3. Kerrottaessa saadaan murto-osa muotoa x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Voidaan nähdä, että nimittäjät esitetään tuotteen muodossa, mikä tarkoittaa, että lisämuunnokset ovat tarpeettomia. Yhteisenä nimittäjänä pidetään tuloa muotoa x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Siksi x 4 on lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle, ja ln(x + 1) toiselle. Sitten vähennetään ja saadaan:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1) ) · 2 x - 4 - sin x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - sin x · ln (x + 1) ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Tämä esimerkki on järkevä, kun käytetään murtolukunimittäjiä. Neliöiden eron ja summan neliön kaavoja on tarpeen soveltaa, koska niiden avulla voidaan siirtyä muotoa 1 olevaan lausekkeeseen cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Voidaan nähdä, että murtoluvut pelkistyvät yhteiseksi nimittäjäksi. Saamme, että cos x - x · cos x + x 2 .

Sitten saamme sen

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Vastaus:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - sin x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2 .

Esimerkkejä murtolukujen kertomisesta muuttujilla

Murtolukuja kerrottaessa osoittaja kerrotaan osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä. Sitten voit soveltaa vähennysominaisuutta.

Esimerkki 8

Kerro murtoluvut x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 ja 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Ratkaisu

Kertominen on tehtävä. Me ymmärrämme sen

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 n x + 1 synti (2 x - x)

Numero 3 siirretään ensimmäiseen paikkaan laskennan helpottamiseksi, ja voit pienentää murtolukua x 2:lla, niin saamme muodon lausekkeen

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 synti (2 x - x)

Vastaus: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · synti (2 · x - x) .

Division

Murtolukujen jako on samanlainen kuin kertolasku, koska ensimmäinen murtoluku kerrotaan toisella käänteisluvulla. Jos otamme esimerkiksi murto-osan x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 ja jaamme luvulla 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, niin se voidaan kirjoittaa seuraavasti

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , korvaa sitten tulolla muotoa x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Eksponentointi

Siirrytään tarkastelemaan operaatioita yleisten murtolukujen kanssa eksponentiolla. Jos potenssilla on luonnollinen eksponentti, toimintoa pidetään yhtäläisten murtolukujen kertolaskuna. Mutta on suositeltavaa käyttää yleistä lähestymistapaa, joka perustuu asteiden ominaisuuksiin. Mikä tahansa lauseke A ja C, joissa C ei ole identtisesti yhtä suuri kuin nolla, ja mikä tahansa reaali r ODZ:ssä muotoa A C r olevalle lausekkeelle yhtälö A C r = A r C r on voimassa. Tuloksena on potenssiin korotettu murto-osa. Harkitse esimerkiksi:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Toimenpide murtoluvuilla suoritettavien operaatioiden suorittamiseksi

Fraktioiden toiminnot suoritetaan tiettyjen sääntöjen mukaisesti. Käytännössä huomaamme, että lauseke voi sisältää useita murto-osia tai murto-lausekkeita. Sitten on tarpeen suorittaa kaikki toiminnot tiukassa järjestyksessä: nosta potenssiin, kerro, jaa, sitten lisää ja vähennä. Jos sulkuja on, ensimmäinen toiminto suoritetaan niissä.

Esimerkki 9

Laske 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Ratkaisu

Koska meillä on sama nimittäjä, niin 1 - x cos x ja 1 c o s x, mutta vähennyksiä ei voida suorittaa säännön mukaan, ensin suoritetaan suluissa olevat toimet, sitten kertolasku ja sitten yhteenlasku. Sitten laskettaessa saamme sen

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Kun lauseke korvataan alkuperäisellä, saadaan, että 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Murtolukuja kerrottaessa saamme: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Kun kaikki substituutiot on tehty, saadaan 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Nyt sinun on työskenneltävä murtolukujen kanssa, joilla on eri nimittäjät. Saamme:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Vastaus: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Aritmeettiset operaatiot tavallisilla murtoluvuilla

1. Lisäys.

Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki. .

Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on eri nimittäjä, sinun on vähennettävä ne pienimpään yhteiseen nimittäjään ja lisätään sitten tuloksena saadut osoittajat ja kirjoitettava yhteinen nimittäjä summan alle.

Esimerkki.

