Проширување на елементарните функции во сериите на Тејлор. Маклаурин серија и проширување на некои функции

Веднаш да направам резервација дека статијата ќе зборува за проширувањето на тангентата на нула, она што во многу учебници се нарекува Маклауринова експанзија.

Па, сите функции ќе бидат бескрајно диференцибилни онаму каде што ни се потребни.

Додека повеќето од другите наједноставни елементарни функции можат многу лесно да се прошират во Тејлорова серија, а законот според кој се формираат термините на проширувањето најчесто не е комплициран и може едноставно да се погоди, тоа не е случај за тангентата. Иако се чини дека второто е само односот на синус и косинус, функции со кои не се јавуваат никакви проблеми при експанзија. Во меѓувреме, за да го означиме типот на општиот член за тангентата, ќе треба да почнеме малку од далеку и да користиме вештачки техники. Но, во пракса, често не е неопходно да се знаат сите коефициенти на серијата, доволни се само неколку термини за проширување. Ова е изјавата на проблемот со која учениците најчесто се среќаваат. Значи, оттука ќе започнеме. За да не се замараме многу, ќе го бараме проширувањето до коефициентот на петтата сила.

Првото нешто што ми доаѓа на ум овде е да се обидеме директно да ја искористиме формулата на Тејлор. Често луѓето едноставно немаат идеја за други методи на распаѓање во серија. Инаку, нашиот семинар по математика. анализа, во мојата втора година, барав распаѓање токму на овој начин, иако не можам да кажам ништо лошо за него, тој е паметен тип, можеби само сакаше да ги покаже своите способности во земање деривати. Како и да е, земањето деривати од висок ред на тангентата е сепак задоволство, крајно мрачна задача, само една од оние што е полесно да се довери на машина, а не на личност. Но, ние како вистински спортисти не не интересира резултатот, туку процесот и пожелно е процесот да биде поедноставен. Дериватите се како што следува (пресметано во системот максима): , , , , . Кој мисли дека дериватите лесно се добиваат рачно, нека го направи тоа на слободно време. Како и да е, сега можеме да го запишеме проширувањето: .

Еве што можеме да поедноставиме овде: го забележуваме тоа и така, првиот извод на тангентата се изразува преку тангентата, покрај тоа, од ова произлегува дека сите други изводи на тангентата ќе бидат полиноми на тангентата, што ни овозможува да не страдаме со изводите на количникот од синусите и косинусите:
,
,
,
.
Распаѓањето, се разбира, излегува исто.

Научив за друг метод за проширување на серијата директно за време на испитот по математика. анализа и поради непознавање на овој метод тогаш добив хор. наместо пр.-а. Значењето на методот е дека го знаеме сериското проширување и на синусот и на косинусот, како и функцијата, второто проширување ни овозможува да го најдеме проширувањето на второто: . Со отворање на заградите добиваме серија која треба да се помножи со проширувањето на синусот. Сега само треба да ги помножиме двата реда. Ако зборуваме за сложеност, тогаш се сомневам дека е инфериорен во однос на првиот метод, особено затоа што обемот на пресметките рапидно расте со зголемување на степенот на термините за проширување што треба да се најдат.

Следниот метод е варијанта на методот на неопределени коефициенти. Прво да го поставиме прашањето: што генерално знаеме за тангентата што може да ни помогне да изградиме проширување, така да се каже априори? Она што е најважно овде е дека функцијата тангента е непарна, и затоа сите коефициенти со парни сили се еднакви на нула, со други зборови, не е потребно наоѓање на половина од коефициентите. Потоа можеме да напишеме , или , проширување на синусот и косинусот во серија, добиваме . И изедначувајќи ги коефициентите на истите степени добиваме, , и воопшто . Така, користејќи итеративен процес, можеме да најдеме кој било број на термини за проширување.

