វិធីសាស្រ្តនៃការសង្ខេបមេរៀន induction គណិតវិទ្យា។ ឧទាហរណ៍ - ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា

វិធីសាស្រ្តនៃការណែនាំគណិតវិទ្យា

ពាក្យ induction នៅក្នុងភាសារុស្សីមានន័យថា ការណែនាំ ហើយ inductive ត្រូវបានគេហៅថាការសន្និដ្ឋានដោយផ្អែកលើការសង្កេត ការពិសោធន៍ i.e. ទទួលបានដោយការសន្និដ្ឋានពីពិសេសទៅទូទៅ។

ជាឧទាហរណ៍ ជារៀងរាល់ថ្ងៃ យើងសង្កេតឃើញថា ព្រះអាទិត្យរះពីទិសខាងកើត។ ដូច្នេះ​ហើយ អ្នក​អាច​ប្រាកដ​ថា​នៅ​ថ្ងៃ​ស្អែក វា​នឹង​លេច​មក​នៅ​ទិស​ខាង​កើត ហើយ​មិន​នៅ​ខាង​លិច​ទេ។ យើងទាញការសន្និដ្ឋាននេះដោយមិនប្រើការសន្មត់ណាមួយអំពីហេតុផលនៃចលនារបស់ព្រះអាទិត្យនៅលើមេឃទេ (លើសពីនេះ ចលនានេះវាប្រែជាជាក់ស្តែង ព្រោះថាពិភពលោកពិតជាមានចលនា)។ និងនៅឡើយទេ ដេរីវេអាំងឌុចស្យុងនេះពិពណ៌នាយ៉ាងត្រឹមត្រូវអំពីការសង្កេតដែលយើងនឹងធ្វើនៅថ្ងៃស្អែក។

តួនាទី​នៃ​ការ​សន្និដ្ឋាន​ក្នុង​វិទ្យាសាស្ត្រ​ពិសោធន៍​គឺ​អស្ចារ្យ​ណាស់។ ពួកគេផ្តល់បទប្បញ្ញត្តិទាំងនោះ ដែលការសន្និដ្ឋានបន្ថែមទៀតត្រូវបានធ្វើឡើងដោយការកាត់ចេញ។ ហើយទោះបីជាមេកានិចទ្រឹស្តីផ្អែកលើច្បាប់ចលនាទាំងបីរបស់ញូតុនក៏ដោយ ច្បាប់ទាំងនេះខ្លួនឯងគឺជាលទ្ធផលនៃការឆ្លុះបញ្ចាំងយ៉ាងស៊ីជម្រៅលើទិន្នន័យពិសោធន៍ ជាពិសេសច្បាប់របស់ Kepler នៃចលនារបស់ភពដែលបានមកពីគាត់ក្នុងអំឡុងពេលដំណើរការការសង្កេតរយៈពេលវែងដោយតារាវិទូដាណឺម៉ាក។ ទីកូ ប្រាហេ។ ការសង្កេត និងការណែនាំប្រែទៅជាមានប្រយោជន៍នៅពេលអនាគត ដើម្បីកែលម្អការសន្មត់ដែលបានធ្វើឡើង។ បន្ទាប់ពីការពិសោធន៍របស់ Michelson លើការវាស់ល្បឿនពន្លឺនៅក្នុងឧបករណ៍ផ្ទុកដែលមានចលនា វាបានប្រែទៅជាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់អំពីច្បាប់នៃរូបវិទ្យា និងបង្កើតទ្រឹស្ដីនៃទំនាក់ទំនង។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា តួនាទីនៃអាំងឌុចស្យុងគឺភាគច្រើនដែលវាផ្អែកលើ axiomatics ដែលបានជ្រើសរើស។ បន្ទាប់ពីការអនុវត្តយ៉ាងយូរបានបង្ហាញថាផ្លូវត្រង់តែងតែខ្លីជាងផ្លូវកោង ឬខូច វាជាធម្មជាតិក្នុងការបង្កើត axiom មួយ៖ សម្រាប់ចំណុចបី A, B និង C វិសមភាព។

គោលគំនិតនៃនព្វន្ធដែលត្រូវធ្វើតាមក៏កើតចេញពីការសង្កេតលើការបង្កើតទាហាន កប៉ាល់ និងសំណុំបញ្ជាផ្សេងៗទៀត។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គេមិនគួរគិតថា នេះគឺជាការបញ្ចប់នៃតួនាទីរបស់ induction នៅក្នុងគណិតវិទ្យានោះទេ។ ជាការពិតណាស់ យើងមិនគួរពិសោធន៍ទ្រឹស្ដីទ្រឹស្ដីដែលត្រូវបានកាត់ចេញដោយឡូជីខលពី axioms ឡើយ៖ ប្រសិនបើគ្មានកំហុសឡូជីខលត្រូវបានបង្កើតឡើងក្នុងការទាញយកទេ នោះវាជាការពិតដរាបណា axioms ដែលយើងទទួលយកគឺពិត។ ប៉ុន្តែសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាច្រើនអាចត្រូវបានកាត់ចេញពីប្រព័ន្ធនៃ axioms នេះ។ ហើយការជ្រើសរើសនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទាំងនោះដែលត្រូវតែបញ្ជាក់គឺត្រូវបានស្នើម្តងទៀតដោយការណែនាំ។ វាគឺជានាងដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបំបែកទ្រឹស្ដីដែលមានប្រយោជន៍ចេញពីទ្រឹស្ដីដែលគ្មានប្រយោជន៍ បង្ហាញថាទ្រឹស្ដីមួយណាអាចក្លាយជាការពិត ហើយថែមទាំងជួយគូសបញ្ជាក់ផ្លូវនៃភស្តុតាងផងដែរ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា

នៅក្នុងផ្នែកជាច្រើននៃនព្វន្ធ ពិជគណិត ធរណីមាត្រ ការវិភាគ មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែបញ្ជាក់ការពិតនៃប្រយោគ A(n) ដែលអាស្រ័យលើអថេរធម្មជាតិ។ ភ័ស្តុតាងនៃការពិតនៃប្រយោគ A(n) សម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃអថេរអាចត្រូវបានអនុវត្តជាញឹកញាប់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យាដែលផ្អែកលើគោលការណ៍ខាងក្រោម។

ប្រយោគ A(n) ត្រូវបានចាត់ទុកថាពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់នៃអថេរ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌទាំងពីរខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖

សំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់ n=1។

ពីការសន្មត់ថា A(n) គឺពិតសម្រាប់ n=k (ដែល k ជាលេខធម្មជាតិ) វាធ្វើតាមថាវាពិតសម្រាប់តម្លៃបន្ទាប់ n=k+1។

គោលការណ៍នេះត្រូវបានគេហៅថា គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ជាធម្មតាវាត្រូវបានជ្រើសរើសជា axioms មួយដែលកំណត់ស៊េរីធម្មជាតិនៃលេខ ហេតុដូច្នេះហើយបានទទួលយកដោយគ្មានភស្តុតាង។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេយល់ថាជាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបញ្ជាក់ការពិតនៃសំណើ A(n) សម្រាប់ n ធម្មជាតិទាំងអស់នោះ ទីមួយគួរតែពិនិត្យមើលការពិតនៃសំណើ A(1) ហើយទីពីរសន្មតថាការពិតនៃសំណើ A(k) ព្យាយាមបញ្ជាក់ថាសំណើ A(k +1) ពិត។ ប្រសិនបើនេះអាចបញ្ជាក់បាន ហើយភ័ស្តុតាងនៅតែមានសុពលភាពសម្រាប់រាល់តម្លៃធម្មជាតិនៃ k នោះ ស្របតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សំណើ A(n) ត្រូវបានទទួលស្គាល់ថាពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការបញ្ជាក់ទ្រឹស្តីបទ អត្តសញ្ញាណ វិសមភាព ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រមួយចំនួន និងបញ្ហាជាច្រើនទៀត។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៅលើ

ការបែងចែក

ដោយ​ប្រើ​វិធីសាស្ត្រ​នៃ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា គេ​អាច​បញ្ជាក់​ពី​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ផ្សេងៗ​ទាក់ទង​នឹង​ការ​បែងចែក​លេខ​ធម្មជាតិ។

ការអះអាងខាងក្រោមអាចបញ្ជាក់បានយ៉ាងងាយ។ ចូរយើងបង្ហាញពីរបៀបដែលវាត្រូវបានទទួលដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ឧទាហរណ៍ ១. ប្រសិនបើ n គឺជាលេខធម្មជាតិ នោះលេខគឺស្មើ។

សម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិត៖ - លេខគូ។ ចូរសន្មតថាវាជាលេខគូ។ ចាប់តាំងពី 2k គឺជាលេខគូ សូម្បីតែ។ ដូច្នេះ ភាពស្មើគ្នាត្រូវបានបញ្ជាក់សម្រាប់ n=1 ភាពស្មើគ្នាត្រូវបានកាត់ចេញពីភាពស្មើគ្នា .So, សូម្បីតែសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិទាំងអស់នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ ២បញ្ជាក់ការពិតនៃប្រយោគ

A(n)=(លេខ 5 ជាពហុគុណនៃ 19) n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ដំណោះស្រាយ។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ A(1)=(ចំនួនគឺពហុគុណនៃ 19) គឺពិត។

ឧបមាថាសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួន n = k

A(k)=(ចំនួនគឺពហុគុណនៃ 19) គឺពិត។ បន្ទាប់មកចាប់តាំងពី

ជាក់ស្តែង A(k+1) ក៏ជាការពិតដែរ។ ពិតប្រាកដណាស់ ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ដោយគុណធម៌នៃការសន្មតថា A(k) គឺពិត; ពាក្យទីពីរក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ព្រោះវាមានកត្តានៃ 19 ។ លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានពេញចិត្ត ដូច្នេះសំណើ A(n) គឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅ

សង្ខេបស៊េរី

ឧទាហរណ៍ ១បញ្ជាក់រូបមន្ត

, n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=1 ផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពប្រែទៅជាមួយ ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត។

សន្មតថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n=k, i.e.

.

ចូរបន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ និងបំប្លែងផ្នែកខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

ដូច្នេះពីការពិតដែលថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n = k វាធ្វើតាមថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1 ផងដែរ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក៏ត្រូវបានពេញចិត្តផងដែរ។ រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។

ឧទាហរណ៍ ២បង្ហាញថាផលបូកនៃលេខ n ដំបូងនៃស៊េរីធម្មជាតិគឺ .

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីចំនួនដែលត្រូវការ ឧ។ .

សម្រាប់ n=1 សម្មតិកម្មគឺពិត។

អនុញ្ញាតឱ្យ . ចូរយើងបង្ហាញវា។ .

ជា​ការ​ពិត,

បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍ ៣បង្ហាញថាផលបូកនៃការ៉េនៃលេខ n ដំបូងនៃស៊េរីធម្មជាតិគឺស្មើនឹង .

ដំណោះស្រាយ។

អនុញ្ញាតឱ្យ។

.

ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ . បន្ទាប់មក

ជា​ចុងក្រោយ។

ឧទាហរណ៍ 4បញ្ជាក់។

ដំណោះស្រាយ។

បើអញ្ចឹង

ឧទាហរណ៍ 5បញ្ជាក់

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=1 សម្មតិកម្មពិតជាត្រឹមត្រូវ។

អនុញ្ញាតឱ្យ។

ចូរយើងបញ្ជាក់។

ពិតជា

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅ

ភស្តុតាងនៃវិសមភាព

ឧទាហរណ៍ ១បង្ហាញថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n> 1

.

ដំណោះស្រាយ។

សម្គាល់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាពដោយ .

ដូច្នេះសម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិត។

អនុញ្ញាតឱ្យ k មួយចំនួន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មក។ យើង​មាន , .

ប្រៀបធៀប និង យើងមាន , i.e. .

សម្រាប់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន k ផ្នែកខាងស្តាំនៃសមភាពចុងក្រោយគឺវិជ្ជមាន។ នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល ។ ប៉ុន្តែ ដូច្នេះ និង។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកកំហុសក្នុងការវែកញែក។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍។ សម្រាប់ n ធម្មជាតិណាមួយ វិសមភាពគឺពិត។

ភស្តុតាង។

. (1)

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា វិសមភាពក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ n=k+1, i.e.

.

ជាការពិតណាស់យ៉ាងហោចណាស់ 2 សម្រាប់ k ធម្មជាតិណាមួយ។ ចូរបន្ថែមវិសមភាព (1) ទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និង 2 ទៅខាងស្តាំ។ យើងទទួលបានវិសមភាពយុត្តិធម៌ ឬ . ការ​អះអាង​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ឱ្យ​ឃើញ​។

ឧទាហរណ៍ ៣បញ្ជាក់ ដែលជាកន្លែងដែល >-1, , n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=2 វិសមភាពគឺពិត ចាប់តាំងពី .

សូមឱ្យវិសមភាពជាការពិតសម្រាប់ n = k ដែល k គឺជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន i.e.

. (1)

ចូរយើងបង្ហាញថា វិសមភាពក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ n=k+1, i.e.

. (2)

តាម​ពិត​ទៅ​តាម​ការ​សន្មត់ ដូច្នេះ​វិសមភាព

, (3)

ទទួលបានពីវិសមភាព (1) ដោយគុណផ្នែកនីមួយៗរបស់វាដោយ . ចូរយើងសរសេរឡើងវិញនូវវិសមភាព (៣) ដូចតទៅ៖ . ការបោះបង់ពាក្យវិជ្ជមាននៅខាងស្តាំនៃវិសមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបានវិសមភាពត្រឹមត្រូវ (2)។

ឧទាហរណ៍ 4បញ្ជាក់

(1)

ដែល , , n គឺជាចំនួនធម្មជាតិធំជាង 1 ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=2 វិសមភាព (1) យកទម្រង់

. (2)

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក វិសមភាព

. (3)

ការបន្ថែមទៅផ្នែកនីមួយៗនៃវិសមភាព (3) ដោយ យើងទទួលបានវិសមភាព (2)។

នេះបង្ហាញថាវិសមភាព (1) រក្សាសម្រាប់ n=2។

អនុញ្ញាតឱ្យវិសមភាព (1) មានសុពលភាពសម្រាប់ n = k ដែល k គឺជាចំនួនធម្មជាតិមួយចំនួន i.e.

. (4)

ចូរយើងបញ្ជាក់ថា វិសមភាព (1) ក៏ត្រូវតែមានសុពលភាពសម្រាប់ n=k+1, i.e.

