Uitleg van het oplossen van eenvoudige trigonometrische vergelijkingen. Trigonometrische vergelijkingen
Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.
Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie
Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.
U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.
Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.
Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:
- Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.
Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:
- Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
- Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
- We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
- Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.
Openbaarmaking van informatie aan derden
Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.
Uitzonderingen:
- Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
- In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.
Bescherming van persoonlijke informatie
We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.
Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau
Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.
De videocursus “Get an A” omvat alle onderwerpen die nodig zijn om met succes te slagen voor het Unified State Examen in wiskunde met 60-65 punten. Volledig alle taken 1 t/m 13 van het Profiel Unified State Examen wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basic Unified State Examination in wiskunde. Als je het Unified State Exam met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!
Voorbereidingscursus voor het Unified State Exam voor groep 10-11, maar ook voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het Unified State Exam in wiskunde (de eerste 12 problemen) en probleem 13 (trigonometrie) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Exam, en noch een student met 100 punten, noch een student in de geesteswetenschappen kan zonder deze punten.
Alle benodigde theorie. Snelle oplossingen, valkuilen en geheimen van het Unified State Exam. Alle huidige taken van deel 1 uit de FIPI Task Bank zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het Unified State Exam 2018.
De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanaf het begin gegeven, eenvoudig en duidelijk.
Honderden Unified State Exam-taken. Woordproblemen en waarschijnlijkheidstheorie. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten Unified State Examination-taken. Stereometrie. Lastige oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeelding. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Duidelijke uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Een basis voor het oplossen van complexe problemen van deel 2 van het Unified State Exam.
Trigonometrische vergelijkingen zijn geen gemakkelijk onderwerp. Ze zijn te divers.) Bijvoorbeeld deze:
zonde 2 x + cos3x = ctg5x
zonde(5x+π /4) = kinderbed(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Enz...
Maar deze (en alle andere) trigonometrische monsters hebben twee gemeenschappelijke en verplichte kenmerken. Ten eerste - je zult het niet geloven - er zitten goniometrische functies in de vergelijkingen.) Ten tweede: alle uitdrukkingen met x worden gevonden binnen dezelfde functies. En alleen daar! Als X ergens verschijnt buiten, Bijvoorbeeld, zonde2x + 3x = 3, dit zal al een vergelijking van gemengd type zijn. Dergelijke vergelijkingen vereisen een individuele benadering. We zullen ze hier niet behandelen.
We zullen in deze les ook geen slechte vergelijkingen oplossen.) Hier zullen we mee omgaan de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Waarom? Ja, want de oplossing elk trigonometrische vergelijkingen bestaat uit twee fasen. In de eerste fase wordt de kwade vergelijking door middel van een verscheidenheid aan transformaties teruggebracht tot een eenvoudige. Bij de tweede wordt deze eenvoudigste vergelijking opgelost. Geen andere manier.
Dus als je problemen hebt in de tweede fase, heeft de eerste fase niet zoveel zin.)
Hoe zien elementaire trigonometrische vergelijkingen eruit?
zonde = een
cosx = een
tgx = een
ctgx = een
Hier A staat voor elk getal. Elk.
Trouwens, binnen een functie is er misschien geen pure X, maar een soort uitdrukking, zoals:
cos(3x+π /3) = 1/2
enz. Dit bemoeilijkt het leven, maar heeft geen invloed op de methode voor het oplossen van een trigonometrische vergelijking.
Hoe trigonometrische vergelijkingen op te lossen?
Trigonometrische vergelijkingen kunnen op twee manieren worden opgelost. De eerste manier: logica en de trigonometrische cirkel gebruiken. We zullen dit pad hier bekijken. De tweede manier – het gebruik van geheugen en formules – wordt in de volgende les besproken.
De eerste manier is duidelijk, betrouwbaar en moeilijk te vergeten.) Het is goed voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen, ongelijkheden en allerlei lastige, niet-standaard voorbeelden. Logica is sterker dan geheugen!)
Vergelijkingen oplossen met behulp van een goniometrische cirkel.
We omvatten elementaire logica en de mogelijkheid om de trigonometrische cirkel te gebruiken. Weet je niet hoe? Maar... Je zult het moeilijk hebben met trigonometrie...) Maar dat maakt niet uit. Kijk eens naar de lessen "Trigonometrische cirkel...... Wat is dat?" en "Hoeken meten op een goniometrische cirkel." Alles is daar eenvoudig. In tegenstelling tot schoolboeken...)
