របៀបពិនិត្យមើលវិធីសាស្រ្ត gauss ។ វិធីសាស្រ្តបញ្ច្រាស Gauss

វិធីសាមញ្ញបំផុតមួយដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ គឺជាវិធីសាស្ត្រផ្អែកលើការគណនាកត្តាកំណត់ ( ក្បួនរបស់ Cramer) អត្ថប្រយោជន៍របស់វាគឺថាវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកកត់ត្រាដំណោះស្រាយភ្លាមៗវាងាយស្រួលជាពិសេសក្នុងករណីដែលមេគុណប្រព័ន្ធមិនមែនជាលេខប៉ុន្តែប៉ារ៉ាម៉ែត្រខ្លះ។ គុណវិបត្តិរបស់វាគឺភាពលំបាកនៃការគណនានៅក្នុងករណីនៃសមីការមួយចំនួនធំ លើសពីនេះច្បាប់របស់ Cramer មិនអាចអនុវត្តដោយផ្ទាល់ចំពោះប្រព័ន្ធដែលចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនមិនស្គាល់។ ក្នុងករណីបែបនេះវាត្រូវបានគេប្រើជាធម្មតា វិធីសាស្រ្ត Gauss.

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានសំណុំដូចគ្នានៃដំណោះស្រាយត្រូវបានគេហៅថា សមមូល. ជាក់ស្តែង សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ ឬប្រសិនបើសមីការណាមួយត្រូវបានគុណនឹងចំនួនដែលមិនមែនជាសូន្យ ឬប្រសិនបើសមីការមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅសមីការមួយទៀត។

វិធីសាស្រ្ត Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់) ស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថា ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធមួយជំហានដែលសមមូល។ ទីមួយដោយមានជំនួយពីសមីការទី 1 ។ x 1 នៃសមីការជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ បន្ទាប់មកដោយប្រើសមីការទី 2 យើងលុបបំបាត់ x 2 នៃសមីការទី 3 និងសមីការបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់។ ដំណើរការនេះហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss ផ្ទាល់បន្តរហូតដល់នៅសល់តែមិនស្គាល់មួយនៅខាងឆ្វេងនៃសមីការចុងក្រោយ x ន. បន្ទាប់ពីនោះវាត្រូវបានបង្កើតឡើង Gaussian បញ្ច្រាស- ការដោះស្រាយសមីការចុងក្រោយយើងរកឃើញ x ន; បន្ទាប់ពីនោះដោយប្រើតម្លៃនេះពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងគណនា x ន-១ ល។ ចុងក្រោយយើងរកឃើញ x 1 ពីសមីការទីមួយ។

វាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តការបំប្លែង Gaussian ដោយអនុវត្តការបំប្លែងមិនមែនជាមួយនឹងសមីការខ្លួនឯងទេ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសនៃមេគុណរបស់វា។ ពិចារណាម៉ាទ្រីស៖

ហៅ ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីសពង្រីក,ដោយសារតែបន្ថែមលើម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ វារួមបញ្ចូលជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺផ្អែកលើការនាំយកម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់ត្រីកោណ (ឬទម្រង់ trapezoidal ក្នុងករណីប្រព័ន្ធមិនការ៉េ) ដោយប្រើការបំប្លែងជួរដេកបឋម (!) នៃម៉ាទ្រីសពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ។

ឧទាហរណ៍ 5.1 ។ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

ដំណោះស្រាយ. ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើជួរទីមួយ បន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលនៅសល់ទៅជាសូន្យ៖

យើងទទួលបានសូន្យនៅជួរទី 2 ទី 3 និងទី 4 នៃជួរទីមួយ៖

ឥឡូវនេះយើងត្រូវការធាតុទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីពីរខាងក្រោមជួរទី 2 ដើម្បីស្មើនឹងសូន្យ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះអ្នកអាចគុណជួរទីពីរដោយ -4/7 ហើយបន្ថែមទៅជួរទី 3 ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីកុំឱ្យដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ យើងនឹងបង្កើតឯកតាមួយនៅជួរទី 2 នៃជួរទីពីរ ហើយមានតែ

ឥឡូវនេះ ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីសរាងត្រីកោណ អ្នកត្រូវដកធាតុនៃជួរទី 4 នៃជួរទី 3 ចេញ សម្រាប់ការនេះ អ្នកអាចគុណជួរទីបីដោយ 8/54 ហើយបន្ថែមវាទៅទីបួន។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីមិនដោះស្រាយជាមួយប្រភាគ យើងនឹងប្តូរជួរទី 3 និងទី 4 និងជួរទី 3 និងទី 4 ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះយើងនឹងកំណត់ធាតុដែលបានបញ្ជាក់ឡើងវិញ។ ចំណាំថានៅពេលដែលជួរឈរត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ អថេរដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានប្តូរ ហើយនេះត្រូវតែចងចាំ។ ការបំប្លែងបឋមផ្សេងទៀតជាមួយជួរឈរ (ការបន្ថែម និងគុណដោយលេខ) មិនអាចអនុវត្តបានទេ!

ម៉ាទ្រីសសាមញ្ញចុងក្រោយត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលស្មើនឹងដើមមួយ៖

ពីទីនេះដោយប្រើវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss យើងរកឃើញពីសមីការទីបួន x 3 = -1; ពីទីបី x 4 = -2, ពីទីពីរ x 2 = 2 និងពីសមីការទីមួយ x 1 = 1. ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ចម្លើយត្រូវបានសរសេរជា

យើងបានពិចារណាករណីនៅពេលដែលប្រព័ន្ធគឺច្បាស់លាស់, i.e. នៅពេលដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយ។ តោះមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើប្រព័ន្ធមិនស្របគ្នាឬមិនកំណត់។

ឧទាហរណ៍ 5.2 ។រុករកប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

ដំណោះស្រាយ. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ

យើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការសាមញ្ញ៖

នៅទីនេះក្នុងសមីការចុងក្រោយ វាបានប្រែក្លាយថា 0=4, i.e. ភាពផ្ទុយគ្នា។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយទេ i.e. នាង​គឺ មិនឆបគ្នា។. à

ឧទាហរណ៍ 5.3 ។ស្វែងយល់ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian៖

ដំណោះស្រាយ. យើងសរសេរចេញ និងបំប្លែងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរ មានតែលេខសូន្យប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានទទួលនៅក្នុងជួរចុងក្រោយ។ នេះមានន័យថាចំនួនសមីការបានថយចុះមួយ៖

ដូច្នេះ បន្ទាប់ពីការធ្វើឱ្យសាមញ្ញ សមីការពីរនៅតែមាន និងមិនស្គាល់ចំនួនបួន ពោលគឺឧ។ "បន្ថែម" មិនស្គាល់ពីរ។ អនុញ្ញាតឱ្យ "ហួសហេតុ" ឬដូចដែលពួកគេនិយាយ។ អថេរឥតគិតថ្លៃ, នឹង x 3 និង xបួន . បន្ទាប់មក

សន្មត់ x 3 = 2កនិង x 4 = ខ, យើង​ទទួល​បាន x 2 = 1–កនិង x 1 = 2ខ–ក; ឬក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយដែលសរសេរតាមរបៀបនេះត្រូវបានគេហៅថា ទូទៅចាប់តាំងពីដោយផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ កនិង ខតម្លៃខុសគ្នា វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីពិពណ៌នាដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ។ ក

ថ្ងៃនេះយើងដោះស្រាយជាមួយវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ អ្នកអាចអានអំពីអ្វីដែលប្រព័ន្ធទាំងនេះមាននៅក្នុងអត្ថបទមុនដែលបានឧទ្ទិសដល់ការដោះស្រាយ SLAE ដូចគ្នាដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ វិធីសាស្ត្រ Gauss មិនទាមទារចំណេះដឹងជាក់លាក់ណាមួយទេ ត្រូវការតែការថែទាំ និងភាពជាប់លាប់ប៉ុណ្ណោះ។ ទោះបីជាការពិតដែលថាតាមទស្សនៈនៃគណិតវិទ្យាការរៀបចំសាលារៀនគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការអនុវត្តរបស់វា ការស្ទាត់ជំនាញវិធីសាស្រ្តនេះជារឿយៗបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកសម្រាប់សិស្ស។ នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងព្យាយាមកាត់បន្ថយវាទៅគ្មានអ្វីសោះ!

