Częściowe rozwiązanie kalkulatora równań różniczkowych w szczegółach. Rozwiązywanie najprostszych równań różniczkowych pierwszego rzędu

I. Równania różniczkowe zwyczajne

1.1. Podstawowe pojęcia i definicje

Równanie różniczkowe to równanie, które wiąże zmienną niezależną X, wymagana funkcja y i jego pochodne lub różnice.

Symbolicznie równanie różniczkowe zapisuje się w następujący sposób:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Równanie różniczkowe nazywa się zwyczajnym, jeśli wymagana funkcja zależy od jednej zmiennej niezależnej.

Rozwiązywanie równania różniczkowego nazywa się funkcją, która przekształca to równanie w tożsamość.

Rząd równania różniczkowego jest rzędem najwyższej pochodnej zawartej w tym równaniu

Przykłady.

1. Rozważmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja y = 5 ln x. Rzeczywiście, zastępstwo y” do równania otrzymujemy tożsamość.

A to oznacza, że ​​funkcja y = 5 ln x– jest rozwiązaniem tego równania różniczkowego.

2. Rozważmy równanie różniczkowe drugiego rzędu y" - 5y" +6y = 0. Funkcja jest rozwiązaniem tego równania.

Naprawdę, .

Podstawiając te wyrażenia do równania otrzymujemy: , – tożsamość.

A to oznacza, że ​​funkcja jest rozwiązaniem tego równania różniczkowego.

Całkowanie równań różniczkowych to proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych.

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego nazywamy funkcją formy , który zawiera tyle niezależnych stałych arbitralnych, ile wynosi rząd równania.

Częściowe rozwiązanie równania różniczkowego jest rozwiązaniem uzyskanym z ogólnego rozwiązania dla różnych wartości liczbowych dowolnych stałych. Wartości dowolnych stałych znajdują się przy pewnych początkowych wartościach argumentu i funkcji.

Nazywa się wykresem konkretnego rozwiązania równania różniczkowego krzywa całkowa.

Przykłady

1. Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu

xdx + ydy = 0, Jeśli y= 4 godz X = 3.

Rozwiązanie. Całkując obie strony równania, otrzymujemy

Komentarz. Dowolną stałą C otrzymaną w wyniku całkowania można przedstawić w dowolnej formie dogodnej do dalszych przekształceń. W tym przypadku, biorąc pod uwagę równanie kanoniczne okręgu, wygodnie jest przedstawić dowolną stałą C w postaci .

- ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.

Szczególne rozwiązanie równania spełniające warunki początkowe y = 4 godz X = 3 oblicza się z sumy ogólnej, podstawiając warunki początkowe do rozwiązania ogólnego: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Podstawiając C=5 do rozwiązania ogólnego, otrzymujemy x 2 + y 2 = 5 2 .

Jest to szczególne rozwiązanie równania różniczkowego uzyskane z rozwiązania ogólnego w danych warunkach początkowych.

2. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego

Rozwiązaniem tego równania jest dowolna funkcja postaci , gdzie C jest dowolną stałą. Rzeczywiście, podstawiając do równań, otrzymujemy: , .

W konsekwencji to równanie różniczkowe ma nieskończoną liczbę rozwiązań, ponieważ dla różnych wartości stałej C równość określa różne rozwiązania równania.

Na przykład poprzez bezpośrednie podstawienie można sprawdzić, czy funkcje są rozwiązaniami równania.

Problem, w którym trzeba znaleźć konkretne rozwiązanie równania y" = f(x,y) spełniający warunek początkowy y(x 0) = y 0, nazywa się problemem Cauchy'ego.

Rozwiązanie równania y" = f(x,y), spełniający warunek początkowy, y(x 0) = y 0, nazywa się rozwiązaniem problemu Cauchy’ego.

Rozwiązanie problemu Cauchy'ego ma proste znaczenie geometryczne. Rzeczywiście, zgodnie z tymi definicjami, aby rozwiązać problem Cauchy'ego y" = f(x,y) jeśli się uwzględni y(x 0) = y 0, oznacza znalezienie krzywej całkowej równania y" = f(x,y) który przechodzi przez dany punkt M 0 (x 0,y 0).

II. Równania różniczkowe pierwszego rzędu

2.1. Podstawowe koncepcje

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest równaniem postaci F(x,y,y") = 0.

Równanie różniczkowe pierwszego rzędu zawiera pierwszą pochodną i nie obejmuje pochodnych wyższego rzędu.

Równanie y" = f(x,y) nazywa się równaniem pierwszego rzędu rozwiązanym ze względu na pochodną.

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu jest funkcją postaci , która zawiera jedną dowolną stałą.

Przykład. Rozważmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu.

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja.

Rzeczywiście, zastępując to równanie jego wartością, otrzymujemy

to jest 3x=3x

Zatem funkcja jest ogólnym rozwiązaniem równania dla dowolnej stałej C.

Znajdź konkretne rozwiązanie tego równania, które spełnia warunek początkowy y(1)=1 Podstawianie warunków początkowych x = 1, y =1 do ogólnego rozwiązania równania, skąd dochodzimy C=0.

W ten sposób otrzymujemy rozwiązanie szczególne z rozwiązania ogólnego, podstawiając do tego równania wynikową wartość C=0– rozwiązanie prywatne.

2.2. Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi jest równaniem postaci: y"=f(x)g(y) lub poprzez mechanizmy różnicowe, gdzie k(x) I g(y)– określone funkcje.

Dla tych y, dla którego , równanie y"=f(x)g(y) jest równoważne równaniu, w którym zmienna y występuje tylko po lewej stronie, a zmienna x występuje tylko po prawej stronie. Mówią: „w równaniu. y"=f(x)g(y Oddzielmy zmienne.”

