ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្ត្រដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធ និង fsr

វិធីសាស្ត្រ Gaussian មានគុណវិបត្តិមួយចំនួន៖ វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការដឹងថាតើប្រព័ន្ធមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាឬអត់រហូតដល់ការផ្លាស់ប្តូរទាំងអស់ដែលចាំបាច់នៅក្នុងវិធីសាស្ត្រ Gaussian ត្រូវបានអនុវត្ត។ វិធីសាស្ត្រ Gaussian មិនសមរម្យសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានមេគុណអក្សរទេ។

ពិចារណាវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀតសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ វិធីសាស្រ្តទាំងនេះប្រើគំនិតនៃចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស និងកាត់បន្ថយដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធរួមគ្នាណាមួយទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដែលច្បាប់របស់ Cramer អនុវត្ត។

ឧទាហរណ៍ ១ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរខាងក្រោមដោយប្រើប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នាដែលបានកាត់បន្ថយ និងដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃប្រព័ន្ធ inhomogeneous ។

1. យើងបង្កើតម៉ាទ្រីស កនិងម៉ាទ្រីសបន្ថែមនៃប្រព័ន្ធ (1)

2. រុករកប្រព័ន្ធ (1) សម្រាប់ភាពឆបគ្នា។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស កនិង https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">)) ប្រសិនបើវាប្រែថា នោះប្រព័ន្ធ (1) មិនឆបគ្នា។ ប្រសិនបើយើងទទួលបាននោះ។ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនេះគឺស្រប ហើយយើងនឹងដោះស្រាយវា។ (ការសិក្សាអំពីភាពស៊ីសង្វាក់គ្នាគឺផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli)។

ក. យើង​ស្វែងរក rA.

ដើម្បីស្វែងរក rAយើងនឹងពិចារណាជាបន្តបន្ទាប់នូវអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ទីមួយ ទីពីរ។ល។ នៃម៉ាទ្រីស កនិងអនីតិជនជុំវិញពួកគេ។

ម១=1≠0 (1 ត្រូវបានយកចេញពីជ្រុងខាងឆ្វេងខាងលើនៃម៉ាទ្រីស ប៉ុន្តែ).

ព្រំដែន ម១ជួរទីពីរ និងជួរទីពីរនៃម៉ាទ្រីសនេះ។ . យើងបន្តទៅព្រំដែន ម១ជួរទីពីរ និងជួរទីបី..gif" width="37" height="20 src=">។ ឥឡូវនេះយើងដាក់ព្រំដែនអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យ ម២′លំដាប់ទីពីរ។

យើង​មាន: (ព្រោះ​ជួរ​ឈរ​ពីរ​ដំបូង​គឺ​ដូច​គ្នា​)

(ព្រោះ​បន្ទាត់​ទី​ពីរ​និង​ទី​បី​មាន​សមាមាត្រ)។

យើងឃើញនោះ។ rA=2និងជាអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស ក.

ខ. យើង​ស្វែងរក ។

អនីតិជនមូលដ្ឋានគ្រប់គ្រាន់ ម២′ម៉ាទ្រីស កព្រំដែន​ជាមួយ​ជួរ​ឈរ​នៃ​សមាជិក​ទំនេរ​និង​បន្ទាត់​ទាំងអស់ (យើង​មាន​តែ​បន្ទាត់​ចុង​ក្រោយ​) ។

. វាធ្វើតាមពីនេះ។ ម៣′នៅតែជាអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

ដោយសារតែ ម២′- អនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីស កប្រព័ន្ធ (2) បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធនេះគឺស្មើនឹងប្រព័ន្ធ (3) ដែលរួមមានសមីការពីរដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (2) (សម្រាប់ ម២′ស្ថិតនៅក្នុងជួរពីរដំបូងនៃម៉ាទ្រីស A) ។

(3)

ដោយសារអនីតិជនជាមូលដ្ឋានគឺ https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

នៅក្នុងប្រព័ន្ធនេះ មិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃចំនួនពីរ ( x2 និង x4 ) នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល FSR ប្រព័ន្ធ (4) មានដំណោះស្រាយពីរ។ ដើម្បីស្វែងរកពួកវា យើងកំណត់ឱ្យអ្នកដែលមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ (4) តម្លៃដំបូង x2=1 , x4=0 , ហើយ​បន្ទាប់​មក - x2=0 , x4=1 .

នៅ x2=1 , x4=0 យើង​ទទួល​បាន:

.

ប្រព័ន្ធនេះមានរួចហើយ រឿង​តែ​មួយ​គត់ ដំណោះស្រាយ (វាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយច្បាប់របស់ Cramer ឬដោយវិធីសាស្រ្តផ្សេងទៀត) ។ ដកសមីការទីមួយចេញពីសមីការទីពីរ យើងទទួលបាន៖

ការសម្រេចចិត្តរបស់នាងនឹងមាន x1= -1 , x3=0 . បានផ្តល់តម្លៃ x2 និង x4 ដែលយើងបានផ្តល់ឲ្យ យើងទទួលបានដំណោះស្រាយជាមូលដ្ឋានដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (2) : .

ឥឡូវនេះយើងដាក់ (4) x2=0 , x4=1 . យើង​ទទួល​បាន:

.

យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើទ្រឹស្តីបទរបស់ Cramer៖

.

យើងទទួលបានដំណោះស្រាយមូលដ្ឋានទីពីរនៃប្រព័ន្ធ (2) : .

ដំណោះស្រាយ β1 , β2 និងធ្វើឱ្យឡើង FSR ប្រព័ន្ធ (2) . បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វានឹងមាន

γ= គ១ β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

នៅទីនេះ គ១ , គ២ គឺជាអថេរបំពាន។

4. ស្វែងរកមួយ។ ឯកជន ដំណោះស្រាយ ប្រព័ន្ធចម្រុះ(1) . ដូចនៅក្នុងកថាខណ្ឌ 3 ជំនួសឱ្យប្រព័ន្ធ (1) ពិចារណាប្រព័ន្ធសមមូល (5) ដែលរួមមានសមីការពីរដំបូងនៃប្រព័ន្ធ (1) .

(5)

យើងផ្ទេរការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំ x2និង x4.

(6)

សូមអោយអ្នកមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ x2 និង x4 តម្លៃបំពាន, ឧទាហរណ៍, x2=2 , x4=1 ហើយដោតពួកវាចូល (6) . ចូរយើងទទួលបានប្រព័ន្ធ

ប្រព័ន្ធនេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ (ដោយសារតែកត្តាកំណត់របស់វា។ ម២′០) ការដោះស្រាយវា (ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Cramer ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss) យើងទទួលបាន x1=3 , x3=3 . ផ្តល់តម្លៃនៃមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ x2 និង x4 , យើង​ទទួល​បាន ដំណោះស្រាយពិសេសនៃប្រព័ន្ធ inhomogeneous(1)α1=(3,2,3,1)។

5. ឥឡូវនេះវានៅសល់ដើម្បីសរសេរ ដំណោះស្រាយទូទៅαនៃប្រព័ន្ធ inhomogeneous(1) ៖ វាស្មើនឹងផលបូក ការសម្រេចចិត្តឯកជនប្រព័ន្ធនេះនិង ដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធកាត់បន្ថយភាពដូចគ្នារបស់វា។ (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2)។

នេះ​មានន័យថា: (7)

6. ការប្រឡង។ដើម្បីពិនិត្យមើលថាតើអ្នកបានដោះស្រាយប្រព័ន្ធត្រឹមត្រូវឬអត់ (1) យើងត្រូវការដំណោះស្រាយទូទៅ (7) ជំនួសនៅក្នុង (1) . ប្រសិនបើសមីការនីមួយៗក្លាយជាអត្តសញ្ញាណ ( គ១ និង គ២ គួរតែត្រូវបានបំផ្លាញ) បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញត្រឹមត្រូវ។

យើងនឹងជំនួស (7) ឧទាហរណ៍ មានតែនៅក្នុងសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

យើងទទួលបាន៖ (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

កន្លែងណា -1=-1 ។ យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណមួយ។ យើងធ្វើដូចនេះជាមួយសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (1) .

