ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ಹಿಮ್ಮುಖ

ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿಸುವ ಅಜ್ಞಾತ xi ಯ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ).

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೀಗೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:

1) ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಆಗಿದೆ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ).
2) ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ.
3) ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ.

ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ – ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಮತ್ತು ಬಹುಮುಖ ಸಾಧನ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿನಮ್ಮನ್ನು ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ! ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಾಮರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪ್ರವೇಶಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ( ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ - ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಜೊತೆಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್)ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು:

1) ಜೊತೆಗೆ ಟ್ರೋಕಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮರುಹೊಂದಿಸಿಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ.

2) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ (ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ - ಒಂದೇ ರೀತಿಯ) ಸಾಲುಗಳು ಗೋಚರಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ), ನಂತರ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕು ಅಳಿಸಿಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.

3) ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಾಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಕೂಡ ಆಗಿರಬೇಕು ಅಳಿಸಿ.

4) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಆಗಿರಬಹುದು ಗುಣಿಸಿ (ಭಾಗಿಸು)ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.

5) ನೀವು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1. "ನೇರ ಚಲನೆ" - ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು "ತ್ರಿಕೋನ" ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ: ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದ ಕೆಳಗಿರುವ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೇಲಿನ-ಕೆಳಗೆ ಚಲಿಸುವಿಕೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ:

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ:

1) ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು x 1 ಗೆ ಗುಣಾಂಕವು K ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು, ಮೂರನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಮುಕ್ತ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ x 1 ರ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು K ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ( ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು). ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ಕ್ಕೆ ನಾವು ಗುಣಾಂಕ 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂರನೇ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಜ್ಞಾತ x 1 ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

2) ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಇದು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು x 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ M. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ "ಕಡಿಮೆ" ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಜ್ಞಾತ x 2 "ಕೆಳಗೆ" ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

3) ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮುಕ್ತ ಪದವು ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ.

1. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ "ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್" ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ("ಕೆಳದಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಚಲಿಸುವಿಕೆ). ಕೊನೆಯ "ಕಡಿಮೆ" ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಅಜ್ಞಾತ x n. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು A * x n = B ಎಂಬ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, x 3 = 4. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಮೇಲಿನ" ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 - 4 = 1, ಅಂದರೆ. x 2 = 5. ಹೀಗೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸಲಹೆ ನೀಡುವಂತೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

ನಾವು ಮೇಲಿನ ಎಡ "ಹೆಜ್ಜೆ" ಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟಕಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘಟಕವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವಿದನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
1 ಹೆಜ್ಜೆ . ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಬದಲಾಗಲಿಲ್ಲ.

ಈಗ ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ "ಮೈನಸ್ ಒನ್" ಇದೆ, ಅದು ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. +1 ಪಡೆಯಲು ಬಯಸುವ ಯಾರಾದರೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ).

ಹಂತ 2 . 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು.

ಹಂತ 3 . ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ "ಹಂತ" ದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಹಂತ 4 . ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು.

ಹಂತ 5 . ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆ (ಹೆಚ್ಚು ಅಪರೂಪವಾಗಿ, ಮುದ್ರಣದೋಷ) "ಕೆಟ್ಟ" ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಕೆಳಗೆ (0 0 11 |23) ಏನನ್ನಾದರೂ ಪಡೆದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರಗಳು.

ರಿವರ್ಸ್ ಮಾಡೋಣ; ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು "ನೀಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ." ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಉಡುಗೊರೆಯಾಗಿತ್ತು:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, ಆದ್ದರಿಂದ x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

ಉತ್ತರ:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 0.64 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 0.4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು "ಸ್ಟೆಪ್ಡ್" ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ಹೀಗಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ದೋಷದಿಂದ, ನಾವು x 3 = 0.96 ಅಥವಾ ಸರಿಸುಮಾರು 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

x 2 = 3 ಮತ್ತು x 1 = –1.

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಎಂದಿಗೂ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದೋಷಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮೆಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ (ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ) ಒಬ್ಬರು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕು.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ! ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ನೋಡೋಣ! ಬೋಧಕ ಡಿಮಿಟ್ರಿ ಅಸ್ಟ್ರಾಖಾನೋವ್.

ವೆಬ್‌ಸೈಟ್, ವಿಷಯವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾದ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ (ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಸಮಾನತೆಗೆ ತಿರುಗಿಸುವ ಅಜ್ಞಾತ xi ಯ ಅಂತಹ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ).

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹೀಗೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:

1) ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ (ಆಗಿದೆ ಜಂಟಿ ಅಲ್ಲದ).
2) ಅನಂತ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ.
3) ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರಿ.

ನಾವು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವಂತೆ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತವಾಗಿ ಹಲವು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಾಮರ್ ನಿಯಮ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನವು ಸೂಕ್ತವಲ್ಲ. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನ – ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಅತ್ಯಂತ ಶಕ್ತಿಶಾಲಿ ಮತ್ತು ಬಹುಮುಖ ಸಾಧನ, ಇದು ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿನಮ್ಮನ್ನು ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ! ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ರೀತಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಕ್ರಾಮರ್ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ, ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಲು ನಿಮಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳ ಜ್ಞಾನ ಮಾತ್ರ ಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಪ್ರವೇಶಿಸುವಂತೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ವರ್ಧಿತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳು ( ಇದು ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ - ಅಜ್ಞಾತ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸಂಯೋಜಿಸಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಜೊತೆಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್)ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು:

1) ಜೊತೆಗೆ ಟ್ರೋಕಿಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಮಾಡಬಹುದು ಮರುಹೊಂದಿಸಿಕೆಲವು ಸ್ಥಳಗಳಲ್ಲಿ.

2) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅನುಪಾತದ (ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣವಾಗಿ - ಒಂದೇ ರೀತಿಯ) ಸಾಲುಗಳು ಗೋಚರಿಸಿದರೆ (ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ), ನಂತರ ನೀವು ಮಾಡಬೇಕು ಅಳಿಸಿಈ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಒಂದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ.

3) ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯ ಸಾಲು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅದು ಕೂಡ ಆಗಿರಬೇಕು ಅಳಿಸಿ.

4) ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲು ಆಗಿರಬಹುದು ಗುಣಿಸಿ (ಭಾಗಿಸು)ಶೂನ್ಯವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ.

