សេចក្តីសង្ខេប៖ សមីការបួនជ្រុង និងសមីការនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាង។ ពីប្រវត្តិនៃសមីការការ៉េ និងសមីការការ៉េនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

អនុវិទ្យាល័យជនបទ Kopyevskaya

10 វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង

ក្បាល៖ Patrikeeva Galina Anatolyevna,

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា

s.Kopyevo, 2007

1. ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សមីការការ៉េ

1.1 សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

1.2 របៀបដែល Diophantus ចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ

1.3 សមីការបួនជ្រុងនៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា

1.4 សមីការ quadratic ក្នុង al-Khwarizmi

1.5 សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុប XIII - XVII សតវត្ស

1.6 អំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន

អក្សរសាស្ត្រ

1. ប្រវត្តិនៃការអភិវឌ្ឍន៍សមីការការ៉េ

1.1 សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរនៅសម័យបុរាណគឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់នៃដី និងការងារផែនដីនៃធម្មជាតិយោធា ក៏ដូចជាការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ និង គណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ សមីការបួនជ្រុងអាចដោះស្រាយបានប្រហែលឆ្នាំ 2000 មុនគ។ អ៊ី ជនជាតិបាប៊ីឡូន។

ដោយអនុវត្តការសម្គាល់ពិជគណិតទំនើប យើងអាចនិយាយបានថានៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform របស់ពួកគេមាន បន្ថែមពីលើការមិនពេញលេញ ដូចជាឧទាហរណ៍ សមីការបួនជ្រុងពេញលេញ៖

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

ទោះបីជាមានកម្រិតខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតនៅបាប៊ីឡូនក៏ដោយ អត្ថបទ cuneiform ខ្វះគំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។

1.2 របៀបដែល Diophantus ចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

Diophantus' Arithmetic មិនមានការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែវាផ្ទុកនូវបញ្ហាជាប្រព័ន្ធ អមដោយការពន្យល់ និងដោះស្រាយដោយការគូរសមីការនៃដឺក្រេផ្សេងៗ។

នៅពេលចងក្រងសមីការ Diophantus ជ្រើសរើសយ៉ាងប៉ិនប្រសប់ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយ។

ជាឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាកិច្ចការមួយរបស់គាត់។

កិច្ចការ ១១."ស្វែងរកលេខពីរដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 96"

Diophantus ប្រកែកដូចខាងក្រោម: វាកើតឡើងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលលេខដែលចង់បានមិនស្មើគ្នាចាប់តាំងពីប្រសិនបើពួកគេស្មើគ្នានោះផលិតផលរបស់ពួកគេនឹងមិនមាន 96 ទេប៉ុន្តែ 100 ។ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងមានច្រើនជាងពាក់កណ្តាលរបស់ពួកគេ។ សរុប, ឧ.. 10+xមួយទៀតគឺតូចជាង, i.e. ១០ ស. ភាពខុសគ្នារវាងពួកគេ។ 2x .

ដូច្នេះសមីការ៖

(10 + x)(10 − x) = 96

100 − x 2 = 96

x 2 − 4 = 0 (1)

ពីទីនេះ x = ២. មួយក្នុងចំណោមលេខដែលចង់បានគឺ 12 , ផ្សេងទៀត 8 . ដំណោះស្រាយ x = −2សម្រាប់ Diophantus មិនមានទេ ព្រោះគណិតវិទ្យាក្រិកដឹងតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយបញ្ហានេះដោយជ្រើសរើសលេខណាមួយដែលចង់បានជាលេខដែលមិនស្គាល់ នោះយើងនឹងមករកដំណោះស្រាយនៃសមីការ។

y(20 - y) = 96,

y 2 − 20y + 96 = 0. (2)

វាច្បាស់ណាស់ថា Diophantus សម្រួលដំណោះស្រាយដោយជ្រើសរើសភាពខុសគ្នាពាក់កណ្តាលនៃលេខដែលចង់បានដូចជាមិនស្គាល់។ គាត់គ្រប់គ្រងដើម្បីកាត់បន្ថយបញ្ហាដើម្បីដោះស្រាយសមីការ quadratic មិនពេញលេញ (1) ។

1.3 សមីការ quadratic នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា

បញ្ហាសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងខិត្ដប័ណ្ណតារាសាស្ត្រ "Aryabhattam" ដែលចងក្រងក្នុងឆ្នាំ 499 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា និងតារាវិទូ Aryabhatta ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតឈ្មោះ Brahmagupta (សតវត្សទី 7) បានគូសបញ្ជាក់អំពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

អា 2+ ខ x = c, a > 0. (1)

នៅក្នុងសមីការ (1) មេគុណ លើកលែងតែ កក៏អាចជាអវិជ្ជមានផងដែរ។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយយើង។

នៅប្រទេសឥណ្ឌាបុរាណ ការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកគឺជារឿងធម្មតា។ នៅក្នុងសៀវភៅបុរាណឥណ្ឌាមួយ ខាងក្រោមនេះត្រូវបាននិយាយអំពីការប្រកួតប្រជែងបែបនេះ៖ «នៅពេលដែលព្រះអាទិត្យបញ្ចេញផ្កាយដោយភាពភ្លឺស្វាង នោះអ្នកចេះដឹងនឹងបញ្ចេញនូវសិរីរុងរឿងរបស់បុគ្គលម្នាក់ទៀតនៅក្នុងការប្រជុំសាធារណៈ ស្នើ និងដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត»។ ភារកិច្ចតែងតែស្លៀកពាក់បែបកំណាព្យ។

នេះគឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហារបស់គណិតវិទូឥណ្ឌាដ៏ល្បីល្បាញនៃសតវត្សទី XII ។ បាស្ការ៉ា។

កិច្ចការ ១៣.

“ហ្វូងស្វាដ៏ព្រឺព្រួច និងដប់ពីរនៅក្នុងវល្លិ…

ដោយបានស៊ីថាមពល, មានភាពសប្បាយរីករាយ។ ពួកគេចាប់ផ្តើមលោតព្យួរ ...

ផ្នែកទីប្រាំបី ក្នុងមួយការ៉េ តើមានស្វាប៉ុន្មានក្បាល?

មានភាពសប្បាយរីករាយនៅក្នុងវាលស្មៅ។ អ្នកប្រាប់ខ្ញុំនៅក្នុងហ្វូងនេះ?

ដំណោះស្រាយរបស់ Bhaskara បង្ហាញថាគាត់បានដឹងពីតម្លៃពីរនៃឫសនៃសមីការការ៉េ (រូបភាពទី 3) ។

សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហាទី១៣គឺ៖

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara សរសេរក្រោមរូបភាព៖

x 2 − 64x = −768

ហើយដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះទៅជាការ៉េ គាត់បន្ថែមទៅភាគីទាំងពីរ 32 2 ទទួលបានបន្ទាប់មក៖

x 2 − 64x + 32 2 = −768 + 1024,

(x − 32) 2 = 256,

x − 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48 ។

1.4 សមីការ quadratic ក្នុង al-Khorezmi

ក្បួនដោះស្រាយពិជគណិតរបស់ Al-Khorezmi ផ្តល់នូវចំណាត់ថ្នាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ អ្នកនិពន្ធរាយសមីការ ៦ ប្រភេទ ដោយបង្ហាញវាដូចខាងក្រោម៖

1) "ការេស្មើនឹងឫស", i.e. ax 2 + c = ខ X.

2) "ការេស្មើនឹងចំនួន", i.e. ax 2 = s ។

3) "ឫសគឺស្មើនឹងចំនួន", i.e. ah = s ។

4) "ការេនិងលេខស្មើនឹងឫស", i.e. ax 2 + c = ខ X.

5) "ការេនិងឫសគឺស្មើនឹងចំនួន", i.e. អា 2+ bx = ស.

6) "ឫសនិងលេខស្មើនឹងការេ", i.e. bx + គ \u003d ពូថៅ ២.

al-Khorezmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីដំណោះស្រាយសូន្យទេ ប្រហែលជាដោយសារតែវាមិនមានបញ្ហានៅក្នុងបញ្ហាជាក់ស្តែងជាក់លាក់នោះទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ al-Khorezmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្រ ដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់។

កិច្ចការ 14 ។"ការេនិងលេខ 21 គឺស្មើនឹង 10 ឫស។ ស្វែងរកឫស" (សន្មត់ថាឫសនៃសមីការ x 2 + 21 = 10x) ។

ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកនិពន្ធធ្វើបែបនេះ៖ ចែកចំនួនឫសជាពាក់កណ្ដាល អ្នកទទួលបាន ៥ គុណ ៥ ដោយខ្លួនឯង ដក ២១ ពីផលិតផល នៅសល់ ៤ យកឫស ៤ អ្នកទទួលបាន ២ ដក ២ ពី ៥ អ្នក ទទួលបាន 3 នេះនឹងក្លាយជាឫសដែលចង់បាន។ ឬបន្ថែម 2 ទៅ 5 ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យ 7 នេះក៏ជាឫសផងដែរ។

Treatise al - Khorezmi គឺជាសៀវភៅដំបូងដែលបានចុះមករកយើង ដែលក្នុងនោះការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានបញ្ជាក់ជាប្រព័ន្ធ ហើយរូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

1.5 សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុប XIII - XVII សតវត្ស

រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ quadratic លើគំរូ al - Khorezmi នៅអឺរ៉ុប ត្រូវបានដាក់ចេញជាលើកដំបូងនៅក្នុង "Book of the Abacus" ដែលសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Leonardo Fibonacci ។ ការងារដ៏អស្ចារ្យនេះ ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីឥទ្ធិពលនៃគណិតវិទ្យា ទាំងប្រទេសនៃសាសនាឥស្លាម និងក្រិកបុរាណ ត្រូវបានសម្គាល់ដោយភាពពេញលេញ និងភាពច្បាស់លាស់នៃការបង្ហាញ។ អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍ពិជគណិតថ្មីមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយជាអ្នកដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលចូលទៅជិតការណែនាំនៃលេខអវិជ្ជមាន។ សៀវភៅរបស់គាត់បានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ កិច្ចការជាច្រើនពី "សៀវភៅ Abacus" បានចូលទៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 16 - ទី 17 ។ និងមួយផ្នែក XVIII ។

ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

x 2+ bx = ជាមួយ,

សម្រាប់បន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញានៃមេគុណ ខ , ជាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទ្វីបអឺរ៉ុបតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1544 ដោយ M. Stiefel ។

Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelli ស្ថិតក្នុងចំណោមអ្នកដំបូងគេក្នុងសតវត្សទី 16 ។ យកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី XVII ប៉ុណ្ណោះ។ សូមអរគុណចំពោះការងាររបស់ Girard, Descartes, Newton និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងគឺមើលទៅទំនើប។

1.6 អំពីទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta

ទ្រឹស្តីបទបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងមេគុណនៃសមីការការ៉េ និងឫសរបស់វា ដែលមានឈ្មោះថា វីតា ត្រូវបានបង្កើតដោយគាត់ជាលើកដំបូងក្នុងឆ្នាំ ១៥៩១ ដូចតទៅ៖ “ប្រសិនបើ ខ + ឃគុណនឹង ក - ក 2 , ស្មើ BD, នោះ។ កស្មើ INនិងស្មើ ឃ ».