មតិយោបល់។ការផ្ទៀងផ្ទាត់ជាធម្មតាមានភាពស្មុគស្មាញណាស់។ យើងអាចណែនាំ "ការផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយផ្នែក" ខាងក្រោម: នៅក្នុងដំណោះស្រាយរួមនៃប្រព័ន្ធ (1) កំណត់តម្លៃមួយចំនួនទៅអថេរតាមអំពើចិត្ត ហើយជំនួសដំណោះស្រាយលទ្ធផលជាក់លាក់ទៅក្នុងសមីការដែលបានបោះបង់ចោល (ឧ. ចូលទៅក្នុងសមីការទាំងនោះពី (1) ដែលមិនត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុង (5) ) ប្រសិនបើអ្នកទទួលបានអត្តសញ្ញាណបន្ទាប់មក ភាគ​ច្រើន​ទំនង, ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (1) បានរកឃើញត្រឹមត្រូវ (ប៉ុន្តែការត្រួតពិនិត្យបែបនេះមិនផ្តល់ការធានាពេញលេញនៃភាពត្រឹមត្រូវទេ!) ឧទាហរណ៍ប្រសិនបើនៅក្នុង (7) ដាក់ C2=- 1 , C1=1បន្ទាប់មកយើងទទួលបាន៖ x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0។ ការជំនួសទៅក្នុងសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធ (1) យើងមាន៖ - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 ឧ. −1=–1 ។ យើងទទួលបានអត្តសញ្ញាណមួយ។

ឧទាហរណ៍ ២ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅចំពោះប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ (1) បង្ហាញពីការមិនស្គាល់សំខាន់ៗនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃការឥតគិតថ្លៃ។

ដំណោះស្រាយ។ដូច​ជា​នៅ​ក្នុង ឧទាហរណ៍ 1, តែងម៉ាទ្រីស កនិង https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50">នៃម៉ាទ្រីសទាំងនេះ។ ឥឡូវនេះ យើងទុកតែសមីការនៃប្រព័ន្ធ (1) មេគុណដែលត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងអនីតិជនមូលដ្ឋាននេះ (ឧ. យើងមានសមីការពីរដំបូង) ហើយពិចារណាប្រព័ន្ធដែលមានពួកវា ដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធ (1)។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងផ្ទេរការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការទាំងនេះ។

ប្រព័ន្ធ (9) យើងដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រ Gaussian ដោយពិចារណាផ្នែកត្រឹមត្រូវថាជាសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

ជម្រើសទី 2 ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

ជម្រើសទី 4 ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

ជម្រើសទី 5 ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

ជម្រើសទី 6 ។

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

នៅក្នុងមេរៀន វិធីសាស្រ្ត Gaussនិង ប្រព័ន្ធ/ប្រព័ន្ធមិនឆបគ្នាជាមួយនឹងដំណោះស្រាយរួមយើងបានពិចារណា ប្រព័ន្ធ inhomogeneous នៃសមីការលីនេអ៊ែរកន្លែងណា សមាជិកឥតគិតថ្លៃ(ដែលជាធម្មតានៅខាងស្តាំ) យ៉ាងហោចណាស់​មួយនៃសមីការគឺខុសពីសូន្យ។
ហើយឥឡូវនេះបន្ទាប់ពីការឡើងកំដៅផែនដីដ៏ល្អជាមួយ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសយើងនឹងបន្តកែលម្អបច្ចេកទេស ការផ្លាស់ប្តូរបឋមនៅ​លើ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ.
យោងតាមកថាខណ្ឌទីមួយ សម្ភារៈអាចមើលទៅគួរឱ្យធុញ និងសាមញ្ញ ប៉ុន្តែចំណាប់អារម្មណ៍នេះគឺបោកបញ្ឆោត។ វានឹងមានព័ត៌មានថ្មីៗជាច្រើនបន្ថែមពីលើការអភិវឌ្ឍន៍បច្ចេកទេសបន្ថែមទៀត ដូច្នេះសូមព្យាយាមកុំធ្វេសប្រហែសឧទាហរណ៍ក្នុងអត្ថបទនេះ។

តើអ្វីជាប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ?

ចម្លើយណែនាំខ្លួនឯង។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺដូចគ្នា ប្រសិនបើពាក្យសេរី គ្រប់គ្នាសមីការប្រព័ន្ធគឺសូន្យ។ ឧទាហរណ៍:

វាច្បាស់ណាស់ថា ប្រព័ន្ធដូចគ្នាគឺតែងតែស្របនោះគឺវាតែងតែមានដំណោះស្រាយ។ ហើយជាដំបូងនៃការទាំងអស់ដែលគេហៅថា តូចតាចដំណោះស្រាយ . Trivial សម្រាប់អ្នកដែលមិនយល់ពីអត្ថន័យនៃ adjective ទាល់តែសោះ មានន័យថា bespontovoe ។ មិន​មែន​ជា​ការ​សិក្សា​ទេ ប៉ុន្តែ​ដោយ​ប្រាជ្ញា =)... ហេតុ​អ្វី​បាន​ជា​វាយ​នៅ​ជុំវិញ​គុម្ពោត ចូរ​យើង​រក​មើល​ថា​តើ​ប្រព័ន្ធ​នេះ​មាន​ដំណោះស្រាយ​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត៖

ឧទាហរណ៍ ១

ដំណោះស្រាយ៖ ដើម្បី​ដោះស្រាយ​ប្រព័ន្ធ​ដូចគ្នា​វា​ចាំបាច់​ត្រូវ​សរសេរ ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធហើយដោយមានជំនួយពីការផ្លាស់ប្តូរបឋមនាំវាទៅជាទម្រង់មួយជំហាន។ ចំណាំថាមិនចាំបាច់សរសេររបារបញ្ឈរ និងជួរឈរសូន្យនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃនៅទីនេះទេ ពីព្រោះអ្វីដែលអ្នកធ្វើជាមួយសូន្យ ពួកគេនឹងនៅតែសូន្យ៖

(1) ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរ គុណនឹង -2 ។ ជួរទីមួយត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -3 ។

(2) ជួរទីពីរត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីបីគុណនឹង -1 ។

ការបែងចែកជួរទីបីដោយ 3 មិនមានន័យច្រើនទេ។

ជាលទ្ធផលនៃការបំប្លែងបឋម ប្រព័ន្ធដូចគ្នាត្រូវបានទទួល ហើយដោយអនុវត្តការផ្លាស់ទីបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាដំណោះស្រាយគឺមានតែមួយគត់។

ចម្លើយ:

ចូរយើងបង្កើតលក្ខណៈវិនិច្ឆ័យជាក់ស្តែងមួយ។៖ ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរមាន ដំណោះស្រាយតូចតាចតែប៉ុណ្ណោះ, ប្រសិនបើ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធ(ក្នុងករណីនេះ 3) គឺស្មើនឹងចំនួនអថេរ (ក្នុងករណីនេះ 3 pcs ។ )

យើង​កម្តៅ​ខ្លួន និង​សម្រួល​វិទ្យុ​របស់​យើង​ទៅ​នឹង​រលក​នៃ​ការ​បំប្លែង​បឋម៖

ឧទាហរណ៍ ២

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ពីអត្ថបទ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ?យើងរំលឹកឡើងវិញនូវវិធីសាស្ត្រសមហេតុផលនៃការកាត់បន្ថយចំនួនម៉ាទ្រីសដោយចៃដន្យ។ បើមិនដូច្នេះទេ អ្នកនឹងត្រូវស៊ីសាច់ធំ ហើយជារឿយៗខាំត្រី។ ឧទាហរណ៍នៃកិច្ចការនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

សូន្យគឺល្អ និងងាយស្រួល ប៉ុន្តែនៅក្នុងការអនុវត្ត ករណីនេះគឺជារឿងធម្មតាជាងនៅពេលដែលជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ. ហើយបន្ទាប់មករូបរាងនៃដំណោះស្រាយទូទៅគឺជៀសមិនរួច:

ឧទាហរណ៍ ៣

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ

ដំណោះស្រាយ៖ យើងសរសេរម៉ាទ្រីសនៃប្រព័ន្ធ ហើយដោយប្រើការបំប្លែងបឋម យើងនាំវាទៅជាទម្រង់ជំហានមួយ។ សកម្មភាពទីមួយគឺសំដៅមិនត្រឹមតែដើម្បីទទួលបានតម្លៃតែមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងកាត់បន្ថយលេខនៅក្នុងជួរទីមួយផងដែរ៖

(1) ជួរទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីមួយគុណនឹង -1 ។ ជួរទីបីត្រូវបានបន្ថែមទៅជួរទីពីរគុណនឹង -2 ។ នៅផ្នែកខាងលើខាងឆ្វេង ខ្ញុំទទួលបានឯកតាដែលមាន "ដក" ដែលច្រើនតែងាយស្រួលសម្រាប់ការផ្លាស់ប្តូរបន្ថែមទៀត។

(2) ខ្សែពីរដំបូងគឺដូចគ្នា មួយក្នុងចំណោមពួកវាត្រូវបានដកចេញ។ និយាយតាមត្រង់ទៅ ខ្ញុំមិនបានកែសម្រួលការសម្រេចចិត្តទេ - វាបានកើតឡើង។ ប្រសិនបើអ្នកអនុវត្តការបំប្លែងនៅក្នុងគំរូមួយ បន្ទាប់មក ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរបន្ទាត់នឹងបង្ហាញបន្តិចក្រោយមក។

(3) ទៅជួរទីបី បន្ថែមជួរទីពីរ គុណនឹង 3 ។

(4) សញ្ញានៃបន្ទាត់ទីមួយត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរ។

ជាលទ្ធផលនៃការផ្លាស់ប្តូរបឋម ប្រព័ន្ធសមមូលមួយត្រូវបានទទួល៖

ក្បួនដោះស្រាយដំណើរការដូចគ្នាទៅនឹងសម្រាប់ ប្រព័ន្ធចម្រុះ. អថេរ "អង្គុយលើជំហាន" គឺជាធាតុសំខាន់ អថេរដែលមិនទទួលបាន "ជំហាន" គឺឥតគិតថ្លៃ។

យើងបង្ហាញអថេរជាមូលដ្ឋានក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរឥតគិតថ្លៃ៖

ចម្លើយការសម្រេចចិត្តទូទៅ៖

ដំណោះស្រាយមិនសំខាន់ត្រូវបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងរូបមន្តទូទៅ ហើយវាមិនចាំបាច់ក្នុងការសរសេរវាដោយឡែកពីគ្នានោះទេ។

ការផ្ទៀងផ្ទាត់ក៏ត្រូវបានអនុវត្តទៅតាមគ្រោងការណ៍ធម្មតាដែរ៖ ដំណោះស្រាយលទ្ធផលទូទៅត្រូវតែត្រូវបានជំនួសដោយផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនីមួយៗនៃប្រព័ន្ធ ហើយលេខសូន្យស្របច្បាប់ត្រូវបានទទួលសម្រាប់ការជំនួសទាំងអស់។

នេះអាចបញ្ចប់ដោយស្ងាត់ៗ ប៉ុន្តែដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធសមីការដូចគ្នាជារឿយៗចាំបាច់ត្រូវតំណាងឱ្យ ក្នុងទម្រង់វ៉ិចទ័រដោយប្រើ ប្រព័ន្ធការសម្រេចចិត្តជាមូលដ្ឋាន. សូមបំភ្លេចចោលជាបណ្តោះអាសន្ន ធរណីមាត្រវិភាគចាប់តាំងពីពេលនេះ យើងនឹងនិយាយអំពីវ៉ិចទ័រក្នុងន័យពិជគណិតទូទៅ ដែលខ្ញុំបានបើកបន្តិចនៅក្នុងអត្ថបទអំពី ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស. វាក្យសព្ទមិនចាំបាច់ក្នុងការដាក់ស្រមោលអ្វីទាំងអស់គឺសាមញ្ញណាស់។

ប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរលើវាលមួយ។

និយមន័យ។ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ (1) គឺជាប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរមិនទទេនៃដំណោះស្រាយរបស់វា ដែលវិសាលភាពលីនេអ៊ែរស្របគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (1) ។

ចំណាំថាប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរដែលមានតែដំណោះស្រាយសូន្យ មិនមានប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយទេ។

សំណើ 3.11 ។ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានទាំងពីរនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរមានចំនួនដំណោះស្រាយដូចគ្នា។

ភស្តុតាង។ ជាការពិត ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានទាំងពីរនៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ (1) គឺសមមូល និងឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះដោយ Proposition 1.12 ចំណាត់ថ្នាក់របស់ពួកគេគឺស្មើគ្នា។ ដូច្នេះ ចំនួននៃដំណោះស្រាយដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធមូលដ្ឋានមួយគឺស្មើនឹងចំនួននៃដំណោះស្រាយដែលបានរួមបញ្ចូលនៅក្នុងប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយផ្សេងទៀត។

ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសចម្បង A នៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការ (1) គឺសូន្យ នោះវ៉ិចទ័រណាមួយពីគឺជាដំណោះស្រាយទៅប្រព័ន្ធ (1); ក្នុងករណីនេះ ការប្រមូលផ្តុំនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរពី គឺជាប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ ប្រសិនបើជួរជួរនៃម៉ាទ្រីស A គឺ នោះប្រព័ន្ធ (1) មានដំណោះស្រាយតែមួយ - សូន្យ។ ដូច្នេះ ក្នុងករណីនេះ ប្រព័ន្ធសមីការ (1) មិនមានប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយទេ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣.១២. ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ (1) តិចជាងចំនួនអថេរ នោះប្រព័ន្ធ (1) មានប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយដែលមានដំណោះស្រាយ។

ភស្តុតាង។ ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បង A នៃប្រព័ន្ធដូចគ្នា (1) គឺស្មើនឹងសូន្យឬ នោះវាត្រូវបានបង្ហាញខាងលើថាទ្រឹស្តីបទគឺពិត។ ដូច្នេះវាត្រូវបានសន្មត់ខាងក្រោមថា Assuming យើងនឹងសន្មត់ថាជួរឈរទីមួយនៃម៉ាទ្រីស A គឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ក្នុង​ករណី​នេះ ម៉ាទ្រីស A គឺ​ស្មើ​នឹង​ម៉ាទ្រីស​ជំហាន​ដែល​បាន​កាត់​បន្ថយ ហើយ​ប្រព័ន្ធ (1) គឺ​ស្មើ​នឹង​ប្រព័ន្ធ​ជំហាន​កាត់​ខាងក្រោម​នៃ​សមីការ៖

វាងាយស្រួលក្នុងការពិនិត្យមើលថាប្រព័ន្ធណាមួយនៃតម្លៃនៃអថេរឥតគិតថ្លៃនៃប្រព័ន្ធ (2) ត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយមួយនិងតែមួយគត់នៃប្រព័ន្ធ (2) ហើយដូច្នេះនៃប្រព័ន្ធ (1) ។ ជាពិសេសមានតែដំណោះស្រាយសូន្យនៃប្រព័ន្ធ (2) និងប្រព័ន្ធ (1) ដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃតម្លៃសូន្យ។

នៅក្នុងប្រព័ន្ធ (2) យើងនឹងកំណត់តម្លៃស្មើនឹង 1 ទៅអថេរឥតគិតថ្លៃមួយ ហើយតម្លៃសូន្យទៅអថេរផ្សេងទៀត។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការ (២) ដែលយើងសរសេរជាជួរនៃម៉ាទ្រីស C ខាងក្រោម៖

ប្រព័ន្ធជួរដេកនៃម៉ាទ្រីសនេះគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ពិត​ណាស់ សម្រាប់​មាត្រដ្ឋាន​ណាមួយ​ពី​សមភាព

