ការយល់ដឹងអំពីវេទមន្តនៃអ៊ីពែបូល។ គូរក្រាហ្វទំនាក់ទំនងបញ្ច្រាស (អ៊ីពែបូឡា)

ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកអានដែលនៅសេសសល់ពង្រីកចំណេះដឹងសាលារបស់ពួកគេអំពីប៉ារ៉ាបូឡា និងអ៊ីពែបូឡា។ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា - តើពួកគេសាមញ្ញទេ? ...មិនអាចរង់ចាំ =)

Hyperbola និងសមីការ Canonical របស់វា។

រចនាសម្ព័ន្ធទូទៅនៃការបង្ហាញសម្ភារៈនឹងស្រដៀងនឹងកថាខណ្ឌមុន។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងគោលគំនិតទូទៅនៃអ៊ីពែបូឡា និងភារកិច្ចនៃការសាងសង់វា។

សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡាមានទម្រង់ជាលេខពិតវិជ្ជមាន។ សូមចំណាំថាមិនដូច ពងក្រពើលក្ខខណ្ឌមិនត្រូវបានដាក់នៅទីនេះទេ ពោលគឺតម្លៃនៃ "a" អាចតិចជាងតម្លៃនៃ "be" ។

ខ្ញុំត្រូវតែនិយាយដោយមិននឹកស្មានដល់... សមីការនៃអ៊ីពែបូឡា "សាលា" មិនប្រហាក់ប្រហែលនឹងសញ្ញាណ Canonical ទេ។ ប៉ុន្តែអាថ៍កំបាំងនេះនឹងនៅតែត្រូវរង់ចាំយើង ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ ចូរយើងកោសក្បាលរបស់យើង ហើយចាំថាតើខ្សែកោងនៅក្នុងសំណួរមានលក្ខណៈពិសេសអ្វីខ្លះ? សូមចែកចាយវានៅលើអេក្រង់នៃការស្រមើលស្រមៃរបស់យើង។ ក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ ….

អ៊ីពែបូឡាមានសាខាស៊ីមេទ្រីពីរ។

វឌ្ឍនភាពមិនល្អទេ! អ៊ីពែបូលណាមួយមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងមើលទៅដោយការកោតសរសើរយ៉ាងពិតប្រាកដនៅខ្សែកនៃខ្សែនេះ៖

ឧទាហរណ៍ 4

បង្កើតអ៊ីពែបូឡាដែលផ្តល់ដោយសមីការ

ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងជំហានដំបូង យើងនាំយកសមីការនេះទៅជាទម្រង់ Canonical ។ សូមចងចាំនីតិវិធីស្តង់ដារ។ នៅខាងស្តាំអ្នកត្រូវទទួលបាន "មួយ" ដូច្នេះយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយ 20:

នៅទីនេះអ្នកអាចកាត់បន្ថយប្រភាគទាំងពីរ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរបំផុតក្នុងការធ្វើវានីមួយៗ បីជាន់:

ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះអនុវត្តការកាត់បន្ថយ:

ជ្រើសរើសការេក្នុងភាគបែង៖

ហេតុអ្វី​បាន​ជា​វា​ល្អ​ជាង​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​តាម​វិធី​នេះ? យ៉ាងណាមិញប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយភ្លាមៗនិងទទួលបាន។ ការពិតគឺថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណាយើងមានសំណាងតិចតួច: លេខ 20 ត្រូវបានបែងចែកដោយទាំង 4 និង 5 ។ ក្នុងករណីទូទៅ លេខបែបនេះមិនដំណើរការទេ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ។ នៅទីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសោកសៅជាមួយនឹងការបែងចែកនិងដោយគ្មាន ប្រភាគបីជាន់លែងអាចទៅរួច៖

ដូច្នេះ ចូរយើងប្រើប្រាស់ផលនៃការងាររបស់យើង - សមីការ Canonical:

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសាងសង់អ៊ីពែបូឡា?

មានវិធីសាស្រ្តពីរក្នុងការសាងសង់អ៊ីពែបូឡា - ធរណីមាត្រ និងពិជគណិត។
តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង ការគូរជាមួយត្រីវិស័យ... ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា utopian ដូច្នេះវាមានប្រយោជន៍ច្រើនក្នុងការប្រើការគណនាសាមញ្ញដើម្បីជួយម្តងទៀត។

វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រកាន់ខ្ជាប់នូវក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមជាដំបូងគំនូរដែលបានបញ្ចប់បន្ទាប់មកមតិយោបល់:

នៅក្នុងការអនុវត្ត ការរួមបញ្ចូលគ្នានៃការបង្វិលដោយមុំបំពាន និងការបកប្រែស្របគ្នានៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានជួបប្រទះជាញឹកញាប់។ ស្ថានភាពនេះត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងថ្នាក់ កាត់បន្ថយសមីការបន្ទាត់លំដាប់ទី 2 ទៅជាទម្រង់ Canonical.

ប៉ារ៉ាបូឡា និងសមីការ Canonical របស់វា។

ចប់ហើយ! នាងគឺជាម្នាក់។ ត្រៀមបង្ហាញអាថ៌កំបាំងជាច្រើន។ សមីការ Canonical នៃ parabola មានទម្រង់ជាចំនួនពិត។ វាងាយស្រួលក្នុងការកត់សំគាល់ថានៅក្នុងទីតាំងស្តង់ដាររបស់វា ប៉ារ៉ាបូឡា "ស្ថិតនៅលើចំហៀងរបស់វា" ហើយចំនុចកំពូលរបស់វាគឺនៅដើម។ ក្នុង​ករណី​នេះ អនុគមន៍​បញ្ជាក់​សាខា​ខាង​លើ​នៃ​បន្ទាត់​នេះ ហើយ​មុខងារ – សាខា​ទាប។ វាច្បាស់ណាស់ថាប៉ារ៉ាបូឡាគឺស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស។ តាមពិតហេតុអ្វីបានជារំខាន៖

ឧទាហរណ៍ ៦

សាងសង់ប៉ារ៉ាបូឡា

ដំណោះស្រាយ៖ ចំនុចកំពូលត្រូវបានគេដឹង ចូរយើងស្វែងរកចំណុចបន្ថែម។ សមីការ កំណត់ធ្នូខាងលើនៃប៉ារ៉ាបូឡា សមីការកំណត់ធ្នូខាងក្រោម។

ដើម្បីកាត់បន្ថយការកត់ត្រាការគណនា យើងនឹងអនុវត្តការគណនា "ដោយប្រើជក់តែមួយ"៖

សម្រាប់ការថតបង្រួម លទ្ធផលអាចត្រូវបានសង្ខេបក្នុងតារាងមួយ។

មុននឹងអនុវត្តការគូរចំណុចដោយចំណុចបឋម ចូរយើងរៀបចំយ៉ាងតឹងរ៉ឹង

និយមន័យនៃប៉ារ៉ាបូឡា៖

ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះដែលមានលំនឹងពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ និងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យដែលមិនឆ្លងកាត់ចំណុច។

ចំណុចត្រូវបានគេហៅថា ការផ្តោតអារម្មណ៍ប៉ារ៉ាបូឡា បន្ទាត់ត្រង់ - នាយកសាលា (សរសេរដោយអក្សរ "es" មួយ)ប៉ារ៉ាបូឡា។ "pe" ថេរនៃសមីការ Canonical ត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វដែលស្មើនឹងចម្ងាយពីការផ្តោតទៅ directrix ។ ក្នុងករណី​នេះ ។ ក្នុងករណីនេះ ការផ្តោតអារម្មណ៍មានកូអរដោនេ ហើយ directrix ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ។
ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖

និយមន័យនៃប៉ារ៉ាបូឡាគឺងាយស្រួលយល់ជាងនិយមន័យនៃពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡា។ សម្រាប់ចំណុចណាមួយនៅលើប៉ារ៉ាបូឡា ប្រវែងនៃផ្នែក (ចម្ងាយពីការផ្តោតអារម្មណ៍ទៅចំណុច) គឺស្មើនឹងប្រវែងកាត់កែង (ចំងាយពីចំណុចទៅ directrix):