Lyhyesti sanottuna se on kirjoitettu näin:

Jos haluat lisätä sekalukuja, sinun on löydettävä erikseen kokonaislukujen ja murtolukujen summa. Toiminta on kirjoitettu näin:

2. Vähennys.

Vähentääksesi murto-osia, joilla on samanlainen nimittäjä, sinun on vähennettävä alaosan osoittaja minuutin osoittajasta ja jätettävä sama nimittäjä. Toiminta on kirjoitettu näin:

Vähentääksesi murto-osia, joilla on eri nimittäjä, sinun on ensin vähennettävä ne alimpaan yhteiseen nimittäjään, vähennettävä sitten minuutin osoittaja minuutin osoittajasta ja allekirjoitettava yhteinen nimittäjä niiden eron alle. Toiminta on kirjoitettu näin:

Jos sinun on vähennettävä yksi sekaluku toisesta sekaluvusta, vähennä, jos mahdollista, murto-osa murtoluvusta ja kokonaisuus kokonaisuudesta. Toiminta on kirjoitettu näin:

Jos vähennetyn murto-osuus on suurempi kuin minuutin murto-osa, ota yksi yksikkö minuutin kokonaisluvusta, jaa se sopiviin osuuksiin ja lisää se minuutin murto-osaan, minkä jälkeen edetään edellä kuvatulla tavalla. . Toiminta on kirjoitettu näin:

Tee sama asia, kun sinun on vähennettävä murto kokonaisluvusta.

Esimerkki. .

3. Yhteen- ja vähennysten ominaisuuksien laajentaminen murtolukuihin.Kaikki luonnollisten lukujen yhteen- ja vähennyslait ja ominaisuudet pätevät myös murtoluvuille. Niiden käyttö monissa tapauksissa yksinkertaistaa huomattavasti laskentaprosessia.

4. Kertominen.

Jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä ja tehtävä ensimmäisestä tulosta osoittaja ja toisesta tulosta nimittäjä.

Kun kerrot, sinun tulee tehdä (jos mahdollista) vähennys.

Esimerkki. .

Jos otetaan huomioon, että kokonaisluku on murto-osa, jonka nimittäjä on 1, niin murto-osan kertominen kokonaisluvulla ja kokonaisluku murtoluvulla voidaan seurata samalla säännöllä.

Esimerkkejä.

5. Sekalukujen kertolasku.

Jos haluat kertoa sekaluvut, sinun on ensin muutettava ne vääriksi murtoluvuiksi ja kerrottava sitten murtolukujen kertomissäännön mukaisesti.

Esimerkki. .

6. Murtoluvun jakaminen murtoluvulla.

Murtoluvun jakamiseksi murtoluvuksi sinun on kerrottava ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja ensimmäisen nimittäjä toisen osoittajalla ja kirjoitettava ensimmäinen tulo osoittajaksi ja toinen nimittäjänä.

Esimerkki. .

Saman säännön avulla voit jakaa murto-osan kokonaisluvulla ja kokonaisluvun murtoluvulla, jos esität kokonaisluvun murto-osana, jonka nimittäjä on 1.

Esimerkkejä.

7. Sekalukujen jako.

Sekalukujen jakamiseksi ne muunnetaan ensin vääriksi murtoluvuiksi ja sitten jaetaan murtolukujakosäännön mukaisesti.

Esimerkki. .

8. Jakolaskun korvaaminen kertolaskulla.

Jos vaihdat osoittajan ja nimittäjän murtoluvussa, saat uuden murtoluvun, annetun käänteisen. Esimerkiksi murto-osallekäänteinen murtoluku on.

Ilmeisesti kahden keskenään käänteisen murtoluvun tulo on yhtä suuri kuin 1.

1. Murtoluvun löytäminen luvusta.

On monia ongelmia, jotka edellyttävät osan tai murto-osan löytämistä tietystä numerosta. Tällaiset ongelmat ratkaistaan ​​kertomalla.

Tehtävä. Emäntä oli 20 ruplaa;Hän käytti ne ostoksilla. Paljonko ostokset maksavat?

Täältä sinun täytyy löytäänumero 20. Voit tehdä sen seuraavasti:

Vastaus. Emäntä käytti 8 ruplaa.

Esimerkkejä. Hae kohdasta 30. Ratkaisu. .

Etsi osoitteesta. Ratkaisu. .

1. Luvun löytäminen sen murtoluvun tunnetusta suuruudesta.

Joskus on tarpeen määrittää koko luku käyttämällä luvun tunnettua osaa ja tätä osaa ilmaisevaa murto-osaa. Tällaiset ongelmat ratkaistaan ​​jakamalla.

Tehtävä. Komsomolin jäseniä luokassa on 12, mikä onosa kaikista luokan oppilaista. Kuinka monta oppilasta luokassa on?

Ratkaisu. .

Vastaus. 20 opiskelijaa.

Esimerkki. Etsi numerojoka on 34.

Ratkaisu. .

Vastaus. Tarvittava määrä on.

1. Kahden luvun suhteen löytäminen.

Harkitse ongelmaa: Työntekijä valmisti 40 osaa päivässä. Minkä osan kuukausityöstä työntekijä on suorittanut, jos kuukausisuunnitelma on 400 osaa?

Ratkaisu. .

Vastaus. Työntekijä valmistuiosa kuukausisuunnitelmaa.