Równanie postaci zwane równaniem zmiennych rozdzielonych.

Całkowanie obu stron równania Przez X, otrzymujemy G(y) = F(x) + C jest ogólnym rozwiązaniem równania, gdzie G(y) I F(x)– odpowiednio niektóre funkcje pierwotne funkcji i k(x), C dowolna stała.

Algorytm rozwiązywania równania różniczkowego pierwszego rzędu ze zmiennymi rozłącznymi

Przykład 1

Rozwiązać równanie y" = xy

Rozwiązanie. Pochodna funkcji y” zastąp go

oddzielmy zmienne

Całkujmy obie strony równości:

Przykład 2

2yy” = 1- 3x 2, Jeśli y 0 = 3 Na x 0 = 1

Jest to równanie z oddzielną zmienną. Wyobraźmy sobie to w różnicach. W tym celu przepisujemy to równanie w postaci Stąd

Całkując obie strony ostatniej równości, znajdujemy

Zastępowanie wartości początkowych x 0 = 1, y 0 = 3 znajdziemy Z 9=1-1+C, tj. C = 9.

Dlatego wymagana całka częściowa będzie Lub

Przykład 3

Napisz równanie krzywej przechodzącej przez punkt M(2;-3) i mający styczną ze współczynnikiem kątowym

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkiem

Jest to równanie z rozdzielnymi zmiennymi. Dzieląc zmienne otrzymujemy:

Całkując obie strony równania otrzymujemy:

Korzystając z warunków początkowych, x = 2 I y = - 3 znajdziemy C:

Dlatego wymagane równanie ma postać

2.3. Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu

Liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu jest równaniem postaci y" = f(x)y + g(x)

Gdzie k(x) I g(x)- niektóre określone funkcje.

Jeśli g(x)=0 wówczas liniowe równanie różniczkowe nazywa się jednorodnym i ma postać: y” = f(x)y

Jeśli to równanie y" = f(x)y + g(x) nazywany heterogenicznym.

Ogólne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego jednorodnego y” = f(x)y wyraża się wzorem: gdzie Z– dowolna stała.

W szczególności, jeśli C = 0, wtedy jest rozwiązanie y = 0 Jeśli liniowe równanie jednorodne ma postać y" = k Gdzie k jest jakąś stałą, to jej rozwiązanie ogólne ma postać: .

Ogólne rozwiązanie liniowego niejednorodnego równania różniczkowego y" = f(x)y + g(x) jest dane wzorem ,

te. jest równa sumie rozwiązania ogólnego odpowiedniego liniowego równania jednorodnego i rozwiązania szczególnego tego równania.

Dla liniowego niejednorodnego równania postaci y" = kx + b,

Gdzie k I B- niektóre liczby i konkretne rozwiązanie będą funkcją stałą. Zatem rozwiązanie ogólne ma postać .

Przykład. Rozwiązać równanie y" + 2y +3 = 0

Rozwiązanie. Przedstawmy równanie w postaci y" = -2 lata - 3 Gdzie k = -2, b = -3 Rozwiązanie ogólne podaje wzór.

Dlatego, gdzie C jest dowolną stałą.

2.4. Rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych pierwszego rzędu metodą Bernoulliego

Znalezienie ogólnego rozwiązania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu y" = f(x)y + g(x) sprowadza się do rozwiązania dwóch równań różniczkowych z oddzielnymi zmiennymi za pomocą podstawienia y=uw, Gdzie ty I w- nieznane funkcje z X. Ta metoda rozwiązywania nazywa się metodą Bernoulliego.

Algorytm rozwiązywania liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu

y" = f(x)y + g(x)

1. Wprowadź zastępstwo y=uw.

2. Zróżniczkuj tę równość y" = u"v + uv"

3. Zastępca y I y” do tego równania: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) Lub u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Pogrupuj wyrazy równania tak, aby ty wyjmij to z nawiasów:

5. W nawiasie, przyrównując go do zera, znajdź funkcję

Jest to równanie rozłączne:

Podzielmy zmienne i otrzymamy:

Gdzie . .

6. Zastąp otrzymaną wartość w do równania (z kroku 4):

i znajdź funkcję. Jest to równanie ze zmiennymi rozłącznymi:

7. Zapisz rozwiązanie ogólne w postaci: , tj. .

Przykład 1

Znajdź konkretne rozwiązanie równania y" = -2y +3 = 0 Jeśli y =1 Na x = 0

Rozwiązanie. Rozwiążmy to za pomocą podstawienia y=uv,.y" = u"v + uv"

Zastępowanie y I y” do tego równania, otrzymujemy

Grupując drugi i trzeci wyraz po lewej stronie równania, usuwamy wspólny czynnik ty poza nawiasami

Przyrównujemy wyrażenie w nawiasach do zera i po rozwiązaniu powstałego równania znajdujemy funkcję v = v(x)

Otrzymujemy równanie z rozdzielonymi zmiennymi. Całkujmy obie strony tego równania: Znajdź funkcję w:

Podstawmy otrzymaną wartość w do równania otrzymujemy:

Jest to równanie z oddzielną zmienną. Całkujmy obie strony równania: Znajdźmy funkcję u = u(x, c) Znajdźmy ogólne rozwiązanie: Znajdźmy szczególne rozwiązanie równania, które spełnia warunki początkowe y = 1 Na x = 0:

III. Równania różniczkowe wyższego rzędu

3.1. Podstawowe pojęcia i definicje

Równanie różniczkowe drugiego rzędu to równanie zawierające pochodne nie wyższe niż drugiego rzędu. W ogólnym przypadku równanie różniczkowe drugiego rzędu zapisuje się jako: F(x,y,y",y") = 0

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego drugiego rzędu jest funkcją postaci , która zawiera dwie dowolne stałe C 1 I C 2.

