Differensialligninger med spesiell høyre sidetabell. Lineære inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter

Inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter

Struktur av den generelle løsningen

En lineær inhomogen ligning av denne typen har formen:

Hvor s, q− konstante tall (som kan være enten reelle eller komplekse). For hver slik ligning kan vi skrive den tilsvarende homogen ligning:

Teorem: Den generelle løsningen av en inhomogen ligning er summen av den generelle løsningen y 0 (x) av den tilsvarende homogene ligningen og spesiell løsning y 1 (x) inhomogen ligning:

Nedenfor vil vi vurdere to måter å løse inhomogene differensialligninger på.

Metode for variasjon av konstanter

Hvis den generelle løsningen y 0 av den assosierte homogene ligningen er kjent, så kan den generelle løsningen til den inhomogene ligningen bli funnet ved å bruke konstant variasjonsmetode. La den generelle løsningen av en homogen annenordens differensialligning ha formen:

I stedet for permanent C 1 og C 2 vil vi vurdere hjelpefunksjoner C 1 (x) Og C 2 (x). Vi vil se etter disse funksjonene slik at løsningen

tilfredsstilte den inhomogene ligningen med høyre side f(x). Ukjente funksjoner C 1 (x) Og C 2 (x) bestemmes fra et system med to ligninger:

Usikker koeffisientmetode

Høyre del f(x) av en inhomogen differensialligning er ofte en polynomisk, eksponentiell eller trigonometrisk funksjon, eller en kombinasjon av disse funksjonene. I dette tilfellet er det mer praktisk å søke etter en løsning ved å bruke metode for usikre koeffisienter. Vi understreker at denne metoden kun fungerer for en begrenset klasse funksjoner på høyre side, som f.eks

I begge tilfeller må valget av en bestemt løsning samsvare med strukturen til høyre side av den inhomogene differensialligningen. I tilfelle 1, hvis nummeret α i eksponentialfunksjonen sammenfaller med roten av den karakteristiske ligningen, så vil den bestemte løsningen inneholde en tilleggsfaktor x s, Hvor s− rotmangfold α i den karakteristiske ligningen. I tilfelle 2, hvis nummeret α + βi faller sammen med roten til den karakteristiske ligningen, vil uttrykket for den bestemte løsningen inneholde en tilleggsfaktor x. Ukjente koeffisienter kan bestemmes ved å erstatte det funnet uttrykket for en bestemt løsning i den opprinnelige inhomogene differensialligningen.

Superposisjonsprinsipp

Hvis høyre side av den inhomogene ligningen er beløp flere funksjoner i skjemaet

da vil en bestemt løsning av differensialligningen også være summen av partielle løsninger konstruert separat for hvert ledd på høyre side.

Eksempel 1

Løs differensialligning y"" + y= synd(2 x).

Løsning.

Først løser vi den tilsvarende homogene ligningen y"" + y= 0. I dette tilfellet er røttene til den karakteristiske ligningen rent imaginære:

Følgelig er den generelle løsningen av den homogene ligningen gitt av uttrykket

La oss gå tilbake til den inhomogene ligningen. Vi vil se etter løsningen i skjemaet

ved å bruke metoden for variasjon av konstanter. Funksjoner C 1 (x) Og C 2 (x) kan bli funnet fra følgende ligningssystem:

La oss uttrykke den deriverte C 1 " (x) fra den første ligningen:

Substituere inn i den andre ligningen, finner vi den deriverte C 2 " (x):

Det følger at

Integrering av uttrykk for derivater C 1 " (x) Og C 2 " (x), vi får:

Hvor EN 1 , EN 2 – integrasjonskonstanter. La oss nå erstatte funnfunksjonene C 1 (x) Og C 2 (x) inn i formelen for y 1 (x) og skriv ned den generelle løsningen av den inhomogene ligningen:

Eksempel 2

Finn den generelle løsningen på ligningen y"" + y" −6y = 36x.

Løsning.

La oss bruke metoden med ubestemte koeffisienter. Høyre side av den gitte ligningen er en lineær funksjon f(x)= øks + b. Derfor vil vi se etter en bestemt løsning i skjemaet

Derivatene er like:

Setter vi dette inn i differensialligningen får vi:

Den siste ligningen er en identitet, det vil si at den er gyldig for alle x, derfor likestiller vi koeffisientene til ledd med de samme gradene x på venstre og høyre side:

Fra det resulterende systemet finner vi: EN = −6, B= −1. Som et resultat blir den spesielle løsningen skrevet i skjemaet

La oss nå finne den generelle løsningen av den homogene differensialligningen. La oss beregne røttene til hjelpekarakteristikken:

Derfor har den generelle løsningen av den tilsvarende homogene ligningen formen:

Så den generelle løsningen av den opprinnelige inhomogene ligningen uttrykkes med formelen

Generell integral av DE.

Løs differensialligning

Men det morsomste er at svaret allerede er kjent: , mer presist, vi må også legge til en konstant: Det generelle integralet er en løsning på differensialligningen.

Metode for variasjon av vilkårlige konstanter. Eksempler på løsninger

Metoden for variasjon av vilkårlige konstanter brukes til å løse inhomogene differensialligninger. Denne leksjonen er ment for de elevene som allerede er mer eller mindre godt kjent med temaet. Hvis du så vidt begynner å bli kjent med fjernkontroll, dvs. Hvis du er en tekanne, anbefaler jeg å starte med den første leksjonen: Første ordens differensialligninger. Eksempler på løsninger. Og hvis du allerede er ferdig, ber vi deg forkaste den mulige forforståelsen om at metoden er vanskelig. Fordi det er enkelt.

I hvilke tilfeller brukes metoden for variasjon av vilkårlige konstanter?

1) Metoden for variasjon av en vilkårlig konstant kan brukes til å løse lineær inhomogen DE av 1. orden. Siden ligningen er av første orden, så er konstanten også en.

2) Metoden for variasjon av vilkårlige konstanter brukes til å løse noen lineære inhomogene andre ordens ligninger. Her varierer to konstanter.

Det er logisk å anta at leksjonen vil bestå av to avsnitt... Så jeg skrev denne setningen, og i omtrent 10 minutter tenkte jeg smertefullt på hvilken annen smart dritt jeg kunne legge til for en jevn overgang til praktiske eksempler. Men av en eller annen grunn har jeg ingen tanker etter ferien, selv om jeg ikke ser ut til å ha misbrukt noe. La oss derfor gå rett til første avsnitt.

Metode for variasjon av en vilkårlig konstant for en førsteordens lineær inhomogen ligning

Før du vurderer metoden for variasjon av en vilkårlig konstant, er det tilrådelig å være kjent med artikkelen Lineære differensialligninger av første orden. I den leksjonen øvde vi første løsning inhomogen 1. ordens DE. Denne første løsningen, minner jeg om, heter erstatningsmetode eller Bernoulli metode(ikke å forveksle med Bernoullis ligning!!!)

Nå skal vi se andre løsning– metode for variasjon av en vilkårlig konstant. Jeg vil bare gi tre eksempler, og jeg vil ta dem fra den ovennevnte leksjonen. Hvorfor så få? For faktisk vil løsningen på den andre måten være veldig lik løsningen på den første måten. I tillegg, ifølge mine observasjoner, brukes metoden for variasjon av vilkårlige konstanter sjeldnere enn erstatningsmetoden.

Eksempel 1

Finn den generelle løsningen av differensialligningen (Diffour fra eksempel nr. 2 i leksjonen Lineære inhomogene differensialligninger av 1. orden)

Løsning: Denne ligningen er lineær inhomogen og har en kjent form:

På det første trinnet er det nødvendig å løse en enklere ligning: Det vil si at vi dumt tilbakestiller høyre side til null - skriv null i stedet. Jeg vil kalle ligningen hjelpeligning.

I dette eksemplet må du løse følgende hjelpeligning:

Før oss separerbar ligning, hvis løsning (håper jeg) ikke lenger er vanskelig for deg:

Altså: – generell løsning av hjelpeligningen.

På det andre trinnet vi vil erstatte noen konstante for nå ukjent funksjon som avhenger av "x":

Derav navnet på metoden - vi varierer konstanten. Alternativt kan konstanten være en funksjon som vi nå må finne.

I opprinnelig i den inhomogene ligningen gjør vi erstatningen:

La oss bytte inn i ligningen:

Kontrollpunkt – de to termene på venstre side avbryter. Hvis dette ikke skjer, bør du se etter feilen ovenfor.

Som et resultat av erstatningen ble det oppnådd en ligning med separerbare variabler. Vi skiller variablene og integrerer.

For en velsignelse, eksponentene avbryter også:

Vi legger til en "normal" konstant til funnfunksjonen:

På sluttfasen husker vi om erstatningen vår:

Funksjonen er nettopp funnet!

Så den generelle løsningen er:

Svar: felles beslutning:

Skriver du ut de to løsningene vil du lett legge merke til at vi i begge tilfeller fant de samme integralene. Den eneste forskjellen ligger i løsningsalgoritmen.

Nå for noe mer komplisert, vil jeg også kommentere det andre eksemplet:

Eksempel 2

Finn den generelle løsningen av differensialligningen (Diffour fra eksempel nr. 8 i leksjonen Lineære inhomogene differensialligninger av 1. orden)

Løsning: La oss bringe ligningen til skjemaet:

La oss tilbakestille høyre side og løse hjelpeligningen:

Vi skiller variablene og integrerer: Den generelle løsningen på hjelpeligningen:

I den inhomogene ligningen gjør vi erstatningen:

I henhold til produktdifferensieringsregelen:

La oss erstatte inn i den opprinnelige inhomogene ligningen:

De to begrepene på venstre side avbryter, noe som betyr at vi er på rett spor:

La oss integrere etter deler. Den smakfulle bokstaven fra integrasjonsformelen er allerede involvert i løsningen, så vi bruker for eksempel bokstavene "a" og "be":

Etter hvert:

La oss nå huske erstatningen:

Svar: felles beslutning:

Metode for variasjon av vilkårlige konstanter for en lineær inhomogen andreordens ligning med konstante koeffisienter

Jeg har ofte hørt den oppfatningen at metoden for å variere vilkårlige konstanter for en annenordens ligning ikke er en enkel ting. Men jeg antar følgende: mest sannsynlig virker metoden vanskelig for mange fordi den ikke forekommer så ofte. Men i virkeligheten er det ingen spesielle vanskeligheter - forløpet av avgjørelsen er tydelig, gjennomsiktig og forståelig. Og vakker.

For å mestre metoden er det ønskelig å kunne løse inhomogene andreordensligninger ved å velge en bestemt løsning basert på formen på høyre side. Denne metoden er omtalt i detalj i artikkelen. Inhomogene 2. ordens DE-er. Vi husker at en andreordens lineær inhomogen ligning med konstante koeffisienter har formen:

Valgmetoden, som ble diskutert i leksjonen ovenfor, fungerer bare i et begrenset antall tilfeller når høyresiden inneholder polynomer, eksponentialer, sinus og cosinus. Men hva skal man gjøre når til høyre for eksempel er en brøk, logaritme, tangent? I en slik situasjon kommer metoden for variasjon av konstanter til unnsetning.

Eksempel 4

Finn den generelle løsningen på en andreordens differensialligning

Løsning: Det er en brøkdel på høyre side av denne ligningen, så vi kan umiddelbart si at metoden for å velge en bestemt løsning ikke fungerer. Vi bruker metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.

Det er ingen tegn til tordenvær; begynnelsen av løsningen er helt vanlig:

Vi finner felles vedtak passende homogen ligninger:

La oss komponere og løse den karakteristiske ligningen: - konjugerte komplekse røtter oppnås, så den generelle løsningen er:

Vær oppmerksom på oversikten over den generelle løsningen - hvis det er parenteser, åpne dem.

Nå gjør vi nesten det samme trikset som for førsteordensligningen: vi varierer konstantene, og erstatter dem med ukjente funksjoner. Det er, generell løsning av inhomogen vi vil se etter ligninger i formen:

Hvor - for nå ukjente funksjoner.

Det ser ut som en husholdningsavfallsplass, men nå skal vi ordne opp i alt.

De ukjente er avledet av funksjonene. Målet vårt er å finne deriverte, og de funnet deriverte må tilfredsstille både den første og andre ligningen i systemet.

Hvor kommer "grekerne" fra? Storken bringer dem. Vi ser på den generelle løsningen oppnådd tidligere og skriver:

La oss finne derivatene:

De venstre delene er behandlet. Hva er til høyre?

er høyre side av den opprinnelige ligningen, i dette tilfellet:

Denne artikkelen tar for seg spørsmålet om å løse lineære inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter. Teorien vil bli diskutert sammen med eksempler på gitte problemer. For å tyde uklare termer, er det nødvendig å referere til emnet om de grunnleggende definisjonene og konseptene til teorien om differensialligninger.

La oss vurdere en lineær differensialligning (LDE) av andre orden med konstante koeffisienter av formen y "" + p · y " + q · y = f (x), hvor p og q er vilkårlige tall, og den eksisterende funksjonen f (x) er kontinuerlig på integrasjonsintervallet x.

La oss gå videre til formuleringen av teoremet for den generelle løsningen av LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Generell løsningsteorem for LDNU

Teorem 1

En generell løsning, lokalisert på intervallet x, av en inhomogen differensialligning av formen y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) med kontinuerlige integrasjonskoeffisienter på x-intervallet f 0 (x), f 1 (x), . . . , f n - 1 (x) og en kontinuerlig funksjon f (x) er lik summen av den generelle løsningen y 0, som tilsvarer LOD og en bestemt løsning y ~, der den opprinnelige inhomogene ligningen er y = y 0 + y ~.

Dette viser at løsningen til en slik annenordens ligning har formen y = y 0 + y ~ . Algoritmen for å finne y 0 er omtalt i artikkelen om lineære homogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter. Deretter bør vi gå videre til definisjonen av y ~.

Valget av en bestemt løsning på LPDE avhenger av typen tilgjengelig funksjon f (x) plassert på høyre side av ligningen. For å gjøre dette er det nødvendig å vurdere separat løsningene av lineære inhomogene andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter.

Når f (x) anses å være et polynom av n-te grad f (x) = P n (x), følger det at en bestemt løsning av LPDE blir funnet ved å bruke en formel på formen y ~ = Q n (x ) x γ, hvor Q n ( x) er et polynom av grad n, r er antallet nullrøtter til den karakteristiske ligningen. Verdien y ~ er en spesiell løsning y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , deretter de tilgjengelige koeffisientene som er definert av polynomet
Q n (x), finner vi ved å bruke metoden for ubestemte koeffisienter fra likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Eksempel 1

Regn ut ved å bruke Cauchys teorem y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Løsning

Med andre ord er det nødvendig å gå videre til en bestemt løsning av en lineær inhomogen differensialligning av andre orden med konstante koeffisienter y "" - 2 y " = x 2 + 1, som vil tilfredsstille de gitte betingelsene y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Den generelle løsningen av en lineær inhomogen ligning er summen av den generelle løsningen, som tilsvarer ligningen y 0 eller en spesiell løsning til den inhomogene ligningen y ~, det vil si y = y 0 + y ~.

Først vil vi finne en generell løsning for LNDU, og deretter en spesiell.

La oss gå videre til å finne y 0. Å skrive ned den karakteristiske ligningen vil hjelpe deg med å finne røttene. Det skjønner vi

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Vi fant ut at røttene er annerledes og ekte. La oss derfor skrive ned

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

La oss finne y ~ . Det kan sees at høyre side av den gitte ligningen er et polynom av andre grad, da er en av røttene lik null. Fra dette får vi at en bestemt løsning for y ~ vil være

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, hvor verdiene til A, B, C tar på seg ubestemte koeffisienter.

La oss finne dem fra en likhet på formen y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Da får vi det:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Ved å likestille koeffisientene med de samme eksponentene til x får vi et system med lineære uttrykk - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Når vi løser med en av metodene, vil vi finne koeffisientene og skrive: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 og y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Denne oppføringen kalles den generelle løsningen av den opprinnelige lineære inhomogene andreordens differensialligningen med konstante koeffisienter.

For å finne en bestemt løsning som tilfredsstiller betingelsene y (0) = 2, y "(0) = 1 4, er det nødvendig å bestemme verdiene C 1 Og C 2, basert på en likhet på formen y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Vi får det:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Vi arbeider med det resulterende likningssystemet på formen C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, hvor C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Ved å bruke Cauchys teorem, har vi det

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Svar: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Når funksjonen f (x) er representert som produktet av et polynom med grad n og en eksponent f (x) = P n (x) · e a x , får vi at en bestemt løsning av andreordens LPDE vil være en likning av formen y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, hvor Q n (x) er et polynom av n-te grad, og r er antall røtter til den karakteristiske likningen lik α.

Koeffisientene som tilhører Q n (x) finnes ved likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 2

Finn den generelle løsningen til en differensialligning av formen y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Løsning

Den generelle ligningen er y = y 0 + y ~ . Den indikerte ligningen tilsvarer LOD y "" - 2 y " = 0. Fra forrige eksempel kan det sees at røttene er like k 1 = 0 og k 2 = 2 og y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ved den karakteristiske ligningen.

Det kan sees at høyre side av ligningen er x 2 + 1 · e x . Herfra finnes LPDE gjennom y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, hvor Q n (x) er et polynom av andre grad, hvor α = 1 og r = 0, fordi den karakteristiske ligningen ikke har en rot lik 1. Herfra får vi det

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C er ukjente koeffisienter som kan finnes ved likheten y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Forstod det

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Vi setter likhetstegn mellom indikatorene med de samme koeffisientene og får et system med lineære ligninger. Herfra finner vi A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Svar: det er klart at y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 er en spesiell løsning av LNDDE, og y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - en generell løsning for en annenordens inhomogen dif-ligning.

Når funksjonen skrives som f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, og A 1 Og I 1 er tall, anses en partiell løsning av LPDE å være en ligning av formen y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, hvor A og B regnes som ubestemte koeffisienter, og r er antallet av komplekse konjugerte røtter relatert til den karakteristiske ligningen, lik ± i β . I dette tilfellet utføres søket etter koeffisienter ved å bruke likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Eksempel 3

Finn den generelle løsningen til en differensialligning av formen y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Løsning

Før vi skriver den karakteristiske ligningen, finner vi y 0. Deretter

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i

Vi har et par komplekse konjugerte røtter. La oss transformere og få:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Røttene til den karakteristiske ligningen anses å være konjugatparet ± 2 i, da f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Dette viser at søket etter y ~ vil bli gjort fra y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Ukjente Vi vil se etter koeffisientene A og B fra en likhet på formen y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

La oss transformere:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Da er det klart det

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Det er nødvendig å likestille koeffisientene til sinus og cosinus. Vi får et system av skjemaet:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Det følger at y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Svar: den generelle løsningen av den originale andreordens LDDE med konstante koeffisienter vurderes

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Når f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), så er y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Vi har at r er antallet komplekse konjugerte par av røtter relatert til den karakteristiske ligningen, lik α ± i β, hvor P n (x), Q k (x), L m (x) og Nm(x) er polynomer av grad n, k, m, m, hvor m = m a x (n, k). Finne koeffisienter Lm(x) Og Nm(x) er laget basert på likheten y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Eksempel 4

Finn den generelle løsningen y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Løsning

Ifølge betingelsen er det klart at

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Da er m = m a x (n, k) = 1. Vi finner y 0 ved først å skrive en karakteristisk ligning av formen:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Vi fant ut at røttene er ekte og distinkte. Derfor y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Deretter er det nødvendig å se etter en generell løsning basert på den inhomogene ligningen y ~ av formen

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

Det er kjent at A, B, C er koeffisienter, r = 0, fordi det ikke er et par konjugerte røtter relatert til den karakteristiske ligningen med α ± i β = 3 ± 5 · i. Vi finner disse koeffisientene fra den resulterende likheten:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Å finne den deriverte og lignende vilkår gir

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Etter å ha likestilt koeffisientene får vi et system av formen

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Av alt følger det

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Svar: Nå har vi fått en generell løsning på den gitte lineære ligningen:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algoritme for å løse LDNU

Definisjon 1

Enhver annen type funksjon f (x) for løsning krever samsvar med løsningsalgoritmen:

finne en generell løsning på den tilsvarende lineære homogene ligningen, hvor y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, hvor y 1 Og y 2 er lineært uavhengige delløsninger av LODE, C 1 Og C 2 betraktes som vilkårlige konstanter;
adopsjon som en generell løsning av LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
bestemmelse av deriverte av en funksjon gjennom et system av formen C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , og finne funksjoner C 1 (x) og C 2 (x) gjennom integrasjon.

Eksempel 5

Finn den generelle løsningen for y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Løsning

Vi fortsetter med å skrive den karakteristiske ligningen, etter å ha skrevet y 0, y "" + 36 y = 0. La oss skrive og løse:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)

Vi har at den generelle løsningen av den gitte ligningen vil bli skrevet som y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Det er nødvendig å gå videre til definisjonen av derivatfunksjoner C 1 (x) Og C2(x) etter et system med ligninger:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1" (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Det må tas en avgjørelse vedr C 1" (x) Og C 2" (x) ved hjelp av hvilken som helst metode. Så skriver vi:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Hver av ligningene må integreres. Så skriver vi de resulterende ligningene:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Det følger at den generelle løsningen vil ha formen:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Svar: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Grunnleggende om å løse lineære inhomogene andreordens differensialligninger (LNDE-2) med konstante koeffisienter (PC)

En 2. ordens LDDE med konstante koeffisienter $p$ og $q$ har formen $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, hvor $f\left(x \right)$ er en kontinuerlig funksjon.

Når det gjelder LNDU 2 med PC, er følgende to påstander sanne.

La oss anta at en funksjon $U$ er en vilkårlig partiell løsning av en inhomogen differensialligning. La oss også anta at en funksjon $Y$ er den generelle løsningen (GS) av den tilsvarende lineære homogene differensialligningen (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Deretter GR for LHDE-2 er lik summen av de angitte private og generelle løsningene, det vil si $y=U+Y$.

Hvis høyresiden av en 2. ordens LMDE er en sum av funksjoner, det vil si $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, så kan vi først finne PD-ene $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ som tilsvarer til hver av funksjonene $f_( 1) \venstre(x\høyre),f_(2) \venstre(x\høyre),...,f_(r) \venstre(x\høyre)$, og etter det skriv CR LNDU-2 i formen $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Løsning av 2. ordens LPDE med PC

Det er åpenbart at typen av en eller annen PD $U$ av en gitt LNDU-2 avhenger av den spesifikke formen til høyre side $f\left(x\right)$. De enkleste tilfellene for søk etter PD LNDU-2 er formulert i form av følgende fire regler.

Regel #1.

Høyre side av LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left(x\right)=a_(0) ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, det vil si at det kalles en polynom av grad $n$. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=Q_(n) \venstre(x\høyre)\cdot x^(r) $, hvor $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er en annen polynom av samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2 som er lik null. Koeffisientene til polynomet $Q_(n) \venstre(x\høyre)$ er funnet ved metoden med ubestemte koeffisienter (UK).

Regel nr. 2.

Høyre side av LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, hvor $P_(n) \left( x\right)$ er et polynom av grad $n$. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=Q_(n) \venstre(x\høyre)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, hvor $Q_(n ) \ left(x\right)$ er et annet polynom av samme grad som $P_(n) \left(x\right)$, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2 lik $\alpha $. Koeffisientene til polynomet $Q_(n) \left(x\right)$ er funnet ved NC-metoden.

Regel nr. 3.

Høyre side av LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, der $a$, $b$ og $\beta$ er kjente tall. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, der $A$ og $B$ er ukjente koeffisienter, og $r$ er antall røtter til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2, lik $i\cdot \beta $. Koeffisientene $A$ og $B$ er funnet ved å bruke den ikke-destruktive metoden.

Regel nr. 4.

Høyre side av LNDU-2 har formen $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, der $P_(n) \left(x\right)$ er et polynom av grad $ n$, og $P_(m) \left(x\right)$ er et polynom med grad $m$. Deretter søkes dens PD $U$ i formen $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, hvor $Q_(s) \left(x\right)$ og $ R_(s) \left(x\right)$ er polynomer av grad $s$, tallet $s$ er maksimum av to tall $n$ og $m$, og $r$ er antall røtter av den karakteristiske ligningen til den tilsvarende LODE-2, lik $\alpha +i\cdot \beta $. Koeffisientene til polynomene $Q_(s) \left(x\right)$ og $R_(s) \left(x\right)$ er funnet ved NC-metoden.

NK-metoden består i å anvende følgende regel. For å finne de ukjente koeffisientene til polynomet som er en del av den partielle løsningen av den inhomogene differensialligningen LNDU-2, er det nødvendig:

erstatte PD $U$, skrevet i generell form, på venstre side av LNDU-2;
på venstre side av LNDU-2, utfør forenklinger og gruppeuttrykk med samme potenser $x$;
i den resulterende identiteten, likestille koeffisientene av ledd med samme potenser $x$ på venstre og høyre side;
løse det resulterende systemet med lineære ligninger for ukjente koeffisienter.

Eksempel 1

Oppgave: finn OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Finn også PD , som tilfredsstiller startbetingelsene $y=6$ for $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$.

Vi skriver ned den tilsvarende LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Karakteristisk ligning: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Røttene til den karakteristiske ligningen er: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Disse røttene er gyldige og distinkte. Dermed har ELLER for den tilsvarende LODE-2 formen: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Høyre side av denne LNDU-2 har formen $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Det er nødvendig å vurdere koeffisienten til eksponenten $\alpha =3$. Denne koeffisienten faller ikke sammen med noen av røttene til den karakteristiske ligningen. Derfor har PD-en til denne LNDU-2 formen $U=\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Vi vil søke etter koeffisientene $A$, $B$ ved hjelp av NC-metoden.

Vi finner den første avledet av Tsjekkia:

$U"=\venstre(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi finner den andre deriverte av Tsjekkia:

$U""=\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\venstre(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\venstre(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi erstatter funksjonene $U""$, $U"$ og $U$ i stedet for $y""$, $y"$ og $y$ i den gitte NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Dessuten, siden eksponenten $e^(3\cdot x)$ er inkludert som en faktor i alle komponenter, kan den utelates. Vi får:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Vi utfører handlingene på venstre side av den resulterende likheten:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Vi bruker NDT-metoden. Vi får et system av lineære ligninger med to ukjente:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Løsningen på dette systemet er: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ for problemet vårt ser slik ut: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ for problemet vårt ser slik ut: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ venstre(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

For å søke etter en PD som tilfredsstiller de gitte startbetingelsene, finner vi den deriverte $y"$ av OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\venstre(-2\cdot x-1\høyre)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Vi erstatter med $y$ og $y"$ startbetingelsene $y=6$ for $x=0$ og $y"=1$ for $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Vi fikk et likningssystem:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

La oss løse det. Vi finner $C_(1) $ ved å bruke Cramers formel, og $C_(2) $ bestemmer vi fra den første ligningen:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\venstre(-3\høyre)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3,$

Dermed har PD for denne differensialligningen formen: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

På forelesningen studeres LNDE - lineære inhomogene differensialligninger. Strukturen til den generelle løsningen vurderes, løsningen av LPDE ved metoden for variasjon av vilkårlige konstanter, løsningen av LDDE med konstante koeffisienter og høyre side av en spesiell form. Problemstillingene som vurderes brukes i studiet av tvangssvingninger i fysikk, elektroteknikk og elektronikk, og teorien om automatisk kontroll.

1. Struktur av den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning av 2. orden.

La oss først vurdere en lineær inhomogen ligning av vilkårlig rekkefølge:

Med tanke på notasjonen kan vi skrive:

I dette tilfellet vil vi anta at koeffisientene og høyre side av denne ligningen er kontinuerlige på et visst intervall.

Teorem. Den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning i et visst domene er summen av en av løsningene og den generelle løsningen av den tilsvarende lineære homogene differensialligningen.

Bevis. La Y være en løsning på en inhomogen ligning.

Så, når vi erstatter denne løsningen i den opprinnelige ligningen, får vi identiteten:

La
- grunnleggende system av løsninger til en lineær homogen ligning
. Da kan den generelle løsningen av den homogene ligningen skrives som:

Spesielt for en lineær inhomogen differensialligning av 2. orden, har strukturen til den generelle løsningen formen:

Hvor
er det grunnleggende løsningssystemet til den tilsvarende homogene ligningen, og
- enhver spesiell løsning av en inhomogen ligning.

For å løse en lineær inhomogen differensialligning, er det derfor nødvendig å finne en generell løsning på den tilsvarende homogene ligningen og på en eller annen måte finne en spesiell løsning på den inhomogene ligningen. Vanligvis er det funnet ved valg. Vi vil vurdere metoder for å velge en privat løsning i de følgende spørsmålene.

2. Variasjonsmetode

I praksis er det praktisk å bruke metoden for å variere vilkårlige konstanter.

For å gjøre dette, finn først en generell løsning på den tilsvarende homogene ligningen i formen:

Deretter setter du koeffisientene C Jeg funksjoner fra X, søkes en løsning på den inhomogene ligningen:

Det kan bevises at for å finne funksjoner C Jeg (x) vi må løse ligningssystemet:

Eksempel. Løs ligningen

Løse en lineær homogen ligning

Løsningen til den inhomogene ligningen vil ha formen:

La oss lage et ligningssystem:

La oss løse dette systemet:

Fra relasjonen finner vi funksjonen Åh).

Nå finner vi B(x).

Vi erstatter de oppnådde verdiene i formelen for den generelle løsningen av den inhomogene ligningen:

Endelig svar:

Generelt sett er metoden for variasjon av vilkårlige konstanter egnet for å finne løsninger på en hvilken som helst lineær inhomogen ligning. Men fordi Å finne det grunnleggende systemet med løsninger til den tilsvarende homogene ligningen kan være en ganske vanskelig oppgave; denne metoden brukes hovedsakelig for inhomogene ligninger med konstante koeffisienter.

3. Ligninger med høyre side av en spesiell form

Det ser ut til å være mulig å forestille seg typen av en bestemt løsning avhengig av typen på høyre side av den inhomogene ligningen.

Følgende tilfeller skilles:

I. Høyre side av den lineære inhomogene differensialligningen har formen:

hvor er et gradspolynom m.

Deretter søkes en bestemt løsning i formen:

Her Q(x) - et polynom av samme grad som P(x) , men med ubestemte koeffisienter, og r– et tall som viser hvor mange ganger tallet  er roten til den karakteristiske ligningen for den tilsvarende lineære homogene differensialligningen.

Eksempel. Løs ligningen
.

La oss løse den tilsvarende homogene ligningen:

La oss nå finne en spesiell løsning på den opprinnelige inhomogene ligningen.

La oss sammenligne høyre side av ligningen med formen til høyre side diskutert ovenfor.

Vi ser etter en spesiell løsning i formen:
, Hvor

De.

La oss nå bestemme de ukjente koeffisientene EN Og I.

La oss erstatte den spesielle løsningen i generell form med den opprinnelige inhomogene differensialligningen.

Total, privat løsning:

Da er den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning:

II. Høyre side av den lineære inhomogene differensialligningen har formen:

Her R 1 (X) Og R 2 (X)– gradspolynomer m 1 og m 2 hhv.

Da vil en bestemt løsning på den inhomogene ligningen ha formen:

hvor er tallet r viser hvor mange ganger et tall
er roten til den karakteristiske ligningen for den tilsvarende homogene ligningen, og Q 1 (x) Og Q 2 (x) – polynomer av grad ikke høyere enn m, Hvor m- den største av gradene m 1 Og m 2 .

Sammendragstabell over typer private løsninger

for forskjellige typer høyresider

Høyre side av differensialligningen	karakteristisk ligning	Typer private
	1. Tallet er ikke roten til den karakteristiske ligningen
	2. Tall er roten til den karakteristiske ligningen for multiplisitet
	1. Antall er ikke en rot av den karakteristiske ligningen
	2. Antall er roten til den karakteristiske ligningen for multiplisitet
	1. Tall
	2. Tall er røttene til den karakteristiske ligningen for multiplisitet
	1. Tall er ikke røttene til den karakteristiske multiplisitetsligningen
	2. Tall er røttene til den karakteristiske ligningen for multiplisitet

Merk at hvis høyre side av ligningen er en kombinasjon av uttrykk av typen vurdert ovenfor, så finnes løsningen som en kombinasjon av løsninger til hjelpeligninger, som hver har en høyre side som tilsvarer uttrykket inkludert i kombinasjonen.

De. hvis ligningen er:
, da vil en spesiell løsning på denne ligningen være
Hvor på 1 Og på 2 – spesielle løsninger av hjelpeligninger