ទ្រឹស្តីនៃការរំញ័រមេកានិច។ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃការរំញ័រនៃប្រព័ន្ធមេកានិច

យើងបានមើលរួចហើយនូវប្រភពដើមនៃមេកានិចបុរាណ កម្លាំងនៃសម្ភារៈ និងទ្រឹស្តីនៃការបត់បែន។ សមាសធាតុសំខាន់បំផុតនៃមេកានិចក៏ជាទ្រឹស្តីនៃលំយោលផងដែរ។ រំញ័រគឺជាមូលហេតុចម្បងនៃការបំផ្លាញម៉ាស៊ីននិងរចនាសម្ព័ន្ធ។ នៅចុងទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1950 ។ 80% នៃឧបទ្ទវហេតុឧបករណ៍បានកើតឡើងដោយសារតែការកើនឡើងរំញ័រ។ ការរំញ័រក៏មានឥទ្ធិពលបង្កគ្រោះថ្នាក់ដល់មនុស្សដែលចូលរួមក្នុងប្រតិបត្តិការឧបករណ៍។ ពួកគេក៏អាចបណ្តាលឱ្យបរាជ័យនៃប្រព័ន្ធគ្រប់គ្រងផងដែរ។

ទោះបីជាទាំងអស់នេះក៏ដោយ ទ្រឹស្ដីនៃលំយោលបានលេចចេញជាវិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យតែនៅវេននៃសតវត្សទី 19 ប៉ុណ្ណោះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយការគណនាម៉ាស៊ីននិងយន្តការរហូតដល់ការចាប់ផ្តើម សតវត្សទី XX ត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងស្ថានភាពឋិតិវន្ត។ ការអភិវឌ្ឍន៍វិស្វកម្មមេកានិក ការកើនឡើងថាមពល និងល្បឿននៃម៉ាស៊ីនចំហាយទឹក ក្នុងពេលដំណាលគ្នាកាត់បន្ថយទម្ងន់ ការលេចឡើងនៃម៉ាស៊ីនប្រភេទថ្មី - ម៉ាស៊ីនចំហេះខាងក្នុង និងទួរប៊ីនចំហាយទឹក - នាំឱ្យមានតម្រូវការក្នុងការអនុវត្តការគណនាកម្លាំងដោយគិតគូរអំពីថាមវន្ត។ បន្ទុក។ តាមក្បួនមួយបញ្ហាថ្មីនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការរំញ័របានកើតឡើងនៅក្នុងបច្ចេកវិទ្យាដែលស្ថិតនៅក្រោមឥទ្ធិពលនៃគ្រោះថ្នាក់ឬសូម្បីតែមហន្តរាយដែលបណ្តាលមកពីការកើនឡើងនៃរំញ័រ។

Oscillations គឺជាចលនា ឬការផ្លាស់ប្តូរនៅក្នុងស្ថានភាពដែលមានកម្រិតខុសគ្នានៃភាពអាចធ្វើម្តងទៀតបាន។

ទ្រឹស្ដី Oscillation អាចចែកចេញជា 4 ដំណាក់កាល។

ខ្ញុំរយៈពេល- ការលេចឡើងនៃទ្រឹស្តីនៃការយោលក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃទ្រឹស្តីមេកានិច (ចុងសតវត្សទី 16 - ចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 18) ។ រយៈពេលនេះត្រូវបានកំណត់លក្ខណៈដោយការលេចឡើង និងការអភិវឌ្ឍនៃថាមវន្តនៅក្នុងស្នាដៃរបស់ Galileo, Huygens, Newton, d'Alembert, Euler, D. Bernoulli និង Lagrange ។

ស្ថាបនិកទ្រឹស្តីនៃលំយោលគឺ Leonhard Euler ។ នៅឆ្នាំ 1737 L. Euler ក្នុងនាមបណ្ឌិតសភាវិទ្យាសាស្ត្រ St. Petersburg បានចាប់ផ្តើមស្រាវជ្រាវអំពីតុល្យភាព និងចលនារបស់កប៉ាល់ ហើយនៅឆ្នាំ 1749 សៀវភៅរបស់គាត់ "Ship Science" ត្រូវបានបោះពុម្ពនៅ St. វាគឺនៅក្នុងការងាររបស់អយល័រនេះ ដែលមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃស្ថេរភាពឋិតិវន្ត និងទ្រឹស្តីនៃលំយោលត្រូវបានដាក់។

លោក Jean Leron d'Alembert នៅក្នុងស្នាដៃជាច្រើនរបស់គាត់ បានពិនិត្យមើលបញ្ហាបុគ្គល ដូចជាការយោលតូចៗនៃរាងកាយជុំវិញកណ្តាលនៃម៉ាស់ និងជុំវិញអ័ក្សនៃការបង្វិលទាក់ទងនឹងបញ្ហានៃមុន និង nutation នៃផែនដី ការយោលនៃប៉ោល រាងកាយអណ្តែតទឹក និទាឃរដូវ។ល។ ប៉ុន្តែទ្រឹស្តីទូទៅ d'Alembert មិនបានបង្កើតការស្ទាក់ស្ទើរណាមួយឡើយ។

ការអនុវត្តដ៏សំខាន់បំផុតនៃវិធីសាស្រ្តនៃទ្រឹស្ដីរំញ័រគឺការពិសោធន៍កំណត់ភាពរឹងនៃខ្សែដែលធ្វើឡើងដោយ Charles Coulomb ។ Coulomb ក៏បានធ្វើពិសោធន៍ផងដែរ បានបង្កើតទ្រព្យសម្បត្តិនៃ isochronism នៃលំយោលតូចៗនៅក្នុងបញ្ហានេះ។ ដោយសិក្សាពីភាពសើមនៃរំញ័រ អ្នកពិសោធន៍ដ៏អស្ចារ្យនេះបានសន្និដ្ឋានថា មូលហេតុចម្បងរបស់វាគឺមិនធន់នឹងខ្យល់ ប៉ុន្តែការខាតបង់ពីការកកិតខាងក្នុងនៅក្នុងសម្ភារៈខ្សែ។

ការរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងចំពោះមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីលំយោលត្រូវបានធ្វើឡើងដោយ L. Euler ដែលបានដាក់មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃទ្រឹស្តីនៃស្ថេរភាពឋិតិវន្ត និងទ្រឹស្តីនៃលំយោលតូចៗ d'Alembert, D. Bernoulli និង Lagrange នៅក្នុងស្នាដៃរបស់ពួកគេ គោលគំនិតនៃរយៈពេល និងភាពញឹកញាប់នៃលំយោល រូបរាងនៃលំយោលត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយពាក្យលំយោលតូចបានចូលប្រើ គោលការណ៍នៃការដាក់លើសនៃដំណោះស្រាយត្រូវបានបង្កើត ហើយការប៉ុនប៉ងត្រូវបានធ្វើឡើងដើម្បីពង្រីកដំណោះស្រាយទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រ។

បញ្ហាដំបូងនៃទ្រឹស្តីនៃលំយោលគឺបញ្ហានៃការយោលនៃប៉ោល និងខ្សែមួយ។ យើងបាននិយាយរួចហើយអំពីការយោលនៃប៉ោល - លទ្ធផលជាក់ស្តែងនៃការដោះស្រាយបញ្ហានេះគឺការច្នៃប្រឌិតនាឡិកាដោយ Huygens ។

ចំពោះបញ្ហានៃការរំញ័រខ្សែអក្សរ នេះគឺជាបញ្ហាសំខាន់បំផុតមួយនៅក្នុងប្រវត្តិសាស្ត្រនៃការអភិវឌ្ឍន៍គណិតវិទ្យា និងមេកានិច។ ចូរយើងពិនិត្យមើលឱ្យកាន់តែច្បាស់។

ខ្សែអក្សរសូរស័ព្ទនេះគឺជាខ្សែស្រឡាយដ៏ល្អ រលោង ស្តើង និងអាចបត់បែនបាននៃប្រវែងកំណត់ដែលធ្វើពីសម្ភារៈរឹង ដែលលាតសន្ធឹងរវាងចំណុចថេរពីរ។ នៅក្នុងការបកស្រាយសម័យទំនើបបញ្ហានៃការរំញ័រឆ្លងកាត់នៃខ្សែនៃប្រវែងមួយ។ លីត្រកាត់បន្ថយក្នុងការស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល (1) នៅក្នុងដេរីវេដោយផ្នែក។ នៅទីនេះ xគឺ​ជា​កូអរដោណេ​នៃ​ចំណុច​ខ្សែ​នៅ​តាម​បណ្តោយ និង y- ការផ្លាស់ទីលំនៅឆ្លងកាត់របស់វា; ហ- ភាពតានតឹងខ្សែ, - ទំងន់រត់របស់វា។ កគឺជាល្បឿននៃការសាយភាយរលក។ សមីការស្រដៀងគ្នានេះក៏ពិពណ៌នាអំពីរំញ័របណ្តោយនៃជួរឈរខ្យល់នៅក្នុងបំពង់។

ក្នុងករណីនេះ ការចែកចាយដំបូងនៃគម្លាតនៃចំណុចខ្សែពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ និងល្បឿនរបស់ពួកគេត្រូវតែបញ្ជាក់ ពោលគឺឧ។ សមីការ (1) ត្រូវតែបំពេញលក្ខខណ្ឌដំបូង (2) និងលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (3) ។

ការសិក្សាពិសោធន៍ជាមូលដ្ឋានដំបូងនៃការរំញ័រខ្សែត្រូវបានអនុវត្តដោយគណិតវិទូ និងមេកានិកជនជាតិហូឡង់ Isaac Beckmann (1614–1618) និង M. Mersenne ដែលបានបង្កើតភាពទៀងទាត់មួយចំនួន និងបានបោះពុម្ពលទ្ធផលរបស់គាត់នៅឆ្នាំ 1636 នៅក្នុង "Book of Consonances"៖