សមភាពដូចខាងក្រោម

ដូច្នេះហើយសមភាព

អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាវិសាលភាពលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនៃជួរដេកនៃម៉ាទ្រីស C ស្របគ្នាជាមួយនឹងសំណុំនៃដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ (1) ។

ដំណោះស្រាយតាមអំពើចិត្តនៃប្រព័ន្ធ (1) ។ បន្ទាប់មកវ៉ិចទ័រ

ក៏ជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ (១) និង

ដំណោះស្រាយស្វែងរកជាមួយម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ ក្បួនដោះស្រាយដំណោះស្រាយគឺដូចគ្នាទៅនឹងប្រព័ន្ធនៃសមីការ inhomogeneous លីនេអ៊ែរ។
ដំណើរការតែជាមួយជួរ យើងរកឃើញចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីស ដែលជាអនីតិជនមូលដ្ឋាន។ យើងប្រកាសការមិនស្គាល់ដែលពឹងផ្អែក និងឥតគិតថ្លៃ ហើយស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ។

ឧទាហរណ៍ 2 ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ
ដំណោះស្រាយ។



,
វាដូចខាងក្រោមថាចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសគឺ 3 និងស្មើនឹងចំនួនមិនស្គាល់។ នេះមានន័យថាប្រព័ន្ធមិនមានការមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទេ ដូច្នេះហើយមានដំណោះស្រាយពិសេសមួយ - ជារឿងតូចតាចមួយ។

លំហាត់ប្រាណ។ ស្វែងយល់ និងដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ។
ឧទាហរណ៍ 4

លំហាត់ប្រាណ។ ស្វែងរកដំណោះស្រាយទូទៅ និងជាក់លាក់សម្រាប់ប្រព័ន្ធនីមួយៗ។
ដំណោះស្រាយ។យើងសរសេរម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ៖

កិច្ចការមួយ។ ស្វែងរកសំណុំមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរ។

ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (SLAE) គឺពិតជាប្រធានបទសំខាន់បំផុតនៃវគ្គពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ បញ្ហាមួយចំនួនធំពីគ្រប់សាខានៃគណិតវិទ្យាត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ កត្តាទាំងនេះពន្យល់ពីមូលហេតុនៃការបង្កើតអត្ថបទនេះ។ សម្ភារៈនៃអត្ថបទត្រូវបានជ្រើសរើស និងរៀបចំរចនាសម្ព័ន្ធ ដូច្នេះដោយមានជំនួយរបស់វាអ្នកអាចធ្វើបាន

• ជ្រើសរើសវិធីសាស្ត្រល្អបំផុតសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែររបស់អ្នក
• សិក្សាទ្រឹស្តីនៃវិធីសាស្រ្តដែលបានជ្រើសរើស,
• ដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែររបស់អ្នក ដោយបានពិចារណាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍ និងបញ្ហាធម្មតា។

ការពិពណ៌នាសង្ខេបនៃសម្ភារៈនៃអត្ថបទ។

ជាដំបូង យើងផ្តល់និយមន័យ គោលគំនិតចាំបាច់ទាំងអស់ និងណែនាំសញ្ញាណមួយចំនួន។

បន្ទាប់មក យើងពិចារណាវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ និងមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់។ ដំបូងយើងផ្តោតលើវិធីសាស្រ្ត Cramer ទីពីរយើងនឹងបង្ហាញវិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីសសម្រាប់ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះហើយទីបីយើងនឹងវិភាគវិធីសាស្ត្រ Gauss (វិធីសាស្រ្តនៃការលុបបំបាត់អថេរមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់) ។ ដើម្បីបង្រួបបង្រួមទ្រឹស្តី យើងពិតជានឹងដោះស្រាយ SLAEs ជាច្រើនតាមវិធីផ្សេងៗ។

បន្ទាប់ពីនោះ យើងបន្តទៅការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការមិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ឬម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺ degenerate ។ យើងបង្កើតទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ដែលអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្កើតភាពឆបគ្នានៃ SLAEs ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងវិភាគដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធ (ក្នុងករណីនៃភាពឆបគ្នារបស់ពួកគេ) ដោយប្រើគំនិតនៃមូលដ្ឋានអនីតិជននៃម៉ាទ្រីសមួយ។ យើងក៏នឹងពិចារណាវិធីសាស្ត្រ Gauss ហើយពិពណ៌នាលម្អិតអំពីដំណោះស្រាយនៃឧទាហរណ៍។

ត្រូវប្រាកដថារស់នៅលើរចនាសម្ព័ន្ធនៃដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានិង inhomogeneous នៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ចូរយើងផ្តល់គំនិតនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ និងបង្ហាញពីរបៀបដែលដំណោះស្រាយទូទៅនៃ SLAE ត្រូវបានសរសេរដោយប្រើវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់ សូមមើលឧទាហរណ៍មួយចំនួន។

សរុបមក យើងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាលីនេអ៊ែរ ក៏ដូចជាបញ្ហាផ្សេងៗនៅក្នុងដំណោះស្រាយដែល SLAEs កើតឡើង។

ការរុករកទំព័រ។

និយមន័យ គំនិត និយមន័យ។

យើងនឹងពិចារណាប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរមិនស្គាល់ (p អាចស្មើនឹង n) នៃទម្រង់

អថេរដែលមិនស្គាល់ - មេគុណ (ចំនួនពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច) - សមាជិកឥតគិតថ្លៃ (ក៏ពិត ឬចំនួនកុំផ្លិច) ។

ទម្រង់នៃ SLAE នេះត្រូវបានគេហៅថា សំរបសំរួល.

អេ ទម្រង់ម៉ាទ្រីសប្រព័ន្ធសមីការនេះមានទម្រង់
កន្លែងណា - ម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ - ម៉ាទ្រីស - ជួរឈរនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ - ម៉ាទ្រីស - ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។

ប្រសិនបើយើងបន្ថែមទៅម៉ាទ្រីស A ជាជួរឈរ (n + 1)-th នៃជួរម៉ាទ្រីសនៃលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ នោះយើងទទួលបានអ្វីដែលគេហៅថា ម៉ាទ្រីសពង្រីកប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ជាធម្មតា ម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមត្រូវបានសម្គាល់ដោយអក្សរ T ហើយជួរឈរនៃសមាជិកទំនេរត្រូវបានបំបែកដោយបន្ទាត់បញ្ឈរពីជួរដែលនៅសល់ ពោលគឺ។

ដោយការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរហៅថាសំណុំនៃតម្លៃនៃអថេរមិនស្គាល់ ដែលប្រែសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធទៅជាអត្តសញ្ញាណ។ សមីការម៉ាទ្រីសសម្រាប់តម្លៃដែលបានផ្តល់ឱ្យនៃអថេរមិនស្គាល់ក៏ប្រែទៅជាអត្តសញ្ញាណមួយ។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធសមីការមានដំណោះស្រាយយ៉ាងតិចមួយ នោះគេហៅថា រួម.

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធនៃសមីការមិនមានដំណោះស្រាយទេនោះវាត្រូវបានគេហៅថា មិនឆបគ្នា។.

ប្រសិនបើ SLAE មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ នោះគេហៅថា ជាក់លាក់; ប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយច្រើនជាងមួយ នោះ មិនប្រាកដប្រជា.

ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃនៃសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងសូន្យ បន្ទាប់មកប្រព័ន្ធត្រូវបានគេហៅថា ដូចគ្នាបើមិនដូច្នេះទេ - ខុសគ្នា.

ដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធបឋមនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។

ប្រសិនបើចំនួនសមីការប្រព័ន្ធស្មើនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងរបស់វាគឺមិនស្មើនឹងសូន្យ នោះយើងនឹងហៅ SLAEs បែបនេះ។ បឋមសិក្សា. ប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ ហើយក្នុងករណីប្រព័ន្ធដូចគ្នា អថេរដែលមិនស្គាល់ទាំងអស់គឺស្មើនឹងសូន្យ។

យើងបានចាប់ផ្តើមសិក្សា SLAE បែបនេះនៅវិទ្យាល័យ។ នៅពេលដោះស្រាយពួកវា យើងបានយកសមីការមួយ បង្ហាញអថេរមិនស្គាល់មួយក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការដែលនៅសល់ បន្ទាប់មកយកសមីការបន្ទាប់ បង្ហាញអថេរមិនស្គាល់បន្ទាប់ ហើយជំនួសវាទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀត ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ឬពួកគេបានប្រើវិធីសាស្ត្របន្ថែម ពោលគឺពួកគេបានបន្ថែមសមីការពីរ ឬច្រើន ដើម្បីលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់មួយចំនួន។ យើងនឹងមិនរស់នៅលើវិធីសាស្រ្តទាំងនេះដោយលំអិតទេព្រោះវាគឺជាការកែប្រែសំខាន់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

វិធីសាស្រ្តសំខាន់ៗសម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធបឋមនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស និងវិធីសាស្ត្រ Gauss ។ ចូរតម្រៀបពួកវាចេញ។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។

អនុញ្ញាតឱ្យយើងត្រូវដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ

ដែលក្នុងនោះចំនួនសមីការគឺស្មើនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ ហើយកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺខុសពីសូន្យ ពោលគឺ .

ទុកជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ និង គឺជាកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសដែលទទួលបានពី A ដោយជំនួស ទី 1, ទី 2, ..., ទីជួរ​ឈរ​រៀង​ទៅ​ជួរ​ឈរ​នៃ​សមាជិក​ដោយ​ឥត​គិត​ថ្លៃ​:

ជាមួយនឹងការកត់សម្គាល់បែបនេះ អថេរដែលមិនស្គាល់ត្រូវបានគណនាដោយរូបមន្តនៃវិធីសាស្ត្រ Cramer ជា . នេះជារបៀបដែលដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។

ឧទាហរណ៍។

វិធីសាស្រ្ត Cramer .

ដំណោះស្រាយ។

ម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធមានទម្រង់ . គណនាកត្តាកំណត់របស់វា (បើចាំបាច់ សូមមើលអត្ថបទ)៖

ដោយសារកត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺមិនសូន្យ ប្រព័ន្ធមានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer ។

ចងក្រង និងគណនាកត្តាកំណត់ចាំបាច់ (កត្តាកំណត់ត្រូវបានទទួលដោយការជំនួសជួរឈរទីមួយក្នុងម៉ាទ្រីស A ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ កត្តាកំណត់ - ដោយជំនួសជួរឈរទីពីរជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ - ដោយជំនួសជួរឈរទីបីនៃម៉ាទ្រីស A ជាមួយនឹងជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ។ ):

ស្វែងរកអថេរមិនស្គាល់ដោយប្រើរូបមន្ត :

ចម្លើយ៖

គុណវិបត្តិចម្បងនៃវិធីសាស្រ្តរបស់ Cramer (ប្រសិនបើវាអាចត្រូវបានគេហៅថាគុណវិបត្តិ) គឺភាពស្មុគស្មាញនៃការគណនាកត្តាកំណត់នៅពេលដែលចំនួនសមីការប្រព័ន្ធមានច្រើនជាងបី។

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស (ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស)។

អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរត្រូវបានផ្តល់ជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលម៉ាទ្រីស A មានវិមាត្រ n ដោយ n ហើយកត្តាកំណត់របស់វាគឺមិនសូន្យ។

ចាប់តាំងពីពេលនោះមក ម៉ាទ្រីស A គឺដាក់បញ្ច្រាស ពោលគឺមានម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស។ ប្រសិនបើយើងគុណផ្នែកទាំងពីរនៃសមភាពដោយខាងឆ្វេង នោះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ស្វែងរកម៉ាទ្រីសជួរឈរនៃអថេរដែលមិនស្គាល់។ ដូច្នេះយើងទទួលបានដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្រ្តម៉ាទ្រីស។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរយើងសរសេរប្រព័ន្ធសមីការក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីសឡើងវិញ៖

ដោយសារតែ

បន្ទាប់មក SLAE អាចត្រូវបានដោះស្រាយដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស។ ដោយប្រើម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានរកឃើញដូច .

ចូរ​បង្កើត​ម៉ាទ្រីស​បញ្ច្រាស​ដោយ​ប្រើ​ម៉ាទ្រីស​នៃ​ការ​បំពេញ​បន្ថែម​ពិជគណិត​នៃ​ធាតុ​នៃ​ម៉ាទ្រីស A (បើ​ចាំបាច់​មើល​អត្ថបទ)៖

វានៅសល់ដើម្បីគណនា - ម៉ាទ្រីសនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ដោយគុណម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស នៅលើម៉ាទ្រីស-ជួរឈរនៃសមាជិកឥតគិតថ្លៃ (បើចាំបាច់ សូមមើលអត្ថបទ)៖

ចម្លើយ៖

ឬក្នុងសញ្ញាណមួយផ្សេងទៀត x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = −1 ។

បញ្ហាចម្បងក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីសគឺភាពស្មុគស្មាញនៃការស្វែងរកម៉ាទ្រីសបញ្ច្រាស ជាពិសេសសម្រាប់ម៉ាទ្រីសការ៉េនៃលំដាប់ខ្ពស់ជាងទីបី។

ដំណោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ឧបមាថាយើងត្រូវស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរដែលមិនស្គាល់
កត្តាកំណត់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់ដែលខុសពីសូន្យ។

ខ្លឹមសារនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussមាននៅក្នុងការបដិសេធជាបន្តបន្ទាប់នៃអថេរដែលមិនស្គាល់៖ ទីមួយ x 1 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ចាប់ផ្តើមពីទីពីរ បន្ទាប់មក x 2 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ចាប់ផ្តើមពីទីបី ហើយបន្តរហូតដល់មានតែអថេរមិនស្គាល់ x n នៅសល់ក្នុងសមីការចុងក្រោយ។ ដំណើរការបំប្លែងសមីការនៃប្រព័ន្ធសម្រាប់ការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss ផ្ទាល់. បន្ទាប់ពីការបញ្ចប់នៃការរត់ទៅមុខនៃវិធីសាស្ត្រ Gaussian x n ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការចុងក្រោយ x n-1 ត្រូវបានគណនាពីសមីការ penultimate ដោយប្រើតម្លៃនេះ ហើយដូច្នេះនៅលើ x 1 ត្រូវបានរកឃើញពីសមីការទីមួយ។ ដំណើរការនៃការគណនាអថេរដែលមិនស្គាល់នៅពេលផ្លាស់ទីពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធទៅទីមួយត្រូវបានគេហៅថា វិធីសាស្ត្រ Gauss បញ្ច្រាស.

ចូរយើងរៀបរាប់ដោយសង្ខេបអំពីក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់។

យើងនឹងសន្មត់ថា ដោយសារយើងតែងតែអាចសម្រេចបានវាដោយការរៀបចំសមីការនៃប្រព័ន្ធឡើងវិញ។ យើងដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ចេញពីសមីការទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធ ដោយចាប់ផ្តើមពីលេខទីពីរ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទីពីរនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមសមីការទី 1 គុណនឹងសមីការទី 3 ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមលេខទីមួយគុណនឹងសមីការ n ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់

កន្លែងណា ក .