Tässä tapauksessa osa (40 osaa) ilmaistaan ​​murto-osana kokonaisuudesta (400 osaa). He sanovat myös, että päivässä valmistettujen osien määrän suhde kuukausisuunnitelmaan on löydetty.

1. Desimaaliluvun muuntaminen yhteiseksi murtoluvuksi.

Jos haluat muuntaa desimaaliluvun yhteiseksi murtoluvuksi, kirjoita se nimittäjällä ja, jos mahdollista, lyhennä sitä:

Esimerkkejä.

1. Murtoluvun muuntaminen desimaaliksi.

On olemassa useita tapoja muuntaa murto desimaaliluvuksi.

Ensimmäinen tapa. Jos haluat muuntaa murtoluvun desimaaliluvuksi, jaat osoittajan nimittäjällä.

Esimerkkejä. .

Toinen tapa. Jos haluat muuttaa murtoluvun desimaaliluvuksi, sinun on kerrottava murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sellaisella luvulla, että nimittäjä on yksi ja nolla (jos mahdollista).

Esimerkki.

1. Desimaalien vertailu suuruuden mukaan. Saadaksesi selville, kumpi kahdesta desimaaliluvusta on suurempi, sinun on verrattava niiden kokonaisia ​​osia, kymmenesosia, sadasosia jne. Kun kokonaiset osat ovat yhtä suuret, se osuus, jolla on enemmän kymmenesosia, on suurempi; jos kokonaisluvut ja desimaalit ovat yhtä suuria, se, jolla on enemmän sadasosia, on suurempi jne.

Esimerkki. Kolmesta fraktiosta 2,432; 2.41 ja 2.4098 on suurin ensimmäinen, koska siinä on eniten sadasosia, ja kokonaisuus ja kymmenesosat ovat samat kaikissa murto-osissa.

Toiminnot desimaalien kanssa

1. Desimaalien kertominen ja jakaminen luvulla 10, 100, 1000 jne.

Desimaaliluvun kertominen luvulla 10, 100, 1000 jne. sinun on siirrettävä pilkku yhteen, kahteen, kolmeen jne. vastaavasti. merkki oikealle. Jos numerossa ei ole tarpeeksi merkkejä, annetaan nollia.

Esimerkki. 15,45 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.

Jos haluat jakaa desimaaliluvun luvulla 10, 100, 1000 jne., sinun on siirrettävä desimaalipilkku yhteen, kahteen, kolmeen jne. vastaavasti. merkki vasemmalle. Jos merkkejä ei ole tarpeeksi pilkun siirtämiseen, niiden numeroa täydennetään vastaavalla määrällä nollia vasemmalla.

Esimerkkejä. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.

1. Desimaalien lisääminen ja vähentäminen.

Desimaalit lisätään ja vähennetään samalla tavalla kuin luonnolliset luvut lisätään ja vähennetään. Numero kirjoitetaan numeron alle, pilkku kirjoitetaan pilkun alle.

Esimerkkejä.

1. Desimaalien kertominen.

Kahden desimaaliluvun kertomiseen riittää pilkkuja huomioimatta kertomalla ne kokonaislukuina ja erottelemalla tulossa oikealla pilkulla niin monta desimaaleja kuin kertoimessa ja kertoimessa oli yhdessä.

Esimerkki 1. 2,064 · 0,05.

Kerrotaan kokonaisluvut 2064 · 5 = 10320. Ensimmäisessä kertoimessa oli kolme desimaaleja ja toisessa kaksi. Tuotteessa on oltava viisi desimaalin tarkkuutta. Erottelemme ne oikealla ja saamme 0,10320. Lopussa oleva nolla voidaan hylätä: 2,064 · 0,05 = 0,1032.

Esimerkki 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.

Desimaalien lukumäärän tulee olla 3 + 2 = 5. Lisäämme nollia 9000:een vasemmalla (009000) ja erottelemme viisi desimaaleja oikealla. Saamme 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.

1. Desimaalien jakaminen.

Tarkastellaan kahta tapausta, joissa desimaalimurto jaetaan ilman jäännöstä: 1) desimaalimurto jaetaan kokonaisluvulla; 2) luvun (kokonaisluku tai murtoluku) jakaminen desimaaliluvulla.

Desimaaliluvun jakaminen kokonaisluvulla tapahtuu samalla tavalla kuin kokonaislukujen jakaminen; tuloksena saadut jäännökset jaetaan peräkkäin pienempiin desimaaliosiin ja jakoa jatketaan, kunnes jäännös on nolla.

Esimerkkejä.

