Persamaan tangen ialah: Tangen kepada graf fungsi pada satu titik

Tangen ialah garis lurus , yang menyentuh graf fungsi pada satu titik dan semua titik berada pada jarak terpendek dari graf fungsi. Oleh itu, tangen melepasi tangen kepada graf fungsi pada sudut tertentu, dan beberapa tangen pada sudut yang berbeza tidak boleh melalui titik tangen. Persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi dibina menggunakan derivatif.

Persamaan tangen diperoleh daripada persamaan garis .

Mari kita terbitkan persamaan tangen, dan kemudian persamaan normal kepada graf fungsi.

y = kx + b .

Dalam dia k- pekali sudut.

Dari sini kita dapat entri berikut:

y - y 0 = k(x - x 0 ) .

Nilai terbitan f "(x 0 ) fungsi y = f(x) pada titik x0 sama dengan cerun k= tg φ tangen kepada graf fungsi yang dilukis melalui titik M0 (x 0 , y 0 ) , Di mana y0 = f(x 0 ) . Ini adalah makna geometri terbitan .

Oleh itu, kita boleh menggantikan k pada f "(x 0 ) dan dapatkan yang berikut persamaan tangen kepada graf fungsi :

y - y 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Dalam masalah yang melibatkan penyusunan persamaan tangen kepada graf fungsi (dan kita akan meneruskannya tidak lama lagi), ia diperlukan untuk mengurangkan persamaan yang diperoleh daripada formula di atas kepada persamaan garis lurus dalam bentuk am. Untuk melakukan ini, anda perlu mengalihkan semua huruf dan nombor ke sebelah kiri persamaan, dan biarkan sifar di sebelah kanan.

Sekarang mengenai persamaan biasa. Biasalah - ini ialah garis lurus yang melalui titik tangen kepada graf fungsi berserenjang dengan tangen. Persamaan biasa :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(y - y 0 ) = 0

Untuk memanaskan badan, anda diminta untuk menyelesaikan sendiri contoh pertama, dan kemudian melihat penyelesaiannya. Terdapat banyak sebab untuk berharap bahawa tugas ini tidak akan menjadi "mandi sejuk" untuk pembaca kami.

Contoh 0. Buat persamaan tangen dan persamaan normal untuk graf fungsi pada satu titik M (1, 1) .

Contoh 1. Tulis persamaan tangen dan persamaan normal untuk graf fungsi , jika absis adalah tangen.

Mari cari terbitan fungsi:

Sekarang kita mempunyai segala-galanya yang perlu digantikan ke dalam entri yang diberikan dalam bantuan teori untuk mendapatkan persamaan tangen. Kita mendapatkan

Dalam contoh ini, kami bernasib baik: cerun ternyata sifar, jadi tidak perlu mengurangkan persamaan secara berasingan kepada bentuk amnya. Sekarang kita boleh mencipta persamaan biasa:

Dalam rajah di bawah: graf fungsi adalah burgundy, tangen adalah hijau, normal ialah oren.

Contoh seterusnya juga tidak rumit: fungsi, seperti dalam yang sebelumnya, juga polinomial, tetapi cerun tidak akan sama dengan sifar, jadi satu langkah lagi akan ditambah - membawa persamaan ke bentuk umum.

Contoh 2.

Penyelesaian. Mari kita cari ordinat bagi titik tangen:

Mari cari terbitan fungsi:

.

Mari kita cari nilai terbitan pada titik tangen, iaitu, cerun tangen:

Kami menggantikan semua data yang diperolehi ke dalam "formula kosong" dan mendapatkan persamaan tangen:

Kami membawa persamaan ke bentuk amnya (kami mengumpul semua huruf dan nombor selain sifar di sebelah kiri, dan meninggalkan sifar di sebelah kanan):

Kami menyusun persamaan normal:

Contoh 3. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis ialah titik tangen.

Penyelesaian. Mari kita cari ordinat bagi titik tangen:

Mari cari terbitan fungsi:

.