(5)

ចូរយើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព (4) ដោយ a+b ។ ដោយសារតាមលក្ខខណ្ឌ យើងទទួលបានវិសមភាពដោយយុត្តិធម៌ដូចខាងក្រោម៖

. (6)

ដើម្បីបង្ហាញថាវិសមភាព (5) វាគ្រប់គ្រាន់ហើយក្នុងការបង្ហាញថា

, (7)

ឬដែលដូចគ្នា

. (8)

វិសមភាព (៨) ស្មើនឹងវិសមភាព

. (9)

ប្រសិនបើ បន្ទាប់មក និងនៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (9) យើងមានផលគុណនៃចំនួនវិជ្ជមានពីរ។ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក , និងនៅខាងឆ្វេងនៃវិសមភាព (9) យើងមានផលគុណនៃចំនួនអវិជ្ជមានពីរ។ ក្នុងករណីទាំងពីរវិសមភាព (9) មានសុពលភាព។

នេះបង្ហាញថាសុពលភាពនៃវិសមភាព (1) សម្រាប់ n=k បង្កប់ន័យសុពលភាពរបស់វាសម្រាប់ n=k+1។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាដូចដែលបានអនុវត្តចំពោះអ្នកដទៃ

ភារកិច្ច

កម្មវិធីធម្មជាតិបំផុតនៃវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានៅក្នុងធរណីមាត្រ ជិតនឹងការប្រើប្រាស់វិធីសាស្រ្តនេះក្នុងទ្រឹស្តីលេខ និងពិជគណិត គឺជាកម្មវិធីសម្រាប់ដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាគណនាធរណីមាត្រ។ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ឧទាហរណ៍ ១គណនាផ្នែកខាងត្រឹមត្រូវ - ការ៉េចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ R ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=2 ត្រឹមត្រូវ 2ន - ការ៉េគឺជាការ៉េមួយ; ផ្នែករបស់គាត់។ លើសពីនេះទៀតយោងទៅតាមរូបមន្តទ្វេដង

រកឃើញថាផ្នែកម្ខាងនៃ octagon ធម្មតា។ , ចំហៀងនៃ hexagon ធម្មតា។ , ផ្នែកម្ខាងនៃមុំសាមសិបពីរធម្មតា។ . ដូច្នេះយើងអាចសន្មត់ថាផ្នែកម្ខាងនៃសិលាចារឹកធម្មតា 2ន - ការ៉េសម្រាប់ណាមួយគឺស្មើគ្នា

. (1)

ចូរ​យើង​សន្មត់​ថា​ផ្នែក​ខាង​នៃ -gon ដែល​បាន​ចារឹក​ទៀងទាត់​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដោយ​រូបមន្ត (1) ។ ក្នុងករណីនេះដោយរូបមន្តទ្វេដង

,

នៅពេលដែលវាធ្វើតាមរូបមន្ត (1) មានសុពលភាពសម្រាប់ n ។

ឧទាហរណ៍ ២តើត្រីកោណ n-gon (មិនចាំបាច់ប៉ោង) ប៉ុន្មានអាចបែងចែកដោយអង្កត់ទ្រូងមិនប្រសព្វរបស់វា?

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ត្រីកោណមួយ លេខនេះគឺស្មើនឹងមួយ (មិនមានអង្កត់ទ្រូងអាចត្រូវបានគូសជាត្រីកោណទេ); សម្រាប់ quadrilateral ចំនួននេះគឺជាក់ស្តែងស្មើនឹងពីរ។

ឧបមាថាយើងដឹងរួចហើយថារាល់ k-gon, កន្លែងណា k 1 A 2 ... A ន ចូលទៅក្នុងត្រីកោណ។

ក ន

ក ១ ក ២

អនុញ្ញាតឱ្យ А 1 А k ជាអង្កត់ទ្រូងមួយនៃភាគថាសនេះ; វាបែងចែក n-gon А 1 А 2 …А n ទៅជា k-gon A 1 A 2 …A k និង (n-k+2)-gon А 1 А k A k+1 …A n ។ ដោយគុណធម៌នៃការសន្មត់ដែលបានធ្វើចំនួនសរុបនៃត្រីកោណភាគនឹងស្មើនឹង

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

ដូច្នេះការអះអាងរបស់យើងត្រូវបានបង្ហាញសម្រាប់ n ។

ឧទាហរណ៍ ៣បញ្ជាក់ច្បាប់សម្រាប់គណនាចំនួន P(n) នៃវិធីដែលប៉ោង n-gon អាចបែងចែកជាត្រីកោណដោយអង្កត់ទ្រូងមិនប្រសព្វ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ត្រីកោណ លេខនេះច្បាស់ជាស្មើមួយ៖ P(3)=1។

ឧបមាថាយើងកំណត់លេខ P(k) រួចហើយសម្រាប់ k ទាំងអស់។ 1 A 2 ... A ន . សម្រាប់​ការ​ចែក​វា​ជា​ត្រីកោណ​ផ្នែក​ខាង​ A១ ក ២ នឹង​ជា​ផ្នែក​មួយ​នៃ​ត្រីកោណ​ភាគ​មួយ ចំនុច​ទីបី​នៃ​ត្រីកោណ​នេះ​អាច​ស្រប​គ្នា​នឹង​ចំនុច A នីមួយៗ។ 3 , А 4 , …, А ន . ចំនួនវិធីដើម្បីបែងចែក n-gon ដែលចំនុចកំពូលនេះស្របគ្នានឹងចំនុច A 3 , គឺស្មើនឹងចំនួនវិធីដើម្បី triangulate (n-1)-gon A 1 A 3 A 4 ... A ន , i.e. ស្មើនឹង P(n-1) ។ ចំនួននៃការបែងចែកវិធីដែលចំនុចកំពូលនេះស្របគ្នានឹង A 4 ស្មើនឹងចំនួនវិធីដើម្បីបែងចែក (n-2)-gon A 1 A 4 A 5 ... A ន , i.e. ស្មើនឹង P(n-2)=P(n-2)P(3); ចំនួននៃវិធីបែងចែកដែលវាស្របគ្នាជាមួយ A 5 ស្មើនឹង P(n-3)P(4) ចាប់តាំងពីភាគថាសនីមួយៗនៃ (n-3)-gon A 1 A 5 ... A n អាចត្រូវបានផ្សំជាមួយផ្នែកនីមួយៗនៃ quadrilateral A 2 A 3 A 4 A ៥ ល។ ដូច្នេះយើងមកដល់ទំនាក់ទំនងដូចខាងក្រោមៈ

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n - មួយ) ។

ដោយប្រើរូបមន្តនេះ យើងទទួលបានជាបន្តបន្ទាប់៖

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

ល។

ដូចគ្នានេះផងដែរដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអ្នកអាចដោះស្រាយបញ្ហាជាមួយក្រាហ្វ។

សូមឱ្យបណ្តាញនៃបន្ទាត់ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះដោយភ្ជាប់ចំណុចមួយចំនួនជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមកហើយមិនមានចំណុចផ្សេងទៀត។ យើងនឹងហៅបណ្តាញនៃបន្ទាត់បែបនេះថាជាផែនទី ចំនុចដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាចំនុចកំពូលរបស់វា ផ្នែកនៃខ្សែកោងរវាងចំនុចដែលនៅជាប់គ្នាពីរ - ព្រំដែននៃផែនទី ផ្នែកនៃយន្តហោះដែលវាត្រូវបានបែងចែកដោយព្រំដែន - ប្រទេសនៃ ផែនទី។

សូមឱ្យផែនទីខ្លះត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ យើងនឹងនិយាយថាវាមានពណ៌ត្រឹមត្រូវ ប្រសិនបើប្រទេសនីមួយៗត្រូវបានលាបពណ៌ដោយពណ៌ជាក់លាក់មួយ ហើយប្រទេសទាំងពីរដែលមានព្រំប្រទល់រួមគ្នាត្រូវបានលាបពណ៌ខុសៗគ្នា។

ឧទាហរណ៍ 4មានរង្វង់ n នៅលើយន្តហោះ។ បង្ហាញថាសម្រាប់ការរៀបចំណាមួយនៃរង្វង់ទាំងនេះ ផែនទីដែលបង្កើតឡើងដោយពួកវាអាចត្រូវបានដាក់ពណ៌យ៉ាងត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងពណ៌ពីរ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=1 ការអះអាងរបស់យើងគឺជាក់ស្តែង។

ឧបមាថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិតសម្រាប់ផែនទីណាមួយដែលបង្កើតឡើងដោយរង្វង់ n ហើយអនុញ្ញាតឱ្យរង្វង់ n + 1 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅលើយន្តហោះ។ ដោយការដករង្វង់មួយក្នុងចំណោមរង្វង់ទាំងនេះចេញ យើងទទួលបានផែនទីដែលផ្អែកលើការសន្មត់ដែលបានធ្វើ អាចត្រូវបានពណ៌ត្រឹមត្រូវជាមួយនឹងពណ៌ពីរឧទាហរណ៍ ខ្មៅ និងស។

Savelyeva Ekaterina

ក្រដាសនេះពិចារណាលើការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក ដល់ការបូកសរុបនៃស៊េរី។ ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងភស្តុតាងនៃវិសមភាពនិងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាធរណីមាត្រត្រូវបានពិចារណា។ ការងារត្រូវបានបង្ហាញជាមួយបទបង្ហាញ។

ទាញយក៖

មើលជាមុន៖

ក្រសួងវិទ្យាសាស្ត្រនិងអប់រំនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី

ស្ថាប័នអប់រំរបស់រដ្ឋ

អនុវិទ្យាល័យ លេខ ៦១៨

វគ្គសិក្សា៖ ពិជគណិត និងការចាប់ផ្តើមនៃការវិភាគ

ប្រធានបទការងារគម្រោង

"វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា និងការអនុវត្តន៍របស់វាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា"

ការងារបានបញ្ចប់: Savelyeva E, ថ្នាក់ 11B

អ្នកគ្រប់គ្រង : Makarova T.P. គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា អនុវិទ្យាល័យលេខ៦១៨

1 ។ សេចក្ដីណែនាំ។

2.Method of mathematical induction in solving problems division.

3. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងការបូកសរុបនៃស៊េរី។

4. ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងភស្តុតាងនៃវិសមភាព។

5. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាធរណីមាត្រ។

6. បញ្ជីអក្សរសិល្ប៍ដែលបានប្រើ។

សេចក្តីផ្តើម

វិធីសាស្រ្តដកយក និងអាំងឌុចស្យុង គឺជាមូលដ្ឋាននៃការស្រាវជ្រាវគណិតវិទ្យាណាមួយ។ វិធីសាស្រ្តកាត់កងនៃហេតុផលគឺការវែកញែកពីទូទៅទៅពិសេស, i.e. ការវែកញែក ចំណុចចាប់ផ្តើមដែលជាលទ្ធផលទូទៅ ហើយចំណុចចុងក្រោយគឺជាលទ្ធផលជាក់លាក់។ អាំងឌុចស្យុងត្រូវបានអនុវត្តនៅពេលឆ្លងកាត់ពីលទ្ធផលជាក់លាក់ទៅលទ្ធផលទូទៅពោលគឺឧ។ គឺផ្ទុយពីវិធីសាស្ត្រដក។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាអាចប្រៀបធៀបជាមួយនឹងវឌ្ឍនភាព។ យើងចាប់ផ្តើមពីកម្រិតទាបបំផុត ដែលជាលទ្ធផលនៃការគិតឡូជីខល យើងមកខ្ពស់បំផុត។ មនុស្សតែងតែខិតខំដើម្បីភាពរីកចម្រើន សម្រាប់សមត្ថភាពក្នុងការអភិវឌ្ឍការគិតរបស់គាត់ប្រកបដោយតក្កវិជ្ជា ដែលមានន័យថាធម្មជាតិបានកំណត់គាត់ឱ្យគិតដោយប្រយោល។ ទោះបីជាវិស័យនៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យាមានការរីកចម្រើនក៏ដោយ ពេលវេលាតិចតួចត្រូវបានឧទ្ទិសដល់វានៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលា។ ប៉ុន្តែវាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការអាចគិតដោយប្រយោលបាន។ ការអនុវត្តគោលការណ៍នេះក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហា និងទ្រឹស្តីបទបង្ហាញគឺស្មើរនឹងការពិចារណាក្នុងការអនុវត្តរបស់សាលានៃគោលការណ៍គណិតវិទ្យាផ្សេងទៀត៖ ពាក់កណ្តាលដែលមិនរាប់បញ្ចូល ការដាក់បញ្ចូល-មិនរាប់បញ្ចូល ឌីរីចឡេត។ ឧបករណ៍សំខាន់គឺវិធីសាស្រ្តប្រើប្រាស់នៃ induction គណិតវិទ្យា។ និយាយអំពីសារៈសំខាន់នៃវិធីសាស្រ្តនេះ A.N. Kolmogorov បានកត់សម្គាល់ថា "ការយល់ដឹងនិងសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដ៏ល្អសម្រាប់ភាពចាស់ទុំដែលចាំបាច់បំផុតសម្រាប់គណិតវិទូ" ។ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលក្នុងន័យទូលំទូលាយបំផុតរបស់វាមាននៅក្នុងការផ្លាស់ប្តូរពីការសង្កេតឯកជនទៅជាសកល គំរូទូទៅ ឬការបង្កើតទូទៅ។ នៅក្នុងការបកស្រាយនេះ វិធីសាស្រ្តគឺជាការពិតណាស់ បច្ចេកទេសសំខាន់សម្រាប់ធ្វើការស្រាវជ្រាវក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិពិសោធន៍ណាមួយ។

សកម្មភាពរបស់មនុស្ស។ វិធីសាស្រ្ត (គោលការណ៍) នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងទម្រង់សាមញ្ញបំផុតរបស់វាត្រូវបានប្រើនៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់។

បញ្ហា 1. នៅក្នុងអត្ថបទរបស់គាត់ "តើខ្ញុំក្លាយជាអ្នកគណិតវិទ្យា" A.N. Kolmogorov សរសេរថា: "ខ្ញុំបានរៀនពីសេចក្តីអំណរនៃ "ការរកឃើញ" គណិតវិទ្យាដំបូងដោយបានកត់សម្គាល់នៅអាយុប្រាំឬប្រាំមួយឆ្នាំនៃភាពទៀងទាត់។

1 =1 2 ,

1 + 3 = 2 2 ,

1 + 3 + 5 \u003d W 2,

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 ហើយដូច្នេះនៅលើ។

សាលាបានបោះពុម្ពទស្សនាវដ្តី "ស្វានិទាឃរដូវ" ។ នៅក្នុងនោះ ការរកឃើញរបស់ខ្ញុំត្រូវបានបោះពុម្ព…”

យើងមិនដឹងថាតើភស្តុតាងបែបណាដែលត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងទិនានុប្បវត្តិនេះ ប៉ុន្តែវាទាំងអស់បានចាប់ផ្តើមដោយការសង្កេតឯកជន។ សម្មតិកម្មខ្លួនឯងដែលប្រហែលជាកើតឡើងបន្ទាប់ពីការរកឃើញនៃសមភាពផ្នែកទាំងនេះគឺរូបមន្ត

1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2

ពិតសម្រាប់លេខណាមួយ។ n = 1, 2, 3, ...

ដើម្បីបញ្ជាក់ការសន្និដ្ឋាននេះ វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្កើតការពិតពីរ។ ជាដំបូងសម្រាប់ n = 1 (និងសូម្បីតែសម្រាប់ n = ២, ៣, ៤) សេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលចង់បានគឺពិត។ ទីពីរ ឧបមាថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, ហើយផ្ទៀងផ្ទាត់ថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1:

1 + 3 + 5+…+ (2k − 1) + (2k + 1) = (1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1)) + (2k + 1) = k 2 + (2k + ១) = (k + I) ២.

