Wat is een lineaire vergelijking met 2 variabelen. Lesoverzicht over het onderwerp "lineaire vergelijkingen in twee variabelen"

Het leren oplossen van vergelijkingen is een van de belangrijkste taken die algebra voor studenten met zich meebrengt. Beginnend met de eenvoudigste, wanneer deze uit één onbekende bestaat, en overgaand naar steeds complexere. Als je de acties die moeten worden uitgevoerd met vergelijkingen uit de eerste groep niet onder de knie hebt, zal het moeilijk zijn om de anderen te begrijpen.

Om het gesprek voort te zetten, moet u het eens worden over de notatie.

Algemene vorm van een lineaire vergelijking met één onbekende en het principe van de oplossing ervan

Elke vergelijking die als volgt kan worden geschreven:

een * x = b,

genaamd lineair. Dit is de algemene formule. Maar vaak worden lineaire vergelijkingen in opdrachten in impliciete vorm geschreven. Dan is het noodzakelijk om identieke transformaties uit te voeren om een algemeen aanvaarde notatie te verkrijgen. Deze acties omvatten:

haakjes openen;
alle termen met een variabele waarde naar de linkerkant van de gelijkheid verplaatsen, en de rest naar rechts;
soortgelijke termen te brengen.

In het geval dat een onbekende hoeveelheid in de noemer van een breuk staat, moet u de waarden ervan bepalen waarbij de uitdrukking geen betekenis heeft. Met andere woorden, u moet het domein van de definitie van de vergelijking kennen.

Het principe waarmee alle lineaire vergelijkingen worden opgelost, komt neer op het delen van de waarde aan de rechterkant van de vergelijking door de coëfficiënt vóór de variabele. Dat wil zeggen: “x” is gelijk aan b/a.

Speciale gevallen van lineaire vergelijkingen en hun oplossingen

Tijdens het redeneren kunnen zich momenten voordoen waarop lineaire vergelijkingen een van de speciale vormen aannemen. Elk van hen heeft een specifieke oplossing.

In de eerste situatie:

een * x = 0, en een ≠ 0.

De oplossing van een dergelijke vergelijking zal altijd x = 0 zijn.

In het tweede geval neemt “a” de waarde gelijk aan nul:

0 * x = 0.

Het antwoord op een dergelijke vergelijking is een willekeurig getal. Dat wil zeggen, het heeft een oneindig aantal wortels.

De derde situatie ziet er als volgt uit:

0 * x = inch, waarbij ≠ 0.

Deze vergelijking slaat nergens op. Omdat er geen wortels zijn die het bevredigen.

Algemeen beeld van een lineaire vergelijking met twee variabelen

Uit de naam wordt duidelijk dat er al twee onbekende hoeveelheden in zitten. Lineaire vergelijkingen in twee variabelen er uitzien als dit:

a * x + b * y = c.

Omdat er twee onbekenden in het record voorkomen, ziet het antwoord eruit als een paar cijfers. Dat wil zeggen dat het niet voldoende is om slechts één waarde op te geven. Dit zal een onvolledig antwoord zijn. Een paar grootheden waarvoor de vergelijking een identiteit wordt, is een oplossing voor de vergelijking. Bovendien wordt in het antwoord altijd de variabele die als eerste in het alfabet staat als eerste opgeschreven. Soms zeggen ze dat deze cijfers hem tevreden stellen. Bovendien kunnen er een oneindig aantal van dergelijke paren zijn.

Hoe los je een lineaire vergelijking met twee onbekenden op?

Om dit te doen, hoeft u alleen maar een paar cijfers te selecteren dat correct blijkt te zijn. Voor de eenvoud kun je een van de onbekenden nemen die gelijk is aan een priemgetal, en dan het tweede vinden.

Bij het oplossen moet je vaak stappen uitvoeren om de vergelijking te vereenvoudigen. Ze worden identiteitstransformaties genoemd. Bovendien gelden de volgende eigenschappen altijd voor vergelijkingen:

elke term kan naar het tegenovergestelde deel van de gelijkheid worden verplaatst door het teken ervan te vervangen door het tegenovergestelde;
De linker- en rechterkant van elke vergelijking mogen door hetzelfde getal worden gedeeld, zolang het niet gelijk is aan nul.

Voorbeelden van taken met lineaire vergelijkingen

Eerste taak. Los lineaire vergelijkingen op: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

In de vergelijking die bovenaan deze lijst staat, deel je eenvoudigweg 20 door 4. Het resultaat is 5. Dit is het antwoord: x = 5.

De derde vergelijking vereist dat een identiteitstransformatie wordt uitgevoerd. Het zal bestaan uit het openen van de haakjes en het invoeren van soortgelijke termen. Na de eerste stap heeft de vergelijking de vorm: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Vervolgens moet je alle onbekenden naar de linkerkant van de vergelijking verplaatsen, en de rest naar rechts. De vergelijking ziet er als volgt uit: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Na het toevoegen van vergelijkbare termen: 14x = 16. Nu ziet het er hetzelfde uit als de eerste, en de oplossing is gemakkelijk te vinden. Het antwoord is x=8/7. Maar in de wiskunde moet je het hele deel isoleren van een onechte breuk. Vervolgens wordt het resultaat getransformeerd en is “x” gelijk aan één geheel en één zevende.