Четвртиот метод е исто така методот на неопределени коефициенти, но за него не ни треба проширување на други функции. Ќе ја разгледаме диференцијалната равенка за тангента. Погоре видовме дека дериватот на тангента може да се изрази како функција на тангента. Заменувајќи низа неодредени коефициенти во оваа равенка, можеме да напишеме: Со квадратирање и оттука повторно преку итеративен процес ќе може да се најдат коефициентите на проширување.

Овие методи се многу поедноставни од првите два, но наоѓањето изрази за заедничкиот термин на серијата на овој начин нема да работи, но јас би сакал. Како што кажав на почетокот, ќе треба да почнеш од далеку (ќе го следам учебникот на Куран). Ќе започнеме со сериското проширување на функцијата. Како резултат на тоа, добиваме серија што ќе биде напишана во форма , каде што броевите се Бернулиови броеви.
Првично, овие броеви ги пронашол Џејкоб Бернули кога ги пронашол збировите на mth силите на природните броеви . Се чини, каква врска има тригонометријата со тоа? Подоцна, Ојлер, решавајќи го проблемот со збирот на инверзните квадрати на низа природни броеви, го добил одговорот од проширувањето на синусот во бесконечен производ. Понатаму се покажа дека проширувањето на котангенсот содржи збирови од формата , за сите природни n. И врз основа на ова, Ојлер добил изрази за такви збирови во однос на Бернулиовите броеви. Значи, тука има врски, и не треба да изненадува што тангентата експанзија ја содржи оваа секвенца.
Но, да се вратиме на распаѓањето на фракциите. Проширување на експонентот, одземање на еден и делење со „X“, на крајот добиваме. Оттука веќе е очигледно дека првиот од броевите на Бернули е еднаков на еден, вториот минус една секунда и така натаму. Ајде да го напишеме изразот за бројот на Кт Бернули, почнувајќи од единството. Помножувајќи го овој израз со, ние го препишуваме изразот во следнава форма. И од овој израз можеме да добиеме броеви на Бернули, особено :,,,

Во теоријата на функционални серии, централното место е окупирано од делот посветен на проширувањето на функцијата во серија.

Така се поставува задачата: за дадена функција треба да најдеме таква моќна серија

што се конвергираше на одреден интервал и неговата сума беше еднаква на
, тие.

= ..

Оваа задача се нарекува Проблемот со проширување на функцијата во серија за напојување.

Неопходен услов за декомпозибилност на функција во серија на напојувањеДали неговата различност е бесконечен број пати - ова следува од својствата на конвергентната серија на моќност. Оваа состојба е задоволна, како по правило, за основните функции во нивниот домен на дефиниција.

Значи, да претпоставиме дека функцијата
има деривати од кој било ред. Дали е можно да се прошири во серија за напојување? Ако е така, како можеме да ја најдеме оваа серија? Вториот дел од проблемот е полесно да се реши, па да започнеме со тоа.

Да претпоставиме дека функцијата
може да се претстави како збир на серија за напојување што се спојува во интервалот што ја содржи точката X 0 :

= .. (*)

Каде А 0 , А 1 , А 2 ,...,А П ,... – непознати (сеуште) коефициенти.

Дозволете ни да ја ставиме во еднаквост (*) вредноста x = x 0 , тогаш добиваме

Дозволете ни да го разликуваме терминот серија (*) по термин

= ..

и верувајќи овде x = x 0 , добиваме

Со следната диференцијација ја добиваме серијата

= ..

верувајќи x = x 0 , добиваме
, каде
.

По П-повеќекратна диференцијација добиваме

Претпоставувајќи во последната еднаквост x = x 0 , добиваме
, каде

Значи, коефициентите се пронајдени

,
,
, …,
,….,

заменувајќи го во серијата (*), добиваме

Добиената серија се нарекува веднаш до Тејлор за функција
.

Така, го утврдивме тоа ако функцијата може да се прошири во серија на моќност во моќности (x - x 0 ), тогаш оваа експанзија е единствена и добиената серија е нужно серија на Тејлор.