ដូច្នេះ ការអះអាង​ដែល​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​គឺ​ពិត​សម្រាប់​តម្លៃ​ទាំងអស់។ n: សម្រាប់ n = 1 វាជាការពិត (នេះត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់) និងដោយគុណធម៌នៃការពិតទីពីរសម្រាប់ n = 2, wherece សម្រាប់ n = 3 (ដោយសារតែការពិតទីពីរដូចគ្នា) ។ល។

បញ្ហា 2. ពិចារណាប្រភាគធម្មតាដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ជាមួយភាគយក 1 និងណាមួយ (ចំនួនគត់វិជ្ជមាន)

ភាគបែង៖ បញ្ជាក់​ថា​សម្រាប់​អ្វី​មួយ។ន > 3 អាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកទំ ប្រភាគផ្សេងៗគ្នានៃប្រភេទនេះ។

ដំណោះស្រាយ, ចូរយើងពិនិត្យមើលការអះអាងនេះជាមុនសិន n = 3; យើង​មាន:

ដូច្នេះការអះអាងជាមូលដ្ឋានគឺពេញចិត្ត

ឧបមាថាឥឡូវនេះសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃការចាប់អារម្មណ៍ចំពោះយើងគឺជាការពិតសម្រាប់ចំនួនមួយចំនួនទៅ, ហើយ​បញ្ជាក់​ថា​វា​ក៏​ពិត​សម្រាប់​លេខ​ដែល​តាម​ពី​ក្រោយ​វា​ដែរ។ទៅ + 1. ម្យ៉ាងទៀត ឧបមាថាមានតំណាង

ដែល k ពាក្យ និងភាគបែងទាំងអស់គឺខុសគ្នា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាអាចទៅរួចដើម្បីទទួលបានតំណាងនៃអង្គភាពក្នុងទម្រង់នៃផលបូកពីទៅ + 1 ប្រភាគនៃប្រភេទដែលចង់បាន។ យើងនឹងសន្មត់ថាប្រភាគមានការថយចុះ ពោលគឺភាគបែង (ក្នុងតំណាងនៃឯកតាដោយផលបូកទៅ ពាក្យ) កើនឡើងពីឆ្វេងទៅស្តាំដូច្នេះ t គឺជាភាគបែងធំបំផុត។ យើងនឹងទទួលបានតំណាងដែលយើងត្រូវការក្នុងទម្រង់ជាផលបូក(ទៅ + 1) ប្រភាគ ប្រសិនបើយើងបំបែកប្រភាគមួយ ឧទាហរណ៍ ប្រភាគចុងក្រោយជាពីរ។ នេះអាចត្រូវបានធ្វើដោយសារតែ

ហើយ​ដូច្នេះ

លើសពីនេះទៀតប្រភាគទាំងអស់នៅតែមានភាពខុសគ្នាចាប់តាំងពី t គឺជាភាគបែងដ៏ធំបំផុត និង t + 1 > t និង

m (t + 1) > m ។

ដូច្នេះយើងបានបង្កើត៖

1. សម្រាប់ n = 3 សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិត;

1. ប្រសិនបើសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលយើងចាប់អារម្មណ៍គឺជាការពិតទៅ,
   បន្ទាប់មកវាក៏ជាការពិតសម្រាប់ទៅ + 1 ។

នៅលើមូលដ្ឋាននេះ យើងអាចអះអាងបានថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាគឺជាការពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខបី។ លើស​ពី​នេះ​ទៅ​ទៀត ភស្តុតាង​ខាង​លើ​ក៏​បង្កប់​ន័យ​អំពី​ក្បួន​ដោះស្រាយ​សម្រាប់​ការ​ស្វែង​រក​ភាគ​ដែល​ចង់​បាន​នៃ​ការ​រួបរួម។ (តើនេះជាក្បួនដោះស្រាយអ្វី? ស្រមៃមើលលេខ 1 ជាផលបូកនៃ 4, 5, 7 ដោយខ្លួនឯង)។

ក្នុង​ការ​ដោះស្រាយ​បញ្ហា​មុន​ពីរ​ជំហាន​ត្រូវ​បាន​ធ្វើ។ ជំហានដំបូងត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាន induction, ទីពីរការផ្លាស់ប្តូរ inductiveឬជំហាននៃការចាប់ផ្តើម។ ជំហានទីពីរគឺសំខាន់បំផុត ហើយវាពាក់ព័ន្ធនឹងការសន្មត់មួយ (សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n = k) និងការសន្និដ្ឋាន (សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ n = k + 1) ។ ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ n ខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រ induction ។គ្រោងការណ៍ឡូជីខលនេះ (ឧបករណ៍) ដែលធ្វើឱ្យវាអាចសន្និដ្ឋានថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលកំពុងពិចារណាគឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ (ឬសម្រាប់ទាំងអស់ដោយចាប់ផ្តើមពីមួយចំនួន) ចាប់តាំងពីទាំងមូលដ្ឋាននិងការផ្លាស់ប្តូរមានសុពលភាពត្រូវបានគេហៅថាគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា,នៅលើមួយណា និង វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺផ្អែកលើ។ពាក្យ "induction" ខ្លួនវាមកពីពាក្យឡាតាំងអាំងឌុចស្យុង (ការណែនាំ) ដែលមានន័យថាការផ្លាស់ប្តូរពីចំណេះដឹងតែមួយអំពីវត្ថុនីមួយៗនៃថ្នាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យទៅជាការសន្និដ្ឋានទូទៅអំពីវត្ថុទាំងអស់នៃថ្នាក់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលជាវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយនៃចំណេះដឹង។

គោលការណ៍នៃអាំងឌុចស្យុងគណិតវិទ្យាក្នុងទម្រង់ធម្មតានៃជំហានពីរ បានបង្ហាញខ្លួនជាលើកដំបូងនៅក្នុងឆ្នាំ 1654 នៅក្នុង សន្ធិសញ្ញារបស់ Blaise Pascal ស្តីពីត្រីកោណនព្វន្ធ ដែលវិធីសាមញ្ញមួយក្នុងការគណនាចំនួនបន្សំ (មេគុណធរណីមាត្រ) ត្រូវបានបង្ហាញដោយការបញ្ចូល។ D. Poya ដកស្រង់ B. Pascal នៅក្នុងសៀវភៅជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរបន្តិចបន្តួចដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងតង្កៀបការ៉េ:

“ទោះបីជាការពិតដែលថាសំណើដែលកំពុងពិចារណា [រូបមន្តច្បាស់លាស់សម្រាប់មេគុណទ្វេគុណ] មានចំនួនករណីពិសេសគ្មានដែនកំណត់ ខ្ញុំនឹងផ្តល់ភស្តុតាងខ្លីៗសម្រាប់វា ដោយផ្អែកលើលេម៉ាចំនួនពីរ។

លេម៉ាទី 1 ចែងថាការសន្និដ្ឋានគឺជាការពិតសម្រាប់មូលដ្ឋាន - នេះគឺជាក់ស្តែង។ [នៅទំ = 1 រូបមន្តច្បាស់លាស់គឺត្រឹមត្រូវ...]

លេម៉ាទី 2 ចែងដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើការសន្មត់របស់យើងជាការពិតសម្រាប់មូលដ្ឋានបំពាន [សម្រាប់ r arbitrary] នោះវានឹងជាការពិតសម្រាប់មូលដ្ឋានខាងក្រោម [សម្រាប់ n + 1] ។

ប្រយោគទាំងពីរនេះ ចាំបាច់បញ្ជាក់ពីសុពលភាពនៃសំណើសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់។ទំ. ពិត​មែន​ដោយ​ធម៌​ទេសនា​ទី​១ មាន​សុពល​ភាពទំ = 1; អាស្រ័យហេតុនេះ ដោយគុណធម៌ទីពីរ វាមានសុពលភាពទំ = 2; ដូច្នេះ ម្តងទៀត ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាទី ទីពីរ វាមានសុពលភាពសម្រាប់ n = 3 ហើយដូច្នេះនៅលើការផ្សាយពាណិជ្ជកម្មគ្មានកំណត់។

បញ្ហាទី 3. ប៉មនៃល្បែងផ្គុំរូបហាណូយមានកំណាត់បី។ នៅលើកំណាត់មួយមានពីរ៉ាមីតមួយ (រូបភាពទី 1) ដែលមានចិញ្ចៀនជាច្រើនដែលមានអង្កត់ផ្ចិតខុសៗគ្នា បន្ថយពីបាតទៅកំពូល។

រូប ១

ពីរ៉ាមីតនេះត្រូវតែផ្ទេរទៅខ្សែម្ខាងទៀត ដោយផ្ទេរចិញ្ចៀនតែមួយដងប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនត្រូវដាក់ចិញ្ចៀនធំជាងនៅលើចិញ្ចៀនតូចជាងនោះទេ។ តើវាអាចធ្វើបានទេ?

ដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះយើងត្រូវឆ្លើយសំណួរ៖ តើវាអាចទៅរួចទេក្នុងការផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតដែលមានទំ ចិញ្ចៀនដែលមានអង្កត់ផ្ចិតខុសៗគ្នា ពីដំបងមួយទៅដំបងមួយទៀត អនុវត្តតាមច្បាប់នៃហ្គេម? ឥឡូវនេះបញ្ហាគឺដូចដែលពួកគេនិយាយ កំណត់ដោយយើង (ចំនួនធម្មជាតិភី) ហើយវាអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់ n = 1, អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺច្បាស់លាស់, ចាប់តាំងពីពីរ៉ាមីតនៃចិញ្ចៀនមួយច្បាស់ណាស់អាចត្រូវបានផ្លាស់ទីទៅដំបងណាមួយ។
2. ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ឧបមាថាយើងអាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតណាមួយជាមួយនឹងចំនួនចិញ្ចៀន p = k ។
   អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកយើងក៏អាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតពីកណ្តាល n = k + 1 ។

ពីរ៉ាមីតពីទៅ ចិញ្ចៀនដែលដេកនៅលើធំបំផុត(ទៅ + 1)-th ring, យើងអាច, នេះបើយោងតាមការសន្មត់, ផ្លាស់ទីទៅ pivot ផ្សេងទៀត។ តោះ​ធ្វើ​វា។ គ្មានចលនា(ទៅ + 1) ចិញ្ចៀនទីនឹងមិនជ្រៀតជ្រែកជាមួយយើងដើម្បីអនុវត្តក្បួនដោះស្រាយការផ្លាស់ទីលំនៅទេព្រោះវាធំជាងគេ។ បន្ទាប់ពីផ្លាស់ទីទៅ ចិញ្ចៀន, ផ្លាស់ទីធំបំផុតនេះ។(ទៅ + 1) ចិញ្ចៀននៅលើដំបងដែលនៅសល់។ ហើយ​បន្ទាប់​មក​ទៀត​យើង​អនុវត្ត​ក្បួន​ដោះស្រាយ​ចលនា​ដែល​គេ​ស្គាល់​យើង​ដោយ​ការ​សន្មត់​បញ្ចូលទៅ ចិញ្ចៀនហើយផ្លាស់ទីពួកវាទៅដំបង(ទៅ + 1) ចិញ្ចៀន។ ដូច្នេះប្រសិនបើយើងអាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតជាមួយទៅ ចិញ្ចៀនបន្ទាប់មកយើងអាចផ្លាស់ទីពីរ៉ាមីតនិងទៅ +ចិញ្ចៀន១វង់។ ដូច្នេះ​តាម​គោលការណ៍​នៃ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា វា​តែងតែ​អាច​ធ្វើ​ទៅ​បាន​ដើម្បី​ផ្លាស់ទី​ពីរ៉ាមីត​ដែល​មាន n ចិញ្ចៀនដែល n > 1 ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាបែងចែក។

ដោយ​ប្រើ​វិធីសាស្ត្រ​នៃ​ការ​បញ្ចូល​គណិតវិទ្យា គេ​អាច​បញ្ជាក់​ពី​សេចក្តីថ្លែងការណ៍​ផ្សេងៗ​ទាក់ទង​នឹង​ការ​បែងចែក​លេខ​ធម្មជាតិ។

កិច្ចការទី 4 . ប្រសិនបើ n គឺជាលេខធម្មជាតិ នោះលេខគឺស្មើ។

សម្រាប់ n=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់យើងគឺពិត៖ - លេខគូ។ ចូរសន្មតថាវាជាលេខគូ។ ដោយសារ 2k គឺជាលេខគូ ដូច្នេះវាក៏ដូចគ្នាដែរ។ ដូច្នេះ parity ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ឱ្យ​ឃើញ​សម្រាប់ n=1, parity ត្រូវ​បាន​កាត់​ចេញ​ពី parity ដូច្នេះ​សូម្បី​តែ​សម្រាប់​តម្លៃ​ធម្មជាតិ​ទាំងអស់​នៃ n ។

កិច្ចការ 3. បង្ហាញថាលេខ Z 3 + 3 - 26n - 27 ជាមួយនឹងធម្មជាតិបំពាន n ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានសល់។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរ​យើង​បញ្ជាក់​ជា​បឋម​ដោយ​ការ​បញ្ចូល​ការ​អះអាង​ជំនួយ​ថា ៣ 3n+3 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ដោយមិននៅសល់ n > 0 ។

1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់ n = 0 យើងមាន: Z 3 - 1 \u003d 26 - ចែកនឹង 26 ។

ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ឧបមាថា ៣ 3n + 3 - 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 នៅពេល n = k, និង អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាក្នុងករណីនេះការអះអាងនឹងជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1. ចាប់តាំងពី 3

បន្ទាប់មកពីការសន្មត់ inductive យើងសន្និដ្ឋានថាលេខ 3 3k + 6 - 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 ។

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ការ​អះអាង​ដែល​បាន​បង្កើត​ឡើង​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​បញ្ហា។ ហើយម្តងទៀតដោយការបញ្ចូល។

1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ វាច្បាស់ណាស់ថានៅ n = 1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត: ​​ចាប់តាំងពី 3 3+3 - 26 - 27 = 676 = 26 2 .
2. ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ចូរសន្មតថានៅ n = k
   កន្សោម 3 3k + 3 - 26k - 27 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានសល់ ហើយបញ្ជាក់ថាការអះអាងនេះជាការពិត n = k + 1,
   ពោលគឺលេខនោះ។

ចែកដោយ 26 2 ដោយគ្មានដាន។ នៅក្នុងផលបូកចុងក្រោយ ពាក្យទាំងពីរត្រូវបានបែងចែកដោយគ្មានសល់ដោយ 26 2 . ទីមួយគឺដោយសារតែយើងបានបង្ហាញថាកន្សោមនៅក្នុងតង្កៀបត្រូវបានបែងចែកដោយ 26; ទីពីរដោយសម្មតិកម្មអាំងឌុចទ័។ ដោយគុណធម៌នៃគោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យា សេចក្តីថ្លែងការណ៍ចាំបាច់ត្រូវបានបង្ហាញទាំងស្រុង។

ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងការបូកសរុបនៃស៊េរី។

កិច្ចការទី 5 ។ បញ្ជាក់រូបមន្ត

N គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ដំណោះស្រាយ។

សម្រាប់ n=1 ផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពប្រែទៅជាមួយ ហើយដូច្នេះលក្ខខណ្ឌដំបូងនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺពេញចិត្ត។

សន្មតថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n=k, i.e.

ចូរបន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរនៃសមភាពនេះ និងបំប្លែងផ្នែកខាងស្តាំ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន

ដូច្នេះពីការពិតដែលថារូបមន្តគឺពិតសម្រាប់ n = k វាធ្វើតាមថាវាជាការពិតសម្រាប់ n = k + 1 ផងដែរ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺពិតសម្រាប់តម្លៃធម្មជាតិណាមួយនៃ k ។ ដូច្នេះលក្ខខណ្ឌទីពីរនៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក៏ត្រូវបានពេញចិត្តផងដែរ។ រូបមន្តត្រូវបានបញ្ជាក់។

កិច្ចការមួយ។ 6. លេខពីរត្រូវបានសរសេរនៅលើក្តារ: 1.1 ។ ការបញ្ចូលផលបូករបស់ពួកគេនៅចន្លោះលេខ យើងទទួលបានលេខ 1, 2, 1។ ធ្វើប្រតិបត្តិការនេះម្តងទៀត យើងទទួលបានលេខ 1, 3, 2, 3, 1។ បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការចំនួនបី លេខនឹងជា 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1. តើអ្វីនឹងជាផលបូកនៃលេខទាំងអស់នៅលើក្តារបន្ទាប់ពី 100 ប្រតិបត្តិការ?

