Tulis persamaan garis lurus melalui 2 titik. Persamaan am garis

Sifat garis lurus dalam geometri Euclidean.

Bilangan garis lurus yang tidak terhingga boleh dilukis melalui mana-mana titik.

Melalui mana-mana dua titik tidak bertepatan satu garis lurus boleh dilukis.

Dua garis mencapah dalam satah sama ada bersilang pada satu titik atau berada

selari (mengikut dari yang sebelumnya).

Dalam ruang tiga dimensi, terdapat tiga pilihan untuk kedudukan relatif dua baris:

• garis bersilang;

• garisan selari;

• garis lurus bersilang.

Lurus barisan— lengkung algebra tertib pertama: garis lurus dalam sistem koordinat Cartesan

diberikan pada satah oleh persamaan darjah pertama (persamaan linear).

Persamaan am garis lurus.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

dan berterusan A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil umum

persamaan garis lurus. Bergantung kepada nilai pemalar A, B Dan DENGAN Kes khas berikut adalah mungkin:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- garis lurus melalui asalan

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- garis lurus selari dengan paksi OU

. B = C = 0, A ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi OU

. A = C = 0, B ≠0- garis lurus bertepatan dengan paksi Oh

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana yang diberikan

keadaan awal.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesan, vektor dengan komponen (A, B)

berserenjang dengan garis yang diberikan oleh persamaan

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui suatu titik A(1, 2) berserenjang dengan vektor (3, -1).

Penyelesaian. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Untuk mencari pekali C

Mari kita gantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil. Kita dapat: 3 - 2 + C = 0, oleh itu

C = -1. Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x - y - 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua mata diberikan dalam ruang M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Dan M2 (x 2, y 2, z 2), Kemudian persamaan garis,

melalui titik-titik ini:

Jika mana-mana penyebut adalah sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar. hidup

satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

Jika x 1 ≠ x 2 Dan x = x 1, Jika x 1 = x 2 .

Pecahan = k dipanggil cerun lurus.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kecerunan.

Jika persamaan am garis Ax + Wu + C = 0 membawa kepada:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil

persamaan garis lurus dengan kecerunan k.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan tugasan

garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1 , α 2), yang komponennya memenuhi syarat

Aα 1 + Bα 2 = 0 dipanggil vektor arah garis lurus.

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Mengikut definisi,

pekali mesti memenuhi syarat berikut:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0.

di x = 1, y = 2 kita mendapatkan C/A = -3, iaitu persamaan yang diperlukan:

x + y - 3 = 0

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka, membahagikan dengan -С, kita dapat:

atau di mana

Maksud geometri pekali ialah pekali a ialah koordinat titik persilangan

lurus dengan paksi Oh, A b- koordinat titik persilangan garis dengan paksi OU.

Contoh. Persamaan am garis lurus diberikan x - y + 1 = 0. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis.

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + Wu + C = 0 bahagi dengan nombor yang dipanggil

faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 -persamaan normal garis.

Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ*C< 0.

R- panjang serenjang jatuh dari asal ke garis lurus,

A φ - sudut yang dibentuk oleh serenjang ini dengan arah positif paksi Oh.

Contoh. Persamaan am garis diberikan 12x - 5y - 65 = 0. Diperlukan untuk menulis pelbagai jenis persamaan

garis lurus ini.

Persamaan garis ini dalam segmen:

Persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

Persamaan garis:

cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus,

selari dengan paksi atau melalui asalan.

Sudut antara garis lurus pada satah.

Definisi. Jika dua baris diberi y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini

akan ditakrifkan sebagai

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang

Jika k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Langsung Ax + Wu + C = 0 Dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 selari apabila pekali adalah berkadar

A 1 = λA, B 1 = λB. Jika juga С 1 = λС, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis

didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu.

Definisi. Garisan yang melalui satu titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis y = kx + b

diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Teorem. Jika mata diberi M(x 0, y 0), kemudian jarak ke garis lurus Ax + Wu + C = 0 ditakrifkan sebagai:

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1)- tapak serenjang jatuh dari satu titik M untuk diberikan

langsung. Kemudian jarak antara titik M Dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 Dan pada pukul 1 boleh didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu M 0 secara berserenjang

diberi garis lurus. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem telah terbukti.

