របៀបស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំនុចដោយប្រើសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់។ សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់

សមីការនៃបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

ដូចដែលបានដឹងហើយថាចំណុចណាមួយនៅលើយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយកូអរដោនេពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេមួយចំនួន។ ប្រព័ន្ធសំរបសំរួលអាចមានភាពខុសគ្នាអាស្រ័យលើជម្រើសនៃមូលដ្ឋាន និងប្រភពដើម។

និយមន័យ។ សមីការបន្ទាត់គឺជាទំនាក់ទំនង y = f(x) រវាងកូអរដោនេនៃចំនុចដែលបង្កើតជាបន្ទាត់នេះ។

ចំណាំថាសមីការបន្ទាត់អាចត្រូវបានបញ្ជាក់តាមវិធីប៉ារ៉ាម៉ែត្រ ពោលគឺ កូអរដោនេនីមួយៗនៃចំណុចនីមួយៗត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈប៉ារ៉ាម៉ែត្រឯករាជ្យមួយចំនួន។ t.

ឧទាហរណ៍ធម្មតាគឺគន្លងនៃចំណុចផ្លាស់ទី។ ក្នុងករណីនេះពេលវេលាដើរតួនាទីជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យ។ បន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការលំដាប់ទីមួយ

Ah + Wu + C = 0,

លើសពីនេះទៅទៀតថេរ A, B មិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយទេពោលគឺឧ។ A 2 + B 2  0. សមីការលំដាប់ទីមួយនេះត្រូវបានគេហៅថា សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ A, B និង C ករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

C \u003d 0, A  0, B  0 - បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - បន្ទាត់គឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - បន្ទាត់ត្រង់ស្របគ្នានឹងអ័ក្សអុក

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានបង្ហាញក្នុងទម្រង់ផ្សេងៗគ្នា អាស្រ័យលើលក្ខខណ្ឌដំបូងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

និយមន័យ។ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian វ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុ (A, B) កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ Ax + By + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A (1, 2) កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ (3, -1).

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរនៅ A \u003d 3 និង B \u003d -1 សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់: 3x - y + C \u003d 0 ។ ដើម្បីរកមេគុណ C យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច A ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល។

យើងទទួលបាន៖ 3 - 2 + C \u003d 0 ដូច្នេះ C \u003d -1 ។

សរុប៖ សមីការដែលចង់បាន៖ 3x - y - 1 \u003d 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

សូមឲ្យពិន្ទុពីរ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ក្នុងលំហ បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ៖

ប្រសិនបើភាគបែងណាមួយស្មើនឹងសូន្យនោះ ភាគបែងដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានកំណត់ឱ្យស្មើសូន្យ។

នៅលើយន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1  x 2 និង x \u003d x 1 ប្រសិនបើ x 1 \u003d x 2 ។

ប្រភាគ
= k ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាជម្រាលត្រង់។

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A(1,2) និង B(3,4)។

អនុវត្តរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងជម្រាលមួយ។

ប្រសិនបើសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ax + Vy + C = 0 នាំទៅដល់ទម្រង់៖

និងកំណត់
បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាលមួយ។k.

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់លើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយកថាខណ្ឌដែលពិចារណាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈវ៉ិចទ័រធម្មតា អ្នកអាចបញ្ចូលការចាត់តាំងនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

និយមន័យ។ រាល់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ ( 1 ,  2) សមាសធាតុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ A 1 + B 2 = 0 ត្រូវបានគេហៅថាវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍។រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ (1, -1) និងឆ្លងកាត់ចំណុច A (1, 2) ។

យើងនឹងរកមើលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានក្នុងទម្រង់៖ Ax + By + C = 0. ស្របតាមនិយមន័យ មេគុណត្រូវបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1A + (-1)B = 0, i.e. ក = ខ។

បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ Ax + Ay + C = 0 ឬ x + y + C/A = 0 ។

នៅ x = 1, y = 2 យើងទទួលបាន С/A = -3, i.e. សមីការដែលចង់បាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0 C 0 បន្ទាប់មកបែងចែកដោយ –C យើងទទួលបាន៖
ឬ

កន្លែងណា

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណគឺមេគុណ កគឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលមានអ័ក្ស x និង ខ- កូអរដោណេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស Oy ។

ឧទាហរណ៍។ផ្តល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ x − y + 1 = 0. រកសមីការនៃបន្ទាត់នេះក្នុងផ្នែក។

គ \u003d 1,
, a = -1, b = 1 ។

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ax + Wy + C = 0 ចែកនឹងចំនួន
ដែលត្រូវបានគេហៅថា កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcos + ysin - p = 0 -

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

សញ្ញា  នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែជ្រើសរើស ដូច្នេះ С< 0.

p គឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងដែលទម្លាក់ពីដើមទៅបន្ទាត់ត្រង់ ហើយ  គឺជាមុំដែលបង្កើតឡើងដោយកាត់កែងនេះជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្សអុក។

