Hoe de som van een geometrische progressie te berekenen. Rekenkundige en geometrische progressies

Als elk natuurlijk getal n overeenkomen met een echt nummer een , dan zeggen ze dat gegeven nummerreeks :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , een , . . . .

Een numerieke reeks is dus een functie van een natuurlijk argument.

Nummer a 1 genaamd het eerste lid van de reeks , nummer a 2 — het tweede lid van de reeks , nummer a 3 — derde enzovoort. Nummer een genaamd nde lid van de reeks en het natuurlijke getal n — zijn nummer .

Van twee naburige leden een en een +1 sequenties van leden een +1 genaamd volgend (naar een ), a een — vorig (naar een +1 ).

Om een ​​reeks op te geven, moet u een methode opgeven waarmee u een reekslid met een willekeurig nummer kunt vinden.

Vaak wordt de volgorde gegeven met formules voor de nde term , dat wil zeggen, een formule waarmee u een sequentielid kunt bepalen aan de hand van zijn nummer.

Bijvoorbeeld,

de reeks positieve oneven getallen kan worden gegeven door de formule

een= 2n- 1,

en de volgorde van afwisselende 1 en -1 - formule

b n = (-1)n +1 . ◄

De volgorde kan worden bepaald terugkerende formule, dat wil zeggen, een formule die elk lid van de reeks uitdrukt, te beginnen met enkele, via de vorige (een of meer) leden.

Bijvoorbeeld,

als a 1 = 1 , a een +1 = een + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Als een een 1= 1, een 2 = 1, een +2 = een + een +1 , dan worden de eerste zeven leden van de numerieke reeks als volgt ingesteld:

een 1 = 1,

een 2 = 1,

een 3 = een 1 + een 2 = 1 + 1 = 2,

een 4 = een 2 + een 3 = 1 + 2 = 3,

een 5 = een 3 + een 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sequenties kunnen zijn: laatste en eindeloos .

De reeks heet ultieme als het een eindig aantal leden heeft. De reeks heet eindeloos als het oneindig veel leden heeft.

Bijvoorbeeld,

reeks van natuurlijke getallen van twee cijfers:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

laatste.

Priemgetallenreeks:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

eindeloos. ◄

De reeks heet toenemend , als elk van zijn leden, beginnend bij de tweede, groter is dan de vorige.

De reeks heet afnemend , als elk van zijn leden, beginnend bij de tweede, kleiner is dan de vorige.

Bijvoorbeeld,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . is een oplopende reeks;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . is een aflopende reeks. ◄

Een rij waarvan de elementen niet afnemen met toenemend aantal, of, omgekeerd, niet toenemen, wordt genoemd eentonige reeks .

Monotone reeksen in het bijzonder zijn stijgende reeksen en afnemende reeksen.

Rekenkundige progressie

Rekenkundige progressie er wordt een reeks genoemd, waarvan elk lid, beginnend bij de tweede, gelijk is aan de vorige, waaraan hetzelfde nummer wordt toegevoegd.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , een, . . .

is een rekenkundige progressie als voor een natuurlijk getal n voorwaarde is voldaan:

een +1 = een + d,

waar d - een aantal.

Het verschil tussen de volgende en de vorige leden van een gegeven rekenkundige reeks is dus altijd constant:

een 2 - a 1 = een 3 - a 2 = . . . = een +1 - een = d.

Nummer d genaamd het verschil van een rekenkundige progressie.

Om een ​​rekenkundige progressie in te stellen, volstaat het om de eerste term en het verschil te specificeren.

Bijvoorbeeld,

als a 1 = 3, d = 4 , dan worden de eerste vijf termen van de reeks als volgt gevonden:

een 1 =3,

een 2 = een 1 + d = 3 + 4 = 7,

een 3 = een 2 + d= 7 + 4 = 11,

een 4 = een 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Voor een rekenkundige progressie met de eerste term a 1 en verschil d haar n

een = een 1 + (n- 1)d.

Bijvoorbeeld,

vind de dertigste term van een rekenkundige reeks

1, 4, 7, 10, . . .

een 1 =1, d = 3,

een 30 = een 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

een n-1 = een 1 + (n- 2)d,

een= een 1 + (n- 1)d,

een +1 = a 1 + nd,

dan natuurlijk

elk lid van de rekenkundige reeks, beginnend bij de tweede, is gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de vorige en volgende leden.

getallen a, b en c zijn opeenvolgende leden van een rekenkundige reeks als en slechts als een van hen gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van de andere twee.

Bijvoorbeeld,

een = 2n- 7 , is een rekenkundige progressie.

Laten we de bovenstaande verklaring gebruiken. Wij hebben:

een = 2n- 7,

een n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

een n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Vervolgens,

◄

Let daar op n -de lid van een rekenkundige reeks kan niet alleen worden gevonden via a 1 , maar ook eventuele eerdere een k

een = een k + (n- k)d.

Bijvoorbeeld,

voor a 5 kan worden geschreven

een 5 = een 1 + 4d,

een 5 = een 2 + 3d,

een 5 = een 3 + 2d,

een 5 = een 4 + d. ◄

een = een n-k + kd,

een = een n+k - kd,

dan natuurlijk

elk lid van een rekenkundige reeks, beginnend bij de tweede, is gelijk aan de helft van de som van de leden van deze rekenkundige reeks op gelijke afstanden ervan.

Bovendien is voor elke rekenkundige progressie de gelijkheid waar:

een m + een n = een k + een l,

m + n = k + l.

Bijvoorbeeld,

in rekenkundige progressie

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = een 10 = een 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) een 10= 28 = (19 + 37)/2 = (een 7 + een 13)/2;

4) een 2 + een 12 = een 5 + een 9, omdat

een 2 + een 12= 4 + 34 = 38,

een 5 + een 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= een 1 + een 2 + een 3 + . . .+ een,

eerst n leden van een rekenkundige reeks is gelijk aan het product van de helft van de som van de extreme termen door het aantal termen:

Hieruit volgt in het bijzonder dat als het nodig is om de termen op te tellen

een k, een k +1 , . . . , een,

dan behoudt de vorige formule zijn structuur:

Bijvoorbeeld,

in rekenkundige progressie 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Als een rekenkundige progressie wordt gegeven, dan zijn de hoeveelheden a 1 , een, d, n enS n gekoppeld door twee formules:

Daarom, als de waarden van drie van deze grootheden worden gegeven, worden de overeenkomstige waarden van de andere twee grootheden bepaald uit deze formules gecombineerd tot een systeem van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Een rekenkundige reeks is een monotone reeks. Waarin:

• als d > 0 , dan neemt het toe;
• als d < 0 , dan wordt het minder;
• als d = 0 , dan is de reeks stationair.

Geometrische voortgang

geometrische voortgang er wordt een rij genoemd waarvan elke term, beginnend bij de tweede, gelijk is aan de vorige, vermenigvuldigd met hetzelfde getal.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

is een geometrische progressie als voor een natuurlijk getal n voorwaarde is voldaan:

b n +1 = b n · q,

waar q ≠ 0 - een aantal.

De verhouding van de volgende term van deze geometrische progressie tot de vorige is dus een constant getal:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nummer q genaamd noemer van een meetkundige reeks.

Om een ​​meetkundig verloop in te stellen, volstaat het om de eerste term en noemer ervan te specificeren.

Bijvoorbeeld,

als b 1 = 1, q = -3 , dan worden de eerste vijf termen van de reeks als volgt gevonden:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 en noemer q haar n -de term kan worden gevonden door de formule:

b n = b 1 · q n -1 .

Bijvoorbeeld,

vind de zevende term van een meetkundige reeks 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

dan natuurlijk

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

elk lid van de geometrische progressie, beginnend bij de tweede, is gelijk aan het geometrische gemiddelde (proportioneel) van de vorige en volgende leden.

Aangezien het omgekeerde ook waar is, geldt de volgende bewering:

getallen a, b en c zijn opeenvolgende leden van een meetkundige reeks dan en slechts dan als het kwadraat van een van hen gelijk is aan het product van de andere twee, dat wil zeggen, een van de getallen is het meetkundig gemiddelde van de andere twee.