In de overige voorbeelden staan de variabelen in de noemer. Dit betekent dat je eerst moet uitzoeken op welke waarden de vergelijkingen zijn gedefinieerd. Om dit te doen, moet u getallen uitsluiten waarvan de noemers naar nul gaan. In het eerste voorbeeld is dit “-4”, in het tweede voorbeeld is dit “-3”. Dat wil zeggen dat deze waarden moeten worden uitgesloten van het antwoord. Hierna moet je beide zijden van de gelijkheid vermenigvuldigen met de uitdrukkingen in de noemer.

Als we de haakjes openen en soortgelijke termen invoeren, krijgen we in de eerste van deze vergelijkingen: 5x + 15 = 4x + 16, en in de tweede 5x + 15 = 4x + 12. Na transformaties zal de oplossing voor de eerste vergelijking x = zijn -1. De tweede blijkt gelijk te zijn aan “-3”, wat betekent dat de laatste geen oplossingen heeft.

Tweede taak. Los de vergelijking op: -7x + 2y = 5.

Stel dat de eerste onbekende x = 1, dan zal de vergelijking de vorm aannemen -7 * 1 + 2y = 5. Verplaats de factor "-7" naar de rechterkant van de gelijkheid en verander het teken in plus, het blijkt dat 2y = 12. Dit betekent y =6. Antwoord: een van de oplossingen voor de vergelijking x = 1, y = 6.

Algemene vorm van ongelijkheid met één variabele

Alle mogelijke situaties voor ongelijkheid worden hier weergegeven:

a * x > b;
een * x< в;
a * x ≥b;
a * x ≤в.

Over het algemeen lijkt het op een eenvoudige lineaire vergelijking, alleen het gelijkteken wordt vervangen door een ongelijkheid.

Regels voor identiteitstransformaties van ongelijkheden

Net als lineaire vergelijkingen kunnen ongelijkheden volgens bepaalde wetten worden gewijzigd. Ze komen op het volgende neer:

elke alfabetische of numerieke uitdrukking kan aan de linker- en rechterkant van de ongelijkheid worden toegevoegd, en het teken van de ongelijkheid blijft hetzelfde;
je kunt ook vermenigvuldigen of delen door hetzelfde positieve getal, dit verandert opnieuw het teken niet;
Bij vermenigvuldigen of delen met hetzelfde negatieve getal blijft de gelijkheid waar, op voorwaarde dat het ongelijkheidsteken wordt omgekeerd.

Algemeen beeld van dubbele ongelijkheid

De volgende ongelijkheden kunnen in problemen voorkomen:

V< а * х < с;
c ≤ een * x< с;
V< а * х ≤ с;
c ≤ een * x ≤ c.

Het wordt dubbel genoemd omdat het aan beide kanten wordt beperkt door ongelijkheidstekens. Het wordt opgelost met behulp van dezelfde regels als gewone ongelijkheden. En het vinden van het antwoord komt neer op een reeks identieke transformaties. Tot het eenvoudigste is verkregen.

Kenmerken van het oplossen van dubbele ongelijkheden

De eerste daarvan is het beeld op de coördinatenas. Voor eenvoudige ongelijkheden is deze methode niet nodig. Maar in moeilijke gevallen kan het gewoon nodig zijn.

Om een ongelijkheid weer te geven, moet je op de as alle punten markeren die tijdens de redenering zijn verkregen. Dit zijn ongeldige waarden, die worden aangegeven door onderbroken stippen, en waarden van ongelijkheden verkregen na transformaties. Ook hier is het belangrijk om de stippen correct te tekenen. Als de ongelijkheid groot is, tenminste< или >, dan worden deze waarden uitgestanst. Bij niet-strikte ongelijkheden moeten de punten gearceerd zijn.

Dan is het nodig om de betekenis van de ongelijkheden aan te geven. Dit kan worden gedaan met behulp van schaduwen of bogen. Hun kruispunt zal het antwoord aangeven.

Het tweede kenmerk houdt verband met de opname ervan. Er worden hier twee opties aangeboden. De eerste is de ultieme ongelijkheid. De tweede heeft de vorm van intervallen. Het gebeurt met hem dat er moeilijkheden ontstaan. Het antwoord in spaties ziet er altijd uit als een variabele met een lidmaatschapsteken en haakjes met cijfers. Soms zijn er meerdere spaties, dan moet je het symbool “en” tussen de haakjes schrijven. Deze tekens zien er als volgt uit: ∈ en ∩. Afstandsbeugels spelen ook een rol. De ronde wordt geplaatst wanneer het punt is uitgesloten van het antwoord, en de rechthoekige bevat deze waarde. Het oneindigheidsteken staat altijd tussen haakjes.

