Speciale oplossing van differentiaalvergelijking online. Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Laten we ons de taak herinneren waarmee we werden geconfronteerd bij het vinden van definitieve integralen:

of dy = f(x)dx. Haar oplossing:

en het komt neer op het berekenen van de onbepaalde integraal. In de praktijk komt men vaker een complexere opgave tegen: het vinden van de functie j, als bekend is dat het voldoet aan een relatie van de vorm

Deze relatie relateert de onafhankelijke variabele X, onbekende functie j en zijn derivaten tot aan de bestelling N inclusief, worden genoemd .

Een differentiaalvergelijking omvat een functie onder het teken van afgeleiden (of differentiëlen) van de ene of de andere orde. De hoogste orde heet orde (9.1) .

Differentiaalvergelijkingen:

- eerste bestelling,

Tweede bestelling

- vijfde bestelling, enz.

De functie die aan een bepaalde differentiaalvergelijking voldoet, wordt de oplossing ervan genoemd , of integraal . Het oplossen betekent dat je alle oplossingen moet vinden. Indien voor de gewenste functie j erin geslaagd een formule te verkrijgen die alle oplossingen geeft, dan zeggen we dat we de algemene oplossing ervan hebben gevonden , of algemene integraal .

Gemeenschappelijk besluit bevat N willekeurige constanten en lijkt op

Als er een relatie wordt verkregen, heeft die betrekking x, y En N willekeurige constanten, in een vorm die niet is toegestaan ​​met betrekking tot j -

dan wordt zo'n relatie de algemene integraal van vergelijking (9.1) genoemd.

Cauchy-probleem

Elke specifieke oplossing, dat wil zeggen elke specifieke functie die aan een gegeven differentiaalvergelijking voldoet en niet afhankelijk is van willekeurige constanten, wordt een specifieke oplossing genoemd , of een gedeeltelijke integraal. Om bepaalde oplossingen (integralen) uit algemene oplossingen te verkrijgen, moeten de constanten specifieke numerieke waarden krijgen.

De grafiek van een bepaalde oplossing wordt een integrale curve genoemd. De algemene oplossing, die alle deeloplossingen bevat, is een familie van integrale krommen. Voor een vergelijking van de eerste orde is deze familie afhankelijk van één willekeurige constante, voor de vergelijking N-de bestelling - van N willekeurige constanten.

Het Cauchy-probleem is het vinden van een bepaalde oplossing voor de vergelijking N-de bestelling, bevredigend N begincondities:

waardoor n constanten c 1, c 2,..., c n worden bepaald.

Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Voor een differentiaalvergelijking van de eerste orde die onopgelost is met betrekking tot de afgeleide, heeft deze de vorm

of relatief toegestaan

Voorbeeld 3.46. Zoek de algemene oplossing van de vergelijking

Oplossing. Integreren, dat snappen we

waarbij C een willekeurige constante is. Als we specifieke numerieke waarden aan C toekennen, krijgen we bepaalde oplossingen, bijvoorbeeld

Voorbeeld 3.47. Overweeg een toenemende hoeveelheid geld die op de bank wordt gestort, onder voorbehoud van de opbouw van 100 r samengestelde rente per jaar. Laat Yo het initiële geldbedrag zijn, en Yx - aan het eind X jaren. Als de rente eenmaal per jaar wordt berekend, krijgen we

waarbij x = 0, 1, 2, 3,.... Wanneer de rente tweemaal per jaar wordt berekend, krijgen we

waarbij x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Bij het berekenen van rente N eenmaal per jaar en als x neemt dan opeenvolgende waarden aan 0, 1/n, 2/n, 3/n,...

Geef 1/n = h aan, dan ziet de vorige gelijkheid er als volgt uit:

Met onbeperkte vergroting N(bij ) in de limiet komen we bij het proces van het vergroten van de hoeveelheid geld met een voortdurende opbouw van rente:

Het is dus duidelijk dat er sprake is van voortdurende verandering X de wet van verandering in de geldhoeveelheid wordt uitgedrukt door een differentiaalvergelijking van de eerste orde. Waar Y x een onbekende functie is, X- onafhankelijke variabele, R- constant. Laten we deze vergelijking oplossen. Om dit te doen herschrijven we deze als volgt:

waar , of , waarbij P staat voor e C .

Uit de beginvoorwaarden Y(0) = Yo vinden we P: Yo = Pe o, van waaruit Yo = P. Daarom heeft de oplossing de vorm:

Laten we eens kijken naar het tweede economische probleem. Macro-economische modellen worden ook beschreven door lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde, waarbij veranderingen in inkomen of output Y worden beschreven als functies van de tijd.