ច្បាប់របស់ Mersenne ត្រូវបានបញ្ជាក់តាមទ្រឹស្តីនៅឆ្នាំ 1715 ដោយសិស្សរបស់ញូវតុន Brooke Taylor ។ គាត់ចាត់ទុកខ្សែអក្សរជាប្រព័ន្ធនៃចំណុចសម្ភារៈ ហើយទទួលយកការសន្មត់ដូចខាងក្រោមៈ ចំណុចទាំងអស់នៃខ្សែអក្សរក្នុងពេលដំណាលគ្នាឆ្លងកាត់ទីតាំងលំនឹងរបស់ពួកគេ (ស្របគ្នានឹងអ័ក្ស x) ហើយកម្លាំងដែលធ្វើសកម្មភាពលើចំណុចនីមួយៗគឺសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅរបស់វា។ yទាក់ទងទៅនឹងអ័ក្ស x. នេះមានន័យថាវាកាត់បន្ថយបញ្ហាទៅជាប្រព័ន្ធមួយដែលមានសេរីភាពមួយកម្រិត - សមីការ (4) ។ Taylor ទទួលបានប្រេកង់ធម្មជាតិដំបូងយ៉ាងត្រឹមត្រូវ (សម្លេងមូលដ្ឋាន) - (5) ។

D'Alembert ក្នុងឆ្នាំ 1747 សម្រាប់បញ្ហានេះបានអនុវត្តវិធីសាស្រ្តកាត់បន្ថយបញ្ហានៃឌីណាមិកទៅនឹងបញ្ហានៃឋិតិវន្ត (គោលការណ៍របស់ d'Alembert) និងទទួលបានសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃលំយោលនៃខ្សែអក្សរដូចគ្នានៅក្នុងនិស្សន្ទវត្ថុផ្នែក (1) - សមីការដំបូងនៃ រូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា។ គាត់បានស្វែងរកដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះក្នុងទម្រង់ជាផលបូកនៃអនុគមន៍បំពានពីរ (6)

កន្លែងណា និង - មុខងារតាមកាលកំណត់នៃរយៈពេល 2 លីត្រ. នៅពេលបំភ្លឺសំណួរអំពីប្រភេទនៃមុខងារ និង d'Alembert យកទៅក្នុងគណនីលក្ខខណ្ឌព្រំដែន (1.2) ដោយសន្មតថានៅពេលណា
ខ្សែអក្សរស្របគ្នានឹងអ័ក្ស x. អត្ថន័យគឺ
មិនបានបញ្ជាក់នៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍បញ្ហា។

អយល័រពិចារណាករណីពិសេសនៅពេល
ខ្សែត្រូវបានផ្លាតចេញពីទីតាំងលំនឹងរបស់វា ហើយបញ្ចេញដោយគ្មានល្បឿនដំបូង។ រឿងសំខាន់គឺថាអយល័រមិនដាក់កម្រិតលើរូបរាងដំបូងនៃខ្សែអក្សរទេ i.e. មិនតម្រូវឱ្យវាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយវិភាគដោយពិចារណាខ្សែកោងណាមួយដែល "អាចត្រូវបានគូរដោយដៃ" ។ លទ្ធផលចុងក្រោយដែលទទួលបានដោយអ្នកនិពន្ធ៖ ប្រសិនបើ
រូបរាងនៃខ្សែអក្សរត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការ
បន្ទាប់មកលំយោលមើលទៅដូចនេះ (7) ។ អយល័រ​បាន​កែប្រែ​ទស្សនៈ​របស់គាត់​លើ​គោលគំនិត​នៃ​មុខងារ ដែល​ផ្ទុយ​ពី​គំនិត​មុន​របស់​វា​ត្រឹមតែ​ជា​ការបញ្ចេញមតិ​វិភាគ​ប៉ុណ្ណោះ។ ដូច្នេះ ថ្នាក់នៃមុខងារដែលត្រូវសិក្សាក្នុងការវិភាគត្រូវបានពង្រីក ហើយអយល័របានសន្និដ្ឋានថា "ចាប់តាំងពីមុខងារណាមួយនឹងកំណត់បន្ទាត់ជាក់លាក់មួយ ការសន្ទនាក៏ជាការពិតដែរ - បន្ទាត់កោងអាចត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាមុខងារ" ។

ដំណោះស្រាយដែលទទួលបានដោយ d'Alembert និង Euler តំណាងឱ្យច្បាប់នៃលំយោលខ្សែក្នុងទម្រង់នៃរលកពីរដែលកំពុងរត់ឆ្ពោះទៅរកគ្នាទៅវិញទៅមក។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ពួកគេមិនយល់ស្របលើសំណួរនៃទម្រង់នៃមុខងារកំណត់ខ្សែកោងនោះទេ។

D. Bernoulli បានដើរតាមផ្លូវផ្សេងក្នុងការសិក្សាអំពីរំញ័រខ្សែអក្សរ ដោយបំបែកខ្សែអក្សរទៅជាចំណុចសម្ភារៈ ដែលជាចំនួនដែលគាត់ចាត់ទុកថាគ្មានកំណត់។ គាត់ណែនាំពីគំនិតនៃលំយោលអាម៉ូនិកសាមញ្ញនៃប្រព័ន្ធមួយ i.e. ចលនាបែបនេះដែលចំណុចទាំងអស់នៃប្រព័ន្ធញ័រក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយនឹងប្រេកង់ដូចគ្នា ប៉ុន្តែទំហំខុសគ្នា។ ការពិសោធដែលបានធ្វើឡើងជាមួយនឹងរាងកាយដែលមានសំឡេងបាននាំ D. Bernoulli ទៅរកគំនិតដែលថាចលនាទូទៅបំផុតនៃខ្សែមួយមាននៅក្នុងដំណើរការដំណាលគ្នានៃចលនាទាំងអស់ដែលមានសម្រាប់វា។ នេះគឺជាអ្វីដែលគេហៅថា superposition នៃដំណោះស្រាយ។ ដូច្នេះនៅឆ្នាំ 1753 ដោយផ្អែកលើការពិចារណាលើរូបវន្ត គាត់បានទទួលដំណោះស្រាយទូទៅសម្រាប់ការរំញ័រខ្សែ ដោយបង្ហាញវាជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយមួយផ្នែក សម្រាប់ខ្សែនីមួយៗដែលពត់ក្នុងទម្រង់ជាខ្សែកោងលក្ខណៈ (8)។

នៅក្នុងស៊េរីនេះ របៀបលំយោលទីមួយគឺជារលកស៊ីនុសពាក់កណ្តាល ទីពីរគឺជារលកស៊ីនុសទាំងមូល ទីបីមានរលកពាក់កណ្តាលស៊ីនុសចំនួនបី។ល។ ទំហំរបស់ពួកវាត្រូវបានតំណាងថាជាមុខងារនៃពេលវេលា ហើយនៅក្នុងខ្លឹមសារគឺជាកូអរដោនេទូទៅនៃប្រព័ន្ធដែលកំពុងពិចារណា។ យោងតាមដំណោះស្រាយរបស់ D. Bernoulli ចលនានៃខ្សែអក្សរគឺជាស៊េរីនៃលំយោលអាម៉ូនិកគ្មានកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេល
. ក្នុងករណីនេះចំនួនថ្នាំង (ចំណុចថេរ) គឺមួយតិចជាងចំនួនប្រេកង់ធម្មជាតិ។ ការកំណត់ស៊េរី (8) ដល់ចំនួនកំណត់នៃពាក្យ យើងទទួលបានចំនួនកំណត់នៃសមីការសម្រាប់ប្រព័ន្ធបន្ត។

ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយដំណោះស្រាយរបស់ D. Bernoulli មានភាពមិនត្រឹមត្រូវ - វាមិនគិតពីការផ្លាស់ប្តូរដំណាក់កាលនៃអាម៉ូនិកនៃលំយោលនីមួយៗខុសគ្នាទេ។

D. Bernoulli ដែលបង្ហាញដំណោះស្រាយក្នុងទម្រង់ជាស៊េរីត្រីកោណមាត្របានប្រើគោលការណ៍នៃ superposition និងការពង្រីកដំណោះស្រាយទៅជាប្រព័ន្ធពេញលេញនៃមុខងារ។ គាត់ជឿយ៉ាងត្រឹមត្រូវថា ដោយមានជំនួយពីលក្ខខណ្ឌផ្សេងៗនៃរូបមន្ត (8) វាអាចទៅរួចដើម្បីពន្យល់ពីសម្លេងអាម៉ូនិកដែលខ្សែអក្សរបញ្ចេញក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយនឹងសម្លេងមូលដ្ឋានរបស់វា។ គាត់បានចាត់ទុកថានេះជាច្បាប់ទូទៅដែលមានសុពលភាពសម្រាប់ប្រព័ន្ធណាមួយនៃសាកសពដែលដំណើរការលំយោលតូចៗ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការលើកទឹកចិត្តរាងកាយមិនអាចជំនួសភស្តុតាងគណិតវិទ្យា ដែលមិនត្រូវបានបង្ហាញនៅពេលនោះ។ ដោយសារតែនេះ សហសេវិកមិនយល់ពីដំណោះស្រាយរបស់ D. Bernoulli ទេ ទោះបីជានៅឆ្នាំ 1737 K. A. Clairaut បានប្រើការពង្រីកមុខងារជាបន្តបន្ទាប់ក៏ដោយ។

វត្តមាននៃវិធីពីរផ្សេងគ្នាដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការរំញ័រខ្សែអក្សរបានបង្កឱ្យមានការភ្ញាក់ផ្អើលក្នុងចំណោមអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឈានមុខគេនៃសតវត្សទី 18 ។ ការជជែកវែកញែកក្តៅ - "ជម្លោះខ្សែអក្សរ" ។ វិវាទនេះផ្តោតជាសំខាន់ទៅលើសំណួរអំពីទម្រង់បែបបទនៃដំណោះស្រាយដែលអាចទទួលយកបានចំពោះបញ្ហា អំពីតំណាងវិភាគនៃមុខងារមួយ និងថាតើវាអាចទៅរួចក្នុងការតំណាងឱ្យអនុគមន៍តាមអំពើចិត្តក្នុងទម្រង់ជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រដែរឬទេ។ នៅក្នុង "ជម្លោះខ្សែអក្សរ" គំនិតសំខាន់បំផុតមួយនៃការវិភាគត្រូវបានបង្កើតឡើង - គំនិតនៃមុខងារ។