អបអរសាទរ! អ្នក​ជា​ច្រើន​បាន​រក​ឃើញ​ពិត​ប្រាកដ​នៅ​ថ្ងៃ​នេះ។ វាប្រែថាអ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា មិនមែនជាក្រាហ្វនៃមុខងារ "ធម្មតា" ទាល់តែសោះ ប៉ុន្តែមានប្រភពដើមធរណីមាត្រច្បាស់លាស់។

ជាក់ស្តែង ជាមួយនឹងការកើនឡើងនៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រប្រសព្វ សាខានៃក្រាហ្វនឹង "ឡើង" ឡើងលើ និងចុះក្រោម ខិតទៅជិតអ័ក្សគ្មានកំណត់។ នៅពេលដែលតម្លៃ "pe" ថយចុះ ពួកគេនឹងចាប់ផ្តើមបង្ហាប់ និងលាតសន្ធឹងតាមអ័ក្ស

ភាពប្លែកនៃប៉ារ៉ាបូឡាណាមួយគឺស្មើនឹងឯកភាព៖

ការបង្វិល និងការបកប្រែស្របគ្នានៃប៉ារ៉ាបូឡា

ប៉ារ៉ាបូឡាគឺជាបន្ទាត់មួយក្នុងចំណោមបន្ទាត់ទូទៅបំផុតនៅក្នុងគណិតវិទ្យា ហើយអ្នកនឹងត្រូវបង្កើតវាជាញឹកញាប់។ ដូច្នេះហើយ សូមយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះកថាខណ្ឌចុងក្រោយនៃមេរៀន ដែលខ្ញុំនឹងពិភាក្សាអំពីជម្រើសធម្មតាសម្រាប់ទីតាំងនៃខ្សែកោងនេះ។

! ចំណាំ ៖ ដូចនៅក្នុងករណីដែលមានខ្សែកោងពីមុន វាជាការត្រឹមត្រូវជាងក្នុងការនិយាយអំពីការបង្វិល និងការបកប្រែប៉ារ៉ាឡែលនៃអ័ក្សកូអរដោនេ ប៉ុន្តែអ្នកនិពន្ធនឹងដាក់កម្រិតខ្លួនឯងទៅនឹងកំណែសាមញ្ញនៃបទបង្ហាញ ដូច្នេះអ្នកអានមានការយល់ដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីការផ្លាស់ប្តូរទាំងនេះ។

បទបង្ហាញ និងមេរៀនលើប្រធានបទ៖
"Hyperbole, និយមន័យ, ទ្រព្យសម្បត្តិនៃមុខងារ"

សម្ភារៈបន្ថែម
អ្នកប្រើប្រាស់ជាទីគោរព កុំភ្លេចទុកមតិយោបល់ ការពិនិត្យ បំណងប្រាថ្នា។ សម្ភារៈទាំងអស់ត្រូវបានត្រួតពិនិត្យដោយកម្មវិធីប្រឆាំងមេរោគ។

ជំនួយ​ការ​អប់រំ និង​ការ​ក្លែង​ធ្វើ​នៅ​ក្នុង​ហាង​អន​ឡាញ​អាំងតេក្រាល​សម្រាប់​ថ្នាក់​ទី 8
តារាងអប់រំអេឡិចត្រូនិចសម្រាប់ធរណីមាត្រ។ ថ្នាក់ទី 7-9
តារាងអប់រំអេឡិចត្រូនិកសម្រាប់ពិជគណិត។ ថ្នាក់ទី 7-9"

Hyperbole, និយមន័យ

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=\frac(1)(x)$។
ក្រាហ្វនៃមុខងារបែបនេះត្រូវបានគេហៅថា "Hyperbola" ។

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់អ៊ីពែបូឡា

អ៊ីពែបូឡាមិនត្រឹមតែមានចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីផងដែរ។ បុរសៗ សូមគូសបន្ទាត់ $y=x$ ហើយមើលពីរបៀបដែលក្រាហ្វរបស់យើងត្រូវបានបែងចែក។ អ្នកអាចសម្គាល់ឃើញថា ប្រសិនបើផ្នែកដែលស្ថិតនៅខាងលើបន្ទាត់ត្រង់ $y=x$ ត្រូវបានដាក់ពីលើផ្នែកដែលមានទីតាំងនៅខាងក្រោម នោះពួកវានឹងស្របគ្នា នេះមានន័យថាស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងបន្ទាត់ត្រង់។

យើងបានកំណត់មុខងារ $y=\frac(1)(x)$ ប៉ុន្តែអ្វីដែលនឹងកើតឡើងនៅក្នុងករណីទូទៅគឺ $y=\frac(k)(x)$, $k>0$ ។
ក្រាហ្វនឹងមិនខុសគ្នាទេ។ លទ្ធផលនឹងជាអ៊ីពែបូឡាដែលមានមែកដូចគ្នា មានតែ $k$ កាន់តែច្រើន សាខាបន្ថែមទៀតនឹងត្រូវដកចេញពីប្រភពដើម ហើយ $k$ តិច កាន់តែខិតទៅជិតប្រភពដើម។

ឧទាហរណ៍ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=\frac(10)(x)$ មើលទៅដូចនេះ។ ក្រាហ្វបានក្លាយទៅជា "កាន់តែទូលំទូលាយ" ហើយបានផ្លាស់ប្តូរឆ្ងាយពីប្រភពដើម។
ប៉ុន្តែចុះ $k$ អវិជ្ជមានវិញ? ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=-f(x)$ គឺស៊ីមេទ្រីទៅនឹងក្រាហ្វនៃ $y=f(x)$ ទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស x ដែលអ្នកត្រូវបង្វែរវាបញ្ច្រាស់។
តោះទាញយកប្រយោជន៍ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនេះ ហើយគ្រោងមុខងារ $y=-\frac(1)(x)$។

ចូរយើងសង្ខេបចំណេះដឹងដែលទទួលបាន។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ $y=\frac(k)(x)$, $k≠0$ គឺជាអ៊ីពែបូឡាដែលមានទីតាំងនៅក្នុងត្រីមាសកូអរដោនេទីមួយ និងទីបី (ទីពីរ និងទីបួន) សម្រាប់ $k>0$ ($k

លក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ $y=\frac(k)(x)$,$k>0$

លក្ខណសម្បត្តិនៃអនុគមន៍ $y=\frac(k)(x)$,$k
1. ដែននៃនិយមន័យ៖ លេខទាំងអស់លើកលែងតែ $x=0$ ។
2. $y>0$ សម្រាប់ $x 0$ ។
3. មុខងារកើនឡើងនៅចន្លោះ $(-∞;0)$ និង $(0;+∞)$ ។
4. មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់ទាំងខាងលើ ឬខាងក្រោម។
5. មិនមានតម្លៃអតិបរមាឬអប្បបរមាទេ។
6. អនុគមន៍គឺបន្តនៅចន្លោះ $(-∞;0)U(0;+∞)$ ហើយមានការដាច់នៅចំណុច $x=0$ ។
7. ជួរតម្លៃ៖ $(-∞;0)U(0;+∞)$។

អ៊ីពែបូឡាគឺជាខ្សែកោងយន្តហោះលំដាប់ទីពីរដែលមានខ្សែកោងពីរដាច់ដោយឡែកដែលមិនប្រសព្វគ្នា។
រូបមន្តអ៊ីពែបូល។ y = k/x, បានផ្តល់ថា kមិនស្មើគ្នា 0 . នោះគឺ ចំនុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡាមានទំនោរទៅសូន្យ ប៉ុន្តែមិនដែលប្រសព្វជាមួយវាឡើយ។

អ៊ីពែបូឡា- នេះគឺជាសំណុំនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះ ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចពីរ ហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ។