ដើម្បីយល់ពី Vieta មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែចងចាំវា។ កដូចជាស្រៈណាមួយ មានន័យថាសម្រាប់គាត់មិនស្គាល់ (របស់យើង។ X) ស្រៈ IN ឃ- មេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ នៅក្នុងភាសានៃពិជគណិតសម័យទំនើប រូបមន្តរបស់ Vieta ខាងលើមានន័យថា៖ ប្រសិនបើ

(ក + ខ ) x − x 2 = ab ,

x 2 − (a + ខ ) x + ក ខ = 0,

x 1 = a, x 2 = ខ .

ដោយបង្ហាញពីទំនាក់ទំនងរវាងឫស និងមេគុណនៃសមីការដោយរូបមន្តទូទៅដែលសរសេរដោយប្រើនិមិត្តសញ្ញា វៀតបានបង្កើតឯកសណ្ឋានក្នុងវិធីដោះស្រាយសមីការ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយនិមិត្តសញ្ញារបស់ Vieta នៅតែឆ្ងាយពីទម្រង់ទំនើបរបស់វា។ គាត់មិនទទួលស្គាល់លេខអវិជ្ជមានទេ ដូច្នេះហើយនៅពេលដោះស្រាយសមីការ គាត់បានពិចារណាតែករណីដែលឫសទាំងអស់វិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

2. វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េ

សមីការ quadratic គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដែលអគារដ៏អស្ចារ្យនៃពិជគណិតសម្រាក។ សមីការការ៉េត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងការដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត អសមហេតុផល និងវិសមភាពវិសាលភាព។ យើងទាំងអស់គ្នាដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការ quadratic ពីសាលា (ថ្នាក់ទី 8) រហូតដល់បញ្ចប់ការសិក្សា។

ក្រសួងអប់រំ និងវិទ្យាសាស្ត្រនៃសាធារណរដ្ឋតាតាស្តង់

ស្ថាប័នអប់រំថវិកាក្រុង

"អនុវិទ្យាល័យ Usad

ស្រុក Vysokogorsky នៃសាធារណរដ្ឋ Tatarstan

ការងារស្រាវជ្រាវ៖

"រឿង ការកើតឡើងការ៉េ សមីការ»

បញ្ចប់ដោយ Andreeva Ekaterina,

សិស្សថ្នាក់ 8B

ទីប្រឹក្សាវិទ្យាសាស្ត្រ៖

Pozharskaya Tatyana Leonidovna,

គ្រូបង្រៀនគណិតវិទ្យា

សេចក្តីផ្តើម

អ្នកណាចង់កំណត់ត្រឹមបច្ចុប្បន្ន

ដោយមិនដឹងពីអតីតកាល

គាត់នឹងមិនយល់ទេ។

G.V. លីបនីស

សមីការនៅក្នុងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យារបស់សាលាបានកាន់កាប់កន្លែងឈានមុខគេ ប៉ុន្តែគ្មានប្រភេទនៃសមីការណាមួយបានរកឃើញកម្មវិធីធំទូលាយដូចជាសមីការការ៉េ។

សមីការនៃដឺក្រេទីពីរ ឬសមីការបួនជ្រុង មនុស្សអាចដោះស្រាយបានសូម្បីតែនៅបាប៊ីឡូនបុរាណក្នុងសហវត្សទី 2 មុនគ.ស។ បញ្ហាដែលនាំទៅដល់សមីការ quadratic ត្រូវបានពិភាក្សានៅក្នុងសាត្រាស្លឹករឹត និងសៀវភៅគណិតវិទ្យាបុរាណជាច្រើន។ ហើយនាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ បញ្ហាជាច្រើននៃពិជគណិត ធរណីមាត្រ រូបវិទ្យា ក៏ត្រូវបានដោះស្រាយដោយប្រើសមីការ quadratic ផងដែរ។ ការដោះស្រាយពួកគេ មនុស្សស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរផ្សេងៗនៃវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា។

គោលដៅការសិក្សានេះ - ដើម្បីសិក្សាពីប្រវត្តិនៃការកើតឡើងនៃសមីការការ៉េ។

ដើម្បីសម្រេចបាននូវគោលដៅនេះ ចាំបាច់ត្រូវដោះស្រាយភារកិច្ចដូចខាងក្រោមៈ

សិក្សាអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រលើប្រធានបទ។
តាមដានប្រវត្តិនៃការកើតឡើងនៃសមីការបួនជ្រុង។

កម្មវត្ថុនៃការសិក្សា៖សមីការការ៉េ។

មុខវិជ្ជាសិក្សា៖ប្រវត្តិនៃការកើតឡើងនៃសមីការ quadratic ។

ភាពពាក់ព័ន្ធនៃប្រធានបទ :

មនុស្សបានដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងតាំងពីបុរាណកាលមក។ ខ្ញុំចង់ដឹងពីប្រវត្តិនៃប្រភពដើមនៃសមីការការ៉េ។
នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សារបស់សាលាមិនមានព័ត៌មានអំពីប្រវត្តិនៃការកើតឡើងនៃសមីការការ៉េទេ។

វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ៖

ធ្វើការជាមួយអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រអប់រំ និងពេញនិយម។
ការសង្កេត ការប្រៀបធៀប ការវិភាគ។

តម្លៃវិទ្យាសាស្ត្រនៃការងារ តាមគំនិតរបស់ខ្ញុំ ស្ថិតនៅក្នុងការពិតដែលថា សម្ភារៈនេះអាចជាចំណាប់អារម្មណ៍សម្រាប់សិស្សសាលាដែលចូលចិត្តគណិតវិទ្យា និងគ្រូបង្រៀននៅក្នុងថ្នាក់ជម្រើស។

សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ។

នៅបាប៊ីឡូនបុរាណ តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរ គឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់ដី និងការងារផែនដីនៃធម្មជាតិយោធា ក៏ដូចជាការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ។ និងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។

x 2 - x \u003d 14.5

ឧទាហរណ៍មួយយកមកពីគ្រាប់ដីឥដ្ឋមួយពីសម័យកាលនេះ។

"ផ្ទៃដីនៃផលបូកនៃការ៉េពីរគឺ 1000 ។ ផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េគឺផ្នែកម្ខាងនៃការ៉េផ្សេងទៀតដក 10 ។ តើជ្រុងនៃការ៉េមានអ្វីខ្លះ?"

នេះនាំឱ្យមានសមីការដែលដំណោះស្រាយកាត់បន្ថយទៅនឹងការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលមានឫសវិជ្ជមាន។

ជាការពិត ដំណោះស្រាយនៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform ត្រូវបានកំណត់ ដូចជានៅក្នុងបញ្ហាបូព៌ាទាំងអស់ ចំពោះការរាប់សាមញ្ញនៃជំហាននៃការគណនាដែលចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង៖

"ការ៉េ 10; នេះផ្តល់ឱ្យ 100; ដក 100 ពី 1000; នេះផ្តល់ឱ្យ 900"ល។

របៀបដែល Diophantus ចងក្រង និងដោះស្រាយសមីការ quadratic

Diophantus បង្ហាញពីការបកស្រាយដ៏លំបាកបំផុតមួយក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រវិទ្យាសាស្ត្រ។ គាត់គឺជាគណិតវិទូក្រិចបុរាណដ៏ចំណាស់បំផុតម្នាក់គឺ Diophantus of Alexandria ដែលស្នាដៃរបស់គាត់មានសារៈសំខាន់សម្រាប់ទ្រឹស្តីពិជគណិត និងលេខ។ រហូតមកដល់ពេលនេះ ទាំងឆ្នាំកំណើត និងថ្ងៃទទួលមរណភាពរបស់ Diophantus មិនត្រូវបានបញ្ជាក់ច្បាស់លាស់ឡើយ។ រយៈពេលដែល Diophantus អាចរស់នៅបានគឺពាក់កណ្តាលសហស្សវត្សរ៍! វាត្រូវបានគេជឿថាគាត់បានរស់នៅក្នុងសតវត្សទី 3 នៃគ។ ប៉ុន្តែកន្លែងរស់នៅរបស់ Diophantus ត្រូវបានគេស្គាល់យ៉ាងច្បាស់ - នេះគឺជាអាឡិចសាន់ឌ្រីដ៏ល្បីល្បាញដែលជាមជ្ឈមណ្ឌលនៃគំនិតវិទ្យាសាស្ត្រនៃពិភព Hellenistic ។

ក្នុងចំណោមស្នាដៃរបស់ Diophantus សំខាន់បំផុតគឺ Arithmetic ដែលក្នុងនោះសៀវភៅចំនួន 13 ក្បាលមានតែ 6 ក្បាលប៉ុណ្ណោះដែលបានរួចរស់ជីវិតរហូតមកដល់សព្វថ្ងៃនេះ។

នៅពេលចងក្រងសមីការ Diophantus ជ្រើសរើសយ៉ាងប៉ិនប្រសប់ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយ។

ជាឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាកិច្ចការមួយរបស់គាត់។

កិច្ចការ៖ "ស្វែងរកលេខពីរដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 96"

ដូច្នេះសមីការ៖

(10 + x)(10 − x) = 96

100 − x 2 = 96

x 2 − 4 = 0 (1)

y(20 - y) = 96,

y 2 − 20y + 96 = 0. (2)

សមីការ quadratic ពី Diophantus នព្វន្ធ៖

12x2+x=1
៦៣០x២ +៧៣x=៦។

សូម្បីតែនៅសម័យបុរាណ ប្រទេសឥណ្ឌាមានភាពល្បីល្បាញដោយសារចំណេះដឹងរបស់ខ្លួនក្នុងវិស័យតារាសាស្ត្រ វេយ្យាករណ៍ និងវិទ្យាសាស្ត្រផ្សេងៗទៀត។

អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាបានទទួលជោគជ័យដ៏អស្ចារ្យបំផុតនៅក្នុងវិស័យ គណិតវិទ្យា. ពួកគេគឺជាអ្នកបង្កើតនព្វន្ធ និងពិជគណិត ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ដែលពួកគេបានទៅឆ្ងាយជាងក្រិក។

