ឧទាហរណ៍ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសជាមួយដំណោះស្រាយ 3x3 ។ វិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម (វិធីសាស្ត្រ Gauss និង Gauss-Jordan សម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស)

ប្រធានបទនេះគឺជាប្រធានបទមួយដែលគេស្អប់បំផុតក្នុងចំណោមសិស្ស។ អាក្រក់ជាងនេះ ប្រហែលជាមានតែកត្តាកំណត់ប៉ុណ្ណោះ។

ល្បិចគឺថាគំនិតនៃធាតុបញ្ច្រាស (ហើយខ្ញុំមិនមែនគ្រាន់តែនិយាយអំពីម៉ាទ្រីសទេឥឡូវនេះ) សំដៅលើប្រតិបត្តិការនៃគុណ។ សូម្បីតែនៅក្នុងកម្មវិធីសិក្សារបស់សាលាក៏ដោយ ការគុណត្រូវបានចាត់ទុកថាជាប្រតិបត្តិការដ៏ស្មុគស្មាញមួយ ហើយការគុណម៉ាទ្រីសជាទូទៅគឺជាប្រធានបទដាច់ដោយឡែក ដែលខ្ញុំមានកថាខណ្ឌទាំងមូល និងមេរៀនវីដេអូដែលផ្តោតលើវា។

ថ្ងៃនេះយើងនឹងមិនចូលទៅក្នុងព័ត៌មានលម្អិតនៃការគណនាម៉ាទ្រីសទេ។ គ្រាន់តែចាំថា: តើលេខម៉ាទ្រីសត្រូវបានតំណាងដោយរបៀបណាដែលពួកគេត្រូវបានគុណនិងអ្វីដែលតាមពីនេះ។

ពិនិត្យឡើងវិញ៖ គុណម៉ាទ្រីស

ជាដំបូង យើងយល់ស្របលើការសម្គាល់។ ម៉ាទ្រីស $A$ នៃទំហំ $\left[ m\times n \right]$ គឺគ្រាន់តែជាតារាងលេខដែលមានជួរដេក $m$ និងជួរឈរ $n$ យ៉ាងពិតប្រាកដ៖

\=\underbrace(\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\\ end(ម៉ាទ្រីស) \\right])_(n)\]

ដើម្បីកុំឱ្យច្រឡំជួរដេកនិងជួរឈរដោយចៃដន្យ (ជឿខ្ញុំក្នុងការប្រឡងអ្នកអាចច្រឡំឯកតាជាមួយ deuce - តើយើងអាចនិយាយអ្វីអំពីបន្ទាត់ខ្លះនៅទីនោះ) គ្រាន់តែមើលរូបភាព:

តើ​មាន​រឿង​អ្វី​កើតឡើង? ប្រសិនបើយើងដាក់ប្រព័ន្ធកូអរដោណេស្តង់ដារ $OXY$ នៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើ ហើយតម្រង់អ័ក្សដើម្បីឱ្យពួកវាគ្របដណ្ដប់លើម៉ាទ្រីសទាំងមូល នោះក្រឡានីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសនេះអាចត្រូវបានភ្ជាប់ដោយឡែកជាមួយកូអរដោនេ $\left(x;y \right) $ - នេះនឹងជាលេខជួរដេក និងលេខជួរឈរ។

ហេតុអ្វីបានជាប្រព័ន្ធកូអរដោណេត្រូវបានដាក់យ៉ាងពិតប្រាកដនៅជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើ? បាទ ព្រោះវាមកពីទីនោះដែលយើងចាប់ផ្តើមអានអត្ថបទណាមួយ។ វាងាយស្រួលចងចាំណាស់។

ហេតុអ្វីបានជាអ័ក្ស $x$ ចង្អុលចុះក្រោម ហើយមិនទៅខាងស្តាំ? ជាថ្មីម្តងទៀត អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ៖ យកប្រព័ន្ធសំរបសំរួលស្តង់ដារ (អ័ក្ស $x$ ទៅខាងស្តាំ អ័ក្ស $y$ ឡើងលើ) ហើយបង្វិលវាដើម្បីឱ្យវារុំព័ទ្ធម៉ាទ្រីស។ នេះគឺជាការបង្វិល 90 ដឺក្រេតាមទ្រនិចនាឡិកា - យើងឃើញលទ្ធផលរបស់វានៅក្នុងរូបភាព។

ជាទូទៅ យើងបានស្វែងយល់ពីរបៀបកំណត់សន្ទស្សន៍នៃធាតុម៉ាទ្រីស។ ឥឡូវនេះសូមដោះស្រាយជាមួយគុណ។

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស $A=\left[ m\times n \right]$ និង $B=\left[ n\times k \right]$ នៅពេលដែលចំនួនជួរឈរក្នុងទីមួយត្រូវគ្នានឹងចំនួនជួរដេកក្នុងទីពីរគឺ ហៅថាស្រប។

វាស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់នោះ។ គេអាចមានភាពស្រពិចស្រពិល ហើយនិយាយថាម៉ាទ្រីស $A$ និង $B$ បង្កើតជាគូដែលបានបញ្ជាទិញ $\left(A;B\right)$: ប្រសិនបើពួកវាស្របគ្នានៅក្នុងលំដាប់នេះ នោះវាមិនចាំបាច់ទាល់តែសោះដែល $B $ និង $A$ ទាំងនោះ។ គូ $\left(B;A\right)$ ក៏ស្របគ្នាដែរ។

មានតែម៉ាទ្រីសជាប់លាប់ប៉ុណ្ណោះដែលអាចគុណបាន។

និយមន័យ។ ផលិតផលនៃម៉ាទ្រីសជាប់លាប់ $A=\left[ m\times n \right]$ និង $B=\left[ n\times k \right]$ គឺជាម៉ាទ្រីសថ្មី $C=\left[ m\times k \right ]$ ដែលធាតុរបស់ $((c)_(ij))$ ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត៖ ដើម្បីទទួលបានធាតុ $((c)_(ij))$ នៃម៉ាទ្រីស $C=A\cdot B$ អ្នកត្រូវយក $i$-row នៃ matrix ដំបូង $j$ -th ជួរ​ឈរ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ទីពីរ ហើយ​បន្ទាប់​មក​គុណ​ធាតុ​ពី​ជួរ​ដេក​និង​ជួរ​ឈរ​នេះ។ បន្ថែមលទ្ធផល។

បាទ នោះជានិយមន័យដ៏អាក្រក់។ ការពិតជាច្រើនកើតឡើងភ្លាមៗពីវា៖

1. ការគុណម៉ាទ្រីស ជាទូទៅគឺមិនមែន commutative៖ $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ គុណគឺជាប់ទាក់ទងគ្នា៖ $\left(A\cdot B\right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C\right)$;
3. និងសូម្បីតែការចែកចាយ៖ $\left(A+B\right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. ហើយចែកចាយម្តងទៀត៖ $A\cdot \left(B+C\right)=A\cdot B+A\cdot C$ ។

ការចែកចាយនៃគុណត្រូវតែត្រូវបានពិពណ៌នាដោយឡែកពីគ្នាសម្រាប់ផលបូកឆ្វេង និងស្តាំ ដោយសារការមិនផ្លាស់ប្តូរនៃប្រតិបត្តិការគុណ។

បើទោះជាយ៉ាងនេះក្តី វាប្រែថា $A\cdot B=B\cdot A$ ម៉ាទ្រីសបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាអាចផ្លាស់ប្តូរបាន។

ក្នុង​ចំណោម​ម៉ាទ្រីស​ទាំងអស់​ដែល​ត្រូវ​គុណ​នឹង​អ្វី​មួយ​នៅ​ទីនោះ មាន​លេខ​ពិសេស​ដែល​ពេល​គុណ​នឹង​ម៉ាទ្រីស $A$ ម្ដង​ទៀត​នឹង​ផ្ដល់​ឱ្យ $A$៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស $E$ ត្រូវបានគេហៅថាអត្តសញ្ញាណ ប្រសិនបើ $A\cdot E=A$ ឬ $E\cdot A=A$។ ក្នុងករណីម៉ាទ្រីសការ៉េ $A$ យើងអាចសរសេរ៖

ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណគឺជាភ្ញៀវញឹកញាប់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីស។ ហើយជាទូទៅ ភ្ញៀវញឹកញាប់នៅក្នុងពិភពម៉ាទ្រីស។ :)

ហើយដោយសារតែ $E$ នេះ មាននរណាម្នាក់បានមកជាមួយហ្គេមទាំងអស់ដែលនឹងត្រូវបានសរសេរបន្ទាប់។

តើអ្វីទៅជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ដោយសារការគុណម៉ាទ្រីសគឺជាប្រតិបត្តិការដែលចំណាយពេលច្រើន (អ្នកត្រូវគុណជួរ និងជួរ) គំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសក៏មិនមែនជារឿងតូចតាចបំផុតដែរ។ ហើយវាត្រូវការការពន្យល់ខ្លះ។

និយមន័យគន្លឹះ

ដល់ពេលដឹងការពិតហើយ។

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស $B$ ត្រូវបានគេហៅថា បញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស $A$ ប្រសិនបើ

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានតាងដោយ $((A)^(-1))$ (មិនត្រូវច្រឡំជាមួយដឺក្រេទេ!) ដូច្នេះនិយមន័យអាចត្រូវបានសរសេរឡើងវិញដូចនេះ៖

វាហាក់ដូចជាថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញបំផុតនិងច្បាស់លាស់។ ប៉ុន្តែនៅពេលវិភាគនិយមន័យបែបនេះ សំណួរជាច្រើនកើតឡើងភ្លាមៗ៖

1. តើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតែងតែមានទេ? ហើយ​បើ​មិន​មែន​ជា​និច្ច​ទេ តើ​ត្រូវ​ធ្វើ​ដូចម្តេច​ដើម្បី​កំណត់​ថា​តើ​វា​មាន​នៅ​ពេល​ណា និង​នៅ​ពេល​ណា​ដែល​វា​មិន​មាន?
2. ហើយអ្នកណាថាម៉ាទ្រីសបែបនេះគឺពិតប្រាកដមួយ? ចុះ​បើ​សម្រាប់​ម៉ាទ្រីស​ដើម $A$ មាន​ហ្វូង​ច្រាស​ទាំង​មូល?
3. តើ "បញ្ច្រាស" ទាំងអស់នេះមើលទៅដូចអ្វី? ហើយតើអ្នកពិតជារាប់ពួកគេដោយរបៀបណា?