Luvun (kokonaisluvun tai murto-osan) jakaminen desimaaliluvulla johtaa kaikissa tapauksissa jakoon kokonaisluvulla. Voit tehdä tämän suurentamalla jakajaa luvulla 10, 100, 1000 jne. kertaa, ja jotta osamäärä ei muutu, osinkoa kasvatetaan saman verran ja jaetaan sitten kokonaisluvulla (kuten ensimmäisessä tapauksessa).

Esimerkki. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;

1. Esimerkkejä yhteisistä toimista tavallisten ja desimaalilukujen kanssa.

Tarkastellaan ensin esimerkkiä kaikista toiminnoista desimaalilukujen kanssa.

Esimerkki 1. Laske:

Tässä he käyttävät osingon ja jakajan vähennystä kokonaisluvuksi ottaen huomioon, että osamäärä ei muutu. Sitten meillä on:

Ratkaistaessa esimerkkejä yhteisistä toiminnoista tavallisilla ja desimaaliluvuilla, osa toiminnoista voidaan suorittaa desimaalimurtoluvuilla ja osa tavallisilla murtoluvuilla. On pidettävä mielessä, että yhteistä murtolukua ei aina voida muuntaa lopulliseksi desimaalimurtoluvuksi. Siksi desimaalimurtoluvun kirjoittaminen voidaan tehdä vasta, kun on varmistettu, että tällainen muunnos on mahdollista.

Esimerkki 2. Laske:

Kiinnostuksen kohde

Prosentin käsite.Prosenttiosuus luvusta on sen luvun sadasosa. Esimerkiksi sen sijaan, että sanoisi "54 sadasosaa kaikista maamme asukkaista on naisia", voitaisiin sanoa "54 prosenttia kaikista maamme asukkaista on naisia". Sanan "prosentti" tilalle kirjoitetaan myös %-merkki, esimerkiksi 35% tarkoittaa 35 prosenttia.

Koska prosentti on sadasosa, tästä seuraa, että prosentti on murto-osa, jonka nimittäjä on 100. Siksi murto-osa on 0,49 tai, voidaan lukea 49 prosenttia ja kirjoittaa ilman nimittäjä 49 prosenttia. Yleisesti ottaen, kun olet määrittänyt, kuinka monta sadasosaa tietyssä desimaaliluvussa on, on helppo kirjoittaa se prosentteina. Käytä tätä sääntöä: jos haluat kirjoittaa desimaaliluvun prosentteina, sinun on siirrettävä tämän murtoluvun desimaalipistettä kaksi paikkaa oikealle.

Esimerkkejä. 0,33 = 33 %; 1,25 = 125 %; 0,002 = 0,2 %; 21 = 2100 %.

Ja päinvastoin: 7 % = 0,07; 24,5 % = 0,245; 0,1 % = 0,001; 200 % = 2.

1. Tietyn luvun prosenttiosuuden löytäminen

Tehtävä. Suunnitelman mukaan traktorinkuljettajien tiimin tulee kuluttaa 9 tonnia polttoainetta. Traktorinkuljettajat ovat sitoutuneet yhteiskunnallisesti säästämään 20 % polttoainetta. Määritä polttoainesäästöt tonneissa.

Jos tässä tehtävässä kirjoitetaan 20 %:n sijasta luku 0,2 yhtä suureksi kuin se, saamme tehtävän löytää luvun murto-osa. Ja tällaiset ongelmat ratkaistaan ​​kertomalla. Tämä on ratkaisu:

20 % = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 (m).

Laskelmat voidaan kirjoittaa näin:

(m)

Useiden prosenttiosuuksien löytämiseksi tietystä luvusta riittää jakaa annettu luku 100:lla ja kertoa tulos prosenttimäärällä.

Tehtävä. Vuonna 1963 työntekijä sai 90 ruplaa kuukaudessa, ja vuonna 1964 hän alkoi saada 30% enemmän. Kuinka paljon hän ansaitsi vuonna 1964?

Ratkaisu (ensimmäinen menetelmä).

1) Kuinka monta ruplaa työntekijä sai lisää?

(hieroa.)

90 + 27 = 117 (hankaa).

Toinen tapa.

1) Kuinka monta prosenttia aiemmista ansioista työntekijä alkoi saada vuonna 1964?

100% + 30% = 130%.

2) Mikä oli työntekijän kuukausipalkka vuonna 1964?

(hieroa.)

2. Löytää luku sen prosenttiosuuden annetusta arvosta.

Tehtävä. Kolhoosi istutti maissia 280 hehtaarin alueelle, mikä on 14 % kokonaiskylvöalasta. Määritä kolhoosin kylvöala.

Jos tässä tehtävässä kirjoitetaan 14% sijasta 0,14 tai, niin saamme tehtävän löytää luku sen murtoluvun tunnetusta arvosta. Ja tällaiset ongelmat ratkaistaan ​​jakamalla.