Mari kita cari nilai terbitan pada titik tangen, iaitu, cerun tangen:

.

Kami mencari persamaan tangen:

Sebelum membawa persamaan kepada bentuk amnya, anda perlu "menyikatnya" sedikit: darab sebutan dengan sebutan dengan 4. Kami melakukan ini dan membawa persamaan kepada bentuk amnya:

Kami menyusun persamaan normal:

Contoh 4. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis ialah titik tangen.

Penyelesaian. Mari kita cari ordinat bagi titik tangen:

.

Mari cari terbitan fungsi:

Mari kita cari nilai terbitan pada titik tangen, iaitu, cerun tangen:

.

Kami mendapat persamaan tangen:

Kami membawa persamaan ke bentuk amnya:

Kami menyusun persamaan normal:

Kesilapan biasa semasa menulis persamaan tangen dan normal ialah tidak menyedari bahawa fungsi yang diberikan dalam contoh adalah kompleks dan mengira terbitannya sebagai terbitan fungsi mudah. Contoh berikut sudah pun dari fungsi kompleks(pelajaran yang sepadan akan dibuka dalam tetingkap baharu).

Contoh 5. Tuliskan persamaan tangen dan persamaan normal kepada graf fungsi jika absis ialah titik tangen.

Penyelesaian. Mari kita cari ordinat bagi titik tangen:

Perhatian! Fungsi ini adalah kompleks, kerana hujah tangen (2 x) itu sendiri adalah fungsi. Oleh itu, kita dapati terbitan fungsi sebagai terbitan bagi fungsi kompleks.

Pelajaran video "Persamaan tangen kepada graf fungsi" menunjukkan bahan pendidikan untuk menguasai topik. Semasa pelajaran video, bahan teori yang diperlukan untuk merumuskan konsep persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu, algoritma untuk mencari tangen sedemikian, dan contoh penyelesaian masalah menggunakan bahan teori yang dikaji diterangkan. .

Tutorial video menggunakan kaedah yang meningkatkan kejelasan bahan. Pembentangan mengandungi lukisan, gambar rajah, ulasan suara penting, animasi, penyerlahan dan alatan lain.

Pelajaran video bermula dengan pembentangan topik pelajaran dan imej tangen kepada graf beberapa fungsi y=f(x) pada titik M(a;f(a)). Adalah diketahui bahawa pekali sudut tangen yang diplotkan kepada graf pada titik tertentu adalah sama dengan terbitan fungsi f΄(a) pada titik ini. Juga daripada kursus algebra kita tahu persamaan garis lurus y=kx+m. Penyelesaian kepada masalah mencari persamaan tangen pada satu titik dibentangkan secara skematik, yang mengurangkan kepada mencari pekali k, m. Mengetahui koordinat titik kepunyaan graf fungsi, kita boleh mencari m dengan menggantikan nilai koordinat ke dalam persamaan tangen f(a)=ka+m. Daripadanya kita dapati m=f(a)-ka. Oleh itu, dengan mengetahui nilai terbitan pada titik tertentu dan koordinat titik, kita boleh mewakili persamaan tangen dengan cara ini y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Berikut ialah contoh mengarang persamaan tangen mengikut rajah. Diberi fungsi y=x 2 , x=-2. Mengambil a=-2, kita dapati nilai fungsi pada titik tertentu f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Kami menentukan terbitan bagi fungsi f΄(x)=2x. Pada ketika ini terbitan adalah sama dengan f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Untuk menyusun persamaan, semua pekali a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ditemui, jadi persamaan tangen ialah y=4+(-4)(x+2). Mempermudahkan persamaan, kita mendapat y = -4-4x.

Contoh berikut mencadangkan untuk membina persamaan untuk tangen pada asalan kepada graf fungsi y=tgx. Pada titik tertentu a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Jadi persamaan tangen kelihatan seperti y=x.