Voorbeeld 3.48. Laat het nationale inkomen Y stijgen in een tempo dat evenredig is aan de waarde ervan:

en laat het tekort in de overheidsuitgaven direct evenredig zijn met inkomen Y met de evenredigheidscoëfficiënt Q. Een uitgaventekort leidt tot een stijging van de staatsschuld D:

Beginvoorwaarden Y = Yo en D = Do op t = 0. Uit de eerste vergelijking Y = Yoe kt. Als we Y vervangen, krijgen we dD/dt = qYoe kt . De algemene oplossing heeft de vorm
D = (q/ k) Yoe kt +С, waarbij С = const, bepaald op basis van de beginvoorwaarden. Als we de beginvoorwaarden vervangen, krijgen we Do = (q/ k)Yo + C. Dus uiteindelijk:

D = Doen +(q/ k)Yo (e kt -1),

hieruit blijkt dat de staatsschuld in hetzelfde relatieve tempo stijgt k, hetzelfde als het nationaal inkomen.

Laten we de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen bekijken N e orde, dit zijn vergelijkingen van de vorm

De algemene oplossing kan worden verkregen met behulp van N maal integraties.

Voorbeeld 3.49. Beschouw het voorbeeld y """ = cos x.

Oplossing. Integrerend, vinden we

De algemene oplossing heeft de vorm

Lineaire differentiaalvergelijkingen

Ze worden veel gebruikt in de economie; laten we overwegen dergelijke vergelijkingen op te lossen. Als (9.1) de vorm heeft:

dan wordt het lineair genoemd, waarbij рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) functies krijgen. Als f(x) = 0, dan heet (9.2) homogeen, anders heet het inhomogeen. De algemene oplossing van vergelijking (9.2) is gelijk aan de som van al zijn specifieke oplossingen y(x) en de algemene oplossing van de homogene vergelijking die ermee correspondeert:

Als de coëfficiënten р o (x), р 1 (x),..., р n (x) constant zijn, dan (9.2)

(9.4) wordt een lineaire differentiaalvergelijking met constante ordecoëfficiënten genoemd N .

Want (9.4) heeft de vorm:

Zonder verlies van algemeenheid kunnen we p o = 1 stellen en (9.5) in de vorm schrijven

We gaan op zoek naar een oplossing (9.6) in de vorm y = e kx, waarbij k een constante is. We hebben: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Als we de resulterende uitdrukkingen vervangen door (9.6), krijgen we:

(9.7) is een algebraïsche vergelijking, waarvan de onbekende is k, het wordt karakteristiek genoemd. De karakteristieke vergelijking heeft graad N En N wortels, waaronder er zowel meervoudig als complex kunnen zijn. Laat k 1 , k 2 ,..., k n dan reëel en verschillend zijn - bijzondere oplossingen (9.7), en algemeen

Beschouw een lineaire homogene differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coëfficiënten:

De karakteristieke vergelijking heeft de vorm

(9.9)

de discriminant D = p 2 - 4q, afhankelijk van het teken van D zijn drie gevallen mogelijk.

1. Als D>0, dan zijn de wortels k 1 en k 2 (9,9) reëel en verschillend, en heeft de algemene oplossing de vorm:

Oplossing. Karakteristieke vergelijking: k 2 + 9 = 0, vandaar k = ± 3i, a = 0, b = 3, de algemene oplossing heeft de vorm:

y = C 1 cos 3x + C 2 zonde 3x.

Lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde worden gebruikt bij het bestuderen van een economisch model van het webtype met inventarissen van goederen, waarbij de mate van verandering in prijs P afhangt van de omvang van de inventaris (zie paragraaf 10). Als vraag en aanbod lineaire functies van de prijs zijn, tenminste

a een constante is die de reactiesnelheid bepaalt, vervolgens wordt het proces van prijsverandering beschreven door de differentiaalvergelijking:

Voor een bepaalde oplossing kunnen we een constante nemen

betekenisvolle evenwichtsprijs. Afwijking voldoet aan de homogene vergelijking

(9.10)

De karakteristieke vergelijking zal als volgt zijn:

Als de term positief is. Laten we aanduiden . De wortels van de karakteristieke vergelijking k 1,2 = ± i w, daarom heeft de algemene oplossing (9.10) de vorm:

waar C en willekeurige constanten zijn, worden ze bepaald op basis van de beginvoorwaarden. We hebben de wet van prijsverandering in de loop van de tijd verkregen:

Ofwel zijn ze al opgelost met betrekking tot de afgeleide, ofwel kunnen ze worden opgelost met betrekking tot de afgeleide .

Algemene oplossing van differentiaalvergelijkingen van het type op het interval X, die wordt gegeven, kan worden gevonden door de integraal van beide zijden van deze gelijkheid te nemen.