ចំពោះក្បួនដោះស្រាយការគណនា - យើងនឹងនិយាយអំពីរឿងនេះបន្តិចក្រោយមក។ ប៉ុន្តែយើងនឹងឆ្លើយសំណួរដែលនៅសល់ឥឡូវនេះ។ ចូរ​យើង​រៀបចំ​វា​ជា​ទម្រង់​នៃ​ការ​អះអាង​ដោយ​ឡែក​ពី​គ្នា -lemmas ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមូលដ្ឋាន

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងរបៀបដែលម៉ាទ្រីស $A$ គួរតែមានរូបរាងដើម្បីឱ្យវាមាន $((A)^(-1))$ ។ ឥឡូវនេះយើងនឹងធ្វើឱ្យប្រាកដថាម៉ាទ្រីសទាំងពីរនេះត្រូវតែជាការ៉េ ហើយមានទំហំដូចគ្នា៖ $\left[n\times n\right]$ ។

លេម៉ា ១. បានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ និងវាបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសទាំងពីរនេះគឺការ៉េ ហើយមានលំដាប់ដូចគ្នា $n$។

ភស្តុតាង។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសាមញ្ញ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[a\times b\right]$ ។ ដោយសារផលិតផល $A\cdot ((A)^(-1))=E$ មានតាមនិយមន័យ ម៉ាទ្រីស $A$ និង $((A)^(-1))$ គឺស្របគ្នាក្នុងលំដាប់នោះ៖

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( តម្រឹម)\]

នេះជាលទ្ធផលផ្ទាល់នៃក្បួនដោះស្រាយការគុណម៉ាទ្រីស៖ មេគុណ $n$ និង $a$ គឺ "ឆ្លងកាត់" ហើយត្រូវតែស្មើគ្នា។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គុណលេខបញ្ច្រាសក៏ត្រូវបានកំណត់ផងដែរ៖ $((A)^(-1))\cdot A=E$ ដូច្នេះម៉ាទ្រីស $((A)^(-1))$ និង $A$ គឺ ក៏ស្របគ្នានៅក្នុងលំដាប់នេះ៖

\[\begin(align) & \left[a\times b\right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( តម្រឹម)\]

ដូច្នេះដោយមិនបាត់បង់ភាពទូទៅ យើងអាចសន្មត់ថា $A=\left[m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ យោងទៅតាមនិយមន័យនៃ $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ ដូច្នេះវិមាត្រនៃម៉ាទ្រីសគឺដូចគ្នាបេះបិទ៖

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \end(align)\]

ដូច្នេះវាប្រែថាម៉ាទ្រីសទាំងបី - $A$, $((A)^(-1))$ និង $E$ - មានទំហំការ៉េ $\left[n\times n\right]$ ។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

ជាការប្រសើរណាស់ហើយ។ យើងឃើញថាមានតែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះដែលមិនអាចបញ្ច្រាស់បាន។ ឥឡូវ​នេះ​សូម​ធ្វើ​ឱ្យ​ប្រាកដ​ថា​ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស​គឺ​តែងតែ​ដូច​គ្នា។

លេម៉ា ២. បានផ្តល់ឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ និងវាបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនេះគឺមានតែមួយគត់។

ភស្តុតាង។ ចូរចាប់ផ្តើមពីចំណុចផ្ទុយគ្នា៖ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ យ៉ាងហោចណាស់មានឧទាហរណ៍ពីរនៃការបញ្ច្រាស — $B$ និង $C$ ។ បន្ទាប់មក តាមនិយមន័យ សមភាពខាងក្រោមគឺពិត៖

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A \\ cdot C = C \\ cdot A = E ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

ពី Lemma 1 យើងសន្និដ្ឋានថាម៉ាទ្រីសទាំងបួន $A$, $B$, $C$ និង $E$ គឺការ៉េនៃលំដាប់ដូចគ្នា៖ $\left[n\times n\right]$ ។ ដូច្នេះផលិតផលត្រូវបានកំណត់៖

ដោយសារការគុណម៉ាទ្រីសគឺជាប់ទាក់ទងគ្នា (ប៉ុន្តែមិនមានការផ្លាស់ប្តូរទេ!) យើងអាចសរសេរ៖

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A\right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C\right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C ។ \\ \end(តម្រឹម)\]

យើងទទួលបានជម្រើសតែមួយគត់ដែលអាចធ្វើទៅបាន: ច្បាប់ចម្លងពីរនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺស្មើគ្នា។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

ការវែកញែកខាងលើស្ទើរតែនិយាយឡើងវិញនូវភស្តុតាងនៃភាពប្លែកនៃធាតុបញ្ច្រាសសម្រាប់ចំនួនពិតទាំងអស់ $b\ne 0$ ។ ការបន្ថែមដ៏សំខាន់តែមួយគត់គឺយកទៅក្នុងគណនីវិមាត្រនៃម៉ាទ្រីស។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយយើងនៅតែមិនដឹងអ្វីទាំងអស់អំពីថាតើម៉ាទ្រីសការ៉េណាមួយមិនបញ្ច្រាស់។ នៅទីនេះកត្តាកំណត់មកដល់ជំនួយរបស់យើង - នេះគឺជាលក្ខណៈសំខាន់សម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េទាំងអស់។

លេម៉ា ៣. បានផ្តល់ម៉ាទ្រីស $A$ ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស $((A)^(-1))$ ច្រាសទៅវាមាន នោះកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើមគឺមិនសូន្យ៖

\[\ ឆ្វេង| A \right|\ne 0\]

ភស្តុតាង។ យើងដឹងរួចហើយថា $A$ និង $((A)^(-1))$ គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $\left[ n\times n \right]$ ។ ដូច្នេះសម្រាប់ពួកវានីមួយៗ គេអាចគណនាកត្តាកំណត់៖ $\left| មួយ \ស្ដាំ|$ និង $\left| ((A)^(-1)) \right|$ ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ កត្តាកំណត់នៃផលិតផលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃកត្តាកំណត់៖

\[\ ឆ្វេង| A\cdot B \right|=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ខ \\ ស្ដាំ|\\ ព្រួញស្ដាំ \\ ឆ្វេង| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ((A)^(-1)) \right|\]

ប៉ុន្តែយោងទៅតាមនិយមន័យនៃ $A\cdot ((A)^(-1))=E$ ហើយកត្តាកំណត់នៃ $E$ គឺតែងតែស្មើនឹង 1 ដូច្នេះ

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \ ឆ្វេង| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| អ៊ី\ត្រូវ|; \\ & \ ឆ្វេង| មួយ \\ ស្តាំ | \\ cdot \\ ឆ្វេង | ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \end(តម្រឹម)\]

ផលគុណនៃចំនួនពីរគឺស្មើនឹងមួយ លុះត្រាតែលេខនីមួយៗទាំងនេះខុសពីលេខសូន្យ៖

\[\ ឆ្វេង| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

ដូច្នេះវាប្រែថា $\left| A \right|\ne 0$។ លេម៉ាត្រូវបានបញ្ជាក់។

តាមពិតតម្រូវការនេះគឺសមហេតុផលណាស់។ ឥឡូវនេះយើងនឹងវិភាគក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស - ហើយវានឹងកាន់តែច្បាស់ថាហេតុអ្វីបានជា ជាគោលការណ៍ គ្មានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចមានជាមួយកត្តាកំណត់សូន្យទេ។

ប៉ុន្តែជាដំបូង ចូរយើងបង្កើតនិយមន័យ "ជំនួយ"៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីស degenerate គឺជាម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $\left[n\times n\right]$ ដែលកត្តាកំណត់គឺសូន្យ។

ដូចនេះ យើងអាចអះអាងបានថា ម៉ាទ្រីសដែលដាក់បញ្ច្រាសណាមួយគឺមិនខូចទ្រង់ទ្រាយ។

របៀបស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

ឥឡូវនេះយើងនឹងពិចារណាក្បួនដោះស្រាយជាសកលសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ជាទូទៅមានក្បួនដោះស្រាយពីរដែលទទួលយកជាទូទៅ ហើយយើងក៏នឹងពិចារណាវិធីទីពីរនៅថ្ងៃនេះផងដែរ។

មួយដែលនឹងត្រូវបានពិចារណាឥឡូវនេះគឺមានប្រសិទ្ធភាពណាស់សម្រាប់ម៉ាទ្រីសនៃទំហំ $\left[2\times 2\right]$ និង - partially - of size $\left[3\times 3\right]$។ ប៉ុន្តែចាប់ផ្តើមពីទំហំ $\left[4\times 4\right]$ វាប្រសើរជាងកុំប្រើវា។ ហេតុអ្វី - ឥឡូវនេះអ្នកនឹងយល់គ្រប់យ៉ាង។