ឧទាហរណ៍។ដែលបានផ្តល់ឱ្យសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ 12x - 5y - 65 = 0. វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីសរសេរប្រភេទផ្សេងៗនៃសមីការសម្រាប់បន្ទាត់នេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក៖

សមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយជម្រាល៖ (ចែកនឹង ៥)

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់៖

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនគ្រប់បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការនៅក្នុងផ្នែកទេ ឧទាហរណ៍ បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

ឧទាហរណ៍។បន្ទាត់ត្រង់កាត់ផ្តាច់ផ្នែកវិជ្ជមានស្មើគ្នានៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ប្រសិនបើផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយផ្នែកទាំងនេះគឺ 8 សង់ទីម៉ែត្រ 2 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; - បួន។

a = -4 មិនសមនឹងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

សរុប៖
ឬ x + y − 4 = 0 ។

ឧទាហរណ៍។សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច A (-2, -3) និងប្រភពដើម។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖
ដែលជាកន្លែងដែល x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3 ។

មុំរវាងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 នោះមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះនឹងត្រូវបានកំណត់ជា

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2 ។

បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែងប្រសិនបើ k 1 = -1/k 2 ។

ទ្រឹស្តីបទ។ បន្ទាត់ត្រង់ Ax + Vy + C = 0 និង A 1 x + ខ 1 y + C 1 = 0 គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណ A គឺសមាមាត្រ 1 =  ក, ខ 1 =  B. បើក៏ C 1 =  C បន្ទាប់មកបន្ទាត់ស្របគ្នា។

កូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ

កាត់កែងទៅបន្ទាត់នេះ។

និយមន័យ។ បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1, y 1) និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y \u003d kx + b ត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើចំណុច M (x 0 , y 0 ) បន្ទាប់មកចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ax + Vy + C = 0 ត្រូវបានកំណត់ជា

ភស្តុតាង។ សូមឲ្យចំនុច M 1 (x 1, y 1) ជាមូលដ្ឋាននៃកាត់កែងដែលបានទម្លាក់ពីចំនុច M ទៅបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច M និង M 1:

កូអរដោណេ x 1 និង y 1 អាចត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មកដោះស្រាយយើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍។កំណត់មុំរវាងបន្ទាត់: y = −3x + 7; y = 2x + 1 ។

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

ឧទាហរណ៍។បង្ហាញថាបន្ទាត់ 3x − 5y + 7 = 0 និង 10x + 6y − 3 = 0 កាត់កែង។

យើងរកឃើញ៖ k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1 ដូច្នេះ បន្ទាត់កាត់កែង។

ឧទាហរណ៍។ចំនុចកំពូលនៃត្រីកោណ A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ រកសមីការសម្រាប់កម្ពស់ដែលដកចេញពីចំនុចកំពូល C ។

យើងរកឃើញសមីការខាង AB៖
; 4x = 6y − 6;

2x − 3y + 3 = 0;

សមីការកម្ពស់ដែលចង់បានគឺ៖ អ័ក្ស + ដោយ + C = 0 ឬ y = kx + b ។

k = . បន្ទាប់មក y =
. ដោយសារតែ កម្ពស់ឆ្លងកាត់ចំណុច C បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់វាបំពេញសមីការនេះ៖
wherece b = 17. សរុប៖
.

ចម្លើយ៖ 3x + 2y − 34 = 0 ។

ធរណីមាត្រវិភាគក្នុងលំហ។

សមីការបន្ទាត់ក្នុងលំហ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហដោយចំនុចមួយ និង

វ៉ិចទ័រទិសដៅ។

យកបន្ទាត់បំពាន និងវ៉ិចទ័រ (m, n, p) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ វ៉ិចទ័រ ហៅ វ៉ិចទ័រណែនាំត្រង់។

ចូរយកចំណុចបំពានពីរ M 0 (x 0, y 0, z 0) និង M(x, y, z) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់។

ម១

អនុញ្ញាតឱ្យយើងសម្គាល់វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចទាំងនេះជា និង វាច្បាស់ណាស់ថា - =
.

ដោយសារតែ វ៉ិចទ័រ
និង គឺ collinear បន្ទាប់មកទំនាក់ទំនងគឺពិត
= t ដែល t ជាប៉ារ៉ាម៉ែត្រខ្លះ។

សរុបមក យើងអាចសរសេរបាន៖ = + t.

ដោយសារតែ សមីការនេះត្រូវបានពេញចិត្តដោយកូអរដោនេនៃចំណុចណាមួយនៅលើបន្ទាត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលគឺ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់.

សមីការវ៉ិចទ័រនេះអាចត្រូវបានតំណាងជាទម្រង់កូអរដោណេ៖

ការបំប្លែងប្រព័ន្ធនេះ និងសមីការតម្លៃនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ t យើងទទួលបានសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ៖

និយមន័យ។ កូស៊ីនុសទិសដៅដោយផ្ទាល់គឺជាកូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ ដែលអាចត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

;

.

