Теорија на механички вибрации. Основи на теоријата на вибрации на механички системи

Веќе го разгледавме потеклото на класичната механика, силата на материјалите и теоријата на еластичност. Најважната компонента на механиката е и теоријата на осцилации. Вибрациите се главната причина за уништување на машините и конструкциите. До крајот на 1950-тите. 80% од несреќите на опремата се случиле поради зголемени вибрации. Вибрациите исто така имаат штетно влијание врз луѓето кои се вклучени во работата на опремата. Тие исто така може да предизвикаат дефект на контролните системи.

И покрај сето ова, теоријата на осцилации се појави како независна наука дури на крајот на 19 век. Сепак, пресметки на машини и механизми до почеток XX век беа изведени во статичен амбиент. Развојот на машинството, зголемувањето на моќноста и брзината на парните мотори, истовремено намалувајќи ја нивната тежина, појавата на нови типови мотори - мотори со внатрешно согорување и парни турбини - доведоа до потреба да се извршат пресметки на јачината земајќи ја предвид динамиката товари. Како по правило, новите проблеми во теоријата на вибрации се појавија во технологијата под влијание на несреќи или дури и катастрофи кои произлегуваат од зголемени вибрации.

Осцилациите се движења или промени во состојбата кои имаат различен степен на повторливост.

Теоријата на осцилации може да се подели на четири периоди.

Јаспериод– појавата на теоријата на осцилации во рамките на теориската механика (крајот на 16 век – крајот на 18 век). Овој период се карактеризира со појавата и развојот на динамиката во делата на Галилео, Хајгенс, Њутн, д'Алембер, Ојлер, Д. Бернули и Лагранж.

Основач на теоријата на осцилации бил Леонхард Ојлер. Во 1737 година, Л. Ојлер, во име на Академијата на науките во Санкт Петербург, започнал со истражување за рамнотежата и движењето на бродот, а во 1749 година неговата книга „Наука за бродот“ била објавена во Санкт Петербург. Токму во ова дело на Ојлер беа поставени основите на теоријата за статичка стабилност и теоријата на осцилации.

Жан Лерон д'Алембер, во своите бројни дела, испитувал поединечни проблеми, како што се малите осцилации на телото околу центарот на масата и околу оската на ротација во врска со проблемот на прецесија и нутација на Земјата, осцилации на нишалото. , пловечко тело, пружина итн. Но, општата теорија на d'Alembert не создаде никакво двоумење.

Најважната примена на методите на теоријата на вибрации беше експерименталното определување на торзионата вкочанетост на жица, спроведено од Чарлс Кулон. Кулон, исто така, експериментално го утврдил својството на изохронизам на малите осцилации во овој проблем. Проучувајќи го придушувањето на вибрациите, овој голем експериментатор дошол до заклучок дека неговата главна причина не е отпорот на воздухот, туку загубите од внатрешното триење во жичаниот материјал.

Голем придонес во основите на теоријата на осцилациите дал Л. се формираат концепти за периодот и зачестеноста на осцилациите, обликот на осцилациите и стапил во употреба поимот мали осцилации, формулиран е принципот на суперпозиција на решенијата и се прават обиди решението да се прошири во тригонометриска серија.

Првите проблеми на теоријата на осцилации беа проблемите на осцилациите на нишалото и жицата. Веќе разговаравме за осцилациите на нишалото - практичниот резултат од решавањето на овој проблем беше изумот на часовникот од Хајгенс.

Што се однесува до проблемот со вибрациите на жиците, ова е еден од најважните проблеми во историјата на развојот на математиката и механиката. Ајде да го разгледаме подетално.

Акустична низаОва е идеална, мазна, тенка и флексибилна нишка со конечна должина изработена од цврст материјал, испружена помеѓу две фиксни точки. Во современото толкување, проблемот со попречните вибрации на низа со должина лсе сведува на наоѓање решение за диференцијалната равенка (1) во парцијални изводи. Еве xе координатата на жичната точка по должината, и y– неговото попречно поместување; Х- напнатост на жицата, – неговата тековна тежина. ае брзината на ширење на бранот. Слична равенка ги опишува и надолжните вибрации на воздушниот столб во цевката.

Во овој случај, мора да се наведе почетната распределба на отстапувањата на жичните точки од права линија и нивните брзини, т.е. равенката (1) мора да ги задоволува почетните услови (2) и граничните услови (3).

Првите фундаментални експериментални студии за вибрациите на жиците беа спроведени од холандскиот математичар и механичар Исак Бекман (1614–1618) и М. Мерсен, кои воспоставија голем број законитости и ги објавија неговите резултати во 1636 година во „Книгата на согласки“:

Законите на Мерсен биле теоретски потврдени во 1715 година од студентот на Њутн, Брук Тејлор. Тој ја смета низата како систем на материјални точки и ги прифаќа следните претпоставки: сите точки на низата истовремено минуваат низ нивните рамнотежни позиции (се совпаѓаат со оската x) и силата што дејствува на секоја точка е пропорционална на нејзиното поместување yво однос на оската x. Тоа значи дека проблемот го сведува на систем со еден степен на слобода - равенка (4). Тејлор правилно ја добил првата природна фреквенција (фундаментален тон) - (5).