ការបន្ថែមពិជគណិត

ត្រៀមខ្លួន។ ឥឡូវនេះនឹងមានការឈឺចាប់។ ទេ កុំបារម្ភ៖ គិលានុបដ្ឋាយិកាដ៏ស្រស់ស្អាតនៅក្នុងសំពត់ ខោជើងវែងមិនមករកអ្នក ហើយនឹងមិនចាក់ថ្នាំនៅគូទនោះទេ។ អ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺកាន់តែអស្ចារ្យ៖ ការបន្ថែមពិជគណិត និងព្រះនាង "Union Matrix" កំពុងមករកអ្នក។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយចំណុចសំខាន់។ អនុញ្ញាតឱ្យមានម៉ាទ្រីសការ៉េនៃទំហំ $A=\left[n\times n\right]$ ដែលធាតុរបស់វាមានឈ្មោះ $((a)_(ij))$ ។ បន្ទាប់មក សម្រាប់ធាតុនីមួយៗ មនុស្សម្នាក់អាចកំណត់ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត:

និយមន័យ។ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$ ទៅធាតុ $((a)_(ij))$ ក្នុងជួរ $i$-th និង $j$-th នៃម៉ាទ្រីស $A=\left [ n \times n \right]$ គឺជាការសាងសង់ទម្រង់

\[((A)_(ij))=((\left(-1\right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

ដែល $M_(ij)^(*)$ គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពីដើម $A$ ដោយលុបជួរ $i$-th ដូចគ្នា និងជួរឈរ $j$-th។

ម្តងទៀត។ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតទៅនឹងធាតុម៉ាទ្រីសដែលមានកូអរដោណេ $\left(i;j \right)$ ត្រូវបានតំណាងថាជា $((A)_(ij))$ ហើយត្រូវបានគណនាតាមគ្រោងការណ៍៖

1. ដំបូង យើងលុបជួរ $i$-row និង $j$-th ចេញពីម៉ាទ្រីសដើម។ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសការ៉េថ្មី ហើយយើងកំណត់កត្តាកំណត់របស់វាថា $M_(ij)^(*)$ ។
2. បន្ទាប់មកយើងគុណកត្តាកំណត់នេះដោយ $((\left(-1\right))^(i+j))$ - ដំបូងកន្សោមនេះអាចមើលទៅគួរអោយចាប់អារម្មណ៍ ប៉ុន្តែតាមពិតយើងគ្រាន់តែរកឃើញសញ្ញានៅពីមុខ $ M_(ij)^(*) $ ។
3. យើងរាប់ - យើងទទួលបានលេខជាក់លាក់។ ទាំងនោះ។ ការបន្ថែមពិជគណិតគឺគ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ មិនមែនជាម៉ាទ្រីសថ្មីមួយចំនួន។ល។

ម៉ាទ្រីស $M_(ij)^(*)$ ខ្លួនវាត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជនដែលបំពេញបន្ថែមទៅធាតុ $((a)_(ij))$ ។ ហើយក្នុងន័យនេះ និយមន័យខាងលើនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតគឺជាករណីពិសេសនៃនិយមន័យដែលស្មុគស្មាញជាងនេះ - មួយដែលយើងបានពិចារណាក្នុងមេរៀនអំពីកត្តាកំណត់។

ចំណាំសំខាន់។ តាមពិតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា "មនុស្សពេញវ័យ" ការបន្ថែមពិជគណិតត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម:

1. យើងយកជួរ $k$ និងជួរឈរ $k$ ក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ។ នៅចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ យើងទទួលបានម៉ាទ្រីសនៃទំហំ $\left[k\times k\right]$ — កត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថាជាលំដាប់តូច $k$ ហើយត្រូវបានតាងដោយ $((M)_(k))$ ។
2. បន្ទាប់មកយើងកាត់ជួរ $k$ ដែល "បានជ្រើសរើស" និងជួរ $k$ ទាំងនេះ។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងទទួលបានម៉ាទ្រីសការ៉េ - កត្តាកំណត់របស់វាត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជនបំពេញបន្ថែមហើយត្រូវបានតាងដោយ $M_(k)^(*)$ ។
3. គុណ $M_(k)^(*)$ ដោយ $((\left(-1\right))^(t))$ ដែល $t$ គឺ (យកចិត្តទុកដាក់ឥឡូវនេះ!) ផលបូកនៃចំនួននៃជួរដែលបានជ្រើសរើសទាំងអស់ និងជួរឈរ។ នេះនឹងជាការបន្ថែមពិជគណិត។

សូមក្រឡេកមើលជំហ៊ានទី ៣៖ វាពិតជាមានផលបូកនៃ $2k$ លក្ខខណ្ឌ! រឿងមួយទៀតគឺថាសម្រាប់ $k=1$ យើងទទួលបានតែ 2 ពាក្យ - ទាំងនេះនឹងដូចគ្នា $i+j$ - "coordinates" នៃ element $((a)_(ij))$ ដែលយើងជា កំពុងរកមើលការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។

ដូច្នេះថ្ងៃនេះយើងប្រើនិយមន័យសាមញ្ញបន្តិច។ ប៉ុន្តែដូចដែលយើងនឹងឃើញនៅពេលក្រោយវានឹងលើសពីគ្រប់គ្រាន់។ សំខាន់ជាងនេះទៅទៀតគឺ៖

និយមន័យ។ ម៉ាទ្រីសសហជីព $S$ ទៅម៉ាទ្រីសការ៉េ $A=\left[n\times n\right]$ គឺជាម៉ាទ្រីសថ្មីនៃទំហំ $\left[n\times n\right]$ ដែលទទួលបានពី $A$ ដោយជំនួស $((a)_(ij))$ ដោយការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n))) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\\end(ម៉ាទ្រីស) \\right]\]

គំនិតដំបូងដែលកើតឡើងនៅពេលដឹងពីនិយមន័យនេះគឺ "នេះជាចំនួនដែលអ្នកត្រូវរាប់ជាសរុប!" សម្រាក៖ អ្នកត្រូវរាប់ប៉ុន្តែមិនច្រើនទេ។ :)

ជាការប្រសើរណាស់, ទាំងអស់នេះល្អណាស់, ប៉ុន្តែហេតុអ្វីបានជាវាចាំបាច់? តែ​ហេតុអ្វី។

ទ្រឹស្តីបទចម្បង

តោះត្រឡប់ទៅវិញបន្តិច។ សូមចាំថា Lemma 3 បាននិយាយថាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $A$ តែងតែមិនមែនឯកវចនៈទេ (នោះគឺ កត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនមែនសូន្យ៖ $\left| A \right|\ne 0$)។

ដូច្នេះ ការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស $A$ មិន degenerate នោះវាតែងតែបញ្ច្រាស់។ ហើយមានសូម្បីតែគ្រោងការណ៍ស្វែងរក $((A)^(-1))$ ។ សូមពិនិត្យមើលវា៖

ទ្រឹស្តីបទម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីសការ៉េ $A=\left[n\times n\right]$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ ហើយកត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនសូន្យ៖ $\left| A \right|\ne 0$។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ មាន ហើយត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្ត៖

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left|A\right|)\cdot ((S)^(T))\]

ហើយឥឡូវនេះ - ទាំងអស់ដូចគ្នាប៉ុន្តែនៅក្នុងការសរសេរដោយដៃដែលអាចយល់បាន។ ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស អ្នកត្រូវការ៖

1. គណនាកត្តាកំណត់ $\left| A \right|$ ហើយត្រូវប្រាកដថាវាមិនសូន្យ។
2. ចងក្រងម៉ាទ្រីសសហជីព $S$, i.e. រាប់ 100500 ការបន្ថែមពិជគណិត $((A)_(ij))$ ហើយដាក់វាជំនួស $((a)_(ij))$ ។
3. ផ្ទេរម៉ាទ្រីសនេះ $S$ ហើយបន្ទាប់មកគុណវាដោយចំនួនមួយចំនួន $q=(1)/(\left|A\right|)\;$ ។

ហើយនោះហើយជាវា! ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស $((A)^(-1))$ ត្រូវបានរកឃើញ។ តោះមើលឧទាហរណ៍៖

\\[\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\\ end(ម៉ាទ្រីស) \\ right]\]

ដំណោះស្រាយ។ ចូរយើងពិនិត្យមើលភាពបញ្ច្រាស។ ចូរយើងគណនាកត្តាកំណត់៖

\[\ ឆ្វេង| មួយ \\ ស្ដាំ|= ឆ្វេង| \begin(ម៉ាទ្រីស) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

កត្តាកំណត់គឺខុសពីសូន្យ។ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសគឺបញ្ច្រាស។ តោះបង្កើតម៉ាទ្រីសសហជីព៖

តោះគណនាការបន្ថែមពិជគណិត៖

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1\right))^(1+1))\cdot \left| 2\right|=2; \\ & ((A)_(១២))=((\left(-1\right))^(1+2))\cdot \left| 5\right|=-5; \\ & ((A)_(២១))=((\left(-1\right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1\right))^(2+2))\cdot \left| 3\ ត្រូវ|=3. \\ \end(តម្រឹម)\]

យកចិត្តទុកដាក់៖ កត្តាកំណត់ |2|, |5|, |1| និង |3| គឺជាកត្តាកំណត់នៃទំហំ $\left[1\times 1\right]$ មិនមែនម៉ូឌុលទេ។ ទាំងនោះ។ ប្រសិនបើមានលេខអវិជ្ជមាននៅក្នុងកត្តាកំណត់ វាមិនចាំបាច់ក្នុងការដក "ដក" ចេញទេ។