ពីទីនេះយើងទទួលបាន: m: n: p = cos: cos: cos ។

លេខ m, n, p ត្រូវបានគេហៅថា កត្តាជម្រាលត្រង់។ ដោយសារតែ គឺជាវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ m, n និង p មិនអាចជាសូន្យក្នុងពេលតែមួយបានទេ ប៉ុន្តែមួយ ឬពីរនៃលេខទាំងនេះអាចជាសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះ ក្នុងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ លេខដែលត្រូវគ្នាគួរតែស្មើនឹងសូន្យ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងការឆ្លងកាត់លំហ

តាមរយៈពីរចំណុច។

ប្រសិនបើចំណុចបំពានពីរ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ត្រូវបានសម្គាល់នៅលើបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ នោះកូអរដោនេនៃចំណុចទាំងនេះត្រូវតែបំពេញសមីការនៃ បន្ទាត់ត្រង់ដែលទទួលបានខាងលើ៖

លើសពីនេះទៀតសម្រាប់ចំណុច M 1 យើងអាចសរសេរ:

ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះរួមគ្នា យើងទទួលបាន៖

នេះគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់ចំនុចពីរក្នុងលំហ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងលំហ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយអាចត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសមីការនៃបន្ទាត់ប្រសព្វនៃយន្តហោះពីរ។

ដូចដែលបានពិភាក្សាខាងលើ យន្តហោះក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ៖

+ D = 0, កន្លែងណា

- យន្តហោះធម្មតា; - វ៉ិចទ័រកាំនៃចំណុចបំពាននៃយន្តហោះ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ។

មានបន្ទាត់ជាច្រើនដែលមិនចេះចប់ដែលអាចគូសតាមចំណុចណាមួយបាន។

តាមរយៈចំណុចមិនស្របគ្នាពីរណាមួយ មានតែបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

បន្ទាត់មិនស្របគ្នាពីរនៅក្នុងយន្តហោះ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចតែមួយ ឬជា

ប៉ារ៉ាឡែល (ធ្វើតាមពីមួយមុន) ។

នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ មានជម្រើសបីសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ពីរ៖

បន្ទាត់ប្រសព្វ;

បន្ទាត់ត្រង់គឺស្របគ្នា;

បន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ។

ត្រង់ បន្ទាត់- ខ្សែកោងពិជគណិតនៃលំដាប់ទីមួយ៖ នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ Cartesian ជាបន្ទាត់ត្រង់

ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ (សមីការលីនេអ៊ែរ) ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

និយមន័យ. បន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះអាចត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយសមីការលំដាប់ទីមួយ

Ah + Wu + C = 0,

និងថេរ ក, ខមិនស្មើនឹងសូន្យក្នុងពេលតែមួយ។ សមីការលំដាប់ទីមួយនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅ

សមីការបន្ទាត់ត្រង់។អាស្រ័យលើតម្លៃនៃថេរ ក, ខនិង ពីករណីពិសេសខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (ដោយ + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = C = 0, A ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

. A = C = 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងក្នុងទម្រង់ផ្សេងគ្នាអាស្រ័យលើការផ្តល់ឱ្យណាមួយ

លក្ខខណ្ឌដំបូង។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

និយមន័យ. នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian វ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុ (A, B)

កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ A(1, 2)កាត់កែងទៅនឹងវ៉ិចទ័រ (3, -1).

ដំណោះស្រាយ. ចូរសរសេរនៅ A \u003d 3 និង B \u003d -1 សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់៖ 3x - y + C \u003d 0 ។ ដើម្បីរកមេគុណ C

យើងជំនួសកូអរដោនេនៃចំនុច A ទៅក្នុងកន្សោមលទ្ធផល។ យើងទទួលបាន៖ 3 - 2 + C = 0 ដូច្នេះ

គ = -១. សរុប៖ សមីការដែលចង់បាន៖ 3x - y - 1 \u003d 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

សូមឱ្យពិន្ទុពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ M 1 (x 1 , y 1 , z 1)និង M2 (x 2, y 2, z 2),បន្ទាប់មក សមីការបន្ទាត់ត្រង់,

ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ៖

ប្រសិនបើភាគបែងណាមួយស្មើនឹងសូន្យនោះ ភាគបែងដែលត្រូវគ្នាគួរតែត្រូវបានកំណត់ឱ្យស្មើសូន្យ។ នៅលើ

យន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1 ≠ x 2និង x = x ១, ប្រសិនបើ x 1 = x 2 .

ប្រភាគ = គហៅ កត្តាជម្រាល ត្រង់.