Забележете дека серијата Тејлор може да се добие за која било функција која има изводи од кој било ред во точката x = x 0 . Но, тоа не значи дека може да се стави знак за еднаквост помеѓу функцијата и добиената серија, т.е. дека збирот на серијата е еднаков на оригиналната функција. Прво, таквата еднаквост може да има смисла само во регионот на конвергенција, а Тејлоровата серија добиена за функцијата може да се разминува, и второ, ако серијата Тејлор се конвергира, тогаш нејзиниот збир може да не се совпаѓа со оригиналната функција.

3.2. Доволни услови за разградливост на функција во Тејлоровата серија

Дозволете ни да формулираме изјава со чија помош ќе се реши задачата.

Доколку функцијата
во некое соседство на точката x 0 има деривати до (n+ 1) од ред инклузивно, тогаш во оваа населба имамеформула Тејлор

КадеР n (X)- преостанатиот член од формулата на Тејлор - ја има формата (Лагранжова форма)

Каде точкаξ лежи помеѓу x и x 0 .

Забележете дека постои разлика помеѓу Тејлоровата серија и Тејлоровата формула: Тејлоровата формула е конечен збир, т.е. П -фиксен број.

Потсетиме дека збирот на серијата С(x) може да се дефинира како граница на функционална низа од парцијални суми С П (x) во одреден интервал X:

Според ова, да се прошири функцијата во серија на Тејлор значи да се најде серија таква што за која било XX

Да ја напишеме формулата на Тејлор во форма каде

забележи, тоа
ја дефинира грешката што ја добиваме, заменете ја функцијата ѓ(x) полином С n (x).

Ако
, Тоа
, оние. функцијата е проширена во серија на Тејлор. обратно, ако
, Тоа
.

Така докажавме критериум за разградливост на функција во Тејлоровата серија.

Со цел за функцијатаѓ(x) се проширува во серија на Тејлор, потребно е и доволно на овој интервал
, КадеР n (x) е преостанатиот термин од серијата Тејлор.

Користејќи го формулираниот критериум, може да се добие доволноуслови за разградливост на функција во Тејлоровата серија.

Доколку вонекое соседство на точката x 0 апсолутните вредности на сите деривати на функцијата се ограничени на истиот број М≥ 0, т.е.

, Тo во ова соседство функцијата се проширува во серија на Тејлор.

Од горенаведеното следува алгоритампроширување на функцијата ѓ(x) во серијата Тејлорво близина на точка X 0 :

1. Наоѓање деривати на функции ѓ(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. Пресметајте ја вредноста на функцијата и вредностите на нејзините деривати во точката X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f“ (x 0 ), ѓ“ (x 0 ), ѓ (n) (х 0 ),…

3. Ние формално ја пишуваме Тејлоровата серија и го наоѓаме регионот на конвергенција на добиената серија на моќност.

4. Проверуваме исполнување на доволни услови, т.е. утврдуваме за кои Xод регионот на конвергенција, преостанат рок Р n (x) има тенденција на нула како
или
.

Проширувањето на функциите во серија на Тејлор со користење на овој алгоритам се нарекува проширување на функцијата во серија на Тејлор по дефиницијаили директно распаѓање.

Доколку функцијата f(x)има на некој интервал кој ја содржи точката А, деривати на сите нарачки, тогаш формулата на Тејлор може да се примени на неа:

Каде r n– таканаречениот остаток член или остаток од серијата, може да се процени со помош на Лагранжовата формула:

, каде што бројот x е помеѓу XИ А.

Ако за некоја вредност x r n®0 на n®¥, тогаш во границата Тејлоровата формула се претвора во конвергентна формула за оваа вредност Тејлор серија:

Значи функцијата f(x)може да се прошири во серија на Тејлор во предметната точка X, Ако:

1) има деривати од сите нарачки;

2) конструираната серија конвергира во оваа точка.

На А=0 добиваме серија наречена во близина на Маклаурин:

Пример 1 f(x)= 2x.