Szczególnym rozwiązaniem równania różniczkowego drugiego rzędu jest rozwiązanie uzyskane z rozwiązania ogólnego dla pewnych wartości dowolnych stałych C 1 I C 2.

3.2. Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu z stałe współczynniki.

Liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach zwane równaniem postaci y" + py" +qy = 0, Gdzie P I Q- wartości stałe.

Algorytm rozwiązywania jednorodnych równań różniczkowych drugiego rzędu o stałych współczynnikach

1. Zapisz równanie różniczkowe w postaci: y" + py" +qy = 0.

2. Utwórz jego charakterystyczne równanie, oznaczające y” Poprzez r 2, y” Poprzez R, y w 1: r2 + pr +q = 0

Rozwiązywanie równań różniczkowych. Dzięki naszemu serwisowi online możesz rozwiązywać równania różniczkowe dowolnego typu i złożoności: niejednorodne, jednorodne, nieliniowe, liniowe pierwszego, drugiego rzędu, ze zmiennymi rozłącznymi lub nierozdzielnymi itp. Otrzymujesz rozwiązanie równań różniczkowych w formie analitycznej wraz ze szczegółowym opisem. Wiele osób jest zainteresowanych: dlaczego konieczne jest rozwiązywanie równań różniczkowych online? Tego typu równania są bardzo powszechne w matematyce i fizyce, gdzie nie da się rozwiązać wielu problemów bez obliczenia równania różniczkowego. Równania różniczkowe są również powszechne w ekonomii, medycynie, biologii, chemii i innych naukach. Rozwiązanie takiego równania online znacznie upraszcza Twoje zadania, daje możliwość lepszego zrozumienia materiału i sprawdzenia się. Zalety rozwiązywania równań różniczkowych online. Nowoczesny serwis matematyczny umożliwia rozwiązywanie równań różniczkowych online o dowolnej złożoności. Jak wiadomo, istnieje wiele rodzajów równań różniczkowych i każde z nich ma swoje własne metody rozwiązywania. W naszym serwisie możesz znaleźć rozwiązania równań różniczkowych dowolnej kolejności i rodzaju online. Aby uzyskać rozwiązanie, sugerujemy wypełnienie początkowych danych i kliknięcie przycisku „Rozwiązanie”. Błędy w działaniu usługi są wykluczone, dzięki czemu masz 100% pewność, że otrzymałeś poprawną odpowiedź. Rozwiązuj równania różniczkowe za pomocą naszej usługi. Rozwiązuj równania różniczkowe online. Domyślnie w takim równaniu funkcja y jest funkcją zmiennej x. Można jednak także określić własne oznaczenie zmiennej. Na przykład, jeśli w równaniu różniczkowym określisz y(t), nasza usługa automatycznie ustali, że y jest funkcją zmiennej t. Rząd całego równania różniczkowego będzie zależał od maksymalnego rzędu pochodnej funkcji występującej w równaniu. Rozwiązanie takiego równania oznacza znalezienie pożądanej funkcji. Nasz serwis pomoże Ci rozwiązać równania różniczkowe online. Rozwiązanie równania nie wymaga dużego wysiłku z Twojej strony. Wystarczy wpisać lewą i prawą stronę równania w wymagane pola i kliknąć przycisk „Rozwiązanie”. Przy wpisywaniu pochodną funkcji należy oznaczyć apostrofem. W ciągu kilku sekund otrzymasz gotowe szczegółowe rozwiązanie równania różniczkowego. Nasza usługa jest całkowicie bezpłatna. Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi. Jeżeli w równaniu różniczkowym po lewej stronie znajduje się wyrażenie zależne od y, a po prawej stronie wyrażenie zależne od x, to takie równanie różniczkowe nazywa się ze zmiennymi rozłącznymi. Lewa strona może zawierać pochodną y, rozwiązanie równań różniczkowych tego typu będzie miało postać funkcji y, wyrażonej całką prawej strony równania. Jeśli po lewej stronie znajduje się różniczka funkcji y, to w tym przypadku obie strony równania są całkowane. Jeżeli zmienne w równaniu różniczkowym nie są rozdzielone, należy je rozdzielić, aby otrzymać rozdzielone równanie różniczkowe. Liniowe równanie różniczkowe. Równanie różniczkowe, którego funkcja i wszystkie jej pochodne są pierwszego stopnia, nazywa się liniowym. Ogólna postać równania: y’+a1(x)y=f(x). f(x) i a1(x) są ciągłymi funkcjami x. Rozwiązywanie równań różniczkowych tego typu sprowadza się do całkowania dwóch równań różniczkowych z rozdzielonymi zmiennymi. Rząd równania różniczkowego. Równanie różniczkowe może być pierwszego, drugiego, n-tego rzędu. Rząd równania różniczkowego określa rząd najwyższej pochodnej, jaką ono zawiera. W naszym serwisie możesz rozwiązywać równania różniczkowe online dla pierwszego, drugiego, trzeciego itd. zamówienie. Rozwiązaniem równania będzie dowolna funkcja y=f(x), podstawiając ją do równania otrzymamy tożsamość. Proces znajdowania rozwiązania równania różniczkowego nazywa się całkowaniem. Problem Cauchy’ego. Jeżeli oprócz samego równania różniczkowego podany jest warunek początkowy y(x0)=y0, to nazywa się to problemem Cauchy'ego. Do rozwiązania równania dodaje się wskaźniki y0 i x0 i wyznacza wartość dowolnej stałej C, a następnie wyznacza się konkretne rozwiązanie równania przy tej wartości C. Jest to rozwiązanie problemu Cauchy'ego. Problem Cauchy'ego nazywany jest także problemem z warunkami brzegowymi, co jest bardzo powszechne w fizyce i mechanice. Masz także możliwość ustawienia problemu Cauchy'ego, czyli ze wszystkich możliwych rozwiązań równania wybrać iloraz spełniający podane warunki początkowe.

Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Przykłady rozwiązań.
Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Równania różniczkowe (DE). Te dwa słowa zwykle przerażają przeciętnego człowieka. Równania różniczkowe wydają się być czymś wygórowanym i trudnym do opanowania dla wielu uczniów. Uuuuuu... równania różniczkowe, jak ja to wszystko przeżyję?!

Ta opinia i takie podejście jest z gruntu błędne, bo faktycznie RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE - TO PROSTE I NAWET ZABAWNE. Co trzeba wiedzieć i umieć, żeby nauczyć się rozwiązywać równania różniczkowe? Aby skutecznie badać zjawiska rozproszone, musisz być dobry w integrowaniu i różnicowaniu. Im lepiej badane są tematy Pochodna funkcji jednej zmiennej I Całka nieoznaczona, tym łatwiej będzie zrozumieć równania różniczkowe. Powiem więcej, jeśli macie mniej więcej przyzwoite umiejętności integracyjne, to temat jest już prawie opanowany! Im więcej całek różnych typów uda się rozwiązać, tym lepiej. Dlaczego? Będziesz musiał dużo się zintegrować. I różnicuj. Również wysoce zalecane naucz się znajdować.

W 95% przypadków arkusze testowe zawierają 3 typy równań różniczkowych pierwszego rzędu: równania rozłączne którym przyjrzymy się w tej lekcji; równania jednorodne I liniowe równania niejednorodne. Osobom rozpoczynającym naukę dyfuzorów radzę przeczytać lekcje dokładnie w tej kolejności, a po przestudiowaniu pierwszych dwóch artykułów nie zaszkodzi utrwalić swoje umiejętności na dodatkowym warsztacie - równania redukujące do jednorodnych.

Istnieją jeszcze rzadsze typy równań różniczkowych: równania różniczkowe całkowite, równania Bernoulliego i kilka innych. Najważniejszym z dwóch ostatnich typów są równania różniczkowe całkowite, ponieważ oprócz tego równania różniczkowego rozważam nowy materiał - częściowa integracja.

Jeśli został ci tylko dzień lub dwa, To do ultraszybkiego przygotowania Jest kurs błyskawiczny w formacie pdf.

Punkty orientacyjne są ustawione - chodźmy:

Najpierw pamiętajmy o zwykłych równaniach algebraicznych. Zawierają zmienne i liczby. Najprostszy przykład: . Co to znaczy rozwiązać zwykłe równanie? Oznacza to znalezienie zestaw liczb, które spełniają to równanie. Łatwo zauważyć, że równanie dzieci ma jeden pierwiastek: . Dla zabawy sprawdźmy i podstawmy znaleziony pierwiastek do naszego równania:

– uzyskuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Dyfuzory zaprojektowano w podobny sposób!

Równanie różniczkowe Pierwsze zamówienie ogólnie zawiera:
1) zmienna niezależna;
2) zmienna zależna (funkcja);
3) pierwsza pochodna funkcji: .

W niektórych równaniach pierwszego rzędu może nie być „x” i/lub „y”, ale nie jest to istotne - ważny udać się do sterowni był pierwsza pochodna i nie miał pochodne wyższych rzędów – itp.

Co znaczy ? Rozwiązanie równania różniczkowego oznacza znalezienie zestaw wszystkich funkcji, które spełniają to równanie. Taki zbiór funkcji często ma postać (– dowolnej stałej), którą nazywa się ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.

Przykład 1

Rozwiązać równanie różniczkowe

Pełna amunicja. Gdzie zacząć rozwiązanie?

Przede wszystkim należy przepisać pochodną w nieco innej formie. Przypominamy sobie kłopotliwe oznaczenie, które wielu z Was zapewne wydawało się śmieszne i niepotrzebne. To właśnie rządzi w dyfuzorach!

W drugim kroku sprawdźmy, czy jest to możliwe oddzielne zmienne? Co to znaczy oddzielać zmienne? Z grubsza mówiąc, po lewej stronie musimy wyjechać tylko „Grecy”, A po prawej stronie zorganizować tylko „X”. Podział zmiennych odbywa się za pomocą manipulacji „szkolnych”: wyciągania ich z nawiasów, przenoszenia wyrazów z części do części ze zmianą znaku, przenoszenia czynników z części do części zgodnie z zasadą proporcji itp.

Różnice i są pełnymi mnożnikami i aktywnymi uczestnikami działań wojennych. W rozważanym przykładzie zmienne można łatwo rozdzielić, dorzucając czynniki zgodnie z zasadą proporcji:

Zmienne są oddzielane. Po lewej stronie są tylko „Y”, po prawej – tylko „X”.

Następny etap - całkowanie równań różniczkowych. To proste, całki stawiamy po obu stronach:

Oczywiście musimy wziąć całki. W tym przypadku są one tabelaryczne:

Jak pamiętamy, każdej funkcji pierwotnej przypisuje się stałą. Są tu dwie całki, ale wystarczy raz zapisać stałą (ponieważ stała + stała jest nadal równa innej stałej). W większości przypadków umieszcza się go po prawej stronie.

Ściśle mówiąc, po wzięciu całek równanie różniczkowe uważa się za rozwiązane. Jedyną rzeczą jest to, że nasze „y” nie jest wyrażone przez „x”, to znaczy prezentowane jest rozwiązanie w sposób dorozumiany formularz. Nazywa się rozwiązanie równania różniczkowego w postaci utajonej Całka ogólna równania różniczkowego. Oznacza to, że jest to całka ogólna.

Odpowiedź w tej formie jest całkiem do przyjęcia, ale czy istnieje lepsza opcja? Spróbujmy zdobyć wspólna decyzja.