លក្ខណៈសម្បត្តិ៖

1. ទ្រព្យសម្បត្តិអុបទិក៖ពន្លឺពីប្រភពដែលស្ថិតនៅក្នុងការផ្តោតអារម្មណ៍មួយនៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងដោយសាខាទីពីរនៃអ៊ីពែបូឡាក្នុងរបៀបមួយដែលផ្នែកបន្ថែមនៃកាំរស្មីដែលឆ្លុះបញ្ចាំងប្រសព្វគ្នានៅការផ្តោតអារម្មណ៍ទីពីរ។
ម្យ៉ាងវិញទៀត ប្រសិនបើ F1 និង F2 គឺជា foci នៃអ៊ីពែបូឡា នោះតង់សង់នៅចំណុចណាមួយ X នៃអ៊ីពែបូឡា គឺជាផ្នែកនៃមុំ ∠F1XF2 ។

2. សម្រាប់ចំណុចណាមួយដែលស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡា សមាមាត្រនៃចម្ងាយពីចំណុចនេះទៅចំណុចផ្តោតទៅចម្ងាយពីចំណុចដូចគ្នាទៅ directrix គឺជាតម្លៃថេរ។

3. Hyperbole មាន ស៊ីមេទ្រីកញ្ចក់អំពីអ័ក្សពិត និងស្រមើលស្រមៃ, និង ស៊ីមេទ្រីបង្វិលនៅពេលបង្វិលតាមមុំ 180° ជុំវិញកណ្តាលអ៊ីពែបូឡា។

4. អ៊ីពែរបូលនីមួយៗមាន បង្រួបបង្រួមអ៊ីពែបូឡាដែលអ័ក្សពិត និងស្រមើស្រមៃផ្លាស់ប្តូរកន្លែង ប៉ុន្តែ asymptotes នៅតែដដែល។

លក្ខណៈសម្បត្តិរបស់អ៊ីពែបូឡា៖

1) អ៊ីពែបូឡាមានអ័ក្សស៊ីមេទ្រីពីរ (អ័ក្សសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា) និងកណ្តាលស៊ីមេទ្រី (ចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា)។ ក្នុងករណីនេះ អ័ក្សមួយក្នុងចំណោមអ័ក្សទាំងនេះប្រសព្វជាមួយអ៊ីពែបូឡានៅពីរចំណុច ដែលហៅថា ចំណុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា។ វាត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សពិតនៃអ៊ីពែបូឡា (អ័ក្ស អូសម្រាប់ជម្រើស Canonical នៃប្រព័ន្ធកូអរដោនេ) ។ អ័ក្សផ្សេងទៀតមិនមានចំណុចរួមជាមួយអ៊ីពែបូឡាទេ ហើយត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សស្រមើស្រមៃរបស់វា (នៅក្នុងកូអរដោណេ Canonical - អ័ក្ស អូ) នៅផ្នែកទាំងពីរនៃវាគឺជាសាខាខាងស្តាំ និងខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា។ foci នៃអ៊ីពែបូឡាមានទីតាំងនៅលើអ័ក្សពិតរបស់វា។

2) សាខានៃអ៊ីពែបូឡាមាន asymptotes ពីរ ដែលកំណត់ដោយសមីការ

3) រួមជាមួយនឹងអ៊ីពែបូឡា (11.3) យើងអាចពិចារណាអ្វីដែលហៅថាអ៊ីពែបូឡារួម ដែលកំណត់ដោយសមីការ Canonical

ដែលអ័ក្សពិត និងស្រមើលស្រមៃត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ ខណៈពេលដែលរក្សាបាននូវ asymptotes ដូចគ្នា។

4) ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡា អ៊ី> 1.

5) សមាមាត្រចម្ងាយ r ខ្ញុំពីចំណុចអ៊ីពែបូឡាទៅការផ្តោតអារម្មណ៍ F iទៅចម្ងាយ ឃ ខ្ញុំពីចំណុចនេះទៅ directrix ដែលត្រូវគ្នានឹងការផ្តោតគឺស្មើនឹង eccentricity នៃអ៊ីពែបូឡា។

42. អ៊ីពែបូល។គឺជាសំណុំនៃចំណុចនៅក្នុងយន្តហោះដែលម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំណុចថេរពីរគឺ ច 1 និង ច 2 នៃយន្តហោះនេះ, ហៅថា ល្បិច, គឺជាតម្លៃថេរ។

ចូរយើងទាញយកសមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡាដោយការប្ៀបប្ដូចជាមួយនឹងការចេញនៃសមីការនៃរាងពងក្រពើ ដោយប្រើសញ្ញាណដូចគ្នា។

|r 1 - r 2 | = 2កពីកន្លែងដែលប្រសិនបើយើងសម្គាល់ ខ² = គ² - ក² អ្នកអាចទទួលបានពីទីនេះ

- សមីការអ៊ីពែបូឡា Canonical. (11.3)

ទីតាំងនៃចំណុចដែលសមាមាត្រនៃចម្ងាយទៅការផ្តោតអារម្មណ៍ និងទៅបន្ទាត់ត្រង់មួយហៅថា directrix គឺថេរ និងធំជាងមួយត្រូវបានគេហៅថាអ៊ីពែបូឡា។ ថេរដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានគេហៅថា eccentricity នៃអ៊ីពែបូឡា

និយមន័យ 11.6 ។ភាពប្លែកអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថាបរិមាណ e = គ/ក។

ភាពប្លែក៖

និយមន័យ 11.7 ។នាយកសាលា ឃ ខ្ញុំ hyperbola ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងការផ្តោតអារម្មណ៍ F iត្រូវបានគេហៅថាបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានទីតាំងនៅពាក់កណ្តាលយន្តហោះដូចគ្នាជាមួយ F iទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស អូកាត់កែងទៅនឹងអ័ក្ស អូនៅចម្ងាយ ក/អ៊ីពីប្រភពដើម។

43. ករណីនៃ conjugate, degenerate hyperbola (មិនពេញលេញ)

អ៊ីពែបូលនីមួយៗមាន បង្រួបបង្រួមអ៊ីពែបូឡាដែលអ័ក្សពិត និងស្រមើស្រមៃផ្លាស់ប្តូរកន្លែង ប៉ុន្តែ asymptotes នៅតែដដែល។ នេះទាក់ទងនឹងការជំនួស កនិង ខនៅពីលើគ្នាទៅវិញទៅមកនៅក្នុងរូបមន្តដែលពិពណ៌នាអំពីអ៊ីពែបូឡា។ អ៊ីពែបូឡារួមមិនមែនជាលទ្ធផលនៃការបង្វិលអ៊ីពែបូឡាដើមតាមមុំ 90° ទេ។ អ៊ីពែបូឡាទាំងពីរមានរូបរាងខុសគ្នា។

ប្រសិនបើ asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា កាត់កែងគ្នា នោះអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថា ស្មើភាពគ្នា។ . អ៊ីពែបូឡាពីរដែលមាន asymptotes ទូទៅ ប៉ុន្តែជាមួយនឹងអ័ក្សឆ្លងកាត់ និង conjugate ត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញត្រូវបានគេហៅថា ភ្ជាប់គ្នាទៅវិញទៅមក .

អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា

ចូរបន្តទៅផ្នែកទីពីរនៃអត្ថបទ អំពីជួរលំដាប់ទីពីរឧទ្ទិសដល់ខ្សែកោងធម្មតាពីរផ្សេងទៀត - អ៊ីពែបូលនិង ប៉ារ៉ាបូឡា. ប្រសិនបើអ្នកមកទំព័រនេះពីម៉ាស៊ីនស្វែងរក ឬមិនទាន់មានពេលវេលាដើម្បីរុករកប្រធានបទនោះ ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអ្នកសិក្សាផ្នែកដំបូងនៃមេរៀនជាមុនសិន ដែលយើងពិនិត្យមើលមិនត្រឹមតែចំណុចទ្រឹស្តីសំខាន់ៗប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងបានស្គាល់ផងដែរ។ ជាមួយ ពងក្រពើ. ខ្ញុំស្នើឱ្យអ្នកអានដែលនៅសេសសល់ពង្រីកចំណេះដឹងសាលារបស់ពួកគេអំពីប៉ារ៉ាបូឡា និងអ៊ីពែបូឡា។ អ៊ីពែបូឡា និងប៉ារ៉ាបូឡា - តើវាសាមញ្ញទេ? ...មិនអាចរង់ចាំ =)