We krijgen .

Als we naar de eigenschappen van de onbepaalde integraal kijken, vinden we de gewenste algemene oplossing:

y = F(x) + C,

Waar F(x)- een van de primitieve functies f(x) tussenin X, A MET- willekeurige constante.

Houd er rekening mee dat bij de meeste problemen het interval X niet aangeven. Dit betekent dat er voor iedereen een oplossing moet worden gevonden. X, waarvoor en de gewenste functie j, en de oorspronkelijke vergelijking is logisch.

Als u een bepaalde oplossing voor een differentiaalvergelijking moet berekenen die aan de beginvoorwaarde voldoet y(x0) = y0, en vervolgens na het berekenen van de algemene integraal y = F(x) + C, is het nog steeds nodig om de waarde van de constante te bepalen C = C 0, met behulp van de beginvoorwaarde. Dat wil zeggen: een constante C = C 0 bepaald uit de vergelijking F(x 0) + C = y 0, en de gewenste gedeeltelijke oplossing van de differentiaalvergelijking zal de vorm aannemen:

y = F(x) + C0.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

Laten we een algemene oplossing voor de differentiaalvergelijking vinden en de juistheid van het resultaat controleren. Laten we een specifieke oplossing voor deze vergelijking vinden die aan de beginvoorwaarde zou voldoen.

Oplossing:

Nadat we de gegeven differentiaalvergelijking hebben geïntegreerd, krijgen we:

.

Laten we deze integraal nemen met behulp van de methode van integratie in delen:

Dat., is een algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.

Laten we een controle uitvoeren om er zeker van te zijn dat het resultaat correct is. Om dit te doen, vervangen we de gevonden oplossing in de gegeven vergelijking:

.

Dat is wanneer de oorspronkelijke vergelijking verandert in een identiteit:

daarom werd de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking correct bepaald.

De oplossing die we hebben gevonden is een algemene oplossing voor de differentiaalvergelijking voor elke reële waarde van het argument X.

Rest ons nog een specifieke oplossing voor de ODE te berekenen die aan de beginvoorwaarde zou voldoen. Met andere woorden, het is noodzakelijk om de waarde van de constante te berekenen MET, waarbij de gelijkheid waar zal zijn:

.

.

Vervolgens vervangen C = 2 in de algemene oplossing van de ODE verkrijgen we een specifieke oplossing van de differentiaalvergelijking die aan de beginvoorwaarde voldoet:

.

Gewone differentiaal vergelijking kan voor de afgeleide worden opgelost door de twee zijden van de vergelijking te delen door f(x). Deze transformatie zal gelijkwaardig zijn als f(x) onder geen enkele omstandigheid naar nul gaat X uit het integratie-interval van de differentiaalvergelijking X.

Er zijn waarschijnlijke situaties waarin, voor sommige waarden van het argument X ∈ X functies f(x) En g(x) tegelijkertijd nul worden. Voor vergelijkbare waarden X de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking is elke functie j, wat erin is gedefinieerd, omdat .

Als voor sommige argumentwaarden X ∈ X aan de voorwaarde is voldaan, wat betekent dat de ODE in dit geval geen oplossingen heeft.

Voor alle anderen X uit het interval X de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt bepaald op basis van de getransformeerde vergelijking.

Laten we naar voorbeelden kijken:

Voorbeeld 1.

Laten we een algemene oplossing voor de ODE vinden: .

Oplossing.

Uit de eigenschappen van de elementaire basisfuncties blijkt duidelijk dat de natuurlijke logaritmefunctie is gedefinieerd voor niet-negatieve waarden van het argument, dus het domein van de definitie van de uitdrukking ln(x+3) er is een interval X > -3 . Dit betekent dat de gegeven differentiaalvergelijking zinvol is X > -3 . Voor deze argumentwaarden is de expressie x+3 verdwijnt niet, dus je kunt de ODE voor de afgeleide oplossen door de 2 delen te delen door x+3.

We krijgen .

Vervolgens integreren we de resulterende differentiaalvergelijking, opgelost met betrekking tot de afgeleide: . Om deze integraal te nemen, gebruiken we de methode om deze onder het differentiaalteken te plaatsen.

Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde opgelost met betrekking tot de afgeleide

Hoe differentiaalvergelijkingen van de eerste orde op te lossen

Laten we een differentiaalvergelijking van de eerste orde oplossen met betrekking tot de afgeleide:
.
Door deze vergelijking te delen door , met , krijgen we een vergelijking van de vorm:
,
Waar .

Vervolgens kijken we of deze vergelijkingen tot een van de onderstaande typen behoren. Als dat niet het geval is, herschrijven we de vergelijking in de vorm van differentiëlen. Om dit te doen, schrijven en vermenigvuldigen we de vergelijking met . We verkrijgen een vergelijking in de vorm van differentiëlen:
.