5) ನೀವು ಮಾಡಬಹುದಾದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮತ್ತೊಂದು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿ, ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1. "ನೇರ ಚಲನೆ" - ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು "ತ್ರಿಕೋನ" ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತನ್ನಿ: ಮುಖ್ಯ ಕರ್ಣೀಯದ ಕೆಳಗಿರುವ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಮೇಲಿನ-ಕೆಳಗೆ ಚಲಿಸುವಿಕೆ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಪ್ರಕಾರಕ್ಕೆ:

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹಂತಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಿ:

1) ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮತ್ತು x 1 ಗೆ ಗುಣಾಂಕವು K ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡನೆಯದು, ಮೂರನೆಯದು, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು (ಮುಕ್ತ ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಗುಣಾಂಕಗಳು) ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ x 1 ರ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು K ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಇದರ ನಂತರ, ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ ( ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು). ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ x 1 ಕ್ಕೆ ನಾವು ಗುಣಾಂಕ 0 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಮೂರನೇ ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತೇವೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಜ್ಞಾತ x 1 ಗಾಗಿ ಗುಣಾಂಕ 0 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.

2) ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ. ಇದು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು x 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಗುಣಾಂಕವಾಗಿರಲಿ M. ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದಂತೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ "ಕಡಿಮೆ" ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ಅಜ್ಞಾತ x 2 "ಕೆಳಗೆ" ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.

3) ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮುಂದುವರಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಜ್ಞಾತ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ಮುಕ್ತ ಪದವು ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ.

1. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದ "ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್" ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ("ಕೆಳದಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ" ಚಲಿಸುವಿಕೆ). ಕೊನೆಯ "ಕಡಿಮೆ" ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಒಂದು ಮೊದಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ - ಅಜ್ಞಾತ x n. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು A * x n = B ಎಂಬ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, x 3 = 4. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು "ಮೇಲಿನ" ಮುಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಮುಂದಿನ ಅಜ್ಞಾತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, x 2 - 4 = 1, ಅಂದರೆ. x 2 = 5. ಹೀಗೆ ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ.

ಉದಾಹರಣೆ.

ಕೆಲವು ಲೇಖಕರು ಸಲಹೆ ನೀಡುವಂತೆ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ:

ನಾವು ಸಿಸ್ಟಂನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರೋಣ:

ನಾವು ಮೇಲಿನ ಎಡ "ಹೆಜ್ಜೆ" ಯನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು. ಸಮಸ್ಯೆಯೆಂದರೆ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಘಟಕಗಳಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದರಿಂದ ಏನನ್ನೂ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಘಟಕವನ್ನು ಆಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಮಾಡಬಹುದು. ನಾವಿದನ್ನು ಮಾಡೋಣ:
1 ಹೆಜ್ಜೆ . ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದರೆ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಬದಲಾಗಲಿಲ್ಲ.

ಈಗ ಮೇಲಿನ ಎಡಭಾಗದಲ್ಲಿ "ಮೈನಸ್ ಒನ್" ಇದೆ, ಅದು ನಮಗೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ. +1 ಪಡೆಯಲು ಬಯಸುವ ಯಾರಾದರೂ ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು –1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ (ಅದರ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ).

ಹಂತ 2 . 5 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು.

ಹಂತ 3 . ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು -1 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು, ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಇದು ಸೌಂದರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಹ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಯಿತು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡನೇ "ಹಂತ" ದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಘಟಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ.

ಹಂತ 4 . ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಯಿತು, 2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಯಿತು.

ಹಂತ 5 . ಮೂರನೇ ಸಾಲನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಸೂಚಿಸುವ ಚಿಹ್ನೆ (ಹೆಚ್ಚು ಅಪರೂಪವಾಗಿ, ಮುದ್ರಣದೋಷ) "ಕೆಟ್ಟ" ಬಾಟಮ್ ಲೈನ್ ಆಗಿದೆ. ಅಂದರೆ, ನಾವು ಕೆಳಗೆ (0 0 11 |23) ಏನನ್ನಾದರೂ ಪಡೆದರೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಪ್ರಕಾರ, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, ನಂತರ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಟ್ಟದ ಸಂಭವನೀಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ದೋಷವನ್ನು ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ರೂಪಾಂತರಗಳು.

ರಿವರ್ಸ್ ಮಾಡೋಣ; ಉದಾಹರಣೆಗಳ ವಿನ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಸ್ವತಃ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು "ನೀಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ನೇರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ." ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್, ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ, ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತದೆ. ಈ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶವು ಉಡುಗೊರೆಯಾಗಿತ್ತು:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, ಆದ್ದರಿಂದ x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

ಉತ್ತರ:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 5 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದನ್ನು 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 0.64 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು 0.4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಕಳೆಯುವುದರಿಂದ, ನಾವು "ಸ್ಟೆಪ್ಡ್" ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

ಹೀಗಾಗಿ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಗ್ರಹವಾದ ದೋಷದಿಂದ, ನಾವು x 3 = 0.96 ಅಥವಾ ಸರಿಸುಮಾರು 1 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

x 2 = 3 ಮತ್ತು x 1 = –1.

ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ ಎಂದಿಗೂ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ದೋಷಗಳ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ನೀವು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ.

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪ್ರೋಗ್ರಾಮೆಬಲ್ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರಿಗೆ ಗುಣಾಂಕಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ (ಆರ್ಥಿಕ ಮತ್ತು ತಾಂತ್ರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಲ್ಲಿ) ಒಬ್ಬರು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದ ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಬೇಕು.

ನಾನು ನಿಮಗೆ ಯಶಸ್ಸನ್ನು ಬಯಸುತ್ತೇನೆ! ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮನ್ನು ನೋಡೋಣ! ಬೋಧಕ.

blog.site, ವಸ್ತುವನ್ನು ಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಥವಾ ಭಾಗಶಃ ನಕಲಿಸುವಾಗ, ಮೂಲ ಮೂಲಕ್ಕೆ ಲಿಂಕ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು ವಿವರಣೆ

ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ರೂಪಾಂತರ ವಿಧಾನವು (ಸಮೀಕರಣ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಿಂದ ಅಜ್ಞಾತ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ) ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAE) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಒಂದು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ವಿಲೋಮ ಮಾತೃಕೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಮುಂತಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಈ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೂಪಾಂತರವು ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಣ್ಣ (ಪ್ರಾಥಮಿಕ) ಅನುಕ್ರಮ ಬದಲಾವಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾದ ಹೊಸ ತ್ರಿಕೋನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ರಚನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ನಿರ್ಮೂಲನೆಗೆ ಕಾರಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1

ಪರಿಹಾರದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಗಾಸಿಯನ್ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮೇಲಿನಿಂದ ಕೆಳಕ್ಕೆ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಿದ ನಂತರ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ (ಅಂದರೆ, ಕಂಡುಬರುವ ಮೊದಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಕೊನೆಯ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ನಿಖರವಾಗಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿವೆ). ಪರಿಹಾರದ ಈ ಭಾಗವನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ದ್ರಾವಣದ ವಿಲೋಮ ಎಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಕೆಳಕಂಡಂತಿದೆ: ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಹತ್ತಿರವಿರುವ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೀಗಾಗಿ ಮತ್ತೊಂದು ವೇರಿಯಬಲ್ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ನ ವಿವರಣೆ

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರಕ್ಕಾಗಿ ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮವು SLAE ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಫಾರ್ವರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಬ್ಯಾಕ್‌ವರ್ಡ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್‌ಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣಗಳ ಆರಂಭಿಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿರಲಿ:

$\begin(ಕೇಸ್) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು)$

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & ... & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ $A$ ಅನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾದ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು $b$ ಅನ್ನು ಅದರ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಬಾರ್ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾದ $A$ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ (ಅಥವಾ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ, ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ) ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಕ್ಕೆ ತರಲು ಈಗ ಇದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ:

$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \ ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು)$ (1)

ಸಮೀಕರಣದ (1) ರೂಪಾಂತರಗೊಂಡ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಪಡೆದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಇದು ಹಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ:

1. ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಗಳು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ರೇಖೆಗಳ ನಂತರ ಬರುತ್ತವೆ
2. $k$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕೆಲವು ಸಾಲು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಹಿಂದಿನ ಸಾಲು $k$ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಇದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆದ ನಂತರ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ (ಕೊನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ) ಬದಲಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಉಳಿದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಮೂಲ ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಅನುಮತಿಸಲಾದ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ.

ಅಂತಹ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸದೆ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಹಲವಾರು ಸಾಲುಗಳ ಮರುಜೋಡಣೆ,
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಒಂದು ಸಾಲಿನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದು ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಕಳೆಯುವುದು,
• ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರದ ಸ್ಥಿರದಿಂದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಗುಣಿಸುವುದು ಅಥವಾ ಭಾಗಿಸುವುದು,
• ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಲನ್ನು ಅಳಿಸಬೇಕು,
• ನೀವು ಅನವಶ್ಯಕ ಅನುಪಾತದ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸಹ ತೆಗೆದುಹಾಕಬೇಕಾಗಿದೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾದ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕರವಾದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಏಕೈಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಹಿಂತಿರುಗಿಸಬಲ್ಲವು.

ಸರಳ ಗಾಸ್ ರೂಪಾಂತರಗಳ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವಾಗ ಉದ್ಭವಿಸುವ ಮೂರು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ:

1. ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾದಾಗ, ಅಂದರೆ, ಅದು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ
2. ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದದ್ದು, ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
3. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಥವಾ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಅಸಂಗತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರದ ಫಲಿತಾಂಶ

ಈ ಆಯ್ಕೆಗಾಗಿ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಅಸಾಧ್ಯತೆಯೊಂದಿಗೆ ಕೆಲವು ರೇಖೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುವುದು ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ತಪ್ಪಾದ ಸಮಾನತೆ ಸಂಭವಿಸಿದಲ್ಲಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮತ್ತು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಅವು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಇತರ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಿಸದೆಯೇ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಸಂಗತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉದಾಹರಣೆ:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಸಮಾನತೆ ಹುಟ್ಟಿಕೊಂಡಿತು: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು, ಒಂದು ಹಂತದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆಯಾದ ನಂತರ ಮತ್ತು ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಿದ ನಂತರ, ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸಾಲುಗಳು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಸರಳ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ:

$\begin(ಕೇಸ್) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(ಕೇಸ್)$

ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಕೋಶವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತರಲು, ನಾವು ಮೇಲಿನ ಸಾಲನ್ನು $-2$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಮೇಲಿನ ಸಾಲನ್ನು ಅದರ ಮೂಲ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬಿಡಿ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

ಈ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಆಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

$\begin(ಕೇಸ್) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(ಕೇಸ್)$

ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣವು $x$ ಗೆ ಕೆಳಗಿನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, ನಾವು $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಅನೇಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ನಿರೂಪಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ (ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ).

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎರಡು ವಿಧಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ: ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸುವಾಗ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮುಖ್ಯ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಎಡ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ "=" ಚಿಹ್ನೆಯವರೆಗೆ ಬಿಡಬೇಕು ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗಕ್ಕೆ ಸರಿಸಬೇಕು.

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ:

$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \ಅಂತ್ಯ(ಪ್ರಕರಣಗಳು)$

ಅದನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \ end(array)$

ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ, ಆಧಾರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳು $y_1$ ಮತ್ತು $y_3$ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ($y_1$ ಗೆ - ಇದು ಮೊದಲು ಬರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು $y_3$ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ - ಇದು ಸೊನ್ನೆಗಳ ನಂತರ ಇದೆ).

ಆಧಾರ ವೇರಿಯಬಲ್‌ಗಳಂತೆ, ನಾವು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಉಳಿದ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ನಾವು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ಮೂಲಭೂತ ಅಂಶಗಳನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವದನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಕೆಳಗಿನಿಂದ ಮೇಲಕ್ಕೆ ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ; ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಮೊದಲು ಸಿಸ್ಟಂನ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಿಂದ $y_3$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

ಈಗ ನಾವು $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) ಸಿಸ್ಟಂನ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದ $y_3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ. + y_4 = 1$

$y_2$ ಮತ್ತು $y_4$ ಉಚಿತ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ನಾವು $y_1$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

ಪರಿಹಾರ ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಿಧಾನಗತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 3 ರಿಂದ 3 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೀಡಿದ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

$\begin(ಕೇಸ್) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \ end(ಕೇಸ್)$

ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯೋಣ:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \ end(array)$

ಈಗ, ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕತೆಗಾಗಿ, ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಇದರಿಂದ $1$ ಹೊರಗಿನ ಕಾಲಮ್‌ನ ಮೇಲಿನ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿದೆ.

ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, 1 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನೀವು ಮಧ್ಯದಿಂದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು, $-1$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಅದರಂತೆಯೇ ಬರೆಯಿರಿ, ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \ end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \ end(array) $

ಮೇಲಿನ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಾಲುಗಳನ್ನು $-1$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ, ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \ end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \ end(array)$

ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಸಾಲನ್ನು $3$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \ end(array)$

ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದು ಮೂಲಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

$\begin(ಕೇಸ್) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \ end(ಕೇಸ್)$

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು $x_1$ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

ಉದಾಹರಣೆ 2

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು 4 ರಿಂದ 4 ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಬಳಸಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆ

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end(array)$.

ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಎಡ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ $1$ ಪಡೆಯಲು ನಾವು ಅದನ್ನು ಅನುಸರಿಸುವ ಮೇಲಿನ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \ end(array)$.

ಈಗ ಮೇಲಿನ ಸಾಲನ್ನು $-2$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು 2 ನೇ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಸೇರಿಸಿ. 4 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು 1 ನೇ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, $-3$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅರೇ)$

ಈಗ ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಗೆ ನಾವು $4$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಲೈನ್ 2 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು 4 ನೇ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು $-1$ ರಿಂದ ಲೈನ್ 2 ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \ end(array)$

ನಾವು ಲೈನ್ 2 ಅನ್ನು $-1$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಲೈನ್ 4 ಅನ್ನು $3$ ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಮತ್ತು ಲೈನ್ 3 ಅನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 ಮತ್ತು 10 \\ \ಅಂತ್ಯ(ಅರೇ)$

ಈಗ ನಾವು ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿಗೆ ಕೊನೆಯ ಸಾಲನ್ನು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, $-5$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \ end(array)$

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ:

$\begin(ಪ್ರಕರಣಗಳು) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\ end(ಕೇಸ್‌ಗಳು)$

1. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ

1.1 ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹಲವಾರು ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಹಲವಾರು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಏಕಕಾಲಿಕ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಸ್ಥಿತಿಯಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು (ಇನ್ನು ಮುಂದೆ SLAE ಎಂದು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ) m ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು n ಅಜ್ಞಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು a ij ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, b i ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಂದು ijಮತ್ತು ಬಿ ಐ(i=1,..., m; b=1,..., n) ಕೆಲವು ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು x 1,..., x n- ಅಜ್ಞಾತ. ಗುಣಾಂಕಗಳ ಪದನಾಮದಲ್ಲಿ ಒಂದು ijಮೊದಲ ಸೂಚ್ಯಂಕ i ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಎರಡನೇ j ಎಂಬುದು ಈ ಗುಣಾಂಕದ ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದೆ. x n ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ: AX=B.ಇಲ್ಲಿ A ಎಂಬುದು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ;

A*X ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ನಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ X (n ತುಣುಕುಗಳು) ನಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳಿರುವಷ್ಟು ಕಾಲಮ್‌ಗಳಿವೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಆಗಿದೆ, ಇದು ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನಿಂದ ಪೂರಕವಾಗಿದೆ

1.2 ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಕ್ರಮಗೊಳಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ (ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು), ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಬದಲಿಗೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿದಾಗ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಯಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ.

ಒಂದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವೆಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತ x1=c1, x2=c2,..., xn=cn ಮೌಲ್ಯಗಳ n ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಇವುಗಳ ಪರ್ಯಾಯದ ಮೇಲೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳು ನಿಜವಾದ ಸಮಾನತೆಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಾಲಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು

ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ಸ್ಥಿರವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ.

ಸ್ಥಿರವಾದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರದ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಾ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದರೆ ಅದು ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗಿದೆಯೇ ಅಥವಾ ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ.

ಒಂದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಸಮಾನ (ಸಮಾನ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪರಿಹಾರವು ಇನ್ನೊಂದರ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ರೂಪಾಂತರ, ಒಂದು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮೂಲ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಹೊಸ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಅನ್ನು ಸಮಾನ ಅಥವಾ ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ: ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಎರಡು ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸುವುದು, ಯಾವುದೇ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು.

ಎಲ್ಲಾ ಉಚಿತ ಪದಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಏಕರೂಪ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಒಂದು ಏಕರೂಪದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ x1=x2=x3=…=xn=0 ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಈ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಕ್ಷುಲ್ಲಕ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

2. ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನ

2.1 ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನದ ಮೂಲತತ್ವ

ರೇಖೀಯ ಬೀಜಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ವಿಧಾನವೆಂದರೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನ - ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ(ಇದನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ಎಲಿಮಿನೇಷನ್ ವಿಧಾನ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ). ಇದು ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಅನುಕ್ರಮ ನಿರ್ಮೂಲನ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ, ಯಾವಾಗ, ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಒಂದು ಹಂತದ (ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ) ರೂಪದ ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ಇತರ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ಕೊನೆಯದು (ಮೂಲಕ) ಸಂಖ್ಯೆ) ಅಸ್ಥಿರ.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ: ಮುಂದಕ್ಕೆ ಮತ್ತು ಹಿಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುತ್ತದೆ.

1. ನೇರ ಸ್ಟ್ರೋಕ್.

ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ನೇರ ಚಲನೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಿಕೆಯನ್ನು ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಸಾಲುಗಳ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ, ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮೆಟ್ಟಿಲು ಅಥವಾ ತ್ರಿಕೋನ ಆಕಾರಕ್ಕೆ ತರಲಾಗುತ್ತದೆ ಅಥವಾ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ಸ್ಥಾಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳೆಂದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಒಂದನ್ನು ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿ, ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಸರಿಸಿ ಮತ್ತು ಮರುಜೋಡಣೆಯ ನಂತರ ಉಳಿದ ಸಾಲುಗಳಿಂದ ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ, ಅದನ್ನು ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಈ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲುಗಳ ಮೊದಲ ಅಂಶದ ಅನುಪಾತಕ್ಕೆ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಶೂನ್ಯಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನಂತರ, ಮೊದಲ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ದಾಟಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯ-ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಉಳಿಯುವವರೆಗೆ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತದೆ. ಯಾವುದೇ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಕಾಲಮ್‌ನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಅಂಶವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಮುಂದಿನ ಕಾಲಮ್‌ಗೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಇದೇ ರೀತಿಯ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮಾಡಿ.

ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ (ನೇರ ಸ್ಟ್ರೋಕ್), ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಮೆಟ್ಟಿಲು (ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ತ್ರಿಕೋನ) ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಗುಣಾಂಕಗಳು aii ಅನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮುಖ್ಯ (ಪ್ರಮುಖ) ಅಂಶಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ ಅಜ್ಞಾತ x1 ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ಮೂಲಕ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿವರ್ತಿಸೋಣ (ಸಿಸ್ಟಮ್‌ನ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ). ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿ

ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸಿ, ನಾವು ಸಮಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಮೊದಲ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶ 11 ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಗುಣಾಂಕಗಳು ನಾಶವಾಗುತ್ತವೆ

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ಶೂನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಅಂದರೆ. 0=0 ರೂಪದ ಸಮಾನತೆಗಳು, ಅವುಗಳನ್ನು ತಿರಸ್ಕರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡರೆ

ಇಲ್ಲಿಯೇ ಗೌಸ್ ವಿಧಾನದ ನೇರ ಪ್ರಗತಿಯು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

2. ರಿವರ್ಸ್ ಸ್ಟ್ರೋಕ್.

ಎರಡನೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ, ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುವಿಕೆಯನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರ ಮೂಲತತ್ವವು ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮೂಲವಲ್ಲದ ಪದಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳ ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವುದು, ಅಥವಾ, ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿದ್ದರೆ , ನಂತರ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಏಕೈಕ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿ.

ಈ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನವು ಕೊನೆಯ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ, ಇದರಿಂದ ಅನುಗುಣವಾದ ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ಇದೆ) ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ, ಮತ್ತು "ಹಂತಗಳು" ಮೇಲಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ನಿಖರವಾಗಿ ಒಂದು ಆಧಾರ ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೊನೆಯ (ಮೇಲ್ಭಾಗ) ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯು ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಪುನರಾವರ್ತಿಸುತ್ತದೆ.

ಗಮನಿಸಿ: ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಿಸ್ಟಮ್ನೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅದರ ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನೊಂದಿಗೆ, ಅದರ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಗುಣಾಂಕ a11 1 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ (ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸಿ, ಅಥವಾ ಸಮೀಕರಣದ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳನ್ನು a11 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ).

2.2 ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಈ ವಿಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಮೂರು ವಿಭಿನ್ನ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವು SLAE ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ತೋರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 1. 3ನೇ ಕ್ರಮದ SLAE ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.

ನಲ್ಲಿ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸೋಣ

ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ, ವಿಧಾನವನ್ನು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ (SLAEs) ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ವಿಧಾನವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಧಾನವು ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿಂದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಕ್ರೇಮರ್ ಸೂತ್ರಗಳಂತಲ್ಲದೆ, ಗೌಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನೀವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವವರೊಂದಿಗೆ ಸಹ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬಹುದು. ಅಥವಾ ಅವರು ಅದನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದರ ಅರ್ಥವೇನು?

ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ನಮ್ಮ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:

ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಟೇಬಲ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಪದಗಳನ್ನು ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಕಾಲಮ್ನಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉಚಿತ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ವಿಸ್ತೃತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮುಂದೆ, ಗುಣಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೇಲಿನ ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಬೇಕು. ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶ ಇದು. ಸರಳವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಕೆಲವು ಕುಶಲತೆಯ ನಂತರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ನೋಡಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ಎಡ ಭಾಗವು ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ:

ನಂತರ, ನೀವು ಹೊಸ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಾಗಿ ಬರೆದರೆ, ಕೊನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಬೇರುಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಗಮನಿಸಬಹುದು, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇನ್ನೊಂದು ಮೂಲವು ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹಾರದ ವಿವರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ? ಅಥವಾ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಅನಂತವಾದವುಗಳಿವೆಯೇ? ಈ ಮತ್ತು ಇತರ ಹಲವು ಪ್ರಶ್ನೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು, ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಲ್ಲಿ ಬಳಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್, ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಗುಪ್ತ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ. ಅದರೊಂದಿಗೆ ನಂತರದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ರೆಕಾರ್ಡ್ ಮಾಡಲು ಇದು ಸರಳವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ. ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಸಹ ಅವರಿಗೆ ಭಯಪಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಯಾವಾಗಲೂ ಆಯತಾಕಾರದದ್ದಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಗಾಸ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ, ಎಲ್ಲವೂ ತ್ರಿಕೋನ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಬರುತ್ತವೆ, ಪ್ರವೇಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆಯತವು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲದ ಸ್ಥಳದಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ. ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದರ "ಅಗಲ" ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (m), "ಉದ್ದ" ಎಂಬುದು ಕಾಲಮ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ (n). ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A (ಕ್ಯಾಪಿಟಲ್ ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ) ಗಾತ್ರವನ್ನು A m×n ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. m=n ಆಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಚೌಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು m=n ಅದರ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ A ಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಅದರ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು: a xy ; x - ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ, ಬದಲಾವಣೆಗಳು, y - ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ, ಬದಲಾವಣೆಗಳು.

ಬಿ ನಿರ್ಧಾರದ ಮುಖ್ಯ ಅಂಶವಲ್ಲ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳೊಂದಿಗೆ ನೇರವಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಸಂಕೇತವು ಹೆಚ್ಚು ತೊಡಕಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭವಾಗುತ್ತದೆ.

ನಿರ್ಣಾಯಕ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಹ ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಇದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿದೆ. ಈಗ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ; ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಸರಳವಾಗಿ ತೋರಿಸಬಹುದು, ತದನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಯಾವ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅದು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವೆಂದರೆ ಕರ್ಣಗಳ ಮೂಲಕ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೇಲೆ ಇರುವ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಬಲಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ ಕರ್ಣಗಳು - ಪ್ಲಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ, ಎಡಕ್ಕೆ ಇಳಿಜಾರಿನೊಂದಿಗೆ - ಮೈನಸ್ ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ.

ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಮಾತ್ರ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಬಹಳ ಮುಖ್ಯ. ಆಯತಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ, ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನವುಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು: ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಚಿಕ್ಕದನ್ನು ಆರಿಸಿ (ಅದು k ಆಗಿರಲಿ), ತದನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ k ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು k ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿ. ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಸಾಲುಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಹೊಸ ಚದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮೂಲ ಆಯತಾಕಾರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುವ ಮೊದಲು, ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಅದು ನೋಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಅದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಅಥವಾ ಯಾವುದೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ನಾವು ತಕ್ಷಣ ಹೇಳಬಹುದು. ಅಂತಹ ದುಃಖದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೀವು ಮತ್ತಷ್ಟು ಹೋಗಬೇಕು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸಿಸ್ಟಮ್ ವರ್ಗೀಕರಣ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯಂತಹ ವಿಷಯವಿದೆ. ಇದು ಅದರ ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಗರಿಷ್ಠ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ನಾವು ಆಧಾರ ಮೈನರ್ ಬಗ್ಗೆ ನೆನಪಿಸಿಕೊಂಡರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಆಧಾರ ಮೈನರ್‌ನ ಕ್ರಮವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳಬಹುದು).