D'Alembert និង Euler មិនយល់ស្របថាដំណោះស្រាយដែលស្នើឡើងដោយ D. Bernoulli អាចមានលក្ខណៈទូទៅទេ។ ជាពិសេស អយល័រមិនអាចយល់ស្របថាស៊េរីនេះអាចតំណាងឱ្យ "ខ្សែកោងដែលបានគូរដោយសេរី" ណាមួយឡើយ ដូចដែលគាត់ផ្ទាល់ឥឡូវនេះបានកំណត់គោលគំនិតនៃមុខងារ។

Joseph Louis Lagrange ចូលទៅក្នុងភាពចម្រូងចម្រាសបានបំបែកខ្សែទៅជាធ្នូតូចៗដែលមានប្រវែងស្មើគ្នាជាមួយនឹងម៉ាស់ដែលប្រមូលផ្តុំនៅកណ្តាលហើយស៊ើបអង្កេតដំណោះស្រាយនៃប្រព័ន្ធនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតាជាមួយនឹងចំនួនកំណត់នៃដឺក្រេនៃសេរីភាព។ បន្ទាប់មកឆ្លងកាត់ដែនកំណត់នោះ Lagrange ទទួលបានលទ្ធផលស្រដៀងនឹងលទ្ធផលរបស់ D. Bernoulli ដោយមិនមានការបញ្ជាក់ជាមុនថាដំណោះស្រាយទូទៅត្រូវតែជាផលបូកគ្មានកំណត់នៃដំណោះស្រាយដោយផ្នែក។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គាត់ចម្រាញ់ដំណោះស្រាយរបស់ D. Bernoulli ដោយបង្ហាញវាក្នុងទម្រង់ (9) ហើយថែមទាំងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់កំណត់មេគុណនៃស៊េរីនេះផងដែរ។ ទោះបីជាដំណោះស្រាយរបស់ស្ថាបនិកនៃមេកានិចវិភាគមិនបានបំពេញតាមតម្រូវការទាំងអស់នៃភាពម៉ត់ចត់គណិតវិទ្យាក៏ដោយ វាគឺជាការបោះជំហានទៅមុខដ៏សំខាន់មួយ។

ចំពោះ​ការ​ពង្រីក​ដំណោះស្រាយ​ទៅជា​ស៊េរី​ត្រីកោណមាត្រ Lagrange ជឿថា​នៅក្រោម​លក្ខខណ្ឌ​ដំបូង​តាម​អំពើចិត្ត ស៊េរី​នេះ​ខុសគ្នា។ 40 ឆ្នាំក្រោយមក នៅឆ្នាំ 1807 លោក J. Fourier បានរកឃើញការពង្រីកមុខងារទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រជាលើកទីបី ហើយបានបង្ហាញពីរបៀបដែលវាអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា ដោយហេតុនេះការបញ្ជាក់ភាពត្រឹមត្រូវនៃដំណោះស្រាយរបស់ D. Bernoulli ។ ភស្តុតាងវិភាគពេញលេញនៃទ្រឹស្តីបទ Fourier លើការពង្រីកមុខងារតាមកាលកំណត់តម្លៃតែមួយទៅជាស៊េរីត្រីកោណមាត្រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យនៅក្នុងការគណនាអាំងតេក្រាលរបស់Todgönther និងនៅក្នុង Thomson (Lord Kelvin) និង Tait's Treatise on Natural Philosophy។

ការស្រាវជ្រាវលើការរំញ័រដោយឥតគិតថ្លៃនៃខ្សែដែលលាតសន្ធឹងបានបន្តអស់រយៈពេលពីរសតវត្សមកហើយ ដោយរាប់ពីការងាររបស់ Beckmann ។ បញ្ហា​នេះ​បាន​បម្រើ​ជា​ការ​ជំរុញ​ដ៏​មាន​ឥទ្ធិពល​សម្រាប់​ការ​អភិវឌ្ឍ​គណិតវិទ្យា។ ដោយពិចារណាលើលំយោលនៃប្រព័ន្ធបន្តបន្ទាប់ អយល័រ ឌី អាឡែមប៊ឺត និង ឌី ប៊ែរណូលី បានបង្កើតវិន័យថ្មី - រូបវិទ្យាគណិតវិទ្យា។ គណិតវិទ្យានៃរូបវិទ្យា ពោលគឺការបង្ហាញរបស់វាតាមរយៈការវិភាគថ្មី គឺជាគុណសម្បត្តិដ៏អស្ចារ្យបំផុតរបស់អយល័រ ដោយសារផ្លូវថ្មីនៅក្នុងវិទ្យាសាស្ត្រត្រូវបានត្រួសត្រាយ។ ការអភិវឌ្ឍន៍ឡូជីខលនៃលទ្ធផល Euler និង Fourier បានកើតឡើងជាមួយនឹងនិយមន័យដ៏ល្បីនៃមុខងារមួយដោយ Lobachevsky និង Lejeune Dirichlet ដោយផ្អែកលើគំនិតនៃការឆ្លើយឆ្លងមួយទៅមួយនៃសំណុំពីរ។ Dirichlet ក៏បានបង្ហាញពីលទ្ធភាពនៃការ ការពង្រីកមុខងារបន្តបន្ទាប់គ្នា និងឯកតាទៅជាស៊េរី Fourier ។ សមីការរលកមួយវិមាត្រក៏ត្រូវបានទទួល ហើយសមភាពនៃដំណោះស្រាយទាំងពីររបស់វាត្រូវបានបង្កើតឡើង ដែលគណិតវិទ្យាបានបញ្ជាក់ពីទំនាក់ទំនងរវាងរំញ័រ និងរលក។ ការពិតដែលថាខ្សែរំញ័របង្កើតសំឡេងបានជំរុញឱ្យអ្នកវិទ្យាសាស្ត្រ ដើម្បីគិតអំពីអត្តសញ្ញាណនៃដំណើរការនៃការសាយភាយសំឡេង និងដំណើរការនៃការរំញ័រខ្សែអក្សរ។តួនាទីដ៏សំខាន់បំផុតនៃព្រំដែន និងលក្ខខណ្ឌដំបូងក្នុងបញ្ហាបែបនេះក៏ត្រូវបានគេកំណត់អត្តសញ្ញាណផងដែរ។សម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍មេកានិច លទ្ធផលដ៏សំខាន់មួយគឺការប្រើប្រាស់ d'Alembert's គោលការណ៍សម្រាប់ការសរសេរសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលនៃចលនា និងសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃលំយោល បញ្ហានេះក៏បានដើរតួនាទីយ៉ាងសំខាន់ផងដែរ ពោលគឺគោលការណ៍នៃការដាក់លើស និងការពង្រីកដំណោះស្រាយទាក់ទងនឹងរបៀបធម្មជាតិនៃរំញ័រត្រូវបានអនុវត្ត គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តី ការរំញ័រត្រូវបានបង្កើត - ប្រេកង់ធម្មជាតិ និងរបៀបរំញ័រ។

លទ្ធផលដែលទទួលបានសម្រាប់ការរំញ័រដោយឥតគិតថ្លៃនៃខ្សែមួយបានបម្រើជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបង្កើតទ្រឹស្តីនៃការរំញ័រនៃប្រព័ន្ធបន្ត។ ការសិក្សាបន្ថែមអំពីរំញ័រនៃខ្សែ ភ្នាស និងកំណាត់ដែលមិនដូចគ្នាទាមទារឱ្យមានការរកឃើញនូវវិធីសាស្រ្តពិសេសសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការអ៊ីពែរបូលសាមញ្ញបំផុតនៃលំដាប់ទីពីរ និងទីបួន។

បញ្ហានៃការរំញ័រដោយមិនគិតថ្លៃរបស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដែលចាប់អារម្មណ៍ ពិតណាស់មិនមែនដោយសារតែការអនុវត្តជាក់ស្តែងរបស់វានោះទេ ច្បាប់នៃការរំញ័រទាំងនេះត្រូវបានស្គាល់ដល់សិប្បករដែលផលិតឧបករណ៍ភ្លេង។ នេះបង្ហាញឱ្យឃើញដោយឧបករណ៍ខ្សែអក្សរដែលមិនអាចប្រៀបផ្ទឹមបានរបស់ចៅហ្វាយនាយដូចជា Amati, Stradivari, Guarneri និងអ្នកដទៃដែលស្នាដៃរបស់គាត់ត្រូវបានបង្កើតឡើងនៅសតវត្សទី 17 ។ ចំណាប់អារម្មណ៍របស់អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រដ៏អស្ចារ្យបំផុតដែលបានធ្វើការលើបញ្ហានេះទំនងជាស្ថិតនៅក្នុងបំណងប្រាថ្នាដើម្បីផ្តល់នូវមូលដ្ឋានគណិតវិទ្យាសម្រាប់ច្បាប់ដែលមានស្រាប់នៃការរំញ័រខ្សែអក្សរ។ ក្នុងរឿងនេះ មាគ៌ាប្រពៃណីនៃវិទ្យាសាស្ត្រណាមួយត្រូវបានលាតត្រដាង ដោយចាប់ផ្តើមពីការបង្កើតទ្រឹស្តីដែលពន្យល់ពីការពិតដែលបានដឹងរួចហើយ ដើម្បីស្វែងរក និងសិក្សាពីបាតុភូតដែលមិនស្គាល់។