Bijvoorbeeld,

laten we bewijzen dat de rij gegeven door de formule b n= -3 2 n , is een geometrische progressie. Laten we de bovenstaande verklaring gebruiken. Wij hebben:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Vervolgens,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

die de vereiste bewering bewijst. ◄

Let daar op n De term van een geometrische progressie kan niet alleen worden gevonden door b 1 , maar ook elke voorgaande term b k , waarvoor het voldoende is om de formule te gebruiken

b n = b k · q n - k.

Bijvoorbeeld,

voor b 5 kan worden geschreven

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

dan natuurlijk

b n 2 = b n - k· b n + k

het kwadraat van elk lid van een meetkundige reeks, beginnend bij de tweede, is gelijk aan het product van de leden van deze reeks die er op gelijke afstand van ligt.

Bovendien is voor elke geometrische progressie de gelijkheid waar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ ik.

Bijvoorbeeld,

exponentieel

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , omdat

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

eerst n leden van een meetkundige reeks met een noemer q ≠ 0 berekend met de formule:

En wanneer q = 1 - volgens de formule

S n= nb 1

Merk op dat als we de termen moeten optellen:

b k, b k +1 , . . . , b n,

dan wordt de formule gebruikt:

Bijvoorbeeld,

exponentieel 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Als een meetkundig verloop wordt gegeven, dan zijn de hoeveelheden b 1 , b n, q, n en S n gekoppeld door twee formules:

Daarom, als de waarden van drie van deze grootheden worden gegeven, worden de overeenkomstige waarden van de andere twee grootheden bepaald uit deze formules gecombineerd tot een systeem van twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Voor een meetkundige progressie met de eerste term b 1 en noemer q het volgende vindt plaats: monotone eigenschappen :

• de progressie neemt toe als aan een van de volgende voorwaarden wordt voldaan:

b 1 > 0 en q> 1;

b 1 < 0 en 0 < q< 1;

• Een progressie neemt af als aan een van de volgende voorwaarden wordt voldaan:

b 1 > 0 en 0 < q< 1;

b 1 < 0 en q> 1.

Als een q< 0 , dan is de meetkundige progressie afwisselend van teken: de oneven genummerde termen hebben hetzelfde teken als de eerste term, en de even genummerde termen hebben het tegenovergestelde teken. Het is duidelijk dat een alternerende geometrische progressie niet monotoon is.

Product van de eerste n termen van een geometrische progressie kunnen worden berekend met de formule:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Bijvoorbeeld,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Oneindig afnemende geometrische progressie

Oneindig afnemende geometrische progressie wordt een oneindige geometrische progressie genoemd waarvan de noemermodulus kleiner is dan 1 , dat is

|q| < 1 .

Merk op dat een oneindig afnemende geometrische progressie geen afnemende reeks hoeft te zijn. Dit past bij de zaak

1 < q< 0 .

Met zo'n noemer is de rij afwisselend van teken. Bijvoorbeeld,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

De som van een oneindig afnemende geometrische progressie noem het getal waarop de som van de eerste n voorwaarden van de progressie met een onbeperkte toename van het aantal n . Dit getal is altijd eindig en wordt uitgedrukt door de formule

Bijvoorbeeld,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Relatie tussen rekenkundige en meetkundige progressies

Rekenkundige en meetkundige progressies zijn nauw verwant. Laten we slechts twee voorbeelden bekijken.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , dan

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Bijvoorbeeld,

1, 3, 5, . . . — rekenkundige progressie met verschil 2 en

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . is een meetkundige reeks met een noemer 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . is een meetkundige reeks met een noemer q , dan

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . — rekenkundige progressie met verschil log aq .

Bijvoorbeeld,

2, 12, 72, . . . is een meetkundige reeks met een noemer 6 en

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — rekenkundige progressie met verschil lg 6 . ◄

Een meetkundige reeks is een nieuw soort getallenreeks waarmee we kennis moeten maken. Voor een succesvolle kennismaking kan het geen kwaad om op zijn minst te weten en te begrijpen. Dan is er geen probleem met geometrische progressie.)

Wat is een geometrische progressie? Het concept van geometrische progressie.

We beginnen de tour, zoals gewoonlijk, met de elementaire. Ik schrijf een onvoltooide reeks getallen:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Kun je een patroon vangen en vertellen welke nummers de volgende zullen zijn? De peper is duidelijk, de cijfers 100000, 1000000 enzovoort gaan nog verder. Zelfs zonder veel mentale stress is alles duidelijk, toch?)

OKÉ. Een ander voorbeeld. Ik schrijf de volgende volgorde:

1, 2, 4, 8, 16, …

Kun je zien welke nummers de volgende zijn, na het nummer 16 en de naam? achtste sequentie lid? Als je erachter kwam dat het nummer 128 zou zijn, dan is dat goed. Dus, de helft van de strijd is in begrip betekenis en belangrijkste punten: geometrische progressie al gedaan. Je kunt verder groeien.)

En nu gaan we weer van sensaties naar rigoureuze wiskunde.

Sleutelmomenten van een geometrische progressie.

Sleutelmoment #1

De geometrische progressie is opeenvolging van getallen. Net als progressie. Niks lastigs. Zojuist deze volgorde geregeld anders. Daarom heeft het natuurlijk een andere naam, ja ...

Sleutelmoment #2

Met het tweede belangrijke punt wordt de vraag lastiger. Laten we een beetje teruggaan en de belangrijkste eigenschap van een rekenkundige progressie onthouden. Hier is het: elk lid is anders dan het vorige met hetzelfde bedrag.

Is het mogelijk om een ​​vergelijkbare sleuteleigenschap te formuleren voor een geometrische progressie? Denk een beetje na... Bekijk de gegeven voorbeelden. Geraden? Ja! In een geometrische progressie (elke!) verschilt elk van zijn leden van de vorige in hetzelfde aantal keren. Is altijd!

In het eerste voorbeeld is dit aantal tien. Welke term van de reeks je ook neemt, deze is groter dan de vorige tienmaal.

In het tweede voorbeeld is dit een twee: elk lid is groter dan het vorige. tweemaal.

Het is in dit sleutelpunt dat de meetkundige progressie verschilt van de rekenkundige. In een rekenkundige reeks wordt elke volgende term verkregen toevoegen van dezelfde waarde als de vorige term. En hier - vermenigvuldiging de vorige termijn met hetzelfde bedrag. Dat is het verschil.)

Sleutelmoment #3

Dit kernpunt is volledig identiek aan dat voor een rekenkundige progressie. Namelijk: elk lid van de geometrische progressie is op zijn plaats. Alles is precies hetzelfde als bij rekenkundige progressie en commentaar is volgens mij overbodig. Er is de eerste term, er is honderd en eerste, enzovoort. Laten we minstens twee leden herschikken - het patroon (en daarmee de geometrische progressie) zal verdwijnen. Wat overblijft is slechts een reeks getallen zonder enige logica.

Dat is alles. Dat is het hele punt van geometrische progressie.

Termen en benamingen.

En nu we de betekenis en de belangrijkste punten van de geometrische progressie hebben behandeld, kunnen we verder gaan met de theorie. Anders, wat is een theorie zonder de betekenis te begrijpen, toch?

Wat is een geometrische progressie?

Hoe wordt een meetkundig verloop in algemene termen geschreven? Geen probleem! Elk lid van de progressie wordt ook als een brief geschreven. Alleen voor rekenkundige progressie wordt meestal de letter gebruikt "a", voor geometrische - letter "b". Lidnummer, zoals gewoonlijk, wordt aangegeven index rechtsonder. De leden van de progressie zelf worden eenvoudig weergegeven, gescheiden door komma's of puntkomma's.

Soortgelijk:

b1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

In het kort wordt zo'n progressie als volgt geschreven: (b n) .

Of zoals dit, voor eindige progressies:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , ..., b 29 , b 30 .

Of, in het kort:

(b n), n=30 .

Dat zijn eigenlijk alle aanduidingen. Alles is hetzelfde, alleen de letter is anders, ja.) En nu gaan we direct naar de definitie.

Definitie van een geometrische progressie.

Een meetkundige reeks is een numerieke reeks, waarvan de eerste term niet nul is, en elke volgende term is gelijk aan de vorige term vermenigvuldigd met hetzelfde getal dat niet nul is.

Dat is de hele definitie. De meeste woorden en zinnen zijn u duidelijk en vertrouwd. Tenzij je natuurlijk de betekenis begrijpt van een geometrische progressie "op de vingers" en in het algemeen. Maar er zijn ook een paar nieuwe zinnen waar ik speciaal de aandacht op wil vestigen.