Oh je weet wel!? En zelfs “Praktisch werken met de trigonometrische cirkel” onder de knie!? Gefeliciteerd. Dit onderwerp zal dichtbij en begrijpelijk voor je zijn.) Wat vooral prettig is, is dat het de trigonometrische cirkel niet uitmaakt welke vergelijking je oplost. Sinus, cosinus, tangens, cotangens - alles is voor hem hetzelfde. Er is slechts één oplossingsprincipe.
We nemen dus elke elementaire trigonometrische vergelijking. Tenminste dit:
cosx = 0,5
We moeten X vinden. Spreken in menselijke taal, dat heb je nodig zoek de hoek (x) waarvan de cosinus 0,5 is.
Hoe gebruikten we de cirkel voorheen? We hebben er een hoek op getekend. In graden of radialen. En meteen zaag goniometrische functies van deze hoek. Laten we nu het tegenovergestelde doen. Laten we een cosinus op de cirkel tekenen die gelijk is aan 0,5 en onmiddellijk we zullen zien hoek. Het enige dat overblijft is het antwoord opschrijven.) Ja, ja!
Teken een cirkel en markeer de cosinus gelijk aan 0,5. Op de cosinus-as natuurlijk. Soortgelijk:
Laten we nu de hoek tekenen die deze cosinus ons geeft. Beweeg uw muis over de afbeelding (of raak de afbeelding aan op uw tablet), en Je zult het zien deze hoek X.
Van welke hoek is de cosinus 0,5?
x = π /3
want 60°= cos( π /3) = 0,5
Sommige mensen zullen sceptisch grinniken, ja... Alsof het de moeite waard was om een cirkel te maken als alles al duidelijk is... Je kunt natuurlijk grinniken...) Maar het feit is dat dit een onjuist antwoord is. Of beter gezegd: onvoldoende. Cirkelkenners begrijpen dat er hier nog een heleboel andere hoeken zijn die ook een cosinus van 0,5 opleveren.
Als je de bewegende kant OA draait volledige beurt, keert punt A terug naar zijn oorspronkelijke positie. Met dezelfde cosinus gelijk aan 0,5. Die. de hoek zal veranderen met 360° of 2π radialen, en cosinus - nee. De nieuwe hoek 60° + 360° = 420° zal ook een oplossing zijn voor onze vergelijking, omdat
Er kan een oneindig aantal van zulke volledige omwentelingen worden gemaakt... En al deze nieuwe hoeken zullen oplossingen zijn voor onze trigonometrische vergelijking. En als antwoord moeten ze allemaal op de een of andere manier worden opgeschreven. Alle. Anders telt de beslissing niet, ja...)
Wiskunde kan dit eenvoudig en elegant doen. Schrijf het op in één kort antwoord oneindige verzameling beslissingen. Zo ziet het eruit voor onze vergelijking:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ik zal het ontcijferen. Schrijf nog steeds betekenisvol Het is prettiger dan domweg een paar mysterieuze letters tekenen, toch?)
π /3 - dit is dezelfde hoek als wij zaag op de cirkel en bepaald volgens de cosinustabel.
2π is één volledige revolutie in radialen.
N - dit is het aantal complete, d.w.z. geheel toerental Het is duidelijk dat N kan gelijk zijn aan 0, ±1, ±2, ±3.... enzovoort. Zoals aangegeven door de korte vermelding:
n ∈ Z
N behoort ( ∈ ) set gehele getallen ( Z ). Trouwens, in plaats van de brief N letters kunnen heel goed gebruikt worden k, m, t enz.
Deze notatie betekent dat je elk geheel getal kunt nemen N . Minimaal -3, minimaal 0, minimaal +55. Wat je wilt. Als je dit getal in het antwoord vervangt, krijg je een specifieke invalshoek, die zeker de oplossing zal zijn voor onze harde vergelijking.)
Of, met andere woorden, x = π /3 is de enige wortel van een oneindige verzameling. Om alle andere wortels te krijgen, volstaat het om een willekeurig aantal volledige omwentelingen op te tellen bij π /3 ( N ) in radialen. Die. 2πn radiaal.