IIរយៈពេល - ការវិភាគ(ចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 18 - ចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19) ។ ជំហានដ៏សំខាន់បំផុតក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍មេកានិចត្រូវបានសម្រេចដោយ Lagrange ដែលបានបង្កើតវិទ្យាសាស្ត្រថ្មី - មេកានិចវិភាគ។ ការចាប់ផ្តើមនៃដំណាក់កាលទីពីរនៃការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនៃលំយោលត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងការងាររបស់ Lagrange ។ នៅក្នុងសៀវភៅ Analytical Mechanics របស់គាត់ដែលបានបោះពុម្ពនៅទីក្រុងប៉ារីសក្នុងឆ្នាំ 1788 លោក Lagrange បានសង្ខេបនូវអ្វីគ្រប់យ៉ាងដែលបានធ្វើនៅក្នុងមេកានិចក្នុងសតវត្សទី 18 ហើយបានបង្កើតវិធីសាស្រ្តថ្មីមួយដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហារបស់វា។ នៅក្នុងគោលលទ្ធិនៃលំនឹងគាត់បានបោះបង់ចោលវិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រនៃឋិតិវន្តហើយបានស្នើគោលការណ៍នៃការផ្លាស់ទីលំនៅដែលអាចកើតមាន (គោលការណ៍របស់ Lagrange) ។ នៅក្នុងឌីណាមិក Lagrange ដោយបានអនុវត្តគោលការណ៍ d'Alembert ក្នុងពេលដំណាលគ្នា និងគោលការណ៍នៃការផ្លាស់ទីលំនៅដែលអាចកើតមាន បានទទួលសមីការបំរែបំរួលទូទៅនៃឌីណាមិក ដែលត្រូវបានគេហៅថាគោលការណ៍ d'Alembert-Lagrange ផងដែរ។ ទីបំផុតគាត់បានណែនាំពីគោលគំនិតនៃកូអរដោនេទូទៅ និងទទួលបានសមីការនៃចលនាក្នុងទម្រង់ងាយស្រួលបំផុត - សមីការ Lagrange នៃប្រភេទទីពីរ។

សមីការទាំងនេះបានក្លាយជាមូលដ្ឋានសម្រាប់ការបង្កើតទ្រឹស្តីនៃលំយោលតូចៗដែលត្រូវបានពិពណ៌នាដោយសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ លីនេអ៊ែរគឺកម្រមាននៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិក ហើយក្នុងករណីភាគច្រើនគឺជាលទ្ធផលនៃភាពសាមញ្ញរបស់វា។ ដោយពិចារណាលើលំយោលតូចៗនៅជិតទីតាំងលំនឹង ដែលកើតឡើងក្នុងល្បឿនទាប វាអាចបោះបង់លក្ខខណ្ឌនៃលំដាប់ទីពីរ និងខ្ពស់ជាងនេះនៅក្នុងសមីការនៃចលនាដោយគោរពតាមកូអរដោនេ និងល្បឿនទូទៅ។

ការអនុវត្តសមីការ Lagrange នៃប្រភេទទីពីរសម្រាប់ប្រព័ន្ធអភិរក្ស

យើងនឹងទទួលបានប្រព័ន្ធ សសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលលីនេអ៊ែរនៃលំដាប់ទីពីរជាមួយនឹងមេគុណថេរ

, (11)

កន្លែងណា ខ្ញុំនិង គ- រៀងគ្នា ម៉ាទ្រីសនៃនិចលភាព និងភាពរឹង សមាសធាតុដែលនឹងក្លាយជាមេគុណនិចលភាព និងយឺត។

ដំណោះស្រាយពិសេស (11) ត្រូវបានស្វែងរកក្នុងទម្រង់

និងពិពណ៌នាអំពីរបៀបលំយោល monoharmonic ជាមួយនឹងប្រេកង់មួយ។ kដូចគ្នាសម្រាប់កូអរដោនេទូទៅទាំងអស់។ ភាពខុសគ្នា (12) ពីរដងទាក់ទងនឹង tហើយជំនួសលទ្ធផលទៅជាសមីការ (11) យើងទទួលបានប្រព័ន្ធនៃសមីការដូចគ្នាលីនេអ៊ែរសម្រាប់ការស្វែងរកទំហំក្នុងទម្រង់ម៉ាទ្រីស

. (13)

ដោយសារនៅពេលដែលប្រព័ន្ធលំយោល អំព្លីទីតទាំងអស់មិនអាចស្មើនឹងសូន្យទេ កត្តាកំណត់គឺស្មើនឹងសូន្យ

. (14)

សមីការប្រេកង់ (14) ត្រូវបានគេហៅថាសមីការខាងលោកិយ ដោយសារវាត្រូវបានពិចារណាដំបូងដោយ Lagrange និង Laplace នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃការរំខានខាងលោកិយនៃធាតុនៃគន្លងរបស់ភព។ វាគឺជាសមីការមួយ។ ស- កម្រិតទំនាក់ទំនង ចំនួនឫសរបស់វាស្មើនឹងចំនួនដឺក្រេនៃសេរីភាពនៃប្រព័ន្ធ។ ឫសទាំងនេះជាធម្មតាត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់ឡើង ហើយវាបង្កើតបានជាវិសាលគមនៃប្រេកង់ផ្ទាល់របស់ពួកគេ។ ទៅគ្រប់ឫស ត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយជាក់លាក់នៃទម្រង់ (12) សំណុំ សអំព្លីទីតតំណាងឱ្យរូបរាងនៃរំញ័រ ហើយដំណោះស្រាយរួមគឺជាផលបូកនៃដំណោះស្រាយទាំងនេះ។

Lagrange បានផ្តល់សេចក្តីថ្លែងការណ៍របស់ D. Bernoulli ថាចលនាលំយោលទូទៅនៃប្រព័ន្ធនៃចំនុចដាច់ពីគ្នារួមមានការប្រតិបត្តិក្នុងពេលដំណាលគ្នានៃលំយោលអាម៉ូនិកទាំងអស់របស់វា ទម្រង់នៃទ្រឹស្តីបទគណិតវិទ្យា ដោយប្រើទ្រឹស្តីនៃការរួមបញ្ចូលសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងមេគុណថេរ។ ដោយអយល័រក្នុងទសវត្សរ៍ទី 40 នៃសតវត្សទី 18 ។ និងសមិទ្ធិផលរបស់ d'Alembert ដែលបានបង្ហាញពីរបៀបដែលប្រព័ន្ធនៃសមីការបែបនេះត្រូវបានរួមបញ្ចូល។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ វាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ថាឫសគល់នៃសមីការដែលមានអាយុគឺពិតប្រាកដ វិជ្ជមាន និងមិនស្មើគ្នាចំពោះគ្នាទៅវិញទៅមក។

ដូច្នេះនៅក្នុង Analytical Mechanics Lagrange ទទួលបានសមីការប្រេកង់ក្នុងទម្រង់ទូទៅ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ គាត់បាននិយាយឡើងវិញនូវកំហុសដែលធ្វើឡើងដោយ d'Alembert ក្នុងឆ្នាំ 1761 ដែលឫសច្រើននៃសមីការខាងលោកិយត្រូវគ្នាទៅនឹងដំណោះស្រាយមិនស្ថិតស្ថេរ ចាប់តាំងពីសន្មតថាក្នុងករណីនេះ ពាក្យខាងលោកិយ ឬខាងលោកិយដែលមាន tមិនស្ថិតនៅក្រោមសញ្ញាស៊ីនុស ឬកូស៊ីនុសទេ។ ក្នុងន័យនេះ ទាំង d'Alembert និង Lagrange ជឿថាសមីការប្រេកង់មិនអាចមានឫសច្រើនទេ (d'Alembert–Lagrange paradox)។ វាគឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ Lagrange ដើម្បីពិចារណាយ៉ាងហោចណាស់ប៉ោលរាងស្វ៊ែរ ឬលំយោលនៃដំបងដែលផ្នែកឆ្លងកាត់ ឧទាហរណ៍ ជុំ ឬការ៉េ ដើម្បីជឿជាក់ថាប្រេកង់ច្រើនអាចធ្វើទៅបាននៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិចអភិរក្ស។ កំហុសដែលបានធ្វើឡើងនៅក្នុងការបោះពុម្ពលើកទី 1 នៃយន្តការវិភាគត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតនៅក្នុងការបោះពុម្ពលើកទីពីរ (1812) ដែលត្រូវបានបោះពុម្ពក្នុងអំឡុងពេលនៃជីវិតរបស់ Lagrange និងនៅក្នុងទីបី (1853) ។ អាជ្ញាធរវិទ្យាសាស្ត្ររបស់ d'Alembert និង Lagrange គឺខ្ពស់ណាស់ដែលកំហុសនេះត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតដោយ Laplace និង Poisson ហើយវាត្រូវបានកែតម្រូវស្ទើរតែ 100 ឆ្នាំក្រោយមកដោយឯករាជ្យពីគ្នាទៅវិញទៅមកនៅឆ្នាំ 1858 ដោយ K. Weierstrass និងនៅឆ្នាំ 1859 ដោយ Osip Ivanovich Somov ។ ដែលបានរួមចំណែកយ៉ាងធំធេងក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនៃលំយោលនៃប្រព័ន្ធដាច់ពីគ្នា។

ដូច្នេះដើម្បីកំណត់ប្រេកង់ និងទម្រង់នៃលំយោលដោយសេរីនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរដោយគ្មានការតស៊ូ វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការខាងលោកិយ (13)។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ សមីការនៃសញ្ញាបត្រខ្ពស់ជាងទីប្រាំ មិនមានដំណោះស្រាយវិភាគទេ។

បញ្ហាគឺមិនត្រឹមតែដោះស្រាយសមីការខាងលោកីយ៍ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងក្នុងវិសាលភាពកាន់តែច្រើន ដោយចងក្រងវា ចាប់តាំងពីកត្តាកំណត់ដែលបានពង្រីក (13) មាន
ឧទាហរណ៍ សម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមាន 20 ដឺក្រេនៃសេរីភាព ចំនួនពាក្យគឺ 2.4 10 18 ហើយពេលវេលាសម្រាប់បង្ហាញកត្តាកំណត់បែបនេះសម្រាប់កុំព្យូទ័រដ៏មានឥទ្ធិពលបំផុតនៃទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1970 ដែលដំណើរការ 1 លានក្នុងមួយវិនាទីគឺប្រហែល 1.5 ។ លានឆ្នាំ ហើយសម្រាប់កុំព្យូទ័រទំនើប វាមានអាយុត្រឹមតែពីរបីរយឆ្នាំប៉ុណ្ណោះ។

បញ្ហានៃការកំណត់ប្រេកង់ និងទម្រង់នៃការរំញ័រឥតគិតថ្លៃក៏អាចចាត់ទុកថាជាបញ្ហានៃពិជគណិតលីនេអ៊ែរ និងត្រូវបានដោះស្រាយជាលេខ។ ការសរសេរឡើងវិញនូវសមភាព (13) ក្នុងទម្រង់