ដំណោះស្រាយ។ ធ្វើទាំងអស់ 100 ប្រតិបត្តិការនឹងចំណាយពេលច្រើន និងចំណាយពេលច្រើន។ ដូច្នេះ យើងត្រូវព្យាយាមរករូបមន្តទូទៅមួយចំនួនសម្រាប់ផលបូក Sលេខបន្ទាប់ពី n ប្រតិបត្តិការ។ តោះមើលតារាង៖

តើអ្នកបានកត់សម្គាល់ឃើញគំរូណាមួយនៅទីនេះទេ? ប្រសិនបើមិនមានទេ អ្នកអាចចាត់វិធានការមួយជំហានទៀត៖ បន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការចំនួនបួន នឹងមានលេខ

1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, 7, 4, 5, 1,

ដែលផលបូក S 4 គឺ 82 ។

តាមពិតអ្នកមិនអាចសរសេរលេខបានទេ ប៉ុន្តែភ្លាមៗត្រូវនិយាយពីរបៀបដែលផលបូកនឹងផ្លាស់ប្តូរបន្ទាប់ពីបន្ថែមលេខថ្មី។ ចូរឱ្យផលបូកស្មើនឹង 5។ តើវានឹងក្លាយទៅជាអ្វីនៅពេលបន្ថែមលេខថ្មី? ចូរបំបែកលេខថ្មីនីមួយៗទៅជាផលបូកនៃលេខចាស់ពីរ។ ឧទាហរណ៍ពី 1, 3, 2, 3, 1 យើងទៅ 1,

1 + 3, 3, 3 + 2, 2, 2 + 3, 3, 3 + 1, 1.

នោះគឺលេខចាស់នីមួយៗ (លើកលែងតែឯកតាខ្លាំងទាំងពីរ) ឥឡូវនេះត្រូវបានបញ្ចូលទៅក្នុងផលបូកបីដង ដូច្នេះផលបូកថ្មីគឺ 3S - 2 (ដក 2 ដើម្បីយកទៅក្នុងគណនីដែលបាត់)។ ដូច្នេះ ស 5 = 3S 4 - 2 = 244 ហើយជាទូទៅ

តើអ្វីជារូបមន្តទូទៅ? ប្រសិនបើវាមិនមែនសម្រាប់ការដកនៃពីរឯកតាទេនោះរាល់ពេលដែលផលបូកនឹងកើនឡើងបីដងដូចនៅក្នុងអំណាចនៃបីដង (1, 3, 9, 27, 81, 243, ... ) ។ ហើយលេខរបស់យើង ដូចដែលអ្នកអាចមើលឃើញឥឡូវនេះគឺមួយបន្ថែមទៀត ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានសន្មត់ថា

ឥឡូវ​នេះ ចូរ​យើង​ព្យាយាម​បញ្ជាក់​វា​ដោយ​ការ​ណែនាំ។

មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សូមមើលតារាង (សម្រាប់ n = 0, 1, 2, 3) ។

ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់នៅពេលនោះ។ S ទៅ + 1 \u003d Z ទៅ + 1 + 1 ។

ពិតជា

ដូច្នេះរូបមន្តរបស់យើងត្រូវបានបញ្ជាក់។ វាបង្ហាញថាបន្ទាប់ពីប្រតិបត្តិការមួយរយផលបូកនៃលេខទាំងអស់នៅលើក្តារនឹងស្មើនឹង 3 100 + 1.

សូមពិចារណាឧទាហរណ៍ដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់មួយនៃការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ដែលដំបូងអ្នកត្រូវណែនាំប៉ារ៉ាម៉ែត្រធម្មជាតិពីរ ហើយបន្ទាប់មកអនុវត្តការបញ្ចូលលើផលបូករបស់វា។

កិច្ចការមួយ។ 7. បញ្ជាក់ថាប្រសិនបើ= 2, x 2 = 3 និងសម្រាប់ធម្មជាតិនីមួយៗន > ៣

x n \u003d Zx n - 1 - 2x n - 2,

បន្ទាប់មក

2 n − 1 + 1, n = 1, 2, 3, ...

ដំណោះស្រាយ។ ចំណាំថានៅក្នុងបញ្ហានេះ លំដាប់ដំបូងនៃលេខ(x n) ត្រូវបានកំណត់ដោយ induction ចាប់តាំងពីលក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់របស់យើង លើកលែងតែពីរដំបូងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដោយ inductive ពោលគឺតាមរយៈពាក្យមុនៗ។ លំដាប់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថាកើតឡើងវិញ, ហើយក្នុងករណីរបស់យើង លំដាប់នេះត្រូវបានកំណត់ (ដោយបញ្ជាក់ពាក្យពីរដំបូងរបស់វា) តាមរបៀបតែមួយគត់។

មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ វាមានការត្រួតពិនិត្យការអះអាងពីរ៖ n=1 និង n=2.B ក្នុង​ករណី​ទាំង​ពីរ ការ​អះអាង​គឺ​ពិត​តាម​ការ​សន្មត។

ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ចូរសន្មតថាសម្រាប់ n = k − 1 និង n = k ការអះអាងត្រូវបានធ្វើឡើង, នោះគឺ

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបញ្ជាក់ពីការអះអាងសម្រាប់ n = k + 1. យើងមាន៖

x 1 = 3(2 + 1) - 2(2 + 1) = 2 + 1 ដែលត្រូវបង្ហាញ។

កិច្ចការ ៨. បង្ហាញថាចំនួនធម្មជាតិណាមួយអាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃសមាជិកផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលំដាប់បន្តនៃលេខ Fibonacci៖

សម្រាប់ k > 2 ។

ដំណោះស្រាយ។ អនុញ្ញាតឱ្យទំ - លេខធម្មជាតិ។ យើងនឹងអនុវត្តការណែនាំនៅលើទំ.

មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់ n = សេចក្តីថ្លែងការណ៍ 1 គឺពិត ចាប់តាំងពីឯកតាគឺជាលេខ Fibonacci ។

ជំហាននៃការបញ្ចូល។ សន្មតថាលេខធម្មជាតិទាំងអស់តិចជាងលេខមួយចំនួន P អាចត្រូវបានតំណាងថាជាផលបូកនៃលក្ខខណ្ឌផ្សេងគ្នាជាច្រើននៃលំដាប់ Fibonacci ។ ស្វែងរកលេខ Fibonacci ធំបំផុត F t , មិនលើសទំ; ដូច្នេះ F t n និង F t +1 > n ។

ដោយសារតែ

តាមសម្មតិកម្មនៃសេចក្តីផ្តើម លេខ p- F t អាចត្រូវបានតំណាងជាផលបូកនៃសមាជិក 5 ផ្សេងគ្នានៃលំដាប់ Fibonacci ហើយវាកើតឡើងពីវិសមភាពចុងក្រោយដែលសមាជិកទាំងអស់នៃលំដាប់ Fibonacci ដែលចូលរួមក្នុងផលបូក 8 គឺតិចជាង F t ។ ដូច្នេះការពង្រីកចំនួន n = 8 + F t បំពេញលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា។

ឧទាហរណ៍នៃការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាទៅនឹងភស្តុតាងនៃវិសមភាព។

កិច្ចការ ៩. (វិសមភាពរបស់ Bernoulli ។ )បញ្ជាក់ថាពេលណា x > -1, x 0 និងសម្រាប់ចំនួនគត់ n > ២ វិសមភាព

(1 + x) n > 1 + xn ។

ដំណោះស្រាយ។ យើង​នឹង​អនុវត្ត​ភស្តុតាង​ម្តងទៀត​ដោយ​ការ​ណែនាំ។

1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពនៃវិសមភាពសម្រាប់ n = 2. ជាការពិត

(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x ។

2. ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ចូរសន្មតថាសម្រាប់លេខ n = k សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះគឺជាការពិត

(1 + x) k > 1 + xk,

ដែល k > 2. យើងបង្ហាញវាសម្រាប់ n = k + 1 ។ យើងមាន: (1 + x) k + 1 = (1 + x) k (1 + x) > (1 + kx) (1 + x) =

1 + (k + 1)x + kx 2 > 1 + (k + 1)x ។

ដូច្នេះ ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វាអាចត្រូវបានអះអាងថា វិសមភាពរបស់ Bernoulli មានសុពលភាពសម្រាប់ណាមួយ។ n > ២.

មិនតែងតែនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ច្បាប់ទូទៅដែលត្រូវតែបញ្ជាក់ត្រូវបានបង្កើតយ៉ាងច្បាស់។ ជួនកាលវាចាំបាច់ ដោយការសង្កេតលើករណីជាក់លាក់ ដើម្បីស្វែងយល់ជាមុនសិន (ទាយ) ថាតើច្បាប់ទូទៅដែលពួកគេនាំទៅរកអ្វី ហើយមានតែបន្ទាប់មកបង្ហាញសម្មតិកម្មដែលបានចែងដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ លើសពីនេះទៀតអថេរអាំងឌុចស្យុងអាចត្រូវបានបិទបាំងហើយមុនពេលដោះស្រាយបញ្ហាវាចាំបាច់ត្រូវកំណត់ថាតើប៉ារ៉ាម៉ែត្រណាដែលអាំងឌុចស្យុងនឹងត្រូវបានអនុវត្ត។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាកិច្ចការខាងក្រោម។

បញ្ហា 10. បញ្ជាក់

សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ n > 1 ។

ដំណោះស្រាយ, ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញវិសមភាពនេះដោយ induction គណិតវិទ្យា។

មូលដ្ឋាននៃការចាប់ផ្តើមត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់យ៉ាងងាយស្រួល: 1+

ដោយសម្មតិកម្មអាំងឌុចស្យុង

ហើយវានៅសល់សម្រាប់យើងដើម្បីបញ្ជាក់

ដោយប្រើសម្មតិកម្មប្រឌិត យើងនឹងអះអាងនោះ។

ទោះបីជាសមភាពនេះជាការពិតក៏ដោយ វាមិនផ្តល់ឱ្យយើងនូវដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហានោះទេ។

ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញការអះអាងខ្លាំងជាងការទាមទារនៅក្នុងបញ្ហាដើម។ មានន័យថា យើងនឹងបញ្ជាក់

វាហាក់ដូចជាថាការបញ្ជាក់ពីការអះអាងនេះដោយការបញ្ចូលគឺគ្មានសង្ឃឹមទេ។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅទំ = 1 យើងមាន: សេចក្តីថ្លែងការគឺពិត។ ដើម្បីបង្ហាញពីភាពត្រឹមត្រូវនៃជំហាន inductive ឧបមាថានោះ។

ហើយបន្ទាប់មកយើងនឹងបញ្ជាក់

ពិតជា

ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ការ​អះអាង​កាន់​តែ​ខ្លាំង​ឡើង ដែល​ការ​អះអាង​ដែល​មាន​ក្នុង​លក្ខខណ្ឌ​នៃ​បញ្ហា​បន្ទាប់​មក​ភ្លាមៗ។

រឿងដែលណែនាំនៅទីនេះគឺថា ទោះបីជាយើងត្រូវបញ្ជាក់ការអះអាងខ្លាំងជាងតម្រូវការក្នុងបញ្ហាក៏ដោយ យើងក៏អាចប្រើការសន្មត់ខ្លាំងជាងនៅក្នុងជំហានណែនាំផងដែរ។ នេះពន្យល់ថាការអនុវត្តជាក់ស្តែងនៃគោលការណ៍ induction គណិតវិទ្យាមិនតែងតែនាំទៅរកគោលដៅនោះទេ។

ស្ថានភាពដែលកើតឡើងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាត្រូវបានគេហៅថាភាពផ្ទុយគ្នារបស់អ្នកបង្កើត។ភាពផ្ទុយស្រឡះខ្លួនវាគឺថា ផែនការស្មុគស្មាញអាចត្រូវបានអនុវត្តដោយជោគជ័យកាន់តែច្រើន ប្រសិនបើពួកគេផ្អែកលើការយល់ដឹងកាន់តែស៊ីជម្រៅអំពីខ្លឹមសារនៃបញ្ហានោះ។

បញ្ហា 11. បញ្ជាក់ 2m + n − 2m សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ​នៃ។

ដំណោះស្រាយ។ នៅទីនេះយើងមានជម្រើសពីរ។ ដូច្នេះអ្នកអាចព្យាយាមអនុវត្តអ្វីដែលគេហៅថាអាំងតង់ស៊ីតេទ្វេ( induction induction ) ។

យើង​នឹង​អនុវត្ត​ការ​វែកញែក​ដោយ​ប្រឌិតទំ.

1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូលយោងទៅតាមទំ។សម្រាប់ n = 1 ត្រូវតែពិនិត្យមើលវា។ 2 t ~ 1 > t ។ ដើម្បី​បញ្ជាក់​ពី​វិសមភាព​នេះ យើង​ប្រើ​ការ​បញ្ចូល​នៅ​លើ t.

ក) មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូលដោយ vol ។សម្រាប់ t = 1 កំពុងដំណើរការ
សមភាពដែលអាចទទួលយកបាន។

ខ) ជំហាននៃការបញ្ចូលយោងទៅតាម t ។ចូរសន្មតថានៅ t = k សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺជាការពិត 2 k ~ 1 > k ។ បន្ទាប់មកឡើង
ចូរយើងនិយាយថាការអះអាងនេះជាការពិតបើទោះបីជា m = k + 1 ។
យើង​មាន:

នៅធម្មជាតិ k ។

ដូច្នេះ វិសមភាព 2 អនុវត្តសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ t.

2. ជំហាននៃអាំងឌុចស្យុងយោងទៅតាមធាតុជ្រើសរើស និងជួសជុលលេខធម្មជាតិមួយចំនួន t. ចូរសន្មតថានៅ n = ខ្ញុំ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត (សម្រាប់ថេរ t) ឧ. 2 t +1 ~ 2 > t1, ហើយ​បញ្ជាក់​ថា ការ​អះអាង​នឹង​ក្លាយ​ជា​ការ​ពិត n = l + 1 ។
យើង​មាន:

សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ​នៃ។

ដូច្នេះដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា (យោងទៅតាមទំ) សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺពិតសម្រាប់ណាមួយ។ទំ និងសម្រាប់ថេរណាមួយ។ t. ដូច្នេះ វិសមភាពនេះ មានសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ប្រភេទ​នៃ។

បញ្ហា 12. អនុញ្ញាតឱ្យ m, n និង k គឺជាលេខធម្មជាតិ និង t > ទំ តើលេខទាំងពីរមួយណាធំជាង៖

នៅក្នុងរាល់ការបញ្ចេញមតិទៅ សញ្ញាឫសការ៉េ, t និង n ឆ្លាស់គ្នា។

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងបង្ហាញការអះអាងជំនួយជាមុនសិន។

លេម៉ា។ សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ t និង n (t > n) និងមិនអវិជ្ជមាន (មិនចាំបាច់ជាចំនួនគត់) X វិសមភាព

ភស្តុតាង។ ពិចារណាពីវិសមភាព

វិសមភាពនេះគឺជាការពិត ព្រោះកត្តាទាំងពីរនៅខាងឆ្វេងគឺវិជ្ជមាន។ ការពង្រីកតង្កៀប និងការបំប្លែង យើងទទួលបាន៖

ដោយយកឫសការ៉េនៃផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាពចុងក្រោយ យើងទទួលបានការអះអាងនៃលេម៉ា។ ដូច្នេះលេមម៉ាត្រូវបានបង្ហាញ។

ឥឡូវនេះសូមបន្តទៅការដោះស្រាយបញ្ហា។ ចូរសម្គាល់លេខដំបូងនៃលេខទាំងនេះដោយក, និងទីពីរឆ្លងកាត់ b ទៅ . ចូរយើងបញ្ជាក់ថា ក សម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ទៅ។ ភ័ស្តុតាងនឹងត្រូវបានអនុវត្តដោយវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាដាច់ដោយឡែកសម្រាប់គូ និងសេសទៅ។

មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់ k = 1 យើងមានវិសមភាព

y [t > y/n ដែលមានសុពលភាពដោយសារការពិត m > ន. = 2, លទ្ធផលដែលចង់បានគឺទទួលបានពី lemma ដែលបានបង្ហាញដោយការជំនួស x = 0 ។

ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ឧបមាថាសម្រាប់អ្នកខ្លះទៅវិសមភាព a > b ទៅ យុត្តិធម៌។ ចូរយើងបញ្ជាក់