Voorbeelden van het oplossen van ongelijkheden

1. Los de ongelijkheid 7 - 5x ≥ 37 op.

Na eenvoudige transformaties krijgen we: -5x ≥ 30. Als we delen door “-5” krijgen we de volgende uitdrukking: x ≤ -6. Dit is al het antwoord, maar het kan ook op een andere manier geschreven worden: x ∈ (-∞; -6].

2. Los dubbele ongelijkheid op -4< 2x + 6 ≤ 8.

Eerst moet je overal 6 aftrekken, je krijgt: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Lesdoelen:

Leerzaam:
- herhaal het onderwerp: “Vergelijkingen. Lineaire vergelijkingen. Equivalente vergelijkingen en hun eigenschappen”;
- Zorg ervoor dat leerlingen het concept van lineaire vergelijkingen met twee variabelen en hun oplossing begrijpen.
Ontwikkelingsgericht:
- om intellectuele vaardigheden te vormen:
- het vermogen om te vergelijken, analogen te bouwen, het belangrijkste te benadrukken;
- het vermogen om het behandelde materiaal te generaliseren en te systematiseren;
- logisch denken, geheugen, verbeeldingskracht en wiskundige spraak ontwikkelen;
- actieve cognitieve activiteit ontwikkelen.
Leerzaam:
- het cultiveren van onafhankelijkheid, activiteit en interesse bij leerlingen in alle fasen van de les;
- om karaktereigenschappen te vormen als doorzettingsvermogen, doorzettingsvermogen en vastberadenheid.

Taken die de leraar in de les moet oplossen:

leer de hoofdgedachte in de tekst te benadrukken;
leer vragen stellen aan de docent, aan jezelf of aan de leerlingen;
leren de opgedane kennis te gebruiken om niet-standaardproblemen op te lossen;
leer het vermogen om uw gedachten wiskundig correct uit te drukken.

Problemen die de leerlingen in deze les moeten oplossen:

ken de definitie van een lineaire vergelijking met twee variabelen;
eenvoudige lineaire vergelijkingen kunnen schrijven;
de waarden van variabelen a, b en c correct kunnen vinden;
lineaire vergelijkingen met twee variabelen uit vergelijkingen kunnen identificeren;
Beantwoord de vraag: wat is de oplossing van een lineaire vergelijking in twee variabelen?
Hoe weet je of een paar getallen een oplossing is voor een vergelijking?
in staat zijn de ene variabele uit te drukken in termen van de andere.

Lestype: les in het leren van nieuw materiaal.

TIJDENS DE LESSEN

I. Organisatorisch moment

II. Herhaling van bedekt materiaal

1) Op het bord: 2x, 2x + 5, 2x + 5 = 17.

2) Vragen voor de klas:

– Definieer deze uitdrukkingen. (Verwachte antwoorden: product, monomiaal, som, polynoom, vergelijking.)
-Hoe heet een vergelijking?
– Heb je een vergelijking nodig...? (Beslissen)
– Wat betekent het om ‘een vergelijking op te lossen’?
– Wat is de wortel van de vergelijking?
– Welke vergelijkingen zijn gelijkwaardig?
– Welke eigenschappen van gelijkwaardigheid van vergelijkingen ken je?

III. Het actualiseren van de kennis van studenten

3) Opdracht voor de hele klas:

– Expressies converteren :(er werken twee mensen bij het bestuur).

a) 2(x + 8) + 4(2x – 4) = b) 4(x – 2) + 2(3y + 4) =

Na de transformatie kregen we: a) 10x; b) 4x + 6j:

– Gebruik ze om vergelijkingen te maken (leerlingen stellen voor - leraar schrijft vergelijkingen op het bord): 10x = 30; 4x + 6j = 28.

Vragen:

– Wat is de naam van de eerste vergelijking?
– Waarom lineair?
– Vergelijk de tweede vergelijking met de eerste. Probeer de definitie van de tweede vergelijking te formuleren (Verwacht antwoord: een vergelijking met twee variabelen; de aandacht van de leerlingen is gericht op het type vergelijking – lineair).

IV. Nieuw materiaal leren

1) Het onderwerp van de les wordt aangekondigd. Het onderwerp vastleggen in notitieboekjes. Onafhankelijke formulering door leerlingen van de definitie van een vergelijking met twee variabelen, een lineaire vergelijking met twee variabelen (naar analogie met de definitie van een lineaire vergelijking met één variabele), voorbeelden van vergelijkingen met twee variabelen. De discussie vindt plaats in de vorm van een frontaal gesprek, dialoog – redenering.

