Практична работа на тема инверзни тригонометриски функции. „инверзни тригонометриски функции“ - Документ

Цел:

Задача: Направете тест „Обратни тригонометриски функции“

Интернет ресурси

Датум на испорака - според техничките спецификации

Самостојна работа бр. 14 (2 часа)

На тема: „Истегнување и компресија по координатни оски“

Цел:систематизација и консолидација на стекнатите теоретски знаења и практични вештини на студентите;

Задача: Апстракт на тема: „Проширување и компресија по координатните оски“

Литература: А.Г.Мордкович „Алгебра и почетоците на математичката анализа“ 10-то одделение

Интернет ресурси

Датум на испорака - според техничките спецификации

Самостојна работа бр. 15 (1 час)

На тема: „Истегнување и компресија по координатни оски“

Цел:формирање на независно размислување, способност за само-развој, само-подобрување и самореализација

Задача: презентација: „Проширување и компресија по координатни оски“

Литература: А.Г.Мордкович „Алгебра и почетоците на математичката анализа“ 10-то одделение

Интернет ресурси

Датум на испорака - според техничките спецификации

Самостојна работа бр. 16 (2 часа)

На тема: „Обратна тригонометриски функции, нивните својства и графикони“

Цел:систематизација и консолидација на стекнатите теоретски знаења и практични вештини на студентите

Формулар за завршување на задачата: истражувачка работа.

Литература: А.Г.Мордкович „Алгебра и почетоците на математичката анализа“ 10-то одделение

Интернет ресурси

Датум на испорака - според техничките спецификации

Самостојна работа бр. 18 (6 часа)

На тема: „Формули за половина аргументи“

Цел: продлабочување и проширување на теоретските знаења

Задача: Напишете порака на тема „Формули на половина аргумент“. Направете референтна табела за формули за тригонометрија

Литература: А.Г.Мордкович „Алгебра и почетоците на математичката анализа“ 10-то одделение

Интернет ресурси

Датум на испорака - според техничките спецификации

Насловна страница.

Работниот план е изготвен со наслов „Содржина“; локација - во центарот.

Списокот на библиографски извори е претставен под насловот „Литература“. Списокот на референци мора да ги содржи сите користени извори: информации за книги (монографии, учебници, прирачници, референтни книги итн.) мора да ги содржи: презимето и иницијалите на авторот, насловот на книгата, местото на објавување, издавачот, годината на објавување. Доколку има три или повеќе автори, дозволено е да се наведат презимето и иницијалите само на првиот од нив со зборовите „итн“. Името на местото на објавување мора да биде целосно наведено во номинативниот случај: дозволена е кратенка од името на само два града: Москва (М.) и Санкт Петербург (СПб.). Наведените библиографски извори треба да се подредат по азбучен ред по растечки редослед. Списокот мора да се состои од најмалку три извори.

Секој нов дел од делото, ново поглавје, нов пасус започнува на следната страница.

Апликацијата е составена на посебни листови, секоја апликација има сериски број и тематски наслов. Во горниот десен агол е поставен натписот „Прилог“ 1 (2.3...). Насловот на апликацијата е форматиран како наслов на пасус.

Обемот на работа е најмалку 10 листови страници отпечатени на компјутер (машина за пишување); содржината, библиографијата и прилозите не се вклучени во наведениот број на страници.

Текстот на ракописот е отпечатен со фонт бр.14, со интервал од 1,5.

Маргини: лево - 3 см, десно - 1 см, горе и долу - 2 см.

Црвена линија - 1,5 см Растојание на пасуси - 1,8.

По цитатот во текстот на делото се користат следните знаци: „...“, каде што бројот на библиографскиот извор е земен од списокот на референци.

Жалбата до текстот на апликацијата е форматирана на следниов начин: (види Додаток 1).

Дизајн на алгоритамски дијаграми, табели и формули. Илустрациите (графикони, графикони, дијаграми) можат да бидат во главниот текст на апстрактот и во делот за додатоци. Сите илустрации се нарекуваат цртежи. Сите бројки, табели и формули се нумерирани со арапски бројки и имаат континуирано нумерирање во апликацијата. Секој цртеж мора да има потпис. На пример:

Сл. 12. Форма на главниот прозорец на апликацијата.

Сите слики, табели и формули во делото мора да имаат врски во форма: „формата на главниот прозорец на апликацијата е прикажана на сл. 12."

Сликите и табелите треба да се постават веднаш по страницата на која првпат се споменува во текстот на белешката. Ако просторот дозволува, сликата (табела) може да се стави во текстот на истата страница каде што е дадена првата врска до неа.

Ако цртежот зафаќа повеќе од една страница, сите страници освен првата се означени со бројот на цртежот и зборот „Продолжување“. На пример:

Ориз. 12. Продолжува

Цртежите треба да се постават така што може да се гледаат без вртење на белешката. Ако таквото поставување не е можно, цртежите треба да се постават така што за да ги видите ќе треба да ја свртите работата во насока на стрелките на часовникот.