Sebagai generalisasi, proses menyusun persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik tertentu diformalkan dalam bentuk algoritma yang terdiri daripada 4 langkah:

  • Masukkan sebutan a untuk absis titik tangen;
  • f(a) dikira;
  • f΄(x) ditentukan dan f΄(a) dikira. Nilai yang ditemui bagi a, f(a), f΄(a) digantikan ke dalam formula persamaan tangen y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Contoh 1 mempertimbangkan untuk mengarang persamaan tangen kepada graf fungsi y=1/x pada titik x=1. Untuk menyelesaikan masalah kami menggunakan algoritma. Untuk fungsi tertentu pada titik a=1, nilai fungsi f(a)=-1. Terbitan bagi fungsi f΄(x)=1/x 2. Pada titik a=1 terbitan f΄(a)= f΄(1)=1. Dengan menggunakan data yang diperoleh, persamaan tangen y=-1+(x-1), atau y=x-2, disediakan.

Dalam contoh 2, adalah perlu untuk mencari persamaan tangen kepada graf fungsi y=x 3 +3x 2 -2x-2. Syarat utama ialah keselarian tangen dan garis lurus y=-2x+1. Pertama, kita dapati pekali sudut tangen, sama dengan pekali sudut garis lurus y=-2x+1. Oleh kerana f΄(a)=-2 untuk garis tertentu, maka k=-2 untuk tangen yang dikehendaki. Kami mencari terbitan bagi fungsi (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Mengetahui bahawa f΄(a)=-2, kita dapati koordinat titik 3a 2 +6a-2=-2. Setelah menyelesaikan persamaan, kita mendapat 1 =0, dan 2 =-2. Menggunakan koordinat yang ditemui, anda boleh mencari persamaan tangen menggunakan algoritma yang terkenal. Kami mencari nilai fungsi pada titik f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Nilai terbitan pada titik f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Menggantikan nilai yang ditemui ke dalam persamaan tangen, kita memperoleh untuk titik pertama a 1 =0 y=-2x-2, dan untuk titik kedua a 2 =-2 persamaan tangen y=-2x-22.

Contoh 3 menerangkan komposisi persamaan tangen untuk melukisnya pada titik (0;3) kepada graf fungsi y=√x. Penyelesaian dibuat menggunakan algoritma yang terkenal. Titik tangen mempunyai koordinat x=a, di mana a>0. Nilai fungsi pada titik f(a)=√x. Terbitan bagi fungsi f΄(х)=1/2√х, oleh itu pada titik tertentu f΄(а)=1/2√а. Menggantikan semua nilai yang diperoleh ke dalam persamaan tangen, kita memperoleh y = √a + (x-a)/2√a. Mengubah persamaan, kita dapat y=x/2√а+√а/2. Mengetahui bahawa tangen melalui titik (0;3), kita dapati nilai a. Kita dapati a daripada 3=√a/2. Oleh itu √a=6, a=36. Kita dapati persamaan tangen y=x/12+3. Rajah menunjukkan graf bagi fungsi yang sedang dipertimbangkan dan tangen yang dikehendaki dibina.

Pelajar diingatkan tentang kesamaan anggaran Δy=≈f΄(x)Δxdan f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Mengambil x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, kita dapat f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), maka f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

Dalam contoh 4, adalah perlu untuk mencari nilai anggaran ungkapan 2.003 6. Oleh kerana adalah perlu untuk mencari nilai fungsi f(x)=x 6 pada titik x=2.003, kita boleh menggunakan formula yang terkenal, mengambil f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Terbitan pada titik f΄(2)=192. Oleh itu, 2.003 6 ≈65-192·0.003. Setelah mengira ungkapan, kita mendapat 2.003 6 ≈64.576.