Eerst de woorden: "waarvan de eerste termijn anders dan nul".

Deze beperking op de eerste termijn is niet toevallig ingevoerd. Wat denk je dat er zal gebeuren als de eerste termijn? b 1 blijkt nul te zijn? Wat zal de tweede term zijn als elke term groter is dan de vorige? hetzelfde aantal keren? Laten we zeggen drie keer? Eens kijken... Vermenigvuldig de eerste term (d.w.z. 0) met 3 en krijg... nul! En het derde lid? Nul ook! En de vierde term is ook nul! Enzovoort…

We krijgen gewoon een zak bagels een reeks nullen:

0, 0, 0, 0, …

Natuurlijk heeft zo'n reeks recht op leven, maar praktisch is het niet van belang. Alles is zo duidelijk. Elk van zijn leden is nul. De som van een willekeurig aantal leden is ook nul ... Wat voor interessante dingen kun je ermee doen? Niks…

De volgende trefwoorden: "vermenigvuldigd met hetzelfde getal dat niet nul is".

Ditzelfde nummer heeft ook zijn eigen speciale naam - noemer van een meetkundige reeks. Laten we gaan daten.)

De noemer van een meetkundige progressie.

Alles is eenvoudig.

De noemer van een geometrische progressie is een niet-nul getal (of waarde) dat aangeeft hoe vaakelk lid van de progressie meer dan de vorige.

Nogmaals, naar analogie met de rekenkundige progressie, is het sleutelwoord om op te letten in deze definitie het woord "meer". Het betekent dat elke term van een geometrische progressie wordt verkregen vermenigvuldiging tot deze noemer vorig lid.

Ik leg uit.

Laten we zeggen: om te berekenen seconde lid te nemen de eerste lid en vermenigvuldigen het naar de noemer. Voor berekening: tiende lid te nemen negende lid en vermenigvuldigen het naar de noemer.

De noemer van de geometrische progressie zelf kan van alles zijn. Absoluut iedereen! Integer, fractioneel, positief, negatief, irrationeel - iedereen. Behalve nul. Dit is wat het woord "niet-nul" in de definitie ons vertelt. Waarom dit woord hier nodig is - daarover later meer.

Noemer van een geometrische progressie meestal aangeduid met een letter q.

Hoe deze te vinden? q? Geen probleem! We moeten elke term van de progressie nemen en delen door vorige term. Divisie is fractie. Vandaar de naam - "de noemer van progressie." De noemer, het zit meestal in een breuk, ja ...) Hoewel, logisch gezien, de waarde q zou moeten worden genoemd privaat geometrische progressie, vergelijkbaar met verschil voor een rekenkundige progressie. Maar afgesproken om te bellen noemer. En we gaan het wiel ook niet opnieuw uitvinden.)

Laten we bijvoorbeeld de waarde definiëren q voor deze geometrische progressie:

2, 6, 18, 54, …

Alles is elementair. We nemen elk volgnummer. Wat we willen is wat we nemen. Behalve de allereerste. Bijvoorbeeld 18. En delen door vorig nummer. Dat wil zeggen, om 6 uur.

We krijgen:

q = 18/6 = 3

Dat is alles. Dit is het juiste antwoord. Voor een bepaalde geometrische progressie is de noemer drie.

Laten we de noemer zoeken q voor een andere geometrische progressie. Bijvoorbeeld als volgt:

1, -2, 4, -8, 16, …

Allemaal hetzelfde. Welke tekens de leden zelf ook hebben, we nemen nog steeds elk volgnummer (bijvoorbeeld 16) en delen door vorig nummer(d.w.z. -8).

We krijgen:

d = 16/(-8) = -2

En dat was het.) Deze keer bleek de noemer van de progressie negatief te zijn. Min twee. Het gebeurt.)

Laten we deze progressie nemen:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

En nogmaals, ongeacht het type getallen in de reeks (zelfs gehele getallen, zelfs breuken, zelfs negatief, zelfs irrationeel), nemen we een willekeurig getal (bijvoorbeeld 1/9) en delen door het vorige getal (1/3). Volgens de regels van bewerkingen met breuken natuurlijk.

We krijgen:

Dat is alles.) Hier bleek de noemer fractioneel te zijn: q = 1/3.

Maar zo'n "progressie" als jij?

3, 3, 3, 3, 3, …

duidelijk hier q = 1 . Formeel is dit ook een meetkundig verloop, alleen met dezelfde leden.) Maar dergelijke progressies zijn niet interessant voor studie en praktische toepassing. Net als progressies met vaste nullen. Daarom zullen we ze niet overwegen.

Zoals je kunt zien, kan de noemer van de progressie alles zijn - geheel getal, fractioneel, positief, negatief - alles! Het kan niet zomaar nul zijn. Niet geraden waarom?

Laten we eens kijken naar een specifiek voorbeeld, wat zal er gebeuren als we als noemer nemen? q nul.) Laten we bijvoorbeeld hebben: b 1 = 2 , a q = 0 . Wat wordt dan de tweede termijn?

We geloven:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

En het derde lid?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Typen en gedrag van geometrische progressies.

Met alles was min of meer duidelijk: als het verschil in de progressie d positief is, neemt de progressie toe. Is het verschil negatief, dan neemt de progressie af. Er zijn slechts twee opties. Er is geen derde.)

Maar met het gedrag van een geometrische progressie zal alles veel interessanter en diverser zijn!)

Zodra de leden zich hier gedragen: ze nemen toe en af, en naderen voor onbepaalde tijd nul, en veranderen zelfs van teken, afwisselend naar "plus" of naar "min"! En in al die diversiteit moet men goed kunnen begrijpen, ja...

We begrijpen het?) Laten we beginnen met het eenvoudigste geval.

De noemer is positief ( q >0)

Met een positieve noemer kunnen ten eerste de leden van een meetkundige reeks ingaan op: plus oneindig(d.w.z. onbeperkt verhogen) en kan gaan in min oneindig(d.w.z. onbeperkt afnemen). We zijn al gewend aan dergelijk gedrag van progressies.

Bijvoorbeeld:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Alles is hier eenvoudig. Elk lid van de progressie is meer dan de vorige. En elk lid krijgt vermenigvuldiging vorig lid op positief nummer +2 (d.w.z. q = 2 ). Het gedrag van zo'n progressie is duidelijk: alle leden van de progressie groeien oneindig en gaan de ruimte in. En oneindig...

Dit is nu de voortgang:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Ook hier wordt elke term van de progressie verkregen vermenigvuldiging vorig lid op positief nummer +2. Maar het gedrag van zo'n progressie is al direct tegenovergesteld: elk lid van de progressie wordt verkregen minder dan vorige, en al zijn termen nemen voor onbepaalde tijd af, naar minus oneindig.

Laten we nu eens nadenken: wat hebben deze twee progressies gemeen? Juist, noemer! Hier en daar q = +2 . Positief nummer. Deuce. Maar gedrag Deze twee progressies zijn fundamenteel verschillend! Niet geraden waarom? Ja! Het draait allemaal om eerste lid! Hij is het, zoals ze zeggen, die de muziek bestelt.) Kijk zelf maar.

In het eerste geval, de eerste termijn van de progressie positief(+1) en dus alle volgende termen verkregen door te vermenigvuldigen met positief noemer q = +2 , zal ook positief.

Maar in het tweede geval, de eerste term negatief(-een). Daarom worden alle volgende leden van de progressie verkregen door te vermenigvuldigen met positief q = +2 , zal ook worden verkregen negatief. Voor "min" naar "plus" geeft altijd "min", ja.)

Zoals je kunt zien, kan een meetkundige progressie, in tegenstelling tot een rekenkundige progressie, zich op totaal verschillende manieren gedragen, niet alleen afhankelijk van van de noemerq, maar ook afhankelijk vanaf het eerste lid, Ja.)

Onthoud: het gedrag van een geometrische progressie wordt op unieke wijze bepaald door zijn eerste lid b 1 en noemerq .

En nu beginnen we met de analyse van minder bekende, maar veel interessantere gevallen!

Neem bijvoorbeeld de volgende volgorde:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Deze reeks is ook een geometrische progressie! Elk lid van deze progressie wordt ook verkregen vermenigvuldiging de vorige term, door hetzelfde nummer. Alleen het nummer is fractioneel: q = +1/2 . Of +0,5 . En (belangrijk!) nummer, kleinere:q = 1/2<1.