Alle? Nee. Ik verleng het plezier bewust. Om het beter te onthouden.) We ontvingen slechts een deel van de antwoorden op onze vergelijking. Ik zal dit eerste deel van de oplossing als volgt schrijven:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - niet slechts één wortel, maar een hele reeks wortels, opgeschreven in een korte vorm.
Maar er zijn ook hoeken die ook een cosinus van 0,5 opleveren!
Laten we terugkeren naar onze afbeelding waarop we het antwoord hebben opgeschreven. Hier is ze:
Beweeg uw muis over de afbeelding en wij zien een andere hoek dan geeft ook een cosinus van 0,5. Waar denk je dat het gelijk aan is? De driehoeken zijn hetzelfde... Ja! Het is gelijk aan de hoek X , alleen vertraagd in de negatieve richting. Dit is de hoek -X. Maar we hebben x al berekend. π /3 of 60°. Daarom kunnen we veilig schrijven:
x 2 = - π /3
Welnu, natuurlijk voegen we alle hoeken toe die worden verkregen door volledige omwentelingen:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Dat is alles nu.) Op de trigonometrische cirkel wij zaag(wie begrijpt het natuurlijk)) Alle hoeken die een cosinus van 0,5 opleveren. En we schreven deze hoeken op in een korte wiskundige vorm. Het antwoord resulteerde in twee oneindige reeksen wortels:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Dit is het juiste antwoord.
Hoop, algemeen principe voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen het gebruik van een cirkel is duidelijk. We markeren de cosinus (sinus, tangens, cotangens) uit de gegeven vergelijking op een cirkel, tekenen de bijbehorende hoeken en schrijven het antwoord op. Natuurlijk moeten we uitzoeken in welke hoeken we zitten zaag op de cirkel. Soms is het niet zo vanzelfsprekend. Nou, ik zei dat hier logica vereist is.)
Laten we bijvoorbeeld eens naar een andere trigonometrische vergelijking kijken:
Houd er rekening mee dat het getal 0,5 niet het enige mogelijke getal in vergelijkingen is!) Het is voor mij gewoon handiger om het te schrijven dan wortels en breuken.
Wij werken volgens het algemene principe. We tekenen een cirkel, markeren (uiteraard op de sinusas!) 0,5. We tekenen alle hoeken die overeenkomen met deze sinus in één keer. We krijgen dit beeld:
Laten we eerst de hoek behandelen X in het eerste kwartaal. We herinneren ons de sinustabel en bepalen de waarde van deze hoek. Het is een simpele zaak:
x = π /6
We herinneren ons de volledige beurten en schrijven met een zuiver geweten de eerste reeks antwoorden op:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
De helft van de klus is geklaard. Maar nu moeten we beslissen tweede hoek... Het is lastiger dan het gebruik van cosinussen, ja... Maar logica zal ons redden! Hoe de tweede hoek te bepalen via x? Ja Makkelijk! De driehoeken op de afbeelding zijn hetzelfde, evenals de rode hoek X gelijk aan hoek X . Alleen wordt geteld vanaf de hoek π in de negatieve richting. Daarom is het rood.) En voor het antwoord hebben we een hoek nodig, correct gemeten, vanaf de positieve halve as OX, d.w.z. vanuit een hoek van 0 graden.
We bewegen de cursor over de tekening en zien alles. Ik heb de eerste hoek verwijderd om de foto niet ingewikkelder te maken. De hoek waarin we geïnteresseerd zijn (groen getekend) is gelijk aan:
π - x
X Wij weten dit π /6 . Daarom zal de tweede hoek zijn:
π - π /6 = 5π /6
Opnieuw herinneren we ons het toevoegen van volledige omwentelingen en schrijven we de tweede reeks antwoorden op:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Dat is alles. Een compleet antwoord bestaat uit twee reeksen wortels:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tangens- en cotangensvergelijkingen kunnen eenvoudig worden opgelost met behulp van hetzelfde algemene principe voor het oplossen van trigonometrische vergelijkingen. Als je natuurlijk weet hoe je de raaklijn en de cotangens op een trigonometrische cirkel tekent.
In de bovenstaande voorbeelden heb ik de tabelwaarde van sinus en cosinus gebruikt: 0,5. Die. een van die betekenissen die de leerling kent moeten. Laten we nu onze mogelijkheden uitbreiden naar alle andere waarden. Beslis, dus beslis!)