យើងនឹងទទួលបានលទ្ធផលដូចគ្នា ប្រសិនបើយើងបង្ហាញ x 1 ក្នុងន័យនៃអថេរដែលមិនស្គាល់ផ្សេងទៀតនៅក្នុងសមីការដំបូងនៃប្រព័ន្ធ ហើយជំនួសកន្សោមលទ្ធផលទៅក្នុងសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ដូច្នេះ អថេរ x 1 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីពីរ។

បន្ទាប់យើងធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាប៉ុន្តែមានតែផ្នែកនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលប៉ុណ្ណោះដែលត្រូវបានសម្គាល់នៅក្នុងរូប

ដើម្បីធ្វើដូចនេះបន្ថែមគុណនឹងទីពីរទៅសមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធ បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការទីបួន ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត បន្ថែមទីពីរគុណនឹងសមីការ n ។ ប្រព័ន្ធនៃសមីការបន្ទាប់ពីការបំលែងបែបនេះនឹងមានទម្រង់

កន្លែងណា ក . ដូច្នេះ អថេរ x 2 ត្រូវបានដកចេញពីសមីការទាំងអស់ ដោយចាប់ផ្តើមពីទីបី។

បន្ទាប់មក យើងបន្តទៅការលុបបំបាត់ x 3 ដែលមិនស្គាល់ ខណៈពេលដែលធ្វើសកម្មភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយផ្នែកនៃប្រព័ន្ធដែលបានសម្គាល់ក្នុងរូប។

ដូច្នេះយើងបន្តវគ្គសិក្សាដោយផ្ទាល់នៃវិធីសាស្ត្រ Gauss រហូតដល់ប្រព័ន្ធទទួលបានទម្រង់

ចាប់ពីពេលនេះតទៅ យើងចាប់ផ្តើមដំណើរបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss៖ យើងគណនា x n ពីសមីការចុងក្រោយ ដោយប្រើតម្លៃដែលទទួលបាន x n យើងរកឃើញ x n-1 ពីសមីការ penultimate ហើយបន្តបន្ទាប់ទៀត យើងរកឃើញ x 1 ពីដំបូង។ សមីការ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរ វិធីសាស្រ្ត Gaussian ។

ដំណោះស្រាយ។

ចូរដកអថេរដែលមិនស្គាល់ x 1 ចេញពីសមីការទីពីរ និងទីបីនៃប្រព័ន្ធ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះទៅផ្នែកទាំងពីរនៃសមីការទីពីរ និងទីបី យើងបន្ថែមផ្នែកដែលត្រូវគ្នានៃសមីការទីមួយ គុណនឹង និងដោយរៀងគ្នា៖

ឥឡូវនេះ យើងដក x 2 ចេញពីសមីការទីបី ដោយបន្ថែមទៅផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំរបស់វា ផ្នែកខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃសមីការទីពីរ គុណនឹង៖

នៅលើនេះ, វគ្គសិក្សាទៅមុខនៃវិធីសាស្រ្ត Gauss ត្រូវបានបញ្ចប់, យើងចាប់ផ្តើមវគ្គសិក្សាបញ្ច្រាស។

ពីសមីការចុងក្រោយនៃប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការ យើងរកឃើញ x 3៖

ពីសមីការទីពីរយើងទទួលបាន។

ពីសមីការទីមួយ យើងរកឃើញអថេរដែលមិនស្គាល់ដែលនៅសល់ ហើយនេះបញ្ចប់វគ្គបញ្ច្រាសនៃវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ចម្លើយ៖

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1 ។

ប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ក្នុងករណីទូទៅ ចំនួនសមីការនៃប្រព័ន្ធ p មិនស្របគ្នាជាមួយនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ n:

SLAEs បែបនេះអាចគ្មានដំណោះស្រាយ មានដំណោះស្រាយតែមួយ ឬមានដំណោះស្រាយជាច្រើនគ្មានកំណត់។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍នេះក៏អនុវត្តចំពោះប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលម៉ាទ្រីសចម្បងគឺការ៉េ និង degenerate ។

ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។

មុននឹងស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធសមីការលីនេអ៊ែរ ចាំបាច់ត្រូវបង្កើតភាពឆបគ្នារបស់វា។ ចម្លើយចំពោះសំណួរនៅពេលដែល SLAE ត្រូវគ្នា ហើយនៅពេលដែលវាមិនឆបគ្នា ផ្តល់ឱ្យ ទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli:
សម្រាប់ប្រព័ន្ធនៃសមីការ p ជាមួយ n មិនស្គាល់ (p អាចស្មើនឹង n ) ដើម្បីឱ្យមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា វាចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់ដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក នោះគឺ ចំណាត់ថ្នាក់( ក)=ចំណាត់ថ្នាក់(T)។

ចូរយើងពិចារណាអំពីការអនុវត្តទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Cappelli សម្រាប់កំណត់ភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរជាឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

រកមើលថាតើប្រព័ន្ធនៃសមីការលីនេអ៊ែរមាន ដំណោះស្រាយ។

ដំណោះស្រាយ។

. ចូរយើងប្រើវិធីសាស្រ្តនៃព្រំដែនអនីតិជន។ អនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរ ខុសពីសូន្យ។ តោះទៅមើលអនីតិជនលំដាប់ទីបីជុំវិញវា៖

ដោយសារអនីតិជនលំដាប់ទីបីដែលមានព្រំប្រទល់ទាំងអស់ស្មើនឹងសូន្យ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺពីរ។

នៅក្នុងវេន ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែម គឺស្មើនឹងបី ចាប់តាំងពីអនីតិជននៃលំដាប់ទីបី

ខុសពីសូន្យ។

ដោយវិធីនេះ Rang(A) ដូច្នេះយោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli យើងអាចសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ចម្លើយ៖

មិនមានប្រព័ន្ធដំណោះស្រាយទេ។

ដូច្នេះ យើងបានរៀនបង្កើតភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃប្រព័ន្ធដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli។

ប៉ុន្តែតើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីស្វែងរកដំណោះស្រាយនៃ SLAE ប្រសិនបើភាពឆបគ្នារបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើង?

ដើម្បីធ្វើដូច្នេះបាន យើងត្រូវការគោលគំនិតនៃអនីតិជនមូលដ្ឋាននៃម៉ាទ្រីសមួយ និងទ្រឹស្តីបទលើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមួយ។

អនីតិជនលំដាប់ខ្ពស់បំផុតនៃម៉ាទ្រីស A ដែលក្រៅពីសូន្យត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋាន.

វាធ្វើតាមនិយមន័យនៃអនីតិជនមូលដ្ឋានដែលលំដាប់របស់វាស្មើនឹងលំដាប់នៃម៉ាទ្រីស។ សម្រាប់ម៉ាទ្រីស A ដែលមិនមែនជាសូន្យ អាចមានអនីតិជនជាមូលដ្ឋានជាច្រើន វាតែងតែមានអនីតិជនជាមូលដ្ឋានមួយ។

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាម៉ាទ្រីស .

អនីតិជនលំដាប់ទីបីទាំងអស់នៃម៉ាទ្រីសនេះគឺស្មើនឹងសូន្យ ចាប់តាំងពីធាតុនៃជួរទីបីនៃម៉ាទ្រីសនេះគឺជាផលបូកនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរទីមួយ និងទីពីរ។

អនីតិជនខាងក្រោមនៃលំដាប់ទីពីរគឺជាមូលដ្ឋាន ព្រោះវាមិនមែនជាសូន្យ

អនីតិជន មិនជាមូលដ្ឋានទេ ព្រោះពួកវាស្មើនឹងសូន្យ។

ទ្រឹស្តីបទចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស។

ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនៃលំដាប់ p ដោយ n គឺ r នោះធាតុទាំងអស់នៃជួរដេក (និងជួរឈរ) នៃម៉ាទ្រីសដែលមិនបង្កើតជាមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើសត្រូវបានបញ្ជាក់ជាលីនេអ៊ែរនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃធាតុដែលត្រូវគ្នានៃជួរដេក (និងជួរឈរ។ ) ដែលបង្កើតជាអនីតិជនមូលដ្ឋាន។

តើទ្រឹស្តីបទចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសផ្តល់ឱ្យយើងអ្វីខ្លះ?