Persamaan garis yang melalui dua titik. Dalam artikel" " Saya berjanji kepada anda untuk melihat cara kedua untuk menyelesaikan masalah yang dikemukakan bagi mencari terbitan, diberikan graf fungsi dan tangen kepada graf ini. Kami akan membincangkan kaedah ini dalam , jangan lepaskan! kenapa dalam yang seterusnya?

Hakikatnya ialah formula untuk persamaan garis lurus akan digunakan di sana. Sudah tentu, kami hanya boleh menunjukkan formula ini dan menasihati anda untuk mempelajarinya. Tetapi lebih baik untuk menerangkan dari mana ia berasal (bagaimana ia diperoleh). Ia perlu! Jika anda terlupa, anda boleh memulihkannya dengan cepattidak akan sukar. Semuanya digariskan di bawah secara terperinci. Jadi, kita mempunyai dua titik A pada satah koordinat(x 1;y 1) dan B(x 2;y 2), satu garis lurus dilukis melalui titik yang ditunjukkan:

Berikut adalah formula langsung itu sendiri:

*Iaitu, apabila menggantikan koordinat titik tertentu, kita mendapat persamaan bentuk y=kx+b.

**Jika anda hanya "menghafal" formula ini, maka terdapat kebarangkalian tinggi untuk terkeliru dengan indeks apabila X. Di samping itu, indeks boleh ditetapkan dengan cara yang berbeza, contohnya:

Itulah sebabnya penting untuk memahami maksudnya.

Sekarang terbitan formula ini. Semuanya sangat mudah!

Segitiga ABE dan ACF adalah serupa dalam sudut akut (tanda pertama persamaan segi tiga tegak). Ia berikutan daripada ini bahawa nisbah unsur-unsur yang sepadan adalah sama, iaitu:

Sekarang kita hanya menyatakan segmen ini melalui perbezaan dalam koordinat titik:

Sudah tentu, tidak akan ada ralat jika anda menulis hubungan unsur-unsur dalam susunan yang berbeza (perkara utama adalah untuk mengekalkan konsistensi):

Hasilnya akan menjadi persamaan garis yang sama. Itu sahaja!

Iaitu, tidak kira bagaimana titik itu sendiri (dan koordinatnya) ditetapkan, dengan memahami formula ini anda akan sentiasa mencari persamaan garis lurus.

Formula boleh diperoleh menggunakan sifat vektor, tetapi prinsip terbitan akan sama, kerana kita akan bercakap tentang perkadaran koordinat mereka. Dalam kes ini, persamaan segi tiga tegak yang sama berfungsi. Pada pendapat saya, kesimpulan yang diterangkan di atas adalah lebih jelas)).

Lihat output melalui koordinat vektor >>>

Biarkan satu garis lurus dibina pada satah koordinat yang melalui dua titik yang diberi A(x 1;y 1) dan B(x 2;y 2). Mari kita tandakan titik sewenang-wenangnya C pada garisan dengan koordinat ( x; y). Kami juga menandakan dua vektor:

Adalah diketahui bahawa untuk vektor yang terletak pada garis selari (atau pada garis yang sama), koordinat sepadannya adalah berkadar, iaitu:

— kita tuliskan kesamaan nisbah koordinat yang sepadan:

Mari lihat contoh:

Cari persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat (2;5) dan (7:3).

Anda tidak perlu membina garis lurus itu sendiri. Kami menggunakan formula:

Adalah penting anda memahami surat-menyurat semasa membuat nisbah. Anda tidak boleh salah jika anda menulis:

Jawapan: y=-2/5x+29/5 go y=-0.4x+5.8

Untuk memastikan persamaan yang terhasil ditemui dengan betul, pastikan anda menyemak - menggantikan koordinat data dalam keadaan titik ke dalamnya. Persamaan harus betul.

Itu sahaja. Saya harap bahan itu berguna kepada anda.

Yang ikhlas, Alexander.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

Selain itu, pemalar A dan B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama. Persamaan tertib pertama ini dipanggil persamaan am bagi garis lurus. Bergantung pada nilai pemalar A, B dan C, kes khas berikut adalah mungkin:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – garis lurus melalui asalan

A = 0, B ≠0, C ≠0 (Oleh + C = 0) - garis lurus selari dengan paksi Lembu

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – garis lurus selari dengan paksi Oy

B = C = 0, A ≠0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Oy

A = C = 0, B ≠0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Lembu

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana keadaan awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, vektor dengan komponen (A, B) berserenjang dengan garis lurus yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) berserenjang dengan (3, -1).