Als deze vergelijking geen totale differentiaalvergelijking is, beschouwen we dat in deze vergelijking de onafhankelijke variabele is, en een functie is van . Deel de vergelijking door:
.
Vervolgens kijken we of deze vergelijking tot een van de onderstaande typen behoort, rekening houdend met het feit dat we van plaats zijn gewisseld.

Als er voor deze vergelijking geen type is gevonden, kijken we of het mogelijk is de vergelijking te vereenvoudigen door eenvoudige substitutie. Als de vergelijking bijvoorbeeld is:
,
dan merken wij dat. Dan maken we een vervanging. Hierna zal de vergelijking een eenvoudiger vorm aannemen:
.

Als dit niet helpt, proberen we de integrerende factor te vinden.

Scheidbare vergelijkingen

;
.
Verdeel door en integreer. Wanneer we krijgen:
.

Vergelijkingen die herleidbaar zijn tot scheidbare vergelijkingen

Homogene vergelijkingen

We lossen door substitutie op:
,
waar is een functie van . Dan
;
.
We scheiden de variabelen en integreren.

Vergelijkingen reducerend tot homogeen

Voer de variabelen in en:
;
.
We kiezen constanten en zodat de vrije termen verdwijnen:
;
.
Als resultaat verkrijgen we een homogene vergelijking in de variabelen en .

Gegeneraliseerde homogene vergelijkingen

Laten we een vervanging maken. We verkrijgen een homogene vergelijking in de variabelen en .

Lineaire differentiaalvergelijkingen

Er zijn drie methoden voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.

2) Bernoulli's methode.
We zoeken een oplossing in de vorm van een product van twee functies en een variabele:
.
;
.
We kunnen willekeurig een van deze functies kiezen. Daarom kiezen we elke niet-nul oplossing van de vergelijking als:
.

3) Variatiemethode voor de constante (Lagrange).
Hier lossen we eerst de homogene vergelijking op:

De algemene oplossing van de homogene vergelijking heeft de vorm:
,
waar is een constante. Vervolgens vervangen we de constante door een functie die afhankelijk is van de variabele:
.
Vervang het in de oorspronkelijke vergelijking. Als resultaat krijgen we een vergelijking waaruit we bepalen.

Vergelijkingen van Bernoulli

Door substitutie wordt de vergelijking van Bernoulli teruggebracht tot een lineaire vergelijking.

Deze vergelijking kan ook worden opgelost met behulp van de Bernoulli-methode. Dat wil zeggen, we zoeken naar een oplossing in de vorm van een product van twee functies, afhankelijk van de variabele:
.
Vervang in de oorspronkelijke vergelijking:
;
.
We kiezen elke oplossing van de vergelijking die niet nul is als:
.
Nadat we dit hebben bepaald, verkrijgen we een vergelijking met scheidbare variabelen voor .

Riccati-vergelijkingen

Het kan niet in algemene vorm worden opgelost. Vervanging

De Riccati-vergelijking wordt teruggebracht tot de vorm:
,
waar is een constante; ; .
Vervolgens door vervanging:

het wordt gereduceerd tot de vorm:
,
Waar .

Eigenschappen van de Riccati-vergelijking en enkele speciale gevallen van de oplossing ervan worden op de pagina gepresenteerd
Riccati-differentiaalvergelijking >>>

Jacobi-vergelijkingen

Opgelost door vervanging:
.

Vergelijkingen in totale verschillen

Gezien dat
.
Als aan deze voorwaarde is voldaan, is de uitdrukking aan de linkerkant van de gelijkheid het differentieel van een bepaalde functie:
.
Dan
.
Vanaf hier verkrijgen we de integraal van de differentiaalvergelijking:
.

Om de functie te vinden, is de methode van sequentiële differentiële extractie de handigste manier. Gebruik hiervoor de formules:
;
;
;
.

Integrerende factor

Als een differentiaalvergelijking van de eerste orde niet kan worden herleid tot een van de genoemde typen, kunt u proberen de integrerende factor te vinden. Een integrerende factor is een functie waarmee een differentiaalvergelijking, wanneer deze wordt vermenigvuldigd, een vergelijking in totale verschillen wordt. Een differentiaalvergelijking van de eerste orde heeft een oneindig aantal integrerende factoren. Er zijn echter geen algemene methoden om de integrerende factor te vinden.

Vergelijkingen niet opgelost voor de afgeleide y"

Vergelijkingen die kunnen worden opgelost met betrekking tot de afgeleide y"

Eerst moet je proberen de vergelijking met betrekking tot de afgeleide op te lossen. Indien mogelijk kan de vergelijking worden teruggebracht tot een van de hierboven genoemde typen.