បញ្ហាសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាតារាសាស្ត្រ "Aryabhattiam" ដែលបានចងក្រងនៅក្នុង 499 ។ Aryabhatta គណិតវិទូ និងតារាវិទូឥណ្ឌា។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតឈ្មោះ Brahmagupta (សតវត្សទី 7) បានគូសបញ្ជាក់អំពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការ quadratic ដែលកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖ ax 2 +bx=c, a>0 ។

ក្បួនរបស់ Brahmagupta សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយយើង។
នៅប្រទេសឥណ្ឌាបុរាណ ការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈគឺជារឿងធម្មតា
ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាក។ នៅក្នុងសៀវភៅបុរាណឥណ្ឌាមួយ ខាងក្រោមនេះត្រូវបាននិយាយអំពីការប្រកួតប្រជែងបែបនេះ៖ “ដូចជាព្រះអាទិត្យបញ្ចេញពន្លឺផ្កាយដោយភាពភ្លឺស្វាង ដូច្នេះ អ្នកដែលចេះដឹងនឹងបញ្ចេញសិរីរុងរឿងរបស់អ្នកដទៃនៅក្នុងកិច្ចប្រជុំសាធារណៈ ស្នើ និងដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត”។

ភារកិច្ចតែងតែស្លៀកពាក់បែបកំណាព្យ។
នេះគឺជាបញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហារបស់គណិតវិទូឥណ្ឌាដ៏ល្បីល្បាញនៃសតវត្សទី XII ។ បាស្ការ៉ា៖

« ហ្វូងស្វាដ៏ស្រើបស្រាល,

ញ៉ាំបានល្អ សប្បាយ។

ផ្នែកទីប្រាំបីនៃពួកគេគឺការ៉េ

មានភាពសប្បាយរីករាយនៅក្នុងវាលស្មៅ។

ហើយដប់ពីរនៅក្នុងវល្លិ ...

ពួកគេចាប់ផ្តើមលោតព្យួរ ...

តើមានសត្វស្វាប៉ុន្មានក្បាល

អ្នកប្រាប់ខ្ញុំនៅក្នុងហ្វូងនេះ?

ដំណោះស្រាយរបស់ Bhaskara បង្ហាញថាគាត់បានដឹងពីតម្លៃពីរនៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហា

Bhaskara សរសេរជា x 2 - 64x \u003d -768 ហើយដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះទៅជាការ៉េ បន្ថែម 32 2 ទៅផ្នែកទាំងពីរ បន្ទាប់មកទទួលបាន៖

x 2 -64x + 32 2 \u003d -768 + 1024,

x 1 = 16, x 2 = 48 ។

សមីការបួនជ្រុងនៅប្រទេសចិន (សហវត្សទី ១ មុនគ.ស) ។

បូជនីយដ្ឋានសរសេរអក្សរចិនដំបូងបង្អស់ដែលបានចុះមកយើងមានកាលពីសម័យ Shang (XVIII-XII សតវត្សមុនគ.ស)។ ហើយរួចទៅហើយនៅលើឆ្អឹងទាយនៃសតវត្សទី XIV ។ BC e. បានរកឃើញនៅហឺណាន សញ្ញាណនៃលេខត្រូវបានរក្សាទុក។ ប៉ុន្តែការចេញផ្កាពិតនៃវិទ្យាសាស្ត្របានចាប់ផ្តើមបន្ទាប់ពីនៅក្នុងសតវត្សទី XII ។ BC អ៊ី ប្រទេសចិនត្រូវបានសញ្ជ័យដោយពួកត្រកូល Zhou ។ ក្នុងកំឡុងឆ្នាំទាំងនេះ គណិតវិទ្យា និងតារាសាស្ត្រចិនបានក្រោកឡើង ហើយឈានដល់កម្ពស់ដ៏អស្ចារ្យ។ ប្រតិទិនត្រឹមត្រូវ និងសៀវភៅសិក្សាគណិតវិទ្យាដំបូងបានបង្ហាញខ្លួន។ ជាអកុសល "ការសម្លាប់ចោលសៀវភៅ" ដោយអធិរាជ Qin Shi Huang (Shi Huangdi) មិនអនុញ្ញាតឱ្យសៀវភៅដំបូងៗមកដល់យើងទេ ប៉ុន្តែពួកគេទំនងជាបានបង្កើតមូលដ្ឋាននៃស្នាដៃជាបន្តបន្ទាប់។

"គណិតវិទ្យាក្នុងសៀវភៅប្រាំបួន" គឺជាស្នាដៃគណិតវិទ្យាដំបូងគេពីស្នាដៃបុរាណមួយចំនួននៅក្នុងប្រទេសចិនបុរាណ ដែលជាវិមានដ៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់របស់ប្រទេសចិនបុរាណក្នុងកំឡុងដើមរាជវង្សហាន (206 មុនគ.ស - 7 គ.ស.)។ អត្ថបទនេះមានសម្ភារៈគណិតវិទ្យាចម្រុះ និងសម្បូរបែប រួមទាំងសមីការបួនជ្រុង។

កិច្ចការចិន៖ "មានអាងស្តុកទឹកមួយចំហៀង 10 ជី។ នៅចំកណ្តាលរបស់វាដុះដើមត្រែងដែលដុះពីលើទឹកសម្រាប់ 1 ជី។ ប្រសិនបើអ្នកទាញដើមត្រែងទៅច្រាំង នោះវានឹងគ្រាន់តែប៉ះវា។ សំណួរសួរថា តើជម្រៅទឹកប៉ុន្មាន ហើយប្រវែងដើមត្រែងប៉ុន្មាន?

(x + 1) 2 \u003d x 2 +5 2,

x 2 + 2x + 1 \u003d x 2 +25,

ចម្លើយ៖ ១២ ជី; ១៣ ម៉ោង។

សមីការបួនជ្រុងរបស់ Al-Khwarizmi

"ខ្ញុំបានចងក្រងសៀវភៅខ្លីមួយស្តីពីការគណនាពិជគណិត និង almukabala ដែលមានសំណួរសាមញ្ញ និងស្មុគស្មាញនៃនព្វន្ធ ព្រោះវាចាំបាច់សម្រាប់មនុស្ស។" Al-Khwarizmi Muhammad bin Musa ។

Al-Khwarizmi (Uzbekistan) ត្រូវបានគេស្គាល់ថាល្អបំផុតសម្រាប់ "សៀវភៅនៃការបំពេញបន្ថែមនិងភាពផ្ទុយគ្នា" ("Al-kitab al mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala") ដែលមកពីឈ្មោះដែលពាក្យ "ពិជគណិត" មកពី។ . សន្ធិសញ្ញានេះគឺជាសៀវភៅដំបូងដែលបានចុះមករកយើង ដែលការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានបង្ហាញជាប្រព័ន្ធ ហើយរូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

នៅក្នុងផ្នែកទ្រឹស្តីនៃសន្ធិសញ្ញារបស់គាត់ al-Khwarizmi ផ្តល់ចំណាត់ថ្នាក់នៃសមីការនៃសញ្ញាបត្រទី 1 និងទី 2 ហើយកំណត់អត្តសញ្ញាណប្រាំមួយប្រភេទរបស់ពួកគេ:

1) "ការេស្មើនឹងឫស" ពោលគឺ ax 2 = bx ។ (ឧទាហរណ៍ :)

2) "ការេស្មើនឹងលេខ" ឧ. ax 2 \u003d s. (ឧទាហរណ៍៖)

3) "ឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ ax \u003d គ។ (ឧទាហរណ៍ :)

4) "ការេនិងលេខស្មើនឹងឫស" ពោលគឺ ax 2 + c = bx ។ (ឧទាហរណ៍ :)

5) "ការេនិងឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ ax 2 + bx \u003d គ។

6) "ឫស និងលេខស្មើនឹងការេ" ពោលគឺ bx + c == ax 2 ។ (ឧទាហរណ៍ :)

សម្រាប់ al-Khwarizmi ដែលចៀសវាងការប្រើលេខអវិជ្ជមាន ពាក្យនៃសមីការនីមួយៗទាំងនេះគឺបូក មិនមែនដកទេ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាវិជ្ជមាន ច្បាស់ជាមិនត្រូវបានយកមកពិចារណាទេ។ អ្នកនិពន្ធរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ al-jabr និង al-muqabala ។ ជាការពិតណាស់ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់មិនស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយយើងទេ។ មិនមែននិយាយអំពីការពិតដែលថាវាជាវោហាសាស្ត្រសុទ្ធសាធទេ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងមិនពេញលេញនៃប្រភេទទីមួយ al-Khwarizmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីលេខសូន្យទេ។ ដំណោះស្រាយ ប្រហែលជាដោយសារតែនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងជាក់លាក់ វាមិនមានបញ្ហាទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ al-Khwarizmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្ររបស់ពួកគេ។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។

"ការេនិងលេខ 21 គឺស្មើនឹង 10 ឫស។ ស្វែងរកឫស"(សន្មត់ថាឫសនៃសមីការ x 2 + 21 = 10x) ។

ដំណោះស្រាយរបស់អ្នកនិពន្ធអានអ្វីមួយដូចនេះ៖ “ចែកចំនួនឫសជាពាក់កណ្តាល អ្នកទទួលបាន ៥ គុណ ៥ ដោយខ្លួនវា ដក ២១ ចេញពីផលិតផល នៅសល់ ៤ យកឫស ៤ អ្នកទទួលបាន ២ ដក ២ ពី ៥ ។ អ្នកទទួលបាន 3 វានឹងក្លាយជាឫសដែលចង់បាន។ ឬបន្ថែម 2 ទៅ 5 ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យ 7 នេះក៏ជាឫសផងដែរ។

សមីការដ៏ល្បីល្បាញរបស់ Al-Khwarizmi៖ "ការេមួយនិងឫសដប់ស្មើនឹង 39 ។" x 2 + 10x= 39 (សតវត្សទី IX) ។ នៅក្នុងសន្ធិសញ្ញារបស់គាត់ គាត់បានសរសេរថា “ច្បាប់គឺនេះ៖ ប្រសិនបើអ្នកបង្កើនចំនួនឫសទ្វេដង អ្នកនឹងទទួលបានប្រាំក្នុងបញ្ហានេះ។ បន្ថែមថាទៅសាមសិបប្រាំបួន វាជាហុកសិបបួន។ យកឫសពីនេះ នឹងមានប្រាំបី ហើយដកពីពាក់កណ្តាលនៃចំនួនឫសនេះ ពោលគឺឧ។ ប្រាំនឹងមានបី: នេះនឹងជាឫសនៃការ៉េដែលអ្នកកំពុងស្វែងរក "

សមីការ quadratic នៅអឺរ៉ុប XII-XVII សតវត្ស។

ទម្រង់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងលើគំរូនៃ Al-Khwarizmi នៅអឺរ៉ុបត្រូវបានពិពណ៌នាជាលើកដំបូងនៅក្នុង "សៀវភៅ Abacus" ដែលបានសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Leonard Fibonacci ។ អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍ពិជគណិតថ្មីមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយជាអ្នកដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលចូលទៅជិតការណែនាំនៃលេខអវិជ្ជមាន។

សៀវភៅនេះបានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ កិច្ចការជាច្រើនពីសៀវភៅនេះត្រូវបានផ្ទេរទៅសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 14-17 ។ ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ x 2 + bx \u003d c ជាមួយនឹងបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញា និងមេគុណ b, c ត្រូវបានបង្កើតនៅអឺរ៉ុបក្នុងឆ្នាំ 1544 ដោយ M. Stiefel ។

Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelli ស្ថិតក្នុងចំណោមអ្នកដំបូងគេក្នុងសតវត្សទី 16 ។ យកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី XVII ប៉ុណ្ណោះ។ អរគុណចំពោះស្នាដៃរបស់ Girard, Descartes, Newton និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងគឺមើលទៅទំនើប។

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន។

សមីការ quadratic គឺជាមូលដ្ឋានគ្រឹះដែលអគារដ៏អស្ចារ្យនៃពិជគណិតសម្រាក។ សមីការផ្សេងៗ ទាំងការ៉េ និងសមីការនៃដឺក្រេខ្ពស់ជាង ត្រូវបានដោះស្រាយដោយបុព្វបុរសឆ្ងាយរបស់យើង។ សមីការទាំងនេះត្រូវបានដោះស្រាយនៅក្នុងប្រទេសផ្សេងគ្នា និងដាច់ស្រយាលបំផុតពីប្រទេសនីមួយៗ។ តម្រូវការសម្រាប់សមីការគឺអស្ចារ្យណាស់។ សមីការត្រូវបានគេប្រើក្នុងវិស័យសំណង់ ក្នុងកិច្ចការយោធា និងក្នុងស្ថានភាពប្រចាំថ្ងៃ។

សព្វថ្ងៃនេះ សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការ quadratic គឺចាំបាច់សម្រាប់មនុស្សគ្រប់គ្នា។ សមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការ quadratic យ៉ាងឆាប់រហ័ស សនិទានភាព និងត្រឹមត្រូវ ជួយសម្រួលដល់ការឆ្លងកាត់ប្រធានបទជាច្រើននៃវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យា។ សមីការ quadratic ត្រូវបានដោះស្រាយមិនត្រឹមតែនៅក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យាប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងមេរៀនរូបវិទ្យា គីមីវិទ្យា និងមេរៀនវិទ្យាសាស្ត្រកុំព្យូទ័រផងដែរ។ បញ្ហាជាក់ស្តែងភាគច្រើននៅក្នុងពិភពពិតក៏មកដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែរ។

អក្សរសាស្ត្រ

Bashmakova I.G. សមីការ Diophantine និង Diophantine ។ ទីក្រុងមូស្គូ៖ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧២។
Berezkina E.I. គណិតវិទ្យានៃប្រទេសចិនបុរាណ - M.: Nauka, 1980
Pichurin L.F. នៅខាងក្រោយទំព័រនៃសៀវភៅសិក្សាពិជគណិតៈ សៀវភៅ។ សម្រាប់សិស្ស

7-9 កោសិកា។ មធ្យមសិក្សា - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ ១៩៩០

Glazer G. I. ប្រវត្តិគណិតវិទ្យានៅសាលា VII - VIII ។ ការណែនាំសម្រាប់គ្រូ។ - អិមៈ ការត្រាស់ដឹង ឆ្នាំ១៩៨២។

សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរ សូម្បីតែនៅសម័យបុរាណត្រូវបានបង្កឡើងដោយតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់ដី និងដីនៃលក្ខណៈយោធា ក៏ដូចជា ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ ជនជាតិបាប៊ីឡូនបានដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងប្រហែល 2000 ឆ្នាំមុនជំនឿរបស់យើង។ ដោយប្រើសញ្ញាសម្គាល់ពិជគណិតទំនើប យើងអាចនិយាយបានថានៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform របស់ពួកគេមាន បន្ថែមពីលើការមិនពេញលេញ ដូចជាឧទាហរណ៍ សមីការបួនជ្រុងពេញលេញ៖ ច្បាប់។ អត្ថបទ Cuneiform ស្ទើរតែទាំងអស់ដែលបានរកឃើញរហូតមកដល់ពេលនេះផ្តល់តែបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលមានចែងក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនបង្ហាញពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញនោះទេ។ ទោះបីជាមានកម្រិតខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍នៃពិជគណិតនៅបាប៊ីឡូនក៏ដោយ ក៏គំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េគឺអវត្តមាននៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform ។

របៀបដែល Diophantus ចងក្រងនិងដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង "រកលេខពីរដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលិតផលគឺ 96" Diophantus ប្រកែកដូចខាងក្រោម: វាធ្វើតាមលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលលេខដែលចង់បានមិនស្មើគ្នាពីព្រោះ ប្រសិនបើពួកគេស្មើគ្នា នោះផលិតផលរបស់ពួកគេនឹងមិនមាន 96 ទេប៉ុន្តែ 100 ។ ដូច្នេះ មួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងមានច្រើនជាងពាក់កណ្តាលនៃផលបូករបស់ពួកគេ ពោលគឺឧ។ 10+X, មួយទៀតគឺតូចជាង, i.e. 10-X ។ ភាពខុសគ្នារវាងពួកវាគឺ 2X ដូច្នេះ X = 2 ។ មួយក្នុងចំនោមលេខដែលចង់បានគឺ 12 ហើយមួយទៀតគឺ 8។ ដំណោះស្រាយ X = -2 សម្រាប់ Diophantus មិនមានទេ ព្រោះគណិតវិទ្យាក្រិកស្គាល់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ សមីការ៖ ឬផ្សេងទៀត៖

សមីការ quadratic នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា បញ្ហាលើសមីការ quadratic ត្រូវបានរកឃើញផងដែរនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាតារាសាស្ត្រ "Aryabhattam" ដែលបានចងក្រងនៅក្នុង 499 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា និងតារាវិទូ Aryabhatta ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតគឺ Brahmagupta បានគូសបញ្ជាក់អំពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖ ax ² + bx = c, a> 0 ផ្នែកទីប្រាំបីនៃពួកគេនៅក្នុងការ៉េដែលខ្ញុំរីករាយក្នុងការឈូសឆាយ។ ហើយដប់ពីរនាក់នៅតាមលីយ៉ាណា... ពួកគេចាប់ផ្ដើមលោតព្យួរ... តើមានស្វាប៉ុន្មានក្បាលដែលអ្នកប្រាប់ខ្ញុំក្នុងហ្វូងនេះ? សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហា៖ Baskara សរសេរក្រោមរូបភាព៖ បំពេញផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាការ៉េ។ 0 បញ្ហាមួយរបស់គណិតវិទូឥណ្ឌាដ៏ល្បីល្បាញនៃសតវត្សទី 12 Bhaskara ហ្វូងសត្វស្វាដែលស្រៀវស្រើប បន្ទាប់ពីបរិភោគដល់បេះដូងរបស់ពួកគេ ពួកគេមានភាពសប្បាយរីករាយ។ ផ្នែកទីប្រាំបីនៃពួកគេនៅក្នុងការ៉េដែលខ្ញុំរីករាយក្នុងការឈូសឆាយ។ ហើយដប់ពីរនាក់នៅតាមលីយ៉ាណា... ពួកគេចាប់ផ្ដើមលោតព្យួរ... តើមានស្វាប៉ុន្មានក្បាលដែលអ្នកប្រាប់ខ្ញុំក្នុងហ្វូងនេះ? សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហា៖ Baskara សរសេរក្រោមរូបភាព៖ បន្ថែមផ្នែកខាងឆ្វេងទៅជាការ៉េ ">

សមីការ quadratic នៅអាស៊ីបុរាណ នេះជារបៀបដែលអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រអាស៊ីកណ្តាល al-Khwarizmi ដោះស្រាយសមីការនេះ៖ គាត់បានសរសេរថា “ក្បួនគឺនេះ៖ ចំនួនឫសទ្វេដង x = 2x 5 ទទួលបានប្រាំក្នុងបញ្ហានេះ គុណនឹង 5 នេះ ទៅវា វានឹងជាម្ភៃប្រាំ 5 5=25 បន្ថែមនេះទៅសាមសិបប្រាំបួន វានឹងជាហុកសិបបួន 64 យកឫសនៃនេះ វានឹងក្លាយជាប្រាំបី 8 ហើយដកពីពាក់កណ្តាលនៃចំនួនឫសនេះ ឧ។ ប្រាំ, 8-5 នឹងនៅតែមាន 3 នេះនឹងជាឫសនៃការ៉េដែលអ្នកបានស្វែងរក។ ចុះឫសទីពីរវិញ? ឫសទីពីរមិនត្រូវបានរកឃើញទេ ព្រោះលេខអវិជ្ជមានមិនត្រូវបានគេដឹង។ x x = 39

សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុបសតវត្សទី XIII-XVII ។ ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ x2 + in + c = 0 ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទ្វីបអឺរ៉ុបតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1544 ដោយ Stiefel ។ រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការការ៉េនៅអឺរ៉ុបត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលើកដំបូងនៅក្នុងឆ្នាំ 1202 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Leonard Fibonacci ។ Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី 17 ប៉ុណ្ណោះ។ អរគុណចំពោះស្នាដៃរបស់ Descartes ញូវតុន និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវប្រើទម្រង់ទំនើប។

អំពីទ្រឹស្តីបទ Vieta ស្មើនឹង D. ដើម្បីយល់ Vieta វាគួរតែត្រូវបានចងចាំថា A ដូចជាស្រៈណាមួយមានន័យថាមិនស្គាល់ (x របស់យើង) ខណៈពេលដែលស្រៈ B, D គឺជាមេគុណសម្រាប់មិនស្គាល់។ នៅក្នុងភាសានៃពិជគណិតសម័យទំនើប រូបមន្តខាងលើនៃ Vieta មានន័យថា៖ ប្រសិនបើសមីការការ៉េ x 2 +px + q \u003d 0 មានឫសពិត នោះផលបូករបស់វាស្មើនឹង -p ហើយផលិតផលស្មើនឹង q នោះ គឺ x 1 + x 2 \u003d -p, x 1 x 2 = q (ផលបូកនៃឫសនៃសមីការការ៉េដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺស្មើនឹងមេគុណទីពីរ យកដោយសញ្ញាផ្ទុយ ហើយផលគុណនៃឫសគឺស្មើគ្នា។ ទៅរយៈពេលឥតគិតថ្លៃ) ។