Laten we zeggen dat we deze trigonometrische vergelijking moeten oplossen:
Er is geen dergelijke cosinuswaarde in de korte tabellen. Wij negeren dit verschrikkelijke feit koeltjes. Teken een cirkel, markeer 2/3 op de cosinus-as en teken de overeenkomstige hoeken. Wij krijgen dit beeld.
Laten we eerst eens kijken naar de hoek in het eerste kwartaal. Als we maar wisten waar x gelijk aan is, zouden we het antwoord meteen opschrijven! We weten het niet... Mislukking!? Kalm! Wiskunde laat zijn eigen mensen niet in de problemen! Voor dit geval bedacht ze boogcosinussen. Weet niet? Tevergeefs. Ontdek het, het is een stuk eenvoudiger dan je denkt. Er staat geen enkele lastige spreuk over “inverse trigonometrische functies” op deze link... Dit is overbodig in dit onderwerp.
Als je het weet, zeg dan gewoon tegen jezelf: "X is een hoek waarvan de cosinus gelijk is aan 2/3." En onmiddellijk, puur volgens de definitie van boogcosinus, kunnen we schrijven:
We herinneren ons de extra omwentelingen en schrijven rustig de eerste reeks wortels van onze trigonometrische vergelijking op:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
De tweede reeks wortels voor de tweede hoek wordt vrijwel automatisch opgeschreven. Alles is hetzelfde, alleen X (arccos 2/3) zal een minteken hebben:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
En dat is het! Dit is het juiste antwoord. Nog eenvoudiger dan met tabelwaarden. Het is niet nodig om iets te onthouden.) Trouwens, de meest oplettende zal merken dat deze afbeelding de oplossing toont via de boogcosinus in wezen verschilt het niet van de afbeelding voor de vergelijking cosx = 0,5.
Precies! Het algemene principe is precies dat! Ik heb bewust twee vrijwel identieke afbeeldingen getekend. De cirkel toont ons de hoek X door zijn cosinus. Of het een tabellarische cosinus is of niet, is voor iedereen onbekend. Wat voor hoek dit is, π /3, of wat de boogcosinus is, dat is aan ons om te beslissen.
Hetzelfde liedje met sinus. Bijvoorbeeld:
Teken opnieuw een cirkel, markeer de sinus gelijk aan 1/3, teken de hoeken. Dit is het beeld dat we krijgen:
En opnieuw is het beeld bijna hetzelfde als voor de vergelijking sinx = 0,5. Opnieuw starten we in het eerste kwart vanuit de hoek. Waar is X gelijk aan als de sinus 1/3 is? Geen probleem!
Nu is het eerste pakje wortels klaar:
x 1 = boogsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Laten we de tweede hoek behandelen. In het voorbeeld met een tabelwaarde van 0,5 was deze gelijk aan:
π - x
Ook hier zal het precies hetzelfde zijn! Alleen x is anders, boogsin 1/3. Dus!? Je kunt het tweede pakje wortels veilig opschrijven:
x 2 = π - boogsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Dit is een volledig juist antwoord. Alhoewel het er niet heel bekend uitziet. Maar het is duidelijk, hoop ik.)
Dit is hoe goniometrische vergelijkingen worden opgelost met behulp van een cirkel. Deze weg is duidelijk en begrijpelijk. Hij is het die trigonometrische vergelijkingen bespaart met de selectie van wortels op een bepaald interval, in trigonometrische ongelijkheden - ze worden over het algemeen bijna altijd in een cirkel opgelost. Kortom, bij alle taken die iets moeilijker zijn dan de standaardtaken.
Laten we kennis in de praktijk toepassen?)
Los trigonometrische vergelijkingen op:
Ten eerste, eenvoudiger, rechtstreeks uit deze les.
Nu is het ingewikkelder.
Tip: hier moet je aan de cirkel denken. Persoonlijk.)
En nu zijn ze uiterlijk eenvoudig... Ze worden ook speciale gevallen genoemd.
zonde = 0
zonde = 1
cosx = 0
cosx = -1
Tip: hier moet je in een cirkel uitzoeken waar er twee reeksen antwoorden zijn en waar er één is... En hoe je één moet schrijven in plaats van twee reeksen antwoorden. Ja, zodat geen enkele wortel uit een oneindig aantal verloren gaat!)