ប្រសិនបើតាមទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli យើងបានបង្កើតភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធ នោះយើងជ្រើសរើសអនីតិជនមូលដ្ឋានណាមួយនៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ (លំដាប់របស់វាគឺស្មើនឹង r) ហើយដកចេញពីប្រព័ន្ធសមីការទាំងអស់ដែលមិនមាន បង្កើតអនីតិជនមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើស។ SLAE ដែលទទួលបានតាមវិធីនេះនឹងស្មើនឹងសមីការដើម ដោយសារសមីការដែលបានបោះចោលនៅតែមិនមានដដែល (យោងទៅតាមទ្រឹស្តីបទចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស វាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃសមីការដែលនៅសល់)។

ជាលទ្ធផលបន្ទាប់ពីបោះបង់សមីការលើសនៃប្រព័ន្ធនេះ ករណីពីរអាចធ្វើទៅបាន។

ប្រសិនបើចំនួនសមីការ r នៅក្នុងប្រព័ន្ធលទ្ធផលគឺស្មើនឹងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់នោះ វានឹងត្រូវបានកំណត់ ហើយដំណោះស្រាយតែមួយគត់អាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ឧទាហរណ៍។

.

ដំណោះស្រាយ។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ គឺស្មើនឹងពីរ ចាប់តាំងពីអនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរ ខុសពីសូន្យ។ ចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីសបន្ថែម ក៏ស្មើនឹងពីរដែរ ព្រោះអនីតិជនតែមួយគត់នៃលំដាប់ទីបីគឺស្មើសូន្យ

ហើយអនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរដែលបានពិចារណាខាងលើគឺខុសពីសូន្យ។ ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli មនុស្សម្នាក់អាចអះអាងពីភាពឆបគ្នានៃប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ ចាប់តាំងពី Rank(A)=Rank(T)=2 ។

ក្នុងនាមជាអនីតិជនមូលដ្ឋានយើងយក . វាត្រូវបានបង្កើតឡើងដោយមេគុណនៃសមីការទីមួយ និងទីពីរ៖


សមីការទីបីនៃប្រព័ន្ធមិនចូលរួមក្នុងការបង្កើតអនីតិជនមូលដ្ឋានទេ ដូច្នេះយើងដកវាចេញពីប្រព័ន្ធដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទចំណាត់ថ្នាក់ម៉ាទ្រីស៖


ដូច្នេះហើយ យើងបានទទួលប្រព័ន្ធបឋមនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ។ ចូរដោះស្រាយវាដោយវិធីសាស្ត្ររបស់ Cramer៖


ចម្លើយ៖

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d ២.

ប្រសិនបើចំនួនសមីការ r ក្នុង SLAE លទ្ធផលគឺតិចជាងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់ n នោះយើងទុកពាក្យដែលបង្កើតជាអនីតិជនជាមូលដ្ឋាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការ ហើយផ្ទេរពាក្យដែលនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការ។ ប្រព័ន្ធដែលមានសញ្ញាផ្ទុយ។

អថេរដែលមិនស្គាល់ (មាន r ក្នុងចំណោមពួកវា) ដែលនៅសេសសល់នៅខាងឆ្វេងដៃនៃសមីការត្រូវបានគេហៅថា មេ.

អថេរដែលមិនស្គាល់ (មាន n - r ក្នុងចំណោមពួកវា) ដែលបញ្ចប់នៅខាងស្តាំត្រូវបានគេហៅថា ឥតគិតថ្លៃ.

ឥឡូវនេះយើងសន្មត់ថាអថេរដែលមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃអាចយកតម្លៃតាមអំពើចិត្ត ខណៈពេលដែលអថេរដែលមិនស្គាល់សំខាន់ r នឹងត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃក្នុងវិធីតែមួយគត់។ ការបញ្ចេញមតិរបស់ពួកគេអាចត្រូវបានរកឃើញដោយការដោះស្រាយលទ្ធផល SLAE ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

សូមលើកឧទាហរណ៍មួយ។

ឧទាហរណ៍។

ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ .

ដំណោះស្រាយ។

ស្វែងរកចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ ដោយវិធីសាស្រ្តអនីតិជនព្រំដែន។ ចូរយើងយក 1 1 = 1 ជាអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យ។ តោះចាប់ផ្តើមស្វែងរកអនីតិជនលំដាប់ទីពីរដែលមិនមែនជាសូន្យជុំវិញអនីតិជននេះ៖


ដូច្នេះយើងបានរកឃើញអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ទីពីរ។ ចូរចាប់ផ្តើមស្វែងរកអនីតិជនដែលមិនមានព្រំដែននៃលំដាប់ទីបី៖


ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់គឺបី។ ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានបន្ថែមក៏ស្មើនឹងបីដែរ ពោលគឺប្រព័ន្ធគឺស្រប។

អនីតិជន​ដែល​មិន​មែន​សូន្យ​ដែល​រក​ឃើញ​នៃ​លំដាប់​ទី​បី​នឹង​ត្រូវ​យក​ជា​មូលដ្ឋាន។

ដើម្បីអោយកាន់តែច្បាស់ យើងបង្ហាញធាតុដែលបង្កើតជាអនីតិជនមូលដ្ឋាន៖


យើងទុកលក្ខខណ្ឌដែលចូលរួមក្នុងអនីតិជនមូលដ្ឋាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ ហើយផ្ទេរអ្វីដែលនៅសល់ដោយសញ្ញាផ្ទុយទៅផ្នែកខាងស្តាំ៖


យើងផ្តល់អថេរដែលមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃ x 2 និង x 5 តម្លៃបំពាន នោះគឺយើងយក ដែលជាកន្លែងដែលមានលេខបំពាន។ ក្នុងករណីនេះ SLAE យកទម្រង់


យើងដោះស្រាយប្រព័ន្ធបឋមដែលទទួលបាននៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer៖


ជាលទ្ធផល, ។

នៅក្នុងចម្លើយ កុំភ្លេចបង្ហាញអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ។

ចម្លើយ៖

តើលេខបំពាននៅឯណា។

សង្ខេប។

ដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅមួយ ដំបូងយើងស្វែងរកភាពឆបគ្នារបស់វាដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli ។ ប្រសិនបើ​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ចម្បង​មិន​ស្មើ​នឹង​ចំណាត់ថ្នាក់​នៃ​ម៉ាទ្រីស​ដែល​បាន​ពង្រីក នោះ​យើង​សន្និដ្ឋាន​ថា​ប្រព័ន្ធ​នេះ​មិន​ស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ប្រសិនបើចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីកនោះ យើងជ្រើសរើសអនីតិជនមូលដ្ឋាន ហើយបោះបង់សមីការនៃប្រព័ន្ធដែលមិនចូលរួមក្នុងការបង្កើតអនីតិជនមូលដ្ឋានដែលបានជ្រើសរើស។

ប្រសិនបើលំដាប់នៃអនីតិជនមូលដ្ឋានគឺស្មើនឹងចំនួននៃអថេរដែលមិនស្គាល់នោះ SLAE មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់ដែលអាចត្រូវបានរកឃើញដោយវិធីសាស្រ្តណាមួយដែលយើងស្គាល់។

ប្រសិនបើលំដាប់នៃអនីតិជនមូលដ្ឋានមានតិចជាងចំនួនអថេរដែលមិនស្គាល់នោះ នៅផ្នែកខាងឆ្វេងនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធ យើងទុកលក្ខខណ្ឌជាមួយនឹងអថេរមិនស្គាល់សំខាន់ ផ្ទេរលក្ខខណ្ឌដែលនៅសល់ទៅផ្នែកខាងស្តាំ ហើយកំណត់តម្លៃតាមអំពើចិត្ត។ ទៅអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ។ ពីប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃសមីការលីនេអ៊ែរ យើងរកឃើញអថេរមិនស្គាល់សំខាន់ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer វិធីសាស្ត្រម៉ាទ្រីស ឬវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ដោយប្រើវិធីសាស្រ្ត Gauss មនុស្សម្នាក់អាចដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃប្រភេទណាមួយដោយគ្មានការស៊ើបអង្កេតបឋមរបស់ពួកគេសម្រាប់ភាពឆបគ្នា។ ដំណើរការនៃការលុបបំបាត់អថេរដែលមិនស្គាល់ជាបន្តបន្ទាប់ធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីភាពឆបគ្នា និងភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នានៃ SLAE ហើយប្រសិនបើមានដំណោះស្រាយនោះ វាធ្វើឱ្យវាអាចស្វែងរកវាបាន។