2) Lesopdracht:

a) Schrijf twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen (de leraar en leerlingen luisteren naar de antwoorden van verschillende leerlingen; naar keuze van de leraar schrijft een van hen zijn vergelijkingen op het bord).

b) Samen met de leerlingen worden taken en vragen bepaald waar ze in deze les antwoord op moeten krijgen. Iedere leerling krijgt kaartjes met deze vragen.

c) Samenwerken met leerlingen om deze problemen en taken op te lossen:

– Bepaal welke van deze vergelijkingen lineaire vergelijkingen zijn met twee variabelen a) 6x 2 = 36; b) 2x – 5j = 9: c) 7x + 3j 3; d) 1/2x + 1/3j = 6, enz. Er kan zich een probleem voordoen met de vergelijking x: 5 – y: 4 = 3 (het deelteken moet als breuk worden geschreven). Welke eigenschappen van gelijkwaardigheid van vergelijkingen moeten worden toegepast? (Antwoorden van studenten) Bepaal de coëfficiëntwaarden A, V En Met.

– Lineaire vergelijkingen met twee variabelen moeten, zoals alle vergelijkingen, worden opgelost. Wat is de oplossing van lineaire vergelijkingen in twee variabelen? (Kinderen geven een definitie).

Voorbeeld: Vind oplossingen voor de vergelijking: a) x – y = 12, schrijf de antwoorden in de vorm (x; y) of x = ...; j = .... Hoeveel oplossingen heeft de vergelijking?

Voorbeelden: Vind oplossingen voor de volgende vergelijkingen a) 2x + y = 7; b) 5x – y = 4. Hoe heb je de oplossingen voor deze vergelijkingen gevonden? (Opgehaald).

– Hoe weet je of een paar getallen een oplossing is voor een lineaire vergelijking in twee variabelen?

3) Werken met het leerboek.

– Zoek in het leerboek die plaatsen waar het hoofdidee van het onderwerp van deze les wordt benadrukt

a) Mondelinge taakuitvoering: nr. 1092, nr. 1094.

b) Oplossingsvoorbeelden nr. 1096 (voor zwakke leerlingen), nr. 1097 (voor sterke leerlingen).

c) Herhaal de eigenschappen van de gelijkwaardigheid van vergelijkingen.

Oefening: Gebruik de eigenschappen van gelijkwaardigheid van vergelijkingen en druk de variabele Y uit via de variabele X in de vergelijking 5x + 2y = 12 (“een minuutje” om zelfstandig op te lossen, daarna een algemeen overzicht van de oplossing op het bord, gevolgd door een uitleg).

d) Uitvoering van voorbeeld nr. 1099 (een van de studenten voltooit de taak op het bord).

Historische referentie

1. Jongens, de vergelijkingen die we vandaag in de klas tegenkwamen, heten Diophantische lineaire vergelijkingen met twee variabelen, genoemd naar de oude Griekse wetenschapper en wiskundige Diophantus, die ongeveer 3,5 duizend jaar geleden leefde. Wiskundigen uit de oudheid stelden eerst problemen samen en werkten vervolgens aan de oplossing ervan. Zo zijn er veel problemen verzameld, waarmee we vertrouwd raken en leren oplossen.

2. En ook deze vergelijkingen worden onbepaalde vergelijkingen genoemd. Veel wiskundigen werkten aan het oplossen van dergelijke vergelijkingen. Eén van hen is Pierre Fermat, een Franse wiskundige. Hij bestudeerde de theorie van het oplossen van onbepaalde vergelijkingen.

V. Samenvatting van de les

1) Een samenvatting van het materiaal dat in de les wordt behandeld. Antwoorden op alle vragen die aan het begin van de les aan de leerlingen worden gesteld:

– Welke vergelijkingen worden lineair genoemd met twee variabelen?
– Hoe wordt het oplossen van een lineaire vergelijking in twee variabelen genoemd?
– Hoe wordt dit besluit vastgelegd?
– Welke vergelijkingen worden equivalent genoemd?
– Wat zijn de eigenschappen van gelijkwaardigheid van vergelijkingen?
– Welke problemen hebben we in de klas opgelost, welke vragen hebben we beantwoord?

2) Zelfstandig werk doen.

Voor de zwakken:

– Vind de waarden van de variabelen a, b en c in de vergelijking –1,1x + 3,6y = – 34?
– Vind minstens één oplossing voor de vergelijking x – y = 35?
– Is het paar getallen (3; 2) een oplossing voor een gegeven lineaire vergelijking met twee variabelen 2x – y = 4?

Voor de sterken:

– Schrijf een lineaire vergelijking met twee variabelen voor het probleem van Diophantus: Er lopen fazanten en konijnen in de tuin van het huis. Het aantal van alle poten bleek 26 te zijn.
– Druk de variabele y uit in termen van x in de vergelijking 3x – 5y = 8.

VI. Huiswerk bericht

Bekijk alle taken in het leerboek, een snelle analyse van elke taak, selecteer een taak.

Voor zwakke leerlingen: nr. 1093, nr. 1095b).
Voor de sterken: 1) nr. 1101, nr. 1104 (a). 2) los het probleem van Diophantus op, vind alle natuurlijke oplossingen voor deze vergelijking.

Bovendien, op verzoek van studenten - nr. 1105.