Решение. Дозволете ни да ги најдеме вредностите на функцијата и нејзините деривати во X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢ (x) = 2x ln2, f¢ ( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢ (x) = 2xна 2 2, f¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Заменувајќи ги добиените вредности на дериватите во формулата на серијата Тејлор, добиваме:

Радиусот на конвергенција на оваа серија е еднаков на бесконечност, затоа ова проширување важи за -¥<x<+¥.

Пример 2 X+4) за функција f(x)=д x.

Решение. Наоѓање на изводите на функцијата e xи нивните вредности во точката X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢ (x)= e x, f¢ (-4) = e -4 ;

f¢¢ (x)= e x, f¢¢ (-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Затоа, потребната Тејлор серија на функцијата има форма:

Ова проширување важи и за -¥<x<+¥.

Пример 3 . Прошири функција f(x)= н xво серија во моќ ( X- 1),

(т.е. во серијата Тејлор во близина на точката X=1).

Решение. Најдете ги изводите на оваа функција.

Заменувајќи ги овие вредности во формулата, ја добиваме саканата серија на Тејлор:

Користејќи го тестот на d'Alembert, можете да потврдите дека серијата конвергира кога

½ X- 1 ½<1. Действительно,

Серијата конвергира ако ½ X- 1 ½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 добиваме наизменична серија која ги задоволува условите на Лајбницовиот критериум. На X=0 функцијата не е дефинирана. Така, регионот на конвергенција на серијата Тејлор е полуотворен интервал (0;2].

Да ги претставиме вака добиените проширувања во серијата Maclaurin (т.е. во близина на точката X=0) за некои елементарни функции:

(2) ,

(3) ,

(се нарекува последното разложување биномна серија)

Пример 4 . Проширете ја функцијата во серија на моќност

Решение. Во проширувањето (1) заменуваме Xна - X 2, добиваме:

Пример 5 . Проширете ја функцијата во серија Maclaurin

Решение. Ние имаме

Користејќи ја формулата (4), можеме да напишеме:

замена наместо тоа Xво формулата -Х, добиваме:

Од тука наоѓаме:

Отворање на заградите, преуредување на условите од серијата и донесување слични термини, добиваме

Оваа серија се конвергира во интервалот

(-1;1), бидејќи се добива од две серии, од кои секоја конвергира во овој интервал.

Коментар .

Формулите (1)-(5) исто така може да се користат за проширување на соодветните функции во серија на Тејлор, т.е. за проширување на функциите во позитивни цели броеви ( Ха). За да се направи ова, потребно е да се извршат такви идентични трансформации на дадена функција за да се добие една од функциите (1)-(5), во која наместо Xтрошоци k( Ха) m , каде што k е постојан број, m е позитивен цел број. Често е погодно да се направи промена на променливата т=Хаи проширете ја добиената функција во однос на t во серијата Maclaurin.

Овој метод ја илустрира теоремата за уникатноста на проширувањето на сериите на моќност на функцијата. Суштината на оваа теорема е дека во соседството на иста точка не може да се добијат две различни серии на моќност кои би се споиле во иста функција, без разлика како се врши нејзиното проширување.

Пример 6 . Проширете ја функцијата во серија на Тејлор во соседство на точка X=3.

Решение. Овој проблем може да се реши, како и досега, со користење на дефиницијата на серијата Тејлор, за која треба да ги најдеме дериватите на функцијата и нивните вредности на X=3. Сепак, ќе биде полесно да се користи постоечката експанзија (5):

Резултирачката серија конвергира во или -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Пример 7 . Напишете ја серијата Тејлор во моќи ( X-1) функции .

Решение.

Серијата се спојува во , или 2< x 5 фунти.

Учениците по виша математика треба да знаат дека збирот на одредена серија на моќност што ни припаѓа на интервалот на конвергенција на серијата што ни е дадена, излегува дека е континуиран и неограничен број пати диференцирана функција. Се поставува прашањето: дали е можно да се каже дека дадена произволна функција f(x) е збир на одредена серија на моќност? Односно, под кои услови функцијата f(x) може да се претстави со серија на моќност? Важноста на ова прашање лежи во фактот дека е можно приближно да се замени функцијата f(x) со збирот на првите неколку члена од серијата на моќност, односно полином. Оваа замена на функција со прилично едноставен израз - полином - е погодна и при решавање на одредени проблеми, имено: при решавање интеграли, при пресметување итн.