Pelajaran video "Persamaan tangen kepada graf fungsi" disyorkan untuk digunakan dalam pelajaran matematik tradisional di sekolah. Bagi guru yang mengajar dari jauh, bahan video akan membantu menerangkan topik dengan lebih jelas. Video tersebut boleh disyorkan kepada pelajar untuk menyemak secara bebas jika perlu untuk mendalami pemahaman mereka tentang subjek tersebut.

DEKOD TEKS:

Kita tahu bahawa jika titik M (a; f(a)) (em dengan koordinat a dan ef dari a) tergolong dalam graf fungsi y = f (x) dan jika pada titik ini adalah mungkin untuk melukis tangen. kepada graf fungsi yang tidak berserenjang dengan paksi absis, maka pekali sudut tangen adalah sama dengan f"(a) (eff perdana daripada a).

Biarkan fungsi y = f(x) dan titik M (a; f(a)) diberikan, dan ia juga diketahui bahawa f´(a) wujud. Mari kita buat persamaan untuk tangen kepada graf fungsi tertentu pada titik tertentu. Persamaan ini, seperti persamaan mana-mana garis lurus yang tidak selari dengan paksi ordinat, mempunyai bentuk y = kx+m (y adalah sama dengan ka x tambah em), jadi tugasnya adalah untuk mencari nilai-nilai pekali k dan m. (ka dan em)

Pekali sudut k= f"(a). Untuk mengira nilai m, kita menggunakan fakta bahawa garis lurus yang dikehendaki melalui titik M(a; f (a)). Ini bermakna jika kita menggantikan koordinat bagi titik M ke dalam persamaan garis lurus, kita memperoleh kesamaan yang betul : f(a) = ka+m, dari mana kita dapati bahawa m = f(a) - ka.

Ia kekal untuk menggantikan nilai yang ditemui bagi pekali ki dan m ke dalam persamaan garis lurus:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y adalah sama dengan ef daripada tambah ef perdana daripada a, didarab dengan x tolak a).

Kami telah memperoleh persamaan untuk tangen kepada graf fungsi y = f(x) pada titik x=a.

Jika, katakan, y = x 2 dan x = -2 (iaitu a = -2), maka f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, yang bermaksud f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (maka ef a adalah bersamaan dengan empat, ef bagi perdana bagi x bersamaan dengan dua x, yang bermaksud ef perdana daripada sama dengan tolak empat)

Menggantikan nilai yang ditemui a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 ke dalam persamaan, kita perolehi: y = 4+(-4)(x+2), iaitu y = -4x -4.

(E sama dengan tolak empat x tolak empat)

Mari kita buat persamaan untuk tangen kepada graf fungsi y = tanx (y adalah sama dengan tangen x) pada asalan. Kami mempunyai: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , yang bermaksud f"(0) = l. Menggantikan nilai yang ditemui a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 ke dalam persamaan, kita dapat: y=x.

Mari kita rumuskan langkah-langkah kita dalam mencari persamaan tangen kepada graf fungsi pada titik x menggunakan algoritma.

ALGORITMA UNTUK MEMBANGUNKAN PERSAMAAN UNTUK TANGENT KEPADA GRAF FUNGSI y = f(x):

1) Tentukan absis titik tangen dengan huruf a.

2) Kira f(a).

3) Cari f´(x) dan hitung f´(a).

4) Gantikan nombor yang ditemui a, f(a), f´(a) ke dalam formula y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Contoh 1. Buat persamaan untuk tangen kepada graf fungsi y = - in

titik x = 1.

Penyelesaian. Mari kita gunakan algoritma, dengan mengambil kira bahawa dalam contoh ini

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Gantikan tiga nombor yang ditemui: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 ke dalam formula. Kita dapat: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Jawapan: y = x-2.

Contoh 2. Diberi fungsi y = x 3 +3x 2 -2x-2. Tuliskan persamaan tangen kepada graf fungsi y = f(x), selari dengan garis lurus y = -2x +1.

Menggunakan algoritma untuk menyusun persamaan tangen, kita mengambil kira bahawa dalam contoh ini f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, tetapi absis titik tangen tidak ditunjukkan di sini.