វិធីសាស្រ្តហ្វាក់ទ័រគឺនាំយកសមីការការ៉េទូទៅទៅជាទម្រង់៖ A(x) · B(x)=0 ដែល A(x) និង B(x) ជាពហុនាមទាក់ទងនឹង x ។ គោលបំណង៖ យកកត្តារួមចេញពីតង្កៀប; ការប្រើប្រាស់រូបមន្តគុណអក្សរកាត់; វិធីសាស្រ្តនៃក្រុម។ វិធី៖ ឧទាហរណ៍៖

ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖ ប្រសិនបើ D > 0 ប្រសិនបើ D 0, ប្រសិនបើ D"> 0, ប្រសិនបើ D"> 0, ប្រសិនបើ D" title=" ឫសបួនជ្រុង៖ ប្រសិនបើ D> 0, ប្រសិនបើ D"> title="ឫសគល់នៃសមីការការ៉េ៖ ប្រសិនបើ D > 0 ប្រសិនបើ D"> !}

X 1 និង x 2 គឺជាឫសគល់នៃសមីការ ការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Vieta X 2 + 3X - 10 \u003d 0 X 1 X 2 \u003d - 10 ដែលមានន័យថាឫសមានសញ្ញាផ្សេងគ្នា X 1 + X 2 \u003d - 3 ដែលមានន័យថាឫសធំជាងនៅក្នុងតម្លៃដាច់ខាត - អវិជ្ជមាន តាមការជ្រើសរើសយើងរកឃើញឫស: X 1 \u003d - 5, X 2 \u003d 2 ឧទាហរណ៍៖

0 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងទទួលបានឫស: 5; 6 បន្ទាប់មកយើងត្រលប់ទៅឫសនៃសមីការដើម: 2.5; 3. ចម្លើយ: 2.5; 3. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ "title=" ដោះស្រាយសមីការ: 2x 2 - 11x +15 = 0. ផ្ទេរមេគុណ 2 ទៅពាក្យទំនេរ y 2 - 11y +30 = 0. D>0 យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទ ទ្រឹស្ដីបញ្ច្រាសរបស់ Vieta យើងទទួលបានឫស៖ ៥;៦ បន្ទាប់មកយើងត្រឡប់ទៅឫសនៃសមីការដើម៖ ២.៥; ៣.ចម្លើយ៖ ២.៥; ៣.ដំណោះស្រាយនៃសមីការ" class="link_thumb"> 14 !}ដោះស្រាយសមីការ៖ 2x x +15 \u003d 0. ផ្ទេរមេគុណ 2 ទៅពាក្យឥតគិតថ្លៃ y y +30 \u003d 0. D\u003e 0 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ ការបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងទទួលបានឫស៖ 5 ; ៦ បន្ទាប់មកយើងត្រឡប់ទៅឫសនៃសមីការដើមវិញ៖ ២, ៥; 3. ចម្លើយ: 2.5; 3. ដំណោះស្រាយនៃសមីការដោយវិធីសាស្រ្ត "ផ្ទេរ" 0 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងទទួលបានឫស: 5; 6 បន្ទាប់មកយើងត្រលប់ទៅឫសនៃសមីការដើម: 2.5; 3. ចម្លើយ: 2.5; 3. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ "\u003e 0 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ ការបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta យើងទទួលបានឫស៖ 5; 6 បន្ទាប់មកយើងត្រឡប់ទៅឫសនៃសមីការដើមវិញ៖ 2.5; 3. ចម្លើយ៖ 2.5 3. ការដោះស្រាយសមីការដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ "ផ្ទេរ" > 0 យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទសន្ទនាទៅទ្រឹស្តីបទ Vieta យើងទទួលបានឫស៖ 5;6 បន្ទាប់មកយើងត្រឡប់ទៅឫសនៃសមីការដើមវិញ៖ 2.5; 3. ចម្លើយ: 2.5; 3. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ "title=" ដោះស្រាយសមីការ: 2x 2 - 11x +15 = 0. ផ្ទេរមេគុណ 2 ទៅពាក្យទំនេរ y 2 - 11y +30 = 0. D>0 យោងទៅតាម ទ្រឹស្តីបទ ទ្រឹស្ដីបញ្ច្រាសរបស់ Vieta យើងទទួលបានឫស៖ ៥;៦ បន្ទាប់មកយើងត្រឡប់ទៅឫសនៃសមីការដើម៖ ២.៥; ៣.ចម្លើយ៖ ២.៥; ៣.ដំណោះស្រាយនៃសមីការ"> title="ដោះស្រាយសមីការ៖ 2x 2 - 11x +15 \u003d 0. ចូរយើងផ្ទេរមេគុណ 2 ទៅពាក្យទំនេរ y 2 - 11y +30 \u003d 0. D> 0 យោងតាមទ្រឹស្តីបទ ការបញ្ច្រាសនៃទ្រឹស្តីបទ Vieta យើង ទទួលបានឫស៖ ៥; ៦ បន្ទាប់មកយើងត្រឡប់ទៅឫសនៃសមីការដើម៖ ២.៥; 3. ចម្លើយ: 2.5; 3. ដំណោះស្រាយនៃសមីការ"> !}

ប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ a + b + c \u003d 0 នោះឫសមួយគឺស្មើនឹង 1 ហើយទីពីរយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta គឺស្មើនឹងទីពីរយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Vieta គឺប្រសិនបើនៅក្នុងសមីការការ៉េ a + c \u003d b បន្ទាប់មកឫសមួយគឺស្មើនឹង (-1) ហើយទីពីរយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទរបស់ Vieta គឺស្មើនឹងឧទាហរណ៍៖ លក្ខណសម្បត្តិនៃមេគុណនៃសមីការការ៉េ 137x x - 157 = 0. a = 137 , b = 20, c = a + b + c = − 157 = 0 ។ x 1 = 1, ចម្លើយ៖ 1; 137x x − 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b + c = − 157 = 0 ។ x 1 = 1, ចម្លើយ៖ 1;

វិធីក្រាហ្វិកដើម្បីដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយមិនប្រើរូបមន្ត សមីការការ៉េអាចត្រូវបានដោះស្រាយជាក្រាហ្វិក។ ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ ដើម្បីធ្វើវា យើងនឹងបង្កើតក្រាហ្វពីរ៖ X Y X 01 Y012 ចម្លើយ៖ អរូបីនៃចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វ ហើយនឹងជាឫសគល់នៃសមីការ។ ប្រសិនបើក្រាហ្វប្រសព្វគ្នានៅចំនុចពីរ នោះសមីការមានឫសពីរ។ ប្រសិនបើក្រាហ្វប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ នោះសមីការមានឫសតែមួយ។ ប្រសិនបើក្រាហ្វមិនប្រសព្វគ្នា នោះសមីការមិនមានឫសគល់ទេ។ 1) y = x2 2) y = x + 1

ការដោះស្រាយសមីការ quadratic ដោយប្រើ nomogram នេះជាវិធីចាស់ និងមិនអាចបំភ្លេចបានក្នុងការដោះស្រាយសមីការការ៉េ ដែលបានដាក់នៅលើទំព័រ 83 "តារាងគណិតវិទ្យាដែលមានតម្លៃបួន" Bradis V.M. តារាង XXII ។ Nomogram សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការ នាមនេះអនុញ្ញាតឱ្យ ដោយមិនដោះស្រាយសមីការការ៉េ ដើម្បីកំណត់ឫសនៃសមីការដោយមេគុណរបស់វា។ សម្រាប់សមីការ nomogram ផ្តល់ឫស

វិធីធរណីមាត្រនៃការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង នៅសម័យបុរាណ នៅពេលដែលធរណីមាត្រត្រូវបានអភិវឌ្ឍជាងពិជគណិត សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានដោះស្រាយមិនមែនជាពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែតាមធរណីមាត្រ។ ហើយនៅទីនេះ ជាឧទាហរណ៍ របៀបដែលក្រិកបុរាណបានដោះស្រាយសមីការ៖ ឬកន្សោម និងធរណីមាត្រផ្តល់ការ៉េដូចគ្នា ហើយសមីការដើមគឺជាសមីការដូចគ្នា។ តើយើងទទួលបានអ្វី ឬ

សេចក្តីសន្និដ្ឋាន វិធីសាស្រ្តនៃការសម្រេចចិត្តទាំងនេះសមនឹងទទួលបានការយកចិត្តទុកដាក់ ព្រោះវាមិនត្រូវបានឆ្លុះបញ្ចាំងទាំងអស់នៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលានោះទេ។ ជំនាញបច្ចេកទេសទាំងនេះនឹងជួយសិស្សសន្សំពេលវេលា និងដោះស្រាយសមីការប្រកបដោយប្រសិទ្ធភាព។ តម្រូវការសម្រាប់ដំណោះស្រាយរហ័សគឺដោយសារតែការប្រើប្រាស់ប្រព័ន្ធសាកល្បងនៃការប្រឡងចូល;

ការណែនាំ

សមីការនៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃសាលាពិជគណិតកាន់កាប់កន្លែងឈានមុខគេ។ ពេលវេលាច្រើនត្រូវបានលះបង់សម្រាប់ការសិក្សារបស់ពួកគេជាជាងប្រធានបទផ្សេងទៀតនៃវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យារបស់សាលា។ ភាពខ្លាំងនៃទ្រឹស្ដីសមីការគឺថា វាមិនត្រឹមតែមានសារៈសំខាន់ខាងទ្រឹស្ដីសម្រាប់ចំណេះដឹងនៃច្បាប់ធម្មជាតិប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែវាក៏បម្រើគោលបំណងជាក់ស្តែងជាក់លាក់ផងដែរ។ បញ្ហាភាគច្រើនអំពីទម្រង់លំហ និងទំនាក់ទំនងបរិមាណនៃពិភពពិតមកដោះស្រាយសមីការប្រភេទផ្សេងៗ។ តាមរយៈការធ្វើជាម្ចាស់នៃវិធីដោះស្រាយពួកគេ មនុស្សស្វែងរកចម្លើយចំពោះសំណួរផ្សេងៗពីវិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា (ដឹកជញ្ជូន កសិកម្ម ឧស្សាហកម្ម ទំនាក់ទំនង។ល។)។ ដូចគ្នានេះផងដែរសម្រាប់ការបង្កើតសមត្ថភាពក្នុងការដោះស្រាយសមីការ ការងារឯករាជ្យរបស់សិស្សក្នុងការរៀនដោះស្រាយសមីការគឺមានសារៈសំខាន់ណាស់។ នៅពេលសិក្សាប្រធានបទណាមួយ សមីការអាចត្រូវបានប្រើជាមធ្យោបាយដ៏មានប្រសិទ្ធភាពនៃការបង្រួបបង្រួម ស៊ីជម្រៅ ធ្វើម្តងទៀត និងពង្រីកចំណេះដឹងទ្រឹស្តី សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍសកម្មភាពគណិតវិទ្យាប្រកបដោយភាពច្នៃប្រឌិតរបស់សិស្ស។