Дијаграмите со алгоритам мора да бидат направени во согласност со стандардот ESPD. Дебелината на цврстата линија при цртање алгоритамски дијаграми треба да биде во опсег од 0,6 до 1,5 mm. Натписите на дијаграмите мора да бидат направени со фонт за цртање. Висината на буквите и броевите мора да биде најмалку 3,5 mm.

Бројот на табелата се става во горниот десен агол над насловот на табелата, доколку го има. Насловот, освен првата буква, се пишува со мали букви. Кратенките користат само големи букви. На пример: компјутер.

Бројот на формулата е поставен на десната страна на страницата во загради на ниво на формула. На пример: z:=sin(x)+cos(y); (12).

На пример: вредностите се пресметуваат со формулата (12).

Нумерирајте ги страниците на делото според верзијата на книгата: во печатени броеви, во долниот десен агол на страницата, почнувајќи со текстот на „Вовед“ (стр. 3). Делото се нумерира последователно, до последната страница.

Зборот „поглавје“ е напишан, поглавјата се нумерирани со римски бројки, ставовите се нумерирани на арапски, знак; не е напишано; дел од делото „Вовед“. „Заклучок“ и „Литература“ не се нумерирани.

Насловите на поглавјата и ставовите се напишани на црвена линија.

Насловите „Вовед“, „Заклучок“, „Литература“ се напишани во средината, на врвот на листот, без наводници, без точка.

Обемот на вовед и заклучок на работата е 1,5-2 страници печатен текст.

Работата мора да биде зашиена.

Во работата се користат три типа на фонтови: 1 - да се истакнат насловите на поглавјата, насловите „Содржина“, „Литература“, „Вовед“, „Заклучок“; 2 - да се истакнат насловите на пасуси; 3 - за текст

Барања за презентација

Првиот слајд содржи:

ü наслов на презентацијата;

Вториот слајд ја означува содржината на работата, која најдобро е претставена во форма на хиперврски (за интерактивност на презентацијата).

Последниот слајд содржи листа на литература што се користи во согласност со барањата, Интернет ресурсите се наведени последни.

8 Не треба прекумерно да користите големи букви (тие се помалку читливи од малите).

Начини за истакнување информации

Треба да користите: 8 рамки, граници, засенчување 8 различни бои на фонтови, засенчување, стрелки 8 слики, дијаграми, графикони за илустрација на најважните факти

Обем на информации

8, не треба да пополнувате еден слајд со премногу информации: луѓето можат да запомнат не повеќе од три факти, заклучоци и дефиниции истовремено.

8, најголемата ефективност се постигнува кога клучните точки се рефлектираат една по една на секој поединечен слајд.

Видови слајдови

За да се обезбеди разновидност, треба да користите различни видови слајдови: со текст, со табели, со дијаграми.

Во текот на работата, учениците:

Преглед и проучување на потребниот материјал, како на предавања, така и во дополнителни извори на информации;

Составете листа на зборови одделно по насока;

Составете прашања за избраните зборови;

Проверете го правописот на текстот и усогласеноста со нумерирањето;

Направете готов крстозбор.

Општи барања за составување крстозбори:

Не е дозволено присуство на „празни“ (непополнети ќелии) во мрежата со крстозбори;

Случајни комбинации на букви и пресеци не се дозволени;

Скриените зборови мора да бидат именки во номинатив еднина;

Зборовите со две букви мора да имаат две пресеци;

Одговорите се објавуваат посебно. Одговорите се наменети да ја проверат точноста на решението за крстозбор и да дадат можност да се запознаете со точните одговори на нерешените позиции на условите, што помага да се реши една од главните задачи за решавање на крстозбори - зголемување на ерудицијата и зголемување на вокабуларот.

Критериуми за оценување на пополнети крстозбори:

1. Јасност на презентација на материјалот, комплетност на тематското истражување;

2. Оригиналност на крстозборот;

3. Практично значење на работата;

4. Нивото на стилска презентација на материјалот, отсуство на стилски грешки;

5. Ниво на дизајн на работата, присуство или отсуство на граматички и интерпункциски грешки;

6. Бројот на прашања во крстозборот, нивна правилна презентација.

За да може практичната настава да донесе максимална корист, неопходно е да се запамети дека вежбањето и решавањето на ситуационите проблеми се изведуваат врз основа на материјалот што се чита на предавањата и обично се поврзани со детална анализа на поединечни прашања од курсот за предавање. Треба да се нагласи дека дури по совладување на материјалот за предавање од одредена гледна точка (имено, од онаа од која е претставен на предавањата) тој ќе биде зајакнат на практичната настава, како резултат на дискусија и анализа на материјал за предавање, и со решавање на ситуациони проблеми. Под овие услови, студентот не само што добро ќе го совлада материјалот, туку и ќе научи да го применува во пракса, а исто така ќе добие дополнителен поттик (а тоа е многу важно) активно да го проучува предавањето.