Nou ja, heel simpel):
zonde = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Tip: hier moet je weten wat arcsinus en arccosinus zijn? Wat is boogtangens, boogcotangens? De eenvoudigste definities. Maar u hoeft geen tabelwaarden te onthouden!)
De antwoorden zijn natuurlijk een puinhoop):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - boogsin0,3 + 2
Niet alles lukt? Gebeurt. Lees de les nog eens. Alleen bedachtzaam(er is zo'n verouderd woord...) En volg de links. De belangrijkste links gaan over de cirkel. Zonder trigonometrie is het alsof je geblinddoekt de weg oversteekt. Soms werkt het.)
Als je deze site leuk vindt...
Ik heb trouwens nog een paar interessante sites voor je.)
U kunt oefenen met het oplossen van voorbeelden en uw niveau ontdekken. Testen met onmiddellijke verificatie. Laten we leren - met interesse!)
Je kunt kennis maken met functies en afgeleiden.
Eenvoudige trigonometrische vergelijkingen oplossen.
Het oplossen van goniometrische vergelijkingen van elk niveau van complexiteit komt uiteindelijk neer op het oplossen van de eenvoudigste goniometrische vergelijkingen. En hierin blijkt de trigonometrische cirkel opnieuw de beste assistent.
Laten we de definities van cosinus en sinus in herinnering brengen.
De cosinus van een hoek is de abscis (dat wil zeggen de coördinaat langs de as) van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met een rotatie over een gegeven hoek.
De sinus van een hoek is de ordinaat (dat wil zeggen de coördinaat langs de as) van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met een rotatie over een gegeven hoek.
De positieve bewegingsrichting op de trigonometrische cirkel is tegen de klok in. Een rotatie van 0 graden (of 0 radialen) komt overeen met een punt met coördinaten (1;0)
We gebruiken deze definities om eenvoudige trigonometrische vergelijkingen op te lossen.
1. Los de vergelijking op
Aan deze vergelijking wordt voldaan door alle waarden van de rotatiehoek die overeenkomen met punten op de cirkel waarvan de ordinaat gelijk is aan .
Laten we een punt markeren met de ordinaat op de ordinaatas:
Teken een horizontale lijn evenwijdig aan de x-as totdat deze de cirkel snijdt. We krijgen twee punten die op de cirkel liggen en een ordinaat hebben. Deze punten komen overeen met rotatiehoeken in en radialen:
Als we, uitgaande van het punt dat overeenkomt met de rotatiehoek per radiaal, een volledige cirkel rondgaan, dan komen we op een punt dat overeenkomt met de rotatiehoek per radiaal en dat dezelfde ordinaat heeft. Dat wil zeggen, deze rotatiehoek voldoet ook aan onze vergelijking. We kunnen zoveel “inactieve” revoluties maken als we willen, terugkerend naar hetzelfde punt, en al deze hoekwaarden zullen aan onze vergelijking voldoen. Het aantal “inactieve” omwentelingen wordt aangegeven met de letter (of). Omdat we deze revoluties in zowel positieve als negatieve richtingen kunnen maken, (of) alle gehele waarden kunnen aannemen.
Dat wil zeggen, de eerste reeks oplossingen voor de oorspronkelijke vergelijking heeft de vorm:
, , - set gehele getallen (1)
Op dezelfde manier heeft de tweede reeks oplossingen de vorm:
, Waar , . (2)
Zoals je misschien al geraden hebt, is deze reeks oplossingen gebaseerd op het punt op de cirkel dat overeenkomt met de rotatiehoek van .
Deze twee reeksen oplossingen kunnen worden gecombineerd in één item:
Als we dit item (dat wil zeggen zelfs) nemen, krijgen we de eerste reeks oplossingen.
Als we (dat wil zeggen, vreemd) in deze invoer nemen, krijgen we de tweede reeks oplossingen.
2. Laten we nu de vergelijking oplossen
Omdat dit de abscis is van een punt op de eenheidscirkel, verkregen door over een hoek te roteren, markeren we het punt met de abscis op de as:
Teken een verticale lijn evenwijdig aan de as totdat deze de cirkel snijdt. We krijgen twee punten die op de cirkel liggen en een abscis hebben. Deze punten komen overeen met rotatiehoeken in en radialen. Bedenk dat wanneer we met de klok mee bewegen we een negatieve rotatiehoek krijgen:
Laten we twee reeksen oplossingen opschrijven:
,
,
(We bereiken het gewenste punt door vanuit de volledige hoofdcirkel te gaan.