Hyperbola និងសមីការ Canonical របស់វា។

រចនាសម្ព័ន្ធទូទៅនៃការបង្ហាញសម្ភារៈនឹងស្រដៀងនឹងកថាខណ្ឌមុន។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងគោលគំនិតទូទៅនៃអ៊ីពែបូឡា និងភារកិច្ចនៃការសាងសង់វា។

សមីការ Canonical នៃអ៊ីពែបូឡាមានទម្រង់ជាលេខពិតវិជ្ជមាន។ សូមចំណាំថាមិនដូច ពងក្រពើលក្ខខណ្ឌមិនត្រូវបានដាក់នៅទីនេះទេ ពោលគឺតម្លៃនៃ "a" អាចតិចជាងតម្លៃនៃ "be" ។

ខ្ញុំត្រូវតែនិយាយដោយមិននឹកស្មានដល់... សមីការនៃអ៊ីពែបូឡា "សាលា" មិនប្រហាក់ប្រហែលនឹងសញ្ញាណ Canonical ទេ។ ប៉ុន្តែអាថ៍កំបាំងនេះនឹងនៅតែត្រូវរង់ចាំយើង ប៉ុន្តែសម្រាប់ពេលនេះ ចូរយើងកោសក្បាលរបស់យើង ហើយចាំថាតើខ្សែកោងនៅក្នុងសំណួរមានលក្ខណៈពិសេសអ្វីខ្លះ? សូមចែកចាយវានៅលើអេក្រង់នៃការស្រមើលស្រមៃរបស់យើង។ ក្រាហ្វនៃមុខងារមួយ។ ….

អ៊ីពែបូឡាមានសាខាស៊ីមេទ្រីពីរ។

អ៊ីពែបូលមានពីរ asymtotes.

វឌ្ឍនភាពមិនល្អទេ! អ៊ីពែបូលណាមួយមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ ហើយឥឡូវនេះយើងនឹងមើលទៅដោយការកោតសរសើរយ៉ាងពិតប្រាកដនៅខ្សែកនៃខ្សែនេះ៖

ឧទាហរណ៍ 4

បង្កើតអ៊ីពែបូឡាដែលផ្តល់ដោយសមីការ

ដំណោះស្រាយ៖ នៅក្នុងជំហានដំបូង យើងនាំយកសមីការនេះទៅជាទម្រង់ Canonical ។ សូមចងចាំនីតិវិធីស្តង់ដារ។ នៅខាងស្តាំអ្នកត្រូវទទួលបាន "មួយ" ដូច្នេះយើងបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការដើមដោយ 20:

នៅទីនេះអ្នកអាចកាត់បន្ថយប្រភាគទាំងពីរ ប៉ុន្តែវាជាការប្រសើរបំផុតក្នុងការធ្វើវានីមួយៗ បីជាន់:

ហើយមានតែបន្ទាប់ពីនោះអនុវត្តការកាត់បន្ថយ:

ជ្រើសរើសការេក្នុងភាគបែង៖

ហេតុអ្វី​បាន​ជា​វា​ល្អ​ជាង​ក្នុង​ការ​ធ្វើ​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​តាម​វិធី​នេះ? យ៉ាងណាមិញប្រភាគនៅផ្នែកខាងឆ្វេងអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយភ្លាមៗនិងទទួលបាន។ ការពិតគឺថានៅក្នុងឧទាហរណ៍ដែលកំពុងពិចារណាយើងមានសំណាងតិចតួច: លេខ 20 ត្រូវបានបែងចែកដោយទាំង 4 និង 5 ។ ក្នុងករណីទូទៅ លេខបែបនេះមិនដំណើរការទេ។ ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាសមីការ។ នៅទីនេះអ្វីគ្រប់យ៉ាងគឺសោកសៅជាមួយនឹងការបែងចែកនិងដោយគ្មាន ប្រភាគបីជាន់លែងអាចទៅរួច៖

ដូច្នេះ ចូរយើងប្រើប្រាស់ផលនៃការងាររបស់យើង - សមីការ Canonical:

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីសាងសង់អ៊ីពែបូឡា?

មានវិធីសាស្រ្តពីរក្នុងការសាងសង់អ៊ីពែបូឡា - ធរណីមាត្រ និងពិជគណិត។
តាមទស្សនៈជាក់ស្តែង ការគូរដោយប្រើត្រីវិស័យ... ខ្ញុំថែមទាំងអាចនិយាយបានថា utopian ដូច្នេះវាមានប្រយោជន៍ច្រើនក្នុងការប្រើការគណនាសាមញ្ញដើម្បីជួយម្តងទៀត។

វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រកាន់ខ្ជាប់នូវក្បួនដោះស្រាយខាងក្រោមជាដំបូងគំនូរដែលបានបញ្ចប់បន្ទាប់មកមតិយោបល់:

1) ជាដំបូងនៃការទាំងអស់យើងរកឃើញ asymtotes. ប្រសិនបើអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Canonical នោះអត្ថិភាពរបស់វាគឺ ត្រង់ . ក្នុងករណីរបស់យើង៖ . ធាតុនេះត្រូវបានទាមទារ!នេះ​ជា​លក្ខណៈ​គ្រឹះ​នៃ​ការ​គូរ ហើយ​វា​នឹង​ក្លាយ​ជា​កំហុស​ប្រសិន​បើ​សាខា​របស់​អ៊ីពែបូឡា «លូន​ចេញ» ហួស​ពី​សញ្ញា​សម្គាល់​របស់វា។

2) ឥឡូវនេះយើងរកឃើញ កំពូលពីរនៃអ៊ីពែបូឡាដែលមានទីតាំងនៅលើអ័ក្ស abscissa នៅចំណុច . ដេរីវេគឺបឋម៖ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មកសមីការ Canonical ប្រែទៅជា , ដែលវាធ្វើតាមនោះ។ អ៊ីពែបូឡាដែលកំពុងពិចារណាមានចំនុចកំពូល

3) យើងកំពុងស្វែងរកចំណុចបន្ថែម។ ជាធម្មតា 2-3 គឺគ្រប់គ្រាន់។ នៅក្នុងទីតាំង Canonical អ៊ីពែបូឡាមានភាពស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើម និងអ័ក្សកូអរដោនេទាំងពីរ ដូច្នេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីអនុវត្តការគណនាសម្រាប់ត្រីមាសទី 1 ។ បច្ចេកទេសគឺដូចគ្នានឹងពេលសាងសង់ដែរ។ ពងក្រពើ. ពីសមីការ Canonical នៅក្នុងសេចក្តីព្រាង យើងបង្ហាញ៖

សមីការចែកចេញជាពីរមុខងារ៖
- កំណត់អ័ក្សខាងលើនៃអ៊ីពែបូឡា (អ្វីដែលយើងត្រូវការ);
- កំណត់អ័ក្សទាបនៃអ៊ីពែបូឡា។

នេះណែនាំការស្វែងរកចំណុចជាមួយ abscissas៖

4) អនុញ្ញាតឱ្យយើងពណ៌នា asymtotes នៅក្នុងគំនូរ , កំពូល ចំណុចបន្ថែម និងស៊ីមេទ្រីដល់ពួកគេនៅក្នុងត្រីមាសសម្របសម្រួលផ្សេងទៀត។ ភ្ជាប់ចំណុចដែលត្រូវគ្នាដោយប្រុងប្រយ័ត្ននៅសាខានីមួយៗនៃអ៊ីពែបូឡា៖

ការលំបាកផ្នែកបច្ចេកទេសអាចកើតឡើងជាមួយនឹងភាពមិនសមហេតុផល ជម្រាលប៉ុន្តែនេះគឺជាបញ្ហាដែលអាចយកឈ្នះបានទាំងស្រុង។

ផ្នែកបន្ទាត់ហៅ អ័ក្សពិតអ៊ីពែបូល
ប្រវែងរបស់វាគឺចំងាយរវាងចំនុចកំពូល;
ចំនួន ហៅ អ័ក្សពាក់កណ្តាលពិតប្រាកដអ៊ីពែបូល;
ចំនួន – អ័ក្សពាក់កណ្តាលស្រមៃ.