, (14)

ចំណាំថាម៉ាទ្រីសជួរឈរ គឺជា eigenvector នៃម៉ាទ្រីស

, (15)

ក អត្ថន័យរបស់វា។

ការដោះស្រាយបញ្ហានៃ eigenvalues ​​និងវ៉ិចទ័រគឺជាបញ្ហាដ៏ទាក់ទាញបំផុតមួយក្នុងការវិភាគលេខ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះវាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការស្នើក្បួនដោះស្រាយតែមួយដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាទាំងអស់ដែលបានជួបប្រទះនៅក្នុងការអនុវត្ត។ ជម្រើសនៃក្បួនដោះស្រាយអាស្រ័យលើប្រភេទនៃម៉ាទ្រីស ក៏ដូចជាលើថាតើវាចាំបាច់ដើម្បីកំណត់តម្លៃ eigenvalues ​​ទាំងអស់ ឬត្រឹមតែតូចបំផុត (ធំបំផុត) ឬជិតនឹងលេខដែលបានផ្តល់ឱ្យ។ នៅឆ្នាំ 1846 លោក Carl Gustav Jacob Jacobi បានស្នើវិធីសាស្រ្តបង្វិលម្តងហើយម្តងទៀតដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហា eigenvalue ពេញលេញ។ វិធីសាស្រ្តគឺផ្អែកលើលំដាប់គ្មានកំណត់នៃការបង្វិលបឋម ដែលនៅក្នុងដែនកំណត់បំលែងម៉ាទ្រីស (15) ទៅជាអង្កត់ទ្រូងមួយ។ ធាតុអង្កត់ទ្រូងនៃម៉ាទ្រីសលទ្ធផលនឹងជាតម្លៃ eigenvalues ​​ដែលចង់បាន។ ក្នុងករណីនេះដើម្បីកំណត់ eigenvalues ​​វាត្រូវបានទាមទារ
ប្រតិបត្តិការនព្វន្ធ និងសម្រាប់ eigenvectors ផងដែរ។
ប្រតិបត្តិការ។ ក្នុងន័យនេះវិធីសាស្រ្តក្នុងសតវត្សទី 19 ។ រក​មិន​ឃើញ​កម្មវិធី ហើយ​ត្រូវ​បាន​គេ​បំភ្លេច​ចោល​ជាង​មួយ​រយ​ឆ្នាំ​មក​ហើយ។

ជំហានសំខាន់បន្ទាប់ក្នុងការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្ដីនៃលំយោលគឺការងាររបស់ Rayleigh ជាពិសេសការងារជាមូលដ្ឋានរបស់គាត់គឺ "Theory of Sound"។ នៅក្នុងសៀវភៅនេះ Rayleigh ពិនិត្យមើលបាតុភូតលំយោលនៅក្នុងមេកានិច សូរស័ព្ទ និងប្រព័ន្ធអគ្គិសនីតាមទស្សនៈរួមមួយ។ Rayleigh ជាម្ចាស់ទ្រឹស្តីបទមូលដ្ឋានមួយចំនួននៃទ្រឹស្តីលីនេអ៊ែរនៃលំយោល (ទ្រឹស្តីបទស្តីពីស្ថានី និងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃប្រេកង់ធម្មជាតិ)។ Rayleigh ក៏បានបង្កើតគោលការណ៍នៃការទៅវិញទៅមក។ ដោយភាពស្រដៀងគ្នាជាមួយនឹងថាមពល kinetic និងសក្តានុពល គាត់បានណែនាំមុខងារ dissipative ដែលត្រូវបានគេហៅថា Rayleigh និងតំណាងឱ្យអត្រាពាក់កណ្តាលនៃការរលាយថាមពល។

នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃសំឡេង Rayleigh ក៏ស្នើវិធីសាស្រ្តប្រហាក់ប្រហែលសម្រាប់កំណត់ប្រេកង់ធម្មជាតិដំបូងនៃប្រព័ន្ធអភិរក្ស។

, (16)

កន្លែងណា
. ក្នុងករណីនេះ ដើម្បីគណនាតម្លៃអតិបរមានៃសក្តានុពល និងថាមពល kinetic ទម្រង់ជាក់លាក់នៃការរំញ័រត្រូវបានយក។ ប្រសិនបើវាស្របគ្នាជាមួយនឹងរបៀបដំបូងនៃលំយោលនៃប្រព័ន្ធ យើងនឹងទទួលបានតម្លៃពិតប្រាកដនៃប្រេកង់ធម្មជាតិដំបូង ប៉ុន្តែបើមិនដូច្នេះទេតម្លៃនេះតែងតែត្រូវបានប៉ាន់ស្មានលើស។ វិធីសាស្រ្តផ្តល់នូវភាពត្រឹមត្រូវដែលអាចទទួលយកបានសម្រាប់ការអនុវត្ត ប្រសិនបើការខូចទ្រង់ទ្រាយឋិតិវន្តនៃប្រព័ន្ធត្រូវបានយកជារបៀបដំបូងនៃការរំញ័រ។

ដូច្នេះ ត្រលប់ទៅសតវត្សទី 19 នៅក្នុងស្នាដៃរបស់ Somov និង Rayleigh វិធីសាស្រ្តមួយត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់បង្កើតសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលដែលពិពណ៌នាអំពីចលនាលំយោលតូចៗនៃប្រព័ន្ធមេកានិចដាច់ដោយឡែកដោយប្រើសមីការ Lagrange នៃប្រភេទទីពីរ។

ដែលជាកន្លែងដែលនៅក្នុងកម្លាំងទូទៅ
កត្តាកម្លាំងទាំងអស់ត្រូវតែរួមបញ្ចូល ដោយលើកលែងតែកត្តាយឺត និងរលាយ ដែលគ្របដណ្តប់ដោយមុខងារ រ និង P.

សមីការ Lagrange (17) ជាទម្រង់ម៉ាទ្រីស ដែលពិពណ៌នាអំពីលំយោលដោយបង្ខំនៃប្រព័ន្ធមេកានិច បន្ទាប់ពីជំនួសមុខងារទាំងអស់មើលទៅដូចនេះ

. (18)

នៅទីនេះ គឺជាម៉ាទ្រីសសើម និង
- វ៉ិចទ័រជួរឈរនៃកូអរដោណេទូទៅរៀងៗខ្លួន ល្បឿន និងការបង្កើនល្បឿន។ ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការនេះ មានលំយោលដោយឥតគិតថ្លៃ និងអមមកជាមួយ ដែលតែងតែសើម និងលំយោលបង្ខំដែលកើតឡើងនៅប្រេកង់នៃកម្លាំងរំខាន។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងដាក់កម្រិតខ្លួនយើងដើម្បីពិចារណាតែដំណោះស្រាយជាក់លាក់មួយដែលត្រូវគ្នាទៅនឹងលំយោលដោយបង្ខំ។ ក្នុងនាមជាការរំភើបមួយ Rayleigh បានចាត់ទុកថាកងកម្លាំងទូទៅប្រែប្រួលយោងទៅតាមច្បាប់អាម៉ូនិក។ មនុស្សជាច្រើនបានសន្មតថាជម្រើសនេះទៅនឹងភាពសាមញ្ញនៃករណីដែលកំពុងពិចារណា ប៉ុន្តែ Rayleigh ផ្តល់នូវការពន្យល់ដ៏គួរឱ្យជឿជាក់បន្ថែមទៀត - ការពង្រីកស៊េរី Fourier ។

ដូច្នេះ សម្រាប់ប្រព័ន្ធមេកានិកដែលមានសេរីភាពលើសពីពីរដឺក្រេ ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធសមីការបង្ហាញពីការលំបាកមួយចំនួន ដែលកើនឡើងជាលំដាប់នៅពេលដែលប្រព័ន្ធកើនឡើង។ ទោះបីជាមានសេរីភាពពីប្រាំទៅប្រាំមួយដឺក្រេក៏ដោយ ក៏បញ្ហានៃការយោលដោយបង្ខំមិនអាចដោះស្រាយដោយដៃដោយប្រើវិធីសាស្ត្របុរាណបានទេ។

នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការរំញ័រនៃប្រព័ន្ធមេកានិក ការរំញ័រតូចៗ (លីនេអ៊ែរ) នៃប្រព័ន្ធដាច់ចេញពីគ្នាបានដើរតួនាទីពិសេស។ ទ្រឹស្ដីវិសាលគមដែលត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់ប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរ មិនតម្រូវឱ្យមានការស្ថាបនាសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលទេ ហើយដើម្បីទទួលបានដំណោះស្រាយ ពួកគេអាចសរសេរប្រព័ន្ធនៃសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរបានភ្លាមៗ។ ទោះបីជានៅពាក់កណ្តាលសតវត្សទី 19 វិធីសាស្រ្តត្រូវបានបង្កើតឡើងសម្រាប់កំណត់ eigenvectors និង eigenvalues ​​(Jacobi) ក៏ដូចជាប្រព័ន្ធដោះស្រាយសមីការពិជគណិតលីនេអ៊ែរ (Gauss) ការអនុវត្តជាក់ស្តែងរបស់ពួកគេសូម្បីតែសម្រាប់ប្រព័ន្ធដែលមានកម្រិតសេរីភាពតិចតួចគឺ ចេញពីសំណួរ។ ដូច្នេះមុនពេលការមកដល់នៃកុំព្យូទ័រដែលមានថាមពលគ្រប់គ្រាន់ វិធីសាស្ត្រផ្សេងៗជាច្រើនត្រូវបានបង្កើតឡើងដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃការយោលដោយសេរី និងបង្ខំនៃប្រព័ន្ធមេកានិចលីនេអ៊ែរ។ អ្នកវិទ្យាសាស្ត្រឆ្នើមជាច្រើននាក់ - គណិតវិទូ និងមេកានិច - បានដោះស្រាយបញ្ហាទាំងនេះ ពួកគេនឹងត្រូវបានពិភាក្សាដូចខាងក្រោម។ ការមកដល់នៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រដ៏មានអានុភាពបានធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានមិនត្រឹមតែដោះស្រាយបញ្ហាលីនេអ៊ែរខ្នាតធំក្នុងរយៈពេលមួយវិនាទីប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែថែមទាំងធ្វើឱ្យដំណើរការនៃប្រព័ន្ធសមីការដំណើរការដោយស្វ័យប្រវត្តិផងដែរ។