Докажано е дека за одредена функција f(x), во која е можно да се пресметаат изводи до (n+1)-ти редослед, вклучувајќи го и последниот, во соседството на (α - R; x 0 + R ) некоја точка x = α, точно е дека формулата:

Оваа формула е именувана по познатиот научник Брук Тејлор. Серијата што е добиена од претходната се нарекува серија Maclaurin:

Правилото што овозможува да се изврши проширување во серијата Maclaurin:

Определи изводи од прв, втор, трет... ред.
Пресметај на што се еднакви изводите на x=0.
Запишете ја серијата Maclaurin за оваа функција, а потоа определете го интервалот на нејзината конвергенција.
Определи го интервалот (-R;R), каде што е остатокот од формулата Маклаурин

R n (x) -> 0 во n -> бесконечност. Ако постои, функцијата f(x) во неа мора да се совпадне со збирот на серијата Маклаурин.

Сега да ја разгледаме серијата Maclaurin за поединечни функции.

1. Значи, првиот ќе биде f(x) = e x. Се разбира, според своите карактеристики, таквата функција има изводи од многу различни редови, и f (k) (x) = e x, каде што k е еднакво на сите. Заменете x = 0. Добиваме f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Врз основа на горенаведеното, серијата e x ќе изгледа вака:

2. Маклауринова серија за функцијата f(x) = sin x. Веднаш да разјасниме дека функцијата за сите непознати ќе има изводи, покрај тоа, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), каде k е еднаков на кој било природен број.Односно, откако ќе направиме едноставни пресметки, можеме да дојдеме до заклучокот дека серијата за f(x) = sin x ќе изгледа вака:

3. Сега да се обидеме да ја разгледаме функцијата f(x) = cos x. За сите непознати има изводи од произволен ред, и |f (k) (x)| = | cos (x+k*n/2) |<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Значи, ги наведовме најважните функции што можат да се прошират во серијата Maclaurin, но тие се дополнети со серијата Тејлор за некои функции. Сега ќе ги наведеме. Исто така, вреди да се напомене дека сериите Тејлор и Маклаурин се важен дел од практичната работа за решавање на серии во вишата математика. Значи, серија Тејлор.

1. Првата ќе биде серијата за функцијата f(x) = ln(1+x). Како и во претходните примери, за дадената f(x) = ln(1+x) можеме да ја додадеме серијата користејќи ја општата форма на серијата Maclaurin. сепак, за оваа функција серијата Maclaurin може да се добие многу поедноставно. Со интегрирање на одредена геометриска серија, добиваме серија за f(x) = ln(1+x) од таков примерок:

2. А втората, која ќе биде конечна во нашата статија, ќе биде серијата за f(x) = арктан x. За x што припаѓа на интервалот [-1;1], проширувањето важи:

Тоа е се. Оваа статија ги испита најкористените серии Тејлор и Маклаурин во вишата математика, особено во економските и техничките универзитети.

16.1. Проширување на елементарните функции во сериите на Тејлор и

Маклаурин

Да покажеме дека ако произволна функција е дефинирана на множество
, во близина на пунктот
има многу деривати и е збир на серија на моќност:

тогаш можете да ги најдете коефициентите на оваа серија.

Ајде да замениме во серија на моќност
. Потоа
.

Да го најдеме првиот извод на функцијата
:

На
:
.

За вториот дериват добиваме:

На
:
.

Продолжување на оваа постапка nоткако ќе добиеме:
.

Така, добивме серија на моќност од формата:

кој се нарекува веднаш до Тејлорза функција
во близина на точката
.

Посебен случај на серијата Тејлор е Серија Маклауринна
:

Остатокот од серијата Тејлор (Маклаурин) се добива со отфрлање на главната серија nпрви членови и се означува како
. Потоа функцијата
може да се напише како збир nпрвите членови на серијата
а остатокот
:,

Остатокот е обично
изразени во различни формули.