Penyelesaian. Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x – y + C = 0. Untuk mencari pekali C, kita menggantikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam ungkapan yang terhasil. Kita dapat: 3 – 2 + C = 0, oleh itu, C = -1 . Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x – y – 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Biarkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik ini ialah:

Jika mana-mana penyebut sama dengan sifar, pengangka yang sepadan hendaklah sama dengan sifar. Pada satah, persamaan garis yang ditulis di atas dipermudahkan:

jika x 1 ≠ x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan = k dipanggil cerun lurus.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Penyelesaian. Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus dari titik dan cerun

Jika jumlah Ax + Bu + C = 0, bawa kepada bentuk:

dan menetapkan , maka persamaan yang terhasil dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunank.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan takrif garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar (α 1, α 2), komponen yang memenuhi syarat A α 1 + B α 2 = 0 dipanggil vektor pengarah garis

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Penyelesaian. Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Selaras dengan definisi, pekali mesti memenuhi syarat:

1 * A + (-1) * B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0. untuk x = 1, y = 2 kita peroleh C/ A = -3, i.e. persamaan yang diperlukan:

Persamaan garis dalam segmen

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С≠0, maka, membahagikan dengan –С, kita dapat: atau

Maksud geometri pekali ialah pekali A ialah koordinat titik persilangan garis dengan paksi Lembu, dan b– koordinat titik persilangan garis lurus dengan paksi Oy.

Contoh. Persamaan am bagi garis x – y + 1 = 0 diberi. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Persamaan normal garis

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + By + C = 0 didarab dengan nombor itu yang dipanggil faktor menormalkan, maka kita dapat

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan normal garis. Tanda ± faktor normalisasi mesti dipilih supaya μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Contoh. Persamaan am bagi garis 12x – 5y – 65 = 0 diberikan. Ia dikehendaki menulis pelbagai jenis persamaan untuk garis ini.

persamaan garis ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

; cos φ = 12/13; dosa φ= -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus selari dengan paksi atau melalui asal koordinat.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada paksi koordinat. Tulis persamaan untuk garis lurus jika luas segi tiga yang dibentuk oleh segmen ini ialah 8 cm 2.

Penyelesaian. Persamaan garis lurus mempunyai bentuk: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Contoh. Tulis persamaan untuk garis lurus yang melalui titik A(-2, -3) dan asalan.

Penyelesaian. Persamaan garis lurus ialah: , dengan x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Sudut antara garis lurus pada satah

Definisi. Jika dua garis diberi y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini akan ditakrifkan sebagai

.

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2. Dua garis berserenjang jika k 1 = -1/ k 2.

Teorem. Garisan Ax + Bу + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 adalah selari apabila pekali A 1 = λA, B 1 = λB adalah berkadar. Jika juga C 1 = λC, maka garisan itu bertepatan. Koordinat titik persilangan dua garis didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan garis tertentu

Definisi. Garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis lurus y = kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garisan

Teorem. Jika titik M(x 0, y 0) diberi, maka jarak ke garis Ax + Bу + C = 0 ditentukan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M ke garis lurus tertentu. Kemudian jarak antara titik M dan M 1:

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 boleh didapati dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis yang melalui titik tertentu M 0 berserenjang dengan garis tertentu. Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

Teorem telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antara garisan: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Contoh. Tunjukkan bahawa garis 3x – 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y – 3 = 0 adalah berserenjang.

Penyelesaian. Kami dapati: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, oleh itu, garis-garisnya adalah serenjang.

Contoh. Diberi ialah bucu bagi segi tiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Cari persamaan ketinggian yang dilukis dari bucu C.

Penyelesaian. Kami mencari persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diperlukan mempunyai bentuk: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Kemudian y = . Kerana ketinggian melalui titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dari mana b = 17. Jumlah: .

Jawapan: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Biarkan garis itu melalui titik M 1 (x 1; y 1) dan M 2 (x 2; y 2). Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 mempunyai bentuk y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

di mana k - masih tidak diketahui pekali.