Д'Алембер во 1747 година за овој проблем го применил методот на намалување на проблемот на динамиката на проблемот на статиката (принципот на д'Алембер) и ја добил диференцијалната равенка на осцилациите на хомогена низа во парцијални деривати (1) - првата равенка на математичка физика. Тој бараше решение за оваа равенка во форма на збир од две произволни функции (6)

Каде И – периодични функции од период 2 л. При разјаснување на прашањето за видот на функциите И d'Alembert ги зема предвид граничните услови (1.2), претпоставувајќи дека кога
низата се совпаѓа со оската x. Значењето е
не е наведено во изјавата за проблемот.

Ојлер го разгледува посебниот случај кога
стрингот се отклонува од својата рамнотежна положба и се ослободува без почетна брзина. Важно е Ојлер да не наметнува никакви ограничувања на почетната форма на стрингот, т.е. не бара да може да се специфицира аналитички со разгледување на која било крива што „може да се нацрта со рака“. Конечниот резултат што го добил авторот: ако
обликот на низата е опишан со равенката
, тогаш осцилациите изгледаат вака (7). Ојлер ги ревидирал своите ставови за концептот на функцијата, за разлика од претходната идеја за тоа само како аналитички израз. Така, класата на функции што требаше да се проучуваат во анализата беше проширена, а Ојлер дојде до заклучок дека „бидејќи која било функција ќе дефинира одредена линија, обратното е исто така точно - кривите линии може да се сведат на функции“.

Решенијата добиени од Д'Алембер и Ојлер го претставуваат законот за осцилации на жиците во форма на два бранови кои трчаат еден кон друг, но тие не се согласија околу прашањето за формата на функцијата што ја дефинира линијата на свиткување.

Д. Бернули тргна по поинаков пат во проучувањето на вибрациите на жиците, кршејќи ја низата на материјални точки, чиј број го сметаше за бесконечен. Тој го воведува концептот на просто хармонично осцилирање на систем, т.е. такво движење во кое сите точки на системот вибрираат синхроно со иста фреквенција, но различни амплитуди. Експериментите извршени со звучни тела го доведоа Д. Бернули до идејата дека најопштото движење на жицата се состои во истовремено изведување на сите движења што ѝ се достапни. Ова е таканаречената суперпозиција на решенија. Така, во 1753 година, врз основа на физички размислувања, тој добил општо решение за вибрациите на жиците, прикажувајќи го како збир на парцијални решенија, за секое од нив жицата се свиткува во форма на карактеристична крива (8).

Во оваа серија, првиот режим на осцилација е половина синусен бран, вториот е цел синусен бран, третиот се состои од три полу-синус бранови итн. Нивните амплитуди се претставени како функции на времето и, во суштина, се генерализирани координати на системот што се разгледува. Според решението на Д. Бернули, движењето на жицата е бесконечна низа на хармониски осцилации со периоди
. Во овој случај, бројот на јазли (фиксни точки) е еден помалку од бројот на природни фреквенции. Ограничувајќи ја серијата (8) на конечен број членови, добиваме конечен број равенки за континуумски систем.

Меѓутоа, решението на Д. Бернули содржи неточност - не зема предвид дека фазното поместување на секој хармоник на осцилации е различно.

Д. Бернули, презентирајќи го решението во форма на тригонометриска серија, го користел принципот на суперпозиција и проширување на растворот во целосен систем на функции. Тој со право верувал дека со помош на различни поими од формулата (8) е можно да се објаснат хармониските тонови кои жицата ги емитува истовремено со нејзиниот фундаментален тон. Тој го сметал ова како општ закон, валиден за секој систем на тела што вршат мали осцилации. Но, физичката мотивација не може да го замени математичкиот доказ, кој тогаш не беше презентиран. Поради ова, колегите не го разбраа решението на Д. Бернули, иако уште во 1737 година К. А. Клеро го користеше сериското проширување на функциите.

Присуството на два различни начини за решавање на проблемот со вибрациите на жиците предизвика возбуда кај водечките научници од 18 век. жестока дебата - „спор околу жиците“. Овој спор главно се однесуваше на прашањата за тоа каква форма имаат дозволените решенија на проблемот, за аналитичкото претставување на функцијата и дали е можно да се претстави произволна функција во форма на тригонометриска серија. Во „спорот за низа“ беше развиен еден од најважните концепти на анализа - концептот на функцијата.