Vergelijkingen die kunnen worden ontbonden

Als je de vergelijking kunt ontbinden:
,
dan wordt het probleem teruggebracht tot het opeenvolgend oplossen van eenvoudiger vergelijkingen:
;
;

;
. We geloven. Dan
of .
Vervolgens integreren we de vergelijking:
;
.
Als resultaat verkrijgen we de uitdrukking van de tweede variabele via de parameter.

Meer algemene vergelijkingen:
of
worden ook in parametrische vorm opgelost. Om dit te doen, moet u een functie selecteren zodat u deze uit de oorspronkelijke vergelijking kunt uitdrukken of via de parameter.
Om de tweede variabele via de parameter uit te drukken, integreren we de vergelijking:
;
.

Vergelijkingen opgelost voor y

Clairaut-vergelijkingen

Deze vergelijking heeft een algemene oplossing

Lagrange-vergelijkingen

Wij zoeken naar een oplossing in parametrische vorm. We nemen aan dat waar een parameter is.

Vergelijkingen die leiden tot de vergelijking van Bernoulli

Deze vergelijkingen worden gereduceerd tot de Bernoulli-vergelijking als we naar hun oplossingen in parametrische vorm zoeken door een parameter te introduceren en de vervanging uit te voeren.

Referenties:
V.V. Stepanov, Cursus differentiaalvergelijkingen, "LKI", 2015.
NM Günter, R.O. Kuzmin, Verzameling van problemen in de hogere wiskunde, “Lan”, 2003.

Ik denk dat we moeten beginnen met de geschiedenis van zo'n glorieus wiskundig hulpmiddel als differentiaalvergelijkingen. Zoals alle differentiaal- en integraalrekeningen werden deze vergelijkingen eind 17e eeuw door Newton uitgevonden. Hij vond deze specifieke ontdekking van hem zo belangrijk dat hij zelfs een bericht versleutelde, dat vandaag de dag ongeveer als volgt kan worden vertaald: “Alle natuurwetten worden beschreven door differentiaalvergelijkingen.” Dit lijkt misschien overdreven, maar het is waar. Elke wet van de natuurkunde, scheikunde en biologie kan door deze vergelijkingen worden beschreven.

Wiskundigen Euler en Lagrange hebben een enorme bijdrage geleverd aan de ontwikkeling en creatie van de theorie van differentiaalvergelijkingen. Al in de 18e eeuw ontdekten en ontwikkelden ze wat ze nu studeren in hogere universitaire opleidingen.

Een nieuwe mijlpaal in de studie van differentiaalvergelijkingen begon dankzij Henri Poincaré. Hij creëerde de 'kwalitatieve theorie van differentiaalvergelijkingen', die, gecombineerd met de theorie van functies van een complexe variabele, een belangrijke bijdrage leverde aan de basis van de topologie: de wetenschap van de ruimte en zijn eigenschappen.

Wat zijn differentiaalvergelijkingen?

Veel mensen zijn bang voor één zin, maar in dit artikel zullen we in detail de hele essentie van dit zeer nuttige wiskundige apparaat schetsen, dat eigenlijk niet zo ingewikkeld is als het lijkt op basis van de naam. Om over differentiaalvergelijkingen van de eerste orde te kunnen spreken, moet u eerst vertrouwd raken met de basisconcepten die inherent met deze definitie samenhangen. En we beginnen met het differentieel.

Differentieel

Veel mensen kennen dit concept al sinds school. Laten we het echter eens nader bekijken. Stel je de grafiek van een functie voor. We kunnen het zo vergroten dat elk segment ervan de vorm van een rechte lijn zal aannemen. Laten we er twee punten op nemen die oneindig dicht bij elkaar liggen. Het verschil tussen hun coördinaten (x of y) zal oneindig klein zijn. Het wordt het differentieel genoemd en wordt aangegeven met de tekens dy (differentieel van y) en dx (differentieel van x). Het is heel belangrijk om te begrijpen dat het verschil geen eindige hoeveelheid is, en dat dit de betekenis en hoofdfunctie ervan is.

Nu moeten we het volgende element overwegen, dat nuttig voor ons zal zijn bij het uitleggen van het concept van een differentiaalvergelijking. Dit is een afgeleide.

Derivaat

We hebben dit concept waarschijnlijk allemaal op school gehoord. Er wordt gezegd dat de afgeleide de snelheid is waarmee een functie toeneemt of afneemt. Uit deze definitie wordt echter veel onduidelijk. Laten we proberen de afgeleide uit te leggen via differentiëlen. Laten we terugkeren naar een oneindig klein segment van een functie met twee punten die zich op een minimale afstand van elkaar bevinden. Maar zelfs over deze afstand weet de functie enigszins te veranderen. En om deze verandering te beschrijven bedachten ze een afgeleide, die anders kan worden geschreven als een verhouding van differentiëlen: f(x)"=df/dx.

Nu is het de moeite waard om de basiseigenschappen van het derivaat te overwegen. Er zijn er maar drie:

1. De afgeleide van een som of verschil kan worden weergegeven als een som of verschil van afgeleiden: (a+b)"=a"+b" en (a-b)"=a"-b".
2. De tweede eigenschap heeft betrekking op vermenigvuldiging. De afgeleide van een product is de som van de producten van de ene functie en de afgeleide van een andere: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. De afgeleide van het verschil kan worden geschreven als de volgende gelijkheid: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Al deze eigenschappen zullen voor ons nuttig zijn bij het vinden van oplossingen voor differentiaalvergelijkingen van de eerste orde.

Er zijn ook partiële afgeleiden. Laten we zeggen dat we een functie z hebben die afhangt van de variabelen x en y. Om de partiële afgeleide van deze functie te berekenen, bijvoorbeeld met betrekking tot x, moeten we de variabele y als constante nemen en eenvoudigweg differentiëren.

Integraal

Een ander belangrijk concept is integraal. In feite is dit precies het tegenovergestelde van een derivaat. Er zijn verschillende soorten integralen, maar om de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen op te lossen hebben we de meest triviale nodig

Laten we zeggen dat f afhankelijk is van x. We nemen er de integraal uit en krijgen de functie F(x) (vaak de primitieve functie genoemd), waarvan de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie. Dus F(x)"=f(x). Hieruit volgt ook dat de integraal van de afgeleide gelijk is aan de oorspronkelijke functie.

Bij het oplossen van differentiaalvergelijkingen is het erg belangrijk om de betekenis en functie van de integraal te begrijpen, aangezien je ze heel vaak zult moeten gebruiken om de oplossing te vinden.

Vergelijkingen variëren afhankelijk van hun aard. In de volgende sectie zullen we kijken naar de soorten differentiaalvergelijkingen van de eerste orde, en vervolgens leren hoe we deze kunnen oplossen.

Klassen van differentiaalvergelijkingen

"Diffurs" zijn verdeeld volgens de volgorde van de derivaten die erbij betrokken zijn. Er is dus een eerste, tweede, derde en meer orde. Ze kunnen ook worden onderverdeeld in verschillende klassen: gewone en gedeeltelijke afgeleiden.

In dit artikel zullen we gewone differentiaalvergelijkingen van de eerste orde bekijken. In de volgende paragrafen bespreken we ook voorbeelden en manieren om deze op te lossen. We zullen alleen ODE's beschouwen, omdat dit de meest voorkomende typen vergelijkingen zijn. Gewone zijn onderverdeeld in ondersoorten: met scheidbare variabelen, homogeen en heterogeen. Vervolgens leer je hoe ze van elkaar verschillen en leer je hoe je ze kunt oplossen.

Bovendien kunnen deze vergelijkingen worden gecombineerd, zodat we een stelsel van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde krijgen. We zullen dergelijke systemen ook overwegen en leren hoe we ze kunnen oplossen.

Waarom overwegen we alleen de eerste bestelling? Omdat je met iets eenvoudigs moet beginnen, en het simpelweg onmogelijk is om alles wat met differentiaalvergelijkingen te maken heeft in één artikel te beschrijven.

Scheidbare vergelijkingen

Dit zijn misschien wel de eenvoudigste differentiaalvergelijkingen van de eerste orde. Hiertoe behoren voorbeelden die als volgt kunnen worden geschreven: y"=f(x)*f(y). Om deze vergelijking op te lossen, hebben we een formule nodig om de afgeleide weer te geven als een verhouding van differentiëlen: y"=dy/dx. Door dit te gebruiken krijgen we de volgende vergelijking: dy/dx=f(x)*f(y). Nu kunnen we ons wenden tot de methode voor het oplossen van standaardvoorbeelden: we verdelen de variabelen in delen, dat wil zeggen, we verplaatsen alles met de variabele y naar het deel waar dy zich bevindt, en doen hetzelfde met de variabele x. We verkrijgen een vergelijking van de vorm: dy/f(y)=f(x)dx, die wordt opgelost door integralen van beide kanten te nemen. Vergeet de constante niet die moet worden ingesteld na het nemen van de integraal.

De oplossing voor elk ‘verschil’ is een functie van de afhankelijkheid van x van y (in ons geval) of, als er een numerieke voorwaarde aanwezig is, het antwoord in de vorm van een getal. Laten we het hele oplossingsproces bekijken aan de hand van een specifiek voorbeeld:

Laten we de variabelen in verschillende richtingen verplaatsen:

Laten we nu de integralen nemen. Ze zijn allemaal te vinden in een speciale tabel met integralen. En wij krijgen:

ln(y) = -2*cos(x) + C

Indien nodig kunnen we "y" uitdrukken als een functie van "x". Nu kunnen we zeggen dat onze differentiaalvergelijking is opgelost als de voorwaarde niet is gespecificeerd. Er kan een voorwaarde worden opgegeven, bijvoorbeeld y(n/2)=e. Vervolgens vervangen we eenvoudigweg de waarden van deze variabelen in de oplossing en vinden we de waarde van de constante. In ons voorbeeld is dit 1.

Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Laten we nu verder gaan met het moeilijkere deel. Homogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde kunnen in algemene vorm als volgt worden geschreven: y"=z(x,y). Opgemerkt moet worden dat de rechterfunctie van twee variabelen homogeen is en niet in twee afhankelijkheden kan worden verdeeld. : z op x en z op y. Controleer of de vergelijking homogeen is of niet is vrij eenvoudig: we maken de vervanging x=k*x en y=k*y. Nu annuleren we alle k. Als al deze letters zijn geannuleerd Als we vooruitkijken, laten we zeggen: het principe van het oplossen van deze voorbeelden is ook heel eenvoudig.

We moeten een vervanging maken: y=t(x)*x, waarbij t een bepaalde functie is die ook van x afhangt. Dan kunnen we de afgeleide uitdrukken: y"=t"(x)*x+t. Als we dit allemaal in onze oorspronkelijke vergelijking vervangen en vereenvoudigen, krijgen we een voorbeeld met scheidbare variabelen t en x. We lossen het op en krijgen de afhankelijkheid t(x). Toen we het ontvingen, vervangen we eenvoudigweg y=t(x)*x door onze vorige vervanging. Dan krijgen we de afhankelijkheid van y van x.

Laten we, om het duidelijker te maken, naar een voorbeeld kijken: x*y"=y-x*e y/x .

Bij controle met vervanging wordt alles verminderd. Dit betekent dat de vergelijking werkelijk homogeen is. Nu maken we nog een vervanging waar we het over hadden: y=t(x)*x en y"=t"(x)*x+t(x). Na vereenvoudiging verkrijgen we de volgende vergelijking: t"(x)*x=-e t. We lossen het resulterende voorbeeld op met gescheiden variabelen en krijgen: e -t =ln(C*x). Het enige wat we moeten doen is vervangen t met y/x (als y =t*x, dan t=y/x), en we krijgen het antwoord: e -y/x =ln(x*C).

Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde

Het is tijd om naar een ander breed onderwerp te kijken. We zullen inhomogene differentiaalvergelijkingen van de eerste orde analyseren. Hoe verschillen ze van de vorige twee? Laten we het uitzoeken. Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde kunnen in algemene vorm als volgt worden geschreven: y" + g(x)*y=z(x). Het is de moeite waard om te verduidelijken dat z(x) en g(x) constante grootheden kunnen zijn.

En nu een voorbeeld: y" - y*x=x 2 .

Er zijn twee oplossingen, en we zullen beide in volgorde bekijken. De eerste is de methode om willekeurige constanten te variëren.

Om de vergelijking op deze manier op te lossen, moet je eerst de rechterkant gelijkstellen aan nul en de resulterende vergelijking oplossen, die, na het overbrengen van de delen, de vorm zal aannemen:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y C =C 1 *e x2/2 .

Nu moeten we de constante C 1 vervangen door de functie v(x), die we moeten vinden.

Laten we de afgeleide vervangen:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

En vervang deze uitdrukkingen door de oorspronkelijke vergelijking:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Je kunt zien dat aan de linkerkant twee termen vervallen. Als dit in een bepaald voorbeeld niet is gebeurd, heb je iets verkeerd gedaan. Laten we doorgaan:

v"*e x2/2 = x 2 .

Nu lossen we de gebruikelijke vergelijking op waarin we de variabelen moeten scheiden:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Om de integraal te extraheren, zullen we hier partiële integratie moeten toepassen. Dit is echter niet het onderwerp van ons artikel. Als u geïnteresseerd bent, kunt u zelf leren hoe u dergelijke acties kunt uitvoeren. Het is niet moeilijk, en met voldoende vaardigheid en zorg kost het niet veel tijd.

Laten we eens kijken naar de tweede methode voor het oplossen van inhomogene vergelijkingen: de methode van Bernoulli. Welke aanpak sneller en gemakkelijker is, bepaal jij zelf.

Dus als we een vergelijking met deze methode oplossen, moeten we een substitutie uitvoeren: y=k*n. Hier zijn k en n enkele x-afhankelijke functies. Dan ziet de afgeleide er als volgt uit: y"=k"*n+k*n". We vervangen beide vervangingen in de vergelijking:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Groepering:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Nu moeten we wat tussen haakjes staat gelijkstellen aan nul. Als we nu de twee resulterende vergelijkingen combineren, krijgen we een systeem van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde dat moet worden opgelost:

We lossen de eerste gelijkheid op als een gewone vergelijking. Om dit te doen moet je de variabelen scheiden:

We nemen de integraal en krijgen: ln(n)=x 2 /2. Als we dan n uitdrukken:

Nu vervangen we de resulterende gelijkheid in de tweede vergelijking van het systeem:

k"*e x2/2 =x 2 .

En transformerend krijgen we dezelfde gelijkheid als bij de eerste methode:

dk=x 2 /e x2/2 .

Verdere acties zullen wij ook niet bespreken. Het is de moeite waard om te zeggen dat het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde in eerste instantie aanzienlijke problemen oplevert. Naarmate je je echter dieper in het onderwerp verdiept, begint het steeds beter uit te werken.

Waar worden differentiaalvergelijkingen gebruikt?

Differentiaalvergelijkingen worden zeer actief gebruikt in de natuurkunde, omdat bijna alle basiswetten in differentiaalvorm zijn geschreven, en de formules die we zien oplossingen zijn voor deze vergelijkingen. In de scheikunde worden ze om dezelfde reden gebruikt: met hun hulp worden fundamentele wetten afgeleid. In de biologie worden differentiaalvergelijkingen gebruikt om het gedrag van systemen, zoals roofdieren en prooien, te modelleren. Ze kunnen ook worden gebruikt om reproductiemodellen te maken van bijvoorbeeld een kolonie micro-organismen.

Hoe kunnen differentiaalvergelijkingen u helpen in het leven?

Het antwoord op deze vraag is simpel: helemaal niet. Als u geen wetenschapper of ingenieur bent, is het onwaarschijnlijk dat ze nuttig voor u zullen zijn. Voor de algemene ontwikkeling kan het echter geen kwaad om te weten wat een differentiaalvergelijking is en hoe deze wordt opgelost. En dan is de vraag van de zoon of dochter: “wat is een differentiaalvergelijking?” zal je niet in verwarring brengen. Nou, als je een wetenschapper of ingenieur bent, dan begrijp je zelf het belang van dit onderwerp in elke wetenschap. Maar het allerbelangrijkste is dat nu de vraag “hoe een differentiaalvergelijking van de eerste orde op te lossen?” je kunt altijd een antwoord geven. Mee eens, het is altijd leuk als je iets begrijpt dat mensen zelfs niet durven te begrijpen.

Belangrijkste problemen bij het studeren

Het grootste probleem bij het begrijpen van dit onderwerp is een slechte vaardigheid in het integreren en differentiëren van functies. Als je niet goed bent in afgeleiden en integralen, dan is het waarschijnlijk de moeite waard om meer te studeren, verschillende methoden van integratie en differentiatie onder de knie te krijgen, en pas dan het materiaal te gaan bestuderen dat in het artikel is beschreven.

Sommige mensen zijn verrast als ze horen dat dx kan worden overgedragen, omdat eerder (op school) werd gesteld dat de breuk dy/dx ondeelbaar is. Hier moet je de literatuur over de afgeleide lezen en begrijpen dat het een verhouding is van oneindig kleine hoeveelheden die kunnen worden gemanipuleerd bij het oplossen van vergelijkingen.

Veel mensen realiseren zich niet meteen dat het oplossen van differentiaalvergelijkingen van de eerste orde vaak een functie of integraal is die niet kan worden aangenomen, en deze misvatting bezorgt hen veel problemen.

Wat kun je nog meer bestuderen voor een beter begrip?

Het is het beste om verdere onderdompeling in de wereld van differentiaalrekening te beginnen met gespecialiseerde leerboeken, bijvoorbeeld over wiskundige analyse voor studenten van niet-wiskundige specialiteiten. Dan kun je verdergaan met meer gespecialiseerde literatuur.

Het is de moeite waard om te zeggen dat er naast differentiaalvergelijkingen ook integraalvergelijkingen zijn, zodat je altijd iets hebt om naar te streven en iets om te studeren.

Conclusie

We hopen dat je na het lezen van dit artikel een idee hebt van wat differentiaalvergelijkingen zijn en hoe je ze correct kunt oplossen.

Hoe dan ook zal wiskunde op de een of andere manier nuttig voor ons zijn in het leven. Het ontwikkelt logica en aandacht, zonder welke elke persoon zonder handen is.