Кога самостојно ги решавате зададените проблеми, треба да ја оправдате секоја фаза на дејствување врз основа на теоретските принципи на курсот. Ако ученикот гледа неколку начини за решавање на проблем (задача), тогаш треба да ги спореди и да го избере најрационалниот. Корисно е да се подготви краток план за решавање на проблемот (задачата) пред да се започне со решавање на проблемите. Решението на проблематичните проблеми или примери треба да биде детално претставено, придружено со коментари, дијаграми, цртежи и цртежи и упатства за имплементација.

Треба да се запомни дека решението за секој образовен проблем треба да се доведе до конечниот логичен одговор што го бара условот и, ако е можно, со заклучок. Добиениот резултат треба да се проверува на начини кои произлегуваат од суштината на дадената задача.

· Главните термини на задачата за тестирање мора да бидат јасно и експлицитно дефинирани.

· Тест-задачите мора да бидат прагматично точни и дизајнирани да го проценат нивото на образовните достигнувања на учениците во одредена област на знаење.

· Тест задачите треба да се формулираат во форма на збиени кратки проценки.

· Треба да избегнувате ставки за тестирање кои бараат од испитувачот да донесе детални заклучоци за барањата на ставките за тестирање.

· При конструирање на тест ситуации, можете да користите различни форми на нивна презентација, како и графички и мултимедијални компоненти со цел рационално да се прикаже содржината на едукативниот материјал.

Бројот на зборови во тест-задачата не треба да надминува 10-12, освен ако тоа не ја наруши концептуалната структура на ситуацијата на тестот. Главната работа е јасен и експлицитен одраз на содржината на фрагмент од предметната област.

Просечното време што еден ученик го поминува на тест задача не треба да надминува 1,5 минути.

Лекции 32-33. Инверзни тригонометриски функции

Цел: разгледајте ги инверзните тригонометриски функции и нивната употреба за пишување решенија на тригонометриски равенки.

I. Комуницирање на темата и целта на часовите

II. Учење нов материјал

1. Инверзни тригонометриски функции

Да ја започнеме нашата дискусија за оваа тема со следниот пример.

Пример 1

Да ја решиме равенката:а) sin x = 1/2; б) sin x = a.

а) На оската на ординатите ја исцртуваме вредноста 1/2 и ги конструираме аглите x 1 и x2, за штогрев х = 1/2. Во овој случај x1 + x2 = π, од каде x2 = π - x 1 . Користејќи ја табелата со вредности на тригонометриски функции, ја наоѓаме вредноста x1 = π/6, потоаДа ја земеме предвид периодичноста на синусната функција и да ги запишеме решенијата на оваа равенка:каде k ∈ Z.

б) Очигледно, алгоритмот за решавање на равенкатагревот x = a е исто како во претходниот став. Се разбира, сега вредноста a е нацртана долж оската на ординатите. Има потреба некако да се означи аголот x1. Се согласивме да го означиме овој агол со симболотлаксин А. Тогаш решенијата на оваа равенка може да се напишат во формаОвие две формули може да се комбинираат во една:во исто време

Останатите инверзни тригонометриски функции се воведени на сличен начин.

Многу често е неопходно да се одреди големината на аголот од познатата вредност на неговата тригонометриска функција. Таквиот проблем е повеќезначен - има безброј агли чии тригонометриски функции се еднакви на иста вредност. Затоа, врз основа на монотоничноста на тригонометриските функции, се воведуваат следните инверзни тригонометриски функции за уникатно одредување на аглите.

Арксин од бројот a (арцин , чиј синус е еднаков на a, т.е.

Лачен косинус на броја (аркоси а) е агол a од интервалот чиј косинус е еднаков на a, т.е.

Арктангенс на броја (арктг а) - таков агол a од интервалотчија тангента е еднаква на a, т.е.tg a = a.

Аркотангента на броја (арцтг а) е агол a од интервалот (0; π), чиј котангенс е еднаков на a, т.е. ctg a = a.

Пример 2

Ајде да најдеме:

Земајќи ги предвид дефинициите за инверзни тригонометриски функции, добиваме:

Пример 3

Ајде да пресметаме

Нека агол a = arcsin 3/5, тогаш по дефиниција sin a = 3/5 и . Затоа, треба да најдеме cos А. Користејќи го основниот тригонометриски идентитет, добиваме:Се зема предвид дека cos a ≥ 0. Значи,

Да дадеме бројни потипични примери поврзани со дефинициите и основните својства на инверзните тригонометриски функции.