វិធីសាស្រ្ត Gauss

ម វិធីសាស្រ្ត Gaussគឺជាវិធីសាស្រ្តសកលបំផុតសម្រាប់ការដោះស្រាយ SLAE (លើកលែងតែប្រព័ន្ធធំៗ)។ មិនដូចអ្វីដែលបានពិភាក្សាពីមុននោះទេ វាសមរម្យមិនត្រឹមតែសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់ផងដែរ។ មានជម្រើសបីនៅទីនេះ។

1. ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធមិនស្មើនឹងសូន្យ);
2. ប្រព័ន្ធមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់;
3. មិនមានដំណោះស្រាយទេ ប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ដូច្នេះ យើងមានប្រព័ន្ធមួយ (សូមឱ្យវាមានដំណោះស្រាយមួយ) ហើយយើងនឹងដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ តើវាដំណើរការយ៉ាងដូចម្តេច?

វិធីសាស្រ្ត Gaussian មានពីរដំណាក់កាល - ដោយផ្ទាល់និងបញ្ច្រាស។

វិធីសាស្រ្ត Gauss ផ្ទាល់

ដំបូងយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបន្ថែមជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃទៅម៉ាទ្រីសចម្បង។

ខ្លឹមសារទាំងមូលនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺដើម្បីនាំយកម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាទម្រង់ជាជំហាន (ឬដូចដែលពួកគេនិយាយថា ត្រីកោណ) ដោយមធ្យោបាយនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។ ក្នុងទម្រង់នេះ គួរតែមានតែសូន្យនៅក្រោម (ឬខាងលើ) អង្កត់ទ្រូងសំខាន់នៃម៉ាទ្រីស។

អ្វីដែលអាចធ្វើបាន៖

1. អ្នកអាចរៀបចំជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសឡើងវិញ។
2. ប្រសិនបើមានជួរដូចគ្នា (ឬសមាមាត្រ) នៅក្នុងម៉ាទ្រីស អ្នកអាចលុបទាំងអស់ លើកលែងតែមួយក្នុងចំណោមពួកវា។
3. អ្នកអាចគុណឬបែងចែកខ្សែអក្សរដោយលេខណាមួយ (លើកលែងតែសូន្យ);
4. បន្ទាត់សូន្យត្រូវបានដកចេញ;
5. អ្នកអាចបន្ថែមខ្សែអក្សរដែលគុណនឹងលេខមិនមែនសូន្យទៅខ្សែអក្សរមួយ។

វិធីសាស្រ្តបញ្ច្រាស Gauss

បន្ទាប់​ពី​យើង​បំប្លែង​ប្រព័ន្ធ​តាម​វិធី​នេះ គេ​មិន​ស្គាល់ xn ត្រូវបានគេស្គាល់ ហើយវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីស្វែងរកមិនស្គាល់ដែលនៅសេសសល់ទាំងអស់ក្នុងលំដាប់បញ្ច្រាស ដោយជំនួស x ដែលស្គាល់រួចហើយទៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ រហូតដល់លេខទីមួយ។

នៅពេលដែលអ៊ីនធឺណិតតែងតែនៅនឹងដៃ អ្នកអាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss លើបណ្តាញ។អ្វីដែលអ្នកត្រូវធ្វើគឺបញ្ចូលហាងឆេងទៅក្នុងម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិត។ ប៉ុន្តែអ្នកត្រូវតែទទួលស្គាល់ វាជាការរីករាយជាងក្នុងការដឹងថាឧទាហរណ៍មិនត្រូវបានដោះស្រាយដោយកម្មវិធីកុំព្យូទ័រនោះទេ ប៉ុន្តែដោយខួរក្បាលរបស់អ្នកផ្ទាល់។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

ហើយឥឡូវនេះ - ឧទាហរណ៍មួយដូច្នេះថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងក្លាយជាច្បាស់លាស់និងអាចយល់បាន។ អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ឱ្យហើយវាចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយវាដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss:

ដំបូងយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែម៖

ឥឡូវ​នេះ​សូម​មើល​ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​។ ចងចាំថាយើងត្រូវសម្រេចបានទម្រង់ត្រីកោណនៃម៉ាទ្រីស។ គុណជួរទី 1 ដោយ (3) ។ គុណជួរទី 2 ដោយ (-1) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 2 ទៅជួរទី 1 ហើយទទួលបាន:

បន្ទាប់មកគុណជួរទី ៣ ដោយ (-១) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 3 ទៅទី 2៖

គុណជួរទី 1 ដោយ (6) ។ គុណជួរទី 2 ដោយ (13) ។ ចូរបន្ថែមជួរទី 2 ទៅទី 1៖

Voila - ប្រព័ន្ធត្រូវបាននាំយកទៅទម្រង់សមរម្យ។ វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកអ្នកដែលមិនស្គាល់៖

ប្រព័ន្ធក្នុងឧទាហរណ៍នេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ យើងនឹងពិចារណាដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធជាមួយនឹងសំណុំនៃដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់នៅក្នុងអត្ថបទដាច់ដោយឡែកមួយ។ ប្រហែលជាដំបូង អ្នកនឹងមិនដឹងថាត្រូវចាប់ផ្តើមពីកន្លែងណាជាមួយការបំប្លែងម៉ាទ្រីសនោះទេ ប៉ុន្តែបន្ទាប់ពីការអនុវត្តសមស្រប អ្នកនឹងចាប់ដៃអ្នកនៅលើវា ហើយនឹងចុច Gaussian SLAE ដូចជាគ្រាប់។ ហើយប្រសិនបើអ្នកស្រាប់តែជួប SLAU ដែលប្រែទៅជារឹងពេកក្នុងការបំបែក សូមទាក់ទងអ្នកនិពន្ធរបស់យើង! អ្នកអាចដោយទុកពាក្យសុំក្នុងសារឆ្លើយឆ្លង។ យើងរួមគ្នាដោះស្រាយបញ្ហាណាមួយ!

ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតនេះរកឃើញដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ (SLE) ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។ ដំណោះស្រាយលម្អិតត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ដើម្បីគណនា សូមជ្រើសរើសចំនួនអថេរ និងចំនួនសមីការ។ បន្ទាប់មកបញ្ចូលទិន្នន័យនៅក្នុងក្រឡាហើយចុចលើ "គណនា" ។

តំណាងលេខ៖

ចំនួនខ្ទង់បន្ទាប់ពីសញ្ញាបំបែកទសភាគ

×

ការព្រមាន

ជម្រះក្រឡាទាំងអស់?

បិទជម្រះ

ការណែនាំអំពីការបញ្ចូលទិន្នន័យ។លេខត្រូវបានបញ្ចូលជាលេខទាំងមូល (ឧទាហរណ៍៖ 487, 5, -7623 ។ល។) លេខទសភាគ (ឧ. 67., 102.54 ។ល។) ឬប្រភាគ។ ប្រភាគត្រូវតែវាយបញ្ចូលក្នុងទម្រង់ a/b ដែល a និង b (b>0) ជាចំនួនគត់ ឬលេខទសភាគ។ ឧទាហរណ៍ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ។ល។

វិធីសាស្រ្ត Gauss

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរពីប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ (ដោយប្រើការបំប្លែងសមមូល) ទៅជាប្រព័ន្ធដែលងាយស្រួលដោះស្រាយជាងប្រព័ន្ធដើម។

ការបំប្លែងសមមូលនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរគឺ៖

• ការផ្លាស់ប្តូរសមីការពីរនៅក្នុងប្រព័ន្ធ
• គុណនៃសមីការណាមួយនៅក្នុងប្រព័ន្ធដោយចំនួនពិតដែលមិនមែនជាសូន្យ,
• ការបន្ថែមទៅសមីការមួយ សមីការមួយទៀតគុណនឹងចំនួនបំពាន។

ពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ៖

យើងសរសេរប្រព័ន្ធ (1) ក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស៖

(3)

កត្រូវបានគេហៅថា ម៉ាទ្រីសមេគុណនៃប្រព័ន្ធ ខ- ផ្នែកខាងស្តាំនៃឧបសគ្គ x- វ៉ិចទ័រនៃអថេរដែលត្រូវរក។ សូមឱ្យចំណាត់ថ្នាក់ ( ក)=ទំ.