ពីការសន្មត់នៃ induction និង monotonicity នៃឫសការ៉េ យើងមាន:

ម៉្យាងវិញទៀត វាធ្វើតាមពីលេម៉ាម៉ាដែលបានបញ្ជាក់នោះ។

រួមបញ្ចូលគ្នានូវវិសមភាពពីរចុងក្រោយ យើងទទួលបាន៖

យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។

កិច្ចការ ១៣. (វិសមភាពរបស់ Cauchy ។ )បញ្ជាក់ថាសម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ...,មួយទំ វិសមភាព

ដំណោះស្រាយ។ សម្រាប់ n = 2 វិសមភាព

មធ្យមនព្វន្ធ និងមធ្យមធរណីមាត្រ (សម្រាប់លេខពីរ) នឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាស្គាល់។ អនុញ្ញាតឱ្យ n=2, ក = 1, 2, 3, ... ហើយដំបូងអនុវត្តការបញ្ចូលនៅលើទៅ។ មូលដ្ឋាននៃអាំងឌុចស្យុងនេះទទួលបាន។ សន្មតថាឥឡូវនេះវិសមភាពដែលចង់បានត្រូវបានបង្កើតឡើងរួចហើយសម្រាប់ n = 2, យើងនឹងបញ្ជាក់វាសម្រាប់ទំ = ២. យើងមាន (ប្រើវិសមភាពសម្រាប់លេខពីរ)៖

ដូច្នេះដោយសម្មតិកម្មនៃការបញ្ចូល

ដូច្នេះ តាមរយៈការបញ្ចូលលើ k យើងបានបង្ហាញពីវិសមភាពសម្រាប់ទាំងអស់គ្នាទំ ៩ ដែលជាអំណាចពីរ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ពីវិសមភាពសម្រាប់តម្លៃផ្សេងទៀត។ទំ យើង​នឹង​ប្រើ​ពាក្យ "induction down" នោះ​គឺ​យើង​នឹង​បង្ហាញ​ថា​ប្រសិនបើ​វិសមភាព​ត្រូវ​បាន​ពេញចិត្ត​ចំពោះ​ការ​មិន​អវិជ្ជមាន​តាម​អំពើចិត្ត។ទំ លេខ, វាក៏មានសុពលភាពសម្រាប់(ទំ - ១) លេខ។ ដើម្បីផ្ទៀងផ្ទាត់នេះយើងកត់សំគាល់ថាយោងទៅតាមការសន្មត់ដែលបានធ្វើសម្រាប់ទំ លេខ, វិសមភាព

នោះគឺ a r + a 2 + ... + a n _ x > (n − 1) ក។ បែងចែកផ្នែកទាំងពីរទៅជាទំ - 1 យើងទទួលបានវិសមភាពដែលត្រូវការ។

ដូច្នេះ ជាដំបូង យើងបានកំណត់ថា វិសមភាពមានសម្រាប់ចំនួនគ្មានកំណត់នៃតម្លៃដែលអាចធ្វើបាន P ហើយបន្ទាប់មកបង្ហាញថា វិសមភាពនេះ រក្សាទំ លេខ, វាក៏មានសុពលភាពសម្រាប់(ទំ - ១) លេខ។ ពីនេះឥឡូវនេះយើងសន្និដ្ឋានថាវិសមភាពរបស់ Coty ទទួលបានសម្រាប់សំណុំមួយ។ទំ លេខដែលមិនអវិជ្ជមានសម្រាប់ណាមួយ។ n = 2, 3, 4, ...

បញ្ហា 14. (D. Uspensky ។ ) សម្រាប់ត្រីកោណ ABC ដែលមានមុំ = CAB, = CBA មានភាពសមហេតុផល មានវិសមភាព

ដំណោះស្រាយ។ មុំ និងអាចទទួលយកបាន ដែលមានន័យថា (តាមនិយមន័យ) ដែលមុំទាំងនេះមានរង្វាស់ទូទៅដែល = p, = (p, q គឺជាលេខធម្មជាតិ coprime) ។

ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា ហើយគូរវាពីលើផលបូក n = ទំ + q លេខចម្លងធម្មជាតិ..

មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ សម្រាប់ p + q = 2 យើងមាន៖ p = 1 និង q = 1។ បន្ទាប់មក ត្រីកោណ ABC គឺជា isosceles ហើយវិសមភាពចាំបាច់គឺជាក់ស្តែង៖ ពួកគេធ្វើតាមពីវិសមភាពត្រីកោណ

ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ឧបមាថាឥឡូវនេះវិសមភាពដែលចង់បានត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ p + q = 2, 3, ... , k − 1 ែដល k > 2. ចូរយើងបង្ហាញថាវិសមភាពក៏មានសុពលភាពផងដែរ។ p + q = k ។

អនុញ្ញាតឱ្យ ABC គឺជាត្រីកោណដែលបានផ្តល់ឱ្យ> 2. បន្ទាប់មកភាគី AC និង BC មិនអាចស្មើគ្នា៖ អនុញ្ញាតឱ្យ AC > BC ។ ឥឡូវ​យើង​បង្កើត​ដូច​ក្នុង​រូបភាព​ទី 2 ត្រីកោណ isosceles ABC; យើង​មាន:

AC \u003d DC និង AD \u003d AB + BD ដូច្នេះ

2AC > AB + BD (1)

ឥឡូវពិចារណាត្រីកោណវីឌីស៊ី មុំរបស់វាក៏អាចប្រៀបធៀបបានដែរ៖

DCB = (q - p), BDC = ទំ។

អង្ករ។ ២

ត្រីកោណ​នេះ​បំពេញ​សម្មតិកម្ម​អាំងឌុច​ទ័​រ ហើយ​ដូច្នេះ

(2)

បន្ថែម (1) និង (2) យើងមាន:

2AC+BD>

ហើយ​ដូច្នេះ

ពីត្រីកោណដូចគ្នា។ WBS តាមសម្មតិកម្មនៃសេចក្តីផ្តើម យើងសន្និដ្ឋានថា

ដោយពិចារណាលើវិសមភាពពីមុន យើងសន្និដ្ឋាន

ដូច្នេះ ការផ្លាស់ប្តូរ inductive ត្រូវបានទទួល ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាកើតឡើងពីគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា។

មតិយោបល់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហានៅតែមានសុពលភាព ទោះបីជាមុំ a និង p មិនសមហេតុផលក៏ដោយ។ នៅក្នុងមូលដ្ឋាននៃការពិចារណានៅក្នុងករណីទូទៅ យើងត្រូវអនុវត្តគោលការណ៍គណិតវិទ្យាដ៏សំខាន់មួយទៀតរួចហើយ - គោលការណ៍នៃការបន្ត។

បញ្ហា 15. បន្ទាត់ត្រង់ជាច្រើនបែងចែកយន្តហោះទៅជាផ្នែក។ បញ្ជាក់​ថា​វា​អាច​ធ្វើ​ឱ្យ​ផ្នែក​ទាំងនេះ​មាន​ពណ៌​ស

និង​ពណ៌​ខ្មៅ ដូច្នេះ​ផ្នែក​នៅ​ជាប់​គ្នា​ដែល​មាន​ផ្នែក​ព្រំដែន​រួម​មាន​ពណ៌​ខុស​គ្នា (ដូច​ក្នុង​រូប​ទី 3 ពេល n = 4) ។

រូបភាពទី 3

ដំណោះស្រាយ។ យើងប្រើ induction លើចំនួនបន្ទាត់។ ដូច្នេះអនុញ្ញាតឱ្យទំ - ចំនួនបន្ទាត់ដែលបែងចែកយន្តហោះរបស់យើងជាផ្នែកៗ n > 1 ។

មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ ប្រសិនបើមានតែមួយត្រង់(ទំ = 1) បន្ទាប់មកវាបែងចែកយន្តហោះជាពីរពាក់កណ្តាលយន្តហោះ ដែលមួយអាចមានពណ៌ស និងមួយទៀតខ្មៅ ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺជាការពិត។

ជំហាននៃការបញ្ចូល។ ដើម្បីធ្វើឱ្យភស្តុតាងនៃជំហាន inductive កាន់តែច្បាស់ សូមពិចារណាដំណើរការនៃការបន្ថែមបន្ទាត់ថ្មីមួយ។ ប្រសិនបើយើងគូរបន្ទាត់ទីពីរ(ទំ= 2) បន្ទាប់មកយើងទទួលបានបួនផ្នែកដែលអាចត្រូវបានពណ៌តាមវិធីដែលចង់បានដោយគូរជ្រុងផ្ទុយគ្នាក្នុងពណ៌ដូចគ្នា។ សូមមើលថាតើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើយើងគូសបន្ទាត់ត្រង់ទីបី។ វានឹងបែងចែកផ្នែក "ចាស់" មួយចំនួន ខណៈដែលផ្នែកថ្មីនៃព្រំដែននឹងលេចឡើង នៅផ្នែកទាំងពីរដែលមានពណ៌ដូចគ្នា (រូបភាពទី 4) ។

អង្ករ។ បួន

តោះបន្តដូចខាងក្រោម៖ម្ខាងពីបន្ទាត់ត្រង់ថ្មីយើងនឹងផ្លាស់ប្តូរពណ៌ - យើងនឹងធ្វើឱ្យសខ្មៅនិងច្រាសមកវិញ; ក្នុងពេលជាមួយគ្នានោះ ផ្នែកទាំងនោះដែលស្ថិតនៅម្ខាងទៀតនៃបន្ទាត់ត្រង់នេះ មិនត្រូវបានលាបពណ៌ឡើងវិញទេ (រូបភាពទី 5)។ បន្ទាប់មកពណ៌ថ្មីនេះនឹងបំពេញតម្រូវការចាំបាច់: នៅលើដៃមួយបន្ទាត់ត្រង់បានឆ្លាស់គ្នារួចហើយ (ប៉ុន្តែមានពណ៌ផ្សេងគ្នា) ហើយម្យ៉ាងវិញទៀតវាចាំបាច់។ ដើម្បីឱ្យផ្នែកដែលមានព្រំប្រទល់រួមដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់បន្ទាត់ដែលគូរត្រូវបានលាបពណ៌ខុសៗគ្នា យើងបានលាបពណ៌ផ្នែកទាំងនោះតែនៅផ្នែកម្ខាងនៃបន្ទាត់ដែលបានគូរនេះ។

រូប ៥

ឥឡូវ​នេះ​សូម​ឱ្យ​យើង​បង្ហាញ​ពី​ជំហាន​បញ្ចូល​។ ឧបមាថាសម្រាប់អ្នកខ្លះn = kសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃបញ្ហាគឺត្រឹមត្រូវ ពោលគឺគ្រប់ផ្នែកនៃយន្តហោះដែលវាត្រូវបានបែងចែកដោយទាំងនេះទៅត្រង់ អ្នកអាចលាបពណ៌ស និងខ្មៅ ដើម្បីឱ្យផ្នែកជិតខាងមានពណ៌ផ្សេងគ្នា។ ចូរយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកមានពណ៌បែបនេះសម្រាប់ទំ= ទៅ+ 1 ត្រង់។ ចូរយើងបន្តស្រដៀងគ្នាទៅនឹងករណីនៃការផ្លាស់ប្តូរពីបន្ទាត់ត្រង់ពីរទៅបី។ តោះចំណាយលើយន្តហោះទៅផ្ទាល់។ បន្ទាប់មកដោយការសន្មត់ថា "ផែនទី" លទ្ធផលអាចត្រូវបានពណ៌តាមរបៀបដែលចង់បាន។ តោះចំណាយឥឡូវនេះ(ទៅ+ 1)-th បន្ទាត់ត្រង់ ហើយនៅផ្នែកម្ខាងរបស់វា យើងប្តូរពណ៌ទៅផ្ទុយ។ ដូច្នេះ​ឥឡូវនេះ(ទៅបន្ទាត់ត្រង់ + 1)-th បំបែកផ្នែកនៃពណ៌ផ្សេងគ្នានៅគ្រប់ទីកន្លែងខណៈពេលដែលផ្នែក "ចាស់" ដូចដែលយើងបានឃើញរួចហើយនៅតែមានពណ៌ត្រឹមត្រូវ។ យោងតាមគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

កិច្ចការមួយ។16. នៅលើគែមនៃវាលខ្សាច់មានការផ្គត់ផ្គង់ប្រេងសាំងដ៏ច្រើន និងរថយន្តដែលជាមួយនឹងស្ថានីយ៍ប្រេងឥន្ធនៈពេញលេញអាចធ្វើដំណើរបាន 50 គីឡូម៉ែត្រ។ ក្នុងបរិមាណគ្មានដែនកំណត់ មានកំប៉ុងដែលអ្នកអាចបង្ហូរប្រេងសាំងចេញពីធុងហ្គាសរបស់រថយន្ត ហើយទុកវាទុកសម្រាប់ទុកនៅគ្រប់ទីកន្លែងក្នុងវាលខ្សាច់។ បញ្ជាក់​ថា​រថយន្ត​អាច​ធ្វើ​ដំណើរ​បាន​ចម្ងាយ​ចំនួន​ច្រើន​ជាង 50 គីឡូម៉ែត្រ។ វាមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតឱ្យយកកំប៉ុងប្រេងសាំងទេ កំប៉ុងទទេអាចផ្ទុកបានក្នុងបរិមាណណាមួយ។

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងព្យាយាមបង្ហាញវាដោយការណែនាំនៅលើPដែលរថយន្តអាចបើកបរបាន។ទំគីឡូម៉ែត្រពីគែមវាលខ្សាច់។ នៅទំ= 50 ត្រូវបានគេស្គាល់។ វានៅសល់ដើម្បីអនុវត្តជំហាននៃការបញ្ចូល និងពន្យល់ពីរបៀបដើម្បីទៅដល់ទីនោះn = k+ 1 គីឡូម៉ែត្រប្រសិនបើដឹងn = kគីឡូម៉ែត្រអាចបើកបរបាន។

ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅទីនេះយើងជួបប្រទះការលំបាកមួយ: បន្ទាប់ពីយើងបានឆ្លងកាត់ទៅគីឡូម៉ែត្រ សាំងប្រហែលជាមិនគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ការធ្វើដំណើរត្រឡប់មកវិញទេ (មិននិយាយពីការផ្ទុក)។ ហើយក្នុងករណីនេះ ផ្លូវចេញគឺដើម្បីពង្រឹងការអះអាងដែលត្រូវបានបង្ហាញ (ភាពផ្ទុយគ្នារបស់អ្នកបង្កើត)។ យើងនឹងបង្ហាញថាវាមិនត្រឹមតែអាចបើកបរប៉ុណ្ណោះទេទំគីឡូម៉ែត្រ ប៉ុន្តែ​ក៏​ត្រូវ​ធ្វើ​ការ​ផ្គត់ផ្គង់​សាំង​ច្រើន​តាម​អំពើ​ចិត្ត​នៅ​ចំណុច​មួយ​ពី​ចម្ងាយទំគីឡូម៉ែត្រពីគែមនៃវាលខ្សាច់ដែលស្ថិតនៅចំណុចនេះបន្ទាប់ពីការបញ្ចប់នៃការដឹកជញ្ជូន។

មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល។ទុក​មួយ​ឯកតា​នៃ​សាំង​ជា​បរិមាណ​សាំង​ដែល​តម្រូវ​ឱ្យ​ធ្វើ​ដំណើរ​មួយ​គីឡូម៉ែត្រ។ បន្ទាប់មកជើងហោះហើរចម្ងាយ 1 គីឡូម៉ែត្រ និងត្រលប់មកវិញត្រូវការសាំងពីរគ្រឿង ដូច្នេះយើងអាចទុកសាំងចំនួន 48 ឯកតាក្នុងឃ្លាំងមួយគីឡូម៉ែត្រពីគែម ហើយត្រលប់មកវិញបន្ថែមទៀត។ ដូច្នេះហើយ សម្រាប់ការធ្វើដំណើរជាច្រើនដងទៅកាន់កន្លែងផ្ទុក យើងអាចបង្កើតស្តុកទំហំមួយដែលយើងត្រូវការ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះដើម្បីបង្កើតភាគហ៊ុនចំនួន 48 យើងចំណាយប្រេងសាំងចំនួន 50 គ្រឿង។