Oleh kerana garis lurus melalui titik M 2 (x 2 y 2), koordinat titik ini mesti memenuhi persamaan (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Dari sini kita dapati Menggantikan nilai yang ditemui k ke dalam persamaan (10.6), kita memperoleh persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dan M 2:

Diandaikan bahawa dalam persamaan ini x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jika x 1 = x 2, maka garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1,y I) dan M 2 (x 2,y 2) adalah selari dengan paksi ordinat. Persamaannya ialah x = x 1 .

Jika y 2 = y I, maka persamaan garis boleh ditulis sebagai y = y 1, garis lurus M 1 M 2 adalah selari dengan paksi absis.

Persamaan garis dalam segmen

Biarkan garis lurus bersilang dengan paksi Ox di titik M 1 (a;0), dan paksi Oy di titik M 2 (0;b). Persamaan akan mengambil bentuk:
mereka.
. Persamaan ini dipanggil persamaan garis lurus dalam segmen, kerana nombor a dan b menunjukkan segmen yang mana garis terputus pada paksi koordinat.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu berserenjang dengan vektor tertentu

Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu Mo (x O; y o) berserenjang dengan vektor bukan sifar n = (A; B).

Mari kita ambil titik M(x; y) sembarangan pada garis dan pertimbangkan vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (lihat Rajah 1). Oleh kerana vektor n dan M o M adalah berserenjang, hasil skalarnya adalah sama dengan sifar: iaitu

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Persamaan (10.8) dipanggil persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu berserenjang dengan vektor tertentu .

Vektor n= (A; B), berserenjang dengan garis, dipanggil normal vektor biasa baris ini .

Persamaan (10.8) boleh ditulis semula sebagai Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

di mana A dan B ialah koordinat bagi vektor normal, C = -Ax o - Vu o ialah sebutan bebas. Persamaan (10.9) ialah persamaan am bagi garis itu(lihat Rajah 2).

Rajah.1 Rajah.2

Persamaan kanonik garis

,

di mana
- koordinat titik yang dilalui garis, dan
- vektor arah.

Lengkung tertib kedua Bulatan

Bulatan ialah set semua titik satah yang berjarak sama dari titik tertentu, yang dipanggil pusat.

Persamaan kanonik bagi bulatan jejari R berpusat pada satu titik
:

Khususnya, jika pusat pancang bertepatan dengan asal koordinat, maka persamaan akan kelihatan seperti:

Ellipse

Elips ialah satu set titik pada satah, jumlah jarak dari setiap satu ke dua titik tertentu. Dan , yang dipanggil fokus, ialah kuantiti tetap
, lebih besar daripada jarak antara fokus
.

Persamaan kanonik elips yang fokusnya terletak pada paksi Lembu, dan asal koordinat di tengah antara fokus mempunyai bentuk
G de a panjang paksi separuh utama; b – panjang paksi separuh kecil (Rajah 2).

Persamaan garis pada satah.

Seperti yang diketahui, sebarang titik pada satah ditentukan oleh dua koordinat dalam beberapa sistem koordinat. Sistem koordinat boleh berbeza bergantung pada pilihan asas dan asal.

Definisi. Persamaan garis dipanggil hubungan y = f(x) antara koordinat titik-titik yang membentuk garis ini.

Perhatikan bahawa persamaan garis boleh dinyatakan secara parametrik, iaitu, setiap koordinat setiap titik dinyatakan melalui beberapa parameter bebas. t.

Contoh biasa ialah trajektori titik bergerak. Dalam kes ini, peranan parameter dimainkan oleh masa.

Persamaan garis lurus pada satah.

Definisi. Mana-mana garis lurus pada satah boleh ditentukan oleh persamaan tertib pertama

Ax + Wu + C = 0,

Selain itu, pemalar A dan B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, i.e. A 2 + B 2  0. Persamaan tertib pertama ini dipanggil persamaan am bagi garis lurus.

Bergantung pada nilai pemalar A, B dan C, kes khas berikut adalah mungkin:

C = 0, A  0, B  0 – garis lurus melalui asalan

A = 0, B  0, C  0 (Oleh + C = 0) - garis lurus selari dengan paksi Lembu

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – garis lurus selari dengan paksi Oy

B = C = 0, A  0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Oy

A = C = 0, B  0 – garis lurus bertepatan dengan paksi Lembu

Persamaan garis lurus boleh dibentangkan dalam bentuk yang berbeza bergantung pada mana-mana keadaan awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor normal.