នៅក្នុងពិភពសម័យទំនើប សមីការត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងផ្នែកផ្សេងៗនៃគណិតវិទ្យា ក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាអនុវត្តសំខាន់ៗ។ ប្រធានបទនេះត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយជម្រៅនៃការបង្ហាញដ៏អស្ចារ្យ និងភាពសម្បូរបែបនៃការតភ្ជាប់ដែលបានបង្កើតឡើងដោយមានជំនួយក្នុងការរៀនសូត្រ សុពលភាពឡូជីខលនៃបទបង្ហាញ។ ដូច្នេះ វាកាន់កាប់ទីតាំងពិសេសមួយនៅក្នុងបន្ទាត់នៃសមីការ។ សិស្សចាប់ផ្តើមសិក្សាលើប្រធានបទ "ត្រីកោណមាត្រការ៉េ" ដោយបានប្រមូលនូវបទពិសោធន៍មួយចំនួនរួចហើយ ជាម្ចាស់ភាគហ៊ុនធំល្មមនៃគំនិត គំនិត និងជំនាញគណិតវិទ្យាទូទៅ។ ក្នុងកម្រិតធំ វាស្ថិតនៅលើសម្ភារៈនៃប្រធានបទនេះ ដែលវាចាំបាច់ក្នុងការសំយោគសម្ភារៈដែលទាក់ទងនឹងសមីការ ដើម្បីអនុវត្តគោលការណ៍នៃប្រវត្តិសាស្រ្ត និងមធ្យោបាយងាយស្រួល។

ភាពពាក់ព័ន្ធប្រធានបទគឺតម្រូវការក្នុងការអនុវត្តគោលការណ៍ប្រវត្តិសាស្ត្រនិងកង្វះសម្ភារៈសម្រាប់ការអនុវត្តនេះលើប្រធានបទ "ដំណោះស្រាយសមីការការ៉េ"។

បញ្ហាស្រាវជ្រាវ៖ កំណត់អត្តសញ្ញាណសម្ភារៈប្រវត្តិសាស្ត្រសម្រាប់រៀនដោះស្រាយសមីការការ៉េ។

គោលដៅនៃការងារ: ការបង្កើតគំនិតអំពីការធ្វើការងារលើសមីការបួនជ្រុងក្នុងមេរៀនគណិតវិទ្យា ការជ្រើសរើសសំណុំមេរៀនដែលមានធាតុផ្សំនៃប្រវត្តិសាស្ត្រលើប្រធានបទ "សមីការបួនជ្រុង"។

វត្ថុនៃការសិក្សា៖ ការដោះស្រាយសមីការការ៉េនៅថ្នាក់ទី ៨ ដោយប្រើធាតុផ្សំនៃប្រវត្តិសាស្ត្រ។

ប្រធានបទនៃការសិក្សា៖ សមីការការ៉េ និងការអភិវឌ្ឍមេរៀនលើការរៀនដោះស្រាយសមីការការ៉េដោយប្រើឯកសារប្រវត្តិសាស្ត្រ។

ភារកិច្ច:

ធ្វើការវិភាគនៃអក្សរសិល្ប៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងវិធីសាស្រ្តលើបញ្ហាស្រាវជ្រាវ។

វិភាគសៀវភៅសិក្សារបស់សាលា និងបន្លិចនៅក្នុងកន្លែងរៀនដើម្បីដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។

ជ្រើសរើសមេរៀនមួយស្តីពីការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដោយប្រើសម្ភារៈប្រវត្តិសាស្ត្រ។

វិធីសាស្រ្តស្រាវជ្រាវ:

ការវិភាគអក្សរសិល្ប៍លើប្រធានបទ "ដំណោះស្រាយនៃសមីការការ៉េ";

ការសង្កេតរបស់សិស្សក្នុងអំឡុងពេលមេរៀនលើប្រធានបទ "ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ";

ការជ្រើសរើសសម្ភារៈ៖ មេរៀនលើប្រធានបទ "ការដោះស្រាយសមីការការ៉េ" ដោយប្រើឯកសារយោងប្រវត្តិសាស្ត្រ។

§ 1. ពីប្រវត្តិនៃការកើតឡើងនៃសមីការការ៉េ

ពិជគណិតបានកើតឡើងទាក់ទងនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាផ្សេងៗដោយប្រើសមីការ។ ជាធម្មតានៅក្នុងបញ្ហា វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីស្វែងរកមិនស្គាល់មួយ ឬច្រើន ខណៈពេលដែលដឹងពីលទ្ធផលនៃសកម្មភាពមួយចំនួនដែលបានអនុវត្តលើបរិមាណដែលចង់បាន និងដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ បញ្ហាបែបនេះត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការដោះស្រាយមួយ ឬប្រព័ន្ធនៃសមីការជាច្រើន ដើម្បីស្វែងរកអ្វីដែលចង់បាន ដោយមានជំនួយពីប្រតិបត្តិការពិជគណិតលើបរិមាណដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ ពិជគណិតសិក្សាអំពីលក្ខណៈទូទៅនៃសកម្មភាពលើបរិមាណ។

បច្ចេកទេសពិជគណិតមួយចំនួនសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ ត្រូវបានគេស្គាល់ថានៅដើម 4000 ឆ្នាំមុននៅបាប៊ីឡូនបុរាណ។

សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរនៅសម័យបុរាណគឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់នៃដី និងការងារផែនដីនៃធម្មជាតិយោធា ក៏ដូចជាការអភិវឌ្ឍន៍តារាសាស្ត្រ និង គណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ ជនជាតិបាប៊ីឡូនបានដឹងពីរបៀបដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងប្រហែលឆ្នាំ 2000 មុនគ។ ដោយអនុវត្តការសម្គាល់ពិជគណិតទំនើប យើងអាចនិយាយបានថានៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform របស់ពួកគេមាន បន្ថែមពីលើការមិនពេញលេញ ដូចជាឧទាហរណ៍ សមីការបួនជ្រុងពេញលេញ៖

ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដែលមានចែងនៅក្នុងអត្ថបទរបស់បាប៊ីឡូន គឺស្របគ្នានឹងសម័យទំនើប ប៉ុន្តែគេមិនដឹងថាតើជនជាតិបាប៊ីឡូនចូលមកក្បួននេះដោយរបៀបណានោះទេ។ អត្ថបទ Cuneiform ស្ទើរតែទាំងអស់ដែលបានរកឃើញរហូតមកដល់ពេលនេះផ្តល់តែបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលមានចែងក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនបង្ហាញពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញនោះទេ។ ទោះបីជាមានកម្រិតខ្ពស់នៃការអភិវឌ្ឍន៍ពិជគណិតនៅបាប៊ីឡូនក៏ដោយ អត្ថបទ cuneiform ខ្វះគំនិតនៃចំនួនអវិជ្ជមាន និងវិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង។

នៅពេលចងក្រងសមីការ Diophantus ជ្រើសរើសយ៉ាងប៉ិនប្រសប់ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយ។

ជាឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាកិច្ចការមួយរបស់គាត់។

កិច្ចការទី 2. "រកលេខពីរដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 96 ។"

Diophantus ប្រកែកដូចខាងក្រោម: វាកើតឡើងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលលេខដែលចង់បានមិនស្មើគ្នាព្រោះប្រសិនបើពួកគេស្មើគ្នានោះផលិតផលរបស់ពួកគេនឹងស្មើមិនមែន 96 ប៉ុន្តែដល់ 100 ។ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងមានច្រើនជាង។ ពាក់កណ្តាលនៃផលបូករបស់ពួកគេ ឧ.
. មួយទៀតគឺតូចជាង, i.e.
. ភាពខុសគ្នារវាងពួកគេ។
. ដូច្នេះសមីការ៖

ពីទីនេះ
. មួយក្នុងចំណោមលេខដែលចង់បានគឺ 12 មួយទៀតគឺ 8. ដំណោះស្រាយ
សម្រាប់ Diophantus មិនមានទេ ព្រោះគណិតវិទ្យាក្រិកដឹងតែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយបញ្ហានេះ ដោយជ្រើសរើសលេខមិនស្គាល់មួយ ជាលេខដែលមិនស្គាល់នោះ យើងអាចមករកដំណោះស្រាយនៃសមីការបាន៖

សមីការ quadratic នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា

បញ្ហាសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងសន្ធិសញ្ញាតារាសាស្ត្រ Aryabhattam ដែលចងក្រងក្នុងឆ្នាំ 499 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា និងតារាវិទូ Aryabhatta ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតឈ្មោះ Brahmagupta (សតវត្សទី 7) បានគូសបញ្ជាក់អំពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ៖

(1)

នៅក្នុងសមីការ (1) មេគុណអាចអវិជ្ជមាន។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយយើង។

នៅក្នុងប្រទេសឥណ្ឌា ការប្រកួតប្រជែងជាសាធារណៈក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាលំបាកគឺជារឿងធម្មតា។ នៅក្នុងសៀវភៅបុរាណឥណ្ឌាមួយ ខាងក្រោមនេះត្រូវបាននិយាយអំពីការប្រកួតប្រជែងបែបនេះ៖ «នៅពេលដែលព្រះអាទិត្យបញ្ចេញផ្កាយដោយភាពភ្លឺស្វាង នោះអ្នកចេះដឹងនឹងបញ្ចេញនូវសិរីរុងរឿងនៅក្នុងកិច្ចប្រជុំសាធារណៈ ស្នើ និងដោះស្រាយបញ្ហាពិជគណិត»។ ភារកិច្ចតែងតែស្លៀកពាក់បែបកំណាព្យ។

ដំណោះស្រាយរបស់ Bhaskara បង្ហាញថាអ្នកនិពន្ធបានដឹងពីតម្លៃពីរនៃឫសគល់នៃសមីការការ៉េ។

សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហាទី ៣ គឺ៖

Bhaskara សរសេរក្រោមរូបភាព៖

ហើយដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះទៅការ៉េ គាត់បន្ថែម 322 ទៅភាគីទាំងពីរ ដោយទទួលបានបន្ទាប់មក៖

សមីការបួនជ្រុងរបស់ Al-Khwarizmi

ក្បួនដោះស្រាយពិជគណិតរបស់ Al-Khwarizmi ផ្តល់នូវចំណាត់ថ្នាក់នៃសមីការលីនេអ៊ែរ និងចតុកោណ។ អ្នកនិពន្ធរាយសមីការ ៦ ប្រភេទ ដោយបង្ហាញវាដូចខាងក្រោម៖

សម្រាប់ Al-Khwarizmi ដែលចៀសវាងការប្រើលេខអវិជ្ជមាន ពាក្យនៃសមីការនីមួយៗគឺបូក មិនមែនដកទេ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាវិជ្ជមាន ច្បាស់ជាមិនត្រូវបានយកមកពិចារណាទេ។ អ្នកនិពន្ធរៀបរាប់អំពីវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះ ដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ al-jabr និង al-muqabala ។ ជាការពិតណាស់ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់មិនស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយយើងទេ។ មិនមែននិយាយអំពីការពិតដែលថាវាជាវោហាសាស្ត្រសុទ្ធសាធទេ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃប្រភេទទីមួយ Al-Khwarizmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីលេខសូន្យទេ។ ដំណោះស្រាយ ប្រហែលជាដោយសារតែនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងជាក់លាក់ វាមិនមានបញ្ហាទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ Al-Khwarizmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្ររបស់ពួកគេ។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។

បញ្ហា 4. “ការេ និងលេខ 21 ស្មើនឹង 10 ឫស។ ស្វែងរកឫស” (មានន័យថាឫសនៃសមីការ
).