Mari kita mula berfikir seperti ini. Tangen yang dikehendaki mestilah selari dengan garis lurus y = -2x+1. Dan garis selari mempunyai pekali sudut yang sama. Ini bermakna pekali sudut tangen adalah sama dengan pekali sudut garis lurus yang diberi: k tangen. = -2. Hok cas. = f"(a). Oleh itu, kita boleh mencari nilai a daripada persamaan f ´(a) = -2.

Mari kita cari terbitan bagi fungsi tersebut y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

Daripada persamaan f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 kita dapati a 1 =0, a 2 =-2. Ini bermakna terdapat dua tangen yang memenuhi syarat masalah: satu pada titik dengan absis 0, satu lagi pada titik dengan absis -2.

Sekarang anda boleh mengikuti algoritma.

1) a 1 =0, dan 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Menggantikan nilai a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 ke dalam formula, kita dapat:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Menggantikan nilai a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 ke dalam formula, kita dapat:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Jawapan: y=-2x-2, y=-2x+2.

Contoh 3. Daripada titik (0; 3) lukis tangen kepada graf fungsi y = . Penyelesaian. Mari kita gunakan algoritma untuk menyusun persamaan tangen, dengan mengambil kira bahawa dalam contoh ini f(x) = . Ambil perhatian bahawa di sini, seperti dalam contoh 2, absis titik tangen tidak dinyatakan secara eksplisit. Walau bagaimanapun, kami mengikuti algoritma.

1) Biarkan x = a ialah absis bagi titik tangen; jelas bahawa a >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Menggantikan nilai a, f(a) = , f"(a) = ke dalam formula

y=f (a) +f "(a) (x-a), kita mendapatkan:

Mengikut keadaan, tangen melalui titik (0; 3). Menggantikan nilai x = 0, y = 3 ke dalam persamaan, kita dapat: 3 = , dan kemudian =6, a =36.

Seperti yang anda lihat, dalam contoh ini, hanya pada langkah keempat algoritma kami berjaya mencari absis titik tangen. Menggantikan nilai a =36 ke dalam persamaan, kita dapat: y=+3

Dalam Rajah. Rajah 1 menunjukkan ilustrasi geometri contoh yang dipertimbangkan: graf fungsi y = dibina, garis lurus dilukis y = +3.

Jawapan: y = +3.

Kita tahu bahawa untuk fungsi y = f(x), yang mempunyai terbitan pada titik x, kesamaan anggaran adalah sah: Δyf´(x)Δx (delta y adalah lebih kurang sama dengan eff prima bagi x didarab dengan delta x)

atau, dengan lebih terperinci, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff daripada x tambah delta x tolak ef daripada x adalah lebih kurang sama dengan eff perdana dari x dengan delta x).

Untuk kemudahan perbincangan lanjut, mari kita tukar notasi:

bukannya x kita akan tulis A,

bukannya x+Δx kita akan tulis x

Daripada Δx kita akan menulis x-a.

Kemudian anggaran kesamaan yang ditulis di atas akan berbentuk:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff daripada x adalah lebih kurang sama dengan ef daripada tambah ef perdana daripada a, didarab dengan perbezaan antara x dan a).

Contoh 4. Cari nilai anggaran ungkapan berangka 2.003 6.

Penyelesaian. Kita bercakap tentang mencari nilai fungsi y = x 6 pada titik x = 2.003. Mari kita gunakan formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), dengan mengambil kira bahawa dalam contoh ini f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 dan, oleh itu, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Hasilnya kami mendapat:

2.003 6 64+192· 0.003, iaitu. 2.003 6 =64.576.

Jika kita menggunakan kalkulator, kita dapat:

2,003 6 = 64,5781643...

Seperti yang anda lihat, ketepatan anggaran agak boleh diterima.

Tangen ialah garis lurus yang melalui satu titik pada lengkung dan bertepatan dengannya pada titik ini sehingga tertib pertama (Rajah 1).