Wat is er interessant aan deze geometrische progressie? Waar gaan de leden heen? Laten we zien:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Wat is hier interessant? Ten eerste is de afname van de leden van de progressie meteen opvallend: elk van zijn leden minder de vorige precies 2 keer. Of, volgens de definitie van een geometrische progressie, elke term meer vorig 1/2 keer, omdat progressie noemer q = 1/2 . En door te vermenigvuldigen met een positief getal kleiner dan één, neemt het resultaat meestal af, ja ...

Wat nog kan worden gezien in het gedrag van deze progressie? Verdwijnen zijn leden? onbeperkt, gaat u naar min oneindig? Niet! Ze verdwijnen op een bijzondere manier. Eerst nemen ze vrij snel af, daarna steeds langzamer. En al die tijd blijven positief. Ook al is het heel, heel klein. En waar streven ze naar? Niet geraden? Ja! Ze neigen naar nul!) En let op, de leden van onze progressie nooit bereiken! Enkel en alleen oneindig dicht bij hem. Het is erg belangrijk.)

Een vergelijkbare situatie zal in een dergelijke progressie zijn:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Hier b 1 = -1 , a q = 1/2 . Alles is hetzelfde, alleen zullen de leden nu van de andere kant, van onderaf, nul naderen. De hele tijd blijven negatief.)

Zo'n geometrische progressie, waarvan de leden oneindig naderen tot nul.(het maakt niet uit, aan de positieve of negatieve kant), in de wiskunde heeft het een speciale naam - oneindig afnemende geometrische progressie. Deze progressie is zo interessant en ongebruikelijk dat het zelfs zo zal zijn aparte les .)

Dus we hebben alles mogelijk overwogen positief noemers zijn zowel grote als kleinere. We beschouwen de ene zelf niet als een noemer om de hierboven genoemde redenen (denk aan het voorbeeld met de reeks triples ...)

Samenvatten:

positiefen meer dan een (q>1), dan de leden van de progressie:

a) oneindig verhogen (alsb 1 >0);

b) voor onbepaalde tijd afnemen (alsb 1 <0).

Als de noemer van een meetkundige reeks positief en minder dan een (0< q<1), то члены прогрессии:

a) oneindig dicht bij nul bovenstaande(alsb 1 >0);

b) oneindig dicht bij nul van beneden(alsb 1 <0).

Het blijft nu om de zaak te overwegen negatieve noemer.

De noemer is negatief ( q <0)

We zullen niet ver gaan voor een voorbeeld. Waarom eigenlijk een ruige grootmoeder?!) Laat, bijvoorbeeld, het eerste lid van de progressie zijn b 1 = 1 , en neem de noemer q = -2.

We krijgen de volgende volgorde:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

En zo verder.) Elke term van de progressie wordt verkregen vermenigvuldiging vorig lid op een negatief getal-2. In dit geval worden alle leden op oneven plaatsen (eerste, derde, vijfde, enz.) positief, en op even plaatsen (tweede, vierde, enz.) - negatief. Borden zijn strikt doorschoten. Plus-min-plus-min ... Zo'n geometrische progressie heet - toenemende teken afwisselend.

Waar gaan de leden heen? En nergens.) Ja, in absolute waarde (d.w.z. modulo) de voorwaarden van onze progressie nemen oneindig toe (vandaar de naam "toenemend"). Maar tegelijkertijd gooit elk lid van de progressie het afwisselend in de hitte en vervolgens in de kou. Ofwel plus of min. Onze progressie fluctueert... Bovendien groeit het bereik van de fluctuaties snel met elke stap, ja.) Daarom zijn de ambities van de leden van de progressie om ergens heen te gaan specifiek hier nee. Noch tot plus oneindig, noch tot min oneindig, noch tot nul - nergens.

Beschouw nu eens een fractionele noemer tussen nul en min één.

Laat het bijvoorbeeld zo zijn b 1 = 1 , a q = -1/2.

Dan krijgen we de voortgang:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

En weer hebben we een afwisseling van tekens! Maar, in tegenstelling tot het vorige voorbeeld, is er hier al een duidelijke neiging voor termen om nul te benaderen.) Alleen deze keer benaderen onze termen nul niet strikt van boven of van onder, maar opnieuw aarzelend. Afwisselend positieve of negatieve waarden aannemen. Maar tegelijkertijd zijn ze modules komen steeds dichter bij de gekoesterde nul.)

Deze geometrische progressie heet oneindig afnemend wisselteken.

Waarom zijn deze twee voorbeelden interessant? En het feit dat in beide gevallen plaatsvindt afwisselende karakters! Zo'n chip is alleen typisch voor progressies met een negatieve noemer, ja.) Daarom, als je in een taak een geometrische progressie ziet met alternerende leden, dan weet je al zeker dat de noemer ervan 100% negatief is en je zult je niet vergissen op het bord.)

Overigens, in het geval van een negatieve noemer, heeft het teken van de eerste term geen enkele invloed op het gedrag van de progressie zelf. Wat het teken van het eerste lid van de progressie ook is, in ieder geval zal het teken van de wisseling van leden worden waargenomen. De hele vraag is gewoon op welke plaatsen?(even of oneven) er zullen leden zijn met specifieke tekens.

Herinneren:

Als de noemer van een meetkundige reeks negatief , dan zijn de tekens van de voorwaarden van de progressie altijd afwisselend.

Tegelijkertijd zijn de leden zelf:

a) onbeperkt verhogenmodulo, alsq<-1;

b) nul oneindig benaderen als -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Dat is alles. Alle typische gevallen worden geanalyseerd.)

Tijdens het ontleden van een verscheidenheid aan voorbeelden van geometrische progressies, gebruikte ik periodiek de woorden: "neigt naar nul", "neigt naar plus oneindig", neigt naar min oneindig... Het is oké.) Deze spraakwisselingen (en specifieke voorbeelden) zijn slechts een eerste kennismaking met gedrag verschillende nummerreeksen. Een voorbeeld van een geometrische progressie.

Waarom moeten we zelfs het progressiegedrag kennen? Wat maakt het uit waar ze heen gaat? Tot nul, tot plus oneindig, tot min oneindig... Wat maakt ons dit uit?

Het punt is dat je al op de universiteit, in de loop van hogere wiskunde, het vermogen nodig hebt om met een verscheidenheid aan numerieke reeksen te werken (met alle, niet alleen progressies!) En het vermogen om je precies voor te stellen hoe deze of gene reeks zich gedraagt - of het onbeperkt toeneemt, of het afneemt, of het neigt naar een bepaald aantal (en niet noodzakelijk naar nul), of zelfs helemaal niet naar iets neigt ... Een hele sectie is gewijd aan dit onderwerp in de loop van de wiskunde analyse - limiet theorie. Iets specifieker, het concept limiet van de nummerreeks. Heel interessant onderwerp! Het is logisch om naar de universiteit te gaan en erachter te komen.)

Enkele voorbeelden uit deze sectie (reeksen die een limiet hebben) en in het bijzonder, oneindig afnemende geometrische progressie beginnen te leren op school. Gebruikt worden.)

Bovendien zal het vermogen om het gedrag van sequenties in de toekomst goed te bestuderen een grote rol spelen en zeer nuttig zijn bij functie onderzoek. De meest gevarieerde. Maar het vermogen om competent met functies te werken (afleidingen berekenen, ze volledig verkennen, hun grafieken bouwen) verhoogt je wiskundige niveau al dramatisch! Twijfel? Niet nodig. Onthoud ook mijn woorden.)

Laten we eens kijken naar een geometrische progressie in het leven?

In het leven om ons heen komen we heel, heel vaak exponentiële progressie tegen. Zonder het te weten.)

Bijvoorbeeld verschillende micro-organismen die ons overal in enorme hoeveelheden omringen en die we niet eens zien zonder een microscoop, vermenigvuldigen zich precies in geometrische progressie.

Laten we zeggen dat één bacterie zich voortplant door zich in tweeën te delen, waardoor nakomelingen in 2 bacteriën ontstaan. Op hun beurt deelt elk van hen, vermenigvuldigend, zich ook in tweeën, waardoor een gemeenschappelijk nageslacht van 4 bacteriën ontstaat. De volgende generatie geeft 8 bacteriën, dan 16 bacteriën, 32, 64 enzovoort. Met elke volgende generatie verdubbelt het aantal bacteriën. Een typisch voorbeeld van een geometrische progressie.)