សរុបមក ម៉ាទ្រីសសហជីពរបស់យើងមើលទៅដូចនេះ៖

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left|A\right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[\begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ end(array) \right])^(T))=\left[\begin (អារេ)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ]\]

យល់ព្រម វាចប់ហើយឥឡូវនេះ។ បញ្ហាត្រូវបានដោះស្រាយ។

ចម្លើយ។ $\left[\begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\\ end(array) \\right]$

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[\begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\\ end(array) \\ right] \]

ដំណោះស្រាយ។ ជាថ្មីម្តងទៀត យើងពិចារណាកត្តាកំណត់៖

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\\ end(array) \\right|=\begin(ម៉ាទ្រីស ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0\right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1\right)\cdot 0\right) \\\end(ម៉ាទ្រីស)=\ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

កត្តាកំណត់គឺខុសពីសូន្យ - ម៉ាទ្រីសគឺបញ្ច្រាស់។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ វានឹងក្លាយជា tinny បំផុត: អ្នកត្រូវរាប់ចំនួន 9 (ប្រាំបួន, damn វា!) ការបន្ថែមពិជគណិត។ ហើយពួកវានីមួយៗនឹងមាន $\left[ 2\times 2 \right]$ qualifier ។ ហោះហើរ៖

\[\begin(ម៉ាទ្រីស) ((A)_(11))=((\left(-1\right))^(1+1))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=2; \\ ((A)_(១២))=((\left(-1\right))^(1+2))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=-1; \\ ((A)_(១៣))=((\left(-1\right))^(1+3))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1\right))^(3+3))\cdot \left| \begin(ម៉ាទ្រីស) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\ បញ្ចប់(ម៉ាទ្រីស) \\right|=2; \\ \ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\]

សរុបមក ម៉ាទ្រីសសហជីពនឹងមើលទៅដូចនេះ៖

ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសនឹងមានៈ

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ] = \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ \\ 2 & 1 & -2 \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

នោះហើយជាទាំងអស់។ នេះគឺជាចម្លើយ។

ចម្លើយ។ $\left[\begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\\ end(array) \\ right ]$

ដូចដែលអ្នកអាចឃើញនៅចុងបញ្ចប់នៃឧទាហរណ៍នីមួយៗយើងបានធ្វើការពិនិត្យ។ ក្នុងន័យនេះ កំណត់ចំណាំសំខាន់មួយ៖

កុំខ្ជិលពិនិត្យ។ គុណម៉ាទ្រីសដើមដោយច្រាសដែលបានរកឃើញ - អ្នកគួរតែទទួលបាន $E$ ។

វាមានភាពងាយស្រួល និងលឿនជាងក្នុងការអនុវត្តការត្រួតពិនិត្យនេះ ជាជាងរកមើលកំហុសក្នុងការគណនាបន្ថែមទៀត នៅពេលដែលឧទាហរណ៍ អ្នកដោះស្រាយសមីការម៉ាទ្រីស។

វិធីជំនួស

ដូចដែលខ្ញុំបាននិយាយ ទ្រឹស្តីបទម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដំណើរការល្អសម្រាប់ទំហំ $\left[2\times 2\right]$ និង $\left[3\times 3\right]$ (ក្នុងករណីចុងក្រោយ វាមិនសូវល្អទេ" ទៀតទេ) ”) ប៉ុន្តែសម្រាប់ម៉ាទ្រីសធំ ភាពសោកសៅចាប់ផ្តើម។

ប៉ុន្តែកុំបារម្ភ៖ មានក្បួនដោះស្រាយជំនួសដែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីស្វែងរកការបញ្ច្រាសដោយស្ងប់ស្ងាត់សូម្បីតែសម្រាប់ម៉ាទ្រីស $\left[ 10\times 10 \right]$ matrix។ ប៉ុន្តែ​ដូច​ជា​ញឹកញាប់​ដែរ ដើម្បី​ពិចារណា​អំពី​ក្បួន​ដោះស្រាយ​នេះ យើង​ត្រូវ​ការ​ប្រវត្តិ​ទ្រឹស្ដី​បន្តិច។

ការផ្លាស់ប្តូរបឋម

ក្នុងចំណោមការផ្លាស់ប្តូរផ្សេងៗនៃម៉ាទ្រីសមានចំណុចពិសេសមួយចំនួន - ពួកគេត្រូវបានគេហៅថាបឋម។ មានការកែប្រែចំនួនបីយ៉ាងពិតប្រាកដ៖

1. គុណ។ អ្នកអាចយកជួរ $i$-th (column) ហើយគុណវាដោយលេខណាមួយ $k\ne 0$;
2. ការបន្ថែម។ បន្ថែមទៅជួរ $i$-th (column) ផ្សេងទៀត $j$-th row (column) គុណនឹងលេខណាមួយ $k\ne 0$ (ជាការពិត $k=0$ ក៏អាចធ្វើទៅបានដែរ ប៉ុន្តែអ្វីដែលជាចំណុច ពីនោះ ?? គ្មានអ្វីនឹងផ្លាស់ប្តូរទេ) ។
3. ការផ្លាស់ប្តូរ។ យកជួរ $i$-th និង $j$-th (ជួរឈរ) ហើយប្តូរពួកវា។

ហេតុអ្វីបានជាការបំប្លែងទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាបឋម (សម្រាប់ម៉ាទ្រីសធំពួកគេមិនមើលទៅដូចជាបឋមទេ) ហើយហេតុអ្វីបានជាមានតែបីក្នុងចំណោមពួកគេ - សំណួរទាំងនេះហួសពីវិសាលភាពនៃមេរៀនថ្ងៃនេះ។ ដូច្នេះ យើង​នឹង​មិន​ចូល​ទៅ​ក្នុង​សេចក្តី​លម្អិត​ឡើយ។

រឿងមួយទៀតគឺសំខាន់: យើងត្រូវអនុវត្តការបំប្លែងទាំងអស់នេះនៅលើម៉ាទ្រីសដែលពាក់ព័ន្ធ។ បាទ បាទ អ្នកបានឮត្រូវហើយ។ ឥឡូវនេះនឹងមាននិយមន័យមួយទៀត គឺពាក្យចុងក្រោយនៅក្នុងមេរៀនថ្ងៃនេះ។

ភ្ជាប់ម៉ាទ្រីស

ប្រាកដណាស់នៅក្នុងសាលា អ្នកបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែម។ នៅទីនោះ ដកមួយទៀតពីបន្ទាត់មួយ គុណបន្ទាត់ខ្លះដោយលេខ - នោះហើយជាទាំងអស់។

ដូច្នេះ៖ ឥឡូវនេះអ្វីៗនឹងដូចគ្នា ប៉ុន្តែរួចទៅហើយ "តាមរបៀបមនុស្សពេញវ័យ"។ ត្រៀមខ្លួនហើយឬនៅ?

និយមន័យ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A=\left[ n\times n \right]$ និងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ $E$ ដែលមានទំហំដូចគ្នា $n$ ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីសដែលពាក់ព័ន្ធ $\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$ គឺជា $\left[ n\times 2n \right]$ matrix ដែលមើលទៅដូចនេះ៖

\[\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]=\left[\begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n))) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ បញ្ចប់(អារេ) \right]\]

សរុបមក យើងយកម៉ាទ្រីស $A$ នៅខាងស្តាំយើងកំណត់ទៅវានូវម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ $E$ នៃទំហំដែលត្រូវការ យើងបំបែកពួកវាដោយរបារបញ្ឈរសម្រាប់ភាពស្រស់ស្អាត - នៅទីនេះអ្នកមានភ្ជាប់មកជាមួយ។ :)

តើចាប់បានអ្វី? ហើយនេះជាអ្វី៖

ទ្រឹស្តីបទ។ អនុញ្ញាតឱ្យម៉ាទ្រីស $A$ បញ្ច្រាស់។ ពិចារណាម៉ាទ្រីសជាប់ $\left[ A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$។ ប្រសិនបើប្រើ ការផ្លាស់ប្តូរខ្សែអក្សរបឋមនាំវាទៅទម្រង់ $\left[E\left| ខ\ត្រូវ។ \right]$, i.e. ដោយការគុណ ដក និងតម្រៀបជួរដេកឡើងវិញ ដើម្បីទទួលបានម៉ាទ្រីស $E$ នៅខាងស្តាំពី $A$ បន្ទាប់មកម៉ាទ្រីស $B$ ដែលទទួលបាននៅខាងឆ្វេងគឺជាតម្លៃបញ្ច្រាសនៃ $A$៖

\[\left[A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]\to \left[E\left| ខ\ត្រូវ។ \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

វាសាមញ្ញណាស់! សរុបមក ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមើលទៅដូចនេះ៖

1. សរសេរម៉ាទ្រីសដែលពាក់ព័ន្ធ $\left[ A\left| អ៊ី\ត្រូវ។ \right]$;
2. អនុវត្តការបំប្លែងខ្សែអក្សរបឋមរហូតដល់ខាងស្តាំជំនួសឱ្យ $A$ លេចឡើង $E$;
3. ជាការពិតណាស់ អ្វីមួយក៏នឹងលេចឡើងនៅខាងឆ្វេងផងដែរ - ម៉ាទ្រីសជាក់លាក់ $B$ ។ នេះនឹងជាការបញ្ច្រាស;
4. ប្រាក់ចំណេញ! :)