ជំហាននៃការបញ្ចូល។ចូរសន្មតថានៅចម្ងាយទំ= ទៅពីគែមនៃវាលខ្សាច់ អ្នកអាចទុកបរិមាណសាំងណាមួយ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបង្កើតឃ្លាំងនៅចម្ងាយn = k+ 1 គីឡូម៉ែត្រជាមួយនឹងការផ្គត់ផ្គង់ប្រេងសាំងដែលបានកំណត់ទុកជាមុន ហើយនៅស្តុកទុកនេះនៅចុងបញ្ចប់នៃការដឹកជញ្ជូន។ ដោយសារតែនៅចំណុចទំ= ទៅមានការផ្គត់ផ្គង់ប្រេងសាំងគ្មានដែនកំណត់ បន្ទាប់មក (យោងទៅតាមមូលដ្ឋានអាំងឌុចស្យុង) យើងអាចធ្វើបានក្នុងការធ្វើដំណើរជាច្រើនដងដល់ចំណុចn = k+ 1 ដើម្បីបង្កើតចំណុចមួយ។ទំ= ទៅ4- 1 ស្តុកគ្រប់ទំហំតាមតម្រូវការ។

ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅជាងនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាឥឡូវនេះកើតឡើងពីគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

ជាពិសេស ដោយបានសិក្សាពីវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ខ្ញុំបានបង្កើនចំណេះដឹងរបស់ខ្ញុំក្នុងផ្នែកគណិតវិទ្យានេះ ហើយថែមទាំងបានរៀនពីរបៀបដោះស្រាយបញ្ហាដែលពីមុនហួសពីអំណាចរបស់ខ្ញុំ។

ជាទូទៅ ទាំងនេះគឺជាការងារឡូជីខល និងកម្សាន្ត ពោលគឺឧ។ គ្រាន់តែអ្នកដែលបង្កើនចំណាប់អារម្មណ៍លើគណិតវិទ្យាខ្លួនឯងជាវិទ្យាសាស្ត្រ។ ការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះបានក្លាយទៅជាសកម្មភាពកម្សាន្តមួយ ហើយអាចទាក់ទាញមនុស្សចង់ដឹងចង់ឃើញកាន់តែច្រើនឡើងទៅកាន់ labyrinths គណិតវិទ្យា។ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ នេះគឺជាមូលដ្ឋាននៃវិទ្យាសាស្ត្រណាមួយ។

បន្តសិក្សាវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ខ្ញុំនឹងព្យាយាមរៀនពីរបៀបអនុវត្តវាមិនត្រឹមតែក្នុងគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងដោះស្រាយបញ្ហាក្នុងរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា និងជីវិតខ្លួនឯងផងដែរ។

អក្សរសិល្ប៍

1.Vulenkin ការណែនាំ។ បន្សំ។ សៀវភៅណែនាំសម្រាប់គ្រូ។ អិម, ការត្រាស់ដឹង,

១៩៧៦.-៤៨ ទំ។

2. Golovina L.I., Yaglom I.M. ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ។ - M. : Gosud ។ អ្នកបោះពុម្ពផ្សាយ ភ្លឺ។ - ឆ្នាំ 1956 - S.I00 ។ សៀវភៅណែនាំអំពីគណិតវិទ្យាសម្រាប់អ្នកដាក់ពាក្យទៅសាកលវិទ្យាល័យ / Ed ។ Yakovleva G.N. វិទ្យាសាស្ត្រ។ -១៩៨១។ - P.47-51 ។

3. Golovina L.I., Yaglom IM. ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ។ —
M.: Nauka, 1961. - (ការបង្រៀនដ៏ពេញនិយមអំពីគណិតវិទ្យា។)

4. I.T. Demidov, A.N. Kolmogorov, S.I. Shvartsburg, O.S. Ivashev-Musatov, B.E. Veits ។ សៀវភៅសិក្សា / "ការត្រាស់ដឹង" ឆ្នាំ 1975 ។

5.R. Courant, G Robbins "តើគណិតវិទ្យាជាអ្វី?" ជំពូកទី 1 § 2

6. Popa D. គណិតវិទ្យា និងហេតុផលដែលអាចទុកចិត្តបាន។ - M: Nauka, 1975 ។

7. Popa D. ការរកឃើញគណិតវិទ្យា។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧៦។

8. Rubanov I.S. How to teach the method of mathematical induction / សាលាគណិតវិទ្យា. - ន. - 1996. - S.14-20 ។

9. Sominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. លើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M.: Nauka, 1977. - (ការបង្រៀនដ៏ពេញនិយមលើគណិតវិទ្យា។)

10. Solominsky I.S. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : វិទ្យាសាស្ត្រ។

៦៣ ស.

11. Solominsky I.S., Golovina L.I., Yaglom I.M. ស្តីពីការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : វិទ្យាសាស្ត្រ។ - ឆ្នាំ 1967. - S.7-59 ។

១២.http://w.wikiredia.org/wiki

13.htt12:/ /www.refeshtcollestiop.ru/40 124.html

មេរៀនទី 6. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

ចំណេះដឹងថ្មីក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រ និងជីវិតត្រូវបានទទួលតាមរបៀបផ្សេងៗគ្នា ប៉ុន្តែពួកគេទាំងអស់ (ប្រសិនបើអ្នកមិនចូលទៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិត) ត្រូវបានបែងចែកជាពីរប្រភេទ - ការផ្លាស់ប្តូរពីទូទៅទៅពិសេស និងពីពិសេសទៅទូទៅ។ ទីមួយគឺការកាត់ចេញ ទីពីរគឺការបញ្ចូល។ ហេតុផល​កាត់​យក​គឺ​ជា​អ្វី​ដែល​ត្រូវ​បាន​ហៅ​ជា​ធម្មតា​នៅ​ក្នុង​គណិតវិទ្យា​ ហេតុផលឡូជីខលហើយ​ក្នុង​ការ​កាត់​រូប​វិទ្យា​គណិតវិទ្យា​គឺ​ជា​វិធីសាស្ត្រ​ស៊ើបអង្កេត​ស្របច្បាប់​តែមួយគត់។ ច្បាប់​នៃ​ការ​វែកញែក​តក្កវិជ្ជា​ត្រូវ​បាន​បង្កើត​ឡើង​កាលពី​ពីរ​សហវត្ស​កន្លះ​មុន​ដោយ​អ្នក​វិទ្យាសាស្ត្រ​ក្រិក​បុរាណ អារីស្តូត។ គាត់បានបង្កើតបញ្ជីពេញលេញនៃហេតុផលត្រឹមត្រូវសាមញ្ញបំផុត សីលឡូជីស- "ឥដ្ឋ" នៃតក្កវិជ្ជា ក្នុងពេលដំណាលគ្នាចង្អុលបង្ហាញហេតុផលធម្មតា ស្រដៀងទៅនឹងអ្វីដែលត្រឹមត្រូវ ប៉ុន្តែខុស (ជាញឹកញាប់យើងជួបជាមួយហេតុផល "ក្លែងក្លាយ" នៅក្នុងប្រព័ន្ធផ្សព្វផ្សាយ)។

អាំងឌុចស្យុង ( induction - ជាភាសាឡាតាំង ការណែនាំ) ត្រូវបានបង្ហាញដោយរឿងព្រេងដ៏ល្បីល្បាញអំពីរបៀបដែល Isaac Newton បង្កើតច្បាប់ទំនាញសកល បន្ទាប់ពីផ្លែប៉ោមមួយធ្លាក់លើក្បាលរបស់គាត់។ ឧទាហរណ៍មួយទៀតពីរូបវិទ្យា៖ នៅក្នុងបាតុភូតដូចជា អាំងឌុចស្យុងអេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច វាលអគ្គិសនីបង្កើត "បង្កើត" វាលម៉ាញេទិក។ "ផ្លែប៉ោមរបស់ញូតុន" គឺជាឧទាហរណ៍ធម្មតានៃស្ថានភាពដែលករណីពិសេសមួយ ឬច្រើន ពោលគឺឧ។ ការសង្កេត, "នាំ" ទៅសេចក្តីថ្លែងការណ៍ទូទៅ ការសន្និដ្ឋានទូទៅត្រូវបានធ្វើឡើងនៅលើមូលដ្ឋាននៃករណីពិសេស។ វិធីសាស្ត្រអាំងឌុចស្យុង គឺជាវិធីសាស្រ្តសំខាន់មួយសម្រាប់ការទទួលបានគំរូទូទៅទាំងនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិ និងមនុស្ស។ ប៉ុន្តែវាមានគុណវិបត្តិយ៉ាងសំខាន់៖ នៅលើមូលដ្ឋាននៃឧទាហរណ៍ជាក់លាក់ ការសន្និដ្ឋានមិនត្រឹមត្រូវអាចត្រូវបានទាញ។ សម្មតិកម្មដែលកើតចេញពីការសង្កេតឯកជនមិនតែងតែត្រឹមត្រូវទេ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយដោយសារអយល័រ។

យើងនឹងគណនាតម្លៃនៃ trinomial សម្រាប់តម្លៃដំបូងមួយចំនួន ន:

ចំណាំថាលេខដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការគណនាគឺសំខាន់។ ហើយ​គេ​អាច​ផ្ទៀងផ្ទាត់​ដោយ​ផ្ទាល់​ថា​សម្រាប់​នីមួយៗ នតម្លៃពហុធាពី 1 ដល់ 39
គឺជាលេខបឋម។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅពេលណា ន=40 យើងទទួលបានលេខ 1681=41 2 ដែលមិនមែនជាបឋម។ ដូច្នេះ សម្មតិកម្ម​ដែល​អាច​កើត​ឡើង​ក្នុង​ទីនេះ នោះ​គឺ​សម្មតិកម្ម​ដែល​សម្រាប់​នីមួយៗ នចំនួន
គឺសាមញ្ញ ប្រែថាមិនពិត។

Leibniz បានបង្ហាញឱ្យឃើញនៅសតវត្សទី 17 ថាសម្រាប់រាល់ចំនួនគត់វិជ្ជមាន នចំនួន
ចែកដោយ 3
ត្រូវបានបែងចែកដោយ 5 ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ដោយ​ផ្អែក​លើ​ចំណុច​នេះ លោក​បាន​ផ្តល់​យោបល់​ថា សម្រាប់​រាល់​សេស kនិងធម្មជាតិណាមួយ។ នចំនួន
ចែក​ដោយ kប៉ុន្តែមិនយូរប៉ុន្មានបានកត់សម្គាល់ឃើញ
មិនត្រូវបានបែងចែកដោយ 9 ។

គំរូដែលបានពិចារណាអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានដ៏សំខាន់មួយ៖ សេចក្តីថ្លែងការណ៍អាចជាការពិតនៅក្នុងករណីពិសេសមួយចំនួន ហើយក្នុងពេលតែមួយអយុត្តិធម៌ជាទូទៅ។ សំណួរនៃសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៅក្នុងករណីទូទៅអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តពិសេសនៃហេតុផលដែលហៅថា ដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា(ការបញ្ចូលពេញលេញ ការបញ្ចូលដ៏ល្អឥតខ្ចោះ) ។

៦.១. គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

♦ វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាគឺផ្អែកលើ គោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា , រួមមានដូចខាងក្រោមៈ

1) សុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់សម្រាប់ន=1 (មូលដ្ឋាន induction) ,

2) សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះត្រូវបានគេសន្មត់ថាជាការពិតសម្រាប់ន= kកន្លែងណាkគឺជាលេខធម្មជាតិ 1 បំពាន(ការ​សន្មត​ថា​ជា​ការ​ចាប់​ផ្តើ​ម​) ហើយដោយគិតពីការសន្មត់នេះ សុពលភាពរបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ន= k+1.

ភស្តុតាង. សន្មតថាផ្ទុយ ពោលគឺឧបមាថាការអះអាងមិនពិតសម្រាប់ធម្មជាតិទាំងអស់។ ន. បន្ទាប់មកមានធម្មជាតិបែបនេះ មអ្វី៖

1) ការអនុម័តសម្រាប់ ន=មមិន​ត្រឹមត្រូវ,

2) សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា ន, តូចជាង មការអះអាងគឺជាការពិត (និយាយម្យ៉ាងទៀត មគឺជាលេខធម្មជាតិដំបូងដែលការអះអាងបរាជ័យ)។

វាច្បាស់ណាស់។ ម> 1, ដោយសារតែ សម្រាប់ ន=1 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត (លក្ខខណ្ឌ 1) ។ អាស្រ័យហេតុនេះ
- លេខធម្មជាតិ។ វាប្រែថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិ
សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត ហើយសម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិបន្ទាប់ មវា​ជា​រឿង​អយុត្តិធម៌។ នេះផ្ទុយនឹងលក្ខខណ្ឌ 2. ■

ចំណាំថាភស្តុតាងបានប្រើ axiom ដែលការប្រមូលលេខធម្មជាតិណាមួយមានលេខតូចបំផុត។

ភ័ស្តុតាងផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានគេហៅថា ដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាពេញលេញ .

 ឧទាហរណ៍6.1. បញ្ជាក់ថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នចំនួន
ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ។

ដំណោះស្រាយ។

1) ពេលណា ន=1 ដូច្នេះ ក 1 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ហើយសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ ន=1.

2) សន្មតថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់ ន=k,
នោះគឺលេខនោះ។
ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ហើយរកឃើញវា។ ន=kលេខ +1 ចែកនឹង 3 ។

ជា​ការ​ពិត,

ដោយសារតែ ពាក្យនីមួយៗត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 3 ។ ■ 

 ឧទាហរណ៍6.2. បង្ហាញថាផលបូកនៃទីមួយ នលេខសេសធម្មជាតិគឺស្មើនឹងការេនៃចំនួនរបស់ពួកគេ ពោលគឺ .

ដំណោះស្រាយ។យើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាពេញលេញ។

1) យើងពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះសម្រាប់ ន=1:1=1 2 ត្រឹមត្រូវ។

2) ឧបមាថាផលបូកនៃទីមួយ k (
) នៃចំនួនសេសគឺស្មើនឹងការេនៃចំនួននៃលេខទាំងនេះ ពោលគឺ . ដោយផ្អែកលើសមភាពនេះ យើងបង្កើតផលបូកនៃទីមួយ k+1 លេខសេសស្មើនឹង
នោះគឺជា។

យើងប្រើការសន្មត់របស់យើងហើយទទួលបាន

. ■ 

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាពេញលេញត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់វិសមភាពមួយចំនួន។ ចូរយើងបង្ហាញពីវិសមភាពរបស់ Bernoulli ។

 ឧទាហរណ៍6.3. បញ្ជាក់ថាពេលណា
និងធម្មជាតិណាមួយ។ នវិសមភាព
(វិសមភាពរបស់ Bernoulli) ។

ដំណោះស្រាយ។ 1) ពេលណា ន=1 យើងទទួលបាន
ដែលត្រឹមត្រូវ។

2) យើងសន្មត់ថានៅ ន=kមានវិសមភាព
(*)។ ដោយប្រើការសន្មត់នេះ យើងបង្ហាញថា
. ចំណាំថានៅពេលណា
វិសមភាពនេះទទួលបាន ហើយដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីពិចារណាករណីនេះ។
.

គុណផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព (*) ដោយលេខ
និងទទួលបាន៖

នោះគឺ (1+
.■ 

ភស្តុតាងដោយវិធីសាស្រ្ត ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាមិនពេញលេញ ការអះអាងខ្លះអាស្រ័យលើ នកន្លែងណា
ត្រូវបានអនុវត្តតាមរបៀបស្រដៀងគ្នា ប៉ុន្តែនៅដើមដំបូង យុត្តិធម៌ត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់តម្លៃតូចបំផុត។ ន.