ដូច្នេះនៅក្នុងសតវត្សទី 18 ។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃលំយោលតូចៗនៃប្រព័ន្ធដែលមានចំនួនកំណត់នៃដឺក្រេនៃសេរីភាព និងលំយោលនៃប្រព័ន្ធបត់បែនបន្ត គ្រោងការណ៍រូបវន្តមូលដ្ឋានត្រូវបានបង្កើតឡើង ហើយគោលការណ៍សំខាន់ៗសម្រាប់ការវិភាគគណិតវិទ្យានៃបញ្ហាត្រូវបានពន្យល់។ ទោះបីជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ដើម្បីបង្កើតទ្រឹស្ដីនៃរំញ័រមេកានិចជាវិទ្យាសាស្ត្រឯករាជ្យ មានការខ្វះខាតវិធីសាស្រ្តបង្រួបបង្រួមក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហានៃឌីណាមិក ហើយមិនមានសំណើពីបច្ចេកវិទ្យាសម្រាប់ការអភិវឌ្ឍន៍លឿនជាងមុនរបស់វាឡើយ។

ការរីកចម្រើននៃឧស្សាហកម្មខ្នាតធំនៅចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 18 និងដើមសតវត្សទី 19 ដែលបណ្តាលមកពីការណែនាំយ៉ាងទូលំទូលាយនៃម៉ាស៊ីនចំហាយទឹកនាំទៅដល់ការបំបែកមេកានិចដែលបានអនុវត្តទៅជាវិន័យដាច់ដោយឡែកមួយ។ ប៉ុន្តែរហូតដល់ចុងបញ្ចប់នៃសតវត្សទី 19 ការគណនាកម្លាំងត្រូវបានអនុវត្តនៅក្នុងទម្រង់ឋិតិវន្តចាប់តាំងពីម៉ាស៊ីននៅតែមានថាមពលទាបនិងយឺត។

នៅចុងសតវត្សទី 19 ជាមួយនឹងល្បឿនកើនឡើង និងការថយចុះនៃទំហំម៉ាស៊ីន វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការធ្វេសប្រហែសពីការប្រែប្រួល។ ឧបទ្ទវហេតុជាច្រើនដែលកើតឡើងដោយសារតែការចាប់ផ្តើមនៃ resonance ឬការបរាជ័យនៃភាពអស់កម្លាំងក្នុងអំឡុងពេលរំញ័របានបង្ខំឱ្យវិស្វករយកចិត្តទុកដាក់លើដំណើរការ oscillatory ។ ក្នុងចំនោមបញ្ហាដែលកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលនេះ គួរកត់សំគាល់ដូចខាងក្រោមៈ ការដួលរលំនៃស្ពានពីការឆ្លងកាត់រថភ្លើង ការរំញ័របង្វិលនៃអ័ក្ស និងការរំញ័រនៃសំបកកប៉ាល់ដែលរំភើបដោយកម្លាំងនិចលភាពនៃការផ្លាស់ប្តូរផ្នែកនៃម៉ាស៊ីនដែលមិនមានតុល្យភាព។

IIIរយៈពេល- ការ​បង្កើត​និង​ការ​អភិវឌ្ឍ​នៃ​ទ្រឹស្តី​អនុវត្ត​នៃ​លំយោល (1900-1960s) ។ ការអភិវឌ្ឍវិស្វកម្មមេកានិក ការកែលម្អក្បាលរថភ្លើង និងកប៉ាល់ ការលេចឡើងនៃទួរប៊ីនចំហាយ និងឧស្ម័ន ម៉ាស៊ីនចំហេះខាងក្នុងល្បឿនលឿន រថយន្ត យន្តហោះ ជាដើម។ ទាមទារឱ្យមានការវិភាគត្រឹមត្រូវបន្ថែមទៀតនៃភាពតានតឹងនៅក្នុងផ្នែកម៉ាស៊ីន។ នេះត្រូវបានកំណត់ដោយតម្រូវការសម្រាប់ការប្រើប្រាស់លោហៈកាន់តែសន្សំសំចៃ។ រចនាសម្ព័ន្ធបំភ្លឺបានបង្កឱ្យមានបញ្ហារំញ័រ ដែលកាន់តែក្លាយជាការសម្រេចចិត្តលើបញ្ហាកម្លាំងម៉ាស៊ីន។ នៅដើមសតវត្សទី 20 ឧបទ្ទវហេតុជាច្រើនដែលគួរឱ្យជឿជាក់បង្ហាញពីផលវិបាកមហន្តរាយដែលអាចបណ្តាលមកពីការធ្វេសប្រហែសនៃរំញ័រឬភាពល្ងង់ខ្លៅរបស់ពួកគេ។

ការលេចចេញនូវបច្ចេកវិទ្យាថ្មី ជាក្បួនបង្កបញ្ហាប្រឈមថ្មីសម្រាប់ទ្រឹស្តីនៃលំយោល។ ដូច្នេះនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 30 និង 40 ។ បញ្ហាថ្មីបានកើតមានឡើង ដូចជាការរំកិលតូប និងភាពច្របូកច្របល់នៅក្នុងអាកាសចរណ៍ ការពត់កោង និងការរំញ័រ flexural-torsional នៃ shafts rotating ជាដើម ដែលទាមទារឱ្យមានការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តថ្មីសម្រាប់ការគណនារំញ័រ។ នៅចុងបញ្ចប់នៃទសវត្សរ៍ទី 20 ដំបូងនៅក្នុងរូបវិទ្យាហើយបន្ទាប់មកនៅក្នុងមេកានិច ការសិក្សាអំពីលំយោលដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរបានចាប់ផ្តើម។ នៅក្នុងការតភ្ជាប់ជាមួយនឹងការអភិវឌ្ឍនៃប្រព័ន្ធគ្រប់គ្រងដោយស្វ័យប្រវត្តិ និងតម្រូវការបច្ចេកទេសផ្សេងទៀត ចាប់ផ្តើមពីទសវត្សរ៍ទី 30 ទ្រឹស្ដីនៃស្ថេរភាពនៃចលនាត្រូវបានបង្កើតឡើង និងអនុវត្តយ៉ាងទូលំទូលាយ ដែលជាមូលដ្ឋាននៃការសិក្សាថ្នាក់បណ្ឌិតរបស់ A. M. Lyapunov "បញ្ហាទូទៅនៃស្ថេរភាពចលនា" ។

កង្វះនៃដំណោះស្រាយវិភាគសម្រាប់បញ្ហានៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃលំយោល សូម្បីតែនៅក្នុងទម្រង់ជាលីនេអ៊ែរ មួយនៅលើដៃមួយ និងបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រនៅលើផ្សេងទៀតបាននាំឱ្យមានការអភិវឌ្ឍនៃវិធីសាស្រ្តលេខផ្សេងគ្នាជាច្រើនសម្រាប់ការដោះស្រាយពួកគេ។

តម្រូវការក្នុងការអនុវត្តការគណនារំញ័រសម្រាប់ប្រភេទផ្សេងៗនៃឧបករណ៍បាននាំឱ្យមានរូបរាងនៅក្នុងឆ្នាំ 1930 នៃវគ្គបណ្តុះបណ្តាលដំបូងក្នុងទ្រឹស្តីនៃការរំញ័រ។

ការផ្លាស់ប្តូរទៅ IVរយៈពេល(ដើមទសវត្សរ៍ឆ្នាំ 1960 – បច្ចុប្បន្ន) ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងយុគសម័យនៃបដិវត្តន៍វិទ្យាសាស្ត្រ និងបច្ចេកវិទ្យា ហើយត្រូវបានកំណត់ដោយការលេចឡើងនៃបច្ចេកវិទ្យាថ្មី ជាចម្បង អាកាសចរណ៍ និងអវកាស និងប្រព័ន្ធមនុស្សយន្ត។ លើសពីនេះ ការអភិវឌ្ឍន៍វិស្វកម្មថាមពល ការដឹកជញ្ជូនជាដើម បាននាំមកនូវបញ្ហានៃកម្លាំងថាមវន្ត និងភាពជឿជាក់ឈានមុខគេ។ នេះត្រូវបានពន្យល់ដោយការកើនឡើងនៃល្បឿនប្រតិបត្តិការ និងការថយចុះនៃការប្រើប្រាស់សម្ភារៈជាមួយនឹងបំណងប្រាថ្នាក្នុងពេលដំណាលគ្នាដើម្បីបង្កើនអាយុសេវាកម្មរបស់ម៉ាស៊ីន។ នៅក្នុងទ្រឹស្ដីនៃលំយោល បញ្ហាកាន់តែច្រើនកំពុងត្រូវបានដោះស្រាយជាទម្រង់ nonlinear ។ នៅក្នុងវិស័យរំញ័រនៃប្រព័ន្ធបន្ត ក្រោមឥទិ្ធពលនៃសំណើពីបច្ចេកវិទ្យាអាកាសចរណ៍ និងអវកាស បញ្ហាកើតឡើងនៅក្នុងឌីណាមិកនៃចាន និងសែល។

ឥទ្ធិពលដ៏ធំបំផុតលើការអភិវឌ្ឍន៍ទ្រឹស្តីនៃលំយោលនៅក្នុងសម័យកាលនេះ ត្រូវបានជំរុញដោយការលេចឡើង និងការអភិវឌ្ឍន៍យ៉ាងឆាប់រហ័សនៃបច្ចេកវិទ្យាកុំព្យូទ័រអេឡិចត្រូនិក ដែលនាំទៅដល់ការអភិវឌ្ឍន៍វិធីសាស្រ្តលេខសម្រាប់ការគណនាលំយោល។