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A(1,2) និង B(3,4)។

ដំណោះស្រាយ. អនុវត្តរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងជម្រាលមួយ។

ប្រសិនបើសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0នាំយកទៅទម្រង់:

និងកំណត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាល k ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់លើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ។

ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងចំណុចដែលពិចារណាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់តាមរយៈវ៉ិចទ័រធម្មតា អ្នកអាចបញ្ចូលកិច្ចការ

បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

និយមន័យ. រាល់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ (α 1 , α 2)សមាសធាតុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ

Aα 1 + Bα 2 = 0ហៅ វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

Ah + Wu + C = 0 ។

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយវ៉ិចទ័រទិសដៅ (1, -1) ហើយឆ្លងកាត់ចំណុច A (1, 2) ។

ដំណោះស្រាយ. យើងនឹងរកមើលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលចង់បានក្នុងទម្រង់៖ អ័ក្ស + ដោយ + C = 0 ។យោងតាមនិយមន័យ

មេគុណត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. ក = ខ។

បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ អ័ក្ស + Ay + C = 0,ឬ x + y + C / A = 0 ។

នៅ x=1, y=2យើងទទួលបាន គ/ ក = -៣, i.e. សមីការដែលចង់បាន៖

x + y − 3 = 0

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0 C≠0 បន្ទាប់មកបែងចែកដោយ -C យើងទទួលបាន៖

ឬ កន្លែងណា

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណគឺ មេគុណ a គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វ

ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស អូក ខ- កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស អូ.

ឧទាហរណ៍. សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ x − y + 1 = 0 ។ស្វែងរកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក។

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d ១.

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ah + Wu + C = 0ចែកដោយលេខ ដែលត្រូវបានគេហៅថា

កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcosφ + ysinφ - p = 0 -សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់.

សញ្ញា ± នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះ μ * គ< 0.

រ- ប្រវែងកាត់កាត់ពីដើមទៅបន្ទាត់

ក φ - មុំបង្កើតដោយកាត់កែងនេះជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អូ។

ឧទាហរណ៍. ផ្តល់សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ 12x − 5y − 65 = 0. តម្រូវឱ្យសរសេរសមីការប្រភេទផ្សេងៗ

បន្ទាត់ត្រង់នេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក:

សមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយនឹងជម្រាល: (ចែកនឹង 5)

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់:

cos φ = 12/13; sin φ= −5/13; p=5 ។

វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថាមិនមែនគ្រប់បន្ទាត់ត្រង់អាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការនៅក្នុងផ្នែកទេឧទាហរណ៍បន្ទាត់ត្រង់។

ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

មុំរវាងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

និយមន័យ. ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2បន្ទាប់មកមុំស្រួចរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះ

នឹងត្រូវបានកំណត់ថាជា

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2. បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែង

ប្រសិនបើ k 1 \u003d -1 / k 2 .

ទ្រឹស្តីបទ.

ផ្ទាល់ Ah + Wu + C = 0និង A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណមានសមាមាត្រ

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. ប្រសិនបើផងដែរ។ С 1 \u003d λСបន្ទាប់មកបន្ទាត់ស្របគ្នា។ សំរបសំរួលនៃចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ពីរ

ត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

និយមន័យ. បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ M 1 (x 1, y 1)និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y = kx + b

តំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ទ្រឹស្តីបទ. ប្រសិនបើចំណុចមួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ M(x 0, y 0),បន្ទាប់មកចម្ងាយទៅបន្ទាត់ Ah + Wu + C = 0បានកំណត់ថា:

ភស្តុតាង. សូមឱ្យចំណុច M 1 (x 1, y 1)- មូលដ្ឋាននៃកាត់កែងបានធ្លាក់ចុះពីចំណុច មសម្រាប់ការផ្តល់ឱ្យ

ផ្ទាល់។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច មនិង ម ១:

(1)

កូអរដោនេ x ១និង ១អាចរកបានជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

សមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធគឺជាសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ M 0 កាត់កែង

បន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើយើងបំប្លែងសមីការទីមួយនៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មកដោះស្រាយយើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច K(x 0; y 0) និងស្របទៅនឹងបន្ទាត់ y = kx + a ត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

ដែល k ជាចំណោទនៃបន្ទាត់ត្រង់។

រូបមន្តជំនួស៖
បន្ទាត់ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1 ; y 1) និងស្របទៅនឹងបន្ទាត់ Ax+By+C=0 ត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 ។ (2)

ឧទាហរណ៍ #1 ។ បង្កើតសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 0 (-2.1) ហើយក្នុងពេលតែមួយ៖
ក) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ 2x + 3y -7 = 0;
ខ) កាត់កែងទៅបន្ទាត់ 2x + 3y −7 = 0 ។
ដំណោះស្រាយ . ចូរតំណាងឱ្យសមីការជម្រាលជា y = kx + a ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះ យើងនឹងផ្ទេរតម្លៃទាំងអស់លើកលែងតែ y ទៅខាងស្ដាំ៖ 3y = −2x + 7 ។ បន្ទាប់មកយើងបែងចែកផ្នែកខាងស្តាំដោយមេគុណ 3 ។ យើងទទួលបាន៖ y = −2/3x + 7/3
រកសមីការ NK ដែលឆ្លងកាត់ចំនុច K(-2;1) ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = -2/3 x + 7/3
ការជំនួស x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 យើងទទួលបាន៖
y-1 = −2/3 (x-(-2))
ឬ
y = −2/3 x − 1/3 ឬ 3y + 2x +1 = 0