ការបំប្លែងសមមូលមិនផ្លាស់ប្តូរចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមេគុណ និងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធទេ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធក៏មិនផ្លាស់ប្តូរនៅក្រោមការបំប្លែងសមមូលដែរ។ ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺនាំយកម៉ាទ្រីសនៃមេគុណ កដើម្បីអង្កត់ទ្រូងឬជំហាន។

ចូរយើងបង្កើតម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

នៅដំណាក់កាលបន្ទាប់ យើងកំណត់ធាតុទាំងអស់នៃជួរទី 2 ឡើងវិញនៅខាងក្រោមធាតុ។ ប្រសិនបើធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺទុកជាមោឃៈ នោះជួរដេកនេះត្រូវបានជំនួសដោយជួរដេកដែលស្ថិតនៅខាងក្រោមជួរដេកដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងមានធាតុមិនសូន្យនៅក្នុងជួរទីពីរ។ បន្ទាប់មក យើងដកធាតុទាំងអស់នៃជួរទី 2 នៅខាងក្រោមធាតុនាំមុខ ក២២. ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមជួរទី 3, ... មជាមួយជួរទី 2 គុណនឹង − ក 32 /ក 22 , ..., −ក m2 / ក 22 រៀងគ្នា។ ការបន្តនីតិវិធី យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទម្រង់អង្កត់ទ្រូង ឬជំហាន។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីសបន្ថែមលទ្ធផលមើលទៅដូច៖

ដោយសារតែ rankA=ចំណាត់ថ្នាក់(ក|ខ) បន្ទាប់មកសំណុំនៃដំណោះស្រាយ (7) គឺ ( n-p) គឺជាប្រភេទផ្សេងៗគ្នា។ ជាលទ្ធផល n-pមិនស្គាល់អាចត្រូវបានជ្រើសរើសតាមអំពើចិត្ត។ ការមិនស្គាល់ដែលនៅសល់ពីប្រព័ន្ធ (7) ត្រូវបានគណនាដូចខាងក្រោម។ ពីសមីការចុងក្រោយដែលយើងបង្ហាញ x p តាមរយៈអថេរដែលនៅសល់ ហើយបញ្ចូលទៅក្នុងកន្សោមមុន។ បន្ទាប់ ពីសមីការ penultimate យើងបង្ហាញ x p−1 តាមរយៈអថេរដែលនៅសល់ ហើយបញ្ចូលទៅក្នុងកន្សោមមុន ​​។ល។ ពិចារណាវិធីសាស្ត្រ Gauss លើឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

ឧទាហរណ៍ 1. ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

បញ្ជាក់ដោយ កធាតុ ij ខ្ញុំ- បន្ទាត់ទី និង j- ជួរឈរ។

កដប់មួយ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមជួរទី 2,3 ជាមួយជួរទី 1 គុណនឹង -2/3, -1/2 រៀងគ្នា៖

ប្រភេទកំណត់ត្រាម៉ាទ្រីស៖ ax=bកន្លែងណា

បញ្ជាក់ដោយ កធាតុ ij ខ្ញុំ- បន្ទាត់ទី និង j- ជួរឈរ។

មិនរាប់បញ្ចូលធាតុនៃជួរទី 1 នៃម៉ាទ្រីសខាងក្រោមធាតុ កដប់មួយ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមជួរទី 2,3 ជាមួយជួរទី 1 គុណនឹង -1/5, -6/5 រៀងគ្នា៖

យើងបែងចែកជួរនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដោយធាតុនាំមុខដែលត្រូវគ្នា (ប្រសិនបើធាតុនាំមុខមាន)៖

កន្លែងណា x 3 , x

ការជំនួសកន្សោមខាងលើទៅជាអក្សរទាប យើងទទួលបានដំណោះស្រាយ។

បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយវ៉ិចទ័រអាចត្រូវបានតំណាងដូចខាងក្រោម:

កន្លែងណា x 3 , x 4 គឺជាចំនួនពិតតាមអំពើចិត្ត។

1. ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

1.1 គំនិតនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

ប្រព័ន្ធនៃសមីការគឺជាលក្ខខណ្ឌដែលមាននៅក្នុងការប្រតិបត្តិដំណាលគ្នានៃសមីការជាច្រើននៅក្នុងអថេរជាច្រើន។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (បន្ទាប់ហៅថា SLAE) ដែលមានសមីការ m និង n មិនស្គាល់ គឺជាប្រព័ន្ធនៃទម្រង់៖

ដែលលេខ ij ត្រូវបានគេហៅថាមេគុណនៃប្រព័ន្ធ លេខ b i គឺជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ អាយនិង b i(i=1,…, m; b=1,…, n) គឺជាលេខដែលគេស្គាល់មួយចំនួន និង x ១ ,…, x ន- មិនស្គាល់។ នៅក្នុងសញ្ញាណនៃមេគុណ អាយសន្ទស្សន៍ទីមួយដែលខ្ញុំបង្ហាញពីចំនួនសមីការ ហើយសន្ទស្សន៍ទីពីរ j គឺជាចំនួនមិនស្គាល់ដែលមេគុណនេះឈរ។ ប្រធានបទដើម្បីស្វែងរកលេខ x n ។ វាងាយស្រួលក្នុងការសរសេរប្រព័ន្ធបែបនេះក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសបង្រួម៖ AX=B។នៅទីនេះ A គឺជាម៉ាទ្រីសនៃមេគុណនៃប្រព័ន្ធ ដែលហៅថា ម៉ាទ្រីសមេ។

ផលិតផលនៃម៉ាទ្រីស A * X ត្រូវបានកំណត់ ចាប់តាំងពីមានជួរឈរជាច្រើននៅក្នុងម៉ាទ្រីស A ដោយសារមានជួរនៅក្នុងម៉ាទ្រីស X (n បំណែក) ។

ម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធគឺជាម៉ាទ្រីស A នៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមដោយជួរឈរនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ

1.2 ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការគឺជាសំណុំលេខលំដាប់ (តម្លៃនៃអថេរ) នៅពេលជំនួសពួកវាជំនួសឱ្យអថេរ សមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធប្រែទៅជាសមភាពពិត។

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធគឺ n តម្លៃនៃមិនស្គាល់ x1=c1, x2=c2,…, xn=cn ជំនួសដែលសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធប្រែទៅជាសមភាពពិត។ ដំណោះស្រាយណាមួយនៃប្រព័ន្ធអាចត្រូវបានសរសេរជាម៉ាទ្រីស-ជួរឈរ

ប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថាស្របប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់មួយ ហើយមិនជាប់លាប់ប្រសិនបើវាមិនមានដំណោះស្រាយ។

ប្រព័ន្ធរួមគ្នាត្រូវបានគេហៅថា កំណត់ប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ និងគ្មានកំណត់ប្រសិនបើវាមានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ។ ក្នុងករណីចុងក្រោយដំណោះស្រាយនីមួយៗរបស់វាត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃប្រព័ន្ធ។ សំណុំនៃដំណោះស្រាយពិសេសទាំងអស់ត្រូវបានគេហៅថាដំណោះស្រាយទូទៅ។

ដើម្បី​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​មាន​ន័យ​ថា​រក​ឱ្យ​ឃើញ​ថា​តើ​វា​ស្រប​ឬ​មិន​ស៊ីសង្វាក់​គ្នា​។ ប្រសិនបើប្រព័ន្ធត្រូវគ្នា សូមស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វា។

ប្រព័ន្ធពីរត្រូវបានគេហៅថាសមមូល (សមមូល) ប្រសិនបើពួកគេមានដំណោះស្រាយទូទៅដូចគ្នា។ ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងប្រសិនបើរាល់ដំណោះស្រាយចំពោះដំណោះស្រាយមួយក្នុងចំនោមពួកគេគឺជាដំណោះស្រាយទៅមួយទៀត ហើយផ្ទុយទៅវិញ។