Definisi lain: ini ialah kedudukan mengehadkan sekan pada Δ x→0.

Penjelasan: Ambil satu garis lurus yang bersilang dengan lengkung pada dua titik: A Dan b(lihat gambar). Ini adalah secant. Kami akan memutarkannya mengikut arah jam sehingga ia menemui hanya satu titik sepunya dengan lengkung. Ini akan memberi kita tangen.

Takrifan ketat tangen:

Tangen kepada graf fungsi f, boleh dibezakan pada titik itu xO, ialah garis lurus yang melalui titik ( xO; f(xO)) dan mempunyai cerun f′( xO).

Cerun mempunyai garis lurus bentuk y =kx +b. Pekali k dan adalah cerun garis lurus ini.

Pekali sudut adalah sama dengan tangen sudut akut yang dibentuk oleh garis lurus ini dengan paksi absis:


k = tan α

Di sini sudut α ialah sudut antara garis lurus y =kx +b dan positif (iaitu, lawan jam) arah paksi-x. Ia dikenali sebagai sudut kecondongan garis lurus(Gamb. 1 dan 2).

Jika sudut tunduk lurus y =kx +b akut, maka cerun ialah nombor positif. Graf semakin meningkat (Rajah 1).

Jika sudut tunduk lurus y =kx +b adalah tumpul, maka cerun ialah nombor negatif. Graf semakin berkurangan (Rajah 2).

Jika garis lurus selari dengan paksi-x, maka sudut kecondongan garis lurus itu ialah sifar. Dalam kes ini, cerun garisan juga sifar (kerana tangen sifar ialah sifar). Persamaan garis lurus akan kelihatan seperti y = b (Rajah 3).

Jika sudut kecondongan garis lurus ialah 90º (π/2), iaitu, ia berserenjang dengan paksi absis, maka garis lurus diberikan oleh kesamaan x =c, Di mana c– beberapa nombor nyata (Rajah 4).

Persamaan tangen kepada graf fungsiy = f(x) pada titik xO:


Contoh: Cari persamaan tangen kepada graf fungsi itu f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 pada titik dengan absis 2.

Penyelesaian .

Kami mengikuti algoritma.

1) Titik sentuh xO adalah sama dengan 2. Kira f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Cari f′( x). Untuk melakukan ini, kami menggunakan formula pembezaan yang digariskan dalam bahagian sebelumnya. Mengikut formula ini, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Bermaksud:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Sekarang, menggunakan nilai yang terhasil f′( x), kira f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Jadi, kami mempunyai semua data yang diperlukan: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Gantikan nombor ini ke dalam persamaan tangen dan cari penyelesaian akhir:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Jawapan: y = 4x – 7.

Arahan

Kami menentukan pekali sudut tangen kepada lengkung pada titik M.
Lengkung yang mewakili graf fungsi y = f(x) adalah selanjar dalam kejiranan tertentu titik M (termasuk titik M itu sendiri).

Jika nilai f‘(x0) tidak wujud, maka sama ada tiada tangen, atau ia berjalan secara menegak. Memandangkan perkara ini, kehadiran terbitan fungsi pada titik x0 adalah disebabkan oleh kewujudan tangen bukan menegak kepada graf fungsi pada titik (x0, f(x0)). Dalam kes ini, pekali sudut tangen akan sama dengan f "(x0). Oleh itu, makna geometri terbitan menjadi jelas - pengiraan pekali sudut tangen.

Cari nilai absis bagi titik tangen, yang dilambangkan dengan huruf “a”. Jika ia bertepatan dengan titik tangen tertentu, maka "a" akan menjadi koordinat-xnya. Tentukan nilai fungsi f(a) dengan menggantikan ke dalam persamaan fungsi nilai absis.

Tentukan terbitan pertama bagi persamaan itu fungsi f’(x) dan gantikan nilai titik “a” ke dalamnya.