In plaats van te concluderen: ik ben al ruim 40 jaar wiskundeleraar. En ik wil hierbij opmerken dat een open les niet altijd de beste les is. Het komt vaak voor dat gewone lessen de leraar soms meer vreugde en voldoening schenken. En dan denk je met spijt dat niemand deze les heeft gezien: de creatie van de leraar en de studenten.

Een les is één enkel organisme, één geheel; het is in de les dat persoonlijke en morele onderwijservaring wordt opgedaan voor zowel studenten als docenten. 45 minuten les is zo veel en zo weinig. Veel - omdat je gedurende deze tijd met je studenten in de diepten van de eeuwen kunt 'kijken' en van daaruit 'terug kunt keren', veel nieuwe, interessante dingen kunt leren en nog steeds tijd hebt om nieuw materiaal te bestuderen.

Iedere student moet tot het inzicht worden gebracht dat wiskunde de basis is van de menselijke intellectuele ontwikkeling. En de basis hiervoor is de ontwikkeling van logisch denken. Daarom stelde ik voor elke les een doel voor mezelf en mijn studenten: studenten leren succesvol met definities te werken, vakkundig het onbekende van het bekende te onderscheiden, bewezen van onbewezen te maken, te analyseren, te vergelijken, te classificeren, vragen te stellen en vakkundig te leren oplossen hen. Gebruik analogieën, maar als je er niet alleen uit kunt komen, dan staat er niet alleen een leraar naast je, maar ook je hoofdassistent - een boek.

Natuurlijk is een open les een resultaat van het creatieve werk van de leraar. En leraren die bij deze les aanwezig zijn, moeten aandacht besteden aan het belangrijkste: het werksysteem, nieuwigheid, idee. Ik denk dat het hier niet bijzonder belangrijk is welke lesmethode de leraar in de les gebruikt: oude, moderne of nieuwe innovatieve technologieën, het belangrijkste is dat het gebruik ervan geschikt en effectief is voor de leraar en de leerlingen.

Ik ben erg blij dat ik in mijn leven school, kinderen, lessen en zulke vriendelijke collega's heb. Bedankt iedereen!

Een lineaire vergelijking met twee variabelen heeft de algemene vorm ax + by + c = 0. Daarin zijn a, b en c coëfficiënten - enkele getallen; en x en y zijn variabelen - onbekende getallen die gevonden moeten worden.

De oplossing voor een lineaire vergelijking met twee variabelen is een paar getallen x en y, waarvoor ax + by + c = 0 een echte gelijkheid is.

Een gegeven lineaire vergelijking in twee variabelen (bijvoorbeeld 3x + 2y – 1 = 0) heeft een reeks oplossingen, dat wil zeggen een reeks getallenparen waarvoor de vergelijking waar is. Een lineaire vergelijking met twee variabelen wordt omgezet in een lineaire functie van de vorm y = kx + m, wat een rechte lijn is op het coördinatenvlak. De coördinaten van alle punten die op deze lijn liggen, zijn oplossingen voor een lineaire vergelijking in twee variabelen.

Als er twee lineaire vergelijkingen van de vorm ax + by + c = 0 worden gegeven en het nodig is om waarden van x en y te vinden waarvoor beide oplossingen zullen hebben, dan zeggen we dat we dat moeten doen stelsel vergelijkingen oplossen. Een systeem van vergelijkingen wordt geschreven onder een gewone accolade. Voorbeeld:

Een stelsel vergelijkingen kan geen oplossing hebben als de lijnen die de grafieken zijn van de overeenkomstige lineaire functies elkaar niet snijden (dat wil zeggen evenwijdig aan elkaar). Om te concluderen dat er geen oplossing is, volstaat het om beide lineaire vergelijkingen met twee variabelen te transformeren naar de vorm y = kx + m. Als k in beide vergelijkingen hetzelfde getal is, heeft het systeem geen oplossingen.

Als een stelsel vergelijkingen uit twee identieke vergelijkingen blijkt te bestaan (wat misschien niet meteen voor de hand ligt, maar na transformaties), dan heeft het een oneindig aantal oplossingen. In dit geval spreken we van onzekerheid.

In alle andere gevallen heeft het systeem één oplossing. Deze conclusie kan worden getrokken uit het feit dat twee niet-parallelle lijnen elkaar slechts op één punt kunnen snijden. Het is dit snijpunt dat zowel op de eerste als op de tweede lijn zal liggen, dat wil zeggen dat het een oplossing zal zijn voor zowel de eerste als de tweede vergelijking. Daarom is het een oplossing voor een stelsel vergelijkingen. Het is echter noodzakelijk om situaties te bepalen waarin bepaalde beperkingen worden opgelegd aan de waarden van x en y (meestal volgens de omstandigheden van het probleem). Bijvoorbeeld x > 0, y > 0. In dit geval, zelfs als het stelsel vergelijkingen een oplossing heeft, maar niet aan de voorwaarde voldoet, wordt de conclusie getrokken dat het stelsel vergelijkingen onder de gegeven omstandigheden geen oplossingen heeft. .