Proszę, zapamiętaj pierwszą technikę, jest to bardzo powszechne i często wykorzystywane w zadaniach praktycznych: jeśli po całkowaniu po prawej stronie pojawi się logarytm, to w wielu przypadkach (ale nie zawsze!) wskazane jest również zapisanie stałej pod logarytmem.

To jest, ZAMIAST wpisy są zwykle pisane .

Dlaczego jest to konieczne? I po to, żeby łatwiej było wyrazić „grę”. Korzystanie z własności logarytmów . W tym przypadku:

Teraz można usunąć logarytmy i moduły:

Funkcja jest przedstawiona jawnie. To jest rozwiązanie ogólne.

Odpowiedź: wspólna decyzja: .

Odpowiedzi na wiele równań różniczkowych można dość łatwo sprawdzić. W naszym przypadku odbywa się to po prostu, bierzemy znalezione rozwiązanie i różnicujemy je:

Następnie podstawiamy pochodną do pierwotnego równania:

– uzyskano poprawną równość, co oznacza, że ​​rozwiązanie ogólne spełnia równanie, co należało sprawdzić.

Podając stałą różnych wartości, można uzyskać nieskończoną liczbę rozwiązania prywatne równanie różniczkowe. Oczywiste jest, że dowolna z funkcji , itp. spełnia równanie różniczkowe.

Czasami nazywa się rozwiązanie ogólne rodzina funkcji. W tym przykładzie rozwiązanie ogólne jest rodziną funkcji liniowych, a dokładniej rodziną bezpośredniej proporcjonalności.

Po dokładnym przejrzeniu pierwszego przykładu warto odpowiedzieć na kilka naiwnych pytań dotyczących równań różniczkowych:

1)W tym przykładzie udało nam się oddzielić zmienne. Czy zawsze można to zrobić? Nie, nie zawsze. A jeszcze częściej zmiennych nie można rozdzielić. Na przykład w jednorodne równania pierwszego rzędu, należy go najpierw wymienić. W innych typach równań, na przykład w liniowym równaniu niejednorodnym pierwszego rzędu, należy zastosować różne techniki i metody, aby znaleźć ogólne rozwiązanie. Równania ze zmiennymi rozłącznymi, które rozważamy na pierwszej lekcji, są najprostszym typem równań różniczkowych.

2) Czy zawsze można całkować równanie różniczkowe? Nie, nie zawsze. Bardzo łatwo jest wymyślić „fantazyjne” równanie, którego nie można całkować; poza tym istnieją całki, których nie można wziąć. Ale takie DE można rozwiązać w przybliżeniu za pomocą specjalnych metod. D’Alembert i Cauchy gwarantują… ...ugh, lurkmore. Aby teraz dużo czytać, prawie dodałem „z innego świata”.

3) W tym przykładzie otrzymaliśmy rozwiązanie w postaci całki ogólnej . Czy zawsze można znaleźć rozwiązanie ogólne z całki ogólnej, czyli jawnie wyrazić „y”? Nie, nie zawsze. Na przykład: . No cóż, jak tu wyrazić słowo „grecki”?! W takich przypadkach odpowiedź należy zapisać w postaci całki ogólnej. Poza tym czasami da się znaleźć rozwiązanie ogólne, ale jest ono napisane na tyle uciążliwie i niezgrabnie, że lepiej zostawić odpowiedź w postaci całki ogólnej

4) ...może na razie wystarczy. W pierwszym przykładzie, z którym się zetknęliśmy kolejny ważny punkt, ale żeby nie zasypywać „manekinów” lawiną nowych informacji, zostawię to do następnej lekcji.

Nie będziemy się spieszyć. Kolejny prosty pilot i kolejne typowe rozwiązanie:

Przykład 2

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy

Rozwiązanie: zgodnie z warunkiem musisz znaleźć rozwiązanie prywatne DE, który spełnia zadany warunek początkowy. To sformułowanie pytania jest również nazywane Problem Cauchy’ego.

Najpierw znajdujemy ogólne rozwiązanie. W równaniu nie ma zmiennej „x”, ale nie powinno to mylić, najważniejsze jest to, że ma pierwszą pochodną.

Przepisujemy pochodną do wymaganej postaci:

Oczywiście zmienne można rozdzielić, chłopcy po lewej, dziewczęta po prawej:

Całkujmy równanie:

Otrzymuje się całkę ogólną. Tutaj narysowałem stałą z gwiazdką, faktem jest, że już wkrótce zamieni się ona w inną stałą.

Teraz spróbujemy przekształcić całkę ogólną w rozwiązanie ogólne (wyraźnie „y”). Przypomnijmy sobie stare dobre rzeczy ze szkoły: . W tym przypadku:

Stała we wskaźniku wygląda jakoś niekoszernie, więc zwykle jest sprowadzana na ziemię. W szczegółach wygląda to tak. Korzystając z własności stopni, przepisujemy funkcję w następujący sposób:

Jeśli jest stałą, to jest też jakąś stałą, oznaczmy ją literą :

Pamiętaj, że „burzenie” jest stałą druga technika, który jest często używany przy rozwiązywaniu równań różniczkowych.

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące: . To jest ładna rodzina funkcji wykładniczych.

Na ostatnim etapie należy znaleźć konkretne rozwiązanie spełniające zadany warunek początkowy. To również jest proste.

Jakie jest zadanie? Trzeba odebrać taki wartość stałej, aby warunek był spełniony.