Еден од нив е во форма на Лагранж:

, Каде
.
.

Забележете дека во пракса почесто се користи серијата Maclaurin. Така, за да се напише функцијата
во форма на збир на серии на моќност потребно е:

1) најдете ги коефициентите на серијата Маклаурин (Тејлор);

2) најдете го регионот на конвергенција на добиената серија на моќност;

3) докажете дека оваа серија конвергира кон функцијата
.

Теорема1 (неопходен и доволен услов за конвергенција на серијата Maclaurin). Нека радиусот на конвергенција на серијата
. Со цел оваа серија да се спои во интервалот
да функционира
, потребно е и доволно за да се исполни условот:
во наведениот интервал.

Теорема 2.Ако изводи од кој било ред на функцијата
во одреден интервал
ограничен во апсолутна вредност на ист број М, тоа е
, тогаш во овој интервал функцијата
може да се прошири во серија Maclaurin.

Пример1 . Прошири во серија на Тејлор околу точката
функција.

Решение.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Регион на конвергенција
.

Пример2 . Прошири функција во Тејлор серија околу точка
.

Решение:

Најдете ја вредноста на функцијата и нејзините изводи во
.

,
;

...........……………………………

,
.

Ајде да ги ставиме овие вредности во низа. Добиваме:

или
.

Да го најдеме регионот на конвергенција на оваа серија. Според тестот на d'Alembert, една серија конвергира ако

Затоа, за било кој оваа граница е помала од 1, и затоа опсегот на конвергенција на серијата ќе биде:
.

Да разгледаме неколку примери за проширување на серијата Maclaurin на основните елементарни функции. Потсетиме дека серијата Maclaurin:

конвергира во интервалот
да функционира
.

Забележете дека за да се прошири функцијата во серија потребно е:

а) најдете ги коефициентите на серијата Maclaurin за оваа функција;

б) пресметајте го радиусот на конвергенција за добиената серија;

в) докажете дека добиената серија конвергира кон функцијата
.

Пример 3.Размислете за функцијата
.

Решение.

Дозволете ни да ја пресметаме вредноста на функцијата и нејзините деривати на
.

Тогаш нумеричките коефициенти на серијата ја имаат формата:

за било кој n.Ајде да ги замениме пронајдените коефициенти во серијата Maclaurin и да добиеме:

Дозволете ни да го најдеме радиусот на конвергенција на добиената серија, имено:

Затоа, серијата конвергира на интервалот
.

Оваа серија се конвергира со функцијата за какви било вредности , бидејќи на кој било интервал
функција а неговите апсолутни вредносни деривати се ограничени по број .

Пример4 . Размислете за функцијата
.

Решение.

Лесно е да се види дека дериватите со парен ред
, а дериватите се со непарен редослед. Да ги замениме пронајдените коефициенти во серијата Maclaurin и да го добиеме проширувањето:

Дозволете ни да го најдеме интервалот на конвергенција на оваа серија. Според знакот d'Alembert:

за било кој . Затоа, серијата конвергира на интервалот
.

Оваа серија се конвергира со функцијата
, бидејќи сите негови деривати се ограничени на единство.

Пример5 .
.

Решение.

Дозволете ни да ја најдеме вредноста на функцијата и нејзините деривати во
:

Така, коефициентите на оваа серија:
И
, оттука:

Слично на претходниот ред, областа на конвергенција
. Серијата конвергира кон функцијата
, бидејќи сите негови деривати се ограничени на единство.

Ве молиме имајте предвид дека функцијата
непарно и сериско проширување во непарни сили, функција
– рамномерно и проширување во серија во парни сили.

Пример6 . Биномна серија:
.

Решение.