ការបំប្លែងដែលជាកម្មវិធីដែលបំប្លែងប្រព័ន្ធមួយទៅជាប្រព័ន្ធថ្មីដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធដើមត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរសមមូល ឬសមមូល។ ការបំប្លែងខាងក្រោមអាចធ្វើជាឧទាហរណ៍នៃការបំប្លែងសមមូល៖ ប្តូរសមីការពីរនៃប្រព័ន្ធ ប្តូរមិនស្គាល់ចំនួនពីររួមគ្នាជាមួយមេគុណនៃសមីការទាំងអស់ គុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការណាមួយនៃប្រព័ន្ធដោយលេខមិនសូន្យ។

ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានគេហៅថាដូចគ្នា ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ៖

ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្របគ្នា ព្រោះ x1=x2=x3=…=xn=0 គឺជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ។ ដំណោះស្រាយនេះត្រូវបានគេហៅថា null ឬ trivial ។

2. វិធីសាស្រ្តកម្ចាត់ Gaussian

2.1 ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តលុបបំបាត់ Gaussian

វិធីសាស្រ្តបុរាណសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ - វិធីសាស្រ្ត Gauss(វាត្រូវបានគេហៅថាវិធីសាស្រ្តលុបបំបាត់ Gaussian ផងដែរ) ។ នេះគឺជាវិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់អថេរជាបន្តបន្ទាប់ នៅពេលដែល ដោយមានជំនួយពីការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធនៃសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធសមមូលនៃទម្រង់ជាជំហាន (ឬត្រីកោណ) ដែលអថេរផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានរកឃើញជាបន្តបន្ទាប់ ដោយចាប់ផ្តើមពី អថេរចុងក្រោយ (តាមលេខ) ។

ដំណើរការដំណោះស្រាយ Gaussian មានពីរដំណាក់កាល៖ ទៅមុខ និងថយក្រោយ។

1. ចលនាដោយផ្ទាល់។

នៅដំណាក់កាលដំបូងគេហៅថាចលនាផ្ទាល់ត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលដែលតាមរយៈការផ្លាស់ប្តូរបឋមលើជួរដេកប្រព័ន្ធត្រូវបាននាំទៅទម្រង់ជាជំហានឬត្រីកោណឬវាត្រូវបានបង្កើតឡើងថាប្រព័ន្ធមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ ពោលគឺ ក្នុងចំណោមធាតុនៃជួរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស មួយដែលមិនសូន្យត្រូវបានជ្រើសរើស វាត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅទីតាំងខាងលើបំផុតដោយការផ្លាស់ប្តូរជួរ ហើយជួរទីមួយដែលទទួលបានបន្ទាប់ពីការប្តូរវេនត្រូវបានដកចេញពីជួរដេកដែលនៅសល់ ដោយគុណវា ដោយតម្លៃស្មើនឹងសមាមាត្រនៃធាតុទីមួយនៃជួរនីមួយៗនៃជួរទាំងនេះទៅនឹងធាតុដំបូងនៃជួរទីមួយ ដោយសូន្យដូច្នេះជួរឈរខាងក្រោមវា។

បន្ទាប់​ពី​ការ​បំប្លែង​ដែល​បាន​បញ្ជាក់​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ​ឡើង ជួរ​ទីមួយ​និង​ជួរ​ឈរ​ទី​មួយ​ត្រូវ​បាន​កាត់​ចេញ​ដោយ​បញ្ញា ហើយ​បន្ត​រហូត​ដល់​ម៉ាទ្រីស​ទំហំ​សូន្យ​នៅ​តែ​មាន។ ប្រសិនបើ​ការ​ធ្វើ​ដដែលៗ​មួយ​ចំនួន​ក្នុង​ចំណោម​ធាតុ​នៃ​ជួរ​ឈរ​ទី​មួយ​រក​មិន​ឃើញ​មួយ​ដែល​មិន​មែន​សូន្យ​ទេ សូម​ទៅ​កាន់​ជួរ​ឈរ​បន្ទាប់ ហើយ​ធ្វើ​ប្រតិបត្តិការ​ស្រដៀង​គ្នា​នេះ។

នៅដំណាក់កាលដំបូង (ការរត់ទៅមុខ) ប្រព័ន្ធត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់មួយជំហាន (ជាពិសេស ត្រីកោណ) ។

ប្រព័ន្ធខាងក្រោមមានលក្ខណៈជាជំហានៗ៖

មេគុណ aii ត្រូវបានគេហៅថាធាតុសំខាន់ (នាំមុខ) នៃប្រព័ន្ធ។

យើងបំប្លែងប្រព័ន្ធដោយលុបបំបាត់ x1 ដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងសមីការទាំងអស់ លើកលែងតែទីមួយ (ដោយប្រើការបំប្លែងបឋមនៃប្រព័ន្ធ)។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះគុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយ

ការបន្តដំណើរការនេះ យើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមមូល៖

ដូច្នេះនៅជំហានដំបូង មេគុណទាំងអស់នៅក្រោមធាតុនាំមុខទីមួយ a 11 ត្រូវបានបំផ្លាញ

ប្រសិនបើនៅក្នុងដំណើរការនៃការកាត់បន្ថយប្រព័ន្ធទៅជាទម្រង់មួយជំហាន សមីការសូន្យលេចឡើង ពោលគឺឧ។ ភាពស្មើគ្នានៃទម្រង់ 0=0 ពួកគេត្រូវបានលុបចោល។ ប្រសិនបើមានសមីការនៃទម្រង់

នេះបញ្ចប់វគ្គសិក្សាដោយផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

2. ចលនាបញ្ច្រាស។

នៅដំណាក់កាលទីពីរ អ្វីដែលគេហៅថាការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាសត្រូវបានអនុវត្ត ដែលខ្លឹមសារគឺដើម្បីបង្ហាញពីអថេរមូលដ្ឋានលទ្ធផលទាំងអស់នៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃកត្តាដែលមិនមែនជាមូលដ្ឋាន និងបង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ ឬប្រសិនបើអថេរទាំងអស់ជាមូលដ្ឋាន។ បន្ទាប់មកបង្ហាញជាលេខនូវដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

នីតិវិធីនេះចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងសមីការចុងក្រោយ ដែលអថេរមូលដ្ឋានដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានបង្ហាញ (វាមានតែមួយនៅក្នុងវា) ហើយជំនួសទៅក្នុងសមីការមុន ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត ឡើងលើ "ជំហាន" ទៅកំពូល។

បន្ទាត់នីមួយៗត្រូវគ្នាទៅនឹងអថេរមូលដ្ឋានមួយយ៉ាងពិតប្រាកដ ដូច្នេះនៅជំហាននីមួយៗ លើកលែងតែចុងក្រោយ (កំពូលបំផុត) ស្ថានភាពនឹងធ្វើម្តងទៀតករណីនៃបន្ទាត់ចុងក្រោយ។

ចំណាំ៖ នៅក្នុងការអនុវត្ត វាងាយស្រួលជាងក្នុងការធ្វើការមិនមែនជាមួយប្រព័ន្ធ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីករបស់វា អនុវត្តការផ្លាស់ប្តូរបឋមទាំងអស់នៅលើជួររបស់វា។ វាងាយស្រួលដែលមេគុណ a11 ស្មើនឹង 1 (រៀបចំសមីការឡើងវិញ ឬបែងចែកផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការដោយ a11)។

2.2 ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss

នៅក្នុងផ្នែកនេះ ដោយប្រើឧទាហរណ៍បីផ្សេងគ្នា យើងនឹងបង្ហាញពីរបៀបដែលវិធីសាស្ត្រ Gaussian អាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយ SLAE ។

ឧទាហរណ៍ 1. ដោះស្រាយ SLAE នៃលំដាប់ទី 3 ។

កំណត់មេគុណទៅសូន្យនៅ

យើងបន្តពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ មេរៀននេះគឺជាមេរៀនទីបីលើប្រធានបទ។ ប្រសិនបើអ្នកមានគំនិតមិនច្បាស់លាស់អំពីអ្វីដែលជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ជាទូទៅអ្នកមានអារម្មណ៍ថាដូចជាទឹកតែ នោះខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៅលើទំព័របន្ទាប់ វាមានប្រយោជន៍ក្នុងការសិក្សាមេរៀន។