Laten we deze twee series combineren in één item:
3. Los de vergelijking op
De raaklijn gaat door het punt met de coördinaten (1,0) van de eenheidscirkel evenwijdig aan de OY-as
Laten we er een punt op markeren met een ordinaat gelijk aan 1 (we zoeken naar de raaklijn waarvan de hoeken gelijk zijn aan 1):
Laten we dit punt verbinden met de oorsprong van de coördinaten met een rechte lijn en de snijpunten van de lijn markeren met de eenheidscirkel. De snijpunten van de rechte lijn en de cirkel komen overeen met de rotatiehoeken op en:
Omdat de punten die overeenkomen met de rotatiehoeken die aan onze vergelijking voldoen, op een afstand van radialen van elkaar liggen, kunnen we de oplossing als volgt schrijven:
4. Los de vergelijking op
De lijn van cotangensen gaat door het punt met de coördinaten van de eenheidscirkel evenwijdig aan de as.
Laten we een punt markeren met abscis -1 op de cotangenslijn:
Laten we dit punt verbinden met de oorsprong van de rechte lijn en doorgaan totdat deze de cirkel snijdt. Deze rechte lijn snijdt de cirkel op punten die overeenkomen met de rotatiehoeken in en radialen:
Omdat deze punten van elkaar gescheiden zijn door een afstand gelijk aan , kunnen we de algemene oplossing van deze vergelijking als volgt schrijven:
In de gegeven voorbeelden die de oplossing van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen illustreren, werden tabelwaarden van trigonometrische functies gebruikt.
Als de rechterkant van de vergelijking echter een niet-tabelvormige waarde bevat, vervangen we de waarde in de algemene oplossing van de vergelijking:
SPECIALE OPLOSSINGEN:
Laten we de punten op de cirkel markeren waarvan de ordinaat 0 is:
Laten we een enkel punt op de cirkel markeren waarvan de ordinaat 1 is:
Laten we een enkel punt op de cirkel markeren waarvan de ordinaat gelijk is aan -1:
Omdat het gebruikelijk is om waarden aan te geven die het dichtst bij nul liggen, schrijven we de oplossing als volgt:
Laten we de punten op de cirkel markeren waarvan de abscis gelijk is aan 0:
5.
Laten we een enkel punt op de cirkel markeren waarvan de abscis gelijk is aan 1:
Laten we een enkel punt op de cirkel markeren waarvan de abscis gelijk is aan -1:
En iets complexere voorbeelden:
1.
De sinus is gelijk aan één als het argument gelijk is aan
Het argument van onze sinus is gelijk, dus we krijgen:
Laten we beide zijden van de gelijkheid delen door 3:
Antwoord:
2.
Cosinus is nul als het argument van cosinus dat is
Het argument van onze cosinus is gelijk aan , dus we krijgen:
Laten we het uitdrukken, om dit te doen gaan we eerst naar rechts met het tegenovergestelde teken:
Laten we de rechterkant vereenvoudigen:
Verdeel beide zijden door -2:
Merk op dat het teken vóór de term niet verandert, aangezien k elke gehele waarde kan aannemen.
Antwoord:
En tot slot, bekijk de videoles “Het selecteren van wortels in een trigonometrische vergelijking met behulp van een trigonometrische cirkel”
Dit is het einde van ons gesprek over het oplossen van eenvoudige trigonometrische vergelijkingen. De volgende keer zullen we praten over hoe we moeten beslissen.
Vereist kennis van de basisformules van trigonometrie - de som van de kwadraten van sinus en cosinus, de uitdrukking van de raaklijn door sinus en cosinus, en andere. Voor degenen die ze zijn vergeten of niet kennen, raden we aan het artikel "" te lezen.
We kennen dus de basistrigonometrische formules, het is tijd om ze in de praktijk te gebruiken. Trigonometrische vergelijkingen oplossen met de juiste aanpak is het een behoorlijk spannende bezigheid, zoals bijvoorbeeld het oplossen van een Rubiks kubus.
Op basis van de naam zelf is het duidelijk dat een trigonometrische vergelijking een vergelijking is waarin het onbekende onder het teken van de trigonometrische functie staat.
Er zijn zogenaamde eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen. Zo zien ze eruit: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Laat ons nadenken hoe dergelijke trigonometrische vergelijkingen op te lossen Voor de duidelijkheid zullen we de reeds bekende trigonometrische cirkel gebruiken.
zonde = een
cos x = een
bruin x = een
kinderbedje x = een
Elke trigonometrische vergelijking wordt in twee fasen opgelost: we reduceren de vergelijking tot de eenvoudigste vorm en lossen deze vervolgens op als een eenvoudige trigonometrische vergelijking.
Er zijn zeven hoofdmethoden waarmee trigonometrische vergelijkingen worden opgelost.
Variabele substitutie en substitutiemethode
Trigonometrische vergelijkingen oplossen door factorisatie
Reductie tot een homogene vergelijking
Vergelijkingen oplossen via de overgang naar een halve hoek
Introductie van hulphoek
Los de vergelijking 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0 op
Met behulp van de reductieformules krijgen we:
2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0
Vervang cos(x + /6) door y om te vereenvoudigen en de gebruikelijke kwadratische vergelijking te krijgen:
2j 2 – 3j + 1 + 0
De wortels hiervan zijn y 1 = 1, y 2 = 1/2
Laten we nu in omgekeerde volgorde te werk gaan
We vervangen de gevonden waarden van y en krijgen twee antwoordopties:
Hoe de vergelijking sin x + cos x = 1 op te lossen?
Laten we alles naar links verplaatsen, zodat 0 aan de rechterkant blijft:
sin x + cos x – 1 = 0
Laten we de hierboven besproken identiteiten gebruiken om de vergelijking te vereenvoudigen:
zonde x - 2 zonde 2 (x/2) = 0
Laten we factoriseren:
2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 zonde 2 (x/2) = 0
2zonde(x/2) * = 0
We krijgen twee vergelijkingen
Een vergelijking is homogeen met betrekking tot sinus en cosinus als al zijn termen relatief zijn ten opzichte van de sinus en cosinus van dezelfde macht van dezelfde hoek. Ga als volgt te werk om een homogene vergelijking op te lossen:
a) breng al zijn leden over naar de linkerkant;
b) haal alle gemeenschappelijke factoren tussen haakjes;
c) stel alle factoren en haakjes gelijk aan 0;
d) tussen haakjes wordt een homogene vergelijking van een lagere graad verkregen, die op zijn beurt is verdeeld in een sinus of cosinus van een hogere graad;
e) los de resulterende vergelijking voor tg op.
Los de vergelijking 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 op
Laten we de formule sin 2 x + cos 2 x = 1 gebruiken en de open twee aan de rechterkant wegwerken:
3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x
zonde 2 x + 4 zonde x cos x + 3 cos 2 x = 0
Delen door cos x:
tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0
Vervang tan x door y en verkrijg een kwadratische vergelijking:
y 2 + 4y +3 = 0, waarvan de wortels y 1 =1, y 2 = 3 zijn
Vanaf hier vinden we twee oplossingen voor de oorspronkelijke vergelijking:
x 2 = arctan 3 + k
Los de vergelijking 3sin x – 5cos x = 7 op
Laten we verder gaan met x/2:
6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)
Laten we alles naar links verplaatsen:
2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0
Delen door cos(x/2):
tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0
Laten we ter overweging een vergelijking nemen in de vorm: a sin x + b cos x = c,
waarbij a, b, c enkele willekeurige coëfficiënten zijn, en x onbekend is.
Laten we beide zijden van de vergelijking delen door:
Nu hebben de coëfficiënten van de vergelijking, volgens trigonometrische formules, de eigenschappen sin en cos, namelijk: hun modulus is niet meer dan 1 en de som van de kwadraten = 1. Laten we ze respectievelijk aanduiden als cos en sin, waarbij - dit is de zogenaamde hulphoek. Dan zal de vergelijking de vorm aannemen:
cos * zonde x + zonde * cos x = C
of zonde(x + ) = C
De oplossing voor deze eenvoudigste trigonometrische vergelijking is:
x = (-1) k * boogsin C - + k, waarbij
Opgemerkt moet worden dat de notaties cos en sin uitwisselbaar zijn.
Los de vergelijking sin 3x – cos 3x = 1 op
De coëfficiënten in deze vergelijking zijn:
a = , b = -1, dus deel beide zijden door = 2