Дозволете ни да ја најдеме вредноста на функцијата и нејзините деривати во
:

Од ова може да се види дека:

Дозволете ни да ги замениме овие вредности на коефициентот во серијата Maclaurin и да го добиеме проширувањето на оваа функција во серија на моќност:

Да го најдеме радиусот на конвергенција на оваа серија:

Затоа, серијата конвергира на интервалот
. На ограничувачките точки кај
И
серија може или не може да се конвергира во зависност од експонентот
.

Проучената серија се конвергира на интервалот
да функционира
, односно збирот на серијата
на
.

Пример7 . Дозволете ни да ја прошириме функцијата во серијата Maclaurin
.

Решение.

За да ја прошириме оваа функција во серија, ја користиме биномната серија на
. Добиваме:

Врз основа на својството на сериите на моќност (моќната серија може да се интегрира во регионот на нејзината конвергенција), го наоѓаме интегралот на левата и десната страна на оваа серија:

Да ја најдеме областа на конвергенција на оваа серија:
,

односно областа на конвергенција на оваа серија е интервалот
. Дозволете ни да ја одредиме конвергенцијата на серијата на краевите на интервалот. На

. Оваа серија е хармонична серија, односно се разминува. На
добиваме бројна серија со заеднички член
.

Серијата се конвергира според тестот на Лајбниц. Така, регионот на конвергенција на оваа серија е интервалот
.

16.2. Примена на енергетските серии во приближни пресметки

Во приближните пресметки, моќните серии играат исклучително важна улога. Со нивна помош, составени се табели на тригонометриски функции, табели на логаритми, табели на вредности на други функции, кои се користат во различни области на знаење, на пример, во теоријата на веројатност и математичката статистика. Дополнително, проширувањето на функциите во серии на моќност е корисно за нивното теоретско проучување. Главното прашање при користење на сериите на моќност во приближни пресметки е прашањето за проценка на грешката при замена на збирот на серијата со збирот на нејзината прва nчленови.

Да разгледаме два случаи:

функцијата е проширена во серија наизменични знаци;

функцијата се проширува во низа од константен знак.

Пресметка со користење на наизменична серија

Нека функцијата
се прошири во серија на наизменична моќност. Потоа кога се пресметува оваа функција за одредена вредност добиваме бројна серија на која можеме да го примениме критериумот Лајбниц. Во согласност со овој критериум, ако збирот на една серија се замени со збирот на нејзината прва nтермини, тогаш апсолутната грешка не го надминува првиот член од остатокот од оваа серија, односно:
.

Пример8 . Пресметај
со точност од 0,0001.

Решение.

Ќе ја користиме серијата Maclaurin за
, заменувајќи ја вредноста на аголот во радијани:

Ако ги споредиме првиот и вториот член од серијата со дадена точност, тогаш: .

Трет рок на проширување:

помала од наведената точност на пресметката. Затоа, да се пресмета
доволно е да оставиме два термина од серијата, т.е

Така
.

Пример9 . Пресметај
со точност од 0,001.

Решение.

Ќе ја користиме формулата за биномна серија. За да го направите ова, ајде да напишеме
како:
.

Во овој израз
,

Ајде да го споредиме секој од термините на серијата со точноста што е наведена. Јасно е дека
. Затоа, да се пресмета
доволно е да оставиме три термини од серијата.

или
.

Пресметка со помош на позитивни серии

Пример10 . Пресметајте го бројот со точност од 0,001.

Решение.

По ред за функција
Ајде да се замениме
. Добиваме:

Дозволете ни да ја процениме грешката што се појавува при замена на збирот на серијата со збирот на првата членови. Да ја запишеме очигледната нееднаквост:

тоа е 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Според проблемот, треба да најдете nтака што важи следнава неравенка:
или
.

Лесно е да се провери тоа кога n= 6:
.

Оттука,
.

Пример11 . Пресметај
со точност од 0,0001.

Решение.

Забележете дека за пресметување на логаритми може да се користи серија за функцијата
, но оваа серија се конвергира многу бавно и за да се постигне дадената точност би било потребно да се земат 9999 термини! Затоа, за пресметување на логаритми, по правило, се користи серија за функцијата
, кој конвергира на интервалот
.