Er zijn drie manieren om een stelsel vergelijkingen op te lossen:

Via selectiemethode. Meestal is dit erg moeilijk om te doen.
Grafische methode. Wanneer twee rechte lijnen (grafieken van functies van de overeenkomstige vergelijkingen) op het coördinatenvlak worden getekend en hun snijpunt wordt gevonden. Deze methode levert mogelijk geen nauwkeurige resultaten op als de coördinaten van het snijpunt breukgetallen zijn.
Algebraïsche methoden. Ze zijn veelzijdig en betrouwbaar.

Instructies

Gegeven een stelsel van twee lineaire vergelijkingen, los het dan als volgt op. Kies een van de vergelijkingen waarin de coëfficiënten vóór de variabelen kleiner zijn en druk een van de variabelen uit, bijvoorbeeld x. Vervang vervolgens deze waarde die y bevat in de tweede vergelijking. In de resulterende vergelijking zal er slechts één variabele y zijn, verplaats alle delen met y naar links en vrije delen naar rechts. Zoek y en vervang deze in een van de oorspronkelijke vergelijkingen om x te vinden.

Er is een andere manier om een stelsel van twee vergelijkingen op te lossen. Vermenigvuldig een van de vergelijkingen met een getal, zodat de coëfficiënt van een van de variabelen, zoals x, in beide vergelijkingen hetzelfde is. Trek vervolgens een van de vergelijkingen van de andere af (als de rechterkant niet gelijk is aan 0, vergeet dan niet om de rechterkant op dezelfde manier af te trekken). Je zult zien dat de x-variabele is verdwenen en dat er nog maar één y-variabele overblijft. Los de resulterende vergelijking op en vervang de gevonden waarde van y door een van de oorspronkelijke gelijkheden. Vind x.

De derde manier om een stelsel van twee lineaire vergelijkingen op te lossen is grafisch. Teken een coördinatensysteem en teken twee rechte lijnen waarvan de vergelijkingen in uw systeem staan. Om dit te doen, vervangt u twee x-waarden in de vergelijking en vindt u de overeenkomstige y - dit zijn de coördinaten van de punten die tot de lijn behoren. De handigste manier om het snijpunt met de coördinaatassen te vinden, is door eenvoudigweg de waarden x=0 en y=0 te vervangen. De coördinaten van het snijpunt van deze twee lijnen zijn de taken.

Als er slechts één lineaire vergelijking in de probleemcondities voorkomt, dan heb je aanvullende voorwaarden gekregen waarmee je een oplossing kunt vinden. Lees het probleem zorgvuldig door om deze voorwaarden te vinden. Als de variabelen x en y afstand, snelheid en gewicht aangeven, kunt u gerust de limieten x≥0 en y≥0 instellen. Het is heel goed mogelijk dat x of y het aantal appels, bomen, enz. verbergt. – dan kunnen de waarden alleen gehele getallen zijn. Als x de leeftijd van de zoon is, is het duidelijk dat hij niet ouder kan zijn dan zijn vader. Geef dit dus aan in de voorwaarden van het probleem.

Construeer een lijngrafiek die overeenkomt met de lineaire vergelijking. Kijk naar de grafiek, er zijn misschien maar een paar oplossingen die aan alle voorwaarden voldoen, bijvoorbeeld gehele getallen en positieve getallen. Zij zullen de oplossingen zijn voor uw vergelijking.

Bronnen:

Hoe een vergelijking met één variabele op te lossen

Een van de belangrijkste problemen van de wiskunde is het oplossen van een stelsel vergelijkingen met meerdere onbekenden. Dit is een heel praktisch probleem: er zijn verschillende onbekende parameters, er worden verschillende voorwaarden aan opgelegd en het is noodzakelijk om de meest optimale combinatie ervan te vinden. Dergelijke taken zijn gebruikelijk in de economie, de constructie, het ontwerp van complexe mechanische systemen en in het algemeen overal waar optimalisatie van de kosten van materiaal en personeel nodig is. In dit verband rijst de vraag: hoe kunnen dergelijke systemen worden opgelost?

Instructies

Wiskunde biedt ons twee manieren om dergelijke systemen op te lossen: grafisch en analytisch. Deze methoden zijn gelijkwaardig en er kan niet worden gezegd dat een ervan beter of slechter is. In elke situatie moet u bij het optimaliseren van een oplossing kiezen welke methode een eenvoudiger oplossing oplevert. Maar er zijn ook enkele typische situaties. Een systeem van vlakvergelijkingen, dat wil zeggen wanneer twee grafieken de vorm y=ax+b hebben, is dus gemakkelijker grafisch op te lossen. Alles gebeurt heel eenvoudig: er worden twee rechte lijnen geconstrueerd: grafieken van lineaire functies, waarna hun snijpunt wordt gevonden. De coördinaten van dit punt (abscis en ordinaat) zullen de oplossing voor deze vergelijking zijn. Merk ook op dat twee lijnen evenwijdig kunnen zijn. Dan heeft het stelsel vergelijkingen geen oplossing en worden de functies lineair afhankelijk genoemd.