Ratkaisu. 14 % = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (ha). Tämä ratkaisu voidaan muotoilla myös näin:

(ha)

Jos haluat löytää luvun, joka perustuu annettuun useiden prosenttiosien arvoon, riittää jakaa tämä arvo prosenttimäärällä ja kertomalla tulos 100:lla.

Tehtävä. Maaliskuussa tehdas sulatti 125,4 T metallia, ylitti suunnitelman 4,5 %. Kuinka monta tonnia metallia tehtaan piti suunnitelmien mukaan sulattaa maaliskuussa?

Ratkaisu.

1) Kuinka monta prosenttia tehdas täytti suunnitelman maaliskuussa?

100% + 4,5% = 104,5%.

2) Kuinka monta tonnia metallia kasvin tulisi sulaa?

(ha)

1. Kahden luvun välisen prosenttisuhteen löytäminen.

Tehtävä. Meidän on kynnettävä 300 hehtaaria maata. Ensimmäisenä päivänä kynnettiin 120 hehtaaria. Kuinka monta prosenttia tehtävästä kynnettiin ensimmäisenä päivänä?

Ratkaisu.

Ensimmäinen tapa. 300 hehtaaria on 100 %, mikä tarkoittaa, että 1 % on 3 hehtaaria. Määrittämällä kuinka monta kertaa 3 hehtaaria, joka on 1 %, sisältyy 120 hehtaariin, saadaan selville, kuinka monta prosenttia tehtävästä maa kynsi ensimmäisenä päivänä

120: 3 = 40(%).

Toinen tapa. Kun olemme määrittäneet, mikä osa maasta kynnettiin ensimmäisenä päivänä, ilmaisemme tämän osuuden prosentteina.

Kirjataan laskelma ylös:

Voit laskea luvun prosenttiosuuden a numeroon b , sinun täytyy löytää suhde a - b ja kerro se 100:lla.

Toiminnot murtoluvuilla.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Joten mitä ovat murtoluvut, murtotyypit, muunnokset - muistimme. Mennään pääkysymykseen.

Mitä voit tehdä murtoluvuilla? Kyllä, kaikki on sama kuin tavallisissa numeroissa. Lisää, vähennä, kerro, jaa.

Kaikki nämä toimet kanssa desimaali murtolukujen kanssa työskentely ei eroa kokonaislukujen kanssa työskentelystä. Itse asiassa se on se, mikä niissä on hyvää, desimaaliluvut. Ainoa asia on, että sinun on laitettava pilkku oikein.

Sekanumerot, kuten jo sanoin, on vähän hyötyä useimmissa toimissa. Ne on vielä muutettava tavallisiksi jakeiksi.

Mutta toimet kanssa tavallisia murtolukuja heistä tulee ovelampia. Ja paljon muutakin tärkeämpää! Muistutan teitä: kaikki toiminnot murtolausekkeilla, joissa on kirjaimia, sinejä, tuntemattomia ja niin edelleen ja niin edelleen, eivät eroa toiminnoista tavallisilla murtoluvuilla! Operaatiot tavallisilla murtoluvuilla ovat kaiken algebran perusta. Tästä syystä analysoimme kaikkia tätä aritmetiikkaa täällä erittäin yksityiskohtaisesti.

Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen.

Jokainen voi lisätä (vähentää) murto-osia samoilla nimittäjillä (toivottavasti!). No, haluan muistuttaa niitä, jotka ovat täysin unohtavia: kun lisäät (vähennetään), nimittäjä ei muutu. Osoittajat lasketaan yhteen (vähennetään), jolloin saadaan tuloksen osoittaja. Tyyppi:

Lyhyesti, yleisellä tasolla:

Entä jos nimittäjät ovat erilaisia? Sitten murto-osan perusominaisuutta käyttäen (tässä se on taas hyödyllinen!) teemme nimittäjistä samat! Esimerkiksi:

Tässä meidän piti tehdä murto 4/10 murto-osasta 2/5. Ainoa tarkoitus, että nimittäjät ovat samat. Huomautan varmuuden vuoksi, että 2/5 ja 4/10 ovat sama murto-osa! Vain 2/5 on meille epämukavaa, ja 4/10 on todella ok.

Muuten, tämä on kaikkien matemaattisten ongelmien ratkaisemisen ydin. Kun me kotoisin epämukavaa teemme ilmaisuja sama asia, mutta helpompi ratkaista.

Toinen esimerkki:

Tilanne on samanlainen. Tässä tehdään 48 luvusta 16. Yksinkertaisella kertomalla 3:lla. Tämä on kaikki selvää. Mutta törmäsimme sellaiseen:

Kuinka olla?! Seitsemästä on vaikea saada yhdeksän! Mutta me olemme älykkäitä, tiedämme säännöt! Muutetaan joka murto-osa niin, että nimittäjät ovat samat. Tätä kutsutaan "vähentämiseksi yhteiseksi nimittäjäksi":

Vau! Mistä tiesin 63:sta? Erittäin yksinkertainen! 63 on luku, joka on jaollinen 7:llä ja 9:llä samanaikaisesti. Tällainen luku voidaan aina saada kertomalla nimittäjät. Jos kerromme luvun esimerkiksi 7:llä, tulos on varmasti jaollinen 7:llä!