ಶ್ರೇಣಿಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, SLAE ಅನ್ನು ಹೀಗೆ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು:

• ಜಂಟಿ. ಯುಜಂಟಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯು (ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ) ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದಿಗೆ (ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ) ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಆದರೆ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಒಂದಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ ಜಂಟಿ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ:
• - ನಿಶ್ಚಿತ- ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಲವು ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ (ಅಥವಾ ಕಾಲಮ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ, ಇದು ಒಂದೇ ವಿಷಯ) ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• - ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ -ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ. ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಶ್ರೇಣಿಯು ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ.
• ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಯುಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಲ್ಲಿ, ಮುಖ್ಯ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಒಳ್ಳೆಯದು ಏಕೆಂದರೆ ಪರಿಹಾರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಇದು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಅಸಂಗತತೆಯ ನಿಸ್ಸಂದಿಗ್ಧವಾದ ಪುರಾವೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ದೊಡ್ಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ನಿರ್ಣಾಯಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡದೆ), ಅಥವಾ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಿಸ್ಟಮ್ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ.

ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು

ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನೇರವಾಗಿ ಮುಂದುವರಿಯುವ ಮೊದಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು ಕಡಿಮೆ ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳಿಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಸಾಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ - ಅವುಗಳ ಅನುಷ್ಠಾನವು ಅಂತಿಮ ಉತ್ತರವನ್ನು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ನೀಡಲಾದ ಕೆಲವು ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅದರ ಮೂಲವು SLAE ಆಗಿತ್ತು. ಈ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಪಟ್ಟಿ ಇಲ್ಲಿದೆ:

1. ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವುದು. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ ದಾಖಲೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಕ್ರಮವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಇದು ಯಾವುದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರದ ಮೇಲೆ ಪರಿಣಾಮ ಬೀರುವುದಿಲ್ಲ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಹ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಮರೆಯಬಾರದು.
2. ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದು. ತುಂಬಾ ಸಹಾಯಕವಾಗಿದೆ! ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಲು ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಅನೇಕ ನಿರ್ಧಾರಗಳು, ಎಂದಿನಂತೆ, ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಮುಂದಿನ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗುತ್ತವೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಗುಣಾಂಕವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
3. ಅನುಪಾತದ ಅಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವುದು. ಇದು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಭಾಗಶಃ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಾಲುಗಳು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಒಂದು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ / ಭಾಗಿಸಿದಾಗ, ಎರಡು (ಅಥವಾ, ಮತ್ತೆ, ಹೆಚ್ಚು) ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಒಂದೇ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪದಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬಹುದು. ಒಂದೇ ಒಂದು.
4. ಶೂನ್ಯ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತಿದೆ. ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಾಲನ್ನು ಎಲ್ಲೋ ಪಡೆದರೆ, ಅಂತಹ ಸಾಲನ್ನು ಶೂನ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಹೊರಹಾಕಬಹುದು.
5. ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಿಗೆ ಇನ್ನೊಂದರ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು (ಅನುಗುಣವಾದ ಕಾಲಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ), ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲಕ್ಕಿಂತ ಅಸ್ಪಷ್ಟ ಮತ್ತು ಪ್ರಮುಖ ರೂಪಾಂತರ. ಅದರ ಮೇಲೆ ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ವಾಸಿಸುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಅಂಶದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು

ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸುಲಭವಾಗುವಂತೆ, ಈ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಹಂತ ಹಂತವಾಗಿ ಒಡೆಯುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಿಂದ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | ಬಿ 2

"-2" ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ನೀವು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕೆಂದು ಹೇಳೋಣ.

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿನ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಹೊಸದರೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೊದಲನೆಯದು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

ಗುಣಾಕಾರ ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಹೊಸ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು ಎಂದು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಒಂದು ಕಡಿಮೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಅಂತಹ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದರೆ, ನಂತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಮತ್ತೆ ಮಾಡಬಹುದು ಮತ್ತು ಎರಡು ಕಡಿಮೆ ಅಪರಿಚಿತರನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ಬಾರಿ ನೀವು ಮೂಲಕ್ಕಿಂತ ಕೆಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕವನ್ನು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಮೆಟ್ಟಿಲುಗಳಂತೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳಭಾಗಕ್ಕೆ ಹೋಗಿ ಮತ್ತು ಅಜ್ಞಾತ ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ

ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇರಲಿ. ಇದು m ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು n ಅಜ್ಞಾತ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನೀವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಮುಖ್ಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಉಚಿತ ಪದಗಳ ಕಾಲಮ್ ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಒಂದು ಸಾಲಿನಿಂದ ಬೇರ್ಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಗುಣಾಂಕ k = (-a 21 /a 11) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಲ್ಪಡುತ್ತದೆ;
• ಮೊದಲ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸಾಲು ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಸಾಲು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಬದಲಿಗೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್‌ನಿಂದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಈಗ ಹೊಸ ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಗುಣಾಂಕವು 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 ಆಗಿದೆ.

ಈಗ ರೂಪಾಂತರಗಳ ಅದೇ ಸರಣಿಯನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ನ ಪ್ರತಿ ಹಂತದಲ್ಲೂ, ಅಂಶ 21 ಅನ್ನು 31 ರಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ 41, ... a m1 ಗೆ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿನ ಮೊದಲ ಅಂಶವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈಗ ನೀವು ಸಾಲು ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದನ್ನು ಮರೆತು ಅದೇ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಬೇಕು, ಎರಡು ಸಾಲಿನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ:

• ಗುಣಾಂಕ k = (-a 32 /a 22);
• ಎರಡನೇ ಮಾರ್ಪಡಿಸಿದ ಸಾಲನ್ನು "ಪ್ರಸ್ತುತ" ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ;
• ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಮೂರನೇ, ನಾಲ್ಕನೇ ಮತ್ತು ಇತರ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದು ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ;
• ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಎರಡು ಅಂಶಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.

ಗುಣಾಂಕ k = (-a m,m-1 /a mm) ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವವರೆಗೆ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸಬೇಕು. ಇದರರ್ಥ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಕೊನೆಯ ಬಾರಿ ಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಿದ್ದು ಕಡಿಮೆ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ. ಈಗ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ತ್ರಿಕೋನದಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ, ಅಥವಾ ಮೆಟ್ಟಿಲು ಆಕಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು mn × x n = b m ಸಮಾನತೆ ಇದೆ. ಗುಣಾಂಕ ಮತ್ತು ಮುಕ್ತ ಪದವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಅವುಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: x n = b m /a mn. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮೂಲವನ್ನು x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ: ಪ್ರತಿ ಮುಂದಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಹೊಸ ಮೂಲವಿದೆ, ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ "ಟಾಪ್" ಅನ್ನು ತಲುಪಿದ ನಂತರ, ನೀವು ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇದು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಲ್ಲಿ ಉಚಿತ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು 0 = b ನಂತೆ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲ. ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಿರುವುದರಿಂದ, ಇಡೀ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳ ಸೆಟ್ ಖಾಲಿಯಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಅದು ಕ್ಷೀಣಿಸುತ್ತದೆ.

ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳು ಇದ್ದಾಗ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ತ್ರಿಕೋನ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣದ ಒಂದು ಗುಣಾಂಕ ಅಂಶ ಮತ್ತು ಒಂದು ಉಚಿತ ಪದದೊಂದಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಲುಗಳಿಲ್ಲ ಎಂದು ಅದು ಸಂಭವಿಸಬಹುದು. ಪುನಃ ಬರೆಯುವಾಗ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಸಮೀಕರಣದಂತೆ ಕಾಣುವ ಸಾಲುಗಳು ಮಾತ್ರ ಇವೆ. ಇದರರ್ಥ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೀಡಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು?

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿನ ಎಲ್ಲಾ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಮೂಲಭೂತ ಮತ್ತು ಉಚಿತ ಎಂದು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾದವುಗಳು ಹಂತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳ "ಅಂಚಿನ ಮೇಲೆ" ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆ. ಉಳಿದವು ಉಚಿತ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರದಲ್ಲಿ, ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ಉಚಿತವಾದವುಗಳ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮೊದಲು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದಾಗಿ, ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ, ಅದು ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿದೆ ಮತ್ತು ಉಳಿದಂತೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಪ್ರತಿ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೂ ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ, ಉಳಿದ ಸಮೀಕರಣಗಳಲ್ಲಿ, ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಮೂಲ ವೇರಿಯಬಲ್ ಬದಲಿಗೆ ಅದಕ್ಕೆ ಪಡೆದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬದಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲಭೂತ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದು ಮತ್ತೆ ಅಲ್ಲಿಂದ ವ್ಯಕ್ತವಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಹೀಗೆ, ಪ್ರತಿ ಮೂಲ ವೇರಿಯಬಲ್ ಅನ್ನು ಮುಕ್ತ ಅಸ್ಥಿರಗಳೊಂದಿಗೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿ ಬರೆಯುವವರೆಗೆ. ಇದು SLAE ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ನೀವು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮೂಲ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು - ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿ, ಮತ್ತು ಈ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕಾಗಿ ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ನೀಡಬಹುದು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹಾರ

ಇಲ್ಲಿ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಇದೆ.

ಅನುಕೂಲಕ್ಕಾಗಿ, ತಕ್ಷಣವೇ ಅದರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಉತ್ತಮ

ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಹರಿಸಿದಾಗ, ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಬದಲಾಗದೆ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಮೇಲಿನ ಎಡ ಅಂಶವು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದ್ದರೆ ಅದು ಹೆಚ್ಚು ಲಾಭದಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ - ನಂತರ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯ ನಂತರ ಉಳಿದ ಸಾಲುಗಳ ಮೊದಲ ಅಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ತಿರುಗುತ್ತವೆ. ಇದರರ್ಥ ಕಂಪೈಲ್ ಮಾಡಿದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಹಾಕಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಎರಡನೇ ಸಾಲು: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

ಮೂರನೇ ಸಾಲು: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

ಈಗ, ಗೊಂದಲಕ್ಕೀಡಾಗದಿರಲು, ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮಧ್ಯಂತರ ಫಲಿತಾಂಶಗಳೊಂದಿಗೆ ನೀವು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಗ್ರಹಿಕೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿ ಮಾಡಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು "-1" ನಿಂದ ಗುಣಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ "ಮೈನಸಸ್" ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು.

ಮೂರನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಅಂಶಗಳು ಮೂರರ ಗುಣಾಕಾರಗಳಾಗಿವೆ ಎಂದು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವಾಗಿದೆ. ನಂತರ ನೀವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಅನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಪ್ರತಿ ಅಂಶವನ್ನು "-1/3" ಮೂಲಕ ಗುಣಿಸಿ (ಮೈನಸ್ - ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಋಣಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು).

ಹೆಚ್ಚು ಸುಂದರವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈಗ ನಾವು ಮೊದಲ ಸಾಲನ್ನು ಮಾತ್ರ ಬಿಟ್ಟು ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದರೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ಕಾರ್ಯವು ಎರಡನೇ ಸಾಲನ್ನು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿಸುವುದು, ಅಂತಹ ಗುಣಾಂಕದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಅಂಶ a 32 ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ಕೆಲವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವು ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮದಿದ್ದರೆ, ಬಿಡಲು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳಲು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ "ಇರುವಂತೆ", ಮತ್ತು ನಂತರ ಮಾತ್ರ, ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದಾಗ, ಸುತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ನ ಮತ್ತೊಂದು ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬೇಕೆ ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಿ)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಹೊಸ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ಹಂತದ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ಮತ್ತಷ್ಟು ರೂಪಾಂತರಗಳು ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಿಂದ ಒಟ್ಟಾರೆ ಗುಣಾಂಕ "-1/7" ಅನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲು ನೀವು ಇಲ್ಲಿ ಏನು ಮಾಡಬಹುದು.

ಈಗ ಎಲ್ಲವೂ ಸುಂದರವಾಗಿದೆ. ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೆ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವುದು ಮತ್ತು ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಮಾತ್ರ ಉಳಿದಿದೆ

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

ಈಗ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನದಲ್ಲಿ ರಿವರ್ಸ್ ಮೂವ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣ (3) z ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಜಂಟಿಯಾಗಿ ಕರೆಯುವ ಹಕ್ಕನ್ನು ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಉತ್ತರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

ಅನಿಶ್ಚಿತ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲಾಗಿದೆ; ಈಗ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನಿಶ್ಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ, ಅಂದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನಂತವಾದ ಅನೇಕ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನೋಟವು ಈಗಾಗಲೇ ಆತಂಕಕಾರಿಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಪರಿಚಿತರ ಸಂಖ್ಯೆ n = 5, ಮತ್ತು ಸಿಸ್ಟಮ್ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಶ್ರೇಣಿಯು ಈಗಾಗಲೇ ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ನಿಖರವಾಗಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಸಾಲುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ m = 4, ಅಂದರೆ, ನಿರ್ಣಾಯಕ-ಚೌಕದ ದೊಡ್ಡ ಕ್ರಮವು 4. ಇದರರ್ಥ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳಿವೆ ಮತ್ತು ನೀವು ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟವನ್ನು ನೋಡಬೇಕಾಗಿದೆ. ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗಾಗಿ ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವು ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಮೊದಲಿಗೆ, ಎಂದಿನಂತೆ, ವಿಸ್ತೃತ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೇ ಸಾಲು: ಗುಣಾಂಕ k = (-a 21 /a 11) = -3. ಮೂರನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಅಂಶವು ರೂಪಾಂತರಗಳ ಮೊದಲು, ಆದ್ದರಿಂದ ನೀವು ಏನನ್ನೂ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ನೀವು ಅದನ್ನು ಹಾಗೆಯೇ ಬಿಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲು: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗುಣಾಂಕಗಳಿಂದ ಗುಣಿಸಿ ಮತ್ತು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಎರಡನೇ, ಮೂರನೇ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೇ ಸಾಲುಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಅನುಪಾತದ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ. ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ತಕ್ಷಣವೇ ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದು, ಮತ್ತು ಉಳಿದ ಒಂದನ್ನು ಗುಣಾಂಕ "-1" ನಿಂದ ಗುಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಲೈನ್ ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಮತ್ತು ಮತ್ತೆ, ಎರಡು ಒಂದೇ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಬಿಡಿ.