វិធីសាស្ត្រ Gauss ងាយស្រួល!ហេតុអ្វី? គណិតវិទូជនជាតិអាឡឺម៉ង់ដ៏ល្បីល្បាញ Johann Carl Friedrich Gauss ក្នុងអំឡុងពេលពេញមួយជីវិតរបស់គាត់ បានទទួលការទទួលស្គាល់ថាជាគណិតវិទូដ៏អស្ចារ្យបំផុតគ្រប់ពេលវេលា ទេពកោសល្យ និងសូម្បីតែឈ្មោះហៅក្រៅថា "ស្តេចគណិតវិទ្យា" ។ ហើយអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលប៉ិនប្រសប់ដូចដែលអ្នកដឹងគឺសាមញ្ញ!និយាយអីញ្ចឹង មិនត្រឹមតែអ្នកជញ្ជក់ឈាមប៉ុណ្ណោះទេ ថែមទាំងមានទេពកោសល្យចូលលុយទៀតផង - រូបគំនូររបស់ Gauss បានបង្ហាញនៅលើវិក័យប័ត្រចំនួន 10 Deutschmarks (មុនពេលណែនាំប្រាក់អឺរ៉ូ) ហើយ Gauss នៅតែញញឹមយ៉ាងអាថ៌កំបាំងចំពោះជនជាតិអាល្លឺម៉ង់ពីតែមប្រៃសណីយ៍ធម្មតា។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺសាមញ្ញ ដោយថាវាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ចំណេះដឹងរបស់សិស្សថ្នាក់ទីប្រាំមួយដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់វា។ ត្រូវតែអាចបន្ថែម និងគុណ!វាមិនមែនជារឿងចៃដន្យទេដែលវិធីសាស្ត្រនៃការលុបបំបាត់ការមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ត្រូវបានពិចារណាជាញឹកញាប់ដោយគ្រូនៅសាលាជ្រើសរើសគណិតវិទ្យា។ វាគឺជាការប្រៀបធៀបមួយ ប៉ុន្តែវិធីសាស្ត្រ Gauss បណ្តាលឱ្យមានការលំបាកខ្លាំងបំផុតសម្រាប់សិស្ស។ គ្មានអ្វីគួរឱ្យភ្ញាក់ផ្អើលទេ - វាទាំងអស់អំពីវិធីសាស្រ្តហើយខ្ញុំនឹងព្យាយាមប្រាប់ក្នុងទម្រង់ដែលអាចចូលដំណើរការបានអំពីក្បួនដោះស្រាយនៃវិធីសាស្រ្ត។

ជាដំបូង យើងរៀបចំប្រព័ន្ធចំណេះដឹងអំពីប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបន្តិច។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរអាច៖

1) មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ 2) មានដំណោះស្រាយជាច្រើនមិនចេះចប់។ ៣) គ្មានដំណោះស្រាយ (ត្រូវ មិនឆបគ្នា។).

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺជាឧបករណ៍ដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុត និងអាចប្រើប្រាស់បានក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយ ណាមួយ។ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ដូចដែលយើងចងចាំ ក្បួនរបស់ Cramer និងវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសមិនស័ក្តិសមក្នុងករណីដែលប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយច្រើនមិនចេះចប់ ឬមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។ វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់ជាបន្តបន្ទាប់នៃមិនស្គាល់ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនាំយើងទៅរកចម្លើយ! នៅក្នុងមេរៀននេះ យើងនឹងពិចារណាម្តងទៀតអំពីវិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ករណីលេខ 1 (ដំណោះស្រាយតែមួយគត់ចំពោះប្រព័ន្ធ) អត្ថបទមួយត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ស្ថានភាពនៃចំណុចលេខ 2-3 ។ ខ្ញុំកត់សម្គាល់ថាក្បួនដោះស្រាយវិធីសាស្រ្តខ្លួនវាដំណើរការដូចគ្នានៅក្នុងករណីទាំងបី។

ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធសាមញ្ញបំផុតពីមេរៀន តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ?ហើយដោះស្រាយវាដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian ។

ជំហានដំបូងគឺត្រូវសរសេរ ប្រព័ន្ធម៉ាទ្រីសពង្រីក:. តាមគោលការណ៍អ្វីដែលមេគុណត្រូវបានកត់ត្រា ខ្ញុំគិតថាអ្នកគ្រប់គ្នាអាចមើលឃើញ។ បន្ទាត់បញ្ឈរនៅខាងក្នុងម៉ាទ្រីសមិនមានអត្ថន័យគណិតវិទ្យាទេ - វាគ្រាន់តែជាការគូសវាសសម្រាប់ភាពងាយស្រួលនៃការរចនា។

ឯកសារយោង : ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យចងចាំ លក្ខខណ្ឌ ពិ​ជ​គណិត​លីនេអ៊ែរ។ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ គឺជាម៉ាទ្រីសដែលមានតែមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់ ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ៖ . ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធបន្ថែម គឺជាម៉ាទ្រីសដូចគ្នានៃប្រព័ន្ធ បូកនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ ក្នុងករណីនេះ៖ . ម៉ាទ្រីសណាមួយអាចត្រូវបានគេហៅថាជាម៉ាទ្រីសសម្រាប់ភាពខ្លី។

បន្ទាប់ពីម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានសរសេរ វាចាំបាច់ត្រូវអនុវត្តសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយវា ដែលត្រូវបានគេហៅថា ការផ្លាស់ប្តូរបឋម.

មានការបំប្លែងបឋមដូចខាងក្រោមៈ

1) ខ្សែអក្សរម៉ាទ្រីស អាច រៀបចំឡើងវិញកន្លែង។ ឧទាហរណ៍ ក្នុងម៉ាទ្រីសដែលកំពុងពិចារណា អ្នកអាចរៀបចំជួរទីមួយ និងទីពីរឡើងវិញដោយសុវត្ថិភាព៖

2) ប្រសិនបើមាន (ឬលេចឡើង) សមាមាត្រ (ជាករណីពិសេស - ដូចគ្នា) ជួរនៅក្នុងម៉ាទ្រីស នោះវាដូចខាងក្រោម លុបពីម៉ាទ្រីស ជួរទាំងអស់នេះលើកលែងតែមួយ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស . នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនេះ ជួរទាំងបីចុងក្រោយគឺសមាមាត្រ ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីទុកតែមួយក្នុងចំណោមពួកគេ៖ .

3) ប្រសិនបើជួរសូន្យបានលេចឡើងក្នុងម៉ាទ្រីសកំឡុងពេលបំប្លែង នោះវាក៏ធ្វើតាមដែរ។ លុប. ខ្ញុំនឹងមិនគូរទេ បន្ទាត់សូន្យគឺជាបន្ទាត់ដែលនៅក្នុងនោះ។ សូន្យតែប៉ុណ្ណោះ.

4) ជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសអាចជា គុណ (ចែក)សម្រាប់លេខណាមួយ។ មិនមែនសូន្យ. ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស។ នៅទីនេះ គួរតែចែកជួរទីមួយដោយ -3 ហើយគុណជួរទីពីរដោយ 2៖ . សកម្មភាពនេះមានប្រយោជន៍ខ្លាំងណាស់ព្រោះវាជួយសម្រួលដល់ការផ្លាស់ប្តូរម៉ាទ្រីសបន្ថែមទៀត។

5) ការផ្លាស់ប្តូរនេះបណ្តាលឱ្យមានការលំបាកបំផុត ប៉ុន្តែការពិតមិនមានអ្វីស្មុគស្មាញនោះទេ។ ទៅជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសអ្នកអាចធ្វើបាន បន្ថែមខ្សែអក្សរមួយទៀតគុណនឹងលេខខុសពីសូន្យ។ ពិចារណាម៉ាទ្រីសរបស់យើងពីឧទាហរណ៍ជាក់ស្តែង៖ . ជាដំបូង ខ្ញុំនឹងរៀបរាប់អំពីការផ្លាស់ប្តូរយ៉ាងលម្អិត។ គុណជួរទីមួយដោយ -2៖ , និង ទៅជួរទីពីរយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2: . ឥឡូវនេះជួរទីមួយអាចបែងចែក "ថយក្រោយ" ដោយ -2: ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញបន្ទាត់ដែលត្រូវបានបន្ថែម លី – មិនបានផ្លាស់ប្តូរទេ។. តែងតែបន្ទាត់ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរទៅដែលបន្ថែម យូធី.