ជា​ការ​ពិត​ណាស់​និយាយ​ងាយ​ស្រួល​ជាង​ការ​ធ្វើ​។ ដូច្នេះ សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន៖ សម្រាប់ទំហំ $\left[3\times 3\right]$ និង $\left[4\times 4\right]$។

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[\begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\\ end(array) \\ right]\ ]

ដំណោះស្រាយ។ យើងចងក្រងម៉ាទ្រីសដែលភ្ជាប់មកជាមួយ៖

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

ដោយសារជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសដើមត្រូវបានបំពេញដោយមួយ ដកជួរទីមួយចេញពីសល់៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ ចុះក្រោម \\ -១ \\ -១ \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \\ ឆ្វេង [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្តាំ] \\ \end(តម្រឹម)\]

មិនមានឯកតាទៀតទេលើកលែងតែជួរទីមួយ។ ប៉ុន្តែយើងមិនប៉ះវាទេបើមិនដូច្នេះទេឯកតាដែលបានដកចេញថ្មីនឹងចាប់ផ្តើម "គុណ" នៅក្នុងជួរទីបី។

ប៉ុន្តែយើងអាចដកជួរទីពីរពីរដងពីជួរចុងក្រោយ - យើងទទួលបានឯកតានៅជ្រុងខាងក្រោមខាងឆ្វេង៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ចុះព្រួញ \\ -២ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \\ ឆ្វេង [ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្តាំ] \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះយើងអាចដកជួរចុងក្រោយពីជួរទីមួយ និងពីរដងពីជួរទីពីរ - តាមរបៀបនេះយើងនឹង "សូន្យ" ជួរទីមួយ៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) -១ \\ -២ \\ \uparrow \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស)\ ទៅ \\ & \\ ទៅ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

គុណជួរទីពីរដោយ −1 ហើយបន្ទាប់មកដកវា 6 ដងពីទីមួយ ហើយបន្ថែម 1 ដងទៅចុងក្រោយ៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្តាំ]\begin(ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ឆ្វេង| \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\\ end(array) \\right]\begin(matrix) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

វានៅសល់តែដើម្បីប្តូរបន្ទាត់ទី 1 និងទី 3៖

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ] \\]

រួចរាល់ហើយ! នៅខាងស្តាំគឺជាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលត្រូវការ។

ចម្លើយ។ $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\\ end(array) \\ right ]$

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖

\[\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ] \\]

ដំណោះស្រាយ។ ជាថ្មីម្តងទៀតយើងចងក្រងឯកសារភ្ជាប់៖

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ បញ្ចប់ (អារេ) \right]\]

ខ្ចី​បន្តិច​ទៅ បារម្ភ​ថា​យើង​ត្រូវ​រាប់​ប៉ុន្មាន​ឥឡូវ​នេះ… ហើយ​ចាប់​ផ្ដើម​រាប់។ ដើម្បីចាប់ផ្តើមយើង "សូន្យ" ជួរទីមួយដោយដកជួរទី 1 ពីជួរទី 2 និងទី 3៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្តាំ]\begin(ម៉ាទ្រីស) \\ ចុះក្រោម \\ -1 \\ -1 \\ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

យើងសង្កេតឃើញ "ដក" ច្រើនពេកនៅក្នុងជួរទី 2-4 ។ គុណជួរទាំងបីដោយ −1 ហើយបន្ទាប់មកដុតជួរទី 3 ដោយដកជួរទី 3 ពីសល់៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) \\ \\ ឆ្វេង| \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ \ ឆ្វេង | \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\ \ ឆ្វេង | \\ cdot \\ ឆ្វេង (-1 \\ ស្តាំ) \\ ស្តាំ។ \\\end(ម៉ាទ្រីស)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \\ បញ្ចប់ (អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) -២ \\ -១ \\ \ ចុះក្រោម \\ -២ \\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \\ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)( rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ ស្ដាំ] \\ \end(តម្រឹម)\]

ឥឡូវនេះវាដល់ពេលដែលត្រូវ "ចៀន" ជួរចុងក្រោយនៃម៉ាទ្រីសដើម: ដកជួរទី 4 ពីសល់:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ ) \right]\begin(ម៉ាទ្រីស) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\\ end(ម៉ាទ្រីស)\ ទៅ \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \end(តម្រឹម)\]

រមៀលចុងក្រោយ៖ "ដុតចេញ" ជួរទីពីរដោយដកជួរទី 2 ពីជួរទី 1 និងទី 3៖

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់( អារេ) \\ ស្តាំ] \\ ចាប់ផ្តើម (ម៉ាទ្រីស) ៦ \\ \ ឡើងចុះក្រោម \\ -៥ \\ \\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ទៅ \\ & \ ទៅ \ ឆ្វេង[ \begin(អារេ)(rrrr|rrrr) ១ & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\\ បញ្ចប់(អារេ) \\ \\ \ បញ្ចប់ (តម្រឹម)\]

ហើយម្តងទៀត ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៅខាងឆ្វេង ដូច្នេះបញ្ច្រាសនៅខាងស្តាំ។ :)

ចម្លើយ។ $\left[ \begin(ម៉ាទ្រីស) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\\ បញ្ចប់ (ម៉ាទ្រីស) \\ ស្ដាំ]$

យើងបន្តនិយាយអំពីសកម្មភាពជាមួយម៉ាទ្រីស។ ពោលគឺនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការសិក្សាការបង្រៀននេះ អ្នកនឹងរៀនពីរបៀបដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ រៀន។ ទោះបីជាគណិតវិទ្យាតឹងតែងក៏ដោយ។

តើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺជាអ្វី? នៅទីនេះយើងអាចគូរភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយគ្នាទៅវិញទៅមក: ពិចារណាឧទាហរណ៍ លេខសុទិដ្ឋិនិយម 5 និងទំនាក់ទំនងទៅវិញទៅមករបស់វា។ ផលិតផលនៃលេខទាំងនេះគឺស្មើនឹងមួយ៖ . វាដូចគ្នាជាមួយម៉ាទ្រីស! ផលគុណនៃម៉ាទ្រីស និងបញ្ច្រាសរបស់វាគឺ - ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណដែលជាម៉ាទ្រីស analogue នៃឯកតាលេខ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ជាដំបូង យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងដ៏សំខាន់មួយ ពោលគឺយើងនឹងរៀនពីរបៀបស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស់នេះ។

តើអ្នកត្រូវដឹងអ្វីខ្លះ និងអាចស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស? អ្នកត្រូវតែអាចសម្រេចចិត្ត កត្តាកំណត់. អ្នកត្រូវតែយល់ពីអ្វីដែលជាអ្វី ម៉ាទ្រីសនិងអាចអនុវត្តសកម្មភាពមួយចំនួនជាមួយពួកគេ។

មានវិធីសាស្រ្តសំខាន់ពីរសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស៖
ដោយប្រើ ការបន្ថែមពិជគណិតនិង ដោយប្រើការផ្លាស់ប្តូរបឋម.

ថ្ងៃនេះយើងនឹងសិក្សាពីវិធីដំបូងដែលងាយស្រួលជាង។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងអ្វីដែលគួរឱ្យភ័យខ្លាចបំផុតនិងមិនអាចយល់បាន។ ពិចារណា ការ៉េម៉ាទ្រីស។ ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសអាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើរូបមន្តខាងក្រោម:

តើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនៅឯណា គឺជាម៉ាទ្រីសបំប្លែងនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីស។

គោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមានសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េប៉ុណ្ណោះ។, ម៉ាទ្រីស "ពីរដោយពីរ", "បីដោយបី", ល។

កំណត់ចំណាំ៖ ដូច​ដែល​អ្នក​ប្រហែល​ជា​បាន​កត់​សម្គាល់​រួច​ហើយ បញ្ច្រាស​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ត្រូវ​បាន​បញ្ជាក់​ដោយ​អក្សរ​លើ

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងករណីសាមញ្ញបំផុត - ម៉ាទ្រីសពីរដោយពីរ។ ជាញឹកញយ ពិតណាស់ "បីនឹងបី" ត្រូវបានទាមទារ ប៉ុន្តែយ៉ាងណាក៏ដោយ ខ្ញុំសូមផ្តល់អនុសាសន៍ឱ្យសិក្សាកិច្ចការដ៏សាមញ្ញមួយ ដើម្បីសិក្សាពីគោលការណ៍ទូទៅនៃដំណោះស្រាយ។

ឧទាហរណ៍៖

ស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស

យើងសម្រេចចិត្ត។ លំដាប់នៃសកម្មភាពត្រូវបានបំបែកយ៉ាងងាយស្រួលទៅជាចំណុច។

1) ដំបូងយើងរកឃើញកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស.

ប្រសិនបើការយល់ដឹងអំពីសកម្មភាពនេះមិនល្អសូមអានសម្ភារៈ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីគណនាកត្តាកំណត់?

សំខាន់!ប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសគឺ សូន្យ- ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស មិន​មាន.

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណា ដូចដែលវាបានប្រែក្លាយ មានន័យថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺស្ថិតនៅក្នុងលំដាប់។

2) ស្វែងរកម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជន.

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហារបស់យើង វាមិនចាំបាច់ដឹងថាអនីតិជនជាអ្វីនោះទេ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ គួរតែអានអត្ថបទ របៀបគណនាកត្តាកំណត់.