Пример 4

Да го најдеме доменот на дефиниција на функцијата

За да може да се дефинира функцијата y потребно е да се задоволи неравенствотошто е еквивалентно на системот на неравенкиРешението на првата неравенка е интервалот x∈ (-∞; +∞), второ -Овој интервал и е решение за системот на неравенки, а со тоа и доменот на дефинирање на функцијата

Пример 5

Ајде да ја најдеме областа на промена на функцијата

Да го разгледаме однесувањето на функцијата z = 2x - x2 (види слика).

Јасно е дека z ∈ (-∞; 1]. Имајќи предвид дека аргументот z функцијата лак котангента се менува во наведените граници, од податоците од табелата го добиваме тоаЗначи областа на промена

Пример 6

Да докажеме дека функцијата y = arctg x непарен. НекаТогаш tg a = -x или x = - tg a = tg (- a), и Затоа, - a = arctg x или a = - arctg X. Така, го гледаме тоат.е. y(x) е непарна функција.

Пример 7

Да се ​​изразиме преку сите инверзни тригонометриски функции

Нека Очигледно е дека Потоа, бидејќи

Ајде да го претставиме аголот Бидејќи Тоа

Слично затоа И

Значи,

Пример 8

Ајде да изградиме график на функцијата y = cos (arcsin x).

Дозволете ни да означиме a = arcsin x, тогаш Да земеме предвид дека x = sin a и y = cos a, т.е. x 2 + y2 = 1 и ограничувања на x (x∈ [-1; 1]) и y (y ≥ 0). Тогаш графикот на функцијата y = cos(arcsin x) е полукруг.

Пример 9

Ајде да изградиме график на функцијата y = arccos (cos x ).

Од функцијата cos x се менува на интервалот [-1; 1], тогаш функцијата y е дефинирана на целата нумеричка оска и варира на сегментот. Да имаме на ум дека y = arccos (cosx) = x на сегментот; функцијата y е парна и периодична со период 2π. Имајќи предвид дека функцијата ги има овие својства cos x Сега е лесно да се создаде графикон.

Да забележиме неколку корисни еднаквости:

Пример 10

Ајде да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијатаДа означиме Потоа Ајде да ја добиеме функцијата Оваа функција има минимум во точката z = π/4, и тоа е еднакво на Најголемата вредност на функцијата се постигнува во точката z = -π/2, и тоа е еднакво Така, и

Пример 11

Да ја решиме равенката

Да го земеме предвид тоа Тогаш равенката изгледа вака:или каде По дефиниција за арктангенс добиваме:

2. Решавање едноставни тригонометриски равенки

Слично на примерот 1, можете да добиете решенија за наједноставните тригонометриски равенки.

Пример 12

Да ја решиме равенката

Бидејќи синусната функција е непарна, равенката ја пишуваме во формаРешенија на оваа равенка:од каде го наоѓаме?

Пример 13

Да ја решиме равенката

Користејќи ја дадената формула, ги запишуваме решенијата на равенката:и ќе најдеме

Забележете дека во посебни случаи (a = 0; ±1) при решавање на равенките sin x = a и cos x = и полесно и попогодно е да се користат не општи формули, туку да се запишуваат решенија засновани на кругот на единицата:

за равенката sin x = 1 решение

за равенката sin x = 0 решенија x = π k;

за равенката sin x = -1 решение

за равенката cos x = 1 раствор x = 2π k ;

за равенката cos x = 0 решенија

за равенката cos x = -1 решение

Пример 14

Да ја решиме равенката

Бидејќи во овој пример има посебен случај на равенката, ќе го напишеме решението користејќи ја соодветната формула:од каде можеме да го најдеме?

III. Контролни прашања (фронтална анкета)

1. Дефинирајте и наведете ги главните својства на инверзните тригонометриски функции.

2. Дајте графикони на инверзни тригонометриски функции.

3. Решавање едноставни тригонометриски равенки.

IV. Задача за лекција

§ 15, бр. 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, бр. 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, бр. 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Домашна задача

§ 15, бр. 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (g); 16 (б); 18 (в, г); 19 (g); 22;

§ 16, бр. 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, бр. 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Креативни задачи

1. Најдете го доменот на функцијата:

Одговори:

2. Најдете го опсегот на функцијата:

Одговори:

3. Графиконирајте ја функцијата:

VII. Сумирање на лекциите

Федерална агенција за образование на Руската Федерација

Државна образовна институција за високо стручно образование „Државен универзитет Мари“

Катедра за математика и МПМ

Предмети

Инверзни тригонометриски функции

Завршено:

студент

33 JNF групи

Јашметова Л.Н.

Научен раководител:

д-р. вонреден професор

Бородина М.В.

Јошкар-Ола

Вовед…………………………………………………………………………………………………………………………….

Поглавје I. Дефиниција на инверзни тригонометриски функции.