ក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង៖ ហើយជាក់ស្តែង ប្រសិនបើអ៊ីពែបូឡានេះត្រូវបានបង្វិលជុំវិញកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រី និង/ឬផ្លាស់ទី នោះតម្លៃទាំងនេះ នឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។.

និយមន័យនៃអ៊ីពែបូល។ Foci និង eccentricity

អ៊ីពែបូល ដូចគ្នានឹង ក ពងក្រពើមានចំណុចពិសេសពីរហៅថា ល្បិច. ខ្ញុំ​មិន​បាន​និយាយ​អ្វី​ទេ ប៉ុន្តែ​គ្រាន់​តែ​នៅ​ក្នុង​ករណី​ដែល​អ្នក​ណា​ម្នាក់​យល់​ខុស៖ ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ចំណុច​កណ្តាល​នៃ​ស៊ីមេទ្រី និង​ចំណុច​ប្រសព្វ មិន​មែន​ជា​ខ្សែ​កោង​ទេ។.

និយមន័យទូទៅនៃនិយមន័យក៏ដូចគ្នាដែរ៖

អ៊ីពែបូល។ហៅថាសំណុំនៃចំណុចទាំងអស់នៅក្នុងយន្តហោះ, តម្លៃ​ដាច់ខាតភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយទៅចំនុចនីមួយៗពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យពីរគឺជាតម្លៃថេរ ជាលេខស្មើនឹងចម្ងាយរវាងចំនុចកំពូលនៃអ៊ីពែបូឡានេះ៖ . ក្នុងករណីនេះចម្ងាយរវាង foci លើសពីប្រវែងនៃអ័ក្សពិត៖ .

ប្រសិនបើអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Canonical បន្ទាប់មក ចម្ងាយពីចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីទៅការផ្តោតអារម្មណ៍នីមួយៗគណនាដោយប្រើរូបមន្ត៖ .
ហើយយោងទៅតាម foci មានកូអរដោនេ .

សម្រាប់អ៊ីពែបូឡាដែលកំពុងសិក្សា៖

ចូរយើងយល់ពីនិយមន័យ។ ចូរយើងបញ្ជាក់ដោយចម្ងាយពី foci ទៅចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡា៖

ទីមួយ រំកិលចំណុចពណ៌ខៀវតាមផ្នែកខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡា ដោយគិតគូរ - មិនថាយើងនៅទីណាក៏ដោយ ម៉ូឌុល(តម្លៃដាច់ខាត) នៃភាពខុសគ្នារវាងប្រវែងនៃផ្នែកនឹងដូចគ្នា៖

ប្រសិនបើអ្នក "បោះ" ចំណុចទៅសាខាខាងឆ្វេង ហើយផ្លាស់ទីវាទៅទីនោះ នោះតម្លៃនេះនឹងនៅតែមិនផ្លាស់ប្តូរ។

សញ្ញាម៉ូឌុលគឺត្រូវការជាចាំបាច់ ពីព្រោះភាពខុសគ្នានៃប្រវែងអាចមានទាំងវិជ្ជមាន ឬអវិជ្ជមាន។ ដោយវិធីនេះសម្រាប់ចំណុចណាមួយនៅលើសាខាខាងស្តាំ (ចាប់តាំងពីផ្នែកគឺខ្លីជាងផ្នែក) ។ សម្រាប់ចំណុចណាមួយនៅលើសាខាខាងឆ្វេងស្ថានភាពគឺពិតជាផ្ទុយនិង .

លើសពីនេះទៅទៀតនៅក្នុងទិដ្ឋភាពនៃទ្រព្យសម្បត្តិជាក់ស្តែងនៃម៉ូឌុលវាមិនមានបញ្ហាអ្វីដែលត្រូវដកពីអ្វីនោះទេ។

ចូរប្រាកដថាក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង ម៉ូឌុលនៃភាពខុសគ្នានេះគឺពិតជាស្មើនឹងចំងាយរវាងចំនុចកំពូល។ ដាក់ចំណុចនៅត្រង់ចំនុចកំពូលខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡា។ បន្ទាប់មក៖ ដែលជាអ្វីដែលត្រូវពិនិត្យ។

អ៊ីពែបូឡាគឺជាទីតាំងនៃចំណុចដែលភាពខុសគ្នានៃចម្ងាយពីចំណុចថេរពីរនៃយន្តហោះ ហៅថា foci គឺជាតម្លៃថេរ។ ភាពខុសគ្នាដែលបានចង្អុលបង្ហាញត្រូវបានយកដោយតម្លៃដាច់ខាត ហើយជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងដោយ 2a ។ foci នៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានតំណាងដោយអក្សរ F 1 និង F 2 ចម្ងាយរវាងពួកវាដោយ 2c ។ តាមនិយមន័យនៃអ៊ីពែបូឡា 2a

អនុញ្ញាតឱ្យ hyperbole មួយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ប្រសិនបើអ័ក្សនៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេចតុកោណ Cartesian ត្រូវបានជ្រើសរើស ដូច្នេះ foci នៃអ៊ីពែបូឡាដែលបានផ្តល់ឱ្យមានទីតាំងនៅលើអ័ក្ស abscissa ស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើម នោះនៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេនេះ សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាមានទម្រង់

x 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 1, (1)

ដែល b = √(c 2 − a 2) ។ សមីការនៃប្រភេទ (I) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការ canonical នៃ hyperbola ជាមួយនឹងជម្រើសជាក់លាក់នៃប្រព័ន្ធកូអរដោណេ អ័ក្សកូអរដោនេគឺជាអ័ក្សនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយប្រភពដើមគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីរបស់វា (រូបភាព 18) ។ អ័ក្សនៃស៊ីមេទ្រីនៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថាសាមញ្ញអ័ក្សរបស់វា ចំណុចកណ្តាលនៃស៊ីមេទ្រីគឺជាចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា។ អ៊ីពែបូឡា កាត់អ័ក្សមួយរបស់វា; ចំនុចប្រសព្វត្រូវបានគេហៅថា កំពូលនៃអ៊ីពែបូឡា។ នៅក្នុងរូបភព។ ចំនុចកំពូលទាំង 18 នៃអ៊ីពែបូឡាគឺជាចំណុច A" និង A ។

ចតុកោណកែងដែលមានជ្រុង 2a និង 2b ដែលមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្សនៃអ៊ីពែបូឡា ហើយប៉ះវានៅចំនុចកំពូល ត្រូវបានគេហៅថាចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡា។

ផ្នែកនៃប្រវែង 2a និង 2b ដែលភ្ជាប់ចំណុចកណ្តាលនៃជ្រុងនៃចតុកោណកែងសំខាន់នៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេហៅថាអ័ក្សរបស់វាផងដែរ។ អង្កត់ទ្រូងនៃចតុកោណកែងសំខាន់ (ពង្រីកដោយគ្មានកំណត់) គឺជាសញ្ញានៃអ៊ីពែបូឡា។ សមីការរបស់ពួកគេគឺ៖

y = b/a x, y = − b/a x

សមីការ

X 2 /a 2 + y 2 / b 2 = 1 (2)

កំណត់អ៊ីពែបូឡាដែលស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្សកូអរដោនេជាមួយ foci នៅលើអ័ក្សតម្រៀប។ សមីការ (២) ដូចជាសមីការ (១) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការអ៊ីពែបូឡា Canonical; ក្នុងករណីនេះ ភាពខុសគ្នាថេរក្នុងចម្ងាយពីចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡាទៅ foci គឺស្មើនឹង 2b ។

អ៊ីពែបូឡាពីរ ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ

x 2 /a 2 − y 2 /b 2 = 1, − x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោនេដូចគ្នាត្រូវបានគេហៅថា conjugate ។