ಫಲಿತಾಂಶವು ಈ ರೀತಿಯ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಇನ್ನೂ ಬರೆಯಲಾಗಿಲ್ಲವಾದರೂ, ಇಲ್ಲಿ ಮೂಲ ಅಸ್ಥಿರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ - ಗುಣಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವವರು a 11 = 1 ಮತ್ತು a 22 = 1, ಮತ್ತು ಉಚಿತವಾದವುಗಳು - ಉಳಿದವುಗಳು.

ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ ಇದೆ - x 2. ಅಂದರೆ ಮುಕ್ತವಾಗಿರುವ x 3 , x 4 , x 5 , ವೇರಿಯೇಬಲ್‌ಗಳ ಮೂಲಕ ಬರೆಯುವ ಮೂಲಕ ಅದನ್ನು ಅಲ್ಲಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು.

ಫಲಿತಾಂಶದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಫಲಿತಾಂಶವು ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಏಕೈಕ ಮೂಲ ವೇರಿಯೇಬಲ್ x 1 ಆಗಿದೆ. x 2 ನೊಂದಿಗೆ ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡೋಣ.

ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಅಸ್ಥಿರಗಳು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ಇವೆ, ಮೂರು ಉಚಿತ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಈಗ ನಾವು ಉತ್ತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು.

ಸಿಸ್ಟಮ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಸಹ ನೀವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು. ಅಂತಹ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸೊನ್ನೆಗಳನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಚಿತ ಅಸ್ಥಿರಗಳಿಗೆ ಮೌಲ್ಯಗಳಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಉತ್ತರ ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

16, 23, 0, 0, 0.

ಅಸಹಕಾರ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಉದಾಹರಣೆ

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯಾಗದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅತ್ಯಂತ ವೇಗವಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದ ತಕ್ಷಣ ಅದು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಅಂದರೆ, ಸಾಕಷ್ಟು ಉದ್ದ ಮತ್ತು ಬೇಸರದ ಬೇರುಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಹಂತವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಕೆಳಗಿನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

ಎಂದಿನಂತೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಹಂತ ಹಂತದ ರೂಪಕ್ಕೆ ಇಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

k 1 = -2k 2 = -4

ಮೊದಲ ರೂಪಾಂತರದ ನಂತರ, ಮೂರನೇ ಸಾಲು ರೂಪದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ

ಪರಿಹಾರವಿಲ್ಲದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಉತ್ತರವು ಖಾಲಿ ಸೆಟ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ವಿಧಾನದ ಅನುಕೂಲಗಳು ಮತ್ತು ಅನಾನುಕೂಲಗಳು

ಪೆನ್ನೊಂದಿಗೆ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ SLAE ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಯಾವ ವಿಧಾನವನ್ನು ನೀವು ಆರಿಸಿದರೆ, ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾದ ವಿಧಾನವು ಹೆಚ್ಚು ಆಕರ್ಷಕವಾಗಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ. ನೀವು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಅಥವಾ ಕೆಲವು ಟ್ರಿಕಿ ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಾಗಿ ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಹುಡುಕಬೇಕಾದರೆ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ರೂಪಾಂತರಗಳಲ್ಲಿ ಗೊಂದಲಕ್ಕೊಳಗಾಗುವುದು ತುಂಬಾ ಕಷ್ಟ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ನೀವು ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಡೇಟಾದೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್‌ಗಳು, ಅಂತಹ ಪ್ರೋಗ್ರಾಂಗಳು ಈಗಾಗಲೇ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಮುಖ್ಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ - ನಿರ್ಣಾಯಕ, ಕಿರಿಯರು, ವಿಲೋಮ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಮತ್ತು ಯಂತ್ರವು ಈ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಿಮಗೆ ಖಚಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಿಧಾನ ಅಥವಾ ಕ್ರೇಮರ್ನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಹೆಚ್ಚು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅವರ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್ ಡಿಟರ್ಮಿನಂಟ್ಗಳು ಮತ್ತು ವಿಲೋಮ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಗೊಳ್ಳುತ್ತದೆ .

ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಗಾಸ್ಸಿಯನ್ ಪರಿಹಾರವು ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ರಚನೆಯಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದನ್ನು ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್‌ನಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಲೇಖನವು "ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ" ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿ ಸ್ಥಾನ ಪಡೆದಿರುವುದರಿಂದ, ವಿಧಾನವನ್ನು ಹಾಕಲು ಸುಲಭವಾದ ಸ್ಥಳವೆಂದರೆ ಸ್ಪ್ರೆಡ್‌ಶೀಟ್‌ಗಳು ಎಂದು ಹೇಳಬೇಕು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎಕ್ಸೆಲ್. ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಟೇಬಲ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಿದ ಯಾವುದೇ SLAE ಅನ್ನು ಎಕ್ಸೆಲ್ ಎರಡು ಆಯಾಮದ ಅರೇ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತದೆ. ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳಿಗಾಗಿ ಹಲವು ಉತ್ತಮ ಆಜ್ಞೆಗಳಿವೆ: ಸೇರ್ಪಡೆ (ನೀವು ಒಂದೇ ಗಾತ್ರದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೇರಿಸಬಹುದು!), ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಾಕಾರ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ಗಳ ಗುಣಾಕಾರ (ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳೊಂದಿಗೆ), ವಿಲೋಮ ಮತ್ತು ವರ್ಗಾವಣೆಗೊಂಡ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಮತ್ತು, ಮುಖ್ಯವಾಗಿ , ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು. ಈ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಒಂದೇ ಆಜ್ಞೆಯಿಂದ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಹೊಂದಾಣಿಕೆ ಅಥವಾ ಅಸಾಮರಸ್ಯವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸುತ್ತದೆ.