1.1. Функција y =лаксин x……………………………………………………........4

1.2. Функција y =лакови x…………………………………………………….......5

1.3. Функција y =arctg x………………………………………………………….6

1.4. Функција y =arcctg x…………………………………………………….......7

Поглавје II. Решавање равенки со инверзни тригонометриски функции.

Основни односи за инверзни тригонометриски функции....8

Решавање равенки што содржат инверзни тригонометриски функции………………………………………………………………………………………..11

Пресметување на вредностите на инверзните тригонометриски функции..........21

Заклучок……………………………………………………………………………….25

Список на референци……………………………………………………………………………………………………………………………

Вовед

Во многу проблеми, постои потреба да се најдат не само вредностите на тригонометриските функции од даден агол, туку и, обратно, агол или лак од дадена вредност на некоја тригонометриска функција.

Проблемите со инверзните тригонометриски функции се содржани во задачите USE (особено многу во деловите Б и В). На пример, во делот Б од обединетиот државен испит беше потребно да се користи вредноста на синусот (косинус) за да се најде соодветната вредност на тангентата или да се пресмета вредноста на изразот што содржи табеларни вредности на инверзни тригонометриски функции. Во однос на овој тип на задачи, забележуваме дека ваквите задачи во училишните учебници не се доволни за да се развие силна вештина во нивното спроведување.

Тоа. Целта на предметната работа е да се разгледаат инверзните тригонометриски функции и нивните својства и да се научи како да се решаваат проблеми со инверзни тригонометриски функции.

За да ја постигнеме целта, ќе треба да ги решиме следниве задачи:

Проучување на теоретските основи на инверзните тригонометриски функции,

Покажете ја примената на теоретското знаење во пракса.

ПоглавјеЈас. Дефиниција на инверзни тригонометриски функции

1.1. Функција y =лаксинx

Размислете за функцијата,
. (1)

Во овој интервал функцијата е монотона (се зголемува од -1 на 1), затоа, постои инверзна функција

,
. (2)

Секоја дадена вредност на(синусова вредност) од интервалот [-1,1] одговара на една добро дефинирана вредност X(големина на лак) од интервалот
. Преминувајќи кон општоприфатената нотација, добиваме

Каде
. (3)

Ова е аналитичка спецификација на функцијата инверзна на функцијата (1). Се повикува функцијата (3). лаксинаргумент . Графикот на оваа функција е крива симетрична на графикот на функцијата, каде што, во однос на симетралата на координатните агли I и III.

Да ги претставиме својствата на функцијата, каде што .

Имотот 1.Област за промена на вредноста на функцијата: .

Имотот 2.Функцијата е непарна, т.е.

Имотот 3.Функцијата каде , има еден корен
.

Имотот 4.Ако, тогаш
; Ако , Тоа.

Имотот 5.Функцијата е монотона: како што аргументот се зголемува од -1 на 1, вредноста на функцијата се зголемува од
до
.

1.2. Функцијаy = арСоcosx

Размислете за функцијата
, . (4)

Во овој интервал функцијата е монотона (се намалува од +1 на -1), што значи дека има инверзна функција за неа

, , (5)

тие. секоја вредност (косинусните вредности) од интервалот [-1,1] одговара на една добро дефинирана вредност (вредности на лак) од интервалот . Преминувајќи кон општоприфатената нотација, добиваме

, . (6)

Ова е аналитичка спецификација на функцијата инверзна на функцијата (4). Се повикува функцијата (6). лак косинусаргумент X. Графикот на оваа функција може да се конструира врз основа на својствата на графиконите на меѓусебно инверзни функции.

Функцијата , каде што , ги има следните својства.

Имотот 1.Област за промена на вредноста на функцијата:
.

Имотот 2.Количини
И
поврзани со релацијата

Имотот 3.Функцијата има еден корен
.

Имотот 4.Функцијата не прифаќа негативни вредности.

Имотот 5.Функцијата е монотона: како што аргументот се зголемува од -1 на +1, вредностите на функцијата се намалуваат од 0.

1.3. Функцијаy = arctgx

Размислете за функцијата
,
. (7)

Забележете дека оваа функција е дефинирана за сите вредности кои лежат строго во интервалот од до ; на краевите на овој интервал не постои, бидејќи вредностите

- тангентни точки на прекин.

Помеѓу
функцијата е монотона (се зголемува од -
до
), значи, за функцијата (1) постои инверзна функција:

,
, (8)

тие. секоја дадена вредност (тангента вредност) од интервалот
одговара на една многу специфична вредност (големина на лакот) од интервалот .

Преминувајќи кон општоприфатената нотација, добиваме

,
. (9)

Ова е аналитичка спецификација на инверзната функција (7). Се повикува функцијата (9). арктангенсаргумент X. Забележете дека кога
вредност на функцијата
, и кога

, т.е. графикот на функцијата има две асимптоти:
И.