Można go sformatować na różne sposoby, ale prawdopodobnie będzie to najczystszy sposób. W rozwiązaniu ogólnym zamiast „X” podstawiamy zero, a zamiast „Y” podstawiamy dwójkę:



To jest,

Wersja standardowa:

Teraz podstawiamy znalezioną wartość stałej do rozwiązania ogólnego:
– to jest konkretne rozwiązanie, którego potrzebujemy.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Sprawdźmy. Sprawdzanie rozwiązania prywatnego obejmuje dwa etapy:

Najpierw należy sprawdzić, czy znalezione rozwiązanie rzeczywiście spełnia warunek początkowy? Zamiast „X” podstawiamy zero i zobaczymy, co się stanie:
- tak, rzeczywiście otrzymano dwójkę, co oznacza, że ​​warunek początkowy został spełniony.

Drugi etap jest już znany. Bierzemy wynikowe konkretne rozwiązanie i znajdujemy pochodną:

Podstawiamy do pierwotnego równania:

– uzyskuje się poprawną równość.

Wniosek: konkretne rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Przejdźmy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 3

Rozwiązać równanie różniczkowe

Rozwiązanie: Przepisujemy pochodną do potrzebnej nam postaci:

Oceniamy, czy możliwe jest rozdzielenie zmiennych? Móc. Drugi wyraz przesuwamy w prawą stronę ze zmianą znaku:

I przenosimy mnożniki zgodnie z zasadą proporcji:

Zmienne są rozdzielone, zintegrujmy obie części:

Muszę cię ostrzec, zbliża się dzień sądu. Jeśli nie uczyłeś się dobrze Całki nieoznaczone, rozwiązałeś kilka przykładów, to nie ma dokąd pójść - będziesz musiał je teraz opanować.

Całkę lewej strony łatwo znaleźć; całką kotangensa zajmiemy się standardową techniką, którą omawialiśmy na lekcji Całkowanie funkcji trygonometrycznych ostatni rok:

Po prawej stronie mamy logarytm i zgodnie z moim pierwszym zaleceniem technicznym, pod logarytmem należy również zapisać stałą.

Spróbujemy teraz uprościć całkę ogólną. Ponieważ mamy tylko logarytmy, pozbycie się ich jest całkiem możliwe (i konieczne). Używając znane właściwości„Pakujemy” logarytmy tak bardzo, jak to możliwe. Napiszę to bardzo szczegółowo:

Opakowanie jest barbarzyńsko podarte:

Czy można wyrazić „grę”? Móc. Konieczne jest wyrównanie obu części.

Ale nie musisz tego robić.

Trzecia wskazówka techniczna: jeśli aby uzyskać ogólne rozwiązanie, konieczne jest podniesienie do potęgi lub zakorzenienie, to W większości przypadków powinieneś powstrzymać się od tych działań i pozostawić odpowiedź w postaci całki ogólnej. Faktem jest, że ogólne rozwiązanie będzie wyglądać po prostu okropnie - z dużymi korzeniami, znakami i innymi śmieciami.

Dlatego odpowiedź zapisujemy w postaci całki ogólnej. Za dobrą praktykę uważa się przedstawienie go w formie , czyli po prawej stronie, jeśli to możliwe, pozostawienie tylko stałej. Nie jest to konieczne, ale zawsze warto zadowolić profesora ;-)

Odpowiedź: całka ogólna:

! Notatka: Całkę ogólną dowolnego równania można zapisać na więcej niż jeden sposób. Jeśli więc Twój wynik nie pokrywa się z wcześniej znaną odpowiedzią, nie oznacza to, że źle rozwiązałeś równanie.

Całkę ogólną można również dość łatwo sprawdzić, najważniejsze jest, aby móc ją znaleźć pochodna funkcji określonej domyślnie. Rozróżnijmy odpowiedź:

Obydwa wyrazy mnożymy przez:

I podziel przez:

Pierwotne równanie różniczkowe otrzymano dokładnie, co oznacza, że ​​całka ogólna została znaleziona poprawnie.

Przykład 4

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy. Wykonaj kontrolę.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Przypomnę, że algorytm składa się z dwóch etapów:
1) znalezienie rozwiązania ogólnego;
2) znalezienie wymaganego konkretnego rozwiązania.

Sprawdzanie również odbywa się dwuetapowo (patrz przykład w przykładzie nr 2), należy:
1) upewnić się, że znalezione rozwiązanie spełnia warunek początkowy;
2) sprawdzić, czy dane rozwiązanie ogólnie spełnia równanie różniczkowe.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Przykład 5

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego , spełniając warunek początkowy. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie: Najpierw znajdźmy rozwiązanie ogólne.Równanie to zawiera już gotowe różniczki i, co oznacza, rozwiązanie jest uproszczone. Rozdzielamy zmienne:

Całkujmy równanie:

Całka po lewej stronie jest tabelaryczna, całka po prawej stronie jest brana metoda podciągania funkcji pod znak różniczkowy:

Otrzymano całkę ogólną, czy można skutecznie wyrazić rozwiązanie ogólne? Móc. Zawieszamy logarytmy po obu stronach. Ponieważ są dodatnie, znaki modułu są niepotrzebne:

(Mam nadzieję, że wszyscy zrozumieją transformację, takie rzeczy powinny być już znane)

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie odpowiadające danemu warunkowi początkowemu.
W rozwiązaniu ogólnym zamiast „X” podstawimy zero, a zamiast „Y” podstawimy logarytm dwójki:

Bardziej znajomy projekt:

Podstawiamy znalezioną wartość stałej do rozwiązania ogólnego.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Sprawdź: Najpierw sprawdźmy, czy spełniony jest warunek początkowy:
- Wszystko jest dobrze.