ម៉ាទ្រីស​នៃ​អនីតិជន​មាន​វិមាត្រ​ដូច​គ្នា​នឹង​ម៉ាទ្រីស ពោល​គឺ​នៅ​ក្នុង​ករណី​នេះ។
ករណីនេះគឺតូច វានៅសល់ដើម្បីស្វែងរកលេខបួន ហើយដាក់វាជំនួសឱ្យសញ្ញាផ្កាយ។

ត្រលប់ទៅម៉ាទ្រីសរបស់យើង។
សូមក្រឡេកមើលធាតុខាងឆ្វេងខាងលើជាមុនសិន៖

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកវា។ អនីតិជន?
ហើយនេះត្រូវបានធ្វើដូចនេះ៖ ឆ្លងកាត់ជួរដេក និងជួរឈរដោយបញ្ញាស្មារតី ដែលធាតុនេះស្ថិតនៅ៖

លេខដែលនៅសល់គឺ អនីតិជននៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលយើងសរសេរក្នុងម៉ាទ្រីសរបស់យើងនៃអនីតិជន៖

ពិចារណាធាតុម៉ាទ្រីសខាងក្រោម៖

ផ្លូវចិត្តឆ្លងកាត់ជួរដេក និងជួរឈរដែលធាតុនេះស្ថិតនៅ៖

អ្វីដែលនៅសេសសល់គឺអនីតិជននៃធាតុនេះ ដែលយើងសរសេរទៅក្នុងម៉ាទ្រីសរបស់យើង៖

ស្រដៀងគ្នានេះដែរ យើងពិចារណាធាតុនៃជួរទីពីរ ហើយស្វែងរកអនីតិជនរបស់ពួកគេ៖


រួចរាល់។

វាសាមញ្ញ។ នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជនអ្នកត្រូវការ ប្តូរសញ្ញាសម្រាប់លេខពីរ៖

វាជាលេខទាំងនេះដែលខ្ញុំបានគូសរង្វង់!

គឺជាម៉ាទ្រីសនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីស។

ហើយគ្រាន់តែអ្វីមួយ…

4) ស្វែងរកម៉ាទ្រីស transposed នៃការបន្ថែមពិជគណិត.

គឺ​ជា​ម៉ាទ្រីស​ចម្លង​នៃ​ការ​បំពេញ​បន្ថែម​ពិជគណិត​នៃ​ធាតុ​ដែល​ត្រូវ​គ្នា​នៃ​ម៉ាទ្រីស។

5) ចម្លើយ.

ចងចាំរូបមន្តរបស់យើង។
រកឃើញទាំងអស់!

ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសគឺ៖

យកល្អគួរតែទុកចម្លើយឱ្យដូចដើម។ មិន​ត្រូវ​ការចែកធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសដោយ 2 ព្រោះចំនួនប្រភាគនឹងត្រូវបានទទួល។ nuance នេះត្រូវបានពិភាក្សាលម្អិតបន្ថែមទៀតនៅក្នុងអត្ថបទដូចគ្នា។ សកម្មភាពជាមួយម៉ាទ្រីស.

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពិនិត្យមើលដំណោះស្រាយ?

ការគុណម៉ាទ្រីសត្រូវតែអនុវត្តផងដែរ។

ការប្រឡង៖

បានរៀបរាប់រួចហើយ ម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណគឺជាម៉ាទ្រីសដែលមានឯកតានៅលើ អង្កត់ទ្រូងសំខាន់និងសូន្យនៅកន្លែងផ្សេង។

ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

ប្រសិនបើអ្នកអនុវត្តសកម្មភាព នោះលទ្ធផលក៏នឹងជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណផងដែរ។ នេះគឺជាករណីមួយក្នុងចំណោមករណីមួយចំនួនដែលការគុណម៉ាទ្រីសអាចផ្លាស់ប្តូរបាន ព័ត៌មានបន្ថែមអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស។ កន្សោមម៉ាទ្រីស. សូមចំណាំផងដែរថាក្នុងអំឡុងពេលពិនិត្យ ថេរ (ប្រភាគ) ត្រូវបាននាំមកមុខ ហើយដំណើរការនៅចុងបញ្ចប់ - បន្ទាប់ពីគុណម៉ាទ្រីស។ នេះគឺជាការទទួលយកស្តង់ដារ។

ចូរបន្តទៅករណីទូទៅបន្ថែមទៀតនៅក្នុងការអនុវត្ត - ម៉ាទ្រីស 3 គុណនឹង 3៖

ឧទាហរណ៍៖

ស្វែងរកការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស

ក្បួនដោះស្រាយគឺដូចគ្នាទៅនឹងករណីពីរដោយពីរ។

យើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយរូបមន្ត៖ តើម៉ាទ្រីសបំប្លែងនៃការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសនៅឯណា។

1) ស្វែងរកកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស.

នៅទីនេះ កត្តាកំណត់ត្រូវបានបង្ហាញ នៅលើបន្ទាត់ទីមួយ.

ដូចគ្នានេះផងដែរកុំភ្លេចថាដែលមានន័យថាអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺល្អ - ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន.

2) ស្វែងរកម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជន.

ម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជនមានវិមាត្រ "បីដោយបី" ហើយយើងត្រូវស្វែងរកលេខប្រាំបួន។

ខ្ញុំ​នឹង​ពិនិត្យ​មើល​អនីតិជន​ពីរ​បី​យ៉ាង​លម្អិត៖

ពិចារណាធាតុម៉ាទ្រីសខាងក្រោម៖

កាត់​ជួរ​ដេក និង​ជួរ​ឈរ​ដែល​ធាតុ​នេះ​មាន​ទីតាំង៖

លេខបួនដែលនៅសល់ត្រូវបានសរសេរនៅក្នុងកត្តាកំណត់ "ពីរដោយពីរ"

កត្តាកំណត់ ២ គុណនឹង ២ នេះ និង គឺជាអនីតិជននៃធាតុដែលបានផ្តល់ឱ្យ. វាចាំបាច់ត្រូវគណនា៖


អ្វីគ្រប់យ៉ាង អនីតិជនត្រូវបានរកឃើញ យើងសរសេរវាទៅក្នុងម៉ាទ្រីសរបស់យើងនៃអនីតិជន៖

ដូចដែលអ្នកប្រហែលជាបានទាយ វាមានកត្តាកំណត់ចំនួនប្រាំបួនពីរដោយពីរដើម្បីគណនា។ ដំណើរការពិតណាស់គឺគួរឱ្យខ្លាច ប៉ុន្តែករណីនេះមិនមែនជាការពិបាកបំផុតនោះទេ វាអាចកាន់តែអាក្រក់។

ជាការប្រសើរណាស់, ដើម្បីបង្រួបបង្រួម - ការស្វែងរកអនីតិជនផ្សេងទៀតនៅក្នុងរូបភាព:

ព្យាយាមគណនាអនីតិជនដែលនៅសល់ដោយខ្លួនឯង។

លទ្ធផលចុងក្រោយ៖
គឺជាម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជននៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីស។

ការពិតដែលថាអនីតិជនទាំងអស់ប្រែទៅជាអវិជ្ជមានគឺជាការចៃដន្យសុទ្ធសាធ។

3) ស្វែងរកម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត.

នៅក្នុងម៉ាទ្រីសនៃអនីតិជនគឺចាំបាច់ ប្តូរសញ្ញាយ៉ាងតឹងរឹងចំពោះធាតុដូចខាងក្រោមៈ

ក្នុងករណី​នេះ:

ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីស "បួនគុណនឹងបួន" មិនត្រូវបានពិចារណាទេព្រោះមានតែគ្រូដែលសោកសៅប៉ុណ្ណោះដែលអាចផ្តល់ភារកិច្ចបែបនេះ (សម្រាប់សិស្សគណនាកត្តាកំណត់ "បួនគុណនឹងបួន" និង 16 កត្តា "បីដោយបី") . នៅក្នុងការអនុវត្តរបស់ខ្ញុំ មានករណីបែបនេះតែមួយប៉ុណ្ណោះ ហើយអតិថិជននៃការធ្វើតេស្តនេះបានចំណាយសម្រាប់ការធ្វើទារុណកម្មរបស់ខ្ញុំយ៉ាងខ្លាំង =) ។

នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាមួយចំនួន សៀវភៅដៃ អ្នកអាចរកឃើញវិធីសាស្រ្តខុសគ្នាបន្តិចបន្តួចក្នុងការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ប៉ុន្តែខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យប្រើក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយខាងលើ។ ហេតុអ្វី? ដោយសារតែប្រូបាប៊ីលីតេនៃការយល់ច្រឡំក្នុងការគណនានិងសញ្ញាគឺតិចជាងច្រើន។

សម្រាប់ម៉ាទ្រីស A ដែលមិនមានឯកវចនៈណាមួយ មានម៉ាទ្រីស A -1 តែមួយគត់

A * A -1 = A -1 * A = E,

ដែល E គឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ដូចគ្នានឹង A. ម៉ាទ្រីស A -1 ត្រូវបានគេហៅថាបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស A ។

ប្រសិនបើនរណាម្នាក់ភ្លេច នៅក្នុងម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណ លើកលែងតែអង្កត់ទ្រូងដែលបំពេញដោយមួយ មុខតំណែងផ្សេងទៀតទាំងអស់ត្រូវបានបំពេញដោយលេខសូន្យ ដែលជាឧទាហរណ៍នៃម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណមួយ៖

ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានកំណត់ដោយរូបមន្ត៖

ដែល A ij - ធាតុ a ij ។

ទាំងនោះ។ ដើម្បីគណនាការបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស អ្នកត្រូវគណនាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសនេះ។ បន្ទាប់មកស្វែងរកការបន្ថែមពិជគណិតសម្រាប់ធាតុទាំងអស់របស់វា ហើយបង្កើតម៉ាទ្រីសថ្មីពីពួកគេ។ បន្ទាប់អ្នកត្រូវដឹកជញ្ជូនម៉ាទ្រីសនេះ។ ហើយបែងចែកធាតុនីមួយៗនៃម៉ាទ្រីសថ្មីដោយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដើម។

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

ស្វែងរក A -1 សម្រាប់ម៉ាទ្រីស

ដំណោះស្រាយ។ ស្វែងរក A -1 ដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា។ យើងមាន det A = 2. ស្វែងរកការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុនៃម៉ាទ្រីស A. ក្នុងករណីនេះ ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុម៉ាទ្រីសនឹងជាធាតុដែលត្រូវគ្នានៃម៉ាទ្រីសដោយខ្លួនវាផ្ទាល់ ដោយយកសញ្ញាដោយអនុលោមតាមរូបមន្ត

យើងមាន A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសជាប់គ្នា

យើងដឹកជញ្ជូនម៉ាទ្រីស A*៖

យើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយរូបមន្ត៖

យើង​ទទួល​បាន:

ប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសជាប់ដើម្បីស្វែងរក A -1 if

ដំណោះស្រាយ ជាដំបូង យើងគណនាម៉ាទ្រីសដែលបានផ្តល់ឱ្យ ដើម្បីប្រាកដថាម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសមាន។ យើង​មាន

នៅទីនេះយើងបានបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរទីពីរ ធាតុនៃជួរទីបីពីមុនគុណនឹង (-1) ហើយបន្ទាប់មកពង្រីកកត្តាកំណត់ដោយជួរទីពីរ។ ដោយសារនិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសនេះគឺខុសពីសូន្យ នោះម៉ាទ្រីសច្រាសទៅវាមាន។ ដើម្បី​បង្កើត​ម៉ាទ្រីស​ជាប់ យើង​រក​ឃើញ​ការ​បំពេញ​បន្ថែម​ពិជគណិត​នៃ​ធាតុ​នៃ​ម៉ាទ្រីស​នេះ។ យើង​មាន

យោងតាមរូបមន្ត

យើងដឹកជញ្ជូនម៉ាទ្រីស A*៖

បន្ទាប់មកយោងទៅតាមរូបមន្ត

ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយវិធីសាស្រ្តនៃការបំប្លែងបឋម

បន្ថែមពីលើវិធីសាស្រ្តនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលបន្តពីរូបមន្ត (វិធីសាស្រ្តនៃម៉ាទ្រីសដែលជាប់ទាក់ទង) មានវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលហៅថាវិធីសាស្រ្តនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម។

ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋម

ការបំប្លែងខាងក្រោមត្រូវបានគេហៅថា ការបំប្លែងម៉ាទ្រីសបឋម៖

1) ការផ្លាស់ប្តូរជួរដេក (ជួរឈរ);

2) គុណជួរ (ជួរ) ដោយលេខមិនសូន្យ;

3) ការបន្ថែមទៅធាតុនៃជួរដេកមួយ (ជួរឈរ) ធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេកមួយផ្សេងទៀត (ជួរឈរ) ដែលពីមុនគុណនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ។

ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីស A -1 យើងបង្កើតម៉ាទ្រីសចតុកោណ B \u003d (A | E) នៃការបញ្ជាទិញ (n; 2n) ដោយកំណត់ទៅម៉ាទ្រីស A នៅខាងស្តាំម៉ាទ្រីស E តាមរយៈបន្ទាត់បែងចែក៖

ពិចារណាឧទាហរណ៍មួយ។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃការបំប្លែងបឋម ស្វែងរក A -1 if

ដំណោះស្រាយ យើងបង្កើតម៉ាទ្រីស B៖

សម្គាល់ជួរនៃម៉ាទ្រីស B តាមរយៈ α 1 , α 2 , α 3 ។ ចូរ​អនុវត្ត​ការ​បំប្លែង​ខាងក្រោម​នៅលើ​ជួរ​ដេក​នៃ​ម៉ាទ្រីស ខ។

ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងដោះស្រាយជាមួយនឹងគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា និងវិធីស្វែងរកវា។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរស់នៅយ៉ាងលម្អិតលើឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយដែលវាត្រូវបានទាមទារដើម្បីបង្កើតម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់មួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ការរុករកទំព័រ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស - និយមន័យ។

ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss-Jordan ។

ស្វែងរកធាតុនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស - និយមន័យ។

គោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានណែនាំសម្រាប់តែម៉ាទ្រីសការ៉េដែលកត្តាកំណត់ខុសពីសូន្យ ពោលគឺសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ។

និយមន័យ។

ម៉ាទ្រីសត្រូវបានគេហៅថាបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីសដែលកត្តាកំណត់ខុសពីសូន្យ ប្រសិនបើសមភាពគឺពិត កន្លែងណា អ៊ីគឺជាម៉ាទ្រីសអត្តសញ្ញាណនៃលំដាប់ ននៅ​លើ ន.

ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើម៉ាទ្រីសនៃការបន្ថែមពិជគណិត។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់មួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ?

ដំបូងយើងត្រូវការគំនិត ម៉ាទ្រីស transposed, ម៉ាទ្រីសអនីតិជន និងការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុម៉ាទ្រីស។

និយមន័យ។

អនីតិជនk-th លំដាប់ម៉ាទ្រីស កលំដាប់ មនៅ​លើ នគឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសលំដាប់ kនៅ​លើ kដែលត្រូវបានទទួលពីធាតុនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែដែលមានទីតាំងនៅក្នុងជម្រើស kបន្ទាត់ និង kជួរឈរ។ ( kមិនលើសពីចំនួនតូចបំផុត។ មឬ ន).

អនីតិជន (n-1) ទីលំដាប់ ដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយធាតុនៃជួរទាំងអស់ លើកលែងតែ i-thនិងជួរឈរទាំងអស់លើកលែងតែ j-th, ម៉ាទ្រីសការ៉េ ប៉ុន្តែលំដាប់ ននៅ​លើ នចូរយើងសម្គាល់វាជា .

នៅក្នុងពាក្យផ្សេងទៀត អនីតិជនត្រូវបានទទួលពីម៉ាទ្រីសការ៉េ ប៉ុន្តែលំដាប់ ននៅ​លើ នឆ្លងកាត់ធាតុ i-thបន្ទាត់ និង j-thជួរឈរ។

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងសរសេរ តូចតាច ទី 2លំដាប់ដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស ការជ្រើសរើសធាតុនៃជួរទីពីរ ទីបី និងជួរទីមួយ ជួរទីបីរបស់វា។ . យើងក៏បង្ហាញអនីតិជនផងដែរ ដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស ការលុបជួរទីពីរ និងជួរទីបី . ចូរយើងបង្ហាញពីការសាងសង់អនីតិជនទាំងនេះ៖ និង .

និយមន័យ។

ការបន្ថែមពិជគណិតធាតុនៃម៉ាទ្រីសការ៉េត្រូវបានគេហៅថាអនីតិជន (n-1) ទីលំដាប់ដែលទទួលបានពីម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែការលុបធាតុរបស់វា។ i-thបន្ទាត់ និង j-thជួរ​ឈរ​គុណ​នឹង .

ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុមួយត្រូវបានតំណាងថាជា . ដូច្នេះ .

ឧទាហរណ៍សម្រាប់ម៉ាទ្រីស ការបំពេញបន្ថែមពិជគណិតនៃធាតុគឺ .

ទីពីរ យើងនឹងត្រូវការលក្ខណៈសម្បត្តិពីរនៃកត្តាកំណត់ ដែលយើងបានពិភាក្សានៅក្នុងផ្នែក ការគណនាកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស:

ដោយផ្អែកលើលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះនៃកត្តាកំណត់និយមន័យ ប្រតិបត្តិការនៃការគុណម៉ាទ្រីសដោយលេខមួយ។និងគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស យើងមានសមភាព ដែលជាកន្លែងដែលជាម៉ាទ្រីសបំប្លែងដែលធាតុរបស់វាគឺជាការបំពេញបន្ថែមពិជគណិត។

ម៉ាទ្រីស ជាការពិតគឺបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែចាប់តាំងពីសមភាព . សូមបង្ហាញវា។

ចូរយើងតែង ក្បួនដោះស្រាយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើសមភាព .

ចូរយើងវិភាគក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយប្រើឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

បានផ្តល់ម៉ាទ្រីស . ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ដំណោះស្រាយ។

គណនាកត្តាកំណត់ម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែពង្រីកវាដោយធាតុនៃជួរឈរទីបី៖

កត្តាកំណត់គឺមិនមែនសូន្យទេ ដូច្នេះម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែអាចបញ្ច្រាស់បាន។

ចូរយើងស្វែងរកម៉ាទ្រីសពីការបន្ថែមពិជគណិត៖

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល

តោះអនុវត្តការប្តូរម៉ាទ្រីសពីការបន្ថែមពិជគណិត៖

ឥឡូវនេះយើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសជា :

តោះពិនិត្យមើលលទ្ធផល៖

សមភាព ត្រូវបានប្រតិបត្តិ ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

គំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស, សមភាព និយមន័យនៃប្រតិបត្តិការលើម៉ាទ្រីស និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីបញ្ជាក់ដូចខាងក្រោម លក្ខណៈសម្បត្តិម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស:

ស្វែងរកធាតុនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធដែលត្រូវគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ពិចារណាវិធីមួយផ្សេងទៀតដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េ ប៉ុន្តែលំដាប់ ននៅ​លើ ន.