Д'Алембер и Ојлер не се согласија дека решението предложено од Д.

Џозеф Луис Лагранж, влегувајќи во полемика, ја скрши низата на мали лакови со еднаква должина со масата концентрирана во центарот и го истражуваше решението на системот на обични диференцијални равенки со конечен број степени на слобода. Потоа, поминувајќи до границата, Лагранж добил резултат сличен на резултатот на Д. Бернули, без, сепак, однапред да постулира дека општото решение мора да биде бесконечен збир на парцијални решенија. Во исто време, тој го рафинира решението на D. Bernoulli, прикажувајќи го во форма (9), а исто така изведува формули за одредување на коефициентите на оваа серија. Иако решението на основачот на аналитичката механика не ги исполнуваше сите барања на математичката строгост, тоа беше значаен чекор напред.

Што се однесува до проширувањето на решението во тригонометриска серија, Лагранж верувал дека под произволни почетни услови серијата се разминува. 40 години подоцна, во 1807 година, Ј. Фурие повторно го пронашол проширувањето на функцијата во тригонометриска серија по трет пат и покажал како тоа може да се искористи за да се реши проблемот, со што ја потврдил точноста на решението на Д. Бернули. Целосен аналитички доказ за теоремата на Фурие за проширување на периодична функција со една вредност во тригонометриска серија беше даден во интегралната пресметка на Тоџонтер и во Томсон (Лорд Келвин) и Тејт-овиот трактат за природна филозофија.

Истражувањето на слободните вибрации на истегната врвка продолжило два века, сметајќи од делото на Бекман. Овој проблем послужи како моќен поттик за развој на математиката. Со оглед на осцилациите на континуумските системи, Ојлер, Д'Алембер и Д.Бернули создадоа нова дисциплина - математичка физика. Математизацијата на физиката, односно нејзиното прикажување преку нова анализа, е најголемата заслуга на Ојлер, благодарение на која се трасираа нови патишта во науката. Логичкиот развој на резултатите Ојлер и Фурие дојдоа до добро познатата дефиниција за функција од Лобачевски и Лежун Дирихле, врз основа на идејата за кореспонденција еден на еден од две множества. Дирихле исто така ја докажа можноста за проширувајќи ги на парче континуирани и монотони функции во Фуриеова серија. Добиена е и еднодимензионална бранова равенка и беше воспоставена еднаквоста на нејзините две решенија, што математички ја потврди врската помеѓу вибрациите и брановите. Фактот дека вибрирачката низа генерира звук ги поттикна научниците да се размислува за идентитетот на процесот на ширење на звукот и процесот на вибрации на жици.Се откри и најважната улога на граничните и почетните услови во ваквите проблеми.За развојот на механиката, важен резултат беше употребата на d'Alembert. принцип за пишување диференцијални равенки на движење, а за теоријата на осцилации и овој проблем одигра многу важна улога, имено, применет е принципот на суперпозиција и проширување на решението во однос на природните начини на вибрации, основните концепти на теоријата на вибрации беа формулирани - природна фреквенција и режим на вибрации.

Резултатите добиени за слободните вибрации на низа послужија како основа за создавање на теоријата на вибрации на континуумски системи. Понатамошното проучување на вибрациите на нехомогени жици, мембрани и прачки барало откривање на специјални методи за решавање на наједноставните хиперболични равенки од втор и четврти ред.

Проблемот со слободните вибрации на истегнатата врвка ги интересираше научниците, се разбира, не поради неговата практична примена; законите на овие вибрации, до еден или друг степен, им беа познати на занаетчиите кои правеа музички инструменти. За тоа сведочат ненадминатите гудачки инструменти на мајстори како Амати, Страдивари, Гуарнери и други, чии ремек-дела се создадени уште во 17 век. Интересите на најголемите научници кои работеа на овој проблем, најверојатно лежеа во желбата да се обезбеди математичка основа за веќе постоечките закони за вибрации на жици. Во ова прашање, беше откриен традиционалниот пат на секоја наука, почнувајќи од создавањето на теорија која ги објаснува веќе познатите факти, со цел потоа да се најдат и проучуваат непознати појави.

IIпериод – аналитички(крај на 18 век - крај на 19 век). Најважниот чекор во развојот на механиката го постигна Лагранж, кој создаде нова наука - аналитичка механика. Почетокот на вториот период на развој на теоријата на осцилации е поврзан со работата на Лагранж. Во својата книга Аналитичка механика, објавена во Париз во 1788 година, Лагранж сумирал сè што било направено во механиката во 18 век и формулирал нов пристап за решавање на нејзините проблеми. Во доктрината за рамнотежа, тој ги напуштил геометриските методи на статика и го предложил принципот на можни поместувања (принципот на Лагранж). Во динамиката, Лагранж, истовремено применувајќи го принципот d'Alembert и принципот на можни поместувања, доби општа варијациска равенка на динамиката, која исто така се нарекува принцип d'Alembert-Lagrange. Конечно, тој го воведе концептот на генерализирани координати и ги доби равенките на движење во најзгодната форма - Лагранжовите равенки од вториот вид.