ដំណោះស្រាយ៖ ចែកចំនួនឫសជាពាក់កណ្តាល អ្នកទទួលបាន ៥ គុណ ៥ ដោយខ្លួនវា ដក ២១ ចេញពីផលិតផល នៅសល់ ៤ យកឫស ៤ អ្នកទទួលបាន ២ ដក ២ ពី ៥ អ្នកទទួលបាន ៣ នេះនឹងជា ឫសដែលចង់បាន។ ឬបន្ថែម 2 ទៅ 5 ដែលនឹងផ្តល់ឱ្យ 7 នេះក៏ជាឫសផងដែរ។

សមីការរបស់ Al-Khwarizmi គឺជាសៀវភៅដំបូងដែលបានចុះមករកយើង ដែលការចាត់ថ្នាក់នៃសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានបង្ហាញជាប្រព័ន្ធ ហើយរូបមន្តសម្រាប់ដំណោះស្រាយរបស់ពួកគេត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។

សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុបXII- XVIIវ.

សៀវភៅនេះបានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ កិច្ចការជាច្រើនពីសៀវភៅនេះត្រូវបានផ្ទេរទៅសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 14-17 ។ ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ
ជាមួយនឹងបន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញា និងមេគុណ b, c, ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅអឺរ៉ុបក្នុងឆ្នាំ 1544 ដោយ M. Stiefel ។

Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelli ស្ថិតក្នុងចំណោមអ្នកដំបូងគេក្នុងសតវត្សទី 16 ។ យកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី XVII ប៉ុណ្ណោះ។ អរគុណចំពោះស្នាដៃរបស់ Girard, Descartes, Newton និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការការ៉េត្រូវប្រើទម្រង់ទំនើប។

ប្រភពដើមនៃវិធីសាស្រ្តពិជគណិតសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវិទ្យាសាស្ត្រនៃពិភពលោកបុរាណ។ ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យាដែលជាផ្នែកសំខាន់នៃបញ្ហានៃធម្មជាតិគណិតវិទ្យាដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយអេហ្ស៊ីប, Sumerian, Babylonian scripts-computers (XX-VI សតវត្សមុនគ.ស) មានធម្មជាតិគណនា។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ពីពេលមួយទៅពេលមួយ បញ្ហាបានកើតឡើងដែលតម្លៃដែលចង់បាននៃបរិមាណត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយលក្ខខណ្ឌប្រយោលមួយចំនួន ដែលទាមទារពីទស្សនៈសម័យទំនើបរបស់យើង ការបង្កើតសមីការ ឬប្រព័ន្ធសមីការ។ ដំបូងវិធីសាស្រ្តនព្វន្ធត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ។ ក្រោយមក ការចាប់ផ្តើមនៃការតំណាងពិជគណិតបានចាប់ផ្តើមបង្កើតឡើង។ ជាឧទាហរណ៍ ម៉ាស៊ីនគិតលេខបាប៊ីឡូនអាចដោះស្រាយបញ្ហាដែលតាមទស្សនៈនៃចំណាត់ថ្នាក់ទំនើបត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាអត្ថបទត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលក្រោយមកបានបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបន្លិចសមាសធាតុពិជគណិត និងការសិក្សាឯករាជ្យរបស់វា។

ការសិក្សានេះត្រូវបានអនុវត្តរួចហើយនៅក្នុងយុគសម័យមួយផ្សេងទៀត ទីមួយដោយគណិតវិទូអារ៉ាប់ (VI-X សតវត្ស AD) ដែលបានជ្រើសរើសសកម្មភាពលក្ខណៈដោយសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ ការកាត់បន្ថយពាក្យស្រដៀងគ្នា ការផ្ទេរពាក្យពីផ្នែកមួយនៃ សមីការទៅមួយទៀតជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។ ហើយបន្ទាប់មកដោយគណិតវិទូអ៊ឺរ៉ុបនៃក្រុមហ៊ុន Renaissance ជាលទ្ធផលនៃការស្វែងរកដ៏យូរពួកគេបានបង្កើតភាសានៃពិជគណិតទំនើប ការប្រើប្រាស់អក្សរ ការណែនាំអំពីនិមិត្តសញ្ញាសម្រាប់ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ តង្កៀប។ល។នៅវេនទី 16-។ សតវត្សទី 17 ។ ពិជគណិតជាផ្នែកជាក់លាក់នៃគណិតវិទ្យា ដែលមានប្រធានបទ វិធីសាស្រ្ត ផ្ទៃនៃការអនុវត្តត្រូវបានបង្កើតឡើងរួចហើយ។ ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតរបស់វា រហូតមកដល់ពេលរបស់យើង រួមមានការកែលម្អវិធីសាស្រ្ត ពង្រីកវិសាលភាពនៃកម្មវិធី បញ្ជាក់គោលគំនិត និងទំនាក់ទំនងរបស់វាជាមួយគោលគំនិតនៃសាខាផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។

ដូច្នេះ ដោយមើលឃើញពីសារៈសំខាន់ និងភាពធំធេងនៃសម្ភារៈដែលភ្ជាប់ជាមួយនឹងគំនិតនៃសមីការ ការសិក្សារបស់វានៅក្នុងវិធីសាស្រ្តទំនើបនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងផ្នែកសំខាន់ៗចំនួនបីនៃការកើតឡើង និងមុខងាររបស់វា។

ពីប្រវត្តិនៃសមីការការ៉េ.

ក) សមីការបួនជ្រុងនៅបាប៊ីឡូនបុរាណ

តម្រូវការដើម្បីដោះស្រាយសមីការមិនត្រឹមតែកម្រិតទីមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មានកម្រិតទីពីរផងដែរ ពីសម័យបុរាណ គឺបណ្តាលមកពីតម្រូវការក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទាក់ទងនឹងការស្វែងរកតំបន់ដី និងដីនៃលក្ខណៈយោធា ក៏ដូចជាការអភិវឌ្ឍន៍។ នៃតារាសាស្ត្រ និងគណិតវិទ្យាខ្លួនឯង។ សមីការបួនជ្រុងអាចដោះស្រាយបានប្រហែលឆ្នាំ 2000 មុនគ។ ជនជាតិបាប៊ីឡូន។ ដោយអនុវត្តការសម្គាល់ពិជគណិតទំនើប យើងអាចនិយាយបានថានៅក្នុងអត្ថបទ cuneiform របស់ពួកគេមាន បន្ថែមពីលើការមិនពេញលេញ ដូចជាឧទាហរណ៍ សមីការបួនជ្រុងពេញលេញ៖

x 2 + x \u003d, x 2 - x \u003d ១៤

ច្បាប់សម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដែលមានចែងនៅក្នុងអត្ថបទរបស់បាប៊ីឡូន សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយនឹងសម័យទំនើប ប៉ុន្តែគេមិនដឹងថាតើជនជាតិបាប៊ីឡូនចូលមកក្បួននេះដោយរបៀបណានោះទេ។ អត្ថបទ Cuneiform ស្ទើរតែទាំងអស់ដែលបានរកឃើញរហូតមកដល់ពេលនេះផ្តល់តែបញ្ហាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយដែលមានចែងក្នុងទម្រង់នៃរូបមន្តប៉ុណ្ណោះ ដោយមិនបង្ហាញពីរបៀបដែលពួកគេត្រូវបានរកឃើញនោះទេ។

Diophantus' Arithmetic មិនមានការបង្ហាញជាប្រព័ន្ធនៃពិជគណិតទេ ប៉ុន្តែវាផ្ទុកនូវបញ្ហាជាប្រព័ន្ធ អមដោយការពន្យល់ និងដោះស្រាយដោយការចងក្រងសមីការនៃដឺក្រេផ្សេងៗ។

នៅពេលចងក្រងសមីការ Diophantus ជ្រើសរើសយ៉ាងប៉ិនប្រសប់ដើម្បីសម្រួលដំណោះស្រាយ។

ជាឧទាហរណ៍នៅទីនេះ គឺជាកិច្ចការមួយរបស់គាត់។

កិច្ចការទី 2. "ស្វែងរកលេខពីរ ដោយដឹងថាផលបូករបស់ពួកគេគឺ 20 ហើយផលិតផលរបស់ពួកគេគឺ 96 ។"

Diophantus ប្រកែកដូចខាងក្រោម: វាកើតឡើងពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហាដែលលេខដែលចង់បានមិនស្មើគ្នាចាប់តាំងពីប្រសិនបើពួកគេស្មើគ្នានោះផលិតផលរបស់ពួកគេនឹងមិនមាន 96 ទេប៉ុន្តែ 100 ។ ដូច្នេះមួយក្នុងចំណោមពួកគេនឹងមានច្រើនជាងពាក់កណ្តាលរបស់ពួកគេ។ ផលបូក ឧ. .10 + x ។ មួយទៀតគឺតូចជាង ឧ. 10 - x ។ ភាពខុសគ្នារវាងពួកគេគឺ 2x ។ ដូច្នេះសមីការ៖

(10+x)(10-x)=96,

ឬ

100 −x 2 = 96 .