អ៊ីពែបូឡាដែលមានអ័ក្សពាក់កណ្តាលស្មើគ្នា (a=b) ត្រូវបានគេហៅថាសមភាព។ សមីការ Canonical របស់វាមានទម្រង់

x 2 − y 2 = a 2 ឬ − x 2 + y 2 = a 2 ។

ដែល a គឺជាចំងាយពីចំណុចកណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡា ទៅចំណុចកំពូលរបស់វា ដែលហៅថា ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡា។ ជាក់ស្តែង សម្រាប់អ៊ីពែបូឡាណាមួយ ε > 1. ប្រសិនបើ M(x; y) គឺជាចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡា នោះផ្នែក F 1 M និង F 2 M (សូមមើលរូបភាពទី 18) ត្រូវបានគេហៅថា កាំប្រសព្វនៃចំនុច M ។ កាំប្រសព្វនៃចំនុចនៃសាខាខាងស្តាំនៃអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគណនាតាមរូបមន្ត

r 1 = εx + a, r 2 = εx - a,

កាំប្រសព្វនៃចំនុចនៃសាខាខាងឆ្វេង - យោងតាមរូបមន្ត

r 1 = -εх - a, r 2 = -εх + a

ប្រសិនបើអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (1) បន្ទាប់មកបន្ទាត់ដែលកំណត់ដោយសមីការ

x = -a/ε, x = a/ε

ត្រូវបានគេហៅថា directrixes របស់វា (សូមមើលរូប 18)។ ប្រសិនបើអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ (2) នោះ directrixes ត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការ

x = -b/ε, x = b/ε

directrix នីមួយៗមានទ្រព្យសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើ r គឺជាចំងាយពីចំណុចបំពាននៃអ៊ីពែបូឡាទៅការផ្តោតអារម្មណ៍ជាក់លាក់ d គឺជាចំងាយពីចំណុចដូចគ្នាទៅ directrix ម្ខាងដោយផ្តោតនេះ នោះសមាមាត្រ r/d គឺជា តម្លៃថេរស្មើនឹង eccentricity នៃអ៊ីពែបូឡា៖

515. ផ្សំសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាដែល foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស abscissa ស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើម ដោយដឹងបន្ថែមថា:

1) អ័ក្សរបស់វា 2a = 10 និង 2b = 8;

2) ចម្ងាយរវាង foci 2c = 10 និងអ័ក្ស 2b = 8;

3) ចម្ងាយរវាង foci 2с = 6 និង eccentricity ε = 3/2;

4) អ័ក្ស 2a = 16 និង eccentricity ε = 5/4;

5) សមីការនៃ asymptotes y = ± 4/3x និងចម្ងាយរវាង foci 2c = 20;

6) ចម្ងាយរវាង directrixes គឺ 22 2/13 និងចម្ងាយរវាង foci គឺ 2c = 26; ៣៩

7) ចម្ងាយរវាង directrixes គឺ 32/5 និងអ័ក្ស 2b = 6;

8) ចម្ងាយរវាង directrixes គឺ 8/3 និង eccentricity ε = 3/2;

9) សមីការនៃ asymptotes y = ± 3/4 x និងចម្ងាយរវាង directrixes គឺ 12 4/5 ។

516. ផ្សំសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាដែល foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្សតម្រៀបស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម ដោយដឹងបន្ថែមថា:

1) អ័ក្សពាក់កណ្តាលរបស់វា a = 6, b = 18 (ដោយអក្សរ a យើងបង្ហាញពីអ័ក្សពាក់កណ្តាលនៃអ៊ីពែបូឡាដែលមានទីតាំងនៅលើអ័ក្ស x);

2) ចម្ងាយរវាង foci គឺ 2c = 10 និង ecceitricity គឺ ε = 5/3; ល្អ​ណាស់ ១២

3) សមីការនៃ asymptotes y = ±12/5x និងចម្ងាយរវាងចំនុចកំពូលគឺ 48;

4) ចម្ងាយរវាង directrixes គឺ 7 1/7 និង eccentricity ε = 7/5;

5) សមីការនៃ asymptotes y = ± 4/3x និងចម្ងាយរវាង directrixes គឺ 6 2/5 ។

517. កំណត់អ័ក្សពាក់កណ្តាល a និង b សម្រាប់អ៊ីពែបូឡានីមួយៗខាងក្រោម៖

1) x 2/9 − y 2/4 = 1; 2) x 2 /16 − y 2 = 1; 3) x 2 − 4y 2 = 16;

4) x 2 − y 2 = 1; 5) 4x 2 − 9y 2 = 25; 6) 25x 2 −16y 2 = 1;

7) 9x 2 − 64y 2 = 1 ។

518. ផ្តល់អ៊ីពែបូឡា 16x 2 − 9y 2 = 144. ស្វែងរក៖ 1) អ័ក្សពាក់កណ្តាល a និង b; 2) ល្បិច; 3) ភាពចម្លែក; 4) សមីការនៃ asymtotes; 5) សមីការ directrix ។

519. ផ្តល់អ៊ីពែបូឡា 16x 2 − 9y 2 = −144 ។ ស្វែងរក៖ 1) អ័ក្សពាក់កណ្តាល a និង b; 2) ល្បិច; 3) ភាពចម្លែក; 4) សមីការនៃ asymtotes; 5) សមីការ directrix ។

520. គណនាផ្ទៃនៃត្រីកោណដែលបង្កើតឡើងដោយ asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា x 2/4 − y 2/9 = 1 និងបន្ទាត់ 9x + 2y − 24 = 0 ។

521. បង្កើតបន្ទាត់ណាមួយដែលត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការដូចខាងក្រោមៈ

1) y = +2/3√(x 2 − 9); 2) y = −3√(x 2 + 1)

3) x = −4/3√(y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. ផ្តល់ចំនុច M 1 (l0; - √5) លើអ៊ីពែបូឡា - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. សរសេរសមីការនៃបន្ទាត់ដែលកាំប្រសព្វនៃចំនុច M 1 កុហក។

523. ដោយបានធ្វើឱ្យប្រាកដថាចំនុច M 1 (-5; 9/4) ស្ថិតនៅលើ gillerball x 2/16 - y 2/9 = 1 កំណត់កាំប្រសព្វនៃចំនុច M 1 ។

524. ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺ ε = 2 ដែលជាកាំប្រសព្វនៃចំនុច M របស់វា ដែលទាញចេញពីការផ្តោតអារម្មណ៍ជាក់លាក់មួយ គឺស្មើនឹង 16 ។ គណនាចម្ងាយពីចំនុច M ទៅ directrix ម្ខាងដោយផ្តោតនេះ។

525. ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺ ε = 3 ចម្ងាយពីចំណុច M នៃអ៊ីពែបូឡាទៅ directrix គឺ ​​4 គណនាចម្ងាយពីចំណុច M ទៅចំណុចផ្តោតមួយចំហៀងជាមួយ directrix នេះ។

526. ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺε = 2 ចំណុចកណ្តាលរបស់វាស្ថិតនៅដើមកំណើត មួយនៃ foci F(12; 0) ។ គណនាចម្ងាយពីចំណុច M 1 នៃអ៊ីពែបូឡាជាមួយ abscissa ស្មើនឹង 13 ទៅ directrix ដែលត្រូវនឹងការផ្តោតអារម្មណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

527. ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡាគឺ ε = 3/2 ចំណុចកណ្តាលរបស់វាស្ថិតនៅត្រង់ប្រភពដើម មួយនៃ directrixes ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ x = -8 ។ គណនាចម្ងាយពីចំណុច M 1 នៃអ៊ីពែបូឡាជាមួយ abscissa ស្មើនឹង 10 ទៅការផ្តោតអារម្មណ៍ដែលត្រូវនឹង directrix ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

528. កំណត់ចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡា - x 2 / 64 - y 2 / 36 = 1, ចម្ងាយនៃការផ្តោតសំខាន់គឺ 4.5 ។

529. កំណត់ចំនុចនៃអ៊ីពែបូឡា x 2/9 − y 2/16 = 1 ចំងាយដែលផ្ដោតទៅខាងឆ្វេងគឺ 7 ។

530. តាមរយៈការផ្តោតអារម្មណ៍ខាងឆ្វេងនៃអ៊ីពែបូឡា x 2 /144 - y 2 /25 = 1 កាត់កែងមួយត្រូវបានគូរទៅអ័ក្សរបស់វាដែលមានកំពូល។ កំណត់ចម្ងាយពី foci ទៅចំណុចប្រសព្វនៃកាត់កែងនេះជាមួយអ៊ីពែបូឡា។