Овие равенки станаа основа за создавање на теоријата на мали осцилации опишани со линеарни диференцијални равенки со константни коефициенти. Линеарноста ретко е вродена во механичкиот систем и во повеќето случаи е резултат на неговото поедноставување. Со оглед на малите осцилации во близина на положбата на рамнотежа, кои се јавуваат при мали брзини, можно е да се отфрлат термините од вториот и повисоките редови во равенките на движење во однос на генерализираните координати и брзини.

Примена на Лагранжовите равенки од втор вид за конзервативни системи

ќе го добиеме системот слинеарни диференцијални равенки од втор ред со константни коефициенти

, (11)

Каде ЈасИ В– соодветно, матрици на инерција и вкочанетост, чии компоненти ќе бидат инерцијални и еластични коефициенти.

Конкретно решение (11) се бара во форма

и опишува монохармоничен осцилаторен режим со фреквенција к, исто за сите генерализирани координати. Диференцирање (12) двапати во однос на ти заменувајќи го резултатот со равенките (11), добиваме систем од линеарни хомогени равенки за наоѓање амплитуди во форма на матрица

. (13)

Бидејќи кога системот осцилира, сите амплитуди не можат да бидат еднакви на нула, детерминантата е еднаква на нула

. (14)

Равенката на фреквенцијата (14) беше наречена секуларна равенка, бидејќи првпат беше разгледана од Лагранж и Лаплас во теоријата за секуларни пертурбации на елементите на планетарните орбити. Тоа е равенка с-степен роднина , бројот на неговите корени е еднаков на бројот на степени на слобода на системот. Овие корени обично се распоредени во растечки редослед и тие формираат спектар на сопствени фреквенции. До секој корен одговара на одредено решение на формата (12), множеството самплитудите го претставуваат обликот на вибрациите, а целокупното решение е збирот на овие решенија.

Лагранж ја дал изјавата на Д. Бернули дека општото осцилаторно движење на систем од дискретни точки се состои од истовремено извршување на сите негови хармонични осцилации, форма на математичка теорема, користејќи ја теоријата за интеграција на диференцијални равенки со константни коефициенти, создадена од Ојлер во 40-тите години на 18 век. и достигнувањата на d'Alembert, кој покажа како системи на такви равенки се интегрирани.Во исто време, беше неопходно да се докаже дека корените на прастарата равенка се реални, позитивни и нееднакви еден на друг.

Така, во аналитичката механика Лагранж ја добил равенката на фреквенцијата во општа форма. Во исто време, тој ја повторува грешката направена од d'Alembert во 1761 година, дека повеќекратните корени на секуларната равенка одговараат на нестабилно решение, бидејќи наводно во овој случај секуларни или секуларни термини кои содржат тне под знакот на синус или косинус. Во овој поглед, и d'Alembert и Lagrange веруваа дека равенката на фреквенцијата не може да има повеќе корени (d'Alembert–Lagrange парадокс). Доволно беше Лагранж да разгледа барем сферично нишало или осцилациите на прачка чиј пресек е, на пример, кружен или квадрат, за да се увери дека се можни повеќе фреквенции во конзервативните механички системи. Грешката направена во првото издание на Аналитичка механика беше повторена во второто издание (1812), објавено за време на животот на Лагранж, и во третото (1853). Научниот авторитет на Д'Алембер и Лагранж беше толку висок што оваа грешка беше повторена и од Лаплас и од Поасон, а таа беше поправена само речиси 100 години подоцна независно еден од друг во 1858 година од К. Вајерштрас и во 1859 година од Осип Иванович Сомов. кој даде голем придонес во развојот на теоријата на осцилации на дискретни системи.

Така, за да се одредат фреквенциите и формите на слободните осцилации на линеарен систем без отпор, потребно е да се реши секуларната равенка (13). Меѓутоа, равенките со степен повисок од петтиот немаат аналитичко решение.

Проблемот не беше само решавањето на секуларната равенка, туку и, во поголема мера, нејзиното составување, бидејќи проширената детерминанта (13) има
термини, на пример, за систем со 20 степени на слобода, бројот на поими е 2,4 10 18, а времето за откривање на таква одредница за најмоќниот компјутер од 1970-тите, кој извршува 1 милион операции во секунда, е приближно 1,5 милиони години, а за модерен компјутер тој е стар „само“ неколку стотици години.

Проблемот на определување на фреквенциите и формите на слободните вибрации може да се смета и како проблем на линеарна алгебра и да се реши нумерички. Препишување на еднаквоста (13) во форма

, (14)

Забележете дека матрицата на колоната е сопствен вектор на матрицата

, (15)

А сопственото значење.

