Job Cramer metode. Lineære ligninger

Med samme antall ligninger som antall ukjente med hoveddeterminanten til matrisen, som ikke er lik null, er koeffisientene til systemet (for slike ligninger er det en løsning og det er bare en).

Cramers teorem.

Når determinanten for matrisen til et kvadratisk system ikke er null, betyr det at systemet er konsistent og det har én løsning, og det kan finnes ved å Cramers formler:

hvor Δ - determinant for systemmatrisen,

Δ Jeg er determinanten for systemmatrisen, hvor i stedet for Jeg Den th kolonnen inneholder kolonnen med høyre sider.

Når determinanten for et system er null, betyr det at systemet kan bli samarbeidende eller inkompatibelt.

Denne metoden brukes vanligvis for små systemer med omfattende beregninger og hvis det er nødvendig å fastslå en av de ukjente. Metodens kompleksitet er at mange determinanter må beregnes.

Beskrivelse av Cramer-metoden.

Det er et ligningssystem:

Et system med 3 likninger kan løses ved hjelp av Cramer-metoden, som ble diskutert ovenfor for et system med 2 likninger.

Vi komponerer en determinant fra koeffisientene til de ukjente:

Det blir det systemdeterminant. Når D≠0, som betyr at systemet er konsistent. La oss nå lage 3 ekstra determinanter:

,,

Vi løser systemet ved Cramers formler:

Eksempler på løsning av ligningssystemer ved bruk av Cramers metode.

Eksempel 1.

Gitt system:

La oss løse det ved å bruke Cramers metode.

Først må du beregne determinanten til systemmatrisen:

Fordi Δ≠0, som betyr at fra Cramers teorem er systemet konsistent og det har én løsning. Vi beregner tilleggsdeterminanter. Determinanten Δ 1 oppnås fra determinanten Δ ved å erstatte dens første kolonne med en kolonne med frie koeffisienter. Vi får:

På samme måte får vi determinanten til Δ 2 fra determinanten til systemmatrisen ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne med frie koeffisienter:

Tenk på et system med 3 ligninger med tre ukjente

Ved å bruke 3. ordens determinanter kan løsningen til et slikt system skrives på samme form som for et system med to likninger, dvs.

(2.4)

hvis 0. Her

Det er der Cramers regel løse et system med tre lineære ligninger i tre ukjente.

Eksempel 2.3. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Cramers regel:

Løsning . Finne determinanten til hovedmatrisen til systemet

Siden 0 kan vi bruke Cramers regel for å finne en løsning på systemet, men først beregner vi tre determinanter til:

Undersøkelse:

Derfor ble løsningen funnet riktig. 

Cramers regler innhentet for lineære systemer av 2. og 3. orden antyder at de samme reglene kan formuleres for lineære systemer av enhver orden. Det skjer virkelig

Cramers teorem. Kvadratisk system av lineære ligninger med en ikke-null determinant av hovedmatrisen til systemet (0) har én og bare én løsning og denne løsningen beregnes ved hjelp av formlene

(2.5)

Hvor  – determinant for hovedmatrisen,  Jeg – matrisedeterminant, hentet fra den viktigste, erstatterJegkolonne kolonne med gratis medlemmer.

Merk at hvis =0, så gjelder ikke Cramers regel. Dette betyr at systemet enten ikke har noen løsninger i det hele tatt eller har uendelig mange løsninger.

Etter å ha formulert Cramers teorem, oppstår naturligvis spørsmålet om å beregne determinanter av høyere orden.

2.4. Determinanter av n. orden

Ytterligere mindre M ij element en ij er en determinant hentet fra en gitt ved å slette Jeg linje og j kolonne. Algebraisk komplement EN ij element en ij moll av dette elementet tatt med tegnet (–1) kalles Jeg + j, dvs. EN ij = (–1) Jeg + j M ij .

La oss for eksempel finne de bi- og algebraiske komplementene til elementene en 23 og en 31 kvalifiseringskamper

Vi får



Ved å bruke begrepet algebraisk komplement kan vi formulere determinant ekspansjonsteoremn-te rekkefølge etter rad eller kolonne.

Teorem 2.1. MatrisedeterminantENer lik summen av produktene til alle elementene i en bestemt rad (eller kolonne) ved deres algebraiske komplementer:

(2.6)

Denne teoremet ligger til grunn for en av hovedmetodene for å beregne determinanter, den såkalte. metode for ordrereduksjon. Som et resultat av utvidelsen av determinanten n rekkefølge over en hvilken som helst rad eller kolonne, får vi n determinanter ( n–1) orden. For å ha færre slike determinanter, er det lurt å velge den raden eller kolonnen som har flest nuller. I praksis skrives ekspansjonsformelen for determinanten vanligvis som:

de. algebraiske tillegg er skrevet eksplisitt når det gjelder mindreårige.

Eksempler 2.4. Beregn determinantene ved først å sortere dem i en rad eller kolonne. I slike tilfeller velger du vanligvis kolonnen eller raden som har flest nuller. Den valgte raden eller kolonnen vil bli indikert med en pil.



2.5. Grunnleggende egenskaper til determinanter

Hvis vi utvider determinanten over en hvilken som helst rad eller kolonne, får vi n determinanter ( n–1) orden. Deretter hver av disse determinantene ( n–1) orden kan også dekomponeres i en sum av determinanter ( n–2) orden. Ved å fortsette denne prosessen kan man nå 1. ordens determinantene, dvs. til elementene i matrisen hvis determinant beregnes. Så for å beregne 2. ordens determinanter, må du beregne summen av to ledd, for 3. ordens determinanter - summen av 6 ledd, for 4. ordens determinanter - 24 ledd. Antall termer vil øke kraftig ettersom rekkefølgen på determinanten øker. Dette betyr at beregning av determinanter av svært høye ordener blir en ganske arbeidskrevende oppgave, utover mulighetene til selv en datamaskin. Imidlertid kan determinanter beregnes på en annen måte, ved å bruke egenskapene til determinanter.

Eiendom 1 . Determinanten vil ikke endres hvis radene og kolonnene i den byttes, dvs. når du transponerer en matrise:

.

Denne egenskapen indikerer likheten mellom radene og kolonnene til determinanten. Med andre ord, ethvert utsagn om kolonnene til en determinant er også sant for radene og vice versa.

Eiendom 2 . Determinanten skifter fortegn når to rader (kolonner) byttes om.

Konsekvens . Hvis determinanten har to identiske rader (kolonner), er den lik null.

Eiendom 3 . Fellesfaktoren for alle elementene i en hvilken som helst rad (kolonne) kan tas ut av determinanttegnet.

For eksempel,

Konsekvens . Hvis alle elementene i en bestemt rad (kolonne) i en determinant er lik null, er selve determinanten lik null.

Eiendom 4 . Determinanten vil ikke endres hvis elementene i en rad (kolonne) legges til elementene i en annen rad (kolonne), multiplisert med et hvilket som helst tall.

For eksempel,

Eiendom 5 . Determinanten av produktet av matriser er lik produktet av determinantene av matriser:

Cramers metode.

Cramer-metoden brukes til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger ( SLAU).

Formler som bruker eksempelet på et system med to ligninger med to variabler.
Gitt: Løs systemet ved å bruke Cramers metode

Angående variabler X Og på.
Løsning:
La oss finne determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet Beregning av determinanter. :

La oss bruke Cramers formler og finne verdiene til variablene:
Og .
Eksempel 1:
Løs ligningssystemet:

angående variabler X Og på.
Løsning:


La oss erstatte den første kolonnen i denne determinanten med en kolonne med koeffisienter fra høyre side av systemet og finne verdien:

La oss gjøre en lignende ting, og erstatte den andre kolonnen i den første determinanten:

Aktuelt Cramers formler og finn verdiene til variablene:
Og .
Svar:
Kommentar: Denne metoden kan løse systemer med høyere dimensjoner.

Kommentar: Hvis det viser seg at , men ikke kan divideres med null, så sier de at systemet ikke har en unik løsning. I dette tilfellet har systemet enten uendelig mange løsninger eller har ingen løsninger i det hele tatt.

Eksempel 2(uendelig antall løsninger):

Løs ligningssystemet:

angående variabler X Og på.
Løsning:
La oss finne determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet:

Løse systemer ved hjelp av substitusjonsmetoden.

Den første av systemets ligninger er en likhet som er sann for alle verdier av variablene (fordi 4 alltid er lik 4). Dette betyr at det bare er én ligning igjen. Dette er en ligning for forholdet mellom variabler.
Vi fant ut at løsningen på systemet er et hvilket som helst par av verdier av variabler relatert til hverandre ved likhet.
Den generelle løsningen vil bli skrevet som følger:
Spesielle løsninger kan bestemmes ved å velge en vilkårlig verdi av y og beregne x fra denne forbindelseslikheten.

etc.
Det finnes uendelig mange slike løsninger.
Svar: felles vedtak
Private løsninger:

Eksempel 3(ingen løsninger, systemet er inkompatibelt):

Løs ligningssystemet:

Løsning:
La oss finne determinanten til matrisen, sammensatt av koeffisientene til systemet:

Cramers formler kan ikke brukes. La oss løse dette systemet ved å bruke substitusjonsmetoden

Den andre ligningen til systemet er en likhet som ikke er sann for noen verdier av variablene (selvfølgelig siden -15 ikke er lik 2). Hvis en av likningene til systemet ikke er sann for noen verdier av variablene, har hele systemet ingen løsninger.
Svar: ingen løsninger

I den første delen så vi på noe teoretisk materiale, substitusjonsmetoden, samt metoden for ledd-for-ledd addisjon av systemligninger. Jeg anbefaler alle som har besøkt siden gjennom denne siden å lese den første delen. Kanskje noen besøkende vil finne materialet for enkelt, men i prosessen med å løse systemer med lineære ligninger kom jeg med en rekke svært viktige kommentarer og konklusjoner angående løsning av matematiske problemer generelt.

Nå skal vi analysere Cramers regel, samt løse et system med lineære ligninger ved å bruke en invers matrise (matrisemetode). Alt materiale presenteres enkelt, detaljert og tydelig; nesten alle lesere vil kunne lære å løse systemer ved hjelp av metodene ovenfor.

Først skal vi se nærmere på Cramers regel for et system med to lineære ligninger i to ukjente. For hva? – Tross alt kan det enkleste systemet løses ved hjelp av skolemetoden, metoden med termin-for-termin addisjon!

Faktum er at, om enn noen ganger, oppstår en slik oppgave - å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente ved å bruke Cramers formler. For det andre vil et enklere eksempel hjelpe deg å forstå hvordan du bruker Cramers regel for et mer komplekst tilfelle - et system med tre ligninger med tre ukjente.

I tillegg er det systemer med lineære ligninger med to variabler, som er tilrådelig å løse ved hjelp av Cramers regel!

Tenk på ligningssystemet

På første trinn beregner vi determinanten, heter det hoveddeterminanten for systemet.

Gauss metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere to determinanter:
Og

I praksis kan de ovennevnte kvalifiseringene også betegnes med en latinsk bokstav.

Vi finner røttene til ligningen ved å bruke formlene:
,

Eksempel 7

Løs et system med lineære ligninger

Løsning: Vi ser at koeffisientene til ligningen er ganske store, på høyre side er det desimalbrøker med komma. Kommaet er en ganske sjelden gjest i praktiske oppgaver i matematikk; jeg tok dette systemet fra et økonometrisk problem.

Hvordan løse et slikt system? Du kan prøve å uttrykke en variabel i form av en annen, men i dette tilfellet vil du sannsynligvis ende opp med forferdelige fancy brøker som er ekstremt upraktiske å jobbe med, og utformingen av løsningen vil se rett og slett forferdelig ut. Du kan multiplisere den andre ligningen med 6 og subtrahere ledd for ledd, men de samme brøkene vil også oppstå her.

Hva å gjøre? I slike tilfeller kommer Cramers formler til unnsetning.

;

;

Svar: ,

Begge røttene har uendelige haler og finnes omtrentlig, noe som er ganske akseptabelt (og til og med vanlig) for økonometriske problemer.

Kommentarer er ikke nødvendig her, siden oppgaven løses ved hjelp av ferdige formler, men det er ett forbehold. Når du bruker denne metoden, obligatorisk Et fragment av oppgavedesignet er følgende fragment: "Dette betyr at systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe deg for manglende respekt for Cramers teorem.

Det ville ikke være overflødig å sjekke, noe som enkelt kan utføres på en kalkulator: vi erstatter omtrentlige verdier på venstre side av hver ligning i systemet. Som et resultat, med en liten feil, bør du få tall som er på høyre side.

Eksempel 8

Presenter svaret i vanlige uekte brøker. Gjør en sjekk.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (et eksempel på det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).

La oss gå videre til å vurdere Cramers regel for et system med tre ligninger med tre ukjente:

Vi finner hoveddeterminanten for systemet:

Hvis , så har systemet uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfellet vil ikke Cramers regel hjelpe; du må bruke Gauss-metoden.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere tre determinanter:
, ,

Og til slutt beregnes svaret ved hjelp av formlene:

Som du kan se, er tilfellet "tre av tre" fundamentalt ikke forskjellig fra tilfellet "to og to"; kolonnen med frie termer "går" sekvensielt fra venstre til høyre langs kolonnene til hoveddeterminanten.

Eksempel 9

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Løsning: La oss løse systemet ved å bruke Cramers formler.

, som betyr at systemet har en unik løsning.

Svar: .

Her er det faktisk ikke noe spesielt å kommentere, på grunn av at løsningen følger ferdige formler. Men det er et par kommentarer.

Det hender at som et resultat av beregninger oppnås "dårlige" irreduserbare fraksjoner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis du ikke har en datamaskin for hånden, gjør dette:

1) Det kan være feil i beregningene. Så snart du møter en "dårlig" brøkdel, må du umiddelbart sjekke Er betingelsen omskrevet riktig?. Hvis betingelsen skrives om uten feil, må du beregne determinantene på nytt ved å bruke utvidelse i en annen rad (kolonne).

2) Hvis ingen feil blir identifisert som et resultat av sjekking, har det mest sannsynlig vært en skrivefeil i oppgavebetingelsene. I dette tilfellet jobbe rolig og NØYE gjennom oppgaven til slutten, og deretter sørg for å sjekke og vi tegner det opp på et rent ark etter vedtaket. Å sjekke et brøksvar er selvfølgelig en ubehagelig oppgave, men det vil være et avvæpnende argument for læreren, som virkelig liker å gi minus for noe tull som . Hvordan håndtere brøker er beskrevet i detalj i svaret på eksempel 8.

Hvis du har en datamaskin for hånden, så bruk et automatisert program for å sjekke, som kan lastes ned gratis helt i begynnelsen av leksjonen. Forresten, det er mest lønnsomt å bruke programmet med en gang (selv før du starter løsningen); du vil umiddelbart se mellomtrinnet der du gjorde en feil! Den samme kalkulatoren beregner automatisk løsningen til systemet ved hjelp av matrisemetoden.

Andre bemerkning. Fra tid til annen er det systemer i ligningene hvor noen variabler mangler, for eksempel:

Her i den første ligningen er det ingen variabel, i den andre er det ingen variabel. I slike tilfeller er det svært viktig å skrive ned hoveddeterminanten riktig og NØYE:
– Nuller plasseres i stedet for manglende variabler.
Det er forresten rasjonelt å åpne determinanter med nuller i henhold til raden (kolonnen) der nullen er plassert, siden det er merkbart færre beregninger.

Eksempel 10

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning (et utvalg av det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).

For tilfellet med et system med 4 ligninger med 4 ukjente, er Cramers formler skrevet i henhold til lignende prinsipper. Du kan se et levende eksempel i leksjonen Egenskaper til determinanter. Redusere rekkefølgen til determinanten - fem fjerde ordens determinanter er ganske løsbare. Selv om oppgaven allerede minner mye om en professorsko på brystet til en heldig student.

Løse systemet ved hjelp av en invers matrise

Den inverse matrisemetoden er i hovedsak et spesialtilfelle matriseligning(Se eksempel nr. 3 i den angitte leksjonen).

For å studere denne delen må du kunne utvide determinanter, finne inversen til en matrise og utføre matrisemultiplikasjon. Relevante lenker vil bli gitt etter hvert som forklaringene skrider frem.

Eksempel 11

Løs systemet ved hjelp av matrisemetoden

Løsning: La oss skrive systemet i matriseform:
, Hvor

Vennligst se på systemet med likninger og matriser. Jeg tror alle forstår prinsippet som vi skriver elementer inn i matriser etter. Den eneste kommentaren: hvis noen variabler manglet i ligningene, måtte nuller plasseres på de tilsvarende stedene i matrisen.

Vi finner den inverse matrisen ved å bruke formelen:
, hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

La oss først se på determinanten:

Her utvides determinanten på første linje.

Merk følgende! Hvis , eksisterer ikke den inverse matrisen, og det er umulig å løse systemet ved hjelp av matrisemetoden. I dette tilfellet løses systemet med metoden for å eliminere ukjente (Gauss-metoden).

Nå må vi beregne 9 mindreårige og skrive dem inn i mindreårige matrisen

Henvisning: Det er nyttig å vite betydningen av doble abonnenter i lineær algebra. Det første sifferet er nummeret på linjen der elementet er plassert. Det andre sifferet er nummeret på kolonnen der elementet er plassert:

Det vil si at et dobbelt skrift indikerer at elementet er i første rad, tredje kolonne, og for eksempel elementet er i 3 rader, 2 kolonner

For å mestre dette avsnittet, må du kunne avsløre determinantene "to og to" og "tre av tre". Hvis du er dårlig med kvalifiseringer, vennligst les leksjonen Hvordan beregne determinanten?

Først skal vi se nærmere på Cramers regel for et system med to lineære ligninger i to ukjente. For hva? – Tross alt kan det enkleste systemet løses ved hjelp av skolemetoden, metoden med termin-for-termin addisjon!

Faktum er at, om enn noen ganger, oppstår en slik oppgave - å løse et system med to lineære ligninger med to ukjente ved å bruke Cramers formler. For det andre vil et enklere eksempel hjelpe deg å forstå hvordan du bruker Cramers regel for et mer komplekst tilfelle - et system med tre ligninger med tre ukjente.

I tillegg er det systemer med lineære ligninger med to variabler, som er tilrådelig å løse ved hjelp av Cramers regel!

Tenk på ligningssystemet

På første trinn beregner vi determinanten, heter det hoveddeterminanten for systemet.

Gauss metode.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere to determinanter:
Og

I praksis kan de ovennevnte kvalifiseringene også betegnes med en latinsk bokstav.

Vi finner røttene til ligningen ved å bruke formlene:
,

Eksempel 7

Løs et system med lineære ligninger

Løsning: Vi ser at koeffisientene til ligningen er ganske store, på høyre side er det desimalbrøker med komma. Kommaet er en ganske sjelden gjest i praktiske oppgaver i matematikk; jeg tok dette systemet fra et økonometrisk problem.

Hvordan løse et slikt system? Du kan prøve å uttrykke en variabel i form av en annen, men i dette tilfellet vil du sannsynligvis ende opp med forferdelige fancy brøker som er ekstremt upraktiske å jobbe med, og utformingen av løsningen vil se rett og slett forferdelig ut. Du kan multiplisere den andre ligningen med 6 og subtrahere ledd for ledd, men de samme brøkene vil også oppstå her.

Hva å gjøre? I slike tilfeller kommer Cramers formler til unnsetning.

;

;

Svar: ,

Begge røttene har uendelige haler og finnes omtrentlig, noe som er ganske akseptabelt (og til og med vanlig) for økonometriske problemer.

Kommentarer er ikke nødvendig her, siden oppgaven løses ved hjelp av ferdige formler, men det er ett forbehold. Når du bruker denne metoden, obligatorisk Et fragment av oppgavedesignet er følgende fragment: "Dette betyr at systemet har en unik løsning". Ellers kan anmelderen straffe deg for manglende respekt for Cramers teorem.

Det ville ikke være overflødig å sjekke, noe som enkelt kan utføres på en kalkulator: vi erstatter omtrentlige verdier på venstre side av hver ligning i systemet. Som et resultat, med en liten feil, bør du få tall som er på høyre side.

Eksempel 8

Presenter svaret i vanlige uekte brøker. Gjør en sjekk.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (et eksempel på det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).

La oss gå videre til å vurdere Cramers regel for et system med tre ligninger med tre ukjente:

Vi finner hoveddeterminanten for systemet:

Hvis , så har systemet uendelig mange løsninger eller er inkonsekvent (har ingen løsninger). I dette tilfellet vil ikke Cramers regel hjelpe; du må bruke Gauss-metoden.

Hvis , så har systemet en unik løsning, og for å finne røttene må vi beregne ytterligere tre determinanter:
, ,

Og til slutt beregnes svaret ved hjelp av formlene:

Som du kan se, er tilfellet "tre av tre" fundamentalt ikke forskjellig fra tilfellet "to og to"; kolonnen med frie termer "går" sekvensielt fra venstre til høyre langs kolonnene til hoveddeterminanten.

Eksempel 9

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Løsning: La oss løse systemet ved å bruke Cramers formler.

, som betyr at systemet har en unik løsning.

Svar: .

Her er det faktisk ikke noe spesielt å kommentere, på grunn av at løsningen følger ferdige formler. Men det er et par kommentarer.

Det hender at som et resultat av beregninger oppnås "dårlige" irreduserbare fraksjoner, for eksempel: .
Jeg anbefaler følgende "behandlings"-algoritme. Hvis du ikke har en datamaskin for hånden, gjør dette:

1) Det kan være feil i beregningene. Så snart du møter en "dårlig" brøkdel, må du umiddelbart sjekke Er betingelsen omskrevet riktig?. Hvis betingelsen skrives om uten feil, må du beregne determinantene på nytt ved å bruke utvidelse i en annen rad (kolonne).

2) Hvis ingen feil blir identifisert som et resultat av sjekking, har det mest sannsynlig vært en skrivefeil i oppgavebetingelsene. I dette tilfellet jobbe rolig og NØYE gjennom oppgaven til slutten, og deretter sørg for å sjekke og vi tegner det opp på et rent ark etter vedtaket. Å sjekke et brøksvar er selvfølgelig en ubehagelig oppgave, men det vil være et avvæpnende argument for læreren, som virkelig liker å gi minus for noe tull som . Hvordan håndtere brøker er beskrevet i detalj i svaret på eksempel 8.

Hvis du har en datamaskin for hånden, så bruk et automatisert program for å sjekke, som kan lastes ned gratis helt i begynnelsen av leksjonen. Forresten, det er mest lønnsomt å bruke programmet med en gang (selv før du starter løsningen); du vil umiddelbart se mellomtrinnet der du gjorde en feil! Den samme kalkulatoren beregner automatisk løsningen til systemet ved hjelp av matrisemetoden.

Andre bemerkning. Fra tid til annen er det systemer i ligningene hvor noen variabler mangler, for eksempel:

Her i den første ligningen er det ingen variabel, i den andre er det ingen variabel. I slike tilfeller er det svært viktig å skrive ned hoveddeterminanten riktig og NØYE:
– Nuller plasseres i stedet for manglende variabler.
Det er forresten rasjonelt å åpne determinanter med nuller i henhold til raden (kolonnen) der nullen er plassert, siden det er merkbart færre beregninger.

Eksempel 10

Løs systemet ved å bruke Cramers formler.

Dette er et eksempel på en uavhengig løsning (et utvalg av det endelige designet og svaret på slutten av leksjonen).

For tilfellet med et system med 4 ligninger med 4 ukjente, er Cramers formler skrevet i henhold til lignende prinsipper. Du kan se et levende eksempel i leksjonen Egenskaper til determinanter. Redusere rekkefølgen til determinanten - fem fjerde ordens determinanter er ganske løsbare. Selv om oppgaven allerede minner mye om en professorsko på brystet til en heldig student.

Løse systemet ved hjelp av en invers matrise

Den inverse matrisemetoden er i hovedsak et spesialtilfelle matriseligning(Se eksempel nr. 3 i den angitte leksjonen).

For å studere denne delen må du kunne utvide determinanter, finne inversen til en matrise og utføre matrisemultiplikasjon. Relevante lenker vil bli gitt etter hvert som forklaringene skrider frem.

Eksempel 11

Løs systemet ved hjelp av matrisemetoden

Løsning: La oss skrive systemet i matriseform:
, Hvor

Vennligst se på systemet med likninger og matriser. Jeg tror alle forstår prinsippet som vi skriver elementer inn i matriser etter. Den eneste kommentaren: hvis noen variabler manglet i ligningene, måtte nuller plasseres på de tilsvarende stedene i matrisen.

Vi finner den inverse matrisen ved å bruke formelen:
, hvor er den transponerte matrisen av algebraiske komplementer til de tilsvarende elementene i matrisen.

La oss først se på determinanten:

Her utvides determinanten på første linje.

Merk følgende! Hvis , eksisterer ikke den inverse matrisen, og det er umulig å løse systemet ved hjelp av matrisemetoden. I dette tilfellet løses systemet med metoden for å eliminere ukjente (Gauss-metoden).

Nå må vi beregne 9 mindreårige og skrive dem inn i mindreårige matrisen

Henvisning: Det er nyttig å vite betydningen av doble abonnenter i lineær algebra. Det første sifferet er nummeret på linjen der elementet er plassert. Det andre sifferet er nummeret på kolonnen der elementet er plassert:

Det vil si at et dobbelt skrift indikerer at elementet er i første rad, tredje kolonne, og for eksempel elementet er i 3 rader, 2 kolonner

Under løsningen er det bedre å beskrive beregningen av mindreårige i detalj, selv om du med litt erfaring kan venne deg til å beregne dem med feil muntlig.