Definisi. Dalam sistem koordinat segi empat tepat Cartesian, vektor dengan komponen (A, B) berserenjang dengan garis lurus yang diberikan oleh persamaan Ax + By + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) berserenjang dengan vektor (3, -1).

Dengan A = 3 dan B = -1, mari kita susun persamaan garis lurus: 3x – y + C = 0. Untuk mencari pekali C, kita menggantikan koordinat titik A yang diberi ke dalam ungkapan yang terhasil.

Kami mendapat: 3 – 2 + C = 0, oleh itu C = -1.

Jumlah: persamaan yang diperlukan: 3x – y – 1 = 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik.

Biarkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis yang melalui titik ini ialah:

Jika mana-mana penyebut adalah sifar, pengangka yang sepadan hendaklah ditetapkan sama dengan sifar.

Pada satah, persamaan garis lurus yang ditulis di atas dipermudahkan:

jika x 1  x 2 dan x = x 1, jika x 1 = x 2.

Pecahan
=k dipanggil cerun lurus.

Contoh. Cari persamaan garis yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Menggunakan formula yang ditulis di atas, kita mendapat:

Persamaan garis lurus menggunakan titik dan kecerunan.

Jika persamaan am garis lurus Ax + By + C = 0 dikurangkan kepada bentuk:

dan menetapkan
, maka persamaan yang terhasil dipanggil persamaan garis lurus dengan kecerunank.

Persamaan garis lurus dari titik dan vektor arah.

Dengan analogi dengan titik mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, anda boleh memasukkan takrif garis lurus melalui titik dan vektor arah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan sifar ( 1,  2), komponen yang memenuhi syarat A 1 + B 2 = 0 dipanggil vektor arah garis

Ax + Wu + C = 0.

Contoh. Cari persamaan garis dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Kami akan mencari persamaan garis yang dikehendaki dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Selaras dengan definisi, pekali mesti memenuhi syarat:

1A + (-1)B = 0, i.e. A = B.

Kemudian persamaan garis lurus mempunyai bentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C/A = 0.

pada x = 1, y = 2 kita dapat C/A = -3, i.e. persamaan yang diperlukan:

Persamaan garis lurus dalam segmen.

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ах + Ву + С = 0 С 0, maka, membahagikan dengan –С, kita dapat:
atau

, Di mana

Maksud geometri pekali ialah pekali A ialah koordinat titik persilangan garis dengan paksi Lembu, dan b– koordinat titik persilangan garis lurus dengan paksi Oy.

Contoh. Persamaan am bagi garis x – y + 1 = 0 diberi. Cari persamaan garis ini dalam segmen.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Persamaan normal garis.

Jika kedua-dua belah persamaan Ax + By + C = 0 dibahagi dengan nombor
yang dipanggil faktor menormalkan, maka kita dapat

xcos + ysin - p = 0 –

persamaan normal garis.

Tanda  faktor penormalan mesti dipilih supaya С< 0.

p ialah panjang serenjang yang dijatuhkan dari asal ke garis lurus, dan  ialah sudut yang dibentuk oleh serenjang ini dengan arah positif paksi Lembu.

Contoh. Persamaan am bagi garis 12x – 5y – 65 = 0 diberikan. Ia dikehendaki menulis pelbagai jenis persamaan untuk garis ini.

persamaan garis ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan cerun: (bahagi dengan 5)

persamaan normal garis:

; cos = 12/13; dosa = -5/13; p = 5.

Perlu diingatkan bahawa tidak setiap garis lurus boleh diwakili oleh persamaan dalam segmen, contohnya, garis lurus selari dengan paksi atau melalui asal koordinat.

Contoh. Garis lurus memotong segmen positif yang sama pada paksi koordinat. Tulis persamaan garis lurus jika luas segi tiga yang dibentuk oleh segmen ini ialah 8 cm 2.

Persamaan garis lurus ialah:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 tidak sesuai mengikut keadaan masalah.

Jumlah:
atau x + y – 4 = 0.

Contoh. Tulis persamaan untuk garis lurus yang melalui titik A(-2, -3) dan asalan.

Persamaan garis lurus ialah:
, dengan x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Sudut antara garis lurus pada satah.

Definisi. Jika dua garis diberi y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, maka sudut lancip antara garisan ini akan ditakrifkan sebagai

.

Dua garis adalah selari jika k 1 = k 2.