ជា​ការ​ពិត ពួក​គេ​មិន​គូរ​លម្អិត​បែប​នេះ​ទេ ប៉ុន្តែ​សរសេរ​ខ្លី​ជាង៖ ជាថ្មីម្តងទៀត: ទៅជួរទីពីរ បានបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2. បន្ទាត់ជាធម្មតាត្រូវបានគុណដោយផ្ទាល់មាត់ ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង ខណៈពេលដែលវគ្គសិក្សាផ្លូវចិត្តនៃការគណនាគឺមានលក្ខណៈដូចនេះ៖

“ខ្ញុំសរសេរម៉ាទ្រីសឡើងវិញ ហើយសរសេរជួរទីមួយឡើងវិញ៖ »

ជួរទីមួយដំបូង។ ខាងក្រោមខ្ញុំត្រូវការរកសូន្យ។ ដូច្នេះខ្ញុំគុណឯកតាខាងលើដោយ -2: ហើយបន្ថែមទីមួយទៅជួរទីពីរ: 2 + (-2) = 0. ខ្ញុំសរសេរលទ្ធផលនៅក្នុងជួរទីពីរ: »

“ឥឡូវនេះ ជួរទីពីរ។ ខាងលើ -1 ដង -2: ។ ខ្ញុំបន្ថែមទីមួយទៅជួរទីពីរ៖ 1 + 2 = 3 ខ្ញុំសរសេរលទ្ធផលទៅជួរទីពីរ៖ »

“ និងជួរទីបី។ ខាងលើ -5 ដង -2: ។ ខ្ញុំបន្ថែមជួរទីមួយទៅជួរទីពីរ៖ -7 + 10 = 3. ខ្ញុំសរសេរលទ្ធផលក្នុងជួរទីពីរ៖ »

សូមគិតឱ្យបានហ្មត់ចត់អំពីឧទាហរណ៍នេះ ហើយយល់អំពីក្បួនដោះស្រាយការគណនាតាមលំដាប់លំដោយ ប្រសិនបើអ្នកយល់ពីវា នោះវិធីសាស្ត្រ Gauss គឺអនុវត្ត "នៅក្នុងហោប៉ៅរបស់អ្នក"។ ប៉ុន្តែជាការពិត យើងនៅតែធ្វើការលើការផ្លាស់ប្តូរនេះ។

ការបំប្លែងបឋមមិនផ្លាស់ប្តូរដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការទេ។

! ការយកចិត្តទុកដាក់៖ ចាត់ទុកថាជាឧបាយកល មិនអាចប្រើប្រសិនបើអ្នកត្រូវបានផ្តល់ភារកិច្ចដែលម៉ាទ្រីសត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ "ដោយខ្លួនឯង" ។ ឧទាហរណ៍ជាមួយ "បុរាណ" ម៉ាទ្រីសក្នុងករណីណាក៏ដោយដែលអ្នកគួររៀបចំអ្វីមួយនៅក្នុងម៉ាទ្រីសឡើងវិញ! ចូរយើងត្រលប់ទៅប្រព័ន្ធរបស់យើង។ នាងត្រូវបានបំបែកជាបំណែក ៗ ។

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម កាត់បន្ថយវាទៅ ទិដ្ឋភាពជំហាន:

(1) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ហើយម្តងទៀត៖ ហេតុអ្វីបានជាយើងគុណជួរទីមួយដោយ -2? ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅខាងក្រោម ដែលមានន័យថាកម្ចាត់អថេរមួយនៅក្នុងជួរទីពីរ។

(2) ចែកជួរទីពីរដោយ 3 ។

គោលបំណងនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម – បំប្លែងម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់ជំហាន៖ . នៅក្នុងការរចនានៃភារកិច្ចពួកគេគូរ "ជណ្ដើរ" ដោយផ្ទាល់ដោយប្រើខ្មៅដៃសាមញ្ញហើយក៏គូសរង្វង់លេខដែលមានទីតាំងនៅលើ "ជំហាន" ។ ពាក្យថា "ទិដ្ឋភាពជំហាន" ខ្លួនវាមិនមែនជាទ្រឹស្តីទាំងស្រុងនោះទេ នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្រ្ត និងអប់រំ វាត្រូវបានគេហៅថាជាញឹកញាប់។ ទិដ្ឋភាព trapezoidalឬ ទិដ្ឋភាពត្រីកោណ.

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋមយើងទទួលបាន សមមូលប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការ៖

ឥឡូវនេះប្រព័ន្ធត្រូវតែ "មិនផ្លាស់ប្តូរ" ក្នុងទិសដៅផ្ទុយ - ពីបាតឡើងដំណើរការនេះត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss បញ្ច្រាស.

នៅក្នុងសមីការខាងក្រោម យើងមានលទ្ធផលរួចរាល់ហើយ៖ .

ពិចារណាសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសតម្លៃដែលគេស្គាល់រួចហើយនៃ “y” ទៅក្នុងវា៖

ចូរយើងពិចារណាអំពីស្ថានភាពទូទៅបំផុត នៅពេលដែលវិធីសាស្ត្រ Gaussian ត្រូវបានទាមទារដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួនបីជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួនបី។

ឧទាហរណ៍ ១

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss៖

ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ៖

ឥឡូវនេះខ្ញុំនឹងគូរភ្លាមៗនូវលទ្ធផលដែលយើងនឹងមកក្នុងដំណើរការនៃដំណោះស្រាយ៖ ហើយខ្ញុំនិយាយម្តងទៀត គោលដៅរបស់យើងគឺនាំយកម៉ាទ្រីសទៅជាទម្រង់មួយជំហានដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ កន្លែងដែលត្រូវចាប់ផ្តើមធ្វើសកម្មភាព?

ដំបូងមើលលេខខាងឆ្វេងខាងលើ៖ គួរតែនៅទីនេះស្ទើរតែជានិច្ច ឯកតា. និយាយជាទូទៅ -1 (និងពេលខ្លះលេខផ្សេងទៀត) ក៏នឹងសមស្របដែរ ប៉ុន្តែតាមទម្លាប់វាបានកើតឡើងដែលឯកតាត្រូវបានដាក់នៅទីនោះ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរៀបចំអង្គភាព? យើងក្រឡេកមើលជួរទីមួយ - យើងមានឯកតាដែលបានបញ្ចប់! ការផ្លាស់ប្តូរទីមួយ៖ ប្តូរជួរទីមួយ និងទីបី៖

ឥឡូវនេះខ្សែទីមួយនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូររហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយ. ឥឡូវនេះមិនអីទេ។

អង្គភាពនៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេងត្រូវបានរៀបចំ។ ឥឡូវអ្នកត្រូវយកលេខសូន្យនៅកន្លែងទាំងនេះ៖

សូន្យត្រូវបានទទួលដោយជំនួយនៃការផ្លាស់ប្តូរ "ពិបាក" ។ ដំបូងយើងដោះស្រាយជាមួយបន្ទាត់ទីពីរ (2, -1, 3, 13) ។ អ្វីដែលត្រូវធ្វើដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅក្នុងទីតាំងដំបូង? ត្រូវការ ទៅជួរទីពីរបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -2. ផ្លូវចិត្ត ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង យើងគុណជួរទីមួយដោយ -2: (-2, -4, 2, -18) ។ ហើយយើងអនុវត្តដោយខ្ជាប់ខ្ជួន (ម្តងទៀតផ្លូវចិត្តឬលើសេចក្តីព្រាង) បន្ថែម។ ទៅជួរទីពីរ យើងបន្ថែមជួរទីមួយ រួចគុណនឹង -2:

លទ្ធផលត្រូវបានសរសេរក្នុងជួរទីពីរ៖

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងដោះស្រាយជាមួយបន្ទាត់ទីបី (3, 2, -5, -1) ។ ដើម្បីទទួលបានសូន្យនៅក្នុងទីតាំងដំបូងអ្នកត្រូវការ ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3. ផ្លូវចិត្ត ឬនៅលើសេចក្តីព្រាង យើងគុណជួរទីមួយដោយ -3: (-3, -6, 3, -27) ។ និង ទៅជួរទីបីយើងបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3:

លទ្ធផលត្រូវបានសរសេរនៅជួរទីបី៖

នៅក្នុងការអនុវត្ត សកម្មភាពទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានអនុវត្តដោយពាក្យសំដី និងសរសេរចុះក្នុងជំហានមួយ៖

មិនចាំបាច់រាប់អ្វីគ្រប់យ៉ាងក្នុងពេលតែមួយនិងក្នុងពេលតែមួយទេ។. លំដាប់នៃការគណនានិង "ការបញ្ចូល" នៃលទ្ធផល ស្របហើយជាធម្មតាដូចនេះ៖ ដំបូងយើងសរសេរឡើងវិញនូវបន្ទាត់ទីមួយ ហើយបិទខ្លួនយើងដោយស្ងៀមស្ងាត់ - ស្រប និង ដោយប្រុងប្រយ័ត្ន:
ហើយខ្ញុំបានពិចារណារួចហើយអំពីវគ្គសិក្សាផ្លូវចិត្តនៃការគណនាដោយខ្លួនឯងខាងលើ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ វាងាយស្រួលធ្វើ យើងបែងចែកជួរទីពីរដោយ -5 (ចាប់តាំងពីលេខទាំងអស់អាចបែងចែកដោយ 5 ដោយគ្មានសល់)។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ យើងបែងចែកជួរទីបីដោយ -2 ពីព្រោះលេខតូចជាង ដំណោះស្រាយកាន់តែសាមញ្ញ៖

នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ត្រូវតែទទួលបានសូន្យមួយបន្ថែមទៀតនៅទីនេះ៖

សម្រាប់​ការ​នេះ ទៅជួរទីបី យើងបន្ថែមជួរទីពីរ គុណនឹង -2:
ព្យាយាមញែកសកម្មភាពនេះដោយខ្លួនឯង - គិតគុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -2 ហើយអនុវត្តការបន្ថែម។

សកម្មភាពចុងក្រោយដែលត្រូវបានអនុវត្តគឺស្ទីលម៉ូដសក់នៃលទ្ធផល, បែងចែកជួរទីបីដោយ 3 ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ប្រព័ន្ធដំបូងសមមូលនៃសមីការលីនេអ៊ែរត្រូវបានទទួល៖ ត្រជាក់។

ឥឡូវនេះវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian ចូលមកលេង។ សមីការ "បន្ធូរបន្ថយ" ពីបាតឡើង។

នៅក្នុងសមីការទីបី យើងមានលទ្ធផលរួចរាល់ហើយ៖

តោះមើលសមីការទីពីរ៖ . អត្ថន័យនៃ "z" ត្រូវបានគេស្គាល់រួចហើយដូច្នេះ:

ហើយចុងក្រោយ សមីការទីមួយ៖ . "Y" និង "Z" ត្រូវបានគេស្គាល់បញ្ហាគឺតូច:

ចម្លើយ:

ដូចដែលត្រូវបានគេកត់សម្គាល់ម្តងហើយម្តងទៀតសម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការណាមួយវាអាចទៅរួចនិងចាំបាច់ដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយដែលបានរកឃើញជាសំណាងល្អវាមិនពិបាកនិងលឿនទេ។

ឧទាហរណ៍ ២

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​ការ​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួន​ឯង ជា​គំរូ​នៃ​ការ​បញ្ចប់ និង​ចម្លើយ​នៅ​ចុង​មេរៀន។

គួរកត់សម្គាល់ថារបស់អ្នក។ វគ្គនៃសកម្មភាពប្រហែលជាមិនស្របនឹងសកម្មភាពរបស់ខ្ញុំទេ ហើយនេះគឺជាលក្ខណៈពិសេសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss. ប៉ុន្តែចម្លើយត្រូវតែដូចគ្នា!

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

យើងក្រឡេកមើល "ជំហាន" ខាងឆ្វេងខាងលើ។ នៅទីនោះយើងគួរតែមានឯកតា។ បញ្ហាគឺថាមិនមាននរណាម្នាក់នៅក្នុងជួរទីមួយទាល់តែសោះ ដូច្នេះគ្មានអ្វីអាចដោះស្រាយបានដោយការរៀបចំជួរដេកឡើងវិញនោះទេ។ ក្នុងករណីបែបនេះ អង្គភាពត្រូវតែរៀបចំដោយប្រើការបំប្លែងបឋម។ ជាធម្មតា នេះអាចត្រូវបានធ្វើតាមវិធីជាច្រើន។ ខ្ញុំបានធ្វើវា៖ (១) ទៅជួរទីមួយយើងបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -1. នោះគឺយើងគុណនឹងបន្ទាត់ទីពីរដោយ -1 ហើយអនុវត្តការបន្ថែមនៃបន្ទាត់ទីមួយនិងទីពីរខណៈពេលដែលបន្ទាត់ទីពីរមិនផ្លាស់ប្តូរ។

ឥឡូវនេះនៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេង "ដកមួយ" ដែលសាកសមនឹងយើងយ៉ាងល្អឥតខ្ចោះ។ អ្នកណាចង់ទទួលបាន +1 អាចធ្វើកាយវិការបន្ថែម៖ គុណជួរទីមួយដោយ -1 (ប្តូរសញ្ញារបស់វា)។

(2) ជួរទីមួយគុណនឹង 5 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ ជួរទីមួយគុណនឹង 3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

(3) ជួរទីមួយត្រូវបានគុណនឹង -1 ជាគោលការណ៍នេះគឺសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត។ សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីបីក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរហើយផ្លាស់ទីទៅកន្លែងទីពីរដូច្នេះនៅលើ "ជំហានទីពីរ យើងមានឯកតាដែលចង់បាន។

(4) ជួរទីពីរគុណនឹង 2 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

(5) ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ។

សញ្ញាមិនល្អដែលបង្ហាញពីកំហុសក្នុងការគណនា (មិនសូវជាញឹកញាប់ការវាយអក្សរ) គឺជាបន្ទាត់ខាងក្រោម "អាក្រក់" ។ នោះគឺប្រសិនបើយើងទទួលបានអ្វីមួយដូចខាងក្រោម ហើយតាមនោះ បន្ទាប់មក ជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃប្រូបាប៊ីលីតេ វាអាចត្រូវបានអះអាងថា កំហុសមួយត្រូវបានធ្វើឡើងនៅក្នុងដំណើរការនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។

យើងគិតថ្លៃចលនាបញ្ច្រាស ក្នុងការរចនាឧទាហរណ៍ ប្រព័ន្ធខ្លួនឯងជារឿយៗមិនត្រូវបានសរសេរឡើងវិញទេ ហើយសមីការត្រូវបាន "យកដោយផ្ទាល់ពីម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ" ។ ចលនាបញ្ច្រាស ខ្ញុំរំលឹកអ្នក ដំណើរការពីបាតឡើង។ បាទ នេះគឺជាអំណោយមួយ៖

ចម្លើយ: .