Решавањето на проблемот на сопствени вредности и вектори е еден од најатрактивните проблеми во нумеричката анализа. Во исто време, невозможно е да се предложи единствен алгоритам за решавање на сите проблеми што се среќаваат во пракса. Изборот на алгоритам зависи од типот на матрицата, како и од тоа дали е неопходно да се одредат сите сопствени вредности или само најмалите (најголемите) или блиску до даден број. Во 1846 година, Карл Густав Џејкоб Јакоби предложил итеративен метод на ротација за да се реши целосниот проблем со сопствената вредност. Методот се заснова на бесконечна низа од елементарни ротации, која во лимитот ја трансформира матрицата (15) во дијагонална. Дијагоналните елементи на добиената матрица ќе бидат саканите сопствени вредности. Во овој случај, потребно е да се одредат сопствените вредности
аритметички операции, а за сопствени вектори исто така
операции. Во овој поглед, методот во 19 век. не најде апликација и беше заборавен повеќе од сто години.

Следниот важен чекор во развојот на теоријата на осцилации беше работата на Рејли, особено неговото основно дело „Теоријата на звукот“. Во оваа книга, Рејли ги испитува осцилаторните феномени во механиката, акустиката и електричните системи од унифицирана гледна точка. Рејли поседува голем број фундаментални теореми на линеарната теорија на осцилации (теореми за стационарноста и својствата на природните фреквенции). Рејли го формулирал и принципот на реципроцитет. По аналогија со кинетичката и потенцијалната енергија, тој ја воведе дисипативната функција, која беше наречена Рејли и претставува половина од стапката на дисипација на енергија.

Во Теоријата на звукот, Рејли предлага и приближен метод за одредување на првата природна фреквенција на конзервативен систем

, (16)

Каде
. Во овој случај, за да се пресметаат максималните вредности на потенцијалните и кинетичките енергии, се зема одредена форма на вибрации. Ако се совпадне со првиот режим на осцилација на системот, ќе ја добиеме точната вредност на првата природна фреквенција, но во спротивно оваа вредност е секогаш преценета. Методот дава точност сосема прифатлива за практика, ако статичката деформација на системот се земе како прв начин на вибрации.

Така, уште во 19 век, во делата на Сомов и Рејли, беше формирана методологија за конструирање диференцијални равенки кои опишуваат мали осцилаторни движења на дискретни механички системи користејќи Лагранжови равенки од втор вид

каде во генерализирана сила
мора да бидат вклучени сите фактори на сила, со исклучок на еластичните и дисипативните, опфатени со функциите Р и П.

Лагранжовите равенки (17) во форма на матрица, опишувајќи принудени осцилации на механички систем, по замена на сите функции изгледаат вака

. (18)

Еве е амортизираната матрица, и
– колони вектори на соодветно генерализирани координати, брзини и забрзувања. Генералното решение на оваа равенка се состои од слободни и придружни осцилации, кои се секогаш пригушени, и принудени осцилации кои се јавуваат на фреквенцијата на вознемирувачката сила. Да се ​​ограничиме на разгледување само на одредено решение кое одговара на принудните осцилации. Како возбудување, Рејли ги сметал генерализираните сили кои варираат според хармоничниот закон. Многумина го припишаа овој избор на едноставноста на случајот што се разгледува, но Рејли дава поубедливо објаснување - проширувањето на серијата Фурие.

Така, за механички систем со повеќе од два степени на слобода, решавањето на систем од равенки претставува одредени тешкотии, кои се зголемуваат експоненцијално како што се зголемува редот на системот. Дури и со пет до шест степени на слобода, проблемот со принудните осцилации не може да се реши рачно со користење на класичниот метод.

Во теоријата на вибрации на механичките системи, посебна улога играле малите (линеарни) вибрации на дискретни системи. Спектралната теорија развиена за линеарни системи не бара ниту конструкција на диференцијални равенки, а за да се добие решение веднаш може да се запишат системи на линеарни алгебарски равенки. Иако во средината на 19 век беа развиени методи за одредување сопствени вектори и сопствени вредности (Јакоби), како и за решавање системи на линеарни алгебарски равенки (Гаус), нивната практична примена дури и за системи со мал број степени на слобода беше не доаѓа предвид. Затоа, пред појавата на доволно моќни компјутери, беа развиени многу различни методи за да се реши проблемот со слободните и принудните осцилации на линеарните механички системи. Многу извонредни научници - математичари и механичари - се занимаваа со овие проблеми; тие ќе бидат разгледани подолу. Доаѓањето на моќната компјутерска технологија овозможи не само да се решат линеарни проблеми од големи размери во дел од секундата, туку и да се автоматизира процесот на составување системи на равенки.