Функцијата , , ги има следните својства.

Имотот 1.Опсег на промена на вредностите на функциите
.

Имотот 2.Функцијата е непарна, т.е. .

Имотот 3.Функцијата има еден корен.

Имотот 4.Ако
, Тоа

; Ако , Тоа
.

Имотот 5.Функцијата е монотона: како што аргументот се зголемува од до, вредноста на функцијата се зголемува од до +.

1.4. Функцијаy = arcctgx

Размислете за функцијата
,
. (10)

Оваа функција е дефинирана за сите вредности кои лежат во опсег од 0 до ; на краевите на овој интервал не постои, бидејќи вредностите и се точки на прекин на котангентата. Во интервалот (0,) функцијата е монотона (се намалува од до), затоа, за функцијата (1) постои инверзна функција

, (11)

тие. на секоја дадена вредност (котангентна вредност) од интервалот (
) одговара на една добро дефинирана вредност (големина на лакот) од интервалот (0,). Преминувајќи кон општоприфатените ознаки, ја добиваме следната релација: Апстракт >> Математика тригонометриски функции. ДО обратно тригонометриски функцииобично се нарекува шест функции: лаксин...

Завршната работа на тема „Инверзни тригонометриски функции“ беше завршена на напредни курсеви за обука.

Содржи краток теоретски материјал, детални примери и задачи за независно решение за секој дел.

Делото е наменето за средношколци и професори.

Преземи:

Преглед:

ДИПЛОМСКИ ТРУД

ТЕМА:

„ОБРАВНИ ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ.

ПРОБЛЕМИ КОИ СОДРЖАТ ОБРАТНИ ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ“

Завршено:

наставник по математика

Општинска образовна институција средно училиште бр.5, Лермонтов

ГОРБАЧЕНКО В.И.

Пјатигорск 2011 година

ОБРАТНИ ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ.

ПРОБЛЕМИ КОИ СОДРЖАТ ОБРАТНИ ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ

1. КРАТКИ ТЕОРЕТСКИ ИНФОРМАЦИИ

1.1. Решенија на наједноставните равенки кои содржат инверзни тригонометриски функции:

Табела 1.

1.2. Решавање едноставни неравенки кои вклучуваат инверзни тригонометриски функции

Табела 2.

1.3. Некои идентитети за инверзни тригонометриски функции

Од дефиницијата на инверзни тригонометриски функции следуваат идентитетите

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Згора на тоа, идентитетите

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Идентитети кои се однесуваат за разлика од инверзните тригонометриски функции

(9)

(10)

2. РАВЕНКИ КОИ СОДРЖАТ ОБРАТНИ ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ

2.1. Равенки на форматаитн.

Ваквите равенки се сведуваат на рационални равенки со замена.

Пример.

Решение.

замена ( ) ја намалува равенката на квадратна равенка чии корени.

Коренот 3 не го задоволува условот.

Потоа ја добиваме обратната замена

Одговори .

Задачи.

2.2. Равенки на формата, Каде - рационална функција.

За решавање на равенки од овој тип потребно е да се стави, решете ја равенката од наједноставната формаи направете ја обратната замена.

Пример.

Решение .

Нека . Потоа

Одговори . .

Задачи.

2.3. Равенки кои содржат или различни лак функции или лак функции на различни аргументи.

Ако равенката содржи изрази кои содржат различни лак функции, или овие лак функции зависат од различни аргументи, тогаш намалувањето на таквите равенки на нивната алгебарска последица обично се врши со пресметување на некоја тригонометриска функција од двете страни на равенката. Добиените странски корени се одвојуваат со проверка. Ако се избере тангента или котангента како директна функција, тогаш решенијата вклучени во доменот на дефинирање на овие функции може да се изгубат. Затоа, пред да ја пресметате вредноста на тангентата или котангентата од двете страни на равенката, треба да бидете сигурни дека нема корени од првобитната равенка меѓу точките што не се вклучени во доменот на дефинирање на овие функции.

Пример.

Решение .

Ајде да закажеме на десната страна и пресметајте ја вредноста на синусот од двете страни на равенката

Како резултат на трансформациите добиваме

Корените на оваа равенка

Ајде да провериме

Кога имаме

Така, е коренот на равенката.

Замена , имајте во предвид дека левата страна на добиената врска е позитивна, а десната страна е негативна. Така,- надворешен корен на равенката.

Одговори. .

Задачи.

2.4. Равенки кои содржат инверзни тригонометриски функции на еден аргумент.

Ваквите равенки може да се сведат на наједноставни со користење на основните идентитети (1) – (10).

Пример.

Решение.

Одговори.

Задачи.