Dua garis berserenjang jika k 1 = -1/k 2 .

Teorem. Garis terus Ax + Wu + C = 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 adalah selari apabila pekali A adalah berkadar 1 =  A, B 1 =  B. Jika juga C 1 =  C, maka garisan itu bertepatan.

Koordinat titik persilangan dua garis didapati sebagai penyelesaian kepada sistem persamaan garis ini.

Persamaan garis yang melalui titik tertentu

berserenjang dengan garis ini.

Definisi. Garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan berserenjang dengan garis lurus y = kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis.

Teorem. Jika titik M(x) diberi 0 , y 0 ), maka jarak ke garis lurus Ах + Ву + С =0 ditakrifkan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi tapak serenjang yang dijatuhkan dari titik M ke garis lurus tertentu. Kemudian jarak antara titik M dan M 1:

Koordinat x 1 dan y 1 boleh didapati dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Persamaan kedua sistem ialah persamaan garis yang melalui titik tertentu M 0 berserenjang dengan garis tertentu.

Jika kita menukar persamaan pertama sistem kepada bentuk:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

kemudian, menyelesaikan, kita dapat:

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan (1), kita dapati:

.

Teorem telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antara garisan: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tg =
;  = /4.

Contoh. Tunjukkan bahawa garis 3x – 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y – 3 = 0 adalah berserenjang.

Kita dapati: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, oleh itu, garis-garisnya adalah serenjang.

Contoh. Diberi ialah bucu bagi segi tiga A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Cari persamaan ketinggian yang dilukis dari bucu C.

Kami mencari persamaan sisi AB:
; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diperlukan mempunyai bentuk: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b.

k = . Kemudian y =
. Kerana ketinggian melalui titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini:
dari mana b = 17. Jumlah:
.

Jawapan: 3x + 2y – 34 = 0.

Geometri analitik dalam ruang.

Persamaan garis dalam ruang.

Persamaan garis dalam ruang diberi titik dan

vektor arah.

Mari kita ambil garis arbitrari dan vektor (m, n, p), selari dengan garis yang diberi. vektor dipanggil vektor panduan lurus.

Pada garis lurus kita mengambil dua titik sewenang-wenangnya M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dan M (x, y, z).

z

M 1

Mari kita nyatakan vektor jejari titik-titik ini sebagai Dan , jelas sekali - =
.

Kerana vektor
Dan adalah kolinear, maka hubungannya adalah benar
= t, dengan t ialah beberapa parameter.

Secara keseluruhan, kita boleh menulis: = + t.

Kerana persamaan ini dipenuhi dengan koordinat mana-mana titik pada garis, maka persamaan yang terhasil ialah persamaan parametrik garis.

Persamaan vektor ini boleh diwakili dalam bentuk koordinat:

Dengan mengubah sistem ini dan menyamakan nilai parameter t, kita memperoleh persamaan kanonik garis lurus dalam ruang:

.

Definisi. Kosinus arah langsung ialah kosinus arah bagi vektor , yang boleh dikira menggunakan formula:

;

.

Dari sini kita dapat: m: n: p = cos : cos : cos.

Nombor m, n, p dipanggil pekali sudut lurus. Kerana ialah vektor bukan sifar, maka m, n dan p tidak boleh sama dengan sifar pada masa yang sama, tetapi satu atau dua nombor ini boleh sama dengan sifar. Dalam kes ini, dalam persamaan garis, pengangka yang sepadan harus ditetapkan sama dengan sifar.

Persamaan garis lurus dalam laluan ruang

melalui dua titik.

Jika pada garis lurus dalam ruang kita menandakan dua titik sewenang-wenangnya M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka koordinat titik-titik ini mesti memenuhi persamaan garis lurus. diperolehi di atas:

.

Di samping itu, untuk titik M 1 kita boleh menulis:

.

Menyelesaikan persamaan ini bersama-sama, kita dapat:

.

Ini ialah persamaan garis yang melalui dua titik dalam ruang.

Persamaan am garis lurus dalam ruang.

Persamaan garis lurus boleh dianggap sebagai persamaan garis persilangan dua satah.

Seperti yang dibincangkan di atas, satah dalam bentuk vektor boleh ditentukan oleh persamaan:

+ D = 0, di mana

- pesawat biasa; - jejari ialah vektor titik arbitrari pada satah.