Така, во текот на 18 век. во теоријата на мали осцилации на системи со конечен број на степени на слобода и осцилации на континуумски еластични системи беа развиени основните физички шеми и беа објаснети принципите суштински за математичка анализа на проблемите. Меѓутоа, за да се создаде теоријата на механичките вибрации како независна наука, недостигаше унифициран пристап за решавање на проблемите на динамиката и немаше барања од технологијата за нејзин побрз развој.

Растот на големата индустрија на крајот на 18 и почетокот на 19 век, предизвикан од широкото воведување на парната машина, доведе до поделба на применетата механика во посебна дисциплина. Но, до крајот на 19 век, пресметките на силата се вршеа во статична формулација, бидејќи машините сè уште беа со мала моќност и бавно се движат.

До крајот на 19 век, со зголемените брзини и намалувањето на димензиите на машините, стана невозможно да се занемарат флуктуациите. Бројните несреќи што се случија поради почетокот на дефект на резонанца или замор при вибрации ги принудија инженерите да обрнат внимание на осцилаторните процеси. Меѓу проблемите што се појавија во овој период, треба да се истакне следново: уривање на мостови од возови кои минуваат, торзиони вибрации на шахтите и вибрации на трупот на бродот возбудени од инерцијалните сили на подвижните делови на неурамнотежените машини.

IIIпериод– формирање и развој на применетата теорија на осцилации (1900–1960). Развој на машинско инженерство, подобрување на локомотиви и бродови, појава на парни и гасни турбини, мотори со внатрешно согорување со голема брзина, автомобили, авиони итн. бараше попрецизна анализа на напрегањата во машинските делови. Ова беше диктирано од барањата за поекономична употреба на метал. Структурите за осветлување предизвикаа проблеми со вибрациите, кои се повеќе стануваат одлучувачки во однос на јачината на машината. На почетокот на 20 век, бројни несреќи убедливо покажуваат какви катастрофални последици може да произлезат од занемарување на вибрациите или непознавање на истите.

Појавата на нова технологија, по правило, поставува нови предизвици за теоријата на осцилации. Така во 30-тите и 40-тите. Се појавија нови проблеми, како што се флатер и шилести во воздухопловството, вибрации и свиткување-торзионални вибрации на ротирачките вратила итн., што бараше развој на нови методи за пресметување на вибрациите. На крајот на 20-тите, прво во физиката, а потоа и во механиката, започна проучувањето на нелинеарните осцилации. Во врска со развојот на системи за автоматска контрола и други технички потреби, почнувајќи од 30-тите години, широко беше развиена и применета теоријата за стабилност на движење, чија основа беше докторската дисертација на А. М. Љапунов „Општиот проблем на стабилноста на движењето“.

Недостигот на аналитичко решение за проблемите во теоријата на осцилации, дури и во линеарна формулација, од една страна, и компјутерската технологија, од друга, доведе до развој на голем број различни нумерички методи за нивно решавање.

Потребата да се извршат пресметки на вибрации за различни видови опрема доведе до појава во 1930-тите на првите курсеви за обука во теоријата на вибрации.

Транзиција кон IVпериод(почетокот на 1960-тите – денес) е поврзан со ерата на научната и технолошката револуција и се карактеризира со појава на нова технологија, првенствено авијација и вселена, и роботски системи. Дополнително, развојот на енергетиката, транспортот итн. ги донесе проблемите со динамичната сила и доверливост на прв план. Ова се објаснува со зголемување на работните брзини и намалување на потрошувачката на материјали со истовремена желба да се зголеми работниот век на машините. Во теоријата на осцилациите се повеќе и повеќе проблеми се решаваат во нелинеарна формулација. Во областа на вибрациите на континуумските системи, под влијание на барањата од воздухопловната и вселенската технологија, се јавуваат проблеми во динамиката на плочите и школките.

Најголемо влијание врз развојот на теоријата на осцилации во овој период има појавата и брзиот развој на електронската компјутерска технологија, што доведе до развој на нумерички методи за пресметување на осцилациите.

Осцилаторно движењеСекое движење или промена на состојбата се нарекува, се карактеризира со еден или друг степен на повторливост во времето на вредностите на физичките количини што го одредуваат ова движење или состојба. Осцилациите се карактеристични за сите природни појави: зрачењето на ѕвездите пулсира; планетите на Сончевиот систем ротираат со висок степен на периодичност; ветровите возбудуваат вибрации и бранови на површината на водата; Во секој жив организам постојано се случуваат различни, ритмички повторувачки процеси, на пример, човечкото срце чука со неверојатна сигурност.

Осцилациите се издвојуваат во физиката механичкиИ електромагнетни.Преку ширење на механички флуктуации на густината и притисокот на воздухот, кои ги перципираме како звук, како и многу брзи флуктуации на електричните и магнетните полиња, кои ги доживуваме како светлина, добиваме голема количина на директни информации за светот околу нас. Примери за осцилаторно движење во механиката вклучуваат осцилации на нишала, жици, мостови итн.