វិធីសាស្រ្តនេះគឺផ្អែកលើដំណោះស្រាយ នប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតមិនដូចគ្នានៃលីនេអ៊ែរជាមួយ នមិនស្គាល់។ អថេរដែលមិនស្គាល់នៅក្នុងប្រព័ន្ធសមីការទាំងនេះគឺជាធាតុនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

គំនិតគឺសាមញ្ញណាស់។ សម្គាល់ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសជា Xនោះគឺ . ចាប់តាំងពីតាមនិយមន័យនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

សមីការធាតុដែលត្រូវគ្នាដោយជួរឈរយើងទទួលបាន នប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ

យើងដោះស្រាយពួកវាតាមមធ្យោបាយណាមួយ ហើយបង្កើតម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសពីតម្លៃដែលបានរកឃើញ។

ចូរយើងវិភាគវិធីសាស្រ្តនេះជាមួយឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

បានផ្តល់ម៉ាទ្រីស . ស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។

ដំណោះស្រាយ។

ទទួលយក . សមភាពផ្តល់ឱ្យយើងនូវប្រព័ន្ធបីនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរមិនដូចគ្នា:

យើងនឹងមិនពណ៌នាអំពីដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធទាំងនេះទេ បើចាំបាច់ សូមមើលផ្នែក ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ.

ពីប្រព័ន្ធទីមួយនៃសមីការយើងមាន ពីទីពីរ - ពីទីបី - . ដូច្នេះម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសដែលចង់បានមានទម្រង់ . យើងសូមណែនាំឱ្យពិនិត្យមើល ដើម្បីប្រាកដថាលទ្ធផលគឺត្រឹមត្រូវ។

សង្ខេប។

យើងបានពិចារណាអំពីគោលគំនិតនៃម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វា និងវិធីសាស្រ្តបីសម្រាប់ការស្វែងរកវា។

ឧទាហរណ៍នៃដំណោះស្រាយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស

លំហាត់ 1 ។ដោះស្រាយ SLAE ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

ទម្រង់ចាប់ផ្តើម

ចុងបញ្ចប់នៃទម្រង់

ដំណោះស្រាយ. ចូរសរសេរម៉ាទ្រីសក្នុងទម្រង់៖ វ៉ិចទ័រ B: B T = (1,2,3,4) Major determinant Minor for (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 អនីតិជនសម្រាប់ (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) = 0 អនីតិជន សម្រាប់ (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 អនីតិជន សម្រាប់ (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 កត្តាកំណត់អនីតិជន ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

ម៉ាទ្រីសបំប្លែងគុណលក្ខណៈពិជគណិត ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1.4 = −3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = −3 ∆ 2.1 = −3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4) )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = −2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 −7 4) = −4 ∆ 3.2 = −2 (7 1-2 4) )-3(5 1-2 4)+1(5 4-7 4)=1 ∆ 3.3=2(5 1-2 4)-3(3 1-2 4)+1(3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = −2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = −3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = −3 ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស លទ្ធផល វ៉ិចទ័រ X X = A −1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = −1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

សូម​មើល​ផង​ដែរ ដំណោះស្រាយ SLAE ដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសលើបណ្តាញ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបញ្ចូលទិន្នន័យរបស់អ្នក និងទទួលបានការសម្រេចចិត្តជាមួយនឹងមតិយោបល់លម្អិត។

កិច្ចការទី 2. សរសេរប្រព័ន្ធសមីការក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ហើយដោះស្រាយវាដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ពិនិត្យដំណោះស្រាយដែលទទួលបាន។ ដំណោះស្រាយ:xml:xls

ឧទាហរណ៍ ២. សរសេរប្រព័ន្ធសមីការក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ហើយដោះស្រាយដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ដំណោះស្រាយ:xml:xls

ឧទាហរណ៍. ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរបីដែលមិនស្គាល់ចំនួនបីត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ តម្រូវការ៖ 1) ស្វែងរកដំណោះស្រាយរបស់វាដោយប្រើ រូបមន្តរបស់ Cramer; 2) សរសេរប្រព័ន្ធក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស ហើយដោះស្រាយវាដោយប្រើម៉ាទ្រីសគណនា។ ការណែនាំ. បន្ទាប់ពីដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer សូមស្វែងរកប៊ូតុង "ដំណោះស្រាយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសសម្រាប់ទិន្នន័យដំបូង" ។ អ្នកនឹងទទួលបានការសម្រេចចិត្តសមស្រប។ ដូច្នេះទិន្នន័យនឹងមិនត្រូវបំពេញម្តងទៀតទេ។ ដំណោះស្រាយ. សម្គាល់ដោយ A - ម៉ាទ្រីសនៃមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់; X - ម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃមិនស្គាល់; ខ - ម៉ាទ្រីស-ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ៖

វ៉ិចទ័រ B: B T =(4,-3,-3) ដែលបានផ្ដល់ឱ្យនូវសញ្ញាណទាំងនេះ ប្រព័ន្ធនៃសមីការនេះយកទម្រង់ម៉ាទ្រីសខាងក្រោម៖ A*X = B។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីស A មិនខូចទ្រង់ទ្រាយ (កត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនសូន្យ នោះវាមាន ម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស A -1 ។ គុណភាគីទាំងពីរនៃសមីការដោយ A -1 យើងទទួលបាន៖ A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. សមភាពនេះត្រូវបានគេហៅថា សញ្ញាណម៉ាទ្រីសនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ. ដើម្បី​ស្វែង​រក​ដំណោះ​ស្រាយ​ចំពោះ​ប្រព័ន្ធ​សមីការ​ ត្រូវ​គណនា​ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស A -1 ។ ប្រព័ន្ធនឹងមានដំណោះស្រាយប្រសិនបើកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីស A គឺមិនមែនសូន្យ។ ចូរយើងស្វែងរកកត្តាកំណត់សំខាន់។ ∆=-1(-2(-1)-1 1)-3(3(-1)-1 0)+2(3 1-(-2 0)))=14 ដូច្នេះ កត្តាកំណត់គឺ 14 ≠ 0, ដូច្នេះយើងបន្តដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតាមរយៈការបន្ថែមពិជគណិត។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងមានម៉ាទ្រីសដែលមិនមែនជាឯកវចនៈ A៖

យើងគណនាការបន្ថែមពិជគណិត។

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(−1,1,2) x 1 = -14/14 = −1 x 2 = 14/14 =1 x 3 = 28/14 =2 ការប្រឡង. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 ឯកសារ:xml:xls ចម្លើយ៖ -1,1,2.

ដើម្បីស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសតាមអ៊ីនធឺណិត អ្នកត្រូវបញ្ជាក់ទំហំម៉ាទ្រីសខ្លួនឯង។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះចុចលើ "+" ឬ "-" រូបតំណាងរហូតដល់តម្លៃនៃចំនួនជួរឈរនិងជួរដេកសមនឹងអ្នក។ បន្ទាប់មកបញ្ចូលធាតុដែលត្រូវការនៅក្នុងវាល។ ខាងក្រោមគឺជាប៊ូតុង "គណនា" - ដោយចុចលើវា អ្នកនឹងទទួលបានចម្លើយជាមួយនឹងដំណោះស្រាយលម្អិតនៅលើអេក្រង់។

នៅក្នុងពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ជារឿយៗគេជួបប្រទះដំណើរការនៃការគណនាបញ្ច្រាសនៃម៉ាទ្រីស។ វា​មាន​សម្រាប់​តែ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​មិន​បាន​បង្ហាញ និង​សម្រាប់​ម៉ាទ្រីស​ការ៉េ​ដែល​ផ្តល់​ថា​កត្តា​កំណត់​គឺ​មិន​សូន្យ។ ជាគោលការណ៍វាមិនពិបាកក្នុងការគណនាវាទេ ជាពិសេសប្រសិនបើអ្នកកំពុងដោះស្រាយជាមួយម៉ាទ្រីសតូចមួយ។ ប៉ុន្តែប្រសិនបើអ្នកត្រូវការការគណនាស្មុគ្រស្មាញជាងនេះ ឬពិនិត្យឱ្យបានហ្មត់ចត់ពីរដងលើការសម្រេចចិត្តរបស់អ្នក វាជាការប្រសើរក្នុងការប្រើប្រាស់ម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតនេះ។ ជាមួយវា អ្នកអាចដោះស្រាយម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាសបានយ៉ាងឆាប់រហ័ស និងត្រឹមត្រូវ

ជាមួយនឹងម៉ាស៊ីនគិតលេខតាមអ៊ីនធឺណិតនេះ អ្នកអាចសម្រួលកិច្ចការរបស់អ្នកយ៉ាងច្រើនទាក់ទងនឹងការគណនា។ លើសពីនេះទៀតវាជួយបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលទទួលបានតាមទ្រឹស្តី - នេះគឺជាប្រភេទនៃការក្លែងធ្វើសម្រាប់ខួរក្បាល។ វាមិនគួរត្រូវបានចាត់ទុកថាជាការជំនួសសម្រាប់ការគណនាដោយដៃនោះទេ វាអាចផ្តល់ឱ្យអ្នកបានច្រើន ដែលធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការយល់អំពីក្បួនដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង។ លើសពីនេះ វាមិនដែលឈឺទេក្នុងការពិនិត្យមើលខ្លួនឯងពីរដង។