Sprawdźmy teraz, czy znalezione konkretne rozwiązanie w ogóle spełnia równanie różniczkowe. Znajdowanie pochodnej:

Spójrzmy na oryginalne równanie: – jest prezentowany w różnicach. Można to sprawdzić na dwa sposoby. Można wyrazić różnicę od znalezionej pochodnej:

Podstawmy znalezione rozwiązanie szczególne i otrzymaną różnicę do pierwotnego równania :

Używamy podstawowej tożsamości logarytmicznej:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​dane rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Druga metoda sprawdzania jest odzwierciedlona i bardziej znana: z równania Wyraźmy pochodną, ​​w tym celu dzielimy wszystkie części przez:

I do przekształconego DE podstawiamy otrzymane rozwiązanie częściowe i znalezioną pochodną. W wyniku uproszczeń należy również otrzymać poprawną równość.

Przykład 6

Rozwiązać równanie różniczkowe. Odpowiedź przedstaw w postaci całki ogólnej.

To przykład do samodzielnego rozwiązania, kompletne rozwiązanie i odpowiedź na koniec lekcji.

Jakie trudności czyhają przy rozwiązywaniu równań różniczkowych ze zmiennymi rozłącznymi?

1) Nie zawsze jest oczywiste (szczególnie dla „czajnika”), że zmienne można oddzielić. Rozważmy przykład warunkowy: . Tutaj musisz wyjąć czynniki z nawiasów: i oddzielić pierwiastki: . Jasne jest, co dalej robić.

2) Trudności z samą integracją. Całki często nie są najprostsze i jeśli istnieją wady w umiejętnościach znajdowania Całka nieoznaczona, wtedy będzie to trudne z wieloma dyfuzorami. Ponadto logika „skoro równanie różniczkowe jest proste, to przynajmniej niech całki będą bardziej skomplikowane” jest popularna wśród kompilatorów zbiorów i podręczników szkoleniowych.

3) Transformacje ze stałą. Jak wszyscy zauważyli, ze stałą w równaniach różniczkowych można operować dość swobodnie, a niektóre przekształcenia nie zawsze są jasne dla początkującego. Spójrzmy na inny przykład warunkowy: . Wskazane jest pomnożenie wszystkich wyrazów przez 2: . Powstała stała jest również pewnego rodzaju stałą, którą można oznaczyć wzorem: . Tak, a ponieważ po prawej stronie znajduje się logarytm, wskazane jest przepisanie stałej w postaci innej stałej: .

Problem w tym, że często nie zawracają sobie głowy indeksami i używają tej samej litery. W rezultacie zapis decyzji przyjmuje następującą postać:

Jakiego rodzaju herezja? Tam są błędy! Ściśle mówiąc, tak. Jednak z merytorycznego punktu widzenia nie ma tu mowy o błędach, gdyż w wyniku przekształcenia stałej zmiennej nadal otrzymuje się stałą zmienną.

Lub inny przykład, załóżmy, że w trakcie rozwiązywania równania otrzymuje się całkę ogólną. Ta odpowiedź wygląda brzydko, dlatego zaleca się zmianę znaku każdego terminu: . Formalnie jest tu jeszcze jeden błąd – należy to napisać po prawej stronie. Jednak nieformalnie sugeruje się, że „minus ce” jest nadal stałą ( które równie dobrze może mieć dowolne znaczenie!), więc wstawienie „minusu” nie ma sensu i możesz użyć tej samej litery.

Postaram się unikać nieostrożnego podejścia i nadal przypisywać stałe różne indeksy podczas ich konwersji.

Przykład 7

Rozwiązać równanie różniczkowe. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie: Równanie to pozwala na separację zmiennych. Rozdzielamy zmienne:

Zintegrujmy:

Nie ma potrzeby definiowania tutaj stałej jako logarytmu, ponieważ nic użytecznego z tego nie wyniknie.

Odpowiedź: całka ogólna:

Sprawdź: Zróżnicuj odpowiedź (funkcja ukryta):

Ułamków zwykłych pozbywamy się, mnożąc oba wyrazy przez:

Otrzymano oryginalne równanie różniczkowe, co oznacza, że ​​całka ogólna została znaleziona poprawnie.

Przykład 8

Znajdź konkretne rozwiązanie DE.
,

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Jedyną wskazówką jest to, że tutaj otrzymasz całkę ogólną i, mówiąc dokładniej, musisz wymyślić, aby znaleźć nie konkretne rozwiązanie, ale całka częściowa. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Ten kalkulator online umożliwia rozwiązywanie równań różniczkowych online. Wystarczy wpisać swoje równanie w odpowiednie pole, oznaczając pochodną funkcji poprzez apostrof i kliknąć przycisk „rozwiąż równanie”, a system zaimplementowany w oparciu o popularną witrynę WolframAlpha poda szczegółowe informacje rozwiązanie równania różniczkowego Absolutnie wolny. Można także zdefiniować problem Cauchy'ego, aby z całego zbioru możliwych rozwiązań wybrać iloraz odpowiadający danym warunkom początkowym. Problem Cauchy'ego wpisuje się w osobnym polu.

Równanie różniczkowe

Domyślnie funkcja w równaniu y jest funkcją zmiennej X. Można jednak podać własne oznaczenie zmiennej, jeśli w równaniu napiszemy np. y(t), kalkulator automatycznie to rozpozna y istnieje funkcja ze zmiennej T. Za pomocą kalkulatora jest to możliwe rozwiązywać równania różniczkowe dowolnej złożoności i rodzaju: jednorodne i niejednorodne, liniowe lub nieliniowe, pierwszego lub drugiego rzędu i wyższych, równania ze zmiennymi rozłącznymi i nierozłącznymi itp. Różnica rozwiązań równanie podane jest w formie analitycznej i posiada szczegółowy opis. Równania różniczkowe są bardzo powszechne w fizyce i matematyce. Bez ich obliczenia nie da się rozwiązać wielu problemów (szczególnie w fizyce matematycznej).