Осцилациите се нарекуваат периодични, ако вредностите на физичките количини што се менуваат за време на осцилациите се повторуваат во редовни интервали. Наједноставниот тип на периодични осцилации се хармоничните осцилации. Хармоничните осцилации се оние во кои флуктуирачкото количество се менува со текот на времето според синусниот (или косинусниот) закон:

каде што x е поместување од рамнотежна позиција;

А – амплитуда на осцилација – максимално поместување од положбата на рамнотежа;

- циклична фреквенција;

- почетна фаза на осцилација;

- фаза на осцилација; го одредува поместувањето во било кој момент од времето, т.е. ја одредува состојбата на осцилаторниот систем.

Во случај на строго хармонични осцилации со магнитуда А, И не зависат од времето.

Циклична фреквенција поврзани со периодот Т на осцилациите и фреквенцијата сооднос:

(2)

Период Тосцилации е најкраткиот временски период по кој се повторуваат вредностите на сите физички количини што ги карактеризираат осцилациите.

Фреквенција осцилации е бројот на целосни осцилации извршени по единица време, измерен во херци (1 Hz = 1
).

Циклична фреквенција нумерички еднаков на бројот на осцилации завршени во 2 секунди

Осцилациите кои настануваат во систем кој не е подложен на дејство на променливи надворешни сили, како резултат на секое почетно отстапување на овој систем од состојба на стабилна рамнотежа, се нарекуваат бесплатно(или свој).

Ако системот е конзервативен, тогаш не се јавува дисипација на енергија за време на осцилациите. Во овој случај, се нарекуваат слободни вибрации незадушено.

Брзина Ние ги дефинираме осцилациите на точка како дериват на поместувањето во времето:

(3)

Забрзување осцилирачката точка е еднаква на изводот на брзината во однос на времето:

(4)

Равенката (4) покажува дека забрзувањето за време на хармоничните осцилации е променливо, затоа, осцилацијата е предизвикана од дејството на променлива сила.

Вториот закон на Њутн ни дозволува да ја напишеме во општи термини односот помеѓу силата F и забрзувањето за праволиниски хармонски осцилации на материјална точка со маса
:

Каде
, (6)

k – коефициент на еластичност.

Така, силата што предизвикува хармониски вибрации е пропорционална на поместувањето и насочена против поместувањето. Во овој поглед, можеме да дадеме динамичка дефиниција за хармониското осцилирање: хармониката е осцилација предизвикана од сила директно пропорционална на поместувањето x и насочена против поместувањето.

Силата за враќање може да биде, на пример, еластична сила. Се нарекуваат силите кои имаат различна природа од еластичните сили, но го задоволуваат и условот (5). квази-еластичен.

Во случај на праволиниски осцилации долж оската x, забрзувањето еднакво на:

.

Заменувајќи го овој израз за забрзување и значењето на силата
во вториот Њутнов закон, добиваме основна равенка на праволиниски хармонски осцилации:


или
(7)

Решението на оваа равенка е равенката (1).

Предметна програмска теорија на осцилации за студенти 4 FACI курс


Дисциплината се заснова на резултатите од такви дисциплини како класична општа алгебра, теорија на обични диференцијални равенки, теоретска механика и теорија на функции на сложена променлива. Карактеристика на изучувањето на дисциплината е честа употреба на апарати за математичка анализа и други сродни математички дисциплини, употреба на практично важни примери од предметната област теоретска механика, физика, електротехника и акустика.


1. Квалитативна анализа на движење во конзервативен систем со еден степен на слобода

  • Метод на фазна рамнина
  • Зависност на периодот на осцилација од амплитудата. Меки и тврди системи

2. Дафинг равенка

  • Израз за општо решение на Дафинговата равенка во елиптични функции

3. Квазилинеарни системи

  • Ван дер Пол променливи
  • Просечен метод

4. Осцилации за релаксација

  • Ван дер Пол равенка
  • Едноставно нарушени системи на диференцијални равенки

5. Динамика на нелинеарни автономни системи од општа форма со еден степен на слобода

  • Концептот на „грубоста“ на динамичен систем
  • Бифуркации на динамички системи

6. Елементи на теоријата на Флоке

  • Нормални решенија и множители на линеарни системи на диференцијални равенки со периодични коефициенти
  • Параметриска резонанца

7. Хилова равенка

  • Анализа на однесувањето на решенијата на равенка од типот Хил како илустрација за примената на теоријата на флокет на линеарни Хамилтонови системи со периодични коефициенти
  • Матиеова равенка како посебен случај на равенка од типот Хил. Инес-Стрет дијаграм