De tegenovergestelde situatie kan ook voorkomen. Als we een derde onbekende moeten vinden, gegeven twee lineair onafhankelijke vergelijkingen, dan zal het systeem onderbepaald zijn en een oneindig aantal oplossingen hebben. In de theorie van de lineaire algebra is bewezen dat een systeem een unieke oplossing heeft als en slechts als het aantal vergelijkingen samenvalt met het aantal onbekenden.

LES SAMENVATTING

Klasse: 7

UMK: Algebra 7e leerjaar: leerboek. voor algemeen vormend onderwijs organisaties / [Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al.]; bewerkt door SA Teljakovski. – 2e druk. – M.: Onderwijs, 2014

Onderwerp: Lineaire vergelijkingen in twee variabelen

Doelen: Laat de leerlingen kennismaken met de concepten van een lineaire vergelijking met twee variabelen en de oplossing ervan, en leer hoe ze zich op basis van de vergelijking kunnen uitdrukkenX doorbij ofbij doorX .

Gevormde UUD:

Cognitief: hypothesen naar voren brengen en rechtvaardigen, manieren voorstellen om ze te testen

Regelgevend: de methode en het resultaat van iemands handelen vergelijken met een bepaalde standaard, afwijkingen en verschillen met de standaard opsporen; stel een plan en een volgorde van acties op.

Communicatief vaardig: werkrelaties opbouwen; effectief samenwerken en productieve samenwerking bevorderen.

Persoonlijk: Fhet ontwikkelen van vaardigheden voor het organiseren van analyses van iemands activiteiten

Apparatuur:computer, multimediaprojector, scherm

Tijdens de lessen:

I Tijd organiseren

Luister naar het sprookje over Grootvader Equally en raad waar we het vandaag over zullen hebben

Sprookje "Grootvader-Gelijk"

Een grootvader met de bijnaam Ravnyalo woonde in een hut aan de rand van een bos. Hij maakte graag grapjes met cijfers. De grootvader neemt de cijfers aan beide kanten van zichzelf, verbindt ze met tekens en zet de snelste tussen haakjes, maar zorg ervoor dat het ene deel gelijk is aan het andere. En dan zal hij een nummer verbergen onder het masker van "X" en zijn kleinzoon, de kleine Ravnyalka, vragen om het te vinden. Ook al is Ravnyalka klein, hij kent zijn vak: hij zal snel alle cijfers behalve "X" naar de andere kant verplaatsen en zal niet vergeten hun tekens naar het tegenovergestelde te veranderen. En de cijfers gehoorzamen hem, voeren snel alle acties uit op zijn bevel, en "X" is bekend. De grootvader kijkt hoe slim zijn kleindochter alles doet en is blij: een goede vervanger voor hem is opgroeien.

Waar gaat dit verhaal over?(over vergelijkingen)

II . Laten we alles onthouden wat we weten over lineaire vergelijkingen en proberen een parallel te trekken tussen het materiaal dat we kennen en het nieuwe materiaal.

Welk type vergelijking kennen we?(lineaire vergelijking met één variabele)

Laten we ons de definitie van een lineaire vergelijking met één variabele herinneren.

Wat is de wortel van een lineaire vergelijking in één variabele?

Laten we alle eigenschappen van een lineaire vergelijking met één variabele formuleren.

1 deel van de tabel is ingevuld

ax = b, waarbij x een variabele is, a, b getallen zijn.

Voorbeeld: 3x = 6

De waarde van x waarbij de vergelijking waar wordt

1) het overbrengen van termen van het ene deel van de vergelijking naar het andere, waarbij hun teken naar het tegenovergestelde verandert.

2) vermenigvuldig of deel beide zijden van de vergelijking met hetzelfde getal, niet gelijk aan nul.

Lineaire vergelijking met twee variabelen.

ax + vy = c, waarbij x, y variabelen zijn, en a, b.c getallen zijn.

Voorbeeld:

x – y = 5

x + y = 56

2x + 6j =68

De waarden van x, y die de vergelijking waar maken.

x=8; y=3 (8;3)

x=60; y = - 4 (60;-4)

Eigenschappen 1 en 2 zijn waar.

3) gelijkwaardige vergelijkingen:

x-y=5 en y=x-5

(8;3) (8;3)

Nadat we het eerste deel van de tabel hebben ingevuld, op basis van analogie, beginnen we de tweede rij van de tabel in te vullen, waardoor we nieuw materiaal leren.

III . Laten we teruggaan naar het onderwerp:lineaire vergelijking in twee variabelen . De titel van het onderwerp suggereert dat u een nieuwe variabele moet introduceren, bijvoorbeeld y.