Ook vermenigvuldigen sommige insecten - bladluizen, vliegen - zich exponentieel. En soms ook konijnen.)

Een ander voorbeeld van een geometrische progressie, dichter bij het dagelijks leven, is de zogenaamde samengestelde rente. Zo'n interessant fenomeen wordt vaak gevonden in bankdeposito's en heet rentekapitalisatie. Wat het is?

Je bent zelf natuurlijk nog jong. Je studeert op school, je solliciteert niet bij banken. Maar je ouders zijn volwassenen en onafhankelijke mensen. Ze gaan werken, verdienen geld voor hun dagelijks brood en zetten een deel van het geld op de bank om te sparen.)

Stel dat je vader een bepaald bedrag wil sparen voor een gezinsvakantie in Turkije en 50.000 roebel op de bank wil zetten tegen 10% per jaar voor een periode van drie jaar met jaarlijkse rentekapitalisatie. Bovendien kan er gedurende deze hele periode niets met de borg worden gedaan. U kunt de aanbetaling niet aanvullen of geld opnemen van de rekening. Welke winst zal hij maken in deze drie jaar?

Nou, eerst moet je uitzoeken wat 10% per jaar is. Het betekent dat in een jaar 10% wordt door de bank toegevoegd aan het eerste stortingsbedrag. Van wat? Natuurlijk, vanaf eerste stortingsbedrag.

Bereken het bedrag van de rekening in een jaar. Als het initiële bedrag van de aanbetaling 50.000 roebel was (d.w.z. 100%), hoeveel rente zal er dan over een jaar op de rekening staan? Dat klopt, 110%! Vanaf 50.000 roebel.

Dus we beschouwen 110% van 50.000 roebel:

50.000 1.1 \u003d 55.000 roebel.

Ik hoop dat je begrijpt dat het vinden van 110% van de waarde betekent dat je deze waarde moet vermenigvuldigen met het getal 1,1? Als je niet begrijpt waarom dit zo is, denk dan aan het vijfde en zesde leerjaar. Namelijk - de relatie van percentages met breuken en delen.)

De verhoging voor het eerste jaar zal dus 5000 roebel zijn.

Hoeveel geld staat er na twee jaar op de rekening? 60.000 roebel? Helaas (of liever, gelukkig) is het niet zo eenvoudig. De hele truc van rentekapitalisatie is dat bij elke nieuwe renteopbouw, dezelfde rente al in aanmerking wordt genomen vanaf het nieuwe bedrag! Van degene die al staat op rekening Momenteel. En de opgebouwde rente voor de vorige termijn wordt opgeteld bij het initiële bedrag van de aanbetaling en zo nemen ze zelf deel aan de berekening van nieuwe rente! Dat wil zeggen, ze worden een volwaardig onderdeel van de totale rekening. of algemeen hoofdstad. Vandaar de naam - rentekapitalisatie.

Het zit in de economie. En in de wiskunde worden zulke percentages genoemd samengestelde rente. Of procent van procent.) Hun truc is dat bij sequentiële berekening de percentages elke keer worden berekend van de nieuwe waarde. Niet van het origineel...

Daarom, om de som te berekenen via twee jaar, we moeten 110% berekenen van het bedrag dat op de rekening staat in een jaar. Dat wil zeggen, al vanaf 55.000 roebel.

We beschouwen 110% van 55.000 roebel:

55000 1.1 \u003d 60500 roebel.

Dit betekent dat de procentuele stijging voor het tweede jaar al 5.500 roebel zal zijn, en voor twee jaar - 10.500 roebel.

Nu kun je al raden dat over drie jaar het bedrag op de rekening 110% van 60.500 roebel zal zijn. Dat is weer 110% van het vorige (vorige jaar) bedragen.

Hierbij denken we aan:

60500 1,1 \u003d 66550 roebel.

En nu bouwen we onze geldbedragen op in opeenvolgende jaren:

50000;

55000 = 50000 1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50000 1,1) 1,1) 1,1

Dus hoe is het? Waarom geen geometrische progressie? Eerste lid b 1 = 50000 en de noemer q = 1,1 . Elke term is strikt 1,1 keer groter dan de vorige. Alles is in strikte overeenstemming met de definitie.)

En hoeveel extra procentuele bonussen zal je vader "inleveren" terwijl zijn 50.000 roebel drie jaar op de bankrekening stond?

We geloven:

66550 - 50000 = 16550 roebel

Het is natuurlijk slecht. Maar dit is als het initiële bedrag van de bijdrage klein is. Wat als er meer is? Zeg, niet 50, maar 200 duizend roebel? Dan is de verhoging voor drie jaar al 66.200 roebel (als je meetelt). Wat al heel goed is.) En als de bijdrage nog groter is? Dat is wat het is...

Conclusie: hoe hoger de initiële inleg, hoe winstgevender de rentekapitalisatie wordt. Daarom worden deposito's met rentekapitalisatie voor lange periodes door banken verstrekt. Laten we zeggen vijf jaar.

Ook allerlei slechte ziekten zoals griep, mazelen en nog ergere ziekten (dezelfde SARS in de vroege jaren 2000 of pest in de Middeleeuwen) verspreiden zich graag exponentieel. Vandaar de omvang van epidemieën, ja ...) En dat allemaal vanwege het feit dat een geometrische progressie met hele positieve noemer (q>1) - iets dat heel snel groeit! Denk aan de reproductie van bacteriën: van één bacterie worden er twee verkregen, van twee - vier, van vier - acht, enzovoort ... Met de verspreiding van een infectie is alles hetzelfde.)

De eenvoudigste problemen in geometrische progressie.

Laten we beginnen, zoals altijd, met een eenvoudig probleem. Puur om de betekenis te begrijpen.

1. Het is bekend dat de tweede term van een meetkundige reeks 6 is en dat de noemer -0,5 is. Zoek de eerste, derde en vierde termen.

Dus we zijn gegeven eindeloos geometrische progressie, bekend tweede lid deze progressie:

b2 = 6

Daarnaast weten we ook progressie noemer:

q = -0,5

En je moet vinden eerste, derde en vierde leden van deze progressie.

Hier zijn we aan het acteren. We schrijven de volgorde op volgens de toestand van het probleem. Direct in algemene termen, waar het tweede lid de zes is:

b1,6,b 3 , b 4 , …

Laten we nu beginnen met zoeken. We beginnen, zoals altijd, met de eenvoudigste. U kunt bijvoorbeeld de derde term . berekenen b 3? Kan! We weten al (direct in de zin van een meetkundige progressie) dat de derde term (b3) meer dan een seconde (b 2 ) in "q" een keer!

Dus we schrijven:

b 3 =b 2 · q

We vervangen de zes in deze uitdrukking in plaats van b 2 en -0.5 in plaats daarvan q en wij denken. En ook de min wordt niet genegeerd natuurlijk...

b 3 \u003d 6 (-0,5) \u003d -3

Soortgelijk. De derde termijn bleek negatief. Geen wonder: onze noemer q- negatief. En plus vermenigvuldigd met min, zal het natuurlijk min zijn.)

We beschouwen nu de volgende, vierde term van de progressie:

b 4 =b 3 · q

b 4 \u003d -3 (-0,5) \u003d 1.5

De vierde termijn is weer met een plus. De vijfde term is weer met een min, de zesde met een plus, enzovoort. Tekens - afwisselend!

Dus het derde en vierde lid werden gevonden. Het resultaat is de volgende volgorde:

b1; 6; -3; 1,5; …

Het blijft nu om de eerste term te vinden b 1 volgens de bekende seconde. Om dit te doen, stappen we in de andere richting, naar links. Dit betekent dat we in dit geval de tweede term van de progressie niet hoeven te vermenigvuldigen met de noemer, maar deel.

We delen en krijgen:

Dat is alles.) Het antwoord op het probleem is als volgt:

-12; 6; -3; 1,5; …

Zoals u kunt zien, is het oplossingsprincipe hetzelfde als in . Wij weten elk lid en noemer geometrische progressie - we kunnen elke andere term vinden. Wat we ook willen, we zullen er een vinden.) Het enige verschil is dat optellen/aftrekken wordt vervangen door vermenigvuldigen/delen.