8. Принудени осцилации во систем со нелинеарна сила на враќање

  • Врска помеѓу амплитудата на осцилациите и големината на движечката сила што се применува на системот
  • Промена на режимот на возење при промена на фреквенцијата на движечката сила. Концептот на „динамична“ хистереза

9. Адијабатски непроменливи

  • Акција-аголни променливи
  • Зачувување на адијабатските инваријанти со квалитативна промена во природата на движењето

10. Динамика на повеќедимензионални динамички системи

  • Концептот на ергодичност и мешање во динамички системи
  • Карта на Поенкаре

11. Лоренцови равенки. Чуден привлечник

  • Лоренцовите равенки како модел на термоконвекција
  • Бифуркации на решенија на Лоренцовите равенки. Транзиција кон хаос
  • Фрактална структура на чуден привлечник

12. Еднодимензионални прикази. Разновидноста на Фајгенбаум

  • Квадратско пресликување - наједноставно нелинеарно пресликување
  • Периодични орбити на пресликувања. Бифуркации на периодични орбити

Литература (главна)

1. Моисеев Н.Н. Асимптотични методи на нелинеарна механика. – М.: Наука, 1981 година.

2. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Вовед во теоријата на осцилации и бранови. Ед. 2. Истражувачки центар „Регуларна и хаотична динамика“, 2000 година.

3. Богољубов Н.Н., Митрополски Ју.А. Асимптотични методи во теоријата на нелинеарни осцилации. – М.: Наука, 1974 година.

4. Бутенин Н.В., Неимарк Ју.И., Фуфаев Н.А. Вовед во теоријата на нелинеарни осцилации. – М.: Наука, 1987 година.

5. Лоскутов А.Ју., Михаилов А.С. Вовед во синергетика. – М.: Наука, 1990 година.

6. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Осцилации, бранови, структури.. - М.: Физматлит, 2003 г.

Литература (дополнителна)

7. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Применети методи во теоријата на вибрации. Издавачка куќа „Наука“, 1988 година.

8. Stocker J. Нелинеарни осцилации во механички и електрични системи. – М.: Странска литература, 1952 година.

9. Старжински В.М., Применети методи на нелинеарни осцилации. - М.: Наука, 1977 година.

10. Хајаши Т. Нелинеарни осцилации во физичките системи. - М.: Мир, 1968 година.

11. Андронов А.А., Вит А.А., Каикин С.Е. Теорија на осцилации. – М.: Физматгиз, 1959 година.

Книгата го запознава читателот со општите својства на осцилаторните процеси што се случуваат во радиотехниката, оптичките и другите системи, како и различните квалитативни и квантитативни методи за нивно проучување. Значително внимание се посветува на разгледување на параметарски, самоосцилаторни и други нелинеарни осцилаторни системи.
Проучувањето на осцилаторните системи и процесите во нив опишани во книгата е претставено со користење на познати методи на теоријата на осцилациите без детално прикажување и оправдување на самите методи. Главното внимание се посветува на разјаснување на основните карактеристики на проучуваните осцилаторни модели на реални системи со користење на најадекватни методи на анализа.

Слободни осцилации во коло со нелинеарна индуктивност.
Сега да разгледаме друг пример на електричен нелинеарен конзервативен систем, имено, коло со индуктивност во зависност од струјата што тече низ него. Овој случај нема јасен и едноставен нерелативистички механички аналог, бидејќи зависноста на самоиндукцијата од струјата е еквивалентна за механиката со случајот на зависност на масата од брзината.

Електрични системи од овој тип се среќаваме кога во индуктивностите се користат јадра од феромагнетен материјал. Во такви случаи, за секое дадено јадро е можно да се добие односот помеѓу магнетизирачкото поле и магнетниот индукциски флукс. Кривата што ја прикажува оваа зависност се нарекува крива на магнетизација. Ако го занемариме феноменот на хистерезис, тогаш неговиот приближен тек може да се претстави со графикот прикажан на сл. 1.13. Бидејќи големината на полето H е пропорционална на струјата што тече во серпентина, струјата може да се нацрта директно на соодветната скала долж оската на апсцисата.

Преземете ја е-книгата бесплатно во пригоден формат, гледајте и читајте:
Преземете ја книгата Основи на теоријата на осцилации, Migulin V.V., Medvedev V.I., Mustel E.R., Parygin V.N., 1978 - fileskachat.com, брзо и бесплатно преземање.

  • Принципи на теоретска физика, Механика, теорија на терен, елементи на квантната механика, Медведев Б.В., 2007 г.
  • Курс по физика, Ершов А.П., Федотович Г.В., Харитонов В.Г., Прууел Е.Р., Медведев Д.А.
  • Техничка термодинамика со основите на пренос на топлина и хидраулика, Лашутина Н.Г., Макашова О.В., Медведев Р.М., 1988 г.