Jednym z etapów rozwiązywania równań różniczkowych jest całkowanie funkcji. Istnieją standardowe metody rozwiązywania równań różniczkowych. Należy sprowadzić równania do postaci z rozłącznymi zmiennymi y i x i oddzielnie całkować rozdzielone funkcje. Aby to zrobić, czasami należy dokonać pewnej wymiany.

Równanie różniczkowe zwyczajne jest równaniem łączącym zmienną niezależną, nieznaną funkcję tej zmiennej i jej pochodne (lub różniczki) różnych rzędów.

Rząd równania różniczkowego nazywa się rządem najwyższej zawartej w nim pochodnej.

Oprócz zwykłych badane są również równania różniczkowe cząstkowe. Są to równania odnoszące się do zmiennych niezależnych, nieznanej funkcji tych zmiennych i jej pochodnych cząstkowych względem tych samych zmiennych. Ale rozważymy tylko Równania różniczkowe zwyczajne dlatego dla zachowania zwięzłości pominiemy słowo „zwykły”.

Przykłady równań różniczkowych:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Równanie (1) jest rzędu czwartego, równanie (2) jest rzędu trzeciego, równania (3) i (4) są rzędu drugiego, równanie (5) jest rzędu pierwszego.

Równanie różniczkowe N rząd niekoniecznie musi zawierać funkcję jawną, wszystkie jej pochodne od pierwszego do N-tego rzędu i zmienna niezależna. Nie może wyraźnie zawierać pochodnych określonych rzędów, funkcji lub zmiennej niezależnej.

Na przykład w równaniu (1) wyraźnie nie ma pochodnych trzeciego i drugiego rzędu, a także funkcji; w równaniu (2) - pochodna drugiego rzędu i funkcja; w równaniu (4) - zmienna niezależna; w równaniu (5) - funkcje. Jedynie równanie (3) zawiera jawnie wszystkie pochodne, funkcję i zmienną niezależną.

Rozwiązywanie równania różniczkowego każda funkcja jest wywoływana y = f(x), po podstawieniu do równania staje się tożsamością.

Proces znajdowania rozwiązania równania różniczkowego nazywa się jego integracja.

Przykład 1. Znajdź rozwiązanie równania różniczkowego.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w postaci . Rozwiązaniem jest znalezienie funkcji na podstawie jej pochodnej. Funkcja pierwotna, jak wiadomo z rachunku całkowego, jest funkcją pierwotną dla, tj.

To jest to rozwiązanie tego równania różniczkowego . Zmieniając się w nim C, otrzymamy różne rozwiązania. Dowiedzieliśmy się, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań równania różniczkowego pierwszego rzędu.

Ogólne rozwiązanie równania różniczkowego N rząd jest rozwiązaniem, wyrażonym wprost w odniesieniu do nieznanej funkcji i zawierającym N niezależne stałe dowolne, tj.

Rozwiązanie równania różniczkowego z Przykładu 1 jest ogólne.

Częściowe rozwiązanie równania różniczkowego nazywa się rozwiązanie, w którym dowolnym stałym nadawane są określone wartości liczbowe.

Przykład 2. Znajdź rozwiązanie ogólne równania różniczkowego i rozwiązanie szczególne .

Rozwiązanie. Całkujmy obie strony równania tyle razy, ile wynosi rząd równania różniczkowego.

,

.

W rezultacie otrzymaliśmy ogólne rozwiązanie -

danego równania różniczkowego trzeciego rzędu.

Znajdźmy teraz konkretne rozwiązanie w określonych warunkach. Aby to zrobić, zamień ich wartości zamiast dowolnych współczynników i uzyskaj

.

Jeżeli oprócz równania różniczkowego warunek początkowy podany jest w postaci , wówczas taki problem nazywa się Problem Cauchy’ego . Zastąp wartości i do ogólnego rozwiązania równania i znajdź wartość dowolnej stałej C, a następnie konkretne rozwiązanie równania dla znalezionej wartości C. To jest rozwiązanie problemu Cauchy’ego.

Przykład 3. Rozwiąż problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego z przykładu 1 z zastrzeżeniem .

Rozwiązanie. Zastąpmy wartości z warunku początkowego rozwiązaniem ogólnym y = 3, X= 1. Otrzymujemy

Zapisujemy rozwiązanie problemu Cauchy'ego dla tego równania różniczkowego pierwszego rzędu:

Rozwiązywanie równań różniczkowych, nawet najprostszych, wymaga dobrych umiejętności całkowania i pochodnych, w tym także funkcji złożonych. Można to zobaczyć na poniższym przykładzie.

Przykład 4. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.

Rozwiązanie. Równanie jest zapisane w takiej formie, że można od razu zintegrować obie strony.

.

Stosujemy metodę całkowania przez zmianę zmiennej (podstawienie). Niech tak będzie.

Wymagane do wzięcia dx i teraz - uwaga - robimy to zgodnie z zasadami różniczkowania funkcji zespolonej, ponieważ X i istnieje złożona funkcja („jabłko” to ekstrakcja pierwiastka kwadratowego lub, co to samo, podniesienie do potęgi „połowa”, a „mięso mielone” to samo wyrażenie pod korzeniem):

Znajdujemy całkę:

Wracając do zmiennej X, otrzymujemy:

.

Jest to ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego stopnia.

Do rozwiązywania równań różniczkowych wymagane będą nie tylko umiejętności z poprzednich działów matematyki wyższej, ale także umiejętności z matematyki elementarnej, czyli szkolnej. Jak już wspomniano, w równaniu różniczkowym dowolnego rzędu może nie być zmiennej niezależnej, czyli zmiennej X. Wiedza o proporcjach ze szkoły, która nie została zapomniana (jednak w zależności od kogo) ze szkoły, pomoże rozwiązać ten problem. To jest następny przykład.