Jos joudut lisäämään (vähentämään) useita murtolukuja, sitä ei tarvitse tehdä pareittain, askel askeleelta. Sinun tarvitsee vain löytää kaikille murtoluvuille yhteinen nimittäjä ja pienentää jokainen murto samaan nimittäjään. Esimerkiksi:

Ja mikä lienee yhteinen nimittäjä? Voit tietysti kertoa 2, 4, 8 ja 16. Saamme 1024. Painajainen. On helpompi arvioida, että luku 16 on täysin jaollinen 2:lla, 4:llä ja 8:lla. Siksi näistä luvuista on helppo saada 16. Tämä luku on yhteinen nimittäjä. Muutetaan 1/2 8/16:ksi, 3/4 12/16 ja niin edelleen.

Muuten, jos otat 1024 yhteiseksi nimittäjäksi, kaikki järjestyy, lopulta kaikki pienenee. Mutta kaikki eivät pääse tähän päähän laskelmien takia...

Täydennä esimerkkiä itse. Ei jonkinlainen logaritmi... Sen pitäisi olla 29/16.

Joten, murtolukujen yhteenlasku (vähennys) on selvä, toivottavasti? Tietenkin on helpompi työskennellä lyhennetyssä versiossa lisäkertoimien avulla. Mutta tämä ilo on niille, jotka työskentelivät rehellisesti alemmilla luokilla... Eivätkä unohtaneet mitään.

Ja nyt teemme samat toiminnot, mutta emme murtoluvuilla, vaan niiden kanssa murtolausekkeita. Uusi rake paljastetaan täällä, kyllä...

Joten meidän on lisättävä kaksi murtolauseketta:

Meidän on tehtävä nimittäjistä samat. Ja vain avustuksella kertolasku! Tämän määrää murto-osan pääominaisuus. Siksi en voi lisätä yhtä X:ään nimittäjän ensimmäisessä murtoluvussa. (se olisi mukavaa!). Mutta jos moninkertaistat nimittäjät, näet, kaikki kasvaa yhdessä! Joten kirjoitamme murto-osan rivin, jätämme tyhjän tilan yläosaan, lisäämme sen ja kirjoitamme alle nimittäjien tulon, jotta emme unohda:

Ja tietenkään emme kerro mitään oikealla puolella, emme avaa sulkeita! Ja nyt, katsomalla oikealla olevaa yhteistä nimittäjää, ymmärrämme: saadaksesi nimittäjän x(x+1) ensimmäiseen murto-osaan, sinun on kerrottava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä (x+1) . Ja toisessa murto-osassa - x:ään. Tämän saat:

Huomautus! Tässä sulut! Tämä on harava, jonka päälle monet ihmiset astuvat. Ei tietenkään sulkuja, vaan niiden puuttumista. Sulut näkyvät, koska kerromme kaikki osoittaja ja kaikki nimittäjä! Eikä heidän yksittäisiä kappaleitaan...

Oikean puolen osoittajaan kirjoitetaan osoittajien summa, kaikki on kuin numeerisissa murtoluvuissa, sitten avaamme sulut oikean puolen osoittajassa, ts. Kerromme kaiken ja annamme samanlaisia. Ei tarvitse avata sulkuja nimittäjissä tai kertoa mitään! Yleensä nimittäjissä (mikä tahansa) tuote on aina miellyttävämpi! Saamme:

Joten saimme vastauksen. Prosessi näyttää pitkältä ja vaikealta, mutta se riippuu harjoittelusta. Kun ratkaiset esimerkit, totut siihen, kaikki tulee yksinkertaiseksi. Ne, jotka ovat hallinneet murtoluvut ajoissa, tekevät kaikki nämä toiminnot yhdellä vasemmalla kädellä, automaattisesti!

Ja vielä yksi huomautus. Monet käsittelevät murtolukuja älykkäästi, mutta jäävät jumiin esimerkkeihin koko numeroita. Kuten: 2 + 1/2 + 3/4= ? Mihin kaksiosainen kiinnitetään? Sinun ei tarvitse kiinnittää sitä mihinkään, sinun on tehtävä murto-osa kahdesta. Se ei ole helppoa, mutta hyvin yksinkertaista! 2 = 2/1. Kuten tämä. Mikä tahansa kokonaisluku voidaan kirjoittaa murtolukuna. Osoittaja on itse numero, nimittäjä on yksi. 7 on 7/1, 3 on 3/1 ja niin edelleen. Sama on kirjaimien kanssa. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 jne. Ja sitten työskentelemme näiden murtolukujen kanssa kaikkien sääntöjen mukaisesti.