Onthoud: als we ten minste één lid en noemer van een meetkundige reeks kennen, kunnen we altijd een ander lid van deze reeks vinden.

De volgende taak is volgens de traditie van de echte versie van de OGE:

2.

…; 150; X; 6; 1,2; …

Dus hoe is het? Deze keer is er geen eerste term, geen noemer q, er wordt alleen een reeks getallen gegeven ... Al iets bekends, toch? Ja! Een soortgelijk probleem is al behandeld in rekenkundige progressie!

Hier zijn we niet bang. Allemaal hetzelfde. Zet je hoofd op en onthoud de elementaire betekenis van een geometrische progressie. We kijken goed naar onze reeks en zoeken uit welke parameters van de geometrische progressie van de drie belangrijkste (eerste lid, noemer, lidnummer) erin verborgen zijn.

Ledennummers? Er zijn geen lidnummers, ja ... Maar het zijn er vier opeenvolgende nummers. Wat dit woord betekent, zie ik het nut niet in om in dit stadium uit te leggen.) Zijn er twee? naburige bekende nummers? Er bestaat! Dit zijn 6 en 1.2. Zodat we kunnen vinden progressie noemer. Dus we nemen het getal 1.2 en delen naar het vorige nummer. Voor zes.

We krijgen:

We krijgen:

x= 150 0,2 = 30

Antwoorden: x = 30 .

Zoals je kunt zien, is alles vrij eenvoudig. De grootste moeilijkheid ligt alleen in de berekeningen. Het is vooral moeilijk in het geval van negatieve en fractionele noemers. Dus degenen die problemen hebben, herhaal de rekensom! Hoe je met breuken werkt, hoe je met negatieve getallen werkt, enzovoort... Anders vertraag je hier genadeloos.

Laten we het probleem nu een beetje veranderen. Nu wordt het interessant! Laten we het laatste nummer 1.2 erin verwijderen. Laten we dit probleem nu oplossen:

3. Verschillende opeenvolgende termen van een geometrische progressie worden uitgeschreven:

…; 150; X; 6; …

Zoek de term van de progressie, aangegeven met de letter x.

Alles is hetzelfde, alleen twee aangrenzende bekend we hebben geen leden meer van de progressie. Dit is het belangrijkste probleem. Omdat de omvang q door twee aangrenzende termen kunnen we al gemakkelijk bepalen wij kunnen het niet. Hebben we een kans om de uitdaging aan te gaan? Natuurlijk!

Laten we de onbekende term schrijven " x"Direct in de zin van een meetkundig verloop! In algemene termen.

Ja Ja! Direct met een onbekende noemer!

Enerzijds kunnen we voor x de volgende verhouding schrijven:

x= 150q

Aan de andere kant hebben we het volste recht om dezelfde X door te schilderen De volgende lid, door de zes! Deel zes door de noemer.

Soortgelijk:

x = 6/ q

Het is duidelijk dat we nu beide verhoudingen kunnen gelijkstellen. Aangezien we uiten hetzelfde waarde (x), maar twee verschillende manieren.

We krijgen de vergelijking:

Alles vermenigvuldigen met q, vereenvoudigen, verminderen, krijgen we de vergelijking:

q 2 \u003d 1/25

We lossen op en krijgen:

q = ±1/5 = ±0,2

Oeps! De noemer is dubbel! +0,2 en -0,2. En welke te kiezen? Doodlopend?

Kalm! Ja, het probleem heeft echt twee oplossingen! Niets mis mee. Het gebeurt.) Je bent niet verbaasd als je bijvoorbeeld twee wortels krijgt door het gebruikelijke op te lossen? Hier hetzelfde verhaal.)

Voor q = +0,2 We zullen krijgen:

X \u003d 150 0.2 \u003d 30

En voor q = -0,2 zal zijn:

X = 150 (-0,2) = -30

We krijgen een dubbel antwoord: x = 30; x = -30.

Wat betekent dit interessante feit? En wat bestaat? twee progressies, voldoet aan de toestand van het probleem!

Zoals deze:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Beide zijn geschikt.) Wat is volgens u de reden voor de splitsing van antwoorden? Gewoon vanwege de eliminatie van een specifiek lid van de progressie (1,2), die na de zes komt. En als we alleen de vorige (n-1)-de en volgende (n+1)-de leden van de meetkundige reeks kennen, kunnen we niet langer ondubbelzinnig iets zeggen over het n-de lid dat ertussen staat. Er zijn twee opties - plus en min.

Maar het maakt niet uit. In de regel is er bij taken voor een geometrische progressie aanvullende informatie die een eenduidig ​​antwoord geeft. Laten we de woorden zeggen: "signalternerende progressie" of "vooruitgang met een positieve noemer" enzovoort... Het zijn deze woorden die als aanwijzing dienen te dienen, welk teken, plus of min, moet worden gekozen bij het uiteindelijke antwoord. Als dergelijke informatie niet is, dan - ja, de taak zal hebben twee oplossingen.)

En nu beslissen we zelf.

4. Bepaal of het getal 20 deel uitmaakt van een geometrische progressie:

4 ; 6; 9; …

5. Er wordt een afwisselend meetkundig verloop gegeven:

…; 5; x ; 45; …

Zoek de duur van de progressie aangegeven door de letter x .

6. Vind de vierde positieve term van de geometrische progressie:

625; -250; 100; …

7. De tweede term van de geometrische progressie is -360 en de vijfde term is 23,04. Zoek de eerste term van deze progressie.

Antwoorden (in wanorde): -15; 900; Nee; 2.56.

Gefeliciteerd als alles gelukt is!

Past er iets niet? Staat er ergens een dubbel antwoord? Wij lezen de voorwaarden van de opdracht goed door!

Lukt de laatste puzzel niet? Niets ingewikkelds daar.) We werken direct volgens de betekenis van een geometrische progressie. Nou, je kunt een tekening maken. Het helpt.)

Zoals je kunt zien, is alles elementair. Als de progressie kort is. Wat als het lang is? Of is het nummer van het gewenste lid erg groot? Ik zou graag, naar analogie met een rekenkundige progressie, op de een of andere manier een handige formule willen krijgen die het gemakkelijk maakt om te vinden elk lid van een geometrische progressie op zijn nummer. Zonder vele, vele malen te vermenigvuldigen met q. En er is zo'n formule!) Details - in de volgende les.

Laten we een serie overwegen.

7 28 112 448 1792...

Het is absoluut duidelijk dat de waarde van elk van zijn elementen precies vier keer groter is dan de vorige. Deze serie is dus een vervolg.

Een geometrische progressie is een oneindige reeks getallen, waarvan het belangrijkste kenmerk is dat het volgende getal wordt verkregen uit het vorige door te vermenigvuldigen met een specifiek getal. Dit wordt uitgedrukt door de volgende formule.

a z +1 =a z q, waarbij z het nummer van het geselecteerde element is.

Dienovereenkomstig, z N.

De periode waarin een meetkundige progressie op school wordt bestudeerd, is graad 9. Voorbeelden zullen u helpen het concept te begrijpen:

0.25 0.125 0.0625...

Op basis van deze formule kan de noemer van de progressie als volgt worden gevonden:

Noch q noch b z kan nul zijn. Ook mag elk van de elementen van de progressie niet gelijk zijn aan nul.

Dienovereenkomstig, om het volgende nummer in de reeks te vinden, moet u het laatste vermenigvuldigen met q.

Om deze progressie te specificeren, moet u het eerste element en de noemer ervan specificeren. Daarna is het mogelijk om een ​​van de volgende termen en hun som te vinden.

Rassen

Afhankelijk van q en a 1, is deze progressie onderverdeeld in verschillende typen:

• Als zowel a 1 als q groter zijn dan één, dan is zo'n rij een meetkundige reeks die met elk volgend element toeneemt. Een voorbeeld hiervan is hieronder weergegeven.

Voorbeeld: a 1 =3, q=2 - beide parameters zijn groter dan één.

Dan kan de numerieke reeks als volgt worden geschreven:

3 6 12 24 48 ...

• Als |q| minder dan één, dat wil zeggen, vermenigvuldiging ermee is gelijk aan delen, dan is een progressie met vergelijkbare omstandigheden een afnemende geometrische progressie. Een voorbeeld hiervan is hieronder weergegeven.

Voorbeeld: a 1 =6, q=1/3 - a 1 is groter dan één, q is kleiner.