ឧទាហរណ៍ #2 ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ 2x + 5y = 0 ហើយបង្កើត រួមជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ ត្រីកោណដែលមានផ្ទៃ 5 ។
ដំណោះស្រាយ . ដោយសារបន្ទាត់ស្របគ្នា សមីការនៃបន្ទាត់ដែលចង់បានគឺ 2x + 5y + C = 0. តំបន់នៃត្រីកោណកែងមួយ ដែល a និង b ជាជើងរបស់វា។ ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ដែលចង់បានជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ៖
;
.
ដូច្នេះ A(-C/2,0), B(0,-C/5)។ ជំនួសក្នុងរូបមន្តសម្រាប់តំបន់៖ . យើងទទួលបានដំណោះស្រាយពីរ៖ 2x + 5y + 10 = 0 និង 2x + 5y − 10 = 0 ។

ឧទាហរណ៍ #3 ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច (-2; 5) និងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល 5x-7y-4=0 ។
ដំណោះស្រាយ។ បន្ទាត់ត្រង់នេះអាចត្រូវបានតំណាងដោយសមីការ y = 5/7 x – 4/7 (នៅទីនេះ a = 5/7) ។ សមីការនៃបន្ទាត់ដែលចង់បានគឺ y − 5 = 5 / 7 (x − (−2)) i.e. 7(y-5)=5(x+2) ឬ 5x-7y+45=0 ។

ឧទាហរណ៍ #4 ។ ការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ 3 (A=5, B=-7) ដោយប្រើរូបមន្ត (2) យើងរកឃើញ 5(x+2)-7(y-5)=0 ។

ឧទាហរណ៍លេខ 5 ។ សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច (-2;5) និងបន្ទាត់ត្រង់ប៉ារ៉ាឡែល 7x+10=0។
ដំណោះស្រាយ។ នៅទីនេះ A=7, B=0។ រូបមន្ត (2) ផ្តល់ 7(x+2)=0, i.e. x+2=0។ រូបមន្ត (1) មិនអាចអនុវត្តបានទេ ដោយសារសមីការនេះមិនអាចដោះស្រាយបានទាក់ទងនឹង y (បន្ទាត់ត្រង់នេះគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y)។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងធរណីមាត្រ Euclidean ។

មានបន្ទាត់ជាច្រើនដែលមិនចេះចប់ដែលអាចគូសតាមចំណុចណាមួយបាន។

តាមរយៈចំណុចមិនស្របគ្នាពីរណាមួយ មានតែបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

បន្ទាត់មិនស្របគ្នាពីរនៅក្នុងយន្តហោះ ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចតែមួយ ឬជា

ប៉ារ៉ាឡែល (ធ្វើតាមពីមួយមុន) ។

នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ មានជម្រើសបីសម្រាប់ទីតាំងដែលទាក់ទងនៃបន្ទាត់ពីរ៖

បន្ទាត់ប្រសព្វ;

បន្ទាត់ត្រង់គឺស្របគ្នា;

បន្ទាត់ត្រង់ប្រសព្វ។

ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដោយសមីការនៃដឺក្រេទីមួយ (សមីការលីនេអ៊ែរ) ។

សមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

Ah + Wu + C = 0,

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ប្រភពដើម

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (ដោយ + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- បន្ទាត់ត្រង់ស្របទៅនឹងអ័ក្ស អូ

. B = C = 0, A ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

. A = C = 0, B ≠ 0- បន្ទាត់ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស អូ

លក្ខខណ្ឌដំបូង។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រធម្មតា។

និយមន័យ. នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ Cartesian វ៉ិចទ័រដែលមានសមាសធាតុ (A, B)

កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ដែលផ្តល់ដោយសមីការ

Ah + Wu + C = 0 ។

គ = -១. សរុប៖ សមីការដែលចង់បាន៖ 3x - y - 1 \u003d 0 ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ពីរចំណុច។

ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ៖

យន្តហោះ សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលសរសេរខាងលើត្រូវបានធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖

ប្រសិនបើ x 1 ≠ x 2និង x = x ១, ប្រសិនបើ x 1 = x 2 .

ប្រភាគ = គហៅ កត្តាជម្រាល ត្រង់.