No, murto-osien yhteen- ja vähennystietoa päivitettiin. Murtolukujen muuntaminen tyypistä toiseen toistettiin. Voit myös käydä katsastamassa. Selvitetäänkö sitä vähän?)

Laskea:

Vastaukset (sekaisin):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Murtolukujen kerto-/jako - seuraavalla oppitunnilla. Kaikille murto-operaatioille on myös tehtäviä.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Nyt kun olemme oppineet lisäämään ja kertomaan yksittäisiä murtolukuja, voimme tarkastella monimutkaisempia rakenteita. Entä jos sama ongelma koskee esimerkiksi murtolukujen lisäämistä, vähentämistä ja kertomista?

Ensinnäkin sinun on muutettava kaikki murtoluvut vääriksi. Sitten suoritamme vaaditut toiminnot peräkkäin - samassa järjestyksessä kuin tavallisille numeroille. Nimittäin:

1. Eksponentti tehdään ensin - päästä eroon kaikista eksponenteja sisältävistä lausekkeista;
2. Sitten - jako ja kertolasku;
3. Viimeinen vaihe on yhteen- ja vähennyslasku.

Tietenkin, jos lausekkeessa on sulkeita, toimintojen järjestys muuttuu - kaikki sulkujen sisällä oleva on laskettava ensin. Ja muista väärät murtoluvut: sinun on korostettava koko osa vasta, kun kaikki muut toiminnot on jo suoritettu.

Muunnetaan kaikki murtoluvut ensimmäisestä lausekkeesta sopimattomiksi ja suoritetaan sitten seuraavat vaiheet:

Etsitään nyt toisen lausekkeen arvo. Ei ole murtolukuja, joissa on kokonaislukuosa, mutta on sulkeita, joten ensin tehdään yhteenlasku ja vasta sitten jako. Huomaa, että 14 = 7 · 2. Sitten:

Harkitse lopuksi kolmatta esimerkkiä. Täällä on hakasulkeet ja tutkinto - on parempi laskea ne erikseen. Ottaen huomioon, että 9 = 3 3, meillä on:

Kiinnitä huomiota viimeiseen esimerkkiin. Nostaaksesi murto-osan potenssiin, sinun on nostettava erikseen osoittaja tähän potenssiin ja erikseen nimittäjä.

Voit päättää toisin. Jos muistamme tutkinnon määritelmän, ongelma pelkistyy tavalliseen murtolukujen kertolaskuun:

Monikerroksiset murtoluvut

Tähän asti olemme huomioineet vain ”puhtaat” murtoluvut, kun osoittaja ja nimittäjä ovat tavallisia lukuja. Tämä on täysin yhdenmukainen ensimmäisellä oppitunnilla annetun luvun murto-osan määritelmän kanssa.

Mutta entä jos laitat monimutkaisemman kohteen osoittajaan tai nimittäjään? Esimerkiksi toinen murto-osa? Tällaisia ​​rakenteita syntyy melko usein, varsinkin kun työskennellään pitkien ilmaisujen kanssa. Tässä pari esimerkkiä:

Monitasoisten murtolukujen kanssa työskentelemiseen on vain yksi sääntö: sinun on päästävä eroon niistä välittömästi. "Ylimääräisten" lattioiden poistaminen on melko yksinkertaista, jos muistaa, että vinoviiva tarkoittaa normaalia jakotoimintoa. Siksi mikä tahansa murto-osa voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

Käyttämällä tätä tosiasiaa ja noudattamalla menettelyä voimme helposti pienentää minkä tahansa monikerroksisen murto-osan tavalliseksi. Katso esimerkkejä:

Tehtävä. Muunna monikerroksiset murtoluvut tavallisiksi:

Jokaisessa tapauksessa kirjoitamme päämurtoluvun uudelleen korvaamalla jakoviivan jakomerkillä. Muista myös, että mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1. Eli 12 = 12/1; 3 = 3/1. Saamme:

Viimeisessä esimerkissä murtoluvut peruutettiin ennen lopullista kertolaskua.

Monitasoisten murtolukujen kanssa työskentelyn erityispiirteet

Monitasoisissa murtoluvuissa on yksi hienous, joka on aina muistettava, muuten voit saada väärän vastauksen, vaikka kaikki laskelmat olisivat oikein. Katso:

1. Osoittaja sisältää yksittäisen luvun 7 ja nimittäjä murto-osan 12/5;
2. Osoittaja sisältää murtoluvun 7/12 ja nimittäjä erillisen luvun 5.