Dan kan de numerieke reeks als volgt worden geschreven:

6 2 2/3 ... - elk element is 3 keer groter dan het element dat erop volgt.

• Teken-variabele. Als q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Voorbeeld: a 1 = -3 , q = -2 - beide parameters zijn kleiner dan nul.

Dan kan de reeks als volgt worden geschreven:

3, 6, -12, 24,...

formules

Voor handig gebruik van geometrische progressies zijn er veel formules:

• Formule van het z-de lid. Hiermee kunt u het element onder een bepaald getal berekenen zonder de voorgaande getallen te berekenen.

Voorbeeld:q = 3, a 1 = 4. Het is nodig om het vierde element van de progressie te berekenen.

Oplossing:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• De som van de eerste elementen waarvan het nummer is z. Hiermee kunt u de som van alle elementen van een rij berekenen toteen zinclusief.

sinds (1-q) in de noemer zit, dan (1 - q)≠ 0, dus q is niet gelijk aan 1.

Opmerking: als q=1, dan zou de progressie een reeks zijn van een oneindig herhalend getal.

De som van een geometrische progressie, voorbeelden:a 1 = 2, q= -2. Bereken S5.

Oplossing:S 5 = 22 - berekening per formule.

• Bedrag indien |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Voorbeeld:a 1 = 2 , q= 0,5. Zoek het bedrag.

Oplossing:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Enkele eigenschappen:

• karakteristieke eigenschap. Als de volgende voorwaarde: uitgevoerd voor eenz, dan is de gegeven getallenreeks een meetkundige reeks:

een z 2 = een z -1 · az+1

• Ook wordt het kwadraat van een willekeurig getal van een meetkundige reeks gevonden door de kwadraten van twee andere getallen in een bepaalde reeks bij elkaar op te tellen, als ze op gelijke afstand van dit element liggen.

een z 2 = een z - t 2 + een z + t 2 , waartis de afstand tussen deze getallen.

• elementenverschillen in qeen keer.
• De logaritmen van de progressie-elementen vormen ook een progressie, maar al rekenkundig, dat wil zeggen, elk van hen is groter dan de vorige met een bepaald aantal.

Voorbeelden van enkele klassieke problemen

Om beter te begrijpen wat een geometrische progressie is, kunnen voorbeelden met een oplossing voor graad 9 helpen.

• Voorwaarden:a 1 = 3, a 3 = 48. Vindq.

Oplossing: elk volgend element is groter dan het vorige inq een keer.Het is noodzakelijk om sommige elementen uit te drukken via andere met behulp van een noemer.

Vervolgens,a 3 = q 2 · a 1

Bij vervangingq= 4

• Voorwaarden:a 2 = 6, a 3 = 12. Bereken S6.

Oplossing:Om dit te doen, volstaat het om q, het eerste element, te vinden en dit in de formule te vervangen.

a 3 = q· a 2 , Vervolgens,q= 2

een 2 = q een 1,Dat is waarom een 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Zoek het vierde element van de progressie.

Oplossing: om dit te doen, volstaat het om het vierde element uit te drukken door de eerste en door de noemer.

een 4 = q 3· een 1 = -80

Toepassingsvoorbeeld:

• De klant van de bank heeft een aanbetaling gedaan van 10.000 roebel, onder de voorwaarden waarvan de klant elk jaar 6% van de hoofdsom zal toevoegen. Hoeveel geld staat er na 4 jaar op de rekening?

Oplossing: het initiële bedrag is 10 duizend roebel. Dus een jaar na de investering zal de rekening een bedrag hebben dat gelijk is aan 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06

Dienovereenkomstig wordt het bedrag op de rekening na nog een jaar als volgt uitgedrukt:

(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000

Dat wil zeggen, elk jaar stijgt het bedrag met 1,06 keer. Dit betekent dat om het bedrag op de rekening na 4 jaar te vinden, het voldoende is om het vierde element van de progressie te vinden, dat wordt gegeven door het eerste element gelijk aan 10 duizend, en de noemer gelijk aan 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Voorbeelden van taken voor het berekenen van de som:

Bij verschillende problemen wordt een geometrische progressie gebruikt. Een voorbeeld voor het vinden van de som kan als volgt worden gegeven:

a 1 = 4, q= 2, berekenS5.

Oplossing: alle gegevens die nodig zijn voor de berekening zijn bekend, u hoeft ze alleen in de formule in te vullen.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Bereken de som van de eerste zes elementen.

Oplossing:

Gem. progressie, elk volgend element is q keer groter dan het vorige, dat wil zeggen, om de som te berekenen, moet u het element kennena 1 en noemerq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Op dezelfde manier moeten we vindena 1 , wetendea 2 enq.

a 1 · q = a 2

een 1 =2

S 6 = 728.

Geometrische progressie, samen met rekenen, is een belangrijke getallenreeks die wordt bestudeerd in de schoolalgebracursus in klas 9. In dit artikel zullen we de noemer van een geometrische progressie beschouwen en hoe de waarde de eigenschappen ervan beïnvloedt.

Definitie van geometrische progressie

Om te beginnen geven we de definitie van deze getallenreeks. Een meetkundige reeks is een reeks rationale getallen die wordt gevormd door het eerste element achtereenvolgens te vermenigvuldigen met een constant getal dat de noemer wordt genoemd.

De getallen in de reeksen 3, 6, 12, 24, ... zijn bijvoorbeeld een meetkundige reeks, want als we 3 (het eerste element) met 2 vermenigvuldigen, krijgen we 6. Als we 6 met 2 vermenigvuldigen, krijgen we 12, enzovoort.

De leden van de betreffende reeks worden gewoonlijk aangeduid met het symbool ai, waarbij i een geheel getal is dat het nummer van het element in de reeks aangeeft.

De bovenstaande definitie van een progressie kan als volgt in de taal van de wiskunde worden geschreven: an = bn-1 * a1, waarbij b de noemer is. Het is gemakkelijk om deze formule te controleren: als n = 1, dan b1-1 = 1, en we krijgen a1 = a1. Als n = 2, dan is an = b * a1 en komen we weer bij de definitie van de betreffende getallenreeks. Een soortgelijke redenering kan worden voortgezet voor grote waarden van n.

De noemer van een meetkundige progressie

Het getal b bepaalt volledig welk karakter de hele getallenreeks zal hebben. De noemer b kan positief, negatief of groter dan of kleiner dan één zijn. Alle bovenstaande opties leiden tot verschillende sequenties:

• b > 1. Er is een toenemende reeks rationale getallen. Bijvoorbeeld 1, 2, 4, 8, ... Als het element a1 negatief is, zal de hele reeks alleen modulo toenemen, maar afnemen rekening houdend met het teken van de getallen.
• b = 1. Vaak wordt zo'n geval geen progressie genoemd, omdat er een gewone reeks identieke rationale getallen is. Bijvoorbeeld -4, -4, -4.

Formule voor som

Alvorens over te gaan tot de overweging van specifieke problemen met behulp van de noemer van het type progressie in kwestie, moet een belangrijke formule worden gegeven voor de som van de eerste n elementen. De formule is: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

U kunt deze uitdrukking zelf krijgen als u een recursieve reeks leden van de progressie beschouwt. Merk ook op dat in de bovenstaande formule het voldoende is om alleen het eerste element en de noemer te kennen om de som van een willekeurig aantal termen te vinden.

Oneindig afnemende reeks

Hierboven stond een uitleg van wat het is. Nu we de formule voor Sn kennen, passen we deze toe op deze getallenreeks. Aangezien elk getal waarvan de modulus niet groter is dan 1 naar nul neigt wanneer het wordt verhoogd tot grote machten, dat wil zeggen, b∞ => 0 als -1

Aangezien het verschil (1 - b) altijd positief zal zijn, ongeacht de waarde van de noemer, wordt het teken van de som van een oneindig afnemende meetkundige reeks S∞ op unieke wijze bepaald door het teken van zijn eerste element a1.

Nu zullen we verschillende problemen beschouwen, waarbij we zullen laten zien hoe we de opgedane kennis kunnen toepassen op specifieke getallen.

Taak nummer 1. Berekening van onbekende elementen van het verloop en de som

Gegeven een geometrische progressie, is de noemer van de progressie 2, en het eerste element is 3. Wat zullen de 7e en 10e termen zijn, en wat is de som van de zeven initiële elementen?