បញ្ហាមួយចំនួនមិនបង្កើតសេចក្តីថ្លែងការណ៍ច្បាស់លាស់ដែលអាចបញ្ជាក់បានដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ ក្នុងករណីបែបនេះ ចាំបាច់ត្រូវបង្កើតភាពទៀងទាត់ និងបង្ហាញពីសម្មតិកម្មអំពីសុពលភាពនៃភាពទៀងទាត់នេះ ហើយបន្ទាប់មកសាកល្បងសម្មតិកម្មដែលបានស្នើឡើងដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

 ឧទាហរណ៍6.4. ស្វែងរកបរិមាណ
.

ដំណោះស្រាយ។ចូរយើងស្វែងរកផលបូក ស 1 , ស 2 , ស៣. យើង​មាន
,
,
. យើងសន្មតថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នរូបមន្តមានសុពលភាព
. ដើម្បីសាកល្បងសម្មតិកម្មនេះ យើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាពេញលេញ។

1) ពេលណា ន=1 សម្មតិកម្មគឺពិតព្រោះ
.

2) សន្មតថាសម្មតិកម្មគឺជាការពិតសម្រាប់ ន=k,
នោះគឺ
. ដោយប្រើរូបមន្តនេះ យើងកំណត់ថាសម្មតិកម្មគឺពិត និងសម្រាប់ ន=k+1 នោះគឺ

ជា​ការ​ពិត,

ដូច្នេះសន្មតថាសម្មតិកម្មគឺជាការពិតសម្រាប់ ន=k,
វាត្រូវបានបង្ហាញថាវាជាការពិតសម្រាប់ ន=k+1 ហើយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា យើងសន្និដ្ឋានថារូបមន្តមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន. ■ 

 ឧទាហរណ៍6.5. នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វាត្រូវបានបង្ហាញថាផលបូកនៃអនុគមន៍បន្តស្មើគ្នាពីរគឺជាអនុគមន៍បន្តស្មើគ្នា។ ដោយផ្អែកលើសេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះ យើងត្រូវបញ្ជាក់ថា ផលបូកនៃចំនួនណាមួយ។
មុខងារបន្តដែលស្មើភាពគ្នា គឺជាមុខងារបន្តដែលស្មើភាពគ្នា។ ប៉ុន្តែដោយសារយើងមិនទាន់បានណែនាំគំនិតនៃ "មុខងារបន្តជាឯកសណ្ឋាន" យើងនឹងកំណត់បញ្ហាដោយអរូបីបន្ថែមទៀត៖ អនុញ្ញាតឱ្យវាដឹងថាផលបូកនៃអនុគមន៍ពីរដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួន។ សខ្លួនវាមានទ្រព្យសម្បត្តិ ស. ចូរយើងបង្ហាញថាផលបូកនៃចំនួនមុខងារណាមួយមានទ្រព្យសម្បត្តិ ស.

ដំណោះស្រាយ។មូលដ្ឋាន​នៃ​ការ​បញ្ចូល​នៅ​ទីនេះ​គឺ​មាន​នៅ​ក្នុង​ការ​បង្កើត​បញ្ហា​យ៉ាង​ខ្លាំង។ ការ​ធ្វើ​ឱ្យ​មាន​ការ​សន្មត់​ដោយ​ប្រឌិត សូម​ពិចារណា
មុខងារ f 1 , f 2 , …, f ន , f ន+1 ដែលមានទ្រព្យសម្បត្តិ ស. បន្ទាប់មក។ នៅខាងស្តាំពាក្យទីមួយមានទ្រព្យសម្បត្តិ សដោយ​សម្មតិកម្ម​ប្រឌិត​ពាក្យ​ទី​ពីរ​មាន​ទ្រព្យ សតាមលក្ខខណ្ឌ។ ដូច្នេះផលបូករបស់ពួកគេមានទ្រព្យសម្បត្តិ ស- សម្រាប់ពាក្យពីរ មូលដ្ឋាននៃ "ការងារ" នៃការណែនាំ។

នេះបញ្ជាក់ពីការអះអាង ហើយនឹងប្រើវាបន្ថែមទៀត។ ■ 

 ឧទាហរណ៍6.6. ស្វែងរកធម្មជាតិទាំងអស់។ នដែលវិសមភាព

.

ដំណោះស្រាយ។ពិចារណា ន=1, 2, 3, 4, 5, 6។ យើងមាន៖ 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2, 2 6 >6 2 . ដូច្នេះយើងអាចបង្កើតសម្មតិកម្មមួយ៖ វិសមភាព
មានកន្លែងសម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា
. ដើម្បីបញ្ជាក់ការពិតនៃសម្មតិកម្មនេះ យើងប្រើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យាមិនពេញលេញ។

1) ដូចដែលបានបញ្ជាក់ខាងលើ សម្មតិកម្មនេះគឺជាការពិតសម្រាប់ ន=5.

2) សន្មតថាវាជាការពិតសម្រាប់ ន=k,
នោះគឺវិសមភាព
. ដោយប្រើការសន្មត់នេះ យើងបង្ហាញថាវិសមភាព
.

T. ទៅ។
និងនៅ
មានវិសមភាព

នៅ
,

បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននោះ។
. ដូច្នេះការពិតនៃសម្មតិកម្ម ន=k+1 ធ្វើតាមការសន្មត់ថាវាជាការពិតសម្រាប់ ន=k,
.

ពី pp ។ 1 និង 2 ដោយផ្អែកលើគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យាមិនពេញលេញ វាដូចខាងក្រោមថាវិសមភាព
ពិតសម្រាប់ធម្មជាតិនីមួយៗ
. ■ 

 ឧទាហរណ៍6.7. បញ្ជាក់ថាសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ។ នរូបមន្តនៃភាពខុសគ្នាគឺត្រឹមត្រូវ។
.

ដំណោះស្រាយ។នៅ ន=1 រូបមន្តនេះមានទម្រង់
ឬ 1=1 នោះគឺវាជាការពិត។ ការ​ធ្វើ​ការ​សន្មត់​ដោយ​ប្រឌិត យើង​មាន៖

Q.E.D. ■ 

 ឧទាហរណ៍6.8. បញ្ជាក់​ថា​សំណុំ​មាន​ នធាតុ, មាន សំណុំរង។

ដំណោះស្រាយ។សំណុំជាមួយធាតុមួយ។ ក, មានពីររង។ នេះជាការពិតព្រោះសំណុំរងរបស់វាទាំងអស់គឺជាសំណុំទទេ និងសំណុំខ្លួនវា និង 2 1 = 2 ។

យើងសន្មតថាសំណុំណាមួយ។ នធាតុមាន សំណុំរង។ ប្រសិនបើសំណុំ A មាន ន+1 ធាតុ បន្ទាប់មកយើងជួសជុលធាតុមួយនៅក្នុងវា - បញ្ជាក់វា។ ឃហើយបែងចែករងទាំងអស់ជាពីរថ្នាក់ - មិនមាន ឃនិងមាន ឃ. សំណុំរងទាំងអស់ពីថ្នាក់ទីមួយគឺជាសំណុំរងនៃសំណុំ B ដែលទទួលបានពី A ដោយយកធាតុចេញ ឃ.

ឈុត B មាន នធាតុ ហើយ ដូច្នេះ ដោយ សម្មតិកម្ម បញ្ចូល វា មាន សំណុំរង ដូច្នេះនៅក្នុងថ្នាក់ដំបូង សំណុំរង។

ប៉ុន្តែនៅក្នុងថ្នាក់ទីពីរមានចំនួនរងដូចគ្នា៖ ពួកវានីមួយៗត្រូវបានទទួលពីក្រុមរងមួយយ៉ាងពិតប្រាកដនៃថ្នាក់ទីមួយដោយបន្ថែមធាតុ។ ឃ. ដូច្នេះសរុបមក សំណុំ A
សំណុំរង។

ដូច្នេះការអះអាងត្រូវបានបញ្ជាក់។ ចំណាំថាវាក៏មានសុពលភាពសម្រាប់សំណុំដែលមានធាតុ 0 - សំណុំទទេ៖ វាមានសំណុំរងតែមួយ - ខ្លួនវា និង 2 0 = 1 ។ ■ 

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា, បញ្ជាក់ថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នសមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖
ក) ;
ខ) .

ដំណោះស្រាយ។

ក) ពេលណា ន= 1 សមភាពមានសុពលភាព។ ការសន្មត់សុពលភាពនៃសមភាពសម្រាប់ នអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាវាក៏មានសុពលភាពសម្រាប់ ន+ 1. ពិតណាស់

Q.E.D.

ខ) ពេលណា ន= 1 សុពលភាពនៃសមភាពគឺជាក់ស្តែង។ ពីការសន្មតនៃយុត្តិធម៌របស់ខ្លួននៅ នគួរតែ

ផ្តល់សមភាព 1 + 2 + ... + ន = ន(ន+ 1)/2 យើងទទួលបាន

1 3 + 2 3 + ... + ន 3 + (ន + 1) 3 = (1 + 2 + ... + ន + (ន + 1)) 2 ,

ឧ. សេចក្តីថ្លែងការណ៍ក៏ពិតសម្រាប់ ន + 1.

ឧទាហរណ៍ ១បញ្ជាក់ភាពស្មើគ្នាខាងក្រោម

ដំណោះស្រាយ។ក) ពេលណា ន= 1 សមភាពនឹងយកទម្រង់ 1=1 ដូច្នេះ ទំ(1) ពិត។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាពនេះគឺជាការពិត នោះគឺយើងមាន

ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យា សមភាពដើមមានសុពលភាពសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

ចំណាំ ២.ឧទាហរណ៍នេះអាចត្រូវបានដោះស្រាយតាមវិធីមួយផ្សេងទៀត។ ពិតប្រាកដណាស់ ផលបូក ១+២+៣+...+ នគឺជាផលបូកនៃទីមួយ នសមាជិកនៃដំណើរការនព្វន្ធជាមួយសមាជិកទីមួយ ក 1 = 1 និងភាពខុសគ្នា ឃ= 1. ដោយ​គុណ​នៃ​រូបមន្ត​ដ៏​ល្បី , យើង​ទទួល​បាន

ខ) ពេលណា ន= 1 សមភាពនឹងយកទម្រង់: 2 1 - 1 = 1 2 ឬ 1 = 1 នោះគឺ ទំ(1) ពិត។ ចូរយើងសន្មតថាសមភាព

1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) = ន 2 ហើយបញ្ជាក់ទំ(ន + 1): 1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) + (2(ន + 1) - 1) = (ន+ 1) 2 ឬ 1 + 3 + 5 + ... + (2 ន - 1) + (2ន + 1) = (ន + 1) 2 .

ដោយប្រើសម្មតិកម្មបញ្ជូលគ្នា យើងទទួលបាន

1 + 3 + 5 + ... + (2ន - 1) + (2ន + 1) = ន 2 + (2ន + 1) = (ន + 1) 2 .

ដោយវិធីនេះ ទំ(ន+ 1) គឺពិត ហើយដូច្នេះ សមភាពដែលត្រូវការត្រូវបានបង្ហាញ។

ចំណាំ ៣.ឧទាហរណ៍នេះអាចដោះស្រាយបាន (ស្រដៀងនឹងករណីមុន) ដោយមិនចាំបាច់ប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។

គ) ពេលណា ន= 1 សមភាពគឺពិត៖ 1=1 ។ សន្មតថាសមភាពគឺពិត

ឃ) ពេលណា ន= 1 សមភាពមានសុពលភាព៖ 1=1 ។ ចូរសន្មតថាមាន

ពិតជា

ង) ការអនុម័ត ទំ(១) ពិត៖ ២=២។ ចូរសន្មតថាសមភាព

ដូច្នេះ សមភាពដើមមានសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ ន.

f) ទំ(១) ពិត៖ 1/3 = 1/3 ។ សូមឱ្យមានភាពស្មើគ្នា ទំ(ន):

ជាការពិតដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ។ ទំ(ន) កើតឡើងយើងទទួលបាន

ដូច្នេះសមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។

g) ពេលណា ន= 1 យើងមាន ក + ខ = ខ + កដូច្នេះសមភាពគឺជាការពិត។

សូមអោយរូបមន្តលេខពីររបស់ញូតុនមានសុពលភាពសម្រាប់ ន = kនោះគឺ

ឧទាហរណ៍ ២បញ្ជាក់ភាពមិនស្មើគ្នា

ដំណោះស្រាយ។ក) ពេលណា ន= 1 យើងទទួលបានវិសមភាពពិត

1 + a ≥ 1 + a ។ ចូរយើងសន្មតថាមានវិសមភាព

ជាការពិត ចាប់តាំងពី a > -1 បង្កប់ន័យ a + 1 > 0 បន្ទាប់មកគុណទាំងសងខាងនៃវិសមភាព (1) ដោយ (a + 1) យើងទទួលបាន

(1 + ក) ន(1 + ក) ≥ (1 + ន a)(1+a) ឬ (1+a) ន + 1 ≥ 1 + (ន+ 1) ក + ន a 2 ដោយសារតែ នក ២ ≥ 0 ដូច្នេះ(1 + ក) ន + 1 ≥ 1 + (ន+ 1) ក + ន a 2 ≥ 1 + ( ន+ ១) ក.

ដូច្នេះប្រសិនបើ ទំ(ន) គឺជាការពិត ទំ(ន+ 1) គឺជាការពិត ដូច្នេះយោងទៅតាមគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យា វិសមភាព Bernoulli គឺពិត។

ខ) ពេលណា ន= 1 យើងទទួលបាន x 1 = 1 ហើយដូច្នេះ x 1 ≥ 1 i.e. ទំ(១) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ។ ចូរយើងធ្វើពុតនោះ។ ទំ(ន) គឺជាការពិត នោះគឺប្រសិនបើ adica x 1 ,x 2 ,...,x ន - នលេខវិជ្ជមានដែលផលិតផលស្មើនឹងមួយ, x 1 x 2 ·... · x ន= 1, និង x 1 + x 2 + ... + x ន ≥ ន.

ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ថា​ការ​លើក​ឡើង​នេះ​មាន​ន័យ​ថា​ដូច​ខាង​ក្រោម​នេះ​គឺ​ជា​ការ​ពិត: if x 1 ,x 2 ,...,x ន ,x ន+1 - (ន+ 1) លេខវិជ្ជមាន x 1 x 2 ·... · x ន · x ន+1 = 1 បន្ទាប់មក x 1 + x 2 + ... + x ន + x ន + 1 ≥ន + 1.

ពិចារណាករណីពីរខាងក្រោម៖

1) x 1 = x 2 = ... = x ន = x ន+1 = 1. បន្ទាប់មកផលបូកនៃលេខទាំងនេះគឺ ( ន+ 1) ហើយវិសមភាពដែលត្រូវការគឺពេញចិត្ត។

2) យ៉ាងហោចណាស់លេខមួយខុសពីលេខមួយ អនុញ្ញាតឱ្យធំជាងមួយ។ បន្ទាប់មកចាប់តាំងពី x 1 x 2 · ... · x ន · x ន+ 1 = 1 យ៉ាងហោចណាស់មានលេខផ្សេងទៀតដែលខុសពីលេខមួយ (កាន់តែច្បាស់ តិចជាងមួយ)។ អនុញ្ញាតឱ្យ x ន+ 1 > 1 និង x ន < 1. Рассмотрим នលេខវិជ្ជមាន

ដោយសារតែ

(1 - x ន)(x ន+1 - 1) > 0 បន្ទាប់មក ន + x ន + x ន+1 - x ន x ន+1 = ន + 1 + x ន+1 (1 - x ន) - 1 + x ន =
= ន + 1 + x ន+1 (1 - x ន) - (1 - x ន) = ន + 1 + (1 - x ន)(x ន+1 - 1) ≥ ន+ 1. ដូច្នេះ x 1 + x 2 + ... + x ន + x ន+1 ≥ ន+1 នោះគឺប្រសិនបើ ទំ(ន) គឺជាការពិតទំ(ន+ ១) យុត្តិធម៌។ វិសមភាពត្រូវបានបញ្ជាក់។

ចំណាំ ៤.សញ្ញាស្មើគ្នាកើតឡើងប្រសិនបើនិងប្រសិនបើ x 1 = x 2 = ... = x ន = 1.