3. НЕРАВНОСТИ КОИ СОДРЖАТ ОБРАТНИ ТРИГОНОМЕТРИСКИ ФУНКЦИИ

3.1. Наједноставните нееднаквости.

Решението на наједноставните неравенки се заснова на примената на формулите во Табела 2.

Пример.

Решение.

Бидејќи , тогаш решението на неравенството е интервалот.

Одговори .

Задачи.

3.2. Неравенки на формата, - некоја рационална функција.

Неравенки на формата, е некоја рационална функција, и- една од инверзните тригонометриски функции се решава во две фази - прво се решава неравенството во однос на непознатото., а потоа наједноставната неравенка која ја содржи инверзната тригонометриска функција.

Пример.

Решение.

Нека биде тогаш

Решенија за нееднаквости

Враќајќи се на првобитната непозната, откриваме дека првобитната нееднаквост може да се сведе на две наједноставни

Комбинирајќи ги овие решенија, добиваме решенија за првобитната нееднаквост

Одговори .

Задачи.

3.3. Неравенки кои содржат или спротивни лак функции или лак функции на различни аргументи.

Удобно е да се решаваат неравенки што ги поврзуваат вредностите на различни инверзни тригонометриски функции или вредностите на една тригонометриска функција пресметана од различни аргументи со пресметување на вредностите на некоја тригонометриска функција од двете страни на неравенките. Треба да се запомни дека добиената неравенка ќе биде еквивалентна на оригиналната само ако множеството вредности на десната и левата страна на првобитната нееднаквост припаѓа на истиот интервал на монотоност на оваа тригонометриска функција.

Пример.

Решение.

Повеќе валидни вредностивклучени во нееднаквоста:. На . Затоа, вредноститене се решенија за нееднаквоста.

На и десната и левата страна на нееднаквоста имаат вредности кои припаѓаат на интервалот. Бидејќи помеѓусинусната функција монотоно се зголемува, тогаш когаоригиналната неравенка е еквивалентна

Решавање на последната неравенка

Вкрстување со празнина, добиваме решение

Одговори.

Коментар. Може да се реши со користење

Задачи.

3.4. Нееднаквост на формата, Каде - една од инверзните тригонометриски функции,- рационална функција.

Ваквите неравенки се решаваат со помош на заменаи намалување на наједноставната неравенка во Табела 2.

Пример.

Решение.

Нека биде тогаш

Ајде да направиме обратна замена и да го добиеме системот

Одговори .

Задачи.

Подготовка за Единствен државен испит по математика

Експериментирајте

Лекција 9. Инверзни тригонометриски функции.

Вежбајте

Резиме на лекција

Ќе ни треба главно способност за работа со лак функции при решавање на тригонометриски равенки и неравенки.

Задачите што сега ќе ги разгледаме се поделени на два вида: пресметување на вредностите на инверзните тригонометриски функции и нивни трансформации користејќи основни својства.

Пресметка на вредностите на функциите на лак

Да почнеме со пресметување на вредностите на функциите на лакот.

Задача бр. 1. Пресметај.

Како што гледаме, сите аргументи на функциите на лакот се позитивни и табеларни, што значи дека можеме да ја вратиме вредноста на аглите од првиот дел од табелата со вредности на тригонометриски функции за агли од до . Овој опсег на агли е вклучен во опсегот на вредности на секоја од функциите на лакот, така што едноставно ја користиме табелата, ја наоѓаме вредноста на тригонометриската функција во неа и враќаме на кој агол одговара.

А)

б)

V)

G)

Одговори. .

Задача бр. 2. Пресметај

.

Во овој пример веќе гледаме негативни аргументи. Типична грешка во овој случај е едноставно отстранување на минусот од под функцијата и едноставно намалување на задачата на претходната. Сепак, тоа не може да се направи во сите случаи. Да се ​​потсетиме како во теоретскиот дел од лекцијата разговаравме за парноста на сите функции на лак. Чудните се лаксин и арктангенс, т.е. минусот е изваден од нив, а аркозинот и аркотангенсот се функции од општа форма за да се поедностави минусот во аргументот, тие имаат посебни формули. По пресметката, за да избегнеме грешки, проверуваме дали резултатот е во опсегот на вредности.

Кога аргументите на функциите се поедноставени во позитивна форма, ги запишуваме соодветните вредности на аголот од табелата.

Може да се појави прашањето: зошто да не ја запишете вредноста на аголот што одговара, на пример, директно од табелата? Прво, затоа што табелата претходно е потешка за паметење од претходно, и второ, затоа што во неа нема негативни вредности на синусот, а негативните вредности на тангентата ќе дадат погрешен агол според табелата. Подобро е да се има универзален пристап кон решението отколку да се збуниме со многу различни пристапи.

Задача бр.3. Пресметај.