ឧទាហរណ៍. រកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំនុច A(1,2) និង B(3,4)។

ដំណោះស្រាយ. អនុវត្តរូបមន្តខាងលើយើងទទួលបាន៖

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដោយចំណុចមួយ និងជម្រាលមួយ។

ប្រសិនបើសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ Ah + Wu + C = 0នាំយកទៅទម្រង់:

និងកំណត់ បន្ទាប់មកសមីការលទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថា

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយជម្រាល k ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់លើចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ។

បន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ និងវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

និយមន័យ. រាល់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ (α 1 , α 2)សមាសធាតុដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ

Aα 1 + Bα 2 = 0ហៅ វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់។

Ah + Wu + C = 0 ។

មេគុណត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. ក = ខ។

បន្ទាប់មកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មានទម្រង់៖ អ័ក្ស + Ay + C = 0,ឬ x + y + C / A = 0 ។

នៅ x=1, y=2យើងទទួលបាន គ/ ក = -៣, i.e. សមីការដែលចង់បាន៖

x + y − 3 = 0

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅក្នុងផ្នែក។

ឬ កន្លែងណា

អត្ថន័យធរណីមាត្រនៃមេគុណគឺ មេគុណ a គឺជាកូអរដោនេនៃចំនុចប្រសព្វ

ត្រង់ជាមួយអ័ក្ស អូក ខ- កូអរដោនេនៃចំណុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ជាមួយអ័ក្ស អូ.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d ១.

សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់។

ប្រសិនបើភាគីទាំងពីរនៃសមីការ Ah + Wu + C = 0ចែកដោយលេខ ដែលត្រូវបានគេហៅថា

កត្តាធ្វើឱ្យធម្មតា។បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

xcosφ + ysinφ - p = 0 -សមីការធម្មតានៃបន្ទាត់ត្រង់.

សញ្ញា ± នៃកត្តាធម្មតាត្រូវតែត្រូវបានជ្រើសរើសដូច្នេះ μ * គ< 0.

រ- ប្រវែងកាត់កាត់ពីដើមទៅបន្ទាត់

ក φ - មុំបង្កើតដោយកាត់កែងនេះជាមួយនឹងទិសដៅវិជ្ជមាននៃអ័ក្ស អូ។

បន្ទាត់ត្រង់នេះ។

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះនៅក្នុងផ្នែក:

សមីការនៃបន្ទាត់នេះជាមួយនឹងជម្រាល: (ចែកនឹង 5)

សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់:

cos φ = 12/13; sin φ= −5/13; p=5 ។

ស្របទៅនឹងអ័ក្ស ឬឆ្លងកាត់ប្រភពដើម។

មុំរវាងបន្ទាត់នៅលើយន្តហោះ។

នឹងត្រូវបានកំណត់ថាជា

បន្ទាត់ពីរគឺស្របគ្នាប្រសិនបើ k 1 = k 2. បន្ទាត់ពីរគឺកាត់កែង

ប្រសិនបើ k 1 \u003d -1 / k 2 .

ទ្រឹស្តីបទ.

ផ្ទាល់ Ah + Wu + C = 0និង A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0គឺស្របគ្នានៅពេលដែលមេគុណមានសមាមាត្រ

ត្រូវបានរកឃើញជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការនៃបន្ទាត់ទាំងនេះ។

និយមន័យ. បន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ M 1 (x 1, y 1)និងកាត់កែងទៅបន្ទាត់ y = kx + b

តំណាងដោយសមីការ៖

ចម្ងាយពីចំណុចមួយទៅបន្ទាត់មួយ។

ផ្ទាល់។ បន្ទាប់មកចម្ងាយរវាងចំណុច មនិង ម ១:

(1)

កូអរដោនេ x ១និង ១អាចរកបានជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ៖

A(x − x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + ដោយ 0 + C = 0,

បន្ទាប់មកដោះស្រាយយើងទទួលបាន៖

ការជំនួសកន្សោមទាំងនេះទៅជាសមីការ (១) យើងរកឃើញ៖

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

អត្ថបទនេះបង្ហាញពីប្រភពនៃសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណដែលមានទីតាំងនៅលើយន្តហោះ។ យើងទាញយកសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេចតុកោណ។ យើងនឹងបង្ហាញដោយមើលឃើញ និងដោះស្រាយឧទាហរណ៍មួយចំនួនដែលទាក់ទងនឹងសម្ភារៈគ្របដណ្តប់។

Yandex.RTB R-A-339285-1

មុនពេលទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរ វាចាំបាច់ត្រូវយកចិត្តទុកដាក់លើការពិតមួយចំនួន។ មាន axiom មួយដែលនិយាយថាតាមរយៈចំនុចមិនស្របគ្នាពីរនៅលើយន្តហោះ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគូរបន្ទាត់ត្រង់មួយនិងតែមួយគត់។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរនៃយន្តហោះត្រូវបានកំណត់ដោយបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ។

ប្រសិនបើយន្តហោះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ Oxy នោះបន្ទាត់ត្រង់ណាមួយដែលបង្ហាញនៅក្នុងវានឹងត្រូវគ្នាទៅនឹងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះ។ វាក៏មានការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់ផងដែរ។ ទិន្នន័យទាំងនេះគឺគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីគូរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ពិចារណាឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហាស្រដៀងគ្នា។ វាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើតសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយដែលឆ្លងកាត់ចំនុចមិនស៊ីគ្នាពីរ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ដែលមានទីតាំងនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ Cartesian ។