531. ដោយប្រើត្រីវិស័យមួយ សង់ foci នៃអ៊ីពែបូឡា x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (សន្មត់ថាអ័ក្សកូអរដោនេត្រូវបានបង្ហាញហើយឯកតាមាត្រដ្ឋានត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ) ។

532. ផ្សំសមីការនៃអ៊ីពែបូឡាដែល foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស abscissa ស៊ីមេទ្រីទាក់ទងទៅនឹងប្រភពដើម ប្រសិនបើផ្តល់ឱ្យ៖

1) ពិន្ទុ M 1 (6; -1) និង M 2 (-8; 2√2) អ៊ីពែរបូល;

2) ចំណុច M 1 (-5; 3) hyperbola និង eccentricity ε = √2;

3) ចំណុច M 1 (9/2;-l) អ៊ីពែបូឡា និងសមីការនៃ asymptotes y = ± 2.3x;

4) ចំណុច M 1 (-3; 5.2) អ៊ីពែបូឡា និងសមីការ directrix x = ± 4/3;

5) សមីការនៃ asymptotes y = ±-3/4x និងសមីការនៃ directrixes x = ± 16/5

533. កំណត់ eccentricity នៃ hyperbola ស្មើ។

534. កំណត់ភាពប្លែកនៃអ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើផ្នែករវាងចំនុចកំពូលរបស់វាអាចមើលឃើញពី foci នៃអ៊ីពែបូឡា conjugate នៅមុំ 60°។

535. foci នៃអ៊ីពែបូឡាស្របគ្នាជាមួយនឹង foci នៃរាងពងក្រពើ x 2/25 + y 2/9 = 1. សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡាប្រសិនបើ eccentricity របស់វា ε = 2 ។

536. សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡាដែល foci ស្ថិតនៅត្រង់ចំនុចកំពូលនៃពងក្រពើ x 2/100 + y 2/64 = 1 ហើយ directrixes ឆ្លងកាត់ foci នៃរាងពងក្រពើនេះ។

537. បង្ហាញថាចម្ងាយពីការផ្តោតអារម្មណ៍នៃអ៊ីពែបូឡា x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 1 ទៅ asymptote របស់វាគឺស្មើនឹង b ។

538. បង្ហាញថាផលិតផលនៃចម្ងាយពីចំណុចណាមួយនៃអ៊ីពែរបូល x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 1 ទៅ asymptotes ទាំងពីររបស់វាគឺតម្លៃថេរស្មើនឹង a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. បង្ហាញថាតំបន់នៃប្រលេឡូក្រាមដែលចងដោយ asymptotes នៃអ៊ីពែបូឡា x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 1 ហើយបន្ទាត់ដែលគូសតាមចំនុចណាមួយរបស់វាស្របនឹង asymptotes គឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង ab/2 ។

540. សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើអ័ក្សពាក់កណ្តាល a និង b របស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ កណ្តាល C(x 0; y 0) និង foci ស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ: 1) ស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក; 2) ស្របទៅនឹងអ័ក្ស Oy ។

541. កំណត់ថាសមីការខាងក្រោមនីមួយៗកំណត់អ៊ីពែបូឡាមួយ ហើយស្វែងរកកូអរដោនេនៃចំណុចកណ្តាល C អ័ក្សពាក់កណ្តាល eccentricity សមីការនៃ asymptotes និងសមីការនៃ directrixes៖

1) 16x 2 − 9у 2 − 64x − 54у − 161 =0;

2) 9x 2 − 16y 2 + 90x + 32y − 367 = 0;

3) 16x 2 − 9y 2 − 64x − 18y + 199 = 0 ។

542. បង្កើតបន្ទាត់ណាមួយដែលត្រូវបានកំណត់ដោយសមីការដូចខាងក្រោមៈ

1) y = − 1 + 2/3√(x 2 − 4x − 5);

2) y = 7 − 3/2√(x 2 − 6x + 13);

3) x = 9 − 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X = 5 + 3/4√(y 2 + 4y − 12)។

គូរបន្ទាត់ទាំងនេះនៅលើគំនូរ។

543. បង្កើតសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ដោយដឹងថា៖

1) ចម្ងាយរវាងចំនុចកំពូលរបស់វាគឺ 24 ហើយ foci គឺ F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) foci គឺ F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) និងចម្ងាយរវាង directrixes គឺ 3.6;

3) មុំរវាង asymptotes គឺ 90° ហើយ foci គឺ F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2) ។

544. សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើ eccentricity របស់វា ε = 5/4, ផ្តោត F (5; 0) និងសមីការនៃ directrix ដែលត្រូវគ្នា 5x - 16 = 0 ត្រូវបានគេស្គាល់។

545. សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើ eccentricity របស់វា e - focus F(0; 13) និងសមីការនៃ directrix ដែលត្រូវគ្នា 13y - 144 = 0 ត្រូវបានគេស្គាល់។

546. ចំណុច A (-3; - 5) ស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡាដែលផ្តោត F (-2;-3) ហើយ directrix ដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ x + 1 = 0 ។ សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡានេះ .

547. សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡា ប្រសិនបើ eccentricity ε = √5 របស់វា ផ្តោត F(2;-3) និងសមីការនៃ directrix ដែលត្រូវគ្នា Zx - y + 3 = 0 ត្រូវបានគេស្គាល់។

548. ចំណុច M 1 (1; 2) ស្ថិតនៅលើអ៊ីពែបូឡាដែលផ្តោត F(-2; 2) ហើយ directrix ដែលត្រូវគ្នាត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ 2x - y - 1 = 0 ។ សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡានេះ .

549. សមីការនៃអ៊ីពែបូឡាសមីការ x 2 − y 2 = a 2 ត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ស្វែងរកសមីការរបស់វានៅក្នុងប្រព័ន្ធថ្មី ដោយយក asymptotes របស់វាជាអ័ក្សកូអរដោនេ។

550. ដោយបានបង្កើតឡើងថាសមីការខាងក្រោមនីមួយៗកំណត់អ៊ីពែបូឡា ស្វែងរកពួកវានីមួយៗ កណ្តាល អ័ក្សពាក់កណ្តាល សមីការនៃ asymptotes ហើយគ្រោងពួកវានៅលើគំនូរ៖ 1) xy = 18; 2) 2xy − 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0 ។

551. រកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ 2x − y − 10 = 0 និង hyperbola x 2/20 − y 2/5 = 1 ។

552. រកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ 4x − 3y − 16 = 0 និង hyperbola x 2/25 − y 2/16 = 1 ។

553. រកចំនុចប្រសព្វនៃបន្ទាត់ត្រង់ 2x − y + 1 = 0 និង hyperbola x 2/9 − y 2/4 = 1 ។

554. ក្នុងករណីខាងក្រោម កំណត់ពីរបៀបដែលខ្សែស្ថិតនៅទាក់ទងទៅនឹងអ៊ីពែបូឡា៖ ថាតើវាប្រសព្វ ប៉ះ ឬឆ្លងកាត់ខាងក្រៅវា៖

1) x − y − 3 = 0, x 2/12 − y 2/3 = l;

2) x − 2y + 1 = 0, x 2/16 − y 2/9 = l;

555. កំណត់នៅតម្លៃណានៃ m បន្ទាត់ត្រង់ y = 5/2x + m

1) ប្រសព្វអ៊ីពែបូឡា x 2/9 − y 2/36 = 1; 2) ប៉ះនាង;

3) ឆ្លងកាត់ខាងក្រៅអ៊ីពែរបូលនេះ។

556. ទទួលបានលក្ខខណ្ឌដែលបន្ទាត់ត្រង់ y = kx + m ប៉ះអ៊ីពែបូឡា x 2 /a 2 − y 2 / b 2 = 1 ។

557. សរសេរសមីការសម្រាប់តង់សង់ទៅអ៊ីពែបូឡា x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 1 នៅចំណុចរបស់វា Af, (*,; #i) ។