គ) អនុញ្ញាតឱ្យ x 1 ,x 2 ,...,x នគឺជាលេខវិជ្ជមានតាមអំពើចិត្ត។ សូមពិចារណាដូចខាងក្រោម នលេខវិជ្ជមាន៖

ចំណាំ ៥.សមភាព​មាន​តែ​ប្រសិន​បើ​ x 1 = x 2 = ... = x ន .

ឃ) ទំ(1) - សេចក្តី​ថ្លែង​ការណ៍​ដោយ​យុត្តិធម៌ : sin 2 a + cos 2 a = 1. ឧបមាថា ទំ(ន) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត៖

បាប ២ ន a + cos2 ន a ≤ 1 ហើយបង្ហាញថាមានទំ(ន+ ១). ពិតជាអំពើបាប2( ន+ 1) a + cos 2( ន+ ១) a \u003d អំពើបាប ២ ន a sin 2 a + cos 2 ន a cos 2 ក< sin 2ន a + cos2 ន a ≤ 1 (ប្រសិនបើ sin 2 a ≤ 1 បន្ទាប់មក cos 2 a < 1, и обратно: если cos 2 a ≤ 1 បន្ទាប់មក sin 2 a < 1). Таким образом, для любого នអូ នបាប ២ ន a + cos2 ន ≤ 1 ហើយសញ្ញាស្មើគ្នាត្រូវបានទៅដល់តែនៅពេលន = 1.

ង) ពេលណា ន= ១ សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត៖ ១< 3 / 2 .

ចូរសន្មតថា ហើយបញ្ជាក់

f) យកចំណាំទី 1 ទៅក្នុងគណនី យើងពិនិត្យមើល ទំ(10): 2 10 > 10 3 , 1024 > 1000 ដូច្នេះសម្រាប់ ន= 10 សេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិត។ ឧបមាថា ២ ន > ន 3 (ន> 10) ហើយបញ្ជាក់ ទំ(ន+ ១) ឧ. ២ ន+1 > (ន + 1) 3 .

ចាប់តាំងពីពេល ន> 10 យើងមានឬ , ធ្វើតាមនោះ។

2ន 3 > ន 3 + 3ន 2 + 3ន+ 1 ឬ ន 3 > 3ន 2 + 3ន + 1. ដោយគិតពីវិសមភាព (២ ន > ន 3) យើងទទួលបាន 2 ន+1 = 2 ន២ = ២ ន + 2 ន > ន 3 + ន 3 > ន 3 + 3ន 2 + 3ន + 1 = (ន + 1) 3 .

ដូច្នេះយោងទៅតាមវិធីសាស្រ្តនៃ induction គណិតវិទ្យាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ។ នអូ ន, ន≥ 10 យើងមាន 2 ន > ន 3 .

ឧទាហរណ៍ ៣បញ្ជាក់ថាសម្រាប់ណាមួយ។ នអូ ន

ដំណោះស្រាយ។ក) ទំ(1) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ពិត (0 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6) ។ អនុញ្ញាតឱ្យ ទំ(ន) គឺយុត្តិធម៌ ន(2ន 2 - 3ន + 1) = ន(ន - 1)(2ន- 1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6. អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាបន្ទាប់មកយើងមាន ទំ(ន+ ១) ពោលគឺ ( ន + 1)ន(2ន+ 1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6. ជាការពិតណាស់ចាប់តាំងពី

ដោយវិធីនេះ ទំ(ន+ 1) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ត្រឹមត្រូវ ហើយដូច្នេះ ន(2ន 2 - 3ន+ 1) ត្រូវបានបែងចែកដោយ 6 សម្រាប់ណាមួយ។ នអូ ន.

ខ) ពិនិត្យ ទំ(1): 6 0 + 3 2 + 3 0 = 11 ដូច្នេះ ទំ(១) គឺជាសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដ៏ត្រឹមត្រូវមួយ។ គួរ​បញ្ជាក់​ថា បើ ៦ ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១ ចែកនឹង ១១ ( ទំ(ន)) បន្ទាប់មក ៦ ២ ន + 3 ន+2 + 3 នក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 ( ទំ(ន+ ១))។ ជាការពិតណាស់ចាប់តាំងពី

6 2ន + 3 ន+2 + 3 ន = 6 2ន-2+2 + 3 ន+1+1 + 3 ន−1+1 == 6 2 6 ២ ន-២+៣ ៣ ន+1+3 ៣ ន−1 = 3 (6 ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១) + ៣៣ ៦ ២ ន-២ និងដូច ៦ ២ ន-2 + 3 ន+1 + 3 ន-១ និង ៣៣ ៦ ២ ន-2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11 បន្ទាប់មកផលបូករបស់ពួកគេគឺ 6 2ន + 3 ន+2 + 3 ន ត្រូវបានបែងចែកដោយ 11. ការអះអាងត្រូវបានបង្ហាញ។ ការបញ្ចូលក្នុងធរណីមាត្រ

ឧទាហរណ៍ 4គណនាផ្នែកខាងត្រឹមត្រូវ ២ ន-gon ចារឹកក្នុងរង្វង់កាំ រ.

ការពិពណ៌នាគន្ថនិទ្ទេស៖ Badanin AS, Sizova M. Yu. ការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលើការបែងចែកលេខធម្មជាតិ // អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រវ័យក្មេង។ 2015. №2។ ស. ៨៤-៨៦..០៤.២០១៩)។

បញ្ហាដ៏លំបាកក្នុងការបញ្ជាក់ពីការបែងចែកលេខធម្មជាតិ តែងតែជួបប្រទះនៅក្នុងការប្រកួតគណិតវិទ្យា។ សិស្សសាលាប្រឈមមុខនឹងបញ្ហា៖ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកវិធីសាស្រ្តគណិតវិទ្យាជាសកលដែលអនុញ្ញាតឱ្យដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ?

វាប្រែថាបញ្ហាបែងចែកភាគច្រើនអាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា ប៉ុន្តែនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលាមានការយកចិត្តទុកដាក់តិចតួចបំផុតចំពោះវិធីសាស្ត្រនេះ ដែលភាគច្រើនជាញឹកញាប់ការពិពណ៌នាទ្រឹស្តីសង្ខេបត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយបញ្ហាជាច្រើនត្រូវបានវិភាគ។

យើងរកឃើញវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យានៅក្នុងទ្រឹស្តីលេខ។ នៅពេលព្រឹកព្រលឹមនៃទ្រឹស្តីលេខ គណិតវិទូបានរកឃើញការពិតជាច្រើនដោយប្រយោល៖ L. Euler និង K. Gauss ពេលខ្លះបានពិចារណាលើឧទាហរណ៍រាប់ពាន់ មុននឹងកត់សម្គាល់គំរូលេខ ហើយជឿលើវា។ ប៉ុន្តែនៅពេលជាមួយគ្នានោះ ពួកគេបានយល់ពីរបៀបដែលសម្មតិកម្មបំភាន់អាចកើតមាន ប្រសិនបើពួកគេឆ្លងកាត់ការសាកល្បង "ចុងក្រោយ"។ សម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរ inductive ពីសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលបានផ្ទៀងផ្ទាត់សម្រាប់សំណុំរងកំណត់ទៅសេចក្តីថ្លែងការណ៍ស្រដៀងគ្នាសម្រាប់សំណុំគ្មានដែនកំណត់ទាំងមូល ភស្តុតាងគឺចាំបាច់។ វិធីសាស្រ្តនេះត្រូវបានស្នើឡើងដោយ Blaise Pascal ដែលបានរកឃើញក្បួនដោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ការស្វែងរកសញ្ញានៃការបែងចែកចំនួនគត់ដោយចំនួនគត់ផ្សេងទៀត (សន្ធិសញ្ញា "នៅលើធម្មជាតិនៃការបែងចែកលេខ") ។

វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាត្រូវបានប្រើដើម្បីបញ្ជាក់ដោយហេតុផលការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយសម្រាប់លេខធម្មជាតិទាំងអស់ ឬការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ដែលចាប់ផ្តើមពីលេខមួយចំនួន n ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការបញ្ជាក់ការពិតនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាក់លាក់មួយដោយវិធីសាស្ត្រនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាមានបួនដំណាក់កាល (រូបភាពទី 1)៖

អង្ករ។ 1. គ្រោងការណ៍សម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហា

1. មូលដ្ឋាននៃការបញ្ចូល . ពិនិត្យមើលសុពលភាពនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិតូចបំផុត ដែលសេចក្តីថ្លែងការណ៍សមហេតុផល។

2. ការសន្មត់អាំងឌុចស្យុង . យើងសន្មត់ថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់តម្លៃមួយចំនួននៃ k ។

3. ការផ្លាស់ប្តូរ inductive . យើងបង្ហាញថាការអះអាងគឺជាការពិតសម្រាប់ k+1។

4. សេចក្តីសន្និដ្ឋាន . ប្រសិនបើភ័ស្តុតាងបែបនេះត្រូវបានបញ្ចប់ នោះនៅលើមូលដ្ឋាននៃគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា វាអាចត្រូវបានអះអាងថាសេចក្តីថ្លែងការណ៍គឺពិតសម្រាប់លេខធម្មជាតិណាមួយ n ។

ពិចារណាលើការអនុវត្តវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាដើម្បីបញ្ជាក់ពីការបែងចែកនៃលេខធម្មជាតិ។

ឧទាហរណ៍ ១. បង្ហាញថាលេខ 5 គឺជាពហុគុណនៃ 19 ដែល n គឺជាលេខធម្មជាតិ។

ភស្តុតាង៖

1) ចូរយើងពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: លេខ = 19 គឺជាពហុគុណនៃ 19 ។

2) សូមឱ្យរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, i.e. លេខគឺជាពហុគុណនៃ 19 ។

ចែកដោយ 19. ពិតប្រាកដណាស់ ពាក្យទីមួយត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ដោយសារតែការសន្មត់ (2); ពាក្យទីពីរក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 19 ព្រោះវាមានកត្តានៃ 19 ។

ឧទាហរណ៍ ២បង្ហាញថាផលបូកនៃគូបនៃលេខធម្មជាតិបីជាប់គ្នាគឺអាចបែងចែកដោយ 9 ។

ភស្តុតាង៖

ចូរយើងបញ្ជាក់សេចក្តីថ្លែងការណ៍៖ "សម្រាប់ចំនួនធម្មជាតិ n កន្សោម n 3 + (n + 1) 3 + (n + 2) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។

1) ពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: 1 3 +2 3 +3 3 =1+8+27=36 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។

2) សូមឱ្យរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, i.e. k 3 + (k + 1) 3 + (k + 2) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។

3) ចូរយើងបង្ហាញថារូបមន្តក៏ពិតសម្រាប់ n = k + 1 ពោលគឺ (k + 1) 3 + (k + 2) 3 + (k + 3) 3 គឺជាពហុគុណនៃ 9 ។ (k + 1) 3 +(k+2)3 +(k+3)3 =(k+1)3 +(k+2)3+k 3+9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1)3 +(k +2) 3)+9(k 2 +3k+ 3)។

កន្សោម​លទ្ធផល​មាន​ពាក្យ​ពីរ ដែល​នីមួយៗ​ចែក​នឹង ៩ ដូច្នេះ​ផលបូក​ត្រូវ​ចែក​នឹង ៩។

4) លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យាត្រូវបានពេញចិត្ត ដូច្នេះសំណើគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

ឧទាហរណ៍ ៣បង្ហាញថាសម្រាប់ធម្មជាតិណាមួយ n លេខ 3 2n + 1 +2 n + 2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ។

ភស្តុតាង៖

1) ពិនិត្យមើលថារូបមន្តនេះត្រឹមត្រូវសម្រាប់ n = 1: 3 2 * 1 + 1 + 2 1 + 2 = 3 3 +2 3 = 35, 35 គឺជាពហុគុណនៃ 7 ។

2) សូមឱ្យរូបមន្តនេះជាការពិតសម្រាប់ n = k, i.e. 3 2 k +1 +2 k +2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ។

3) ចូរយើងបង្ហាញថារូបមន្តក៏ពិតសម្រាប់ n = k + 1, i.e.

3 2(k +1)+1 +2(k +1)+2 =3 2 k +1 3 2 +2 k +2 2 1 =3 2 k +1 9+2 k +2 2 =3 2 k +1 9+2 k +2 (9–7)=(3 2 k +1 +2 k +2) 9–7 2 k +2 .T ។ ចាប់តាំងពី (3 2 k +1 +2 k +2) 9 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 និង 7 2 k +2 ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 បន្ទាប់មកភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេក៏ត្រូវបានបែងចែកដោយ 7 ។

4) លក្ខខណ្ឌទាំងពីរនៃគោលការណ៍នៃ induction គណិតវិទ្យាត្រូវបានពេញចិត្ត ដូច្នេះសំណើគឺពិតសម្រាប់តម្លៃទាំងអស់នៃ n ។

វាងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាភ័ស្តុតាងជាច្រើននៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការបែងចែកលេខធម្មជាតិដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា សូម្បីតែអាចនិយាយបានថាការដោះស្រាយបញ្ហាដោយវិធីសាស្រ្តនេះគឺពិតជាក្បួនដោះស្រាយវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្ត 4 ជំហានជាមូលដ្ឋាន។ ប៉ុន្តែវិធីសាស្រ្តនេះមិនអាចត្រូវបានគេហៅថាជាសកលបានទេព្រោះវាក៏មានគុណវិបត្តិផងដែរ: ទីមួយវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់តែលើសំណុំនៃលេខធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះហើយទីពីរវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់សម្រាប់តែអថេរមួយ។

សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍនៃការគិតឡូជីខល វប្បធម៌គណិតវិទ្យា វិធីសាស្រ្តនេះគឺជាឧបករណ៍ចាំបាច់មួយ ពីព្រោះសូម្បីតែគណិតវិទូជនជាតិរុស្សីដ៏ឆ្នើម A. N. Kolmogorov បាននិយាយថា៖ “ការយល់ដឹង និងសមត្ថភាពក្នុងការអនុវត្តគោលការណ៍នៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យាបានត្រឹមត្រូវគឺជាលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យដ៏ល្អសម្រាប់ភាពចាស់ទុំឡូជីខល ដែលជា ចាំបាច់​បំផុត​សម្រាប់​គណិតវិទ្យា»។

អក្សរសិល្ប៍៖

1. Vilenkin N. Ya. Induction ។ បន្សំ។ - M. : ការត្រាស់ដឹង, 1976. - 48 ទំ។

2. Genkin L. នៅលើ induction គណិតវិទ្យា។ - M. , 1962. - 36 ទំ។

3. Solominsky I. S. វិធីសាស្រ្តនៃការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M. : Nauka, 1974. - 63 ទំ។

4. Sharygin I. F. វគ្គសិក្សាស្រេចចិត្តក្នុងគណិតវិទ្យា៖ ការដោះស្រាយបញ្ហា៖ សៀវភៅសិក្សាសម្រាប់កោសិកាចំនួន 10 ។ មធ្យមសិក្សា - M. : ការត្រាស់ដឹង, 1989. - 252 ទំ។

5. Shen A. ការបញ្ចូលគណិតវិទ្យា។ - M.: MTSNMO, 2007.- 32 ទំ។