នៅក្នុងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះដែលមានទម្រង់ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y ប្រព័ន្ធកូអរដោនេរាងចតុកោណ O x y ត្រូវបានបញ្ជាក់ជាមួយនឹងបន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វជាមួយវានៅចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1) ជាមួយវ៉ិចទ័រណែនាំ a → = (a x , a y) ។

វាចាំបាច់ក្នុងការចងក្រងសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ a ដែលនឹងឆ្លងកាត់ចំណុចពីរជាមួយនឹងកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។

បន្ទាត់ត្រង់ a មានវ៉ិចទ័រដឹកនាំ M 1 M 2 → ជាមួយកូអរដោណេ (x 2 - x 1, y 2 - y 1) ព្រោះវាប្រសព្វចំនុច M 1 និង M 2 ។ យើងបានទទួលទិន្នន័យចាំបាច់ដើម្បីបំប្លែងសមីការ Canonical ជាមួយនឹងកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទិសដៅ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) និងកូអរដោនេនៃចំនុច M 1 ដែលស្ថិតនៅលើពួកវា។ (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 ឬ x − x 2 x 2 − x 1 = y − y 2 y 2 − y 1 ។

ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។

បន្ទាប់ពីការគណនា យើងសរសេរសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រនៃបន្ទាត់ត្រង់ក្នុងយន្តហោះដែលឆ្លងកាត់ពីរចំណុចជាមួយកូអរដោណេ M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ ឬ x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែដិតដល់នូវឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ 2 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យដោយកូអរដោនេ M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 ។

ដំណោះស្រាយ

សមីការ Canonical សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ដែលប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរដែលមានកូអរដោណេ x 1 , y 1 និង x 2 , y 2 យកទម្រង់ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ។ យោងតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា យើងមានថា x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 ។ វាចាំបាច់ក្នុងការជំនួសតម្លៃលេខក្នុងសមីការ x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 – y 1 ។ ពីនេះយើងទទួលបានថាសមីការ Canonical នឹងយកទម្រង់ x − (- 5) 1 − (- 5) = y − 2 3 – 1 6 – 2 3 ⇔ x + 5 6 = y – 2 3 – 5 6 ។

ចម្លើយ៖ x + 5 6 = y − 2 3 − 5 6 .

ប្រសិនបើវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយនឹងប្រភេទសមីការផ្សេង នោះសម្រាប់ការចាប់ផ្តើម អ្នកអាចចូលទៅកាន់ Canonical ព្រោះវាងាយស្រួលជាងក្នុងការមករកផ្សេងទៀតពីវា។

ឧទាហរណ៍ ២

ចងក្រងសមីការទូទៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោណេ M 1 (1, 1) និង M 2 (4, 2) នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ O x y ។

ដំណោះស្រាយ

ដំបូងអ្នកត្រូវសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ យើងទទួលបានសមីការនៃទម្រង់ x − 1 4 − 1 = y − 1 2 − 1 ⇔ x − 1 3 = y − 1 1 ។

យើងនាំយកសមីការ Canonical ទៅជាទម្រង់ដែលចង់បាន បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖

x − 1 3 = y − 1 1 ⇔ 1 x − 1 = 3 y − 1 ⇔ x − 3 y + 2 = 0

ចម្លើយ៖ x − 3 y + 2 = 0 ។

ឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ចបែបនេះត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលានៅមេរៀនពិជគណិត។ ភារកិច្ចរបស់សាលាមានភាពខុសប្លែកគ្នាដែលសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានមេគុណជម្រាលត្រូវបានគេដឹងថាមានទម្រង់ y \u003d k x + b ។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការស្វែងរកតម្លៃនៃជម្រាល k និងលេខ b ដែលសមីការ y \u003d k x + b កំណត់បន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធ O x y ដែលឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1, y 1) និង M 2 (x 2, y 2) ដែល x 1 ≠ x 2 ។ នៅពេល x 1 = x 2 បន្ទាប់មកជម្រាលត្រូវចំណាយពេលលើតម្លៃនៃភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ហើយបន្ទាត់ត្រង់ M 1 M 2 ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការមិនពេញលេញទូទៅនៃទម្រង់ x − x 1 = 0 .