De toestand van het probleem is vrij eenvoudig en omvat het directe gebruik van de bovenstaande formules. Dus, om het element met getal n te berekenen, gebruiken we de uitdrukking an = bn-1 * a1. Voor het 7e element hebben we: a7 = b6 * a1, door de bekende gegevens te vervangen, krijgen we: a7 = 26 * 3 = 192. We doen hetzelfde voor het 10e lid: a10 = 29 * 3 = 1536.

We gebruiken de bekende formule voor de som en bepalen deze waarde voor de eerste 7 elementen van de reeks. We hebben: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Taak nummer 2. De som van willekeurige elementen van de progressie bepalen

Laat -2 de noemer zijn van de exponentiële progressie bn-1 * 4, waarbij n een geheel getal is. Het is noodzakelijk om de som te bepalen van het 5e tot het 10e element van deze reeks, inclusief.

Het gestelde probleem kan niet direct worden opgelost met behulp van bekende formules. Het kan op 2 verschillende manieren worden opgelost. Voor de volledigheid presenteren we beide.

Methode 1. Het idee is eenvoudig: je moet de twee overeenkomstige sommen van de eerste termen berekenen en vervolgens de andere van de ene aftrekken. Bereken de kleinere som: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Nu berekenen we de grote som: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Merk op dat in de laatste uitdrukking slechts 4 termen zijn opgesomd, aangezien de 5e al is inbegrepen in de som die moet worden berekend volgens de toestand van het probleem. Als laatste nemen we het verschil: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Methode 2. Voordat je getallen vervangt en telt, kun je een formule krijgen voor de som tussen de termen m en n van de betreffende reeks. We handelen op precies dezelfde manier als in methode 1, alleen werken we eerst met de symbolische weergave van de som. We hebben: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . U kunt bekende getallen in de resulterende uitdrukking vervangen en het eindresultaat berekenen: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Taak nummer 3. Wat is de noemer?

Laat a1 = 2, zoek de noemer van de meetkundige reeks, op voorwaarde dat de oneindige som 3 is, en het is bekend dat dit een afnemende reeks getallen is.

Afhankelijk van de toestand van het probleem, is het niet moeilijk om te raden welke formule moet worden gebruikt om het op te lossen. Natuurlijk, voor de som van een oneindig afnemende progressie. We hebben: S∞ = a1 / (1 - b). Van waaruit we de noemer uitdrukken: b = 1 - a1 / S∞. Het blijft om de bekende waarden te vervangen en het vereiste aantal te krijgen: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 of -0.333 (3). We kunnen dit resultaat kwalitatief controleren als we bedenken dat voor dit type rij de modulus b niet verder mag gaan dan 1. Zoals je kunt zien, |-1 / 3|

Taak nummer 4. Een reeks nummers herstellen

Laat 2 elementen van een getallenreeks worden gegeven, bijvoorbeeld, de 5e is gelijk aan 30 en de 10e is gelijk aan 60. Het is noodzakelijk om de hele reeks uit deze gegevens te herstellen, wetende dat deze voldoet aan de eigenschappen van een meetkundig verloop.

Om het probleem op te lossen, moet u eerst de corresponderende uitdrukking voor elk bekend lid opschrijven. We hebben: a5 = b4 * a1 en a10 = b9 * a1. Nu delen we de tweede uitdrukking door de eerste, we krijgen: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Van hieruit bepalen we de noemer door de vijfdegraadswortel te nemen van de verhouding van de leden die bekend zijn uit de toestand van het probleem, b = 1,148698. We vervangen het resulterende getal in een van de uitdrukkingen voor een bekend element, we krijgen: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

We hebben dus gevonden wat de noemer van de progressie bn is, en de geometrische progressie bn-1 * 17,2304966 = an, waarbij b = 1,148698.

Waar worden geometrische progressies gebruikt?

Als deze numerieke reeks niet in de praktijk zou worden toegepast, zou de studie ervan worden teruggebracht tot een puur theoretisch belang. Maar er is zo'n toepassing.

De 3 bekendste voorbeelden staan ​​hieronder:

• Zeno's paradox, waarin de behendige Achilles de langzame schildpad niet kan inhalen, wordt opgelost met behulp van het concept van een oneindig afnemende reeks getallen.
• Als tarwekorrels op elke cel van het schaakbord worden geplaatst, zodat 1 korrel op de 1e cel wordt geplaatst, 2 - op de 2e, 3 - op de 3e, enzovoort, dan zijn 18446744073709551615 korrels nodig om alle cellen van het bord!
• In het spel "Tower of Hanoi", om schijven van de ene staaf naar de andere te herschikken, is het noodzakelijk om 2n - 1 bewerkingen uit te voeren, dat wil zeggen, hun aantal groeit exponentieel van het aantal gebruikte schijven.

Beschouw nu de kwestie van de sommatie van een oneindige geometrische progressie. Laten we de partiële som van een gegeven oneindige progressie de som van zijn eerste termen noemen. Geef de gedeeltelijke som aan met het symbool

Voor elke oneindige progressie

men kan een (ook oneindige) reeks van zijn deelsommen samenstellen

Laat een reeks met onbeperkte toename een limiet hebben

In dit geval wordt het getal S, d.w.z. de limiet van gedeeltelijke sommen van de progressie, de som van een oneindige progressie genoemd. We zullen bewijzen dat een oneindig afnemende meetkundige progressie altijd een som heeft, en een formule voor deze som afleiden (we kunnen ook aantonen dat een oneindige progressie geen som heeft, niet bestaat).

We schrijven de uitdrukking voor de partiële som als de som van de leden van de progressie volgens formule (91.1) en beschouwen de limiet van de partiële som bij

Uit de stelling van item 89 is bekend dat voor een afnemende progressie; daarom vinden we, door de verschillimietstelling toe te passen,

(de regel wordt hier ook gebruikt: de constante factor wordt uit het teken van de limiet gehaald). Het bestaan ​​wordt bewezen en tegelijkertijd wordt de formule voor de som van een oneindig afnemende meetkundige reeks verkregen:

Gelijkheid (92.1) kan ook worden geschreven als

Hier kan het paradoxaal lijken dat een goed gedefinieerde eindige waarde wordt toegekend aan de som van een oneindige reeks termen.

Een duidelijke illustratie kan worden gegeven om deze situatie te verklaren. Beschouw een vierkant met een zijde gelijk aan één (Fig. 72). We verdelen dit vierkant door een horizontale lijn in twee gelijke delen en passen het bovenste deel toe op het onderste, zodat een rechthoek wordt gevormd met zijden 2 en . Daarna delen we de rechterhelft van deze rechthoek opnieuw in tweeën door een horizontale lijn en bevestigen het bovenste deel aan het onderste (zoals weergegeven in Fig. 72). Als we dit proces voortzetten, transformeren we constant het oorspronkelijke vierkant met een oppervlakte gelijk aan 1 in figuren van gelijke grootte (in de vorm van een trap met uitdunningsstappen).

Met een oneindige voortzetting van dit proces valt het hele gebied van het vierkant uiteen in een oneindig aantal termen - de gebieden van rechthoeken met basissen gelijk aan 1 en hoogten. De gebieden van de rechthoeken vormen gewoon een oneindig afnemende progressie, zijn som

d.w.z., zoals verwacht, is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant.

Voorbeeld. Vind de sommen van de volgende oneindige progressies:

Oplossing, a) We merken op dat deze progressie Daarom vinden we met de formule (92.2):

b) Hier betekent het dat we met dezelfde formule (92.2) hebben:

c) We vinden dat deze progressie Daarom heeft deze progressie geen som.

In paragraaf 5 werd de toepassing van de formule voor de som van termen van een oneindig afnemende progressie op de omzetting van een periodieke decimale breuk in een gewone breuk getoond.

Opdrachten

1. De som van een oneindig afnemende geometrische progressie is 3/5 en de som van de eerste vier termen is 13/27. Zoek de eerste term en de noemer van de progressie.

2. Zoek vier getallen die een afwisselende geometrische reeks vormen, waarbij de tweede term 35 kleiner is dan de eerste en de derde 560 groter is dan de vierde.

3. Toon wat als volgorde

vormt een oneindig afnemende geometrische progressie, dan is de reeks

voor elke vorm een ​​oneindig afnemende geometrische progressie. Geldt deze bewering voor?

Leid een formule af voor het product van de termen van een meetkundige reeks.