Joten yhdelle tallenteelle saimme kaksi täysin erilaista tulkintaa. Jos lasket, vastaukset ovat myös erilaisia:

Varmistaaksesi, että tietue luetaan aina yksiselitteisesti, käytä yksinkertaista sääntöä: päämurtoluvun jakoviivan on oltava pidempi kuin sisäkkäisen murtoluvun rivi. Mieluiten useita kertoja.

Jos noudatat tätä sääntöä, yllä olevat murtoluvut tulee kirjoittaa seuraavasti:

Kyllä, se on luultavasti ruma ja vie liikaa tilaa. Mutta lasket oikein. Lopuksi pari esimerkkiä, joissa monikerroksisia murtolukuja todella syntyy:

Tehtävä. Etsi ilmaisujen merkitykset:

Joten, työstetään ensimmäisen esimerkin kanssa. Muunnetaan kaikki murtoluvut sopimattomiksi ja suoritetaan sitten yhteen- ja jakooperaatiot:

Tehdään sama toisen esimerkin kanssa. Muunnetaan kaikki murtoluvut sopimattomiksi ja suoritetaan tarvittavat toiminnot. Jotta lukija ei kyllästyisi, jätän pois joitain ilmeisiä laskelmia. Meillä on:

Koska perusmurtolukujen osoittaja ja nimittäjä sisältävät summia, monikerroksisten murtolukujen kirjoittamissääntöä noudatetaan automaattisesti. Lisäksi viimeisessä esimerkissä jätimme tarkoituksella 46/1 murto-osaan suorittaaksemme jaon.

Huomautan myös, että molemmissa esimerkeissä murto-palkki itse asiassa korvaa sulut: ensinnäkin löysimme summan ja vasta sitten osamäärän.

Jotkut sanovat, että siirtyminen vääriin murtolukuihin toisessa esimerkissä oli selvästi tarpeeton. Ehkä tämä on totta. Mutta tekemällä näin vakuutamme itsemme virheiltä, ​​koska seuraavalla kerralla esimerkki voi osoittautua paljon monimutkaisemmaksi. Valitse itse, mikä on tärkeämpää: nopeus vai luotettavuus.

Kätevä ja yksinkertainen online-murtolaskin yksityiskohtaisilla ratkaisuilla Voi olla:

• Lisää, vähennä, kerro ja jaa murtoluvut verkossa,
• Vastaanota valmis ratkaisu murtolukuihin kuvalla ja siirrä se kätevästi.

Murtolukujen ratkaisun tulos on tässä...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Murtolukumerkki "/" + - * :
_erase Tyhjennä
Online-murtolaskimellamme on nopea syöttö. Esimerkiksi murtolukujen ratkaisemiseksi yksinkertaisesti kirjoita 1/2+2/7 laskimeen ja paina " Ratkaise murtoluvut". Laskin kirjoittaa sinulle murto-osien yksityiskohtainen ratkaisu ja antaa helposti kopioitava kuva.

Laskimeen kirjoittamiseen käytetyt merkit

Online-murtolaskimen ominaisuudet

Jos sinun on ratkaistava negatiiviset murtoluvut, käytä vain miinuksen ominaisuuksia. Negatiivisia murtolukuja kerrottaessa ja jaettaessa miinus miinuksella antaa plussan. Eli negatiivisten murtolukujen tulo ja jako on yhtä suuri kuin samojen positiivisten jako ja tulo. Jos yksi murtoluku on negatiivinen kerto- tai jakamisluvussa, poista miinus ja lisää se sitten vastaukseen. Kun lisäät negatiivisia murtolukuja, tulos on sama kuin jos lisäisit samat positiiviset murtoluvut. Jos lisäät yhden negatiivisen murtoluvun, tämä on sama kuin saman positiivisen murtoluvun vähentäminen.
Kun vähennetään negatiiviset murtoluvut, tulos on sama kuin jos ne olisi vaihdettu ja tehty positiivisiksi. Eli miinus miinukselta antaa tässä tapauksessa plussan, mutta ehtojen uudelleenjärjestely ei muuta summaa. Käytämme samoja sääntöjä, kun vähennämme murtolukuja, joista yksi on negatiivinen.

Sekajakeiden (jakeiden, joissa koko osa on eristetty) ratkaisemiseksi yksinkertaisesti sovita koko osa fraktioon. Voit tehdä tämän kertomalla koko osan nimittäjällä ja lisäämällä osoittajaan.

Jos sinun on ratkaistava 3 tai useampi murto-osa verkossa, sinun tulee ratkaista ne yksitellen. Laske ensin kaksi ensimmäistä murto-osaa, sitten ratkaise seuraava murto saadulla vastauksella ja niin edelleen. Suorita operaatiot yksitellen, 2 murto-osa kerrallaan, ja lopulta saat oikean vastauksen.