ឧទាហរណ៍ 4

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​មួយ​សម្រាប់​ដំណោះស្រាយ​ឯករាជ្យ វា​មាន​ភាព​ស្មុគស្មាញ​ជាង​បន្តិច។ វាមិនអីទេប្រសិនបើនរណាម្នាក់យល់ច្រឡំ។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងគំរូរចនានៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។ ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកអាចខុសពីខ្ញុំ។

នៅផ្នែកចុងក្រោយ យើងពិចារណាអំពីលក្ខណៈពិសេសមួយចំនួននៃក្បួនដោះស្រាយ Gauss ។ លក្ខណៈពិសេសទីមួយគឺថា ពេលខ្លះអថេរមួយចំនួនត្រូវបានបាត់នៅក្នុងសមីការនៃប្រព័ន្ធ ឧទាហរណ៍៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធឱ្យបានត្រឹមត្រូវ? ខ្ញុំ​បាន​និយាយ​រួច​ហើយ​អំពី​គ្រា​នេះ​ក្នុង​មេរៀន។ ក្បួនរបស់ Cramer ។ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស. នៅក្នុងម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនៃប្រព័ន្ធ យើងដាក់លេខសូន្យជំនួសអថេរដែលបាត់៖ និយាយអីញ្ចឹង នេះជាឧទាហរណ៍ដ៏ងាយស្រួលមួយ ដោយសារមានលេខសូន្យមួយរួចហើយនៅក្នុងជួរទីមួយ ហើយមានការបំប្លែងបឋមតិចជាងមុនដើម្បីអនុវត្ត។

លក្ខណៈពិសេសទីពីរគឺនេះ។ នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទាំងអស់ដែលបានពិចារណា យើងបានដាក់ -1 ឬ +1 នៅលើ "ជំហាន" ។ តើអាចមានលេខផ្សេងទៀតទេ? ក្នុងករណីខ្លះពួកគេអាចធ្វើបាន។ ពិចារណាប្រព័ន្ធ៖ .

នៅទីនេះនៅខាងឆ្វេងខាងលើ "ជំហាន" យើងមាន deuce មួយ។ ប៉ុន្តែយើងកត់សំគាល់ការពិតដែលថាលេខទាំងអស់នៅក្នុងជួរទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 2 ដោយគ្មានសល់ - និងពីរនិងប្រាំមួយ។ ហើយ deuce នៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេងនឹងសមនឹងយើង! នៅជំហានដំបូងអ្នកត្រូវអនុវត្តការបំប្លែងដូចខាងក្រោម: បន្ថែមបន្ទាត់ទីមួយគុណនឹង -1 ទៅជួរទីពីរ; ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីមួយគុណនឹង -3 ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​ទទួល​បាន​លេខ​សូន្យ​ដែល​ចង់​បាន​ក្នុង​ជួរ​ឈរ​ដំបូង។

ឬឧទាហរណ៍សម្មតិកម្មមួយទៀត៖ . នៅទីនេះបីដងនៅលើ "រុង" ទីពីរក៏សមនឹងយើងដែរព្រោះ 12 (កន្លែងដែលយើងត្រូវទទួលបានសូន្យ) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ដោយគ្មានសល់។ វាចាំបាច់ក្នុងការអនុវត្តការបំលែងដូចខាងក្រោម: ទៅជួរទីបីបន្ថែមជួរទីពីរគុណនឹង -4 ជាលទ្ធផលសូន្យដែលយើងត្រូវការនឹងទទួលបាន។

វិធីសាស្ត្រ Gauss គឺមានលក្ខណៈជាសកល ប៉ុន្តែមានលក្ខណៈពិសេសមួយ។ អ្នកអាចរៀនដោយទំនុកចិត្តពីរបៀបដោះស្រាយប្រព័ន្ធដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត (វិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស) តាមព្យញ្ជនៈតាំងពីលើកដំបូង - មានក្បួនដោះស្រាយតឹងរ៉ឹងណាស់។ ប៉ុន្តែដើម្បីឱ្យមានអារម្មណ៍ជឿជាក់លើវិធីសាស្ត្រ Gauss អ្នកគួរតែ "បំពេញដៃរបស់អ្នក" និងដោះស្រាយយ៉ាងហោចណាស់ 5-10 ប្រព័ន្ធដប់។ ដូច្នេះដំបូងអាចមានការភ័ន្តច្រឡំ កំហុសក្នុងការគណនា ហើយគ្មានអ្វីចម្លែក ឬសោកនាដកម្មនៅក្នុងរឿងនេះទេ។

អាកាសធាតុរដូវស្លឹកឈើជ្រុះភ្លៀងនៅខាងក្រៅបង្អួច .... ដូច្នេះសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នាឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញជាងសម្រាប់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យ:

ឧទាហរណ៍ 5

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរចំនួន 4 ជាមួយនឹងមិនស្គាល់ចំនួន 4 ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ភារកិច្ចបែបនេះនៅក្នុងការអនុវត្តគឺកម្រណាស់។ ខ្ញុំ​គិត​ថា សូម្បី​តែ​អ្នក​ដែល​បាន​សិក្សា​ទំព័រ​នេះ​យ៉ាង​លម្អិត​ក៏​យល់​ពី​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​បែប​នេះ​ដោយ​វិចារណញាណ។ ជាទូទៅដូចគ្នា - គ្រាន់តែសកម្មភាពបន្ថែមទៀត។

ករណីដែលប្រព័ន្ធមិនមានដំណោះស្រាយ (មិនស៊ីសង្វាក់គ្នា) ឬមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់ ត្រូវបានពិចារណាក្នុងមេរៀន។ ប្រព័ន្ធ និងប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរួម. នៅទីនោះអ្នកអាចជួសជុលក្បួនដោះស្រាយដែលបានពិចារណានៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ជូនពរអ្នកជោគជ័យ!

ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយ៖

ឧទាហរណ៍ 2៖ ដំណោះស្រាយ : ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។
ការផ្លាស់ប្តូរបឋមដែលបានអនុវត្ត៖ (1) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។ យកចិត្តទុកដាក់! នៅទីនេះវាអាចទាក់ទាញការដកលេខទីមួយចេញពីជួរទីបី ខ្ញុំមិនណែនាំឱ្យដកទេ - ហានិភ័យនៃកំហុសកើនឡើងយ៉ាងខ្លាំង។ យើងគ្រាន់តែបត់! (2) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (គុណនឹង -1) ។ ខ្សែទីពីរនិងទីបីត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ចំណាំ ថានៅលើ "ជំហាន" យើងពេញចិត្តមិនត្រឹមតែមួយប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងជាមួយ -1 ដែលកាន់តែងាយស្រួល។ (3) ទៅជួរទីបី បន្ថែមជួរទីពីរ គុណនឹង 5 ។ (4) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ (គុណនឹង -1) ។ ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ 14 ។

ចលនាបញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ : .

ឧទាហរណ៍ទី ៤៖ ដំណោះស្រាយ : យើងសរសេរម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់ជំហានមួយ៖

ការបំប្លែងបានអនុវត្ត៖ (1) ខ្សែទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីមួយ។ ដូច្នេះឯកតាដែលចង់បានត្រូវបានរៀបចំនៅខាងឆ្វេងខាងលើ "ជំហាន" ។ (2) ជួរទីមួយគុណនឹង 7 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ ជួរទីមួយគុណនឹង 6 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបី។

ជាមួយនឹង "ជំហាន" ទីពីរអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺអាក្រក់ "បេក្ខជន" សម្រាប់វាគឺលេខ 17 និង 23 ហើយយើងត្រូវការមួយឬ -1 ។ ការផ្លាស់ប្តូរ (3) និង (4) នឹងមានគោលបំណងដើម្បីទទួលបានឯកតាដែលចង់បាន (3) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។ (4) ជួរទីបីគុណនឹង -3 ត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ។ អ្វីដែលចាំបាច់នៅលើជំហានទីពីរត្រូវបានទទួល . (5) ទៅជួរទីបីបន្ថែមទីពីរ គុណនឹង 6 ។ (6) ជួរទីពីរត្រូវបានគុណនឹង -1 ជួរទីបីត្រូវបានបែងចែកដោយ -83 ។

ចលនាបញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ :

ឧទាហរណ៍ 5៖ ដំណោះស្រាយ : ចូរយើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម នាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន៖

ការបំប្លែងបានអនុវត្ត៖ (1) ខ្សែទីមួយនិងទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ (2) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទីបួនគុណនឹង -3 ។ (3) ជួរទីពីរគុណនឹង 4 ត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទីបី។ បន្ទាត់ទីពីរគុណនឹង -1 ត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទី 4 ។ (4) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីពីរត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។ ជួរទីបួនត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ហើយដាក់ជំនួសឱ្យបន្ទាត់ទីបី។ (5) បន្ទាត់ទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅបន្ទាត់ទី 4 គុណនឹង -5 ។

ចលនាបញ្ច្រាស៖

ចម្លើយ :