តាមទស្សនៈនៃការងារគណនា វិធីសាស្ត្រ Gaussian គឺល្អជាង។

សូមមើលការពិពណ៌នាលម្អិត និងឧទាហរណ៍ដែលបានវិភាគរបស់វានៅក្នុងអត្ថបទ វិធីសាស្ត្រ Gauss សម្រាប់ដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅ។

ការកត់ត្រាដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធពិជគណិតលីនេអ៊ែរដូចគ្នានិងមិនដូចគ្នា ដោយប្រើវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ។

នៅក្នុងផ្នែកនេះ យើងនឹងផ្តោតលើប្រព័ន្ធដូចគ្នា និង inhomogeneous នៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដែលមានចំនួនដំណោះស្រាយគ្មានកំណត់។

ចូរយើងដោះស្រាយជាមួយប្រព័ន្ធដូចគ្នាជាមុនសិន។

ប្រព័ន្ធការសម្រេចចិត្តជាមូលដ្ឋានប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរជាមួយ n អថេរមិនស្គាល់គឺជាសំណុំនៃ (n – r) ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃប្រព័ន្ធនេះ ដែល r គឺជាលំដាប់នៃមូលដ្ឋានអនីតិជននៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ។

ប្រសិនបើយើងកំណត់ដំណោះស្រាយឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃ SLAE ដូចគ្នាជា X (1), X (2), …, X (n-r) (X (1), X (2), …, X (n-r) គឺជាជួរឈរម៉ាទ្រីសនៃវិមាត្រ n ដោយ 1) បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានេះត្រូវបានតំណាងជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយជាមួយនឹងមេគុណថេរតាមអំពើចិត្ត С 1 , С 2 , … , С (n-r) ពោលគឺ .

តើ​ពាក្យ​ដំណោះស្រាយ​ទូទៅ​នៃ​ប្រព័ន្ធ​ដូចគ្នា​នៃ​សមីការ​ពិជគណិត​លីនេអ៊ែរ (oroslau) មានន័យ​ដូចម្តេច?

អត្ថន័យគឺសាមញ្ញ៖ រូបមន្តបញ្ជាក់ពីដំណោះស្រាយដែលអាចធ្វើបានទាំងអស់ចំពោះ SLAE ដើម បើនិយាយម្យ៉ាងទៀត យកសំណុំនៃតម្លៃណាមួយនៃថេរបំពាន C 1 , C 2 , ... , C (n-r) យោងទៅតាមរូបមន្តដែលយើង នឹងទទួលបានដំណោះស្រាយមួយនៃ SLAE ដើមដូចគ្នា។

ដូច្នេះ ប្រសិនបើយើងរកឃើញប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ នោះយើងអាចកំណត់ដំណោះស្រាយទាំងអស់នៃ SLAE ដូចគ្នានេះជា .

សូមឱ្យយើងបង្ហាញពីដំណើរការនៃការបង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយសម្រាប់ SLAE ដូចគ្នា។

យើងជ្រើសរើសអនីតិជនជាមូលដ្ឋាននៃប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ មិនរាប់បញ្ចូលសមីការផ្សេងទៀតទាំងអស់ពីប្រព័ន្ធ ហើយផ្ទេរទៅផ្នែកខាងស្តាំនៃសមីការនៃប្រព័ន្ធដែលមានសញ្ញាផ្ទុយពាក្យទាំងអស់ដែលមានអថេរមិនស្គាល់ឥតគិតថ្លៃ។ ចូរផ្តល់អថេរមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃនូវតម្លៃ 1,0,0,…,0 ហើយគណនាចំនួនមិនស្គាល់សំខាន់ៗដោយដោះស្រាយប្រព័ន្ធបឋមលទ្ធផលនៃសមីការលីនេអ៊ែរតាមមធ្យោបាយណាមួយ ឧទាហរណ៍ដោយវិធីសាស្ត្រ Cramer ។ ដូច្នេះ X (1) នឹងត្រូវបានទទួល - ដំណោះស្រាយដំបូងនៃប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាន។ ប្រសិនបើយើងផ្តល់តម្លៃមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃនូវតម្លៃ 0,1,0,0,…,0 ហើយគណនាមិនស្គាល់សំខាន់ៗ នោះយើងទទួលបាន X (2) ។ ល​ល។ ប្រសិនបើយើងផ្តល់អថេរមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃនូវតម្លៃ 0,0,…,0,1 ហើយគណនាចំនួនមិនស្គាល់សំខាន់ៗ នោះយើងទទួលបាន X (n-r) ។ នេះជារបៀបដែលប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃ SLAE ដូចគ្នានឹងត្រូវបានសាងសង់ ហើយដំណោះស្រាយទូទៅរបស់វាអាចត្រូវបានសរសេរជាទម្រង់។

សម្រាប់ប្រព័ន្ធ inhomogeneous នៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ ដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវបានតំណាងថាជា

សូមក្រឡេកមើលឧទាហរណ៍។

ឧទាហរណ៍។

ស្វែងរកប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយ និងដំណោះស្រាយទូទៅនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ .

ដំណោះស្រាយ។

ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងនៃប្រព័ន្ធដូចគ្នានៃសមីការលីនេអ៊ែរគឺតែងតែស្មើនឹងចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសដែលបានពង្រីក។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងរកឃើញចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងដោយវិធីសាស្រ្តនៃការ fringing អនីតិជន។ ក្នុងនាមជាអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យនៃលំដាប់ទីមួយ យើងយកធាតុ 1 1 = 9 នៃម៉ាទ្រីសសំខាន់នៃប្រព័ន្ធ។ ស្វែងរកអនីតិជនដែលមិនមានព្រំដែននៃលំដាប់ទីពីរ៖

អនីតិជននៃលំដាប់ទីពីរដែលខុសពីសូន្យត្រូវបានរកឃើញ។ ចូរយើងឆ្លងកាត់អនីតិជនលំដាប់ទីបីដែលជាប់ព្រំដែនវា ដើម្បីស្វែងរកអនីតិជនដែលមិនមែនជាសូន្យ៖

អនីតិជនដែលមានព្រំប្រទល់ទាំងអស់នៃលំដាប់ទីបីគឺស្មើនឹងសូន្យ ដូច្នេះចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសមេ និងពង្រីកគឺពីរ។ ចូរយើងយកអនីតិជនជាមូលដ្ឋាន។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ យើងកត់សំគាល់ធាតុនៃប្រព័ន្ធដែលបង្កើតវា៖

សមីការទីបីនៃ SLAE ដើមមិនចូលរួមក្នុងការបង្កើតអនីតិជនមូលដ្ឋានទេ ដូច្នេះវាអាចត្រូវបានដកចេញ៖

យើងទុកលក្ខខណ្ឌដែលមានការមិនស្គាល់សំខាន់ៗនៅខាងស្តាំដៃនៃសមីការ ហើយផ្ទេរលក្ខខណ្ឌដោយមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃទៅផ្នែកខាងស្តាំ៖

ចូរយើងបង្កើតប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធដើមនៃសមីការលីនេអ៊ែរ។ ប្រព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃដំណោះស្រាយនៃ SLAE នេះមានដំណោះស្រាយពីរ ចាប់តាំងពី SLAE ដើមមានអថេរដែលមិនស្គាល់ចំនួន 4 ហើយលំដាប់នៃអនីតិជនជាមូលដ្ឋានរបស់វាគឺពីរ។ ដើម្បីស្វែងរក X (1) យើងផ្តល់ឱ្យអថេរមិនស្គាល់ដោយឥតគិតថ្លៃនូវតម្លៃ x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 បន្ទាប់មកយើងរកឃើញមិនស្គាល់សំខាន់ៗពីប្រព័ន្ធសមីការ
.