ចលនា Oscillatoryចលនា ឬការផ្លាស់ប្តូររដ្ឋណាមួយត្រូវបានហៅ កំណត់លក្ខណៈដោយកម្រិតមួយឬមួយផ្សេងទៀតនៃការធ្វើម្តងទៀតនៅក្នុងពេលវេលានៃតម្លៃនៃបរិមាណរូបវន្តដែលកំណត់ចលនានេះឬរដ្ឋ។ Oscillations គឺជាលក្ខណៈនៃបាតុភូតធម្មជាតិទាំងអស់: វិទ្យុសកម្មនៃផ្កាយ pulsates; ភពនៃប្រព័ន្ធព្រះអាទិត្យវិលជាមួយនឹងកម្រិតខ្ពស់នៃវដ្តរដូវ; ខ្យល់បក់ រំញ័រ និងរលកនៅលើផ្ទៃទឹក; នៅខាងក្នុងសារពាង្គកាយមានជីវិតណាមួយ ដំណើរការដែលកើតឡើងដដែលៗតាមចង្វាក់ផ្សេងៗកើតឡើងជាបន្តបន្ទាប់ ឧទាហរណ៍ បេះដូងមនុស្សលោតដោយភាពជឿជាក់ដ៏អស្ចារ្យ។

Oscillations លេចធ្លោនៅក្នុងរូបវិទ្យា មេកានិចនិង អេឡិចត្រូម៉ាញ៉េទិច។តាមរយៈការផ្សព្វផ្សាយការប្រែប្រួលមេកានិកនៅក្នុងដង់ស៊ីតេខ្យល់ និងសម្ពាធ ដែលយើងយល់ថាជាសំឡេង ក៏ដូចជាការប្រែប្រួលយ៉ាងរហ័សក្នុងដែនអគ្គិសនី និងម៉ាញេទិក ដែលយើងយល់ថាជាពន្លឺ យើងទទួលបានព័ត៌មានដោយផ្ទាល់យ៉ាងច្រើនអំពីពិភពលោកជុំវិញយើង។ ឧទាហរណ៍នៃចលនាលំយោលនៅក្នុងមេកានិចរួមមានលំយោលនៃប៉ោល ខ្សែ ស្ពាន។ល។

Oscillations ត្រូវបានគេហៅថា តាមកាលកំណត់, ប្រសិនបើតម្លៃនៃបរិមាណរាងកាយផ្លាស់ប្តូរកំឡុងពេលលំយោលត្រូវបានធ្វើម្តងទៀតនៅចន្លោះពេលទៀងទាត់។ ប្រភេទយោលតាមកាលកំណត់សាមញ្ញបំផុតគឺលំយោលអាម៉ូនិក។ លំយោល​អាម៉ូនិក​គឺ​ជា​វត្ថុ​ដែល​បរិមាណ​ប្រែប្រួល​ប្រែប្រួល​តាម​ពេលវេលា​ដោយ​យោង​តាម​ច្បាប់​ស៊ីនុស (ឬ​កូស៊ីនុស)៖

ដែល x គឺជាការផ្លាស់ទីលំនៅពីទីតាំងលំនឹង;

ក - ទំហំនៃលំយោល - ការផ្លាស់ទីលំនៅអតិបរមាពីទីតាំងលំនឹង;

- ប្រេកង់វដ្ត;

- ដំណាក់កាលដំបូងនៃការញ័រ;

- ដំណាក់កាលលំយោល; វាកំណត់ការផ្លាស់ទីលំនៅនៅចំណុចណាមួយក្នុងពេលវេលា i.e. កំណត់ស្ថានភាពនៃប្រព័ន្ធលំយោល។

ក្នុងករណីមានលំយោលអាម៉ូនិកយ៉ាងតឹងរឹងនៃរ៉ិចទ័រ A, និង មិនអាស្រ័យលើពេលវេលា។

ប្រេកង់វដ្ត ភ្ជាប់ជាមួយរយៈពេល T នៃលំយោល និងប្រេកង់ សមាមាត្រ៖

(2)

រយៈពេល T oscillations គឺជារយៈពេលខ្លីបំផុតនៃពេលវេលា បន្ទាប់ពីនោះតម្លៃនៃបរិមាណរូបវន្តទាំងអស់ដែលកំណត់លក្ខណៈនៃលំយោលត្រូវបានធ្វើម្តងទៀត។

ប្រេកង់ លំយោលគឺជាចំនួននៃលំយោលពេញលេញដែលបានអនុវត្តក្នុងមួយឯកតានៃពេលវេលា វាស់ជាហឺត (1 Hz = 1
).

ប្រេកង់វដ្ត ជាលេខស្មើនឹងចំនួនលំយោលដែលបានបញ្ចប់ក្នុង 2 វិនាទី

លំយោលដែលកើតឡើងនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមិនមែនជាកម្មវត្ថុនៃសកម្មភាពនៃកម្លាំងខាងក្រៅអថេរ ដែលជាលទ្ធផលនៃគម្លាតដំបូងនៃប្រព័ន្ធនេះពីស្ថានភាពនៃលំនឹងស្ថិរភាព ត្រូវបានគេហៅថា ឥតគិតថ្លៃ(ឬរបស់អ្នកផ្ទាល់)។

ប្រសិនបើប្រព័ន្ធមានលក្ខណៈអភិរក្ស នោះគ្មានការសាយភាយថាមពលកើតឡើងក្នុងអំឡុងពេលលំយោល។ ក្នុងករណីនេះការរំញ័រដោយឥតគិតថ្លៃត្រូវបានគេហៅថា គ្មានសំណើម.

ល្បឿន យើងកំណត់លំយោលនៃចំណុចមួយ ជាដេរីវេនៃការផ្លាស់ទីលំនៅតាមពេលវេលា៖

(3)

ការបង្កើនល្បឿន ចំណុចលំយោលគឺស្មើនឹងដេរីវេនៃល្បឿនដោយគោរពតាមពេលវេលា៖

(4)

សមីការ (4) បង្ហាញថាការបង្កើនល្បឿនក្នុងអំឡុងពេលលំយោលអាម៉ូនិកគឺអថេរ ដូច្នេះលំយោលគឺបណ្តាលមកពីសកម្មភាពនៃកម្លាំងអថេរមួយ។

ច្បាប់ទីពីររបស់ញូវតុនអនុញ្ញាតឱ្យយើងសរសេរក្នុងន័យទូទៅទំនាក់ទំនងរវាងកម្លាំង F និងការបង្កើនល្បឿន សម្រាប់លំយោលអាម៉ូនិក rectilinear នៃចំណុចសម្ភារៈដែលមានម៉ាស់
:

កន្លែងណា
, (6)

k - មេគុណនៃការបត់បែន។

ដូច្នេះកម្លាំងដែលបណ្តាលឱ្យរំញ័រអាម៉ូនិកគឺសមាមាត្រទៅនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅនិងដឹកនាំប្រឆាំងនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅ។ ក្នុងន័យនេះ យើងអាចផ្តល់និយមន័យថាមវន្តនៃលំយោលអាម៉ូនិកៈ អាម៉ូនិកគឺជាការយោលដែលបណ្តាលមកពីកម្លាំងសមាមាត្រដោយផ្ទាល់ទៅនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅ x និងដឹកនាំប្រឆាំងនឹងការផ្លាស់ទីលំនៅ។

កម្លាំងស្តារអាចជាឧទាហរណ៍កម្លាំងយឺត។ កម្លាំង​ដែល​មាន​លក្ខណៈ​ខុស​ពី​កម្លាំង​យឺត ប៉ុន្តែ​ក៏​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​មាន​លក្ខខណ្ឌ (៥) ពាក់កណ្តាលបត់បែន.

នៅក្នុងករណីនៃការយោល rectilinear តាមបណ្តោយអ័ក្ស x ការបង្កើនល្បឿន ស្មើ៖

.

ជំនួសកន្សោមនេះសម្រាប់ការបង្កើនល្បឿន និងអត្ថន័យនៃកម្លាំង
នៅក្នុងច្បាប់ទីពីររបស់ញូវតុន យើងទទួលបាន សមីការមូលដ្ឋាននៃលំយោលអាម៉ូនិក rectilinear:

ឬ
(7)

ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះគឺសមីការ (១)។

កម្មវិធីសិក្សាទ្រឹស្តីលំយោលសម្រាប់សិស្ស ៤ វគ្គសិក្សា FACI

វិន័យគឺផ្អែកលើលទ្ធផលនៃវិញ្ញាសាដូចជា ពិជគណិតទូទៅបុរាណ ទ្រឹស្តីនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលធម្មតា ទ្រឹស្តីមេកានិច និងទ្រឹស្តីនៃមុខងារនៃអថេរស្មុគស្មាញ។ លក្ខណៈពិសេសនៃការសិក្សានៃវិន័យគឺការប្រើញឹកញាប់នៃបរិធាននៃការវិភាគគណិតវិទ្យា និងមុខវិជ្ជាគណិតវិទ្យាដែលពាក់ព័ន្ធផ្សេងទៀត ការប្រើប្រាស់ឧទាហរណ៍សំខាន់ៗជាក់ស្តែងពីមុខវិជ្ជានៃទ្រឹស្តីមេកានិច រូបវិទ្យា វិស្វកម្មអគ្គិសនី និងសូរស័ព្ទ។

1. ការវិភាគគុណភាពនៃចលនានៅក្នុងប្រព័ន្ធអភិរក្សដែលមានកម្រិតមួយនៃសេរីភាព

• វិធីសាស្រ្តយន្តហោះដំណាក់កាល
• ភាពអាស្រ័យនៃរយៈពេលយោលលើទំហំ។ ប្រព័ន្ធទន់និងរឹង

2. សមីការ Duffing

• កន្សោមសម្រាប់ដំណោះស្រាយទូទៅនៃសមីការ Duffing នៅក្នុងមុខងាររាងអេលីប

3. ប្រព័ន្ធ Quasilinear

• Van der Pol Variables
• វិធីសាស្រ្តមធ្យម

4. លំយោលបន្ធូរអារម្មណ៍

• សមីការ Van der Pol
• ប្រព័ន្ធដែលរំខានដោយឯកវចនៈនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែល

5. ថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធស្វយ័តមិនលីនេអ៊ែរនៃទម្រង់ទូទៅជាមួយនឹងកម្រិតមួយនៃសេរីភាព