ដោយសារតែចំណុច ម ១និង ម ២ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់ពួកគេបំពេញសមីការ y 1 = k x 1 + b និង y 2 = k x 2 + b ។ វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការ y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b ដោយគោរពតាម k និង b ។

ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ឬ k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 ។

ជាមួយនឹងតម្លៃនៃ k និង b សមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យយកទម្រង់ដូចខាងក្រោម y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ឬ y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 ។

ការទន្ទេញរូបមន្តជាច្រើនក្នុងពេលតែមួយនឹងមិនដំណើរការទេ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើនចំនួនពាក្យដដែលៗក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍ ៣

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានជម្រាលឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេ M 2 (2, 1) និង y = k x + b ។

ដំណោះស្រាយ

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា យើងប្រើរូបមន្តដែលមានជម្រាលដែលមានទម្រង់ y \u003d k x + b ។ មេគុណ k និង b ត្រូវតែយកតម្លៃបែបនេះដែលសមីការនេះត្រូវគ្នាទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់មួយឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលមានកូអរដោនេ M 1 (- 7 , - 5) និង M 2 (2 , 1) ។

ពិន្ទុ ម ១និង ម ២ដែលមានទីតាំងនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ បន្ទាប់មកកូអរដោនេរបស់ពួកគេគួរតែបញ្ច្រាសសមីការ y = k x + b សមភាពត្រឹមត្រូវ។ ពីទីនេះយើងទទួលបានថា - 5 = k · (- 7) + b និង 1 = k · 2 + b ។ ចូរផ្សំសមីការទៅក្នុងប្រព័ន្ធ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ហើយដោះស្រាយ។

នៅពេលជំនួសយើងទទួលបានវា។

5 = k − 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = − 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = − 5 + 7 k 2 k − 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = − 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = − 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = − 1 3 k = 2 3

ឥឡូវតម្លៃ k = 2 3 និង b = − 1 3 ត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងសមីការ y = k x + b ។ យើងទទួលបានថាសមីការដែលចង់បានឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្ដល់នឹងជាសមីការដែលមានទម្រង់ y = 2 3 x − 1 3 ។

វិធីនៃការដោះស្រាយនេះកំណត់ទុកជាមុននូវការចំណាយពេលវេលាច្រើន។ មានវិធីមួយដែលកិច្ចការត្រូវបានដោះស្រាយតាមព្យញ្ជនៈជាពីរជំហាន។

យើងសរសេរសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ M 2 (2, 1) និង M 1 (- 7, - 5) ដែលមានទម្រង់ x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ។ ) 1 − (− 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅសមីការជម្រាល។ យើងទទួលបាននោះ៖ x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x − 1 3 ។

ចម្លើយ៖ y = 2 3 x − 1 3 ។

ប្រសិនបើនៅក្នុងលំហបីវិមាត្រមានប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ O x y z ដែលមានចំណុចមិនស្របគ្នាដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរជាមួយកូអរដោនេ M 1 (x 1, y 1, z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) បន្ទាត់ត្រង់ M ឆ្លងកាត់ពួកវា 1 M 2 វាចាំបាច់ក្នុងការទទួលបានសមីការនៃបន្ទាត់នេះ។

យើងមានសមីការ Canonical នៃទម្រង់ x − x 1 a x = y − y 1 a y = z − z 1 a z និងសមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ គឺ អាចកំណត់បន្ទាត់នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេ O x y z ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលមានកូអរដោនេ (x 1, y 1, z 1) ជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រដឹកនាំ a → = (a x, a y, a z) ។

ត្រង់ M 1 M 2 មានវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃទម្រង់ M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) ដែលបន្ទាត់ឆ្លងកាត់ចំណុច M 1 (x 1 , y 1 , z 1) និង M 2 (x 2, y 2, z 2) ដូច្នេះ សមីការ Canonical អាចមានទម្រង់ x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 – y 1 = z − z 1 z 2 - z 1 ឬ x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, នៅក្នុងវេន, ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ x \u003d x 1 + (x 2 − x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 − y 1) λ z = z 1 + (z 2 − z 1) λ ឬ x = x 2 + (x 2 − x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ ។

ពិចារណាលើតួលេខដែលបង្ហាញ 2 ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ និងសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ឧទាហរណ៍ 4

សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ត្រង់ដែលបានកំណត់ក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ O x y z នៃលំហបីវិមាត្រ ឆ្លងកាត់ចំណុចពីរដែលបានផ្តល់ឱ្យជាមួយនឹងកូអរដោនេ M 1 (2, - 3, 0) និង M 2 (1, - 3, - 5 ) ។

ដំណោះស្រាយ

យើងត្រូវស្វែងរកសមីការ Canonical ។ ដោយសារយើងកំពុងនិយាយអំពីលំហបីវិមាត្រ វាមានន័យថានៅពេលដែលបន្ទាត់ត្រង់ឆ្លងកាត់ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ សមីការ Canonical ដែលចង់បាននឹងយកទម្រង់ x − x 1 x 2 − x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ។

តាមលក្ខខណ្ឌ យើងមានថា x 1 = 2, y 1 = − 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = − 3, z 2 = − 5 ។ វាដូចខាងក្រោមថាសមីការចាំបាច់អាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម:

x − 2 1 − 2 = y − ( − 3 ) − 3 − ( − 3 ) = z − 0 − 5 − 0 ⇔ x − 2 − 1 = y + 3 0 = z − 5

ចម្លើយ៖ x − 2 − 1 = y + 3 0 = z − 5 ។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter