Wzór progresji arytmetycznej n liczba. Postępy arytmetyczne i geometryczne

Postęp arytmetyczny nazwać ciąg liczb (warunki progresji)

W którym każdy kolejny termin różni się od poprzedniego nowym terminem, który jest również nazywany różnica stopnia lub progresji.

Zatem określając krok progresji i jego pierwszy człon, za pomocą wzoru można znaleźć dowolny jego element

Własności ciągu arytmetycznego

1) Każdy członek ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiej liczby, jest średnią arytmetyczną poprzednich i kolejnych członków ciągu arytmetycznego

Odwrotna sytuacja jest również prawdą. Jeżeli średnia arytmetyczna sąsiednich wyrazów nieparzystych (parzystych) ciągu jest równa wyrazowi znajdującemu się między nimi, to ten ciąg liczb jest postępem arytmetycznym. Korzystając z tego stwierdzenia, bardzo łatwo jest sprawdzić dowolną sekwencję.

Ponadto, dzięki właściwości postępu arytmetycznego, powyższy wzór można uogólnić na następujący

Łatwo to sprawdzić, pisząc wyrazy po prawej stronie znaku równości

Jest często stosowany w praktyce w celu uproszczenia obliczeń w problemach.

2) Sumę pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego oblicza się ze wzoru

Zapamiętaj dobrze wzór na sumę postępu arytmetycznego, jest on niezbędny w obliczeniach i dość często spotykany w prostych sytuacjach życiowych.

3) Jeśli chcesz znaleźć nie całą sumę, ale część ciągu zaczynając od jego k-tego wyrazu, przyda Ci się następujący wzór na sumę

4) Praktyczne znaczenie ma znalezienie sumy n wyrazów ciągu arytmetycznego zaczynając od k-tej liczby. Aby to zrobić, użyj formuły

Na tym kończy się materiał teoretyczny i przechodzi się do rozwiązywania typowych problemów w praktyce.

Przykład 1. Znajdź czterdziesty wyraz ciągu arytmetycznego 4;7;...

Rozwiązanie:

Według stanu jaki mamy

Określmy krok progresji

Korzystając ze znanego wzoru, znajdujemy czterdziesty wyraz progresji

Przykład 2. Postęp arytmetyczny jest określony przez jego trzeci i siódmy wyraz. Znajdź pierwszy wyraz progresji i sumę dziesięciu.

Rozwiązanie:

Zapiszmy dane elementy progresji korzystając ze wzorów

Odejmujemy pierwsze od drugiego równania, w wyniku czego znajdujemy krok progresji

Podstawiamy znalezioną wartość do dowolnego z równań, aby znaleźć pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego

Obliczamy sumę pierwszych dziesięciu wyrazów progresji

Bez stosowania skomplikowanych obliczeń znaleźliśmy wszystkie wymagane ilości.

Przykład 3. Postęp arytmetyczny jest dany przez mianownik i jeden z jego wyrazów. Znajdź pierwszy wyraz progresji, sumę jego 50 wyrazów, zaczynając od 50 i sumę pierwszych 100.

Rozwiązanie:

Zapiszmy wzór na setny element progresji

i znajdź pierwszą

Na podstawie pierwszego znajdujemy 50. wyraz progresji

Znalezienie sumy części progresji

i suma pierwszych 100

Kwota progresji wynosi 250.

Przykład 4.

Znajdź liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, jeśli:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Rozwiązanie:

Zapiszmy równania w odniesieniu do pierwszego wyrazu i kroku progresji i określmy je

Otrzymane wartości podstawiamy do wzoru na sumę, aby określić liczbę wyrazów w sumie

Wprowadzamy uproszczenia

i rozwiąż równanie kwadratowe

Z dwóch znalezionych wartości tylko liczba 8 pasuje do warunków problemu. Zatem suma pierwszych ośmiu wyrazów progresji wynosi 111.

Przykład 5.

Rozwiązać równanie

1+3+5+...+x=307.

Rozwiązanie: To równanie jest sumą postępu arytmetycznego. Zapiszmy jego pierwszy wyraz i znajdźmy różnicę w postępie

Podczas nauki algebry w szkole średniej (9 klasa) jednym z ważnych tematów jest nauka ciągów liczbowych, do których zaliczają się postępy - geometryczny i arytmetyczny. W tym artykule przyjrzymy się postępowi arytmetycznemu i przykładom z rozwiązaniami.

Co to jest postęp arytmetyczny?

Aby to zrozumieć, należy zdefiniować omawianą progresję, a także podać podstawowe wzory, które będą później wykorzystywane przy rozwiązywaniu problemów.

Wiadomo, że w pewnym postępie algebraicznym pierwszy wyraz jest równy 6, a siódmy wyraz jest równy 18. Należy znaleźć różnicę i przywrócić ten ciąg do siódmego wyrazu.

Użyjmy wzoru do wyznaczenia nieznanego składnika: a n = (n - 1) * d + a 1 . Podstawiamy do niego znane dane z warunku, czyli liczby a 1 i a 7, mamy: 18 = 6 + 6 * d. Z tego wyrażenia można łatwo obliczyć różnicę: d = (18 - 6) /6 = 2. W ten sposób odpowiedzieliśmy na pierwszą część problemu.

Aby przywrócić ciąg do wyrazu 7, należy skorzystać z definicji ciągu algebraicznego, czyli a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d i tak dalej. W efekcie przywracamy całą sekwencję: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , za 6 = 14 + 2 = 16, za 7 = 18.

Przykład nr 3: sporządzenie progresji

Skomplikujmy problem jeszcze bardziej. Teraz musimy odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Można podać następujący przykład: podano dwie liczby, na przykład - 4 i 5. Należy utworzyć ciąg algebraiczny, aby między nimi umieścić jeszcze trzy wyrazy.

Zanim przystąpisz do rozwiązywania tego problemu, musisz zrozumieć, jakie miejsce w przyszłej progresji zajmą dane liczby. Ponieważ będą między nimi jeszcze trzy wyrazy, to a 1 = -4 i a 5 = 5. Po ustaleniu tego przechodzimy do problemu, który jest podobny do poprzedniego. Ponownie, dla n-tego członu używamy wzoru i otrzymujemy: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (za 5 - za 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co tu otrzymaliśmy, nie jest całkowitą wartością różnicy, ale liczbą wymierną, więc wzory na postęp algebraiczny pozostają takie same.

Dodajmy teraz znalezioną różnicę do 1 i przywróćmy brakujące człony progresji. Otrzymujemy: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, co się pokrywało z warunkami problemu.

Przykład nr 4: pierwszy okres progresji

Kontynuujmy podawanie przykładów postępu arytmetycznego z rozwiązaniami. We wszystkich poprzednich zadaniach znana była pierwsza liczba ciągu algebraicznego. Rozważmy teraz problem innego typu: niech zostaną podane dwie liczby, gdzie a 15 = 50 i a 43 = 37. Należy dowiedzieć się, od której liczby zaczyna się ten ciąg.

Dotychczas stosowane wzory zakładają znajomość 1 i d. W opisie problemu nic nie wiadomo na temat tych liczb. Niemniej jednak dla każdego terminu zapiszemy wyrażenia, o których są dostępne informacje: a 15 = a 1 + 14 * d i a 43 = a 1 + 42 * d. Otrzymaliśmy dwa równania, w których są 2 nieznane wielkości (a 1 i d). Oznacza to, że problem sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych.

Najprostszym sposobem rozwiązania tego układu jest wyrażenie 1 w każdym równaniu, a następnie porównanie otrzymanych wyrażeń. Pierwsze równanie: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; drugie równanie: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Przyrównując te wyrażenia otrzymujemy: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, skąd różnica d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (podawane są tylko 3 miejsca po przecinku).

Znając d, możesz użyć dowolnego z dwóch powyższych wyrażeń dla 1. Na przykład najpierw: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, możesz to sprawdzić, na przykład określić 43. wyraz progresji, który jest określony w warunku. Otrzymujemy: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Niewielki błąd wynika z faktu, że w obliczeniach zastosowano zaokrąglenia do części tysięcznych.

Przykład nr 5: kwota

Przyjrzyjmy się teraz kilku przykładom z rozwiązaniami sumy postępu arytmetycznego.

Niech będzie podany ciąg liczbowy postaci: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak obliczyć sumę 100 tych liczb?

Dzięki rozwojowi technologii komputerowej możliwe jest rozwiązanie tego problemu, czyli dodanie wszystkich liczb po kolei, co komputer zrobi, gdy tylko ktoś naciśnie klawisz Enter. Zadanie można jednak rozwiązać mentalnie, jeśli zwrócimy uwagę, że przedstawiony ciąg liczb jest ciągiem algebraicznym, a jego różnica jest równa 1. Stosując wzór na sumę otrzymujemy: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Co ciekawe, problem ten nazywa się „gaussowskim”, ponieważ na początku XVIII wieku słynny Niemiec, mając zaledwie 10 lat, potrafił go w głowie rozwiązać w ciągu kilku sekund. Chłopiec nie znał wzoru na sumę postępu algebraicznego, ale zauważył, że jeśli liczby na końcach ciągu dodamy parami, zawsze otrzymamy ten sam wynik, czyli 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a ponieważ sumy te będą wynosić dokładnie 50 (100/2), to aby uzyskać poprawną odpowiedź, wystarczy pomnożyć 50 przez 101.

Przykład nr 6: suma wyrazów od n do m

Innym typowym przykładem sumy postępu arytmetycznego jest następujący: mając ciąg liczb: 3, 7, 11, 15, ..., musisz znaleźć, jaka będzie suma jego wyrazów od 8 do 14 .

Problem rozwiązuje się na dwa sposoby. Pierwsza z nich polega na odnalezieniu nieznanych wyrazów od 8 do 14, a następnie zsumowaniu ich po kolei. Ponieważ terminów jest niewiele, metoda ta nie jest dość pracochłonna. Niemniej jednak proponuje się rozwiązanie tego problemu za pomocą drugiej metody, która jest bardziej uniwersalna.

Chodzi o to, aby otrzymać wzór na sumę postępu algebraicznego pomiędzy wyrazami m i n, gdzie n > m są liczbami całkowitymi. W obu przypadkach piszemy dwa wyrażenia na sumę:

1. S m = m * (za m + za 1) / 2.
2. S n = n * (za n + za 1) / 2.

Ponieważ n > m, oczywiste jest, że druga suma zawiera pierwszą. Ostatni wniosek oznacza, że ​​jeśli weźmiemy różnicę między tymi sumami i dodamy do niej człon a m (w przypadku wzięcia różnicy jest on odejmowany od sumy S n), otrzymamy niezbędną odpowiedź na zadanie. Mamy: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Konieczne jest podstawienie w tym wyrażeniu wzorów na n i m. Następnie otrzymujemy: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = za 1 * (n - m + 1) + re * n * (n - 1) / 2 + re *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Otrzymany wzór jest nieco uciążliwy, jednak suma S mn zależy tylko od n, m, a 1 i d. W naszym przypadku a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Podstawiając te liczby otrzymujemy: S mn = 301.

Jak widać z powyższych rozwiązań, wszystkie problemy opierają się na znajomości wyrażenia na n-ty wyraz i wzorze na sumę zbioru pierwszych wyrazów. Przed przystąpieniem do rozwiązywania któregokolwiek z tych problemów zaleca się uważne przeczytanie warunku, jasne zrozumienie tego, co musisz znaleźć, i dopiero wtedy przystąpienie do rozwiązania.

Kolejną wskazówką jest dążenie do prostoty, to znaczy, jeśli możesz odpowiedzieć na pytanie bez stosowania skomplikowanych obliczeń matematycznych, musisz właśnie to zrobić, ponieważ w tym przypadku prawdopodobieństwo popełnienia błędu jest mniejsze. Przykładowo na przykładzie ciągu arytmetycznego z rozwiązaniem nr 6 można by zatrzymać się na wzorze S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, oraz podziel cały problem na osobne podzadania (w tym przypadku najpierw znajdź terminy a n i a m).

Jeśli masz wątpliwości co do uzyskanego wyniku, zaleca się sprawdzenie go, tak jak to miało miejsce w niektórych podanych przykładach. Dowiedzieliśmy się, jak znaleźć postęp arytmetyczny. Jeśli się domyślisz, nie jest to takie trudne.

Kalkulator internetowy.
Rozwiązywanie postępu arytmetycznego.
Dane: a n, d, n
Znajdź: 1

Ten program matematyczny znajduje \(a_1\) ciągu arytmetycznego na podstawie liczb określonych przez użytkownika \(a_n, d\) i \(n\).
Liczby \(a_n\) i \(d\) można podawać nie tylko jako liczby całkowite, ale także jako ułamki zwykłe. Ponadto liczbę ułamkową można wprowadzić w postaci ułamka dziesiętnego (\(2,5\)) oraz w postaci ułamka zwykłego (\(-5\frac(2)(7)\)).

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces poszukiwania rozwiązania.

Ten kalkulator online może być przydatny dla uczniów szkół średnich podczas przygotowań do sprawdzianów i egzaminów, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem Unified State Exam, a także dla rodziców do kontrolowania rozwiązania wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić zadanie domowe z matematyki lub algebry? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci, a jednocześnie wzrasta poziom edukacji w zakresie rozwiązywania problemów.

Jeśli nie znasz zasad wpisywania liczb, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania liczb

Liczby \(a_n\) i \(d\) można podawać nie tylko jako liczby całkowite, ale także jako ułamki zwykłe.
Liczba \(n\) może być tylko dodatnią liczbą całkowitą.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
Części całkowite i ułamkowe w ułamkach dziesiętnych można oddzielić kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wprowadzić ułamki dziesiętne, takie jak 2,5 lub 2,5

Zasady wpisywania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może pełnić funkcję licznika, mianownika i części całkowitej ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Przy wprowadzaniu ułamka liczbowego licznik oddziela się od mianownika znakiem dzielenia: /
Wejście:
Wynik: \(-\frac(2)(3)\)

Cała część jest oddzielona od ułamka znakiem ampersandu: &
Wejście:
Wynik: \(-1\frac(2)(3)\)

Odkryto, że niektóre skrypty niezbędne do rozwiązania tego problemu nie zostały załadowane i program może nie działać.
Być może masz włączonego AdBlocka.
W takim przypadku wyłącz ją i odśwież stronę.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sekunda...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, możesz napisać o tym w Formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż, które zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Sekwencja numerów

W codziennej praktyce często stosuje się numerację różnych obiektów, aby wskazać kolejność ich ułożenia. Na przykład domy na każdej ulicy są ponumerowane. W bibliotece prenumeraty czytelnika są numerowane, a następnie układane według kolejności przypisanych numerów w specjalnych kartotekach.

W kasie oszczędnościowej, korzystając z numeru konta osobistego wpłacającego, można łatwo znaleźć to konto i sprawdzić, jaka lokata się na nim znajduje. Niech konto nr 1 zawiera depozyt w wysokości 1 rubli, konto nr 2 zawiera depozyt w wysokości 2 rubli itd. Okazuje się sekwencja liczb
a 1 , a 2 , a 3 , ..., N
gdzie N jest liczbą wszystkich kont. Tutaj każda liczba naturalna n od 1 do N jest powiązana z liczbą a n.

Studiował także matematykę nieskończone ciągi liczbowe:
za 1 , za 2 , za 3 , ..., za n , ... .
Nazywa się cyfrę 1 pierwszy wyraz ciągu, numer a 2 - drugi wyraz ciągu, numer 3 - trzeci wyraz ciągu itp.
Nazywa się liczbę a n n-ty (n-ty) element sekwencji, a liczba naturalna n jest jej numer.

Na przykład w ciągu kwadratów liczb naturalnych 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... i 1 = 1 jest pierwszym wyrazem ciągu; oraz n = n 2 jest n-tym wyrazem ciągu; a n+1 = (n + 1) 2 jest (n + 1)-tym (n plus pierwszym) wyrazem ciągu. Często ciąg można określić za pomocą wzoru na jego n-ty wyraz. Na przykład wzór \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) definiuje sekwencję \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

Postęp arytmetyczny

Długość roku wynosi około 365 dni. Bardziej dokładna wartość to \(365\frac(1)(4)\) dni, więc co cztery lata kumuluje się błąd jednego dnia.

Aby wyjaśnić ten błąd, do co czwartego roku dodaje się jeden dzień, a rok wydłużony nazywa się rokiem przestępnym.

Na przykład w trzecim tysiącleciu latami przestępnymi są lata 2004, 2008, 2012, 2016, ....

W tej sekwencji każdy członek, zaczynając od drugiego, jest równy poprzedniemu, dodanemu do tej samej liczby 4. Takie ciągi nazywane są postępy arytmetyczne.

Definicja.
Nazywa się ciąg liczb a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... postęp arytmetyczny, jeśli dla wszystkich naturalnych n równość
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
gdzie d jest pewną liczbą.

Z tego wzoru wynika, że ​​a n+1 - a n = d. Liczba d nazywana jest różnicą postęp arytmetyczny.

Z definicji postępu arytmetycznego mamy:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
Gdzie
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), gdzie \(n>1 \)

Zatem każdy wyraz ciągu arytmetycznego, zaczynając od drugiego, jest równy średniej arytmetycznej dwóch sąsiednich wyrazów. To wyjaśnia nazwę „postępu arytmetycznego”.

Należy zauważyć, że jeśli podane są a 1 i d, to pozostałe wyrazy ciągu arytmetycznego można obliczyć za pomocą powtarzającego się wzoru a n+1 = a n + d. W ten sposób obliczenie pierwszych kilku wyrazów progresji nie jest trudne, jednak np. 100 będzie już wymagało wielu obliczeń. Zazwyczaj stosuje się do tego wzór na n-ty wyraz. Z definicji postępu arytmetycznego
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
itp.
W ogóle,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
ponieważ n-ty wyraz ciągu arytmetycznego uzyskuje się z pierwszego wyrazu przez dodanie (n-1) razy liczbę d.
Ta formuła nazywa się wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego

Znajdź sumę wszystkich liczb naturalnych od 1 do 100.
Zapiszmy tę kwotę na dwa sposoby:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Dodajmy te równości termin po wyrazie:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Suma ta ma 100 wyrazów
Dlatego 2S = 101 * 100, stąd S = 101 * 50 = 5050.

Rozważmy teraz dowolny postęp arytmetyczny
za 1 , za 2 , za 3 , ..., za n , ...
Niech S n będzie sumą pierwszych n wyrazów tego ciągu:
S n = za 1 , za 2 , za 3 , ..., za n
Następnie suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

Ponieważ \(a_n=a_1+(n-1)d\), to zastępując n w tym wzorze otrzymamy inny wzór na znalezienie suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

Lub arytmetyka to rodzaj uporządkowanej sekwencji liczbowej, której właściwości są badane na szkolnym kursie algebry. W artykule szczegółowo omówiono kwestię znalezienia sumy postępu arytmetycznego.

Co to za postęp?

Zanim przejdziemy do pytania (jak znaleźć sumę ciągu arytmetycznego) warto zrozumieć, o czym mówimy.

Dowolny ciąg liczb rzeczywistych uzyskany przez dodanie (odjęcie) pewnej wartości od każdej poprzedniej liczby nazywany jest postępem algebraicznym (arytmetycznym). Definicja ta, przetłumaczona na język matematyczny, przyjmuje postać:

Tutaj i jest numerem seryjnym elementu rzędu a i. Zatem znając tylko jeden numer początkowy, możesz łatwo przywrócić całą serię. Parametr d we wzorze nazywany jest różnicą progresji.

Można łatwo wykazać, że dla rozpatrywanego szeregu liczb zachodzi równość:

za n = za 1 + re * (n - 1).

Oznacza to, że aby znaleźć wartość n-tego elementu w kolejności, należy dodać różnicę d do pierwszego elementu a 1 n-1 razy.

Jaka jest suma postępu arytmetycznego: wzór

Przed podaniem wzoru na wskazaną kwotę warto rozważyć prosty przypadek szczególny. Biorąc pod uwagę ciąg liczb naturalnych od 1 do 10, musisz znaleźć ich sumę. Ponieważ w ciągu (10) wyrazów jest niewiele, możliwe jest rozwiązanie problemu od razu, czyli zsumowanie wszystkich elementów po kolei.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Warto zwrócić uwagę na jedną ciekawą rzecz: skoro każdy wyraz różni się od kolejnego tą samą wartością d = 1, to sumowanie parami pierwszego z dziesiątym, drugiego z dziewiątym itd. da ten sam wynik. Naprawdę:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Jak widać tych sum jest tylko 5, czyli dokładnie dwa razy mniej niż liczba elementów szeregu. Następnie mnożąc liczbę sum (5) przez wynik każdej sumy (11), otrzymasz wynik uzyskany w pierwszym przykładzie.

Jeśli uogólnimy te argumenty, możemy zapisać następujące wyrażenie:

S n = n * (za 1 + za n) / 2.

Wyrażenie to pokazuje, że wcale nie jest konieczne sumowanie wszystkich elementów w rzędzie, wystarczy znać wartość pierwszego a 1 i ostatniego a n oraz całkowitą liczbę wyrazów n.

Uważa się, że Gauss po raz pierwszy pomyślał o tej równości, gdy szukał rozwiązania problemu zadanego przez swojego nauczyciela: zsumuj pierwsze 100 liczb całkowitych.

Suma elementów od m do n: wzór

Wzór podany w poprzednim akapicie odpowiada na pytanie, jak znaleźć sumę ciągu arytmetycznego (pierwszych elementów), jednak często w problemach konieczne jest zsumowanie ciągu liczb w środku ciągu. Jak to zrobić?

Najłatwiej odpowiedzieć na to pytanie, rozważając następujący przykład: niech będzie konieczne znalezienie sumy wyrazów od m-tego do n-tego. Aby rozwiązać zadanie należy przedstawić zadany odcinek od m do n postępu w postaci nowego ciągu liczbowego. W tej reprezentacji m-ty wyraz a m będzie pierwszym, a n będzie ponumerowane n-(m-1). W takim przypadku, stosując standardowy wzór na sumę, otrzymamy następujące wyrażenie:

S m n = (n - m + 1) * (za m + za n) / 2.

Przykład użycia formuł

Wiedząc, jak znaleźć sumę ciągu arytmetycznego, warto rozważyć prosty przykład wykorzystania powyższych wzorów.

Poniżej znajduje się ciąg liczbowy, powinieneś znaleźć sumę jego wyrazów, zaczynając od 5 i kończąc na 12:

Podane liczby wskazują, że różnica d jest równa 3. Korzystając z wyrażenia na n-ty element, możesz znaleźć wartości 5. i 12. wyrazu progresji. Okazało się:

za 5 = za 1 + re * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

za 12 = za 1 + re * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Znając wartości liczb na końcach rozważanego ciągu algebraicznego, a także wiedząc, jakie liczby w szeregu zajmują, możesz skorzystać ze wzoru na sumę uzyskaną w poprzednim akapicie. Okaże się:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Warto zauważyć, że wartość tę można uzyskać inaczej: najpierw znajdź sumę pierwszych 12 elementów, korzystając ze standardowego wzoru, następnie oblicz sumę pierwszych 4 elementów, korzystając z tego samego wzoru, a następnie odejmij drugą od pierwszej sumy.

I. V. Jakowlew | Materiały matematyczne | MathUs.ru

Postęp arytmetyczny

Postęp arytmetyczny jest szczególnym rodzajem ciągu. Dlatego przed zdefiniowaniem postępu arytmetycznego (a następnie geometrycznego) musimy pokrótce omówić ważne pojęcie ciągu liczbowego.

Podciąg

Wyobraźmy sobie urządzenie, na ekranie którego wyświetlane są jedna po drugiej określone liczby. powiedzmy 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ten zbiór liczb jest właśnie przykładem ciągu.

Definicja. Ciąg liczb to zbiór liczb, w którym każdej liczbie można przypisać unikatową liczbę (tzn. powiązać ją z pojedynczą liczbą naturalną)1. Liczbę n nazywa się n-tym wyrazem ciągu.

Zatem w powyższym przykładzie pierwszą liczbą jest 2, jest to pierwszy element ciągu, który można oznaczyć przez a1; liczba pięć ma liczbę 6 jest piątym wyrazem ciągu, który można oznaczyć przez a5. Ogólnie rzecz biorąc, n-ty wyraz ciągu jest oznaczany przez an (lub bn, cn itp.).

Bardzo wygodną sytuacją jest sytuacja, gdy n-ty wyraz ciągu można określić jakimś wzorem. Na przykład wzór an = 2n 3 określa sekwencję: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Wzór an = (1)n określa sekwencję: 1; 1; 1; 1; : : :

Nie każdy zbiór liczb jest sekwencją. Zatem segment nie jest sekwencją; zawiera „zbyt wiele” liczb, aby można je było przenumerować. Zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych również nie jest ciągiem. Fakty te potwierdza się w toku analizy matematycznej.

Postęp arytmetyczny: podstawowe definicje

Teraz jesteśmy gotowi zdefiniować postęp arytmetyczny.

Definicja. Postęp arytmetyczny to ciąg, w którym każdy wyraz (począwszy od drugiego) jest równy sumie poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby (zwanej różnicą postępu arytmetycznego).

Na przykład sekwencja 2; 5; 8; jedenaście; : : : jest postępem arytmetycznym z pierwszym wyrazem 2 i różnicą 3. Sekwencja 7; 2; 3; 8; : : : jest postępem arytmetycznym z pierwszym wyrazem 7 i różnicą 5. Sekwencja 3; 3; 3; : : : jest postępem arytmetycznym z różnicą równą zero.

Definicja równoważna: ciąg an nazywa się postępem arytmetycznym, jeśli różnica an+1 an jest wartością stałą (niezależną od n).

Postęp arytmetyczny nazywa się rosnącym, jeśli jego różnica jest dodatnia, i malejącym, jeśli jego różnica jest ujemna.

1 Ale tutaj jest bardziej zwięzła definicja: ciąg jest funkcją zdefiniowaną na zbiorze liczb naturalnych. Na przykład ciąg liczb rzeczywistych jest funkcją f: N ! R.

Domyślnie sekwencje są uważane za nieskończone, to znaczy zawierające nieskończoną liczbę liczb. Ale nikt nie przeszkadza nam rozważać ciągów skończonych; w rzeczywistości każdy skończony zbiór liczb można nazwać ciągiem skończonym. Na przykład sekwencja końcowa to 1; 2; 3; 4; Liczba 5 składa się z pięciu liczb.

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego

Łatwo zrozumieć, że postęp arytmetyczny jest całkowicie określony przez dwie liczby: pierwszy wyraz i różnicę. Powstaje zatem pytanie: jak znając pierwszy wyraz i różnicę znaleźć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego?

Znalezienie wymaganego wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego nie jest trudne. Niech

Zadanie 1. W postępie arytmetycznym 2; 5; 8; jedenaście; : : : znajdź wzór na n-ty wyraz i oblicz setny wyraz.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (1) mamy:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Własność i znak postępu arytmetycznego

Własność postępu arytmetycznego. W postępie arytmetycznym an dla dowolnego

Inaczej mówiąc, każdy element ciągu arytmetycznego (zaczynając od drugiego) jest średnią arytmetyczną sąsiadujących z nim elementów.

czyli to, co było wymagane.

Mówiąc bardziej ogólnie, postęp arytmetyczny an spełnia równość

za n = za n k+ za n+k

dla dowolnego n > 2 i dowolnego naturalnego k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Okazuje się, że wzór (2) jest nie tylko warunkiem koniecznym, ale i wystarczającym, aby ciąg był ciągiem arytmetycznym.

Znak postępu arytmetycznego. Jeśli równość (2) zachodzi dla wszystkich n > 2, to ciąg an jest postępem arytmetycznym.

Dowód. Przepiszmy wzór (2) w następujący sposób:

za na n 1= za n+1a n:

Widzimy z tego, że różnica an+1 an nie zależy od n, a to dokładnie oznacza, że ​​ciąg an jest postępem arytmetycznym.

Własność i znak postępu arytmetycznego można sformułować w postaci jednego stwierdzenia; Dla wygody zrobimy to dla trzech liczb (jest to sytuacja, która często pojawia się w problemach).

Charakterystyka postępu arytmetycznego. Trzy liczby a, b, c tworzą ciąg arytmetyczny wtedy i tylko wtedy, gdy 2b = a + c.

Zadanie 2. (MSU, Wydział Ekonomiczny, 2007) Trzy liczby 8x, 3x2 i 4 we wskazanej kolejności tworzą malejący postęp arytmetyczny. Znajdź x i wskaż różnicę tego postępu.

Rozwiązanie. Z własności postępu arytmetycznego mamy:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Jeśli x = 1, to otrzymamy postęp malejący 8, 2, 4 z różnicą 6. Jeśli x = 5, to otrzymamy postęp rosnący 40, 22, 4; ten przypadek nie jest odpowiedni.

Odpowiedź: x = 1, różnica wynosi 6.

Suma pierwszych n wyrazów ciągu arytmetycznego

Legenda głosi, że pewnego dnia nauczyciel kazał dzieciom znaleźć sumę liczb od 1 do 100 i spokojnie usiadł, aby przeczytać gazetę. Jednak w ciągu kilku minut jeden chłopiec oznajmił, że rozwiązał problem. Był to 9-letni Carl Friedrich Gauss, późniejszy jeden z najwybitniejszych matematyków w historii.

Pomysł małego Gaussa był następujący. Pozwalać

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapiszmy tę kwotę w odwrotnej kolejności:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

i dodaj te dwie formuły:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Każdy wyraz w nawiasie jest równy 101, a łącznie jest 100 takich wyrazów. Zatem

2S = 101 100 = 10100;

Używamy tego pomysłu do wyprowadzenia wzoru na sumę

S = a1 + a2 + : : : + an + za n n: (3)

Przydatną modyfikację wzoru (3) uzyskamy, jeśli podstawimy do niego wzór n-tego wyrazu an = a1 + (n 1)d:

Zadanie 3. Znajdź sumę wszystkich dodatnich liczb trzycyfrowych podzielnych przez 13.

Rozwiązanie. Liczby trzycyfrowe będące wielokrotnościami 13 tworzą ciąg arytmetyczny, w którym pierwszy wyraz wynosi 104, a różnica wynosi 13; N-ty wyraz tego ciągu ma postać:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Przekonajmy się, ile terminów zawiera nasza progresja. W tym celu rozwiązujemy nierówność:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

Zatem w naszym postępie jest 69 członków. Korzystając ze wzoru (4) znajdujemy wymaganą ilość:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2