558. បង្ហាញថាតង់សង់ទៅអ៊ីពែបូឡាដែលទាញនៅចុងអង្កត់ផ្ចិតដូចគ្នាគឺស្របគ្នា។

559. សមីការនៃតង់សង់ទៅអ៊ីពែបូឡា x 2/20 − y 2/5 = 1 កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ 4x + 3y − 7 = 0 ។

560. សមីការនៃតង់សង់ទៅអ៊ីពែបូឡា x 2 /16 − y 2 /64 = 1 ស្របនឹងបន្ទាត់ 10x − 3y + 9 = 0 ។

561. គូរតង់សង់ទៅអ៊ីពែបូឡា x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ 2x + 4y - 5 = 0 ហើយគណនាចម្ងាយ d រវាងពួកវា។

562. នៅលើអ៊ីពែបូឡា x 2 /24 − y 2 /18 = 1 រកចំណុច M 1 ជិតបំផុតនឹងបន្ទាត់ 3x + 2y + 1 = O ហើយគណនាចម្ងាយ d ពីចំណុច M x ទៅបន្ទាត់នេះ។

563. បង្កើតសមីការសម្រាប់តង់សង់ទៅអ៊ីពែបូឡា x 2 - y 2 = 16 ទាញចេញពីចំណុច A(- 1; -7) ។

564. ពីចំណុច C(1;-10) តង់សង់ត្រូវបានទាញទៅអ៊ីពែបូឡា x 2/8 - y 2/32 = 1. បង្កើតសមីការសម្រាប់អង្កត់ធ្នូតភ្ជាប់ចំណុចនៃតង់សង់។

565. ពីចំណុច P(1; -5) តង់សង់ត្រូវបានទាញទៅអ៊ីពែបូឡា x 2/3 - y 2/5 = 1. គណនាចម្ងាយ d ពីចំណុច P ទៅអង្កត់ធ្នូនៃអ៊ីពែបូឡាដែលភ្ជាប់ចំណុចនៃតង់សង់។

566. អ៊ីពែបូឡាឆ្លងកាត់ចំណុច A(√6; 3) ហើយប៉ះបន្ទាត់ 9x + 2y - 15 == 0. សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡានេះ ដោយផ្តល់ថាអ័ក្សរបស់វាស្របគ្នានឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

567. សរសេរសមីការសម្រាប់តង់សង់អ៊ីពែបូឡាទៅបន្ទាត់ត្រង់ពីរ៖ 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0 ផ្តល់ថាអ័ក្សរបស់វាស្របគ្នានឹងអ័ក្សកូអរដោនេ។

568. ដោយបានធ្វើឱ្យប្រាកដថាចំនុចប្រសព្វនៃរាងពងក្រពើ x 2/3 - y 2 /5 = 1 និងអ៊ីពែបូឡា x 2/12 - y 2/3 = 1 គឺជាចំនុចកំពូលនៃចតុកោណកែង បង្កើតសមីការនៃជ្រុងរបស់វា .

569. ដែលបានផ្ដល់ឱ្យអ៊ីពែបូឡាស x 2 /a 2 - y 2 / b 2 = 1 និងតង់សង់មួយចំនួនរបស់វា៖ P គឺជាចំណុចប្រសព្វនៃតង់ហ្សង់ជាមួយអ័ក្សអុក Q គឺជាការព្យាករនៃចំណុចតង់សង់នៅលើអ័ក្សដូចគ្នា . បង្ហាញថា OP OQ = a 2 ។

570. បង្ហាញថា foci នៃអ៊ីពែបូឡាស្ថិតនៅលើជ្រុងម្ខាងនៃតង់ហ្សង់របស់វា។

571. បង្ហាញថាផលគុណនៃចម្ងាយពី foci ទៅតង់សង់ណាមួយទៅអ៊ីពែបូឡា x 2 /a 2 − y 2 / b 2 = 1 គឺជាតម្លៃថេរស្មើនឹង b 2 ។

572. បន្ទាត់ត្រង់ 2x − y − 4 == 0 ប៉ះអ៊ីពែបូឡា ចំនុច foci ដែលស្ថិតនៅចំនុច F 1 (-3; 0) និង F 2 (3; 0) ។ សរសេរសមីការសម្រាប់អ៊ីពែបូឡានេះ។

573. ផ្សំសមីការនៃអ៊ីពែបូឡា ដែល foci ស្ថិតនៅលើអ័ក្ស x ស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងប្រភពដើម ប្រសិនបើសមីការនៃតង់សង់ទៅអ៊ីពែបូឡាត្រូវបានគេស្គាល់ថា 15x + 16y - 36 = 0 និងចម្ងាយរវាងវា ចំនុចកំពូលគឺ 2a = 8 ។

574. បង្ហាញថាតង់សង់បន្ទាត់ត្រង់ទៅនឹងអ៊ីពែបូឡានៅចំណុចខ្លះ M ធ្វើមុំស្មើគ្នាជាមួយកាំប្រសព្វ F 1 M, F 2 M ហើយឆ្លងកាត់ក្នុងមុំ F 1 MF 2 ។ X^

575. ពីការផ្តោតខាងស្តាំនៃអ៊ីពែរបូល x 2/5 - y 2 /4 = 1 នៅមុំ α(π

576. បង្ហាញថាពងក្រពើ និងអ៊ីពែបូឡាដែលមាន foci ធម្មតា ប្រសព្វគ្នានៅមុំខាងស្តាំ។

577. មេគុណនៃការបង្ហាប់ឯកសណ្ឋាននៃយន្តហោះទៅអ័ក្សអុកគឺស្មើនឹង 4/3 ។ កំណត់សមីការនៃបន្ទាត់ដែលអ៊ីពែបូឡា x 2 / 16 - y 2 / 9 = 1 ត្រូវបានបំប្លែងក្នុងអំឡុងពេលការបង្ហាប់នេះ។ សូមមើលបញ្ហា 509 ។

578. មេគុណនៃការបង្ហាប់ឯកសណ្ឋាននៃយន្តហោះទៅអ័ក្ស Oy គឺស្មើនឹង 4/5 ។ កំណត់សមីការនៃបន្ទាត់ដែលអ៊ីពែបូឡា x 2 / 25 - y 2 / 9 = 1 ត្រូវបានបំលែងក្នុងអំឡុងពេលបង្ហាប់នេះ។

579. រកសមីការនៃបន្ទាត់ដែលអ៊ីពែបូឡា x 2 − y 2 = 9 ត្រូវបានបំប្លែងនៅក្រោមការបង្ហាប់ឯកសណ្ឋានពីរបន្តបន្ទាប់គ្នានៃយន្តហោះទៅអ័ក្សកូអរដោនេ ប្រសិនបើមេគុណនៃការបង្ហាប់ឯកសណ្ឋាននៃយន្តហោះទៅអ័ក្សអុក និងអយ។ រៀងគ្នាស្មើនឹង 2/3 និង 5/3 ។

580. កំណត់មេគុណ q នៃការបង្ហាប់ឯកសណ្ឋាននៃយន្តហោះទៅអ័ក្សអុក ដែលអ៊ីពែបូឡា - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 ត្រូវបានបំលែងទៅជាអ៊ីពែបូឡា x 2 / 25 - y 2 / 16 = 1 ។

581. កំណត់មេគុណ q នៃការបង្ហាប់ឯកសណ្ឋាននៃយន្តហោះទៅអ័ក្ស Oy ដែលអ៊ីពែបូឡា x 2/4 - y 2/9 = 1 ត្រូវបានបំលែងទៅជាអ៊ីពែបូឡា x 2/16 - y 2/9 = 1 ។

582. កំណត់មេគុណ q 1 និង q 2 នៃការបង្ហាប់ឯកសណ្ឋានពីរជាប់គ្នានៃយន្តហោះទៅអ័ក្ស Ox និង Oy ដែលអ៊ីពែបូឡា x 2/49 - y 2/16 = 1 ត្រូវបានបំលែងទៅជាអ៊ីពែបូឡា x 2/25 - y 2/64 = 1 ។