а) Типична грешка во овој случај е да се почне да се вади минус и да се поедностави нешто. Првото нешто што треба да се забележи е дека аргументот на лакот не е во опсегот на

Затоа, овој запис нема никакво значење, а лаксинот не може да се пресмета.

б) Стандардна грешка во овој случај е што ги мешаат вредностите на аргументот и функцијата и го даваат одговорот. Ова не е вистина! Се разбира, се појавува мислата дека во табелата вредноста одговара на косинус, но во овој случај, она што е збунето е дека функциите на лакот не се пресметуваат од агли, туку од вредностите на тригонометриските функции. Тоа е, не.

Дополнително, бидејќи дознавме што точно е аргументот на лакот косинус, неопходно е да се провери дали е вклучен во доменот на дефиниција. За да го направите ова, да се потсетиме на тоа , т.е., што значи дека аркозинот нема смисла и не може да се пресмета.

Патем, на пример, изразот има смисла затоа што, но бидејќи вредноста на косинус еднаква не е табеларна, невозможно е да се пресмета лачниот косинус со помош на табелата.

Одговори. Изразите немаат смисла.

Во овој пример, не ги разгледуваме арктангентите и лактангентите, бидејќи нивниот домен на дефиниција не е ограничен и вредностите на функциите ќе бидат за какви било аргументи.

Задача бр.4. Пресметај .

Во суштина, задачата се сведува на првата, само треба посебно да ги пресметаме вредностите на двете функции, а потоа да ги замениме во оригиналниот израз.

Арктангенсот е табеларен и резултатот припаѓа на опсегот на вредности.

Аргументот за аркозин не е табеларен, но тоа не треба да не плаши, бидејќи без разлика на што е еднаков аркозинот, неговата вредност кога ќе се помножи со нула ќе резултира со нула. Останува уште една важна забелешка: потребно е да се провери дали аргументот на аркозин припаѓа на доменот на дефиниција, бидејќи ако тоа не е случај, тогаш целиот израз нема да има смисла, без разлика што содржи множење со нула. . Но, според тоа, можеме да кажеме дека има смисла и добиваме нула во одговорот.

Да дадеме уште еден пример во кој е неопходно да може да се пресмета една функција на лак, знаејќи ја вредноста на друга.

Проблем број 5. Пресметајте дали се знае дека .

Можеби изгледа дека е потребно прво да се пресмета вредноста на x од наведената равенка, а потоа да се замени во саканиот израз, односно во инверзната тангента, но тоа не е потребно.

Да се ​​потсетиме на формулата со која овие функции се поврзани една со друга:

И од него да изразиме што ни треба:

За да бидете сигурни, можете да проверите дали резултатот лежи во опсегот на лачниот котангенс.

Трансформации на лак функции со користење на нивните основни својства

Сега да преминеме на серија задачи во кои ќе треба да користиме трансформации на функции на лак користејќи ги нивните основни својства.

Проблем број 6. Пресметај .

За да решиме, ќе ги користиме основните својства на наведените функции на лак, само што ќе се погрижиме да ги провериме соодветните ограничувања.

А)

б) .

Одговори. А) ; б) .

Проблем бр. 7. Пресметај.

Типична грешка во овој случај е веднаш да се напише 4 како одговор. Се занимаваме со имотот:

на

Но . Главната работа во оваа фаза од одлуката не е да се мисли дека наведениот израз нема смисла и не може да се пресмета. На крајот на краиштата, можеме да ја намалиме четворката, што е аргумент на тангентата, со одземање на периодот на тангентата, а тоа нема да влијае на вредноста на изразот. Откако ќе ги направиме овие чекори, ќе имаме шанса да го намалиме аргументот така што ќе падне во наведениот опсег.

Затоа што, затоа, , бидејќи.

Проблем бр. 8. Пресметај.

Во горниот пример, имаме работа со израз кој е сличен на основното својство на лакот, но само тој содржи кофункции. Мора да се сведе на формата синус од арксин или косинус од аркозин. Бидејќи е полесно да се трансформираат директните тригонометриски функции отколку инверзните, да преминеме од синус на косинус користејќи ја формулата „тригонометриска единица“.

Како што веќе знаеме:

Во нашиот случај, во улогата. Дозволете ни прво да пресметаме за погодност .

Пред да го замениме во формулата, ајде да го дознаеме неговиот знак, т.е. знакот на оригиналниот синус. Мораме да го пресметаме синусот од вредноста на аркозин, без разлика што е оваа вредност, знаеме дека лежи во опсегот. Овој опсег одговара на аглите на првата и втората четвртина, во кои синусот е позитивен (проверете го ова сами користејќи тригонометриски круг).

На денешната практична лекција го разгледавме пресметувањето и трансформацијата на изразите што содржат инверзни тригонометриски функции

Зајакнете го материјалот со опрема за вежбање

Тренер 1 Тренер 2 Тренер 3 Тренер 4 Тренер 5