ដូច្នេះ x = 2. លេខមួយក្នុងចំនោមលេខដែលចង់បានគឺ 12 មួយទៀតគឺ 8. ដំណោះស្រាយ x = − 2 សម្រាប់ Diophantus មិនមានទេ ព្រោះគណិតវិទ្យាក្រិកស្គាល់តែលេខវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។

ប្រសិនបើយើងដោះស្រាយបញ្ហានេះ ដោយជ្រើសរើសលេខមិនស្គាល់មួយ ជាលេខដែលមិនស្គាល់ នោះយើងអាចមករកដំណោះស្រាយនៃសមីការបាន៖

បញ្ហាសម្រាប់សមីការបួនជ្រុងត្រូវបានរកឃើញរួចហើយនៅក្នុងខិត្ដប័ណ្ណតារាសាស្ត្រ "Aryabhattayam" ដែលចងក្រងក្នុងឆ្នាំ 499 ដោយគណិតវិទូឥណ្ឌា និងតារាវិទូ Aryabahatta ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឥណ្ឌាម្នាក់ទៀតឈ្មោះ Brahmagupta (សតវត្សទី 7) បានគូសបញ្ជាក់ពីច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ។

អូ 2 + ខx = គ, ក > 0

នៅក្នុងសមីការ មេគុណ លើកលែងតែ ក, អាចជាអវិជ្ជមាន។ ក្បួនរបស់ Brahmagupta សំខាន់ស្របគ្នាជាមួយយើង។

កិច្ចការទី 3 ។

សមីការដែលត្រូវនឹងបញ្ហាទី ៣ គឺ៖

Bhaskara សរសេរក្រោមរូបភាព៖

x 2 − 64x = − 768

ហើយដើម្បីបញ្ចប់ផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនេះទៅការ៉េ បន្ថែម 32 2 ទៅភាគីទាំងពីរ បន្ទាប់មកទទួលបាន៖

x 2 − b4x + 32 2 = −768 + 1024,

(x − 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48 ។

គ) សមីការការ៉េរបស់ Al-Khwarizmi

"ការេគឺស្មើនឹងឫស" ពោលគឺ ax 2 = bx ។
"ការេស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ អ័ក្ស 2 = គ។
"ឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ ax = គ។
"ការេ និងលេខស្មើនឹងឫស" ពោលគឺ ax 2 + c \u003d bx ។
"ការេនិងឫសគឺស្មើនឹងចំនួន" ពោលគឺ ax 2 + bx \u003d គ។
"ឫស និងលេខស្មើនឹងការេ" ពោលគឺ bx + c == ax 2 ។

សម្រាប់ Al-Khwarizmi ដែលចៀសវាងការប្រើលេខអវិជ្ជមាន ពាក្យនៃសមីការនីមួយៗគឺបូក មិនមែនដកទេ។ ក្នុងករណីនេះ សមីការដែលមិនមានដំណោះស្រាយជាវិជ្ជមាន ច្បាស់ជាមិនត្រូវបានយកមកពិចារណាទេ។ អ្នកនិពន្ធកំណត់វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការទាំងនេះដោយប្រើវិធីសាស្រ្តនៃ al-jabr និង al-muqabala ។ ជាការពិតណាស់ការសម្រេចចិត្តរបស់គាត់មិនស្របគ្នាទាំងស្រុងជាមួយយើងទេ។ មិនមែននិយាយអំពីការពិតដែលថាវាជាវោហាសាស្ត្រសុទ្ធសាធទេ វាគួរតែត្រូវបានកត់សម្គាល់ថានៅពេលដែលការដោះស្រាយសមីការការ៉េមិនពេញលេញនៃប្រភេទទីមួយ Al-Khwarizmi ដូចជាគណិតវិទូទាំងអស់មុនសតវត្សទី 17 មិនគិតពីលេខសូន្យទេ។ ដំណោះស្រាយ ប្រហែលជាដោយសារតែនៅក្នុងកិច្ចការជាក់ស្តែងជាក់លាក់ វាមិនមានបញ្ហាទេ។ នៅពេលដោះស្រាយសមីការការ៉េពេញលេញ Al-Khwarizmi កំណត់ច្បាប់សម្រាប់ដោះស្រាយពួកវាដោយប្រើឧទាហរណ៍លេខជាក់លាក់ ហើយបន្ទាប់មកភស្តុតាងធរណីមាត្ររបស់ពួកគេ។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។

បញ្ហា 4. “ការេ និងលេខ 21 ស្មើនឹង 10 ឫស។ ស្វែងរកឫស "(មានន័យថាឫសនៃសមីការ x 2 + 21 \u003d 10x) ។

ឃ) សមីការបួនជ្រុងនៅអឺរ៉ុបសតវត្សទី XIII-XVII ។

រូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងលើគំរូនៃ al-Khwarizmi នៅអឺរ៉ុបត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលើកដំបូងនៅក្នុង "សៀវភៅ Abacus" ដែលសរសេរនៅឆ្នាំ 1202 ដោយគណិតវិទូអ៊ីតាលី Leonardo Fibonacci ។ ការងារដ៏អស្ចារ្យនេះ ដែលឆ្លុះបញ្ចាំងពីឥទ្ធិពលនៃគណិតវិទ្យាពីប្រទេសទាំងពីរនៃសាសនាឥស្លាម និងក្រិកបុរាណ ត្រូវបានសម្គាល់ដោយភាពពេញលេញ និងភាពច្បាស់លាស់នៃការបង្ហាញ។ អ្នកនិពន្ធបានបង្កើតដោយឯករាជ្យនូវឧទាហរណ៍ពិជគណិតថ្មីមួយចំនួននៃការដោះស្រាយបញ្ហា ហើយជាអ្នកដំបូងគេនៅអឺរ៉ុបដែលចូលទៅជិតការណែនាំនៃលេខអវិជ្ជមាន។ សៀវភៅរបស់គាត់បានរួមចំណែកដល់ការរីករាលដាលនៃចំណេះដឹងពិជគណិតមិនត្រឹមតែនៅក្នុងប្រទេសអ៊ីតាលីប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏មាននៅក្នុងប្រទេសអាល្លឺម៉ង់ បារាំង និងបណ្តាប្រទេសអឺរ៉ុបផ្សេងទៀតផងដែរ។ កិច្ចការជាច្រើនពីសៀវភៅ Abacus បានចូលទៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាអឺរ៉ុបស្ទើរតែទាំងអស់នៃសតវត្សទី 16-17 ។ និងមួយផ្នែក XVIII ។

ច្បាប់ទូទៅសម្រាប់ការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ Canonical តែមួយ

x 2 + bx \u003d គ,

សម្រាប់បន្សំដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់នៃសញ្ញានៃមេគុណ ខ, ជាមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅក្នុងទ្វីបអឺរ៉ុបតែនៅក្នុងឆ្នាំ 1544 ដោយ M. Stiefel ។

Vieta មានប្រភពទូទៅនៃរូបមន្តសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុង ប៉ុន្តែ Vieta ទទួលស្គាល់តែឫសវិជ្ជមានប៉ុណ្ណោះ។ គណិតវិទូជនជាតិអ៊ីតាលី Tartaglia, Cardano, Bombelli ស្ថិតក្នុងចំណោមអ្នកដំបូងគេក្នុងសតវត្សទី 16 ។ យកទៅក្នុងគណនីបន្ថែមលើឫសវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាន។ មានតែនៅក្នុងសតវត្សទី XVII ប៉ុណ្ណោះ។ អរគុណចំពោះស្នាដៃរបស់ Girard, Descartes, Newton និងអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដទៃទៀត វិធីសាស្រ្តនៃការដោះស្រាយសមីការបួនជ្រុងគឺមើលទៅទំនើប។

ប្រភពដើមនៃវិធីសាស្រ្តពិជគណិតសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាក់ស្តែងត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងវិទ្យាសាស្ត្រនៃពិភពលោកបុរាណ។ ដូចដែលត្រូវបានគេស្គាល់ពីប្រវត្តិសាស្រ្តនៃគណិតវិទ្យាដែលជាផ្នែកសំខាន់នៃបញ្ហានៃធម្មជាតិគណិតវិទ្យាដែលត្រូវបានដោះស្រាយដោយអេហ្ស៊ីប, Sumerian, Babylonian scripts-computers (XX-VI សតវត្សមុនគ.ស) មានតួអក្សរគណនាមួយ។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ពីពេលមួយទៅពេលមួយ បញ្ហាបានកើតឡើងដែលតម្លៃដែលចង់បាននៃបរិមាណត្រូវបានកំណត់ដោយលក្ខខណ្ឌដោយប្រយោលមួយចំនួន ដែលទាមទារពីទស្សនៈសម័យទំនើបរបស់យើង ការបង្កើតសមីការ ឬប្រព័ន្ធសមីការ។ ដំបូងវិធីសាស្រ្តនព្វន្ធត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះ។ ក្រោយមក ការចាប់ផ្តើមនៃការតំណាងពិជគណិតបានចាប់ផ្តើមបង្កើតឡើង។ ជាឧទាហរណ៍ ម៉ាស៊ីនគិតលេខបាប៊ីឡូនអាចដោះស្រាយបញ្ហាដែលតាមទស្សនៈនៃចំណាត់ថ្នាក់ទំនើបត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាសមីការនៃសញ្ញាបត្រទីពីរ។ វិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាអត្ថបទត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលក្រោយមកបានបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបន្លិចសមាសធាតុពិជគណិត និងការសិក្សាឯករាជ្យរបស់វា។

ការសិក្សានេះត្រូវបានអនុវត្តរួចហើយនៅក្នុងយុគសម័យមួយផ្សេងទៀត ទីមួយដោយគណិតវិទូអារ៉ាប់ (VI-X សតវត្ស AD) ដែលបានជ្រើសរើសសកម្មភាពលក្ខណៈដោយសមីការត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាទម្រង់ស្តង់ដារ ការកាត់បន្ថយពាក្យស្រដៀងគ្នា ការផ្ទេរពាក្យពីផ្នែកមួយនៃ សមីការទៅមួយទៀតជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។ ហើយបន្ទាប់មកដោយគណិតវិទូអ៊ឺរ៉ុបនៃក្រុមហ៊ុន Renaissance ជាលទ្ធផលនៃការស្វែងរកដ៏យូរពួកគេបានបង្កើតភាសានៃពិជគណិតទំនើប ការប្រើប្រាស់អក្សរ ការណែនាំអំពីនិមិត្តសញ្ញាសម្រាប់ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ តង្កៀប។ល។នៅវេនទី 16-។ សតវត្សទី 17 ។ ពិជគណិតជាផ្នែកជាក់លាក់នៃគណិតវិទ្យា មានប្រធានបទ វិធីសាស្រ្ត ផ្ទៃកម្មវិធីត្រូវបានបង្កើតឡើងរួចហើយ។ ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតរបស់វា រហូតមកដល់ពេលរបស់យើង រួមមានការកែលម្អវិធីសាស្រ្ត ពង្រីកវិសាលភាពនៃកម្មវិធី បញ្ជាក់គោលគំនិត និងទំនាក់ទំនងរបស់វាជាមួយគោលគំនិតនៃសាខាផ្សេងទៀតនៃគណិតវិទ្យា។

ដូច្នេះ ដោយមើលឃើញពីសារៈសំខាន់ និងភាពធំធេងនៃសម្ភារៈដែលទាក់ទងនឹងគំនិតនៃសមីការ ការសិក្សារបស់វានៅក្នុងវិធីសាស្រ្តទំនើបនៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងផ្នែកសំខាន់បីនៃការកើតឡើង និងមុខងាររបស់វា។