Er zijn twee getallen x en y, de ene 5 groter dan de andere. Hoe schrijf je de relatie daartussen? (x – y = 5) dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Laten we, naar analogie van de definitie van een lineaire vergelijking met één variabele, de definitie formuleren van een lineaire vergelijking met twee variabelen (Een lineaire vergelijking in twee variabelen is een vergelijking van de vormbijl + door = C , Waareen, b EnC - enkele cijfers, enX Enj -variabelen).

De vergelijking X – j= 5 met x = 8, y = 3 verandert in de juiste gelijkheid 8 – 3 = 5. Ze zeggen dat het paar waarden van de variabelen x = 8, y = 3 een oplossing is voor deze vergelijking.

Formuleer de definitie van een oplossing voor een vergelijking met twee variabelen (Een oplossing voor een vergelijking met twee variabelen is een paar waarden van variabelen die deze vergelijking in een echte gelijkheid veranderen)

Paren van variabele waarden worden soms korter geschreven: (8;3). In een dergelijke notatie wordt in de eerste plaats de waarde x geschreven en in de tweede plaats de waarde y.

Vergelijkingen met twee variabelen die dezelfde oplossingen (of geen oplossingen) hebben, worden equivalent genoemd.

Vergelijkingen met twee variabelen hebben dezelfde eigenschappen als vergelijkingen met één variabele:

Als u een term in een vergelijking van het ene deel naar het andere verplaatst en het teken ervan verandert, krijgt u een vergelijking die gelijkwaardig is aan de gegeven vergelijking.

Als beide zijden van de vergelijking worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal (niet gelijk aan nul), krijg je een vergelijking die gelijkwaardig is aan de gegeven vergelijking.

Voorbeeld 1. Beschouw de vergelijking 10x + 5y = 15. Met behulp van de eigenschappen van de vergelijkingen drukken we de ene variabele uit in termen van de andere.

Om dit te doen, beweeg je eerst 10x van de linkerkant naar rechts, waarbij je het teken verandert. We krijgen de equivalente vergelijking 5y = 15 - 10x.

Door elk deel van deze vergelijking te delen door het getal 5, krijgen we de equivalente vergelijking

y = 3 - 2x. We hebben dus de ene variabele uitgedrukt in termen van de andere. Met behulp van deze gelijkheid kunnen we voor elke waarde van x de waarde van y berekenen.

Als x = 2, dan is y = 3 - 2 2 = -1.

Als x = -2, dan is y = 3 - 2· (-2) = 7. Paren van getallen (2; -1), (-2; 7) zijn oplossingen voor deze vergelijking. Deze vergelijking heeft dus oneindig veel oplossingen.

Uit de geschiedenis. Het probleem van het oplossen van vergelijkingen in natuurlijke getallen werd gedetailleerd besproken in de werken van de beroemde Griekse wiskundige Diophantus (III eeuw). Zijn verhandeling “Arithmetic” bevat ingenieuze oplossingen in natuurlijke getallen voor een grote verscheidenheid aan vergelijkingen. In dit opzicht worden vergelijkingen met verschillende variabelen die oplossingen in natuurlijke getallen of gehele getallen vereisen, Diophantische vergelijkingen genoemd.

Voorbeeld 2. Meel is verpakt in zakken van 3 kg en 2 kg. Hoeveel zakken van elk type moet je nemen om 20 kg meel te maken?

Laten we zeggen dat we x zakken van 3 kg en y zakken van 2 kg moeten meenemen. Dan is 3x + 2y = 20. Het is nodig om alle paren natuurlijke waarden van de variabelen x en y te vinden die aan deze vergelijking voldoen. We krijgen:

2j = 20 - 3x

j =

Door achtereenvolgens alle getallen 1,2,3, etc. in deze gelijkheid te vervangen in plaats van x, vinden we voor welke waarden van x, de waarden van y natuurlijke getallen zijn.

We krijgen: (2;7), (4;4), (6;1). Er zijn geen andere paren die aan deze vergelijking voldoen. Dit betekent dat u respectievelijk 2 en 7, of 4 en 4, of 6 en 1 pakketten moet nemen.

IV . Werk uit het leerboek (mondeling) nr. 1025, nr. 1027 (a)

Zelfstandig werken met toetsing in de klas.

1. Schrijf een lineaire vergelijking met twee variabelen.

a) 3x + 6y = 5 c) xy = 11 b) x – 2y = 5

2. Is een paar getallen een oplossing voor een vergelijking?

2x + y = -5 (-4;3), (-1;-3), (0;5).

3. Uitdrukken uit lineaire vergelijking

4x – 3y = 12 a) x tot en met y b) y tot en met x

4. Vind drie oplossingen voor de vergelijking.

x + y = 27

V . Dus, om samen te vatten:

Definieer een lineaire vergelijking met twee variabelen.

Wat de oplossing (wortel) wordt genoemd van een lineaire vergelijking met twee variabelen.

Geef de eigenschappen van een lineaire vergelijking met twee variabelen.

Beoordeling.

Huiswerk: paragraaf 40, nr. 1028, nr. 1032