Ambil persamaan tangen am, yang ditakrifkan sebagai y = f(a) = f (a)(x – a), dan gantikan nilai yang ditemui bagi a, f(a), f "(a) ke dalamnya. Hasilnya, penyelesaian kepada graf akan ditemui dan tangen.

Selesaikan masalah dengan cara yang berbeza jika titik tangen yang diberikan tidak bertepatan dengan titik tangen. Dalam kes ini, adalah perlu untuk menggantikan "a" dan bukannya nombor dalam persamaan tangen. Selepas ini, bukannya huruf "x" dan "y", gantikan nilai koordinat titik yang diberikan. Selesaikan persamaan yang terhasil di mana "a" adalah tidak diketahui. Palamkan nilai yang terhasil ke dalam persamaan tangen.

Tulis persamaan untuk tangen dengan huruf “a” jika penyataan masalah menyatakan persamaan itu fungsi dan persamaan garis selari berbanding tangen yang dikehendaki. Selepas ini kita memerlukan derivatif fungsi

Biarkan fungsi f diberikan, yang pada satu titik x 0 mempunyai terbitan terhingga f (x 0). Kemudian garis lurus yang melalui titik (x 0 ; f (x 0)), mempunyai pekali sudut f ’(x 0), dipanggil tangen.

Apakah yang berlaku jika terbitan tidak wujud pada titik x 0? Terdapat dua pilihan:

  1. Tiada tangen pada graf sama ada. Contoh klasik ialah fungsi y = |x | pada titik (0; 0).
  2. Tangen menjadi menegak. Ini adalah benar, sebagai contoh, untuk fungsi y = arcsin x pada titik (1; π /2).

Persamaan tangen

Mana-mana garis lurus bukan menegak diberikan oleh persamaan bentuk y = kx + b, dengan k ialah cerun. Tangen tidak terkecuali, dan untuk mencipta persamaannya pada satu titik x 0, cukup untuk mengetahui nilai fungsi dan terbitan pada ketika ini.

Jadi, biarkan fungsi y = f (x) diberikan, yang mempunyai terbitan y = f ’(x) pada segmen itu. Kemudian pada mana-mana titik x 0 ∈ (a ; b) tangen boleh dilukis pada graf fungsi ini, yang diberikan oleh persamaan:

y = f ’(x 0) (x − x 0) + f (x 0)

Di sini f ’(x 0) ialah nilai terbitan pada titik x 0, dan f (x 0) ialah nilai bagi fungsi itu sendiri.

Tugasan. Diberi fungsi y = x 3 . Tulis satu persamaan untuk tangen kepada graf fungsi ini pada titik x 0 = 2.

Persamaan tangen: y = f ’(x 0) · (x − x 0) + f (x 0). Titik x 0 = 2 diberikan kepada kita, tetapi nilai f (x 0) dan f ’(x 0) perlu dikira.

Pertama, mari kita cari nilai fungsi tersebut. Semuanya mudah di sini: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Sekarang mari kita cari terbitan: f ’(x) = (x 3)’ = 3x 2;
Kami menggantikan x 0 = 2 ke dalam terbitan: f ’(x 0) = f ’(2) = 3 2 2 = 12;
Secara keseluruhan kita dapat: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Ini ialah persamaan tangen.

Tugasan. Tulis satu persamaan untuk tangen kepada graf fungsi f (x) = 2sin x + 5 pada titik x 0 = π /2.

Kali ini kami tidak akan menerangkan setiap tindakan secara terperinci - kami hanya akan menunjukkan langkah utama. Kami ada:

f (x 0) = f (π /2) = 2sin (π /2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x 0) = f ’(π /2) = 2cos (π /2) = 0;

Persamaan tangen:

y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7

Dalam kes kedua, garis lurus ternyata mendatar, kerana pekali sudutnya k = 0. Tidak ada yang salah dengan ini - kita baru sahaja terjumpa titik ekstrem.