• គំនិតនៃ "ភាពរដុប" នៃប្រព័ន្ធថាមវន្ត
• Bifurcations នៃប្រព័ន្ធថាមវន្ត

6. ធាតុនៃទ្រឹស្តីរបស់ Floquet

• ដំណោះស្រាយធម្មតា និងមេគុណនៃប្រព័ន្ធលីនេអ៊ែរនៃសមីការឌីផេរ៉ង់ស្យែលជាមួយនឹងមេគុណតាមកាលកំណត់
• អនុភាពប៉ារ៉ាម៉ែត្រ

7. សមីការ Hill

• ការវិភាគឥរិយាបថនៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ Hill-type ជាការបង្ហាញពីការអនុវត្តទ្រឹស្តី Floquet ទៅនឹងប្រព័ន្ធ Hamiltonian លីនេអ៊ែរជាមួយនឹងមេគុណតាមកាលកំណត់។
• សមីការ Mathieu ជាករណីពិសេសនៃសមីការ Hill-type ។ ដ្យាក្រាម Ines-Strett

8. លំយោលដោយបង្ខំនៅក្នុងប្រព័ន្ធដែលមានកម្លាំងស្ដារឡើងវិញដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ

• ទំនាក់ទំនងរវាងទំហំនៃលំយោល និងទំហំនៃកម្លាំងជំរុញដែលបានអនុវត្តទៅលើប្រព័ន្ធ
• ការផ្លាស់ប្តូររបៀបបើកបរនៅពេលផ្លាស់ប្តូរប្រេកង់នៃកម្លាំងបើកបរ។ គំនិតនៃ hysteresis "ថាមវន្ត"

9. បំរែបំរួល Adiabatic

• Action-Angle Variables
• ការអភិរក្សនៃ invariants adiabatic ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរគុណភាពនៅក្នុងធម្មជាតិនៃចលនា

10. ថាមវន្តនៃប្រព័ន្ធថាមវន្តពហុវិមាត្រ

• គំនិតនៃ ergodicity និងការលាយបញ្ចូលគ្នានៅក្នុងប្រព័ន្ធថាមវន្ត
• ផែនទី Poincare

11. សមីការ Lorentz ។ អ្នកទាក់ទាញចម្លែក

• សមីការ Lorentz ជាគំរូនៃ thermoconvection
• Bifurcations នៃដំណោះស្រាយចំពោះសមីការ Lorentz ។ ការផ្លាស់ប្តូរទៅភាពវឹកវរ
• រចនាសម្ព័ន្ធប្រភាគនៃវត្ថុទាក់ទាញចម្លែក

12. ការបង្ហាញមួយវិមាត្រ។ ភាពបត់បែនរបស់ Feigenbaum

• ការធ្វើផែនទីបួនជ្រុង - ផែនទីមិនលីនេអ៊ែរសាមញ្ញបំផុត។
• គន្លងតាមកាលកំណត់នៃផែនទី។ Bifurcations នៃគន្លងតាមកាលកំណត់

អក្សរសាស្ត្រ (សំខាន់)

1. Moiseev N.N. វិធីសាស្រ្ត asymptotic នៃមេកានិច nonlinear ។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៨១។

2. Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. សេចក្តីផ្តើមអំពីទ្រឹស្តីនៃលំយោល និងរលក។ អេដ។ ទី 2 ។ មជ្ឈមណ្ឌលស្រាវជ្រាវ "ថាមវន្តទៀងទាត់ និងវឹកវរ" ឆ្នាំ 2000 ។

3. Bogolyubov N.N., Mitropolsky Yu.A. វិធីសាស្រ្ត asymptotic នៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃលំយោល nonlinear ។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧៤។

4. Butenin N.V., Neimark Yu.I., Fufaev N.A. សេចក្តីផ្តើមអំពីទ្រឹស្តីនៃលំយោលមិនមែនលីនេអ៊ែរ។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៨៧។

5. Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. សេចក្តីផ្តើមអំពីការរួមបញ្ចូលគ្នា។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៩០។

6. Karlov N.V., Kirichenko N.A. លំយោល រលក រចនាសម្ព័ន្ធ.. - M.: Fizmatlit, 2003 ។

អក្សរសាស្ត្រ (បន្ថែម)

7. Zhuravlev V.F., Klimov D.M. វិធីសាស្រ្តដែលបានអនុវត្តនៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃការរំញ័រ។ គ្រឹះស្ថានបោះពុម្ព "វិទ្យាសាស្ត្រ" ឆ្នាំ ១៩៨៨ ។

8. Stocker J. លំយោលមិនលីនេអ៊ែរនៅក្នុងប្រព័ន្ធមេកានិក និងអគ្គិសនី។ - អិមៈ អក្សរសិល្ប៍បរទេស ឆ្នាំ ១៩៥២។

9. Starzhinsky V.M. , វិធីសាស្រ្តអនុវត្តនៃលំយោល nonlinear ។ - អិមៈ ណៅកា ឆ្នាំ ១៩៧៧។

10. Hayashi T. លំយោលមិនលីនេអ៊ែរនៅក្នុងប្រព័ន្ធរូបវន្ត។ - អិមៈ Mir ឆ្នាំ 1968 ។

11. Andronov A.A., Witt A.A., Khaikin S.E. ទ្រឹស្ដី Oscillation ។ - អិមៈ Fizmatgiz ឆ្នាំ 1959 ។

សៀវភៅណែនាំអ្នកអានអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅនៃដំណើរការលំយោលដែលកើតឡើងនៅក្នុងវិស្វកម្មវិទ្យុ ប្រព័ន្ធអុបទិក និងប្រព័ន្ធផ្សេងទៀត ក៏ដូចជាវិធីសាស្ត្រគុណភាព និងបរិមាណផ្សេងៗសម្រាប់សិក្សាពួកគេ។ ការយកចិត្តទុកដាក់គួរឱ្យកត់សម្គាល់គឺត្រូវបានបង់ទៅឱ្យការពិចារណានៃប៉ារ៉ាម៉ែត្រ, លំយោលដោយខ្លួនឯង និងប្រព័ន្ធ oscillatory nonlinear ផ្សេងទៀត។
ការសិក្សានៃប្រព័ន្ធលំយោល និងដំណើរការនៅក្នុងពួកវាដែលបានពិពណ៌នានៅក្នុងសៀវភៅត្រូវបានបង្ហាញដោយប្រើវិធីសាស្រ្តល្បីនៃទ្រឹស្តីលំយោលដោយគ្មានការបង្ហាញលម្អិត និងយុត្តិកម្មនៃវិធីសាស្រ្តខ្លួនឯង។ ការយកចិត្តទុកដាក់ចម្បងគឺត្រូវបានបង់ទៅឱ្យការបកស្រាយអំពីលក្ខណៈជាមូលដ្ឋាននៃគំរូលំយោលដែលបានសិក្សានៃប្រព័ន្ធពិត ដោយប្រើវិធីសាស្ត្រវិភាគគ្រប់គ្រាន់បំផុត។

លំយោលដោយឥតគិតថ្លៃនៅក្នុងសៀគ្វីដែលមានអាំងឌុចទ័មិនលីនេអ៊ែរ។
ឥឡូវនេះ ចូរយើងពិចារណាឧទាហរណ៍មួយទៀតនៃប្រព័ន្ធអភិរក្សដែលមិនមែនជាលីនេអ៊ែរ ពោលគឺសៀគ្វីដែលមានអាំងឌុចស្យុងអាស្រ័យលើចរន្តដែលហូរកាត់វា។ ករណីនេះមិនមាន analogue មេកានិចដែលមិនទាក់ទងគ្នាច្បាស់លាស់ និងសាមញ្ញទេ ចាប់តាំងពីការពឹងផ្អែកនៃចរន្តដោយខ្លួនឯងលើចរន្តគឺស្មើនឹងមេកានិចទៅនឹងករណីនៃការពឹងផ្អែកនៃម៉ាស់លើល្បឿន។

យើងជួបប្រទះនឹងប្រព័ន្ធអគ្គិសនីនៃប្រភេទនេះ នៅពេលដែលស្នូលធ្វើពីសម្ភារៈ ferromagnetic ត្រូវបានប្រើនៅក្នុង inductances ។ ក្នុងករណីបែបនេះ សម្រាប់ស្នូលដែលបានផ្តល់ឱ្យនីមួយៗ វាអាចទទួលបានទំនាក់ទំនងរវាងវាលម៉ាញេទិក និងលំហូរចរន្តម៉ាញ៉េទិច។ ខ្សែកោងពណ៌នាអំពីភាពអាស្រ័យនេះត្រូវបានគេហៅថាខ្សែកោងមេដែក។ ប្រសិនបើយើងធ្វេសប្រហែសបាតុភូតនៃ hysteresis នោះវគ្គសិក្សាប្រហាក់ប្រហែលរបស់វាអាចត្រូវបានតំណាងដោយក្រាហ្វដែលបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ១.១៣. ដោយសារទំហំនៃវាល H គឺសមាមាត្រទៅនឹងចរន្តដែលហូរនៅក្នុងឧបករណ៏នោះ ចរន្តអាចត្រូវបានគ្រោងដោយផ្ទាល់នៅលើមាត្រដ្ឋានសមស្របតាមអ័ក្ស abscissa ។

ទាញយកសៀវភៅអេឡិចត្រូនិចដោយឥតគិតថ្លៃក្នុងទម្រង់ងាយស្រួល មើល និងអាន៖
ទាញយកសៀវភៅ Fundamentals of the Theory of Oscillations, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com ទាញយកលឿន និងឥតគិតថ្លៃ។

• គោលការណ៍រូបវិទ្យាទ្រឹស្តី មេកានិក ទ្រឹស្ដីវាល ធាតុនៃមេកានិចកង់ទិច មេដវេដេវ B.V. 2007
• វគ្គសិក្សារូបវិទ្យា Ershov A.P., Fedotovich G.V., Kharitonov V.G., Pruuel E.R., Medvedev D.A.
• ទែរម៉ូឌីណាមិកបច្ចេកទេសជាមួយនឹងមូលដ្ឋានគ្រឹះនៃការផ្ទេរកំដៅ និងធារាសាស្ត្រ, Lashutina N.G., Makashova O.V., Medvedev R.M., 1988